大学高数试卷及标准答案

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农林大学 2016 - 2017 学年第 一 学期期中考试

课程名称： 高等数学Ｉ 课程类别： 必修 考试式： 闭卷

注意事项：1、本试卷满分100分。

2、考试时间 120分钟。

一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的选项填在题后的括号。每小题3分，共21分）

1．下列各式正确的是： ( )

A. sin lim

1x x x →+∞= B. 0sin lim 0x x

x

→=

C. 1lim 1x

x e x →+∞⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ D. 1lim 1x

x e x →+∞

⎛⎫

+= ⎪⎝⎭

2. 当0x +→

等价的无穷小量是： ( )

A. 1

B. ln

C. 1-

D. 1-

3. 设()f x 在x a =的某邻域有定义，则它在该点处可导的一个充分条件是：( )

A.1lim ()()h h f a f a h →+∞⎡⎤

+-⎢⎥⎣⎦

存在 B. 0(2)()lim h f a h f a h h →+-+存在 C. 0

()()lim

2h f a h f a h h →+--存在 D. 0()()

lim h f a f a h h

→--存在

4. 函数33y x x =-在区间[0,1]上的最小值是： ( )

学院： 专业班级： 姓名： 学号：

装 订 线 内 不 要 答 题

A. 0

B. 没有

C. 2

D. 29

-

5. 函数21y x =-在区间[1,1]-上应用罗尔定理时，所得到的中值ξ= ( ) A. 0

B. 1

C. 1-

D. 2

6．设函数2

()(1)0

ax e x f x b x x ⎧≤=⎨->⎩处处可导，那么： ( ) A ．1a b == B ．2,1a b =-=- C ．0,1a b == D ．1,0a b == 7. 设x a =为函数()y f x =的极值点，则下列论述正确的是 ( ) A ．'()0f a = B ．()0f a = C ．''()0f a = D ．以上都不对 二、填空题（每小题3分，共21分）

1. 极限232)sin (1

cos lim x x x x x +-+∞→= .

2

．极限2

lim n n →∞

⎛⎫

+

+

+=.

3.设函数f (x )=2310

22

2

x x x x a x ⎧+-≠⎪

-⎨⎪=⎩

在点x =2处连续，则a = .

4. 函数()sin x

f x x

=的间断点为 .

5. 函数22ln y x x =-的单调减区间为

. 6. 设函数ln tan y =，则dy = .

7．椭圆曲线cos sin x a t y b t =⎧⎨=⎩ 在4t π

=相应的点处的切线程为 .

三、求下列极限（每小题6分, 共18分）

1. 求极限 1

1sin 1lim

2

--+→x x e x

x

2. 求极限1

2

3lim 6x x x x +→+∞+⎛⎫

⎪+⎝⎭

3. 求极限)tan 1

1(lim 20x

x x x -→

四、计算下列导数或微分（每小题分6, 共18分）

1.

设函数2(2)ln(x y x e =-++, 求

dy

dx

与dy . 2. 设()y f x =

是由程arctan x y

=确定的隐函数，求22d d y x .

3.计算函数()1x

x y x

=+的一阶导数.

五、（本题6分）

求函数5

()

2

y x =-的凹凸区间与拐点.

六、（本题6分） 设函数

()

f x 在(,)-∞+∞上二阶可导，函数

20

()()0ax bx c x g x f x x ⎧++>=⎨

≤⎩ ，试确定常数,,a b c 的值，使得函数()g x 在0x =点二阶可导.

七、（本题5分）证明：当0

x>

时，1ln(

x x

+．

八、（本题5分）设函数()

f x在[0,3]上连续，在(0,3)可导，且

(0)(1)(2)3

f f f

++=，(3)1

f=.试证：必存在一点(0,3)

ξ∈，使得'()0

fξ=.

农林大学 2016 - 2017 学年第 一 学期期中考试

参考答案

一、 单项选择题

D B D D A C D

二、填空题（每小题3分，共21分） 1. 1 2．2； 3.7； 4.,0,1,2,

k k π=±± ；

5.1

(0,)2；

csc

； 7.0ay bx += 三、求下列极限（每小题6分, 共18分） 1. 求极限 1

1sin 1lim

2

--+→x x e x x

解：原式= 20sin 2lim x x x

x → ……… 3分

0sin lim

2x x

x →= ……… 4分 1

2

= ……… 6分 2. 求极限1

2

3lim 6x x x x +→+∞+⎛⎫

⎪+⎝⎭

解：原式=12

3lim 16x x x +→+∞

⎛

⎫- ⎪+⎝⎭

……… 2分

=631

362

3lim 16x x x x x +-+⋅⋅-+→+∞

⎛

⎫- ⎪+⎝⎭

……… 5分

313lim

62

2

x x x

e

e →+∞-+-⋅+== ……… 6分

3. 求极限)tan 11(

lim 20x

x x x -→ 解：原式=2300tan tan lim lim tan x x x x x x

x x x

→→--=……… 2分