人教版数学九年级上册第二十二章《章末复习》名师教案

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九年级上册数学人教版第22单元复习教学设计教案

第22章二次函数复习教案一、知识网络二、知识梳理+经典例题知识点一：二次函数的概念定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a,b,c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。

知识点三：二次函数y=ax2+k的图像和性质二次函数y=ax2+k（a≠0）的图像是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，k），它与y=ax2的图像形状相同，只是位置不同.函数y=ax2+k（a≠0）的图像是由抛物线y=ax2向上（或下）平移|k|个单位长度得到的.二次函数y=ax2+k（a≠0）与y=ax2（a≠0）的图像之间的关系如下表所示：y=ax2（a≠0）向上平移|k|个单位长度向下平移|k|个单位长度二次函数y=ax2+k的图像和性质如下:a的符号a>0a<0图像开口方向向上向下对称轴y轴y轴最值当x=h时，y有最小值y最小值=0当x=h时，y有最大值y最大值=0知识点五：二次函数y=a(x-h)2+k(a,h，k是常数，a≠0)的图像和性质1、二次函y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴是x=h，顶点坐标为(h,k)，是由抛物线y=ax2(a≠0)向右（左）平移|h|个单位长度，再向上（下）平移|k|个单位长度得到的2、性质a的符号a>0a<0图像开口方向向上向下对称轴x=h x=h顶点坐标(h,k)(h,k)增减性当x<h时，y随x的增大而减小；当x>h时，y随x的增大而增大当x<h时，y随x的增大而增大；当x>h时，y随x的增大而减小最值当x=h时，y有最小值，y最小值=k 当x=h时，y有最大值，y最大值=k例5已知二次，函数y=a（x-1）2-c的图像如图所示，则一次函数y=ax+c 的大致图像可（）a a>0开口向上a<0开口向下b ab=0对称轴为y轴ab>0(a,b同号)对称轴在y轴左侧ab<0(a,b异号)对称轴在y轴右侧c c=0图像过原点c>0与y轴正半轴相交c<0与y轴负半轴相交b2-4ac b2-4ac=0与x轴有唯一一个交点b2-4ac>0与x轴有两个交点b2-4ac<0与x轴没有交点例7、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则abc，b2-4ac，2a+b，a+b+c这四个式子中，值为正数的有（）A.4个B.3个C.2个D.1个知识点八：二次函数与一元二次方程的联系1、二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.那么一元二次方程的根就是二次函数的图像与x轴交点的横坐标，因此，二次函数的图像与x轴的交点情况决定了一元二次方程根的情况.（1）当二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图像与x轴有两个交点时，b2-4ac>0,方程ax2＋bx＋c=0（a知识点九：二次函数与一元二次不等式的关系1、抛物线y=ax2＋bx＋c（a≠0）在x轴上方的部分点的纵坐标为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c >0（a≠0）的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c<0（a≠0）的解集，不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号2、二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）与一元二次不等式ax2＋bx＋c >0（a≠0）及ax2＋bx＋c<0（a≠0）之间的关系如下：例9、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数值y＞0时，x的取值范围是（）A.x＜-1B.x＞3C.-1＜x＜3D.x＜-1或x＞3知识点十：二次函数与实际问题1、二次函数的应用：二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型，这就需要认真审题，理解题意，利用二次函数解决实际问题，应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题2、建立平面直角坐标系，用二次函数的图象解决实际问题：建立平面直角坐标系，把代数问题与几何问题进行互相转化，充分结合三角函数、解直角三角形、相似、全等、圆等知识解决问题，求二次函数的表达式是解题关键。

人教版九年级数学上册第22章《二次函数》期末复习课教案

第22章二次函数期末复习课
教学目标：
知识与技能：
理解二次函数的概念，掌握二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质；会用描点法画抛物线，能确定抛物线的顶点、对称轴、开口方向，能较熟练地由抛物线y＝ax2(a≠0)经过适当平移得到y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象。

会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，并在运用中体会二次函数的实际意义，会运用二次函数求实际问题中的最大值或是最小值。

过程与方法：
会用待定系数法求二次函数的解析式，能结合二次函数的图象掌握二次函数的性质。

情感态度价值观：
使学生体会数学建模思想，函数思想，数形结合思想等数学思想。

教学的重点：
1.用配方法求二次函数的顶点，对称轴，根据图象概括二次函数的性质。

2.二次函数三种解析式的求法。

3.利用二次函数的知识解决数学问题，并对解决问题的方法进行反思。

教学的难点：1.将实际问题转化为二次函数，并运用二次函数性质将以解决。

2.二次函数与一元二次方程、不等式的联系，数形结合思想的渗透于应用。

3. 运用二次函数知识解决综合性的问题。

教法方法：自主学习法合作学习法
教学手段：多媒体
教学课时：1课时
教学活动：学生活动及设计意图
；⑤若抛物线顶点坐
教学活动：学生活动及设计意图
=x+b的图象交
教学活动：学生活动及设计意图
7.已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象
如图，其中正确的是（）
专题三：二次函数解析式的确定
求下列二次函数解析式：（学生分组完成）
1.已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），。

人教版九年级数学上册教案：第22章章末复习

章末复习一、复习导入1.导入课题：这节课我们对本章所学知识作一回忆和小结.〔板书课题〕2.复习目标：〔1〕进一步加深对二次函数的概念、图象以及它的性质的理解.〔2〕能感受函数思想、建模思想和转化思想.3.复习重、难点：重点：二次函数的图象和性质.难点：应用二次函数解决实际问题.二、分层复习1.复习指导：〔1〕复习内容：教材第27页到第56页的内容.〔2〕复习时间：8分钟.〔3〕复习方法：翻阅课本、整理知识要点.〔4〕复习参考提纲：①整理知识要点：a.形如y=a x2+b x+c〔a≠0〕的函数 ,叫二次函数 ,其图象是一条抛物线.b.抛物线y=a x2+b x+c的对称轴是直线bxa=-2,顶点坐标是，b ac ba a⎛⎫--⎪⎝⎭2424.假设a>0 ,那么当bxa=-2时 ,函数y有最小值ac ba-244,当bxa>-2时 ,y随x的增大而增大 ,当bxa<-2时 ,y随x的增大而减小 ,假设a<0 ,那么函数y的最值和增减性又如何呢？假设a<0,那么当x=ba-2时 ,函数y有最大值ac ba-244.当bxa>-2时 ,y随x的增大而减小 ,当bxa<-2时 ,y随x的增大而增大.c.抛物线的平移：把抛物线y=a x2沿x轴向左平移h个单位所得的抛物线是y=a(x+h)2,再把它沿y轴向上平移k个单位 ,所得的抛物线是y=a(x+h)2+k ,假设改变平移方向或距离呢？d.抛物线y=a x2+b x+c与x轴的位置关系有 3 种 ,是由b2-4ac的符号决定的 ,具体情况是：当b2-4ac>0时 ,抛物线与x轴有2个不同的交点；当b2-4ac=0时 ,抛物线与x轴只有1个交点 ,当b2-4ac<0时 ,抛物线与x轴没有交点.e.用待定系数法求二次函数解析式.设二次函数的解析式；根据条件 ,得到关于系数的方程组；解方程组 ,求出系数的值 ,从而得出函数解析式.f.自变量取值范围有条件限制时 ,如何求二次函数的最值？确定二次函数在取值范围内的增减性 ,比拟函数在最高〔低〕点和端点的取值.②试画本章知识结构框图:2.自主复习：学生结合复习指导进行复习.3.互助复习：〔1〕师助生：①明了学情：观察学生复习提纲完成情况.②差异指导：根据学情进行个别或分类指导.〔2〕生助生：小组交流、研讨.4．强化：二次函数的图象及性质.1.复习指导：〔1〕复习内容：典型剖析、考点跟踪.〔2〕复习时间：10分钟.〔3〕复习方法：小组合作、研讨.〔4〕复习参考提纲：①二次函数y=-x 2-2x +8的图象开口向下 ,对称轴是直线x =-1 ,顶点坐标为(-1,9) ,与x 轴的交点坐标是〔-4 ,0〕 ,〔2 ,0〕 ,与y 轴的交点坐标是〔0 ,8〕.②二次函数y= 2x 2-4x +5化成y=a(x -h)2+k 的形式为（）y x =-+2213 ,最小值是3． ③如图 ,二次函数的图象经过〔-2 ,-1〕 ,〔1 ,1〕两点 ,那么以下关于此二次函数的说法正确的选项是〔D 〕A.y 的最大值小于0B.当x =0时 ,y 的值大于1C.当x =-1时 ,y 的值大于1D.当x =-3时 ,y 的值小于0第③题图第④题图④二次函数y=a x 2+b x +c 〔a≠0〕的图象如下图 ,假设|a x 2+b x +c|=k 〔k≠0〕有两个不相等的实数根 ,那么k 的取值范围是〔D 〕A ．k ＜-3B ．k ＞-3C ．k ＜3D ．k ＞3⑤抛物线y=a x 2+b x +c 的顶点为(-1,4) ,与x 轴相交的两点间的距离为6 ,求此抛物线的解析式.设抛物线解析式为()y a x =++214 ,∵抛物线与x 轴相交的两点间的距离为6 ,∴与x 轴正半轴交点坐标为〔2 ,0〕.∴()a =++20214 ,解得a =-49. ∴此抛物线的解析式为()y x x x =-++=--+2244832149999. ⑥某宾馆客房部有60个房间供游客居住 ,当每个房间的定价为每天200元时 ,房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时 ,就会有一个房间空闲．如果旅客居住房间 ,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用. 设每个房间每天的定价增加x 元．求：Ⅰ.房间每天的入住量y 〔间〕关于x 〔元〕的函数关系式；Ⅱ.该宾馆每天的房间收费z 〔元〕关于x 〔元〕的函数关系式；Ⅲ.每个房间每天的定价增加多少元时 ,宾馆的利润最大？解：Ⅰ. x y =-6010Ⅲ.宾馆的利润()x x w x ⎛⎫⎛⎫=+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2006020601010 当x =210时 ,w 有最大值.即当每个房间每天的定价增加210元时 ,宾馆的利润最大.2.自主复习：学生结合复习指导自主复习.3.互助复习：〔1〕师助生：①明了学情：关注学生提纲的完成情况.②差异指导：根据学情进行指导.〔2〕生助生：小组内相互交流、研讨.4．强化：利用二次函数模型求最值.三、评价1.学生的自我评价〔围绕三维目标〕：在这节课的学习中 ,对全章知识你有何新的收获？在哪些方面还存在问题？2.教师对学生的评价：〔1〕表现性评价：点评学生学习的积极性、主动性 ,小组交流协作状况、学习方法、效果等.〔2〕纸笔评价：评价检测题.3.教师的自我评价〔教学反思〕：本课时是对本章知识点的全面总结 ,教学时 ,教师注重引导学生回忆知识点并构建知识结构框图 ,同时辅以典型例题 ,复习和稳固所学知识点 ,最后教师详细讲解解题思路和分析过程.(时间：12分钟总分值：100分)一、根底稳固〔70分〕1.(10分)二次函数y=-x 2+4x +5 ,那么当x = 2 时 ,其最大值为 9 .2.(10分)二次函数y=a x 2+b x +c 〔a≠0〕的顶点坐标〔-1 ,-3.2〕及局部图象〔如图〕 ,由图象可知关于x 的方程a x 2+b x +c=0的两个根分别是x 1=1.3和x 2= -3.3 .3.(10分)设A 〔-2 ,y 1〕 ,B 〔1 ,y 2〕 ,C 〔2 ,(x +1)2〕是抛物线y=-(x +1)2+a 上的三点 ,那么y 1 ,y 2 ,(x +1)2的大小关系为〔A 〕A ．y 1＞y 2＞(x +1)2B ．y 1＞(x +1)2＞y 2C ．(x +1)2＞y 2＞y 1D ．(x +1)2＞y 1＞y 24.(40分)抛物线y x x =--215322. 〔1〕求抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；〔2〕求抛物线与x 轴、y 轴的交点坐标；〔3〕画出函数图象〔草图〕；〔4〕根据图象说出：x 为何值时 ,y 随x 的增大而增大？x 为何值时,y 随x 的增大而减小？解：〔1〕开口向上 ,对称轴为直线x =3,顶点坐标为〔3 ,-7〕.〔2〕与x 轴的交点为（，）+3140 ,（，）-3140.与y 轴的交点为，⎛⎫- ⎪⎝⎭502. 〔3〕如图.〔4〕当x >3时 ,y 随x 的增大而增大.当x <3时 ,y 随x 的增大而减小.二、综合应用〔10分〕5.〔10分〕如图 ,抛物线y=a x 2+b x +c 过点C(3 ,8) ,与x 轴交于A(-1,0) ,B 两点 ,与y 轴交于点D(0 ,5)．〔1〕求该二次函数的关系式；〔2〕求该抛物线的顶点M 的坐标 ,并求四边形ABMD 的面积．解：〔1〕∵抛物线过点〔3 ,8〕 ,〔-1 ,0〕 ,〔0 ,5〕 ,那么，，a b c a b c c =++⎧⎪=-+⎨⎪=⎩89305 .解得，，a b c .=-⎧⎪=⎨⎪=⎩145∴该二次函数关系式为y=-x 2+4x +5〔2〕顶点M 的坐标为〔2 ,9〕 ,对称轴为直线x =2,那么B 点坐标为(5 ,0) ,过M 作MN ⊥AB 于N ,那么四边形梯形AOD MNB ABMD DONM S SS S =++三、拓展延伸〔20分〕6.〔20分〕某商场将进货价为30元的书包以40元售出 ,平均每月能售出600个 ,调查说明：这种书包的售价每上涨1元 ,其销售量就减少10个.〔1〕请写出每月售出书包的利润y〔元〕与每个书包涨价x〔元〕间的函数关系式；〔2〕设某月的利润为10000元 ,10000元的利润是否为该月最大利润？如果是 ,请说明理由；如果不是 ,请求出最大利润 ,并指出此时书包的售价应定为多少元？〔3〕请分析并答复售价在什么范围内商家就可获得利润？解：〔1〕设每个书包涨价x元 ,销量为〔600-10x〕个.∴y=(40+x)(600-10x)-30〔600-10x〕=-10x2+500x+6000(0≤x≤60).〔2〕10000元不是最大利润 ,y=-10x2+500x+6000=-10(x-25)2+12250.当x=25时有最大利润 ,即售价为65元时 ,有最大利润12250元.〔3〕商家可获得利润 ,即y＝-10x2+500x+6000＞0 ,解得-10<x<60,∴30＜40+x＜100 .即当售价在30~100元之间内商家就可获得利润.。

人教版数学九年级上册第二十二章一元二次方程复习小结导学教案

第二十二章一元二次方程一、教材分析本章主要介绍了一元二次方程及有关概念,一元二次方程的解法,运用一元二次方程分析和解决实际问题。

其中解一元二次方程的基本思路和具体解法是本章的重点内容。

方程是科学研究中重要的数学思想方法,也是后续内容学习的基础和工具,本章是对一元一次方程知识的延续和深化,同时为二次函数的学习作好准备。

数学建模思想的教学在本章得到进一步渗透和巩固。

二、知识清单（一）一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念1、一元二次方程概念一元二次方程是（1）都只含一个未知数x（2）它们的最高次数都是2次的（3）•都有等号，是方程．因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

2、一元二次方程一般式及有关概念一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式。

一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号（二）一元二次方程的解法1、直接开平方法直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=p＜0则方程无解。

2、配方法配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）现将已知方程化为一般形式；（2）化二次项系数为1；（3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根。

3、公式法一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，•将a 、b 、c 代入式子x=2b a-就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。

人教版数学九年级上册第22章数学活动优秀教学案例

2.提出问题：“这些实例中，你们能发现什么数学规律吗？”让学生思考，引出本节课的主题。
3.回顾已学过的三角函数知识，为新课学习做好铺垫。
4.明确本节课的学习目标，让学生了解学习内容，提高课堂效率。
（二）讲授新知
1.引导学生通过观察、实验、探究等方法，发现锐角三角函数的定义和性质。
2.讲解正弦、余弦、正切函数的定义和性质，举例说明这些函数在实际问题中的应用。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解锐角三角函数的概念，掌握正弦、余弦、正切函数的定义和性质，能够运用这些函数解决实际问题。
2.熟悉平面直角坐标系中函数的图象和性质，能够分析函数的增减性、对称性和周期性，并运用这些性质解决相关问题。
3.掌握二次函数的定义、图象和性质，了解二次函数的顶点公式和开口方向，能够运用二次函数解决实际问题。
4.教师巡回指导，及时发现和解决学生在讨论过程中遇到的问题。
（四）总结归纳
1.教师引导学生对所学知识进行总结，巩固重点，突破难点。
2.学生分享自己在讨论过程中的收获和感悟，增强团队合作意识。
3.教师对学生的表现进行评价，鼓励他们继续努力。
4.总结本节课的学习内容，强调知识在生活中的应用。
（五）作业小结
4.学会运用数学符号和语言表达函数关系，提高数学表达和沟通能力。
（二）过程与方法
1.通过观察、实验、探究等方法，让学生在实践中感受和理解锐角三角函数的概念和性质。
2.利用数形结合的思想，引导学生通过绘制函数图象，分析函数的性质，提高数形结合能力。
3.运用比较、归纳、总结等方法，让学生在解决实际问题中掌握二次函数的图象和性质。
1.引导学生对自己的学习过程进行反思，总结经验教训，提高自我认知能力。

数学人教版九年级上册第二十二章：二次函数复习教案

单位：桦川县第三中学教师：王敏日期：审阅签字：课题二次函数复习教学目标二次函数的三种解析式形式二次函数的图像与性质的综合应用教学重点、难点1、二次函数与其他函数共存问题2、根据二次函数图像，确定解析式系数符号3、根据二次函数图像的对称性、增减性解决相应的综合问题教学方法数形结合法、讲授法、练习法教学过程二次函数复习知识点1.二次函数的定义二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．例1、下列函数中，二次函数的是（）A ．y=ax 2+bx+cB 、2)1()2)(2(---+=x x x yC 、xx y 12+= D 、y=x(x —1) 例2、如果函数1)3(232++-=+-mx x m y m m是二次函数，那么m 的值为知识点2.二次函数的图像及性质1、已知一个二次函数，确定它的图象名称、开口方向、对称轴、顶点坐标、增减范围、极值。

已知条件中含二次函数开口方向或对称轴、顶点坐标、增减范围、极值，求解析中待定系数的取值。

（1）、二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线. （2）、二次函数 c bx ax y ++=2，当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点（3）、对于y=ax 2+bx+c 而言，其顶点坐标为（，）．对于y=a （x －h ）2+k 而言其顶点坐标为（，）。

二次函数c bx ax y ++=2用配方法或公式法（求h 时可用代入法）可化成：k h x a y +-=2)(的形式，其中h= ,k=例1、抛物线1822-+-=x x y 的图象的开口方向是_____, 顶点坐标是_ ___. 例2、若抛物线232)1(2-++-=m mx x m y 的最低点在x 轴上，则m 的值为（4）、二次函数 c bx ax y ++=2的对称轴为直线x=－2ba运用抛物线的对称性求对称轴，由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线段的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.若抛物线上有两点A （m,n ）、B(p,n)的纵坐标相等,则它的对称轴为直线x=2pm +例3、已知A 、B 是抛物线243y x x =-+上位置不同的两点，且关于抛物线的对称轴对称，则点A 、B 的坐标可能是_____________．（写出一对即可）（5）增减性：二次函数 c bx ax y ++=2的增减性分对称轴左右两侧描述（数形结合理解它的增减性）若0>a ，当x 时（在对称轴侧），y 随x 的增大而增大，当x 时（在对称轴侧），y 随x 的增大而减小，若0<a ，当x 时（在对称轴侧），y 随x 的增大而增大，当x 时（在对称轴侧），y 随x 的增大而减小，例4、已知抛物线2y ax bx c =++（a ＞0）的对称轴为直线1x =，且经过点()()212y y -1，，，，试比较1y 和2y 的大小：1y _2y （填“>”，“<”或“=”）例5、二次函数542+-=mx x y ，当2-<x 时，y 随x 的增大而减小；当2->x 时，y 随x 的增大而增大。

人教新课标版初中九上第22章复习教案

第22章一元二次方程小结与复习教学内容本节课主要是对一元二次方程进行系统复习，巩固所学知识，提升应用能力．教学目标知识技能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，运用一元二次方程解决简单的实际问题．数学思考经历运用知识、技能解决问题的过程，发展学生的独立思考能力和创新精神．解决问题了解数学解题中的方程思想、转化思想、分类讨论思想和整体思想．情感态度培养学生对数学的好奇心与求知欲，养成质疑和独立思考的学习习惯．重难点、关键重点：运用知识、技能解决问题难点：解题分析能力的提高．关键：引导学生参与解题的讨论与交流教学准备教师准备：制作课件，精选习题学生准备：写一份本单元知识结构图．教学过程一、回顾交流【教学方略】将学生分成四人小组，•交流各自书写的“单元知识结构图”进行概括总结．•知识网络图表•【师生共识】1．方程中只含有_______•未知数，•并且未知数的最高次数是_______，•这样的______的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：_______（）其中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是________．2．解一元二次方程的一般解法有（1）_________；（2）________；（•3）•_________；•（•4）•求根公式法，•求根公式是______________．3．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式是____________，当_______时，它有两个不相等的实数根；当_________时，它有两个相等的实数根；当_______时，•它没有实数根．二、 X 例点击例1：解下列方程．（1）2（x+3）2=x （x+3）（2）x 2x+2=0（3）x 2-8x=0 （4）x 2+12x+32=0解：（1）2（x+3）2=x （x+3）2（x+3）2-x （x+3）=0（x+3）[2（x+3）-x]=0（x+3）（x+6）=0x 1=-3，x 2=-6．（2）x 2这里a=1，c=2b 2-4ac=（）2-4×1×2=12>0x=2b a -±x 1x 2 （3）x （x-8）=0x 1=0，x 2=8．（4）配方，得x 2+12x+32+4=0+4（x+6）2=4x+6=2或x+6=-2x 2=-4，x 2=-8．点拨：选择解方程的方法时，应先考虑直接开平方法和因式分解法；再考虑用配方法，最后考虑用公式法．例2分析：将分式方程化为整式方程后，若化出的是形如ax=b 的整式方程只要a ≠0，若化出的是一元二次方程，它有两种情况。

九年级数学22章复习教案

1第二十二章一元二次方程【本章知识结构框图】（一）一元二次方程及其解法【教学目标】1、复习一元一次方程的定义，解法。

对给定的字母系数的一元二次方程会判断根的情况。

了解一元二次方程的根系关系。

2、能够将一元二次方程的知识和二次函数的知识结合起来综合应用解决问题。

【教学重点】一元二次方程的解法和一元一次方程根的判别式与根的情况。

【教学难点】一元二次方程的根系关系的应用【知识要点】1 一元二次方程的一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为。

2 一元二次方程的常见解法有：① ；②配方法；③ ；④因式分解法。

3 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 存在两根，则它的两根分别为x 1= ,x 2= . 4一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式与一元二次方程根的情况：（1）当042>-ac b 时，一元二次方程有两个不相等的实数根；（2）当时，一元二次方程有两个相等的实数根；（3）当时，一元二次方程没有实数根。

5一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根为x 1,x 2，则=+21x x ，=⋅21x x 。

【课前热身】1 一元二次方程022=-+a ax x 的一个根为1，则 a= ，另一个根为22 关于x 的一元二次方程x ²-2x+2k=0有实数根，则k 的取值范围是（）A21 B k ≤21 C k>21 D k ≥213 解方程（1）x x x 82)4(-=- （2） 02432=+-x x 【典型例题】例1 如果关于x 的一元二次方程04)2(22=-++-m x x m 的一个根为0，则m 的值是。

例2 解方程：0122=--x x （配方法，公式法）例3 关于 x 的一元二次方程022)1(2=+++-m mx x m 有两个实数根，求m 的取值范围。

例4 已知关于x 的方程032)1(32=-+--m x m mx ．（1）求证：无论m 取任何实数时，方程总有实数根；（2）若关于x 的二次函数32)1(321-+--=m x m mx y 的图象关于y 轴对称．①求这个二次函数的解析式；②已知一次函数222-=x y ，证明：在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值y 1≥y 2均成立；（3）在（2）的条件下，若二次函数y 3＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点（－5，0），且在实数范围内，对于x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值y 1≥y 3≥y 2均成立．求二次函数y 3＝ax 2＋bx ＋c 的解析式.3例5 关于x 的一元二次方程240x x c -+=有实数根，且c 为正整数. （1）求c 的值；（2）若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系xOy 中,抛物线24y x x c =-+与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 左侧），与y 轴交于点C . 点P 为对称轴上一点，且四边形OBPC 为直角梯形，求PC 的长；（3）将（2）中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点D 的坐标为(),m n ,当抛物线与（2）中的直角梯形OBPC 只有两个交点，且一个交点在PC 边上时，直接写出m 的取值范围.【课堂练习】A 组1 已知关于x 的一元二次方程22x m x -= 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（）．A ． m ＞－1B ． m ＜－1C ．m ≥0D ．m ＜02 方程(2)0x x +=的根是（）A. 2x =B. 0x =C. 120,2x x ==-D. 120,2x x == 3 方程2x =x 的解是4 若关于x 的方程x 2+5x+k=0有实数根，则k 的取值范围是________________.5 已知1x =-是关于x 的方程2220x ax a +-=的一个根，则a =_______．6 已知1x =是关于x 的方程22(1)10k x k x -+-=的根，则常数k 的值为7 解方程：（1）2410x x +-= （2）22830x x -+=B 组1 已知二次函数y =－x 2+2x + m 的部分图象如图2所示，则关于x 的一元二次方程－x 2+2x + m = 0的解是．42把二次函数142++-=x x y 化成k h x a y +-=2)(的形式，则=y ，把此函数图象向右平移2个单位后，它的顶点坐标是 .3 已知关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（） A ．43>mB ．43≥m C ．43>m 且2≠mD ．43≥m 且2≠m 4 若n （0n ≠）是关于x 的方程220x mx n ++=的根，则m +n 的值为（）A ．1B ．2C ．-1D ．-2【课后作业】1已知关于x 的方程260x kx --=的一个根为3x =，则实数k 的值为（） A ．1B ．1-C ．2D ．2-2 用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（）A ．()216x +=B ．()216x -=C ．()229x +=D ．()229x -=3若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是4 解方程 0142=--x x （配方法） 5 解方程 05822=+-x x （公式法）6如图四边形ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形，a 、b 、c 是Rt △ABC 和Rt △BDE 的三边长，易知c AE 2=.这时我们把形如022=++b cx ax 的方程称为关于x 的 “勾系一元二次方程”.请解决下列问题：（1）构造一个“勾系一元二次方程”: .（2）证明:关于x 的“勾系一元二次方程”022=++b cx ax 必有实数根；（3）若1-=x 是 “勾系一元二次方程”022=++b cx ax 的一个根，且四边形ACDE 的周长是62，求△ABC 的面积.7已知: 关于x 的一元二次方程0)2(2=+++-n m x n m mx ①. （1）求证: 方程①有两个实数根;5（2）求证: 方程①有一个实数根为1;（3）设方程①的另一个根为1x ，若2=+n m ，m 为正整数且方程①有两个不相等的整数根时，确定关于x 的二次函数n m x n m mx y +++-=)2(2的解析式；（4）在（3）的条件下，把Rt △ABC 放在坐标系内，其中∠CAB = 90°，点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0），BC = 5，将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在抛物线上时，求△ABC 平移的距离。

【优质教案】新人教版九年级数学上册第二十二章小结与复习教学设计

第二十二章小结与复习【学习目标】1．掌握二次函数的定义及表达式．2．巩固二次函数的图象和性质．3．强化二次函数的实际应用．【学习重点、难点】二次函数的图象、性质及其运用．【教学建议】建议本课分两课时，依据学情采取其中一种方式．方式一：第一课时自学自研并交流展示知识模块一～三；第二课时自学自研并交流展示知识模块四及练习巩固提升．方式二：第一课时进行自学自研，第二课时进行交流展示、巩固提升．【推荐方式一】第一课时目标导学(5分钟)；自学自研(20分钟)；交流展示(15分钟)；第二课时目标导学(2分钟)；自学自研(15分钟)；交流展示(15分钟)；巩固提升(8分钟) ．情景导入生成问题知识结构我能建：（略）知识梳理我能行：(略)自学互研生成能力知识模块一二次函数的图象与性质【自主探究】典例1：写出抛物线y＝－x2－2x的开口方向、对称轴及顶点坐标．当x为何值时，y的值最小(大)?解：∵－b2a ＝－－22×（－1）＝－1，4ac－b24a＝4×（－1）×0－（－2）24×（－1）＝1.∴抛物线y＝－x2－2x的开口向下，对称轴是直线x＝－1，顶点是(－1，1)．当x＝－1时，y最大值＝1.【合作探究】典例2：已知二次函数y＝x2－4x＋3.(1)用配方法求其函数图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而增减的情况；(2)求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．典例5易错点：1．将销售价x看成降价．解：(1)y＝x2－4x＋3＝x2－4x＋4－1＝(x－2)2－1.∴其函数的顶点C的坐标为(2，－1)，∴当x≤2时，y随x的增大而减小；当x>2时，y随x的增大而增大．(2)令y＝0，则x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴当点A在点B左侧时，A(1，0)，B(3，0)．当点A在点B右侧时，A(3，0)，B(1，0)．∴AB＝|1－3|＝2.过点C作CD⊥x轴于D，则△ABC的面积＝12AB·CD＝12×2×1＝1.知识模块二二次函数的图象与字母系数的关系【自主探究】典例3：如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，经过点(－1，2)和(1，0)，且与y轴相交于负半轴．(1)给出四个结论：①a>0；②b>0；③c>0；④a＋b＋c＝0.其中正确结论的序号是①④．(2)给出四个结论：①abc<0；②2a＋b>0；③a＋c＝1；④a>1.其中正确结论的序号是②③④．知识模块三求二次函数的解析式【合作探究】典例4：已知抛物线y＝x2＋(b－1)x＋c经过点P(－1，－2b)．(1)求b＋c的值；(2)若b＝3，求这条抛物线的顶点坐标；(3)若b>3，过点P作直线PA⊥y轴，交y轴于点A，交抛物线于另一点B，且BP＝2PA.求这条抛物线对应的二次函数关系式．解：(1)∵抛物线过点P(－1，－2b)，∴1－(b－1)＋c＝－2b，∴b＋c＝－2.(2)由(1)中的关系式可知，若b＝3，则c＝－5.∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x－5，即y＝(x＋1)2－6，其顶点坐标为(－1，－6)．(3)根据题意画出抛物线的示意图如图所示：∵PB＝2PA，点P(－1，－2b)，∴点B的坐标为(－3，－2b)．∴9－3(b－1)＋c＝－2b，即－b＋c＝－12.∴y＝x2＋4x－7.知识模块四二次函数的实际应用【合作探究】典例5：某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．(1)求平均每天销售量y(箱)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式．(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售价x(元/箱)之间的函数关系式．(3)每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解：(1)设每箱售价为x元，根据题意，得y＝90－3(x－50)，化简，得y＝－3x＋240.(2)因为该批发商平均每天的销售利润等于平均每天销售量×每箱销售利润，所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9600.(3)由w＝－3x2＋360x－9600，得a＝－3<0，所以抛物线开口向下．当x＝－b2a＝60时，w有最大值，又x<60，w随x的增大而增大．所以当x＝55元时，w的最大值为1125元．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一二次函数的图象与性质知识模块二二次函数的图象与字母系数的关系知识模块三求二次函数的解析式知识模块四二次函数的实际应用当堂检测达成目标【当堂检测】1．已知二次函数y ＝x 2－3x ＋m(m 为常数)的图象与x 轴的一个交点为(1，0)，则关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0的两个实数根是x 1＝1，x 2＝2．2．某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管喷水最大高度为3米，此时喷水水平距离为12米，在如图所示的坐标系中，这支喷泉的函数关系式是y ＝－8⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋3．3．某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系：y ＝ax 2＋bx －75.其图象如图．(1)销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？(2)销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？解：(1)y ＝ax 2＋bx －75图象过点(5，0)、(7，16)，y ＝－x 2＋20x －75，顶点坐标是(10，25)．当x ＝10时，y 最大＝25.答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元．(2)∵函数y ＝－x 2＋20x －75图象的对称轴为直线x ＝10，可知点(7，16)关于对称轴的对称点是(13，16)．又∵函数y ＝－x 2＋20x －75图象开口向下，∴当7≤x ≤13时，y ≥16.答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元．【课后检测】见学生用书课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________。

九年级数学上册第二十二章一元二次方程复习教案新人教版【教案】

九年级数学上册第二十二章一元二次方程复习教课设计新人教版【教课设计】
第 22 章一元二次方程小结与复习
教课内容
本节课主假如对一元二次方程进行系统复习，稳固所学知识，提高应用能力．
教课目的
知识技术
灵巧运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，运用一元二次方程解决简单的实质问题．
数学思虑
经历运用知识、技术解决问题的过程，发展学生的独立思虑能力和创新精神．解决问题
认识数学解题中的方程思想、转变思想、分类议论思想和整体思想．
感情态度
培育学生对数学的好奇心与求知欲，养成怀疑和独立思虑的学习习惯．
重难点、要点
要点：运用知识、技术解决问题
难点：解题剖析能力的提高．
要点：指引学生参加解题的议论与沟通
教课准备
教师准备：制作课件，优选习题
学生准备：写一份本单元知识构造图．
教课过程
一、回首沟通
【教课方略】
将学生疏成四人小组，?沟通各自书写的“单元知识构造图”进行归纳总结．知识网络图表
专心爱心专心
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九年级数学上册第二十二章二次函数章末小结教案(新版)新人教版

二次函数章末小结※教学目标※ 【知识与技能】掌握本章重要的知识点，能用相关函数知识解决实际问题. 【过程与方法】通过梳理本章知识，回顾解决实际问题中所涉及的数形结合思想、方程思想、分类思想的过程，加深对本章知识的理解. 【情感态度】在这用本章知识解决实际问题的过程中，进一步增强数学应用知识，感受数学的应用价值，激发学生的学习兴趣. 【教学重点】本章知识结构梳理及其应用. 【教学难点】灵活运用二次函数性质解决问题. ※教学过程※ 一、整体把握二、加深理解1.二次函数的定义:一般地，形如2y ax bx c =++(0a ≠，,,a b c 为常数)的式子称为y 关于x 的二次函数.需要注意的是，二次项系数0a ≠是定义中不可缺少的条件.2.抛物线()20y ax bx c a =++≠的图象和性质：（1）的符号决定抛物线的开口方向；反之，由抛物线的开口方向可确定的符号. （2）利用抛物线的对称轴通常可以解决两个方面的问题：①结合a 的符号及对称轴所处的位置判别b 的符号；②利用对称轴即开口方向确定函数的增减性.（3）利用抛物线的顶点，可确定函数的最大（小）值，但对自变量x 有限制时，相应的函数值的最大（小）值就应利用函数的性质来确定.（4）抛物线与x 轴的交点及对应的一元二次方程的关系：抛物线与x 轴有两个交点、一个交点、没有交点，可由其对应的一元二次方程的根的判别式来判别，即有两个交点⇔ Δ=24b ac ->0，有一个交点⇔Δ=24b ac -=0，没有交点⇔Δ=24b ac -<0.至于其交点的横坐标，则可由对应的一元二次方程得到. 三、复习新知例1 已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图，则下列结论中正确的是（）A.abc ＞0B.24b ac -<0C.93a b c ++＞0D.8c a +＜0分析：根据二次函数的图象求出a ＜0，c ＞0，根据抛物线的对称轴求出2b a =-＞0，即可得出abc ＜0；根据图象与x 轴有两个交点，推出24b ac -＞0；对称轴是直线1x =，与x 轴的一个交点是（-1，0），求出与x 轴另一个交点的坐标是（3，0），把3x =代入二次函数得出930y a b c =++=；把4x =代入得出1688y a a c a c =-+=+，根据图象得出8c a +＜0.答案：D例2 已知：抛物线2y x bx c =-++经过A （-1，0），B （5，0）两点，顶点为P .（1）求此抛物线的解析式；（2）求△ABP 的面积；（3）若点C （1x ，1y ）和点D （2x ，2y ）在抛物线上，则当0＜1x ＜2x ＜1时，请写出1y 与2y 的大小关系.分析：（1）把A ,B 两点的坐标代入求得b 和c 的值，即可得到抛物线的解析式；（2）先把抛物线的解析式配成顶点式得到P 点坐标为（2，9），然后根据三角形面积公式计算即可；（3）由于抛物线的对称轴为直线2x =，开口向下，则根据二次函数的性质可确定1y 与2y 的大小关系.解：（1）把A (-1,0),B (5,0)分别代入2y x bx c =-++.解得4b =，5c =.∴此抛物线的解析式为245y x x =-++.×6×9=27.（3）∵抛物线的对称轴为直线2x =，开口向下，∴当0＜1x ＜2x ＜1时，1y ＜2y .例3 东门天虹商场购进一批“童乐”牌玩具，每件成本价30元，每件玩具销售单价x（3）根据题意,得2=-+-，解得160x x1500010140033000x=或280x=.根据题意,得2x x=-+-，解得1501200010140033000x=或290x=.∴50≤x≤60或80≤x≤90．四、归纳小结通过这节课的学习，你对本章知识你有哪些新的认识？你有哪些体会？※布置作业※从教材复习题22中选取．※教学反思※1.本节课为复习课，由于本章的内容较多，也比较重要，因此教学时师生应共同回顾与反思，归纳出本章知识的框架图，并让学生回答二次函数的一些性质，并适时通过课堂训练来达到复习的效果.对于学生容易产生错误的知识点，教师要给予解释，并通过例题的讲解使学生加深理解，对于实际问题，教师仍需要通过一些典型例题来让学生掌握.2.课堂复习中，教师要充分与学生互动，活跃课堂气氛，使学生在愉快的学习环境中复习并最终掌握二次函数的知识，让学生对方程思想、数形结合思想以及转化思想有进一步的理解.。

人教版数学九年级上册第二十二章一元二次方程小结复习教案附导学案设计

第二十二章《一元二次方程》小结一、本章知识结构框图*4、一元二次方程根与系数的关系（本部分内容为选学内容）（1）如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是，那么）应用：（2不解方程可以求某些关于的对称式的值，通常利用到：当=0且≤0，两根互为相反数；当⊿≥0且=1，两根互为倒数。

第二十二章本章小结使用教师：王生雨第＿＿＿＿＿周星期＿＿＿＿＿＿＿＿年＿＿＿月＿＿＿日课前回顾：1、方程中只含有_______•未知数，•并且未知数的最高次数是_______，•这样的______的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：__________________（）其中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是________．2、解一元二次方程的基本思路是______,它的方法有________________________________,将一元二次方程转化为____________。

因式分法一元一次方程一元二次方程直接开平方的解法转化为的形式配方法公式法___________________(______________)3、一元二次方程的根的判别式是____________，当_______时，它有两个不相等的实数根；当_________时，它有两个相等的实数根；当_______时，•它没有实数根；其中，合称为方程有______．4、关于的一元二次方程的两根分别为、则，小结：用一元二次方程解决实际问题的步骤______________________________________课前预习:专题一、一元二次方程及有关概念问题1、方程是关于x的一元二次方程，则（）A．m=±2 B.m=2 C.m=-2 D.m≠±2变式题：若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（）A. m≠1B.m≥0C.m≥0且m≠1D.m为任意实数专题二、用适当的方法解一元二次方程问题2、(1)（3x-1）2=9 (2) 3x2－1=6x （3) 2x2+5x－3=0 （4）x2＋7x＋12=0专题三、含有字母系数的一元二次方程的根问题3、解关于x的方程x2＋mx＋2=mx2＋3x（m≠1）专题四、一元二次方程根的判别式的应用)(2≥=+nmx=x2=++cbxax()0≠a42≥-acbx02=++cbxax()0≠a1x2x_____21=+xx21xx⋅_____=()0132=+++mxxm m()112=+-xmxm转化问题4、求证方程(m －1)x 2＋3mx ＋m ＋1＝0 (m ≠1)，必有两个不相等的实数根．问题5、如果关于x 的方程 mx 2-2（m+2）x+m+5=0 没有实数根，那么关于x 的方程（m-5）x 2-2（m+2）x+m=0的实根有几个？问题6、已知a 、b 、c 是三角形的三边，求证：方程b 2x 2＋(b 2＋c 2－a 2)x ＋c 2＝0没有实数根．证明：专题五、一元二次方程根与系数的关系应用问题7、解某一元二次方程，甲抄错一次项，得根为-2和-3，乙抄错常数项，得根为6和-1，那么正确的方程应是____．专题六、一元二次方程的应用问题1、一个两位数,十位数与个位数字之和是5，把这个数的个位数与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数．问题2、一个长方形，它的长比宽的2倍还多1厘米，它的宽与另一正方形的边长相同，且这个长方形的面积比正方形的面积多72平方厘米，求此长方形与正方形的面积各是多少？问题3、某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长25m),另外三边用木栏围成,木栏长40m.(1) 鸡场的面积能达到180m 2吗? (2) 鸡场的面积能达到200m 2吗? (3) 鸡场的面积能达到250m 2吗? 如果能,请给出设计方案;如果不能,请说明理由.问题4、华润商场销售某种电视机，每台进货价为2500元，市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台，而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要使这种电视机的销售利润每天达到5000元，每台电视机的定价应为多少元？解题过程：当堂检测： 1、填空：（1）当m 的值为_____时，方程是关于x 的一元二次方程。

人教版九年级数学上册第22章二次函数全章复习1优秀教学案例

4.反思与评价提高学习效果：本案例强调学生的反思与评价，引导学生对所学知识进行总结和反思，提高他们的数学思维能力。同时，教师及时给予评价和反馈，帮助学生了解自己的学习情况，为下一步的学习提供明确的指导和建议。
5.教学策略灵活多样：本案例结合学科特点和学生的实际情况，采用多种教学策略，如情景创设、问题导向、小组合作等，使教学过程丰富多样，提高学生的学习兴趣和参与度。同时，教师注重个体差异，针对不同程度的学生制定不同的教学策略，使他们在学习过程中都能得到有效的提升。
3.注重学生的个体差异，针对不同程度的学生制定不同的评价标准；
4.鼓励学生自我评价和相互评价，培养他们的自我意识和团队精神；
5.定期进行课堂评价和学业评价，及时调整教学策略，提高教学效果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示一些与二次函数相关的实际问题，如抛物线运动的轨迹、物体运动的最高点等，激发学生的学习兴趣；
在二次函数的复习中，我首先引导学生回顾二次函数的基本概念、性质和图象，使他们能够清晰地了解二次函数的构成和特点。接着，我通过设计一些具有代表性的例题，让学生掌握二次函数的求解方法和应用技巧。同时，我还注重培养学生的数学思维能力，引导他们从不同的角度去分析和解决问题。
在教学过程中，我充分关注学生的个体差异，针对不同程度的学生制定不同的教学策略，使他们在复习过程中都能得到有效的提升。对于学有余力的学生，我引导他们深入研究二次函数的拓展问题，提高他们的学科素养；对于基础薄弱的学生，我则耐心地帮助他们巩固基础知识，提高他们的学习信心。
2.通过展示二次函数图象，让学生观察和分析图象的形状、变化规律，引导他们发现二次函数的性质；
3.教授二次函数的求解方法，如配方法、公式法等，并通过例题让学生掌握求解技巧；

2018-2019学年人教版九年级数学上第二十二章二次函数章末小结教案

三、教学难点与重点
1.教学重点
-二次函数的定义及其一般形式，特别是a、b、c的几何意义；
-二次函数图像与等；
-二次函数顶点式的理解和应用，包括顶点的坐标表示及如何通过顶点式求解最值；
-二次函数与一元二次方程的联系，掌握图像与方程根之间的对应关系；
-实际问题中的二次函数模型构建，学会将现实问题转化为数学问题。
-结合具体实际问题，如抛物线形状的物体运动轨迹分析，引导学生如何建立二次函数模型。
2.教学难点
-对二次函数图像与性质的综合理解，尤其是如何通过图像读取顶点、最值等关键信息；
-从实际问题中抽象出二次函数模型，对问题进行合理的数学建模；
-二次函数与一元二次方程结合问题的解决，特别是涉及图像交点与方程根的对应关系；
3.二次函数的顶点式：y=a(x-h)^2+k；
4.二次函数与一元二次方程的关系，通过二次函数图像可求解一元二次方程的根；
5.实际问题中的应用，如最大（小）值问题、最优解问题等。
本节课将带领学生对本章内容进行系统回顾，巩固二次函数的基础知识，提高解决实际问题的能力。
二、核心素养目标
1.掌握二次函数的定义、图像、性质及顶点式，培养数学抽象、逻辑推理能力；
-对于二次函数与一元二次方程的结合问题，通过图像与方程的对比，引导学生发现图像交点与方程根的内在联系；
-通过变换二次函数图像（如平移、伸缩等）的练习，加深学生对顶点式的理解和应用。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次函数》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过抛物线形状的物体运动轨迹？”（如抛球、跳水等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数的奥秘。

人教版九年级数学上册(教案)第二十二章整理与复习教案

第二十二章整理与复习复习目标了解二次函数的意义，掌握二次函数的图象特征和性质，能确定函数解析式，并能解决简单的实际问题．复习重点复习二次函数的重点知识．复习难点用二次函数模型解决实际问题．一、知识网络构建1．二次函数概念：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b，c可以为零．2．二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质：a的符号,开口方向,顶点坐标,对称轴,性质a>0,向上,(h，k),x＝h,x>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随x的增大而减小；x＝h时，y有最小值k.a<0,向下,(h，k),x＝h,x>h时，y 随x的增大而减小；x<h时，y随x的增大而增大；x＝h时，y有最大值k.二次函数y ＝ax2＋bx＋c中，a作为二次项系数，显然a≠0.a决定了抛物线开口的大小和方向，|a|的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．3．二次函数图象的平移：在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．4．二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质(1)当a>0时，抛物线开口向上，对称轴为x＝－b,2a，顶点坐标为－b,2a，4ac－b2,4a.当x<－b,2a时，y随x的增大而减小；当x>－b,2a时，y随x的增大而增大；当x＝－b,2a时，y有最小值4ac－b2,4a.(2)当a<0时，抛物线开口向下，对称轴为x＝－b,2a，顶点坐标为－b,2a，4ac－b2,4a.当x<－b,2a时，y随x的增大而增大；当x>－b,2a时，y随x的增大而减小；当x＝－b,2a 时，y有最大值4ac－b2,4a.5．二次函数与一元二次方程的关系：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是二次函数y＝ax2＋bx＋c当函数值y＝0时的特殊情况. ①当Δ＝b2－4ac>0时，图象与x轴交于两点A(x1，0)，B(x2，0)(x1≠x2)，其中的x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根．②当Δ＝0时，图象与x轴只有一个交点；③当Δ<0时，图象与x轴没有交点．6．二次函数常用解题方法总结：(1)求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；(2)求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；(3)根据图象的位置判断二次函数y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；(4) 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标．老师适时板书：二次函数二次函数的定义二次函数的图象和性质y＝ax2(a≠0)y＝a(x－h)2＋k(a≠0)y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 二次函数解析式的求法实际问题与二次函数二、重点难点突破与学用同三、综合能力提升与学用同教学反思__。

九年级数学上册第22章《第二十二章章末复习》名师教案(人教版)

第22章二次函数本章回顾一、思维导图二、典型例题例1. 如图，已知二次函数212y x bx c =-++的图象经过A （2，0）、B （0，﹣6）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数图象的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA 、BC ，求△ABC 的面积；（3）若抛物线的顶点为D ，在y 轴上是否存在一点P ，使得△P AD 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【知识点】二次函数的图象与性质，三角形面积【数学思想】数形结合【解题过程】解：（1）将点A （2，0）、B （0，﹣6）代入得：2206b c c -++=⎧⎨=-⎩，解得：46b c =⎧⎨=-⎩，故这个二次函数的解析式为：21462y x x =-+-．（2）∵二次函数的解析式为：21462y x x =-+-，∴二次函数的对称轴为x =4，即OC =4， ∴AC =2，故162ABC S AC BO ∆=⨯=．（3）存在，点P 的坐标为2(0,)3．AD 长度固定，只需找到点P 使AP+PD 最小即可，找到点A 关于y 轴的对称点A'，连接A'D ，则A'D 与y 轴的交点即是点P 的位置，∵点A'与点A 关于y 轴对称，∴点A'的坐标为（﹣2，0），又∵顶点D 的坐标为（4，2），∴直线A'D 的解析式为：1233y x =+，令x =0，则23y =，即点P 的坐标为2(0,)3．【思路点拨】（1）将点A 及点B 的坐标代入即可得出b 、c 的值，继而可得出二次函数解析式；（2）根据（1）求得的解析式，可得出对称轴，也可得出AC 的长度，根据S △ABC =12AC ×BO 可得出答案．（3）AD 长度固定，故只需找到点P 使AP +PD 最小即可，找到点A 关于y 轴的对称点A'，连接A'D ，则A'D 与y 轴的交点即是点P 的位置，求出直线A'D 的函数解析式，可得出点P 的坐标．【答案】21462y x x =-+-，162ABC S AC BO ∆=⨯=，2(0,)3.例2．某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克．（1）写出月销售利润y 与售价x 之间的函数关系式．（2）销售单价定为55元时，计算月销售量与销售利润．（3）商场想在月销售成本不超过3000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？（4）当售价定为多少元时，会获得最大利润？求出最大利润．【知识点】列函数解析式，二次函数的最值,解一元二次方程，销售问题【解题过程】解：（1）可卖出千克数为500－10(x －50)=1000－10x ，y 与x 的函数表达式为y =(x －40)(1000－10x )=﹣10x 2+1400x －40000；（2）∵当销售单价定为每千克55元时，则销售单价涨(55－50)元，减少的销售量是(55－50)×10千克，∴月销售量为：500－(55－50)×10=450(千克)，所以月销售利润为：(55－40)×450=6750元；（3）令y =8000，则8000=－10x 2+1400x －40000解得x 1=60，x 2=80．当x =60时，销售价为60元，月销售量为400千克，则成本价为40×400=16000（元），超过了3000元，不合题意，舍去；当x =80时，销售价为80元，月销售量为200千克，则成本价为40×200=8000（元），超过了3000元，不合题意，舍去；故无解；（4）y =－10x 2+1400x －40000=－10(x －70)2+9000当售价定为70元时，会获得最大利润，最大利润9000元．【思路点拨】（1）月销售利润=每千克的利润×可卖出千克数，把相关数值代入即可；（2）根据“销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克”，可知：月销售量=500﹣（销售单价﹣50）×10．由此可得出售价为55元/千克时的月销售量，然后根据利润=每千克的利润×销售的数量来求出月销售利润；（3）由（1）中y 与x 的关系式，令y=8000，解出x 即可；（4）利用二次函数性质求出最值即可．【答案】y =﹣10x 2+1400x －40000；销售量：450(千克)，销售利润：6750元；无解；当售价定为70元时，会获得最大利润，最大利润9000元．例3. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线23433y x x =--+交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，抛物线上一点D 的横坐标为﹣5．（1）求直线BD 的解析式；（2）点E 是线段BD 上的动点，过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，当折线EF +BE 最大时，在对称轴上找一点P ，在y 轴上找一点Q ，连接QE 、OP 、PQ ，求OP +PQ +QE 的最小值；【知识点】二次函数的图象与性质，二次函数的最值，勾股定理【数学思想】数形结合【解题过程】解：（1）令y =0，则234330x x =，解得x =－4或1， ∴A (－4，0)，B (1，0)，令x =0，则y 43C (043，当x =－5时，y =253343=－3， ∴点D 坐标（－5，－3，设直线BD 的解析式为y =kx +b ，则有5230k b k b ⎧-+=-⎪⎨+=⎪⎩333k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线BD 的解析式为y 3x 3．（2）如图1中，设BD 交y 轴于K ，则K (0，－33)，设E (m ，33m －33)，则F （m ，－33m 2－3m +433），∠ABD =30°，∴EF +EB =-33m 2-3m +43-（33m -33）+2（33-33m ）=-3(m +3)2+163， ∴m =-3时，EF +EB 的值最大，此时点E 坐标(-3，-43)，如图2中，作点E 关于y 轴的对称点N ，EM ⊥AB 于M ，连接MN ，交对称轴于P ，交y 轴于Q ，∵M 、O 关于对称轴对称，∴OP =PM ，∵E 、N 关于y 轴对称，∴QE =QN ，∴OP +PQ +QE =PM +PQ +QN ，∴当M 、N 、P 、Q 共线时，OP +PQ +QE 最小，最小值为MN ，在Rt △MNE 中，MN 2222432()69333EM EN +=+= ∴OP +PQ +QE 2933 【思路点拨】（1）先求出B 、D 两点坐标，再利用待定系数法即可解决问题．（2）如图1中，设BD 交y 轴于K ，则K (03)，设E (m 3m 3)，则F （m m 2m ，构建二次函数确定m 的值，求出点E 坐标，如图2中，作点E 关于y 轴的对称点N ，EM ⊥AB 于M ，连接MN ，交对称轴于P ，交y 轴于Q ，当M 、N 、P 、Q 共线时，OP +PQ +QE 最小，最小值为MN .【答案】y x 第22章章末检测题（王继伟）一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）1．下列函数中，y 是x 的二次函数的是（）A ．21y x =-B ．1y x=- C ．31y x =+ D ．2y x x =-【知识点】二次函数的定义【解题过程】解：A 、21y x =-，是一次函数，故此选项错误；B 、1y x=-，右边是分式，故此选项错误； C 、31y x =+，x 的指数是3，故此选项错误；D 、2y x x =-，是二次函数，故此选项正确；【思路点拨】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握定义是解题关键．【答案】D2．抛物线224y x =+与y 轴的交点坐标是（）A ．（0，2）B ．（0，﹣2）C ．（0，4）D ．（0，﹣4）【知识点】二次函数图象上点的坐标特征．【解题过程】解：把x=0代入抛物线224y x =+中，解得：y=4，则抛物线224y x =+与y 轴的交点坐标是（0，4）．【思路点拨】此题考查学生会求函数图象与坐标轴的交点坐标，即要求函数与x 轴交点坐标就要令y=0，要求函数与y 轴的交点坐标就要令x=0，代入抛物线的解析式求出对应的y 值，写成坐标形式即可．【答案】C3．抛物线2113y x =+，232y x =-+，23y x =-+，224y x =+的图象开口最大的是（）A ．2113y x =+ B ．232y x =-+ C ．23y x =-+ D ．224y x =+【知识点】二次函数的图象【解题过程】解：∵二次函数中a 的值越小，则函数图象的开口也越大，又∵11233<-<<-， ∴抛物线2113y x =+的图象开口最大. 【思路点拨】根据二次函数中a 的值越小，则函数图象的开口也越大，可以得出那个选项是正确的．【答案】A4．二次函数23(2)9y x =--+的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标分别为（）A. 开口向上，对称轴为2x =-，顶点为(2,9)-B. 开口向上，对称轴为2x =，顶点为(2,9)C. 开口向下，对称轴为2x =-，顶点为(2,9)D. 开口向下，对称轴为2x =，顶点为(2,9)【知识点】二次函数的图象和性质【解题过程】解：∵23(2)9y x =--+中，30-<，所以抛物线开口向下，对称轴为2x =，顶点为(2,9)【思路点拨】由二次函数的顶点式可得.【答案】D5．若二次函数的解析式为2243y x x =-+，则其函数图象与x 轴交点的情况是（）A ．没有交点B ．有一个交点C ．有两个交点D ．以上都不对【知识点】抛物线与x 轴的交点【解题过程】解：因为△=（﹣4）2﹣4×2×3=﹣8＜0，所以抛物线与x 轴没有交点．故选A ．【思路点拨】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．【答案】A6．已知点1(3,)A y -，2(1,)B y -，3(2,)C y 在函数22y x x b =--+的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系为（）A ．y 1＜y 3＜y 2B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 3＜y 2＜y 1【知识点】二次函数图象上点的坐标特征．【解题过程】解：∵22y x x b =--+，∴函数22y x x b =--+的对称轴为直线1x =-，开口向下，当1x <-时，y 随x 的增大而增大，当y ＞﹣1时，y 随x 的增大而减小，∵﹣1﹣（﹣3）=2，﹣1﹣（﹣1）=0，2﹣（﹣1）=3，∴y 3＜y 1＜y 2，【思路点拨】根据二次函数图象具有对称性和二次函数图象上点的坐标特征，可以判断y 1、y 2、y 3的大小，从而可以解答本题．【答案】C7．某工厂2015年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长率为x （x ＞0），设2017年该产品的产量为y 吨，则y 关于x 的函数关系式为（）A ．2100(1)y x =-B ．2100(1)y x =+C ．2100(1)y x =+D ．2100100(1)100(1)y x x =++++ 【知识点】根据实际问题列二次函数关系式【解题过程】解：根据题意，得：y 关于x 的函数关系式为2100(1)y x =+【思路点拨】2017年的产量=2015年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．【答案】B ．8．一个二次函数的图象的顶点坐标为(3,1)-，与y 轴的交点(0,4)-，这个二次函数的解析式是（）A ．21243y x x =-+B ．21243y x x =-+- C ．21(3)13y x =-+- D ．2612y x x =-+- 【知识点】待定系数法求二次函数解析式.【解题过程】解：设抛物线解析式为y=a （x ﹣3）2﹣1，把（0，﹣4）代入得a•（﹣3）2﹣1=﹣4，解得a=﹣13，所以抛物线解析式为2211(3)12433y x x x =---=-+-．【思路点拨】由于已知顶点坐标，则可设顶点式y=a （x ﹣3）2﹣1，然后把（0，﹣4）代入求出a 的值即可得到抛物线解析式．【答案】B ．9．将二次函数22y x =-的图象平移后，可得到二次函数22(1)y x =-+的图象，平移的方法是（）A ．向上平移1个单位B ．向下平移1个单位C ．向左平移1个单位D ．向右平移1个单位【知识点】二次函数图象与几何变换．【解题过程】法1：解：抛物线y=﹣2x2的顶点坐标是（0，0）．抛物线y=﹣2（x+1）2的顶点坐标是（﹣1，0）．则由二次函数y=﹣2x2的图象向左平移1个单位即可得到二次函数y=﹣2（x+1）2的图象．法2：根据平移规律：“左加右减，上加下减”可得.【思路点拨】根据平移前后两个抛物线的顶点坐标的变化来判定平移方法．或者根据平移规律：“左加右减，上加下减”确定.【答案】C10．如果抛物线262y x x c =-+-的顶点到x 轴的距离是3，那么c 的值等于（）A ．8B ．14C ．8或14D ．﹣8或﹣14【知识点】待定系数法求二次函数解析式．【数学思想】分类讨论【解题过程】解：根据题意24(2)(6)34c ---=±，解得c=8或14．【思路点拨】本题考查了求顶点的纵坐标公式，根据题意，知顶点的纵坐标是3或﹣3，列出方程求出解则可．【答案】C11．在同一坐标系中，一次函数y ax b =+与二次函数2y ax b =+的大致图象是（）A ．B ． C. D ．【知识点】二次函数的图象，一次函数的图象【解题过程】解：A 、由一次函数y ax b =+的图象可得：a ＞0，此时二次函数2y ax b =+的图象应该开口向上，故A 错误；B 、由一次函数y ax b =+的图象可得：a ＜0，b ＞0，此时二次函数2y ax b =+的图象应该开口向下，顶点的纵坐标大于零，故B 错误；C 、由一次函数y ax b =+的图象可得：a ＜0，b ＞0，此时二次函数2y ax b =+的图象应该开口向下，顶点的纵坐标大于零，故C 正确；D 、由一次函数y ax b =+的图象可得：a ＞0，b ＞0，此时抛物线2y ax b =+的顶点的纵坐标大于零，故D 错误；【思路点拨】用矛盾排除法，可先根据一次函数的图象判断a 、b 的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．【答案】C12．小明从二次函数y=ax 2+bx+c 的图象（如图）中观察得到了下面五条信息：①0abc > ②230a b -= ③240b ac -> ④0a b c ++> ⑤4b c <则其中结论正确的个数是（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【知识点】二次函数图象与系数的关系【解题过程】解：①因为函数图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴可知，c ＜0，由函数图象开口向上可知，a ＞0，由①知，c ＜0，由函数的对称轴在x 的正半轴上可知，02b x a =->，故b ＜0，故abc ＞0；故此选项正确； ②因为函数的对称轴为123b x a =-=，故23a b =-，即230a b +=；故此选项错误；③因为图象和x 轴有两个交点，所以240b ac ->，故此选项正确；④把1x =代入2y ax bx c =++得：0a b c ++<，故此选项错误；⑤当2x =时，422(3)24y a b c b b c c b =++=⨯-++=-，而点(2,4)c b -在第一象限，∴⑤40c b ->，故此选项正确；其中正确信息的有①③⑤，故选B ．【思路点拨】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【答案】B二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）13. 已知抛物线2y ax =开口向下，且3a =，则a = .【知识点】二次函数图象与系数的关系【解题过程】解：∵3a =，∴3a =?又∵抛物线2y ax =开口向下，∴0a <，∴3a =-【思路点拨】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系.【答案】-314．若点(2,)A m 在抛物线2y x =上，则点A 关于y 轴对称点的坐标是．【知识点】二次函数图象上点的坐标特征，关于y 轴对称的点的坐标.【解题过程】解：∵点(2,)A m 在抛物线2y x =上，∴224y ==，∴(2,4)A ∴(2,4)A 关于y 轴对称点的坐标是（﹣2，4）【思路点拨】点在函数图象上代入解析式，求得点A 的坐标，关于y 轴对称，纵坐标不变，横坐标变为它的相反数.【答案】（﹣2，4）15．已知抛物线22y x x =--经过点(,5)m ，则22m m -+的值为_______【知识点】二次函数图象上点的坐标特征【数序思想】整体代换求代数式的值【解题过程】解：∵抛物线22y x x =--经过点(,5)m ，∴5=m 2﹣m ﹣2，故m 2﹣m=7，∴m 2﹣m+2=9．【思路点拨】直接利用二次函数图象上点的坐标性质得出关于m 的等式，进而得出答案．【答案】916．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的部分对应值如下表：则二次函数2y ax bx c =++在2x =时，y=_________【知识点】二次函数图象上点的坐标特征．【解题过程】解：∵x=﹣3时，y=7；x=5时，y=7，∴二次函数图象的对称轴为直线x=1，∴x=0和x=2时的函数值相等，∴x=2时，y=﹣8．【思路点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．观察表中的对应值得到x=﹣3和x=5时，函数值都是7，则根据抛物线的对称性得到对称轴为直线x=1，所以x=0和x=2时的函数值相等，【答案】﹣817．若抛物线231y ax x =+-与x 轴有两个交点，则a 的取值范围是．【知识点】抛物线与x 轴的交点．【解题过程】解：∵抛物线231y ax x =+-与x 轴有两个交点，∴a≠0，△＞0，∴9﹣4a×（﹣1）＞0，∴a ＞﹣94，故答案为a ＞﹣94且a≠0．【思路点拨】此题主要考查一元二次方程与函数的关系，根据题意，令y=0，得方程ax 2+3x ﹣1=0，有两个不同的根得△＞0，从而解出a 的范围．【答案】904a a >-≠且 18．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AB =10cm ，BC =8cm ，点P 从点A 沿AC 向点C 以1cm/s 的速度运动，同时点Q 从点C 沿CB 向点B 以2cm/s 的速度运动（点Q 运动到点B 停止），在运动过程中，四边形P ABQ 的面积最小值为______．【知识点】二次函数的最值，勾股定理【解题过程】解：在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =10cm ，BC =8cm ，∴AC =6cm ．设运动时间为t （0≤t≤4），则PC =（6﹣t ）cm ，CQ =2tcm ，∴S 四边形P ABQ =S △ABC ﹣S △CPQ =12AC •BC ﹣12PC •CQ =12×6×8﹣12（6﹣t ）×2t=t 2﹣6t+24=（t ﹣3）2+15，∴当t=3时，四边形P ABQ 的面积取最小值，最小值为15．【思路点拨】本题考查了二次函数的最值以及勾股定理，利用分割图形求面积法找出S 四边形PABQ=t 2﹣6t+24是解题的关键．在Rt △ABC 中，利用勾股定理可得出AC=6cm ，设运动时间为t （0≤t≤4），则PC=（6﹣t ）cm ，CQ=2tcm ，利用分割图形求面积法可得出S 四边形PABQ=t 2﹣6t+24，利用配方法即可求出四边形PABQ 的面积最小值，此题得解．【答案】15cm 2三．解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）19. 已知二次函数23y ax bx =+-中x 、y 满足下表：x… ﹣1 0 1 2 3 … y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 m …（1）求这个二次函数的解析式；（2）求m 的值【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征．【解题过程】解：（1）由题意得(1,0)-，(1,4)-在二次函数23y ax bx =+-图象上∴3034a b a b --=⎧⎨+-=-⎩，解得：1a =，2b =-，∴这个二次函数的解析式为223y x x =--．（2）当3x =时，2239630y x x =--=--=． ∴0m =．【思路点拨】考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法．本题中要求熟练掌握二次函数的基本性质．（1）找一组点的坐标代入抛物线的解析式即可求出a 、b 值，进而求得解析式．（2）把x=3代入（1）中的解析式即可求得m 的值；【答案】（1）223y x x =--；（2）0m =.20. 如图，抛物线21y x bx c =+-经过直线23y x =-与坐标轴的两个交点A 、B ，此抛物线与x 轴的另一个交点为C ，抛物线顶点为D ．（1）求此抛物线的解析式；（2）求四边形ADBC 的面积；（3）直接写出使y 1＜y 2的x 的取值范围．【知识点】二次函数的性质；一次函数的性质【数学思想】数形结合【解题过程】解：（1）∵直线23y x =-与坐标轴的两个交点A 、B ， ∴点B （0，﹣3），点A （3，0），将A 与B 坐标代入抛物线21y x bx c =+-得：3930c b c -=-⎧⎨+-=⎩，解得：c=3，b=﹣2，则抛物线的解析式是y=x 2﹣2x ﹣3；（2）∵令y=x 2﹣2x ﹣3=0，解得：x=﹣1或x=3，∴点C 的坐标为（﹣1，0）， ∵y=x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2+4，∴顶点D 的坐标为（1，﹣4），作DE ⊥AC 于点E ，由题意得：OC =1，OB =3，DE =4，OE =1，AE =2，∴S 四边形ACBD =S △OBC +S 梯形OBDE +S △AED=12OC•OB+12(OB+DE)•OE+12AE•ED=12×1×3+12×（3+4）×1+12×2×4=32+72+4=9；（3）∵y1＜y2，∴抛物线位于直线的下方，∴x的取值范围为：0＜x＜3．【思路点拨】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能够求得图中的几个点的坐标，能够将点的坐标转化为线段的长，从而求得四边形的面积．（1）对于一次函数23y x=-，分别令x与y为0求出对应y与x的值，确定出A与B 的坐标，代入抛物线解析式得到关于b与c的方程组，求出方程组的解得到b与c的值，即可确定出抛物线解析式；（2）分别求得A、B、C、D的坐标，利用S四边形ACBD=S△OBC+S梯形OBDE+S△AED 求面积即可．（3）根据y1＜y2的可以得到抛物线位于直线的下方，从而可以写出自变量的取值范围．【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）9；0＜x＜3．四．解答题（本大题共4个小题，每小题10分，共40分）21．如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m．（1）求抛物线的解析式；（2）如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高4.2m，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．【知识点】二次函数的应用【数学思想】数形结合【解题过程】解：（1）设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，由对称轴是y 轴得b=0，∵EO =6， ∴c=6，∵矩形的长BC 为8m ，宽AB 为2m ，以BC 所在的直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系 ∴(4,2)D ，又∵抛物线经过点(4,2)D ，∴16462a b ++=，解得14a =- ，所求抛物线的解析式为：2164y x =-+．（2）取 2.4x =±，代入（1）所求得的解析式中，得21( 2.4)64y =-⨯±+．解得：y=4.56＞4.2故这辆货运卡车能通过隧道．【思路点拨】求抛物线解析式有几种方法，因题而异，灵活处理．会找抛物线上几个关键点的坐标，确定抛物线解析式．（1）根据抛物线在坐标系中的特殊位置，可以设抛物线的一般式，顶点式，求抛物线的解析式．（2）抛物线的实际应用问题中，可以取自变量的值，求函数值．【答案】（1）2164y x =-+；（2）能通过隧道．22．如图，是将抛物线2y x =-平移后得到的抛物线，其对称轴为1x =，与x 轴的一个交点为(1,0)A -，另一个交点为B ，与y 轴的交点为C ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N 为抛物线上一点，且BC ⊥NC ，求点N 的坐标；【知识点】二次函数综合题【数学思想】数形结合【解题过程】解：（1）设抛物线的解析式是2(1)y x k =--+．把(1,0)-代入得20(11)k =---+，解得4k =，则抛物线的解析式是2(1)4y x =--+，即223y x x =-++；（2）在223y x x =-++中令0x =，则3y =，即C 的坐标是(0,3)，OC =3． ∵B 的坐标是(3,0)，∴OB =3，∴OC =OB ，则△OBC 是等腰直角三角形．∴45OCB ∠=︒，过点N 作NH ⊥y 轴，垂足是H ．∵∠NCB =90°，∴∠NCH =45°，∴NH =CH ，∴HO =OC +CH =3+CH =3+NH ，设点N 纵坐标是2(,23)a a a -++．∴2323a a a +=-++，解得a=0（舍去）或a=1，∴N 的坐标是(1,4).【思路点拨】（1）已知抛物线的对称轴，因而可以设出顶点式，利用待定系数法求函数解析式；（2）首先求得B 和C 的坐标，易证△OBC 是等腰直角三角形，过点N 作NH ⊥y 轴，垂足是H ，设点N 纵坐标是（a ，﹣a 2+2a+3），根据CH =NH 即可列方程求解；【答案】（1）223y x x =-++；（2）(1,4).23．为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1000m 2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为2()x m ，种草所需费用y 1(元)与x(m 2)的函数关系式为112(0600)(6001000)k x x y k x b x ≤<⎧=⎨+≤≤⎩，其图象如图所示：栽花所需费用y 2(元)与x(m 2)的函数关系式为220.012030000(01000)y x x x =--+≤≤．（1）请直接写出k 1、k 2和b 的值；（2）设这块1000m 2空地的绿化总费用为W (元)，请利用W 与x 的函数关系式，求出绿化总费用W 的最大值；（3）若种草部分的面积不少于700m 2，栽花部分的面积不少于100m 2，请求出绿化总费用W 的最小值．【知识点】二次函数的应用【数学思想】数形结合，分类讨论思想【解题过程】解：（1）将x=600、y=18000代入y 1=k 1x ，得：18000=600k 1，解得：k 1=30；将x=600、y=18000和x=1000、y=26000代入，得：2260018000100026000k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：2206000k b =⎧⎨=⎩；（2）当0≤x ＜600时，2230(0.012030000)0.011030000W x x x x x =+--+=-++，∵0.010-<，20.01(500)32500W x =--+，∴当x=500时，W 取得最大值为32500元；当600≤x≤1000时，22206000(0.012030000)0.0136000W x x x x =++--+=-+，∵0.010-<，∴当600≤x≤1000时，W 随x 的增大而减小，∴当x=600时，W 取最大值为32400，∵32400＜32500，∴W 取最大值为32500元；（3）由题意得：1000100x -≥，解得：900x ≤，由x≥700，则700≤x≤900，∵当700≤x≤900时，W 随x 的增大而减小，∴当x=900时，W 取得最小值27900元．【思路点拨】本题主要考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式及分类讨论依据相等关系列出函数解析式是解题的关键．（1）将x=600、y=18000代入y 1=k 1x 可得k 1；将x=600、y=18000和x=1000、y=26000代入y 1=k 2x+b 可得k 2、b ．（2）分0≤x ＜600和600≤x≤1000两种情况，根据“绿化总费用=种草所需总费用+种花所需总费用”结合二次函数的性质可得答案；（3）根据种草部分的面积不少于700m 2，栽花部分的面积不少于100m 2求得x 的范围，依据二次函数的性质可得．【答案】（1）k 1=30；2206000k b =⎧⎨=⎩；（2）W 取最大值为32500元；（3）W 取得最小值27900元．24. 设a 、b 是任意两个实数，用max{a ，b}表示a 、b 两数中较大者，例如：max{1,1}1--=-，max{1,2}2=，max{4,3}4=，参照上面的材料，解答下列问题：（1）max{5,2}=________，max{0,3}=_________；（2）若max{31,1}1x x x +-+=-+，求x 的取值范围；（3）求函数224y x x =--与2y x =-+的图象的交点坐标，函数224y x x =--的图象如图所示，请你在图中作出函数2y x =-+的图象，并根据图象直接写出2max{2,24}x x x -+--的最小值．【知识点】二次函数的最值；一次函数的图象与性质；二次函数的图象．【数学思想】转化思想，数形结合【解题过程】解：（1）max{5,2}5=，max{0,3}3=．故答案为：5；3．（2）∵max{31,1}1x x x +-+=-+，∴311x x +≤-+，解得：0x ≤．（3）联立两函数解析式成方程组，2242y x x y x ⎧=--⎨=-+⎩，解得：1124x y =-⎧⎨=⎩，2231x y =⎧⎨=-⎩， ∴交点坐标为(2,4)-和(3,1)-．画出直线2y x =-+，如图所示，观察函数图象可知：当3x =时，2max{2,24}x x x -+--取最小值1-．【思路点拨】本题考查了二次函数的最值、一次函数的图象、一次函数的性质以及二次函数的图象，解题的关键是：（1）读懂题意，弄清max 的意思；（2）根据max{3x+1，﹣x+1}=﹣x+1，找出关于x 的一元一次不等式；（3）联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出交点坐标．（1）根据max{a ，b}表示a 、b 两数中较大者，即可求出结论；（2）根据max{3x+1，﹣x+1}=﹣x+1，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之即可得出结论；（3）联立两函数解析式成方程组，解之即可求出交点坐标，画出直线y=﹣x+2的图象，观察图形，即可得出max{﹣x+2，x2﹣2x ﹣4}的最小值．【答案】（1）5；3；（2）0x ≤；（3）交点坐标为(2,4)-和(3,1)-；画出直线2y x =-+，如图所示，观察函数图象可知：当3x =时，2max{2,24}x x x -+--取最小值1-．五．解答题（本大题共2个小题，第25小题10分，第26小题12分，共22分）25. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 、C 三点分别为坐标轴上的三个点，且OA =1，OB =3，OC =4．（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系xOy 中是否存在一点P ，使得以A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点M 为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当||PM AM -为最大值时点M 的坐标，并直接写出||PM AM -的最大值．【知识点】二次函数综合题．【数学思想】转化思想，数形结合【解题过程】解：（1）∵OA =1，OB =3，OC =4．∴(1,0)A ，(0,3)B ，(4,0)C -，设抛物线的解析式为：(1)(4)y a x x =-+，把(0,3)代入得：34a =-，34a =-，∴3(1)(4)4y x x =--+， ∴抛物线的解析式为：239344y x x =--+；（2）在平面直角坐标系xOy 中存在一点P ，使得A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为菱形，理由：∵OB =3，OC=4，OA =1， ∴BC =AC =5，当BP =AC 且BP ∥AC 时，四边形ACBP 为菱形， ∴BP =AC =5，且点P 到x 轴距离等于OB ， ∴点P 的坐标为（5，3），如图2，当点P 在第二、三象限时，以A 、B 、C 、P 为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，∴当点P 的坐标为（5，3）时，以A 、B 、C 、P 为顶点的四边形是菱形；（3）设直线P A 的解析式为(0)y kx b k =+≠， ∴点A 的坐标为（1，0）点P 的坐标为（5，3），则053k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：3434k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线P A 的解析式为：3344y x =-，当M 与P 、A 两点不在同一直线上时，根据三角形三边关系的得|PM ﹣AM |＜P A ．当点M 与P 、A 两点在同一直线上时，得|PM ﹣AM |=P A ，∴如图3，当点M 与P 、A 两点在同一直线上时．|PM ﹣AM |的值最大，此时点M 为直线P A 与抛物线的交点，联立 2334439344y x y x x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩解得 1110x y =⎧⎨=⎩，22592x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴当点M 的坐标为(1,0)或9(5,)2--时，|PM ﹣AM |的值最大，最大值是5．【思路点拨】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）当BP =AC 且BP ∥AC 时，四边形ACBP 为菱形，根据BP =AC =5，且点P 到x 轴距离等于OB ，则点P 的坐标为（5，3），且当点P 在第二、三象限时，以A 、B 、C 、P 为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形；（3）求直线P A 的解析式为：y=3344x -，当M 与P 、A 两点不在同一直线上时，根据三角形三边关系的得|PM ﹣AM |＜P A ．当点M 与P 、A 两点在同一直线上时，得|PM ﹣AM|=P A ，则当点M 与P 、A 两点在同一直线上时．|PM ﹣AM |的值最大，此时点M 为直线P A 与抛物线的交点，列方程组解出即可．【答案】（1）239344y x x =--+；（2）存在，P 的坐标为（5，3）；（3）当点M 的坐标为(1,0)或9(5,)2--时，|PM ﹣AM |的值最大，最大值是5．26．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数2333322y x x =-的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为点D ，连接AD 交y 轴于点E ．（1）求直线AD 的解析式；（2）如图2，将直线AD 向右平移，与线段AB 交于点G ，与x 轴下方的抛物线交于点F ，连接AF 、BF ，当平移到使S △F AG ：S △FGB =3：5时，求点F 的坐标．再将△AFG 绕点A 顺时针旋转60°得到△AF′G′，求此时点F′的坐标与△FGF′的面积．（3）如图3，平移抛物线，使抛物线的顶点D 在射线DA 上移动，若抛物线的对称轴始终在y 轴的左侧时，点D 平移后的对应点为D′，平移后的抛物线与y 轴的交点为点P ，△D′EP 是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不能，请说明理由．【知识点】二次函数综合题【数学思想】转化思想，数形结合,分类讨论思想. 【解题过程】解：（1）对于抛物线23333y x -，令y=0233330x =，解得1x =-或3，∴(1,0)A -，(3,0)B ， ∵22333331)23y x x =--∴顶点(1,23)D -，设直线AD 的解析式为y kx b =+，则有023k b k b -+=⎧⎪⎨+=-⎪⎩33k b ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，∴直线AD 的解析式为33y x =-（2）如图2中，由（1）可知(0,3)E -，1OA =，3OE =在AOE Rt ∆中，2AE =，∴30OEA ∠=︒， ∴∠OAE =∠BGF =60°，∴∠AGF =120°∵将△AFG 绕点A 顺时针旋转60°得到△AF′G′， ∴△AFF ′是等边三角形，且AF ′⊥x 轴于A ，∴G′在直线AD上，△AGG′是等边三角形，∴∠AG′G=60°，∵∠AGF=∠AG′F′=120°∴G、G′、F共线，∴GF′=GG′+F′G′=AG+GF，∵S△F AG：S△FGB=3:5，AB=4，∴33482AG+⨯=，∴12OG AG OA=-=，∴1(,0)2G，∵FG∥AD，∴直线FG的解析式为33y x=-+，由233333322y xy x x⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩解得233xy=⎧⎪⎨-=⎪⎩或253xy=-⎧⎪⎨=⎪⎩，∴点F坐标33(2,)-，∴32AG=，FG=3，∴F'G=AG+FG=92，∴A F'=AF=33,∴点F'坐标为（74-,93-）作FH⊥GF′于H，在Rt△GFH中，∵∠FGH=60°，∴FH =33，∴S△FGF′= 12F′G•FH= 193327322⨯⨯=．（3）存在．如图3中，设(,33)D m m'-，则平移后的抛物线的解析式为222333)33333y x m m x mx m-=+∴2P -，∵(0,E ，∴22PE =-，2ED m '=-，①当ED′=PE 时，22m -=，解得2m =0舍弃），此时4)P ．②当D′P =D′E 时， PE E '=，2=-，解得2m =-（0舍弃），此时P ， ③观察图象可知，不存在PD′=EP 这种情形．综上所述，满足条件的点P 坐标为4)或．【思路点拨】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、锐角三角函数、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，第二个问题的突破点是证明GF′=AG +GF ，学会用分类讨论的思想思考问题.（1）求出A 、D 两点坐标，利用待定系数法即可解决问题．（2）首先求出直线GF 的解析式，然后利用方程组求交点F 的坐标，再证明GF′=AG +FG ，作FH ⊥GF′于H ，根据S △FGF′=12F′G •FH 计算即可．（3）设D′（m ，则平移后的抛物线的解析式为y=2（x﹣m ）2﹣﹣2x 2m x+2m 2P （0，2m 2m ﹣，∵E （0，推出PE m 2m ，ED′=﹣2m ，分三种情形讨论即可．【答案】（1）y =；（2）F (2,，F '（74-,），S △FGF′；（3）能，满足条件的点P 坐标为4)或．。