五年级数学培优班讲义5--长方体和正方体的体积

授课教师：苏建明上课时间：学生签名：_________ 家长签字
第五讲：正方体与长方体的体积
【专题知识点概述】
1、长方体正方体体积
长方体体积=长×宽×高=底面积×高V长=abh或V长=Sh
正方体体积=棱长×棱长×棱长V正=a3或V正=Sh
在解较复杂的组合图形（长方体或者正方体）的体积（容积）题目时，首先要看清题意，所求形体是
由哪些形体组成，再灵活运用体积（容积）公式来解答。

【典型例题】
【例1】凯欣家里有一个长方体形状的鱼缸，长4分米，宽3分米，里面只注入了2分米深的水。

一天爸爸买回了一块假山，当凯欣把假山放入金鱼缸后（假山全部浸入水中），水面立即上升了6厘米，你知道这块假山的体积是多少？
解题思路鱼缸中放入假山后水面上升，说明假山在鱼缸中挤占了水的得空间，可知上升部分水的体积就
等于假山的体积。

解：4×3×0.6=7.2（立分分米）
答：这块假山的体积是7.2立分分米
巩固训练 1
1、一个正方体玻璃鱼缸长2分米，向鱼缸内倒入5升水，再把一块石头放入水中，石头完全被水浸没，这
时量得鱼缸内水深15厘米，问放入的石头体积是多少立方厘米？
2、小红想测量一个铁球的体积，于是把它放进一个地面长20厘米，宽15厘米的长方体容器中，铁球完全被水埋没，水面上升了4厘米，铁球的体积是多少立方厘米？
3、兰兰想测一个石块的体积，将石块放入棱长是8厘米的一个正方体玻璃容器内，向容器中倒入水，将石块完全埋没，测得水深6厘米，然后将石块从水中取出，测得水深3厘米，你能帮助兰兰算出这个石块的
体积是多少吗？
【例2】如右图，从长为13厘米，宽为9厘米的正方形硬纸板的四角剪掉边长为3厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体无盖纸盒，这个纸盒的体积是多少？
解题思路由图可知，长方体底面的长为：13-3×2=(7厘米）
长方体底面宽为9-3×2=3（厘米）
长方体的高为3厘米
所以长方体体积为：V=7×3×3=63(立方厘米）
解：V=(13-3×2)×(9-3×2)×3=63(立方厘米）
答：这个纸盒的体积是63立方厘米。

巩固训练 2
1、如图所示，从长为20厘米，宽为10厘米的长方形硬纸板的四角剪掉
边长为2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体无盖纸盒，这个纸盒的
体积是多少？
2、一个长方形的铁皮，从四个角上各剪去一个同样大小的正方形，然后通过折叠、焊接，做成一个无盖的长方体铁盒，已知长方体铁盒的长是8分米，宽是6分米，高是3分米，这块长方形铁皮的面积是多少平
方米？
【例3】一个长方体木块，从上部和下部分别截去高为4厘米和3厘米的长方体后（如右图)，便成为一个正方体，表面积减少了140平方厘米，原长方体的体积是多少立方厘米？
解题思路由题意可知，表面积减少140平方厘米，这140平方厘米就是截去高为（4+3）厘米、底面为正方形的长方体的侧面积。

由侧面积=底面积×高，可求出正方体的底面周长，由此，可求出正方体的棱长，从来求出原长方体的体积。

解：140÷（4+3）=20（厘米）……正方体底面周长
20÷4=5（厘米)……正方体棱长
5×5×（5+4+3）=300(立方厘米)
答：原长方体的体积是300立方厘米。

巩固训练 3
1、一个正方体的高增加3厘米，得到的长方体的表面积比原来正方体的表面积增加了60平方
厘米，求原正方体的体积是多少？
【例4】如图，在一个棱长为4厘米的正方体中，沿着上下方向，前后方向，左右方向挖穿，各挖出一个
小长方体A,B,C.剩下部分的体积是多少立方厘米？
解题思路：由于剩下的部分是不规则的形体，很难直接求出体积，我们可以换个角度考虑，先求出挖
出部分的体积，再从正方体的体积里减去挖出部分的体积，从而得到剩下部分的体积。

解：A和B共挖出的体积：1×4×2×2=16(立方厘米)，
挖出时C与A、B各有2个体积是1立方厘米的小正方体交叉重
复，只挖出：1×4×2-2×2=4，
一共挖出的体积：16+4=4（立方厘米）
剩下部分的体积：4×4×4-20=44（立方厘米）
答：剩下部分的体积是44立方厘米。

巩固训练 4
1、有一个长5厘米，宽4厘米，高3厘米的木块，在每个面的中心位置都有
一个直穿对面的洞，洞口是边长为1厘米的正方形，求出这个长方体木块的
体积和表面积分别是多少？
2、有一个长10厘米，宽8厘米，高6厘米的长方体木块，在左右两个面的中心位置挖出了一个直穿对面
的洞口，洞口是边长为1分米的正方形。

这个木块的体积和表面积分别是多少？
【例5】把两块棱长分别为6分米和8分米的正方体铁块，熔铸成一块长方体铁块，它的横截面是边长为
4分米的正方形，这个长方体铁块长多少分米？
解题思路：在铁块熔铸的过程中，铁块的形状，表面积等发生了改变，但铁块的总体积保持不变，因
此我们可以先求出原来两块铁块体积之和，即6×6×6+8×8×8×8=728（立方分米），这也是熔铸后长方体铁块的体积，要求出他的长，只要用体积除以横截面积即可。

解：6×6×6+8×8×8×8÷(4×4)=45.5(分米）
答：这个长方体铁块长45.5分米。

巩固训练 5
1、把一个棱长10分米的正方体铁块熔铸成一个横截面是25平方分米的长方体铁块，这个铁块的长是多少？
2、将150方水倒入一个长10米，宽8米，深 1.5米的水池中，水池中水深多少米？
3、有甲乙两个玻璃容器，甲容器长8分米，宽6分米，里面装满5分米高的水，乙容器的长是12分米，宽是5分米，高是10分米，将甲容器中的水倒入乙容器中，水面距离容器口多少分米？
【例6】有384立方厘米的水倒入甲、乙两个长方体玻璃容器中，已知甲长方体玻璃容器的长是10厘米，宽是8厘米，高是6厘米，乙容器的长是8厘米，宽是6厘米，高是5厘米，要使两个容器中的水面同样
高，这个高是多少厘米？
解题思路：题中告诉我们两个容器，可以分别求出两个容器的底面积，因为两个容积的水面同样高，我们
可以将两个容器看做一个整体，看做一个容器，这个容器的底面积就是甲、乙两个容器底面积之和。

用水
的体积除以两个容器底面积之和，就是两个容器中水得高度。

解：甲容器底面积：10×8=80（平方厘米）乙容器底面积=8×6=48（平方厘米）
两个容器底面积之和：80+48=128（平方厘米）
两容器中水面高度：384÷128=（3厘米）
答：这两个容器中水面高是3厘米。

巩固训练 6
1、甲长方体容器厂8厘米，宽5厘米，高7厘米，乙长方体容器长10厘米，宽6厘米，高8厘米。

现在甲容器空着，乙容器中水深6厘米，把乙容器中的一部分水倒入甲容器中，使两个容器中水面一样高，这
时两个容器中水深多少厘米？
2、甲、乙两个棱长分别为8厘米和6厘米的正方体水箱，其中甲水箱内水深3厘米，乙水箱内水深2厘米。

现将126毫升水倒入两个水箱，使得两水箱内水深相等，求两个水箱内水面各上升多少厘米？
课后强化训练
1、一个长方体底面是正方形，高12厘米，侧面展开正好是一个正方形。

求出这个长方体的体积。

2、如图，将一个长方体平均截成3段，每段长2米，表面积增加了16平方米，求原长方体的体积是多少立方米？
3、一段钢材厂15分米，横截面面积是 1.2平方分米。

如果把它煅烧成一根横截面面积是0.2平方分米的长方体钢筋，这根钢筋的长是多少分米？
4、有一个长方体水箱，从里面量，长40厘米，宽27厘米，深35厘米，箱内水深20厘米，把一个棱长为12厘米的正方体铁块浸入水中，现在水面高多少厘米？
5、一个边长为2厘米的正方体体积增加208立方厘米后，仍是正方体，则边长增加了多少厘米？
6、一个长方体的底面，左面和前面的面积分别是12平方厘米，8平方厘米和6平方厘米。

那么它的体积是多少？
7、一个5×5×5的立方体，沿上下方向开有1×1×5的孔，沿左右方向开有2×1×5的孔，沿前后方向开有3×1×5的孔，那么剩余部分的体积是多少？
8、有一个长方形铁皮，长40厘米，宽30厘米。

在这块铁皮的左、右两角各剪下一个边长为10厘米的小正方形，然后焊接在下面，再通过折叠、焊接成一个无盖的长方体盒子。

求这个盒子的容积是多少？
9、有一个长方体，它的底是一个正方形，它的表面积是190平方厘米，如果将它分成两个长方体，则表面
总和是240平方厘米，求原长方体的体积。

10、如图所示，有一块长方形土地，甲处比乙处高50厘米，现在要把这块地铲平，要从甲地取走多少厘米
厚的土填在乙处？
11、将80L水倒入长1米，宽4分米、高3分米的鱼缸内，水面离鱼缸有多少分米？
12、有一个长方体，体积是576立方厘米，高是9厘米，底面是一个正方形，这个长方体的底面周长是多
少厘米？。