点三次Hermite插值多项式
数值分析误差限的计算公式
数值分析误差限的计算公式1、误差x∗为 x 一个近似值绝对误差：e∗=x∗−x相对误差：e∗r=e∗x=x∗−xx，由于真值 x 总是不知道的，通常取e∗r=e∗x∗=x∗−xx∗误差限：|x∗−x|≤ε∗相对误差限：ε∗r=ε∗|x∗|ε(f(x∗))≈|f′(x∗)|ε(x∗)2、插值法记ωn+1(x)=(x−x0)(x−x1)⋯(x−xn)Lagrange 插值多项式系数：lk(xk)=(x−x0)⋯(x−xk−1)(x−xk+1)⋯(x−xn)(xk−x0)⋯(xk−xk−1)(x −xk+1)⋯(x−xn)Lagrange 插值多项式：Ln(x)=∑k=0nlk(x)yk=∑k=0nykωn+1(x)ω′n+1(xk)(x−xk) 余项：记 Mn+1=maxa≤x≤b|fn+1(x)|R(x)=fn+1(ξ)ωn+1(x)(n+1)!≤Mn+1(n+1)!|ωn+1(x)|均差与 NewTon 插值多项式一阶均差：f[x0,xk]=f(xk)−f(x0)xk−x0k 阶均差：f[x0,x1,⋯,xk]=f[x0,⋯,xk−2,xk]−f[x0,⋯,xk−2,xk−1]xk−xk−1f[x0,x1,⋯,xn]=f(n)(ξ)n!(x0,x1,⋯,xn,ξ∈[a,b])f[x0,x1,⋯,xk]=∑j=0kf(xj)ω′k+1(xj)NewTon 插值多项式：Pn(x)=f(x0)+f[x0,x1](x−x0)+f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)+⋯+f[x0,x1,⋯,xn](x−x0)(x−x1)⋯(x−xn−1)余项：R(x)=f[x0,x1,⋯,xn]ωn+1(x)Hermite 插值Taylor 多项式：Pn(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n余项：R(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1若已知 f(x0),f′(x1),f(x1),f(x2)：P(x)=f(x0)+f[x0,x1](x−x0)+f[x0,x1,x2](x−x0)(x−x1)+A(x−x0)(x−x1)(x−x2)其中 A 由 P′(x1)=f′(x1) 可得余项：R(x)=14!f(4)(ξ)(x−x0)(x−x1)2(x−x2)两点三次 Hermite 插值多项式：H3(x)=αk(x)yk+αk+1(x)yk+1+βk(x)mk+βk+1(x)mk+1其中 mk=f′(xk),mk+1=f′(xk+1)⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧αk(x)=(1+2x−xkxk+1−xk)(x−xk+1xk−xk+1)2αk+1(x)=(1+2x−xk+1xk−xk+1)(x−xkxk+1−xk)2⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧βk(x)=(x−xk)(x−xk+1xk−xk+1)2βk+1(x)=(x−xk+1)(x−xkxk+1−xk)2余项：R(x)=f(4)(ξ)4!(x−xk)2(x−xk+1)2分段低次插值h=b−an对每个小区间使用对应插值公式求 Ih(x)余项对分段线性插值函数：maxa≤x≤b|f(x)−Ih(x)|≤M28h2对分段三次埃尔米特插值：maxa≤x≤b|f(x)−Ih(x)|≤M4384h43、数值积分代数精度定义：如果某个求积公式对于次数不超过 m 的多项式均能够准确成立，但对于 m+1 次多项式就不准确成立，则称该公式具有 m 次代数精度梯形公式公式与中矩形公式梯形公式：∫baf(x)dx≈b−a2f(a)+b−a2f(b)余项：R[f]=−(b−a)312f′′(η)(η∈(a,b))矩形公式：∫baf(x)dx≈(b−a)f(a+b2)余项：R[f]=(b−a)324f′′(η)(η∈(a,b))Newton-Cotes 公式将积分区间 [a,b] 分成 n 等分Simpson 公式（n=2）：∫baf(x)dx≈b−a6f(a)+b−a6f(b)+2(b−a)3f(a+b2)余项：R[f]=−(b−a)5180∗24f(4)(η)(η∈(a,b))Cotes 公式（n=4）：C=b−a90[7f(x0)+32f(x1)+12f(x2)+32f(x3)+7f(x4)]余项：R[f]=−2(b−a)7945∗46f(6)(η)(η∈(a,b))复合求积公式积分区间 [a,b] 分成 n 等分，步长 h=b−an复合梯形公式：Tn=h2[f(a)+2∑k=0n−1f(xk)+f(b)]余项：Rn(f)=−b−a12h2f′′(η)复合 Simpson 求积公式：Sn=h6[f(a)+2∑k=0n−1f(xk)+4∑k=1n−2f(x(k+1)/2)+f(b)] 其中 x(k+1)/2=xk+h2Rn(f)=−b−a180(h2)4f(4)(η)龙贝格求积算法T(0)0=h2[f(a)+f(b)]求梯形值 T0(b−a2k)，利用递推公式求 T(k)0，递推公式：T2n=12Tn+h2∑k=0n−1f(xk+12)求加速值：T(k)m=4m4m−1Tk+1m−1−14m−1T(k)m−1k=1,2,⋯高斯-勒让德求积公式积分区间为 [−1,1]∫1−1f(x)dx≈∑k=0nAkf(xk)余项：n=1 时，R1[f]=1135f(4)(η)4、解线性方程组的直接方法列主元高斯消去法在每次消元时，选取列主元在最前面，列主元为该列最大值矩阵三角分解法如果 n 阶矩阵 A 的各阶顺序主子式 Dk(k=1,2,⋯,n−1) 均不为零，则必有单位下三角矩阵 L 和上三角矩阵 U，使得 A=LU，并且 L 和 U 是唯一的。
5.4埃尔米特(Hermite)插值
H3(xi) = yi
H´3(xi) = y´i x
(i=0,1,2)
1 1
0 0 0
1 1
y ( x) y f ( x )
解
所求三次Hermite的插值多项式为
H 3 ( x ) a0 a1 x a2 x 2 a3 x 3
i( x j ) 0 i ( x j ) 0
(i, j =0,1,2, …,n)
Hermite插值多项式可写成插值基函数表示的形式
H 2 n1 ( x ) i ( x ) f ( xi ) i ( x ) f ( xi )
i 0
n
计算方法
验证：
H 2n1 ( x j ) i ( x j ) f ( xi ) i ( x j ) f ( xi ) ij f ( xi ) 0 f ( x j )
n
计算方法
H2n+1(x)为满足条件
H ( xi ) f ( xi ),
H ( xi ) f ( xi )
( i 0,1, , n)
的2n+1次Hermite插值多项式。
计算方法
定理
满足插值条件
H ( xi ) f ( xi ) ( i 0,1, , n)
H ( xi ) f ( xi ),
其中
( x ) ( x x0 )( x x1 )( x xn )
(a, b)
定理的证明可仿照Lagrange插值余项的证明方法
实际中使用最广泛的是三次Hermite插值多项式,即 n=1的情况
计算方法
H 3 ( x ) j ( x ) f ( x j ) j ( x ) f ( x j )
分段三次hermite函数
分段三次hermite函数
分段三次 Hermite 函数是一种用于插值数据、拟合数据以及数值微分的函数。
它的特点是可以通过选择足够的基函数来适应各种不同的非线性函数。
本文将深入探讨分段三次 Hermite 函数的定义、应用和优点。
一、定义
分段三次 Hermite 函数是一种三次多项式函数。
它由基函数和插值条件构成。
1. 基函数
1）常数项
2）线性项
3）二次项
这些基函数可以用于构建分段三次 Hermite 函数，使其适应不同的非线性函数。
2. 插值条件
1）值的匹配条件
二、应用
分段三次 Hermite 函数广泛应用于数值微分、插值和拟合。
下面将分别介绍这些应用。
分段三次 Hermite 函数可以用于插值数据。
通过确定插值条件，可以得到一个分段三次 Hermite 函数，使其在给定数据点处与目标函数匹配。
这种方法常常用于构建数值框架，如数值微分和数值积分。
3. 拟合
三、优点
1. 精确度高
2. 稳定性高
分段三次 Hermite 函数具有优良的稳定性。
它可以处理大量的数据，而不会出现精度问题或数值不稳定性。
3. 方便性高
4. 可扩展性高
分段三次 Hermite 函数具有非常强的可扩展性。
它可以扩展到高维空间，适应各种不同的数据类型，从而得到非常精确的结果。
在第一个插值点上的hermite三点插指公式
在第一个插值点上的hermite三点插
指公式
在第一个插值点上的hermite三点插指公式
Hermite三点插值法是一种采用三个插值点来求解函数f(x)在给定范围内的曲
线图的插值算法，通常是用来拟合y=f(x)在离散中提供的三个点的插值函数，在
第一个插值点的提出的这种特定的三点插值模型，即对第一个插值点位置
(x0,f(x0))，其中x0为插值点位置，f(x0)为其处的函数值，用的三点模型可写为：
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+[f''(x0)/2](x-x0)^2
即，把第一个插值点位置(x0,f(x0))处的点代入，可以得到其相应的函数拟合
多项式，当然，并不是每一个函数拟合多项式都能满足实际需求，这就需要注意函数拟合多项式的拟合度，可以在参数估计和函数估计的时候，使用一定的误差来估计函数值，从而获得函数拟合度较好的模型。
此外，在使用Hermite三点插值法时，需要注意三个点之间的位置关系，三个
点位于x0，x1，x2等位置，在确定每个点的位置时应该考虑到它们之间的距离，
一般来说，三个点之间的间距应保持一定，以使插值函数尽可能精确的反映函数的实际变化。
因此，要使得Hermite三点插值法能取得较好的效果，在确定三个插值点的位
置的时候要综合考虑它们之间的位置关系，以及在第一个插值点的估计时要注意拟合度，这样就能很好的进行三点插值，从而得到准确的结果。
分段三次Hermite插值及其与三次样条的比较
分段三次Hermite插值及其与三次样条的⽐较分段三次 Hermite 插值多项式 (PCHIP)语法p = pchip(x,y,xq)pp = pchip(x,y)说明= pchip(,,)返回与xq中的查询点对应的插值p的向量。
p的值由x和y的保形分段三次插值确定。
= pchip(,)返回⼀个分段多项式结构体以⽤于ppval和样条实⽤⼯具unmkpp。
例1使⽤spline和pchip插⼊数据将spline和pchip为两个不同函数⽣成的插值结果进⾏⽐较。
创建由x值、点y处的函数值以及查询点xq组成的向量。
使⽤spline和pchip计算查询点处的插值。
绘制查询点处的插值函数值以进⾏⽐较。
clc;clear;x = -3:3; %插值点x坐标y = [-1 -1 -1 0 1 1 1]; %插值点y坐标xq1 = -3:.01:3; %查询点p = pchip(x,y,xq1); %返回查询点的y坐标s = spline(x,y,xq1); %返回查询点的y坐标plot(x,y,'o',xq1,p,'-',xq1,s,'-.')legend('Sample Points','pchip','spline','Location','SouthEast')注：蓝⾊圆圈是被插值样本点。
可以看到：样条曲线（其实也是分段多项式）在两边有轻微震荡现象，但更加光滑，因为它要求在插值点处插值函数连续，插值函数⼀阶导连续，插值函数⼆阶导连续，⽽三次分段Hermite插值函数则⽐价稳定，但不如样条标线的那样光滑，因为它只要求在插值点处插值函数连续，插值函数的⼀阶导连续。
例2x = -5:5;y = [11110012222];p = pchip(x,y);xq = -5:0.2:5;pp = ppval(p,xq); %返回插值函数的查询点处的y坐标plot(x,y,'o',xq,pp,'-.')ylim([-0.22.2])例3x = -5:5;y = [11110012222];p = pchip(x,y);s = spline(x,y);xq = -5:0.1:5;pp = ppval(p,xq); %返回插值函数的查询点处的y坐标ss = ppval(s,xq); %返回插值函数的查询点处的y坐标figure(1);hold on;plot(x,y,'o',xq,pp,'-.',xq,ss,'b-')ylim([-0.22.2])figure(1);hold on ;legend('Sample Points','分段三次Hermite','分段三次样条','Location','SouthEast')PCHIP是分段三次hermit插值，但书中的该⽅法必须知道点的值和导数值，为什么PCHIP的变量只有函数值⽽没有导数值？在⽤pchip插值的过程中，matlab会基于所给的函数值来帮你估算各导数值。
5.4 三次Hermite插值
其中a，b为待定系数。
1 . 由 0 ( x0 ) 1, 可得 a 2 ( x0 x1 ) 2 . ( x0 ) 0, 可得 b 由 0 3 ( x0 x1 )
将a，b代入得
x x0 x x1 0 ( x) 1 2 x1 x0 x0 x1
2
三次Hermite插值多项式 H3 ( x) 的表达式为
H3 ( x) y00 ( x) y11( x) m00 ( x) m11( x)
可以证明，其余项为
f (4) ( ) R3 ( x ) f ( x ) H 3 ( x ) ( x x0 ) 2 ( x x1 ) 2 , 4! 其中 介于 x0 , x1 之间。
0 0
1 ( x)
0
x x0 x x1 0 ( x) 1 2 x1 x0 x0 x1
2
类似地，将 x0 , x1 互换，可得
x x1 x x0 1 ( x ) 1 2 x x x x 0 1 1 0
1
0 0 0
0 0
1 ( x)
0
P ( xi ) f ( xi ) f i P ( xi ) f ( xi ) f , i 0,1, ,n
P( x)可以是最高次数为 2n 1次的多项式
两个节点就可以用 2 1 1 3次多项式作为插值函数
(2) 同样, 若要求P( x)在[a, b]上具有m阶导数(m阶光滑度 ) 即P( x)在节点 x0 , x1 ,, xn处必须满足
并给出余项公式。
( x1 ) m1, (i 0,1,2), H3 ( xi ) yi , H3 H3 ( x) y00 ( x) y11( x) y22 ( x) m11( x)
三次Hermite插值
04 实例分析
CHAPTER
实例一：已知数据点的插值
总结词
利用已知数据点进行插值，可三次Hermite插值方法，利用已知的数据点来估计未知点的值。这 种方法能够更好地处理数据点的变化，并提高插值的精度。
CHAPTER
插值多项式的构造
定义
Hermite插值法是一种通过已知的离散数据点来构造一个多 项式，使其能够准确地经过这些数据点，并尽可能地平滑地 连接这些点的方法。
构造方法
Hermite插值多项式由两个部分组成，一个是线性函数，另 一个是二次函数。线性函数部分用于确保插值多项式能够准 确地经过数据点，而二次函数部分则用于保证插值多项式的 平滑性。
实例二：未知数据点的插值
总结词
在未知数据点的情况下，可以通过三次 Hermite插值方法，预测并估计未知点的值。
详细描述
在数据点未知的情况下，可以利用三次 Hermite插值方法，根据已知的数据点来预 测和估计未知点的值。这种方法能够为后续 的数据分析和处理提供重要的参考依据。
实例三：复杂函数的插值
三次Hermite插值能够提供高精度的插值结果，特别是在处理
复杂函数时。
稳定性好
02
该方法在处理大数据集时表现出良好的稳定性，不易受到噪声
和异常值的影响。
易于实现
03
三次Hermite插值的算法相对简单，易于在计算机上实现和优
化。
三次Hermite插值的局限性
对初始数据敏感
三次Hermite插值的结果对初始数据的选择 较为敏感，不同的初始数据可能导致不同的 插值结果。
hermite三点插指公式的插值基法
hermite三点插指公式的插值基法hermite三点插入法的插值基法概述Hermite三点插入法是一种常用的插值方法，它使用三点来构造插值变换，这三点的x坐标满足X_0 <= X_1 < X_2，插值变换的控制点是(X_0,Y_0)、(X_1,Y_1)和(X_2,Y_2)，而且这三点之间的平均斜率值也是已知的。
根据这三点的信息，可以构造出插值变换的具体形式，从而可以用于插值计算。
原理Hermite三点插入法实际上是基于Hermite多项式插值的，要构造出插值变换的具体形式，需要同时考虑到给定的两个控制点和满足Hermite多项式条件的两个切线斜率，具体构造的步骤如下：1）首先，建立插值函数：F(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)(x-x_1)+a_3(x-x_0)(x-x_1)(x-x _2)2）确定a_0,a_1,a_2,a_3的值，这是满足Hermite多项式条件的比较核心的步骤，有4个未知量，3个方程：F(x_0)=y_0 , F(x_1)=y_1 , F(x_2)=y_2另外两个方程是：F'(x_0)=(y_1-y_0)/(x_1-x_0) ,F'(x_2)=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)3）使用求解某个系数的公式进行求解，求得四个系数：a_0=y_0a_1=(y_1-y_0)/(x_1-x_0)-(x_2-x_0)(y_2-y_0)/(x_2-x_1)(x_1-x_ 0)a_2=(x_2-x_1)(y_2-y_0)/(x_2-x_1)(x_1-x_0)a_3=(x_2-x_1)(x_2-x_0)(y_2-y_1)/(x_2-x_1)(x_1-x_0) 应用Hermite三点插入法可以用于插值计算，在计算机图形学中它也是一种常用的绘图方法。
一般来说，它可以用于函数图像的渲染、曲线的插值、多维函数的插值等方面。
它可以提高函数图像的平滑度，使图像看起来更加美观，还可以减少绘图的复杂度，在某些情况下可以提高绘图效率。
代码实现 分段三次 hermite 插值多项式
代码实现分段三次 hermite 插值多项式以下是 Python 代码实现分段三次 Hermite 插值多项式：```python。
import numpy as np。
def hermite_interpolation(x, y, dy):。
"""。
分段三次 Hermite 插值多项式。
:param x: 自变量数组。
:param y: 因变量数组。
:param dy: 导数数组。
:return: 插值函数。
"""。
n = len(x) - 1。
h=x[1:]-x[:-1]#计算每个区间的步长。
a=y[:-1]#a[i]表示第i个节点的函数值。
b = dy[:-1] # b[i] 表示第 i 个节点的导数值。
c = (3 * (y[1:] - y[:-1]) / h - 2 * dy[:-1] - dy[1:]) / h # 计算 c[i]。
d = (2 * (y[:-1] - y[1:]) + dy[:-1] + dy[1:]) / h ** 2 # 计算 d[i]。
def f(x0):。
#找到x0属于哪个区间。
i = np.searchsorted(x, x0) - 1。
#判断x0是否在所求区间内。
if i < 0 or i >= n:。
raise ValueError("x0 不在所求区间内")。
t=(x0-x[i])/h[i]。
# 分段 Hermite 插值多项式。
p=(1+2*t)*((1-t)*a[i]+t*a[i+1])+t*(t-1)*h[i]*c[i]。
p=p+t*(t-1)**2*h[i]**2*d[i]#注意加括号。
return p。
return f。
```。
代码中用到了 NumPy 库中的 `searchsorted` 函数，它可以用来找到一个数在一个有序数组中的位置。
具体使用方法可以参考其官方文档。
Hermite插值多项式
1 例：在[5, 5]上考察 f ( x ) 1 x2 xi 5 10 i (i 0, ... , n) n
2.5 2
的 Ln(x)。取
1.5
n=10
1
0.5
n=2
n=5
0
n 越大， 端点附近抖动 越大
3 4 5
- 0.5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
事实上已被证明：对于 n 的高阶插值 公式 Ln ( x )只有当 x 3.63时才有 Ln ( x ) f ( x ).
( xi ) yi i 0,1 H3 ( xi ) yi , H3
则可选择基函数
0 ( x),1 ( x), 0 ( x), 1 ( x)
使它们都是次数不超过3的多项式 ,且满足如下条件: 0 ( x0 ) 1 1 ( x0 ) 0 0 ( x0 ) 0 1 ( x0 ) 0 ( x ) 0 ( x ) 1 (x ) 0 (x ) 0 1 1 0 1 0 1 1 1 ( x ) 0 ( x ) 1 ( x ) 0 1 0 0 0 1( x0 ) 0 0 0 1( x1 ) 0 ( x1 ) 0 ( x ) 0 1( x1 ) 1 0 0 1
所谓分段插值，就是将被插值函数逐段多项式 化。一般来说，分段插值方法的处理过程分两步， 先将所考察的区间作一分划 ：a x0 x1 xn b
并在每个 xi , xi1 子区间上构造插值多项式，然后 把它们装配在一起，作为整个区间 a, b 上的插值 函数。
2点三次Hermite插值多项式.
三次Hermite插值多项式的余项
定理 设 f(x) 在包含x0, x1的区间 [a, b]内存 在四阶导数，则对任意x[a,b] ，总存在一
个(a, b)（依赖于x）使
R3( x) f ( x) H3( x)
f
(4) (
4!
)
(
x
x0
)2
(
x
x1
)2
9
证明: 由插值条件知
3 2
2B
0
P4(1)
1 2
(A
B)
1
解得A=1/4, B=-3/4
故
P4
(x)
1 2
x2
Hale Waihona Puke 3 2x
1 4
(x
3)x(x
1)(x
2)
1 4
x2
(x
3)2
第五节 分段低次多项式插值
一.高次插值的龙格 (Runge)现象
从插值余项角度分析
Rn1( x)
1 0
1(x1) 0
0 (x0 ) 0
0 0
( (
x1 ) x0 )
0 1
0 (x1) 0
1(x0 ) 0
1 ( x1 1( x0
) )
0 0
1(x1) 1
3
两点三次Hermit插值（续2）
其中 0 (x),1(x), 0 (x), 1(x)
都是次数为3的多项式
令H3(x) y00 (x) y11(x) y00 (x) y11(x)
第五章习题解答与问题
9．设
f (x)
=
1 1+ x2
，在-5≤x≤5 上取
n = 10，按等距结点求分段线性插值函数Ih(x)，
计算各结点间中点处的Ih(x)和f(x) 的值，并估计误差。 解：因为 f(xk) = 1/(1+ k2)，(k = -5，…，-1，0，1，…，5)分段线性插值函数为
∑ I h
( x)
=
5
lk
y2 y2
− −
y) y1 )
u1
+
(x (x2
− −
x1 )( y2 x1 )( y2
− −
y) y1 )
u2
+
(x (x2
− −
x1 )( y − y1 ) x1 )( y2 − y1 )
u3
+
( x2 − x)( ( x2 − x1 )(
y2 y2
− −
y) y1 )
u4
二、例题
1． 在代数插值问题中，x0，x1，……，xn是(n+1)个互异的插值结点，由这(n+1)个结点构
F (t) = f (t) − H (t) − C ( x)(t − xk )2 (t − xk+1 )2
显然，F(t)有三个零点xk, x, xk+1,由Roll定理知,存在F’(t)的两个零点t0,t1 满足xk<t0<t1<xk+1,
而xk和xk+1 也是F’(x)的零点,故F’(x)至少有四个相异零点. 反复应用Roll定理,得F(4)(t)至少
∑ P( x) = n Aj
ω(x) j=0 x − x j
5． 设x0，x1，……，xn是(n+1)个互异的插值结点，ω(x) = (x – x0) (x – x1)……(x – xn)， 试证明n阶差商的函数值表达式
计算方法 1.3 Hermite插值
n个插值节点xk , k 0,1,, n, k j是插值基函数Aj (x)的二重 零点, 而x j不是Aj (x)的零点，然而基函数Aj (x)是2n 1次多项 式。故我们可以假设
Aj ( x) D j (ax b)( x x0 )2 ( x x j1 )2 ( x x j1 )2 ( x xn )2
而第二个方程用于确定与导数值相关的条件，因此，有
Bj ( xk ) 0, k 0,1,, n, j k; Bj ( xk ) 1, j k
函数值
导数值
x0 x1 ... xn-1 xn x0 x1 … xn-1 xn
A0(x) A1(x) …
10 01 ……
An-1(x) 0 0
再构造 Aj ( x) ： 由于第一个方程用于确定与函数值相关的条件，因此，有
Aj ( xk ) 0, k 0,1,, n, 且k j; Aj ( xk ) 1, k j.
而第二个方程用于确定与导数值相关的条件，因此，有
Aj ( xk ) 0, k 0,1,, n.
j0
j0
其中插值基函数 Aj ( x) ，B j ( x) 都是 2n 1 次式。由于 插值问题的解存在唯一性定理，有
H 2n1 ( xk
)
n
Aj ( xk ) y j Ak ( xk ) yk
n
B j ( xk ) yj
j0 jk
j0
n
n
H
背景：Lagrange插值和Newton插值虽然构造比较简单， 但插值曲线只是在节点处与原函数吻合（但不一定光滑）， 若还要求在节点处二者相切，即导数值相等，使之与被插 函数的“密切”程度更好，这就要用到带导数的插值。
两点三次hermite插值c++程序例题
两点三次hermite插值c++程序例题两点三次Hermite插值是一种数值分析方法，用于在给定的数据点之间估计函数值。
这种方法基于多项式插值，并使用导数信息来提高插值的准确性。
以下是一个C++程序，实现了两点三次Hermite插值：cpp#include <iostream>#include <vector>// 定义一个结构体，用于存储数据点和它们的导数struct Point {double x;double y;double dy;};// 计算两点之间的差值double difference(double a, double b) {return a - b;}// 计算两点之间的差值的平方double squareDifference(double a, double b) {return difference(a, b) * difference(a, b);}// 计算两点之间的差值的立方double cubeDifference(double a, double b) {return squareDifference(a, b) * difference(a, b);}// 两点三次Hermite插值函数double hermiteInterpolation(const std::vector<Point>& points, double x) {double result = 0.0;for (size_t i = 0; i < points.size(); ++i) {double term = points[i].y;double prod = 1.0;for (size_t j = 0; j < points.size(); ++j) {if (i != j) {double weight = cubeDifference(x, points[j].x) / (squareDifference(points[i].x, points[j].x) *squareDifference(x, points[i].x));prod *= weight;}}result += term * prod;}return result;}int main() {std::vector<Point> points = {{1.0, 2.0, 3.0},{2.0, 3.0, 4.0},{3.0, 5.0, 6.0},{4.0, 7.0, 8.0}};double x = 2.5;double y = hermiteInterpolation(points, x);std::cout << "The interpolated value at x = " << x << " is y = " << y << std::endl;return 0;}这个程序首先定义了一个结构体`Point`，用于存储数据点及其导数。
分段三次 hermite 插值多项式的数学表达
分段三次 hermite 插值多项式的数学表达Hermite插值多项式是一种用于在给定的点集上进行插值的数学工具。
与其他插值方法不同的是，Hermite插值多项式不仅考虑了函数在各个插值点上的函数值，还考虑了函数在该点上的导数值。
这使得Hermite插值多项式能够更准确地拟合函数的曲线特征，特别是在存在函数奇点或不连续点的情况下。
要理解Hermite插值多项式的具体数学表达，首先需要了解插值点和插值条件的概念。
设给定的插值点集为{(x0, f0, f'0), (x1, f1, f'1), ..., (xn, fn, f'n)}，其中xi为插值点的横坐标，fi为插值点的纵坐标，f'i为插值点的导数值。
我们的目标是构造一个多项式P(x)，满足以下条件：1.在每个插值点(xi, fi)处，多项式P(x)的函数值等于fi：P(xi) = fi；2.在每个插值点(xi, fi)处，多项式P(x)的导数值等于f'i：P'(xi) = f'i。
根据这些插值条件，我们可以得到Hermite插值多项式的数学表达式。
首先，我们需要定义一个Lagrange插值基函数Lk(x)，用于描述在插值点xi处的多项式P(x)的函数值。
Lagrange插值基函数可以通过以下公式计算得到：Lk(x) = Π(j ≠ k) [(x - xj) / (xk - xj)]其中Π是乘积符号，j和k分别表示插值点的索引。
然后，我们可以构造Hermite插值多项式Hk(x)，它的数学表达式可以通过Lagrange插值基函数和插值点的函数值、导数值得到：Hk(x) = [1 - 2(x - xi)L'i(xi)]Li(x)^2 + (x - xi)Li(x)^2 其中Li(x)表示第i个插值点处的Lagrange插值基函数，L'i(xi)表示第i个插值点处的Lagrange插值基函数的导数值。
hermite插值多项式的例题
例若()f x 在[a,b]上有三阶连续导数，且已知()f x 在[,]a b 上两个互异的 点01,x x 上的函数值01(),()f x f x 和一阶导数值'0()f x ，试求满足条件 ''001100()(),()(),()()H x f x H x f x H x f x ===的插值多项式，并估计误差。
解由给定的3 个插值条件，显然可确定一个次数不超过2次的埃尔米特插值多项式()H x ， 又有()H x 应满足插值条件()()i i H x f x =，(0,1)i =，而节点01,x x 上的线性插值函数1()N x 也满足插值条件1()(),(0,1)i iN x f x i ==，故可设1()()()()H x N x A x x x x-=--，其中A 为待定常数，上式又可记为 101000101()()()()()()[,]()()H x N x A x x x x f x x x f x x A x x x x =+--=+-+--为了确定常数A ，对上式求导，得'0110()[,][()()]H x f x x A x x x x =+-+-，令0x x =代入，且注意插值条件''001010()[,]()()H x f x x A x x f x =+-=, 于是有'01010[,]()f x x f x A x x -=-，即()H x 为'010********[,]()()()()[,]()()f x x f x H x f x x x f x x x x x x x x -=+-+---，当然也可先采用拉格朗日多项式构造，同样得到满足相同条件的插值多项式()H x余项为(3)201()()()()6fR x x x x x ξ=--。
两点三次hermite插值例题
两点三次hermite插值例题Hermite插值是一种数值分析方法，用于在给定的数据点上生成一个多项式函数，以便通过这些数据点来近似描述一个函数。
Hermite插值是利用函数值和导数值来进行插值的一种方法，它可以更精确地逼近给定的数据点。
下面我将通过一个例题来说明Hermite插值的过程。
假设我们有以下数据点，(1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2)，我们要使用Hermite插值来找到通过这些点的多项式函数。
首先，我们需要计算每个数据点的导数值。
因为数据点中有重复的x值，我们需要分别计算每个x值对应的导数值。
对于数据点(1, 2)和(1, 3)，我们可以假设它们对应的导数值分别为2和3；对于数据点(2, 1)和(2, 2)，我们可以假设它们对应的导数值分别为1和2。
接下来，我们将使用这些数据点和导数值来构建Hermite插值多项式。
Hermite插值多项式的一般形式为：\[P(x) = \sum_{i=0}^{n}f[x_0, x_1, \ldots, x_i](x-x_0)(x-x_1)\ldots(x-x_{i-1}) + \sum_{i=0}^{n}f[x_0, x_1,\ldots, x_i, x_i](x-x_0)(x-x_1)\ldots(x-x_{i-1})^2\]其中，\[f[x_0, x_1, \ldots, x_i]\]表示数据点\[x_0, x_1, \ldots, x_i\]处的插值函数值。
这个式子的第一部分表示通过数据点的函数值进行插值，第二部分表示通过数据点的导数值进行插值。
我们可以根据给定的数据点和导数值，计算出Hermite插值多项式。
最终得到的多项式函数就是通过这些数据点进行Hermite插值得到的结果。
总结起来，Hermite插值是一种利用函数值和导数值进行插值的方法，可以更精确地逼近给定的数据点。
通过计算数据点的导数值和使用Hermite插值多项式的公式，我们可以得到一个通过这些数据点的多项式函数。
Hermite插值公式
f ( n+r +2 ) (ξ ) 即得 f ( x) H ( x) = wn ( x) wr ( x) (n + r + 2)!
14
若r = n, 则相应的Hermite插值多项式为
H ( x) = ∑ hk ( x) f ( xk ) + ∑ hk ( x) f ′( xk )
k =0 k =0 n n
y0 = 2 , y1 = 3
′ ′ y 0 = 0 , y1 = 1
′ ′ H 3 ( x) = y0 h0 ( x) + y1h1 ( x) + y0 h0 ( x) + y1h1 ( x)
x x0 x x1 x x1 x x0 = y0 1 + 2 x x + y1 1 + 2 x x x x x1 x0 0 1 0 0 1 1
由条件(1)知
F ( x) = F ( x0 ) = F ( x1 ) = L = F ( xn ) = 0
F ′( x0 ) = F ′( x1 ) = L = F ′( xr ) = 0
13
即F (t ) = 0有n r + 1个单根x, xr +1 , xr +2 ,L, xn 和r + 1个二重根x0 , x1 ,L, xr .
i
n
------(7)
由条件(3)知hk ( xk ) = 1
C=
1
∏ (x
i =0
r
k
xi )
2
i =r +1 i≠k
∏ (x
n
k
xi )
将C代入式(7)，得
wr ( x) hk ( x) = lkn ( x), wr ( xk )
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基函数求法：
求 0 (x)
0 (x1) 0 0 (x1) 0
0 (x0 ) 1
3
0 ( x) [a b( x x0 )]( x x1 )2
1 a (x0 x1)2
b
( x1
2 x0 )(x0
x1 ) 2
0(
x)
(1
2
x x1
x0 x0
)(
x x1 x0 x1
)2
4
同理
1(
f
(4) (
4!
)
[(
x
x0
)(
x
x1 )]2
11
例 求一个次数为4的多项式P4(x)，使它满足 P4(0)= P'4(0)=0， P4(1)= P'4(1)=1 ，P4 (2)=1
先构造满足P2(0)= 0， P2(1)=1 ，P2(2)=1的插值
多项式P2 (x)，易得
设
P2
(x)
1 2
x2
即称为分段多项式。
二、分段线性插值
1.问题的提法
定义 设f(x)是定义在[a,b]上的函数，在节点 a= x0< x1<x2<…<xn-1<xn=b,
的函数值为 y0 , y1 ,y2 ,…yn-1 ,yn ,若函数 L%1(x)满足条件
(i 0,
x)
...,
n)
1
1 x
2
2.5
的 Ln(x)
Ln(x) f (x)
2
n=10
1.5
1
n=2
0.5
0
增加插值多项式的次数 并不一定会有更好的插值结果， 这是因为高次多项式的振荡是很厉害的.
n 越大，
n=5
端点附近抖动
越大，称为龙格
（Runge） 现象
-0.5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
3 2
x
P 4 (x) P2 (x) (Ax B)(x 0)(x 1)(x 2)
其中A，B为待定系数. 利用两个导数条件确定系数A、B.
由
P4(0)
3 2
2B
0
P4(1)
1 2
(A
B)
1
解得A=1/4, B=-3/4
故
P4
(x)
1 2
x2
3 2
x
1 4
(x
3)x(x
1)(x
2)
1 4
反复应用Rolle定理, 得F(4)(t)至少有一个零点设为 ξ∈(a, b)
10
F (t) f (t) H3 (t) C(x)(t x0 )2 (t x1)2
F (4) ( ) f (4) ( ) C( x)(4!) 0
f (4) ( )
C(x) 4!
R3 ( x) C( x)( x x0 )2 ( x x1 )2
两点三次Hermit插值
已知：
x x0 x1 y y0 y1
y y0 y1
构造一个次数3的多项式H3(x) ，满足插值条件：
H3 (xi ) yi , H3(xi ) yi i 0,1
（*）
1
两点三次Hermit插值（续1）
5
直接设 H3 (x) ax3 bx2 cx d
待定系数将使计算复杂，且不易推广到高次。回忆
x)
(1
2
x x1 x0 x1
)(
x x1
x0 x0
)2
5
设 0 ( x) a( x x0 )( x x1 )2
由β'0(x0)=1 ，得
a
( x0
1 x1)2,
于是 同理有
0
(
x)
(
x
x0
)(
x x1 x0 x1
)2
1(
x)
(
x
x1
)(
x x1
x0 x0
)2
6
定理：满足插值条件（*）的三次Hermite插值 多项式H3(x)存在且唯一。
x2
(x
3)2
第五节 分段低次多项式插值
一.高次插值的龙格 (Runge)现象
从插值余项角度分析
Rn1( x)
f ( x) Ln1( x)
f (
(n1) ( )
n 1)!
n1
(
x
)
为了提高插值精度，一般来说应该增加插值节点的 个数，这从插值余项的表达式也可以看出，但不能简 单地这样认为，原因有三个：
7
三次Hermite插值多项式的余项
定理 设 f(x) 在包含x0, x1的区间 [a, b]内存 在四阶导数，则对任意x[a,b] ，总存在一
个(a, b)（依赖于x）使
R3( x) f ( x) H3( x)
f
(4) (
4!
)
(
x
x0
)2
(
x
x1
)2
8
证明: 由插值条件知
R3(x0)=R3'(x0)=0, R3(x1)=R3'(x1)=0 取 x 异于 x0 和 x1, 设
•插值余项与节点的分布有关； •余项公式成立的前提条件是f ( x有) 足够阶连续导数 （即函数足够光滑），但随着节点个数的增加，这 个条件一般很难成立；
•随着节点个数的增加，f (n1)(可 )能会增大。
随着节点个数增加到某个值，误差反而会增加。
例：在[5, 5]上考察 f (
。取
xi
5 10 i n
分段低次插值
事实上已被证明：对于n 的高阶插值
公式L (x)只有当x 3.63时才有L (x) f (x).
n
n
分段插值的概念
所谓分段插值，就是将被插值函数逐段多项式化。 一般来说，分段插值方法的处理过程分两步，先 将所考察的区间作一分划 ：a x0 x1 L xn b
并在每个 xi , xi子1区间上构造插值多项式，然后把 它们装配在一起，作为整个区间 上a,的b插值函数，
0 (x1) 0
1(x0 ) 0ຫໍສະໝຸດ 11((xx10) )
0 0
1(x1) 1
2
两点三次Hermit插值（续2）
其中 0 (x),1(x), 0 (x), 1(x)
都是次数为3的多项式
令H3(x) y00 (x) y11(x) y00 (x) y11(x)
则H3(x)是一个次数3的多项式且满足插值条件（*）
Lagrange插值基函数的方法，引入四个基函数
0 (x),1(x), 0 (x), 1(x)
使之满足
0 (x0 ) 1 0 (x1) 0 0 (x0 ) 0 0 (x1) 0
1(x0 ) 0
11((xx01))
1 0
1(x1) 0
0 (x0 ) 0
0 (x1) 0
0
(x0
)
1
R3 ( x) C( x)( x x0 )2 ( x x1 )2 利用 f(x) – H3(x)=C(x)(x – x0)2(x – x1)2
构造辅助函数
F (t) f (t) H3 (t) C(x)(t x0 )2 (t x1)2
9
显然,F(t)有三个零点x0, x, x1,由Rolle定理知, F'(t) 至少有两个零点t0, t1满足x0<t0<t1<x1,而x0和x1也是 F'(t)零点, 故F'(t) 至少有四个相异零点.