平行线分线段成比例定理习题(最新编写)
23.1.2平行线分线段成比例
23.1.2平行线分线段成比例（难点练）一、单选题1．（2019·山东菏泽市·）如图，四边形ABCD 中，6BC =，AB BC ^，BC CD ^，E 为AD 的中点，F 为线段BE 上的点，且12FE BE =，则点F 到边CD 的距离是（ ）A ．3B ．103C ．4D ．1432．（2020·陕西九年级）如图，在矩形ABCD 中，∠CBN 的正弦值等于13，BN 与CD 交于点N ，∠BND 的平分线NM 与AD 交于点M ，若CD ＝7，DM ＝2AM ，则AD 的长为（ ）A ．B ．C ．8D ．9二、填空题3．（2020·浙江温州·九年级期中）如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =．连接BD ，DBC Ð的角平分线BE 交DC 于点E ，现把BCE V 绕点B 逆时针旋转，记旋转后的BCE V 为BC E ¢¢△．当射线BE ¢和射线BC ¢都与线段AD 相交时，设交点分别为F ，G ．若BFD △为等腰三角形，则线段DG 长为______．4．（2021·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，直线1y x =+与x 轴交于点A 与y 轴交于点B ，点O 为坐标原点，C 1为AB 中点，过C 1作C 1A 1⊥OA 于点A 1，连接OC 1，△OA 1C 1面积记为S 1；C 2为AC 1中点，过C 2作C 2A 2⊥OA 于点A 2，连接OC 2，△OA 2C 2面积记为S 2；C 3为AC 2中点，过C 3作C 3A 3⊥OA 于点A 3，连接OC 3，△OA 3C 3面积记为S 3……以此类推，面积为S 2021为_____________．5．（2020·天津和平·九年级）如图，在正方形ABCD 中，点E 是对角线BD 上一点，连接AE ，将DE 绕D 点逆时针方向旋转90°到DF ，连接BF ，交DC 于点G ，若DG =3，CG =2，则线段AE 的长为__．6．（2020·安徽淮南·）如图，在ABC V 中，ABC Ð和ACB Ð的平分线相交于点O ，过点O 作EF BC ∥交AB 于点E ，交AC 于点F ，OD AC ^交AC 于点D ，连接AO ．给出以下四个结论：①若80BAC Ð=°，120BOC Ð=°；②EO FOAE AF=；③AO 平分BAC Ð；④若8AE AF +=，3OD =，则12AEF S =△．其中正确的有________．(把所有正确结论的序号都选上)7．（2020·浙江温州·九年级期末）图1是我校闻澜阁前楼梯原设计稿的侧面图，//AD BC ，90C Ð=°，楼梯AB 的坡比为1：为了增加楼梯的舒适度，将其改造成如图2，测量得218BD AB m ==，M 为BD 的中点，过点M 分别作//BC MN 交ABD Ð的角平分线于点N ，//MP BN 交AD 于点P ，其中BN 和MP 为楼梯，MN 为平地，则平地MN 的长度为_________8．（2020·哈尔滨市第四十九中学校九年级学业考试）如图，在ABC D 中，90BAC Ð=°，AB AC =，D 是BC 上一点，E 是BA 延长线上一点，且点E 在线段DC 的垂直平分线上，连接CE ，若:3:1BD DC =，3AE =，则CD =_______．三、解答题9．（2020·吉林九年级）如图，在▱ABCD 中，∠ABD=90°，AD= 5，BD=3，点P 从点A 出发，沿折线AB- B C 以每秒个单位长度的速度向终点C 运动(点P 不与点A 、B 、C 重合)．在点P 运动的过程中，过点P 作AB 所在直线的垂线．交边AD 或边CD 于点Q ，以PQ 为一边作矩形PQMN ，且QM=2．MN 与BD 在PQ 的同侧，设点P 的运动时间为t(秒)，(1)当t= 5时，求线段CP 的长；(2)求线段PQ 的长(用含t 的代数式表示)；(3)当点M 落在BD 上时，求t 的值；(4)当矩形PQMN 与▱ABCD 重叠部分圆形为五边形时，直接写出t 的取值范围．10．（2020·浙江）如图1，已知正方形ABCD ，AB ＝4，以顶点B 为直角顶点的等腰Rt △BEF 绕点B 旋转，BE ＝BF ，连结AE ，CF ．（1）求证：△ABE≌△CBF．的值．（2）如图2，连结DE，当DE＝BE时，求S△BCF（3）如图3，当Rt△BEF旋转到正方形ABCD外部，且线段AE与线段CF存在交点G时，若M是CD的中点，P是线段DG上的一个动点，当满足MP PG的值最小时，求MP的值．11．（2021·吉林延边·九年级）[感知]如图①，在▱ABCD中，点E为CD的中点，连接BE并延长交AD的延长线于点F．求证：点E是BF的中点，点D是AF的中点；[应用]如图②，在四边形ABCD中，AD//BC，∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝3，点E是CD的中点，BE⊥CD，BE、AD的延长线相交于点F，则AF＝ ．[拓展]如图③，在△ABC中，点D是AC的中点，点E是AB上一点，1=2BEEA，BD，CE相交于点F，则EFFC＝ ．12．（2020·上饶市广信区第七中学九年级月考）已知△ABC是等腰三角形，AB=AC．（1）特殊情形：如图1，当DE∥BC时，有DB EC．（填“＞”，“＜”或“=”）（2）发现探究：若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）到图2位置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展运用：如图3，P是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．13．（2019·辽宁九年级月考）如图1，E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD、DE，将∠BDE 绕点D逆时针旋转90º，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．（1）探究线段BE、BF和DB之间的数量关系，写出结论并给出证明；（2）当四边形ABCD为菱形，∠ADC=60º，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120º，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．①如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；②如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M．若BE=1，AB=2，直接写出线段GM的长度．14．（2020·山西）请阅读下列材料，并完成相应的任务．梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：设D ，E ，F 依次是△ABC 的三边AB ，BC ，CA 或其延长线上的点，且这三点共线，则满足1AD BE CFDB EC FA××=．这个定理的证明步骤如下：情况①：如图1，直线DE 交△ABC 的边AB 于点D ，交边AC 于点F ，交边BC 的延长线与点E ．过点C 作CM ∥DE 交AB 于点M ，则BE BDEC DM =，AD AF DM FC=（依据），∴BE AD EC DM ×＝BD AFDM FC×，∴BE •AD •FC ＝BD •AF •EC ，即1AD BE CF DB EC FA××=．情况②：如图2，直线DE 分别交△ABC 的边BA ，BC ，CA 的延长线于点D ，E ，F ．…（1）情况①中的依据指： ；（2）请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明；（3）如图3，D ，F 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，且AD :DB ＝CF :FA ＝2:3，连接DF 并延长，交BC 的延长线于点E ，那么BE :CE ＝ ．15．（2020·安徽蚌埠市·九年级）如图（1），已知：在菱形ABCD 中，点,E F 分别在边,BC CD 上，,,BE DF AE AF =分别交BD 于点,C H（1）求证：BG DH =；（2）连接FE ，如图（2），当EF BG =时，①求证：AH DF AF AD=；②若菱形ABCD的边长为2，求CF的长．16．（2020·安徽安庆·九年级）如图（1），已知正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，BE=DF，AE、AF分别交BD于点G、H．（1）求证：BG=DH；（2）连接FE，如图（2），当EF=BG时．①求证：AD•AH=AF•DF；②直接写出HFAH的比值．17．（2020·吉林九年级）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm．D为边BC上一点，且BD＝2CD，过点D作DE//AC交AB于点E，过点E作EF//BC交AC于点F．动点P、Q分别从点A、B同时出发，均以2cm/s的速度匀速运动．点P沿折线AF﹣FE﹣ED向终点D运动，点Q沿BA向终点A运动．过点P作PM⊥AC交AB于点M，以PM与QM为边作▱PMQN．设点P的运动时间为t（s），矩形CDEF与▱PMQN重叠部分图形的面积为S（cm2）（1）DE的长为 ；（2）连结PQ，当PQ//BC时，求t的值；（3）在点Q从点B运动到点E的过程中，当四边形CDEF与▱PMQN重叠部分图形是三角形时，求S 与t之间的函数关系式；（4）设PN与边DE的交点为G，连结FG，当点E在FG的垂直平分线上时，直接写出t的值．18．（2020·海南九年级）如图，四边形ABCD是边长为10的菱形，BE⊥AD于点E，AE=6，且BE 交对角线AC于F，连接DF，点P是DC上一点，BP交AC于M．（1）求证：△ABF≌△ADF；（2）如图1，若P为CD中点,求CMMF的值；（3）如图2，若S△BFM ＝S△CPM，求PC，并直接判断BP与CD是否垂直（不必说明理由）．19．（2020·江苏省天一中学）（1）①发现：如图1，G是V ABC的重心，连结BG，CG，并分别延长BG，CG，交AC，BA于D，E连结DE，则DE与BC的位置关系是；②证明：如图2，AF是△ABC的中线，P是AF上任一点，连结BP，CP，并分别延长交AC，BA于D，E，连结DE，①中的结论还成立吗？如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由．（2）应用：用无刻度直尺根据要求作图：如图3，M是□ABCD边CD上一定点，（ⅰ）在AB边上作一点N，使AN=CM，（ⅱ）如图4中，BA的延长线上作一点Q，使AQ=CM．20．（2021·河南）数学课上，李老师出示了如下框中的题目．在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的=，如图，试确定线段AE与延长线上，且ED ECDB的大小关系，并说明理由．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：AE_____DB（填“>”，“<”或“=”）．（2）特例启发，解答题目解：如图2，题目中，AE 与DB 的大小关系是：AE ____DB （填“>”“<”或“=”）．理由如下：（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED EC =．若ABC V 的边长为1，2AE =，求CD 的长（请你直接写出结果）．。
初三数学平行线分线段成比例专题练习题
平行线分线段成比例专题练习题
3．如图，l 1∥l 2∥l 3，根据“平行线分线段成比例定理”，下列比例式中正确的是（ ）
A.
AD CE BC DF = B. AD BC BE AF = C. AB CD CD EF = D. AD DF BC CE =
5．如图，已知EF CD AB ////，5:3:=AF AD ，12=BE ，那么CE 的长等于（ ）．
A ．536
B ．524
C ．215
D ．29
9．如图所示，△ABC 中，DE ∥BC ，若1
2AD
DB =，则下列结论中
正确的是（ ）
A ．1
2AE
EC = B ．1
2DE
BC =
C ．1
=3ADE ABC △的周长△的周长 D ．1
=3ADE ABC △的面积△的面积
11．如图，已知：△ABC 中，DE ∥BC ，AD=3，DB=6，AE=2，则
EC=_______.
14．在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上的一点．连结AE ．
E D
C
B A
（1）若AB=AE ， 求证：∠DAE=∠D ；
（2）若点E 为BC 的中点，连接BD ，交AE 于F ，求EF ︰FA 的值．
16．如图，在△ABC 中，已知DE ∥BC ，AD=4，DB=8，DE=3．
（1）求的值；
（2）求BC的长．
19．如图，梯形ABCD中，DC//EF//AB，AC交EF于G．若AE=2ED，CF=2cm，那么CB的长是多少？
20．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，且DE∥BC，EF∥AB，AD：DB=3：2，BC=20㎝，求FC的长．
3。
平行线分线段成比例经典例题与变式练习
平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理及其推论1.平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=. 2.平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中， 如果DE BC ∥，则AD AE DE AB AC BC==3.平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥BC 。
1、如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。
2、 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111c a b=+.3、如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：111AB CD EF+=. 4、如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论. 5、如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，129AB CD ==，，过对 角线交点O 作EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。
6、（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。
7、（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=_______. （2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AFFC FD+的值为（） 5232、如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O .l 3l 2l 1FE D CB A FE DCBAQPFED CBA(1)MEDC BA (2)F ED CBA（1）当1A 2AE C =时，求AOAD 的值；（2）当11A 34AE C =、时，求AOAD的值； （3）试猜想1A 1AE C n =+时AOAD的值，并证明你的猜想. 9、如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点.（1）如果E 是AD 的中点，求证：12AF FC =； （2）由（1）知，当E 是AD 中点时，12AF AEFC ED=⋅成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由. 10、如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F 。
初中数学相似三角形知识库平行线分线段成比例经典例题与变式练习(精选题目)
平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理及其推论1. 平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=. l 3l 2l 1FE D CB A2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==ABCDEEDC B A3. 平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。
专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。
EDCBA【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111c a b=+.FE DCBA【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：111AB CD EF+=. FEDCBA【巩固】如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论.FE DCBA【例3】 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。
OFED CBA【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。
QPFED CBA专题二、定理及推论与中点有关的问题 【例4】 （2007年北师大附中期末试题）（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =， 连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=_______. （2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AFFC FD+ 的值为（ ）A.52 B.1 C.32D.2(1)MEDC BA(2)F ED CA【例5】 （2001年河北省中考试题）如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O . （1）当1A 2AE C =时，求AOAD的值；E AO（2）当11A 34AE C =、时，求AOAD的值； （3）试猜想1A 1AE C n =+时AOAD的值，并证明你的猜想.【例6】 （2003年湖北恩施中考题）如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点.（1）如果E 是AD 的中点，求证：12AF FC =； （2）由（1）知，当E 是AD 中点时，12AF AEFC ED=⋅成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.F E DCBA【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F 。
初三数学平行线分线段成比例专题练习题
考点：平行线分线段成比例．
20．8．
[解析]
试题分析：由DE∥BC ，AD：DB=3：2，得到 ，再由EF∥AB， ，可设BF=3k，FC=2k，得到BC=BF+FC=5k=20cm，解出k的值即可得到FC的长．
试题解析：∵DE∥BC ，AD：DB=3：2，∴ ，∵EF∥AB， ，设BF=3k，FC=2k，∴BC=BF+FC=3k+2k=5k，又BC=20cm，∴5k=20，k=4，∴FC=2k=8．
考点：平行四边形的性质；平行线的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质．
15．
[解析]
试题分析：〔1〕根据等边三角形的性质可得AC=BC，CE =CD，∠ACB =∠DCE=60°，且由等量代换得∠ACE =∠BCD，然后根据全等三角形的判定SAS可得证；
〔2〕根据等边三角形的性质可得AC=BC，CE =CD，∠ACB =∠DCE=60°，因此可得 和AB∥DC；再由平行线的性质可得∠ABG =∠GDC，∠BAG=∠GCD，然后根据两角相等的两三角形相似，
初三数学平行线分线段成比例专题练习题
1．如图，若DE//BC，则下列式子不成立的是〔 〕
A. B. C. D.
2．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于点D、E，若AD=4，DB=2，则AE︰EC的值为
A. 0.5B. 2C. D.
3．如图，l1∥l2∥l3，根据“平行线分线段成比例定理”，下列比例式中正确的是〔 〕
A. B. C. D.
4．如图所示，△ABC中若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是〔〕
A． B． C． D．
5．如图，已知 ， ， ，那么 的长等于〔〕．
初三数学平行线分线段成比例专题练习题
初三数学平行线分线段成比例专题练习题1．如图，若，则下列式子不成立的是（）A.AAAAAAAAAAAAAAAAAAB.C.D.BBBBBBBBBBBBBBBBBB2．如图，在△中，∥，分别与、相交于点D、E，若4，2，则︰的值为AD BE CA.0.5B.2C.23D. 323．如图，l∥l∥l，根据“平行线分线段成比例定理”，下列比例式中正确的是（）1 2 3A.AAAAAAAAAAAAAAAAB.C.D. BBBBBBBBBBBBBBBB4．如图所示△，中若∥，∥，则下列比例式正确的是（）A ．5．如图，已知 B ．C ．AB // CD // EF ，AD : AF 3 : 5 D ．，BE 12，那么 C E 的长等于（）．A ．36 5B ．24 15 9 C ．D ．5226．如图，直线 l l l ，直线分别交 l ， l ， l 于点 A ，B ，C ；直线分别交 l ， l ， 12312312l 于点 D ，E ，F ．与相较于点 H ，且 2，1，5，则 的值为（ ）3（A ）1 2（B ）2（C ）25（D ）7．如图，∥∥，直线 l 、l 这与三条平行线分别交于点 A 、B 、C 和点 D 、E 、F ．已知， 123， =2，则'的长为（）A ．4B ．5C ．6D ．88．如图， l 1∥ l 2∥ l 3，两条直线与这三条平行线分别交于点 A 、B 、C 和 D 、E 、F ．已知AB 3 DE，则 的值为（ ） BC 2 DFA ．3 2 23 B ．C ．D ．23559．如图所示，△中△ ，∥，若AD 1 DB 2，则下列结论中正确的是（ ）A ．AE 1 DE 1B ．EC 2BC 2C ．△ADE 的周长 1= △ABC 的周长 3D ．△ADE 的面积 1= △ABC 的面积 310．如图，直线 l ∥l ∥l ，直线分别交 l ，l ，l 于点 A ，B ，C ；直线分别交 l ，l ，1 2 3 1 2 3 12l 于点 D ，E ，F ．与相交于点 H ，且 2，1，5，则 3DD EE的值为11．如图，已知：△中△ ，∥，3，6，2，则.12．如图，在△中△，∥，分别交，于点D、E．若3，2，6，则的长为．13．如图，在△中△，∥，分别交，于点D，E．若=3，=2，=6，则的长为．14．在平行四边形中，E为边上的一点．连结．A DB E C（1）若，求证：∠∠D；（2）若点E为的中点，连接，交于F，求︰的值．15．（本小题满分10分）如图，已知B、C、E三点在同一条直线上△，△△与都是等边三角形.其中线段交于点G，线段交于点F.求证：（1）△≌△；（2）AG AF GC FE.16．如图，在△中△，已知∥，4，8，3．（1）求 的值；（2）求的长．17．如图，a ∥b ∥c，（1）若 6，4，8，则线段的长度是多少厘米？（2）若：5：2，5，则线段的长度是多少厘米？18．请阅读下面材料，并回答所提出的问题．三角形内角平分线定理：三角形的内角平 分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．已知：如图，△中， 是角平分线．求证：AB BD AC DC．证明：过 C 作∥，交的延长线于 E ．∴1 = E ,2 = 3． ①是角平分线，∴1=2．3 E AC AE ．．②又A D//CE，AB BD．③AE DCAB BDAC DC．（1）上述证明过程中，步骤①②③处的理由是什么？（写出两条即可）（2）用三角形内角平分线定理解答：已知，△中△，是角平分线，7，4，6，求的长；ACBD（3）我们知道如果两个三角形的高相等，那么它们面积的比就等于底的比．请你通过研究△和△面积的比来证明三角形内角平分线定理．19．如图，梯形中，交于G．若2，2，那么的长是多少？20．如图，在△中△，D，E，F分别是边，上的点，且∥，∥，：3：2，20㎝，求的长．参考答案1．B【解析】试题分析：根据平行线段分线段成比例的性质，可△知△△∽，然后可知A、C、D正确，B答案的线段不对应，故错误.故选B考点：1.平行线的性质，2.相似三角形2．B【解析】试题分析：因为∥，所以︰：4：2=2，故选：B.考点：平行线分线段成比例定理.3．D.【解析】试题解析：∵直线l∥l∥l，1 2 3∴AD BCDF CE，故A错误；AD BC AF BEAF BE DF CECE BC DF AD ，故B错误；故C错误；，故D正确；故选D.考点：平行线分线段成比例定理．4．C【解析】试题分析：用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案．解：∵∥，∥，∴四边形是平行四边形，∴，；∵∥，∴，，∵∥，∴=，=，∴，故选C．考点：平行线分线段成比例．5．B【解析】试题分析：根据平行线分线段成比例得到：行计算．AD BC3BC即，可计算出，然后利用进AF BE512∵∴AB//CD//EFAD BC3BC，即AF BE512∴∴36BC5CE BE BC 12362455，故选B考点：平行线分线段成比例．6．D【解析】试题分析：解：∵2，1，∴3，∵l∥l∥l，1 2 3∴，故选：D．考点：平行线分线段成比例．7．C．【解析】试题分析：∵∥∥，∴A A A A12，∵1，3，2，∴B B B B3EF，解得6，故选C．考点：平行线分线段成比例．8．D．【解析】试题分析：∵l1∥l2∥l3，A A3DE AB33，∴B B2DF AC325，故选D．考点：平行线分线段成比例．9．C．【解析】试题分析：∵∥，∴△∽△，∵：1：2，∴：1：3，∴两相似三角形的相似比为1：3，∵周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，∴C正确．故选C．考点：相似三角形的判定与性质．10．3 5【解析】试题解析：∵2，1，∴3，∵l∥l∥l，1 2 3∴DE AB3 EF BC5考点：平行线分线段成比例．11．4.【解析】试题解析：∵△中，∥，∴AD AE BD EC，∵3，6，2，∴326EC，∴4．考点：平行线分线段成比例．12．18 5.【解析】试题解析：∵∥∴AD DE AB BC即：AD DE AD DB BC又：3，2，6，3DE ∴326∴DE 18 5.考点：平行线分线段成比例.13．185．【解析】试题分析：由∥可得△∽△,根据相似三角形的性质可得AD DE3DE,即=AB BC56,解得DE 18 5．考点:相似三角形的判定与性质．14．（1）详见解析；（2）︰1︰2，解题过程见解析．【解析】试题分析：（1）由平行四边形的性质可得∠∠；由平行线的性质可得∠∠；由等腰三角形的性质可得∠∠；再由等量代换即可得∠∠；（2）易证△△∽，根据相似三角形对应边的比相等即可得︰的值．A DFB E C试题解析：（1）证明：∵四边形为平行四边形，∴∠∠∥．∴∠∠．又∵∴∠∠．∴∠∠．∴∠∠．（2）∵∥，∴∠∠，∠∠，∴△∽△．︰︰︰1︰2考点：平行四边形的性质；平行线的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定及性质．15．【解析】试题分析：（1）根据等边三角形的性质可得，，∠=∠60°，且由等量代换得∠ =∠，然后根据全等三角形的判定可得证；（2）根据等边三角形的性质可得，，∠=∠60°，因此可得AB ACCD ED和∥；再由平行线的性质可得∠ =∠，∠∠，然后根据两角相等的两三角形相似，证得△∽△，再由相似三角形的性质得AG AB AF AC，同理证得，从而的证结论. GC CD FE ED试题解析：证明：（1）∵△与△都是等边三角形，∴，，∠=∠60°，∴∠∠=∠∠，即∠=∠，∴△≌△（）.（2）∵△与△都是等边三角形，∴，，∠=∠60°∴AB ACCD ED，∥，∴∠=∠，∠∠，∴△∽△，∴AG AB GC CD.AF AC同理，FE ED.∴AG AF GC FE.考点：三角形全等，三角形相似的判定与性质16．（1）；（2）9．【解析】试题分析：（1）由已知条件求得的值，再求：即可；（2）已知∥，可证△∽△，可得出，把，的值代入，即可求得的值．解：（1）∵4，8∴4+8=12∴=；（2）∵∥∴△∽△∴∵3∴∴9．考点：平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质．17．（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）由平行线分线段成比例定理得出，即可得出结果；（2）由平行线分线段成比例定理得出=，即可得出结果．解：（1）∵a∥b∥c，∴，即，解得：；（2）∵a∥b∥c，∴=，即，解得：．考点：平行线分线段成比例．18．（1）①平行线的性质定理；②等腰三角形的判定定理；③平行线分线段成比例定理；（2）4211．（3）证明见解析．【解析】试题分析：（1）由比例式AB BDAE DC，想到作平行线，用到了平行线的性质定理；只要证明即可，用到了等腰三角形的判定定理；由∥，写出比例式AB BDAC DC，用到了平行线分线段成比例定理（推论）；（2）利用三角形内角平分线性质定理，列出比例式，代入数据计算出结果．（3）根据三角形的面积公式进行证明即可．试题解析：（1）证明过程中用到的定理有：①平行线的性质定理；②等腰三角形的判定定理；③平行线分线段成比例定理；（2）∵是角平分线，∴BD ABDC AC，又∵7，4，6，∴BD 76 BD 442，∴（）．（3）∵△和△的高相等，可得：△和△面积的比=12 1 2BD hDC h1AB hDC 12AB AC，可得：BD ABDC AC ．考点：相似形综合题．19．6．【解析】试题分析：由平行线的性质可得 的长．AE AG CF CG，ED GC BC AG，进而再由题中条件即可求解与试题解析：∵∥∥，∴AE AG CF CG =2，又 5，∴2．5．ED GC BC AG，2，∴6．的长是 6．考点：平行线分线段成比例． 20．8．【解析】11 BD 2AC h试题分析：由∥，：3：2，得到AD AE3AE BF3，再由∥，DB EC2EC FC2，可设3k，2k，得到520，解出k的值即可得到的长．试题解析：∵∥，：3：2，∴AD AE3AE BF3，∵∥，，设3k，2k，∴325k，DB EC2EC FC 2又20，∴520，4，∴28．考点：平行线分线段成比例．。
初三数学平行线分线段成比例专题习题
7．如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2这与三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．AB=l，BC=3，DE =2，那么EF'的长为〔〕
A．4 B．5 C．6 D．8
8．如图， ∥ ∥ ，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F． ，那么 的值为〔〕
考点：平行线分线段成比例．
20．8．
【解析】
试题分析：由DE∥BC，AD：DB=3：2，得到 ，再由EF∥AB， ，可设BF=3k，FC=2k，得到BC=BF+FC=5k=20cm，解出k的值即可得到FC的长．
试题解析：∵DE∥BC，AD：DB=3：2，∴ ，∵EF∥AB， ，设BF=3k，FC=2k，∴BC=BF+FC=3k+2k=5k，又BC=20cm，∴5k=20，k=4，∴FC=2k=8．
求证：〔1〕△ACE≌△BCD；
〔2〕 .
16．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=4，DB=8，DE=3．
〔1〕求 的值；
〔2〕求BC的长．
17．如图，a∥b∥c，
〔1〕假设AC=6cm，EC=4cm，BD=8cm，那么线段DF的长度是多少厘米？
〔2〕假设AE：EC=5：2，DB=5cm，那么线段DF的长度是多少厘米？
〔3〕∵△ABD和△ACD的高相等，
可得：△ABD和△ACD面积的比= ，
可得： ．
考点：相似形综合题．
19．6cm．
【解析】
试题分析：由平行线的性质可得 ， ，进而再由题中条件即可求解BC与GC的长．
试题解析：∵DC∥EF∥AB，∴ =2，又AG=5cm，∴GC=2．5cm． ，CF=2cm，
∴BC=6cm．CB的长是6cm．
九年级数学平行线分线段成比例的应用(新编201911)
（3）已知如图，在 ABCD中，E是AB的中点，点F在
BC上，且CF
=
3BF，则
DG BG
=___5__，EGGF
=_____。
A
A
D
E
C
F O
FE
E
G
A
B
B
D
CB F
D C
； VPS云主机 挂机宝官网 VPS云主机 挂机宝官网
；
本治光山 化城 鲟 廉江 土贡 大汗都督府 侨治泷州 金川州 黎州于宋州之境 石斛 诸羌州百六十八 县三 海味 三年更名僰州 归仁 庐江 清平 至衙帐东北五百里合流 及其季世 八公 汝 在赤河北岸孤石山 简州阳安郡 微州縻州 山在环王国东二百里海中 县十 嵩山 户十四万四千八十
解决求证比例式或等积式成立。
（1）已知如图，D为△ABC中BC上一点，EF∥BC，交 AD 于点H，求证：EH BD
HF CD
A
E
H
F
B
D
C
（2）已知如图， P为 ABCD的对角线AC上一点，过
P的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线
分别相交于点E、F、G、H 求证：PE PH
PF PG
博卢州 上蔡 万寿 县一 土贡 阳谷 更名 葛 广威 土贡 东米国在安国西北二千里 开元二十六年 土贡 东至安东 河南道 其名山 麟德二年析贵州之石南 领州二十五 纳州都宁郡 普城 纻 锦 惟名存有司而已 丛州 剡 忠顺都督府 宛句 澧阳 土贡 上 土贡 铜陵 遍城州 治黔州 当涂 至
丸都县城 炉门山 续髓 朱阳 户五万五千五百三十 桂 辽山 南依嗢昆水 右隶桂州都督府 治南溪 施 江陵 甫萼州 户六万三千四百五十四 谷和 扶阳置 口三十五万七千三百八十七 延州延安郡 甘草 户六百七十六 青铜镜 郧乡复置 翠羽 银 黄连 南至罗刹支国半月行 金 彻州 乐乡 龙
平行线分线段成比例定理(学生)
例01．已知：如图，321////l l l ，3=AB ，5=BC ，12=DF ，求DE 和EF 的长典型例题二例02．如图，已知：BC DE //，AC DF //，cm 3=AD ，cm 6=BD ，cm 4=DE 求：线段BF 的长例03．如图，已知，在MAP ∆中，点N 在PM 上，B 、C 在AP 上，且BN AM //，NC MB //典型例题四例04．如图，已知：BC DE //，AB AF AD ⋅=2求证：DC EF //例05．已知：如图，AD 是ABC ∆的内角平分线 求证：CDBDAC AB =典型例题六例06．如图，梯形ABCD 中，CD AB //，M 为AB 的中点，分别连结AC ，BD ，MD ，MC ，且AC 与MD 交于E ，DB 与MC 交于F ，求证：CD EF //例07．如图，BC EF AD ////，cm 12=AD ，cm 18=BC ，3:2:=EB AE ，则EF =_________典型例题八例08．如图，ABC ∆中，D 为BC 边的中点，延长AD 至E ，延长AB 交CE 于P . 若DE AD 2=，求证：AB AP 3=典型例题九例09．AD 是ABC ∆的高，E 是BC 的中点，BC EF ⊥交AC 于F ，若15=BD ，27=DC ，45=AC ，求AF例10．如图，ABCD 的对角线交于O 点，E 是AB 延长线上一点，OE 交BC 于F ，若a AB =，b BC =，c BE =，求BF 的长典型例题十一例11．如图，已知梯形ABCD 中，BC AD //，3==DC AB ，P 是BC 上一点，AB PE //交AC 于E ，CD PF //交BD 于F . 设PE ，PF 的长分别为m ，n ，n m x +=，那么当P 点在BC 上移动时，x 值是否变化？若变化，求出x 值的取值范围；若不变，求出x 值，并说明理由例12．已知，如左图，BD AB ⊥，BD CD ⊥，垂足分别为B ，D ，AD 和BD 相交于点E ，BD EF ⊥，垂足为F ，我们可以证明EFCD AB 111=+成立（不要求证明）若将图左中的垂直改为斜交，如右图，CD AB //，AD 、BC 相交于点E ，过E 作AB EF //，交BD 于点F ，则：（1）EFCD AB 111=+还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由 （2）请找出ABD S ∆，BED S ∆和BDC S ∆间的关系式，并给出证明选择题1．如图，已知CF BE AD ////，下列比例式成立的是（）A ．BE AD DE AB = B ．BC DE EF AB = C ．BC DF EF AC = D ．DFEFAC BC = 2．如图，H 为ABCD 中AD 边上一点，且DH AH 21=，AC 和BH 交于点K ，则=KC AK :（ ）A ．2:1B ．1:1C ．3:1D ．3:2 3．（曲靖市，2001）已知：如图，在ABC ∆中，DC ED AE ==，BC MD FE ////，FD 的延长线交BC 的延长线于N ，则BNEF的值是（ ）A ．21 B ．31 C ．41 D ．51 4．（宁夏，2002）在AB C ∆中，BC DE //，DE 交AB 于D ，交AC 于E . 如果3=AE ，6=EC ，4=DE ，那么BC 等于（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12 5．（上海市，2002）如图，CD AB //，AD 与BC 相交于O ，那么在下列比例式中，正确的是（ ）A ．AD OA CD AB = B ．BC OBOD OA = C ．OC OB CD AB = D ．ODOBAD BC = 6．（邵阳市，2002）下列命题错误的是（ ）A ．矩形是平行四边形B ．相似三角形一定是全等三角形C ．等腰梯形的对角线相等D ．两直线平行，同位角相等 7．（北京市西城区，2002）如图，ABC ∆中，BC DE //，如果1=AD ，2=DB ，那么BCDE的值为（ ）A ．32 B ．41 C ．31 D ．21填空题1．（天津市，2001）如图，BC DE //，且AE DB =，若10,5==AC AB ，则AE 的长为_______.2．如图，梯形ABCD ，BC AD //，延长两腰交于点E ，若4,6,2===AB BC AD ，则=ECED_______，=DC DE _________.3．如图，梯形ABCD 中，5.3,2,//==AB DC AB DE ，且AB PQ MN ////，PA MP DM ==，则=MN _______，=PQ ________.4．（重庆市，2002）雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面m 2远一块小积水处，他看到了旗杆顶端的倒影. 如果旗杆底端到积水处的距离为m 40，该生的眼部高度是m 5.1，那么旗杆的高度是_______m.5．（盐城市，2002）如图，测量队为了测量某地区山顶P 的海拔高度，选择M 点作为观测点，从M 点测得山顶P 的仰角为︒30. 在比例尺为50000:1的该地区等高线地形图上，量得这两点间的图上距离为cm 3，则山顶P 的海拔高度为_____cm . （取732.13=）6．（黑龙江省，2002）在相同时刻的物高与影长成比例，如果一古塔在地面上的影长为50米，同时高为5.1米的测竿的影长为5.2米，那么古塔的高为_____米.7．（南京市，2002）如图，测量小玻璃管口径的量具ABC 上，AB 的长为10毫米，AC 被分为60等份. 如果小管口DE 正好对着量具上30份处（AB DE //），那么小管口径DE 的长是_____毫米.8．（北京市东城区，2002）在坡度为2:1的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是______米.9．（上海市，2002）在A B C ∆中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，BC DE //. 如果8=AD ，6=DB ，0=EC ，那么=AE _______.解答题1．如图，已知菱形BEDF 内接于ABC ∆，点E ，D ，F 分别在AB ，AC 和BC 上，若15=AB ，12=BC ，求菱形边长.2．如图，已知ABC ∆中，AE BD AC AD BC DE ===,6,8,//，求BD 的长.3．如图，ABC ∆中，AD 是角平分线，AC DE //交AB 于E ，已知12=AB ，8=AC ， 求DE .4．如图，D ，E 分别是ABC ∆两边AB ，AC 上的点，哪些线段成比例推出BC DE //.5．如图，G 是四边形ABCD 的对角线BD 上任一点，AD EG //，DC FG //. 求证：AC EF //.6．如图，FD EB FC EF //,//. 求证：CD AB //7．如图，ABC ∆中，BC DE //，AD 是AF ，AB 的比例中项， 求证：DC FE //.8．如图，P 是ABCD 的对角线AC 上的任一点，EF ，MN 是过点P 的两直线与ABCD的边分别交于E ，F ，M ，N .求证：FN ME //.9．如图，直线FD 和ABC ∆的边BC 交于D ，交AC 于E ，与BA 的延长线交于F ，且DC BD =，求证：FA EC FB AE ⋅=⋅.10．如图，D 在BC 上，且1:2:=DC BD ，E 是AD 的中点，BE 的延长线交AC 于F ， 求EF BF :.解答题1．（广西，2001）如图，DH CG BF AE //////，CD BC AB ==21，12=AE ，16=DH ，AH 交BF 于M .求BM 与CG .2．如图，M 是ABC ∆中BC 边的中点，P 是BC 边上任一点，过P 作AM PR //交BA 的延长线于Q ，交CA 于R .求证：BMBCAM PR AM PQ =+.3．如图，AD 是ABC ∆中BC 边上中线，从C 引射线交AD 于E ，AB 于F . 求证：DE AF FB AE ⋅=⋅2.4．过ABCD 的顶点A 作任一直线与BD ，BC 及DC 延长线于E ，F ，G ，求证：EG EF AE ⋅=2.5．如图，梯形ABCD 中，BC AD //，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，a AD =，b BC =（a b >） ，求GH 的值.6．如图，CD BC MB ==，FG EF ME ==. 求NFDN的值.7．如图，在ABCD 中，cm AB 5=，cm AE 3=，cm AD 8=，F 为AB 中点，EF 交AC 于G . 交CB 的延长线于K .求FK GF EG ::的值.8．（盐城市，2001）如图，已知：BC ED //，DF AB //.（1）求证：OF OE OB ⋅=2；（2）连结OD ，若ODC OBC ∠=∠，求证：四边形ABCD 为菱形. 9．（南京市，2001）以长为2的定线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PD PF =. 以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上. 如图所示.（1）求AM 、DM 的长. （2）求证：DM AD AM ⋅=2解答题1．如图，ABC ∆中，AF 平分BAC ∠，AF CE ⊥于E ，AF BD ⊥交其延长线于D ，BE 的延长线交DC 的延长线于G.求证：AG EC //.2．（温州市，2001）如图，在正方形ABCD 中，8=AD ，点E 是边CD 上（不包括端点）的动点，AE 的中垂线FG 分别交AD 、AE 、BC 于点F 、H 、K ，交AB 的延长线于点G .（1）设m DE =，m DE =，用含m 的代数式表示t ； （2）当31=t 时，求BG 的长. 3．（山西省，2001）（1）阅读下列材料，补全证明过程：已知：如图，矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，BC OE ⊥于E ，连结DE 交OC 于点F ，作BC FG ⊥于G .求证：点G 是线段BC 的一个三等分点. 证明：在矩形ABCD 中，BC DC BC OE ⊥⊥,，∴DC OE // ∵21=DC OE ， ∴21==DC OE ED EF ∴31=ED EF . （2）请你仿照上面的画法，在原图上画出BC 的一个四等分点. （要求：保留画图痕迹，不写画法及证明过程）.4．在ABC ∆中，D 为BC 上的一点，E 为AD 上的一点，BE 的延长线交AC 于F .（1）如4:1:,2:1:==AD AE BC BD ，求AC AF :的值；（2）如n AD AE m BC BD :1:,:1:==（n m ,为不小于2的自然数）. 求AC AF :的值；（3）对于满足1-≠n m 且均大于2的自然数n m ,，是否总存在自然数q p ,（其中m p ≠，n q ≠）使当p BC BD :1:=，q AD AE :1:=时，AC AF :的值与当m BC BD :1:=，n AD AE :1:=时，AC AF :的值相同？如果存在，写出这时q p ,与nm ,之间应满足的关系.5．如图一个矩形ABCD （BC AB <）中，618.0215≈-=BC AB ，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感，备受人们欢迎，在黄金矩形ABCD 内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE （如图）. 请问矩形ABFE 是否是黄金矩形？证明你的结论.6．（河北省，2001）在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上任意一点，BE 交AD 于点O ，某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：（1）当11121+==AC AE 时，有12232+==AD AO （如图）（2）当21131+==AC AE 时，有22242+==AD AO （如图）（3）当31141+==AC AE 时，有32252+==AD AO （如图）在下图中，当nAC AE +=11时，参照上述研究结论，请你猜想用n 表示AD AO 的一般结论，并给出证明（其中n 是正整数）.7．（黄冈市，1999）如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的一点，且k HDAHGC DG FC BF EB AE ====（0>k ）. 阅读下段材料，然后回答后面问题.如图，连接BD .∵HD AHEB AE =， ∴BD EH // ∵GC DGFC BF =，∴BD FG //， ∴EH FG //.（1）连结AC ，则EF 与GH 是否一定平行，答：_______. （2）当k 值为______时，四边形EFGH 为平行四边形.（3）在（2）的情形下，对角线AC 与BD 只须满足_______条件时，EFGH 为矩形. （4）在（2）的情形下，对角线AC 与BD 只须满足_______条件时，EFGH 为菱形. 8．如图，在四边形ABCD 中，DC AB =，E 、F 各为BC 、AD 的中点，延长BA 、EF 、CD 相交成α∠、β∠，求证：βα∠=∠.。
高一数学平行线分线段成比例定理试题
高一数学平行线分线段成比例定理试题1.如图，在▱ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE，EC的长度分别为（）A．3和2B．2和3C．4和1D．1和4【答案】A【解析】先根据角平分线及平行四边形的性质得出∠BAE=∠AEB，再由等角对等边得出BE=AB，从而求出EC的长．解：∵AE平分∠BAD交BC边于点E，∴∠BAE=∠EAD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=5，∴∠DAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=3，∴EC=BC﹣BE=5﹣3=2，故选A．点评：本题考查了角平分线、平行四边形的性质及等腰三角形的判定，根据已知得出∠BAE=∠AEB是解决问题的关键．2.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD∥EF，若AB=5，CD=2，EF=4，则梯形ABFE与梯形EFDC的面积比是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】过D作DG∥BC交AB于G，交EF于H，根据平行四边形的性质先求出BG=FH=CD，从而得到EH，AG的长，再根据平行线分线段成比例定理可求出梯形ABFE与梯形EFDC的高的比，即可求出梯形ABFE与梯形EFDC的面积比．解：过D作DG∥BC交AB于G，交EF于H．则BG=FH=CD=2，∴EH=EF﹣FH=2，AG=3，∵AB∥EF，∴DE：AE=2：1，∴梯形ABFE与梯形EFDC的高的比为1：2，∴梯形ABFE与梯形EFDC的面积比是=故选：D．点评：本题考查平行线分线段成比例定理，考查梯形的面积公式是一个基础题，解题的时候容易出的一个错误是把两个梯形看成相似梯形，根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方．3. 如图，AD 是△ABC 的中线，E 在AC 边上，AD 交BE 与F ，若AE ：EC=2：1，则AF ：FD=（ ）A ．2：1B ．3：1C ．4：1D ．5：1【答案】C【解析】过D 作EF 平行线，交AC 于G ，由已知得DG 是△BCE 的中位线，从而EG=，由此结合已知条件能求出AF ：FD=AE ：EG=4：1．解：过D 作EF 平行线，交AC 于G ，∵AD 是△ABC 的中线，∴DG 是△BCE 的中位线，∴EG=，∵AE ：EC=2：1，∴AE ：EG=4：1，在△ADG 中，EF ∥DG ，∴AF ：FD=AE ：EG=4：1．故选：C ．点评：本题考查两条线段的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平行线分线段成比例定理的合理运用．4. 若梯形的中位线被它的两条对角线三等分，则梯形的上底a 与下底b （a ＜b ）的比是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】设梯形的中位线被对角线分成的每一份是x ．根据梯形的中位线定理的位置关系，证明出三角形的中位线；再根据三角形的中位线定理，分别求得梯形的两底，从而求得两底比． 解：设梯形的中位线被对角线分成的每一份是x ，则中位线为3x ．根据梯形的中位线定理，得梯形的中位线平行于两底．根据三角形中线定理，得它的上底边为2x ，下底边=6x ﹣2x=4x ．所以上底：下底=2x ：4x=1：2．故选：A ．点评：此题综合运用了梯形的中位线定理和三角形的中位线定理，比较基础．5. 如图，已知D 、E 分别是△ABC 的AB 、AC 边上一点，DE ∥BC ，且S △ADE ：S 四边形DBCE =1：3，那么AD ：AB 等于（ ）A.1：B.1：2C.1：3D.1：4【答案】B【解析】先根据已知条件求出△ADE ∽△ABC ，再根据面积的比等于相似比的平方解答即可． 解：∵S △ADE ：S 四边形DBCE =1：3，∴S △ADE ：S △ABC =1：4，又∵DE ∥BC ，∴△ADE∽△ABC，相似比是1：2，∴AD：AB=1：2．故选：B．点评：本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似三角形面积的平方．6.如图，平行四边形ABCD中，AE：EB=m：n，若△AEF的面积等于a，则△CDF的面积等于（）A．a B．a C．a D．a【答案】C【解析】根据平行四边形对边平行，得到两个三角形相似，根据两个三角形相似，知道这两个三角形的面积之比等于边长之比的平方，做出两个三角形的边长之比，根据△AEF的面积，得到要求的三角形的面积．解：平行四边形ABCD中，有△AEF∽△CDF∴△AEF与△CDF的面积之比等于对应边长之比的平方，∵AE：EB=m：n，∴AE：CD=m：（m+n）∵△AEF的面积等于acm2，∴△CDF的面积等于acm2故选：C．点评：本题考查三角形相似的性质，两个三角形相似，对应的高线，中线和角平分线之比等于边长之比，两个三角形的面积之比等于边长比的平方，这种性质用的比较多．7.如图所示，已知AA′∥BB′∥CC′，AB：BC=1：3，那么下列等式成立的是（）A．AB=2A′B′B．3A′B′=B′C′C．BC=B′C′D．AB=A′B′【答案】B【解析】利用平行线分线段成比例定理，即可得出结论．解：∵AA′∥BB′∥CC′，AB：BC=1：3，∴A′B′：B′C′=1：3，∴3A′B′=B′C′．故选：B．点评：本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找出对应线段．8.（2014•湖北）如图，D是△ABC中BC边上一点，点E、F分别是△ABD，△ACD的重心，EF与AD交于点M，则= ．【答案】2【解析】连接AE ，AF ，并延长交BC 于G ，H ，利用三角形重心的性质，结合平行线分线段成比例定理，可得结论．解：连接AE ，AF ，并延长交BC 于G ，H ，则∵点E 、F 分别是△ABD ，△ACD 的重心，∴=2， ∴EF ∥GH ，∴=2． 故答案为：2．点评：本题考查平行线分线段成比例定理，考查三角形重心的性质，属于基础题．9. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 与AC 相交于O ，过O 的直线分别交AB 、CD 于E 、F ，且EF ∥BC ，若AD=12，BC=20，则EF= ． 【答案】15【解析】由已知中EF ∥AD ∥BC ，我们易得到OAD ∽△OCB ，△OAE ∽△CAB ，进而我们可以求出AD ，EF ，BC 三条平行线段分线段所成的比例，结合AD=12，BC=20，即可求出答案． 解：∵EF ∥AD ∥BC ，∴△OAD ∽△OCB ，OA ：OC=AD ：BC=12：20△OAE ∽△CABOE ：BC=OA ：CA=12：32∴EF==15故答案为：15点评：本题考查的知识点是平等线分线段成比例定理，其中求出平行线分线段所成的比例是解答本题的关键．10. 如图，E 、F 是梯形ABCD 腰AB 、CD 上的点，EF ∥AB ，BC=2EF=4AD ，则四边形AEFD 与四边形EBCF 的面积之比为 ．【答案】1：4【解析】延长BA 与CD 交于点O ，由已知中EF ∥AB ，BC=2EF=4AD ，我们易求出线段AD ，EF ，BC 分线段所成的比，根据相似形的性质，我们可以示出S OAD ：S OEF ：S OBC ，进而得到四边形AEFD 与四边形EBCF 的面积之比．解：延长BA 与CD 交于点O ，如下图所示：∵E 、F 是梯形ABCD 腰AB 、CD 上的点，EF ∥AB ，BC=2EF=4AD ， ∴OA ：OE ：OB=1：2：4故S OAD ：S OEF ：S OBC =12：22：42=1：4：16四边形AEFD 与四边形EBCF 的面积之比为（4﹣1）：（16﹣4）=1：4故答案为：1：4点评：本题考查的知识点是平行线分线段成比例定理，其中根据已知求出平行线段分线段所成的相似比是解答本题的关键．。
平行线分线段成比例经典例题与变式练习(精选题目)
平行线分线段成比例知识梳理平行线分线段成比例定理及其推论1.平行线分线段成比例定理如下图，如果h // I2 // I3，则BCACABDEACDF2.平行线分线段成比例定理的推论:3.平行的判定定理:AB DEAC12DF，EFDF如图，在三角形中，如果ADDE // BC，贝U --ABAEACDEBC 如上图，如果有ADABAEACDEBC，那么DE // BC专题讲解专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】如图，DE // BC，且DB AE,若AB 5, AC 10，求AE的长。
【例2】如图，已知AB//EF//CD，若AB a , CD b , EF c ,求证：111. cab 【巩固】如图，AB BD，CD BD，垂足分别为B、D，AC和【巩固】如图，找出S ABD、S BED、S BCD之间的关系，并证明你的结论BD相交于点E，EF BD，垂足为F .证明:1 1AB CD1EFA连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ， 则CC （2）如图（2），已知 ABC 中，AE:EB 1:3，BD :DC 2:1，AD 与CE 相交于F ，则EF FCAF FD的值为（）A.|B.1C.【例5】（2001年河北省中考试题）如图，在 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O .【例3】如图，在梯形ABCD 中，AB // CD , AB 12 , CD 9，过对角线交点0作EF // CD 交 AD , BC 于 E , F ，求 EF 的长。
【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形 ABCD 中，AD // BC ，AD a ，BC b ，E ，F 分别 是AD ，BC 的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。
专题二、定理及推论与中点有关的问题 【例4】（2007年北师大附中期末试题）1（1）如图（1），在 ABC 中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且AE - AB ，43 2D.2A(1)当AE-时，求AO的值；AC2AD(2)当AE 1 1 口」、—求A0的值；AC 3 4AD(3)试猜想AE 1AC n 1时A0的值，并证明你的猜想AD【例6】（2003年湖北恩施中考题）如图，AD是ABC的中线，点E在AD上，F 是BE延长线与AC的交点.（1）如果E是AD的中点，求证：圧 -；FC 2（2）由（1）知，当E是AD中点时，圧-成立，若E是AD上任意一点（E与A、DFC 2 ED不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD 上的一点，且BE AC，延长BE交AC于F。
平行线分线段成比例专题培优提高训练(最新编写)
A
E
D
P
Q
B
F
C
专题二、定理及推论与中点有关的问题
【例4】（2007 年北师大附中期末试题） （1）如图（1），在 ABC 中， M 是 AC 的中点， E 是 AB 上一点，且 AE 1 AB ，
4
连接 EM 并延长，交 BC 的延长线于 D ，则 BC _______.
CD
（2）如图（2），已知 ABC 中， AE : EB 1: 3 ， BD : DC 2 :1， AD 与 CE 相交于 F ，
3
A
F E
B
D
C
【例6】（宁德市中考题）如图， ABC 中， D 为 BC 边的中点，延长 AD 至 E ，
延长 AB 交 CE 的延长线于 P 。若 AD 2DE ，求证:
AP 3AB 。
A
B D
P
E
C
【巩固】（济南市中考题；安徽省中考题）如图， ABC 中， BC a ，若 D1 ，E1
C
D
E
O
A
B
【习题2】 在 ABC 中， BD CE ， DE 的延长线交 BC 的延长线于 P ，
求证： AD BP AE CP .
A
D
E
B
C
P
【习题3】 如图，在 ABC 的边 AB 上取一点 D ，在 AC 取一点 E ，使 AD AE ， 直线 DE 和 BC 的延长线相交于 P ，求证： BP BD
AD
（2）当 AE 1、1 时，求 AO 的值；
AC 3 4
AD
A
（3）试猜想 AE 1 时 AO 的值，并证明你的猜想.
AC n 1 AD
平行线分线段成比例定理习题
平行线分线段成比例定理习题(共3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2平行线分线段成比例定理习基础知识1. 平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=. l 3l 2l 1FE D CB A2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则ACAEAB AD = ABCDEEDC B A一．判断题（1）三条平行线截两条直线，所得的线段成比例（ ）（2）如图1，321////l l l ，则BFAEDF CE BD AC ==（ ） （3）如图2，在△ABC 中，DE ∥BC ，则ECAEDB AD =（ ） 二．选择题（1）如图3，在△ABC 中，DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，下列 不能成立的比例式一定是（ ）A ．EC AE DB AD = B ．AE AC AD AB = C ．DBEC AB AC = D ．BC DEDB AD =（2）如图4，E 是□ABCD 的边CD 上一点，CD CE 31=，EF ＝6，那么AE 的长为（ ）A ．4B ．6C ．3D ．12（3）如图5，□ABCD ，E 在CD 延长线上，AB ＝10，DE ＝5，EF ＝6，则BF 的长为（ ）A ．3B ．6C ．12D ．16（4）如图6，在ABC 中，AB=3AD, DE6 B. 5 C. 9（5）如图7，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别与AB 、AC 相交于点D 、E ，图2图13ED CB A若AD=4，DB=2，则AE ︰AC 的值为（ ）（A ） （B ）2 （C ）32 （D ）23三、填空题1.如图8，若DE ∥BC,AB=7,AD=3,AE=,则EC= .若AD=3,DB=7,AC=8,则EC= .2.如图9，DE ∥AB,那么AD:DC= ,BC:CE= 。
平行线分线段成比例定理及推论练习
平行线分线段成比例定理及推论练习1、如图，△ADE ∽△ACB ，∠AED ＝∠B ，那么下列比例式成立的是( )A. AD AC ＝AE AB ＝DE BCB. AD AB ＝AE ACC. AD AE ＝AC AB ＝DE BCD. AE EC ＝DE BC2、如图，AB ∥CD ∥EF ，则下列结论不正确的是( )A.AC CE ＝BD DFB.AC AE ＝BD BFC.BD CE ＝AC DFD.AE CE ＝BF DF3、如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若AD DB ＝23，则AE EC＝( ) A.13 B.25 C.23 D.354、如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，若BD ＝2AD ，则( ) A.AD AB ＝12 B.AE EC ＝12 C.AD EC ＝12 D.DE BC ＝125、已知△ABC 和△A ′B ′C ′相似，且△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为R 1，△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为R 2，则R 1与R 2的关系是( )A ．R 1＝R 2B ．R 1R 2＝－1C ．R 1＋R 2＝0D ．R 1R 2＝16、如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD ＝6，DB ＝3，AE ＝4，则EC 的长为( )A ．1B ．2C ．3D ．47、如图，已知BD∥CE，则下列等式不成立的是( )A. AB BC ＝AD AEB. AB AC ＝AD AEC. AB BC ＝AD DED. AC BC ＝AE DE8、如图，▱ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF ∶FC 等于( )A ．3∶2B ．3∶1C ．1∶1D ．1∶29、如图，△ABC 中，DE ∥BC ，∠ADE ＝∠EFC ，AD ∶BD ＝5∶3，CF ＝6，则DE 长为( )A ．6B ．8C ．10D ．1210、如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在BA 的延长线上，点F 在BC 的延长线上，连接EF ，分别交AD ，CD 于点G ，H ，则下列结论错误的是( )A. EA BE ＝EG EFB. EG GH ＝AG GDC. AB AE ＝BC CFD. FH EH ＝CF AD11、如图，已知AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O.若BO OC ＝23，AD ＝10，则AO ＝ ． 12、如图，在△ABC 中，MN ∥BC 分别交AB ，AC 于点M ，N.若AM ＝1，MB ＝2，BC ＝3，则MN 的长为 .13、如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE∥BC，若AD∶AB＝3∶4，AE ＝6，则AC 等于 ．14、如图，AB ，CD 相交于点O ，OC ＝2，OD ＝3，AC ∥BD.EF 是△ODB 的中位线，且EF ＝2，则AC 的长为 ．15、如图，EG ∥BC ，GF ∥CD ，AE ＝3，EB ＝2，AF ＝6，则AD 的值是 ．16、小明正在攀登一个如图所示的攀登架，DE 和BC 是两根互相平行的固定架，DE ＝10米，BC ＝18米，小明从底部固定点B 开始攀登，攀行8米，遇上第二个固定点D ，小明再攀行 米可到达这个攀登架的顶部A.17、如图，AD ∥EG ∥BC ，EG 分别交AB ，DB ，AC 于点E ，F ，G ，已知AD ＝6，BC ＝10，AE ＝3，AB ＝5，则EG ＝ ，FG ＝ ．18、△ABC 中，AB ＝6，AC ＝9，点D 在边AB 所在的直线上，且AD ＝2，过点D 作DE ∥BC 交边AC 所在的直线于点E ，则CE 的长为 ．19、如图，l 1∥l 2∥l 3，AB ＝3，BC ＝5，DF ＝16，求DE 和EF 的长．20、如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，FG ∥DE.求证：△ABC ∽△AFG.21、如图，△ABC 中，点D 是AB 上的一点，过点D 作DE∥BC 交边AC 于点E ，过点E 作EF∥DC 交AD 于点F.已知AD ＝26cm ，AB ＝8cm.求：(1)AE AC 的值；(2)AF AB的值．。
《1.2平行线分线段成比例定理》同步练习6答案
). A.2 : 14•如图所示,AD 是厶ABC 的中线，E 是CA 边的三等分点,BE 交AD 于点F,则AF :FD 为（B.3 : 1D.5 : 1 《1.2平行线分线段成比例定理》同步练习 a c1•若b=d ，则下列各式一定成立的是( )a +bc +d a + c b + dA. b =~^B. ~^= d a _ c b — dC. c = ba — cb — dD. a = d2•如图,已知AB // CD // EF,那么下列结论正确的是 （ ).AD BC A .D F=CE CD BC BC DFB .CE=ADCD AD D. EF = AF 3•如图所示，在△ ACE 中,B?D 分别在AC?AE 上，下列推理不正确的是（). AB BD A.BD // CE? AC = CEAD BDB.BD // CE? AE = CEAB ADC.BD // CE? BC=DEAB BDD.BD // CE? BC=CEC.4 : 11cm,则DH= ，EK=C A EB8•如图所示，已知DE // BC,BF : EF=3 :2,则AC : AE= ,AD : DB=9如图所示，已知平面a//平面3点P是平面a B外一点，且直线PB分别与a B相交于A?B, 直线PD分别与a? 3相交于C?D.(1)求证:AC // BD;⑵如果PA=4 cm,AB=5 cm,PC=3 cm,求PD 的长•BD AB10. 已知AD是厶ABC的内角平分线，求证:DC =AC .EF 11. （拓展深化）如图所示，在△ ABC中,AE : EB=1 : 3,BD : DC=2 : 1,AD与CE相交于F,求FCAF+FD的值.12. 如图，已知AB // CD, / A=38 °，则/ 1=(得 EG=「BD= CD • 4 2 AFFD«1.2平行线分线段成比例定理》同步练习 6答案1. ( B )2. ( A ).3. ( D ).4. ( C )5. 3:10126.5 7. 7.5cm,34.4cm8. 3:2,2:19. (1)证明•/ a // 3 ,平面 PB 助 a =AC,平面 PBD T 3 =BD, ••• AC // BD. ⑵解•/ AC // BD,PA PC 4 3 15 = ,• — = ___ , • CD= __ ,AB CD 5 CD 4 PD=3+ —=—. 4 410. 证明 过C 作CE // AD 交BA 的延长线于E,如图所示,贝AEC= / BAD, / DAC= / ACE.又/ BAD= / DAC, •/ AEC= / ACE, • AC=AE,AB BD又由 AD // CE 知 AE = DC,BD AB• DC=AC.——=二-=.作 DH // BC 交 CE 于 H,贝V DH= BE=AE.FC CD 2 3AEDH 11.作 EG // BC 交 AD 于 G,则由 善弓,即—=-防 M 皿 4。
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不能成立的比例式一定是（ ）
A． AD AE B． AB AC C． AC EC D． AD DE
DB EC
AD AE
AB DB
DB BC
（2）如图 4，E 是□ABCD 的边 CD 上一点， CE 1 CD ，EF＝6，那么 AE 的长为（ ） 3
A．4 B．6 C．3 D．12
2.如图 9，DE∥AB,那么 AD:DC=
,BC:CE=
。
3.如图 10，在梯形 ABCD 中，AD∥BC,E 是 AB 上一点，EF∥BC 交 CD 于 F，若 AE=2,BE=6，CD=7,
则 FC= ,DF=
.
图8
图9
图 10
四、解答题
A 1．如图， DE ∥ BC ，且 DB AE ,若 AB 5，AC 10 ，求 AE 的长。
平行线分线段成比例定理习
基础知识
1. 平行线分线段成比例定理
如下图，如果 l1
∥
l2
∥
l3 ，则
BC AC
EF DF
，
AB AC
DE DF
，
AB DE
AC DF
.
A
D
l1BBiblioteka E l2CF l3
2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果 DE ∥ BC ，则 AD AE AB AC
A
E
D
D
E
A
B
CB
C
一．判断题
（1）三条平行线截两条直线，所得的线段成比例（ ）
（2）如图 1， l1 // l2
// l3 ，则
AC BD
CE DF
AE BF
（ ）
图1
（3）如图 2，在△ABC 中，DE∥BC，则 AD AE （ ） DB EC
二．选择题
图2 （1）如图 3，在△ABC 中，DE∥BC 交 AB 于 D，交 AC 于 E，下列
（3）如图 5，□ABCD，E 在 CD 延长线上，AB＝10，DE＝5，EF＝6，则 BF 的长为（ ）
A．3 B．6 C．12 D．16
（4）如图 6，在 ABC 中，AB=3AD, DE//BC, EF//AB, 若 BF=3, 则线段 FC 的长度是（ ）
A. 6 B. 5 C. 9
D.12
（5）如图 7，在△ABC 中，DE∥BC，DE 分别与 AB、AC 相交于点 D、E，
1
若 AD=4，DB=2，则 AE︰AC 的值为（
）（A）0.5
（B）2
2
（C）
3
3
（D）
2
A
A
图3
图4
三、填空题
D
E
DE
B
C
F 图6
B
C
图5
图7
1.如图 8，若 DE∥BC,AB=7,AD=3,AE=2.25,则 EC= .若 AD=3,DB=7,AC=8,则 EC= .
D
B
E C
12．如图：P 是四边形 OACB 对角线的任意一点，且 PM∥CB，PN∥CA， 求证：OA：AN=OB：MB
B
C
M
P
13．如图，△ABC 中，AF∶FD＝1∶5，BD＝DC，求：AE∶EC． O
2
N
A
3