谓词逻辑习题及答案学习版.doc
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（3）每个喜欢步行的人都不喜欢骑自行车；每个人或者喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车；有的人不喜欢乘汽车。所以有的人不喜欢步行。（个体域取人类全体组成的集合）
（4）每个旅客或者坐头等舱或者坐经济舱；每个旅客当且仅当他富裕时坐头等舱；有些旅客富裕但并非所有的旅客都富裕。因此有些旅客坐经济舱。（个体域取全体旅客组成的集合）
(4)令 ：x是质数，命题符号化为
(5)令 ：x是北方人； ：x怕冷； ：李键；命题符号化为
2.设个体域 ，消去下列各式的量词。
（1） （2）
（3） （4）
解：
(1)中 ，显然 对y是自由的，故可使用UE规则，得到
，因此 ，再用ES规则，
， ，所以
（2）中 ，它对y不是自由的，故不能用UI规则，然而，对
3.求下列谓词公式的前束析取范式和前束合取范式。
（1）
（2）
（3）
（4）
解：（1） 前束析取范式
前束合取范式
（2）原式 前束析取范式
前束合取范式
（3）原式
前束析取范式
前束合取范式
（4）原式
§2.4谓词公式的推理演算
习题2.4
1.证明：
证明：（1）左边
＝
2.指出下面演绎推理中的错误，并给出正确的推导过程。
前提： ， ，
结论： .
证明：(1) P
(2) ES(1)
(3) P
(4) US(3)
(5) T(2)(4) I
(6) P
(7) US(6)
(8) T(5)(7) I
(9) EG(8)
（4）命题符号化为：F(x)：x坐头等舱, G(x)：x坐经济舱，H(x)：x富裕。
前提： ， ， ，
结论： .
证明：(1) P
（2） 前提引入
（3） T规则：(1)，(2)
（4） P规则
（5） T规则：(3)，(4)
（6） P规则
（7） 拒取式
（8） UG规则
（1）
（2）
（3）
（4）
（ⅱ）假设个体域为全总个体域，谓词 表示“ 是杭电学生”时：
（1）
（2）
（3）
（4）
5.令谓词 表示“ 爱 ”，其中 和 的个体域都是全世界所有人的集合。用 、量词和逻辑联接词符号化下列语句。
（1）每个人都爱王平。（2）每个人都爱某个人。
（3）有个人人都爱的人。（4）没有人爱所有的人。
（1）① P规则
② US规则：①
（2）① P规则
② US规则：①
（3）① P规则
② ES规则：①
（4）① P规则
② UG规则：①
（5）① P规则
② EG规则：①
（6）① P规则
② EG规则：①
解：（1）②错，使用US,UG,ES,EG规则应对前束范式，而①中公式不是前束范式，所以不能用US规则。
(2)②错，①中公式为 ，这时， ，因而使用US规则时，应得A(a)(或A(y)),故应有 ，而不能为 。
（4）易知公式是 的代换实例，而
是永真式，所以公式是永真式。
（5）易知公式是 的代换实例，而
是永真式，所以公式是永真式。
（6）易知公式是 的代换实例，而
是永假式，所以公式是永假式。
（7）易知公式是 的代换实例，而
是可满足式，所以公式是可满足式。
§2.3谓词公式的等价演算与wk.baidu.com式
习题2.3
1.将下列命题符号化，要求用两种不同的等价形式。
（1）杭电有个学生既会说德语又了解C++。
（2）杭电有个学生会说德语，但不了解C++。
（3）杭电所有学生或会说德语，或了解C++。
（4）杭电没有学生会说德语或了解C++。
假设个体域为全总个体域，谓词 表示“ 是杭电学生”。用 、 、 、量词和逻辑联接词再次符号化上面的4条语句。
解：（ⅰ）个体域为杭电全体学生的集合时：
（5）有个张键不爱的人。（6）有个人人都不爱的人。
（7）恰有一个人人都爱的人。（8）成龙爱的人恰有两个。
（9）每个人都爱自己。（10）有人除自己以外谁都不爱。
解： ：王平 ：张键 ：张龙
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
(7)
(8)
(9) (10)
§2.2谓词公式及其解释
习题2.2
1.指出下列谓词公式的指导变元、量词辖域、约束变元和自由变元。
(4)存在x,y使得 ，显然当 时是一种情况，所以为Ture。(5)存在x，任意的y使得 成立，显然不成立，所以为False。
(6)任意的y，存在x，使得 成立，显然不成立，所以为False。
4.令谓词 表示“ 说德语”， 表示“ 了解计算机语言C++”，个体域为杭电全体学生的集合。用 、 、量词和逻辑联接词符号化下列语句。
3.用演绎法证明下列推理式
证明：① 前提引入
② ES①
③ 前提引入
④ T①③
⑤ US④
⑥ T②
⑦ T⑤⑥
⑧ EG⑦
4.将下列命题符号化，并用演绎推理法证明其结论是有效的。
（1）有理数、无理数都是实数；虚数不是实数。因此，虚数既不是有理数，也不是无理数。（个体域取全总个体域）
（2）所有的舞蹈者都很有风度；万英是个学生并且是个舞蹈者。因此，有些学生很有风度。（个体域取人类全体组成的集合）
2.判断下列谓词公式哪些是永真式，哪些是永假式，哪些是可满足式，并说明理由。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
解：（1）易知公式是 的代换实例，而
是永真式，所以公式是永真式。
（2）易知公式是 的代换实例，而
是永真式，所以公式是永真式。
（3）易知公式是 的代换实例，而
是永假式，所以公式是永假式。
（1）
（2）
（3）
解：（1）x是指导变元， 的辖域是 ，对于 的辖域而言，x是约束变元，y是自由变元。
（2）x,y都为指导变元， 的辖域是 ， 的辖域是 ；对于 的辖域而言，x,y都为约束变元，对于 的辖域而言，x是自由变元，y是约束变元。
（3）x,y为指导变元， 的辖域是 ， 的辖域是 ， 的辖域是 ；对于 的辖域而言，x,y为约束变元，z为自由变元，对于 的辖域而言，z为自由变元，y为约束变元，x即为约束变元也为自由变元，对于 的辖域而言，x为约束变元，y,z是自由变元。在整个公式中，x,y即为约束变元又为自由变元，z为自由变元。
中约束变元y改名z，得到 ，这时用UI规则，可得：
（3）略
（4）略
3.设谓词 表示“ 等于 ”，个体变元 和 的个体域都是 。求下列各式的真值。
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
解：
(2)当 时可使式子成立，所以为Ture。
(3)当 时就不成立，所以为False。
(4)任意的x,y使得 ，显然有 的情况出现，所以为False。
解：(2)证明：设P(x)：x 是个舞蹈者； Q(x) ：x很有风度； S(x)：x是个学生； a：王华
上述句子符号化为：
前提： 、 结论：
（1） P
（2） P
（3） US（2）
（4） T（1）I
（5） T（3）（4）I
（6） T（1）I
（7） T（5）（6）I
（8） EG（7）
]（3）命题符号化为：F(x)：x喜欢步行,G(x)：x喜欢骑自行车，H(x)：x喜欢坐汽车。
（1）没有小于负数的正数。（2）相等的两个角未必都是对顶角。
解：（1） ：x为负数， ：x是正数， ：x小于y，命题可符号化为： 或
（2）略
2.设 、 和 都是谓词，证明下列各等价式
（1）
（2）
（3）
（4）
证明：（1）左边＝
＝
＝ ＝右边
（2）左边＝
＝
＝ ＝右边
（3）左边＝
＝
＝ ＝右边
（4）左边＝
＝
＝ ＝右边
(2) ES(1)
(3) P
(4) US(3)
(5) T(2)(4)I
(6) P
(7) US(6)
(8) T(5)(7)I
(9) EG(8)
5.令谓词 、 、 和 分别表示“ 是婴儿”，表示“ 的行为符合逻辑”、“ 能管理鳄鱼”和“ 被人轻视”，个体域为所有人的集合。用 、 、 、 、量词和逻辑联接词符号化下列语句。
谓词逻辑习题
1.将下列命题用谓词符号化。
（1）小王学过英语和法语。（2）2大于3仅当2大于4。
（3）3不是偶数。（4）2或3是质数。
（5）除非李键是东北人，否则他一定怕冷。
解：
(1)令 ：x学过英语，Q(x)：x学过法语，c：小王，命题符号化为
(2)令 ：x大于y,命题符号化为
(3)令 ：x是偶数，命题符号化为
（1）婴儿行为不合逻辑。
（2）能管理鳄鱼的人不被人轻视。
（3）行为不合逻辑的人被人轻视。
（4）婴儿不能管理鳄鱼。
请问，能从（1）、（2）和（3）推出（4）吗？若不能，请写出（1）、（2）和（3）的一个有效结论，并用演绎推理法证明之。
解：（1）
（2）
（3）
（4）
能从（1）（2）（3）推出（4）。
证明：（1）P(x)前提假设
（4）每个旅客或者坐头等舱或者坐经济舱；每个旅客当且仅当他富裕时坐头等舱；有些旅客富裕但并非所有的旅客都富裕。因此有些旅客坐经济舱。（个体域取全体旅客组成的集合）
(4)令 ：x是质数，命题符号化为
(5)令 ：x是北方人； ：x怕冷； ：李键；命题符号化为
2.设个体域 ，消去下列各式的量词。
（1） （2）
（3） （4）
解：
(1)中 ，显然 对y是自由的，故可使用UE规则，得到
，因此 ，再用ES规则，
， ，所以
（2）中 ，它对y不是自由的，故不能用UI规则，然而，对
3.求下列谓词公式的前束析取范式和前束合取范式。
（1）
（2）
（3）
（4）
解：（1） 前束析取范式
前束合取范式
（2）原式 前束析取范式
前束合取范式
（3）原式
前束析取范式
前束合取范式
（4）原式
§2.4谓词公式的推理演算
习题2.4
1.证明：
证明：（1）左边
＝
2.指出下面演绎推理中的错误，并给出正确的推导过程。
前提： ， ，
结论： .
证明：(1) P
(2) ES(1)
(3) P
(4) US(3)
(5) T(2)(4) I
(6) P
(7) US(6)
(8) T(5)(7) I
(9) EG(8)
（4）命题符号化为：F(x)：x坐头等舱, G(x)：x坐经济舱，H(x)：x富裕。
前提： ， ， ，
结论： .
证明：(1) P
（2） 前提引入
（3） T规则：(1)，(2)
（4） P规则
（5） T规则：(3)，(4)
（6） P规则
（7） 拒取式
（8） UG规则
（1）
（2）
（3）
（4）
（ⅱ）假设个体域为全总个体域，谓词 表示“ 是杭电学生”时：
（1）
（2）
（3）
（4）
5.令谓词 表示“ 爱 ”，其中 和 的个体域都是全世界所有人的集合。用 、量词和逻辑联接词符号化下列语句。
（1）每个人都爱王平。（2）每个人都爱某个人。
（3）有个人人都爱的人。（4）没有人爱所有的人。
（1）① P规则
② US规则：①
（2）① P规则
② US规则：①
（3）① P规则
② ES规则：①
（4）① P规则
② UG规则：①
（5）① P规则
② EG规则：①
（6）① P规则
② EG规则：①
解：（1）②错，使用US,UG,ES,EG规则应对前束范式，而①中公式不是前束范式，所以不能用US规则。
(2)②错，①中公式为 ，这时， ，因而使用US规则时，应得A(a)(或A(y)),故应有 ，而不能为 。
（4）易知公式是 的代换实例，而
是永真式，所以公式是永真式。
（5）易知公式是 的代换实例，而
是永真式，所以公式是永真式。
（6）易知公式是 的代换实例，而
是永假式，所以公式是永假式。
（7）易知公式是 的代换实例，而
是可满足式，所以公式是可满足式。
§2.3谓词公式的等价演算与wk.baidu.com式
习题2.3
1.将下列命题符号化，要求用两种不同的等价形式。
（1）杭电有个学生既会说德语又了解C++。
（2）杭电有个学生会说德语，但不了解C++。
（3）杭电所有学生或会说德语，或了解C++。
（4）杭电没有学生会说德语或了解C++。
假设个体域为全总个体域，谓词 表示“ 是杭电学生”。用 、 、 、量词和逻辑联接词再次符号化上面的4条语句。
解：（ⅰ）个体域为杭电全体学生的集合时：
（5）有个张键不爱的人。（6）有个人人都不爱的人。
（7）恰有一个人人都爱的人。（8）成龙爱的人恰有两个。
（9）每个人都爱自己。（10）有人除自己以外谁都不爱。
解： ：王平 ：张键 ：张龙
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
(7)
(8)
(9) (10)
§2.2谓词公式及其解释
习题2.2
1.指出下列谓词公式的指导变元、量词辖域、约束变元和自由变元。
(4)存在x,y使得 ，显然当 时是一种情况，所以为Ture。(5)存在x，任意的y使得 成立，显然不成立，所以为False。
(6)任意的y，存在x，使得 成立，显然不成立，所以为False。
4.令谓词 表示“ 说德语”， 表示“ 了解计算机语言C++”，个体域为杭电全体学生的集合。用 、 、量词和逻辑联接词符号化下列语句。
3.用演绎法证明下列推理式
证明：① 前提引入
② ES①
③ 前提引入
④ T①③
⑤ US④
⑥ T②
⑦ T⑤⑥
⑧ EG⑦
4.将下列命题符号化，并用演绎推理法证明其结论是有效的。
（1）有理数、无理数都是实数；虚数不是实数。因此，虚数既不是有理数，也不是无理数。（个体域取全总个体域）
（2）所有的舞蹈者都很有风度；万英是个学生并且是个舞蹈者。因此，有些学生很有风度。（个体域取人类全体组成的集合）
2.判断下列谓词公式哪些是永真式，哪些是永假式，哪些是可满足式，并说明理由。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
解：（1）易知公式是 的代换实例，而
是永真式，所以公式是永真式。
（2）易知公式是 的代换实例，而
是永真式，所以公式是永真式。
（3）易知公式是 的代换实例，而
是永假式，所以公式是永假式。
（1）
（2）
（3）
解：（1）x是指导变元， 的辖域是 ，对于 的辖域而言，x是约束变元，y是自由变元。
（2）x,y都为指导变元， 的辖域是 ， 的辖域是 ；对于 的辖域而言，x,y都为约束变元，对于 的辖域而言，x是自由变元，y是约束变元。
（3）x,y为指导变元， 的辖域是 ， 的辖域是 ， 的辖域是 ；对于 的辖域而言，x,y为约束变元，z为自由变元，对于 的辖域而言，z为自由变元，y为约束变元，x即为约束变元也为自由变元，对于 的辖域而言，x为约束变元，y,z是自由变元。在整个公式中，x,y即为约束变元又为自由变元，z为自由变元。
中约束变元y改名z，得到 ，这时用UI规则，可得：
（3）略
（4）略
3.设谓词 表示“ 等于 ”，个体变元 和 的个体域都是 。求下列各式的真值。
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
解：
(2)当 时可使式子成立，所以为Ture。
(3)当 时就不成立，所以为False。
(4)任意的x,y使得 ，显然有 的情况出现，所以为False。
解：(2)证明：设P(x)：x 是个舞蹈者； Q(x) ：x很有风度； S(x)：x是个学生； a：王华
上述句子符号化为：
前提： 、 结论：
（1） P
（2） P
（3） US（2）
（4） T（1）I
（5） T（3）（4）I
（6） T（1）I
（7） T（5）（6）I
（8） EG（7）
]（3）命题符号化为：F(x)：x喜欢步行,G(x)：x喜欢骑自行车，H(x)：x喜欢坐汽车。
（1）没有小于负数的正数。（2）相等的两个角未必都是对顶角。
解：（1） ：x为负数， ：x是正数， ：x小于y，命题可符号化为： 或
（2）略
2.设 、 和 都是谓词，证明下列各等价式
（1）
（2）
（3）
（4）
证明：（1）左边＝
＝
＝ ＝右边
（2）左边＝
＝
＝ ＝右边
（3）左边＝
＝
＝ ＝右边
（4）左边＝
＝
＝ ＝右边
(2) ES(1)
(3) P
(4) US(3)
(5) T(2)(4)I
(6) P
(7) US(6)
(8) T(5)(7)I
(9) EG(8)
5.令谓词 、 、 和 分别表示“ 是婴儿”，表示“ 的行为符合逻辑”、“ 能管理鳄鱼”和“ 被人轻视”，个体域为所有人的集合。用 、 、 、 、量词和逻辑联接词符号化下列语句。
谓词逻辑习题
1.将下列命题用谓词符号化。
（1）小王学过英语和法语。（2）2大于3仅当2大于4。
（3）3不是偶数。（4）2或3是质数。
（5）除非李键是东北人，否则他一定怕冷。
解：
(1)令 ：x学过英语，Q(x)：x学过法语，c：小王，命题符号化为
(2)令 ：x大于y,命题符号化为
(3)令 ：x是偶数，命题符号化为
（1）婴儿行为不合逻辑。
（2）能管理鳄鱼的人不被人轻视。
（3）行为不合逻辑的人被人轻视。
（4）婴儿不能管理鳄鱼。
请问，能从（1）、（2）和（3）推出（4）吗？若不能，请写出（1）、（2）和（3）的一个有效结论，并用演绎推理法证明之。
解：（1）
（2）
（3）
（4）
能从（1）（2）（3）推出（4）。
证明：（1）P(x)前提假设