2021届高三大一轮复习40分钟单元基础小练21等差数列22

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等差数列练习题及答案

等差数列练习题及答案等差数列练习题及答案数学作为一门基础学科，无论在学校还是在社会生活中都扮演着重要的角色。

其中，等差数列是数学中的一个重要概念，也是我们常见的数学问题之一。

本文将为大家提供一些等差数列的练习题及答案，以帮助大家更好地理解和掌握这个概念。

练习题一：已知等差数列的首项为3，公差为5，求第10项的值。

解答一：根据等差数列的性质，第n项的值可以通过公式an = a1 + (n-1)d来计算。

其中，an表示第n项的值，a1表示首项的值，d表示公差。

代入已知条件，可得第10项的值为a10 = 3 + (10-1)5 = 3 + 45 = 48。

练习题二：已知等差数列的前n项和为Sn = 2n^2 + n，求该等差数列的公差。

解答二：根据等差数列的性质，前n项和可以通过公式Sn = n/2(a1 + an)来计算。

代入已知条件，可得2n^2 + n = n/2(a1 + a1 + (n-1)d)。

化简后得到2n^2 + n = n/2(2a1 + (n-1)d)。

进一步化简可得4n^2 + 2n = n(2a1 + (n-1)d)。

由于等差数列的前n项和是一个关于n的二次函数，所以4n^2 + 2n = n(2a1 + (n-1)d)也是一个关于n的二次函数。

两个二次函数相等，意味着它们的系数相等。

根据系数相等的条件，可得4 = 2a1 + (n-1)d，即2a1 + (n-1)d = 4。

由此可得公差d = (4 - 2a1)/(n-1)。

练习题三：已知等差数列的前n项和为Sn = 3n^2 + 2n，求该等差数列的首项。

解答三：根据等差数列的性质，前n项和可以通过公式Sn = n/2(a1 + an)来计算。

代入已知条件，可得3n^2 + 2n = n/2(a1 + a1 + (n-1)d)。

化简后得到3n^2 + 2n = n/2(2a1 + (n-1)d)。

进一步化简可得6n^2 + 4n =n(2a1 + (n-1)d)。

高考数学一轮复习《等差数列》练习题(含答案)

高考数学一轮复习《等差数列》练习题（含答案）一、单选题1．若3与13的等差中项是4与m 的等比中项，则m =（） A ．12B ．16C ．8D ．202．在等差数列{}n a 中，49a =，且2410,,a a a 构成等比数列，则公差d 等于( ) A ．3-B ．0C ．3D ．0或33．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7614,10S a ==，则{}n a 的公差为（） A ．4B ．3C ．2D ．14．已知数列{}n a ，{}n b 均为等差数列，且125a =，175b =，22120a b +=，则3737a b +的值为（） A ．760B ．820C ．780D ．8605．在等差数列{an }中，若a 2+2a 6+a 10＝120，则a 3+a 9等于（） A ．30B ．40C ．60D ．806．在明朝程大位《算法统宗》中有首依筹算钞歌：“甲乙丙丁戊己庚，七人钱本不均平，甲乙念三七钱钞，念六一钱戊己庚，惟有丙丁钱无数，要依等第数分明，请问先生能算者，细推详算莫差争.”题意是：“现有甲､乙､丙､丁､戊､己､庚七人，他们手里钱不一样多，依次成等差数列，已知甲､乙两人共237钱，戊､己､庚三人共261钱，求各人钱数.”根据上题的已知条件，戊有（） A ．107钱B ．102钱C ．101钱D ．94钱7．已知数列{an }是首项为1a ，公差为d 的等差数列，前n 项和为Sn ，满足4325a a =+，则S 9=（） A ．35B ．40C ．45D ．50 8．正项等比数列{}n a 中，5a ，34a ，42a -成等差数列，若212a =，则17a a =（） A ．4B ．8C ．32D ．649．已知{}n a 是公差不为零的等差数列，2414a a +=，且126,,a a a 成等比数列，则公差为（） A ．1B ．2C ．3D ．410．设等差数列{}n a 的公差为d ，10a >，则“50a >”是“0d >”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件11．设等差数列 {}n a 的前n 项和为n S ，若3710a a += ，则9S = （） A ．22.5B ．45C ．67.5D ．9012．在等差数列{}n a 中n S 为前n 项和，7624a a =- ，则9S =（） A ．28 B ．30C ．32D ．36二、填空题13．记n S 为等差数列{n a }的前n 项和，若24a =，420S =，则9a =_________.14．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4a ，5S ，{}750S ∈-，，则n S 的最小值为__________．15．已知数列{}n a 中，11a =，()1121n n n n a a n a na ++⋅=+-，则通项公式n a =______. 16．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若30a =，636S S =+，则7S =_____．三、解答题17．已知等差数列{}n a 满足32a =，前4项和47S =． (1)求{}n a 的通项公式；(2)设等比数列{}n b 满足23b a =，415b a =，数列{}n b 的通项公式．18．已知等差数列{}n a 满足首项为3331log 15log 10log 42-+的值，且3718a a +=. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221nn S n a n+=+． (1)证明：{}n a 是等差数列；(2)若479,,a a a 成等比数列，求n S 的最小值．20．已知在n的展开式中，前3项的系数成等差数列，求：(1)展开式中二项式系数最大项的项； (2)展开式中系数最大的项； (3)展开式中所有有理项.21．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知535S =，且4a 是1a 与13a 的等比中项，数列{}n b 的前n 项和245n T n n =+．(1)求数列{}{}n n a b 、的通项公式； (2)若14a <，对任意*n ∈N 总有1122111444n nS b S b S b λ+++≤---恒成立，求实数λ的最小值．22．这三个条件中任选一个，补充在下面题目条件中，并解答.①25a =，()11232,n n n S S S n n *+--+=≥∈N ；②25a =，()111322,n n n n S S S a n n *+--=--≥∈N ；③()132,12n n S S n n n n *--=≥∈-N . 问题：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且___________.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知n b 是n a 、1n a +的等比中项，求数列21n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T参考答案1．B2．D3．A4．B5．C7．C8．D9．C10．B11．B12．D 13．18 14．6- 15．21nn - 16．717．（1）设等差数列{}n a 首项为1a ，公差为d ．∵3427a S =⎧⎨=⎩∴()1122441472a d a d +=⎧⎪⎨⨯-+=⎪⎩解得：1112a d =⎧⎪⎨=⎪⎩∴等差数列{}n a 通项公式()11111222n a n n =+-⨯=+（2）设等比数列{}n b 首项为1b ，公比为q∵2341528b a b a ==⎧⎨==⎩∴13128b q b q ⋅=⎧⎨⋅=⎩ 解得：24q =即112b q =⎧⎨=⎩或112b q =-⎧⎨=-⎩ ∴等比数列{}n b 通项公式12n n b -=或()12n n b -=--18．（1）根据题意得，13331log 15log 10log 42a =-+333331533log log log log 2log 211022⎛⎫=+=+=⨯= ⎪⎝⎭，因为数列{}n a 是等差数列，设公差为d ，则由3718a a +=，得112618a d a d +++=，解得2d =，所以()11221n a n n =+-⨯=-.（2）由（1）可得1111(21)(21)22121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以1111111112323522121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭11122121nn n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭. 19．（1）因为221nn S n a n +=+，即222n n S n na n+=+①，当2n ≥时，()()()21121211n n S n n a n --+-=-+-②，①-②得，()()()22112212211n n n n S n S n na n n a n --+---=+----，即()12212211n n n a n na n a -+-=--+，即()()()1212121n n n a n a n ----=-，所以11n n a a --=，2n ≥且N*n ∈，所以{}n a 是以1为公差的等差数列．（2）[方法一]：二次函数的性质由（1）可得413a a =+，716a a =+，918a a =+，又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2749a a a =⋅，即()()()2111638a a a +=+⋅+，解得112a =-，所以13n a n =-，所以()22112512562512222228n n n S n n n n -⎛⎫=-+=-=--⎪⎝⎭，所以，当12n =或13n =时，()min 78n S =-． [方法二]：【最优解】邻项变号法由（1）可得413a a =+，716a a =+，918a a =+，又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2749a a a =⋅，即()()()2111638a a a +=+⋅+，解得112a =-，所以13n a n =-，即有1123210,0a a a a <<<<=.则当12n =或13n =时，()min 78n S =-． 20．（1）n展开式的通项公式为1C kn kk k nT -+=⋅3561C 2n kk n k x -=，依题意得122112C 1C 22n n ⋅⋅=+⋅，即2C 4(1)n n =-，得8n =，所以8的展开式有9项，二项式系数最大的项为5项，所以22433584135C 28T x x ==. （2）由（1）知，2456181C 2kk k k T x -+=，设展开式中系数最大的项为第1k +项，则1881188111C C 2211C C 22k k k k k k k k --++⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，即()()()()()()8!8!2!8!1!9!8!8!2!8!1!7!k k k k k k k k ⎧≥⋅⎪⋅--⋅-⎪⎨⎪⋅≥⎪⋅-+⋅-⎩，即92228k k k k -≥⎧⎨+≥-⎩，解得23k ≤≤，所以2k =或3k =，所以展开式中系数最大的项为737x 和327x . （3）由2456181C 2kk k k T x -+=(0,1,2,3,4,5,6,7,8)k =为有理项知，2456k -为整数，得0k =，6.所以展开式中所有有理项为4x 和716x. 21．（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由535S =得151035a d +=，因为4a 是1a 与13a 的等比中项，所以()()2111312a d a a d +=+．化简得172a d =-且2123a d d =，解方程组得17,0a d ==或13,2a d==．故{}n a 的通项公式为7n a =或21n a n =+（其中N n *∈）；因为245n T n n =+，所以214(1)5(1)n T n n -=-+-，(2)n ≥，所以22145[4(1)5(1)]81n n n b T T n n n n n -=-=+--+-=+，因为119b T ==，满足上式，所以()81N n b n n *=+∈；（2）因为14a <，所以21n a n =+，所以(2)n S n n =+，所以221114488141n n S b n n n n ==-+---，所以22211221111114442141(2)1n n S b S b S b n +++=+++------1111335(21)(21)n n =+++⨯⨯-+111111123352121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，易见111221n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭随n 的增大而增大，从而11112212n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭恒成立，所以12λ≥，故λ的最小值为12.22．(1)解：选条件①时，25a =，1123n n n S S S +--+=，整理得()()113n n n n S S S S +----=，故13n n a a +-=（常数），且213a a -=，所以数列{}n a 是以2为首项，3为公差的等差数列.故()13131n a a n n =+-=-；选条件②时，25a =，()*111322,n n n n S S S a n n +--=--≥∈N ，整理得()1112n n n n n S S S S a +---=--，故112n n n a a a +-+=，故数列{}n a 是等差数列，公差213d a a =-=，故()13131n a a n n =+-=-；选条件③时，()*132,12n n S S n n n n --=≥∈-N ，且121S =，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，32为公差的等差数列，则()33121222n S n n n =+-=+，所以23122n S n n =+，则2n ≥时，131n n n a S S n -=-=-.又112311a S ===⨯-满足31n a n =-，所以31n a n =-，*n ∈N . (2)解：由（1）得：31n a n =-，由于n b 是n a 、1n a +的等比中项，所以()()213132n n n b a a n n +==-+⋅，则()()211111313233132n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，故()11111111113255831323232232n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-=-=⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭。

2021届高三数学总复习第一轮——等差数列

等差数列高考大纲思维导图讲义导航知识梳理一、等差数列的定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示二、等差数列的通项公式等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为a n＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为a m，则第n项为a n＝a m+（n﹣m）d．三、等差数列的性质（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；（3）m，n∈N+，则a m＝a n+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则a s+a t＝a p+a q，其中a s，a t，a p，a q是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有a s+a t＝2a p；（5）若数列{a n}，{b n}均是等差数列，则数列{ma n+kb n}仍为等差数列，其中m，k均为常数．（6）a n，a n﹣1，a n﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2a n+1＝a n+a n+2，2a n＝a n﹣m+a n+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）a m，a m+k，a m+2k，a m+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．四、等差数列的求和公式等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和的公式：①()12nnn a aS+=；②()112nn nS na d-=+．五、等差数列最值求解等差数列前n项和的最值问题可转化为项的正负问题，也可转化为二次函数最值问题.例题讲解一、等差数列定义的理解例1．下面数列中，是等差数列的有( ) ①4,5,6,7,8…②3,0，－3,0，－6，…③0,0,0,0…④110，210，310，410，… A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个例2．下列数列中不是等差数列的为（） A.0，0，0，0，0 B.0，1-，2-，3-，4- C.2，3，4，5，6 D.0，1，2，1，0二、等差数列通项公式例1．在等差数列{}n a 中，已知32a =，5815a a +=，则10(a = ) A ．64 B ．26C ．18D ．13例2．在等差数列{}n a 中，214a =，55a =，则公差(d = )A ．2-B ．3-C ．2D ．3例3．已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则公差等于( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8三、等差数列的性质例1．等差数列{}n a 中，已知21016a a +=，则468(a a a ++= ) A ．16 B ．20 C ．24 D ．28例2．等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则91113a a -的值是( )A ．14B ．15C ．16D ．17例3．已知等差数列{}n a 单调递增且满足1104a a +=，则8a 的取值范围是( )A ．(2,4)B ．(,2)-∞C ．(2,)+∞D ．(4,)+∞四、等差数列的求和公式例1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S a =，且30a ≠，则43(S S = ) A ．1B ．53C ．83D ．3例2．等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，36927a a a ++=，则数列{}n a 前9项的和9S 等于( ) A ．99 B ．66C ．144D ．297例3．设{}n a 是任意等差数列，它的前n 项和、前2n 项和与前4n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是( )A ．23X Z Y +=B ．44X Z Y +=C ．237X Z Y +=D ．86X Z Y +=六、等差数列最值求解例1．已知等差数列{}n a 中，39a a =，公差0d <，则使其前n 项和n S 取得最大值的自然数n 是（）． A.4或5 B.5或6 C.6或7 D.不存在例2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，S n 的最小值_______．例3．在各项均为正数的等比数列{a n }中，214a =，且a 4+a 5=6a 3．练习A1．下列说法中正确的是（）A.若a ，b ，c 成等差数列，则222,,a b c 成等差数列B.若a ，b ，c 成等差数列，则222log ,log ,log a b c 成等差数列C.若a ，b ，c 成等差数列，则a+2，b+2，c+2成等差数列D.若a ，b ，c 成等差数列，则2,2,2a b c 成等差数列2．已知下列各数列，其中为等差数列的个数为（） 1 4，5，6，7，8，... 2 3，0，-3，0，-6，... 3 0，0，0，0， (4)1234,,,,10101010… A.1 B.2C.3D.43．已若{}n a 是等差数列，则由下列关系确定的数列{}n b 也一定是等差数列的是（）A. 2n n b a =B. 2n n b a n =+C. 1n n n b a a +=+D. n n b na =4．已知数列{}n a 为等差数列，且39a =，53a =，则9a 等于( )A ．9-B ．6-C ．3-D ．275．已知等差数列{}n a 中，1232a a a ++=，3456a a a ++=，则91011a a a ++的值为( ) A ．18 B ．16 C ．14 D ．126．等差数列{}n a 中，若46101290a a a a +++=，则10141(3a a -= )A ．15B ．30C ．45D ．607．等差数列{}n a 中，31a =-，1117a =-，则7a 等于( )A ．9-B ．8-C ．92-D ．4-8．在等差数列{}n a 中，公差为12，1359960a a a a +++⋯+=，则246100(a a a a +++⋯+= ) A ．60 B ．70 C ．75 D ．859．已知等差数列{}n a 满足12910a a a ++⋯+=，则有( )A ．3890a a +=B ．2900a a +<C ．1910a a +>D ．4646a =10．已知数列{}n a 为等差数列，且17132a a a π++=，则7tan (a = )A．BC． D．11．已知0a >，0b >，并且1a ，12，1b成等差数列，则9a b +的最小值为( ) A ．16 B ．9C ．5D ．412．等差数列{}n a 中，已知21016a a +=，则468(a a a ++= ) A ．16 B ．20C ．24D ．2813．在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则10122a a -的值为( ) A ．20 B ．22C ．24D ．2814．等差数列{}n a 中，156a a +=，65a =，那么9a 的值是( ) A ．7- B ．7 C ．113-D ．11315．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则8967a a a a ++等于( )A．1+B．1-C．3+D．3-16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S a =，且30a ≠，则43(S S = ) A ．1B ．53C ．83D ．317．设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若4104a a +=，则13(S = ) A ．13 B ．14C ．26D ．5218．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1353a a a ++=，则5(S = ) A ．5 B ．7C ．9D ．1019．在等差数列{}n a 中，若351024a a a ++=，则此数列的前13项的和等于( ) A ．8 B ．13C ．16D ．2620．在等差数列{}n a 中，若14739a a a ++=，36927a a a ++=，则9(S = ) A ．66 B ．99C ．144D ．29721．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若312S =，244a a +=，则6(S = ) A ．6 B ．12C ．15D ．1822．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，111a =-，466a a +=-．则当n S 取最小值时，(n = ) A ．6 B ．7C ．8D ．923．数列{}n a 的通项公式为2328n a n n =-，则数列{}n a 各项中最小项是( )A ．第4项B ．第5项C ．第6项D ．第7项24．已知数列{}n a 是等差数列，若91130a a +<，10110a a <，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，那么当n S 得最小正值时，n 等于( ) A ．20 B ．17 C ．19 D ．2125．已知n S 是等差数列*{}()n a n N ∈的前n 项和，且564S S S >>，以下有四个命题：①数列{}n a 中的最大项为10S ②数列{}n a 的公差0d < ③100S >④110S <其中正确的序号是( )A ．②③B ．②③④C ．②④D ．①③④26．在等差数列{}n a 中，128a =-，公差4d =，若前n 项和n S 取得最小值，则n 的值为( ) A ．7 B ．8C ．7或8D ．8或927．数列{}n a 是首项为111a =，公差为2d =-的等差数列，那么使前n 项和n S 最大的n 值为( ) A ．4 B ．5C ．6D ．7练习B1．设{}n a 为等差数列，则下列数列中，成等差数列的个数为( )①2{}na ②{}n pa ③{}n pa q + ④{}(n na p 、q 为非零常数） A ．1 B ．2C ．3D ．42．等差数列{}n a 的公差0d >，前n 项和为n S ，则对2n >时有( ) A ．1nn S a a n<< B ．1nn S a a n <<C ．1n n Sa a n<<D ．1,,n n Sa a n的大小不确定3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，在同一个坐标系中，()n a f n =及()n S g n =的部分图象如图所示，则( )A ．当4n =时，n S 取得最大值B ．当3n =时，n S 取得最大值C ．当4n =时，n S 取得最小值D ．当3n =时，n S 取得最小值4．已知数列{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和．若3916S S =，则612(S S = )A ．110B ．310C ．510D ．7105．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足100S >，110S <，则下列数值最大的是( )A ．4SB ．5SC ．6SD ．7S6．等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S 与n T ，若3221n n S n T n -=+，则77(ab = ) A ．3727B ．3828C ．3929D ．40307．一个有限项的等差数列，前4项之和为40，最后4项之和是80，所有项之和是210，则此数列的项数为( ) A ．10 B ．12 C ．14 D ．168．已知点(n ，*)()n a n N ∈都在直线3240x y --=上，那么在数列n a 中有79(a a += )A ．790a a +>B ．790a a +<C ．790a a +=D ．790a a =9．已知等差数列{}n a 满足3243a a =，则{}n a 中一定为零的项是( )A ．6aB ．8aC ．10aD ．12a10．在等差数列{}n a 中，15a =，470a a +=，则数列{}n a 中为正数的项的个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．711．已知数列{}n a 中，132(3n n a a ++= *)n N ∈，且356820a a a a +++=，那么10a 等于( ) A ．8 B ．5 C ．263D ．712．若等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，记nn S b n=，则( ) A ．数列{}n b 是等差数列，{}n b 的公差也为dB ．数列{}n b 是等差数列，{}n b 的公差为2dC ．数列{}n n a b +是等差数列，{}n n a b +的公差为dD ．数列{}n n a b -是等差数列，{}n n a b -的公差为2d13．等差数列{}n a 中，已知113a =，254a a +=，33n a =，则n 为( )A ．48B ．49C ．50D ．5114．若等差数列的首项是24-，且从第10项开始大于零，则公差d 的取值范围是( )A ．83d > B ．3d < C ．833d < D ．833d <15．在数列{}n a 中，若1332()n n a a n N +=+∈，且247920a a a a +++=，则10a 为( ) A ．5 B ．7C ．8D ．1016．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，111a =-，466a a +=-．则当n S 取最小值时，(n = ) A ．6 B ．7C ．8D ．917．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，63a =，则48(a a += )A ．有最小值6B ．有最大值6C ．有最大值9D ．有最小值318．已知实数序列1a ，2a ，⋯，n a 满足：任何连续3项之和均为负数，且任何4项之和均为正数，则n 的最大值是( ) A ．4 B ．5C ．6D ．719．已知n S 是等差数列*{}()n a n N ∈的前n 项和，且564S S S >>，以下有四个命题：①数列{}n a 中的最大项为10S ②数列{}n a 的公差0d < ③100S >④110S <其中正确的序号是( )A ．②③B ．②③④C ．②④D ．①③④20．已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，如果21a =，那么这个数列前3项的和3S 的取值范围是( )A ．(-∞，1]-B ．[1，)+∞C ．[2，)+∞D ．[3，)+∞21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且110a =，56S S ，下列四个命题中，假命题是( )A ．公差d 的最大值为2-B ．70S <C ．记n S 的最大值为K ，K 的最大值为30D ．20162017a a >练习C1．已知||0x y >>．将四个数,,x x y x y -+( )A ．当0x >时，存在满足已知条件的x ，y ，四个数构成等比数列B ．当0x >时，存在满足已知条件的x ，y ，四个数构成等差数列C ．当0x <时，存在满足已知条件的x ，y ，四个数构成等比数列D ．当0x <时，存在满足已知条件的x ，y ，四个数构成等差数列2．等差数列{}n a 的公差0d >，前n 项和为n S ，则对2n >时有( )A ．1nn S a a n<< B ．1nn S a a n<<C ．1nn S a a n<< D ．1,,nn S a a n的大小不确定3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，在同一个坐标系中，()n a f n =及()n S g n =的部分图象如图所示，则( )A ．当4n =时，n S 取得最大值B ．当3n =时，n S 取得最大值C ．当4n =时，n S 取得最小值D ．当3n =时，n S 取得最小值4．等差数列，的前项和分别为，，若，则 A ． B ．C ．D ．5．在等差数列中，，其前项和为，若，则 A ． B ．C ．2008D ．20096．设为等差数列，则下列数列中，成等差数列的个数为① ② ③ ④、为非零常数） A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．设表示等差数列的前项和，已知，那么等于 A ．B ．C ．D ．8．等差数列中，，，则该数列前项之和为{}n a {}n b n n S n T 231n n S n T n =+(n na b =)232131n n --2131n n ++2134n n -+{}n a 12007a =-n n S 20082006220082006S S -=2009(S =)2009-2008-{}n a ()2{}na {}n pa {}n pa q +{}(n na p q n S {}n a n 51013S S =1020SS ()193101813{}n a 1m a k =1()k a m k m=≠mk ()A ．B ．C ．D ．9．设数列为等差数列，其前项和为，已知，，若对任意，都有成立，则的值为A ．22B ．21C ．20D ．1910．设等差数列的公差为，前项和为．若，则的最小值为 A ．10 B ．C ．D ．二．填空题（共2小题） 11．在等差数列中，，若它的前项和有最大值，则使取得最小正数的 19 ．12．已知两个等差数列、的前项和分别为和，若，则使为整数的正整数的个数是 5个．课后练习1．等差数列中，若，则．2．设等差数列的前项和为，若，，则 0 ，的最小值为．3．等差数列中，，，则取最大值时， 6或7 ．4．已知等差数列的前项和为，能够说明“若数列是递减数列，则数列是递减数列”是假命题的数列的一个通项公式为（答案不唯一）．5．设等差数列的前项和为，若，，则数列的公差等于．6．若等差数列满足，则12mk-2mk12mk +12mk+{}n a n n S 14799a a a ++=25893a a a ++=*n N ∈n k S S k (){}n a d n n S 11a d ==8n nS a +()927212+{}n a 11101a a <-n n S n S n ={}n a {}n b n n A n B 7453n n A n B n +=+n na b {}n a 31110a a +=678a a a ++={}n a n n S 23a =-510S =-5a =n S {}n a 10a >49S S =n S n ={}n a n n S {}n a {}n S {}n a 27n a n =-+{}n a n n S 1122S =71a ={}n a 1-{}n a 1461,52a a a =+=2019a =20192二．解答题（共3小题）7．在等差数列中，已知，，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求．8．设等差数列满足，．（1）求的通项公式；（2）求的前项和及使得最大的序号的值．9．已知为等差数列，，． ( I ) 求数列的通项公式以及前项和．（Ⅱ）求使得的最小正整数的值．{}n a 1312a a +=2418a a +=*n N ∈{}n a 3693n a a a a +++⋯+{}n a 35a =109a =-{}n a {}n a n n S n S n {}n a 112a =-562a a ={}n a n n S 14n S >n。

2021-2022年高考数学一轮复习专题6.2等差数列及其求和练

2021年高考数学一轮复习专题6.2等差数列及其求和练一、填空题1．(xx·南京模拟)在等差数列{a n}中，已知a1＋a7＝10，则a3＋a5＝________.【答案】10【解析】∵{a n}是等差数列，∴a3＋a5＝a1＋a7＝10.2．(xx·南通调研)已知数列{a n}是等差数列，a1＋a7＝－8，a2＝2，则数列{a n}的公差d＝________.【答案】－33．中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________．【答案】5【解析】设该数列的首项为a1，根据等差数列的性质可得a1＋2 015＝2×1 010，从而a1＝5. 4．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.【答案】60【解析】∵S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，∴40＝10＋S30－30，∴S30＝60.5．(xx·徐州、宿迁、连云港模拟)在等差数列{a n}中，a1＋3a8＋a15＝120，则3a9－a11的值为________．【答案】48【解析】由a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，得a8＝24，故3a9－a11＝3(a1＋8d)－(a1＋10d)＝2a1＋14d ＝2(a1＋7d)＝2a8＝48.6．设数列{a n}，{b n}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝________. 【答案】100【解析】设{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2，∴{a n ＋b n }为等差数列，又a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100， ∴{a n ＋b n }为常数列，∴a 37＋b 37＝100.7．(xx·泰安模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝－11，a 5＋a 9＝－2，则当S n 取最小值时，n ＝________. 【答案】7【解析】设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－11，a 5＋a 9＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－11，2a 1＋12d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－13，d ＝2.∴a n ＝－15＋2n .由a n ＝－15＋2n ≤0，解得n ≤152.又n 为正整数，∴当S n 取最小值时，n ＝7.8．正项数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，则a 7＝________. 【答案】19二、解答题9．等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解 (1)设数列{a n }首项为a 1，公差为d ，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝25.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35. (2)由(1)知，b n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋35.当n ＝1,2,3时，1≤2n ＋35<2，b n ＝1；当n ＝4,5时，2≤2n ＋35<3，b n ＝2；当n ＝6,7,8时，3≤2n ＋35<4，b n ＝3；当n ＝9,10时，4≤2n ＋35<5，b n ＝4.所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数． (1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．【能力提升】11．(xx·东北三省四市联考)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为________．【答案】53【解析】依题意，设这100份面包所分成的五份由小到大依次为a －2m ，a －m ，a ，a ＋m ，a ＋2m ，则有⎩⎪⎨⎪⎧5a ＝100，a ＋a ＋m＋a ＋2m ＝7a －2m ＋a －m ，解得a ＝20，m ＝11a 24，a －2m ＝a 12＝53，即其中最小一份为53.12．(xx·泰州模拟)已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 12＝24，则a 6·a 7的最大值为________．【答案】4【解析】在等差数列{a n }中，∵S 12＝6(a 6＋a 7)＝24，∴a 6＋a 7＝4，令x >0，y >0，由基本不等式可得x ·y ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，当且仅当x ＝y 时“＝”成立．又a 6>0，a 7>0，∴a 6·a 7≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6＋a 722＝4，当且仅当a 6＝a 7＝2时，“＝”成立．即a 6·a 7的最大值为4.13．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________．【答案】1941【解析】∵{a n }，{b n }为等差数列， ∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6. ∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941， ∴a 6b 6＝1941. 14．设数列{a n }的前n 项和为S n .若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得S n ＝a m ，则称{a n }是“H 数列”．(1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n (n ∈N *)，证明：{a n }是“H 数列”；(2)设{a n }是等差数列，其首项a 1＝1，公差d ＜0，若{a n }是“H 数列”，求d 的值； (3)证明：对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)成立．。

高考一轮复习等差数列知识点+例题+练习

自主梳理1．等差数列的有关定义(1)一般地，如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的____等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为____________ (n ∈N *，d 为常数)．(2)数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是____________，其中A 叫做a ，b 的____________．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝____________，a n ＝a m ＋__________ (m ，n ∈N *)．(2)前n 项和公式：S n ＝______________＝________________.3．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列的充要条件是其前n 项和公式S n ＝____________.4．等差数列的性质(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有________________，特别地，当m ＋n ＝2p 时，________________.(2)等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列．(3)等差数列的单调性：若公差d >0，则数列为________；若d <0，则数列为__________；若d ＝0，则数列为____________．自我检测1．已知等差数列{a n }中，a 5＋a 9－a 7＝10，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则S 13的值为________．2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d ＝________.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 9＝72，则a 2＋a 4＋a 9＝________.4．若等差数列{a n }的前5项之和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝________.学生姓名教师姓名班主任日期时间段年级课时教学内容等差数列及其前n 项和教学目标 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.了解等差数列与一次函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．重点等差数列性质、公式灵活应用难点同上5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5＝________.探究点一等差数列的基本量运算例1 等差数列{a n }的前n 项和记为S n .已知a 10＝30，a 20＝50，(1)求通项a n ；(2)若S n ＝242，求n .变式迁移1 设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，它的前10项和S 10＝110，且a 1，a 2，a 4成等比数列，求公差d 和通项公式a n .探究点二等差数列的判定例2 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1 (n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大值和最小值，并说明理由．变式迁移2 已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n －1(n ≥2且n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值．(2)是否存在实数λ，使得数列{a n ＋λ2n }为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．探究点三等差数列性质的应用例3 若一个等差数列的前5项之和为34，最后5项之和为146，且所有项的和为360，求这个数列的项数．变式迁移3 已知数列{a n }是等差数列．(1)前四项和为21，末四项和为67，且前n 项和为286，求n ；(2)若S n ＝20，S 2n ＝38，求S 3n ；(3)若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数．探究点四等差数列的综合应用例4 已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72.若b n ＝12a n －30，求数列{b n }的前n 项和的最小值．变式迁移4 在等差数列{a n }中，a 16＋a 17＋a 18＝a 9＝－36，其前n 项和为S n .(1)求S n 的最小值，并求出S n 取最小值时n 的值．(2)求T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |.1．等差数列的判断方法有：(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列．(2)中项公式：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列．(4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)⇔{a n }是等差数列．2．对于等差数列有关计算问题主要围绕着通项公式和前n 项和公式，在两个公式中共五个量a 1、d 、n 、a n 、S n ，已知其中三个量可求出剩余的量，而a 与d 是最基本的，它可以确定等差数列的通项公式和前n 项和公式．3．要注意等差数列通项公式和前n 项和公式的灵活应用，如a n ＝a m ＋(n －m )d ，S 2n －1＝(2n －1)a n 等．4．在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为①a ，a ＋d ，a ＋2d ；②a －d ，a ，a ＋d ；③a －d ，a ＋d ，a ＋3d 等可视具体情况而定．一、填空题1．已知{a n }为等差数列，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5＝______.2．如果等差数列{}a n 中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝________.3．已知{a n }是等差数列，a 1＝－9，S 3＝S 7，那么使其前n 项和S n 最小的n 是________．4．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为________．5．等差数列{a n }的前n 项和满足S 20＝S 40，下列结论中正确的序号是________． ①S 30是S n 中的最大值；②S 30是S n 中的最小值；③S 30＝0；④S 60＝0.6．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________.7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________.8．在数列{a n }中，若点(n ，a n )在经过点(5,3)的定直线l 上，则数列{a n }的前9项和S 9＝________.二、解答题9．设{a n }是一个公差为d (d ≠0)的等差数列，它的前10项和S 10＝110，且a 22＝a 1a 4.(1)证明：a 1＝d ；(2)求公差d 的值和数列{a n }的通项公式．10．已知等差数列{a n}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{a n}的前n项和为S n.(1)求a n及S n；(2)令b n＝1a2n－1(n∈N*)，求数列{b n}的前n项和T n. 11．在数列{a n}中，a1＝1,3a n a n－1＋a n－a n－1＝0(n≥2)．(1)证明数列{1a n}是等差数列；(2)求数列{a n}的通项；(3)若λa n＋1a n＋1≥λ对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．。

2021-2022年高三数学一轮复习专项训练等差、等比综合问题(含解析)

2021年高三数学一轮复习专项训练等差、等比综合问题（含解析）1、已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.解 (1)设{a n }的公差为d .由题意，得a 211＝a 1a 13，即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )．于是d (2a 1＋25d )＝0.又a 1＝25，所以d ＝－2或0(舍去)．故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n 2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n . 2、已知数列{a n }是公差为2的等差数列，它的前n 项和为S n ，且a 1＋1，a 3＋1，a 7＋1成等比数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n 的前n 项和T n .解 (1)由题意，得a 3＋1＝a 1＋5，a 7＋1＝a 1＋13，所以由(a 3＋1)2＝(a 1＋1)·(a 7＋1)得(a 1＋5)2＝(a 1＋1)·(a 1＋13)解得a 1＝3，所以a n ＝3＋2(n －1)，即a n ＝2n ＋1.(2)由(1)知a n ＝2n ＋1，则S n ＝n (n ＋2)， 1S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－2n ＋32n ＋1n ＋2. 考点二：数列与函数、不等式的综合应用1、设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＋a 4＝8，且对任意n ∈N *，函数f (x )＝(a n －a n ＋1＋a n ＋2)x ＋a n ＋1cos x－a n ＋2sin x 满足f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)由题设可得，对任意n ∈N *，f ′(x )＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1sin x －a n ＋2cos x .f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1＝0，即a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，故{a n }为等差数列．由a 1＝2，a 2＋a 4＝8，解得数列{a n }的公差d ＝1，所以a n ＝2＋1·(n －1)＝n ＋1.(2)由b n ＝＝2⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1＋12n ＋1＝2n ＋12n ＋2，知S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2n ＋2·n n ＋12＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝n 2＋3n ＋1－12n . 2、已知正项数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和S n 满足a n ＝S n ＋S n －1(n ≥2)．(1)求证：{S n }为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和为T n ，若对任意的n ∈N *，不等式4T n ＜a 2－a 恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)因为a n ＝S n ＋S n －1，所以S n －S n －1＝S n ＋S n －1，即S n －S n －1＝1，所以数列{S n }是首项为1，公差为1的等差数列，得S n ＝n ，所以a n ＝S n ＋S n －1＝n ＋(n －1)＝2n －1(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝1也适合，所以a n ＝2n －1.(2)因为1a n a n ＋1＝12n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以，T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15 ＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1.∴T n ＜12，要使不等式4T n ＜a 2－a 恒成立，只需2≤a 2－a 恒成立，解得a ≤－1或a ≥2，故实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．考点：数列综合练习题1．公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且－3a 1，－a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4＝( )．A ．－20B ．0C ．7D ．40解析记等比数列{a n }的公比为q (q ≠1)，依题意有－2a 2＝－3a 1＋a 3，－2a 1q ＝－3a 1＋a 1q 2，即q 2＋2q －3＝0，(q ＋3)(q －1)＝0，又q ≠1，因此有q ＝－3，则S 4＝1×[1－－34]1＋3＝－20.答案 A2．若－9，a ，－1成等差数列，－9，m ，b ，n ，－1成等比数列，则ab ＝( )．A ．15B ．－15C ．±15D ．10解析由已知得a ＝－9－12＝－5，b 2＝(－9)×(－1)＝9且b <0，∴b ＝－3，∴ab ＝(－5)×(－3)＝15.答案 A3．数列{a n }满足a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，则满足S n >1 025的最小n 值是( )．A ．9B ．10C ．11D ．12解析因为a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *)，所以a n ＋1＝2a n ，a n ＝2n －1，S n ＝2n －1，则满足S n >1 025的最小n 值是11.答案 C4．已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )．A ．35B ．33C ．31D ．29解析设数列{a n }的公比为q ，则由等比数列的性质知，a 2·a 3＝a 1·a 4＝2a 1，即a 4＝2.由a 4与2a 7的等差中项为54知，a 4＋2a 7＝2×54，∴a 7＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2×54－a 4＝14.∴q 3＝a 7a 4＝18，即q ＝12. ∴a 4＝a 1q 3＝a 1×18＝2，∴a 1＝16，∴S 5＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝31. 答案 C5．设y ＝f (x )是一次函数，若f (0)＝1，且f (1)，f (4)，f (13)成等比数列，则f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )等于( )．A ．n (2n ＋3)B ．n (n ＋4)C ．2n (2n ＋3)D ．2n (n ＋4)解析由题意可设f (x )＝kx ＋1(k ≠0)，则(4k ＋1)2＝(k ＋1)×(13k ＋1)，解得k ＝2，f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2n ＋1)＝2n 2＋3n .答案 A6．已知实数a 1，a 2，a 3，a 4构成公差不为零的等差数列，且a 1，a 3，a 4构成等比数列，则此等比数列的公比等于________．解析设公差为d ，公比为q .则a 23＝a 1·a 4，即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋3d )，解得a 1＝－4d ，所以q ＝a 3a 1＝a 1＋2d a 1＝12. 答案 127．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________．解析每天植树棵数构成等比数列{a n }，其中a1＝2，q＝2.则S n＝a11－q n1－q＝2(2n－1)≥100，即2n＋1≥102.∴n≥6，∴最少天数n＝6.答案6。

高三等差数列练习题及答案解析

高三等差数列练习题及答案解析在高中数学的学习过程中，等差数列是一个非常重要的概念。

在这篇文章中，我们将提供一些高三等差数列练习题并给出详细的答案解析。

希望这些题目能够帮助学生们更好地理解和掌握等差数列的性质和运算规律。

练习题一：已知等差数列的首项为a，公差为d。

若第7项等于2a+5d，第10项等于8a+11d，则求该等差数列的首项和公差。

解析：设该等差数列的首项为a，公差为d。

根据已知条件，我们可以列出以下方程组：a + 6d = 2a + 5d --(1)a + 9d = 8a + 11d --(2)我们先来解第一个方程：将方程(1)化简，得到：d = a --(3)然后，我们将方程(3)代入方程(2)，得到：a + 9(a) = 8a + 11(a)10a = 18a由此可知，a = 0。

将a代入方程(3)，得到：d = 0所以该等差数列的首项为0，公差也为0。

练习题二：已知等差数列的前n项和为Sn，公差为d。

若前m项和为Sm，其中m < n，则求从第m+1项到第n项的和。

解析：设从第m+1项到第n项的和为Sn'，则根据等差数列的性质，有：Sn' = Sn - Sm练习题三：已知等差数列的前n项和为Sn，公差为d。

若将每一项都乘以-1后得到新的数列，求新数列的前n项和。

解析：设新数列的前n项和为S'n。

根据等差数列的性质，有：S'n = -Sn练习题四：已知等差数列的前n项和为Sn，公差为d。

若将每一项都平方后得到新的数列，求新数列的前n项和。

设新数列的前n项和为S''n。

根据等差数列的性质，有：S''n = a^2 + (a+d)^2 + (a+2d)^2 + ... + (a+(n-1)d)^2我们可以利用平方公式将每一项展开，然后进行简化，得到：S''n = (n/6)(2a^2 + (n-1)d^2 + 4ad(n-1) + 2d^2(n-1)(2n-1))练习题五：已知等差数列的前n项和为Sn，公差为d。

2021年高考理科数学一轮复习阶段测试四十数列的求和

核心素养测评四十数列的求和(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.数列{a n}的通项公式是a n=,若前n项和为10,则项数n为( )A.120B.99C.11D.121【解析】选A.a n===-,所以a1+a2+…+a n=(-1)+(-)+…+(-)=-1=10.即=11,所以n+1=121,n=120.2.已知数列{a n}的通项公式是a n=2n-3,则其前20项和为( )A.380-B.400-C.420-D.440-【解析】选C.令数列{a n}的前n项和为S n,则S20=a1+a2+…+a20=2(1+2+…+20)-3=2×-3×=420-.3.已知等比数列{a n},a1=1,a4=,且a1a2+a2a3+…+a n a n+1<k,则k的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】选D.设等比数列{a n}的公比为q,则q3==,解得q=,所以a n=,所以a n a n+1=×=,所以数列{a n a n+1}是首项为,公比为的等比数列,所以a1a2+a2a3+…+a n a n+1==<,所以k≥.所以k的取值范围是.4.S n=+++…+= ( )A. B.C. D.【解析】选B.由S n=+++…+, ①得S n=++…++, ②①-②得S n=+++…+-=-,所以S n=.5.已知数列{a n}满足a1=1,a n+1·a n=2n(n∈N*),S n是数列{a n}的前n项和,则S2 020=( )A.22 020-1B.3×21 010-3C.3×21 010-1D.3×22 020-2【解析】选B.依题意得a n·a n+1=2n,a n+1·a n+2=2n+1,于是有=2,即=2,数列a1,a3,a5,…,a2n-1,…是以a1=1为首项,2为公比的等比数列;数列a2,a4,a6,…,a2n,…是以a2=2为首项,2为公比的等比数列,于是有S2 020=(a1+a3+a5+…+a2 019)+(a2+a4+a6+…+a2 020)=+=3×21 010-3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.在数列{a n}中,若a n+1+(-1)n a n=2n-1,则数列{a n}的前12项和等于____________________________.【解析】由已知a n+1+(-1)n a n=2n-1,得a n+2+(-1)n+1·a n+1=2n+1,得a n+2+a n=(-1)n(2n-1)+(2n+1),取n=1,5,9及n=2,6,10,结果相加可得S12=a1+a2+a3+a4+…+a11+a12=78.答案:787.已知数列{a n},{b n},若b1=0,a n=,当n≥2时,有b n=b n-1+a n-1,则b10=________________.【解析】由b n=b n-1+a n-1得b n-b n-1=a n-1,所以b2-b1=a1,b3-b2=a2,…,b n-b n-1=a n-1,所以b2-b1+b3-b2+…+b n-b n-1=a1+a2+…+a n-1=++…+,即b n-b1=a1+a2+…+a n-1=++…+=-+-+…+-=1-=,又因为b1=0,所以b n=,所以b10=.答案:【变式备选】已知数列{a n}中,a1=1,a n+1=(-1)n(a n+1),记S n为{a n}的前n项和,则S2 021=________________.【解析】由a1=1,a n+1=(-1)n(a n+1)可得,a2=-2,a3=-1,a4=0,a5=1,a6=-2,a7=-1,…,故该数列为周期是4的数列,所以S2 021=505(a1+a2+a3+a4)+a1=505×(-2)+1=-1 009.答案:-1 0098.设数列{a n}的通项公式为a n=,令b n=na n,则数列{b n}的前n项和S n为________________. 【解析】由b n=na n=n·知,S n=1×2+2×23+3×25+…+n×, ①从而22×S n=1×23+2×25+3×27+…+n·,②①-②得(1-22)·S n=2+23+25+…+-n·,即S n=[(3n-1)+2].答案:[(3n-1)+2]三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知数列的前n项和S n满足2S n=,且a n>0.(1)求数列的通项公式.(2)若b n=,记数列的前n项和为T n,证明:T n≥.【解析】(1)当n=1时,2S1==2a1,因为a1>0,所以a1=2,当n≥2时,2a n=2=-,所以=0,因为a n>0,所以a n-a n-1-1=0,所以a n-a n-1=1, 所以是以a1=2为首项,d=1为公差的等差数列,所以a n=n+1;(2)由(1)得a n=n+1,所以b n==-,所以T n=b1+b2+…+b n-1+b n=++…++=-3,因为T n+1-T n=-=>0,所以是递增数列,所以T n≥T1=-3=.10.已知数列{a n}的各项均为正数,且-2na n-(2n+1)=0,n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)若b n=2n·a n,求数列{b n}的前n项和T n.【解析】(1)由-2na n-(2n+1)=0得[a n-(2n+1)]·(a n+1)=0,所以a n=2n+1或a n=-1,又数列{a n}的各项均为正数,负值应舍去,所以a n=2n+1,n∈N*.(2)因为b n=2n·a n=2n·(2n+1),所以T n=2×3+22×5+23×7+…+2n×(2n+1),①2T n=22×3+23×5+…+2n×(2n-1)+2n+1×(2n+1),②由①-②得-T n=6+2×(22+23+…+2n)-2n+1×(2n+1)=6+2×-2n+1×(2n+1)=-2+2n+1(1-2n).所以T n=(2n-1)·2n+1+2.(15分钟35分)1.(5分)若数列{a n}的通项公式是a n=(-1)n(3n-2),则a1+a2+a3+…+a10= ( )A.15B.12C.-12D.-15【解析】选A.因为a n=(-1)n(3n-2),所以a1+a2+…+a10=-1+4-7+10-13+16-19+22-25+28=(-1+4)+(-7+10)+(-13+16)+(-19+22)+(-25+28)=3×5=15.【变式备选】已知数列{a n}的前n项和为S n,通项公式a n=n·(-1)n+1,则S17=( )A.10B.9C.8D.7【解析】选B.S17=1-2+3-4+5-6+…+15-16+17=1+(-2+3)+(-4+5)+…+(-14+15)+(-16+17)=1+1+1+…+1=9. 【一题多解】解决本题还可以采用以下方法:选B.S17=1-2+3-4+5-6+…+15-16+17=(1+3+…+17)-(2+4+…+16)=81-72=9.2.(5分)已知等比数列{a n}的首项为,公比为-,其前n项和为S n,则S n的最大值为( )A. B. C. D.【解析】选D.因为等比数列{a n}的首项为,公比为-,所以S n==1-, 当n取偶数时,S n=1-<1;当n取奇数时,S n=1+≤1+=.所以S n的最大值为.【变式备选】已知数列{a n}满足a n+1=+,且a1=,则该数列的前20项的和等于________________.【解析】因为a1=,又a n+1=+,所以a2=1,从而a3=,a4=1,即得a n=故数列的前20项的和等于S20=10×=15.答案:153.(5分)3×2-1+4×2-2+5×2-3+…+(n+2)·2-n=________________.【解析】设S n=3×2-1+4×2-2+5×2-3+…+(n+2)·2-n,S n=3×2-2+4×2-3+5×2-4+…+(n+2)·2-(n+1),则S n=3×2-1+2-2+2-3+…+2-n-(n+2)·2-(n+1)=1+-(n+2)·2-n-1=2--(n+2)·2-n-1,S n=4--,S n=4-.答案:4-4.(10分)已知等差数列{a n}的公差为d,且方程a1x2-dx-3=0的两个根分别为-1,3.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)若b n=+2a n,求数列{b n}的前n项和S n.【解析】(1)由题知,解得故数列{a n}的通项公式为a n=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1.(2)由(1)知b n=+2a n=22n-1+2(2n-1)=+4n-2,则S n=×(4+42+43+…+4n)+(2+6+10+…+4n-2)=×+=+2n2-.【变式备选】已知数列{a n}的前n项和为S n,满足a1=2,a n+1=2S n+2.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)若数列{b n}满足:b n=a n+log3a n,求数列{b n}的前2n项和S2n. 【解析】(1)因为a n+1=2S n+2,①所以当n≥2时, a n=2S n-1+2,②①-②得:a n+1-a n=2a n⇒a n+1=3a n,又a1=2,由①得a2=2a1+2=6,所以a2=3a1,所以{a n}是以2为首项,3为公比的等比数列,所以a n=2×3n-1.(2)因为b n=a n+(-1)n log3a n=2×3n-1+(-1)n log3(2×3n-1)=2×3n-1+(-1)n[log32+(n-1)log33]=2×3n-1+(-1)n(-1+log32)+(-1)n n所以S2n=b1+b2+…+b2n=2(1+3+32+…+32n-1)+0+n=32n+n-1.5.(10分)已知{a n}为等差数列,前n项和为S n(n∈N*),{b n}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求{a n}和{b n}的通项公式.(2)求数列{a2n b n}的前n项和(n∈N*).【解析】(1)因为b2+b3=12,且b1=2,所以q2+q-6=0.又因为q>0,解得q=2,所以b n=2n.设等差数列{a n}的公差为d,由b3=a4-2a1可得3d-a1=8,①由S11=11b4可得a1+5d=16,②联立①②解得a1=1,d=3,由此可得a n=3n-2.所以{a n}的通项公式为a n=3n-2,{b n}的通项公式为b n=2n.(2)设数列{a2n b n}的前n项和为T n,由a2n=6n-2得T n=4×2+10×22+16×23+…+(6n-2)×2n,2T n=4×22+10×23+16×24+…+(6n-8)×2n+(6n-2)×2n+1,上述两式相减得:-T n=4×2+6×22+6×23+…+6×2n-(6n-2)×2n+1=-4-(6n-2)×2n+1=-(3n-4)2n+2-16. 所以T n=(3n-4)2n+2+16.所以数列{a2n b n}的前n项和为(3n-4)2n+2+16.1.已知数列中,a1=2,点在函数f=x2+2x的图像上,其中n=1,2,3,….若b n=+,数列的前n项和为S n,则S2 020+=( )A.2 020B.20C.2D.1【解析】选D.因为点在函数f=x2+2x的图像上,所以a n+1=+2a n,所以=,所以b n =-,所以S n=b1+b2+…+b n =-+-+…+-=-,所以S n +==1,则S2 020+=1.2.已知正项数列{a n}中,a1=1,a2=2,2=+(n≥2),b n =,数列{b n}的前n项和为S n,则S33的值是________________.【解析】因为2=+(n≥2),所以数列{}是首项为1,公差为22-1=3的等差数列,所以=1+3(n-1)=3n-2.所以a n=,所以b n===(-),所以数列{b n}的前n项和S n =[(-1)+(-)+…+(-)]=(-1).则S33=(10-1)=3.答案:3- 11 -。

【高三】2021年高三数学同步训练：等差数列测试题

【高三】2021年高三数学同步训练：等差数列测试题逍遥右脑为大家整理的2021年高中三年级数学同步训练：等差数列测试题文章,供大家学习参考！更多最新信息请点击高三考试网选择题1.在等差数列{an}中，a1=21，a7=18，则公差d=( )a、 12b。

十三c.-12d.-13分析：选择C。

∵ A7=a1+（7-1）d=21+6D=18，∵ d=-122.在等差数列{an}中，a2=5，a6=17，则a14=( )a、 45b。

41c.39d.37分析：选择b.a6=A2+（6-2）d=5+4D=17，解为d=3，所以A14=A2+（14-2）d=5+12×3=41。

3.已知数列{an}对任意的n∈n*，点pn(n，an)都在直线y=2x+1上，则{an}为( )a、公差为2 b的等差序列。

公差为1的等差序列c.公差为-2的等差数列d.非等差数列分析：选择A.an=2n+1和an+1-an=2。

选择一个4.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是( )a、 2b。

三c.6d.9解析：选b.由题意得m+2n=82m+n=10，∴m+n=6，M和N的等差中值项为35.下面数列中，是等差数列的有( )①4,5,6,7,8，…②3,0，-3,0，-6，…③0,0,0,0，…④110，210，310，410，…a、 1 B.2c.3个d.4个分析：选择C。

使用算术序列的定义来验证①, ③ 和④ 是算术序列吗6.数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，数列{bn}是首项为-2，公差为4的等差数列.若an=bn，则n的值为( )a、 4b。

五c.6d.7分析：选择B.an=2+（n-1）×3=3n-1bn=-2+(n-1)×4=4n-6，让an=BN得到3n-1=4n-6，n=5。

2021年高考数学一轮总复习 5.2等差数列练习

2021年高考数学一轮总复习 5.2等差数列练习一、选择题1．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a4＝15，S5＝55，则数列{a n}的公差是( )A.14B．4C．－4 D．－3解析∵{a n}是等差数列，a4＝15，S5＝55，∴a1＋a5＝22，∴2a3＝22，a3＝11，∴公差d＝a4－a3＝4.答案B2．(xx·安徽“江南十校”联考)设等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a6＝6＋a7，则S9的值是( )A．27 B．36C．45 D．54解析由2a6＝6＋a7得a5＝6，所以S9＝9a5＝54，选D.答案D3．(xx·湖北月考)等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S5－13a4＋5a8＝10，则下列数中恒为常数的是( )A．a8B．S9C．a17D．S17解析由2S5－13a4＋5a8＝10可得a1＋8d＝5，而S17＝17a1＋a172＝17(a1＋8d)＝85.故选D.答案D4．(xx·安徽六校联考)数列{a n}的首项为3，{b n}为等差数列，且b n＝a n＋1－a n(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，则a8＝( )A．0 B．3C．8 D．11解析设{b n}的公差为d，∵b10－b3＝7d＝12－(－2)＝14，∴d＝2.∵b3＝－2，∴b1＝b3－2d＝－2－4＝－6.∴b1＋b2＋…＋b7＝7b1＋7×62·d＝7×(－6)＋21×2＝0.又b1＋b2＋…＋b7＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a8－a7)＝a8－a1＝a8－3＝0，∴a8＝3.故选B.答案B5．在递减等差数列{a n}中，若a1＋a5＝0，则S n取最大值时n等于( ) A．2 B．3C．4 D．2或3解析∵a1＋a5＝2a3＝0，∴a3＝0，∵d<0，∴{a n}的第一项和第二项为正值，从第四项开始为负值，故S n取最大值时n等于2或3，选D.答案D6．等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d，已知(a8＋1)3＋2 013(a8＋1)＝1，(a2 006＋1)3＋2 013(a2 006＋1)＝－1，则下列结论正确的是( ) A．d<0，S2 013＝2 013B．d>0，S2 013＝2 013C．d<0，S2 013＝－2 013D．d>0，S2 013＝－2 013解析通过求导易知a8＋1>0，a2 006＋1<0.∴d<0.(a8＋1)3＋(a2 006＋1)3＋2 013(a8＋a2 006＋2)＝0，可求出a8＋a2 006＝－2，得出S2 013＝－2 013.答案C二、填空题7．在等差数列{a n}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________.解析利用等差数列的性质可求解，∵a3＋a8＝10，∴3a5＋a7＝2a5＋a5＋a7＝2a5＋2a6＝2(a3＋a8)＝20.故填20.答案208．在等差数列{a n }中，首项a 1＝0，公差d ≠0，若a k ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7，则k ＝________.解析 a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 1＋77－1d2＝21d ，而a k ＝a 1＋(k －1)d ＝(k －1)d ，所以(k －1)d ＝21d ，d ≠0，故k ＝22. 答案 229．在等差数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，则a 5·a 6的最大值为________．解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，即a 1＋a 10×102＝30，a 1＋a 10＝6，∴a 5＋a 6＝6，∴a 5·a 6≤⎝⎛⎭⎪⎫a 5＋a 622＝9. 答案 9 三、解答题10．(xx·江西卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－n2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：对任意的n >1，都存在m ∈N *，使得a 1，a n ，a m 成等比数列．解(1)由S n＝3n2－n2，得a1＝S1＝1，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝3n－2，所以数列{a n}的通项公式为：a n＝3n－2.(2)证明：要使得a1，a n，a m成等比数列，只需要a2n＝a1·a m，即(3n－2)2＝1·(3m －2)，即m＝3n2－4n＋2，而此时m∈N*，且m>n.所以对任意的n>1，都存在m∈N*，使得a1，a n，a m成等比数列．11．(xx·大纲全国卷)等差数列{a n}的前n项和为S n.已知a1＝10，a2为整数，且S n≤S4.(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝1anan＋1，求数列{b n}的前n项和T n.解(1)由a1＝10，a2为整数知，等差数列{a n}的公差d为整数．又S n≤S4.故a4≥0，a5≤0.于是10＋3d≥0,10＋4d≤0.解得－103≤d≤－52.因此d＝－3.数列{a n}的通项公式为a n＝13－3n.(2)b n＝113－3n10－3n＝13⎝⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n . 于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…⎦⎥⎤＋⎝⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n ＝13⎝⎛⎭⎪⎫110－3n －110＝n 1010－3n.培优演练1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－n 2＋3n ，若a n ＋1a n ＋2＝80，则n 的值为( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2解析由S n ＝－n 2＋3n ，可得a n ＝4－2n ，因此a n ＋1·a n ＋2＝[4－2(n ＋1)][4－2(n ＋2)]＝80，即n (n －1)＝20，解得n ＝－4(舍去)或n ＝5.答案 A2．下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列； p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n 是递增数列； p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为( ) A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4解析本题考查等差数列，递增数列．对于p 1，数列{a n }的公差d >0， ∴数列是递增数列；对于p 4，∵(a n ＋1＋3(n ＋1)d )－(a n ＋3nd )＝4d >0，是递增数列；对于p 2，∵(n ＋1)a n ＋1－na n ＝(n ＋1)a n ＋(n ＋1)d －na n ＝a 1＋2nd ，不能确定a 1的正负，上式不一定大于零，该数列不一定是递增数列；同理，对于p 3，也不一定是递增数列．答案 D3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________．解析由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×9d2＝0，15a 1＋15×14d2＝25，解得d ＝23，a 1＝－3，所以S n ＝－3n ＋n n －12×23＝n 2－10n 3，即nS n ＝n 3－10n 23，令f (n )＝n 3－10n 23，则有f ′(n )＝n 2－20n 3，令f ′(n )>0，得n >203，令f ′(n )<0，得0<n <203.又因为n 为正整数，所以当n ＝7时，f (n )＝n 3－10n23取得最小值，即nS n 的最小值为－49.答案－494．(xx·江苏卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得S n ＝a m ，则称{a n }是“H 数列”．(1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n (n ∈N *)，证明：{a n }是“H 数列”； (2)设{a n }是等差数列，其首项a 1＝1，公差d <0.若{a n }是“H 数列”，求d 的值；(3)证明：对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)成立．解 (1)首先a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －1，∴a n ＝⎩⎨⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2，∴对于任意的n ∈N *，S n ＝2n 是数列{a n }中的n ＋1项，因此数列{a n }是“H 数列”．(2)由题意a n ＝1＋(n －1)d ，S n ＝n ＋n n －12d ，数列{a n }是“H 数列”，则存在k ∈N *，使n ＋n n －12d ＝1＋(k －1)d ，k ＝n －1d ＋n n －12＋1，由于n n－12∈N*，又k∈N*，则n－1d∈Z对一切正整数n都成立，∴d＝－1.(3)若d n＝bn(b是常数)，则数列{d n}前n项和为S n＝n n＋12b是数列{dn}中的第n n＋12项，因此{d n}是“H数列”，对任意的等差数列{a n}，a n＝a1＋(n－1)d(d是公差)，设b n＝na1，c n＝(d－a1)(n－1)，则a n＝b n＋c n，而数列{b n}，{c n}都是“H数列”．21051 523B 刻31852 7C6C 籬?'.35701 8B75 譵32745 7FE9 翩s21667 54A3 咣34446 868E 蚎38103 94D7 铗)Z33192 81A8 膨。

2021届高三大一轮复习40分钟单元基础小练 23 数列求和

A．3 B．2
C．1 D．0
答案：A
解析：∵an＋1＝an－an－1，a1＝1，a2＝2，∴a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1，a8＝2，…，故数列{an}是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0，故S2 018＝336×0＋a2 017＋a2 018＝a1＋a2＝3.故选A.
40分钟单元基础小练 23 数列求和
一、选择题
A．9B．18
C．36D．72
答案：B
∵a5＝b4＋b6＝2b5＝4，∴b5＝2.
∴S9＝9b5＝18，故选B.
2．数列1 ，2 ，3 ，4 ，…，n ，…的前n项和等于()
A. ＋ B．－＋＋1
C．－＋ D．－＋
答案：B
解析：设数列{an}的通项公式为an＝n＋，是一个等差数列与一个等比数列对应项的和的形式，适用分组求和，所以1 ＋2 ＋3 ＋4 ＋…＋n ＝(1＋2＋3＋…＋n)＋＝＋＝＋1－ n.故选B.
C．36里D．48里
答案：B
解析：设第一天走a1里，则每天走的里数组成的数列{an}是以a1为首项，以为公比的等比数列，由题意得S6＝＝378，解得a1＝192(里)，∴a4＝a1× 3＝192× ＝24(里)，故选B.
A．－200B．－100
C．200D．100
答案：D
解析：因为数列{an}是等差数列，a4＝5，a7＝11，所以公差d＝＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3，所以bn＝(－1)n(2n－3)，所以b2n－1＋b2n＝2，n∈N*.因此数列{bn}的前100项和S100＝2×50＝100，故选D.
4．数列的前2 017项的和为()
A. ＋1 B. －1
C. ＋1 D. －1

2021-2022年高考数学大一轮复习 6.2等差数列及其前n项和试题理苏教版

2021-2022年高考数学大一轮复习 6.2等差数列及其前n 项和试题理苏教版一、填空题1．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________.解析 a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝2(a 3＋a 7)＝74. 答案 742．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 412－S 39＝1，则公差为________．解析依题意得S 4＝4a 1＋4×32d ＝4a 1＋6d ，S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ，于是有4a 1＋6d 12－3a 1＋3d9＝1，由此解得d ＝6，即公差为6. 答案 63．在等差数列{a n }中，a 1＞0，S 4＝S 9，则S n 取最大值时，n ＝________. 解析因为a 1＞0，S 4＝S 9，所以a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0，所以a 7＝0，所以⎩⎨⎧a 6＞0，a 8＜0，从而当n ＝6或7时S n 取最大值．答案 6或74．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则S 9＝________. 解析 ∵a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，∴3a 4＝39,3a 6＝27，∴a 4＝13，a 6＝9.∴a 6－a 4＝2d ＝9－13＝－4，∴d ＝－2，∴a 5＝a 4＋d ＝13－2＝11，∴S 9＝9a 1＋a 92＝9a 5＝99.答案 995．设等差数列{a n }的公差为正数，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝________.解析由15＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 2，得a 2＝5.所以⎩⎨⎧a 1＋a 3＝10，a 1a 3＝16.又公差d ＞0，所以⎩⎨⎧a 1＝2，a 3＝8.所以d ＝3.所以a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 1＋11d )＝3(2＋33)＝3×35＝105. 答案 1056．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2＋pn ，a 7＝11.若a k ＋a k ＋1＞12，则正整数k 的最小值为________．解析因为a 7＝S 7－S 6＝2×72＋7p －2×62－6p ＝26＋p ＝11，所以p ＝－15，S n ＝2n 2－15n ，a n ＝S n －S n －1＝4n －17(n ≥2)，当n ＝1时也满足．于是由a k ＋a k ＋1＝8k －30＞12，得k ＞214＞5.又k ∈N *，所以k ≥6，即k min ＝6.答案 67．已知数列{a n }满足递推关系式a n ＋1＝2a n ＋2n －1(n ∈N*)，且⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋λ2n为等差数列，则λ的值是________．解析由a n ＋1＝2a n ＋2n －1，可得a n ＋12n ＋1＝a n 2n ＋12－12n ＋1，则a n ＋1＋λ2n ＋1－a n ＋λ2n ＝a n ＋12n ＋1－a n 2n －λ2n ＋1＝12－12n ＋1－λ2n ＋1＝12－λ＋12n ＋1，当λ的值是－1时，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n －12n 是公差为12的等差数列．答案－18．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 7－a 5＝4，a 11＝21，S k ＝9，则k ＝________.解析 a 7－a 5＝2d ＝4，d ＝2，a 1＝a 11－10d ＝21－20＝1，S k ＝k ＋k k －12×2＝k 2＝9.又k ∈N *，故k ＝3. 答案 39．设等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，若对任意自然数n 都有S n T n＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________．解析 ∵{a n }，{b n }为等差数列，∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝2a 62b 6＝a 6b 6. ∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941，∴a6b6＝1941.答案19 4110．已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f(x·y)＝xf(y)＋yf(x)成立．数列{a n}满足a n＝f(2n)(n∈N*)，且a1＝2.则数列的通项公式a n＝________.解析由a n＋1＝f(2n＋1)＝2f(2n)＋2n f(2)＝2a n＋2n＋1，得an＋12n＋1＝an2n＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫an2n是首项为1，公差为1的等差数列，所以an2n＝n，a n＝n·2n.答案n·2n二、解答题11．已知等差数列{a n}的前三项为a－1,4,2a，记前n项和为S n.(1)设S k＝2 550，求a和k的值；(2)设b n＝Snn，求b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1的值．解 (1)由已知得a1＝a－1，a2＝4，a3＝2a，又a1＋a3＝2a2，∴(a－1)＋2a＝8，即a＝3.∴a1＝2，公差d＝a2－a1＝2.由S k＝ka1＋k k－12d，得2k ＋k k －12×2＝2 550，即k 2＋k －2 550＝0，解得k ＝50或k ＝－51(舍去)． ∴a ＝3，k ＝50.(2)由S n ＝na 1＋n n －12d 得S n ＝2n ＋n n －12×2＝n 2＋n .∴b n ＝S n n＝n ＋1，∴{b n }是等差数列，则b 3＋b 7＋b 11＋…＋b 4n －1＝(3＋1)＋(7＋1)＋(11＋1)＋…＋(4n －1＋1)＝4＋4n n2.∴b 3＋b 7＋b 11＋…＋b 4n －1＝2n 2＋2n .12．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ，若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n . 解 a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32. 设{b n }的公差为d ，则有⎩⎨⎧b 1＋2d ＝8，b 1＋4d ＝32.解得⎩⎨⎧b 1＝－16.d ＝12.从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28. 所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n －16＋12n －282＝6n 2－22n .13．在等差数列{a n }中，公差d ＞0，前n 项和为S n ，a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝S nn ＋c(n ∈N *)，是否存在一个非零常数c ，使数列{b n }也为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)由题设，知{a n }是等差数列，且公差d ＞0，则由⎩⎨⎧a 2a 3＝45，a 1＋a 5＝18，得⎩⎨⎧a 1＋da 1＋2d ＝45，a 1＋a 1＋4d ＝18.解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝4.∴a n ＝4n －3(n ∈N *)．(2)由b n ＝S nn ＋c＝n 1＋4n －32n ＋c＝2n ⎝⎛⎭⎪⎫n －12n ＋c，∵c ≠0，∴可令c ＝－12，得到b n ＝2n .∵b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n ∈N *)，∴数列{b n }是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c ＝－12，使数列{b n }也为等差数列．14．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝1－14a n ，b n ＝22a n －1，其中n ∈N *.(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)设c n ＝(2) b n ，试问数列{c n }中是否存在三项，使它们可以构成等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由．(1)证明因为b n ＋1－b n ＝22a n ＋1－1－22a n －1＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14a n －1－22a n －1＝4a n 2a n －1－22a n －1＝2(n ∈N *)，且b 1＝22×1－1＝2所以，数列{b n }以2为首项，2为公差的是等差数列． (2)解由(1)得c n ＝(2)b n ＝2n ，假设{c n }中存在三项c m ，c n ，c p (其中m ＜n ＜p ，m ，n ，p ∈N *)成等差数列，则2·2n ＝2m ＋2p ，所以2n ＋1＝2m ＋2p,2n －m ＋1＝1＋2p －m .因为m ＜n ＜p ，m ，n ，p ∈N *，所以n －m ＋1，p －m ∈N *，从而2n －m ＋1为偶数，1＋2p －m 为奇数，所以2n －m ＋1与1＋2p －m 不可能相等，所以数列{c n }中不存在可以构成等差数列的三项.20379 4F9B 供36199 8D67 赧29671 73E7 珧25121 6221 戡24675 6063 恣xg%26014 659E 斞& ;31372 7A8C 窌\。

2021-2022年高中数学一轮复习一等差数列与等比数数列专题练习苏教版

2021-2022年高中数学一轮复习一等差数列与等比数数列专题练习苏教版一、等差数列与等比数列对比表一、牛刀小试1、在等差数列中，若，则的值为2、(xx 年广东卷文)已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则=3、设成等比数列，其公比为2，则的值为4、（xx 辽宁理）（6）设{a n }是有正数组成的等比数列，为其前n 项和。

已知a 2a 4=1, ,则5、等差数列{a n }中，，为第n 项，且，则取最大值时，n 的值为6、等比数列中，===+q a a a a 则,8,632327、已知是等比数列，a n ＞0，且a 4a 6+2a 5a 7+a 6a 8=36，则a 5+a 7等于 8、设是由正数组成的等比数列，公比，且，则__________。

9、关于数列{a n }有以下命题：{}{}{}{}221111,2,,22,2,2,2kn m n n n n n k n m n n n n n a a a k n m N k n m a d a a a a n c a a a k n m N k n m a b a a a a n a ==+∈=≥=+=+∈=+≥*-+*-+则，，，是等比数列，且：若是等比数列；则且：若；则，，，是等差数列，且：若是等差数列；则且：若其中正确的命题为 a,b,d .（写出序号，写对但不全的给2分，有选错的不给分）10、两个等差数列,327......2121++=++++++n n b b b a a a n n 则=11、已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n 为整数的正整数n 的个数是12、若是等差数列，首项，，，则使前n 项和成立的最大自然数n 是二、例题研究例1、（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有13 项。

2021届高考数学大一轮总温习第5篇第2节等差数列课时训练理新人教A版

（聪慧测评）2021届高考数学大一轮总温习第5篇第2节等差数列课时训练理新人教A 版一、选择题1．(2021唐山二模)在等差数列{a n }中，2a 4＋a 7＝3，那么数列{a n }的前9项和等于( )A ．9B ．6C ．3D ．12 解析：设等差数列{a n }公差为d ，∵2a 4＋a 7＝3，∴2(a 1＋3d )＋a 1＋6d ＝3，整理得a 1＋4d ＝1，即a 5＝1.∴S 9＝9a 1＋a 92＝9a 5＝9.应选A. 答案：A2．(2021年高考福建卷)等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，那么数列{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：∵a 1＋a 5＝2a 3＝10，∴a 3＝5，又∵a 4＝7，∴d ＝a 4－a 3＝2，应选B.答案：B3．(2021云南省昆明一中测试)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，假设a 3＝3，S 9－S 6＝27，那么该数列的首项a 1等于( )A ．－65B ．－35 C.65 D.35解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝3，9a 1＋36d －6a 1＋15d ＝27，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝3，a 1＋7d ＝9，解得a 1＝35.应选D. 答案：D4．(2021山东省烟台市莱州一中质量检测)已知各项均不为零的数列{a n }，概念向量c n ＝(a n ，a n ＋1)，b n ＝(n ，n ＋1)，n ∈N *.以下命题中真命题是( )A ．假设∀n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，那么数列{a n }是等比数列B ．假设∀n ∈N *总有c n ∥b n 成立，那么数列{a n }是等比数列C ．假设∀n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，那么数列{a n }是等差数列D ．假设∀n ∈N *总有c n ∥b n 成立，那么数列{a n }是等差数列解析：由c n ∥b n 得，na n ＋1＝(n ＋1)a n ，即a n ＋1n ＋1＝a n n，因此数列a n n是常数列，因此a n ＝na 1，故数列{a n }是等差数列，应选D.答案：D5．(2021云南师大附中高考适应性训练)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设a 2＝－9，a 3＋a 7＝－6，那么当S n 取得最小值时，n ＝( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：∵a 3＋a 7＝2a 5＝－6，∴a 5＝－3，∴d ＝2，∴a 6＝－1，a 7＝1，∴S 6最小．应选D.答案：D6．(2021云南省玉溪一中第四次月考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且知足S 15>0，S 16<0，那么S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中最大的项为( )A.S 6a 6 B.S 7a 7C.S 9a 9D.S 8a 8解析：由S 15＝15a 1＋a 152＝15a 8>0，得a 8>0. 由S 16＝16a 1＋a 162＝16a 9＋a 82<0，得a 9＋a 8<0，因此a 9<0，且d <0.因此数列{a n }为递减数列且a 1，…，a 8为正，a 9，…，a n 为负，且S 1，…，S 15>0，则S 6a 6>0，S 7a 7>0，S 8a 8>0，S 9a 9<0，又S 8>S 7>S 6，a 8<a 7<a 6，则S 6a 6<S 7a 7<S 8a 8，因此最大的项为S 8a 8，应选D. 答案：D二、填空题7．(2021吉林高三期末)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝n 2＋2n ，那么a 4＋a 5＋a 6＝________. 解析：法一当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，n ＝1，a 1＝3也符合公式．因此数列{a n }是等差数列．因此a 4＋a 5＋a 6＝3a 5＝3×11＝33.法二 a 4＋a 5＋a 6＝S 6－S 3＝33.答案：338．(2021黑龙江省哈师大附中高考模拟)等差数列{a n }知足a 3＝3，a 6＝－3，那么数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．解析：法一由a 3＝3，a 6＝－3得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝3，a 1＋5d ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝7，d ＝－2.∴S n ＝na 1＋n n －12d ＝－n 2＋8n ＝－(n －4)2＋16.∴当n ＝4时S n 有最大值16.法二由a 3＝3，a 6＝－3得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝3，a 1＋5d ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝7，d ＝－2，因此a n ＝9－2n . 则n ≤4时，a n >0，当n ≥5时，a n <0，故前4项和最大且S 4＝4×7＋4×32×(－2)＝16. 答案：169．由正数组成的等差数列{a n }和{b n }的前n 项和别离为S n 和T n ，且a nb n ＝2n －13n －1，那么S 5T 5＝________. 解析：由S 5＝5a 1＋a 52＝5a 3， T 5＝5b 1＋b 52＝5b 3，得S 5T 5＝a 3b 3＝2×3－13×3－1＝58.答案：5810．(2021浙江模拟)数列{a n }中，a 1＝5，a n ＝2a n －1＋2n －1(n ∈N *，n ≥2)，假设数列a n ＋λ2n 为等差数列，那么λ＝________.解析：n ≥2时，a n ＋λ2n －a n －1＋λ2n －1＝a n －2a n －1－λ2n ，∵a n ＝2a n －1＋2n －1， ∴a n ＋λ2n －a n －1＋λ2n －1＝2n －1－λ2n ＝1－1＋λ2n . 又∵数列a n ＋λ2n 为等差数列．∴1－1＋λ2n 为常数．∴λ＝－1. 答案：－1三、解答题11．(2021贵州省贵阳市高三适应性检测)已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 7＝70，且a 1，a 2，a 6成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2S n ＋48n，那么数列{b n }的最小项是第几项？并求出该项的值．解：(1)设公差为d ，那么有⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋21d ＝70，a 22＝a 1a 6，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝10，a 1＋d 2＝a 1a 1＋5d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝10，d ＝0，(舍去)．因此a n ＝3n －2.(2)数列{b n }的最小项是第4项，因为S n ＝n 2[1＋(3n －2)]＝3n 2－n 2，因此b n ＝3n 2－n ＋48n＝3n ＋48n －1≥23n ·48n－1 ＝23，当且仅当3n ＝48n，即n ＝4时取等号，故数列{b n }的最小项是第4项，该项的值为23.12．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且知足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求通项a n ；(2)求S n 的最小值；(3)假设数列{b n }是等差数列，且b n ＝S n n ＋c ，求非零常数c .解：(1)∵数列{a n }为等差数列， ∴a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22. 又a 3·a 4＝117，∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根，又公差d >0，∴a 3<a 4，∴a 3＝9，a 4＝13， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝4.∴通项a n ＝4n －3.(2)由(1)知a 1＝1，d ＝4， ∴S n ＝na 1＋n n －12×d＝2n 2－n＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －142－18. ∴当n ＝1时，S n 最小，最小值为S 1＝a 1＝1.(3)由(2)知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c， ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c . ∵数列{b n }是等差数列， ∴2b 2＝b 1＋b 3，即62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c ， ∴2c 2＋c ＝0，∴c ＝－12或c ＝0(舍去)，故c ＝－12. s。

安徽省合肥市剑桥学校2021年高三数学一轮温习第二章数列练习(1)

安徽省合肥剑桥学校2021年高三数学一轮温习第二章数列练习一、数列1、数列：依照必然顺序排列着的一列数．2、数列的项：数列中的每一个数．3、有穷数列：项数有限的数列．4、无穷数列：项数无穷的数列．5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．7、常数列：各项相等的数列．8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 9、数列的通项公式：表示数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式．10、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式．二、等差数列1、若是一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么那个数列称为等差数列，那个常数称为等差数列的公差．2、由三个数a ，A ，b 组成的等差数列能够看成最简单的等差数列，那么A 称为a 与b 的等差中项．假设2a cb +=，那么称b 为a 与c 的等差中项． 3、假设等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，那么()11naa n d =+-．4、通项公式的变形：①()n m a a n m d =+-；②()11n a a n d =--；③11n a a d n -=-；④11n a a n d-=+；⑤n m a a d n m -=-．5、假设{}n a 是等差数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*q ∈N ），那么m n p q a a a a +=+；若{}n a 是等差数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），那么2np q a a a =+．6、等差数列的前n 项和的公式：①()12n n n a a S +=；②()112n n n S na d -=+． 7、等差数列的前n 项和的性质：①假设项数为()*2n n ∈N ，那么()21nn n S n a a +=+，且S S nd -=偶奇，1n n S aS a +=奇偶． ②假设项数为()*21n n -∈N ，那么()2121n n S n a -=-，且n S S a -=奇偶，1S nS n =-奇偶（其中n S na =奇，()1n S n a =-偶）．例：设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，假设==5935,95S Sa a 则（） A 1 B 1- C 2 D 218、等差数列的判定（1）概念法：关于数列{}n a ，假设d a a n n =-+1(常数)，那么数列{}n a 是等差数列。

2021版文科数学人教版一轮复习核心素养测评四十等差与等比数列的综合

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核心素养测评四十等差与等比数列的综合(30分钟60分)一、选择题（每小题5分,共20分)1。

已知1,a1，a2，9四个实数成等差数列,1，b1，b2,b3，9五个数成等比数列，则b2(a2-a1)= (）A。

8 B.—8 C.±8 D.【解析】选A。

由1，a1，a2，9成等差数列，得公差d=a2-a1==，由1,b1,b2,b3，9成等比数列,得=1×9,所以b2=±3,当b2=—3时,1,b1，-3成等比数列,此时=1×(-3）无解,所以b2=3,所以b2(a2-a1)=3×=8。

2.等差数列{a n｝，等比数列｛b n}，满足a1=b1=1,a5=b3，则a9能取到的最小整数是（）A.—1B.0C.2D.3【解析】选B.等差数列｛a n}的公差设为d，等比数列｛b n｝的公比设为q,q≠0,由a1=b1=1，a5=b3,可得1+4d=q2，则a9=1+8d=1+2（q2—1）=2q2—1>—1，可得a9能取到的最小整数是0.3.已知在等差数列｛a n}中,a1>0,d〉0,前n项和为S n,等比数列｛b n｝满足b1=a1,b4=a4,前n项和为T n，则（)A.S4>T4B。

S4〈T4C。

S4=T4D。

S4≤T4【解析】选A。

设等比数列{b n｝的公比为q，则由题意可得q>1，数列｛b n｝单调递增,又S4-T4=a2+a3—(b2+b3）=a1+a4-a1q—=a1(1—q)+a4=（a4—a1q)=(b4—b2）〉0，所以S4〉T4.【一题多解】选A。

不妨取a n=7n—4，则等比数列{b n｝的公比q==2，所以S4=54,T4==45，显然S4〉T4.4.已知a,b,c成等比数列，a,m,b和b，n，c分别成两个等差数列，则+等于(）A。

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A．2 B．10 C. D.
10．[2018·全国卷Ⅰ]记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝( )
A．－12 B．－10 C．10 D．12
11．在等差数列{an}中，已知|a7|＝|a12|，且公差d>0，则其前n项和Sn取得最小值时n的值为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
12．在等差数列{an}中，公差d≠0，若lga1，lga2，lga4也成等差数列，且a5＝10，则{an}的前5项和S5＝( )
A．40 B．35 C．30 D．25
二、填空题
13．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝________.
A．6斤 B．9斤 C．9.5斤 D，若a4，a6是方程x2－18x＋p＝0的两根，则S9＝( )
A．9 B．81 C．5 D．45
8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a4＋a8＝9，则S9＝( )
A．27 B．18 C．9 D．3
9．在数列{an}中，若a1＝－2，且对任意的n∈N*有2an＋1＝1＋2an，则数列{an}前10项的和为( )
40分钟单元基础小练 21 等差数列
一、选择题
1．在等差数列{an}中，若a3＝－5，a5＝－9，则a7＝( )
A．－12 B．－13 C．12 D．13
2．在等差数列{an}中，a3＝1，公差d＝2，则a8的值为( )
A．9 B．10 C．11 D．12
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝0，则公差d等于( )
14．已知{an}为等差数列，若a1＋a2＋a3＝5，a7＋a8＋a9＝10，则a19＋a20＋a21＝________.
15．[2019·广东深圳月考]已知数列{an}为等差数列，a3＝7，a1＋a7＝10，Sn为其前n项和，则使Sn取到最大值的n等于________．
16．[2019·甘肃兰州月考]已知正项数列{an}的首项a1＝1，前n项和为Sn，若坐标为(an，Sn)的点在曲线y＝ x(x＋1)上，则数列{an}的通项公式为________．
A．－1 B．1 C．2 D．－2
4．等差数列{an}中，a3＋a7＝6，则{an}的前9项和等于( )
A．－18 B．27 C．18 D．－27
5．设数列{an}是等差数列，且a2＝－6，a6＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则( )
A．S4<S3B．S4＝S3C．S4>S1D．S4＝S1
6．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为( )