随机信号分析基础图文 (6)
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第六章随机信号分析与处理基础
– 例
汽车车架垂直加速度时间 历程记录曲线
图中每一条曲线xi(t)都是加速度时间历程的一次试验 记录。 x1(t),x2(t),…,xn(t)构成加速度时间历程的集合， 称为样本空间，记作X（t）。每一记录曲线称为一个 样本，记作xn(t)。 由图可见，各条曲线互不相同，显然不可能用明 确的函数式描述。 在任意时刻t1，加速度量值X（t）是一个随机变 量。全部加速度记录的样本空间是无穷多个随机变量 的集合。 这种随机现象的进行过程用随机过程来描述。
对于平稳随机信号，当满足下面条件时：
τ = t 2 − t1
有：
∞ Rxy (t1 ; t 2 ) = ∫−∞ ∫−∞ xy p ( x , y ;τ ) dxdy = Rxy (τ ) ∞
4）互协方差函数 ）互协方差函数：用随机信号X(t)在两个不同时刻t1、t2取值起伏 变化的相依程度来描述随机信号不同时刻的关联关系，表示为数学期望） ：随机信号x(t)的所有样本函数在同一时刻取值的统 计平均值。
– 离散随机信号的均值：
E[ X (t )] = ∑ x( n) (t )P (t ) n
n=1
N
– 连续随机信号的均值：
∞ E[ X (t )] = ∫−∞ x(t )p( x; t )dx
2 2 ∞
其中， (t ) —均方差； σx 对于平稳随机信号：
D[ X (t )] = ∫−∞ ( x − mx ) 2 p ( x ) dx = σx
2 ∞
可见其方差也为一个与时间无关的常数。
﹡相关函数与协方差函数 相关函数与协方差函数： 1）自相关函数：用于反映随机信号在不同时刻的内在联系，表 ）自相关函数 达式为：
•
随机信号分类
《随机信号分析》课件
表示随机信号的波动范围，即信号值偏离均值的程度。
方差
均值
自相关函数描述了随机信号在不同时间点之间的相关性。
自相关函数可以用于分析信号的周期性和趋势性。
谱密度函数描述了随机信号的频率成分。
通过谱密度函数，可以了解信号在不同频率下的强度和分布。
04
CHAPTER
随机信号的频域分析
傅立叶变换是信号处理中的基本工具，用于将时间域的信号转换为频域的表示。通过傅立叶变换，我们可以分析信号的频率成分和频率特性。
02
时间变化特性
由于随机信号的取值是随机的，因此其时间变化特性也是随机的，表现为信号的幅度、频率和相位都是随机的。
在通信领域，随机信号可以用于扩频通信、信道编码等，以提高通信的可靠性和抗干扰能力。
通信
在雷达领域，随机信号可以用于雷达测距、目标跟踪等，以提高雷达的抗干扰能力和探测精度。
雷达
在地球物理学领域，随机信号可以用于地震勘探、矿产资源探测等，以提高探测的精度和可靠性。
线性系统的输出信号的统计特性与输入信号的统计特性和系统的传递函数有关。通过分析线性系统对随机信号的作用，我们可以了解系统对信号的影响和信号经过系统后的变化情况。
05
CHAPTER
随机信号的变换域分析
总结词
拉普拉斯变换是一种将时域信号转换为复平面上的函数的方法，用于分析信号的稳定性和可预测性。
详细描述
详细描述
06
CHAPTER
随机信号处理的应用
信号传输
随机信号分析在通信系统中用于信号传输的调制和解调过程，通过对信号的随机性进行编码和解码，实现可靠的信息传输。
目标检测
01
随机信号分析在雷达系统中用于目标检测和跟踪，通过对接收到的回波信号进行分析和处理，实现高精度和高可靠性的目标定位和识别。
方差
均值
自相关函数描述了随机信号在不同时间点之间的相关性。
自相关函数可以用于分析信号的周期性和趋势性。
谱密度函数描述了随机信号的频率成分。
通过谱密度函数，可以了解信号在不同频率下的强度和分布。
04
CHAPTER
随机信号的频域分析
傅立叶变换是信号处理中的基本工具，用于将时间域的信号转换为频域的表示。通过傅立叶变换，我们可以分析信号的频率成分和频率特性。
02
时间变化特性
由于随机信号的取值是随机的，因此其时间变化特性也是随机的，表现为信号的幅度、频率和相位都是随机的。
在通信领域，随机信号可以用于扩频通信、信道编码等，以提高通信的可靠性和抗干扰能力。
通信
在雷达领域，随机信号可以用于雷达测距、目标跟踪等，以提高雷达的抗干扰能力和探测精度。
雷达
在地球物理学领域，随机信号可以用于地震勘探、矿产资源探测等，以提高探测的精度和可靠性。
线性系统的输出信号的统计特性与输入信号的统计特性和系统的传递函数有关。通过分析线性系统对随机信号的作用，我们可以了解系统对信号的影响和信号经过系统后的变化情况。
05
CHAPTER
随机信号的变换域分析
总结词
拉普拉斯变换是一种将时域信号转换为复平面上的函数的方法，用于分析信号的稳定性和可预测性。
详细描述
详细描述
06
CHAPTER
随机信号处理的应用
信号传输
随机信号分析在通信系统中用于信号传输的调制和解调过程，通过对信号的随机性进行编码和解码，实现可靠的信息传输。
目标检测
01
随机信号分析在雷达系统中用于目标检测和跟踪，通过对接收到的回波信号进行分析和处理，实现高精度和高可靠性的目标定位和识别。
《随机信号分析》课件
连续随机信号
连续时间和连续幅度的随机信号，如噪声信号。
高斯随机信号
服从高斯分布的随机信号，常用于描述自然界 的随机现象。
非高斯随机信号
不服从高斯分布的随机信号，如脉冲信号和干 扰信号。
常见的随机信号分析方法
自相关分析
用于分析信号的自身相关性和 平稳性。
频谱分析
通过对信号进行频域分析，得 到信号的频谱特性。
统计特性分析
对信号的均值、方差等统计特 性进行分析。
使用MATLAB进行随机信号分析的步骤
1
准备据
收集并整理所需信号的数据。
2
数据预处理
对数据进行去噪、归一化等预处理操作。
3
信号分析
运用MATLAB提供的工具进行信号分析和特征提取。
随机信号分析的应用领域
通信系统
用于优化信道传输和抗干扰能力的研究。
金融市场
用于分析股票价格、汇率等随机变动的特性。
生物医学
用于分析心电图、脑电图等生物信号。
气象预报
用于分析天气数据，提高气象预报的准确性。
总结
通过本课件，您了解了随机信号的定义、特性、分类以及分析方法，以及其在不同领域的应用。
《随机信号分析》PPT课 件
本课件将介绍随机信号分析的基本概念和方法，包括随机信号的定义、特性、 分类以及常见的分析方法。
分析随机信号的定义
1 随机信号
随机信号是不确定的信号，具有随机性和不可预测性。
2 随机过程
随机信号可以看作是随时间变化的随机过程。
3 概率论基础
随机信号的定义和性质可以通过概率论进行分析和描述。
随机信号的特性
1 均值和方差
随机信号的均值和方差是 表征其平均值和离散程度 的重要特性。
《随机信号分析基础》课件第6章
RY RYˆ RYˆY RˆY RYYˆ RˆY
代入上式中， 并化简为
RAc t,t RAc RY cos0 RˆY sin0
(6-38)
同理有
RAs t,t RAs RY cos0 RˆY sin0
（6-39）
因此
当τ=0时有
RAc RAs
即
RAcAs t,t+ =RAcAs = RY sin0 +RˆY cos0（6-44）
上式表明， Ac(t)和As(t)是联合广义平稳的。
F cos
0t
1 2
F
e j0te j
e j0te j
π 0 e j 0 ej
F H cos 0t jπ sgn 0 e j 0 ej
jπ 0
jπ
0
e
e j j ,
,
>0 <0
所以
H［cos(ω0t+φ)］=F－1［F［H［cos(ω0t+φ)］］］ =sin(ω0t+φ)
图6-2 希尔伯特滤波器的传输函数
例6.1 随机信号X(t)=acos(ω0t+Θ)， 其中a, ω0为常量， Θ 是服从(0, 2π)均匀分布的随机变量， 把此信号作为希尔伯特滤 波器的输入， 求输出信号Y(t)的平稳性及总平均功率。
解 由例3.2知， 随机信号X(t)为广义平稳信号， 且有
mX 0,
(6-9)
H［·］表示希尔伯特正变换相当于做两次π/2的相移， 即π的相移， 使信号
反相。
性质2
H cos0t sin 0t
（6-10）
H sin 0t cos0t
(6-11)
例6.2 试求cos(ω0t+φ)的希尔伯特变换。 解 cos(ω0t+φ)
《随机信号分析基础》课件
频域分析方法
傅里叶变换
傅里叶变换将信号从时域转换为频域，显示信号在 不同频率上的能量分布。
功率谱密度估计
通过对信号进行功率谱密度估计，可以分析信号在 不同频率上的能量分随机信号
图像处理中的随机信号
随机信号在通信系统中有着重要 的应用，如随机噪声与调制信号。
随机信号在图像处理中被用于增 强图片细节、降低噪声等方面。
为什么学习信号与系统？
信号与系统是电气工程的基础，它涉及到广泛 的应用领域，如通信、控制、图像处理等。
随机过程概述
什么是随机过程？
随机过程是一类随机变量的集 合，它在不同时间点上产生随 机数值，描述了具有随机性的 系统或现象。
随机过程的特点
随机过程具有不可预测性、不 确定性和非平稳性等特点，需 要进行概率统计的建模与分析。
自然界中的随机信号
自然界中的一些现象，如气象数 据和地震信号等，可以用随机信 号进行建模与分析。
分布情况，用于频域分析与滤波设计。
时域分析方法
1 傅里叶级数展开
傅里叶级数展开是一种将 周期信号分解为多个正弦 函数或余弦函数的方法。
2 自相关函数计算
通过计算信号的自相关函 数，可以分析信号在不同 时刻上的相关性。
3 时域滤波
时域滤波是指对信号的幅 度或相位进行调整以实现 信号的变换或去除杂散分 量。
《随机信号分析基础》 PPT课件
本课件将介绍《随机信号分析基础》的主要内容，包括信号与系统简介、随 机过程概述、随机信号定义与分类、常见随机信号的特性分析、时域分析方 法、频域分析方法以及应用示例。
信号与系统简介
什么是信号与系统？
信号与系统研究的是电气工程中信号的产生、 传输与处理，以及系统对信号的描述与分析。
第六章 随机信号分析
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四、互相关技术的应用
1. 测量运动物体的速度
图6-9 钢带运动速度的非接触测量
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2. 测定深埋地下的输液管道裂损位置
图6-10 确定输液管道裂损位置
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第三节 功率谱分析
功率谱分析从频域 提供相关技 术所能提供的信息。是研究平稳随 机过程的重要方法。
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第六章、 第六章、随机信号分析
本章学习要求： 本章学习要求：
1.了解幅值域描述和分析方法 2.了解时域描述方法 3.了解频域描述方法
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随机信号分析
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随机信号的统计特性 要完整地描述一个各态历经随机过程， 要完整地描述一个各态历经随机过程，理论上要有无限长 时间记录。但实际上这是不可能的。 时间记录。但实际上这是不可能的。通常用统计方法对以下 三个方面进行数学描述： 三个方面进行数学描述： 1）幅值域描述: 均值、均方值、方差、概率密度函数等。 ）幅值域描述 均值、均方值、方差、概率密度函数等。 2）时间域描述:自相关函数、互相关函数。 ）时间域描述 自相关函数 互相关函数。 自相关函数、 3）频率域描述: 自功率谱密度函数、互功率谱密度函数。 ）频率域描述 自功率谱密度函数、互功率谱密度函数。
E
数学期望 随机变量 x, y 的均值
µx = E [ x]
µy = E [ y] y
µx
µ yx
x, 随机变量 y 的均值
σ x ,σ y
随机变量 x, y 的标准差
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二、信号的自相关函数 对各态历经随机信号及功率信号可定义自相关函数
ZFS 第六章 随机信号分析
σx
第六章 随机信号分析 E[( x1 − µ x )( x2 − µ x )] ρ x (τ ) = 2 σx
x(t )
Rx (τ )
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x(t +τ )
2
ρ x (τ ) =
E[ x1x2 ] − µ x E[ x1] − µ x E[ x2 ] + µ x
σx 若 µx = 0 Rx (τ ) ρ x (τ ) = 2 σx
第六章 随机信号分析 二、信号的自相关函数 Rx (τ )
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依据对信号的相关描述，对于各态历经随机信号及功率信号， 依据对信号的相关描述，对于各态历经随机信号及功率信号， 自相关函数的表达式可定义为 其自相关函数的表达式可定义为 时差（ 时差（秒、s)，-∞<τ<+ ∞ ，
1 T Rx (τ ) = lim ∫0 x (t ) x(t +τ ) dt T →∞ T
估计值
T ˆ Rx (τ ) = 1 ∫0 x(t ) x(t +τ )dt T
信号自相关的测试过程： 信号自相关的测试过程： x(t + τ ) x(t ) 延时器 乘法器
积分器
平 均
Rx (τ )
信号的自相关函数描述了信号x(t)本身在时刻 与时刻 t+τ取值 本身在时刻t与时刻 信号的自相关函数描述了信号 本身在时刻 取值 之间的相似关系。由于x(t)和x(t+τ)具有相同的均值和标准差， 具有相同的均值和标准差， 之间的相似关系 。 由于 和 具有相同的均值和标准差 2 Rx (τ ) − µ x 因此其自相关系数 自相关系数为 因此其自相关系数为 ρ x (τ ) = 2
第六章 随机信号分析 第二节 相关分析
第六章 随机信号分析 E[( x1 − µ x )( x2 − µ x )] ρ x (τ ) = 2 σx
x(t )
Rx (τ )
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x(t +τ )
2
ρ x (τ ) =
E[ x1x2 ] − µ x E[ x1] − µ x E[ x2 ] + µ x
σx 若 µx = 0 Rx (τ ) ρ x (τ ) = 2 σx
第六章 随机信号分析 二、信号的自相关函数 Rx (τ )
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依据对信号的相关描述，对于各态历经随机信号及功率信号， 依据对信号的相关描述，对于各态历经随机信号及功率信号， 自相关函数的表达式可定义为 其自相关函数的表达式可定义为 时差（ 时差（秒、s)，-∞<τ<+ ∞ ，
1 T Rx (τ ) = lim ∫0 x (t ) x(t +τ ) dt T →∞ T
估计值
T ˆ Rx (τ ) = 1 ∫0 x(t ) x(t +τ )dt T
信号自相关的测试过程： 信号自相关的测试过程： x(t + τ ) x(t ) 延时器 乘法器
积分器
平 均
Rx (τ )
信号的自相关函数描述了信号x(t)本身在时刻 与时刻 t+τ取值 本身在时刻t与时刻 信号的自相关函数描述了信号 本身在时刻 取值 之间的相似关系。由于x(t)和x(t+τ)具有相同的均值和标准差， 具有相同的均值和标准差， 之间的相似关系 。 由于 和 具有相同的均值和标准差 2 Rx (τ ) − µ x 因此其自相关系数 自相关系数为 因此其自相关系数为 ρ x (τ ) = 2
第六章 随机信号分析 第二节 相关分析
PPT教学课件随机信号分析
事件A与事件B同时发生，这一事 件称为事件A与B的积（或A与B之交），
记为 AB A B
类似地，可以定义Ak（k=1,2,…,n）的
交，
A1 A2 An
n
Ak
k 1
5）差事件
事件A发生而事件B不发生，这 一事件称为A与B之差，记为
A B
6）互不相容事件
若事件A与事件B不能同时发生，
亦即 AB ，则称A与B不相
fn ( A)
nA n
称为事件A在这n次试验中出现的频率。
数P(A)是客观存在的，即对于每一 随机事件A总有这样一个数P(A)与之相对 应。因此，用稳定值P(A)来刻划事件A发 生的可能性的大小是比较恰当的。
2) 概率的定义
设E是随机试验，S是它的样本 空间，对于E的每一事件赋予一实数， 记为P(A)，称之为事件A的概率，显 然，
P( A) nA (n ) n
由于概率是频率的稳定值，因 而对任何随机事件A，有
0 P( A) 1
对于必然事件S和不可能事件， 则有
P(S) 1 P() 0
前面提到的“抛硬币”、“掷骰子” 试验，它们具有两个共同的特点：
（1）试验的样本空间中元素只有有限个 （2）试验中每个基本事件出现的可能性
例2：掷骰子试验E2：掷一颗骰子， 观察出现的点数。
例3：产品抽样测试试验E3：在一批 灯泡中任意抽取一只，测试它的寿 命。
这些试验均具有以下三个特点：
（1）试验可以在相同条件下重复进行 （2）试验有多种可能结果，并且事先
明确知道该试验的所有可能的结果
（3）每次试验出现哪个结果，是不能 准确预言的
1.1.5 事件之间的关系与运算
在一个随机试验中，可以观测 到很多事件，它们各有特点，而且 彼此之间又有一定的联系。
记为 AB A B
类似地，可以定义Ak（k=1,2,…,n）的
交，
A1 A2 An
n
Ak
k 1
5）差事件
事件A发生而事件B不发生，这 一事件称为A与B之差，记为
A B
6）互不相容事件
若事件A与事件B不能同时发生，
亦即 AB ，则称A与B不相
fn ( A)
nA n
称为事件A在这n次试验中出现的频率。
数P(A)是客观存在的，即对于每一 随机事件A总有这样一个数P(A)与之相对 应。因此，用稳定值P(A)来刻划事件A发 生的可能性的大小是比较恰当的。
2) 概率的定义
设E是随机试验，S是它的样本 空间，对于E的每一事件赋予一实数， 记为P(A)，称之为事件A的概率，显 然，
P( A) nA (n ) n
由于概率是频率的稳定值，因 而对任何随机事件A，有
0 P( A) 1
对于必然事件S和不可能事件， 则有
P(S) 1 P() 0
前面提到的“抛硬币”、“掷骰子” 试验，它们具有两个共同的特点：
（1）试验的样本空间中元素只有有限个 （2）试验中每个基本事件出现的可能性
例2：掷骰子试验E2：掷一颗骰子， 观察出现的点数。
例3：产品抽样测试试验E3：在一批 灯泡中任意抽取一只，测试它的寿 命。
这些试验均具有以下三个特点：
（1）试验可以在相同条件下重复进行 （2）试验有多种可能结果，并且事先
明确知道该试验的所有可能的结果
（3）每次试验出现哪个结果，是不能 准确预言的
1.1.5 事件之间的关系与运算
在一个随机试验中，可以观测 到很多事件，它们各有特点，而且 彼此之间又有一定的联系。
第二章随机信号分析
• 无穷多个样本函数的总体叫做随机过程。
2011-2-23
CP 第二章 随机信号分析
5
样本空间
S1 S2 Sn x 2(t) t x 1(t) t
ξ (t)
x n(t) t tk
• 样本函数的总体
2011-2-23 CP 第二章 随机信号分析 6
2.1.1 随机过程
• 随机过程具有随机变量和时间函数的特 点。 • 在进行观测前是无法预知是空间中哪一 个样本。 • 全体样本在t1时刻的取值ξ(t1)是一个不含t 变化的随机变量。
2011-2-23
CP 第二章 随机信号分析
13
2.2.1定义 定义
2011-2-23
CP 第二章 随机信号分析
14
2.2.3平稳随机过程自相关 平稳随机过程自相关 函数的性质
• 平稳随机过程的自相关函数特别重要。
– 其统计特性，可通过自相关函数来描述； – 自相关函数与谱特性有着内在的联系。
• 设ξ(t)为实平稳随机过程， 则它的自相关 函数 R (τ ) = E [ξ ( t )ξ ( t + τ )]
自协方差函数和自相关函数
B(t1 , t2 ) = E {x (t1 ) - a (t1 ) ] x (t2 ) - a (t2 ) ] [ [ }
=
蝌
- ?
ゥ
[ x1 - a (t1 )][ x2 - a (t2 )] f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t2 )dx1dx2
R(t1 , t2 ) = E [ (t1 )x (t2 ) ]= x
通信原理
第二章 随机信号分析 刘柏森
2011-2-23 CP 第二章 随机信号分析 1
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对希尔伯特滤波器的单位冲激响应做傅里叶变换， 可得
H
h
jsgn
j,
j,
0 0
(6-6)
其中sgn(·)为符号函数。 从希尔伯特变换器的传输函数可以 看出， 它的幅频特性为
它的相频特性为
|Hh(ω)|=1
h
π
π 2
,
,
2
0 0
(6-7) (6-8)
第六章 窄带随机信号分析
此系统传输函数Hh(ω)的幅频特性和相频特性如图6-2所示。 由此可以看出， 希尔伯特滤波器本质是上一个理想的π/2相 移器。
a2 2
第六章 窄带随机信号分析
6.1.2
性质1
H xˆ t xt
(6-9)
H［·］表示希尔伯特正变换， 对x(t)连续两次进行希
尔伯特变换相当于做两次π/2的相移， 即π的相移， 使信号
反相。
性质2
H cos0t sin 0t
（6-10）
H sin 0t cos0t
(6-11)
H
x
t
xˆ
t
1 π
x d
t
(6-1)
反变换为
H
1
xˆ
t
x
t
1 π
xˆ t
d
(6-2)
第六章 窄带随机信号分析
上两式经过简单的变量替换， 可以写成
xˆ
t
1 π
x
t
d
1 π
x
t
d
(6-3)
x
t
1 π
xˆ
t
d
1 π
xˆ
t
d
(6-4)
第六章 窄带随机信号分析
由定义可知， x(t)的希尔伯特变换为x(t)与1／πt的卷积， 即
第六章 窄带随机信号分析
图6-3 x(t)=a(t)cosω0t的频谱图解
第六章 窄带随机信号分析
x(t)=a(t)cosω0t
Xˆ
X
Hh
jsgn
1
2
A
0
A
0
j 2
A
0
j 2
A
0
对上式作傅里叶反变换，
xˆ t atsin0t
第六章 窄带随机信号分析
性质4 设a(t)和φ(t)为低通信号， 则 H［a(t)cos(ω0t+φ)］=a(t)sin(ω0t+φ) H［a(t)sin(ω0t+φ)］=－a(t)cos(ω0t+φ)
xˆ t x t 1
(6-5)
πt
因此， 对x(t)的希尔伯特变换可以看成是x(t)通过单位冲 激响应为1／πt的线性滤波器的输出信号， 因此希尔伯特变 换可以称之为希尔伯特滤波器。 希尔伯特滤波器是典型的 线性时不变系统， 如图6-1所示。
第六章 窄带随机信号分析
图6-1 希尔伯特滤波器
第六章 窄带随机信号分析
jπ 0
jπ
0
e
e j j ,
,
>0 <0
第六章 窄带随机信号分析
所以
H［cos(ω0t+φ)］=F－1［F［H［cos(ω0t+φ)］］］ =sin(ω0t+φ)
性质3 设a(t)为低通信号， 其傅里叶变换为A(ω)， 且
A(ω)=0, |ω|>Δω/2
(6-12)
第六章 窄带随机信号分析
(6-42)
上式各项所对应的功率谱密度的图形如图6-6所示。
第六章 窄带随机信号分析
图6-6画出了 PAc , PAs 的功率谱密度， 根据图解分
=A(t)cosΦ(t)cosω0t－A(t)sinΦ(t)sinω0t
=Ac(t)cosω0t－As(t)sinω0t
(6-32)
上式中， cosω0t， sinω0t都是非随机函数。 而随机函数为
Ac t At cos t
As
t
At
sin
t
(6-33)
第六章 窄带随机信号分析
由式（6-33）可以推出
FX
A, 0,
0 / 2
其他
试求其希尔伯特变换 Xˆ t 的一维概率密度。
解 已知X(t)是零均值平稳高斯信号， 则 Xˆ t 也是零
均值平稳高斯随机信号。
2 Xˆ
=RXˆ
0
RX
0=1 2π
0 FX
d= 1
2π
Ad 0 / 2 A
0 / 2
2π
所以 Xˆ t
第六章 窄带随机信号分析
例6.2 试求cos(ω0t+φ)的希尔伯特变换。 解 cos(ω0t+φ)
F cos
0t
1 2
F
e j0te j
e j0te j
π 0 e j 0 ej
F H cos 0t jπ sgn 0 e j 0 ej
第六章 窄带随机信号分析
RY RYˆ RYˆY RˆY RYYˆ RˆY
代入上式中， 并化简为
RAc t,t RAc RY cos0 RˆY sin0
(6-38)
第六章 窄带随机信号分析
同理有
RAs t,t RAs RY cos0 RˆY sin0
As
t
Yˆ
t
cos
0t
Y
t
sin
0t
(6-35) (6-36)
第六章 窄带随机信号分析
1. Ac(t)和As(t) 对式（6-36）两边进行统计平均， 可得
E Ac t E As t E Y t E Yˆ t 0
2. Ac(t)和As(t)
(6-37)
RAc t,t E Ac t Ac t
fXˆ xˆ
1
A
exp
πxˆ2
A
第六章 窄带随机信号分析
性质7 平稳随机信号X(t)与其希尔伯特变换 Xˆ t 的自
相关函数 RXXˆ 等于自相关函数RX(τ)的希尔伯特变换 RˆX ， 时间平均自相关函数 RXXˆ 等于时间平均自相 关函数 RX 的希尔伯特变换 RˆX ， 即
则当ω0>Δω/2时， 有
H［a(t)cosω0t］=a(t)sinω0t
(6-13)
H［a(t)sinω0t］=－a(t)cosω0t
(6-14)
证明 由性质1知， 若式（6-13）成立，
6-14）
6-13
令x(t)=a(t)cosω0t， 则
X
1 2
A
0
A
0
A(ω)与X(ω)的关系如图6-3所示。
6.2 窄带随机信号的定义及表示
6.2.1
在一般无线电接收机中， 大多数是高频或中频放大器，
它们的通频带带宽Δω往往远小于中心频率ω0， 且中心频率
ω0远离零频， 即
Δω<<ω0,
ω0>>0
(6-29)
第六章 窄带随机信号分析
当窄带系统的输入端加入白噪声或宽带随机信号X(t)时 （见图6-4（a）)， 由于系统的带通传输特性如图6-4（b） 所示， 输出信号的功率谱集中在以ω0为中心一个很小的频 带内， 其输出信号Y(t)为窄带随机信号。 若用一个示波器来 观测它的某次输出的波形（某样本函数）， 可以看到， 它 的样本接近于一个正弦波， 但是其幅度ak(t)和相位φk(t)都在 随时间t作缓慢变化。 典型的窄带随机信号的样本函数时域 波形和功率频谱密度如图6-4(c)和图6-4(d) 所示。
第六章 窄带随机信号分析
第六章 窄带随机信号分析
6.1 希尔伯特变换 6.2 窄带随机信号的定义及表示 6.3 窄带随机信号的统计分析 6.4 窄带高斯随机信号包络和相位分布 6.5 随相正弦波信号加窄带高斯噪声之和的 包络和相位的分布
第六章 窄带随机信号分析
6.1 希尔伯特变换
6.1.1
对于实信号x(t)， 其希尔伯特变换定义为
mX 0,
RX
a2 2
cos 0
由于希尔伯特变换器是线性时不变系统， 所以输出信号
Y(t)也是广义平稳信号，
mY=mX·Hh(0)=0
RY
RX
hh
hh
a2 2
cos 0
hh
hh
第六章 窄带随机信号分析
输出信号Y(t) PY(ω)=PX(ω)·|Hh(ω)|2=PX(ω)
总平均功率为
PY
PX
RX 0
且有
第六章 窄带随机信号分析
RXˆX 0 RXXˆ 0 0
（6-26）
RXXˆ
X
t
Xˆ
t
X
t
X
t
π
d
X
t
X t
π
d
RX
π
d
Rˆ X
同理可证
第六章 窄带随机信号分析
RXˆX RXXˆ RˆX RXXˆ
且有
（6-27）
RXˆX 0 RXXˆ 0 0
（6-28）
第六章 窄带随机信号分析
第六章 窄带随机信号分析
图6-4 宽带噪声通过窄带系统
第六章 窄带随机信号分析
6.2.2
1.
由图6-4（c）可知， 窄带随机信号的一个样本函数就
是一个高频窄带随机信号。 它对应样本空间Ω中的任一样本
点ξk， 所对应的样本函数可表示为
Байду номын сангаас
yk(t)=ak(t)cos［ω0t+φk(t)］, ξk∈Ω
(6-30)
At
Ac2 t As2 t
t
arctan
As Ac
t t
(6-34)
H
h
jsgn
j,
j,
0 0
(6-6)
其中sgn(·)为符号函数。 从希尔伯特变换器的传输函数可以 看出， 它的幅频特性为
它的相频特性为
|Hh(ω)|=1
h
π
π 2
,
,
2
0 0
(6-7) (6-8)
第六章 窄带随机信号分析
此系统传输函数Hh(ω)的幅频特性和相频特性如图6-2所示。 由此可以看出， 希尔伯特滤波器本质是上一个理想的π/2相 移器。
a2 2
第六章 窄带随机信号分析
6.1.2
性质1
H xˆ t xt
(6-9)
H［·］表示希尔伯特正变换， 对x(t)连续两次进行希
尔伯特变换相当于做两次π/2的相移， 即π的相移， 使信号
反相。
性质2
H cos0t sin 0t
（6-10）
H sin 0t cos0t
(6-11)
H
x
t
xˆ
t
1 π
x d
t
(6-1)
反变换为
H
1
xˆ
t
x
t
1 π
xˆ t
d
(6-2)
第六章 窄带随机信号分析
上两式经过简单的变量替换， 可以写成
xˆ
t
1 π
x
t
d
1 π
x
t
d
(6-3)
x
t
1 π
xˆ
t
d
1 π
xˆ
t
d
(6-4)
第六章 窄带随机信号分析
由定义可知， x(t)的希尔伯特变换为x(t)与1／πt的卷积， 即
第六章 窄带随机信号分析
图6-3 x(t)=a(t)cosω0t的频谱图解
第六章 窄带随机信号分析
x(t)=a(t)cosω0t
Xˆ
X
Hh
jsgn
1
2
A
0
A
0
j 2
A
0
j 2
A
0
对上式作傅里叶反变换，
xˆ t atsin0t
第六章 窄带随机信号分析
性质4 设a(t)和φ(t)为低通信号， 则 H［a(t)cos(ω0t+φ)］=a(t)sin(ω0t+φ) H［a(t)sin(ω0t+φ)］=－a(t)cos(ω0t+φ)
xˆ t x t 1
(6-5)
πt
因此， 对x(t)的希尔伯特变换可以看成是x(t)通过单位冲 激响应为1／πt的线性滤波器的输出信号， 因此希尔伯特变 换可以称之为希尔伯特滤波器。 希尔伯特滤波器是典型的 线性时不变系统， 如图6-1所示。
第六章 窄带随机信号分析
图6-1 希尔伯特滤波器
第六章 窄带随机信号分析
jπ 0
jπ
0
e
e j j ,
,
>0 <0
第六章 窄带随机信号分析
所以
H［cos(ω0t+φ)］=F－1［F［H［cos(ω0t+φ)］］］ =sin(ω0t+φ)
性质3 设a(t)为低通信号， 其傅里叶变换为A(ω)， 且
A(ω)=0, |ω|>Δω/2
(6-12)
第六章 窄带随机信号分析
(6-42)
上式各项所对应的功率谱密度的图形如图6-6所示。
第六章 窄带随机信号分析
图6-6画出了 PAc , PAs 的功率谱密度， 根据图解分
=A(t)cosΦ(t)cosω0t－A(t)sinΦ(t)sinω0t
=Ac(t)cosω0t－As(t)sinω0t
(6-32)
上式中， cosω0t， sinω0t都是非随机函数。 而随机函数为
Ac t At cos t
As
t
At
sin
t
(6-33)
第六章 窄带随机信号分析
由式（6-33）可以推出
FX
A, 0,
0 / 2
其他
试求其希尔伯特变换 Xˆ t 的一维概率密度。
解 已知X(t)是零均值平稳高斯信号， 则 Xˆ t 也是零
均值平稳高斯随机信号。
2 Xˆ
=RXˆ
0
RX
0=1 2π
0 FX
d= 1
2π
Ad 0 / 2 A
0 / 2
2π
所以 Xˆ t
第六章 窄带随机信号分析
例6.2 试求cos(ω0t+φ)的希尔伯特变换。 解 cos(ω0t+φ)
F cos
0t
1 2
F
e j0te j
e j0te j
π 0 e j 0 ej
F H cos 0t jπ sgn 0 e j 0 ej
第六章 窄带随机信号分析
RY RYˆ RYˆY RˆY RYYˆ RˆY
代入上式中， 并化简为
RAc t,t RAc RY cos0 RˆY sin0
(6-38)
第六章 窄带随机信号分析
同理有
RAs t,t RAs RY cos0 RˆY sin0
As
t
Yˆ
t
cos
0t
Y
t
sin
0t
(6-35) (6-36)
第六章 窄带随机信号分析
1. Ac(t)和As(t) 对式（6-36）两边进行统计平均， 可得
E Ac t E As t E Y t E Yˆ t 0
2. Ac(t)和As(t)
(6-37)
RAc t,t E Ac t Ac t
fXˆ xˆ
1
A
exp
πxˆ2
A
第六章 窄带随机信号分析
性质7 平稳随机信号X(t)与其希尔伯特变换 Xˆ t 的自
相关函数 RXXˆ 等于自相关函数RX(τ)的希尔伯特变换 RˆX ， 时间平均自相关函数 RXXˆ 等于时间平均自相 关函数 RX 的希尔伯特变换 RˆX ， 即
则当ω0>Δω/2时， 有
H［a(t)cosω0t］=a(t)sinω0t
(6-13)
H［a(t)sinω0t］=－a(t)cosω0t
(6-14)
证明 由性质1知， 若式（6-13）成立，
6-14）
6-13
令x(t)=a(t)cosω0t， 则
X
1 2
A
0
A
0
A(ω)与X(ω)的关系如图6-3所示。
6.2 窄带随机信号的定义及表示
6.2.1
在一般无线电接收机中， 大多数是高频或中频放大器，
它们的通频带带宽Δω往往远小于中心频率ω0， 且中心频率
ω0远离零频， 即
Δω<<ω0,
ω0>>0
(6-29)
第六章 窄带随机信号分析
当窄带系统的输入端加入白噪声或宽带随机信号X(t)时 （见图6-4（a）)， 由于系统的带通传输特性如图6-4（b） 所示， 输出信号的功率谱集中在以ω0为中心一个很小的频 带内， 其输出信号Y(t)为窄带随机信号。 若用一个示波器来 观测它的某次输出的波形（某样本函数）， 可以看到， 它 的样本接近于一个正弦波， 但是其幅度ak(t)和相位φk(t)都在 随时间t作缓慢变化。 典型的窄带随机信号的样本函数时域 波形和功率频谱密度如图6-4(c)和图6-4(d) 所示。
第六章 窄带随机信号分析
第六章 窄带随机信号分析
6.1 希尔伯特变换 6.2 窄带随机信号的定义及表示 6.3 窄带随机信号的统计分析 6.4 窄带高斯随机信号包络和相位分布 6.5 随相正弦波信号加窄带高斯噪声之和的 包络和相位的分布
第六章 窄带随机信号分析
6.1 希尔伯特变换
6.1.1
对于实信号x(t)， 其希尔伯特变换定义为
mX 0,
RX
a2 2
cos 0
由于希尔伯特变换器是线性时不变系统， 所以输出信号
Y(t)也是广义平稳信号，
mY=mX·Hh(0)=0
RY
RX
hh
hh
a2 2
cos 0
hh
hh
第六章 窄带随机信号分析
输出信号Y(t) PY(ω)=PX(ω)·|Hh(ω)|2=PX(ω)
总平均功率为
PY
PX
RX 0
且有
第六章 窄带随机信号分析
RXˆX 0 RXXˆ 0 0
（6-26）
RXXˆ
X
t
Xˆ
t
X
t
X
t
π
d
X
t
X t
π
d
RX
π
d
Rˆ X
同理可证
第六章 窄带随机信号分析
RXˆX RXXˆ RˆX RXXˆ
且有
（6-27）
RXˆX 0 RXXˆ 0 0
（6-28）
第六章 窄带随机信号分析
第六章 窄带随机信号分析
图6-4 宽带噪声通过窄带系统
第六章 窄带随机信号分析
6.2.2
1.
由图6-4（c）可知， 窄带随机信号的一个样本函数就
是一个高频窄带随机信号。 它对应样本空间Ω中的任一样本
点ξk， 所对应的样本函数可表示为
Байду номын сангаас
yk(t)=ak(t)cos［ω0t+φk(t)］, ξk∈Ω
(6-30)
At
Ac2 t As2 t
t
arctan
As Ac
t t
(6-34)