基础知识天天练2-4. 数学 数学doc
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第2模块 第4节
[知能演练]
一、选择题 1.函数y =2
x
的值域是
( )
A .[0,+∞)
B .[1,+∞)
C .(-∞,+∞)
D .[2,+∞)
解析:由于y =2x
中x ≥0,所以y =2x ≥20=1,即函数的值域为[1,+∞).
答案:B
2.已知函数f (x )=1+22x -1
,若f (lg5-
13)=k ,则f (lg51
3)=
( )
A .k B.1k C .-k
D .-1k
解析:容易判断函数f (x )为奇函数,又因为lg5-
13=-lg513,所以f (lg51
3)=-f (lg5-
1
3)=-k .
答案:C
3.函数y =|2x -1|在区间(k -1,k +1)内不单调,则k 的取值范围是
( )
A .(-1,+∞)
B .(-∞,1)
C .(-1,1)
D .(0,2)
解析:由于函数y =|2x -1|在(-∞,0)内单调递减,在(0,+∞)内单调递增,而函数在区间(k -1,k +1)内不单调,所以有k -1<0 答案:C 4.函数y =2|log 2x |的图象大致是 ( ) 解析:y =2|log 2x |=⎩⎪⎨⎪⎧ 1x (0 x (x >1),故应选C. 答案:C 二、填空题 5.函数y =(1 5 )x -3x 在区间[-1,1]上的最大值等于________. 解析:由y =(15)x 是减函数,y =3x 是增函数,可知y =(1 5)x -3x 是减函数,故当x =-1 时函数有最大值14 3 . 答案:143 6.若函数y =lg(4-a ·2x )在(-∞,1]上有意义,则实数a 的取值范围是________. 解析:依题意有4-a ·2x >0在(-∞,1]上恒成立,即4>a ·2x ,a <42x ,g (x )=42x 在(-∞, 1]上单调递减,所以g (x )=4 2 x 的最小值等于g (1)=2,因此实数a 的取值范围是a <2. 答案:(-∞,2) 三、解答题 7.函数y =lg(3-4x +x 2)的定义域为M ,当x ∈M 时,求f (x )=2x +2-3×4x 的最值. 解:由3-4x +x 2>0得x >3或x <1, ∴M ={x |x >3或x <1}, f (x )=-3×22x +2x +2=-3(2x -16)2+25 12. ∵x >3或x <1,∴2x >8或0<2x <2, ∴当2x =16,即x =log 216时,f (x )最大,最大值为25 12,f (x )没有最小值. 8.已知函数f (x )=a a 2-1(a x -a - x )(a >0,且a ≠1). (1)判断f (x )的单调性; (2)验证性质f (-x )=-f (x ),当x ∈(-1,1)时,并应用该性质求满足f (1-m )+f (1-m 2)<0的实数m 的范围. 解:(1)设x 1 ax 1+x 2>0. 若a >1,则ax 1 a 2-1 >0, 所以f (x 1)-f (x 2)=a a 2-1(ax 1-ax 2)(1+1 ax 1+x 2)<0, 即f (x 1) a 2 -1 <0, f (x 1)-f (x 2)= a a 2 -1(ax 1-ax 2)(1+1ax 1+x 2 )<0, 即f (x 1) (a x -a - x ), 则f (-x )=a a 2-1(a - x -a x ), 显然f (-x )=-f (x ). f (1-m )+f (1-m 2)<0, 即f (1-m )<-f (1-m 2)⇔f (1-m ) [高考·模拟·预测] 1.若0 ( ) A .3y <3x B .log x 3 C .log 4x D .(14)x <(1 4 )y 解析:由指数函数的性质易知A 、D 错误,而log x 3=1log 3x ,log y 3=1 log 3y ,显然应有log x 3>log y 3,只有选项C 正确. 答案:C 2.若x 1满足2x +2x =5,x 2满足2x +2log 2(x -1)=5,则x 1+x 2=( ) A.5 2 B . 3 C.72 D .4 解析:依题意:2x 1- 1=52-x 1,log 2(x 2-1)=52-x 2, ∴2x 1-1=32-(x 1-1),log 2(x 2-1)=3 2-(x 2-1). 又函数y 1=2x 与y 2=log 2x 互为反函数, ∴x 1-1+x 2-1=32,即x 1+x 2=32+2=7 2.故选C. 答案:C 3.已知a =5-1 2 ,函数f (x )=a x ,若实数m 、n 满足f (m )>f (n ),则m 、n 的大小关系为________. 解析:∵a =5-1 2 ∈(0,1),故a m >a n ⇒m 4.若函数f (x )=a x -x -a (a >0,且a ≠1)有两个零点,则实数a 的取值范围是________. 解析:函数f (x )的零点的个数就是函数y =a x 与函数y =x +a 交点的个数,由函数的图象可知a >1时两函数图象有两个交点,01.