基础知识天天练2-4. 数学 数学doc

第2模块 第4节
[知能演练]
一、选择题 1．函数y ＝2
x
的值域是
( )
A ．[0，＋∞)
B ．[1，＋∞)
C ．(－∞，＋∞)
D ．[2，＋∞)
解析：由于y ＝2x
中x ≥0，所以y ＝2x ≥20＝1，即函数的值域为[1，＋∞)．
答案：B
2．已知函数f (x )＝1＋22x －1
，若f (lg5－
13)＝k ，则f (lg51
3)＝
( )
A ．k B.1k C ．－k
D ．－1k
解析：容易判断函数f (x )为奇函数，又因为lg5－
13＝－lg513，所以f (lg51
3)＝－f (lg5－
1
3)＝－k .
答案：C
3．函数y ＝|2x －1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，则k 的取值范围是
( )
A ．(－1，＋∞)
B ．(－∞，1)
C ．(－1,1)
D ．(0,2)
解析：由于函数y ＝|2x －1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k －1，k ＋1)内不单调，所以有k －1<0<k ＋1，解得－1<k <1.
答案：C
4．函数y ＝2|log 2x |的图象大致是
( )
解析：y ＝2|log 2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧
1x (0<x <1)
x (x >1)，故应选C.
答案：C 二、填空题
5．函数y ＝(1
5
)x －3x 在区间[－1,1]上的最大值等于________．
解析：由y ＝(15)x 是减函数，y ＝3x 是增函数，可知y ＝(1
5)x －3x 是减函数，故当x ＝－1
时函数有最大值14
3
.
答案：143
6．若函数y ＝lg(4－a ·2x )在(－∞，1]上有意义，则实数a 的取值范围是________． 解析：依题意有4－a ·2x >0在(－∞，1]上恒成立，即4>a ·2x ，a <42x ，g (x )＝42x 在(－∞，
1]上单调递减，所以g (x )＝4
2
x 的最小值等于g (1)＝2，因此实数a 的取值范围是a <2.
答案：(－∞，2) 三、解答题
7．函数y ＝lg(3－4x ＋x 2)的定义域为M ，当x ∈M 时，求f (x )＝2x ＋2－3×4x 的最值． 解：由3－4x ＋x 2>0得x >3或x <1， ∴M ＝{x |x >3或x <1}，
f (x )＝－3×22x ＋2x ＋2＝－3(2x －16)2＋25
12.
∵x >3或x <1，∴2x >8或0<2x <2，
∴当2x ＝16，即x ＝log 216时，f (x )最大，最大值为25
12，f (x )没有最小值．
8．已知函数f (x )＝a a 2－1(a x －a －
x )(a >0，且a ≠1)．
(1)判断f (x )的单调性；
(2)验证性质f (－x )＝－f (x )，当x ∈(－1,1)时，并应用该性质求满足f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的范围．
解：(1)设x 1<x 2，x 1－x 2<0,1＋1
ax 1＋x 2>0.
若a >1，则ax 1<ax 2，a
a 2－1
>0，
所以f (x 1)－f (x 2)＝a a 2－1(ax 1－ax 2)(1＋1
ax 1＋x 2)<0，
即f (x 1)<f (x 2)，f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数； 同理，若0<a <1，则ax 1>ax 2，a
a 2
－1
<0， f (x 1)－f (x 2)＝
a a 2
－1(ax 1－ax 2)(1＋1ax 1＋x 2
)<0， 即f (x 1)<f (x 2)，f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数． 综上，f (x )在R 上为增函数． (2)f (x )＝a a 2－1
(a x －a －
x )，
则f (－x )＝a a 2－1(a －
x －a x )，
显然f (－x )＝－f (x )． f (1－m )＋f (1－m 2)<0，
即f (1－m )<－f (1－m 2)⇔f (1－m )<f (m 2－1)， 函数为增函数，且x ∈(－1,1)， 故解－1<1－m <m 2－1<1，可得1<m < 2.
[高考·模拟·预测]
1．若0<x <y <1，则
( )
A ．3y <3x
B ．log x 3<log y 3
C ．log 4x <log 4y
D ．(14)x <(1
4
)y
解析：由指数函数的性质易知A 、D 错误，而log x 3＝1log 3x ，log y 3＝1
log 3y
，显然应有log x 3>log y 3，只有选项C 正确．
答案：C
2．若x 1满足2x ＋2x ＝5，x 2满足2x ＋2log 2(x －1)＝5，则x 1＋x 2＝( ) A.5
2 B ．
3 C.72
D ．4
解析：依题意：2x 1－
1＝52－x 1，log 2(x 2－1)＝52－x 2，
∴2x 1－1＝32－(x 1－1)，log 2(x 2－1)＝3
2－(x 2－1)．
又函数y 1＝2x 与y 2＝log 2x 互为反函数， ∴x 1－1＋x 2－1＝32，即x 1＋x 2＝32＋2＝7
2.故选C.
答案：C 3．已知a ＝5－1
2
，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________．
解析：∵a ＝5－1
2
∈(0,1)，故a m >a n ⇒m <n . 答案：m <n
4．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 解析：函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 交点的个数，由函数的图象可知a >1时两函数图象有两个交点，0<a <1时两函数图象有唯一交点，故a >1.
答案：(1，＋∞) 5．设函数f (x )＝e x
x .
(1)求函数f (x )的单调区间；
(2)若k >0，求不等式f ′(x )＋k (1－x )f (x )>0的解集． 解：(1)f ′(x )＝－1x 2e x ＋1
x e x ＝x －1x 2e x ，
由f ′(x )＝0，得x ＝1.
因为当x <0时，f ′(x )<0；当0<x <1时，f ′(x )<0；当x >1时，f ′(x )>0；所以f (x )的单调增区间是[1，＋∞)；单调减区间是(－∞，0)，(0,1]．
(2)由f ′(x )＋k (1－x )f (x )＝x －1＋kx －kx 2x 2e x ＝(x －1)(－kx ＋1)x 2
e x
>0，得(x －1)(kx －1)<0.
故当0<k <1时，解集是⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪
⎪
1<x <1k ； 当k ＝1时，解集是Ø；
当k >1时，解集是⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪
1k
<x <1. [备选精题]
6．已知定义域为[0,1]的函数f (x )同时满足以下三条： ①对任意的x ∈[0,1]，总有f (x )≥0； ②f (1)＝1；
③若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，则有f (x 1＋x 2)≥f (x 1)＋f (x 2)成立． 解答下列各题： (1)求f (0)的值；
(2)函数g (x )＝2x －1在区间[0,1]上是否同时适合①②③？并予以证明． (3)假定存在x 0∈[0,1]，使得f (x 0)∈[0,1]且f [f (x 0)]＝x 0，求证f (x 0)＝x 0. 解：(1)取x 1＝x 2＝0，得f (0)≥f (0)＋f (0)⇒f (0)≤0， 又由①知f (0)≥0，故f (0)＝0.
(2)显然g (x )＝2x －1在[0,1]上满足①g (x )≥0；②g (1)＝1. 若x 1≥0，x 2≥0，x 1＋x 2≤1，则
g (x 1＋x 2)－[g (x 1)＋g (x 2)]＝2x 1＋x 2－1－(2x 1－1＋2x 2－1) ＝2x 1＋x 2－2x 1－2x 2＋1＝(2x 2－1)(2x 1－1)≥0， ∴g (x )也满足③. 故g (x )适合①②③.
(3)由③知任给m 、n ∈[0,1]，m <n 时f (m )≤f (n )， 事实上，∵m 、n ∈[0,1]，m <n ，∴n －m ∈[0,1]， ∴f (n )＝f (n －m ＋m )≥f (n －m )＋f (m )≥f (m )．
若x0<f(x0)，则f(x0)≤f[f(x0)]＝x0，前后矛盾；若x0>f(x0)，则f(x0)≥f[f(x0)]＝x0，前后矛盾．故x0＝f(x0)．。