数学建模：养老金计划
企业职工退休养老金制度的数学建模问题
文化视野企业职工退休养老金制度的数学建模问题赵晓艳 河南质量工程职业学院基础教学部摘要：社会退休职工的养老问题日益成为社会的热点。
本文选取对山东省历年社会平均工资统计，然后求出历年的平均增长率作为未来的社会平均工资每年增长率，建立计算未来的社会平均工资的模型。
在考虑了基础养老金、个人账户养老金、养老金与职工工资、缴费年限等的相互关系后，给出了相应的具体算例，然后用Excel软件求出某企业2009年的平均工资和其各年龄段的平均工资，降低了数据的计算量，在此基础上计算出基础养老金和个人账户养老金；职工缴费指数和最优替代率。
最后讨论了养老金的最优替代率和收支平衡与最适宜的缴费年龄和退休年龄。
关键词：养老金；社会平均工资；替代率；收支平衡；退休年龄中图分类号：O29 文献识别码：A 文章编号：1001-828X(2018)009-0423-02我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式。
在我国，施行养老保险政策非常有必要，在自己能力范围内交养老保险，到达一定年龄就可以领取养老金，这样就可以做到老有所依，老有所养，对子女也会减轻很大的压力，同时对于社会来说，也减轻了社会的负担，让社会变得更加和谐稳定，进而间接促进社会发展。
对于社保的缴纳，国家政策也给予了很大的支持，国家规定，社保是可以中断缴纳的，中途改变工作单位会依法把你缴费记录什么的转移到新工作单位[1]。
这就给在企业中的职工提供了很多便利。
假如有一个城市的每个人工资都是每个月一千块钱，市政府规定人们从四十岁时开始交养老保险，按工资的20%交，交到六十岁开始领养老金，这时候每个月就得交两百块。
随着工资每个月上涨(不管是因为时候水平提高还是因为通货膨胀)，交养老金跟领养老金的钱也在逐月上涨。
国家规定社会养老缴费基数最高为年平均工资的3倍，最低为0.6倍养老金 =(退休时上年度在岗职工月平均工资+本人指数化月平均缴费工资)÷2×缴费年限×1%+个人账户储存额÷(人口平均寿命-退休年龄)X12。
养老保险问题建模分析
二分法的优点是方法简单，且只要求 f ( x) 连续即可，可用二分法求出 f ( x) 0 在 a, b 内全部实根，但二分法不能求复 根及偶数重根，且收敛较慢，函数值计算次数 较多。
• 例4.2.2
用二分法求 f ( x)
1 3 10 2
x
6
x 1 在[1,2]内一
即 x 为方程 (4.2.4) 的解（称 x 为函数 g x 的不动点），显然 在由方程 f ( x) 0 转化为等价方程 x g ( x) 时，选择不同的迭代 函数 g ( x) ，就会产生不同的序列 xk （即使初值 x0 选择一样）且 这些序列的收敛情况也不会相同。
k
在这里实际上表示从保险人开始交纳保险费以后，保险 人账户上的资金数值。
4.1.4
模型建立
我们关心的是，在第M月时， FK 能否为非负 数？ 如果为正，则表明保险公司获得收益；如为负，则表明 保险公司出现亏损。当为零时，表明保险公司最后一无 所有，所有的收益全归保险人，把它作为保险人的实际 收益。 从这个分析来看，引入变量FK，很好地刻画了整个 过程中资金的变化关系；特别是引入收益率 r，虽然它 不是我们所求的保险人的收益率，但从问题系统环境中 来看，必然要考虑引入另一对象——保险公司的经营效 益，以此作为整个过程中各量变化的表现基础。
k k
k
Байду номын сангаас
例4.2.4 对例4.2.1中方程考查用迭代法求根
a b
xk 1 sin xk 0.5, k 0,1,2, xk 1 sin 1 xk 0.5 , k 0,1,2,
4.2.1
x
• 二分法的步骤如下：记 a1 a ， b1 b
数学建模与数学实验：第13讲 个人住房抵押贷款模型养老保险模型
马氏链 (Markov Chain) ——时间、状态均为离散的随机转移过程
马氏链的基本方程
xk 1 Axk
xk x1k , x2k , , xnk T
xik与状态i有关，i 1, 2, , n
转移概率aij 从状态j一步变化到状态i的概率
(1)aij 0,i, j 1, 2,
比例（概率）为aij； 3）T为资源总数，保持恒为正常数。
结论：
经过多轮分配，各个部门分配到的资源趋向于稳定， 总数为T 的资源，将按照P的分量比例分配到各个部门。
金融机构为保证现金充分支付,设立一笔总额T=5400万的基金,分开放置 在位于A城和B城的两家公司,基金在平时可以使用,但每周末结算时必须 确保总额仍然为5400万。经过相当长的一段时期的现金流动,发现每过一 周,各公司的支付基金在流通过程中多数还留在自己的公司内,而A城公司 有10%支付基金流动到B城公司,B城公司则有12%支付基金流动到A城公司。 起初A城公司基金额为2600万,B城公司基金为2800万。
一阶差分方程基础知识
定义：一阶差分方程 xk1 f (xk ), xk Rn , k N 平衡点 x*——代数方程 x=f(x)的根
平衡点的稳定性
lim
k
xk
x
lim
k
xk
x
x*是稳定平衡点 x*是不稳定平衡点
一阶线性差分方程
xk axk1 b, a,b为常数，且a 1
通解：
xk
吸收态。
有r个吸收状态的吸收链的 转移矩阵标准形式
A
Ir O
R
S
S Rnrnr , 非吸收态之间的转移矩阵
R Rrnr , 非吸收态到吸收态的转移矩阵
数学建模小组企业退休职工养老金制度的改革
168540 310134 170 139 2231 26772
月平均领取的养 991 老金 年平均领取的养 11892 老金
3.3-3 问题三该职工缴存的养老保险金与领取的养老保险金的差额
55-75岁缴纳及领取养老金的余额
60-75岁缴纳及领取养老金的余额
从表格中，我们可以看出60岁退休，在75岁死亡时的养 老基金国家补贴了29689元，在73岁时缴纳的养老保险 基金与其领取的养老基金之间达到了收支平衡。
65-75岁缴纳及领取养老金的余额
从表格中，我们可以看出65岁退休，在75岁死亡时的 养老基金国家补贴了32229元，在74岁时缴纳的养老保 险基金与其领取的养老基金之间达到了收支平衡。
2011c题：企业退休职工养老金制度的改革
问题背景
Байду номын сангаас 问题
1978
2010
第一题：
3.2对问题二的求解
3.2-1 各年龄工资与企业平均工资之比
30-55缴纳的养老保险总金额
3.3-2 问题二 从退休到75岁死亡每年领取的保险金总额
55退休 总的缴费金额 计发月数
60岁退休
65岁退休 545885 101 5405 64860
养老金问题的数学模型探究
−
.
×
.
整合呈现பைடு நூலகம்问题求解
整合研究，问题求解
年份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
缴纳
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
2.5
= . ， = . − + .
故{ +
设，使得 + = . − + ≥
即 = 1.035−1 + 0.035，
故. = . , 即 =
.
.
=
+
，公比. ，
通项公式为
式，年利率为3.5%
第1年
第2年
第3年
第4年
……
第n年
……
利润
结余
分段探究，建立模型
任务三、寻求 与− 的递推关系
【学生展示1】
【学生展示2】
×
没缴纳养老金≠没利润
递推关系： = . − − ≥
分段探究，建立模型
任务四：由 与− 的递推关系推导 的通项公式
P 没
钱
李斯特养老金计划所用数学模型
李斯特养老金计划所用数学模型
李斯特养老金计划是一个涉及金融和经济领域的复杂问题，需要使用多种数学模型来进行描述和分析。
以下是其中一些常用的数学模型：
1. 精算模型
精算模型是用来计算养老金计划负债和成本的工具。
它基于一系列假设，包括人口统计数据、投资收益率、通货膨胀率、利率等，通过这些假设来模拟未来现金流和负债变化的情况。
精算模型可以帮助计划发起人制定合适的费率，以保证养老金计划的长期稳定运行。
2. 投资组合模型
投资组合模型是用来优化养老金资产配置的工具。
它通过将资产分配到不同的投资品种中，以实现风险和收益的平衡。
投资组合模型通常采用现代投资组合理论（如Markowitz模型），通过计算每一种投资品种的期望收益、方差和相关系数，来找出最优的投资组合。
3. 随机过程模型
随机过程模型是用来模拟养老金计划负债和投资的动态变化的工具。
它基于随机过程理论，可以考虑到许多随机因素的影响，如死亡率、投资收益率、通货膨胀率等。
随机过程模型可以帮助计划发起人预测未来负债和资产的变化情况，从而更好地制定决策。
4. 仿真模型
仿真模型是用来模拟养老金计划在不同情况下的表现的工。
它通过设定不同的参数和假设条件，模拟出未来可能出现的各种情况，并对这些情况进行评估和分析。
仿真模型可以帮助计划发起人评估不同策略的风险和收益，从而更好地制定决策。
李斯特养老金计划需要使用多种数学模型来进行描述和分析。
这些模型可以帮助计划发起人制定合适的费率、优化资产配置、预测未来变化情况以及评估不同策略的风险和收益。
数学建模——关于养老金的分析与计算及简化编程
数学建模——关于养老金的分析与计算及简化编程养老金是自然人在退休后保障生活的一项社会福利制度。
在现代社会，养老金的计算和分析变得越来越复杂，需要运用数学建模的方法来进行分析和计算。
首先，我们需要考虑养老金的基本构成。
养老金通常由两部分组成：基础养老金和个人账户养老金。
基础养老金由国家统一提供，与个人工作年限和月平均工资有关。
个人账户养老金则是个人按一定比例缴纳的，由个人投资运营，与个人缴费和投资收益有关。
接下来，我们可以用数学建模的方法来计算养老金。
首先，我们需要确定基础养老金的计算公式。
通常，基础养老金与个人工作年限和月平均工资的乘积有关。
我们可以将其表示为：基础养老金=工作年限×月平均工资×系数其中系数为国家制定的统一标准，与个人年龄和性别也有关。
然后，我们需要计算个人账户养老金。
个人账户养老金的计算涉及到个人缴费和投资收益。
我们可以将个人缴费表示为：个人缴费=个人工资×缴费比例缴费比例通常由国家制定，可以根据个人工资水平等因素进行调整。
个人账户养老金的投资收益可以通过投资收益率进行计算。
假设投资收益率为r，个人账户养老金的投资收益可以表示为：投资收益=个人缴费×(1+r)^缴费年限最后，我们可以将基础养老金和个人账户养老金加总，得到总养老金：总养老金=基础养老金+个人账户养老金通过这样的计算，我们可以得到一个基于数学模型的养老金计算公式，可以根据不同的个人情况和参数进行计算。
除了计算养老金的数学模型，我们还可以利用简化编程来实现对养老金的分析和计算。
例如，我们可以使用Python等编程语言来编写一个程序，输入个人的工作年限、月平均工资、个人工资、缴费比例、投资收益率等参数，然后自动计算出养老金的结果。
在编程中，我们可以使用变量来存储输入的参数，使用数学函数来进行计算，使用条件判断和循环语句来实现不同情况下的计算逻辑。
通过编程，我们可以快速准确地计算养老金，避免手工计算产生的错误和繁琐。
第十届华为杯研究生数学建模F题论文
（由组委会填写）第十届华为杯全国研究生数学建模竞赛学校参赛队号队员姓名1 2 3（由组委会填写）第十届华为杯全国研究生数学建模竞赛题目可持续的中国城乡居民养老保险体系的数学模型研究摘要：在人口老龄化程度日益加深的背景下，我国的养老保险体系遇到了极大的挑战。
养老金缺口已经出现并且缺口可能还会继续扩大。
如果不及时解决养老金缺口问题，它将会给社会经济发展带来沉重的负担，如何保障养老保险体系持续健康稳定的发展，成为一个亟待研究的重要问题。
为此，本文立足现实，探讨适合国情的养老保险体系，探寻促进我国城乡养老保险体系可持续发展的路径，同时为国家制定城乡居民养老保险相关政策提供参考。
问题一(建立中国城乡居民养老保险体系数学模型)，首先确定影响养老保险体系的相关因素，此处一方面利用题目给出的影响因素；另一方面借鉴相关专家学者的研究以及我国经济社会发展的现实情况，最终确定影响中国城乡居民养老保险体系的主要因素，包括养老金收入、养老金支出、养老金替代率、缴费率、养老金结余量、投资收益率、投资收益额、政府财政投入、GDP增长率、GDP增长额、分年龄段死亡率、养老金领取人数、CPI增长率、年平均工资水平、个人缴费总额、缴费率、缴费人数、劳动人口数、就业率。
其次，确立各因素之间的假设关系。
然后，构建基本养老保险体系的系统动力学模型，并进行系统仿真。
模型建立要紧密结合社会我国的经济发展状况。
问题二，(1) 本文利用问题一中构建的基本养老保险系统动力学模型，设置基期为2010年的实际数据，预测今年至2035年我国养老金缺口，从2021年养老金开始出现缺口，并呈现扩大趋势。
选取2000-2010年的数据来预测2011-2035年的养老金结余，其中2011年我国实际养老金结余为19496.6亿元，经过预测得到2011年的养老金结余为20672.1亿元，测量误差仅为6%，可见对养老金缺口的预测非常合理。
(2) 如果国家现行养老保险政策保持不变，根据本文构建的数学模型，我国城乡居民养老保险收支矛盾最尖锐的情况将在2035年出现，基金缺口将高达2.00102e+011元。
数学建模论文国内养老金制度改革问题
数学建模2015~ 2016学年第二学期题目国内养老金制度改革问题学院专业学号姓名指导教师国内养老金制度改革问题摘要本文通过查阅相关资料以及文献分析了当前中国的养老金制度历史沿革和现状，从中总结了当前养老制度存在的主要问题，提取了两个主要因素并建立了养老金替代率模型和养老金收支平衡模型；以山东省为例分析了以往养老制度模式，并建立新的模型预测改革方向，最后通过预测模型双目标优化模型总结分析出国家应当进行的养老金制度改革的制度建议和具体的改革政策，总体上探究了当前我国养老金制度并提出了可行性政策改革方法。
关键词：养老金替代率收支平衡模型双目标优化模型养老制度改革国内养老金制度改革问题一、问题重述目前我国已进入老龄化社会，养老问题日益突出。
当前养老体制多轨运行，而且我国将要面临养老金缺口问题。
许多学者提出养老金并轨，并实行延迟退休等政策，这些政策同时又会产生新的矛盾。
理论上，我们希望对个人而言，当年龄越来越大时个人养老金账户所剩下的余额越来越小越好，也就是说是一个变的减函数；而政府希望由国家管理的整个国家的养老金总额越来越大越好，也就是说是一个变的增函数。
请查阅相关资料完成以下问题：1、分析当前我国养老制度面临的问题；2、建立数学模型描述我国当前的养老制度，并建立新的数学模型预测我国养老制度改革的方向；3、依据上述模型，给出我国养老制度改革的方向和政策建议。
二、模型假设为了便于分析和研究完全基金下养老金保障水平的受制因素，本文根据完全基金制的运行机制，做以下假设：（1）假设中国在今后一个较长时间段内社会政治经济形势稳定，工资不会出现异常动荡。
（2）假设男女同工同酬。
（3）假设现有缴费及发放制度在一个充分长的时间段内不发生变化。
（4）假设国内企业不同年龄的职工工资与国内企业平均工资的比例可以用来计算一个普通职工的养老保险缴费指数。
（5）假设只有个人账户中的储存额产生利息，而社会统筹基金账户中的储存额不产生利息。
养老金计划数学建模
重庆工商大学第六届大学生数学建模竞赛暨2014年全国大学生数学建模选拔赛论文题目：养老金计划参赛队员信息2013年 6 月 5 日养老金计划的数学模型摘要中国正在跑步进入老龄化社会，养老金短缺问题受到了社会各界的广泛关注。
经预测，到2039年,我国将出现不足两个纳税人供养一个养老金领取者的局面,这被称为“老龄社会危机时点”.本文就养老金问题进行了讨论。
假定养老金计划从20岁开始至80岁结束，参加者20到60岁时工作阶段，他会每月存入一定的金额，60岁退休以后，每月初领取相等的退休金，一直领取20年。
建立数学模型，计算参加者不同年龄阶段投入不同的金额，他所领取到的养老金是多少。
我们把它分为了两个阶段，先是以年金的形式算出参加者从投入资金到60岁一月初时的本息和，再计算出了他从60岁到80岁领取养老金的公式，从而求出了他每月领取的养老金P.然后利用Matlab编写程序，最终得出了结果，越早参加养老金计划，领取的养老金越多。
从20岁开始参加养老金计划，每月领取的养老金为12205.7元；从35岁开始参加养老金计划，每月领取的养老金为5747.6元；从48岁开始参加养老金计划，每月领取的养老金为4644.4元.最后，本文讨论了该模型的优缺点，并进行了进一步的推广与分析.关键词：老龄化养老金年金 Matlab一、问题重述养老金是指人们在年老失去工作能力后可以按期领取的补偿金，这里假定养老金计划从20岁开始至80岁结束，年利率为10℅.参加者的责任是，未退休时（60岁以前）每月初存入一定的金额，其中具体的存款方式为：20岁~29岁每月存入X1元，30岁~39岁每月存入X2元，40岁~49岁每月存入X3元，50岁~59岁每月存入X4元.参加者的权利是，从退休（60岁）开始，每月初领取退休金，一直领取20年.建立养老金计划的数学模型，并计算不同年龄的计划参加者的月退休金.1、从20岁开始参加养老金计划，假设X1=X2=X3=X4=200元；2、从35岁开始参加养老金计划，假设X2=200元，X3=500元，X4=1000元；3、从48岁开始参加养老金计划，假设X3=1000元，X4=2000元.二、问题分析我们先对整个问题进行分析，建立一个适用于从任何年龄（20—59岁）开始参加养老金计划的数学模型，再分别代入数据，计算出从20岁开始参加养老金计划、从35岁开始参加养老金计划和从48岁开始参加养老金计划可以得到的养老金补助.我们把参加者从开始参加养老金计划到80岁分为两个阶段。
养老基金问题
《数学建模与计算》问题养老基金问题1. 具体问题某大学年轻教师小李从31岁开始建立自己的养老基金，他把已有的积蓄一万元也一次性投入，已知月利率为0.01，每月存入300元，当他60岁退休时，他的退休基金有多少？若退休后他每月要从银行提取1000元，几年后他的退休金可以用完？2. 解决方法根据题意建立数学模型:可用差分方程求解养老基金问题。
2.1模型假设：整个过程可以按月进行划分，因为交费是按月进行的。
（1）设投保人到第k月止所交保费及收益的累计总额为Fk，（2）设r为每月收益率，（3）记p、q分别为60岁之前每月交费数和60岁之后每月领取数，（4）记N为停交保险费的月份，M为停领养老金的月份。
模型建立：在整个过程中，离散变量Fk的变化规律满足：Fk+1 = Fk（1+r）+p， k = 0，1，…，N-1Fk+1 = Fk（1+r）-q， k = N,…M2.2差分方程建模：在实际建立的查分方程模型时，往往要将变化过程或向量，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引用相应的变量或向量，然后通过适当的假设，根据食物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应阶段设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算和取最运算等）等式（可多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而建立起差分方程。
或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间这种量的关系等式，从而建立起差分方程。
在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应该结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析，针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析选择，尽量扩大对过程或系统的数量感知范围，包括对已有的，已知的若干量进行结合运算，取最运算等处理方式，目的是建立起简洁，深刻，易于求解分析的差分方程。
数学建模之养老保险
数学建模之养老保险摘要：本文通过对给定保险方案的分析，针对生活中养老保险的实际情况，本文特提出了一系列令投保人受益较大的投保方案，并建立一般数学模型来解决这个问题，此模型对实际投保问题很有意义，既可做为保险公司方的参考工具，又可为投保人提供一定的参考信息。
与此同时，本文也对寿命的变化所引起的模型的变化做了相对灵敏的分析。
关键词：投保利率利息投保额投保期限一问题重述某人50岁时参加养老保险，有二家保险公司推出二种不同的方案，方案I：50岁起每年交费500元，一直交到59岁为止；从60岁起每年领取养老金1500元直至死亡，死亡后保险公司一次性支付给家属15000元。
方案II：50岁起每年交费800元，连续交纳10年；从60岁起领取养老金，第一年1000元，以后每年增加70元，直至死亡，死亡后保险公司一次性支付给家属15000元。
若预期寿命为75岁、银行年利率为6%,问：1、哪一种投保方案对投保人有利；2、根据此问题试建立一般数学模型。
二基本假设根据题目的规定并结合实际情况，提出如下合理的假设，使问题简化，而且便于解决。
1、假设交纳保险费与领取养老金的时间分别为每年的年初与年末。
2、假设预期寿命时间即为领取养老金的最后年份。
3、银行的年利率不会因时间的变化而变化。
4、对投保人更有利的理解为：在不同方案中，死亡时的领取养老金的总金额（包括利息）与投保总金额（包括利息）的差值与投保总金额的比率更大。
5、除去一定的政策因素。
三符号说明β：投保利息；1β：投保收入利息；2ξ：投保收入(领取的总金额+利息)；ξ：领取总金额；1ω：投保费(投保总金额+利息)；ω：投保总金额；1a ：投保人去世后，保险公司一次支付其家属所有金额。
四 问题分析本问题是一个在实际社会背景下有多因素共同作用的模糊描述的问题，解决本问题需要经过以下几个过程：1．问题及其抽象根据我们所假设的条件可知：投保人的受益程度取决于领取的养老金总金额（包括利息）与投保总金额（包括利息）的差值与投保总金额的比率。
数学建模“养老金”个人解析1
企业退休职工养老金制度改革的优化模型摘要本文通过对企业退休员工养老金的讨论与研究，通过分类讨论，图形求解，以及构建函数，进行预测。
并借助MATLAB软件，建立模型，求解出不同问题下的最优方案。
对于问题一，首先做出对未来经济的发展和工资增长的假设，用多次拟合表示出自1978年到2010年的发展趋势，然后进行比较三次的、四次的、五次拟合的误差平方和的大小，最后选出五次拟合作为最优解决问题的方案。
五次拟合的曲线方程为：5443721013 =++⨯+⨯+⨯+⨯x x x x xy0.001211.93364 4.7308109.3773109.293610 3.684210由此估算出从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资（如表1）。
对于问题二，我们首先利用均值法求出不同年龄段在不同的月收入范围内的平均工资值，利用有关函数计算出2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比，看作职工缴费指数的参考值（表2）。
我们用其山东省的年平均工资来代替该企业的个人年工资，运用附表三所给出的公式，求出各种情况下的养老金替代率（表3）。
对于问题三，可以近似认为如果职工死亡，社会统筹账户中的资金不退给职工，个人账户中的余额可继承。
则个人账户中的钱领取完。
理想化简单化，缺口情况可以近似认为养老社会统筹总资金减去发放的总基础养老金，利用Microsoft Office Word 2003软件，和MATLAB软件进行计算，算出该企业某职工自2000年起从30岁（40岁）开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。
养老保险基金的缺口情况。
在根据缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡列出等量关系式。
计算出职工领取养老金到多少岁，缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。
对于问题四，由前面几问，以及建的模型，我们可以知道影响养老保险基金的收支平衡，和目标替代率的因素有很多。
数学建模养老金计划
数学建模养老金计划养老金计划是一种为退休人员提供经济保障的制度。
随着人口老龄化的加剧和养老金体系的不断完善，养老金计划的建模成为一个重要的问题。
通过数学建模的方法，可以更好地理解和优化养老金计划。
假设雇主和雇员的缴费比例分别为e和w，工资的增长率为g。
我们可以将缴费比例和工资增长率视为参数，根据实际情况进行调整。
随着时间的推移，养老金的积累可以被表示为一个累积函数P(t)，其中t表示时间。
养老金的支付可以被定义为一个支付函数F(t)，表示在每个时间点t上支付的养老金金额。
我们可以使用微分方程来描述养老金计划的动态演化。
假设P'(t)表示养老金的增长速率，根据缴费比例和工资增长率的定义，我们可以得到以下微分方程：P'(t)=e·(1+w)·g·P(t)其中e·(1+w)·g表示每个时间点上的养老金总体增长率。
这个微分方程描述了养老金积累的变化速率。
我们可以通过数值积分的方法来求解这个微分方程，得到养老金的积累函数P(t)。
养老金计划的另一个重要问题是养老金的支付方式。
养老金可以分为一次性支付和定期支付两种方式。
一次性支付指的是在退休时一次性支付全部的养老金；定期支付指的是在退休后每年按一定比例支付一定金额的养老金。
我们可以通过一个优化模型来确定最优的养老金支付方式。
假设养老金计划的目标是最大化养老金的支付总额，其中支付总额是养老金积累函数P(t)和支付函数F(t)的乘积的累积值。
我们可以将这个优化问题表示为一个目标函数和一组约束条件的数学问题。
目标函数可以表示为：Maximize: ∫[0,T]P(t)·F(t)dt其中T表示退休的时间。
约束条件包括工资缴费比例、养老金支付比例和退休年龄等。
除了养老金计划的运作方式和支付方式，数学建模还可以用于其他养老金相关的问题，如养老金资金的投资和运营。
通过建立投资模型和风险模型，可以帮助养老金计划管理人员更好地管理和分配养老金资金，提高投资回报率和风险管理能力。
最新数学建模获省一等奖养老金该问题的研究汇总
2011年数学建模获省一等奖养老金该问题的研究数学建模一周论文论文题目:《企业退休职工养老金制度改革的探讨》姓名1：学号：姓名2：学号：姓名3：学号：专业：物流管理班级：指导教师：年月日企业退休职工养老金制度改革的探讨摘要本文研究了企业退休职工养老金制度的改革问题，通过分类讨论、图形求解，以及构建灰色预测()1,1GM模型，借助MATLAB软件，建立了三个模型，分别给出了四个问题的解决方案，求解出不同问题下的最优答案。
对于问题一，首先做出对未来经济的发展和工资增长的假设，以社会的平均工资为因子建立()1,1GM灰色系统预测模型，计算出2011年至2035年山东省职工的平均工资的预测值，然后进行残差和切近度检验，说明我们的假设及模型是合理准确的。
对于问题二，我们首先利用均值法求解出不同年龄段时在不同的月收入范围内的平均工资值，利用有关函数公式，计算出2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资的比值；然后根据附件中的养老保险金计算办法和养老金替代率的定义进行求解，得到6种情况下的替代率：从30岁到55岁、60岁和65岁退休的替代率分别为：32.188%、39.013%、47.069%；从40岁到55岁、60岁和65岁退休替代率分别为21.127%、28.318%、33.454%。
从中我们可以得出退休时间越晚，缴费时间越长，替代率越高，个人账户支付水平就会越高。
对于问题三，根据缺口的定义，分别算出退休前缴存的养老保险与退休后领取的养老金的额度值，两者之间的差值即为缺口，得出随着退休时间的延长，养老保险的收支之差会逐渐减小，并趋于平衡。
以此求出55岁、60岁和65岁退休时，达到收支平衡的岁数分别为67岁、70岁和74岁。
由此可知：缴存养老保险的年限越长，则达到收支平衡时的岁数就会越大。
对于问题四，根据以上我们所建立的模型可以得出，影响替代率和养老保险基金收支平衡的因素有许多，个人工资及工资的增长率、利率、缴存年龄、退休年龄、平均余命等等，因此既要达到目标替代率，又要维持养老保险金的收支平衡，我们主要讨论了以下措施：（1）选择合适时机延长退休年龄；（2）政府着力提高个人账户投资收益率；（3）提高个人缴费率。
数学建模——关于养老金的分析与计算及简化编程
北京高中数学知识应用竞赛论文题目：社会养老保险缴纳方式的建议与养老金的计算分析学校：北京市第三十五中学作者：***指导老师：李赤军、王霞一、摘要本文论述了北京的养老模式问题，并由此进行了对养老金的计算、分析、缴纳方式的研究，并运用matlab进行了编程，并对过去、未来的工资、养老金最低标准等进行了拟合、推算。
关键词：matlab 拟合养老金二、问题的提出早在2008年底，北京市民政局、市发改委、市规划委员会、市财政局以及市国土资源局等五个部门联合下发了《关于加快养老服务机构发展的意见》，提出了“9064”养老新模式。
即到2020年，90%的老年人在社会化服务的协助下通过居家养老，6%的老年人通过政府购买社区服务照顾养老，4%的老年人入住养老服务机构集中养老。
而这其中90%的老人的生活消费的新型养老模式就是我们所要探讨与研究的话题。
所以，在这里我们提出了几个问题：问题一：对于正常的养老来说，我们每月需要花费多少养老金呢？对于这部分养老金，我们是如何分配的呢？问题二：现在网络上的养老金计算器的计算所需要的数据太繁复，怎么才能更简单的了解自己的现在或未来的养老金多少，和相应的其他信息？问题三：那么我们为了能使退休时的养老金达到一定的标准，保证未来的生活品质，我们应该怎么做？三、问题的分析养老金也称退休金、退休费，是一种最主要的养老保险待遇。
即国家有关文件规定：在劳动者年老或丧失劳动能力后，根据他们对社会所作的贡献和所具备的享受养老保险资格或退休条件，按月或一次性以货币形式支付的保险待遇，是造福社会的需要，主要用于保障职工退休后的基本生活需要。
然而，由于中国的养老金主要分为两类——机关事业单位人员退休养老金和企业人员退休养老金，而机关事业单位人员退休养老金远比企业人员退休养老金高，比例大约是300%-500%。
所以，企业人员退休后，如何用相对退休前工资较低的退休金来合理规划，独立生活，就成了一个急需解决的社会普遍问题，特别是在中国老龄化社会愈发严重的大背景下，北京的老龄化程度更是达到了全国第四的极高的比例，所以，如何合理运用时间，规划夕阳生活，成了北京的一个重要的难题。
最新养老金计划数学建模
养老金计划数学建模重庆工商大学第六届大学生数学建模竞赛暨2014年全国大学生数学建模选拔赛论文题目：养老金计划参赛队员信息2013年 6 月 5 日养老金计划的数学模型摘要中国正在跑步进入老龄化社会，养老金短缺问题受到了社会各界的广泛关注。
经预测，到2039年,我国将出现不足两个纳税人供养一个养老金领取者的局面,这被称为“老龄社会危机时点”.本文就养老金问题进行了讨论。
假定养老金计划从20岁开始至80岁结束，参加者20到60岁时工作阶段，他会每月存入一定的金额，60岁退休以后，每月初领取相等的退休金，一直领取20年。
建立数学模型，计算参加者不同年龄阶段投入不同的金额，他所领取到的养老金是多少。
我们把它分为了两个阶段，先是以年金的形式算出参加者从投入资金到60岁一月初时的本息和，再计算出了他从60岁到80岁领取养老金的公式，从而求出了他每月领取的养老金P.然后利用Matlab编写程序，最终得出了结果，越早参加养老金计划，领取的养老金越多。
从20岁开始参加养老金计划，每月领取的养老金为12205.7元；从35岁开始参加养老金计划，每月领取的养老金为5747.6元；从48岁开始参加养老金计划，每月领取的养老金为4644.4元.最后，本文讨论了该模型的优缺点，并进行了进一步的推广与分析.关键词：老龄化养老金年金 Matlab一、问题重述养老金是指人们在年老失去工作能力后可以按期领取的补偿金，这里假定养老金计划从20岁开始至80岁结束，年利率为10℅.参加者的责任是，未退休时（60岁以前）每月初存入一定的金额，其中具体的存款方式为：20岁~29岁每月存入X1元，30岁~39岁每月存入X2元，40岁~49岁每月存入X3元，50岁~59岁每月存入X4元.参加者的权利是，从退休（60岁）开始，每月初领取退休金P，一直领取20年.建立养老金计划的数学模型，并计算不同年龄的计划参加者的月退休金.1、从20岁开始参加养老金计划，假设X1=X2=X3=X4=200元；2、从35岁开始参加养老金计划，假设X2=200元，X3=500元，X4=1000元；3、从48岁开始参加养老金计划，假设X3=1000元，X4=2000元.二、问题分析我们先对整个问题进行分析，建立一个适用于从任何年龄（20—59岁）开始参加养老金计划的数学模型，再分别代入数据，计算出从20岁开始参加养老金计划、从35岁开始参加养老金计划和从48岁开始参加养老金计划可以得到的养老金补助.我们把参加者从开始参加养老金计划到80岁分为两个阶段。
关于养老金的数学模型及其分析 (修复的) (3)
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载关于养老金的数学模型及其分析 (修复的) (3)地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容摘要本文通过建立养老保险金的替代率和养老保险替代率的数学模型，通过计算从30、40岁分别开始缴纳养老保险费一定的年限，退休时可领取的养老保险金的月数和多少问题，得到退休时养老保险金收入和支出的状况和养老保险金存在的缺口问题。
依据我国养老保险制度的发展历程，结合我国现行的养老保险制度存在的缺点，提出了通过不同途径解决我国现行养老保险制度面临问题的解决方法，并在此基础上给出了合理的建议。
关键词：养老保险制度，目标替代率，养老保险缺口ABSTRACTThrough the mathematical model establishment of pension insurance substitution rate and pension insurance substitution rate, by calculating from 30, 40 years of age respectively at the beginning of pay endowment insurance costs a certain number of years, retirement can receive the endowment insurance gold months and many problems, retirement pension income and expenditure conditions and pension insurance existing gap. According to the development process of old-age insurance system in China, combined with the disadvantages existing in the current endowment insurance system in China, is proposed through different ways to solve the current endowment insurance system in our country is faced with the solution to the problem, and on the basis of give the reasonable suggestions.Key words: pension insurance system, target replacement rate, the gap of pension insurance目录TOC \o "1-3" \h \z \u HYPERLINK \l "_Toc452462558" 摘要PAGEREF _Toc452462558 \h IHYPERLINK \l "_Toc452462559" ABSTRACT PAGEREF_Toc452462559 \h IIHYPERLINK \l "_Toc452462560" 1前言 PAGEREF _Toc452462560 \h 1HYPERLINK \l "_Toc452462561" 1.1养老保险金的概念 PAGEREF _Toc452462561 \h 1HYPERLINK \l "_Toc452462562" 1.2我国养老保险制度的发展历程PAGEREF _Toc452462562 \h 1HYPERLINK \l "_Toc452462563" 1.2.1初步创立时期（1951—1966年） PAGEREF _Toc452462563 \h 1HYPERLINK \l "_Toc452462564" 1.2.2遭受破坏时期（1966—1976年） PAGEREF _Toc452462564 \h 2HYPERLINK \l "_Toc452462565" 1.2.3恢复时期（1976—1992年） PAGEREF _Toc452462565 \h 2HYPERLINK \l "_Toc452462566" 1.2.4执行、创新阶段（1993—今年） PAGEREF _Toc452462566 \h 2HYPERLINK \l "_Toc452462567" 1.3我国现行的企业职工基本养老保险制度 PAGEREF _Toc452462567 \h 2HYPERLINK \l "_Toc452462568" 1.3.1基本养老保险制度： PAGEREF _Toc452462568 \h 3HYPERLINK \l "_Toc452462569" 1.3.2企业补充养老保险制度：PAGEREF _Toc452462569 \h 3HYPERLINK \l "_Toc452462570" 1.3.3个人储蓄保险制度： PAGEREF _Toc452462570 \h 3HYPERLINK \l "_Toc452462571" 1.4我国养老保险制度发展的现状PAGEREF _Toc452462571 \h 3HYPERLINK \l "_Toc452462572" 2.建立养老保险金相关的数学模型 PAGEREF _Toc452462572 \h 4HYPERLINK \l "_Toc452462573" 2.1 预测工资 PAGEREF_Toc452462573 \h 4HYPERLINK \l "_Toc452462575" 2.2养老保险金的替代率模型PAGEREF _Toc452462575 \h 5HYPERLINK \l "_Toc452462576" 2.3养老金收支平衡的问题 PAGEREF _Toc452462576 \h 13HYPERLINK \l "_Toc452462577" 2.3.1养老保险基金缺口问题的模型 PAGEREF _Toc452462577 \h 13HYPERLINK \l "_Toc452462578" 2.3.2关于养老保险金模型的分析PAGEREF _Toc452462578 \h 14HYPERLINK \l "_Toc452462579" 3有关我国养老保险制度的相关问题 PAGEREF _Toc452462579 \h 15HYPERLINK \l "_Toc452462580" 3.1我国现行养老保险制度存在的问题及解决对策 PAGEREF _Toc452462580 \h 15HYPERLINK \l "_Toc452462581" 3.1.1我国现行养老保险制度存在的问题 PAGEREF _Toc452462581 \h 15HYPERLINK \l "_Toc452462582" 3.1.2我国养老保险制度改革的建议 PAGEREF _Toc452462582 \h 16HYPERLINK \l "_Toc452462583" 结论 PAGEREF _Toc452462583 \h 20HYPERLINK \l "_Toc452462584" 参考文献 PAGEREF_Toc452462584 \h 21HYPERLINK \l "_Toc452462585" 致谢 PAGEREF _Toc452462585 \h 221前言1.1养老保险金的概念养老金也称退休金，是一种最重要的社会养老保险待遇。
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数学建模A题养老金计划养老金是指人们在年老失去工作能力后可以按期领取的补偿金，这里假定养老金计划从20岁开始至80岁结束，年利率为10℅。
参加者的责任是，未退休时（60岁以前）每月初存入一定的金额，其中具体的存款方式为：20岁~29岁每月存入1X元，30岁~39岁每月存入2X元，40岁~49岁每月存入3X元，50岁~59岁每月存入4X元。
参加者的权利是，从退休（60岁）开始，每月初领取退休金P，一直领取20年。
试建立养老金计划的数学模型，并计算下列不同年龄的计划参加者的月退休金。
1、从20岁开始参加养老金计划，假设1234200X X X X====元；2、从35岁开始参加养老金计划，假设2200X=元，3500X=元，41000X=元；3、从48岁开始参加养老金计划，假设31000X=元，42000X=元。
论文题目：养老金计划姓名1：**（写作）专业：数学与应用数学姓名1：**（编程）专业：信息与计算科学姓名1：**（建模）专业：信息与计算科学2010年8月14日摘要：随着人口老龄化的到来，世界各国都在不断努力寻求解决老龄化社会问题的途径，已形成了各具特色的养老保险制度。
但是我国养老金制度还存在层次单一，覆盖面狭窄和管理不协调的问题，因此本文就养老金计划问题进行讨论，旨在分析不同年龄阶段、投资不同金额的投保人在60岁后的20年里每月初所能领取养老金p。
首先依据题设，投保人每月都按照自己所处年龄段存入相应的金额，可以将其按照月份不同分为12个不同的虚拟账户，并且假定将相应月份的投保金额存入相应的虚拟账户中。
至每年末，各月份所对应虚拟账户的存款相同，且利息至次年对应月份才能获得。
但是在60岁开始，且在以后的20年里，每月月初将会领到一定数额（P）的养老金，可认为所领取的养老金是从该月所对应的虚拟账户扣除。
因此我们可以将每年中各月份的存款问题简化为只关注其中某一月份进行分析。
其次，采用迭代方法建立不同情况下的四种数学模型，利用MATLAB编写对应模型的程序，并用二分法求解出符合问题条件下的P值。
最终，运用所建立的数学模型最终求解出P1=10397.3511元，P2=5264.6136元，P3=4383.79385元。
从结果可以看出，越早参加养老金计划，在60岁后的20年里每月初也能领取相当多的养老金。
关键词：养老金月初虚拟账户目录一、问题的提出二、问题的分析三、建模的过程1.模型的假设2.模型的建立3.模型转换为MATLAB程序4.求解问题5.模型分析四、模型的评价与改进一、问题的提出：养老金是指人们在年老失去工作能力后可以按期领取的补偿金，这里假定养老金计划从20岁开始至80岁结束，年利率为10℅。
参加者的责任是，未退休时（60岁以前）每月初存入一定的金额，其中具体的存款方式为：20岁—29岁每月存入X1元，30岁—39岁每月存入X2元，40岁—49岁每月存入X3元，50岁—59岁每月存入X4元。
参加者的权利是，从退休（60岁）开始，每月初领取退休金P，一直领取20年。
求按不同的年龄段不同的投资额，在60岁（退休后）每月月初所取的养老金p是否一样，并计算P值。
二、问题的分析：由问题意可知，参加养老金计划的人在60岁前（为退休时）存入一定的金额，在退休后（60岁）开始，每月初领取退休金一直领取20年。
目的就是建立一种模型，解决计算不同年龄阶段参加者最终每月获取的退休金p值。
三、建模过程：1.模型假设首先，假设此问题的外部因素不会发生改变；其次，银行必须在投资者80岁时，把投资者所投金额以及所有的利息全部返还给投资者；再次，参加计划的投资者在一开始投资后，到59岁末都必须每月按时、按额投资该月的资金，中间无间断和拖欠。
2.模型建立由问题知，投保人每月都按照自己所处年龄段存入相应的金额，我们可以将其按照月份不同分为12个不同的虚拟账户，并且假定将相应月份的投保金额存入相应的虚拟账户中。
至每年末，各月份所对应虚拟账户的存款相同，且利息至次年对应月份才能获得。
因此我们可以将每年中各月份的存款问题简化为只关注其中某一月份进行分析。
例：按一月份进行分析。
如果在20岁的第一月存入X元的投保资金，则在第二年的第一个月对应虚拟账户上的累计户额为上一年一月利息加上本金，以及本年一月所存入的养老金额X。
依次类推，在60岁的一月对应虚拟账户累计金额为40年来所有一月的本金和利息的总和。
但是在60岁开始，且在以后的20年里，每月月初将会领到一定数额（P）的养老金，我们可以认为所领取的养老金是从该月所对应的虚拟账户扣除。
因此对于一月而言，从60岁开始领取P金额后，所剩的资金还会在次年有10%的利息，依次类推到第二十年时，一月的虚拟帐户将会为零，即虚拟账户中所有累计金额全部返回给投保人，此时可以得到一个一次方程，P 是未知量，所以方程的解就是P 的值。
用此方法可以计算出不同年龄阶段的投资者投资不同资金时，从60岁开始的后二十年内每月月初所领取的养老金P 。
因此针对上述问题可建立如下四个不同年龄阶段的数学模型，即（符号说明：20-80岁之前第n 岁，一月份办理业务之后账户所剩余额；X 1为20—29岁阶段每月存入的金额数量，X 2为30—39岁阶段每月存入的金额数量；X 3为40—49岁阶段每月存入的金额数量；X 4为50—59岁阶段每月存入的金额数量；p 为60岁开始每月领取的退休金）1．从20—29岁开始参加养老金计划的数学模型为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=+=+=+=+=-----.79,,60%110;59,,50%110;49,,40%110;39,,30%110;29,,%110141312111 n p S n x S n x S n x S m n x S S n n n n n n2. 从30—39岁开始参加养老金计划的数学模型为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=+=+=----.79,,60%110;59,,50%110;49,,40%110;39,,%1101413121 n pS n x S n x S m n x S S n n n n n3. 从30—39岁开始参加养老金计划的数学模型为：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+=---.79,,60%110;59,,50%110;49,,%11014131 n pS n x S m n x S S n n n n 4. 从30—39岁开始参加养老金计划的数学模型为：⎩⎨⎧=-=+=--.79,,60%110;59,,%110141 n pS m n x S S n n n3.模型转化的MATLAB 程序：程序分为pension 、pension_X 、REM 三个函数，其中pension 为求解时输入参数的函数，REM 为二分法求解线性方程的函数，REM 求解时调用了pension_X 函数，当p 值满足pension_X(p)=0是，p 为问题所求的解。
函数pension ：function [x,k,y]=pension(age,twenties,thirties,forties,fifties);% age为开始参加养老金计划的年龄；%twenties为20-29岁阶段每月所需缴纳的养老金；%thirties为30-29岁阶段每月所需缴纳的养老金；%forties为40-49岁阶段每月所需缴纳的养老金；%fifties为50-59岁阶段每月所需缴纳的养老金；%x为退休后每月所领取的退休金，即p值；%k为应用二分法求解p值时所迭代的次数；%y为退休金全部领取完后，账户所剩余额。
format long;global m x1 x2 x3 x4;m=age;x1=twenties;x2=thirties;x3=forties;x4=fifties; if (m>=20)&(m<=59)a=1000;b=50000;f=@pension_X;delta=0.0001;[x,k,y]=REM(f,a,b,delta);else'此程序不解决这个年龄的问题'end函数pension_X：function s=pension_X(p);%p为每月领取退休金的金额数量%s为每次办理业务后的账户余额global m x1 x2 x3 x4 s;if (m>=20)&(m<=29)s=x1;for k=m+1:1:29s=1.1*s+x1;endfor k=30:1:39s=1.1*s+x2;endfor k=40:1:49s=1.1*s+x3;endfor k=50:1:59s=1.1*s+x4;endfor k=60:1:79s=1.1*s-p;endelseif (m>=30)&(m<=39)s=x2;for k=m+1:1:39s=1.1*s+x2;endfor k=40:1:49s=1.1*s+x3;endfor k=50:1:59s=1.1*s+x4;endfor k=60:1:79s=1.1*s-p;endelseif (m>=40)&(m<=49)s=x3;for k=m+1:1:49s=1.1*s+x3;endfor k=50:1:59s=1.1*s+x4;endfor k=60:1:79s=1.1*s-p;endelseif (m>=50)&(m<=59)s=x4;for k=m+1:1:59s=1.1*s+x4;endfor k=60:1:79s=1.1*s-p;endend函数REM：function [x,k,y]=REM(f,a,b,delta);%f为引用了pension_x的函数%a、b为分布在解两侧的估计值%delta为迭代求解时的精度%x为方程的解，即所需要求的p值%k为迭代次数%y为已经领取结束时，所有账户所剩的总余额ya=feval(f,a);yb=feval(f,b);if ya*yb>0disp('This equation has no solution');endfor k=1:1:100000c=(a+b)/2;yc=f(c);if yc==0a=c;ya=yc;b=c;yb=yc;elseif ya*yc<0b=c;yb=yc;elsea=c;ya=yc;endif ((b-a)<delta)&(feval(f,(a+b)/2)>0) break;endendx=(a+b)/2;y=12*feval(f,(a+b)/2);4.求解问题：①从20岁开始参加养老金计划，X1=X2=X3=X4=200元；将所给参数带入函数，即[x,k,y]=pension(20,200,200,200,200) 在命令窗口运行得到：x =1.039735106285662e+004k =29y =0.02793443250266可知此人退休后没人可领取养老金10397.35元②从35岁开始参加养老金计划，X2=200，X3=500，X4=1000元；[x,k,y]=pension(35,0,200,500,1000)在命令窗口运行得到：x =5.264613660983741e+003k =29y =0.01393053673746可知此人退休后没人可领取养老金5264.61元③从48岁开始参加养老金计划，X3=1000，X4=2000元；[x,k,y]=pension(48,0, 0,1000,2000)在命令窗口运行得到：x =4.383793860763035e+003k =38y =2.563500311225653e-005可知此人退休后没人可领取养老金4383.79元5.模型分析此模型的建立是依据利息按照年进行计算，每月的投资金到了次年的该月才会产生利息，且养老金又是按月来领取的，所以把每一个月单独地看成一个个体，用这个个体的情况来估计总体的趋势。