知识讲解_ 不等式的全章复习与巩固_提高
高中不等式知识点的归纳总结
高中不等式知识点的归纳总结高中不等式知识点的归纳总结引言：不等式是高中数学中的重要内容，它在数学问题和实际应用中具有广泛的应用。
掌握不等式的基本概念和解题方法对于学生的数学能力发展至关重要。
本篇文章将对高中不等式的各个知识点进行归纳总结，并提供相关的解题技巧和实例，帮助读者在学习和应用不等式时更加深入理解。
一、不等式基本概念1. 不等式符号：大于、小于、大于等于、小于等于符号的含义和表示方法。
2. 不等式的解集：解集表示不等式中使不等式成立的数值范围。
3. 解不等式的方法：加减法、乘除法、绝对值法等常用的解不等式的方法。
二、一元一次不等式1. 一元一次不等式的定义和性质：介绍一元一次不等式形式、性质和解集的概念。
2. 一元一次不等式的解法：从加减法、乘除法到绝对值法的详细解题步骤和注意事项。
3. 实际问题中的应用：将实际问题转化为一元一次不等式，并求解实际问题。
三、一元二次不等式1. 一元二次不等式的定义和性质：介绍一元二次不等式形式、性质和解集的概念。
2. 一元二次不等式的解法：使用图像法、符号法、区间法等方法解一元二次不等式。
3. 实际问题中的应用：将实际问题转化为一元二次不等式，并求解实际问题。
四、多项式不等式1. 多项式不等式的定义和性质：介绍多项式不等式的定义、性质和解集的概念。
2. 多项式不等式的解法：使用图像法、符号法、区间法等方法解多项式不等式。
3. 实际问题中的应用：将实际问题转化为多项式不等式，并求解实际问题。
五、绝对值不等式1. 绝对值不等式的定义和性质：介绍绝对值不等式的定义、性质和解集的概念。
2. 绝对值不等式的解法：使用绝对值定义、分情况讨论、不等式的性质等方法解绝对值不等式。
3. 实际问题中的应用：将实际问题转化为绝对值不等式，并求解实际问题。
结论：高中不等式知识点的归纳总结对于学生的数学学习和应用具有重要的指导意义。
通过本文的介绍，读者可以清晰地了解不等式的基本概念、解题方法和实际应用，并通过解题实例加深对不等式知识点的理解和掌握。
《一元一次不等式》全章复习与巩固(提高)知识讲解
《不等式与一次不等式》全章复习与巩固（提高）知识讲解【学习目标】1.理解不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质；2.理解不等式的解（解集）的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法；3.会利用不等式的三个基本性质，熟练解一元一次不等式或不等式组；4.会根据题中的不等关系建立不等式（组），解决实际应用问题；5.通过对比方程与不等式、等式性质与不等式性质等一系列教学活动，理解类比的方法是学习数学的一种重要途径.【知识网络】【要点梳理】要点一、不等式1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.要点诠释：（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如x a>，x a≤等；另一种是用数轴表示，如下图所示：（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．2. 不等式的性质：不等式的基本性质1：a<b,b<c则a<c.这个性质也叫做不等式的传递性.不等式的基本性质2：不等式两边都加上(或减去)同一个数，所得到的不等式仍成立．如果a＞b，那么a±c＞b±c如果a<b，那么a±c<b±c不等式的基本性质3：不等式两边都乘(或都除以)同一个正数，所得到的不等式仍成立；不等式两边都乘(或都除以)同一个负数，必须改变不等号的方向，所得到的不等式成立.如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc,a bc c >;如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc,a bc c ．要点二、一元一次不等式1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式，要点诠释：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．2.解法：解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；（2）设：设出适当的未知数；（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：检验是否符合题意，写出答案.要点诠释：列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 要点三、一元一次不等式组关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.要点诠释：（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. （2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.（4）一元一次不等式组的应用：①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．【典型例题】类型一、不等式1.用适当的语言翻译下列小题：（1）x与9的差是正数或0；（2）b与-5的和既不是正数也不是负数；（3）y的5倍既大于x又小于3x+2；（4）a的2倍与-4的差小于5或大于7；（5）102y x -≥； （6）12302x -<-<；（7）（8） 【答案与解析】解：（1）x -9≥0； （2）b+(-5)=0； （3）x<5y<3x+2；（4）2a-(-4)<5或2a-(-4)>7； （5）y 的一半与x 的差非负；（6）x 的一半与3的差既大于-2又小于0； （7）x>-3或写作：大于-3的数；（8）2<x ≤3或写作：既大于2又小于等于3的数. 【总结升华】对“既……又……”，“既是……也是……”，“是……或是……”等连接词也要逐步领会积累．2. 设x>y ，试比较代数式-(8-10x)与-(8-10y)的大小，如果较大的代数式为正数，则其中最小的正整数x 或y 的值是多少?【思路点拨】比较两个代数式的大小，可以运用不等式的性质得出比较方法。
不等式知识点详解
不等式知识点详解不等式是数学中的一种重要的表示关系的方式，它利用不等号（大于号、小于号、大于等于号、小于等于号等）来表示数之间的大小关系。
不等式在数学中的运用广泛，特别在代数、几何、经济学等领域中起到了重要的作用。
下面将详细介绍一些有关不等式的基本知识点。
一、不等式的基本形式1. 一元一次不等式：形如ax+b>0（或<0）、ax+b≥0（或≤0）的不等式，其中a、b为已知的实数，x为未知数。
2. 一元二次不等式：形如ax^2+bx+c>0（或<0）、ax^2+bx+c≥0（或≤0）的不等式，其中a、b、c为已知的实数，x为未知数。
3.绝对值不等式：形如，f(x)，>g(x)（或，f(x)，<g(x)，f(x)，≥g(x)，f(x)，≤g(x)）的不等式，其中f(x)和g(x)均为含有x的函数。
4.分式不等式：形如f(x)/g(x)>0（或<0、≥0、≤0）的不等式，其中f(x)和g(x)均为含有x的函数。
二、不等式的性质1.基本性质：不等式在数轴上表示一组数，一般情况下是一个区间或它的余区间。
对于不等式来说，如果它的一个解是真解，则它关于这个解的两边均成立。
2.四则运算性质：对于不等式，可以进行加减乘除等四则运算，但需要注意乘除以负数时不等号的方向要翻转。
3.取绝对值性质：对于不等式中的绝对值，可以将其加上取非的表示方式，即，a，>b等价于a>b或a<-b。
4.平方性质：对于一元不等式中的平方项，当平方项为正时，等号成立时解可能为空集；当平方项为负时，等号成立时解为全集；当平方项与常数同号时，等号成立时解由其他项决定。
三、不等式的求解方法1.绝对值不等式的求解方法：-对于，f(x)，>g(x)的不等式，可以考虑f(x)>g(x)和f(x)<-g(x)两个不等式，然后求解得出解集。
-对于，f(x)，<g(x)的不等式，可以考虑-f(x)<g(x)和f(x)<g(x)两个不等式，然后求解得出解集。
高中不等式全套知识点总结
高中不等式全套知识点总结一、不等式的基本概念1. 不等式定义不等式是指两个数量在大小上的关系，包含大于、小于、大于等于、小于等于四种关系。
一般用符号“>”表示大于，“<”表示小于，“≥”表示大于等于，“≤”表示小于等于。
2. 不等式的解不等式的解是指满足不等式关系的所有实数集合，解集可以是一个区间、一个集合或者一个无穷集合。
3. 不等式的性质（1）两个不等式如果左右两边分别相等，那么其关系也相等；（2）两个不等式如果相互交换左右两边，那么关系会相反；（3）不等式两边同时加或减同一个数，不等式关系不变；（4）不等式两边同时乘或除同一个正数，不等式关系不变；（5）不等式两边同时乘或除同一个负数，不等式关系反转。
二、一元一次不等式1. 线性不等式线性不等式的一般形式为 ax+b>c 或者ax+b≥c，其中a≠0。
2. 一次不等式的解法（1）基本不等式直接解法：按照不等式的性质逐步解题；（2）图像法：将不等式转化为直线或者直线段的图像，然后通过图像解题；（3）分情况讨论法：根据不等式的取值范围分情况进行讨论，再分别求解。
3. 一次不等式的应用（1）生活中常见的线性不等式问题，比如买苹果不超过20元；（2）工程建设中的线性不等式问题，比如某公式里的参数要求取值范围。
三、一元二次不等式1. 二次不等式定义二次不等式的一般形式为 ax²+bx+c>0 或者ax²+bx+c≥0，其中a≠0。
2. 一元二次不等式解法（1）解法一：配方法、图像法；（2）解法二：利用一元二次不等式的图像特点；3. 一元二次不等式的应用（1）生活中常见的二次不等式问题，比如某项业务的收入和支出之间的关系；（2）工程建设中的二次不等式问题，比如求最大值、最小值。
四、多项式不等式1. 多项式不等式的定义多项式不等式是指由多项式构成的不等式，一般形式为 f(x)>0 或者f(x)≥0。
2. 多项式不等式的解法（1）概念法：直接按照多项式不等式的定义和性质进行解题；（2）函数法：将多项式在坐标系中的图像出发，进行解题。
不等式知识点总结
不等式知识点总结不等式是数学中的一个重要概念，它在解决各种数学问题和实际生活中的优化问题中都有着广泛的应用。
下面我们来对不等式的相关知识点进行一个全面的总结。
一、不等式的定义用不等号（大于>、小于<、大于等于≥、小于等于≤）连接两个数或代数表达式的式子，叫做不等式。
例如：3x ＋ 2 ＞ 5 ，y 1 ≤ 4 等都是不等式。
二、不等式的基本性质1、对称性：如果 a ＞ b ，那么 b ＜ a ；如果 a ＜ b ，那么 b ＞ a 。
例如：若 5 ＞ 3 ，则 3 ＜ 5 。
2、传递性：如果 a ＞ b 且 b ＞ c ，那么 a ＞ c ；如果 a ＜ b 且 b＜ c ，那么 a ＜ c 。
比如：已知 7 ＞ 5 ，5 ＞ 3 ，则 7 ＞ 3 ；若 2 ＜ 4 ，4 ＜ 6 ，则 2＜ 6 。
3、加法性质：如果 a ＞ b ，那么 a ＋ c ＞ b ＋ c ；如果 a ＜ b ，那么 a ＋ c ＜ b ＋ c 。
例如：因为 8 ＞ 5 ，所以 8 ＋ 2 ＞ 5 ＋ 2 ，即 10 ＞ 7 。
4、乘法性质：如果 a ＞ b 且 c ＞ 0 ，那么 ac ＞ bc ；如果 a ＜ b 且 c ＞ 0 ，那么ac ＜ bc 。
如果 a ＞ b 且 c ＜ 0 ，那么 ac ＜ bc ；如果 a ＜ b 且 c ＜ 0 ，那么ac ＞ bc 。
例如：若 3 ＞ 1 ，且 2 ＞ 0 ，则 3×2 ＞ 1×2 ，即 6 ＞ 2 ；若 3 ＞ 1 ，但－2 ＜ 0 ，则 3×（－2) ＜ 1×（－2) ，即－6 ＜－2 。
三、一元一次不等式1、定义：含有一个未知数，且未知数的次数是 1 的不等式叫做一元一次不等式。
例如：2x 5 ＞ 0 。
2、解法：去分母（若有分母）。
去括号。
移项：将含有未知数的项移到一边，常数项移到另一边。
合并同类项。
系数化为 1 ：注意当系数为负数时，不等号方向要改变。
初中数学知识点：不等式
初中数学知识点：不等式（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高三不等式复习知识点
高三不等式复习知识点在高三数学中，不等式是一个重要的知识点，它在解决实际问题和推理推导中有广泛的应用。
接下来，我们将回顾一些高三不等式的基本概念和解题方法。
一、不等式的基本概念不等式是一种数学表达式，它描述了两个数之间的大小关系。
常见的不等式符号有"<"（小于）、">"（大于）、"≤"（小于等于）和"≥"（大于等于）。
例如，对于实数a和b，如果a<b，则我们可以写作a<b；如果a≤b，则表示a小于或等于b。
二、不等式的性质1. 等式性质：不等式两边同时加（减）一个相同的数，不等式保持不变。
例如，对于不等式a<b，如果两边同时加上一个相同的数c，则不等式变为a+c<b+c。
2. 倍数性质：不等式两边同时乘以（或除以）一个正数，不等式的方向保持不变；如果乘以（或除以）一个负数，不等式的方向则反向。
例如，对于不等式a<b，如果两边同时乘以一个正数c，则不等式变为ac<bc；如果乘以一个负数c，则不等式变为ac>bc。
3. 倒置性质：不等式两边同时取倒数，不等式的方向需要反向。
例如，对于不等式a<b，如果两边同时取倒数，则不等式变为1/a>1/b。
三、不等式的解法1. 图解法：对于一元一次不等式，我们可以将其在数轴上进行图解。
根据不等式的形式，判断出解的范围。
2. 等效变形法：通过一系列的等式性质和倍数性质的变形，将不等式转化为更简单的形式，从而得到解。
例如，对于不等式3x-5<2x+7，我们可以通过将同类项合并，得到x<12。
3. 区间法：对于一些复杂的不等式，我们可以通过设定合适的区间范围来求解。
例如，对于不等式2x^2-7x+3>0，我们可以通过解二次方程2x^2-7x+3=0得到其零点，然后通过分析函数图像和函数值的正负来确定解的范围。
完整版)高中数学不等式知识点总结
完整版)高中数学不等式知识点总结1、不等式的基本性质不等式有以下基本性质：①对称性：a>b等价于b<a。
②传递性：a>b。
b>c则a>c。
③可加性：a>b等价于a+c>b+c，其中c为任意实数。
同向可加性：a>b，c>d，则a+c>b+d。
异向可减性：a>b，cb-d。
④可积性：a>b，c>0则ac>bc，a>b，c<0则ac<bc。
⑤同向正数可乘性：a>b>0，c>d>0则ac>bd。
异向正数可除性：a>b>0，0bc。
a>b>0，则a^n>b^n，其中n为正整数且n>1.⑦开方法则：a>b>0，则√a>√b。
⑧倒数法则：a>b>0，则1/a<1/b。
2、几个重要不等式以下是几个重要的不等式：a/b+b/a>=2，当且仅当a=b时取等号。
a^2+b^2>=2ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b/2>=√ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b+c/3>=∛abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca，当且仅当a=b=c时取等号。
a+b+c>=3√abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a/b+b/c+c/a>=3，当且仅当a=b=c时取等号。
a-b|<=|a-c|+|c-b|，对任意实数a,b,c成立。
3、几个著名不等式以下是几个著名的不等式：a-b|<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b/2<=√(a^2+1)√(b^2+1)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2-ab+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2>=√ab，对任意正实数a,b成立。
完整版高中数学不等式知识点总结
完整版高中数学不等式知识点总结高中数学中的不等式是学习数学中非常重要的一部分，在中高考中，不等式占据了较多的分数比重。
本文将对高中数学中的不等式进行全面的总结，内容涵盖了不等式的概念、基础知识、理论与定理、解题思路、常用不等式以及与其他章节的联系等方面。
一、不等式的概念与基础知识不等式是指含有不等关系的算式，一般表示成 a<b 或a>b，其中 a、b 可以是实数、分数或代数式等。
当 a<b 时，称 a 小于 b，也可以写成 b 大于 a；当 a>b 时，称 a 大于b，也可以写成 b 小于 a。
在不等式中，表示关系的符号“<”和“>”称为不等号。
解不等式可以用图像法、正推反证法和直接法等方法。
图像法：绘制不等式所代表的曲线或图形，在图形中表示不等关系所代表的区域，最终得出解不等式的集合。
正推反证法：通过推理判断得出不等式的解，其中正推法是根据不等式的性质进行推导和运算，而反证法则是通过推翻假设得出结论。
直接法：对不等式进行变形、化简和运算，得出解的过程。
不等式的基础知识：1. 加减法原则：若 a<b，则 a+c<b+c，a-c<b-c（c 为任意实数）。
2. 乘除法原则：若 a<b 且 c>0，则 ac<bc，a/c<b/c；若 a<b 且 c<0，则 ac>bc，a/c>b/c。
3. 平均值不等式：对于任意两个正数 a 和 b，有(a+b)/2>=√ab，等号当且仅当 a=b 时取到。
二、不等式的理论与定理1. 不等式传递性：若 a<b，b<c，则 a<c。
2. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意两个实数序列a1,a2,...,an 和 b1,b2,...,bn，有(a1b1+a2b2+...+anbn)^2<=((a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^ 2+...+bn^2))，等号当且仅当 a1/b1=a2/b2=...=an/bn 时取到。
不等式知识点总结
不等式知识点总结一、不等式的基本概念。
1. 不等式的定义。
- 用不等号（＞、≥、＜、≤、≠）表示不等关系的式子叫做不等式。
例如：3x + 2>5，x - 1≤slant2x等。
2. 不等式的解与解集。
- 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
例如对于不等式x+1 > 0，x = 1是它的一个解，因为1 + 1>0成立。
- 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
例如不等式x - 2>0的解集是x>2，这表示所有大于2的数都是这个不等式的解。
3. 解不等式。
- 求不等式解集的过程叫做解不等式。
例如解不等式2x+3 < 7，通过移项可得2x<7 - 3，即2x<4，再两边同时除以2得到x < 2，这个过程就是解不等式。
二、不等式的基本性质。
1. 性质1（对称性）- 如果a>b，那么b < a；如果b < a，那么a>b。
例如5>3，那么3 < 5。
2. 性质2（传递性）- 如果a>b，b>c，那么a>c。
例如7>5，5>3，那么7>3。
3. 性质3（加法法则）- 如果a>b，那么a + c>b + c。
例如3>1，那么3+2>1 + 2，即5>3。
- 推论：如果a>b，c>d，那么a + c>b + d。
例如4>2，3>1，那么4 + 3>2+1，即7>3。
4. 性质4（乘法法则）- 如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c < 0，那么ac < bc。
例如2>1，当c = 3时，2×3>1×3，即6>3；当c=-1时，2×(-1)<1×(-1)，即-2 < - 1。
知识讲解_不等式全章复习与巩固_基础
《不等式》全章复习与巩固【学习目标】1.能正确的记忆和灵活运用不等式的性质；2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型和二元一次不等式组，提高数学建模能力；3.掌握一元二次方程，二次函数，一元二次不等式，这三个“二次”的联系，会解一元二次不等式；4.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；5.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题，注意基本不等式适用的条件. 【知识网络】【要点梳理】要点一：不等式的主要性质 (1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>,(4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,；bc ac c b a <⇒<>0,， bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(5) 乘方法则：0n na b a b >>⇒>(*1)n N n ∈>且 (6) 开方法则：0a b >>⇒>(*1)n N n ∈>且要点诠释：不等式性质中要注意等价双向推出和单向推出关系的不同. 要点二：三个“二次”的关系一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<(0)a >的解集：不等式不等关系与不等式 一元二次不等式及其解法 二元一次不等式（组）与平面区域基本不等式最大（小）值问题简单的线性规划设相应的一元二次方程20ax bx c ++=(0)a >的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：0>∆0=∆0<∆二次函数cbx ax y ++=2（0>a ）的图象一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根)(,2121x x x x < 有两相等实根ab x x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅∅解一元二次不等式的步骤（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数：2A ax bx c =++(0)a > （2）计算判别式∆，分析不等式的解的情况：①0∆>时，求根12,x x （注意灵活运用因式分解和配方法）； ②0∆=时，求根abx x 221-==； ③0∆<时，方程无解 （3）写出解集.要点诠释：若0a <，可以转化为0a >的情形解决. 要点三：线性规划用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax+By+C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax+By+C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax+By+C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）线性规划的有关概念： ①线性约束条件：如果两个变量x 、y 满足一组一次不等式组，则称不等式组是变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x 、y 的一次式z=ax+by(a ，b ∈R)是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数． ③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解：在线性规划问题中，满足线性约束条件的解（x,y ）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域． 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 要点诠释：求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤 （1）设变量，建立线性约束条件及线性目标函数； （2) 由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3)求出线性目标函数在可行域内的最值(即最优解)； （4)作答．要点四：基本不等式 两个重要不等式①,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）②基本不等式：如果,a b 是正数，那么2a b+≥（当且仅当a b =时取等号“=”）. 算术平均数和几何平均数 算术平均数：2ba +称为,ab 的算术平均数； 几何平均数：ab 称为,a b 的几何平均数.因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 基本不等式的应用,(0,)x y ∈+∞，且xy P =（定值），那么当x y =时，x y +有最小值；,(0,)x y ∈+∞，且x y S +=（定值），那么当x y =时，xy 有最大值2S 41.要点诠释 ：在用基本不等式求函数的最值时，应具备的三个条件： ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值 【典型例题】 类型一：不等式的性质例1．若0<<b a ，则下列不等关系中不能成立的是（ ） A ．b a 11> B ．ab a 11>- C ．||||b a > D ．22b a > 【思路点拨】利用不等式的性质，逐项进行判断.【解析】∵0<<b a ，∴0>->-b a . 由b a -<-11，ba 11>，∴A 项成立. 由0<<b a ，||||b a >，∴C 项成立.由0>->-b a ，22)()(b a ->-，22b a >，∴D 项成立.∵0<<b a ，0<-b a ，0<-<b a a ，0>->-a b a ，)(11b a a --<-，ba a ->11，∴B 项不成立. 故应选B【总结升华】运用不等式的基本性质解答不等式问题，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误. 举一反三：【变式】已知,m n R ∈，则11m n>成立的一个充要条件是（ ） A.0m n >> B.0n m >> C.()0mn m n -< D.0m n << 【答案】C例2．如果3042x <<，1624y <<，则 (1)2x y -的取值范围是 ； (2)xy的取值范围是 . 【思路点拨】利用不等式性质运算时，注意不等式成立的条件. 【答案】（1）(18,10)-；（2）521(,)48. 【解析】（1）1624,48232y y <<∴-<-<-Q ，又3042x <<Q ， 利用不等式的性质d b c a d c b a +>+⇒>>,可得：18210x y -<-<.（2）1111624,2416y y <<∴<<Q ，3042x <<Q ， 利用不等式的性质bd ac d c b a >⇒>>>>0,0可得：52148x y <<. 【总结升华】注意同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化的正确应用. 举一反三：【变式】如果3042x <<,1624y <<,则(1) x y +的取值范围是； (2) xy 的取值范围是 【答案】(1)（46，66）；（2）（480，1008）例3．已知函数2()f x ax c =-,满足4(1)1f -≤≤-，1(2)5f -≤≤,那么(3)f 的取值范围是 . 【思路点拨】将(3)f 用(1)f 及(2)f 表示出来，再利用不等式性质求得正确的范围. 【解析】解法一：方程思想(换元)：由⎩⎨⎧=-=-)2(4)1(f c a f c a ，求得[]1(2)(1)341(1)(2)33a f f c f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩∴ )2(38)1(359)3(f f c a f +-=-= 又 340)2(3838,320)1(3535≤≤-≤-≤f f ∴ 20)2(38)1(351≤+-≤-f f ，即20)3(1≤≤-f . 解法二：待定系数法设f(3)=9a-c=mf(1)+nf(2)=m(a-c)+n(4a-c)5-493()---183m m n m n n ⎧=⎪+=⎧⎪⇒⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩下略解法三：数形结合(线性规划)-4(1)-1-4--1-1(2)5-14-5f a c f a c ≤≤≤≤⎧⎧⇒⎨⎨≤≤≤≤⎩⎩Q 所确定区域如图：设9-z a c =，将边界点(0,1)(3,7)代入即求出.【总结升华】利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的综合问题，对于这类问题要注意：“同向（异向）不等式的两边可以相加（相减）”，这种转化不是等价变形，在一个解题过程中多次使用这种转化时，就有可能扩大真实的取值范围，解题时务必小心谨慎，先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性不等关系的运算，求得待求的范围”，是避免犯错误的一条途径.举一反三：【变式】已知15a b -≤+≤，13a b -≤-≤，求32a b -的取值范围. 【答案】[-3，10] 类型二：不等式的求解例4 . 设2{|430}A x x x =-+<，2{|280}B x x x a =-+-≤，且A B ⊆，求a 的取值范围． 【解析】令2()28f x x x a =-+-由A B ⊆，及二次函数图象的性质可得 (1)0(3)0f f ≤⎧⎨≤⎩，即12809680a a -+-≤⎧⎨-+-≤⎩，解之得95a -≤≤． 因此a 的取值范围是95a -≤≤．【总结升华】正确求解不等式，弄清楚两个集合对应二次函数图象之间的关系是解决本题的关键. 举一反三：【变式1】若不等式()(1)0x a x ++≥的解集为(-∞,-1] ∪[2,+ ∞）,求实数a 的值 【答案】由题设知 x=2为方程f(x)=0的根, ∴f(2)=0⇔a=-2 ∴所求实数a=-2【变式2】不等式ax 2+bx+12>0的解集为{x|-1<x<2}，则a=_______, b=________. 【答案】由不等式的解集为{x|-1<x<2}知a<0，且方程ax 2+bx+12=0的两根为-1，2.由根与系数关系得12112(1)22baa⎧-=-+=⎪⎪⎨⎪=-⨯=-⎪⎩解得a=-6，b=6.【变式3】已知关于x 的方程(k-1)x 2+(k+1)x+k+1=0有两个相异实根，求实数k 的取值范围 【答案】5(1,1)(1,)3k ∈-U .例5．若关于x 的不等式2(1)(21)20m x m x m --++-≥的解集为一切实数R ，求m 的取值范围. 【解析】当1m =时，原不等式为：310x --≥，不符合题意. 当1m <时，原不等式为一元二次不等式，显然不符合题意 当1m >时，只需0∆≤，即2(21)4(1)(2)01m m m m ⎧+---≤⎨>⎩，解得m ∈∅， 综上，m 的取值范围为m ∈∅.【总结升华】①在含参不等式问题中,二次不等式恒成立的充要条件的理论依据: ax 2+bx+c>0对任何x ∈R 恒成立⇔a>0且Δ=b 2-4ac<0； ax 2+bx+c<0对任何x ∈R 恒成立⇔a<0且Δ=b 2-4ac<0.②与不等式恒成立相互依存,相互支撑与相互转化的最值命题：μ＜f(x)恒成立⇔μ＜f(x)的最小值μ＞f(x)恒成立⇔μ＞f(x)的最大值举一反三：【变式】若对于任意X∈R恒有3x2+2x+2>m（x2+x+1）*(m N)∈,求m的值【答案】对任意x∈R有3x2+2x+2>m（x2+x+1）恒成立⇔对任意x∈R 恒（3-m）x2+(2-m)x+(2-m)>0成立23m0(2m)4(3m)(2m)0->⎧∴⎨∆=----<⎩m3m210m2m3<⎧⎪⇔⇔<⎨<>⎪⎩或又因m∈N*，∴m=1类型三：二元一次方程（组）与平面区域例6．设集合A={(x,y)|x,y,1－x－y是三角形的三边长}，则A所表示的平面区域（不含边界的阴影部分）是（）【解析】利用三角形的三边关系得：111x y x yx y x yy x x y+>--⎧⎪-<--⎨⎪-<--⎩，即1,21,21,2x yxy⎧+>⎪⎪⎪<⎨⎪⎪<⎪⎩表示的平面区域为A选项.【总结升华】注意本例中三角形本身的性质.举一反三：【变式1】不等式组24236x yx y+≥⎧⎨-<⎩所表示的平面区域为（）xyO xyO xyO xyOA B C D【答案】选B【变式2】不等式组0101x yx yxy->⎧⎪+≥⎪⎨<<⎪⎪<<⎩在xy平面上的解的集合为（）A．四边形内部 B. 三角形內部 C.一点 D.空集【答案】不等式组所表示的平面区域图形如下,=+yx∴交集为三角形内部，选B.类型四：求线性目标函数在线性约束条件下的最优解例7．(2015 陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元【思路点拨】设每天生产甲乙两种产品分别为x,y吨，利润为z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值。
不等式知识点
不等式知识点不等式，作为高中数学中一项重要的内容，贯穿着整个数学学习的过程。
它不仅在数学中有重要的地位，也在实际生活中应用广泛。
了解不等式的各种性质和解题方法，不仅可以帮助我们在数学考试中取得好成绩，更能在解决实际问题时发挥巨大的作用。
1. 不等式的基本概念不等式是用不等号连接的两个数或含有变量的代数式。
其中，大于号表示大于关系，小于号表示小于关系。
例如：3 > 2，x + 1 < 5等。
在不等式中，大于号和小于号都可以加上等于号，分别表示大于等于和小于等于的关系。
2. 不等式的性质（1）等价不等式性质：如果两个不等式左右两边互相相等，那么两个不等式的解集也相等。
例如：若a + b < c，则a + b + d < c + d。
（2）加减法性质：在不等式两边同时加或减相同的数，不等关系不变。
例如：若a < b，则a + c < b + c。
（3）乘除法性质：当不等号的一边为正数，另一边为负数时，改变不等关系。
例如：若a < b，则-a > -b。
但需注意，当两边同时乘或除以负数时，不等关系反转。
例如：若a < b，则-a > -b；若a > 0，则2a < a。
（4）倒置性质：如果不等式两边互相交换位置，不等关系也要交换。
例如：若a < b，则b > a。
3. 不等式的解法（1）图像法：将不等式等号两边的代数式分别画成函数图像，在坐标系中找出它们的共同区域，即为不等式的解集。
（2）试值法：根据不等式的性质，用一组特定的数值代替不等式中的变量，判断不等式是否成立。
（3）整理法：通过移动项的位置，使不等式看起来更简单。
例如：对于不等式a + b > c，可以移项为a + b - c > 0，更容易处理。
（4）分析法：对不等式进行逐步分析，通过推理和推导，得到不等式的解集。
4. 不等式在实际问题中的应用不等式在现实生活中有着广泛的应用。
基本不等式完整版(非常全面)
基本不等式专题辅导一、知识点总结1、基本不等式原始形式（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+（2）若R b a ∈,，则222b a ab +≤2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+3、基本不等式的两个重要变形 （1）若*,R b a ∈，则ab ba ≥+2（2）若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=”4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”5、常用结论 （1）若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）（3）若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）（4）若R b a ∈,，则2)2(222b a b a ab +≤+≤ （5）若*,R b a ∈，则2211122b a b a ab ba +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式（1）若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d a c b d ++≥+（2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：（3）设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有二、题型分析题型一：利用基本不等式证明不等式1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ba 112+2、已知cb a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++2223、已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥ 4、已知,,a b c R+∈，且1a b c ++=，求证：a b cc b a 8)1)(1)(1(≥--- 5、已知,,a b c R+∈，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭6、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）选修4—5：不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)2221a b c b c a++≥.7、（2013年江苏卷（数学）选修4—5：不等式选讲 已知0>≥b a ，求证:b a ab b a 223322-≥-题型二：利用不等式求函数值域1、求下列函数的值域（1）22213x x y += （2）)4(x x y -= （3）)0(1>+=x x x y （4）)0(1<+=x xx y题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项）1、已知2>x ，求函数42442-+-=x x y 的最小值；变式1：已知2>x ，求函数4242-+=x x y 的最小值；变式2：已知2<x ，求函数4242-+=x x y 的最大值；练习：1、已知54x >，求函数14245y x x =-+-的最小值；2、已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值；题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数）1、当时，求(82)y x x =-的最大值；变式1：当时，求4(82)y x x =-的最大值；变式2：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
高三数学不等式知识点
高三数学不等式知识点高三数学不等式知识点11.一元一次不等式的解法任何一个一元一次不等式经过变形后都可以化为ax>b或axb而言，当a>0时，其解集为(ab，+∞)，当a例1：解关于x的不等式ax-2>b+2x解：原不等式化为(a-2)x>b+2①当a>2时，其解集为(b+2a-2，+∞)②当a③当a=2，b≥-2时，其解集为φ④当a=2且b2.一元二次不等式的解法任何一个一元二次不等式都可化为ax2+bx+c>0或ax2+bx+c0)的`形式，然后用判别式法来判断解集的各种情形(空集，全体实数，部分实数)，如果是空集或实数集，那么不等式已经解出，如果是部分实数，则根据“大于号取两根之外，小于号取两根中间”分别写出解集就可以了。
例2：解不等式ax2+4x+4>0(a>0)解：△=16-16a①当a>1时，△②当a=1时，△=0，则x≠-2，故其解集(-∞，-2)∪(-2，+∞)③当a0，其解集(-∞，-2-21-aa)∪(-2+21-aa，+∞)3.不等式组的解法将不等式中每个不等式求得解集，然后求交集即可.高三数学不等式知识点21、建立良好的学习数学习惯，会使自己学习感到有序而轻松。
高中数学的良好习惯应是：多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。
学生在学习数学的过程中，要把教师所传授的知识翻译成为自己的`特殊语言，并永久记忆在自己的脑海中。
良好的学习数学习惯包括课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。
2、针对自己的学习情况，采取一些具体的措施(1)记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。
记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。
(2)建立数学纠错本。
把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。
争取做到：找错、析错、改错、防错。
不等式的知识点
不等式的知识点不等式是数学中的一个重要概念，它在解决各种数学问题和实际生活中的优化问题中都有着广泛的应用。
下面就让我们一起来深入了解一下不等式的知识点。
首先，不等式的定义很简单，它是用不等号（大于>、小于<、大于等于≥、小于等于≤）连接两个表达式的式子。
例如，2x ＋ 3 ＞ 5 就是一个不等式。
不等式的性质是解决不等式问题的基础。
性质 1：如果 a ＞ b，那么 a ＋ c ＞ b ＋ c 。
也就是说，给不等式两边同时加上或减去同一个数，不等号方向不变。
性质 2：如果 a ＞ b 且 c ＞ 0 ，那么 ac ＞ bc ；如果a ＞b 且c ＜ 0 ，那么 ac ＜ bc 。
这意味着，不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变；同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变。
在解不等式时，我们通常会运用这些性质将不等式进行变形，最终求出未知数的取值范围。
比如，解不等式 3x 5 ＜ 16 ，我们先将 5 移到右边得到 3x ＜ 21 ，然后两边同时除以 3 ，得到 x ＜ 7 。
一元一次不等式是最简单的不等式类型之一。
它的一般形式是 ax＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0 （其中a ≠ 0 ）。
解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似，但要注意不等式性质的正确运用。
一元二次不等式则稍微复杂一些。
以 ax²＋ bx ＋ c ＞ 0 （a ＞ 0 ）为例，我们需要先求出对应的二次方程 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0 的根，然后根据二次函数的图像来确定不等式的解集。
如果方程有两个不同的根x₁和 x₂（x₁＜ x₂），那么不等式的解集就是 x ＜ x₁或 x ＞ x₂；如果方程有两个相同的根 x₀，那么不等式的解集就是x ≠ x₀；如果方程没有实数根，那么不等式的解集就是全体实数。
绝对值不等式也是常见的类型。
对于｜x| ＜ a （a ＞ 0 ），其解集是 a ＜ x ＜ a ；对于｜x| ＞ a （a ＞ 0 ），其解集是 x ＜ a 或 x ＞ a 。
完整版)不等式知识点归纳大全
完整版)不等式知识点归纳大全不等式》知识点总结一、解不等式1.解不等式时，最终需要用集合的形式表示解集。
不等式解集的端点值通常是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。
2.解分式不等式f(x)。
a（a≠0）的一般思路是移项通分，分子分母分解因式，使x的系数变为正值，标根及奇穿过偶弹回。
3.含有两个绝对值的不等式需要分类讨论、平方转化或换元转化去绝对值。
4.解含参不等式时，常常需要分类等价转化。
按参数讨论时，最后需按参数取值分别说明其解集；按未知数讨论时，最后需要求并集。
二、利用重要不等式求函数的最值1.在利用重要不等式a+b≥2ab以及变式ab≤(a+b)²求函数的最值时，需要注意a、b∈R⁺（或a、b非负），且“等号成立”时的条件是积ab或和a+b其中之一应是定值（一正二定三等四同时）。
2.常用的不等式有：a、2(a²+b²+c²)≥ab+bc+ca（当且仅当a=b=c时，取等号）；b、a+b+c≥√(3(ab+bc+ca))（当且仅当a=b=c时，取等号）。
三、含立方的几个重要不等式1.对于正数a、b、c，有a³+b³+c³≥3abc（当且仅当a=b=c 时，取等号）。
2.对于正数a、b、c，有(a+b+c)³≥27abc（当且仅当a=b=c 时，取等号）。
四、最值定理1.积定和最小：当x、y>0，且x+y≥2xy时，若积xy=P （定值），则当x=y时和x+y有最小值2P。
2.和定积最大：当x、y>0，且x+y≥2xy时，若和x+y=S （定值），则当x=y时积xy有最大值S²/4.3.已知a、b、x、y∈R，且ax+by=1，有x/y+y/x的最小值为(a+b+√(a²+b²))/2.4.对于已知x>0、y>0、x+2y+2xy=8的等式，x+2y的最小值为4，最大值为8.注：删除了一些明显有问题的段落，并对每段话进行了小幅度的改写。
不等式知识点总结
不等式知识点总结不等式（Inequality）是数学中一个重要的概念，它描述的是两个数或两个式子之间大小关系的一种表示方式。
不等式可以用来解决许多实际问题，例如优化问题、利润问题、经济政策问题等。
下面将对不等式的基本概念、性质、解法以及应用进行总结。
一、不等式的基本概念不等式表示的是数或式之间的大小关系，它与等式相似，但不同的是不等式的结果为真时称为“成立”，结果为假时称为“不成立”。
不等式的基本形式有大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）四种形式。
二、不等式的性质1.相等性质：若两个不等式中的量相等，则两个不等式具有相同的大小关系。
2.传递性质：若a>b且b>c，则a>c。
也就是说，如果a大于b，而b大于c，则a大于c。
3.加减性质：若a>b，则a+c>b+c；若a>b，则a-c>b-c。
也就是说，如果a大于b，则a加上（或减去）相同的数c后仍然大于（或小于）b。
4. 正数性质：若 a>b 且 c>0，则 ac>bc。
也就是说，如果 a 大于b，而 c 大于 0，则 a 乘以 c 后仍然大于 b。
三、不等式的解法不等式的解法可以根据不等式的类型和条件的不同而有所不同，下面介绍几种常见的解法方法。
1.图解法：对于一元一次不等式，我们可以将其转化为坐标系中的图形表示，通过观察图形的位置判断不等式的解集。
例如，对于不等式x>3，我们可以在坐标系中画出一条过点(3,0)的直线，然后观察直线的右边区域即可确定不等式的解集。
2.代入法：对于一元一次不等式，我们可以根据不等式的条件逐个代入可能的解集，然后判断不等式的成立与否。
例如，对于不等式2x+1>5，我们可以依次代入x=2、x=3、x=4，然后判断不等式是否成立。
3.移项法：对于一元一次不等式，我们可以通过移项将不等式转化为等式，然后求解等式的根，再根据根的取值范围确定不等式的解集。
高中不等式知识点总结
高中不等式知识点总结不等式是高中数学中的重要内容，它不仅在数学领域有着广泛的应用，还对培养我们的逻辑思维和解题能力起着关键作用。
下面我们来对高中不等式的知识点进行一个全面的总结。
一、不等式的基本性质1、对称性：若\（a ＞ b\），则\（b ＜ a\）；若\（a ＜ b\），则\（b ＞ a\）。
2、传递性：若\（a ＞ b\）且\（b ＞ c\），则\（a ＞ c\）。
3、加法法则：若\（a ＞ b\），则\（a ＋ c ＞ b ＋ c\）。
4、乘法法则：若\（a ＞ b\），＼（c ＞ 0\），则\（ac ＞ bc\）；若\（a ＞ b\），＼（c ＜ 0\），则\（ac ＜ bc\）。
二、一元一次不等式形如\（ax ＋ b ＞ 0\）（或\（＜ 0\））的不等式称为一元一次不等式。
解一元一次不等式的一般步骤：1、去分母（若有分母）。
2、去括号。
3、移项：把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边。
4、合并同类项。
5、系数化为\（1\）：根据不等式的性质，若系数为正，不等号方向不变；若系数为负，不等号方向改变。
三、一元二次不等式形如\（ax^2 ＋ bx ＋ c ＞ 0\）（或\（＜ 0\））（＼（a ≠ 0\））的不等式称为一元二次不等式。
其解法可以通过判别式\（＼Delta ＝ b^2 4ac\）来判断：当\（＼Delta ＞ 0\）时，方程\（ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0\）有两个不同的实根\（x_1\），＼（x_2\）（＼（x_1 ＜ x_2\）），则不等式的解集为\（x ＜ x_1\）或\（x ＞ x_2\）（大于取两边）；＼（x_1 ＜ x ＜x_2\）（小于取中间）。
当\（＼Delta ＝ 0\）时，方程有两个相等的实根\（x_0\），不等式的解集为\（x ≠ x_0\）（＼（a ＞ 0\））；＼（x 为全体实数\）（＼（a ＜ 0\））。
当\（＼Delta ＜ 0\）时，方程无实根，不等式的解集为\（a ＞ 0\）时，＼（x\）为全体实数；＼（a ＜ 0\）时，无解。
(完整版)高中数学不等式知识点总结
(完整版)高中数学不等式知识点总结高中数学中，不等式是一个重要的内容，它是解决数学问题的一种有力工具。
不等式是一种用于描述数值的大小关系的数学语句，它包含“大于”、“小于”、“大于等于”、“小于等于”等符号。
在数学考试中，不等式问题常常出现在基础知识和综合应用的部分，所以对不等式的学习是非常必要的。
下面我将为大家总结一下高中数学中关于不等式的知识点。
一、不等式的基本概念1. 不等式的定义：不等式是数值之间大小关系的表达式，由关系符号和数值构成。
2. 关系符号的含义：- 大于：表示前面的数比后面的数要大，如a>b。
- 小于：表示前面的数比后面的数要小，如a<b。
- 大于等于：表示前面的数比后面的数大或相等，如a≥b。
- 小于等于：表示前面的数比后面的数小或相等，如a≤b。
二、不等式的性质及常用规则1. 不等式的性质：- 若a>b，则-a<-b。
- 若a>b，则a+c>b+c。
- 若a>b，则ac>bc（当c为正数时）。
- 若a>b，则ac<bc（当c为负数时）。
- 若a>b，且c>0，那么a/c>b/c。
- 若a>b，且c<0，那么a/c<b/c。
2. 不等式的常用规则：- 加法规则：若a>b，则a+c>b+c。
- 减法规则：若a>b，则a-c>b-c。
- 乘法规则：若a>b（c>0），则ac>bc；若a<b（c<0），则ac<bc。
- 除法规则：若a>b（c>0），则a/c>b/c；若a<b（c<0），则a/c<b/c。
- 对称性：若a>b，则-b<-a。
三、一元一次不等式1. 一元一次不等式的解集表示法：- 解集用区间表示。
- 开区间：解集中的数不包括端点。
- 闭区间：解集中的数包括端点。
2. 不等式的性质应用举例：- 若a>0，则-1/a<0。
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《不等式》全章复习与巩固【学习目标】1.能正确的记忆和灵活运用不等式的性质；2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型和二元一次不等式组，提高数学建模能力；3.掌握一元二次方程，二次函数，一元二次不等式，这三个“二次”的联系，会解一元二次不等式；4.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；5.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题，注意基本不等式适用的条件. 【知识网络】【要点梳理】要点一：不等式的主要性质 (1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>,(4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,；bc ac c b a <⇒<>0,， bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(5) 乘方法则：0nna b a b >>⇒>(*1)n N n ∈>且 (6) 开方法则：0a b >>⇒>(*1)n N n ∈>且要点诠释：不等式性质中要注意等价双向推出和单向推出关系的不同.不等式不等关系与不等式 一元二次不等式及其解法 二元一次不等式（组）与平面区域基本不等式最大（小）值问题简单的线性规划要点二：三个“二次”的关系一元二次不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<(0)a >的解集：设相应的一元二次方程20ax bx c ++=(0)a >的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：解一元二次不等式的步骤（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数：2A ax bx c =++(0)a > （2）计算判别式∆，分析不等式的解的情况：①0∆>时，求根12,x x （注意灵活运用因式分解和配方法）； ②0∆=时，求根abx x 221-==； ③0∆<时，方程无解 （3）写出解集.要点诠释：若0a <，可以转化为0a >的情形解决. 要点三：线性规划用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax+By+C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax+By+C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax+By+C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）线性规划的有关概念： ①线性约束条件：如果两个变量x 、y 满足一组一次不等式组，则称不等式组是变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x 、y 的一次式z=ax+by(a ，b ∈R)是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解：在线性规划问题中，满足线性约束条件的解（x,y ）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域． 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 要点诠释：求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤 （1）设变量，建立线性约束条件及线性目标函数； （2) 由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3)求出线性目标函数在可行域内的最值(即最优解)； （4)作答．要点四：基本不等式 两个重要不等式①,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）；②基本不等式：如果,a b 是正数，那么2a b+≥（当且仅当a b =时取等号“=”）. 算术平均数和几何平均数 算术平均数：2ba +称为,ab 的算术平均数； 几何平均数：ab 称为,a b 的几何平均数；因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 基本不等式的应用,(0,)x y ∈+∞,且xy P =（定值），那么当x y =时，x y +有最小值 ,(0,)x y ∈+∞,且x y S +=（定值），那么当x y =时，xy 有最大值2S 41.要点诠释 ：在用基本不等式求函数的最值时，应具备的三个条件① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 几个常用变形不等式：①222()a b 2a b ++≥（当且仅当a=b 时等号成立）；②（a+b ）2≥4ab （当且仅当a=b 时等号成立）； ③()02>⋅≥+b a abb a ；特别地：()021>≥+a aa ；④ba ab ab b a b a +≥≥+≥+22222 (),a b R +∈. 【典型例题】 类型一：不等式的性质例1．若,a b 为实数，则下列结论中正确的是（ ）A. 若01ab <<，则1a b <或1b a > B. 若01ab <<，则1a b >或1b a<C. 若1a b <或1b a >，则01ab <<D. 若1a b >或1b a<，则01ab <<【思路点拨】利用不等式的性质，逐项进行判断. 【解析】若01ab <<，则,a b 同号.当0,0a b >>时，由1ab <得1a b <； 当0,0a b <<时，由1ab <得1b a>.所以A 项正确，B 项错误. 由1a b <得10a b -<，即10ab b -<，所以0,1.b ab >⎧⎨<⎩或0,1.b ab <⎧⎨>⎩同理，由1b a >得0,1.a ab >⎧⎨>⎩或0,1.a ab <⎧⎨<⎩ 显然C 项不正确. 同理D 项也不正确.【总结升华】解答此类问题应注意一下几个方面： （1）准确理解不等式的性质；（2）掌握作差法比较大小这种最基本的方法； （3）了解符号的运算规律；（4）灵活利用特殊数值对结论进行检验. 举一反三：【变式1】已知0,0,a b c >><求证c c a b >。
【答案】因为0a b >>，所以ab>0，10ab>. 于是 11a b ab ab ⨯>⨯，即11b a > 由c<0 ，得c ca b>【变式2】已知,m n R ∈，则11m n>成立的一个充要条件是（ ）A.0m n >>B.0n m >>C.()0mn m n -<D.0m n << 【答案】C例2．已知函数2()f x ax c =-,满足4(1)1f -≤≤-,1(2)5f -≤≤,那么(3)f 的取值范围是 .【思路点拨】将(3)f 用(1)f 及(2)f 表示出来，再利用不等式性质求得正确的范围. 【解析】解法一：方程思想(换元)：由⎩⎨⎧=-=-)2(4)1(f c a f c a ，求得[]1(2)(1)341(1)(2)33a f f c f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩∴ )2(38)1(359)3(f f c a f +-=-= 又 340)2(3838,320)1(3535≤≤-≤-≤f f∴ 20)2(38)1(351≤+-≤-f f ，即20)3(1≤≤-f 。
解法二：待定系数法设f(3)=9a-c=mf(1)+nf(2)=m(a-c)+n(4a-c)5-493()---183m m n m n n ⎧=⎪+=⎧⎪⇒⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩下略 解法三：数形结合(线性规划)-4(1)-1-4--1-1(2)5-14-5f a c f a c ≤≤≤≤⎧⎧⇒⎨⎨≤≤≤≤⎩⎩ 所确定区域如图：设9-z a c =，将边界点(0,1)(3,7)代入即求出.【总结升华】利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的综合问题，对于这类问题要注意：“同向（异向）不等式的两边可以相加（相减）”，这种转化不是等价变形，在一个解题过程中多次使用这种转化时，就有可能扩大真实的取值范围，解题时务必小心谨慎，先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性不等关系的运算，求得待求的范围”，是避免犯错误的一条途径.举一反三：【变式】已知15a b -≤+≤，13a b -≤-≤，求32a b -的取值范围。
【答案】[-3，10] 类型二：不等式的求解例3．已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈的值域为[0,)+∞，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(,6)m m +，则实数c 的值为_______.【解析】2()f x x ax b =++的值域为[0,)+∞，204a b ∴-=，222()()42a a f x x ax x ∴=++=+， 又()f x c <的解集为(,6)m m +，6m m a ∴++=-，132m a ∴=--，2211()(3)(3)9224a c f m a a a ∴==--+--+=.【总结升华】解决本题的关键是（1）准确把握一元二次不等式的解法；（2）掌握一元二次不等式的解集、一元二次方程的根与一元二次函数的零点三者之间的关系，根据需要进行彼此的互化.【高清课堂：不等式综合392606 例2】例4． 已知关于x 的方程220x ax --=的两根为12,x x ，试问是否存在实数m ，使得不等式21m lm ++≥ 12x x -对任意实数a ∈[－1,1]及l ∈[－1,1]恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，说明理由．12121212212222||[1,1]||1||[1,1][1,1]13[1,1]20[1,1]x x a x x x x a x x m lm x x a l m lm l m lm l ∈≥∈∈≥∈≥∈【解析】由题意有＋＝，＝－，所以－因为－，所以－要使不等式＋＋－对任意－及－恒成立，当且仅当＋＋对任意－恒成立，即＋－对任意－恒成立．()222212(2)1201202 2.1||[1,1][1,1](2][2)g l ml m g m m g m m m m m m lm x x a l m ⎧(-)=--≥⎨()=+-≥⎩≤≥≥∈∈∞∞设＝＋－．由，解得－或故存在实数，使得不等式＋＋－对任意实数－及－恒成立，且的取值范围是－，－，＋．【总结升华】①在含参不等式问题中，二次不等式恒成立的充要条件的理论依据: ax 2+bx+c>0对任何x ∈R 恒成立⇔a>0且Δ=b 2-4ac<0； ax 2+bx+c<0对任何x ∈R 恒成立⇔a<0且Δ=b 2-4ac<0。