基本不等式知识点归纳教学内容
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
基本不等式知识点归
纳
基本不等式知识点总结
向量不等式：
||||||||||||a b a b a b -±+r r r r r r ≤≤
【注意】： a b r r 、同向或有0r ⇔||||||a b a b +=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=-u r u r u r u r ； a b r r 、反向或有0r ⇔||||||a b a b -=+u r u r u r u r ≥||||||||a b a b -=+u r u
r u r u r ； a b r r 、不共线⇔||||||||||||a b a b a b -<±<+u r u r u r u r u r u r .(这些和实数集中类似)
代数不等式：
,a b 同号或有0||||||||||||a b a b a b a b ⇔+=+-=-≥；
,a b 异号或有0||||||||||||a b a b a b a b ⇔-=+-=+≥.
绝对值不等式： 123123a a a a a a ++++≤
(0)a b a b a b ab -≤-≤+≥时,取等
双向不等式：a b a b a b -±+≤≤
（左边当0(0)ab ≤≥时取得等号，右边当0(0)ab ≥≤时取得
等号.）
放缩不等式：
①00a b a m >>>>，，则b m b b m
a m a a m
-+<<-+. 【说明】：
b b m a a m
+<+（0,0a b m >>>，糖水的浓度问题）. 【拓展】：，则，，000>>>>n m b a b
a n
b n a m a m b a b <++<<++<1. ②,,a b
c R +∈，
b d a
c <，则b b
d d
a a c c
+<<+； ③n N +∈
<
< ④,1n N n +∈>，211111
11n n n n n
-
<<-+-. ⑤ln 1x x -≤(0)x >,1x e x +≥()x R ∈.
函数()(0)b
f x ax a b x =+>、图象及性质
(1)函数()0)(>+
=b a x
b
ax x f 、图象如图：
(2)函数()0)(>+
=b a x
b ax x f 、性质：
①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ；
②
单调递增区间：(,
-∞
，)
+∞
；单调递减区间：(0,
，[0).
基本不等式知识点总结
重要不等式
1、和积不等式：,a b R
∈⇒222
a b ab
+≥(当且仅当a b
=时取到“=”)．【变形】：①
22
2
()
22
a b a b
ab
++
≤≤（当a = b时，
22
2
()
22
a b a b
ab
++
==）【注意】：
(,)
2
a b
a b R+
+
∈，2
()(,)
2
a b
ab a b R
+
∈
≤
2、均值不等式：
两个正数b
a、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根
之间的关系，即“平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均”
22
“”
112
ab a b
a b
a b
a b
+
===
+
+
≤时取）*.若0
x>，则
1
2
x
x
+≥ (当且仅当1
x=时取“=”）;
若0
x<，则
1
2
x
x
+≤- (当且仅当1
x=-时取“=”）
若0
x≠，则111
22-2
x x x
x x x
+≥+≥+≤
即或 (当且仅当b
a=时取“=”）*.若0
>
ab，则2
≥
+
a
b
b
a (当且仅当b
a=时取“=”）
若0
ab≠，则22-2
a b a b a b
b a b a b a
+≥+≥+≤
即或 (当且仅当b
a=时取“=”）
3、含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：
3333
a b c abc
++≥（0
a b c
++>等式即可成立，
时取等
或0
=
+
+
=
=c
b
a
c
b
a）；
3
a b c
++
⇒3
()
3
a b c
abc
++
≤
333
3
a b c
++
≤
*不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当0
>
ab时，ab
b
a2
2
2≥
+同时除以ab得2
≥
+
b
a
a
b
或
b
a
a
b
-
≥
-1
1。