不等式知识点归纳与总结

授课教案

③ 若等差数列的项数为()+∈-N n n 12，则()n n a n S 1212-=-，且n a S S =-偶奇， 1

-=

n n S S 偶

奇 （4）常用公式：①1+2+3 …+n =()2

1+n n ②()()6

1213212222++=+++n n n n Λ

③()2

2

13213333⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=++n n n Λ

[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…110-=⇒n n

a ；

5，55，555，…()1109

5-=⇒n n a .

2 等比数列 （1）性质

当m+n=p+q 时，a m a n =a p a q ，特例：a 1a n =a 2a n-1=a 3a n-2=…，当2n=p+q 时，a n 2

=a p a q ，数列{ka n }，{

∑=k

1

i i

a

}成等比数列。

3 等差、等比数列的应用

（1）基本量的思想：常设首项、公差及首项，公比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等；

（2）灵活运用等差数列、等比数列的定义及性质，简化计算； （3）若{a n }为等差数列，则{n a a }为等比数列（a>0且a ≠1）；

若{a n }为正数等比数列，则{log a a n }为等差数列（a>0且a ≠1）。

典型例题

例1、已知数列{a n }为等差数列，公差d ≠0，其中1k a ，2k a ，…，n k a 恰为等比数列，若k 1=1，k 2=5，k 3=17，求k 1+k 2+…+k n 。

例2、设数列{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7=7，S 15=75,T n 为数列{

n

S n

}的前n 项和，求T n 。 例3、正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且1a S 2n n +=，求： （1） 数列{a n }的通项公式；

（2）

设1n n n a a 1b +=

，数列{b n }的前n 项的和为B n ，求证：B n 2

1

<.

例4、等差数列{a n }中，前m 项的和为77（m 为奇数），其中偶数项的和为33，

且a 1-a m =18，求这个数列的通项公式。

例5、设{a n }是等差数列，n a n )21(b =，已知b 1+b 2+b 3=821，b 1b 2b 3=8

1

，求等差数列的通项a n 。

4 练习

1 已知数列{a n }满足a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n(n+1)(n+2)，则它的前n 项和

S n =______。

2 设等差数列{a n }共有3n 项，它的前2n 项之和为100，后2n 项之和为200，则该等差数列的中间n 项的和等于________。

3 若不等于1的三个正数a ，b ，c 成等比数列，则(2-log b a)(1+log c a)=________。

4 已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，求这个数列的公比和项数。

5 已知等比数列{a n }的首项为a 1>0，公比q>-1（q ≠1），设数列{b n }的通项

b n =a n+1+a n+2（n ∈N +），数列{a n },{b n }的前n 项和分别记为A n ，B n ，试比较A n 与B n 大小。

6 数列{a n }中，a 1=8，a 4=2且满足a n+2=2a n+1-a n （n ∈N +） （1） 求数列{a n }通项公式；

（2） 设S n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |，求S n ；

（3）

设)

a 12(n 1

b n n -=

（n ∈N +）T n =b 1+b 2+…+b n ，是否存在最大的整数m ，

使得对于任意的n ∈N +，均有32

m

T n >成立？若存在，求出m 的值；若不

存在，说明理由。

二、不等式章节知识点 1、实数的大小比较法则：

设a ，b ∈R ，则a>b ⇔；a ＝b ⇔；ab ⇔

定理2（同向传递性） a>b ，b>c ⇒ 定理3 a>b ⇔a ＋c > b ＋c 推论 a>b ，c>d ⇒ 定理4 a>b ，c>0⇒ a>b ，c<0⇒

推论1 (非负数同向相乘法) a>b≥0，c>d≥0⇒

推论2 a>b ＞0 ⇒n n b a > (n ∈N 且n>1) 定理5 a>b ＞0⇒>n a n b (n ∈N 且n>1) 3 均值不等式以及灵活变式

设a ，b ∈R ，则○1a 2》0；○2a 2+b 2》0 设a ，b ∈（0，+∞），则

2

b

a +》a

b 2，当且仅当时等式成立。 灵活变式：○1）（2b a +22b a 2

2

+；○2ab 2

b a 2

2

+；○3ab ）（2b a +2

；

○

4（a+b ）24ab 当且仅当a=b 时，各式中等号成立。

4 例题

例1．设a 、b ∈R +

，试比较2

b

a +，

ab ，2

2

2b a +，b

a 112+的大小．

例2设x > 0, y > 0,y x y x a +++=

1, y

y

x x b +++=11， a 与b 的大小关系（）

A ．a >b

B ．a

C ．a ≤b

D ．a ≥b