不等式知识点归纳

第三章 不等式3.1、不等关系与不等式 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >⇔> ②（传递性）,a b b c a c >>⇒>③（可加性）a b a c b c >⇔+>+（同向可加性）d b c a d c b a +>+⇒>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-⇒<>, ④（可积性）bc ac c b a >⇒>>0,bc ac c b a <⇒<>0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒>（异向正数可除性）0,0a b a b c d c d>><<⇒>⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且 ⑦（开方法则）0,1)a b n N n >>∈>且 ⑧（倒数法则）ba b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>> 2、几个重要不等式①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22.2a b ab +≤②（基本不等式）2a b+≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）.变形公式： a b +≥ 2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（也可用柯西不等式22222()()()a b c d ac bd ++≥+）用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）3a b c ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）.④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b aab a b>+≥若则（当仅当a=b 时取等号）0,2b aab a b<+≤-若则（当仅当a=b 时取等号）⑦ba nb n a m a m b a b <++<<++<1 其中(000)a b m n >>>>，，规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或22.x a x a a x a <⇔<⇔-<<⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+3、几个著名不等式①平均不等式：1122a b a b --+≤≤≤+()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取""=号）.（即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）.变形公式：222;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤⎪⎝⎭222().2a b a b ++≥②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n+++≥+++ ③二维形式的三角不等式：≥1122(,,,).x y x y R ∈④二维形式的柯西不等式： 22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a a b b b a b a b a b ++++≥++⑥一般形式的柯西不等式：2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++⑦向量形式的柯西不等式：设,αβ是两个向量，则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是12,,...,n b b b 的任一排列，则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和）当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时，反序和等于顺序和. ⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项，如22131()();242a a ++>+ ②将分子或分母放大（缩小），如211,(1)k k k <- 211,(1)k k k >+==<*,1)k N k >∈>等. 5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边. 6、高次不等式的解法：穿根法. 分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （<≤“或”时同理） 规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解 2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧>>⇔⎨>⎩2()0(0)()f x a a f x a≥⎧<>⇔⎨<⎩ 2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x >⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或 2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解. 9、指数不等式的解法： ⑴当1a >时,()()()()f x g x aa f x g x >⇔>⑵当01a <<时, ()()()()f x g x a a f x g x >⇔<规律：根据指数函数的性质转化. 10、对数不等式的解法⑴当1a >时, ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩⑵当01a <<时, ()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩规律：根据对数函数的性质转化. 11、含绝对值不等式的解法： ⑴定义法：(0).(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩⑵平方法：22()()()().f x g x f x g x ≤⇔≤ ⑶同解变形法，其同解定理有： ①(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥ ②(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或③()()()()()(()0)f x g x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥ ④()()()()()()(()0)f x g x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤-≥或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集. 13、含参数的不等式的解法解形如20ax bx c ++>且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：⑴讨论a 与0的大小； ⑵讨论∆与0的大小； ⑶讨论两根的大小. 14、恒成立问题⑴不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时 0,0;b c ⇒=>②当0a ≠时00.a >⎧⇒⎨∆<⎩⑵不等式20ax bx c ++<的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时0,0;b c ⇒=<②当0a ≠时00.a <⎧⇒⎨∆<⎩⑶()f x a <恒成立max ();f x a ⇔<()f x a ≤恒成立max ();f x a ⇔≤⑷()f x a >恒成立min ();f x a ⇔>()f x a ≥恒成立min ().f x a ⇔≥15、线性规划问题⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断： 法一：取点定域法：由于直线0Ax By C ++=的同一侧的所有点的坐标代入Ax By C ++后所得的实数的符号相同.所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点00(,)x y （如原点），由00Ax By C ++的正负即可判断出0Ax By C ++>(或0)<表示直线哪一侧的平面区域.即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.法二：根据0Ax By C ++>(或0)<，观察B 的符号与不等式开口的符号，若同号，0Ax By C ++>(或0)<表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. ⑶利用线性规划求目标函数z Ax By =+(,A B 为常数）的最值： 法一：角点法：如果目标函数z Ax By =+ （x y 、即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组对应z 值，最大的那个数为目标函数z 的最大值，最小的那个数为目标函数z 的最小值 法二：画——移——定——求： 第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线0:0l Ax By += ，平移直线0l （据可行域，将直线0l 平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解(,)x y ；第四步，将最优解(,)x y 代入目标函数z Ax By =+即可求出最大值或最小值 .第二步中最优解的确定方法：利用z 的几何意义：A z y x B B =-+,zB为直线的纵截距. ①若0,B >则使目标函数z Ax By =+所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最小值；②若0,B <则使目标函数z Ax By =+所表示直线的纵截距最大的角点处，z 取得最小值，使直线的纵截距最小的角点处，z 取得最大值. ⑷常见的目标函数的类型： ①“截距”型：;z Ax By =+②“斜率”型：y z x =或;y bz x a-=-③“距离”型：22z x y =+或z =22()()z x a y b =-+-或z =在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.基础练习一 选择题1．设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M >NB ．M ＝NC ．M <ND ．与x 有关[答案] A[解析] M －N ＝x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34>0，∴M >N .2．(2013·辽宁鞍山市第一中学高二期中测试)若a <b <0，则下列不等式不能成立的是( )A ．1a >1bB ．2a >2bC ．|a |>|b |D ．(12)a >(12)b[答案] B[解析] ∵a <b ，y ＝2x 单调递增，∴2a <2b ， 故选B ．3．已知a <0，－1<b <0，则下列各式正确的是( ) A ．a >ab >ab 2 B ．ab >a >ab 2 C ．ab 2>ab >a D ．ab >ab 2>a [答案] D[解析] ∵－1<b <0，∴1>b 2>0>b >－1， 即b <b 2<1，两边同乘以a 得， ∴ab >ab 2>a .故选D ．4．如果a 、b 、c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中不一定．．．成立的是( ) A ．ab >ac B ．bc >ac C ．cb 2<ab 2 D ．ac (a －c )<0 [答案] C[解析] ∵c <b <a ，且ac <0，∴a >0，c <0.∴ab －ac ＝a (b －c )>0，bc －ac ＝(b －a )c >0，ac (a －c )<0，∴A 、B 、D 均正确． ∵b 可能等于0，也可能不等于0. ∴cb 2<ab 2不一定成立．5．设a ＝lge ，b ＝(lge)2，c ＝lg e ，则( ) A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a[答案] B[解析] ∵0<lge<1，∴b ＝(lg e )2＝a 2<a ，c ＝lg e ＝12lge ＝12a <a .又∵b ＝(lge)2<lg 10·lge＝12lge ＝c ，∴b <c <a . 6．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg2x B ．x 2＋1>2x C ．1x 2＋1≤1D ．x ＋1x≥2[答案] C[解析] A 中x >0；B 中x ＝1时，x 2＋1＝2x ；C 中任意x ，x 2＋1≥1，故1x 2＋1≤1；D中当x <0时，x ＋1x≤0.7．若x >1>y ，下列不等式不成立的是( ) A ．x －1>1－y B ．x －1>y －1 C ．x －y >1－y D ．1－x >y －x [答案] A[解析] 特殊值法．令x ＝2，y ＝－1，则x －1＝2－1<1－(－1)＝1－y ，故A 不正确． 8．设a ＝100.1, b ＝0.110，c ＝lg0.1，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．a >b >c C ．b >a >c D ．c >a >b [答案] B[解析] ∵100.1>100，∴100.1>1. 又∵0.110<0.10，∴0<0.110<1. ∵lg0.1<lg1，∴lg0.1<0.∴a >1,0<b <1，c <0，∴a >b >c ，选B ． 9．设a ＋b <0，且a >0，则( ) A ．a 2<－ab <b 2 B ．b 2<－ab <a 2 C ．a 2<b 2<－ab D ．ab <b 2<a 2 [答案] A[解析] ∵a ＋b <0，且a >0，∴0<a <－b ， ∴a 2<－ab <b 2.10．已知a 2＋a ＜0，那么a ，a 2，－a ，－a 2的大小关系是( ) A ．a 2＞a ＞－a 2＞－aB ．－a ＞a 2＞－a 2＞aC ．－a ＞a 2＞a ＞－a 2D ．a 2＞－a ＞a ＞－a 2[答案] B[解析] ∵a 2＋a <0，∴0<a 2<－a ，∴0>－a 2>a ， ∴a <－a 2<a 2<－a ，故选B ．[点评] 可取特值检验，∵a 2＋a <0，即a (a ＋1)<0，令a ＝－12，则a 2＝14，－a 2＝－14，－a ＝12，∴12>14>－14>－12，即－a >a 2>－a 2>a ，排除A 、C 、D ，选B ．11．设a ，b ∈R ，则(a －b )·a 2<0是a <b 的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 由(a －b )·a 2<0得a ≠0且a <b ；反之，由a <b ，不能推出(a －b )·a 2<0.即(a －b )·a 2<0是a <b 的充分非必要条件．12．如果a ＞0，且a ≠1，M ＝log a (a 3＋1)，N ＝log a (a 2＋1)，那么( ) A ．M ＞N B ．M ＜NC ．M ＝ND ．M 、N 的大小无法确定 [答案] A [解析]M －N ＝log a (a 3＋1)－log a (a 2＋1)＝log a a 3＋1a 2＋1，若a >1，则a 3>a 2，∴a 3＋1a 2＋1>1，∴log a a 3＋1a 2＋1>0，∴M >N ，若0<a <1，则0<a 3<a 2，∴0<a 3＋1<a 2＋1，∴0<a 3＋1a 2＋1<1，∴log a a 3＋1a 2＋1>0，∴M >N ，故选A ．13．(2014·江西文，2)设全集为R ，集合A ＝{x |x 2－9<0}，B ＝{x |－1<x ≤5}，则A ∩(綂R B )＝()A ．(－3,0)B ．(－3，－1)C ．(－3，－1]D ．(－3,3)[答案] C[解析] 本题主要考查集合的运算，∵A ＝{x |x 2－9<0}＝{x |－3<x <3}，而綂R B ＝{x |x ≤－1或x >5}，∴A ∩綂R B ＝{x |－3<x ≤－1}，选C ． 14．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( ) A ．{x |x ≠－13}B ．{x |－13≤x ≤13}C ．∅D ．{－13}[答案] D[解析] 变形为(3x ＋1)2≤0.∴x ＝－13.15．不等式3x 2－x ＋2＜0的解集为( ) A ．∅B ．RC ．{x |－13＜x ＜12}D ．{x ∈R |x ≠16}[答案] A[解析] ∵△＝－23＜0，开口向上， ∴3x 2－x ＋2＜0的解集为∅.16．函数y ＝x 2＋x －12的定义域是( ) A ．{x |x ＜－4，或x ＞3} B ．{x |－4＜x ＜3} C ．{x |x ≤－4，或x ≥3} D ．{x |－4≤x ≤3} [答案] C[解析] 使y ＝x 2＋x －12有意义，则x 2＋x －12≥0. ∴(x ＋4)(x －3)≥0，∴x ≤－4，或x ≥3.17．(2012·陕西文，1)集合M ＝{x |lg x >0}，N ＝{x |x 2≤4}，则M ∩N ＝( ) A ．(1,2) B ．[1,2) C ．(1,2] D ．[1,2][答案] C[解析] 本题考查对数不等式、一元二次不等式的解法及集合的交集运算．M ＝{x |x >1}，N ＝{x |－2≤x ≤2}，所以M ∩N ＝{x |1<x ≤2}＝(1,2]．18．(2013·广东东莞市第五高级中学高二期中测试)不等式x 2＋2x －3≥0的解集为( ) A ．{x |x ≤－1或x ≥3} B ．{x |－1≤x ≤3} C ．{x |x ≤－3或x ≥1} D ．{x |－3≤x ≤1} [答案] C[解析] 由x 2＋2x －3≥0，得(x ＋3)(x －1)≥0， ∴x ≤－3或x ≥1，故选C ．19．(北京学业水平测试)不等式(x －1)(2x －1)<0的解集是( ) A ．{x |1<x <2} B ．{x |x <1或x >2} C ．{x |x <12或x >1}D ．{x |12<x <1}[答案] D[解析] 方程(x －1)(2x －1)＝0的两根为x 1＝1，x 2＝12，所以(x －1)(2x －1)<0的解集为{x |12<x <1}，选D ．20．设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{x |x 2－2x －3<0}，则M ∩N 等于( ) A ．{x |0≤x <1} B ．{x |0≤x ≤2} C ．{x |0≤x ≤1} D ．{x |0≤x ≤2}[答案] D[解析] ∵N ＝{x |x 2－2x －3<0}＝{x |－1<x <3}，M ＝{x |0≤x ≤2}， ∴M ∩N ＝{x |0≤x ≤2}，故选D ．21．若{x |2<x <3}为x 2＋ax ＋b <0的解集，则bx 2＋ax ＋1>0的解集为( ) A ．{x |x <2或x >3} B ．{x |2<x <3} C ．{x |13<x <12}D ．{x |x <13或x >12}[答案] D[解析] 由x 2＋ax ＋b <0的解集为{x |2<x <3}，知方程x 2＋ax ＋b ＝0的根分别为x 1＝2，x 2＝3.由韦达定理，得x 1＋x 2＝－a ，x 1·x 2＝b ， 即a ＝－5，b ＝6.所以不等式bx 2＋ax ＋1>0，即6x 2－5x ＋1>0，解集为{x |x <13，或x >12}，故选D ．22．不等式(x －2)2(x －3)x ＋1<0的解集为( )A ．{x |－1<x <2或2<x <3}B ．{x |1<x <3}C ．{x |2<x <3}D ．{x |－1<x <3} [答案] A[解析] 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)(x ＋1)<0，x ＋1≠0，(x －2)2≠0，解得－1<x <3，且x ≠2，故选A ．23．若0＜t ＜1，则不等式x 2－(t ＋1t )x ＋1＜0的解集是( )A ．{x |1t ＜x ＜t }B ．{x |x ＞1t 或x ＜t }C ．{x |x ＜1t 或x ＞t }D ．{x |t ＜x ＜1t }[答案] D[解析] 化为(x －t )(x －1t)＜0，∵0＜t ＜1，∴1t ＞1＞t ，∴t ＜x ＜1t.24．已知不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集为空集，则a 的取值范围是( ) A ．－4≤a ≤4 B ．－4＜a ＜4 C ．a ≤－4或a ≥4 D ．a ＜－4或a ＞4[答案] A[解析] 欲使不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集为空集，则△＝a 2－16≤0，∴－4≤a ≤4. 25．不在3x ＋2y ＜6表示的平面区域内的点是( ) A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(0,2) D ．(2,0) [答案] D[解析] 将点的坐标代入不等式中检验可知，只有(2,0)点不满足3x ＋2y ＜6. 26．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ＜x x ＋y ≤1y ≥3，表示的区域为D ，点P 1(0，－2)，点P 2(0,0)，则( )A ．P 1∉D ，P 2∉DB ．P 1∉D ，P 2∈DC ．P 1∈D ，P 2∉D D ．P 1∈D ，P 2∈D[答案] A[解析] P 1点不满足y ≥3.P 2点不满足y ＜x .和y ≥3 ∴选A ．27．已知点P (x 0，y 0)和点A (1,2)在直线l ：3x ＋2y －8＝0的异侧，则( ) A ．3x 0＋2y 0>0 B ．3x 0＋2y 0<0 C ．3x 0＋2y 0<8 D ．3x 0＋2y 0>8 [答案] D[解析] ∵3×1＋2×1－8＝－3<0，P 与A 在直线l 异侧，∴3x 0＋2y 0－8>0. 28．图中阴影部分表示的区域对应的二元一次不等式组为( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －2y ＋2≥0B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0x －2y ＋2≤0C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －2y ＋2≤0D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0x －2y ＋2≥0[答案] A[解析] 取原点O (0,0)检验满足x ＋y －1≤0，故异侧点应为x ＋y －1≥0，排除B 、D ． O 点满足x －2y ＋2≥0，排除C ． ∴选A ．29．不等式x 2－y 2≥0表示的平面区域是( )[答案] B[解析] 将(±1,0)代入均满足知选B ．30．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧(x －y ＋5)(x ＋y )≥00≤x ≤3表示的平面区域是一个( )A ．三角形B ．直角梯形C ．梯形D ．矩形[答案] C[解析] 画出直线x －y ＋5＝0及x ＋y ＝0，取点(0,1)代入(x －y ＋5)(x ＋y )＝4>0，知点(0,1)在不等式(x －y ＋5)(x ＋y )≥0表示的对顶角形区域内，再画出直线x ＝0和x ＝3，则原不等式组表示的平面区域为图中阴影部分，它是一个梯形．31．目标函数z ＝2x －y ，将其看成直线方程时，z 的意义是( ) A ．该直线的截距B ．该直线的纵截距C ．该直线的纵截距的相反数D ．该直线的横截距 [答案] C[解析] z ＝2x －y 可变化形为y ＝2x －z ，所以z 的意义是该直线在y 轴上截距的相反数，故选C ．32．若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ≤1，则z ＝x －y 的最大值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－2[答案] B[解析] 可行域为图中△AOB ，当直线y ＝x －z 经过点B 时，－z 最小从而z 最大∴z max＝1.33．已知x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0x ＋y ≥0x ≤3，则z ＝2x ＋4y 的最小值为( )A ．5B ．－6C ．10D ．－10[答案] B[解析] 可行域为图中△ABC 及其内部的平面区域，当直线y ＝－x 2＋z4经过点B (3，－3)时，z 最小，z min ＝－6.34．若x 、y ∈R ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x －2y ＋3≥0y ≥x ，则z ＝x ＋2y 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．5D ．9[答案] B[解析] 不等式组表示的可行域如图所示：画出直线l 0：x ＋2y ＝0， 平行移动l 0到l 的位置， 当l 通过点M 时，z 取到最小值． 此时M (1,1)，即z min ＝3.35．设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥4x －y ≥1x －2y ≤2，则目标函数z ＝x ＋y ( )A ．有最小值2，无最大值B ．有最大值3，无最小值C ．有最小值2，最大值3D ．既无最小值，也无最大值[答案] A[解析] 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥4x －y ≥1x －2y ≤2表示的平面区域，如下图，由z ＝x ＋y ，得y ＝－x＋z ，令z ＝0，画出y ＝－x 的图象．当它的平行线经过点A (2,0)时，z 取得最小值，最小值为2；无最大值．故选A ．36．(2013·四川文，8)若变量x 、y 满足约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤82y －x ≤4x ≥0y ≥0，且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是( )A ．48B ．30C ．24D ．16[答案] C[解析] 本题考查了线性规划中最优解问题．作出不等式组表示的平面区域如图．作直线l 0：y ＝15x ，平移直线l 0.当l 0过点A (4,4)时可得z max ＝16，∴a ＝16. 当l 0过点B (8,0)时可得z min ＝－8，∴b ＝－8. ∴a －b ＝16－(－8)＝24.37．若变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1x ＋y ≥0x －y －2≤0，则z ＝x －2y 的最大值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1[答案] B[解析] 先作出可行域如图．作直线x －2y ＝0在可行域内平移，当x －2y －z ＝0在y 轴上的截距最小时z 值最大． 当移至A (1，－1)时，z max ＝1－2×(－1)＝3，故选B ．38．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤44x －y ≥－1x ＋2y ≥2，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A ．[－32，6]B ．[－32，－1]C ．[－1,6]D ．[－6，32][答案] A[解析] 本题考查了线性规划的基础知识及数形结合的思想．根据约束条件，画出可行域如图，作直线l 0：3x －y ＝0，将直线平移至经过点A (2,0)处z 有最大值，经过点B (12，3)处z 有最小值，即－32≤z ≤6.39．设z ＝x －y ，式中变量x 和y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0x －2y ≥0，则z 的最小值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3[答案] A[解析] 作出可行域如图中阴影部分．直线z ＝x －y 即y ＝x －z .经过点A (2,1)时，纵截距最大，∴z 最小．z min ＝1.40．变量x 、y 满足下列条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥122x ＋9y ≥362x ＋3y ＝24x ≥0y ≥0，则使z ＝3x ＋2y 最小的(x ，y )是( )A ．(4,5)B ．(3,6)C ．(9,2)D ．(6,4)[答案] B[解析] 检验法：将A 、B 、C 、D 四选项中x 、y 代入z ＝3x ＋2y 按从小到大依次为A 、B 、D 、C ．然后按A →B →D →C 次序代入约束条件中，A 不满足2x ＋3y ＝24，B 全部满足，故选B ．41．已知x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤4x ＋2y ≤4x ≥0，y ≥0，则z ＝x ＋y 的最大值是( )A ．43B ．83C ．2D ．4[答案] B[解析] 画出可行域为如图阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝42x ＋y ＝4，解得A (43，43)，∴当直线z ＝x ＋y 经过可行域内点A 时，z 最大，且z max ＝83.42．(2014·广东理，3)若变量x ，y 满足约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x x ＋y ≤1y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8[答案] B[解析] 作出可行域如图，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－1，∴A (－1，－1)； 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，y ＝－1.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴B (2，－1)； 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y ＝1，得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝12.∴C (12，12)．作直线l ：y ＝－2x ，平移l 可知，当直线y ＝－2x ＋z ，经过点A 时，z 取最小值，当y min＝－3；当经过点B 时，z 取最大值，z max ＝3，∴m ＝3，n ＝－3，∴m －n ＝6.43．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是( )A ．x ＋12xB ．x 2－1＋1x 2－1C ．2x ＋2－x D ．x (1－x )答案：C44．已知a 、b ∈R ，且ab ≠0，则在①a 2＋b 22≥ab ；②b a ＋ab ≥2；③ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22；④⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22这四个不等式中，恒成立的个数有( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个答案：C45．某工厂第一年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则( )A ．x ＝a ＋b 2B ．x ≤a ＋b2C ．x ＞a ＋b 2D ．x ≥a ＋b2解析：依题意有A (1＋x )2＝A (1＋a )(1＋b )，∴1＋x ＝(1＋a )(1＋b )≤12[(1＋a )＋(1＋b )]＝1＋a ＋b 2∴x ≤a ＋b 2.故选B.答案：B46．若x >0，则函数y ＝－x －1x( )A ．有最大值－2B ．有最小值－2C ．有最大值2D ．有最小值2解析：∵x >0，∴x ＋1x ≥2.∴－x －1x≤－2.当且仅当x ＝1时，等号成立，故函数y ＝－x－1x有最大值－2. 答案：A47．数列{a n }的通项公式a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大项是( )A ．第9项B ．第8项和第9项C ．第10项D ．第9项和第10项解析：a n ＝n n 2＋90＝1n ＋90n∵n ＋90n≥290，且n ∈N *，∴当n ＝9或10时，n ＋90n最小，a n 取最大值．故选D.答案：D48．lg 9lg 11与1的大小关系是( )A ．lg 9·lg 11＞1B ．lg 9·lg 11 ＝1C ．lg 9·lg 11＜1D ．不能确定解析：lg 9×lg 11≤2+⎛⎫ ⎪⎝⎭lg9lg112＝2⎛⎫ ⎪⎝⎭lg992＜2⎛⎫ ⎪⎝⎭lg1002＝2⎛⎫ ⎪⎝⎭22＝1，故选C.答案：C49．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则ab ＋1ab的最小值为( )A ．2 B.52C.174 D ．不存在解析：∵a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝1，∴ab ≤a ＋b 2＝12，∴0＜ab ≤14.令t ＝ab ，则f (t )＝t ＋1t 在⎝⎛⎦⎤0，14上单调递减， ∴f (t )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫14＝14＋4＝174，故选C. 答案：C50．某金店用一杆不准确的天平(两边臂不等长)称黄金，某顾客要购买10 g 黄金，售货员先将5 g 的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客，然后又将5 g 的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金( )A ．大于10 gB ．小于10 gC ．大于等于10 gD ．小于等于10 g解析：设两臂长分别为a ，b ，两次放入的黄金数是x ，y ， 依题意有ax ＝5b ，by ＝5a ，∴xy ＝25. ∵x ＋y 2≥xy ，∴x ＋y ≥10，又a ≠b ，∴x ≠y .∴x ＋y ＞10.即两次所得黄金数大于10克，故选A.答案：A51．函数f (x )＝xx ＋1的最大值为( )A.25B.12C.22D ．1 解析：当x ＝0时，f (0)＝0；当x ＞0时，x ＋1≥2x ＞0，∴f (x )≤x 2x ＝12，当且仅当x＝1时等号成立．故函数f (x )＝x x ＋1的最大值为12.答案：B 二 填空题1．若a ＞b ，则a 3与b 3的大小关系是________．[答案] a 3＞b 32．若x ＝(a ＋3)(a －5)，y ＝(a ＋2)(a －4)，则x 与y 的大小关系是________． [答案] x ＜y[解析] x －y ＝(a ＋3)(a －5)－(a ＋2)(a －4)＝(a 2－2a －15)－(a 2－2a －8)＝－7＜0， ∴x ＜y .3．已知a ＞b ＞0，且c ＞d ＞0，则a d与bc的大小关系是________．[答案]a d ＞b c[解析] ∵c ＞d ＞0，∴1d ＞1c ＞0，∵a ＞b ＞0，∴a d ＞bc ＞0，∴a d＞b c. 4．若a 、b 、c 、d 均为实数，使不等式a b >cd >0和ad <bc 都成立的一组值(a ，b ，c ，d )是________(只要举出适合条件的一组值即可)．[答案] (2,1，－1，－2)[解析] 由a b >c d >0知，a 、b 同号，c 、d 同号，且a b －c d ＝ad －bcbd >0.由ad <bc ，得ad －bc <0，所以bd <0.所以在取(a ，b ，c ，d )时只需满足以下条件即可： ①a 、b 同号，c 、d 同号，b 、d 异号； ②ad <bc .令a >0，b >0，c <0，d <0， 不妨取a ＝2，b ＝1，c ＝－1， 则d <bc a ＝－12，取d ＝－2，则(2,1，－1，－2)满足要求．5．(2013·广东理，9)不等式x 2＋x －2<0的解集为________． [答案] {x |－2<x <1}[解析] 由x 2＋x －2<0，得(x ＋2)(x －1)<0， ∴－2<x <1，故原不等式的解集为{x |－2<x <1}． 6．不等式0≤x 2－2x －3＜5的解集为________． [答案] {x |－2＜x ≤－1或3≤x ＜5}[解析] 由x 2－2x －3≥0得：x ≤－1或x ≥3； 由x 2－2x －3＜5得－2＜x ＜4， ∴－2＜x ≤－1或3≤x ＜4.∴原不等式的解集为{x |－2<x ≤－1或3≤x <4}．7．关于x 的不等式：x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m ＜0的解集是________． [答案] {x |m <x <m ＋1}[解析] 解法一：∵方程x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m ＝0的解为x 1＝m ，x 2＝m ＋1，且知m ＜m ＋1.∴二次函数y ＝x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m 的图象开口向上，且与x 轴有两个交点． ∴不等式的解集为{x |m ＜x ＜m ＋1}．解法二：注意到m 2＋m ＝m (m ＋1)，及m ＋(m ＋1)＝2m ＋1， 可先因式分解，化为(x －m )(x －m －1)＜0， ∵m ＜m ＋1，∴m ＜x ＜m ＋1. ∴不等式的解集为{x |m <x <m ＋1}．8．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围是________． [答案] 0<a ≤4[解析] ①若a ＝0，则1<0不成立，此时解集为空．②若a ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4a ≤0，a >0，∴0<a ≤4.9．已知x ，y 为非负整数，则满足x ＋y ≤2的点(x ，y )共有________个． [答案] 6[解析] 符合条件的点有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(2,0)共6个．10．用三条直线x ＋2y ＝2,2x ＋y ＝2，x －y ＝3围成一个三角形，则三角形内部区域(不包括边界)可用不等式表示为________．[答案] ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＜22x ＋y ＞2x －y ＜311．若非负变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1x ＋2y ≤4，则x ＋y 的最大值为________．[答案] 4[解析] 本题考查线性规化的最优解问题． 由题意知x 、y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0x －y ≥－1x ＋2y ≤4.画出可行域如图所示．设x ＋y ＝t ⇒y ＝－x ＋t ，t 表示直线在y 轴截距，截距越大，t 越大． 作直线l 0：x ＋y ＝0，平移直线l 0，当l 0经过点A (4,0)时， t 取最大值4.12．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0x ＋y －2≥0y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________．[答案]2[解析] 本题考查不等式组表示平面区域及点到直线距离问题．不等式组所表示平面区域如图，由图可知|OM |的最小值即O 到直线x ＋y －2＝0的距离．故|OM |的最小值为|－2|2＝ 2.13．已知x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0x ≥y2x －y ≤1，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．[答案] 5[解析] 作出可行域如图，当直线z ＝3x ＋2y 平移到经过点(1,1)时，z 最大∴z max ＝5.14．已知x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y －2≤0x ＋3≥0x －y －1≤0，则x 2＋y 2的最大值为________．[答案] 25[解析] 画出不等式组表示的平面区域，如图中的阴影部分所示．由图知，A (－3，－4)，B (－3,2)，C (3,2)， 则|OA |＝9＋16＝5， |OB |＝9＋4＝13， |OC |＝9＋4＝13.设P (x ，y )是不等式组表示的平面区域内任意一点， 则x 2＋y 2＝(x 2＋y 2)2＝|OP |2，由图知，|OP |的最大值是|OA |＝5，则x 2＋y 2最大值为|OA |2＝25. 15．已知x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0x ≥y2x －y ≤1，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．[答案] 5[解析] 作出可行域如图，当直线z ＝3x ＋2y 平移到经过点(1,1)时，z 最大∴z max ＝5.16．已知x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y －2≤0x ＋3≥0x －y －1≤0，则x 2＋y 2的最大值为________．[答案] 25[解析] 画出不等式组表示的平面区域，如图中的阴影部分所示．由图知，A (－3，－4)，B (－3,2)，C (3,2)， 则|OA |＝9＋16＝5， |OB |＝9＋4＝13， |OC |＝9＋4＝13.设P (x ，y )是不等式组表示的平面区域内任意一点， 则x 2＋y 2＝(x 2＋y 2)2＝|OP |2，由图知，|OP |的最大值是|OA |＝5，则x 2＋y 2最大值为|OA |2＝25.三 解答题1．有粮食和石油两种物质，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输效果如下表：的所有不等关系的不等式．[解析] 设需安排x 艘轮船和y 架飞机，则 ⎩⎪⎨⎪⎧300x ＋150y ≥2 000250 x ＋100 y ≥1 500x ≥0y ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋3y ≥405x ＋2y ≥30x ≥0y ≥0.10．设a >0，b >0且a ≠b ，试比较a a b b 与a b b a 的大小． [解析] 根据同底数幂的运算法则． a a b b a b b a ＝a a －b ·b b －a＝(a b )a －b ， 当a >b >0时，ab >1，a －b >0，则(a b)a －b >1，于是a a b b >a b b a .当b >a >0时，0<ab <1，a －b <0，则(a b)a －b >1，于是a a b b >a b b a . 综上所述，对于不相等的正数a 、b ，都有a a b b >a b b a .2．已知a ＞0，b ＞0，a ≠b ，n ∈N 且n ≥2，比较a n ＋b n 与a n －1b ＋ab n－1的大小．[解析] (a n ＋b n )－(a n －1b ＋ab n －1)＝a n －1(a －b )＋b n －1(b －a )＝(a －b )(a n －1－b n －1)， (1)当a ＞b ＞0时，a n －1＞b n －1，∴(a －b )(a n －1－b n －1)＞0， (2)当0＜a ＜b 时，a n －1＜b n －1，∴(a －b )(a n －1－b n －1)＞0，∴对任意a ＞0，b ＞0，a ≠b ，总有(a －b )(a n －1－b n －1)＞0.∴a n ＋b n ＞a n －1b ＋ab n －1. 3．如果30＜x ＜42,16＜y ＜24.分别求x ＋y 、x －2y 及xy 的取值范围．[解析] 46＜x ＋y ＜66；－48＜－2y ＜－32， ∴－18＜x －2y ＜10；∵30<x <42，124＜1y ＜116，∴3024＜x y ＜4216，即54＜x y ＜218. 4．解不等式：1＜x 2－3x ＋1＜9－x . [解析] 由x 2－3x ＋1＞1得，x 2－3x ＞0， ∴x ＜0或x ＞3；由x 2－3x ＋1＜9－x 得，x 2－2x －8＜0，∴－2＜x ＜4. 借助数轴可得：{x |x ＜0或x ＞3}∩{x |－2＜x ＜4} ＝{x |－2＜x ＜0或3＜x ＜4}．5．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为(－13，12)，求－cx 2＋2x －a >0的解集．[解析] 由ax 2＋2x ＋c >0的解集为(－13，12)，知a <0，且－13和12是ax 2＋2x ＋c ＝0的两个根．由韦达定理，得⎩⎨⎧－13×12＝c a，－13＋12＝－2a解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，c ＝2.所以－cx 2＋2x －a >0，即2x 2－2x －12<0.解得－2<x <3.所以－cx 2＋2x －a >0的解集为{x |－2<x <3}. 6．解下列不等式：(1)2x －13x ＋1>0； (2)ax x ＋1<0. [解析] (1)原不等式等价于(2x －1)(3x ＋1)>0， ∴x <－13或x >12.故原不等式的解集为{x |x <－13或x >12}．(2)axx ＋1<0⇔ax (x ＋1)<0. 当a >0时，ax (x ＋1)<0⇔x (x ＋1)<0⇔－1<x <0， ∴解集为{x |－1<x <0}；当a ＝0时，原不等式的解集为∅；当a <0时，ax (x ＋1)<0⇔x (x ＋1)>0⇔x >0或x <－1，∴解集为{x |x >0，或x <－1}． 7．解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0. [解析] 原不等式可化为(x －a )(x －a 2)>0.则方程x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3＝0的两根为x 1＝a ，x 2＝a 2， 由a 2－a ＝a (a －1)可知， (1)当a <0或a >1时，a 2>a . ∴原不等式的解集为x >a 2或x <a . (2)当0<a <1时，a 2<a ， ∴原不等的解为x >a 或x <a 2.(3)当a ＝0时，原不等式为x 2>0，∴x ≠0. (4)当a ＝1时，原不等式为(x －1)2>0，∴x ≠1. 综上可知：当a <0或a >1时，原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}； 当0<a <1时，原不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }； 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ≠0}； 当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠1}. 8．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6≥0x －y ≥0y ≤3x ＜5表示的平面区域．[解析] 不等式x ＋y －6≥0表示在直线x ＋y －6＝0上及右上方的点的集合，x －y ≥0表示在直线x －y ＝0上及右下方的点的集合，y ≤3表示在直线y ＝3上及其下方的点的集合，x ＜5表示直线x ＝5左方的点的集合，所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6≥0x －y ≥0y ≤3x ＜5 表示的平面区域为如图阴影部分．9．经过点P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连结A (1，－2)、B (2,1)的线段总有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围．[解析]由题意知直线l 斜率存在，设为k . 则可设直线l 的方程为kx －y －1＝0，由题知：A 、B 两点在直线l 上或在直线l 的两侧，所以有： (k ＋1)(2k －2)≤0 ∴－1≤k ≤1.10．求z ＝3x ＋5y 的最大值和最小值，使式中的x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋3y ≤15y ≤x ＋1x －5y ≤3.[解析] 作出可行域为如图所示的阴影部分．∵目标函数为z ＝3x ＋5y ，∴作直线l 0：3x ＋5y ＝0.当直线l 0向右上平移时，z 随之增大，在可行域内以经过点A (32，52)的直线l 1所对应的z 最大．类似地，在可行域内，以经过点B (－2，－1)的直线l 2所对应的z 最小，∴z max ＝17，z min ＝－11，∴z 的最大值为17，最小值为－11.11．某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料为A 、B 两种规格金属板，每张面积分别为2 m 2与3 m 2.用A 种规格金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B 种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个．问A 、B 两种规格金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？[解析] 设A 、B 两种金属板分别取x 张、y 张，用料面积为z ，则约束条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6y ≥455x ＋6y ≥55x ≥0y ≥0.目标函数z ＝2x ＋3y .作出以上不等式组所表示的平面区域(即可行域)，如图所示．z ＝2x ＋3y 变为y ＝－23x ＋z 3，得斜率为－23，在y 轴上截距为z3且随z 变化的一族平行直线．当直线z ＝2x ＋3y 过可行域上点M 时，截距最小，z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ＝553x ＋6y ＝45，得M 点的坐标为(5,5)．此时z min ＝2×5＋3×5＝25 (m 2)．答：当两种金属板各取5张时，用料面积最省.12．制造甲、乙两种烟花，甲种烟花每枚含A 药品3 g 、B 药品4 g 、C 药品4 g ，乙种烟花每枚含A 药品2 g 、B 药品11 g 、C 药品6 g ．已知每天原料的使用限额为A 药品120 g 、B 药品400 g 、C 药品240 g ．甲种烟花每枚可获利2 元，乙种烟花每枚可获利1 元，问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大．[解析] 设每天生产甲种烟花x 枚，乙种烟花y 枚，获利为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤1204x ＋11y ≤4004x ＋6y ≤240x ≥0y ≥0，作出可行域如图所示．目标函数为：z ＝2x ＋y .作直线l ：2x ＋y ＝0，将直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点A (40,0)且与原点的距离最大．此时z ＝2x ＋y 取最大值．故每天应只生产甲种烟花40枚可获最大利润．13．某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180t 支援物资的任务，该公司有8辆载重为6t 的A 型卡车和4辆载重为10t 的B 型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车4次，B 型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费A 型车为320元，B 型车为504元，请你给该公司调配车辆，使公司所花的成本费最低．[解析] 设每天调出A 型车x 辆，B 型车y 辆，公司所花的成本为z 元，则由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤8，y ≤4，x ＋y ≤10，4x ×6＋3y ×10≥180，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝320x ＋504y (其中x ，y ∈N )．作出可行域如图所示．由图易知，当直线z ＝320x ＋504y 在可行域内经过的整数点中，点(8,0)使z ＝320x ＋504y 取得最小值，z min ＝320×8＋504×0＝2560，∴每天调出A 型车8辆，B 型车0辆，公司所花成本费最低．14．(1)求函数y ＝1x －3＋x (x ＞3)的最小值； 解析：∵x ＞3，∴y ＝1x －3＋x ＝1x －3＋(x －3)＋3≥5，当且仅当x －3＝1x －3，即x ＝4时取等号．∴y min ＝5.(2)求函数y ＝x (a －2x )(x ＞0，a 为大于2x 的常数)的最大值；解析：∵x ＞0，a ＞2x ，∴y ＝x (a －2x )＝12·2x ·(a －2x )≤12·2+(-)⎡⎤⎢⎥⎣⎦2x a 2x 2＝a 28， 当且仅当x ＝a4时，取等号，∴y max ＝a 28.(3)已知x ＞0，y ＞0,2x ＋5y ＝20，求μ＝lg x ＋lg y 的最大值．解析：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋5y ＝20，∴2x ·5y ≤⎝⎛⎭⎫2x ＋5y 22＝⎝⎛⎭⎫2022＝100， ∴xy ≤10，∴μ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1， 当且仅当2x ＝5y ＝10，即x ＝5，y ＝2时上式取等号， ∴当x ＝5，y ＝2时，μ＝lg x ＋lg y 取最大值，最大值为1.15．围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如右上图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x (单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元)．(1)将y 表示为x 的函数；解析：如图所示，设矩形的另一边长为a m ，则y ＝45x ＋180(x －2)＋180×2a ＝225x ＋360a －360.由已知xa ＝360，得a ＝360x.所以y ＝225x ＋3602x－360(x ＞0)．(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．解析：∵x ＞0，∴225x ＋3602x≥2225×3602＝10 800.∴y ＝225x ＋3602x－360≥10 440.当且仅当225x ＝3602x时，等号成立．即当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440强化练习一 选择题1．(2010～2011·内蒙古赤峰市田家炳中学高二期中)已知a <0，－1<b <0，则下列各式正确的是( )A ．a >ab >ab 2B ．ab >a >ab 2C ．ab 2>ab >aD ．ab >ab 2>a[答案] D[解析] ∵－1<b <0，∴1>b 2>0>b >－1， 即b <b 2<1，两边同乘以a <0， ∴ab >ab 2>a .故选D.2．如果a 、b 、c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中不一定．．．成立的是( ) A ．ab >ac B ．bc >ac C ．cb 2<ab 2 D ．ac (a －c )<0 [答案] C[解析] ∵c <b <a ，且ac <0，∴a >0，c <0.∴ab －ac ＝a (b －c )>0，bc －ac ＝(b －a )c >0，ac (a －c )<0，∴A 、B 、D 均正确． ∵b 可能等于0，也可能不等于0. ∴cb 2<ab 2不一定成立．3．已知a ＋b ＞0，b ＜0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系为( ) A ．a ＞b ＞－b ＞－a B ．a ＞－b ＞－a ＞b C ．a ＞－b ＞b ＞－a D ．a ＞b ＞－a ＞－b[答案] C [解析]⎭⎪⎬⎪⎫a ＋b ＞0⇒a ＞－b b ＜0⇒－b ＞0⇒a ＞－b ＞0⇒－a ＜b ＜0.∴选C. [点评] 可取特值检验．∵a ＋b >0，b <0，∴可取a ＝2，b ＝－1，∴－a ＝－2，－b ＝1，∴－a <b <－b <a ，排除A 、B 、D ，∴选C.4．设x ＜a ＜0，则下列各不等式一定成立的是( ) A ．x 2＜ax ＜a 2 B ．x 2＞ax ＞a 2 C ．x 2＜a 2＜ax D ．x 2＞a 2＞ax[答案] B[解析]⎭⎪⎬⎪⎫x ＜a ＜0x ＜0a ＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x 2＞ax ax ＞a 2⇒x 2＞ax ＞a 2∴选B. 5．下列结论中正确的是( ) ①a ＞b ＞0，d ＞c ＞0⇒a c ＞bd ，②a ＞b ，c ＞d ⇒a －c ＞b －d ， ③a c 2＞bc2⇒a ＞b ， ④a ＞b ⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ＞1)． A ．①②③ B ．①③ C ．②③④ D ．①③④[答案] B[解析]⎭⎪⎬⎪⎫d ＞c ＞0⇒1c ＞1d ＞0 a ＞b ＞0⇒a c ＞b d ∴①对；a ＞b ，－c <－d 不同向不可加，∴②错． ∵a c 2＞bc2，∴c 2＞0.∴a ＞b .③对；。