高中数学概率中的涂色问题
【排列组合】高中数学中涂色问题的“一带一路”模型
涂色问题的“一带一路”模型例题用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有________种（用数字作答）.解析：按照A→B→C→D的顺序进行涂色N=6×5×5×5=750(种)变式1 用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，若两端的格子颜色相同，则不同的涂色方法共有________种（用数字作答）.解析：按照A→D→B→C的顺序进行涂色N=6×1×5×4=120(种)变式2 用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子颜色不同，则不同的涂色方法共有________种（用数字作答）.解析：法一：直接法按照A→B→C→D的顺序进行涂色，对C按照CA同色(1×5)、CA异色(4×4)进行分类，则N=6×5×(1×5+4×4)= 630(种)法二：间接法由例题知在没有其它限制条件下共有750种涂法，由变式1知其中两端颜色相同的涂法有120种. 故两端格子异色的涂法为：N=750－120=630(种)变式3 用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且最多使用3种颜色，则不同的涂色方法共有________种（用数字作答）.解析：由分析知：完成涂色需要用的颜色数可能为2种、3种、4种，而本题中要求“最多使用3种颜色”，故对颜色数进行分类，再按照A→B→C→D的顺序涂色.①2种颜色: 当A、B涂完色后C、D颜色已经确定了，故n1=6×5×1×1=30；②3种颜色: 对C按照CA同色(1×4)、CA异色(4×2)进行分类，则n2=6×5×(1×4+4×2)= 360(种).∴N= n1+ n2=30+360= 390(种)变式4 从6种不同的颜色中选出4种给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有________种（用数字作答）.解析：法一：直接法(简单快捷)按照A→B→C→D的顺序涂色，N=6×5×4×3=360(种)法二：间接法(繁琐易错)按所用的颜色数进行分类如下：①2种颜色：n1=6×5×1×1=30；②3种颜色：n2=6×5×(1×4+4×2)=360；③4种颜色：n3=6×5×4×3=360.故N=30+360+360=750(种)【思考】用6种不同的颜色给图中的5个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有________种（用数字作答）.N=6×5×5×5×5= 3750(种)【总结】：用m种不同的颜色给如图n个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有m(m−1)n−1种.练习现要安排一份5天的值班表，每天由1人值班，共有5人. 每人值班的天数不限，但相邻两天不能由同一人值班，则该值班表共有多少种不同的排法？模型转化：将5种颜色涂在5个格子中，每个格子涂一种颜色，相邻的格子颜色不同，则不同的涂色方法共有多少种？N=5×4×4×4×4=1280(种)。
计数原理涂色问题
计数原理涂色问题
计数原理是组合数学中的重要思想，常被应用于计算一些特定问题的解答。
其中一个经典的问题是涂色问题。
假设有n个相同的小球和m种不同的颜色，每个小球可以被
涂成其中的任意一种颜色。
问共有多少种不同的涂色方法？
根据计数原理，我们可以得到如下解答思路：
1. 首先，我们可以将n个小球看作是n个相同的盒子，每个盒子表示一个小球。
2. 接下来，我们将m种颜色看作是m个不同的小球，每个小
球表示一种颜色。
3. 然后，我们将这m个小球放入这n个盒子中，可以有三种
情况：
a) 某个盒子中不放入任何小球，表示对应的小球不涂色。
这
种情况下，共有一种方法。
b) 某个盒子中放入1个小球，表示对应的小球涂上1种颜色。
这种情况下，共有C(n,1)种方法。
c) 某个盒子中放入多个小球，表示对应的小球涂上多种颜色。
这种情况下，共有C(n,2) + C(n,3) + ... + C(n,m)种方法。
4. 最后，我们将上述三种情况的涂色方法相加，即可得到总的涂色方法数。
综上所述，涂色问题的解答思路基于计数原理，通过将小球和颜色视为不同的物体，将其转化为放置小球的问题，再结合组合数学中的知识进行计算。
利用这种思路，我们可以很方便地解决涂色问题，同时理解计数原理的应用。
计数原理涂色问题
计数原理涂色问题计数原理是概率论中的一个重要概念，它在各种领域都有着广泛的应用。
其中，计数原理涂色问题是一个经典的问题，它不仅有着理论上的意义，还有着实际的应用价值。
在这篇文档中，我们将深入探讨计数原理涂色问题的相关知识，希望能够为读者们提供一些有益的参考。
首先，让我们来了解一下计数原理的基本概念。
计数原理是指通过对各种情况进行分类，然后分别计算每种情况的可能性，最后将它们相加得到总的可能性的方法。
在概率论中，计数原理通常用于解决各种排列组合的问题，涂色问题就是其中的一种经典案例。
涂色问题通常描述为，有n个相同的小球，要用m种颜色中的一种或几种颜色对这些小球进行涂色，问一共有多少种不同的涂色方案。
在解决这类问题时，我们可以利用计数原理来进行分析和计算。
具体来说，对于涂色问题，我们可以将其分解为多个子问题，然后分别计算每个子问题的可能性，最后将它们相加得到总的可能性。
例如，当涂色的小球是有序的时候，我们可以先考虑第一个小球的涂色方案，然后考虑第二个小球的涂色方案，以此类推，最后将每个小球的涂色方案相乘，就可以得到总的可能性。
当涂色的小球是无序的时候，我们可以考虑每种颜色的小球数量，然后将它们进行排列组合，最后将每种颜色的排列组合相加，就可以得到总的可能性。
除了以上的方法，对于一些特殊的涂色问题，我们还可以利用递推关系式、生成函数等方法来进行分析和计算。
这些方法在实际问题中有着重要的应用价值，能够帮助我们更好地理解和解决各种涂色问题。
总的来说，计数原理涂色问题是一个有趣且具有挑战性的问题，它不仅能够锻炼我们的逻辑思维能力，还能够帮助我们在实际问题中进行分析和计算。
希望通过本文的介绍，读者们能够对计数原理涂色问题有更深入的了解，并能够在实际问题中灵活运用这些知识。
同时，也希望本文能够激发更多人对计数原理和概率论的兴趣，从而推动相关领域的发展和应用。
高中数学涂色问题
D C
A B
例2、用 n 种不同的颜色为下列两块广告牌着色，要求在1,2,3,4
四个区域中相邻(有公共边界)的区域用不同的颜色，
(1)若 n 6 ，为左图着色时共有多少种不同的方法？ (2)若为右图着色时，共有120种不同的方法，求 n 的值.
（1）
（2）
解：结构抽象如图，
(1)涂法数为： A63 （6-2） 480
(2)涂法数为：T4n An4 nn 1n 2n 3 120 ，∴ n 5
（1）
（2）
例3. 用6种不同的颜色为下图中的5个区域着色， 要求相邻(有公共边界)的区域用不同的颜色，共 有多少种不同的方法？
解：结构抽象如右图，
An
⑤
A1
A3 A2 ⑤
a 解：设分成 n 个扇形时染色方法为 n 种
(1) 当 n=2 时 A1 、 A2 有 A42 =12 种，即 a2 =12
An
⑤
A1
A3
A2 ⑤
(2)当分成 n 个扇形，如图， A1 与 A2 不同色， A2 与 A3
⑤⑤
An A1 A2
不同色， ， An1 与 An 不同色，共有 4 3n1 种染色方法，
现要栽种 4 种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽
120 种同样颜色的花，不同的栽种方法有
种.(以数字作答)
变式1：
例、四棱锥 P ABCD ，用 4 种不同的颜色涂
在四棱锥的各个面上，要求相邻不同色，有多少
种涂法？
P
D C
A B
变式2：
例、四棱锥 P ABCD ，用 4 种不同的颜色涂
高考中常见的涂色问题
高考中常见的涂色问题ʏ河南省平顶山市第一高级中学 景路明涂色问题是高考中比较常见的一类问题,这类问题新颖独特,具有一定的难度,能全面考查同学们的创新思维能力㊁分析问题与解决问题的能力㊂那么涂色问题主要有哪些呢?一、平面区域的涂色问题图1例1 如图1,用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色种数有㊂分析:由于区域1,2,3与区域4相邻,由条件知宜采用分步处理方法,又相邻区域不同色,可按区域1和区域3是否同色分类求解㊂解:按区域1与3是否同色分类:(1)区域1与3同色,先涂区域1与3有4种方法,再涂区域2,4,5(还有3种颜色)有A 33种方法,因此,区域1与3涂同色,共有4A 33=24(种)方法;(2)若区域1与3不同色,先涂区域1与3有A 24种方法,第二步涂区域2有2种涂色方法,第三步涂区域4只有1种方法,第四步涂区域5有3种方法,此时,共有A 24ˑ2ˑ1ˑ3=72(种)方法㊂故由分类加法计数原理可知,不同的涂色种数为24+72=96㊂点评:解决涂色问题,一定要分清所给的颜色是否用完,并选择恰当的涂色顺序㊂切实选择好分类标准,分清楚哪些可以同色,哪些不能同色㊂二、立体图形中的点涂色问题例2 如图2,用4种不同颜色给图中的A ,B ,C ,D ,E ,F 6个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的2个端点涂不图2同颜色,则不同的涂色方法共有种㊂分析:先分类,再分步,综合应用分类㊁分步计数原理加以解答㊂解:先涂A ㊁D ㊁E三个点,共有4ˑ3ˑ2=24(种)涂法,然后再按B ㊁C ㊁F 的顺序涂色,分为两类:一类是B 与E 或D 同色,共有2ˑ(2ˑ1+1ˑ2)=8(种)涂法;另一类是B 与E 或D 不同色,共有1ˑ(1ˑ1+1ˑ2)=3(种)涂法㊂所以不同的涂色方法共有24ˑ(8+3)=264(种)㊂点评:求解排列组合问题的思路: 排组分清,加乘明确;有序排列,无序组合;分类相加,分步相乘㊂三、立体图形中的面涂色问题图3例3 如图3所示的几何体是由一个正三棱锥P -A B C 与正三棱柱A B C -A 1B 1C 1组合而成,现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A 1B 1C 1不涂色),要求相邻的面均不同色,则不同的染色方案共有种㊂分析:解答本题要注意底面A 1B 1C 1不涂色这一条件,同时要分清是排列问题还是组合问题㊂解:先涂三棱锥P -A B C 的三个侧面,然后涂三棱柱的三个侧面,共有C 13ˑC 12ˑC 11ˑC 12=3ˑ2ˑ1ˑ2=12(种)不同的涂法㊂点评:解答排列组合问题,要仔细审题,判断是排列问题还是组合问题,要按元素的性质分类,按事件发生的过程进行分类;还要深入分析,注意分清是乘法还是加法,防止重复或遗漏㊂(责任编辑 徐利杰)42 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2018年5月。
数学彩色涂色问题
数学彩色涂色问题数学彩色涂色问题是一类涉及图论和组合数学的问题，涉及到给定一个图，如何用不同的颜色对其进行涂色，使得相邻的节点颜色不同。
这个问题在许多领域都有应用，如地图着色、调度问题等。
本文将介绍数学彩色涂色问题的背景、解决方法以及一些相关应用。
背景介绍数学彩色涂色问题源于图论，图由节点和边组成。
在彩色涂色问题中，我们希望为图的每个节点选择一种颜色，使得任意相邻节点的颜色都不相同。
这里的相邻节点是指通过边连接的节点。
解决方法解决数学彩色涂色问题的方法有很多种，以下是一些常见的方法：1. 贪心算法：贪心算法是一种贪心思想的算法，它根据一定的规则进行选择。
在数学彩色涂色问题中，我们可以使用贪心算法来选择每个节点的颜色。
具体做法是从一个节点开始，依次向其相邻节点涂色，并保证相邻节点颜色不同。
2. 回溯算法：回溯算法是一种通过逐个尝试所有可能解的算法。
在数学彩色涂色问题中，我们可以使用回溯算法来逐个尝试给每个节点涂色，直到找到符合要求的解或者试探所有可能的情况。
3. 图染色算法：图染色算法是一种基于图的染色理论的算法。
在数学彩色涂色问题中，我们可以将图转化为一个染色图，然后使用染色图算法来对节点进行涂色。
应用领域数学彩色涂色问题在许多领域都有应用，如地图着色、调度问题等。
在地图着色问题中，我们希望给定一张地图，使得相邻的地区颜色不同。
数学彩色涂色问题可以帮助我们确定如何给地图上的每个地区选择颜色，以满足相邻地区颜色不同的要求。
在调度问题中，我们希望在给定一组任务和资源的情况下，找到一种合理的分配方案。
数学彩色涂色问题可以帮助我们确定如何将任务分配给资源，以使得任意相邻任务被分配给不同的资源。
结论数学彩色涂色问题是一个有趣且具有实际应用价值的问题。
通过合适的算法和技巧，我们可以有效地解决这类问题，并在实际应用中获得良好的效果。
希望本文对读者理解和解决数学彩色涂色问题提供一些帮助。
高中数学涂色问题常用技巧
高中数学涂色问题常用技巧公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-高中数学涂色问题常用技巧王忠全涂色问题是一个复杂而有趣的问题，高考中不时出现，处理涂色问题常用的方法是两个计数原理——分类计数和分步计数原理；常用的数学思想是等价转换，即化归思想；常见问题有：区域涂色、点涂色和线段涂色、面涂色；常考虑的问题是颜色是否要用完。
例1、用四种颜色给如下区域涂色，要求一空涂一色，邻空不同色，有多少种涂法有2种涂法；涂1，2有44A=24例2同色，有多少种涂法法1：1）2）恰用四色：同例1，有24种涂法。
共有24+48=72种涂法。
法2：1有4种涂法；2有3种涂法；3有2种涂法；4有3种涂法；共72种涂法。
评析：由上述解法知，颜色用完和可供选择是两回事，做题时一定要区分。
一、 区域涂色问题（一）、圆形区域涂色：处理圆形区域涂色大致有三种方法：间空涂色法；公式法。
例3、用四种颜色给如下区域涂色，用四种颜色给如下区域涂色，要求一空涂一色，邻空不同色，有多少种涂法一、 间空涂色法；法1、用空分类 选择1，31）1，3同色，则1，3有14C 种方法，2有13C 可能与1，3同色，但可与2同色，分两类：4与2同色，只用了两种颜色，5有2种方法；4与2不同色，则4有2种方法，5有2种涂法，此时，共有72)222(34=⨯+⨯种方法。
2）1，3不同色，则1，3有24A 种方法，2有12C 种方法，4与1同色，5有3种方法；4与2不同色，则4有2种涂法，5有2种涂法，共有)322(212+⨯⨯⨯=168种方法，综上所述，共有72+168=240种涂法。
法2：公式法共有35+3⨯（-1）5=240种方法。
定理：用m 种颜色（可选择）填圆形区域的n 个空，一空涂一色，邻空不同色的涂法有)1()1()1(-⋅-+-m m n n 种。
证明：如图，设有a n 种不同涂法。
不妨把之剪开,化为矩形区域,共有1)1(--n m m 种涂法,但区域1、n 不能涂同色，把1、n 捆绑成一个空，有a n-1种涂法，则其中)1(22-==m m A a m，设1,)1(2-=-=m mb m a b nn n 则 令()r b m r b n n ---=-11，则r=1， 可知，。
涂色问题的常见解法及策略
涂色问题的常见解法及策略涂色问题是数学中一个常见的问题，涉及到给定一定数量的区域，并使用有限数量的颜色对这些区域进行染色。
在这篇文章中，我将介绍一些常见的解法和策略，以及我对涂色问题的观点和理解。
在解决涂色问题时，最基本的策略之一是使用“回溯法”。
回溯法是一种通过不断尝试不同的选择，并撤销不合适的选择的方法。
在涂色问题中，我们可以从一个区域开始，选择一个颜色将其染色，然后递归地对相邻的区域进行染色。
如果在染色过程中发现无法继续染色，则回溯到上一个选择，并选择另一种颜色。
另一种常见的解法是使用“图论”的方法。
将涂色问题抽象成图论中的图模型，其中图的每个节点代表一个区域，边表示两个相邻区域之间的连接。
然后，我们可以使用图染色算法，如“图的着色问题算法”来解决涂色问题。
这些算法使用一系列的规则和策略来确定每个节点应该染哪种颜色，以确保相邻节点不具有相同的颜色。
除了这些基本的解法之外，还有许多高级的策略可供选择。
例如，“最小割算法”可以将复杂的涂色问题转化为图的最小割问题，并使用最小割算法来解决。
此外，还可以使用“启发式搜索”技术，通过估计每个选择的优先级来指导搜索过程。
这些策略通常需要更多的计算资源和算法知识，但在处理复杂的问题时可能会获得更好的结果。
从简单到复杂，由浅入深的方式来探讨涂色问题，可以帮助我们建立对问题的深刻理解。
我们可以从最基本的回溯法开始，逐渐引入图论的概念和算法。
了解不同解法的优缺点，并能够根据问题的具体情况选择合适的解法，这对于解决涂色问题至关重要。
总结起来，涂色问题是一个常见的数学问题，涉及到给定一定数量的区域，并使用有限数量的颜色对这些区域进行染色。
常见的解法和策略包括回溯法、图论算法、最小割算法和启发式搜索技术。
通过从简单到复杂的方式来探讨涂色问题，我们可以建立对问题的深刻理解，并能够灵活选择适合的解法。
高中数学概率中的涂色问题
二、高考数学中涂色问题的常见解法及策略与涂色问题有关的试题新颖有趣,近年已经在高考题中出现，其中包含着丰富的数学思想。
解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，因而这类问题有利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。
本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法1、 一.区域涂色问题根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=2、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例2、四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ；（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ； （5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ；所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120 例3、如图所示，一个地区分为5个行政区域， 现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色， 现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种 分析：依题意至少要用3种颜色1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色，2) 区域3与5必须同色，故有34A 种；3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。
由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A +244A =24+2⨯24=723、 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。
高三数学一类涂色问题的分析方法
A CB D 一类涂色问题的分析方法-逻辑划分思想方法嘉定区封浜中学 杜正荣 邮编201812 电话27867241Emil zhengrong-du@涂色问题是数学竞赛中的常规问题，经常涉及到的是“染色问题“与“染色方法“两种，具体是“点、边、区域”染色的构造问题、计数问题、最优化问题。
但它又是排列组合问题种的难点，一些简单的问题对于许多学生来说，方法上还很困难，随着数学竞赛对数学知识的普及，现在染色问题已经渗透到高考，2003年全国高考数学和江苏卷即有此类题。
如何帮助学生们解答分析，下面举例说明用加、乘原理及排列、组合、模型化结构的方法。
一、分步染色方法 适用于“区域、点、线段”问题，以其为主分步计数法，用乘法原理例1如图1，用五种不同颜色，涂在A,B,C,D 的每一部分，每块用一种颜色，相邻的两块颜色不同，不同颜色的涂法有多少种？ 解法一：以区域为主分步计数，用乘法原理分析，可分四步涂色。
第一步 涂A 有5种，第二种涂B （与A 不同）有4种；第三步涂C （与A 、B 不同）有3种；第四步涂D （与B 、C 不同可与A 同）有3种，故所有不同颜色的涂色方法数为：5·4·3·3=180种。
图1二、以颜色为主分类讨论法，适用于“区域、点、线段”问题，用加法原理解法二：以颜色为主分类计数，按A 、D 同色与不同色分两类，用加法原理。
第一类 A 、D 同色涂有15P 种，再涂B 、C （与A 、D 不同）有24P 种，故此类方法数为15P 24P 种；第二类 A 、D 不同色先涂有25P 种，再涂B 、C （与A 、D 不同）有23P 种，故此类方法数为25P 23P 种，由加法原理得不同的涂色方法数共有15P 24P +25P 23P =180种。
三、以相邻是否同色为主分步计数法，适用于“区域、点、线段”问题解法三：以相邻区域为主分步计数，分两步涂色，按A 、B 、C 相邻不同色先涂，有35P 种，再涂D （与B 、C 不同色，可与A 同色）有3种，由乘法原理共有335P =180种。
高中数学竞赛专题精讲29涂色问题(含答案)
29涂色问题涂色问题是数学竞赛中较为典型的问题，可以直接用抽屉原则解决涂色问题。
另一方面，也可以将别的有关问题“涂色”，转化为涂色问题，涂色问题本身，有其深刻的数学背景。
有些问题，本来就属于图论的内容。
有些问题的解决，则需要用到数论、组合数学的理论和方法。
这里介绍，只是中学数学竞赛中的有关问题。
1．小方格染色问题最简单的染色问题是从一种民间游戏中发展起来的方格盘上的染色问题.解决这类问题的方法后来又发展成为解决方格盘铺盖问题的重要技巧.2．线段染色和点染色(1)线段染色.较常见的一类染色问题是发样子组合数学中图论知识的所谓“边染色”（或称“线段染色”），主要借助抽屉原则求解.（2）点染色.先看离散的有限个点的情况.例题讲解1．把正方形ABCD的一边AB分成n段，使奇数号的线段长度之和等于偶数号的线段长度之和（如图01—01）。
过各分点作平行于AD的线段，得到n个矩形。
每一个矩形又被对角线BD分成两部分。
将奇数号矩形左部及偶数号矩形的右部涂上同一颜色。
证明：在对角线BD两侧的有同色的部分，其面积和相等。
2．在一张无限方格纸的某些方格上涂上红色，其余方格涂上蓝色，每一个2×3的六方格矩形内恰好2个红方格。
试问：一个9×11的99方格矩形内包含多少个红方格？3．在n×n（n≥2）个方格的正方形表中，有n－1个格子里涂了色，求证：通过交换两行或两列的位置，总可以将所有涂色的方格移到正方形表的左上角顶点到右下角顶点的对角线下方。
4．有n×n（n≥3）个方格表中，先在表中任意选出n－1个方格都涂成黑色，然后将那些凡是至少与两个已涂色的方格相邻的方格也都涂黑色。
求证：不论怎样选择最初的n－1个方格，都不能按这样的法则，将表中的所有方格全涂黑。
5．设ABC为正三角形，E为线段BC，CA，AB上点的集合（包括A，B，C在内）。
将E分成两个子集，求证：总有一个子集中含有一个直角三角形的顶点。
高中数学竞赛讲义-涂色问题
§29涂色问题涂色问题是数学竞赛中较为典型的问题，可以直接用抽屉原则解决涂色问题。
另一方面，也可以将别的有关问题“涂色”，转化为涂色问题，涂色问题本身，有其深刻的数学背景。
有些问题，本来就属于图论的内容。
有些问题的解决，则需要用到数论、组合数学的理论和方法。
这里介绍，只是中学数学竞赛中的有关问题。
1．小方格染色问题最简单的染色问题是从一种民间游戏中发展起来的方格盘上的染色问题.解决这类问题的方法后来又发展成为解决方格盘铺盖问题的重要技巧.2．线段染色和点染色(1)线段染色.较常见的一类染色问题是发样子组合数学中图论知识的所谓“边染色”（或称“线段染色”），主要借助抽屉原则求解.（2）点染色.先看离散的有限个点的情况.例题讲解1．把正方形ABCD的一边AB分成n段，使奇数号的线段长度之和等于偶数号的线段长度之和（如图01—01）。
过各分点作平行于AD的线段，得到n个矩形。
每一个矩形又被对角线BD 分成两部分。
将奇数号矩形左部及偶数号矩形的右部涂上同一颜色。
证明：在对角线BD两侧的有同色的部分，其面积和相等。
2．在一张无限方格纸的某些方格上涂上红色，其余方格涂上蓝色，每一个2×3的六方格矩形内恰好2个红方格。
试问：一个9×11的99方格矩形内包含多少个红方格？3．在n×n（n≥2）个方格的正方形表中，有n－1个格子里涂了色，求证：通过交换两行或两列的位置，总可以将所有涂色的方格移到正方形表的左上角顶点到右下角顶点的对角线下方。
4．有n×n（n≥3）个方格表中，先在表中任意选出n－1个方格都涂成黑色，然后将那些凡是至少与两个已涂色的方格相邻的方格也都涂黑色。
求证：不论怎样选择最初的n－1个方格，都不能按这样的法则，将表中的所有方格全涂黑。
5．设ABC为正三角形，E为线段BC，CA，AB上点的集合（包括A，B，C在内）。
将E分成两个子集，求证：总有一个子集中含有一个直角三角形的顶点。
色彩缤纷 涂色有序——高考及竞赛中“涂色问题”的探究
#
。
,
!!
期
,
福建 中学数学
夕。
七 匕 尸。厂
信息技术在数学问题解 决和数学研究性学 习
+
记%#
&
) (
,
的过程 中将会产生举足轻重的作用
凡
,
目前在教学 中
,
应加强对 动态几何软件和数学模拟软件 的使用
气
不
— ,
一
仅要体现在教师层面上
一(
,
,
同时也要让部分对数学有
,
一 (
.
笋
、
,
(
,
浓厚兴趣 的同学掌握一些数学软件
> < 种
,
故共有 0 种
、
为这两例 都 可 以化归 为 用
,
将一个圆均匀分成
,
9
个扇
方法二
&
间接排除
/
满足条件
,
< 地共 的即只种两种
&
:
种不 同的颜色 涂在其 中 有几种涂 法,’ 圆环型涂色 间题
%
且相 邻的两个颜
0 种
而其 中不满足 作物 的有 心
2
色不 同
不 可能只 种一种 评注
2
>
种
因而不 题(
2
问题 所引发的探索过程和学 习 者的心 理感受 地为教学 服务 于 正如上例 中
,
使得
在发现 间题 的历 程 中所呈现 出的教育形态 能够更好 就是椭 圆的离心率大
,
由以上分析可得关千 圆锥曲线 的一个相关规律/ 若 圆锥 曲线的一条准线与坐标 轴的交点为 9
2023年高考数学复习----排列组合涂色问题典型例题讲解
2023年高考数学复习----排列组合涂色问题典型例题讲解【典型例题】例1．（2022春·陕西宝鸡·高三校考开学考试）某儿童游乐园有5个区域要涂上颜色，现有四种不同颜色的油漆可供选择，要求相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的涂色方案有（）种A．36B．48C．54D．72【答案】D【解析】如图：将五个区域分别记为①，②，③，④，⑤，则满足条件的涂色方案可分为两类，第一类区域②，④涂色相同的涂色方案，第二类区域②，④涂色不相同的涂色方案，其中区域②，④涂色相同的涂色方案可分为5步完成，第一步涂区域①，有4种方法，第二步涂区域②，有3种方法，第三步涂区域③，有2种方法，第四步涂区域④，有1种方法，第五步涂区域⑤，有2种方法，由分步乘法计数原理可得区域②，④涂色相同的涂色方案有⨯⨯⨯⨯种方案，即48种方案；43212区域②，④涂色不相同的涂色方案可分为5步完成，第一步涂区域①，有4种方法，第二步涂区域②，有3种方法，第三步涂区域③，有2种方法，第四步涂区域④，有1种方法，第五步涂区域⑤，有1种方法，由分步乘法计数原理可得区域②，④涂色不相同的涂色方案有⨯⨯⨯⨯种方案，即24种方案；43211所以符合条件的涂色方案共有72种，故选：D．例2．（2022春·宁夏银川·高三校考开学考试）如图，用五种不同的颜色给图中的O，A，B，C，D，E六个点涂色（五种颜色不一定用完），要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂法种数是（）A．480 B．720 C．1080 D．1200【答案】D【解析】先给O涂色，有15C种方法，接着给A涂色，有14C种方法，接着给B涂色，有13C 种方法，①若C与A同色，则有1种涂色方法，接着给D涂色，有3种涂色方法，最后E有2种涂色方法；②若C与A不同色，则有2种涂色方法，接着给D涂色，若D与A同色，则有1种涂色方法，最后E有3种涂色方法；若D与A不同色，则有2种涂色方法，最后E有2种涂色方法．综上，涂色方法总数为15C 14C []13C 1322(1322)1200⨯⨯+⨯⨯+⨯=故选：D例3．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄市第十五中学校考期中）用四种颜色给正四棱锥V ABCD −的五个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（ ）A ．72种B ．36种C ．12种D ．60种 【答案】A【解析】如下表。
高中数学概率中的涂色问题
25二、高考数学中涂色问题的常见解法及策略 与涂色问题有关的试题新颖有趣 , 近年已经在高考题中出 现，其中包含着丰富的数学思想。
解决涂色问题方法技巧性强 且灵活多变，因而这类问题有利于培养学生的创新思维能力、 分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。
本文拟 总结涂色问题的常见类型及求解方法 一. 区域涂色问题 1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理 染色问题的基本方法。
例1、用 5 种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分 涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色， 则不同的涂色方法有多少种？现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有 4 种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？ 分析：依题意至少要用 3 种颜色1） 当先用三种颜色时，区域 2与 4必须同色，2） 区域 3与 5必须同色，故有 A 43种；3） 当用四种颜色时，若区域 2与 4同色，4） 则区域 3与 5不同色，有 A 44种；若区域 3与 5同色，则区域 2 与 4 不同色，有 A 44种，故用四种颜色时共 有2A 44 种。
由加法原理可知满足题意的着色方法共有 分析：先给①号区域涂 ③ 法，接着给③号涂色方法有 3 种③，由于④号④与①、②不相邻， 因此④号有 4 种涂法，根②据分步计数原理，不同的涂色方法有 5 4 3 4 240 根据共用了多少种颜色讨论， 分别计算出各种情形的 种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例 2 、四种不同的颜色涂在如图所示的 6 个区域，且相邻 两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用 4 种颜色， ②与⑤同色、 ③与⑤同色、 ②与⑤同色、③与⑤同色、 ②与④同色、 2、 5 种方③法，再给② 号涂色有 4 种方 A 43+2 A 44=24+2 24=723、 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论， 从某两个 不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的 种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。
高中数学雨伞涂色教案
高中数学雨伞涂色教案
年级：高中
主题：雨伞涂色
目标：学生能够理解并运用概率统计知识，解决涂色问题。
教学步骤：
1. 引入问题（5分钟）：老师向学生提出一个问题：“如果给一个雨伞设计师五种颜色的颜料，他要在雨伞上涂两种不同颜色的图案，那么一共有多少种不同的涂色方式？”
2. 讨论策略（10分钟）：老师引导学生思考如何解决这个问题，可以通过列出所有可能的组合来计算。
提醒学生注意排列组合的知识。
3. 解决问题（15分钟）：学生独立或小组合作进行计算，列出所有可能的组合并计算总数。
老师巡视指导学生的思考过程。
4. 结果分析（10分钟）：老师带领学生讨论计算结果，引导学生分析结果的概率意义，并如何运用概率统计知识解决问题。
5. 拓展应用（10分钟）：老师提出一个更复杂的涂色问题，引导学生通过运用概率统计知识来解决问题，并进行讨论。
6. 总结归纳（5分钟）：老师概括本节课的重点内容，强调概率统计在解决实际问题中的应用。
7. 作业布置（5分钟）：布置寻找并解决一个涂色问题的作业，要求学生写出详细的解题过程和思考过程。
教学评估方法：学生课堂表现、作业完成情况和参与讨论活动。
扩展活动：老师可在课后引导学生进行更多的概率统计实践题目，加深对该知识点的理解和掌握。
三角形 涂色 概率
三角形涂色概率【中英文版】Title: Triangle Coloring ProbabilityTask: Given a triangle, what is the probability that it can be completely colored with three distinct colors, such that no two adjacent sides have the same color?任务：给定一个三角形，用三种不同的颜色完全填充这个三角形的概率是多少，使得任意两个相邻的边都不具有相同的颜色？In order to solve this problem, we need to consider the properties of triangles and the rules of coloring.为了解决这个问题，我们需要考虑三角形的性质和涂色的规则。
First, we need to determine the total number of ways to color the triangle with three distinct colors.首先，我们需要确定用三种不同颜色填充三角形的总方法数。
For the first vertex, there are three color options.For the second vertex, there are two color options (since it cannot be the same color as the first vertex).For the third vertex, there is one color option left (since it cannot be the same color as the second vertex or the first vertex).Therefore, the total number of ways to color the triangle is 3 * 2 * 1 = 6.对于第一个顶点，有三种颜色选择。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二、高考数学中涂色问题的常见解法及策略与涂色问题有关的试题新颖有趣,近年已经在高考题中出现，其中包含着丰富的数学思想。
解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，因而这类问题有利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。
本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法1、 一.区域涂色问题根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
例1、 用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5434240⨯⨯⨯=2、 根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例2、四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有44A ；（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有44A ；（4）③与⑤同色、② 与④同色，则有44A ； （5）②与④同色、③与⑥同色，则有44A ；所以根据加法原理得涂色方法总数为544A =120 例3、如图所示，一个地区分为5个行政区域， 现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色， 现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？ 分析：依题意至少要用3种颜色1) 当先用三种颜色时，区域2与4必须同色，2) 区域3与5必须同色，故有34A 种；3) 当用四种颜色时，若区域2与4同色，4) 则区域3与5不同色，有44A 种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有44A 种，故用四种颜色时共有244A 种。
由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A +244A =24+2⨯24=723、 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。
例4用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？分析：可把问题分为三类：（1） 四格涂不同的颜色，方法种数为（2） 有且仅两个区域相同的颜色， （3） 即只① ②③④ ⑤⑥有一组对角小方格涂相 同的颜色，涂法种数为12542C A ；5) 两组对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为25A ，因此，所求的涂法种数为212255452260A C A A ++=4、 根据相间区使用颜色的种类分类例5如图， 6个扇形区域A 、B 、C 、D 、E 、F ，现给这6个区域着色，要求同一区域涂同一种颜色，现有4种不同的颜色可1A 解（1）当相间区域A 有4种着色方法，此时，B 、D 、F 各有3种着色方法， 此时，B 、D 、F 各有3种着色方法 故有4333108⨯⨯⨯= 种方法。
（2）当相间区域A 、C 、E 着色两不同的颜色时，有2234C A 种着色方法，此时B 、D 、F 有322⨯⨯种着色方法，故共有2234322432C A ⨯⨯⨯=种着色方法。
（3）当相间区域A 、C 、E 着三种不同的颜色时有34A 种着色方法，此时B 、D 、F 各有2种着色方法。
此时共有34222192A ⨯⨯⨯=种方法。
故总计有108+432+192=732种方法。
说明：关于扇形区域区域涂色问题还可以用数列中的递推公来解决。
如：如图，把一个圆分成(2)n n ≥解：设分成n 个扇形时染色方法为n a 种（1） 当n=2时1A 、2A 有24A =12种，即2a =12（2）当分成n 个扇形，如图，1A 与2A 不同色，2A 与3A 不同 色，L ，1n A -与n A 不同色，共有143n -⨯种染色方法， 但由于n A 与1A邻，所以应排除n A 与1A 同色的情形；n A 与1A 同色时，可把n A 、 1A 看成一个扇形，与前2n -个扇形加在一起为1n -个扇形，此时有1n a -种染色法，故有如下递推关系：1143n n n a a --=⨯-1211243(43)43n n n n n n a a a -----∴=-+⨯=--+⨯+⨯21321234343434343n n n n n n n a a -------=-⨯+⨯=-+⨯-⨯+⨯124[33(1)3](1)33n n n nn--==⨯-++-⨯=-⨯+L L二.点的涂色问题方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论，（2）根据相对顶点是否同色分类讨论，（3）将空间问题平面化，转化成区域涂色问题。
例6、将一个四棱锥S ABCD -的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？ 解法一：满足题设条件的染色至少要用三种颜色。
（1）若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S ，再从余下的四种颜色中任选两种涂A 、B 、C 、D 四点，此时只能A 与C 、B 与D 分别同色，⑤故有125460C A=种方法。
（2）若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种染A与B，由于A、B颜色可以交换，故有24A种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染D或C，而D与C，而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有12115422240C A C C=种方法。
（3）若恰用五种颜色染色，有55120A=种染色法综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。
解法二：设想染色按S—A—B—C—D的顺序进行，对S、A、B染色，有54360⨯⨯=种染色方法。
由于C点的颜色可能与A同色或不同色，这影响到D点颜色的选取方法数，故分类讨论：C与A同色时（此时C对颜色的选取方法唯一），D应与A（C）、S不同色，有3种选择；C与A不同色时，C有2种选择的颜色，D也有2对C、D染色有13227⨯+⨯=种染色方法。
由乘法原理，607420⨯=解法三：可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：如图，对这五个区域用5种颜色涂色，有多少种不同的涂色方法？二.线段涂色问题对线段涂色问题，要注意对各条线段依次涂色，主要方法有：6)根据共用了多少颜色分类讨论7)根据相对线段是否同色分类讨论。
例7、用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形ABCD的四条边，每条边只涂一种颜色，且使相邻两边涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？解法一：（1）使用四颜色共有44A种;（2）使用三种颜色涂色，则必须将一组对边染成同色，故有112423C C A种，（3）使用二种颜色时，则两组对边必须分别同色，有24A种因此，所求的染色方法数为411224423484A C C A A++=种解法二：涂色按AB－BC－CD－DA的顺序进行，对AB、BC涂色有4312⨯=种涂色方法。
由于CD的颜色可能与AB同色或不同色，这影响到DA颜色的选取方法数，故分类讨论：当CD与AB同色时，这时CD对颜色的选取方法唯一，则DA有3种颜色可供选择CD与AB不同色时，CD有两种可供选择的颜色，DA也有两种可供选择的颜色，从而对CD、DA涂色有13227⨯+⨯=种涂色方法。
由乘法原理，总的涂色方法数为12784⨯=种例8、用六种颜色给正四面体A BCD-的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色且共顶点的棱涂不同的颜色，问有多少种不同的涂色方法？解：（1）若恰用三种颜色涂色，则每组对棱必须涂同一颜色，而这三组间的颜色不同，故有36A种方法。
（2）若恰用四种颜色涂色，则三组对棱中有二组对棱的组内对棱涂同色，但组与组之间不同色，故有3466C A种方法。
（3）若恰用五种颜色涂色，则三组对棱中有一组对棱涂同一种颜色，故有1536C A种方法。
（4）若恰用六种颜色涂色，则有66A种不同的方法。
综上，满足题意的总的染色方法数为4080665613462336=+++A A C A C A 种。
三.面涂色问题例9、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的6个面涂色，每两个具有公共棱的面涂成不同的颜色，则不同的涂色方案共有多少种？分析：显然，至少需要3三种颜色，由于有多种不同情况，仍应考虑利用加法原理分类、乘法原理分步进行讨论解：根据共用多少种不同的颜色分类讨论（1）用了六种颜色，确定某种颜色所涂面为下底面，则上底颜色可有5种选择，在上、下底已涂好后，再确定其余4种颜色中的某一种所涂面为左侧面，则其余3个面有3！种涂色方案，根据乘法原理30!351=⨯=n（2）共用五种颜色，选定五种颜色有656=C 种方法，必有两面同色（必为相对面），确定为上、下底面，其颜色可有5种选择，再确定一种颜色为左侧面，此时的方法数取决于右侧面的颜色，有3种选择（前后面可通过翻转交换）9035562=⨯⨯=C n ；(3)共用四种颜色,仿上分析可得9024463==C C n ；(4)共用三种颜色,20364==C n例10、四棱锥P ABCD -，用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻不同色，有多少种涂法？解：这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题，如右图，区域1、2、3、4相当于四个侧面，区域5相当于底面；根据共用颜色多少分类：（1） 最少要用3种颜色，即1与3同色、2与4同色，此时有34A 种；（2） 当用4种颜色时，1与3同色、2与4两组中只能有一组同色，此时有1424C A ；故满足题意总的涂色方法总方法交总数为31442472A C A +=用三种不同的颜色填涂如右图33⨯方格中的9个区域，要求每行、每列的三个区域都不同色，则不同的填涂方法种数共有（ D ）A 、48、B 、24C 、12D 、6“立几”中的计数问题求解策略在近几年的高考试题和各地模拟试题中频繁出现以“立几”中的点、线、面的位置关系为背景的计数问题，这类问题题型新颖、解法灵活、多个知识点交织在一起，综合性强，能力要求高，有一定的难度，它不仅考查相关的基础知识，而且注重对数学思想方法和数学能力的考查。
现结合具体例子谈谈这种问题的求解策略。
直接求解例1：从平面α上取6个点，从平面β上取4个点，这10个点最多可以确定多少个三棱锥？解析: 利用三棱锥的形成将问题分成α平面上有1个点、2个点、3个点三类直接求解共有132231646464194C C C C C C ++=个三棱锥例2: 在四棱锥P-ABCD 中，顶点为P ，从其它的顶点和各棱的中点中取3个，使它们和点P 在同一平面上，不同的取法有 B. 48 C. 56 D. 62种ABC解析: 满足题设的取法可以分成三类（1） 在四棱锥的每一个侧面上除P 点外取三点有35440C =种不同取法； （2） 在两个对角面上除点P 外任取3点，共有3428C =种不同取法；（3） 过点P 的每一条棱上的3点和与这条棱异面的棱的中点也共面，共有1248C =种不同取法,故共有40+8+8=56种评注：这类问题应根据立体图形的几何特点，选取恰当的分类标准，做到分类不重复、不遗漏。