27173概率论与数理统计第4章练习题

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概率论与数理统计第四章习题及答案

概率论与数理统计第四章习题及答案

概率论与数理统计习题 第四章 随机变量的数字特征习题4-1 某产品的次品率为,检验员每天检验4次,每次随机地取10件产品进行检验,如发现其中的次品数多于1个,就去调整设备,以X 表示一天中调整设备的次数,试求)(X E (设诸产品是否为次品是相互独立的).解:设表示一次抽检的10件产品的次品数为ξP =P (调整设备)=P (ξ>1)=1-P (ξ≤1)= 1-[P (ξ=0)+ P (ξ=1)]查二项分布表1-=.因此X 表示一天调整设备的次数时X ~B (4, . P (X =0)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛04××=.P (X =1)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛14××=, P (X =2)= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛24××=.P (X =3)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛34××=, P (X =4)= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛44××=. 从而E (X )=np =4×=习题4-2 设随机变量X 的分布律为Λ,2,1,323)1(1==⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=+j j X P jjj ,说明X的数学期望不存在.解: 由于1111133322(1)((1))3j j j j j j j j j P X j j j j ∞∞∞++===-=-==∑∑∑,而级数112j j ∞=∑发散,故级数11133(1)((1))j jj j j P X j j∞++=-=-∑不绝对收敛,由数学期望的定义知,X 的数学期望不存在. 习题X-2 0 2 k p求)53(),(),(22+X E X E X E .解 E (X )=(-2)+0+2=由关于随机变量函数的数学期望的定理,知E (X 2)=(-2)2+02+22=E (3X 2+5)=[3 (-2)2+5]+[3 02+5]+[322+5]=如利用数学期望的性质,则有E (3X 2+5)=3E (X 2)+5=3+5=4.135)(3)53(,8.23.04.0)(,2.03.023.004.02)(222222)2(=+=+=⨯+⨯=-=⨯+⨯+⨯-=-X E X E X E X E习题4-4 设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-0,0,0,)(x x e x f x 求XeY X Y 2)2(;2)1(-==的数学期望.解22)(2)0(2)(2)2()()(00=-=+-=+⋅===∞-∞+-∞-+∞-∞-+∞∞-⎰⎰⎰⎰xx xx e dx e xe dx xe dx x dx x xf X E Y E I3131)()()(0303022=-==⋅==∞-∞+-∞+---⎰⎰xx x x X edx e dx e e e E Y E II 习题4-5 设),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤=其它,0,10,12),(2x y y y x f求)(),(),(),(22Y X E XY E Y E X E +.解 各数学期望均可按照⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x f y x g Y X g E ),(),()],([计算。

概率论与数理统计第四章习题解

概率论与数理统计第四章习题解

7.若连续型随机变量ξ的分布密度是:
⎧ax2 + bx + c , (0 < x < 1)
f (x) = ⎨ ⎩
0
, , (x ≤ 0, x ≥ 1)
已知 E(ξ ) =1/2, D(ξ ) =3/20,求系数 a 、 b 、 c .
解:应用密度函数的性质有:
∫1
(ax 2
+
bx
+
c)dx
=
(a
x3
解:(1). E(ξ ) =-2×0.4+0×0.3+2×0.3=-0.2 .
(2). E(ξ 2 ) = 4 × 0.4 + 0 × 0.3 + 4 × 0.3 = 2.8,
则: E(3ξ 2 + 5) = 3E(ξ 2 ) + 5 = 3 × 2.8 + 5 = 13.4 . (3).由(1),(2)解:
D(ξ ) = E(ξ 2 ) − E 2 (ξ ) = 2.8 − (−0.2)2 = 2.76 .
11.设随机变量

,η)
具有概率密度:
f
( x,
y)
=
⎧1 ⎩⎨0
(| y |< x,0 < x < 1) (其它)
,试求:
-5-
E(ξ ) , E(η) .
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 解:
E(ξ )
=
解:由连续型随机变量数学期望的定义式:
∫ ∫ ∫ +∞
1500
E(ξ ) = xf (x)dx =
1
x 2dx − 3000 x(x − 3000) dx
−∞
0 15002
1500 15002

概率论与数理统计第四章补充习题

概率论与数理统计第四章补充习题

第四章补充习题一、 填空题1、 设随机变量X 则Y X 和的相关系数XY ρ= ,=),(2222Y X Cov Y X 的协方差和 。

2、设随机变量Y X 和的数学期望分别为22和-,方差分别为41和,而相关系数为5.0-,则根据切比雪夫不等式{}≤≥+6Y X P 。

3、设随机变量Y X 与相互独立且均服从正态分布2(0,)N , 则)(Y X E -= ,=-)(Y X D 。

4、随机变量ξ服从指数分布,参数λ= 时,72)(2=ξE 。

5、设随机变量Y X ,,2)(-=X E ,4)(=Y E ,4)(=X D ,9)(=Y D ,5.0-=XY ρ, =-+-)323(22Y XY X E 。

6、设随机变量Y X 与的相关系数9.0=XY ρ,若4.0-=X Z ,则=YZ ρ 。

7、设Y X ,同分布,密度函数均为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它若0102)(2tx xtx f ,使t Y X C E 1))2((=+, 则=C 。

8、设随机变量X 的数学期望和方差均为0,则{}=≠0X P 。

9、将一枚均匀硬币连掷3次,用X 表示正面出现的总次数,Y 表示第一次掷得的正面数, 则=)(XY E ,=),(Y X Cov ,=XY ρ 。

二、选择题1、设随机变量Y X 和独立同分布,记 Y X V Y X U +=-=,,则随机变量V U 与必然( ) (A )不独立, (B) 独立, (C) 相关系数不为零, (D) 相关系数为零。

2、将一枚硬币掷n 次,以Y X 和分别表示正面朝上和反面朝上的次数,则Y X 和的相关系数等于( )。

(A )1- (B) 0 (C)21(D) 1。

3、设随机变量Y X 和相互独立且分别服从正态分布(0, 1)N 和(1, 1)N ,则( )。

(A) {}210=≤+Y X P , (B) {}211=≤+Y X P , (C) {}210=≤-Y X P , (D) {}211=≤-Y X P 。

概率论与数理统计第4章例题

概率论与数理统计第4章例题

则=)(X E DA. 0.96B. 0.3C. 1.4D. 2.6 2.的概率密度为设随机变量X ⎩⎨⎧≤≤=其它102)(x xx f ,=)(X E 则 C2.A 1.B 32.C3.D3.设随机变量X ,其概率密度为 ()1101010x x f x xx +-≤≤⎧⎪=-<<⎨⎪⎩其它,求()E X . 解()()()()011011E Xx fx dx x x dx x x dx +∞-∞-==++-⎰⎰⎰=04. 设连续型随机变量X 的分布函数为30,0(),011,1x F x x x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求()E X解()23010x x f x ⎧≤≤=⎨⎩其它()13334E X x dx ==⎰5.设随机变量X 的分布列为(1) 试计算常数a ; (2)求随机变量()21-=X Y 的期望. 解、(1)由14126131=++++a a,得121=a(2)随机变量Y 的所有可能取值4,1,41,0,Y的分布律为所以()=Y E 2441方差部分1.方差的计算公式为C A.22)(EX EXDX -= B. 22)(EX EX DX -= C. 2)(EX EX DX -=D. EX EX DX -=22.某牌号手表日走时误差()()X E X ,D X ,求.解 010*******=⨯+⨯+⨯-=...)()(X E2010********222....)()(=⨯+⨯+⨯-=X E 20.)(=x D3. 设随机变量)(~x f X =⎩⎨⎧≤≤其它102x Ax ,求: )(),(X D X E . 解⎰==101,12A Axdx 32210=⋅=⎰xdx x EX2121022=⋅=⎰xdx x EX181)(22=-=EX EX DX4. 设随机变量)(~x f X =⎩⎨⎧≤≤其它20x kx ,求: )(),(X D X E .解2/1,12⎰==k kxdx342120=⋅=⎰xdx x EX2212022=⋅=⎰xdx x EX9/2)(22=-=EX EXDX5.设随机变量X f(x)x x ≤≤⎧=⎨⎩201的概率密度为0其它, 求E(X),D(X). 解()E X x dx =⎰1202= 32 ()E X x dx ==⎰123122, D (X )=1186.设随机变量X 的概率密度为,,020,121)(⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-=其它x x x f求),(X E 数学期望)(X D 方差. 解:,32)21()(22=+-=⎰dx x x X E ,32)21()(20332=+-=⎰dx x x X E 92)()()(22=-=X E X E X D7.设相互独立的随机变量X 和Y ,方差分别为4和2,则)(Y X D +=BA .2 B. 6 C. 1 D. 128.两个相互独立的随机变量X 和Y,D(X)=4,D(Y)=2,则D(3X+2Y)=DA .8 B. 16 C. 28 D. 449.=+==)2(,3)(,6)(,Y X D Y D X D Y X 则独立与设随机变量 C9.A 15.B 27.C 21.D10.设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差各为4和2,则3X-2Y 的方差为DA. 8B. 16C. 28D. 44 11.=+==)34(,100)5(,4)2(2X D X E X E 则已知____________. 256, 12.=+==)13(,8)4(,20)2(2X D X E X E 求设__________________54常见分布1.某电话交换台在时间[0,t]内接到的电话呼唤次数服从参数为5的泊松分布, 则在[0,t]内接到的平均呼唤次数为 A A. 5 B. 25 C. 0.2 D. 0.252.设随机变量X 服从泊松分布()P λ,则()D X =BA. 2λB.λC.12λD.1λ3.设随机变量X 服从泊松分布(3)P ,则()D X =BA. 6B. 3C. 1D. 134.设随机变量X 服从参数为λ 的泊松分布,则(12)D X +=B A .2λ B .4λ C .12λ+ D .14λ+5.设随机变量X ~(,)B n p ,且().,().,E X D X ==04032则,n p 的值为A A. n ,p .==202 B. n ,p .==401 C. n ,p .==40001 D. n ,p .==200026.设随机变量X ~(,)B n p ,且().,().,E X D X ==24144则,n p 的值为A A. n ,p .==604 B. n ,p .==406 C. n ,p .==803 D. n ,p .==4067.设一次试验成功的概率为p ,进行100次独立重复试验,试验成功的次数为X ,(1)求D(X). (2)p 为多大时,D(X)最大.解 (1)() D X 100p (1-p)X =服从二项分布,(2)()()()122211100120022p dD X d D Xp p p dpdp==-==<=时方差最大8.设X 是一个随机变量,其概率密度为()1,;0,.a x b f x b a⎧≤≤⎪=-⎨⎪ ⎩其他则()E X =2b a +9.=-)34(),9,3(~,]6,2[Y X E N Y X 则上的均匀分布服从区间设随机变量7,11.=+)32(,]2,0[Y X E Y X 则上的均匀分布均服从区间与设随机变量__512.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X (以分为单位)服从参数为1/5 指数分布,则顾客等待服务的平均时间 DA. 0.25B. 25C. 0.2 D . 513.设23),(~-=X Z e X λ,则=)(Z E 231--λ14.已知随机变量X 的数学期望为E(X),标准差为σ(X)>0,设随机变量()()X X E X X *σ-=,则E(*X )=__________ 015.设随机变量X ~N(-1,5),Y ~N(1,2),且X 与Y 相互独立,则D(X +Y)= D A. 2 B. 5 C. 3 D. 716.设X 服从正态分布,其密度函数为()()21x f x--=,则()D X =______1/217.设随机变量X ~()2,1σN ,若EX 2=1,则σ=CA. 1B. 2C. 0D. 318.设随机变量()~0,1X N ,则()2E X =___________ 1 19.已知连续随机变量X 的概率密度为()()2112x x ϕ--=,则D (X )为AA .1 B. 2 C. 0.5 D. 0.2520.设随机变量X ~N(-1,4),Y ~N(2,6),且X 与Y 相互独立,则D(X +Y)= A A.10 B. 4 C. 6 D. 021.设随机变量(1,2),(0,3)X N Y N ~~,,X Y 相互独立,则X Y + ~CA. (),N 111B. (),N 11C. (),N 15D. (),N 111 22.设随机变量X ~()2,1σN ,若()2X E =2,则σ=__________ 123. 设()22,2~N X ,12--=X Y ,则 Y 服从的分布为AA. )16,5(-NB. )15,5(-NC. )16,4(-ND. )15,4(-N24.设随机变量(0,2),(1,3)X N Y N ~~,,X Y 相互独立,则2X Y + ~CA. (),N 15B. (),N 11C. (),N 111D. (),N 111 25.=-)34(),9,3(~,]6,2[Y X E N Y X 则上的均匀分布服从区间设随机变量726.设~(5,9)X N , 则 =)(X D _______ 9 27.设()22,2~N X ,121-=X Y ,则 Y服从的分布为 CA. )2,1(NB. )4,2(NC. )1,0(ND. )2,0(N 28.=+)32(,]2,0[Y X E Y X 则上的均匀分布均服从区间与设随机变量_____.529.设随机变量Y X ,相互独立,)1,0(~),2,1(~N Y N X求随机变量Y X Z -=概率密度函数. 解、由题意, 服从正态分布Y X Z -=,3)()(;1)()(=-==-=Y X D Z D Y X E Z E 又6)1(261)(--=z ez f Z π的概率密度函数所以30.设随机变量Y X ,相互独立,)1,0(~),1,0(~N Y N X求随机变量Y X Z +=概率密度函数. 解: 由题意, 服从正态分布Y X Z +=2)()(,0)()(=+==+=Y X D Z D Y X E Z E 又4221)(zez f Z -=π的概率密度函数所以。

概率论与数理统计第四章.试题

概率论与数理统计第四章.试题

第四章历年试题一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设随机变量X 服从参数为2的泊松分布,则下列结论中正确的是( ) A.E (X )=0.5,D (X )=0.5 B.E (X )=0.5,D (X )=0.25 C.E (X )=2,D (X )=4D.E (X )=2,D (X )=22.设随机变量X 与Y 相互独立,且X ~N (1,4),Y ~N (0,1),令Z=X -Y ,则D (Z )=( )A.1B.3C.5D.63.已知D (X )=4,D (Y )=25,Cov (X ,Y )=4,则ρXY =()A.0.004B.0.04C.0.4D.44.设X ,Y 是任意随机变量,C 为常数,则下列各式中正确的是( ) A .D (X+Y )=D (X )+D (Y ) B .D (X+C )=D (X )+C C .D (X-Y )=D (X )-D (Y )D .D (X-C )=D (X )5.设随机变量X的分布函数为F(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤-<;4,1;4212;2,0x x ,xx则E (X )=( )A .31B .21C .23D .36.设随机变量X 与Y 相互独立,且X~B (36,61),Y~B (12,31),则D (X-Y+1)=( )A .34B .37C .323D .3267.设随机变量X 服从参数为2的指数分布,则下列各项中正确的是( )A .E (X )=0.5,D (X )=0.25B .E (X )=2,D (X )=2C .E (X )=0.5,D (X )=0.5 D .E (X )=2,D (X )=4 8.设随机变量X 服从参数为3的泊松分布,Y~B (8,31),且X ,Y 相互独立,则D (X-3Y -4)=( ) A .-13 B .15C .19D .239.已知D (X )=1,D (Y )=25,ρXY =0.4,则D (X-Y )=( )A .6B .22C .30D .4610.设X~B (10,31),则E (X )=( )A.31 B.1 C.310D. 1011.设X~N (1,23),则下列选项中,不成立...的是( ) A.E (X )=1 B.D (X )=3 C.P (X=1)=0D.P (X<1)=0.512.设E (X ),E (Y ),D (X ),D (Y )及Cov(X,Y )均存在,则D (X-Y )=( ) A .D (X )+D (Y )B .D (X )-D (Y )C .D (X )+D (Y )-2Cov(X,Y )D .D (X )-D (Y )+2Cov(X,Y )13.设随机变量X ~B (10,21),Y ~N (2,10),又E (XY )=14,则X 与Y 的相关系数=XY ρ( )A .-0.8B .-0.16C .0.16D .0.814.已知随机变量X 的分布律为,且E (X )=1,则常数x =( )A .2B .4C .6D .815.已知随机变量X 服从参数为2的指数分布,则随机变量X 的期望为( )A .-21 B .0 C .21D .216.设随机变量X 和Y 相互独立,且)4,3(~N X ,)9,2(~N Y ,则~3Y X Z -=( ) A .)21,7(N B .)27,7(N C .)45,7(N D .)45,11(N17.设X~B(10, 31), 则=)X (E )X (D ( )A.31 B.32 C.1D.31018.已知随机变量X 的分布函数为F(x)=⎩⎨⎧>--.;0x e 1x2其它则X 的均值和方差分别为( )A.E(X)=2, D(X)=4B.E(X)=4, D(x)=2C.E(X)=41,D(X)=21D.E(X)=21, D(X)=41二、填空题(本大题共15小题,每空2分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。

概率论与数理统计第四章自测题

概率论与数理统计第四章自测题

概率论与数理统计第四章自测题《概率论与数理统计》第四单元自测题时间:120分钟,卷面分值:100分一、填空题:(每空2分,共12分)得分1.设随机变量X与Y,方差D(X)=4,D(Y)=9,相关系数XY=,则D(3X-2Y)= 。

2.已知随机变量X~N(0, 2)(>0),Y在区间[0,3]σ上服从均匀分布,如果D(X-Y)=2,则X与Y的相关系数XY= 。

3.二维随机变量(X, Y)服从正态分布,且E(X)=E(Y)=0,D(X)=D(Y)=1,X与Y的相关系数XY=-1/2,则当a= 时,随机变量aX+Y与Y相互独立。

4.设随机变量X~N(0, 4),Y服从指数分布,其概率密度函数为1210 ()200xe xf xx->=?≤,,,,如果Cov(X, Y)=-1,Z=X-aY,Cov(X, Z)=Cov(Y, Z),则a= ,此时X与Z的相关系数为XZ= 。

5.设随机变量X在区间(-1, 2)上服从均匀分布,随机变量-100010XY XX>==<,,,,,,则方差D(Y)= 。

6.设随机变量X服从参数为2的泊松分布,用切比雪夫不等式估计P{X-24}。

二、单选题:(每题2分,共12分)得分1.随机变量X, Y和X+Y的方差满足D(X+Y)=D(X)+D(Y),该条件是X与Y( )。

(A)不相关的充分条件,但不是必要条件;(B)不相关的必要条件,但不是充分条件;(C)独立的必要条件,但不是充分条件;(D)独立的充分必要条件。

2.若随机变量X与Y的方差D(X), D(Y)都大于零,且E(XY)=E(X)E(Y),则有( )。

(A) X与Y一定相互独立; (B) X与Y一定不相关;(C) D(XY)=D(X)D(Y); (D) D(X-Y)=D(X)-D(Y)。

3.设随机变量X与Y独立同分布,记随机变量U=X+Y,V=X-Y,且协方差Cov存在,则U和V必然( )。

(A) 不相关;(B) 相互独立;(C) 不独立;(D) 无法判断。

概率论与数理统计第四章习题参考答案

概率论与数理统计第四章习题参考答案

=
⎡ E⎢
1
⎢⎣ n −1
n i =1
(Xi

⎤ X )2 ⎥
⎥⎦
=
1 n −1
⎡ E⎢
⎢⎣
n i =1
X
2 i

nX
2⎤ ⎥ ⎥⎦
=
1 n −1
⎡n ⎢ ⎢⎣ i=1
E
(
X
2 i
)

nE( X
2⎤ )⎥ ⎥⎦
∑[ ] [ ] =
1 n −1
⎧ ⎨ ⎩
n i =1
D(X i ) + E 2 (X i )
X −µ 3/2
<
⎫ 1.96⎬
=
0.95

故,正态总体均值 µ 的 95%的置信区间为 (X − 2.94, X + 2.94)
代入样本值得正态总体均值 µ 的 95%的置信区间为(-2.565,3.315)。
(2)当σ 未知时,由 T = X − µ ~ t(n − 1) 即T = X − µ ~ t(3) ,所以
n
−a n
=0 =0
无解。由此不能求得
a,
b
的极大似然估计量。
⎩ ∂b
b−a
解:X
的概率密度为
f
(x)
=
⎪⎧ ⎨b
1 −
a
,
a

x

b

⎪⎩ 0, 其它
似然函数为 L(a, b) = 1 , θ1 ≤ xi ≤ θ 2 ,i = 1,2,L, n , (b − a)n
对于给定的样本值 (x1 , x2 ,L, xn )

n
D(

概率论与数理统计 第四章

概率论与数理统计 第四章

【分析】
E(X )
=
1

D( X
)
=
1 2
,所以
1
=
1 2
,解得
=
4。
( ) ( ) 4、设离散型随机变量 X 的分布律为 P
X = 2k
=2 3k
,
k = 1, 2,
,则 E X
========。
( ) ( ) 【分析】 E
X
+
= xk p xk
k =1
=
+
2k
k =1
2 3k
=
2
+ k =1

2 3
k
= 2 2 3 = 4 1−2 3
5、设 X、Y 是两个相互独立且均服从正态分布 N (0, 1 ) 的随机变量,则随机变量 X − Y 2
的数学期望 E( X − Y ) = = = = = = = = = 。
【分析】因为 X、Y 是两个相互独立且均服从正态分布 N (0, 1 ) , 2
3、设随机变量 X
的概率密度为

(
x)
=
ax2
+
bx
+
c,
0,
0 x 1,已知 EX 其他
= 0.5,
DX = 0.15 ,则关于系数 a,b,c 的正确选项为(= A= = ) A、 a=12,b= −12,c=3 = = = = = = = = B、 a=12,b=12,c=3 = = = C、 a=-12,b=12,c=3= = = = = = = = = D、 a=-12,b= −12,c=3
k =0
k=0 k !

概率论与数理统计-第四与五章练习答案

概率论与数理统计-第四与五章练习答案

《概率论与数理统计》第四、五章练习学院 班级、学号 姓名 成绩一、单项选择题(每题 2 分,共 16 分) 说明:请将答案直接填入下表中!1 234 56781.A C D X Y D D CCX C Yn 次,以 与 分别表示正面向上和反面向上的次数,则 和 的将一枚硬币重复扔掷有关系数等于(A)1(B) 01 (D)1(C)2.设随机变量 X 和 Y 的方差存在且不等于 2DY 是 X 和Y0,则 D (XY) DX(A)不有关的充分条件,但不是必需条件(B)独立的充分条件,但不是必需条件(C)不有关的充分必需条件 EXDX(D)独立的充分必需条件3.X是一个随机变量,, (,0 为常数 ),则对随意常数c ,必有设2(A) E( Xc)2 EX 2c 2(B) E( Xc) 2 E( X )2 (C)E( X c)2E( X )2(D) E( Xc)2E( X) 24.设随机变量 X 和 Y 独立同散布,方差存在且不为零,记UXY ,V XY ,则随机变量 U 与V 必定(A)不独立(B)独立(C)有关系数不为零(D)有关系数为零5.假定随机变量 X ~ N (0 ,1) , Y ~ N (1,4) ,且有关系数 XY1 ,则 (A) P{ Y 2X 1} 1 (B) P{ Y2 X 1} 1 (C) P{ Y2X1} 1(D) P{ Y 2 X1}16.设随机变量 X 和 Y 都听从正态散布,且它们不有关,则(A) X 与 Y 必定独立 (B) ( X ,Y) 听从二维正态散布(C) X 与 Y 未必独立(D) XY 听从一维正态散布27. 设 随 机 变 量 X 1 , X 2 , , X n (n 1)独立同散布,且其方差为0,令随机变量Y1 n X i,则n i 1(A) D( X 1Y)n 22(B) D(X 1Y )n 1 2nn22(C)Cov( X 1,Y )(D) Cov( X 1 ,Y)n8.设 X 1, X 2 , , X n , 为独立同散布的随机变量序列,且均听从参数为 (1) 的指数分布,记 (x) 为标准正态散布的散布函数,则DnnX inX i n(A) lim Pi 1nx( x)(B) lim Pi1nx(x)nnnnX inX i(C) lim Pi 1nx(x)(D) lim Pi1nx(x)nn二、填空题(每题 2 分,共 14 分)1. X的听从参数为的指数散布,则 P{ XDX }e 1设随机变量1 X 0 2.设随机变量 X 听从二项在区间[ 1, 2] 上听从均匀散布, 随机变量 Y0 X 0,则方1X差 DY891 e 13.设随机变量 X 听从参数为 1 的泊松散布,则P{ X EX 2}p ,进行 100 次独立重复试验,当p24.设一次试验的成功率为时,成功次数的标准差的值最大,其最大值为1, 525.设随机变量 X 1 , X 2 , X 3 互相独立,此中 X 1 在[ 0,6] 上听从均匀散布, X 2 听从正态散布N (0,22) , X 3 听从参数为3 的泊松散布,记 YX 1 2X 23X 3,则 DY466.设随机变量 X 和 Y 的有关系数为,EXEY 0,EX 2 EY 22,则 E(X Y)267.设随机变量 X 和 Y 的数学希望分别为 2 和 2,方差分别为 1 和 4,而有关系数为0.5 ,则依据切比雪夫不等式P{| XY | 6}112三、解答题(每题 7 分,共 49 分)1. 设 随 机 变 量 X 服 从 区 间 [ a, b] 上 的 均 匀 分 布 , EX 2, DX3,求条件概率P{ X0|X 2} 【答】 a1, b5;232.设连续型随机变量X 的概率密度为 f X ( x) 3x20 x1,试求:0 其余( 1)随机变量 X 的散布函数 F X (x) ;( 2)数学希望 EX 与方差 DX ;x 0【解】( 1) F X (x)x 30 x 11x1(2) EX3;EX23,DX EX2(EX)2345803.假定一设施开机后无故障工作的时间X 听从指数散布,均匀无故障工作的时间( EX ) 为 5 小时,设施准时开机, 出现故障时自动关机, 而在无故障的状况下工作 2 小时便关机。

概率论与数理统计第四章测试题

概率论与数理统计第四章测试题

概率论与数理统计第四章测试题第4章 随机变量的数字特征一、选择题1.设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2,则随机变量3X-2Y 的方差是 (A) 8 (B) 16 (C) 28 (D) 44 2.若随机变量X 和Y 的协方差(),0Cov X Y =,则以下结论正确的是( ) (A)X与Y 相互独立 (B) D(X+Y)=DX+DY(C)D(X-Y)=DX-DY (D) D(XY)=DXDY 3.设随机变量X和Y相互独立,且()()221122,,,X N Y N μσμσ::,则2Z X Y =+:( )(A) ()221212,2N μμσσ++ (B) ()221212,N μμσσ++ (C) ()2212122,4N μμσσ++ (D) ()2212122,4N μμσσ--4.设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,则随机变量ξ=X+Y 与η=X-Y 不相关的充要条件为(A) EX=EY (B) E(X 2)- (EX)2= E(Y 2)- (EY)2(C) E(X 2)= E(Y 2) (D) E(X 2)+(EX)2=E(Y 2)+ (EY)25.设X 、Y 是两个相互独立的随机变量且都服从于()0,1N ,则()max ,Z X Y =的数学10.设随机变量X 和Y 独立同分布,具有方差2σ>0,则随机变量U=X+Y 和V=X-Y(A )独立 (B) 不独立 (C ) 相关 (D) 不相关11.随机变量X 的方差存在,且E(X)=μ,则对于任意常数C ,必有 。

(A )E(X-C)2=E(X 2)-C 2 (B )E(X-C)2=E(X-μ)2(C )E(X-C)2< E(X-μ)2(D )E(X-C)2≥ E(X-μ)212.设X~U(a,b), E(X)=3, D(X)=31, 则P(1<X<3) =( )(A )0 (B )41 (C )31 (D )21二、填空题1.设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次命中目标的概率为0.4,则()2E X =2.设一次试验成功的概率为p ,进行了100次独立重复试验,当p = 时,成功的次数的标准差的值最大,其最大值为3.设随机变量X 在区间[-1,2]上服从均匀分布,随机变量100010X Y X X >⎧⎪= =⎨⎪- <⎩,则Y 的方差DY=4.()4D X =,()9D Y =,0.5XYρ=,则()D X Y -=,()D X Y +=5.设随机变量X 服从于参数为λ的泊松分布,且已知()()121E X X --=⎡⎤⎣⎦,则λ= 6.设(X,Y)的概率分布为:则),cov(22Y X= 。

概率论与数理统计答案 第四章习题

概率论与数理统计答案 第四章习题

(x2
3000x)dx
1 1500 2
x3 3
1500 0
1 1500 2
(
x3 3
1500
x
2
)
3000 1500
500 4(500) (1000) 1500
X -2 0 2
6.设随机变量X的分布律为 pk 0.4 0.3 0.3 求E(X),E(X2),E(3X2+5).
3

E( X ) xk pk (2) 0.4 0 0.3 2 0.3 0.2
0),
2t ,
(a 1) a(a),
dx dt
2t
(1)
1,
(1
2)
.
E(X) 02tet
dt
2t
2 0t1 2etdt
2(3 2)
2 1 (1 2)
2
2
E(
X
2
)
0
3
(2t )3
2
2
et
2t
dt
2
2
0
te t
dt
2
2(2)
2
2
20. 设长方形的高(以m计)X~U(0,2),己知长方形的周长(以m计)为 20,求长方形面积A的数学期望和方差.
k 1
3
E( X 2 ) xk2 pk (2)2 0.4 02 0.3 22 0.3 2.8
k 1
3
E(3X2 5) (3xk2 5)pk [3(2)2 5]0.4[302 5]0.3[322 5]0.3 13.4
k1
或 E(3X2+5)= 3E(X2) + 5 = 32.8 + 5 =13.4

概率论与数理统计》课后习题答案第四章

概率论与数理统计》课后习题答案第四章

习题4.11.设10个零件中有3个不合格. 现任取一个使用,若取到不合格品,则丢弃重新抽取一个,试求取到合格品之前取出的不合格品数X 的数学期望.解 可得X 的概率分布为0123~77711030120120X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是X 的数学期望为7771()012310301201204531208E X =⨯+⨯+⨯+⨯==2..某人有n 把外形相似的钥匙,其中只有1把能打开房门,但他不知道是哪一把,只好逐把试开.求此人直至将门打开所需的试开次数X 的数学期望.解 可得X 的概率分布为12~111n X nn n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是X 的数学期望为111()121(1)122E X n n n nn n n n =⨯+⨯++⨯++==3.设5次重复独立试验中每次试验的成功率为0.9,若记失败次数为X ,求X 的数学期望。

解 由题意~(5,0.1)X B ,则X 的数学期望为()50.10.5E X =⨯=4.设某地每年因交通事故死亡的人数服从泊松分布.据统计,在一年中因交通事故死亡一人的概率是死亡两人的概率的21,求该地每年因交通事故死亡的平均人数。

解 设该地每年因交通事故死亡的人数为X ,由题意X 服从泊松分布() (0)P λλ>.因1{1}{2}2P X P X === 即121 41!22!ee λλλλλ--=⇒= 于是X 的数学期望为()4E X λ==所以地每年因交通事故死亡的平均人数为4人。

5.设随机变量X 在区间(1,7)上服从均匀分布,求2{()}P X E X <. 解 因X 在区间(1,7)上服从均匀分布,故X 的数学期望为17()42E X +== 于是22{()}{4}1 {22}6P X E X P X P X <=<=<-<<=6.设连续型随机变量X 的概率密度为01() (,0)0 b ax x p x a b ⎧<<=>⎨⎩其它又知()0.75E X =,求,a b 的值解 由密度函数的性质可得()1p x dx +∞-∞=⎰即1111b aax dx b =⇒=+⎰又由()0.75E X =,可得1()0.75b xp x dx x ax dx +∞-∞=⋅=⎰⎰即0.752ab =+ 求解110.752a b a b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩ 可得 3,2a b ==.7.设随机变量X 的概率密度为0<1()2 120 x x p x x x <⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其它求数学期望()E X解12013312201()() (2) ()133E X xp x dxx xdx x x dx x x x +∞-∞==⋅+⋅-=+-=⎰⎰⎰8.设随机变量X 的概率分布为 X -2 -1 0 1 P 0.2 0.3 0.1 0.4 求(1)(21)E X -;(2)2()E X .解 (1) (21)2()1E X E X -=- 其中()20.210.3010.40.3E X =-⨯-⨯++⨯=-则(21)2()12(0.3)1 1.6E X E X -=-=⨯--=-(2)22222()0.2(2)0.3(1)0.100.41 1.5E X =⨯-+⨯-+⨯+⨯=9.假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作。

概率论与数理统计》课后习题答案第四章

概率论与数理统计》课后习题答案第四章

习题4.11.设10个零件中有3个不合格. 现任取一个使用,若取到不合格品,则丢弃重新抽取一个,试求取到合格品之前取出的不合格品数X 的数学期望.解 可得X 的概率分布为0123~77711030120120X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是X 的数学期望为7771()012310301201204531208E X =⨯+⨯+⨯+⨯==2..某人有n 把外形相似的钥匙,其中只有1把能打开房门,但他不知道是哪一把,只好逐把试开.求此人直至将门打开所需的试开次数X 的数学期望.解 可得X 的概率分布为12~111n X nn n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是X 的数学期望为111()121(1)122E X n n n nn n n n =⨯+⨯++⨯++==3.设5次重复独立试验中每次试验的成功率为0.9,若记失败次数为X ,求X 的数学期望。

解 由题意~(5,0.1)X B ,则X 的数学期望为 ()50.10.E X =⨯= 4.设某地每年因交通事故死亡的人数服从泊松分布.据统计,在一年中因交通事故死亡一人的概率是死亡两人的概率的21,求该地每年因交通事故死亡的平均人数。

解 设该地每年因交通事故死亡的人数为X ,由题意X 服从泊松分布() (0)P λλ>.因1{1}{2}2P X P X === 即121 41!22!ee λλλλλ--=⇒= 于是X 的数学期望为()4E X λ== 所以地每年因交通事故死亡的平均人数为4人。

5.设随机变量X 在区间(1,7)上服从均匀分布,求2{()}P X E X <. 解 因X 在区间(1,7)上服从均匀分布,故X 的数学期望为17()42E X +== 于是22{()}{4}1 {22}6P X E X P X P X <=<=<-<<=6.设连续型随机变量X 的概率密度为01() (,0)0 b ax x p x a b ⎧<<=>⎨⎩其它又知()0.75E X =,求,a b 的值解 由密度函数的性质可得()1p x dx +∞-∞=⎰即1111b aax dx b =⇒=+⎰又由()0.75E X =,可得1()0.75b xp x dx x ax dx +∞-∞=⋅=⎰⎰即0.752ab =+ 求解110.752ab a b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩可得 3,2a b ==.7.设随机变量X 的概率密度为0<1()2 120 x x p x x x <⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其它求数学期望()E X解1201331221()() (2) ()133E X xp x dxx xdx x x dx x x x +∞-∞==⋅+⋅-=+-=⎰⎰⎰8.设随机变量X 的概率分布为X -2 -1 0 1 P 0.2 0.3 0.1 0.4 求 (1)(21)E X -;(2)2()E X .解 (1) (21)2()1E X E X -=- 其中()20.210.3010.40.3E X =-⨯-⨯++⨯=-则(21)2()12(0.3)1 1.6E X E X -=-=⨯--=-(2)22222()0.2(2)0.3(1)0.100.41 1.5E X =⨯-+⨯-+⨯+⨯=9.假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作。

概率论与数理统计第四章测试题

概率论与数理统计第四章测试题

第4章随机变量得数字特征一、选择题1.设两个相互独立得随机变量X与Y得方差分别为4与2,则随机变量3X-2Y得方差就是(A) 8 (B) 16 (C) 28 (D) 442.若随机变量与得协方差,则以下结论正确得就是( )(A) 与相互独立(B) D(X+Y)=DX+DY(C) D(X-Y)=DX-DY (D) D(XY)=DXDY3.设随机变量与相互独立,且,则( )(A) (B)(C) (D)4.设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,则随机变量ξ=X+Y与η=X-Y不相关得充要条件为(A) EX=EY (B) E(X2)- (EX)2= E(Y2)- (EY)2(C) E(X2)= E(Y2) (D) E(X2)+(EX)2= E(Y2)+ (EY)25.设、就是两个相互独立得随机变量且都服从于,则得数学期望( ) (A) (B) 0 (C) (D)6.设、就是相互独立且在上服从于均匀分布得随机变量,则( )(A) (B) (C) (D)7.设随机变量与得方差存在且不等于0,则D(X+Y)=DX+DY就是X与Y( )(A) 不相关得充分条件,但不就是必要条件(B) 独立得充分条件,但不就是必要条件(C) 不相关得充分必要条件(D) 独立得充分必要条件8.若离散型随机变量得分布列为,则( )(A) 2 (B) 0 (C) ln2 (D) 不存在9.将一枚硬币重复掷n次,以X与Y分别表示正面向上与反面向上得次数,则X与Y得相关系数等于(A)-1 (B)0 (C) (D)110.设随机变量X与Y独立同分布,具有方差>0,则随机变量U=X+Y与V=X-Y(A)独立(B) 不独立(C) 相关(D) 不相关11.随机变量X得方差存在,且E(X)=μ,则对于任意常数C,必有。

(A)E(X-C)2=E(X2)-C2(B)E(X-C)2=E(X-μ)2(C)E(X-C)2< E(X-μ)2(D)E(X-C)2≥ E(X-μ)212.设X~U(a,b), E(X)=3, D(X)=, 则P(1<X<3) =( )(A)0 (B) (C) (D)二、填空题1.设表示10次独立重复射击命中目标得次数,每次命中目标得概率为0、4,则2.设一次试验成功得概率为,进行了100次独立重复试验,当时,成功得次数得标准差得值最大,其最大值为3.设随机变量X在区间[-1,2]上服从均匀分布,随机变量,则得方差DY=4.,,,则,5.设随机变量服从于参数为得泊松分布,且已知,则6.设(X,Y)得概率分布为:则=。

陈国华等主编概率论与数理统计第四章习题答案

陈国华等主编概率论与数理统计第四章习题答案

( A) 1;
( B) −1 ;
(C )
( D) ρ XY < 1 .
) .
4.若随机变量 X 和 Y 的协方差等于 0,则以下结论正确的是(
( A) X 和 Y 相互独立;
(C ) D( X − Y ) = D( X ) − D(Y ) ;
( B) D( X + Y ) = D( X ) + D(Y ) ;
则Z = ⎨
⎧1000 X + 500(Y − X ), X ≤ Y 1 , f ( x) = f ( y ) = ,10 ≤ X , Y ≤ 20 Y≤X 10 ⎩ 1000Y ,
E (Z ) =
20
10≤ x , y ≤ 20
20
∫∫
Z
20 x 20 y 1 dxdy = ∫ ∫ 10 ydydx + ∫ ∫ 5( x + y ) dydy 0 0 0 0 100
答案: fY ( y ) =
试求 E ( X | Y = y )

1
0
f ( x, y )dx =
1 f ( x, y ) 2( x + y ) + y (0 < y < 1), f X |Y ( x | y ) = = 2 1+ 2 y fY ( y )
1 0
E ( X | Y = y) = ∫
+∞
的单位数(1 单位等于 1000 千克) ,它在[200,400]上服从均匀分布,又设每卖出一个单位, 而因卖不出去油失效每单位将损失 1000 元, 问工厂在每年开工前 工厂可获得 3000 元利润, 应决定生产多少单位的润滑油,才能使期望利润最大? 答案:解:设 X 表示该厂一年内卖出润滑油的单位数,Y 表示利润,且工厂在每年开工前 应决定生产 a 单位的润滑油,才能使期望利润最大.则

概率论与数理统计第四章习题答案

概率论与数理统计第四章习题答案

ξ
n
≤ 0.84) = P (0.76n ≤ ξ ≤ 0.84n) = P ( ξ − 0.8n ≤ 0.04n) ≥ 1− Dξ 100 = 1− 2 n (0.04n)
由题意 所以
P (0.76 ≤ 1−
ξ
n
≤ 0.84) ≥ 0.9
100 ≥ 0.9,从而 n ≥ 1000 n 故,至少应生产1000件产品。
c , r , s , t , u 的值。
3⎞ ⎟ c⎟ ⎠ − ∞ < x < −1 −1≤ x < 0 0≤ x<1
2
乐山师范学院化学学院
解:P (ξ = 1.2) = F (1.2) − F (1.2 − 0) =
1 1 − =0 2 2
1 2 = 3 3 0 = P (ξ = −1) = F ( −1) − F ( −1 − 0) = r − 0 = r ∴ r = 0 1 1 = P (ξ = 0) = F (0) − F (0 − 0) = s − r = s ∴ s = 3 3 1 1 1 a = P (ξ = 1) = F (1) − F (1 − 0) = − s = ∴a = 2 6 6 1 1 2 = P (ξ = 2) = F ( 2) − F ( 2 − 0) = t − ∴t = 6 2 3 又 x ≥ 3时,F ( x ) = 1, ∴u = 1 2 1 1 c = P (ξ = 3) = F ( 3) − F ( 3 − 0) = 1 − = ∴c = 3 3 3 1 1 而 ∑ p i = 1, 从而 + a + b + + c = 1, ∴ b = 0 3 6 i 1 1 1 2 因此, a = ,b = 0,c = ,r = 0,s = ,t = ,u = 1. 6 3 3 3 P (ξ > 0.5) = 1 − P (ξ ≤ 0.5) = 1 − P (ξ = 0) = 1 −

概率论与数理统计第四章课后习题及参考答案

概率论与数理统计第四章课后习题及参考答案

概率论与数理统计第四章课后习题及参考答案1.在下列句子中随机地取一个单词,以X 表示取到的单词包含的字母的个数,试写出X 的分布律,并求)(X E .Have a good time解:本题的随机试验属于古典概型.所给句子共4个单词,其中有一个单词含一个字母,有3个单词含4个字母,则X 的所有可能取值为1,4,有41)1(==X P ,43)4(==X P ,从而413434411)(=⋅+⋅=X E .2.在上述句子的13个字母中随机地取一个字母,以Y 表示取到的字母所在的单词所含的字母数,写出Y 的分布律,并求)(Y E .解:本题的随机试验属于古典概型.Y 的所有可能取值为1,4,样本空间Ω由13个字母组成,即共有13个样本点,则131)1(==Y P ,1312)4(==Y P ,从而1349131241311)(=⋅+⋅=Y E .3.一批产品有一、二、三等品及废品4种,所占比例分别为60%,20%,10%和10%,各级产品的出厂价分别为6元、8.4元、4元和2元,求产品的平均出厂价.解:设产品的出厂价为X (元),则X 的所有可能取值为6,8.4,4,2,由题设可知X 的分布律为X 68.442P6.02.01.01.0则16.51.021.042.08.46.06)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E (元).4.设随机变量X 具有分布:51)(==k X P ,5,4,3,2,1=k ,求)(X E ,)(2X E 及2)2(+X E .解:3)54321(51)(=++++=X E ,11)54321(51)(222222=++++=X E ,274)(4)()44()2(222=++=++=+X E X E X X E X E .5.设离散型随机变量X 的分布列为k k kk X P 21)!2)1((=-=, ,2,1=k ,问X 是否有数学期望.解:因为∑∑∞=∞==⋅-111212)1(k k k k kkk 发散,所以X 的数学期望不存在.6.设随机变量X 具有密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他.,0,22,cos 2)(2πππx x x f 求)(X E 及)(X D .解:因为x x 2cos 在]2,2[ππ-上为奇函数,所以0d cos 2d )()(222=⋅==⎰⎰-∞+∞-πππx x x x x f x X E ,2112d cos 2d )()(2222222-=⋅==⎰⎰-∞+∞-ππππx x x x x f x X E ,故2112)]([)()(222-=-=πX E X E X D .7.设随机变量X 具有密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤<=其他.,0,21,2,10,)(x x x x x f 求)(X E 及)(X D .解:1d )2(d d )()(2112=-+==⎰⎰⎰∞+∞-x x x x x x x f x X E ,67d )2(d d )()(2121322=-+==⎰⎰⎰∞+∞-x x x x x x x f x X E ,61)]([)()(22=-=X E X E X D .8.设随机变量X 在)21,21(-上服从均匀分布,求)sin(X Y π=的数学期望与方差.解:由题可知X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他.,0,2121,1)(x x f 则0d 1sin d )(sin )][sin()(2121=⋅===⎰⎰-∞+∞-x x x x f x X E Y E πππ,21d 1sin d )(sin )]([sin )(21212222=⋅===⎰⎰-∞+∞-x x x x f x X E Y E πππ,21)]([)()(22=-=Y E Y E Y D .9.某正方形场地,按照航空测量的数据,它的边长的数学期望为350m ,又知航空测量的误差随机变量X 的分布列为X (m)30-20-10-0102030P05.008.016.042.016.008.005.0而场地边长随机变量Y 等于边长的数学期望与测量误差之和,即X Y +=350,求场地面积的数学期望.解:设场地面积为S ,则2Y S =,16.01042.0016.0)10(08.0)20(05.030)(⨯+⨯+⨯-+⨯-+⨯-=X E 005.03008.020=⨯+⨯+,16.01042.0016.0)10(08.0)20(05.0)30()(222222⨯+⨯+⨯-+⨯-+⨯-=X E 18605.03008.02022=⨯+⨯+,故)350700(])350[()()(2222++=+==X X E X E Y E S E 122686350)(700)(22=++=X E X E .10.A ,B 两台机床同时加工零件,每生产一批较大的产品时,出次品的概率如下表所示:A 机床次品数X 0123概率P7.02.006.004.0B 机床次品数X 0123概率P8.006.004.010.0问哪一台机床加工质量较好.解:44.004.0306.022.017.00)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ,8.004.0306.022.017.00)(22222=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ,6064.0)]([)()(22=-=X E X E X D ,44.010.0304.0206.018.00)(=⨯+⨯+⨯+⨯=Y E ,12.110.0304.0206.018.00)(22222=⨯+⨯+⨯+⨯=Y E ,9264.0)]([)()(22=-=Y E Y E Y D ,)()(Y E X E =,但)()(Y D X D <,故A 机床加工质量较好.11.设随机变量X 与Y 相互独立,且方差存在,试证:22)]()[()()]([)()()(Y E X D Y D X E Y D X D XY D ++=,由此得出)()()(Y D X D XY D ≥.证:22)]([])[()(XY E XY E XY D -=222)]()([)(Y E X E Y X E -=2222)]([)]([)()(Y E X E Y E X E -=2222)]([)]([})]([)(}{)]([)({Y E X E Y E Y D X E X D -++=22)]()[()()]([)()(Y E X D Y D X E Y D X D ++=.因为)(X D ,)(Y D ,2)]([X E ,2)]([Y E 非负,所以)()()(Y D X D XY D ≥.12.已知随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤++=其他.,010,)(2x c bx x a x f又已知5.0)(=X E ,15.0)(=X D ,求a ,b ,c .解:c b a x c bx x a x x f ++=++==⎰⎰∞+∞-2131d )(d )(1102,c b a x c bx x a x x x f x X E 213141d )(d )()(5.0102++=++===⎰⎰∞+∞-,⎰⎰++-=-==∞+∞-1222d )()5.0(d )()]([)(15.0xc bx x a x x x f X E x X D 41314151-++=c b a ,解之得12=a ,12-=b ,3=c .13.设),(Y X 的分布律为(1)求)(X E 及)(Y E ;(2)设XYZ =,求)(Z E ;(3)设2)(Y X Z -=,求)(Z E .解:(1)2)13.00(3)1.001.0(2)1.01.02.0(1)(=++⨯+++⨯+++⨯=X E ,0)1.01.01.0(1)3.001.0(0)01.02.0()1()(=++⨯+++⨯+++⨯-=Y E ,(2)1.01)3.001.0(00)31(1.021(2.01)(⨯+++⨯+⨯-+⨯-+⨯-=Z E 1511.0311.021-=⨯+⨯+,(3)1.0)01(0)]1(3[1.0)]1(2[2.0)]1(1[)(2222⨯-+⨯--+⨯--+⨯--=Z E 51.0)13(1.0)12(1.0)11(3.0)03(0)02(22222=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+.14.设随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其他.,0,10,20,3),(y x yx y x f求)(X E ,)(Y E ,)(Y X E +及)(22Y X E +.解:⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x f x X E d d ),()(911d d 31020=+⋅=⎰⎰y x y x x ,⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x yf Y E d d ),()(95d d 31020=+⋅=⎰⎰y x y x y ,⎰⎰∞+∞-∞+∞-+=+y x y x f y x Y X E d d ),()()(916d d 3)(1020=+⋅+=⎰⎰y x y x y x ,⎰⎰∞+∞-∞+∞-+=+y x y x f y x Y X E d d ),()()(2222613d d 3)(102022=+⋅+=⎰⎰y x y x y x .15.),(Y X 在区域}1,0,0|),{(≤+≥≥=y x y x y x D 上服从均匀分布,求)(X E ,)23(Y X E -及)(XY E .解:由题可知),(Y X 的联合密度函数为⎩⎨⎧≤≤-≤≤=其他.,0,10,10,2),(y y x y x f ⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x f x X E d d ),()(31d d 21010==⎰⎰-yy x x ,⎰⎰∞+∞-∞+∞--=-y x y x f y x Y X E d d ),()23()23(31d d )23(21010=-=⎰⎰-yy x y x ,⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x xyf XY E d d ),()(121d d 21010==⎰⎰-y y x xy .16.设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=.1,0,1,1),(2222y x y x y x f π证明:随机变量X 与Y 不相关,也不相互独立.证:⎰⎰⎰⎰⋅=⋅=∞+∞-∞+∞-πθθππ201d d cos 1d d 1)(r r r y x x X E ,同理,0)(=Y E ,⎰⎰⎰⎰⋅⋅=⋅=∞+∞-∞+∞-πθθθππ201d d sin cos 1d d 1)(r r r r y x xy XY E ,0)()()(),cov(=-=Y E X E XY E Y X ,故随机变量X 与Y 不相关.当11≤≤-x 时,ππ21112d 1d ),()(22x y y y x f x f x x X -===⎰⎰---∞+∞-,其他,0)(=x f X ,故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其他.,0,11,12)(2x x x f X π同理,⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其他.,0,11,12)(2y y y f Y π易得)()(),(y f x f y x f Y X ≠,故随机变量X 与Y 不相互独立.17.设随机变量1X ,2X 的概率密度分别为⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e 2)(21x x x f x ,⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e 4)(42y y y f y 试用数学期望的性质求:(1))(21X X E +及)32(221X X E -;(2)又设1X ,2X 相互独立,求)(21X X E .解:由题可知1X ~)2(E ,2X ~)4(E ,则21)(1=X E ,41)(2=X E ,161)(2=X D ,81)]([)()(22222=+=X E X D X E .(1)43)()()(2121=+=+X E X E X X E ,85)(3)(2)32(221221=-=-X E X E X X E .(2)81)()()(2121==X E X E X X E .18.(1)设1X ,2X ,3X 及4X 独立同在)1,0(上服从均匀分布,求)51(41∑=k k kX D ;(2)已知随机变量X ,Y 的方差分别为25和36,相关系数为4.0,求Y X U 23+=的方差.解:(1)由题易得121)(=i X D ,)51(41∑=k k kX D )(5141∑==k kkX D )](4)(3)(2)([514321X D X D X D X D +++=21)4321(121512222=+++⋅=.(2)由已知25)(=X D ,36)(=Y D ,4.0)()(),cov(==Y D X D Y X XY ρ,得12),cov(=Y X ,)2,3cov(2)2()3()23()(Y X Y D X D Y X D U D ++=+=513),cov(232)(2)(322=⋅⋅++=Y X Y D X D .19.一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车,如果到达一个车站没有旅客下车就不停车,以X 表示停车的次数,求)(X E (设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立).解:引入随机变量⎩⎨⎧=站无人下车.,在第站有人下车;,在第i i X i 01,10,,2,1 =i .易知1021X X X X +++= .按题意,任一旅客在第i 站不下车的概率为9.0,因此20位旅客都不在第i 站下车的概率为209.0,在第i 站有人下车的概率为209.01-,也就是209.0)0(==i X P ,209.01)1(-==i X P ,10,,2,1 =i .由此209.01)(-=i X E ,10,,2,1 =i .进而)()()()()(10211021X E X E X E X X X E X E +++=+++= 784.8)9.01(1020=-=(次).20.将n 只球(1~n 号)随机地放进n 只盒子(1~n 号)中去,一只盒子装一只球.若一只球装入与球同号的盒子中,称为一个配对,记X 为总的配对数,求)(X E .解:引入随机变量⎩⎨⎧=号盒子.号球未放入第第号盒子号球放入第第i i i i X i ,0,,1,n i ,,2,1 =,则n X X X X +++= 21,显然n X P i 1)1(==,则nX P i 11)0(-==,n i ,,2,1 =,从而nX E i 1)(=,n i ,,2,1 =,于是1)()()()()(2121=+++=+++=n n X E X E X E X X X E X E .21.设随机变量),(Y X 的分布律为试验证X 和Y 是不相关的,但X 和Y 不是相互独立的.证:0)25.00(2)025.0(1)025.0()1()25.00(2)(=+⨯++⨯++⨯-++⨯-=X E ,5)25.00025.0(4)025.025.00(1)(=+++⨯++++⨯=Y E ,0)4(25.0)8(0225.0125.0)1(02)(⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯-+⨯-=XY E 025.0804=⨯+⨯+,所以0)()()(),cov(=-=Y E X E XY E Y X ,故X 与Y 不相关.易知25.025.00)2(=+=-=X P ,5.0025.025.00)1(=+++==Y P ,0)1,2(==-=Y X P ,有)1()2()1,2(=-=≠=-=Y P X P Y X P ,故X 与Y 不相互独立.22.设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤+=其他.,0,10,10,),(y x y x y x f 求)(X E ,)(Y E ,)(X D ,)(Y D ,)(XY E ,),cov(Y X 及XY ρ.解:127d d )(d d ),()(1010=+==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x x y x y x f x X E ,125d d )(d d ),()(1010222=+==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x x y x y x f x X E ,14411)]([)()(22=-=X E X E X D ,由轮换对称性,得127)(=Y E ,14411)(=Y D ,31d d )(d d ),()(1010=+==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x xy y x y x xyf XY E ,1441)()()(),cov(-=-=Y E X E XY E Y X ,111)()(),cov(-==Y D X D Y X XY ρ.23.设X ~),(2σμN ,Y ~),(2σμN ,且X ,Y 相互独立.求Y X Z βα+=1和Y X Z βα-=2的相关系数(α,β是不为0的常数).解:由题可知μ==)()(Y E X E ,2)()(σ==Y D X D ,则2222)]([)()(σμ+=+=X E X D X E ,2222)]([)()(σμ+=+=Y E Y D Y E ,μβαβα)()()(1+=+=Y X E Z E ,μβαβα)()()(2-=-=Y X E Z E ,222221)()()()()(σβαβαβα+=+=+=Y D X D Y X D Z D ,222222)()()()()(σβαβαβα+=+=-=Y D X D Y X D Z D ,)()])([()(222221Y X E Y X Y X E Z Z E βαβαβα-=-+=))(()()(22222222σμβαβα+-=-=Y E X E ,222212121)()()()(),cov(σβα-=-=Z E Z E Z Z E Z Z ,22222121)()(),cov(21βαβαρ+-==Z D Z D Z Z Z Z .24.设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤--=.,0,10,10,2),(其他y x y x y x f (1)求),cov(Y X ,XY ρ和)32(Y X D -;11(2)X 与Y 是否独立?解:(1)125d d )2(d d ),()(1010=--==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x x y x y x f x X E ,41d d )2(d d ),()(1010222=--==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x x y x y x f x X E ,61d d )2(d d ),()(1010=--==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x xy y x y x xyf XY E ,14411)]([)()(22=-=X E X E X D ,由轮换对称性,125)(=Y E ,14411)(=Y D ,1441)()()(),cov(-=-=Y E X E XY E Y X ,111)()(),cov(-==Y D X D Y X XY ρ,)3,2cov(2)3()2()32(Y X Y D X D Y X D -+-+=-144155),cov(12)(3)(222=-+=Y X Y D X D .(2)当10≤≤x 时,x y y x y y x f x f X -=--==⎰⎰∞+∞-23d )2(d ),()(10,其他,0)(=x f X ,故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他.,0,10,23)(x x x f X 同理,⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他.,0,10,23)(y y y f Y 因为)()(),(y f x f y x f Y X ≠,故X 与Y 不相互独立.。

概率论与数理统计第4章习题

概率论与数理统计第4章习题
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1
2.已知X的密度函数为
f ( x)
1

e
x 2 2 x 1
, 则EX ______
解: EX xf ( x )dx

1 ( x 1 ) 2 xe dx 1 2
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2 0.5 0.3 0.8
02 2 1 2 0.2 P{X 0}
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11
3. 设随机变量X服从参数为2的泊松分布,求
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10
2. 若随机变量 服从均值为, 方差为 的正态 X 2
2
分布,且 {2 X 4} 0.3, 求P{ X 0}. P
解: X ~ N(2, 2)由 P{2 X 4} 0.3
2 (0) 0.3
一、填空题
习题四
1.设X表示10次独立重复射击命中目 标的次数, 每次射中目标的概率为 .4,则X 的数学期望 0
2
E(X 2 _______ ) . 解:X ~ B( ,.4 10 0 ) EX 10 0.4 4 DX 10 0.4 0.6 2.4
EX 2 DX ( EX ) 2 18.4
cov(X ,Y ) XY DX DY 0.5 2 3 3
D(2 X 3Y ) 2 4 3 9 12 3 61
2 2
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概率论与数理统计习题解答(第4章)

概率论与数理统计习题解答(第4章)

第4章习题答案三、解答题1. 设随机变量X求)(X E ,)(2X E ,)53(+X E .解:E (X ) =∑∞=1i ixp= ()2-4.0⨯+03.0⨯+23.0⨯= -0.2E (X 2 ) =∑∞=12i i p x= 44.0⨯+ 03.0⨯+ 43.0⨯= 2.8E (3 X +5) =3 E (X ) +5 =3()2.0-⨯+5 = 4.42. 同时掷八颗骰子,求八颗骰子所掷出的点数和的数学期望. 解:记掷1颗骰子所掷出的点数为X i ,则X i 的分布律为6,,2,1,6/1}{ ===i i X P记掷8颗骰子所掷出的点数为X ,同时掷8颗骰子,相当于作了8次独立重复的试验, E (X i ) =1/6×(1+2+3+4+5+6)=21/6 E (X ) =8×21/3=283. 某图书馆的读者借阅甲种图书的概率为p 1,借阅乙种图书的概率为p 2,设每人借阅甲乙图书的行为相互独立,读者之间的行为也是相互独立的. (1) 某天恰有n 个读者,求借阅甲种图书的人数的数学期望.(2) 某天恰有n 个读者,求甲乙两种图书至少借阅一种的人数的数学期望. 解:(1) 设借阅甲种图书的人数为X ,则X~B (n , p 1),所以E (X )= n p 1 (2) 设甲乙两种图书至少借阅一种的人数为Y , 则Y ~B (n , p ),记A ={借甲种图书}, B ={借乙种图书},则p ={A ∪ B }= p 1+ p 2 - p 1 p 2 所以E (Y )= n (p 1+ p 2 - p 1 p 2 )4. 将n 个考生的的录取通知书分别装入n 个信封,在每个信封上任意写上一个考生的姓名、地址发出,用X 表示n 个考生中收到自己通知书的人数,求E (X ).解:依题意,X~B (n ,1/n ),所以E (X ) =1.5. 设)(~λP X ,且}6{}5{===X P X P ,求E (X ). 解:由题意知X ~P (λ),则X 的分布律P {}k X ==λλ-e k k!,k = 1,2,...又P {}5=X =P {}6=X , 所以λλλλ--=e e!6!565解得6=λ,所以E (X ) = 6.6. 设随机变量X 的分布律为,,4,3,2,1,6}{22 --===k kk X P π问X 的数学期望是否存在?解:因为级数∑∑∑∞=+∞=+∞=+-=-=⨯-11212112211)1(6)6)1(()6)1((k k k k k k kk k k πππ, 而∑∞=11k k 发散,所以X 的数学期望不存在.7. 某城市一天的用电量X (十万度计)是一个随机变量,其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>=-.0,0,91)(3/其它x xe x f x 求一天的平均耗电量.解:E (X ) =⎰⎰⎰∞-∞-∞∞-==03/203/9191)(dx e x dx xe xdx x f x x x =6.8. 设某种家电的寿命X (以年计)是一个随机变量,其分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>-=.0,5,251)(2其它x x x F求这种家电的平均寿命E (X ).解:由题意知,随机变量X 的概率密度为)()(x F x f '=当x >5时,=)(x f 3350252xx =⨯--,当x ≤5时,=)(x f 0. E (X ) =10|5050)(5-53=-==∞++∞∞+∞⎰⎰xdx x x dx x xf所以这种家电的平均寿命E (X )=10年.9. 在制作某种食品时,面粉所占的比例X 的概率密度为⎩⎨⎧<<-=.0,10,)1(42)(5其它x x x x f 求X 的数学期望E (X ).解:E (X ) =dx x x dx x xf ⎰⎰+∞∞-=-152)1(42)(=1/410. 设随机变量X 的概率密度如下,求E (X ).⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<-≤≤-+=.010,)1(2301)1(23)(22其它,,,,x x x x x f解:0)1(1023)1(0123)()(22=-++-=+∞∞-=⎰⎰⎰dx x x dx x x dx x xf X E .111. 设),4(~p B X ,求数学期望)2(sinX E π. 解:X 的分布律为k n kk n p p C k X P --==)1(}{, k = 0,1,2,3,4,X 取值为0,1,2,3,4时,2sinX π相应的取值为0,1,0,-1,0,所以 )21)(1(4)1(1)1(1)2(sin13343114p p p p p C p p C X E --=-⨯--⨯=π12. 设风速V 在(0,a )上服从均匀分布,飞机机翼受到的正压力W 是V 的函数:2kV W =,(k > 0,常数),求W 的数学期望.解:V 的分布律为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它 ,00 ,1)(a v a v f ,所以 ===+∞∞-=⎰⎰aa v a k dv a kv dx v f kv W E 03022|)31(1)()(231ka13. 设随机变量(X ,求E (X ),E (Y ),E (X – Y ).解:E (X )=0×(3/28+9/28+3/28)+1×(3/14+3/14+0)+ 2×(1/28+0+0)= 7/14=1/2 E (Y )=0×(3/28+3/14+1/28)+1×(9/28+3/14+0)+ 2×(3/28+0+0)=21/28=3/4 E (X -Y ) = E (X )- E (Y )=1/2-3/4= -1/4.14. 设随机变量(X ,Y )具有概率密度⎩⎨⎧≤+≤≤≤≤=其它,01,10,10,24),(y x y x xy y x f ,求E (X ),E (Y ),E (XY )解:E (X )=⎰⎰⎰⎰-=⋅11022424xDydydx x xydxdy x dx x x ⎰-⋅=1022)1(2124dx x x x ⎰+-=10432)2412(52)51264(1543=+-=x x x.152)34524638()1(31242424)(5/22424)(1065431101032221102=-+-=-⋅==⋅===⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--x x x x dx x x dydx y xxydxdy xy XY E xdxdy yxydxdy y Y E DxDy15.所得利润(以元计)为)12(1000X Y -=,求E (Y ),D (Y ).解: E (Y) = E [1000(12-X )]=1000E [(12-X )]=1000×[(12-10)×0.2+(12-11)]×0.3+(12-12)×0.3+(12-13)×0.1+(12-14)×0.1] = 400E (Y 2) = E [10002(12-X )2]=10002E [(12-X )2]=10002[(12-10)2×0.2+(12-11)2×0.3+(12-12)2×0.3+(12-13)2×0.1 +(12-14)2×0.1]=1.6×106D (Y )=E (Y 2)-[E (Y )]2=1.6×106- 4002=1.44×10616. 设随机变量X 服从几何分布 ,其分布律为,,2,1,)1(}{1 =-==-k p p k X P k 其中0 < p < 1是常数,求E (X ),D (X ).解:令q=1- p ,则∑∑∑∑∞=∞=-∞=-∞==⨯=⨯==⨯=111111)()}{()(k kk k k k k dqdq p qk p p qk k X P k X Ep q dq d p q dq d p k k /1)11(0∑∞==-==∑∑∑∑∞=-∞=-∞=-∞=⨯+⨯-=⨯==⨯=1111112122])1([)()}{()(k k k k k k k q k qk k p p qk k X P k X Ep qk k pq k k /1)1(12+⨯-=∑∞=-p qdq d pq p q dqd pq k k kk /1)(/1012222∑∑∞=∞=+=+=p p q p q pq p q dq d pq /1/2/1)1(2/1)11(2322+=+-=+-= D (X ) = E (X 2)- E (X ) =2q /p 2+1/p -1/p 2 = (1-p )/p 217. 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<-=其它,01||,11)(2x x x f π,试求E (X ),D (X ).解:E (X )=011)(112=-=⎰⎰-∞∞-dx xxdx x f x πD (X )=E (X 2)=⎰⎰⎰--∈-∞∞-=-=2/2/2]2/,2/[11222cos sin sin 11)(ππππππdt tt tx dx xxdx x f x t2122cos 122/0=-=⎰ππdt t 18. 设随机变量(X ,Y )具有D (X ) = 9,D (Y ) = 4,6/1-=XY ρ,求)(Y X D +,)43(+-Y X D .解:因为)()(),(Y D X D Y X Cov XY =ρ,所以)()(),(Y D X D Y X Cov XY ρ==-1/6×3×2=-1,11249),(2)()()(=-+=++=+Y X Cov Y D X D Y X D51)1(6369)3,(2)(9)()43(=--+=-++=+-Y X Cov Y D X D Y X D19. 在题13中求Cov (X ,Y ),ρXY . 解:E (X ) =1/2, E (Y ) =3/4, E (XY )=0×(3/28+9/28+3/28+3/14+1/28)+1×3/14+2×0+4×0=3/14, E (X 2)= 02×(3/28+9/28+3/28)+12×(3/14+3/14+0)+ 22×(1/28+0+0)=4/7, E (Y 2)= 02×(3/28+3/14+1/28)+12×(9/28+3/14+0)+ 22×(3/28+0+0)=27/28, D (X )= E (X 2) -[E (X )]2 = 4/7-(1/2)2= 9/28, D (Y )= E (Y 2)- [E (Y )]2=27/28-(3/4)2= 45/112, Cov (X ,Y )= E (XY )- E (X ) E (Y ) =3/14- (1/2) ×(3/4)= -9/56, ρXY = Cov (X ,Y ) /()(X D )(Y D )=-9/56 ÷ (28/9112/45)= -5/520. 在题14中求Cov (X ,Y ),ρXY ,D (X + Y ).解:52)()(==Y E X E ,,)(152=XY E 752)()()(),(-=-=Y E X E XY E Y X Cov)(5124)(2101032Y E dydx y x X E x ===⎰⎰-[])(25125451)()()(22Y D X E X E X D ==-=-=752),(2)()()(32)()(),(=++=+-==Y X Cov Y D X D Y X D Y D X D Y X Cov XYρ21. 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤+=.0,1,1),(22其它y x y x f π试验证X 和Y 是不相关的,但X 和Y 不是相互独立的.解:0/12/)(112111122=-==⎰⎰⎰-----dx x x dydx x X E x xππOx2x20/)(111122==⎰⎰----x x dydx y Y E π 0/)(111122==⎰⎰----x x dydx xy XY E π,所以Cov (X ,Y )=0,ρXY =0,即X 和Y 是不相关.⎪⎩⎪⎨⎧<<--=⎪⎩⎪⎨⎧<<-==⎰⎰---∞+∞-其他,,其他,01112011,/1),()(21122x x x dy dy y x f x f x x X ππ ⎪⎩⎪⎨⎧<<--=⎪⎩⎪⎨⎧<<-==⎰⎰---∞+∞-其他,,其他,01112011,/1),()(21122y y y dx dx y x f y f y y Y ππ 当x 2 + y 2≤1时,f ( x,y )≠f X ( x ) f Y (y ),所以X 和Y 不是相互独立的22. 设随机变量(X , Y )的概率密度为⎩⎨⎧<<<=.010,2||,2/1),(其它x x y y x f 验证X 和Y 是不相关的,但X 和Y 不是相互独立的.解:由于f ( x,y )的非零区域为D : 0 < x < 1, | y |< 2x32221102212====⎰⎰⎰⎰⎰-dx x xdydx dxdy y x xf X E xx D ),()(,0211022⎰⎰⎰⎰-===xx Dydydx dxdy y x yf Y E ),()(,0211022⎰⎰⎰⎰-===xx Dxydydx dxdy y x xyf XY E ),()(,所以Cov (X ,Y )=0,从而0)()(),(==y D x D y x Cov xy ρ,因此X 与Y 不相关 .⎪⎩⎪⎨⎧<<===⎰⎰-∞∞-其他,010,221),()(22Xx x dy dy y x f x x x f⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤-=<<-+===⎰⎰⎰-∞+∞-其他,020,421202,42121),()(1212Y y y dx y y dx dx y x f y y y f所以,当0<x <1, -2<y<2时,)()(),(y f x f y x f Y X ≠,所以X 和Y 不是相互独立的 .⎪⎩⎪⎨⎧≤>>=⎩⎨⎧≥<<--==-0,00,0,1)(,0),()(y y e y f Y x Y mx xY Y x n mY Y Q Q y Y θθθ的密度函数为[]()()()取最大值时,当又则令)(n ln 0n m )(d n ln,n 0)(1)()(d )()()()(1.1.)()(.)()( 20000000Q E n m x e dx Q E n m x n m e n e n m n e n m dx Q E nxn m e n m mxenx nxe e n m xe n m mxe nxe dy n m e ye n m mxde de nx yde n m dye mx dy e y x n my dy Yf Y Q Q E x xxx x x x x y x xyx y x y x y x y x y y x x y x y Y +-=∴<+-=+-=∴+==-+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=-+++-=+-++-+-=-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+=-++-=+--==---------∞+----∞+---∞+--∞∞-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ四、应用题.1. 某公司计划开发一种新产品市场,并试图确定该产品的产量,他们估计出售一件产品可获利m 元,而积压一件产品导致n 元的损失,再者,他们预测销售量Y (件)服从参数θ的解:设生产x 件产品时,获利Q 为销售量Y 的函数2. 设卖报人每日的潜在卖报数为X 服从参数为λ的泊松分布,如果每日卖出一份报可获报酬m 元,卖不掉而退回则每日赔偿n 元,若每日卖报人买进r 份报,求其期望所得及最佳卖报数。

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第四章 随机变量的数字特征
且E (X )=1,则常

x =
21.已知随机变量X 的分布律为

20.设随机变量X 的概率密度为⎪⎩

⎨⎧≤≤=,,0;10,2)(其他x x x f 则E (|X |)=______.
7.设随机变量X 服从参数为2
1
的指数分布,则E (X )=( ) A.
4
1
B.
2
1 C.
2 D.4
29.假定暑假市场上对冰淇淋的需求量是随机变量X 盒,它服从区间[200,400]上的均匀分布,设每售出一盒冰淇淋可为小店挣得1元,但假如销售不出而屯积于冰箱,则每盒赔3元。

问小店应组织多少货源,才能使平均收益最大?
29.设某型号电视机的使用寿命X 服从参数为1的指数分布(单位:万小时). 求:(1)该型号电视机的使用寿命超过t (t >0)的概率; (2)该型号电视机的平均使用寿命.
求: (1)常数a ,b ; (2)X 的分布函数F (x ); (3)E (X ).
二、方差
127.设随机变量X 服从参数为2的泊松分布,则下列结论中正确的是( ) A.E (X )=0.5,D (X )=0.5 B.E (X )=0.5,D (X )=0.25 C.E (X )=2,D (X )=4
D.E (X )=2,D (X )=2
8.设随机变量X 与Y 相互独立,且X ~N (1,4),Y ~N (0,1),令Z=X -Y ,则E (Z 2)=( ) A.1 B.4 C.5
D.6
28.设随机变量X 的概率密度为


⎧≤≤-=.,x ,cx x f 其他;
)(0222 试求:(1)常数c ;(2)E (X ),D (X );(3)P {|X -E (X )| < D (X )}.
7.设随机变量X~N (1,22),Y~N (1,2),已知X 与Y 相互独立,则3X-2Y 的方差为( ) A .8
B .16
C .28
D .44
20.设随机变量X 在区间[0,5]上服从均匀分布,则D (X )=______________.
2E (X )及D (X )。

8.已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布,则随机变量X 的方差为( ) A.-2 B.0
C.
2
1
D.2 19.设X ~N(0,1),Y=2X-3,则D(Y)=_______.
19.设随机变量X 服从二项分布⎪⎭⎫
⎝⎛31,3B ,则)(2X E =______.
28.设随机变量X 的概率密度为⎩
⎨⎧≤≤-=.,0;
22,)(其他x A x f
试求:(1)常数{}1)3();(),()2(:≤X P X D X E A .
8.已知随机变量X ~N (0,1),则随机变量Y =2X +10的方差为( ) A .1 B .2 C .4
D .14
27.设随机变量X 的概率密度为⎪⎩

⎨⎧<≤-<≤-+=.,0,10,1,01,1)(其他x x x x x f 试求E (X )及D (X ).
5.设随机变量X 的概率密度为4
)3(2
e
2
π21)(+-
=
x x f , 则E (X ), D (X )分别为 ( )
A .2,3-
B .-3, 2
C .2,
3
D .3, 2

19.设X~N (0,1),Y~B (16,21
),且两随机变量相互独立,则D (2X+Y )= ________________.
19.设随机变量X ~B ⎪⎭

⎝⎛31,18,Y 服从参数为3的泊松分布,且X 与Y 相互独立,则
D (X +Y )=______.
8.设随机变量X 与Y 相互独立,且X ~N (0,9),Y ~N (0,1),令Z =X -2Y ,则D (Z )=( ) A.5 B.7 C.11 D.13
三、协方差和相关系数
9.已知D (X )=4,D (Y )=25,Cov (X ,Y )=4,则ρXY =( )
A.0.004
B.0.04
C.0.4
D.4
20.设E (X )=2,E (Y )=3,E (XY )=7,则Cov (2X ,Y )=___________。

19.设X ,Y 为随机变量,D (X )=25,D (Y )=16,Cov (X ,Y )=8,则相关系数 ρ
XY =______________.
28.设随机变量X 与Y 相互独立,且都服从正态分布N (0,σ2),记U=αX+βY, V=αX-βY (α与β为不相等的常数).求
(1)D (U )和D (V );
(2)U 与V 的相关系数ρuv . 6.设E (X ),E (Y ),D (X ),D (Y )及Cov (X ,Y )均存在,则D (X -Y )=( ) A.D (X )+D (Y ) B.D (X )-D (Y ) C.D (X )+D (Y )-2Cov (X ,Y ) D.D (X )-D (Y )+2Cov (X ,Y )
23.设X 1,X 2,Y 均为随机变量,已知Cov (X 1,Y )=-1,Cov (X 2,Y )=3,则Cov (X 1+2X 2,Y )=____________.
7.设二维随机变量(X ,Y )的分布律为
C. D (X +Y )=D (X )+D (Y )
D.Cov (2X ,2Y )=2Cov (X ,Y )
18.设随机变量X 的期望2)(=X E ,方差4)(=X D ,随机变量Y 的期望4)(=Y E ,方差,10)(,9)(==XY E Y D 又,则X ,Y 的相关系数ρ=______.
20.设随机变量X ,Y 的期望方差为E (X )=0.5,E (Y )=-0.5,D (X )=D (Y )=0.75,E (XY )=0,则X ,Y 的相关系数ρ
XY =______.
29.设随机变量X ,Y 相互独立,X ~N (0,1),Y ~N (0,4),U=X +Y ,V=X -Y , 求(1)E (XY );(2)D (U ),D (V );(3)Cov(U ,V ).
8.设X , Y 为随机变量, D (X )=4, D (Y )=16, Cov (X ,Y )=2, 则XY ρ=( ) A .
32
1 B .161 C .8
1
D .
4
1 29.设二维随机变量 (X , Y )的分布律为
求: (1) (X , Y )分别关于X , Y 的边缘分布律; (2)D (X ), D (Y ), Cov (X , Y ).。

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