5 线性动态电路方程的拉普拉斯变换解法
电路的拉普拉斯变换分析法
E s2 2
E s2 2
- sT
e2
E s2 2
- sT
1 e 2
半波正弦周期函数的拉普拉斯变换为
- sT
L
f t
E s2 2
1e 2 1- e-sT
E s2 2
1
- sT
1-e 2
7.2.4 频率平移特性
若 f (t) L
F (s)
则 L{ f (t)e-s0t } F (s - s0 )
( a)
=0
lim e-(s-a)t 0
t
( a)
a 称为收敛域
拉氏反变换 由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，简称拉氏反变换
拉氏变换对
f (t) 1
j
F
(
s)e
st
ds
2j - j
F(s) L[ f (t)] 拉氏正变换 f (t) L-1[F(s)] 拉氏反变换
tf
tdt
f
0
可得
LAd
t
0
Ad
t e-st
dt
Ae0
A
对于单位冲激函数来说，可令上式 A=1，即得：
Ld t 1
书中表7 -1给出了一些常见函数的拉普拉斯变换
拉氏变换法的实质就是将微分方程经数学变换转变成代数 方程，然后进行代数运算，再将所得的结果变换回去。它 和应用对数计算数的乘除相类似。不同的只是在对数运算 中变换的对象是数，而在拉氏变换中变换的对象是函数。
dt
0- dt
L[ f '(t)] L[ df (t)] df (t) e-st dt
dt
0- dt
由上式应用分部积分法，有
L[df (t)] dt
拉普拉斯变换及线性微分方程求解
∞
δ (t )0
∞ 0
0+
δ (t ) e ∫
∞
st
dt = 0
型拉氏变换
st
∫ δ (t )e
0+ 0
dt = ∫ δ (t )e dt + ∫ δ (t )e dt
st st 0 0+
0+
= ∫ δ (t )e st dt = 1
四,拉氏变换的几个基本规则
1,线性性质 设F1(s)=L[f1(t)],F2(s)= L[f2(t)] ,a和b都是常数,则
由于
′ uc (0) =
duc (t ) 1 1 = i (t ) = i (0) = 0.1V dt t =0 C C t =0
将L,R,C, uc(0),uc'(0),代入得到
U c ( s) =
U r ( s) 0.1s + 0.2 + 2 s2 + s +1 s + s +1
由于Ur(s)=1/s,故有
五,拉普拉斯反变换
1 L [ f ( t )] = 2π j
1
σ + j∞ σ j∞
F ( s ) e st dt = f ( t ) ∫
由F(s)求f(t)常用部分分式法
B ( s ) b0 s m + b1 s m 1 + L + b m 1 s + b m F (s) = = A( s ) s n + a1 s n 1 + L + a n 1 s + a n
拉氏反变换得
uc (t ) = 1 e 0.5t sin 0.866t 0.6667e 0.5t cos 0.866t + 0.1e 0.5t sin 0.866t + 2.2575e 0.5t cos 0.866t uc (t ) = 1 0.9e 0.5t sin 0.866t + 1.59e 0.5t cos 0.866t
电路动态分析的方法
电路动态分析的方法电路动态分析是指对电路中各个元件和节点的电压和电流随时间的变化进行分析。
在电路动态分析中，可以使用多种方法来求解电路的动态响应。
下面将介绍几种常用的电路动态分析方法。
1. 拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法是一种在时间域和频率域之间进行转换的方法。
通过将电路中的微分方程转换为复频域中的代数方程，可以求解电路的动态响应。
在电路动态分析中，可以利用拉普拉斯变换法求解电路的响应和传输函数，并通过逆拉普拉斯变换将结果转换回时间域。
这种方法适用于线性时间不变系统和输入信号为简单波形的情况。
2. 时域响应法时域响应法是直接求解电路微分方程的方法。
通过对电路中的每个元件应用基尔霍夫定律和欧姆定律，可以得到电路中各个节点和元件的微分方程。
然后，可以采用常微分方程的求解方法，如欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法等，来求解电路的动态响应。
时域响应法适用于任何输入信号和非线性电路。
3. 复频域法复频域法是通过复频域分析电路的动态响应。
它利用频率响应函数来描述系统的响应特性，并通过计算复频域中的传输函数和频率响应来求解电路的动态响应。
复频域法常用的分析工具包括频域响应函数、波特图、极点分析等。
复频域法适用于频率变化较大的信号和线性时不变系统。
4. 有限差分法有限差分法是将微分方程转化为差分方程求解的方法。
通过将时间连续的差分方程转换为时间离散的差分方程，可以用数值方法求解电路的动态响应。
有限差分法可以采用欧拉法、梯形法、显式或隐式的Runge-Kutta等方法来求解。
这种方法适用于任何非线性系统和任意输入信号。
5. 传递函数法传递函数法是通过传递函数来描述电路的响应特性。
传递函数是表示输入和输出关系的函数，可以通过对电路进行小信号线性化得到。
利用传递函数可以方便地计算和分析电路的动态响应。
传递函数法适用于线性时不变系统和复频域分析。
在实际应用中，根据具体问题和所需求解的电路，可以选择适合的动态分析方法。
不同方法有各自的优缺点，需要根据具体情况进行选择。
一般线性电路的动态分析-拉氏变换法
适用范围讨论
线性时不变系统
拉氏变换特别适用于线性时不变系统的 分析，如RC、RL和RLC电路等。
稳定性分析
通过拉氏变换可以方便地分析系统的 稳定性，判断系统是否稳定以及稳定
的程度。
初始值问题和边值问题
拉氏变换适用于求解具有初始值或边 值条件的微分方程，如电路中的初始 条件和边界条件等。
频率响应分析
06 拉氏变换法优缺点及适用 范围讨论
优点总结
简化计算
拉氏变换能将时域微分方程转换 为复频域的代数方程，从而大大 简化了计算过程。
方便系统分析
通过拉氏变换，可以方便地分析 系统的频率响应、稳定性以及暂 态和稳态性能。
适用于线性时不变系统
拉氏变换特别适用于线性时不变 系统的分析，这类系统在工程实 际中非常常见。
拉氏变换可以用于分析系统的频率响 应特性，如幅频特性和相频特性等。
07 结论与展望
研究成果总结
提出了基于拉氏变换法的一般线性电路动态分析方法，该方法能够有效地解决线性电路在时域分析中 的困难，通过变换将时域问题转化为频域问题进行处理。
通过对实际电路进行建模和仿真，验证了所提方法的有效性和准确性，结果表明该方法具有较高的计算 精度和效率。
缺点分析
收敛性限制
拉氏变换要求函数在实数轴上绝对可积，这限制了其应用范围。对于某些不满足绝对可积条件的 函数，可能需要采用其他方法进行分析。
无法直接处理非线性问题
拉氏变换是一种线性变换方法，对于非线性问题无法直接处理，需要采用其他方法进行分析。
无法直接处理时变系统
对于时变系统，拉氏变换无法直接应用，需要采用其他方法进行分析。
一般线性电路的动态分析-拉氏变 换法
目录
一般线性电路的动态分析--拉氏变换法
L [ F ( s )]
2 j c j
F ( s )e ds
注意：拉普拉斯正变换、反变换必须一一对应！
例：求以下函数的象函数：冲激函数； （复习相关知识） （3）指数函数。 解：（1） 单位阶跃函数 f(t) =ε(t)
st 0
2、拉普拉斯反变换
f (t )
1 2
j
c j
c j
F ( s )e ds
st
通常可以L [ ]符号表示对方括号里的时域函 数作拉氏变换；
L[ f (t )] f (t )e dt F ( s)
st 0
用符号L-1 [ ]表示对方括号里的复变函数作 拉氏反变换。 1 c j 1 st
例：利用导数性质求以下函数的象函数：
（1）f(t)=cos(ωt) （2）f(t)=δ(t)
1 d sin(t ) 解：（1） cos( t ) dt
L[sin(t )] 2 s 2
1 d sin(t ) L[cos( t )] L dt 1 s 2 - 0 2 s s 2 s 2
常用函数的拉氏变换及反变换对应表
原函数f(t) cos(ωt)
e-atcos(ωt) t t e-at
象函数F(s)
s s2 2 sa ( s a) 2 2
1 s2 1 ( s a) 2
常用函数的拉氏变换表见教材。
§9.3 拉普拉斯反变换
一、部分分式展开法
电路响应的象函数通常可表示为两个实系 数的s的多项式之比，即s的一个有理分式
结论： 由此可见，根据拉氏变换的性质，可以简化 常用函数的拉普拉斯变换。
常用函数的拉氏变换及反变换对应表 原函数f(t)
拉氏变换常用公式
拉氏变换常用公式拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，用于求解线性常系数常微分方程和线性差分方程。
在控制工程、信号与系统、电路分析等领域中，拉普拉斯变换被广泛应用。
下面是拉普拉斯变换中一些常用的公式：1.输入信号：f(t)的拉普拉斯变换：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞] (e^(-st))(f(t)) dt2.单位阶跃函数u(t)的拉普拉斯变换：U(s)=L[u(t)]=1/s3.延时函数f(t-T)的拉普拉斯变换：L[f(t-T)]=e^(-Ts)F(s)4.积分操作的拉普拉斯变换：L[∫[0,t]f(τ)dτ]=1/sF(s)5.导数操作的拉普拉斯变换：L[dⁿf(t) / dtⁿ] = sⁿF(s) - sⁿ⁻¹f(0) - sⁿ⁻²f'(0) - ... - f⁽ⁿ⁻¹⁾(0)6.二阶导数操作的拉普拉斯变换：L[d²f(t) / dt²] = s²F(s) - sf(0) - f'(0)7.卷积操作的拉普拉斯变换：L[f(t)*g(t)]=F(s)G(s)8.乘法操作的拉普拉斯变换：L[f(t)g(t)]=F(s)*G(s)9.常用单位阶跃函数和冲激函数的拉普拉斯变换：(1)f(t)=u(t)的拉普拉斯变换：F(s)=L[u(t)]=1/s(2)f(t)=t^nu(t)的拉普拉斯变换：F(s)=L[t^nu(t)]=n!/s^(n+1)(3) f(t) = e^(at) u(t)的拉普拉斯变换：F(s) = L[e^(at) u(t)] = 1 / (s - a)(4) f(t) = sin(ωt) u(t)的拉普拉斯变换：F(s) = L[sin(ωt) u(t)] = ω / (s² + ω²) (5) f(t) = cos(ωt) u(t)的拉普拉斯变换：F(s) = L[cos(ωt) u(t)] = s / (s² + ω²) (6)f(t)=δ(t)的拉普拉斯变换：F(s)=L[δ(t)]=1(7) f(t) = e^(at) δ(t)的拉普拉斯变换：F(s) = L[e^(at) δ(t)] = 1 / (s - a)(8) f(t) = sin(ωt) δ(t)的拉普拉斯变换：F(s) = L[sin(ωt) δ(t)] = ω / (s² + ω²)(9) f(t) = cos(ωt) δ(t)的拉普拉斯变换：F(s) = L[cos(ωt) δ(t)] = s / (s² + ω²)拉普拉斯变换的公式非常有用，可以将时域问题转化为复频域问题，从而更容易进行分析和求解。
拉普拉斯变换公式
拉普拉斯变换公式拉普拉斯变换是一种在信号处理和控制系统中常用的数学工具，广泛应用于电路分析、线性系统分析、图像处理等领域。
拉普拉斯变换将一个时间域函数转换为一个复频域函数，从而方便对信号进行分析和处理。
在数学上，拉普拉斯变换可以理解为傅里叶变换的一种推广形式。
设函数f(t)在t≥0上有定义且满足一些条件，拉普拉斯变换定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt,其中，s为复频域变量，F(s)为f(t)的拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换的主要特点是将常微分方程和时间域中的卷积运算变换为代数运算和复频域中的乘法运算，从而简化了分析和求解的过程。
1. 线性性质：对于任意常数a和b，有L{af(t) + bg(t)} = aF(s)+ bG(s)；2. 平移性质：若F(s)为f(t)的拉普拉斯变换，则e^(-at) f(t)的拉普拉斯变换为F(s+a)；3. 倍增性质：若F(s)为f(t)的拉普拉斯变换，则f(at)的拉普拉斯变换为F(s/a)；4. 初值定理：若f(t)在t=0时有界且存在有限初值f(0)，则F(s)= lim(s→∞) sF(s) + f(0)；5. 终值定理：若f(t)在t→∞时有界，则lim(t→∞) f(t) =lim(s→0) sF(s)。
1.线性系统分析：通过拉普拉斯变换可以将微分方程转换成代数方程，从而便于对系统的稳定性、传递函数等进行分析；2.电路分析：拉普拉斯变换可以方便地求解电路的电压、电流等时间域特性，进一步可用于电路的设计和优化；3.信号处理：通过拉普拉斯变换，可以对信号的频域特性进行分析和滤波处理，如频率响应、系统传递函数等；4.控制系统设计：拉普拉斯变换可用于控制系统的传递函数分析、稳定性判断和控制器设计等方面；5.通信系统分析：拉普拉斯变换在调制、解调和信道等方面有广泛应用。
f(t) = L^(-1){F(s)} = (1/2πj) ∫[γ-j∞, γ+j∞] e^(st) F(s) ds,其中，γ为收敛路径，j为虚数单位。
拉普拉斯变换的使用方法
拉普拉斯变换的使用方法拉普拉斯变换是 Fourier 变换的一种推广，常用于处理时域信号的频率特性或者复杂微分方程。
一、拉普拉斯变换的定义在复平面上，有一个以原点为极点的复函数：$F(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}$ dt，其中 $s=x+jy$，$f(t)$ 是一段时间内的信号。
这个复函数 $F(s)$ 叫做 $f(t)$ 的拉普拉斯变换，通常用$\mathcal{L}\{f(t)\}$ 表示。
在掌握了拉普拉斯变换一些基本的性质之后，我们就可以利用这种变换来简化复杂的微分方程和求解系统的稳定性等问题。
二、拉普拉斯变换的基本性质1. 线性性质：$\mathcal{L}\{af(t)+bg(t)\}=a\mathcal{L}\{f(t)\}+b\mathcal{L}\{ g(t)\}$，其中 $a$ 和 $b$ 是常数。
2. 移位性质：$\mathcal{L}\{f(t-a)u(t-a)\}=e^{-as}\mathcal{L}\{f(t)\}$，其中$u(t-a)$ 是单位阶跃函数。
3. 放缩性质：$\mathcal{L}\{f(at)\}=\frac{1}{a}\mathcal{L}\{f(t)\}$，其中$a$ 是常数。
4. 差分性质：$\mathcal{L}\{\frac{df(t)}{dt}\}=s\mathcal{L}\{f(t)\}-f(0)$。
5. 积分性质：$\mathcal{L}\{\int_{0}^{t}f(\tau)d\tau\}=\frac{1}{s}\mathcal{L}\ {f(t)\}$。
三、拉普拉斯变换的应用1. 求解微分方程：考虑一个一阶微分方程 $y'+ay=f(t)$，我们可以在两边同时做拉普拉斯变换，得到：$sY(s)-y(0)+aY(s)=F(s)$于是，我们就可以直接求出 $Y(s)$ ：$Y(s)=\frac{1}{s+a}\cdot F(s)+\frac{y(0)}{s+a}$然后再做逆变换，就可以得到原方程的解 $y(t)$。
《电路分析》拉普拉斯变换
《电路分析》拉普拉斯变换电路分析是电路理论的一部分，其主要目的是通过建立数学模型，研究电路中电压、电流等参数的变化规律及相互之间的关系。
拉普拉斯变换是电路分析中常用的数学工具之一，可以将时域中的电路方程转化为复频域中的代数方程，方便求解和分析。
拉普拉斯变换的基本概念是将一个函数f(t)变换为变量s的函数F(s)。
数学上，拉普拉斯变换定义如下：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞]e^(-st)f(t)dt其中，s为复数变量，F(s)为拉普拉斯变换后的函数，f(t)为原函数。
拉普拉斯变换具有线性性质、平移性质、微分性质等，这些性质使得电路中的微分方程和积分方程可以很方便地通过拉普拉斯变换转化为代数方程。
在电路分析中，拉普拉斯变换可以应用于求解电路中的电压和电流。
通过变换，可以将电路中的微分方程转化为代数方程，然后对代数方程进行求解。
例如，对于一个由电阻、电感和电容组成的电路，可以利用拉普拉斯变换将电路方程转化为复频域中的代数方程，然后通过求解代数方程得到电路中的电压和电流的复频域表达式，最后再进行逆变换得到时域中的电压和电流的解析表达式。
拉普拉斯变换的另一个重要应用是可以用于描述电路中的单位阶跃响应和冲击响应。
单位阶跃响应是指在电路中加入一个单位阶跃信号后电路的响应情况，而冲击响应是指在电路中加入一个冲量信号（冲击函数）后电路的响应情况。
通过拉普拉斯变换，可以将电路中的阶跃响应和冲击响应转化为复频域中的代数方程，从而方便求解和分析。
总之，拉普拉斯变换在电路分析中起着非常重要的作用，它使得电路中的微分方程和积分方程可以通过转化为复频域中的代数方程进行求解和分析。
拉普拉斯变换的应用可以帮助我们更好地理解和掌握电路的特性和行为。
在实际电路设计和故障诊断中，掌握拉普拉斯变换的原理和应用，对于提高电路分析和设计的能力都具有重要意义。
第十四章线性动态电路的复频域分析(一)
am bn
b 0 s b1 s
求其反变换 f(t) 的基本思路是∶
作部分分式展开 查表得之
要求∶ n > m
, 否则, 先化为真分数(用分式除法)
二、部分分式法求反拉氏变换
F (s) N (s) D (s) a0s
m n
a1 s
m 1 n 1
am bn
n
ki s pi
i 1
有
f (t )
n
kie
pi t
i 1
例题 已知
F (s) s
2
F (s) s
4s 5 5s 6
4s 5
2
5s 6
4s 5 ( s 2 )( s 3 ) k1 s 2 k2 s3
5 s 其中： k ksi 2 [(4ss)( 3p i )(4sF35)( s )]s3 p i ( ) (s 2 s )
di 1 dt di 2 dt
M M
di 2 dt di 1 dt
u 2 L2
L1i1(0_)
+ +
L2i2(0_)
Mi1(0_) + (b) +
Mi2(0_)
§14—5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路 一、运算法的基本思想:
运算法与相量法的基本思想类似。 相量法把正弦量变换为相量(复数)，从而把求解线性电路的正 弦稳态问题归结为以相量为变量的线性代数方程。 运算法把时间函数变换为对应的象函数，从而把问题归结为求 解以象函数为变量的线性代数方程。当电路的所有独立初始条件为 零时，电路元件VAR的相量形式与运算形式是类似的，加之KCL和 KVL的相量形式与运算形式也是类似的，所以对于同一电路列出的 相量方程和零状态下的运算形式的方程在形式上 相似，但这两种方 程具有不同的意义。在非零状态条件下，电路方程的运算形式中还 应考虑附加电源的作用。当电路中的非零 独立初始条件考虑成附加 电源之后，电路方程的运算形式与相量方程类似。 可见相量法中各种计算方法和定理在形式上完全可以移用于运 算法。在运算法中求得象函数之后，利用拉氏反变换就可以求得对 应的时间函数。
第十三章 拉普拉斯变换法
a和b为两个任意实常数， 为两个任意实常数，则
F ( s ),
2
2
L[ a
例1.
f ( t ) + b f ( t )] = a F ( s ) + b F ( s )
1 2 1
f ( t ) = A (1 −
j 26 . 6
× e (− 1 −
j 2 )t
= 0 . 559 e − t ⋅ e j (2 t − 26 . 6 ) + 0 . 559 e − t ⋅ e − j (2 t − 26 . 6 ) = 2 × 0 . 559 e − t cos 2 t − 26 . 6 = 1 . 118 e − t cos 2 t − 26 . 6
t ε
L[ f (t − t0 )] = e
F (S )
页
华东理工大学 上 页 下
13.3 拉普拉斯反变换的部分分式展开
用拉氏变换求解线性电路的时域响应时， 用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把 求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。 求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。 由象函数求原函数的方法： 由象函数求原函数的方法： (1)利用公式
三﹑积分性质： 积分性质：
1 若 L [ f ( t )] = F ( s ), 则有 L [ ∫0 f ( t ) dt ] = F ( s ) s
t
说明： 说明：拉普拉斯变换将时域中的积分运算变成了复频域中 算子s与象函数的除法运算。 与象函数的除法运算。 华东理工大学 上 页 下
页
证明： 证明：
t
电路原理第九章拉普拉斯变换
利用拉普拉斯变换，通过计算系统的极点和零点，判 断系统的稳定性。
电路系统的频率响应分析
频率响应定义
电路系统在不同频率下的输入与输出关系称为频率响应。
频率响应分析方法
通过拉普拉斯变换将时域函数转换为复频域函数，进而分析频率 响应。
频率响应特性
频率响应具有幅度和相位特性，这些特性决定了电路系统在不同 频率下的性能表现。
到该函数的拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换具有线性性和时移性等性质，使得复杂电路的分
03
析变得简单。
拉普拉斯变换的性质
1 2 3
线性性
如果函数$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变换分别为 $F(s)$和$G(s)$，那么对于任意实数$k$和$l$， 有$(kf(t)+lg(t))的拉普拉斯变换=kF(s)+lG(s)$。
04
拉普拉斯变换的逆变换
逆变换的定义和性质
逆变换的定义
如果一个函数f(t)的拉普拉斯变换存在，那么就存在另一个函数g(s)的拉普拉斯 变换等于f(t)，并且g(s)可以通过一定的积分运算从f(t)得到，这个过程就是逆 变换。
逆变换的性质
逆变换具有线性、时移、频移、微分、积分等性质，这些性质在求解逆变换时 非常有用。
时移性
如果函数$f(t)$的拉普拉斯变换为$F(s)$，那么 对于任意实数$a$，有$(f(t-a))的拉普拉斯变换 =e^{-as}F(s)$。
频移性
如果函数$f(t)$的拉普拉斯变换为$F(s)$，那么 对于任意实数$b$，有$(f(t)e^{bt})的拉普拉斯 变换=F(s-b)$。
拉普拉斯变换的应用
拉普拉斯变换的微分性质
微分性质
如果函数f(t)的拉普拉斯变换存在，那么对于实数a，函数f''(t)的拉普拉斯变换等于函数f(t)的拉普拉斯变换乘以 s^2。
拉普拉斯变换法
3.导函数
df (t ) F (t ) dt
df (t ) df (t ) L dt e df (t ) e dt dt
st
st
0
0
df (t ) L f (0) s e f (t )dt dt
st
0
二、 简单函数L氏变换
1. 常数
f（t）=A
A L( A) e Adt S
st
0
2. 指数函数 f（t）= e-at
L(e ) e (e )dt e
at
st
at
( s a ) t
0
0
1 dt sa
A L( Ae ) sa
at
若
则 LF ' (t ) sf ( S ) F (0) sLF (t ) F (0)
一些常用函数的Laplace变换表
函数，F（t） A t Ae-at L氏变换，f（s） A/s 1/s2 A/(s+a) A/s(s+a)
A at bt (e e ) ba
Ate-at
方程终解 X k (1 e ) K
0 k t
2.
静脉注射
dX kX dt
( t=0,
X=X0)
sL[ X (t )] X (0) kL[ X (t )]
s X X (0) k X
Hale Waihona Puke X0 X sk kt X X 0e
A/(s+a)(s+b) A/(s+a)2
四、L氏变换解线性微分方程
拉普拉斯变换原理
拉普拉斯变换原理引言：拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号与系统、电路分析、控制理论等领域。
它通过将函数转换到复平面上的复数域，将微分方程转化为代数方程，从而简化了求解过程。
本文将介绍拉普拉斯变换的原理及其应用。
一、拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换是一种线性、一一对应的变换，将一个函数f(t)转换为一个复变量函数F(s)，其中s为复变量。
拉普拉斯变换的定义如下：F(s) = L[f(t)] = ∫(0到∞) e^(-st) f(t) dt二、拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换具有一些重要的性质，包括线性性、时移性、尺度变换性、频移性、微分性、积分性等。
1. 线性性：若f(t)和g(t)的拉普拉斯变换分别为F(s)和G(s)，则对于任意常数a和b，有a*f(t) + b*g(t)的拉普拉斯变换为a*F(s) + b*G(s)。
2. 时移性：若f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，则e^(-at)*f(t)的拉普拉斯变换为F(s+a)。
3. 尺度变换性：若f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，则f(at)的拉普拉斯变换为(1/a)*F(s/a)。
4. 频移性：若f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，则e^(at)*f(t)的拉普拉斯变换为F(s-a)。
5. 微分性：若f(t)的导数为f'(t)，则f'(t)的拉普拉斯变换为s*F(s) - f(0)。
6. 积分性：若f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，则∫(0到t) f(u) du的拉普拉斯变换为(1/s)*F(s)。
三、拉普拉斯变换的应用拉普拉斯变换在信号与系统、电路分析、控制理论等领域有广泛的应用。
下面将分别介绍其在这些领域中的应用。
1. 信号与系统：拉普拉斯变换可以将时域中的微分方程转化为复平面上的代数方程，从而简化了求解过程。
它可以应用于线性时不变系统的稳态和暂态分析，包括频域特性、系统响应等。
2. 电路分析：拉普拉斯变换可以方便地分析电路中的电压和电流，通过将电路中的微分方程转化为代数方程，可以求解电路中的稳态和暂态响应。
拉普拉斯变换的数学方法ppt课件
L[t]
test dt t est
( est )dt
0
s0 0 s
0
est s
dt
1 s2
est
0
1 s2
；.
12
2.3 典型时间函数的拉氏变换
4 指数函数 定义为：
f (t) eat
指数函数的拉氏变换为：
L[eat ] eatest dt e(sa)t dt
00e(sa)t1sa 0 sa
；.
13
2.3 典型时间函数的拉氏变换
5 正弦函数 用欧拉公式表示为：
sin t 1 (e jt e jt )
2j
其拉氏变换为：
L[sint]
sin t estdt
0
s2
2
6 余弦函数 用欧拉公式表示为：
其拉氏变换为：
cost 1 (e jt e jt )
2
L[cost]
G(s) s2 1
( 2 2 1) j2
；.
6
G(s) K (s z1) (s zm ) (s p1) (s pn )
当s＝z1,…,zm时，G(s)=0，则称z1,…,zm 为G(s)的零点； 当s＝p1,…,pm时，G(s)=∞，则称p1,…,pm 为G(s)的极点。
；.
时域的微分方程 拉氏变复换数域的代数方程
•系统分析大为简化 •直接在频域中研究系统的动态性能
；.
3
引言 复数和复变函数
（1）复数的概念
s j, 其中，,
数。 j 1
为虚单位。
均为实
（2）复数的表示法
点表示法 向量表示法
s j,
s r 2 2
arctan
电路拉普拉斯变换推导
电路拉普拉斯变换推导电路拉普拉斯变换是电路分析中非常重要的一部分，它建立了时间域和频域之间的关系，因此在电路设计和分析方面具有重要的意义。
在这篇文章中，我们将对电路拉普拉斯变换的推导过程进行更深入的介绍。
1.拉普拉斯变换的定义在正式介绍电路拉普拉斯变换之前，我们首先需要了解拉普拉斯变换的定义。
拉普拉斯变换是一种用于将一个定义在一个时间域上的函数f(t)转换成在s域上的函数F(s)的数学工具。
具体来说，如果函数f(t)满足某些特定的条件，那么拉普拉斯变换就可以被定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫0∞ e^{-st}f(t)dt其中，s是一个复数变量，代表频域中的变量。
f(t)是定义在时间域上的函数，L{}代表拉普拉斯变换的运算符号。
那么通过拉普拉斯变换，我们就可以将一个复杂的时间域内的信号转换为频域中的复杂函数。
2.拉普拉斯变换与电路分析的关系对于电路分析，我们使用的是一些基本的电路元件，例如电阻、电容和电感。
然而，这些元件的行为都受到时间的影响，因此我们需要使用时间域内的方程来解决问题。
例如，使用基尔霍夫电压和电流定律，我们可以得到下面的方程：V = Ri + L(di/dt)其中，V、R、L以及i都是变量，代表电路中的电压、电阻、电感和电流。
通过这个方程，我们可以找到i(t)的表达式。
然而，当电路非常复杂时，得到i(t)的表达式非常困难。
因此，我们需要一种工具，帮助我们将i(t)的表达式转换成频域中更简便的形式。
3.电路拉普拉斯变换的推导通过拉普拉斯变换，我们可以将电路中的电流和电压转换成频域中的函数。
在进行推导时，我们需要将电路元件转换成拉普拉斯等效电路元件。
例如，对于电阻，我们可以将其等效成电感和电容。
使用这些等效电路元件，我们可以得到下面的方程：V(s) = R(s)I(s) + L(s)(sI(s) - i(0))其中，V(s)和I(s)为电压和电流拉普拉斯变换后的表示形式。
动态电路拉普拉斯变换分析_OK
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2
11.1 拉普拉斯变换
• 单边拉普拉斯变换
对于因果信号， F (s) f (t) es tdt 0 记 F(s) = L [ f (t)]
称为单边拉普拉斯变换或拉普拉斯变换。
f (t) 1 j F (s) es tds
2 j j
记 f (t) = L -1[F(s)]
t 0
称为单边拉氏反变换或拉氏反变换。简记：f (t)F(s)
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冲激函数
• 冲激函数的定义
(t
)
0, ,
t0 t0
( )d 1
1 p(t)
(t)
1
1
(1)
2
2
2
0
2
2
2
t
t
0
• 冲激函数和阶跃函数的关系
(t) d (t)
dt
t
(t) ( )d
例 11-3(b) 矩形波 f (t)=A[(t)- (t-T)]
应用延迟性质:
f (t) A
0
T
F (s) A A esT A (1 esT )
ss
s
t
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拉普拉斯变换的性质: 微分性质
df (t) dt
sF (s)
f
(0 )
• 例 11-4 求图示波形的拉普拉斯变换
F(s)
(s
K1 p1)3
(s
K2 p1)2
s
K3 p1
K1 (s p1)3 F (s) s p1
K2
d ds
[(s
p1)3 F (s)]
s p1
K3
1 2
用拉普拉斯变换法分析电路
或I R(s)
?
VR ( s) R
R IR(s)
? VR(s) ?
电感元件的s域模型
vL?t??
L d iL?t?
dt
VL(s) ? IL(s)Ls ? LiL(0? )
I L ?s?
Ls
L?iL
?0? ?
?
? VL?s? ?
利用电源转换可以得到电流源形式的 s域模型：
IL(s)
?
VL ( s ) Ls
求解s域方程。 F (s) ? f (t)，得到时域解答。
二．微分方程的拉氏变换
L???d
f d
(t) t
? ??
?
sF (s) ?
f (0? )
?d f 2(t)?
L? ?
d t2
?? ?
s?sF ?s??
f ?0? ???
f ?(0? )
? s2F (s) ? sf (0? ) ? f ?(0? )
?
1 s
iL(0?
)
I L ?s?
Ls
1 s
i
L
?0
?
?
? VL?s? ?
电容元件的s域模型
? vC ?t??
1 C
t ??
iC
??
?d
t
11 VC ( s) ? IC (s) sC ? s vC (0? )
电流源形式：
IC (s) ? sCVC (s) ? CvC (0? )
1
IC ?s? sC
线性稳态电路分析的各种方法都适用。 3.求响应的步骤
? 画0-等效电路，求起始状态； ? 画s域等效模型； ? 列s域方程（代数方程）； ? 解s域方程，求出响应的拉氏变换 V(s)或I(s)； ? 拉氏反变换求 v(t)或i(t)。