北京市海淀实验中学2020届高三数学考前热身练习(三模)(详解版)
2020年3月普通高考数学(北京卷)全真模拟卷(3)(解析版)
2020年3月普通高考（北京卷）全真模拟卷（3）数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．第一部分（选择题，共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设1z i =+（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．1 BC ．2iD ．i【答案】B【解析】由已知可得z ==B ．2．如果集合={1,2,3,4}U ，={2,4}A ，则=U C A （ ） A ．∅ B ．{1,2,3,4}C ．{2,4}D ．{1,3}【答案】D【解析】集合={1,2,3,4}U ，={2,4}A ，={1,3}U C A 则，故选D ．3．某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取25名职工进行问卷调查，若采用分层抽样方法，则40~50岁年龄段应抽取的人数是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【解析】由题中饼图可知，40~50岁年龄段的职工所占的比例为10.440.20.36--=，因此40~50岁年龄段应抽取的人数是250.369⨯=，故选C ．4．已知命题:p n N ∀∈，2n >p ⌝是（ ）A ．n ∀∈N ，2n ≤B ．n ∀∈N ，2n <C ．n N ∃∈，2n ≤D ．n N ∃∈，2n >【答案】C【解析】p ⌝为：n N ∃∈，2n ≤C ．5．已知点A (2，a )为抛物线24y x =图象上一点，点F 为抛物线的焦点，则AF 等于（ ）A ．4B ．3C ．D ．2【答案】B【解析】由已知点A (2，a )为抛物线24y x =图象上一点，点F 为抛物线的焦点，∴()1,0F ，根据焦半径公式得：02132pAF x =+=+=，故选B ． 6．已知圆C 与直线y x =及40x y --=都相切，圆心在直线y x =-上，则圆C 的方程为（ ）A ．22(1)(1)2x y ++-=B ．22(1)(1)2x y +++=C ．22(1)(1)2x y -+-=D ．22(1)(1)2x y -++=【答案】D【解析】由题意可设圆心坐标为(,)a a -=1a =，∴圆心坐标为(1,1)-，又2R =，∴R =22(1)(1)2x y -++=，故选D ． 7．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．27πB ．28πC ．29πD ．30π【答案】C【解析】三棱锥P ACD -的实物图如下图所示：将其补成直四棱锥P ABCD -，PB ⊥底面ABCD ，可知四边形ABCD 为矩形，且3AB =，4BC =．矩形ABCD 的外接圆直径5AC ，且2PB =．∴三棱锥P ACD -外接球的直径为2R =()224229R R πππ=⨯=，故选C ．8．标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各行为正方形“E ”形视标，且从视力5．2的视标所在行开始往上，每一行“E ”的边长都是下方一行“E ”边长的若视力4．1的视标边长为a ，则视力4．9的视标边长为（ ）A ．4510aB ．91010aC ．4510a-D ．91010a -【答案】C【解析】设第n 行视标边长为n a ，第1n -行视标边长为1n a -，由题意可得：1101110nn n n a a a ---=⇔=，则数列{}n a 为首项为a ，公比为11010-的等比数列，即911410591010a a a ---⎛⎫== ⎪⎝⎭，则视力4．9的视标边长为4510a -，故选C ． 9．设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论： ①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点； ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点；③()f x 在（0,10π）单调递增； ④ω的取值范围是[1229510，)．其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①④ B ．②③C ．①②③D ．①③④【答案】D【解析】当[0,2]x πÎ时，,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦． ∵f （x ）在[0,2]π有且仅有5个零点，∴5265πππωπ≤+<，∴1229510ω≤<，故④正确； 由5265πππωπ≤+<，知,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦时，令59,,5222x ππππω+=时取得极大值，①正确； 极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确； 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，当0,10x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(2),5510x ππωπω+⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 若f （x ）在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，则(2)102ωππ+<，即<3ϖ，∵1229510ω≤<，故③正确．故选D ．10．在直角坐标系xOy 中，对于点(,)x y ，定义变换σ：将点(,)x y 变换为点(,)a b ，使得tan ,tan ,x a y b =⎧⎨=⎩其中ππ,(,)22a b ∈-．这样变换σ就将坐标系xOy 内的曲线变换为坐标系aOb 内的曲线．则四个函数()()()()2123420,0,e 0,ln 1x y x x y x x y x y x x =>=>=>=>在坐标系xOy 内的图象，变换为坐标系aOb 内的四条曲线（如图）依次是（ ）A ．②，③，①，④B ．③，②，④，①C ．②，③，④，①D ．③，②，①，④【答案】A【解析】由x tana y tanb=⎧⎨=⎩可得a arctanx b arctany =⎧⎨=⎩，对于()3e 0xy x =>，显然3331,arctan ,4y b y y π>∴=>∴对应的图象为①；对于()44ln 1,arctan arctan1,4y x x a x y π=>∴=>=∴对应的图象为④； 对于1y 和2y ，当02x <<时，222,arctan2arctan x x x x >∴>，即当0arctan2a <<时，12arctan arctan y y ∴>，1y ∴对应的图象为②，2y 对应的图象为③，故选A ．第二部分（非选择题，共110分）二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分．11．双曲线22149y x -=的渐近线方程是 ．【答案】23y x =±【解析】Q 双曲线22149y x -=，∴双曲线22149y x-=的渐近线方程为22049y x -=，即23y x =±，故答案为23y x =±． 12．已知向量()()4,3,6,a b m =-=r r ，且a b ⊥v v，则m =_ ．【答案】8．【解析】向量()()4,3,6,,a b m a b =-=⊥r r r r ，则04630a b m ⋅=-⨯+=r r,，解得8m =．13．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦．如果某重卦中有2个阳爻，则它可以组成__________种重卦．（用数字作答）【答案】15【解析】由题设，卦的种数为2615C =，故答案为15．14．在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD = ；cos ABD ∠= ．【答案】5 10【解析】在ABD ∆中，正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而34,4AB ADB π=∠=，5AC ，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，∴5BD =．cos cos()coscos sinsin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ππ∠=∠-∠=∠+∠=．15．函数()y f x =图象上不同两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 处的切线的斜率分别是A k ，B k ，规定||(,)||A B k k A B AB ϕ-=叫曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：（1）函数321y x x =-+图象上两点A 、B 的横坐标分别为1，2，则(,)A B ϕ>； （2）存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； （3）设点A 、B 是抛物线，21y x =+上不同的两点，则(,)2A B ϕ…；（4）设曲线x y e =上不同两点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，且121x x -=，若(,)1t A B ϕ<g恒成立，则实数t 的取值范围是(,1)-∞；以上正确命题的序号为 （写出所有正确的）． 【答案】（2）（3）【解析】对于（1），由321y x x =-+，得232y x x '=-，则1|1A x k y ='==，2|8B x k y ='==，11y =，25y =，则||AB||(,)||A B k k A B AB ϕ-==<（1）错误；对于（2），常数函数1y =满足图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数，（2）正确； 对于（3），设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，2y x '=，则1222A B k k x x -=-，||AB12|x x =- ()2,21A B ϕ∴===，（3）正确； 对于（4），由xy e =，得x y e '=，()1212,x x x x A B ϕ=，(),1t A B ϕ⋅<恒成立，即12||x x t e e -<1t =时该式成立，∴（4）错误，故答案为：（2）（3）． 注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，不选或者选错得0分，其他得3分． 四、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题14分）如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE的中点，AB AC ==4BC =．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，F 为1A C 的中点，如图2．（1）求证：//EF 平面1A BD ；（2）求证：平面1AOB ⊥平面1A OC ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）取线段1A B 的中点H ，由三角形中位线性质以及平行四边形性质得四边形DEFH 为平行四边形，即得//EF HD ．再根据线面平行判定定理得结论，（2）先根据等腰三角形性质得1A O DE ⊥．再根据面面垂直性质定理得1A O ⊥平面BCED ，即得1CO A O ⊥，根据勾股定理得CO BO ⊥，∴由线面垂直判定定理得 CO ⊥平面1A OB ，最后根据面面垂直判定定理得结论，（3）假设线段OC 上存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ，则EO EC =，与条件矛盾． 试题解析：（1）证明：取线段1A B 的中点H ，连接HD ，HF ． ∵在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，∴ //DE BC ，12DE BC =． ∵ H ，F 分别为1A B ，1A C 的中点，∴ //HF BC ，12HF BC =， ∴ //HF DE ，HF DE =，∴ 四边形DEFH 为平行四边形，∴ //EF HD ． ∵ EF ⊄平面1A BD ，HD ⊂平面1A BD ，∴ //EF 平面1A BD ．（2）证明：∵在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，∴ AD AE =． ∴11A D A E =，又O 为DE 的中点，∴ 1A O DE ⊥．∵平面1A DE ⊥平面BCED ，且1AO ⊂平面1A DE ，∴ 1A O ⊥平面BCED ，∴ 1CO A O ⊥．在△OBC 中，4BC =，易知 OB OC ==∴ CO BO ⊥，∴ CO ⊥平面1A OB ，∴ 平面1AOB ⊥平面1A OC ． （3）线段OC 上不存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ．否则，假设线段OC 上存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ，连接 GE ，GF ，则必有 OC GF ⊥，且OC GE ⊥．在Rt △1A OC 中，由F 为1A C 的中点，OC GF ⊥，得G 为OC 的中点．在△EOC 中，∵OC GE ⊥，∴EO EC =，这显然与1EO =，EC =∴线段OC 上不存在点G ，使得OC ⊥平面EFG ．17．（本小题14分）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，{}n b 是正项等比数列，且11431,2a b a b ==+=． 在①22a b =，②6243b =，③424S S =这三个条件中任选一个，回答下列为题： （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）如果()*m n a b n N=∈，写出,m n 的关系式()m f n =，并求()()()()123f f f f n ++++L ．【答案】（1）121,3n n n a n b -=-=；（2）()11312n m -=+，()()()()3212341n f f f f n n ++++=-+L ．【解析】试题分析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据条件列出关于d ，q 的方程，求出公差和公比代入数列通项公式即可；（2）利用m n a b =可得,m n 的关系，再利用等比数列的前n 项和公式求得答案． 试题解析：（1）若选①：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为()0q q >，则21,132d q d q+=⎧⎨++=⎩，解得23d q =⎧⎨=⎩或10d q =-⎧⎨=⎩(舍)，则121,3n n n a n b -=-=． 若选②：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为()0q q >，则由651q b b =得13,3n n q b -=∴=， 又432,139,2,21n a b d d a n +=∴+=∴=∴=-．若选③：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为()0q q >，则()2434411,2132dd d q⨯⎧+=++⎪⎨⎪++=⎩， 解得2,3d q =⎧⎨=⎩或2,3d q =⎧⎨=-⎩(舍)，则121,3n n n a n b -=-=． （2）∵m n a b =，∴1213n m --=，即()11312n m -=+， ∴()()()101112[(31)(31)+(31)]2n f f f n -+++=+++++L L ()01113332n n -=++++L 113213nn ⎛⎫-=+ ⎪-⎝⎭3214n n +-=． 18．（本小题14分）某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动．设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称．每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中．按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分．比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其它箱子，得0分．从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照[0,20]，(20,40]，(40,60]，(60,80]，(80,100]分组，绘成频率分布直方图如图：（1）分别求出所抽取的20人中得分落在组[0,20]和(20,40]内的人数；（2）从所抽取的20人中得分落在组[0,40]的选手中随机选取3名选手，以X 表示这3名选手中得分不超过20分的人数，求X 的分布列和数学期望；（3） 如果某选手将抽到的20张卡片逐一随机放入四个箱子，能否认为该选手不会得到100分？请说明理由．【答案】（1）抽取的20人中得分落在组[0,20]的人数有2人，得分落在组(20,40]的人数有3人；（2）分布列见解析，1．2；（3）答案不唯一，具体见解析．【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图即可得到满足题意的人数；（2）X 的所有可能取值为0，1，2，求出相应的概率值，即可得到的分布列和数学期望；（3）该选手获得100分的概率是2014⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合此数据作出合理的解释．试题解析：（1）由题意知，所抽取的20人中得分落在组[]0,20的人数有0.005020202⨯⨯=（人）， 得分落在组(]20,40的人数有0.007520203⨯⨯=（人）．∴所抽取的20人中得分落在组[]0,20的人数有2人，得分落在组(]20,40的人数有3人． （2）X 的所有可能取值为0，1，2．()33351010C P X C ===，()1223356110C C P X C ===，()2123353210C C P X C ===． ∴X 的分布列为∴X 的期望012 1.2101010EX =⨯+⨯+⨯=． （3）答案不唯一．答案示例1：可以认为该选手不会得到100分．理由如下：该选手获得100分的概率是2014⎛⎫ ⎪⎝⎭，概率非常小，故可以认为该选手不会得到100分．答案示例2：不能认为该同学不可能得到100分．理由如下：该选手获得100分的概率是2014⎛⎫ ⎪⎝⎭，虽然概率非常小，但是也可能发生，故不能认为该选手不会得到100分．19．（本小题15分）已知函数()ln f x ax x =+其中a 为常数，设e 为自然对数的底数． （1）当1a =-时，求()f x 过切点为()()1,f x 的切线方程；（2）若()f x 在区间()1,e 上的最大值为3-，求a 的值； （3）若不等式()f x x ≤恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）1y =-；（2）2e -；（3）11a e≤-．【解析】试题分析：（1）利用导数的几何意义求解出切线斜率即可求解出对应切线方程； （2）根据a 的范围分析函数的单调性，确定出最值即可求解出a 的值；(3)采用分离参数的方法，构造新函数，根据新函数的最值即可求解出a 的取值范围． 试题解析：（1）当1a =-时，()ln f x x x =-+，则()11f x x'=-+，∴()10k f '==切， 切点()()1,1f ，即()1,1-，∴切线方程为()()101y x --=-，即1y =-． （2）()1'1ax a x f xx +=+=， 当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在()1,e 上单调递增，()()1f x f e ae <=+，无最大值． 当0a <时，在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上()0f x '>，()f x 单调递增；在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上()0f x '<，()f x 单调递增，若函数在()1,e 上取得最大值3-，则11e a<-<，且13f a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2a e =-． （3）不等式()f x x ≤恒成立，则ln ax x x +≤恒成立，ln 1xa x≤-， 令()ln 1x g x x =-，（0x >），()21'lnxg x x-+=， 在()0,e 上，()0g x '<，()g x 单调递减；在(),e +∞上，()0g x '>，()g x 单调递增， ∴()()min 11g x g e e ==-，∴11a e≤-． 20．（本小题14分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，过点1F 的直线l 交椭圆C 于点A ，B （不与左右顶点重合），连接2F A 2F B ，已知2ABF ∆的周长为8． （1）求椭圆C 的方程；（2）设2122F F F A F B λμ=+u u u u v u u u u v u u u u v ，若1192λμ+=，求直线l 的方程．【答案】（1）22143x y +=；（2）550x ++=或550x -+= 【解析】试题分析：（1）根据周长得到2a =，根据离心率得到1c =，得到椭圆方程． （2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，直线:1l x ty =-，联立方程利用韦达定理得到122634ty y t +=+，122934y y t =-+，代入式子2122F F F A F B λμ=+u u u u r u u u r u u u r 计算得到答案．试题解析：（1）()()212122248ABF C AF AF BF BF a a a ∆=+++=+==，则2a =，而12c e a ==，则1c =，b C 的方程为：22143x y +=．（2）设点()11,A x y ，()22,B x y ，由于A ，B 不与左右顶点重合，则直线l 的斜率不为0，因此设直线:1l x ty =-，与椭圆C 的方程联立：221431x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩， 整理得：()2234690t y ty +--=，()()22236363414410t t t ∆=++=+>， 122634ty y t +=+①，122934y y t =-+② 11212122221212()y y F F F A AF F A AB F A F B F A y y y y =+=+=+---u u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 21221212y y F A F B y y y y =-+--u u u r u u u r，因此212y y y λ-=-，112y y y μ=-，故12212112121111922y y y y y y y y y y λμ⎛⎫+=+=-+= ⎪-⎝⎭--，则122152y y y y +=-． 不妨设12y y >，解得122y y =-，即122y y =-③联立①②③，解得：t =，因此直线l的方程为：550x ++=或550x -+=． 21．（本小题14分）如图，将数字1，2，3，…，2n （3n ≥）全部填入一个2行n 列的表格中，每格填一个数字，第一行填入的数字依次为1a ，2a ，…，n a ，第二行填入的数字依次为1b ，2b ，…，n b ．记1nn i ii S a b==-∑1122n n a b a b a b =-+-+⋯+-．（Ⅰ）当3n =时，若11a =，23a =，35a =，写出3S 的所有可能的取值；（Ⅰ）给定正整数n ．试给出1a ，2a ，…，n a 的一组取值，使得无论1b ，2b ，…，n b 填写的顺序如何，n S 都只有一个取值，并求出此时n S 的值；（Ⅰ）求证：对于给定的n 以及满足条件的所有填法，n S 的所有取值的奇偶性相同．【答案】（Ⅰ）3，5，7，9．（Ⅰ）2n S n =（Ⅰ）奇偶性相同．【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意，易知3S 的所有可能的取值为3，5，7，9．（Ⅰ）令i a i =（1i =，2，…，n ），则无论1b ，2b ，…，n b 填写的顺序如何，都有2n S n =．∵i a i =，∴{}1,2,,2i b n n n ∈++⋯，（1i =，2，…，n ），∵i i a b <（1i =，2，…，n ），∴21nn i i i S a b n ==-=∑．（Ⅰ）显然，交换每一列中两个数的位置，所得的n S 的值不变．不妨设i i a b >，记1n ii A a ==∑，1nii B b ==∑，其中i =1，2，…，n ，则1111nnnnn iiiiiii i i i S a b a b a b A B =====-=-=-=-∑∑∑∑（），∵()2121ni A B i n n =+==+∑，∴A B +与n 具有相同的奇偶性，又∵n S A B =-与n 的奇偶性相同，∴n S 的所有可能取值的奇偶性相同． 试题解析：（Ⅰ）3S 的所有可能的取值为3，5，7，9．（Ⅰ）令i a i =（1i =，2，…，n ），则无论1b ，2b ，…，n b 填写的顺序如何，都有2n S n =．∵i a i =，∴{}1,2,,2i b n n n ∈++⋯，（1i =，2，…，n ）， ∵i i a b <（1i =，2，…，n ），∴()22111111)n n n n n nn iiiiiii i i i i n i S a b b a b a i i n=====+==-=-=-=-=∑∑∑∑∑∑．（Ⅰ）显然，交换每一列中两个数的位置，所得的n S 的值不变． 不妨设i i a b >，记1n ii A a ==∑，1nii B b ==∑，其中i =1，2，…，n ，则1111nnnnn iiiiiii i i i S a b a b a b A B =====-=-=-=-∑∑∑∑（），∵()()21221212ni n n A B i n n =++===+∑，∴A B +与n 具有相同的奇偶性，又∵n S A B =-与n 的奇偶性相同，∴n S 的所有可能取值的奇偶性相同．。
2023-2024学年北京高三三模数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年北京市高三三模数学模拟试题一、单选题1．如图，集合A B ､均为U 的子集，()U A B ⋂ð表示的区域为（）A ．IB ．IIC ．IIID ．IV【正确答案】D【分析】由补集和交集的概念求解即可.【详解】由补集的概念，U A ð表示的区域如下图所示阴影区域，∴()U A B ⋂ð表示的区域为下图所示阴影区域，即为图中的区域Ⅳ.故选：D.2．在下列四个函数中，在定义域内单调递增的有（）A ．()tan =f x xB ．()f x x =C ．()2xf x =D ．()2f x x=【正确答案】C【分析】A.利用正切函数的性质判断；B.利用绝对值函数的性质判断；C.利用指数函数的性质判断；D.利用二次函数的性质判断.【详解】解：A.()tan =f x x 的增区间为πππ,π,Z 22k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，在整个定义域上不单调，故错误；B.()f x x =的增区间是[0,)+∞，在整个定义域上不单调，故错误；C.()2xf x =在R 上递增，故正确；D.()2f x x =的增区间是[0,)+∞，在整个定义域上不单调，故错误；故选：C3．设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c<<C ．b<c<aD ．c<a<b【正确答案】D【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<.故选：D.本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：x y a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：log a y x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.4．已知tan 2x =，则tan 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A ．3B ．－3C ．13D ．34-【正确答案】B【分析】利用两角和的正切公式求解.【详解】解：因为tan 2x =，所以πtan tanπ214tan 3π41211tan tan 4x x x ++⎛⎫+===- ⎪-⋅⎝⎭-⋅，故选：B5．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）2023年5月1日12350002023年5月15日6035500注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升【正确答案】D【分析】分析表中数据，得出行驶路径和耗油量，可计算结果.【详解】由表中的数据可知，行驶路径500千米耗油量为60升，则该车每100千米平均耗油量为60125=升.故选：D6．已知||1,||0OA OB OA OB =⋅=，点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒.设()OC mOA nOB m n =+∈R、，则mn等于（）A ．13B ．3CD 【正确答案】B【分析】由题意可得OA OB ⊥,建立坐标系，由已知条件可得()OC m =，进而可得tan 30︒==，即可得答案.【详解】解：因为||1,||0OA OB OA OB =⋅=，所以OA OB ⊥ ,又因为点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，建立如图所示的坐标系：则(1,0)OA = ,OB =,又因为()OC mOA nOB m n =+∈R、，所以()OC m =，所以tan 303m ︒==，所以3mn=.故选：B.7．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB +的取值范围是A ．B ．C ．D ．【正确答案】B【详解】试题分析：易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||10PA PB AB +==，令,PA PB θθ==，则)4PA PB πθθθ+==+.因为0,0PA PB ≥≥，所以02πθ≤≤.所以sin()14πθ≤+≤PA PB ≤+≤选B.法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.【考点定位】1、直线与圆；2、三角代换.8．已知{}n a 为无穷等差数列，则“存在*,i j ∈N 且i j ≠，使得0+=i j a a ”是“存在2k ≥且*k ∈N ，使得0k a =”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】根据等差数列性质结合充分、必要条件分析判断.【详解】“存在*,i j ∈N 且i j ≠，使得0+=i j a a ”，不能推出“存在2k ≥且*k ∈N ，使得0k a =”，例如32n a n =-，则121,1a a ==-，即1,2i j ==，满足120i j a a a a +=+=，但令320k a k =-=，则*32k =∉N ，故不存在存在2k ≥且*k ∈N ，使得0k a =，故“存在*,i j ∈N 且i j ≠，使得0+=i j a a ”是“存在2k ≥且*k ∈N ，使得0k a =”的不充分条件；若“存在2k ≥且*k ∈N ，使得0k a =”，则取11,1i k j k =-≥=+，则1120i j k k k a a a a a -++=+==，故“存在*,i j ∈N 且i j ≠，使得0+=i j a a ”是“存在2k ≥且*k ∈N ，使得0k a =”的必要条件；综上所述：“存在*,i j ∈N 且i j ≠，使得0+=i j a a ”是“存在2k ≥且*k ∈N ，使得0k a =”的必要不充分条件.故选：B.9．十八世纪，瑞士数学家欧拉研究调和级数时，得到了以下结果：当n 很大时，1111ln 23n nγ++++=+ （其中γ为常数，其近似值为0.577）据此，可以估计111200012000230000+++ 的值为（）A ．4ln10B ．ln6C ．ln2D ．3ln2【正确答案】D【分析】根据已知结论得两个等式相减即可得解.【详解】由题意得1111ln300002330000γ++++=+ ,1111ln200002320000γ++++=+ ，两式相减得，111300003ln 30000ln 20000ln ln 200012000230000200002+++=-== .故选：D ．10．如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若,p q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对(,)p q 是点M 的“距离坐标”.已知常数0,0p q ≥≥，给出下列命题：①若0p q ==，则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个；②若0pq =，且0p q +≠，则“距离坐标”为(,)p q 的点有且仅有2个；③若0pq ≠，则“距离坐标”为(,)p q 的点有且仅有4个.上述命题中，正确命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【正确答案】D【分析】根据“距离坐标”的定义，依次分析各命题即可得答案.【详解】解：①，若0p q ==，则“距离坐标”为()0,0的点是两条直线的交点O ，因此有且仅有1个，故正确.②，若0pq =，且0p q +≠，则“距离坐标”为()0,q 或(),0p 的点有且仅有2个，故正确.③若0pq ≠，则0,0p q ≠≠，“距离坐标”为(),p q 的点有且仅有4个，为123,,,M M M M ，如图，故正确.故正确的命题个数为3个.故选：D二、填空题11．若5(1a =+,a b 为有理数），则a b +=_______________．【正确答案】120【分析】利用二项式定理展开5(1并计算，再利用有理项、无理项求解作答.【详解】由二项式定理得：1234555555513C 9C 97644(1=+++++=+依题意，76a +=+,a b 为有理数，因此76,44a b ==，所以120a b +=.故12012．银行储蓄卡的密码由6位数字组成，某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，但记得密码的最后1位是偶数，则在第一次没有按对的条件下第2次按对的概率是_________．【正确答案】14/0.25【分析】根据条件概率公式直接计算即可.【详解】记事件A ：第一次没有按对密码；事件B ：第二次按对密码；()45P A =，()411545P AB =⨯=，()()()14P AB P B A P A ∴==.故答案为.14三、双空题13．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知14b c a -=，2sin 3sin B C =，则bc=_______，cos A 的值为________．【正确答案】3214-【分析】利用正弦定理边角互化即可求得b c，利用余弦定理即可求得cos A .【详解】因为ABC 中，2sin 3sin B C =，所以由正弦定理可得23b c =，即32b c =.又因为14b c a -=，所以2a c =，所以由余弦定理可得()2222223212cos 32422c c c b c a A bc c c ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭===-⨯⨯，故32；14-14．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且对任意的正整数n ，都满足：11122n nn a a +-=+，若112a =，则3a =________，2023S =______________．【正确答案】11220232024【分析】直接利用条件可递推出第三项，利用累加法可得数列通项再用裂项相消法求和即可.【详解】由11122n n n a a +-=+和112a =可得：21232311111146,612,a a a a a a -=⇒=∴-=⇒=即3a =112；由11122n n n a a +-=+可得：()112211111112,21,...,4n n n n n n a a a a a a ----=-=--=，累加得()()()124111111211n n n n a a a n n n n +--=⇒==-++，所以20231111112023 (1223202320242024)S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故112，20232024四、填空题15．已知曲线:44C x x y y -=．①若00(,)P x y 为曲线C 上一点，则0020x y ->；②曲线C 在()0,1-处的切线斜率为0；③R,20m x y m ∃∈-+=与曲线C 有四个交点；④直线20x y m -+=与曲线C无公共点当且仅当((),0,m ∈-∞⋃+∞．其中所有正确结论的序号是_____________．【正确答案】①②【分析】分x 、y 的符号情况化简曲线C 的方程，从而可画出曲线C 的图象，结合图象逐一分析即可.【详解】当0x ≥，0y ≥时，曲线C 的方程为2244x y -=，即2214x y -=，曲线C 是双曲线的一部分；当0x ≥，0y <时，曲线C 的方程为2244x y +=，即2214x y +=，曲线C 是椭圆的一部分；当0x <，0y ≥时，曲线C 的方程为2244x y --=，曲线C 不存在；当0x <，0y <时，曲线C 的方程为2244x y -+=，即2214x y -=，曲线C 是双曲线的一部分；双曲线2214x y -=和2214y x -=有一条共同的渐近线20x y -=，综上，可作出曲线C的图象，如图：由图象可知曲线C 的图象上的点都在直线20x y -=的下方，所以当00(,)P x y 在曲线C 上时，有0020x y ->，故①正确；设过点()0,1-的直线l 的方程是1y kx =-，若直线l 与椭圆2214x y +=相切，则由22114y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得221408()k x kx -+=，2640k ∆==，得0k =；若直线l 与双曲线2214x y -=相切，则由22114y kx x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩得22(41)80k x kx --=，则2410k -≠且2640k ∆==，得0k =，此时直线l 的方程是1y =-，与曲线C 相切，故②正确；直线20x y m -+=是表示与直线20x y -=平行或重合的直线，由曲线C 的图象可知，直线20x y m -+=与曲线C 不可能有四个交点，故③错误；设直线20x y n -+=与椭圆2214x y +=相切，则由222014x y n x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得228440y ny n -+-=，所以221632(4)0n n ∆=--=，解得n =±C的图象，取n =-，即直线20x y --=与曲线C 相切，所以若直线20x y m -+=与曲线C 无公共点，结合曲线C 的图象，0m ≥或m <-.故①②.方法点睛：1.曲线方程中带有绝对值，一般是分绝对值里的式子的符号讨论去绝对值；2.直线与曲线的交点问题常采用数形结合的方法.五、解答题16．在ABC 中，76cos a b B =．(1)若3sin 7A =，求B ∠；(2)若8c =，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在.求ABC 的面积条件①：sin 47A =；条件②：sin B =【正确答案】(1)4π；(2)【分析】（1）直接由正弦定理边化角，结合倍角公式即可求解；（2）若选①：由正弦定理及倍角公式得4sin 23B =，ABC 不存在；若选②：先判断cos 0B >，再由sin 2B =求出cos B ，由73a b =及余弦定理求得a ，再计算面积即可.【详解】（1）由正弦定理得：7sin 6sin cos 3sin 2A B B B ==，又3sin 7A =，故sin 21B =，又()0,B π∈，故22B π=，4B π=；（2）若选①：由正弦定理得：7sin 6sin cos 3sin 2A B B B ==，又sin 47A =，故4sin 23B =，此时ABC 不存在；若选②：由7cos 06a B b =>，又sin 2B =，则1cos 2B =，73a b =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即2276483a a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，解得3a =或245a =-（舍去），故ABC的面积为1sin 2ac B =.17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,,//ABCD AD AB AB DC ⊥，2,1AD DC AP AB ====，点E 为棱PC的中点．（1）证明：BE DC ⊥；（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求二面角F AB P --的余弦值．【正确答案】（1）证明见解析；（2（3．【分析】（1）可以建立空间直角坐标系，利用向量数量积来证明BE DC ⊥，；（2）向量法：先求平面PBD 的法向量A ，然后利用公式1sin cos ,n BE n BE n BEθ⋅==⋅ 求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）向量法：先求平面ABF 和平面PBA 的法向量12,n n ，再利用公式121212cos ,n n n n n n ⋅=⋅ 来求二面角F AB P --的余弦值．【详解】依题意，以点E 为原点建立空间直角坐标系（如图），可得(1,0,0),(2,2,0)B C ，(0,2,0),(0,0,2)D P ，由点E 为棱PC 的中点，得()1,1,1E ．（1）向量()0,1,1BE = ，()2,0,0DC = ，故0BE DC ⋅= ．∴BE CD ⊥．（2）向量(1,2,0),(1,0,2)BD PB =-=- ，设()1,,n x y z = 为平面PBD 的法向量，则00n BD n PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2020x y x z -+=⎧⎨-=⎩，不妨令1z =，可得()2,1,1n = 为平面PBD 的一个法向量．于是有3cos ,||||62n BE n BE n BE ⨯〈〉==⨯⨯ ，∴直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33．（3）()2,2,2,(2,2,0),(1,0,0),CP AC AB =--== ，由点F 在棱PC 上，故(12,22,2)BF BC CF BC lCP l l l =+=+=-- ，由BF AC ⊥，得+22(12)(22=0)l l --，解得34l =，即113,,222BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．设1(,,)n x y z = 为平面ABF 的法向量，则1100n AB n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即01130222x x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，不妨令1z =，可得1(0,3,1)n =- 为平面ABF 的一个法向量．取平面PAB 的法向量2(0,1,0)n = ，则121212310cos ,1010n n n n n n ⋅===-⋅ ．易知，二面角F AB P --31010．空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.18．诚信是立身之本，道德之基，某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“周实际回收水费周投入成本”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，下表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计：第一周第二周第三周第四周第一个周期95%98%92%88%第二个周期94%94%83%80%第三个周期85%92%95%96%（1）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数X ；（2）分别从表中每个周期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量X 表示取出的3个数中“水站诚信度”超过91%的数据的个数，求随机变量X 的分布列和期望；（3）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由.【正确答案】（1）91%（2）见解析（3）两次活动效果均好．详见解析【分析】（1）利用平均数公式能求出表中十二周“水站诚信度”的平均数；（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望；（3）根据后继一周都有提升可得两次活动效果均好．【详解】（1）表中十二周“水站诚信度”的平均数：959892889494838085929596191%12100x +++++++++++=⨯=.（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，()1212044464P X ==⨯⨯=，()3211211444444P X ==⨯⨯+⨯⨯1231444464+⨯⨯=，()3213212444444P X ==⨯⨯+⨯⨯3233044464+⨯⨯=，()32318344464P X ==⨯⨯=，∴X 的分布列为：X 0123P 1327321532932171590123232323232EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.（3）两次活动效果均好．理由：活动举办后，“水站诚信度”由88%94%→和80%到85%看出，后继一周都有提升．本题考查平均数的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．19．已知函数()ln f x ax x x =-．(1)当1a =时，求()f x 的零点；(2)讨论()f x 在[]1,e 上的最大值；(3)是否存在实数a ，使得对任意0x >，都有()f x a ≤？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由．【正确答案】(1)ex =(2)答案见解析(3)存在，a 的取值范围是1a =【分析】（1）利用导函数判断()f x 的单调性，进而判断零点的情况即可；（2）利用导函数判断()f x 在区间[]1,e 的单调性，进而求最值即可；（3）由题意只需()max f x a ≤即可，利用（2）中结论即1e 0a a --≤，利用导数求a 的范围即可.【详解】（1）()ln f x ax x x =-的定义域为()0,∞+，当1a =时，()ln f x x x x =-，()ln f x x '=-，所以当()0,1x ∈时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，又因为当0x →时()0f x >，()11f =，()e 0f =，所以()f x 仅有一个零点，e x =.（2）()1ln f x a x =--'，令()0f x '=，解得1e a x -=，在区间()0,∞+内，x ()10,e a -1e a -()1e,a -+∞()f x '+0-()f x 单调递增极大值单调递减当1e 1a -≤（即1a ≤）时，在[]1,e 上()f x 单调递减，()max ()1f x f a ==，当1e e a -≥（即2a ≥）时，在[]1,e 上()f x 单调递增，()max ()e e e f x f a ==-，当11e e a -<<（即12a <<）时，在1e ,e a -⎡⎤⎣⎦上()f x 单调递增，在11,e a -⎡⎤⎣⎦上()f x 单调递减，()()1111max ()e e e 1e a a a a f x f a a ----==--=．综上所述，当1a ≤时，()f x 的最大值为a ，当2a ≥时，()f x 的最大值为e e a -，当12a <<时，()f x 的最大值为1e a -.（3）由（2）知在()0,∞+上，()11max ()ee a af x f --==，构造函数()()11e e a a g a f a a --=-=-，由题意应使()0g a ≤，()1e 1a g a -'=-，令()0g a '=，解得1a =．a (),1-∞1()1,+∞()g a '-0+()g a 单调递减极小值单调递增所以()min ()10g a g ==，所以使()0g a ≤的实数a 只有1a =，即a 的取值范围是1a =．20．已知椭圆C :2233x y +=，过点()D 1,0且不过点()2,1E 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M ．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（Ⅲ）试判断直线BM 与直线D E 的位置关系，并说明理由．【正确答案】（Ⅰ（Ⅱ）1；（Ⅲ）平行，理由见解析．【详解】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（Ⅰ）先将椭圆方程化为标准方程，得到a ，b ，c 的值，再利用c e a=计算离心率；（Ⅱ）由直线AB 的特殊位置，设出A ，B 点坐标，设出直线AE 的方程，由于直线AE 与3x =相交于M 点，所以得到M 点坐标，利用点B 、点M 的坐标，求直线BM 的斜率；（Ⅲ）分直线AB 的斜率存在和不存在两种情况进行讨论，第一种情况，直接分析即可得出结论，第二种情况，先设出直线AB 和直线AE 的方程，将椭圆方程与直线AB 的方程联立，消参，得到12x x +和12x x ，代入到1BM k -中，只需计算出等于0即可证明BM DE k k =，即两直线平行.试题解析：（Ⅰ）椭圆C 的标准方程为2213x y +=.所以a =1b =，c所以椭圆C 的离心率c e a ==.（Ⅱ）因为AB 过点(1,0)D 且垂直于x 轴，所以可设1(1,)A y ，1(1,)B y -.直线AE 的方程为11(1)(2)y y x -=--.令3x =，得1(3,2)M y -.所以直线BM 的斜率112131BM y y k -+==-.（Ⅲ）直线BM 与直线D E 平行.证明如下：当直线AB 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知1BM k =.又因为直线D E 的斜率10121DE k -==-，所以//BM DE .当直线AB 的斜率存在时，设其方程为(1)(1)y k x k =-≠.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线AE 的方程为1111(2)2y y x x --=--.令3x =，得点1113(3,)2y x M x +--.由2233{(1)x y y k x +==-，得2222(13)6330k x k x k +-+-=.所以2122613k x x k +=+，21223313k x x k -=+.直线BM 的斜率11212323BM y x y x k x +---=-.因为()()()()()()()11212121131232132BM k x x k x x x x k x x -+--------=--121221(1)[2()3)(3)(2)k x x x x x x --++-=--2222213312(1)[3)1313(3)(2)k k k k k x x -+-+-++=--0=，所以1BM DE k k ==.所以//BM DE .综上可知，直线BM 与直线D E 平行.椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系.21．若项数为()3N N ≥的数列12:,,,N N A a a a 满足：()*11,N 2,3,,i a a i N =∈= ，且存在{}2,3,,1M N ∈- ，使得{}{}11,2,111,2,1n n n M a a M n N +⎧≤≤-⎪-∈⎨--≤≤-⎪⎩，则称数列N A 具有性质P .(1)①若3N =，写出所有具有性质P 的数列3A ；②若44,3N a ==，写出一个具有性质P 的数列4A ；(2)若2024N =，数列2024A 具有性质P ，求2024A 的最大项的最小值；(3)已知数列1212:,,,,:,,,N N N N A a a a B b b b 均具有性质P ，且对任意{},1,2,,i j N ∈ ，当i j ≠时，都有,i j i j a a b b ≠≠．记集合{}112,,,N T a a a = ，{}212,,,N T b b b = ，求12T T ⋂中元素个数的最小值.【正确答案】(1)①3A ：1，2，1或1，3，1或1，3，2；②4A ：1，2，4，3（或1，3，4，3或1，3，5，3）(2)1013(3)3【分析】（1）直接根据性质P 的概念一一列举即可；（2）根据性质P 及累加法得M a M ≥和2025M a M ≥-，两式相加即可求解；（3）根据性质P 及累加法得23M a N ≤-，23M b N ≤-，求出并集中元素个数的最大值，从而求出交集中的元素个数最小值.【详解】（1）①3A ：1，2，1或1，3，1或1，3，2；②4A ：1，2，4，3（或1，3，4，3或1，3，5，3）（2）当2024N =时，{}2,3,,2023M ∈ ．由12111,1,,1M M a a a a a -=-≥-≥ ，累加得M a M ≥；又由20242023202411,1,,1M M a a a a a +≥-≥-≥ ，累加得2025M a M ≥-；相加得22025M a ≥，又*M a ∈N ，所以1013M a ≥.所以数列2024A 的最大项M a 的最小值为1013，一个满足条件的数列为()()1,2,,101320261014,1015,,2024n n n a n n ⎧=⎪=⎨-=⎪⎩ ；（3）由12111,2,,2M M a a a a a -=-≤-≤ ，累加得21M a M ≤-．又1M N ≤-，所以23M a N ≤-，同理，23M b N ≤-，所以{}()12121,2,,23,card 23T T N T T N ⋃⊆-⋃≤- ，因为()()12card card T T N ==，所以()()()()121212card card card card 3T T T T T T ⋂=+-⋃≥，所以12T T ⋂中元素个数的最小值为3，一组满足条件的数列为()()()()()11211,2,,1222,3,,12425n n n n n N a b n n N N n N N n N ⎧=⎧-=-⎪⎪==-=-⎨⎨-=⎪⎩⎪-=⎩ ，此时{}121,24,25T T N N ⋂=--.思路点睛：此题考查数列与集合结合的新定义问题，属于难题，关于新定义题的思路有：(1)找出新定义有几个要素,找出要素分别代表什么意思；(2)由已知条件,看所求的是什么问题,进行分析,转换成数学语言；(3)将已知条件代入新定义的要素中；(4)结合数学知识进行解答.。
2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模数学试卷-学生用卷
2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第1题4分2017~2018学年10月安徽合肥巢湖市巢湖市柘皋中学高一上学期月考第5题5分2017年北京东城区高三二模文科第1题5分已知全集U是实数集R，右边的韦恩图表示集合M={x|x>2}与N={x|1<x<3}的关系，那么阴影部分所表示的集合可能为（）．A. {x|x<2}B. {x|1<x<2}C. {x|x>3}D. {x|x⩽1}2、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第2题4分复数z=3+5i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）．1+iA. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第3题4分下列函数中有最小值的是（）．A. y=2xB. y=√x+1C. y=tanxD. y=lg|x|4、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第4题4分2020~2021学年12月重庆长寿区高二上学期月考第5题5分直线l与圆O:x2+y2=1交于A，B两点，若AB=√2，则点O到直线l的距离为（）．A. √2B. 1C. √22D. 125、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第5题4分已知非零向量a→，b→满足a→=λb→，则“λ=1”是“a→2=b→2”的（）．A. 充分必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分而不必要条件D. 既不充分也不必要条件6、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第6题4分某三棱锥的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则该三棱锥的体积为（）．A. 23B. 43C. 1D. 27、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第7题4分给出下列四个函数：①y=x⋅sinx；②y=x⋅cosx；③y=x⋅|cos x|；④y=x⋅2x．这四个函数的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照从左到右的顺序将图象对应的函数序号安排正确的一组是（）．A. ③④②①B. ①④③②C. ④①②③D. ①④②③8、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第8题4分已知平面向量a→，b→的夹角为π3，且a→⋅b→=1，则|a→+b→|的最小值为（）．A. 1B. √2C. 2D. √69、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第9题4分如图，正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为3，点E在棱BC上，且满足BE=2EC，动点M在正方体表面上运动，且ME⊥BD1，则动点M的轨迹的周长为（）．A. 6√2B. 4√3C. 4√2D. 3√310、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第10题4分设函数f(x)=sin(ωx+π5)(ω>0)，已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：①f(x)在(0,2π)有且仅有2个极大值点；②f(x)在(0,2π)有且仅有3个极小值点；③f(x)在(0,π10)单调递增；④ω的取值范围是[125,2910)；其中所有正确结论的编号是（）．A. ①④B. ③④C. ①②③D. ①③④二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第11题5分2018年甘肃兰州高三二模理科第15题5分(x2−1x )6的展开式中，常数项的值为（用数字作答）．12、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第12题5分已知双曲线x 2a2−y2b2=(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=√33x，且一个焦点在抛物线y2=8x的准线上，则该双曲线的方程为．13、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第13题5分已知等差数列{a n}的首项为2，等比数列{b n}的公比为2，S n是数列{b n}的前n项和，且b n= (√2)a n．则a4=，S5=．14、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第14题5分中国地大物博，大兴安岭的雪花还在飞舞，长江两岸的柳枝已经发芽，海南岛上盛开着鲜花．燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，专家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为v=5log2q 10（米/秒），其中q表示燕子的耗氧量，则燕子静止时耗氧量为；若某只两岁的燕子耗氧量为q1时的飞行速度为v1（米/秒），另一只两岁的燕子耗氧量为q2时的飞行速度为v2（米/秒），两只燕子同时起飞，当q1=4q2时，一分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的路程为米．15、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第15题5分已知函数f(x)=x2+1，直线l:y=ax+2与x轴和y轴分别交于点D，B，直线l与函数f(x)的图象交于A，C两点（点C在点B，D之间），给出下列四个结论：①若点E为y轴上一点，则存在符合条件的点E和实数a，使得△ABE为等边三角形；②记f(a)=|AC||DC|，则1∈{y|y=f(a)}；③记ℎ(a)=|AB||BC|，则ℎ(a)的值域为(0,+∞)；④记g(a)=max {|AB|,|CB|}min{|AB|,|CB|}，则对任意的非零数实数a，都有g(a)g(−a)=1成立．（max{x1,x2}表示x1，x2中最大的数，min{x1,x2}表示x1，x2，中最小的数）．其中正确结论的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共85分）16、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第16题14分如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，D是AB的中点，AA1=AC=CB=2，AB= 2√2．(1) 证明：BC1//平面A1CD．(2) 求直线AA1与平面A1CD所成角的正弦值．17、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第17题14分2020年岁末年初，“新冠肺炎”疫情以其汹汹袭来之势席卷了我国的武汉，在这关键的时刻，在党中央的正确指导下，以巨大的魄力，惊人的壮举，勇敢的付出，及时阻断了疫情的传播，让这片土地成为了世界上最温暖的家园；通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制．下表统计了2月12日到2月18日连续七天全国的治愈人数：（单位：例）请根据以上信息，回答下列问题：(1) 记前四天治愈人数的平均数和方差分别为x1和s12，后三天治愈人数的平均数和方差分别为x2和s22，判断x1与x2，s12与s22的大小（直接写出结论）．(2) 从这七天中任取连续的两天，则后一天的治愈人数比前一天的治愈人数多于200例的概率．(3) 设集合M={(x i,x i+1)|x i表示2月i日的治愈人数i=12,13,⋯,17}，从集合M中任取两个元素，设其中满足x i<x i+1的个数为X，求X的分布列和数学期望E(X)．18、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第18题14分已知△ABC中，cb<cosA．(1) 求证：B为钝角．(2) 若△ABC同时满足下列四个条件中的三个：①sinA=√22；②a=2；③c=√2；④sinC=√32，请指出这三个条件，说明理由，并求出b的值．19、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第19题14分已知曲线C:x 24+y23=1(y⩾0),直线l:y=kx+1与曲线C交于A，D两点，A，D两点在x轴上的射影分别为点B，C．(1) 当点B坐标为(−1,0)时，求k的值．(2) 记△OAD的面积S1，四边形ABCD的面积为S2．求证：S1S2⩾12.20、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第20题15分已知函数f(x)=(x−1)e x−alnx(a⩽e)．(1) 当a=e时，①求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程．②求函数f(x)的最小值．(2) 若曲线y=f(x)与x轴有且仅有一个公共点，求实数a的取值范围．21、【来源】 2020年北京海淀区首都师范大学附属中学高三三模第21题14分2020~2021学年北京海淀区首都师范大学附属中学高一下学期期末（成达学部）第18题12分对给定的正整数n，令Ωn={a=(a1,a2,⋯,a n)|a i∈{0,1}i=1,2,⋯,n}，对任意的x=(x1,x2,⋯,x n)，y=(y1,y2,⋯,y n)∈Ωn，定义x与y的距离d(x,y)=|x1−y1|+|x2−y2|+⋯+|x n−y n|，设A是Ωn的含有至少两个元素的子集，集合D={d(x,y)|x≠y,x,y∈A}中的最小值称为A的特征，记作χ(A)．(1) 当n=3时，直接写出下述集合的特征A={(0,0,0),(1,1,1)},B={(0,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0)}，C={(0,0,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,1,1)}．(2) 当n=2020时，设A⊆Ω2020且χ(A)=2，求A中元素个数的最大值．(3) 当n=2020时，设A⊆Ω2020且χ(A)=3，求证：A中的元素个数小于22020．20211 、【答案】 D;2 、【答案】 A;3 、【答案】 B;4 、【答案】 C;5 、【答案】 C;6 、【答案】 A;7 、【答案】 D;8 、【答案】 D;9 、【答案】 A;10 、【答案】 B;11 、【答案】15;−y2=1;12 、【答案】x2313 、【答案】8;62;14 、【答案】10;600;15 、【答案】①②④;16 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) √3．3;17 、【答案】 (1) x1<x2；s12<s22．;(2) 1．3;(3) X的分布列为：E(X)=4．3;18 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) ①②③，1+√3；证明见解析．;.19 、【答案】 (1) −12;(2) 证明见解析．;20 、【答案】 (1)①y=0．②0．;(2) (−∞,0]∪{e}．;21 、【答案】 (1) χ(A)=3，χ(B)=2，χ(C)=1．;(2) 22019．;(3) 证明见解析．;。
2020年高考模拟试卷北京市高考数学全真模拟试卷(3月) 含解析
2020年高考模拟高考数学全真模拟试卷（3月份）一、选择题1．已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}，则（）A．A∩B＝{x|x＜0}B．A∪B＝R C．A∪B＝{x|x＞1}D．A∩B＝∅2．若复数z＝为纯虚数，则实数a的值为（）A．1B．0C．D．﹣13．双曲线4x2﹣y2＝1的离心率为（）A．B．C．D．4．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝﹣x B．y＝x2﹣1C．y＝cos x D．y＝x5．若b＞a＞1，则下列不等式一定正确的是（）A．ab＞2B．a+b＜2C．D．6．在的展开式中，x3的系数为（）A．﹣5B．5C．﹣10D．107．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台（即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的）．如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的容量约为（）A．100cm3B．200cm3C．300cm3D．400cm38．设{a n}为等差数列，p、q、k、l为正整数，则“p+q＞k+l”是“a p+a q＞a k+a l”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”，如图所示，放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的为一个半圆，给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是②当时，直线y＝a（x﹣2）与黑色阴影部分有公共点③当a∈[0，1]时，直线y＝a（x﹣2）与黑色阴影部分有两个公共点其中所有正确结论的序号是（）A．①B．②C．③D．①②10．已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名．具体积分规则如表1所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表2．表1田径综合赛项目及积分规则项目积分规则100米跑以13秒得60分为标准，每少0.1秒加5分，每多0.1秒扣5分跳高以1.2米得60分为标准，每多0.02米加2分，每少0.02米扣2分掷实心球以11.5米得60分为标准，每多0.1米加5分，每少0.1米扣5分表2某队模拟成绩明细姓名100米跑（秒）跳高（米）掷实心球（米）甲13.3 1.2411.8乙12.6 1.311.4丙12.9 1.2611.7丁13.1 1.2211.6根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是（）A．甲B．乙C．丙D．丁二、填空题11．已知向量＝（1，2），＝（3，t），且∥，则t＝．12．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，c2＝2ab且sin A＝sin C，则cos A ＝．13．抛物线y2＝2px上一点M到焦点F（1，0）的距离等于4，则p＝；点M的坐标为．14．已知函数f（x）＝sinωx，g（x）＝cosωx，其中ω＞0，A，B，C是这两个函数图象的交点，且不共线．①当ω＝1时，△ABC面积的最小值为；②若存在△ABC是等腰直角三角形，则ω的最小值为．15．某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是．（填写所有正确说法的编号）四、解答题：共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，BC＝2AB＝4，AD＝3，过BC 的中点F作EF∥AB，交AD于点E，沿EF将四边形EFCD折起，连接AD、AC、BC．（1）求证：BE∥平面ACD；（2）若平面CDEF⊥平面ABFE，求二面角B﹣AC﹣D的大小．17．在①a3＝5，a2+a5＝6b2；②b2＝2，a3+a4＝3b3；③S3＝9，a4+a5＝8b2，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{a n}的公差为d（d＞1），前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，且a1＝b1，d＝q，．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式．（2）记，求数列{c n}的前n项和T n．18．高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展．据统计，在2018年这一年内从A市到B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次．为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取100人次作为样本，得到如表（单位：人次）：满意度老年人中年人青年人乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机10分（满意）121202201 5分（一般）2362490分（不满意）106344（1）在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率；（2）在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为X．以频率作为概率，求X的分布列和数学期望；（3）如果甲将要从A市出发到B市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机？并说明理由．19．已知函数，其中a＞﹣1（1）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；（3）若对于x∈R恒成立，求b﹣a的最大值．20．已知点E在椭圆上，以E为圆心的圆与x轴相切于椭圆C 的右焦点F2，与y轴相交于A，B两点，且△ABE是边长为2的正三角形．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知圆，设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于M、N两点，试判断以MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标，并直接写出|PM|•|PN|的值；若不过定点，请说明理由．21．已知集合M⊆N*，且M中的元素个数n大于等于5．若集合M中存在四个不同的元素a，b，c，d，使得a+b＝c+d，则称集合M是“关联的”，并称集合{a，b，c，d}是集合M的“关联子集”；若集合M不存在“关联子集”，则称集合M是“独立的”．（Ⅰ）分别判断集合{2，4，6，8，10}和集合{1，2，3，5，8}是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有的关联子集；（Ⅱ）已知集合{a1，a2，a3，a4，a5}是“关联的”，且任取集合{a i，a j}⊆M，总存在M 的关联子集A，使得{a i，a j}⊆A．若a1＜a2＜a3＜a4＜a5，求证：a1，a2，a3，a4，a5是等差数列；（Ⅲ）集合M是“独立的”，求证：存在x∈M，使得．参考答案一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}，则（）A．A∩B＝{x|x＜0}B．A∪B＝R C．A∪B＝{x|x＞1}D．A∩B＝∅【分析】先分别求出集合A和B，再求出A∩B和A∪B，由此能求出结果．解：∵集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}＝{x|x＜0}，∴A∩B＝{x|x＜0}，故A正确，D错误；A∪B＝{x|x＜1}，故B和C都错误．故选：A．2．若复数z＝为纯虚数，则实数a的值为（）A．1B．0C．D．﹣1【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．解：复数z＝＝＝+i为纯虚数，∴＝0，≠0，解得a＝﹣1．故选：D．3．双曲线4x2﹣y2＝1的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由双曲线4x2﹣y2＝1能够求出a和c，从而求出它的离心率．解：由题设条件可知：a＝，c＝，∴e＝＝．故选：A．4．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝﹣x B．y＝x2﹣1C．y＝cos x D．y＝x【分析】根据奇函数、偶函数的定义，偶函数图象的对称性，以及二次函数、一次函数及余弦函数的单调性便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．解：A．y＝﹣x在（0，+∞）上单调递减，该选项错误；B．y＝x2﹣1为偶函数，且x＞0时为增函数数；符合题意；C．y＝cos x在（0，+∞）不单调，该选项错误；D．y＝的图象不关于y轴对称，不是偶函数，该选项错误．故选：B．5．若b＞a＞1，则下列不等式一定正确的是（）A．ab＞2B．a+b＜2C．D．【分析】A，B，C均可取反例排除，对于D，利用基本不等式说明即可．解：当b＝＝，a＝时，ab＝＜2；故A错；此时a+b＝＞2，故B错；而＝＞＝，故C错；因为：a＞0，b＞0，∴+≥2，而a≠b，所以+＞2，故D对．故选：D．6．在的展开式中，x3的系数为（）A．﹣5B．5C．﹣10D．10【分析】写出（x﹣）5的展开式的通项公式，令5﹣2r＝3，即可求得结论．解：（x﹣）5的展开式的通项公式为T r+1＝＝令5﹣2r＝3，则r＝1，∴（x﹣）5的展开式中含x3项的系数是﹣5故选：A．7．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台（即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的）．如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的容量约为（）A．100cm3B．200cm3C．300cm3D．400cm3【分析】根据圆台的体积等于两个圆锥的体积之差，即可求出．解：设大圆锥的高为h，所以，解得h＝10．故cm3．故选：B．8．设{a n}为等差数列，p、q、k、l为正整数，则“p+q＞k+l”是“a p+a q＞a k+a l”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据等差数列的通项公式证明已知“p+q＞k+l”是否推出“a p+a q＞a k+a l”，反之，已知“a p+a q＞a k+a l”，是否推出“p+q＞k+l”即可．解：∵{a n}为等差数列，p、q、k、l为正整数，设公差为d；则（a p+a q）﹣（a k+a1）＝[a1+（p﹣1）d+a1+（q﹣1）d]﹣[a1+（k﹣1）d+a1]＝[（p+q）﹣（k+1）]d；若已知“p+q＞k+l”，当d＞0时，有a p+a q＞a k+a l；当d≤0时，有a p+a q≤a k+a l；∴“p+q＞k+l”推不出“a p+a q＞a k+a l”；若已知“a p+a q＞a k+a l”，当d＞0时，有“p+q＞k+l”；当d＜0时，有“p+q＜k+l”；∴a p+a q＞a k+a l”，推不出“p+q＞k+l”；∴“p+q＞k+l”是“a p+a q＞a k+a l”的既不充分也不必要条件；故选：D．9．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”，如图所示，放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的为一个半圆，给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是②当时，直线y＝a（x﹣2）与黑色阴影部分有公共点③当a∈[0，1]时，直线y＝a（x﹣2）与黑色阴影部分有两个公共点其中所有正确结论的序号是（）A．①B．②C．③D．①②【分析】由几何概型概率的求法判断①；利用直线与圆的位置关系判断②；举例说明③错误．解：由对称性可知，在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是，故①正确；当时，直线y＝a（x﹣2）化为y＝，即4x+3y﹣8＝0．此时点（0，1）到直线4x+3y﹣8＝0的距离d＝，直线y＝a（x﹣2）与黑色阴影部分有公共点，故②正确；当a＝0时，直线y＝a（x﹣2）为y＝0，与黑色阴影部分有无数公共点，故③错误．∴所有正确结论的序号是①②．故选：D．10．已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名．具体积分规则如表1所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表2．表1田径综合赛项目及积分规则项目积分规则100米跑以13秒得60分为标准，每少0.1秒加5分，每多0.1秒扣5分跳高以1.2米得60分为标准，每多0.02米加2分，每少0.02米扣2分掷实心球以11.5米得60分为标准，每多0.1米加5分，每少0.1米扣5分表2某队模拟成绩明细姓名100米跑（秒）跳高（米）掷实心球（米）甲13.3 1.2411.8乙12.6 1.311.4丙12.9 1.2611.7丁13.1 1.2211.6根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】由题意计算四名运动员的各项得分成绩，求出综合得分最高的，即可得出结论．解：由题意知，四名运动员的各项得分成绩如下；姓名100米跑（秒）跳高（米）掷实心球（米）合计甲456475184乙807055205丙656670201丁556265182由表中数据知，乙的综合得分最高，应选乙参加比赛．故选：B．二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分．11．已知向量＝（1，2），＝（3，t），且∥，则t＝6．【分析】直接利用向量的共线的充要条件求解即可．解：由向量＝（1，2），＝（3，x），若∥，可得x＝2×3＝6．故答案为：6．12．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，c2＝2ab且sin A＝sin C，则cos A＝．【分析】结合正弦定理与余弦定理即可求解．解：c2＝2ab且sin A＝sin C，由正弦定理可得，2a＝c，∴b＝c＝2a，则cos A＝＝．故答案为：13．抛物线y2＝2px上一点M到焦点F（1，0）的距离等于4，则p＝2；点M的坐标为（3，±2）．【分析】由抛物线y2＝2px的焦点坐标为（，0），可得p的值；由抛物线的定义，可得M的横坐标，代入抛物线方程可得M的坐标．解：抛物线y2＝2px的焦点坐标为（，0），由题意可得＝1，即p＝2；抛物线y2＝4x的准线方程为x＝﹣1，设M（m，n），可得m+1＝4，即m＝3，可得n2＝12，即n＝±2，故答案为：2，（3，±2）．14．已知函数f（x）＝sinωx，g（x）＝cosωx，其中ω＞0，A，B，C是这两个函数图象的交点，且不共线．①当ω＝1时，△ABC面积的最小值为2π；②若存在△ABC是等腰直角三角形，则ω的最小值为．【分析】①直接利用函数的图象和性质的应用求出三角形的底和高，进一步求出三角形的面积．②利用等腰直角三角形的性质的应用求出ω的最小值．解：函数f（x）＝sinωx，g（x）＝cosωx，其中ω＞0，A，B，C是这两个函数图象的交点，当ω＝1时，f（x）＝，g（x）＝．所以函数的交点间的距离为一个周期2π．高为．所以：．如图所示：①当ω＝1时，△ABC面积的最小值为2π；②若存在△ABC是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，则，解得ω的最小值为．故答案为：2π．15．某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是②③．（填写所有正确说法的编号）【分析】解题的关键是理解图象表示的实际意义，进而得解．解：由图可知，点A纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，故图（2）降低了成本，但票价保持不变，即②对；图（3）成本保持不变，但提高了票价，即③对；故选：②③．四、解答题：共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，BC＝2AB＝4，AD＝3，过BC 的中点F作EF∥AB，交AD于点E，沿EF将四边形EFCD折起，连接AD、AC、BC．（1）求证：BE∥平面ACD；（2）若平面CDEF⊥平面ABFE，求二面角B﹣AC﹣D的大小．【分析】（1）作图，容易证明四边形DEOG为平行四边形，进而得到BE∥DG，由此得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面BAC及平面DAC的法向量，运用向量的夹角公式直接计算即可．解：（1）证明：连接AF交BE于点O，设G为AC的中点，连接OG，DG，如图所示，由题意知，四边形ABFE为平行四边形，则O为AF的中点，故OG∥CF，且，由已知得，DE∥CF，且，∴DE∥OG且DE＝OG，∴四边形DEOG为平行四边形，∴OE∥DG，即BE∥DG，∵DG在平面ACD内，BE不在平面ACD内，∴BE∥平面ACD；（2）由已知可得四边形ABFE为边长为2的正方形，所以AE⊥EF，由于平面CDEF⊥平面ABFE，且DE⊥EF，则DE⊥平面ABFE，所以DE⊥AE，故EA，EF，ED两两垂直，以E为坐标原点，EA，EF，ED分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如右图所示，则E（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），F（0，2，0），D（0，0，1），C（0，2，2），可得，设平面BAC的一个法向量为，则，即，则，设平面DAC的一个法向量为，则，即，则，∴，显然，二面角B﹣AC﹣D的平面角为钝角，所以所求二面角B﹣AC﹣D的大小为．17．在①a3＝5，a2+a5＝6b2；②b2＝2，a3+a4＝3b3；③S3＝9，a4+a5＝8b2，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{a n}的公差为d（d＞1），前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，且a1＝b1，d＝q，b2＝2，a3+a4＝3b3．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式．（2）记，求数列{c n}的前n项和T n．【分析】选择②b2＝2，a3+a4＝3b3；（1）设a1＝b1＝t，d＝q＞1，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公差、公比，即可得到所求；（2）求得＝（2n﹣1）•（）n﹣1，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．解：选择②b2＝2，a3+a4＝3b3；（1）设a1＝b1＝t，d＝q＞1，由b2＝2，a3+a4＝3b3，可得tq＝2，2t+5d＝3tq2，又d＝q，解得d＝q＝2，t＝1，可得a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；b n＝2n﹣1；（2）＝（2n﹣1）•（）n﹣1，前n项和T n＝1•1+3•+5•+…+（2n﹣1）•（）n﹣1，T n＝1•+3•+5•+…+（2n﹣1）•（）n，两式相减可得T n＝1+1+++…+（）n﹣2﹣（2n﹣1）•（）n，＝1+﹣（n﹣1）•（）n，化简可得T n＝6﹣（2n+3）•（）n﹣1．18．高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展．据统计，在2018年这一年内从A市到B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次．为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取100人次作为样本，得到如表（单位：人次）：满意度老年人中年人青年人乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机乘坐高铁乘坐飞机10分（满意）121202201 5分（一般）2362490分（不满106344意）（1）在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率；（2）在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为X．以频率作为概率，求X的分布列和数学期望；（3）如果甲将要从A市出发到B市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机？并说明理由．【分析】（1）根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，即可按照古典概型的概率计算公式计算得出；（2）依题意可知X服从二项分布，先计算出随机选取1人次，此人为老年人概率是，所以，即，即可求出X的分布列和数学期望；（3）可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机．解：（1）设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M，由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率；（2）由题意，X的所有可能取值为：0，1，2，因为在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人为老年人概率是，所以，，，所以随机变量X的分布列为：x012P故；（3）从满意度的均值来分析问题如下：由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：，乘坐飞机的人满意度均值为：，因为，所以建议甲乘坐高铁从A市到B市．19．已知函数，其中a＞﹣1（1）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；（3）若对于x∈R恒成立，求b﹣a的最大值．【分析】（1）根据导数的几何意义，求出切线斜率，由点斜式方程即可写出切线方程；（2）求出导数，依据f'（x）＝e x﹣1+x在（﹣∞，+∞）上单调递增，且f'（0）＝0，分别解不等式f'（x）＞0以及f'（x）＜0，即可求出函数f（x）的单调增区间和减区间；（3）由题意得e x﹣（a+1）x﹣b≥0在x∈R上恒成立，设g（x）＝e x﹣（a+1）x﹣b，用导数讨论函数的单调性，求出最小值g（ln（a+1））≥0，可得b﹣a≤1﹣（a+1）ln （a+1）．再设h（x）＝1﹣xlnx（x＞0），求出函数h（x）的最大值，即为b﹣a的最大值．解：（1）由，得f'（x）＝e x+x，所以f（0）＝1，f'（0）＝1．所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为x﹣y+1＝0．（2）由，得f'（x）＝e x﹣1+x．因为f'（0）＝0，且f'（x）＝e x﹣1+x在（﹣∞，+∞）上单调递增，所以由f'（x）＝e x﹣1+x＞0得，x＞0，所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，由f'（x）＝e x﹣1+x＜0得，x＜0所以函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减．综上，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）．（3）由，得e x﹣（a+1）x﹣b≥0在x∈R上恒成立．设g（x）＝e x﹣（a+1）x﹣b，则g'（x）＝e x﹣（a+1）．由g'（x）＝e x﹣（a+1）＝0，得x＝ln（a+1），（a＞﹣1）．随着x变化，g'（x）与g（x）的变化情况如下表所示：x（﹣∞，ln（a+1））ln（a+1）（ln（a+1），+∞）g'（x）﹣0+g（x）↘极小值↗所以g（x）在（﹣∞，ln（a+1））上单调递减，在（ln（a+1），+∞）上单调递增．所以函数g（x）的最小值为g（ln（a+1））＝（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b．由题意，得g（ln（a+1））≥0，即b﹣a≤1﹣（a+1）ln（a+1）．设h（x）＝1﹣xlnx（x＞0），则h'（x）＝﹣lnx﹣1．因为当时，﹣lnx﹣1＞0；当时，﹣lnx﹣1＜0，所以h（x ）在上单调递增，在上单调递减．所以当时，．所以当，b＝a+1﹣（a+1）ln（a+1），即，时，b﹣a 有最大值为．20．已知点E 在椭圆上，以E为圆心的圆与x轴相切于椭圆C的右焦点F2，与y轴相交于A，B两点，且△ABE是边长为2的正三角形．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知圆，设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于M、N两点，试判断以MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标，并直接写出|PM|•|PN|的值；若不过定点，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由题意可得EF2⊥x轴，求得E的坐标，由等边三角形的定义和性质可得a，b的方程，解方程可得椭圆方程；（Ⅱ）讨论当过点P且与圆O相切的切线的斜率不存在，当过点P且与圆O相切的切线的斜率存在，可设切线方程为y＝kx+m，结合向量的数量积的性质，垂直的条件：数量积为0，以及直角三角形的射影定理可得所求定值．解：（Ⅰ）由题意可得EF2⊥x轴，可得E（c，），△ABE是边长为2的正三角形，可得c＝•2＝，则＝2，且a2﹣b2＝3，解得a＝3，b＝，可得椭圆方程为；（Ⅱ）当过点P且与圆O相切的切线的斜率不存在，可设切线方程为x＝，由（Ⅰ）可得M（，），N（，﹣），•＝﹣＝0，可得OM⊥ON，此时|PM|•|PN|＝|OP|2＝r2＝；当过点P且与圆O相切的切线的斜率存在，可设切线方程为y＝kx+m，设M（x1，y1），N（x2，y2），由直线和圆相切可得＝，即5m2＝18（1+k2），联立直线方程y＝kx+m和椭圆方程2x2+3y2＝18，可得（2+3k2）x2+6kmx+3m2﹣18＝0，即有△＞0，x1+x2＝﹣，x1x2＝，•＝x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2＝（1+k2）•+km（﹣）+m2＝＝＝0，可得OM⊥ON，此时|PM|•|PN|＝|OP|2＝r2＝．综上可得，|PM|•|PN|＝为定值．21．已知集合M⊆N*，且M中的元素个数n大于等于5．若集合M中存在四个不同的元素a，b，c，d，使得a+b＝c+d，则称集合M是“关联的”，并称集合{a，b，c，d}是集合M的“关联子集”；若集合M不存在“关联子集”，则称集合M是“独立的”．（Ⅰ）分别判断集合{2，4，6，8，10}和集合{1，2，3，5，8}是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有的关联子集；（Ⅱ）已知集合{a1，a2，a3，a4，a5}是“关联的”，且任取集合{a i，a j}⊆M，总存在M 的关联子集A，使得{a i，a j}⊆A．若a1＜a2＜a3＜a4＜a5，求证：a1，a2，a3，a4，a5是等差数列；（Ⅲ）集合M是“独立的”，求证：存在x∈M，使得．【分析】（Ⅰ）根据题意即可求解；（Ⅱ）根据题意，A1＝{a2，a3，a4，a5}，A2＝{a1，a3，a4，a5}，A3＝{a1，a2，a4，a5}，A4＝{a1，a2，a3，a5}，A5＝{a1，a2，a3，a4}，进而利用反证法求解；（Ⅲ）不妨设集合M＝{a1，a2，…，a n}（n≥5），a i∈N*，i＝1，2，…，n，且a1＜a2＜…＜a n，记T＝{t|t＝a i+a j，1≤t＜j≤n，i，j∈N*}，进而利用反证法求解；解：（I）{2，4，6，8，10}是“关联的”，关联子集有{2，4，6，8}，{4，6，8，10}，{2，4，8，10}，{1，2，3，5，8}是“独立的”．（Ⅱ）记集合M的含有四个元素的集合分别为：A1＝{a2，a3，a4，a5}，A2＝{a1，a3，a4，a5}，A3＝{a1，a2，a4，a5}，A4＝{a1，a2，a3，a5}，A5＝{a1，a2，a3，a4}，所以，M至多有5个“关联子集”，若A2＝{a1，a3，a4，a5}为“关联子集”，则A1＝{a2，a3，a4，a5}，不是“关联子集”，否则a1＝a2，同理可得若A2＝{a1，a3，a4，a5}为“关联子集”，则A3，A4不是“关联子集”，所以集合M没有同事含有元素a2，a5的“关联子集”，与已知矛盾．所以A2＝{a1，a3，a4，a5}一定不是“关联子集”，同理A4＝{a1，a2，a3，a5}一定不是“关联子集”，所以集合M的“关联子集”至多为A1，A3，A5，若A1不是“关联子集”，则此时集合M一定不含有元素a3，a5的“关联子集”，与已知矛盾；若A3不是“关联子集”，则此时集合M一定不含有元素a1，a5的“关联子集”，与已知矛盾；若A5不是“关联子集”，则此时集合M一定不含有元素a1，a3的“关联子集”，与已知矛盾；所以A1，A3，A5都是“关联子集”，所以有a2+a5＝a3+a4，即a5﹣a4＝a3﹣a2；a1+a5＝a2+a4，即a5﹣a4＝a2﹣a1；a1+a4＝a2+a3，即a4﹣a3＝a2﹣a1；所以a5﹣a4＝a4﹣a3＝a2﹣a1，所以a1，a2，a3，a4，a5是等差数列．（Ⅲ）不妨设集合M＝{a1，a2，…，a n}（n≥5），a i∈N*，i＝1，2，…，n，且a1＜a2＜…＜a n，记T＝{t|t＝a i+a j，1≤t＜j≤n，i，j∈N*}，因为集合M是“独立的”的，所以容易知道T中恰好由C＝个元素，假设结论错误，即不存在x∈M，使得x＞，所以任取x∈M，x≤，因为x∈N*，所以x≤，所以a i+a j≤+﹣1＝﹣1＝+3，所以任取t∈T，t≤+3，任取t∈T，t≥1+2＝3，所以T⊆{3，4…，+3}，且T中含有C＝个元素，（i）若3∈T，则必有a1＝1，a2＝2成立，因为n≥5，所以一定有a n﹣a n﹣1＞a2﹣a1成立，所以a n﹣a n﹣1≥2，所以a n+a n﹣1≤+﹣2＝+2，所以T＝{t|3≤t≤+2，t∈N*}，所以a n＝+，a n﹣1＝+﹣﹣2，因为4∈T，所以a3＝3，所以有a n+a1＝a n﹣1+a3，矛盾；（ii）若3∉T，则T⊆{4，5，…，+3}，而T中含有C＝个元素，所以T ＝{t|4≤t≤+3，t∈N*}所以a n＝，a n﹣1＝，因为4∈T，所以a1＝1，a2＝3，因为+2∈T，所以+2＝a n﹣2+a n，所以a n﹣2＝﹣2，所以a n+a1＝a n﹣2+a3，矛盾，所以命题成立．。
北京市北大附中2020届高三阶段性检测(三模)数学试题(含答案)
x
y
z0 0
令 x 1，得 y 1, z 1． 所以 n = (1,1,1) ．
………………………11 分
P B
A
y C
Dx
所以 cos n, BE n BE | n || BE |
1 2 1 ． ………………………13 分 3 3 3 4
所以直线 BE与平面 PBD所成角的正弦值为 1 ． ………………………14 分
AB 边上的高 h a sin B 7 3 21 3 3 ………………………………14 分 14 2
解：选择② ………………………………………………………………2 分
在△ABC 中，由 c b 2 ，得 c b 2 ，………………………………3 分
由余弦定理 a2 b2 c2 2bc cos A ，……………………………5 分
由题意可得： B(0,1, 0) ， D(1, 0, 0) ， C(1,1, 0) ， P(0, 0,1) , E(1 , 1 , 1 )． 222
所以 DP (1,0,1) ，BD (1, 1,0) ，
………………………9 分
设平面 PBD的一个法向量 n (x, y, z) ，
z
则
即
x
解：选择① ……………………………………………………………………2 分
写法二：
在△ABC 中， sin C 21 3 72
………………………………………3 分
C （0， ）或 C （2 ,） ………………………………………………5 分
3
3
因为 A ,所以 C （0， ） …………………………………………6 分
19．（本小题共 14 分）
已知椭圆 C
北京市海淀区达标名校2020年高考三月数学模拟试卷含解析
③对分类变量 与 的随机变量 的观测值 来说， 越小，“ 与 有关系”的把握程度越小，故③为假命题．
故选： ．
【点睛】
本题以命题的真假判断为载体考查了抽样方法、相关系数、独立性检验等知识点，属于基础题．
3．C
【解析】
试题分析：A中，函数为偶函数，但 ，不满足条件；B中，函数为奇函数，不满足条件；C中，函数为偶函数且 ，满足条件；D中，函数为偶函数，但 ，不满足条件，故选C．
考点：1、函数的奇偶性；2、函数的值域．
4．A
【解析】
【分析】
根据题意得到 ，化简得到 ，得到答案.
【详解】
根据题意知：焦点 到渐近线 的距离为 ，
解：设 ，
则 ，
即 为增函数，
又 ， ， ， ，
即 ，
所以 ，
所以 ．
故选：C．
【点睛】
本题考查了函数的增减性及导数的应用，属中档题．
2．C
【解析】
【分析】
根据抽样方式的特征，可判断①；根据相关系数的性质，可判断②；根据独立性检验的方法和步骤，可判断③．
【详解】
①根据抽样是间隔相同，且样本间无明显差异，故①应是系统抽样，即①为假命题；
【点睛】
本题主要考查不等式能成立问题的解法，涉及到对数函数的单调性的应用，构造函数法的应用，导数的应用等，意在考查学生的转化能力，属于中档题．
11．A
【解析】
【分析】
用转化的思想求出 中不等式的解集，再利用并集的定义求解即可．
【详解】
解：由集合 ，解得 ，
则
故选： ．
2020年北京海淀区北京市海淀实验中学高三三模数学试卷-学生用卷
2020年北京海淀区北京市海淀实验中学高三三模数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1、【来源】 2020年北京海淀区北京市海淀实验中学高三三模第1题4分2020~2021学年天津南开区天津大学附属中学高一上学期期中第3题4分2020~2021学年10月广东广州越秀区广州市执信中学高一上学期周测A卷（二）第1题2020~2021学年黑龙江哈尔滨道里区哈尔滨市第九中学校高三上学期开学考试文科第1题5分⩽0}，则(∁R A)∩B=（）．设集合A={x|x>3}，B={x|x−1x−4A. (1,3)B. [1,3]C. (3,4)D. [3,4)2、【来源】 2020年北京海淀区北京市海淀实验中学高三三模第2题4分以下函数中在区间(0,+∞)上单调递增的函数是（）．C. y=−x2+1D. y=−x|x|A. y=|x|+1B. y=1x3、【来源】 2020年北京海淀区北京市海淀实验中学高三三模第3题4分2017~2018学年四川德阳旌阳区德阳五中高一上学期期中第6题5分2019~2020学年北京高一上学期单元测试《函数的基本性质综合训练》（必修一）第1题已知函数y=f(x)+x是偶函数，且f(2)=3，则f(−2)=（）．A. −7B. 7C. −5D. 54、【来源】 2020年北京海淀区北京市海淀实验中学高三三模第4题4分2018~2019学年北京通州区通州三中高二上学期开学考试第7题2019~2020学年天津和平区高三上学期期末第4题5分已知圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且与直线3x+4y+4=0相切，则圆的方程是（）．A. x2+y2−4x=0B. x2+y2+4x=0C. x2+y2−2x−3=0D. x2+y2+2x−3=05、【来源】 2020年北京海淀区北京市海淀实验中学高三三模第5题4分2015~2016学年广东广州广东广雅中学高二下学期期末理科第7题5分2016~2017学年广东广州越秀区广州市执信中学高二下学期期末文科第5题若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）．A. 2cm3B. √3cm3C. 3√3cm3D. 3cm36、【来源】 2020年北京海淀区北京市海淀实验中学高三三模第6题4分2019~2020学年4月北京海淀区清华大学附属中学高三下学期月考第9题4分已知定义在R上的函数f(x)=2|x−m|−1（m为实数）为偶函数，记a=f(2−3)，b=f(3m)，c=f(log0.53)，则（）．A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. c<b<a7、【来源】 2020年北京海淀区北京市海淀实验中学高三三模第7题4分2020年北京海淀区北京一零一中学高三三模第7题2019年上海徐汇区高三二模第14题5分设n ∈N ∗ ，则“数列{a n } 为等比数列”是“数列{a n }满足a n ⋅a n+3=a n+1⋅a n+2”的（ ）．A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件8、【来源】 2020年北京海淀区北京市海淀实验中学高三三模第8题4分2014~2015学年北京西城区北京师范大学附属实验中学高二上学期期中理科第8题2015~2016学年上海杨浦区上海复旦大学附属中学高二上学期期中第16题4分2018~2019学年10月四川成都锦江区成都七中嘉祥外国语学校高二上学期周测理科第7周第8题5分2016~2017学年北京西城区北京师范大学第二附属中学高二上学期期中文科第8题5分已知点A (0,2)，B (2,0)，若点C 在函数y =x 2的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为（ ）．A. 4B. 3C. 2D. 19、【来源】 2020年北京海淀区北京市海淀实验中学高三三模第9题4分2017年四川乐山高三一模理科第9题5分2020年北京海淀区北京一零一中学高三三模第5题2019~2020学年4月北京海淀区清华大学附属中学高三下学期月考第8题4分函数f (x )=Asin(ωx +π4)(ω>0)的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为π3的等差数列，要得到函数g (x )=Acosωx 的图象，只需将f (x )的图象（ ）．A. 向左平移π12个单位B. 向右平移π4个单位C. 向左平移π4个单位D. 向右平移3π4个单位10、【来源】 2020年北京海淀区北京市海淀实验中学高三三模第10题4分2019~2020学年四川成都双流区四川双流棠湖中学外国语实验学校高一下学期开学考试第11题5分2019~2020学年5月陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高二下学期月考文科第10题4分 2020年北京西城区高三一模（线上）第10题4分设函数f(x)={x 2+10x +1,x ⩽0|lgx|,x >0，若关于x 的方程f(x)=a(a ∈R)有四个实数解x i (i =1,2,3,4)，其中x 1<x 2<x 3<x 4，则(x 1+x 2)(x 3−x 4)的取值范围是（ ）．A. (0,101]B. (0,99]C. (0,100]D. (0,+∞)二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11、【来源】 2020年北京海淀区北京市海淀实验中学高三三模第11题5分2020~2021学年浙江宁波奉化区高二下学期期末第12题6分2016年北京石景山区高三一模文科第9题5分2015年高考真题浙江卷理科第9题2016年北京石景山区高三一模理科第9题5分双曲线x 22−y 2=1的焦距是 ，渐近线方程是 ．12、【来源】 2020年北京海淀区北京市海淀实验中学高三三模第12题5分已知向量a →=(1,2)，b →=(−2,t )，若a →//b →，则实数t 的值是 ．13、【来源】 2020年北京海淀区北京市海淀实验中学高三三模第13题5分2019~2020学年湖南长沙雨花区长沙市第十五中学高二上学期期中第15题5分2013~2014学年上海虹口区上海市复兴高级中学高二上学期期末第6题4分2019~2020学年广西百色高二上学期期末文科第14题5分设抛物线y 2=8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是 ．14、【来源】 2020年北京海淀区北京市海淀实验中学高三三模第14题5分2019~2020学年3月山西太原小店区山西大学附属中学高三下学期月考理科第13题5分 在(√x 3−2x)n 的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于 ．15、【来源】 2020年北京海淀区北京市海淀实验中学高三三模第15题5分数列{a n }的前n 项和为S n ，若数列{a n }的各项按如下规律排列：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，⋯，1n ，2n ，⋯，n−1n ，⋯，有如下运算和结论： ①a 24=38；②数列a 1，a 2+a 3，a 4+a 5+a 6，a 7+a 8+a 9+a 10，⋯，是等比数列；③数列a 1，a 2+a 3，a 4+a 5+a 6，a 7+a 8+a 9+a 10，⋯，的前n 项和为T n =n 2+n 4； ④若存在正整数k ，使S k <10，S k+1⩾10，则a k =57． 其中正确的结论有 ．（将你认为正确的结论序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共85分）16、【来源】 2020年北京海淀区北京市海淀实验中学高三三模第16题2020年北京通州区高三一模第16题14分2020~2021学年12月北京朝阳区北京陈经纶中学高三上学期月考第16题2020~2021学年北京海淀区首都师范大学附属中学高三上学期开学考试第16题已知△ABC ．满足a =√7，b =2， ，判断△ABC 的面积S >2是否成立？说明理由．从①A=π3，②cosB=√217这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并做答．17、【来源】 2020年北京海淀区北京市海淀实验中学高三三模第17题2014~2015学年北京西城区高二上学期期末理科第21题13分在如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，AB=2BC=4，四边形CDEF是等腰梯形，EF//DC，EF=2，且平面ABCD⊥平面CDEF，AF⊥CF．(1) 过BD与AF平行的平面与CF交于点G．求证：G为CF的中点；(2) 求二面角B−AF−D的余弦值．18、【来源】 2020年北京海淀区北京市海淀实验中学高三三模第18题某校高二一次月考之后，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生此次的数学成绩，按成绩分组，制成了下面频率分布表：(1) 试估计该校高二学生本次月考的平均分．(2) 如果把表中的频率近似地看作每个学生在这次考试中取得相应成绩的概率，那么从所有学生中采用逐个抽取的方法任意抽取3名学生的成绩，并记成绩落在[110,130)中的学生数为ξ，求：①在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在[110,130)中的概率．②ξ的分布列和数学期望．（注：本小题结果用分数表示）19、【来源】 2020年北京海淀区北京市海淀实验中学高三三模第19题2016~2017学年12月北京海淀区北京理工大学附属中学分校高三上学期月考理科第19题13分2015年北京朝阳区高三二模理科第18题2018~2019学年2月天津南开区南开大学附属中学高三下学期月考理科第19题已知点M为椭圆C:3x2+4y2=12的右顶点，点A，B是椭圆C上不同的两点（均异于点M），且．满足直线MA与直线MB斜率之积为14(1) 求椭圆C的离心率及焦点坐标；(2) 试判断直线AB是否过定点：若是，求出定点坐标；若否，说明理由．20、【来源】 2020年北京海淀区北京市海淀实验中学高三三模第20题2019年北京海淀区首都师范大学附属中学高三二模文科第19题14分已知函数f(x)=(x2−a)e x，a∈R．(1) 当a=0时，求函数f(x)的单调区间；(2) 若在区间(1,2)上存在不相等的实数m，n，使f(m)=f(n)成立，求a的取值范围；(3) 若函数f(x)有两个不同的极值点x1，x2，求证：f(x1)f(x2)<4e−2．21、【来源】 2020年北京海淀区北京市海淀实验中学高三三模第21题2012年高考真题上海卷理科第23题2017~2018学年北京西城区北京市第十五中学高三上学期期中理科第22题13分2017~2018学年北京西城区北京师范大学第二附属中学高三上学期期中理科第20题对于数集X ={−1,x 1,x 2,⋯,x n }，其中0<x 1<x 2<⋯<x n ，n ⩾2，定义向量集Y ={a →|a →=(s,t),s ∈X,t ∈X}．若对于任意a 1→∈Y ，存在a 2→∈Y ，使得a 1→⋅a 2→=0，则称X 具有性质P ．例如X ={−1,1,2}具有性质P ．(1) 若x >2，且{−1,1,2,x}具有性质P ，求x 的值；(2) 若X 具有性质P ，求证：1∈X ，且当x n >1时，x 1=1；(3) 若X 具有性质P ，且x 1=1，x 2=q （q 为常数），求有穷数列x 1,x 2,⋯,x n 的通项公式．1 、【答案】 B;2 、【答案】 A;3 、【答案】 B;4 、【答案】 A;5 、【答案】 B;6 、【答案】 A;7 、【答案】 A;8 、【答案】 A;9 、【答案】 A;10 、【答案】 B;11 、【答案】 2√3;y =±√22x ; 12 、【答案】 −4;13 、【答案】 6;14 、【答案】 112;15 、【答案】 ①③④;16 、【答案】 选①，△ABC 的面积S >2成立，证明见解析．选②，△ABC 的面积S >2不成立，证明见解析．;17 、【答案】 (1) 证明见解析;(2) −√21．7;18 、【答案】 (1) 114.5．;(2)①3．8②E(ξ)=3．2;19 、【答案】 (1) 离心率为1，焦点坐标为(−1,0)，(1,0)．2;(2) 直线AB过定点(−4,0);20 、【答案】 (1) f(x)的单调增区间为(−∞,−2),(0,+∞)，单调减区间为(−2,0)．;(2) 3<a<8．;(3) 证明见解析．;21 、【答案】 (1) x=4．;(2) 证明见解析．;(3) x i=q i−1，i=1,2,⋯,n．;。
北京市2020届高三3月份高考适应性测试数学试题 Word版含答案
2020 年北京市高考适应性测试数学本试卷共6 页，150 分。
考试时长120 分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40 分）一、选择题共10 题，每题 4 分，共40 分。
在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）在复平面内，复数i (i + 2) 对应的点的坐标为（A）(1, 2 ) （B）(-1, 2 ) （C）( 2, 1) （D）( 2, - 1)（2）已知集合A = { x x < 2} ，B = { - 1, 0,1, 2, 3 } ，则 A ∩ B =（A）{0, 1} （B）{ 0, 1, 2 } （C）{-1, 0, 1}（3）下列函数中，在区间(0, +∞) 上为减函数的是（D）{- 1, 0, 1, 2 }（A）y =x （B）y = x2- 1 （C）y = (1)x2（D）y = log2x（4）函数f ( x) =（A）{x | x ≤2 或x ≥3}（C）{x | 2 ≤x ≤3}的定义域为（B）{x | x ≤- 3 或x ≥-2}（D）{x | -3 ≤ x ≤-2}（5）圆心为( 2, 1) 且和x 轴相切的圆的方程是（A）(x - 2)2+ ( y -1)2= 1 （B）(x + 2)2+ ( y +1)2= 1 （C）(x - 2)2+ ( y -1)2= 5 （D）(x + 2)2+ ( y +1)2= 5（6）要得到函数y = sin(2x -π) 的图象，只需要将函数y = sin 2x 的图象3（A）向左平移π个单位（B）向左平移π个单位3 6（C）向右平移π个单位（D）向右平移π个单位3 6x2- 5x + 6数学第 1 页（共6 页）数学 第 2 页（共 6 页）x （7） 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为 （A ） 23 （B ） 43（C ） 2 （D ） 4正（主）视图侧（左）视图俯视图（8） 已知点 A ( 2, 0 ) ， B ( 0, - 2 ) ．若点 P 在函数 y = 的图象上，则使得△ P AB 的面积为 2的点 P 的个数为 （A ）1（B ） 2（C ） 3（D ） 4（9） 设{a n }是等差数列，且公差不为零，其前 n 项和为 S n ．则“ ∀n ∈ N * ，S n +1 > S n ”是“{a n }为递增数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（10） 学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为 A ，B ，C ，D ，E 五个等级．某班共有36 名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为 A 的学生有5 人，这两科中仅有一科等级为 A 的学生，其另外一科等级为 B ．则该班（A ） 物理化学等级都是 B 的学生至多有12 人 （B ） 物理化学等级都是 B 的学生至少有5 人 （C ） 这两科只有一科等级为 B 且最高等级为 B 的学生至多有18 人（D ） 这两科只有一科等级为 B 且最高等级为 B 的学生至少有1 人等级科目ABCDE物理 10 16 9 1 0 化学81972数学 第 3 页（共 6 页）x - 2第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 5 题，每题 5 分，共 25 分。
北京市海淀实验中学2020届高三三模数学试题
北京市海淀实验中学2020届高三三模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合A ={x |x >3}，104x B xx -⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭∣，则(∁R A )∩B =（ ） A ．(1，3) B ．[1，3] C ．(3，4) D ．[3，4)2．以下函数中在区间()0,∞+上单调递增的函数是（ ） A ．1y x =+ B ．1y x= C ．21y x =-+D ．y x x =-3．已知函数y = f （x ）+x 是偶函数，且f （2）= 3 ，则f （-2）=（ ） A ．-7B ．7C ．-5D ．54．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3440x y ++=与圆C 相切，则圆C 的方程为 A ．22230x y x +--= B ．2240x y x ++= C ．22230x y x ++-=D ．2240x y x +-=5．若某几何体的三视图（单位： cm ）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（ ）A ．2cm 3B 3C ．3D ．3 cm 36．已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记()32a f -=，()3m b f =，()0.5log 3c f =，则（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<7．设*n N ∈，则“数列{}n a 为等比数列”是“数列{}n a 满足312n n n n a a a a +++⋅=⋅”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件8．已知点()()0,2,2,0A B ．若点C 在函数2y x 的图象上，则使得ABC 的面积为2的点C 的个数为 A ．4B ．3C ．2D ．19．函数()sin()(0)4f x A x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象 A ．向左平移12π个单位B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移34π个单位10．设函数()210100x x x f x lgx x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解()1234i x i =，，，，其中1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的取值范围是（ ）A ．(]0101， B ．(]099， C ．(]0100， D ．()0+∞，二、填空题11．双曲线2212x y -=的焦距是_____，渐近线方程是__________．12．已知向量(1,2)a =，(2,)b t =-，若//a b ，则实数t 的值是___________.13．设抛物线28y x =上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是____．14．在2nx ⎫⎪⎭的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于______．15．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n a 的各项按如下规律排列：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，1n ，2n ，…，1n n -，…有如下运算和结论：①2438a =；②数列1a ，23a a +，456a a a ++，78910a a a a +++，…是等比数列；③数列1a ，23a a +，456a a a ++，78910a a a a +++，…的前n 项和为24n n n T +=；④若存在正整数k ，使10k S <，110k S +≥，则57k a =.其中正确的结论是_____.（将你认为正确的结论序号都填上）三、解答题16．已知△ABC ，满足a =b = 2，_________，判断△ABC 的面积2S >是否成立？说明理由.从①3A π=；②cosB =的空格处并做答.17．某校高三一次月考之后，为了为解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生此次的数学成绩，按成绩分组，制成了下面频率分布表：（1）试估计该校高三学生本次月考的平均分；（2）如果把表中的频率近似地看作每个学生在这次考试中取得相应成绩的概率，那么从所有学生中采用逐个抽取的方法任意抽取3名学生的成绩，并记成绩落在[)110,130中的学生数为ξ，求：①在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在[)110,130中的概率； ②ξ的分布列和数学期望．（注：本小题结果用分数表示）18．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是矩形，AB = 2BC =4 ，四边形CDEF 是等腰梯形，EF //DC ，EF = 2，且平面ABCD ⊥平面CDEF ，AF ⊥ CF .（1）过BD 与AF 平行的平面与CF 交于点G .求证：G 为CF 的中点； （2）求二面角B - AF -D 的余弦值.19．已知点M 为椭圆C ：223412x y +=的右顶点，点A ，B 是椭圆C 上不同的两点（均异于点M ），且满足直线MA 与直线MB 斜率之积为14.（1）求椭圆C 的离心率及焦点坐标；（2）试判断直线AB 是否过定点？若是，求出定点坐标；若否，说明理由. 20．已知函数2()()e x f x x a =-，a R ∈． （Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若在区间()1,2上存在不相等的实数,m n ,使()()f m f n =成立，求a 的取值范围； （Ⅲ）若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，求证：212()()4e f x f x -<. 21．对于数集X ={-1，x 1，x 2，，x n }，其中120n x x x <<<，n ≥ 2，定义向量集{}|(,),,Y a a s t s X t X ==∈∈，若对任意1a Y ∈，存在2a Y ∈，使得120a a ⋅=，则称X 具有性质P .例如{-1，1，2}具有性质P .（1）若x > 2，且{-1，1，2，x }具有性质P ，求x 的值； （2〉若X 具有性质P ，求证：1 ∈X ，且当x n >1 时，x 1= 1；（3）若X 具有性质P ，且x 1= 1 ，x 2 =q （q 为常数），求有穷数列x 1，x 2，，x n 的通项公式.参考答案1．B 【分析】求出B 中不等式的解集确定出B ，找出A R与B 的交集即可．【详解】 由104x x -≤-可得(1)(4)0x x --≤且40x -≠， 解得14x ≤<， 所以[1,4)B =， 因为A ={x |x >3}， 所以(,3]R A =-∞， 所以(∁R A )∩B =[1，3]， 故选：B 【点睛】本题主要考查了集合的补集，交集运算，分式不等式求解，属于中档题. 2．A 【分析】化简各选项中的函数在()0,∞+上的解析式，利用基本初等函数的单调性可得出结论. 【详解】对于A 选项，当0x >时，11y x x =+=+，该函数在()0,∞+上单调递增； 对于B 选项，函数1y x=在()0,∞+上单调递减； 对于C 选项，函数21y x =-+在()0,∞+上单调递减；对于D 选项，当0x >时，2y x x x =-=-，该函数在()0,∞+上单调递减.故选：A. 3．B 【分析】首先设()()g x f x x =+，利用()()22g g -=，求()2f -的值. 【详解】设()()g x f x x =+，()()2225g f =+=，所以()()2225g f -=--=，所以()27f -=. 故选：B 4．D 【分析】设圆心坐标为(,0)(0)C a a >，根据圆与直线3440x y ++=相切可求出2a =，进而得到圆心和半径，于是可得圆的方程． 【详解】由题意设圆心坐标为(,0)(0)C a a >， ∵圆C 与直线3440x y ++=相切，2=，解得a =2．∴圆心为(2,0)C ，半径为2r ==，∴圆C 的方程为（x ﹣2）2+y 2=4，即2240x y x +-=． 故选D ． 【点睛】求圆的方程时要把握两点：一是求出圆心的坐标；二是求出圆的半径，然后再根据要求写出圆的方程即可，求圆心坐标时注意圆的几何性质的应用，这样可以简化运算，提高解题的速度． 5．B 【分析】由三视图还原出的几何体，得出其结构，由三视图提供的数据计算体积． 【详解】底长分别为1和2，高是2.故这个几何体的体积是311(12)2)32cm ⎡⎤⨯+⨯=⎢⎥⎣⎦.故选：B ． 6．A 【分析】由题意可得0m =，可得||()21x f x =-在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减，比较三个变量的绝对值大小可得． 【详解】定义在R 上的函数||()21(x m f x m -=-为实数）为偶函数，(1)f f ∴-=（1），即|1||1|2121m m ----=-，解得0m =，检验得当0m =时，原函数为偶函数.||()21x f x ∴=-在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减， 312(0,1)8-=∈，31m =，0.52|log 3|log 31=>，30.5(2)(3)(log 3)m f f f -∴<<，即a b c <<故选：A ． 【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的应用，考查对数式大小的比较，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题． 7．A 【分析】“数列{}n a 为等比数列”，则132n n n n a aq a a +++==，⇒数列{}n a 满足312n n n n a a a a +++=．反之不能推出，可以举出反例． 【详解】解：“数列{}n a 为等比数列”，则132n n n n a aq a a +++==，⇒数列{}n a 满足312n n n n a a a a +++=．充分性成立；反之不能推出，例如0n a =，数列{}n a 满足312n n n n a a a a +++⋅=⋅，但数列不是等比数列，即必要性不成立；故“数列{}n a 为等比数列”是“数列{}n a 满足312n n n n a a a a +++⋅=⋅”的充分非必要条件 故选：A ． 【点睛】本题考查了等比数列的定义、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 8．A 【详解】试题分析：直线AB 方程为221x y +=即20x y +-=．设点()2,C x x ，点()2,C x x 到直线AB 的距离为d ，因为AB =122AB d =可得d =即d =，解得0x =或1x =或x =．所以点C 的个数有4个．故A 正确．考点：1直线方程；2点到线的距离． 9．A 【详解】依题意有()f x 的周期为()22ππ,3,sin 334T f x A x πωω⎛⎫====+ ⎪⎝⎭.而()πππππsin 3sin 3sin 3244124g x A x A x A x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故应左移π12.10．B 【分析】画出函数图像，根据图像知：1210x x +=-，341x x =，31110x ≤<，计算得到答案. 【详解】()21010 lg 0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，，画出函数图像，如图所示：根据图像知：1210x x +=-，34lg lg x x =-，故341x x =，且31110x ≤<. 故()()(]1234330110,99x x x x x x ⎛⎫∈ ⎪⎭-⎝+-=-.故选：B .【点睛】本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键. 11．，.【详解】 由题意得：，，，∴焦距为，渐近线方程为.考点：双曲线的标准方程及其性质 12．4- 【分析】根据平行向量坐标公式即可求解参数． 【详解】 因为//a b ，所以212t-=，解得t =-4 ． 故答案为：4- 13．6 【分析】先作出图形，再结合抛物线的定义进行计算即可. 【详解】抛物线28y x =的焦点为()2,0F ,准线方程为2x =-, 如图所示,4PA =,2AB =,由抛物线的定义可得：6PF PB PA AB ==+=. 故答案为:6. 【点睛】本题考查抛物线的定义，考查数形结合思想，属于常考题. 14．112 【详解】由题意可得：2256,8n n =∴=，结合二项式展开式通项公式可得：()848318822rrrr r r r T C C xx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 令8403r-=可得：2r ，则常数项为：()2282428112C -=⨯=.15．①③④ 【分析】①根据数列规律列出前24项即可判定①正确.②根据数列1a ，23a a +，456a a a ++，78910a a a a +++，…是12，1，64，2，…，22n -，12n -，即可得到等差数列，故②不正确.③利用等差数列的前n 项和公式即可判定③正确.④通过列出数列中的项和计算57.510T =<，610.50T =>即可判定④正确.【详解】①前24项构成的数列是：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，16，26，36，46，56，17，27，37，47，57，67，18，28，38，所以2438a =，故①正确.②数列1a ，23a a +，456a a a ++，78910a a a a +++，… 是12，1，64，2，…，22n -，12n -，由等差数列定义121222n n ---=（常数） 所以数列1a ，23a a +，456a a a ++，78910a a a a +++，…是等差数列， 故②不正确.③因为数列1a ，23a a +，456a a a ++，78910a a a a +++，…是等差数列，所以由等差数列前n 项和公式可知：21(1)12224n n n n nT n -+=+⨯=，故③正确.④由③知：1a ，23a a +，456a a a ++，78910a a a a +++， 1112131415a a a a a ++++，161718192021a a a a a a +++++，是12，1，64，2，52，12345615677777777+++++=+.因为57.510T =<，610.50T =>所以存在20k =，使2010S <，2110S ≥，且205=7a . 故④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】本题主要考查探究数列的规律，同时考查了等差数列的性质和数列的证明，属于难题. 16．答案见解析． 【分析】若选（1），根据余弦定理得到3c =，再计算ABC 的面积即可；若选（2），根据余弦定理得到c =222a b c =+，即2A π=，再计算ABC 的面积即可．【详解】选①，△ABC 的面积2S >成立，理由如下： 当3A π=时，2147cos 222c A c+-==⨯ 所以2230c c --=，所以c = 3 ，则△ABC 的面积11sin 23sin 223S bc A π==⨯⨯⨯=2== ， 所以2S >成立；选②，△ABC 的面积S >2不成立，理由如下：当cos B =222cos 2a c b B ac +-==27=230c -+=，所以c = 因a 2= 7 ，b 2＋c 2=4＋3 =7 ， 所以△ABC 是A 为直角的三角形，所以△ABC 的面积112222S bc ==⨯=所以不成立．17．（1）114.5；（2）()32E ξ=． 【详解】试题分析：（1）根据题设条件，利用各区间的中点值，计算本次月考数学学科的平均分．（2）由表知：成绩落在[)110,130中的概率为12．①设A 表示事件“在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在[)110,130中”，利用相互独立事件概率加法公式能求出结果．②ξ的可能取值为0，1，2，3．分别求出相应的概率．由此能求出ξ 的分布列和数学期望． 试题解析：(1)本次月考数学学科的平均分为59535105301152012510135114.5100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；(2)由表，知成绩落在[)110,130中的概率为12，①设A 表示事件“在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在[)110,130中”． 则()1111131222228P A ⎛⎫=⨯+-⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在[)110,130中的概率为38；②ξ的可能取值为0，1，2，3()303110128P C ξ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，()21311311228P C ξ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭，()212311321228P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()33311328P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ξ的分布列为()13313012388882E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=，或13,2B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()32E ξ=．18．（1）证明见解析；（2）【分析】（1）由线面平行的性质可证明AF //HG ，进行证明G 为CF 的中点；（2）在平面CDEF 上作FO ⊥CD ，垂足为O ，以О为原点建立空间直角坐标系О-xyz ，分别求解平面ABF 与平面ADF 的法向量，结合向量夹角公式即可求解二面角的余弦值． 【详解】（1）证明：连接AC 交BD 于点H ，ABCD 为矩形，则H 为AC 中点，连接GH . 因为AF//平面BDG ，平面ACF ∩平面BDG = GH ， AF ⊂平面ACF ， 所以AF //HG ，所以G 为CF 的中点.（2）解：在平面CDEF 上作FO ⊥CD ，垂足为O ， 由于平面CDEF 为等腰梯形，所以OC = 1 ，因为平面ABCD ∩平面CDEF = DC ，且平面ABCD ⊥平面DCFE ， 所以FO ⊥平面ABCD ，在平面ABCD 中，作 OM ⊥CD ，交AB 于M ， 所以FO ⊥ OM ， 如图，以О为原点建立空间直角坐标系О-xyz .则A （2，-3，0） ，B （2，1，0） ，c （0，1，0） ，D （0，-3，0） ﹒设F （0，0，h ）（h > 0 ） .因为AF ⊥CF ，所以0AF CF ⋅=，即（-2，3，h ）· （0，-1，h ）= 0，所以2030h -+= ，解得h =设平面ABF 的法向量为(,,)n a b c = ，而(AF =-，(0,4,0)AB ，由0,0AF n AB n ⎧⋅=⎨⋅=⎩得，230,40.a b b ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩令c = 2，解得a = b = 0 .所以(3,0,2)n ，由于(2,0,0)AD =-，(0,CF =- ， 所以0AD CF ⋅=，CF AD ⊥， 又CF AF ⊥，ADAF A =，所以CF ⊥平面ADF ，所以CF 为平面ADF 的法向量，cos ,CF n =由图知，二面角B -AF -D 的平面角为钝角， 所以二面角B - AF -D 的余弦值为7-19．（1）离心率为12；焦点坐标为（-1，0），（1，0）；（2）过定点，（-4，0）. 【分析】（1）化为椭圆的标准方程形式，得到,,a b c ，即可求得焦点坐标和离心率；（2）首先设直线AB 的方程为y = kx +m ，与椭圆方程联立，得到韦达定理，并表示14MA MB k k ⋅=,得到,m k 的关系式，即可判断是否过定点. 【详解】（1）椭圆C 的方程可化为22143x y += ，则a = 2 ，b =， c = 1 . 故离心率为12，焦点坐标为（-1，0） ，（1，0） .（2）由题意，直线AB 的斜率存在.可设直线AB 的方程为y = kx +m ， A （x 1，y 1） ，B （x 2，y 2），则y 1= kx 1+m ， y 2 = kx 2+m .由22,3412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=. 判别式222222644(34)(412)48(43)0k m k m k m ∆=-+-=-+>所以122834km x x k -+=+，212241234m x x k -=+. 因为直线MA 与直线MB 斜率之积为14，所以12121224y y x x ⋅=-- 所以12124()()(2)(2)kx m kx m x x ++=--.化简得221212(41)(42)()440k x x km x x m -++++-=，即m = 4k 或m = -2k .当m = 4k 时，直线AB 的方程为y = k （x ＋4），过定点（-4，0） . m = 4k 代入判别式大于零中，解得1122k -<<.当m =-2k 时，直线AB 的方程为y = k （x -2），过定点M （2，0），不符合题意舍去.故直线AB 过定点（-4，0） .20．（Ⅰ）函数()f x 的单调增区间为(),2-∞-，()0,∞+，单调减区间为()2,0-；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析. 【详解】试题分析：（Ⅰ）将代入函数的表达式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；（Ⅱ）问题转化为求使函数在上不为单调函数的的取值范围，通过讨论的范围，得到函数的单调性，进而求出的范围；（Ⅲ）先求出函数的导数，找到函数的极值点，从而证明出结论. 试题解析：（Ⅰ）当时，，．由，解得，. 当时，＞0，f(x)单调递增； 当时，＜0，f(x)单调递减； 当时，＞0，f(x)单调递增．所以函数的单调增区间为，()2,0-，单调减区间为（Ⅱ）依题意即求使函数在上不为单调函数， .设，则()28g a =-，. 因为g (x )在上为增函数，当，即当时，函数()1,2在上有且只有一个零点，设为.当时，，即，为减函数；当时，，即，为增函数，满足在上不为单调函数. 当时，，，所以在上成立所以在上成立，即在上为增函数，不合题意.同理时，可判断在上为减函数，不合题意.综上(Ⅲ) ．因为函数有两个不同的极值点，即有两个不同的零点， 即方程的判别式，解得. 由，解得111x a =--+，．此时，.随着变化时，和的变化情况如下：所以是函数的极大值点，是函数的极小值点.所以()1f x 为极大值，为极小值．所以()()()()12221212x x f x f x e x a e x a =-⨯-()12222221212x x e x x a x x a +⎡⎤=-++⎣⎦(){}1222221212122x x e x x a x x x x a +⎡⎤=-+-+⎣⎦()22242e a a a a -⎡⎤=-++⎣⎦24ae -=-因为，所以2244ae e ---<．所以212()()4e f x f x -<考点：1.利用导数研究函数的极值；2.分类讨论；3.利用导数研究函数的单调性. 【方法点睛】本题主要考查的是导数的运用，利用导数研究函数的极值,分类讨论,利用导数研究函数的单调性和分类讨论思想方法，属于难题，解决此类问题最主要的思想是先求出导函数，然后再对导函数的零点进行分类讨论求解，根据参数的范围，求出函数的极值，再通过对比得出结论，因此正确求出导函数并对导函数进行合理的处理是解决此类问题的关键.21．（1）x = 4；（2）证明见解析；（3）1k k x q -=，k = 1，2，3，，n .【分析】（1）根据定义，选择向量1a 和2a ，利用120a a ⋅=，求x ；（2）取()111,a x x Y =∈，设()2,a s t Y =∈满足120a a ⋅=，可得0s t +=，s 、t 中之一为-1，另一为1，故1∈X ，然后只要用反证法证明之间不存在即可；（3）可以利用后一项比前一项的比值建立数集，最终求出后一项与前一项比是定值，从而是等比数列. 【详解】（1）选取1(,2)a x =，Y 中与1a 垂直的元素必有形式（-1，b ） ， 所以x = 2b ，从而x = 4 .（2）取111(,)a x x Y =∈，设2(,)a s t Y =∈ ，满足120a a ⋅=， 则（s ＋t ）x 1= 0 ，s +t = 0 ， 所以s ，t 异号.因为-1是X 中唯一的负数，所以s ，t 之中一个为-1，另一个为1，故1∈ X . 假设x k = 1，其中1<k <n ，则0<x 1<1<x n .选取11(,)n a x x Y =∈ ，并设2(,)a s t Y =∈，满足120a a ⋅=，即10n sx tx += ，则s ，t 异号，从而s ，t 之中恰有一个为-1 . 若s = -1，则11n x tx t x =≥≥，矛盾； 若t =-1 ，则1n n x sx s x =<≤，矛盾. 所以x 1= 1 .（3）设111(,)a s t = ，222(,)a s t ， 则120a a ⋅=等价于1212s t t s =- 记|(,)||||s B s X t X s t t ⎧⎫=∈∈>⎨⎬⎩⎭，则数集X 具有性质P ，当且仅当数集B 关于原点对称，注意-1是集合X 中唯一的负数， {}234(,0),,,,n B x x x x ⋂-∞=----，共有n -1个数，所以B ∩（0，+∞）也有n -1个数. 由于12321n n n n nn n n x x x x x x x x x x ---<<<<<，已经有n -1个数， 对以下三角形数阵；1232n n n n nn n n nx x x x x x x x x x ---<<<<< 11112341n n n n n n n n x x x x x x x x --------<<<<21x x 注意到1221111n n n x x x x x x x x -->>>>所以12121n n n n x x x q x x x ---==== 从而数列的通项公式是11211()k k k x x x q x --==，k = 1，2，3，… ，n .。
2020年北京海淀区北京市中关村中学高三三模数学试卷-学生用卷
2020年北京海淀区北京市中关村中学高三三模数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1、【来源】 2020年北京海淀区北京市中关村中学高三三模第1题4分已知集合A={x|ln(x+1)⩽1}，B={−2,−1,0,1,2}，则A∩B=（）．A. {0,1}B. {−1,0,1}C. {−2,−1,0,1}D. {−1,0,1,2}2、【来源】 2020年北京海淀区北京市中关村中学高三三模第2题4分2020年天津宁河区宁河县芦台第一中学高三一模第6题5分2019~2020学年北京海淀区北京市中关村中学高一下学期期末第5题4分2019年北京海淀区高三三模第3题2019~2020学年10月北京海淀区北京一零一中学高三上学期月考第6题在△ABC中，“cosA<cosB”是“sinA>sinB”的（）．A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3、【来源】 2020年北京海淀区北京市中关村中学高三三模第3题4分已知z=3+2i，则z的虚部为（）．A. 2iB. 3C. −2D. −2i4、【来源】 2020年北京海淀区北京市中关村中学高三三模第4题4分2020年北京海淀区高三三模第7题2020~2021学年北京西城区北京市第四十四中学高一上学期期中第6题4分设0<a<b，则下列不等式中正确的是（）．A. a<b<√ab<a+b2B. a<√ab<a+b2<bC. a<√ab<b<a+b2D. √ab<a<a+b2<b5、【来源】 2020年北京海淀区北京市中关村中学高三三模第5题4分2019~2020学年3月河南郑州郑东新区郑州市第四十七中学高一下学期月考第9题5分2019年北京海淀区高三三模第21题2017~2018学年10月湖南长沙开福区长沙市第一中学高三上学期月考第8题5分2019~2020学年广东深圳龙华区深圳市龙华中学高一上学期期末第8题4分函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为（）．A. (kπ−14,kπ+34)，k∈ZB. (2kπ−14,2kπ+34)，k∈ZC. (k−14,k+34)，k∈ZD. (2k−14,2k+34)，k∈Z6、【来源】 2020年北京海淀区北京市中关村中学高三三模第6题4分为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查．他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为S1，S2，S3，则它们的大小关系为（）．A. S1<S2<S3B. S3<S2<S1C. S2<S3<S1D. S1<S3<S27、【来源】 2020年北京海淀区北京市中关村中学高三三模第7题4分2020年北京海淀区北京育英学校高三三模第7题4分2019年北京海淀区高三二模理科第5题5分把函数y=2x的图象向右平移t个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y=2x3，则t的值为（）．A. 12B. log23C. log32D. √38、【来源】 2020年北京海淀区北京市中关村中学高三三模第8题4分2012年北京朝阳区高三一模文科第6题2019~2020学年2月北京海淀区中国人民大学附属中学高三下学期周测D卷第5题4分已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率e=√62，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为（）．A. x 22−y2=1B. x 22−y23=1C. x 24−y2=1D. x2−y2=19、【来源】 2020年北京海淀区北京市中关村中学高三三模第9题4分2019年北京朝阳区高三二模理科第8题5分2019~2020学年3月北京大兴区大兴区第一中学高三下学期周测D卷第10题4分在同一平面内，已知A为动点，B，C为定点，且∠BAC=π3，∠ACB≠π2，BC=1，P为BC的中点．过点P作PQ⊥BC交AC所在的直线于Q，则AQ→在BC→方向上投影的最大值是（）．A. 13B. 12C. √33D. 2310、【来源】 2020年北京海淀区北京市中关村中学高三三模第10题4分2020年北京海淀区北京一零一中学高三三模第10题2020年北京海淀区高三三模第48题卵圆是常见的一类曲线，已知一个卵圆C的方程为：x 2x+2+y24=1，O为坐标原点，点A(1,0)，点P为卵圆上任意一点，则下列说法中不正确的是（）．A. 卵圆C关于x轴对称B. 卵圆上不存在两点关于直线x=12对称C. 线段PO长度的取值范围是[1,2]D. △OAP的面积最大值为1二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11、【来源】 2020年北京海淀区北京市中关村中学高三三模第11题5分若(x2−1x )n展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的x3项的系数为．12、【来源】 2020年北京海淀区北京市中关村中学高三三模第12题5分2020年北京海淀区高三三模第13题2019年北京海淀区高三三模第12题2017年北京海淀区高三三模第15题已知数列{a n}，a2=2，a n+a n+1=3n，n∈N∗，则a2+a4+a6+a8+a10+a12=．13、【来源】 2020年北京海淀区北京市中关村中学高三三模第13题5分设△ABC的三个顶点A，B，C对应三边分别为a，b，c，且a，b，c(a<b<c)成等差数列，A，C两点的坐标分别是(0,√3)，(0,−√3)，则顶点B的轨迹方程为．14、【来源】 2020年北京海淀区北京市中关村中学高三三模第14题5分已知直线l1:mx−y+m=0与直线l2:x+my−1=0的交点为Q，椭圆x24+y2=1的焦点为F1，F2，则|QF1|+|QF2|的取值范围是．15、【来源】 2020年北京海淀区北京市中关村中学高三三模第15题5分设函数f(x)=sin(ωx+π5)(ω>0)，已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点；②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点；③f(x)在(0,π10)单调递增；④ω的取值范围是[125,2910)．其中所有正确结论的编号是．三、解答题（本大题共6小题，共85分）16、【来源】 2020年北京海淀区北京市中关村中学高三三模第16题14分2020年北京海淀区北京市十一学校高三三模第17题12分2019~2020学年2月湖南长沙开福区长沙市第一中学高三下学期月考理科第17题12分2020年北京海淀区高三三模第26题2019年北京海淀区高三三模第25题在平面直角坐标系xOy中，锐角α的顶点与原点O重合，始边x轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于M(x1,y1)，将α的终边按逆时针方向旋转π3，交单位圆于N(x2,y2)，记f(α)=y1+y2．(1) 求函数f(α)的值域．(2) 在△ABC中，若f(C)=√3，c=7，sinA+sinB=13√314，求△ABC的面积．17、【来源】 2020年北京海淀区北京市中关村中学高三三模第17题14分2020年北京海淀区高三三模第34题如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且PFPC =13．(1) 求证：CD⊥平面PAD．(2) 求二面角F−AE−P的余弦值．(3) 设点G在PB上，且PGPB =23．求证：点G在平面AEF内．18、【来源】 2020年北京海淀区北京市中关村中学高三三模第18题14分2019~2020学年北京海淀区北京交通大学附属中学高二下学期期末第17题2019~2020学年8月广东广州越秀区高三上学期月考理科区统考第19题12分2020年北京海淀区高三三模第33题2018~2019学年北京昌平区高三上学期期末理科第17题13分某汽车品牌为了了解客户对于旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表：满意率是指：某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值，假设客户是否满意互相独立，且每种型号汽车客户对于此型号汽车满意的概率与表格中该型号汽车的满意率相等．(1) 从所有的回访客户中随机抽取1人，求这个客户满意的概率．(2) 从I型号和V型号汽车的所有客户中各随机抽取1人，设其中满意的人数为ξ，求ξ的分布列和期望．(3) 用“η1=1”，“η2=1”，“η3=1”，“η4=1”，“η5=1”分别表示I，II，III，IV，V型号汽车让客户满意，“η1=0”，“η2=0”，“η3=0”，“η4=0”，“η5=0”分别表示I，II，III，IV，V型号汽车让客户不满意．写出方差D(η1)，D(η2)，D(η3)，D(η4)，D(η5)的大小关系．19、【来源】 2020年北京海淀区北京市中关村中学高三三模第19题14分2020年北京海淀区高三三模第40题2016年北京海淀区高三三模第33题2020年北京海淀区中国人民大学附属中学高三下学期高考模拟（保温练习2）第19题2018年北京海淀区高三三模理科第46题已知函数f(x)=(x−a−1)e x．(1) 若函数的最小值为−1，求实数a的值．(2) 若x1>x2，且有x1+x2=2a，求证：f(x1)>f(x2)．20、【来源】 2020年北京海淀区北京市中关村中学高三三模第20题15分2019年北京海淀区高三三模第60题2020年北京海淀区高三三模第51题已知椭圆C:x 24+y2b2=1的焦点在x轴，且右焦点到左顶点的距离为3．(1) 求椭圆C的方程和焦点的坐标．(2) 与x轴不垂直且不重合的直线l与椭圆C相交于不同的A，B两点，直线l与x轴的交点为M，点M 关于y轴的对称点为N．①求△ABN面积的最大值．②当△ABN面积取得最大值时，求证：√6<|AB|<2√2．21、【来源】 2020年北京海淀区北京市中关村中学高三三模第21题14分2018~2019学年北京东城区北京市第十一中学高二上学期期中第22题9分2015年高考真题北京卷理科第20题2017~2018学年北京海淀区北京市第五十七中学高二上学期期中理科第20题13分2018~2019学年北京西城区北京市第一六一中学高二下学期期中第22题13分已知数列{a n}满足：a1∈N∗，a1⩽36，且a n+1={2a n,a n⩽182a n−36,a n>18(n=1,2,⋯)，记集合M={a n|n∈N∗}．(1) 若a1=6，写出集合M的所有元素．(2) 若集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数．(3) 求集合M的元素个数的最大值．1 、【答案】 A;2 、【答案】 C;3 、【答案】 C;4 、【答案】 B;5 、【答案】 D;6 、【答案】 B;7 、【答案】 B;8 、【答案】 A;9 、【答案】 C;10 、【答案】 B;11 、【答案】−126;12 、【答案】57;13 、【答案】x29+y212=1(−2√3<y<0);14 、【答案】[2√3,4];15 、【答案】①③④;16 、【答案】 (1) (√32,√3].;(2) 10√3.;17 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) √33．;(3) 证明见解析．;18 、【答案】 (1) 111320．;(2) 0.7．;(3) D(η1)>D(η3)>D(η2)=D(η4)>D(η5)．;19 、【答案】 (1) a=0.;(2) 证明见解析.;20 、【答案】 (1) 椭圆方程为x24+y23=1,焦点坐标分别为F1(−1,0),F2(1,0)．;(2)①2√3．②证明见解析．;21 、【答案】 (1) 6，12，24．;(2) 证明见解析．;(3) 集合M的元素个数的最大值为8．;。
2020届北京市中国人民大学附属中学高三6月统一练习(三模)考试数学试题(解析版)
2020届北京市中国人民大学附属中学高三6月统一练习（三模）考试数学试题一、单选题1．集合{}23,log P a =，{},Q a b =，若{}0P Q ⋂=，则P Q ⋃= A ．{}0,3 B ．{}0,2,3C ．{}0,1,3D ．{}0,1,2,3【答案】C 【详解】{0}P Q ⋂=，2log 0a ∴=，且0b =，解得1,0a b ==，则{3,0}P =，{1,0}Q =，{0,1,3}P Q ∴⋃=.故选：C ．【考点】1.集合的运算；2.对数的计算． 2．若复数z =z =（ ）A ．12BC ．1D ．2【答案】C【分析】利用复数的除法运算化简复数z ，再利用复数的模长公式可求得z .【详解】21121z====+， 因此，1z ==. 故选：C.【点睛】本题考查复数模长的计算，同时也考查了复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题.3．已知2513a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1325b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，32log 5c =，则（ ） A ．a b c << B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】D【分析】分别根据指数函数、对数函数的单调性分析函数值的范围即可.【详解】函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是单调递减函数，所以25110133a ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数52xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是单调递增函数，所以11332551522b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=>⎭⎝， 函数3log y x =是单调递增函数，所以332log log 105c =<=， 即c a b <<. 故选：D.【点睛】本题主要考查了根据指数函数、对数函数的单调性比较大小的问题，属于基础题.4．已知函数()f x 的图象沿x 轴向左平移2个单位后与函数2x y =的图象关于x 轴对称，若()01f x =-，则0x =（ ） A ．-2 B ．2C ．2log 3-D ．2log 3【答案】B【分析】由题意可得与函数2xy =的图象关于x 轴对称的函数，可得：2x y =-，再向右平移2个单位可得()22x f x -=-，再由()01f x =-即可得解.【详解】先求与函数2xy =的图象关于x 轴对称的函数， 可得：2x y =-，再向右平移2个单位可得()22x f x -=-，所以()02021x f x -=-=-，可得：02x =， 故选：B.【点睛】本题考查了函数的对称和平移，考查了指数的计算，解题方法是反向移动，属于基础题.5．为了解某年级400名女生五十米短跑情况，从该年级中随机抽取8名女生进行五十跑测试，她们的测试成绩（单位：秒）的茎叶图（以整数部分为茎，小数部分为叶）如图所示.由此可估计该年级女生五十米跑成绩及格（及格成绩为9.4秒）的人数为（ ）A ．150B ．250C ．200D ．50【答案】B【分析】结合古典概型公式求出成绩合格的概率，再由频数=总数⨯频率即可求解 【详解】由茎叶图可知，成绩在9.4秒以内的都为合格，即合格率为58P =，故估计该年级女生五十米跑成绩及格的人数为54002508⨯=， 故选：B【点睛】本题考查概率及频数的求解，属于基础题 6．“6πϕ=-”是“函数()sin 2()3f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭与函数()cos(2)()g x x x R ϕ=+∈为同一函数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用诱导公式，结合充分条件与必要条件的定义，论证充分性与必要性是否成立即可.【详解】若6πϕ=-，则()cos 2sin 2sin 26623g x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即函数()sin 2()3f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭与函数()cos(2)()g x x x R ϕ=+∈为同一函数，充分性成立；若函数()sin 2()3f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭与函数()cos(2)()g x x x R ϕ=+∈为同一函数，ϕ的值可以为116π，即两个函数数为同一函数不能推出6πϕ=-，必要性不成立，所以，“6πϕ=-”是“函数()sin 2()3f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭与函数()cos(2)()g x x x R ϕ=+∈为同一函数”的充分而不必要条件，故选：A.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，以及充分条件与必要条件的定义，属于基础题. 7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（ ）A ．6B ．12C ．24D ．36【答案】B【分析】由三视图可得原图，结合原图，利用四棱锥的体积公式即可得解.【详解】原图如图所示， 可得1334=123V =⨯⨯⨯， 故选：B.【点睛】本题考查了三视图，考查了利用三视图画直观图，同时考查了锥体的体积公式，属于基础题.8．等比数列{}n a 中11a =，且14a ，22a ，3a 成等差数列，则()*na n N n∈的最小值为（ ） A ．1625B ．49C ．12D ．1【答案】D【分析】首先设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠，根据14a ，22a ，3a 成等差数列，列出等量关系式，求得2q，比较()*na n N n∈相邻两项的大小，求得其最小值. 【详解】在等比数列{}n a 中，设公比(0)q q ≠， 当11a =时，有14a ，22a ，3a 成等差数列，所以21344a a a =+，即244q q =+，解得2q ，所以12n na ，所以12n n a n n-=， 12111n n a n n a n n++=≥+，当且仅当1n =时取等号， 所以当1n =或2n =时，()*n a n N n∈取得最小值1，故选：D.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的通项公式，三个数成等差数列的条件，求数列的最小项，属于简单题目.9．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，(1,2,,8)i P i =⋅⋅⋅是上底面上其余的八个点，则集合{},1238i y y AB AP i =⋅=⋅⋅⋅、、、、中的元素个数（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】A【分析】本题首先可根据图像得出i i AP AB BP =+，然后将i AB AP ⋅转化为2i AB A P B B +⋅，最后根据棱长为1以及i AB BP 即可得出结果.【详解】由图像可知，i i AP AB BP =+，则()2i i i AB BP AB AP AB B AB A P B ⋅==+⋅+， 因为棱长为1，i ABBP ，所以0i AB BP ⋅=，2101i i AB AP AB AB BP ⋅=+=+=⋅，故集合{},1238i yy AB AP i =⋅=⋅⋅⋅、、、、中的元素个数为1， 故选：A .【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用平面向量线性运算将所求向量数量积转化为已知模长的向量和有垂直关系向量的数量积的运算问题，考查了转化与化归的思想，考查集合中元素的性质，是中档题.10．某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光.当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同.当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移2sin p v f ϕλ=，其中为测速仪测得被测物体的横向速度，λ为激光波长，ϕ为两束探测光线夹角的一半，如图.若激光测速仪安装在距离高铁1m 处，发出的激光波长为()91600nm lnm 10m -=，测得某时刻频移为98.010(1/h)⨯，则该时刻高铁的速度v 约等于（ ）A ．320km /hB ．330km /hC ．340km /hD ．350km /h【答案】A【分析】先计算sin ϕ，再根据所给公式计算v 即可． 【详解】332sin 1.00041(2010)ϕ--==+⨯故91.00048.010v⨯=，即81600 1.0004故v 320/km h ≈．故选：A【点睛】本题主要考查三角函数的计算和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题 11．抛物线2y x 的焦点到准线的距离是___________.【答案】12【分析】由抛物线的解析式求出p ，即可求解 【详解】由2y x 变形得2x y =，故抛物线焦点在y 的正半轴，21p =，12p =，故抛物线2y x 的焦点到准线的距离是12p =故答案为：12【点睛】本题考查由抛物线解析式求解基本量，属于基础题12．251()x x+的展开式中，4x 的系数为 ．（用数字作答）【答案】10. 【解析】解：因为由二项式定理的通项公式可知103425510342=10r r C x r r x C -∴-=∴=∴的系数为13．已知关于x 的不等式2230ax x a -+<在(]0,2上有解，则实数a 的取值范围为___________.【答案】,3⎛-∞ ⎝⎭【分析】由(]0,2x ∈，2230ax x a -+<，可得：223x a x <+，求出函数223xy x =+的最大值即可.【详解】由(]0,2x ∈，2230ax x a -+<， 可得：223xa x <+， 223xy x =+，当0x =时，0y =，当0x ≠时，22233x y x x x==≤++，当且仅当x =所以a ，故答案为：,3⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了存在性问题，考查了参变分离求参数范围，同时考查了利用基本不等式求最值，属于基础题.14．在平面直角坐标系中，以双曲线22221x y a b-=，(0,0)a b >>的右焦点为圆心，以实半轴a 为半径的圆与其渐近线相交，则双曲线的离心率的取值范围是___________.【答案】【分析】根据圆与直线相交，得到圆心到直线的距离小于半径，求得结果.【详解】根据题意有圆222()a c y x +=-与双曲线22221x y a b-=的渐近线相交，则有圆心(,0)c 到直线0bx ay -=的距离d b a ==<，所以c e a === 因为b a <，所以01ba<<，所以e =，故答案为：.【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有双曲线的离心率的范围的求解，直线与圆相交的特征，属于简单题目.15．在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的9个小球，将它们分别编号为1，2，3，，9，甲、乙、丙三人从口袋中依次各抽出3个小球.甲说：我抽到了8号和9号小球；乙说：我抽到了8号和9号小球；丙说：我抽到了2号小球，没有抽到8号小球.已知甲、乙、丙三人抽到的3个小球的编号之和都相等，且甲、乙、丙三人都只说对了一半.给出下列四各结论：①甲抽到的3个小球的编号之和一定为15；②乙有可能抽到了2号小球；③丙有可能抽到了8号小球；④3号，5号和7号小球一定被同一个人抽到.其中，所有正确结论的序号是__________. 【答案】①②④【分析】所有编号之和为9(19)129452⨯++++==，由甲、乙、丙三人每人抽到的3个小球的编号之和为15，在此条件下进行分析判断，即可得解. 【详解】编号为1，2，3，，9的小球所有编号之和为9(19)129452⨯++++==， 由甲、乙、丙三人抽到的3个小球的编号之和都相等， 则每人抽到的3个小球编号之和为15，故①正确， 依题意，由甲和乙的表述可知，甲和乙一人抽到了编号为8的小球，一人抽到了编号为9的小球， 则丙所述没有抽到8号小球是正确的，故乙没有抽到2号小球， 若甲抽到了编号为9的小球，乙抽到了编号为8的小球， 设甲抽到的另外两个小球的编号分别为12,a a ， 乙抽到的另外两个小球的编号分别为12,b b ， 则12126,7a a b b +=+=，所以12,a a 的取值只有1和5，2和4两种情况，当甲抽到的编号为1和5的小球时，乙只能抽到编号为3和4的小球， 此时丙只能抽到编号为2，6，7，与条件矛盾， 所以甲抽到编号为2与4的小球， 则乙抽到编号为1和6的小球， 所以甲抽到编号为2，4，9的小球， 乙抽到编号为1，6，8的小球， 丙则抽到编号为3，5，7的小球同理，也可以是甲抽到编号为1，6，8的小球， 乙抽到编号为2，4，9的小球， 而丙则抽到编号为3，5，7的小球， 故②正确，③错误，④正确， 故答案为：①②④【点睛】本题考查了命题的真假和逻辑关系，考查了逻辑推理能力和思维判断能力，考查了分类讨论思想，属于较难题.三、解答题16．在ABC 中，3a =，b =_________.求c 的值.从①2B A ∠=∠，②sin sin 2B A =，③2ABC S =△，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】选①：5；选②：5或3【分析】如果选①：利用正弦定理求出cos 3A =，再求出sin C ，利用正弦定理得解；如果选②：先求出cos 3A =，再利用余弦定理求出c ；如果选③：先求出cos C =.【详解】如果选①：因为3a =，b =2B A ∠=∠，所以在ABC 中，由正弦定理得3sin A =.所以2sin cos sin A A A =故cos A =.(0,)A π∈，所以sin 3A ==.又因为2B A ∠=∠，所以21cos 2cos 13B A =-=.所以sin 3B ==. 在ABC 中，sin sin()C A B =+sin cos cos sin A B A B =+9=.所以sin 5sin a Cc A==.如果选②：因为3a =，26b =，sin sin 2B A =，所以sin 2sin cos B A A =， 由正弦定理得：2cos b a A =.故6cos 3A =， 由余弦定理可得：269242263c c =+-⋅⋅， 28150c c -+=，解得5c =或3.如果选③：3152ABC S =△，则3151sin 22ABC S ab C ==△，则10sin 4C =，所以6cos C =±. 当6cos C =时，22262cos 924232615c a b ab C =+-=+-⨯⨯⋅=，15c =；当6cos C =-时，22262cos 924232651c a b ab C =+-=++⨯⨯⋅=， 所以51c =或15.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.17．如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD .四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且//AD BC ，90BAD ∠=︒，1AB AD ==，3BC =.（1）求证：AF CD ⊥；（2）求直线BF 与平面CDE 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见详解；（2）105【分析】（1）由AF AD ⊥，平面ADEF ⊥平面ABCD ，利用面面垂直的性质定理可得AF ⊥平面ABCD ，再利用线面垂直的性质定理即可证出.（2）取BC 上的点G ，使得1BG =，证明//GE BF 且GE BF =，过G 作GH CD ⊥于H ，则GH ⊥平面CDE ，连接EH ，则GEH ∠为直线BF 与平面CDE 所成角，求解三角形即可得出答案. 【详解】（1）证明：四边形ADEF 为正方形，∴AF AD ⊥，平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF平面ABCD AD =，∴AF ⊥平面ABCD ，则AF CD ⊥.（2）取BC 上的点G ，使得1BG =， 则//BG AD 且BG AD =，∴//BG EF 且BG EF =，则四边形BGEF 为平行四边形， 则//GE BF 且GE BF =， 由1AB AF ==，90BAF ∠=︒， 可得2GE BF ==，过G 作GH CD ⊥于H ，则GH ⊥平面CDE ，连接EH ， 则GEH ∠为直线BF 与平面CDE 所成角，在Rt DGC △中，求得5GH =， 105sin 52GH GEH GE ∴∠===∴直线BF 与平面CDE 10【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理、线面垂直的性质定理、线面角，考查了逻辑推理能力，属于基础题.18．国家环境标准制定的空气质量指数（简称AQI ）与空气质量等级对应关系如下表：下表是由天气网获得的全国东西部各6个城市在某一个月内测到的数据的平均值：（1）从表中东部城市中任取一个，空气质量为良的概率是多少？（2）环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随杋选取3个城市组织专家进行调研，记选到空气质量“轻度污染”的城市个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望. （3）设东部城市的AQI 数值的方差为21S ，如果将合肥纳入东部城市，则纳入后AQI 数值的方差为22S ，判断21S 和22S 的大小.（只需写出结论）附：方差计算公式()2211n i i S x x n ==-∑.【答案】（1）13；（2）分布列见解析，()2E ξ=；（3）2212S S >. 【分析】（1）利用古典概型的概率计算公式即可求解.（2）空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市的个数，利用组合数以及古典概型的概率计算公式即可列出分布列，由分布列即可求出期望. （3）利用方差的意义以及计算公式即可判断. 【详解】（1）东部城市共6个，空气质量为良有2个，东部城市中任取一个，空气质量为良的概率121613C p C ==.（2）空气质量“优”的城市有2个，“轻度污染”的城市有4个， 根据题意ξ的所有可能取值为1,2,3，()124236115C C p C ξ===，()214236325C C p C ξ===， ()304236135C C p C ξ===， ξ∴的分布列为：所以()1232555E ξ=⨯+⨯+⨯=. （3）如果将合肥纳入东部城市，可得2212S S >【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列、数学期望、方差，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 19．已知函数2()xx mf x e -=（其中m 为常数）. （1）若0m =且直线y kx =与曲线()y f x =相切，求实数k 的值； （2）若()y f x =在[]1,2上的最大值为22e，求m 的值. 【答案】（1）2；（2）2.【分析】（1）代入0m =，得到()f x ，求出导函数，设出切点坐标可得切线方程，与已知切线比较可得答案；（2）求出导函数，讨论导函数的正负情况，根据()f x 在()1,2的单调性求出最大值等于22e，从而求出m . 【详解】（1）0m =时，()222222()()x x x x x x e xe xf x f x e e e --'=⇒==， 设切点为0002,x x x e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则切线方程为()00000222x x x x y x x e e --=- ()0,0点代入，()00000222x x x x x e e --=-化简解得0(0)02k x f '⇒===. （2）22()xx m f x e -++'=，①当24m +≥即2m ≥时，()0f x '>在()1,2上恒成立，故()f x 在()1,2单调递增，()f x 在[]1,2的最大值为2242(2)m f e e-==，故2m =，满足2m ≥； ②当22m +≤即0m ≤时，()0f x '<在()1,2上恒成立，故()f x 在()1,2单调递减，()f x 在[]1,2的最大值为222(1)m f e e-==，故22m e =-，不满足0m ≤，舍去；③当224m <+<即02m <<时，由22()0x x m f x e-++'==得22m x +=， 22m x +<时()0f x '>，22m x +>时()0f x '<， 即()f x 在21,2m +⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在2,22m +⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，故()f x 的最大值为 22222222m m m m mf e e ++++-⎛⎫== ⎪⎝⎭，即22222m e e +=，所以2m =，不满足02m <<，舍去，综上所述， 2m =.【点睛】本题考查了导数的切线方程，考查了利用导数的单调性求得最值从而得到m 的问题.20．椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点()0,1P 作斜率为k 的直线l ，椭圆E 与直线l 交于A ，B 两点，当直线l 垂直于y轴时，||AB =. （1）求椭圆E 的方程；（2）当k 变化时，在x 轴上是否存在点(),0M m ，使得AMB 是以AB 为底的等腰三角形，若存在，求出m 的取值范围，若不存在说明理由.【答案】（1）22194x y +=；（2）存在，55,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）由椭圆的离心率可得2249b a =，再代入点⎫⎪⎪⎝⎭即可得解； （2）联立方程组，结合韦达定理可得AB 的中点2294,4949kC k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，由直线方程转化条件为2549km k =-+，结合基本不等式即可得解.【详解】（1c a ==2249b a =， 故椭圆的方程为2222149x y a a +=，由已知得椭圆过点,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以22279144a a +=，解得29a =， 所以椭圆E 的方程为22194x y +=；（2）由题意得直线l 的方程为1y kx =+， 设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点()00,C x y ，由221194y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()224918270k x kx ++-=，>0∆，则1221849k x x k +=-+，1222749x x k =-+， 所以12029249x x k x k +-==+，∴0024149y kx k=+=+， 所以点C 的坐标为2294,4949kC k k -⎛⎫⎪++⎝⎭，假设在x 轴上存在点(,0)M m ，使得AMB 是以AB 为底的等腰三角形， 则点(,0)M m 为线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点. ①当0k ≠时，则过点C 且与l 垂直的直线方程224194949k y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭，令0y =，则2554499k x m k k k==-=-++， 若k 0<，则4912k k --≥=，当且仅当23k =-时，等号成立，所以5504129k k<-≤+，所以5012m <≤； 若0k >，则4912k k +≥=，当且仅当23k =时，等号成立，所以5504129k k<≤+，5401295k k+--≤<，所以5012m -≤<； ②当0k =时，则有0m =.所以存在点M 满足条件，且m 的取值范围是55,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了椭圆方程的求解及直线与椭圆的综合应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.21．在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）123():,,,,n A n A A A A ⋅⋅⋅与123():,,,,n B n B B B B ⋅⋅⋅，其中3n ≥，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段11i i i i A A B B ++⊥，其中1,2,3,,1i n =⋅⋅⋅-，则称()A m 与()B m 互为正交点列.（1）试判断123(3):(0,2), (3,0), (5,2)A A A A 与123(3):(0,2),(2,5),(5,2)B B B B 是否互为正交点列，并说明理由.（2）求证：1234(4):(0,0), (3,1), (6,0), (9,1)A A A A A 不存在正交点列(4)B ； （3）是否存在无正交点列()5B 的有序整数点列()5A ？并证明你的结论.【答案】（1）互为正交点列，答案见解析；（2）证明见解析；（3）存在，证明见解析. 【分析】（1）根据定义判断即可；（2）点列1B ，2B ，3B ，4B 是点列1A ，2A ，3A ，4A 的正交点列，进而根据正交点列的定义，得到假设不成立，进而说明()4A ：1(0,0)A ，2(3,1)A ，3(6,0)A ，4(9,1)A 不存在正交点列()4B ；（3）有序整点列1B ，2B ，3B ，4B ，5B 是点列1A ，2A ，3A ，4A ，5A 的正交点列，利用正交点列的定义，构造方程组，进而根据方程组有解得答案．【详解】解：（1）有序整点列1(0,2)A ，2(3,0)A ，3(5,2)A 与1(0,2)B ，2(2,5)B ，3(5,2)B 互为正交点列. 理由如下：由题设可知12(3,2)A A =-，23(2,2)A A =，12(2,3)B B =，23(3,3)B B =-， 因为12120A AB B ⋅=，23230A A B B ⋅=，所以1212A A B B ⊥，2323A A B B ⊥.所以整点列1(0,2)A ，2(3,0)A ，3(5,2)A 与1(0,2)B ，2(2,5)B ，3(5,2)B 互为正交点列.（2）证明：由题意可得12(3,1)A A =，23(3,1)A A =-，34(3,1)A A =， 设点列1B ，2B ，3B ，4B 是点列1A ，2A ，3A ，4A 的正交点列，则可设121(1,3)B B λ=-，232(1,3)B B λ=，343(1,3)B B λ=-，123,,λλλ∈Z ， 因为1A 与1B ，4A 与4B 相同，所以有12312393331λλλλλλ-+-=⎧⎨++=⎩①②因为123,,λλλ∈Z 方程②不成立，所以有序整点列1(0,0)A ，2(3,1)A ，3(6,0)A ，4(9,1)A 不存在正交点列. （3）存在无正交点列的整点列()5A .当5n =时，设()1,i i i i A A a b +=，,i i a b Z ∈，其中a ，b 是一对互质整数，1,2,3,4i =， 若有序整点列1B ，2B ，3B ，4B ，5B 是点列1A ，2A ，3A ，4A ，5A 的正交点列， 则()1,i i i i i B B b a λ+=-，1,2,3,4i =，由441i 111i i i i i A AB B ++===∑∑，得11441144i i i i i i i i i i b a a b λλ====⎧∑-=∑⎪⎨⎪∑=∑⎩①②取1(0,0)A ，3i a =，1,2,3,4i =，12b =，21b =-，31b =，41b =-， 由于1B ，2B ，3B ，4B ，5B 是整点列，所以有Z i λ∈，1,2,3,4i =. 等式②中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立， 所以存在无正交点列的整点列()5A .【点睛】本题考查的知识点是向量垂直的充要条件，存在性问题，反证法，难度较大，运算量也比较大，属于难题．。
2020届高考高三第三次模拟考试卷 理科数学(一) 含答案解析
2020届高三第三次模拟考试卷 理 科 数 学（一） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{0,1}A =，{0,1,2}B =，则满足A C B =U 的集合C 的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12．已知i 为虚数单位，复数93i2i 1i z -=++，则||z =（ ）A ．235+B ．2022 C ．5 D ．253．抛物线22y x =的通径长为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．124．某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：则下列结论正确的是（ ）A ．与2015年相比，2018年一本达线人数减少B ．与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C ．2015年与2018年艺体达线人数相同D ．与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加 5．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1,2,,9L 填入33⨯的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15．一般地，将连续的正整数21,2,3,,n L 填入n n ⨯个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方记(3)n n ≥阶幻方的对角线上的数字之和为n N ，如图三阶幻方的315N =，那么8N 的值为（ ） A ．260 B ．369 C ．400 D ．420 6．根据如下样本数据 得到的回归方程为ˆˆˆy bx a =+，则（ ） A ．0a >，0b < B ．0a >，0b > C ．0a <，0b < D ．0a <，0b > 7．设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为n S ，2n S ，3n S ，则下列等式中恒成立的是（ ） A ．322n n n S S S += B ．2233()()n n n n n n S S S S S S -=- C ．223n n n S S S = D ．223()()n n n n n n S S S S S S -=- 8．设2019log 2020a =，2020log 2019b =，120202019c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >> 9．已知函数()sin()(0,π0)f x x ωϕωϕ=+>-<<的最小正周期是π，将函数()f x 的图象向左平移π3个单位长度后所得的函数图象过点(0,1)P ，则下列结论中正确的是（ ） A ．()f x 的最大值为2 B ．()f x 在区间ππ(,)63-上单调递增 C ．()f x 的图像关于直线π12x =对称 D ．()f x 的图像关于点π(,0)3对称 10．过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作平面α，使得正方体的各棱与平面α所成的角都相等，此卷只装订不密封 班级姓名准考证号考场号座位号则满足条件的平面α的个数为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．611．椭圆与双曲线共焦点1F ，2F ，它们在第一象限的交点为P ，设122F PF θ∠=，椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则（ ）A ．222212cos sin 1e e θθ+= B ．222212sin cos 1e e θθ+=C ．2212221cos sin e e θθ+= D ．2212221sin cos e e θθ+=12．已知正方形ABCD 的边长为1，M 为ABC △内一点，满足10MDB MBC ∠=∠=︒， 则MAD ∠=（ ）A ．45︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．26(32)x x ++展开式中x 的系数为 ．14．设实数x ，y 满足不等式211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，当3z x y =+时取得最小值时，直线3z x y =+与以(1,1)为圆心的圆相切，则圆的面积为 ．15．已知等差数列{}n a 的公差(0,π)d ∈，1π2a =，则使得集合{|sin(),}n M x x a n *==∈N ，恰好有两个元素的d 的值为 ．16．在三棱锥P ABC -中，2PA PC ==，1BA BC ==，90ABC ∠=︒，若PA 与底面ABC 所成的角为60︒，则点P 到底面ABC 的距离是 ；三棱锥P ABC -的外接球的表面积是 ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知A 、B 分别在射线CM 、CN （不含端点C ）上运动，2π3MCN ∠=，在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ． （1）若a ，b ，c 依次成等差数列，且公差为2，求c 的值； （2）若c =ABC θ∠=，试用θ表示ABC △的周长，并求周长的最大值． 18．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，底面是边长为4的正三角形，2PA =，PA ⊥底面ABC ，点E ，F 分别为AC ，PC 的中点． （1）求证：平面BEF ⊥平面PAC ； （2）在线段PB 上是否存在点G ，使得直线AG 与平面PBC所成的角的正弦值为5？若存在，确定点G 的位置；若不存在，请说明理由．19．（12分）已知(1,0)A -，(1,0)B ，AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，||||4AP AC +=u u u r u u u r ．（1）求P 的轨迹E ； （2）过轨迹E 上任意一点P 作圆22:3O x y +=的切线1l ，2l ，设直线OP ，1l ，2l 的斜率分别是0k ，1k ，2k ，试问在三个斜率都存在且不为0的条件下，012111()k k k +时候是定值，请说明理由，并加以证明． 20．（12分）已知函数242()x x x f x e ++=．（1）求函数()f x的单调区间；（2）若对任意的(2,0]x∈-，不等式2(1)()m x f x+>恒成立，求实数m的取值范围．21．（12分）2019年3月5日，国务院总理李克强在做政府工作报告时说，打好精准脱贫攻坚战．江西省贫困县脱贫摘帽取得突破性进展：20192020-年，稳定实现扶贫对象“两不愁、三保障”，贫困县全部退出．围绕这个目标，江西正着力加快增收步伐，提高救助水平，改善生活条件，打好产业扶贫、保障扶贫、安居扶贫三场攻坚战．为响应国家政策，老张自力更生开了一间小型杂货店．据长期统计分析，老张的杂货店中某货物每天的需求量()m m*∈N在17与26之间，日需求量m（件）的频率()P m分布如下表所示：己知其成本为每件5元，售价为每件10元若供大于求，则每件需降价处理，处理价每件2元．（1）设每天的进货量为(16,1,2,,10)n nX X n n=+=L，视日需求量(16,1,2,,10)i iY Y i i=+=L的频率为概率(1,2,,10)iP i=L，求在每天进货量为nX的条件下，日销售量nZ的期望值()nE Z（用iP表示）；（2）在（1）的条件下，写出()nE Z和1()nE Z+的关系式，并判断X为何值时，日利润的均值最大．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为31x ty t=-⎧⎨=+⎩（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线π:)4C ρθ=-． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】设0a >，0b >，且a b ab +=．（1）若不等式2x x a b +-≤+恒成立，求实数x 的取值范围；（2）是否存在实数a ，b ，使得48a b +=？并说明理由．2020届好教育云平台高三第三次模拟考试卷理 科 数 学（一）答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A【解析】由A C B =U 可知集合C 中一定有元素2，所以符合要求的集合C 有{2}，{2,0}，{2,1}，{2,0,1}共4种情况．2．【答案】C【解析】对复数z 进行化简：93i (93i)(1i)2i 2i 34i 1i 2z ---=+=+=-+，所以5z ==．3．【答案】D【解析】标准化212x y =，通径122p =．4．【答案】D【解析】设2015年该校参加高考的人数为S ，则2018年该校参加高考的人数为1.5S ．对于选项A ，2015年一本达线人数为0.28S ，2018年一本达线人数为0.24 1.50.36S S ⨯=， 可见一本达线人数增加了，故选项A 错误；对于选项B ，2015年二本达线人数为0.32S ，2018年二本达线人数为0.4 1.50.6S S ⨯=， 显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B 错误；对于选项C ，2015年和2018年，艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C 错误； 对于选项D ，2015年不上线人数为0.32S ，2018年不上线人数为0.28 1.50.42S S ⨯=， 不达线人数有所增加．5．【答案】A【解析】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，31(123456789)153N =++++++++=，41(12345678910111213141516)344N =+++++++++++++++=，51(125N =+345678910111213141516171819+++++++++++++++++202122232425)65++++++=，…， ∴222211(1)(1)(12345)22n n n n n N n n n ++=++++++=⨯=L ， ∴288(81)2602N +==． 6．【答案】A 【解析】画出散点图知0a >，0b <，故选A ． 7．【答案】D 【解析】由等比数列的性质得n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列，2232()()n n n n n S S S S S -=-，化简得223()()n n n n n n S S S S S S -=-． 8．【答案】C 【解析】220192019201920191111log 2019log log 2020log 201912222a =<==<=，2020202020201110log log 2019log 2020222b <==<=，1202020191c =>． 9．【答案】B 【解析】由条件知π()sin(2)6f x x =-，结合图像得B ． 10．【答案】C 【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，四面体11A B D C -的四面与12条棱所成的角相等， ∴正方体的12条棱所在的直线所成的角均相等的平面有4个． 11．【答案】B 【解析】设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a ， 交点P 到两焦点的距离分别为,(0)m n m n >>，焦距为2c ， 则2222cos 2(2)m n mn c θ+-=， 又12m n a +=，22m n a -=，故12m a a =+，12n a a =-，2222222221212222212sin cos sin cos (1cos 2)(1cos 2)211a a a a c c c e e θθθθθθ-++=⇒+=⇒+=． 12．【答案】D 【解析】设正方形ABCD 的边长为1， 在BMD △中，由正弦定理得2sin 35sin 35sin135DM DB DM =⇒=︒︒︒，在AMD △中，由余弦定理得2214sin 354sin35cos551AM =+︒-︒︒=，∴AMD △为等腰三角形，70MAD ∠=︒．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】576【解析】26(32)x x ++展开式中含x 的项为15565C (3)C 26332576x x x ⋅⋅=⨯⨯=，即x 的系数为576．14．【答案】5π2 【解析】当直线过点(1,2)-时，3z x y =+取得最小值1-，故1010r d ===，从而圆的面积为5π2．15．【答案】2π3【解析】要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，此时2π3d =．16．【答案】3；5π【解析】将三棱锥P ABC -置于长方体中，其中1PP ⊥平面ABC ，由PA 与底面ABC 所成的角为60︒，可得13PP =，即为点P 到底面ABC 的距离， 由11PP A PPC ≌△△，得111P A PC ==，如图，PB 就是长方体（三条棱长分别为1，1，3）外接球的直径，也是三棱锥P ABC -外接球的直径，即5PB =， 所以球的表面积为254π()5π=．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）7；（2）周长π()2sin()33f θθ=+，π6θ=时，()f θ取得最大值为23． 【解析】（1）a ，b ，c 成等差数列，且公差为2，∴4a c =-，2b c =-， 又2π3MCN ∠=，1cos 2C =-，∴222(4)(2)12(4)(2)2c c c c c -+--=---， 恒等变形得29140c c -+=，解得7c =或2c =， 又∵4c >，∴7c =． （2）在ABC △中，sin sin sin AC BC AB ABC BAC ACB ==∠∠∠， ∴32πsin sin()sin 33AC BC θθ===-，2sin AC θ=，π2sin()3BC θ=-， ∴ABC △的周长π()||||||2sin 2sin()33f AC BC AB θθθ=++=+-+13π2[sin ]32sin()323θθθ=++=++， 又∵π(0,)3θ∈，∴ππ2π333θ<+<， 当ππ32θ+=，即π6θ=时，()f θ取得最大值23． 18．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，G 为线段PB 的中点． 【解析】（1）证明：∵AB BC =，E 为AC 的中点，∴BE AC ⊥， 又PA ⊥平面ABCP ，BE ⊂平面ABC ，∴PA BE ⊥， ∵PA AC A =I ，∴BE ⊥平面PAC ， ∵BE ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面PAC ． （2）如图，由（1）知，PA BE ⊥，PA AC ⊥，点E ，F 分别为AC ，PC 的中点，∴EF PA ∥，∴EF BE ⊥，EF AC ⊥， 又BE AC ⊥，∴EB ，EC ，EF 两两垂直， 分别以EB u u u r ，EC uuu r ，EF u u u r 方向为x ，y ，z 轴建立坐标系，则(0,2,0)A -，(0,2,2)P -，(23,0,0)B ，(0,2,0)C ，设(23,2,2)BG BP λλλλ==--u u u r u u u r ，[0,1]λ∈， 所以(23(1),2(1),2)AG AB BG λλλ=+=--u u u r u u u r u u u r ，(23,2,0)BC =-u u u r ，(0,4,2)PC -u u u r ，设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ，则023204200BC x y y z PC ⎧⎧⋅=-+=⎪⎪⇒⎨⎨-=⎪⋅=⎪⎩⎩u u ur u u u r n n ，令1x =，则3y =，23z =，∴(1,3,23)=n ，由已知221515431552||||416(1)4AG AG λλλ⋅=⇒=⇒=⋅-+uu u ru u u r n n 或1110（舍去）， 故12λ=，故线段PB 上存在点G ，使得直线AG 与平面PBG 所成的角的正弦值为155，此时G 为线段PB 的中点．19．【答案】（1）22:143x y E +=；（2）为定值，详见解析．【解析】（1）方法一：如图因为AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，所以四边形ACPB 是平行四边形， 所以||||BP AC =u u u r u u u r ，由||||4AP AC +=u u u r u u u r ，得||||4AP BP +=u u u r u u u r ，所以P 的轨迹以A ，B 为焦点的椭圆易知24a =，1c =，所以方程E 为22143x y +=．方法二：设(,)P x y ，由AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，得(1,)AC AP AB BP x y =-==-u u u r u u u r u u u r u u u r ，再||||4AP AC +=u u u r u u u r ，得2222(1)(1)4x y x y +++-+=， 移项2222(1)4(1)x y x y ++=--+，平方化简得22143x y +=． （从2222(1)(1)4x y x y +++-+=发现是椭圆方程也可以直接得24a =，1c =）． （2）设00(,)P x y ，过P 的斜率为k 的直线为00()y y k x x -=-， 由直线与圆O 相切可得0231k =+，即2220000(3)230x k x y k y --+-=， 由已知可得1k ，2k 是方程（关于k ）2220000(3)230x k x y k y --+-=的两个根， 所以由韦达定理：0012202012202333x y k k x y k k x ⎧+=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，两式相除0012212023x y k k k k y +=⋅-， 又因为2200143x y +=，所以2200334y x -=-， 代入上式可得01212083y k k k k x +=-⋅，即0121118()3k k k +=-为定值． 20．【答案】（1）见解析；（2）2(1,]e ． 【解析】（1）2(22)()x x x f x e -+-'=，记2()22g x x x =--+， 令()0g x >，得1313x -<<-，函数()f x 在(13,13)--上单调递增；()0g x <，得13x <-13x >-+()f x 在(,13)-∞--或(13,)-++∞上单调递减．（2）记2()2(1)42x h x me x x x =+---，由(0)0221h m m >⇒>⇒>，()0h x '=，得2x =-或ln x m =-，∵(2,0]x ∈-，所以2(2)0x +>．①当21m e <<时，ln (2,0)m -∈-，且(2,ln )x m ∈--时，()0h x '<； (ln ,0)x m ∈-时，()0h x '>，所以min ()(ln )ln (2ln )0h x h m m m =-=⋅->，∴(2,0]x ∈-时，()0h x >恒成立；②当2m e =时，2()2(2)(1)x h x x e +'=+-，因为(2,0]x ∈-，所以()0h x '>，此时()h x 单调递增，且22(2)2(1)4820h e e --=--+-=，所以(2,0]x ∈-，()(2)0h x h >-=成立； ③当2m e >时，2(2)220mh e -=-+<，(0)220h m =->，所以存在0(2,0)x ∈-使得0()0h x =，因此()0h x >不恒成立，综上，m 的取值范围是2(1,]e ．21．【答案】（1）见解析；（2）20件．【解析】（1）当日需求量n m X ≤时，日销售量n Z 为m ；日需求量n m X >时，日销售量n Z 为n X ，故日销售量n Z 的期望()n E Z 为：当19n ≤≤时，1011()(16)(16)n n i i i i n E Z i P n P ==+=+++∑∑；当10n =时，10101()(16)i i E Z i P ==+∑．（2）1101010112111()(16)(161)(16)(161)()n n n i i i i n i i i n i i n i n E Z i P n P i P n P E Z P ++==+==+=+=++++=++++=+∑∑∑∑∑， 设每天进货量为n X ，日利润为n ξ，则()5()3[(16)()]8()3(16)n n n n E E Z n E Z E Z n ξ=-+-=-+，111210()()8[()()]38()3n n n n n n E E E Z E Z P P P ξξ++++-=--=+++-L ， 由1125()()08n n n E E P P P ξξ+-≥⇒+++≤L ， 又∵123450.668P P P P +++=>，12350.538P P P ++=<， ∴4()E ξ最大，所以应进货20件时，日利润均值最大． 22．【答案】（1）:40l x y +-=，22:(1)(1)2C x y -+-=；（2）． 【解析】（1）由31x t y t =-⎧⎨=+⎩，消去t ，得40x y +-=， 所以直线l 的普通方程为40x y +-=，由πππ)cos sin sin )2cos 2sin 444ρθθθθθ=-=+=+， 得22cos 2sin ρρθρθ=+， 将222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式， 得曲线C 的直角坐标方程为2222x y x y +=+，即22(1)(1)2x y -+-=． （2）设曲线C上的点为(1,1)P αα++， 则点P 到直线l的距离d ==π|2sin()2|α+-= 当πsin()14α+=-时，max d = 所以曲线C 上的点到直线l的距离的最大值为 23．【答案】（1）[]1,3-；（2）不存在，详见解析． 【解析】（1）由a b ab +=，得111a b +=，11()()4a b a b a b +=++≥=， 当且仅当2a b ==时""=成立．不等式2x x a b +-≤+，即为24x x +-≤，当0x <时，不等式为224x -+≤，此时10x -≤<； 当02x ≤≤时，不等式24≤成立，此时02x ≤≤； 当2x >时，不等式为224x -≤，此时23x <≤， 综上，实数x 的取值范围是[]1,3-．（2）由于0a >，0b >， 则1144(4)()5b a a b a b a b a b +=++=++59≥+=， 当且仅当4b a a b a b ab⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即32a =，3b =时，4a b +取得最小值9， 所以不存在实数a ，b ，使得48a b +=成立．。
北京市海淀区2024届中考三模数学试题含解析
北京市海淀区2024届中考三模数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下列二次根式中，最简二次根式的是（）A．15B．0.5C．5D．502．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BF交AD于点F，FE∥AB．若AB=5，AD=7，BF=6，则四边形ABEF的面积为（）A．48 B．35 C．30 D．243．某学校组织艺术摄影展，上交的作品要求如下：七寸照片（长7英寸，宽5英寸）；将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的3倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），下面所列方程正确的是（）A．（7+x）（5+x）×3=7×5 B．（7+x）（5+x）=3×7×5C．（7+2x）（5+2x）×3=7×5 D．（7+2x）（5+2x）=3×7×54．如图，一个斜边长为10cm的红色三角形纸片，一个斜边长为6cm的蓝色三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是（）A．60cm2B．50cm2C．40cm2D．30cm25．如图所示，如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1 等于( )A．120︒B．105︒C．60︒D．45︒6．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，若AB＝6，EF＝2，则BC 的长为()A．8 B．10 C．12 D．14x-中自变量x的取值范围是7．函数y=4A．x≥0B．x≥4C．x≤4D．x>48．计算4+（﹣2）2×5=（）A．﹣16 B．16 C．20 D．249．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则这个三角形的周长是（）A．9 B．11 C．13 D．11或1310．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）．A．25︒B．30︒C．35︒D．40︒二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为12．如图，小强和小华共同站在路灯下，小强的身高EF＝1.8m，小华的身高MN＝1.5m，他们的影子恰巧等于自己的身高，即BF＝1.8m，CN＝1.5m，且两人相距4.7m，则路灯AD的高度是___．13．已知关于 x 的函数 y=（m ﹣1）x 2+2x+m 图象与坐标轴只有 2 个交点，则m=_______．14．一组数据10，10，9，8，x 的平均数是9，则这列数据的极差是_____．15．菱形的两条对角线长分别是方程214480x x -+=的两实根，则菱形的面积为______．16．科学家发现，距离地球2540000光年之遥的仙女星系正在向银河系靠近．其中2540000用科学记数法表示为_____．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）如图，已知：正方形ABCD ，点E 在CB 的延长线上，连接AE 、DE ，DE 与边AB 交于点F ，FG ∥BE 交AE 于点G ．（1）求证：GF=BF ；（2）若EB=1，BC=4，求AG 的长；（3）在BC 边上取点M ，使得BM=BE ，连接AM 交DE 于点O ．求证：FO•ED=OD•EF ．18．（8分）解不等式组：12231x x x -⎧⎨+≥-⎩＜． 19．（8分）为了保护视力，学校开展了全校性的视力保健活动，活动前，随机抽取部分学生，检查他们的视力，结果如图所示（数据包括左端点不包括右端点，精确到0.1）；活动后，再次检查这部分学生的视力，结果如表所示 分组频数 4.0≤x ＜4.22 4.2≤x ＜4.43 4.4≤x ＜4.65 4.6≤x ＜4.88 4.8≤x ＜5.0 175.0≤x＜5.2 5（1）求活动所抽取的学生人数；（2）若视力达到4.8及以上为达标，计算活动前该校学生的视力达标率；（3）请选择适当的统计量，从两个不同的角度评价视力保健活动的效果．20．（8分）定义：在三角形中，把一边的中点到这条边的高线的距离叫做这条边的中垂距．例：如图①，在△ABC 中，D为边BC的中点，AE⊥BC于E，则线段DE的长叫做边BC的中垂距．(1)设三角形一边的中垂距为d(d≥0)．若d=0，则这样的三角形一定是，推断的数学依据是.(2)如图②，在△ABC中，∠B=15°，AB=32，BC=8，AD为边BC的中线，求边BC的中垂距．(3)如图③，在矩形ABCD中，AB=6，AD=1．点E为边CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F，连结AC．求△ACF中边AF的中垂距．21．（8分）计算：2sin30°﹣|1﹣3|+（12）﹣122．（10分）如图,直线AB∥CD,BC平分∠ABD,∠1=65°,求∠2的度数.23．（12分）请你仅用无刻度的直尺在下面的图中作出△ABC 的边AB 上的高CD．如图①，以等边三角形ABC 的边AB 为直径的圆，与另两边BC、AC 分别交于点E、F．如图②，以钝角三角形ABC 的一短边AB 为直径的圆，与最长的边AC 相交于点E．24．如图（1），AB=CD，AD=BC，O为AC中点，过O点的直线分别与AD、BC相交于点M、N，那么∠1与∠2有什么关系？请说明理由；若过O点的直线旋转至图（2）、（3）的情况，其余条件不变，那么图（1）中的∠1与∠2的关系成立吗？请说明理由．参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、C【解题分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【题目详解】A 155，被开方数含分母，不是最简二次根式；故A选项错误；B0.522，被开方数为小数，不是最简二次根式；故B选项错误；C、5，是最简二次根式；故C选项正确；D．50=52，被开方数，含能开得尽方的因数或因式，故D选项错误；故选C．考点：最简二次根式．2、D【解题分析】分析：首先证明四边形ABEF为菱形，根据勾股定理求出对角线AE的长度，从而得出四边形的面积．详解：∵AB∥EF，AF∥BE，∴四边形ABEF为平行四边形，∵BF平分∠ABC，∴四边形ABEF为菱形，连接AE交BF于点O，∵BF=6，BE=5，∴BO=3，EO=4，∴AE=8，则四边形ABEF的面积=6×8÷2=24，故选D．点睛：本题主要考查的是菱形的性质以及判定定理，属于中等难度的题型．解决本题的关键就是根据题意得出四边形为菱形．3、D【解题分析】试题分析：由题意得；如图知；矩形的长="7+2x" 宽=5+2x ∴矩形衬底的面积=3倍的照片的面积，可得方程为(7+2X)(5+2X)=3×7×5考点：列方程点评：找到题中的等量关系，根据两个矩形的面积3倍的关系得到方程，注意的是矩形的间距都为等量的，从而得到大矩形的长于宽，用未知数x的代数式表示，而列出方程，属于基础题．4、D【解题分析】标注字母，根据两直线平行，同位角相等可得∠B=∠AED，然后求出△ADE和△EFB相似，根据相似三角形对应边成比例求出53DEBF=，即53EFBF=，设BF=3a，表示出EF=5a，再表示出BC、AC，利用勾股定理列出方程求出a的值，再根据红、蓝两张纸片的面积之和等于大三角形的面积减去正方形的面积计算即可得解．【题目详解】解:如图，∵正方形的边DE∥CF，∴∠B=∠AED，∵∠ADE=∠EFB=90°，∴△ADE∽△EFB，∴10563 DE AEBF BE===，∴53 EFBF=，设BF=3a，则EF=5a，∴BC=3a+5a=8a，AC=8a×53=403a，在Rt△ABC中，AC1+BC1=AB1，即（403a）1+（8a）1=（10+6）1，解得a1=18 17，红、蓝两张纸片的面积之和=12×403a×8a-（5a）1，=1603a1-15a1，=853a1，=853×1817，=30cm1．故选D．【题目点拨】本题考查根据相似三角形的性质求出直角三角形的两直角边，利用红、蓝两张纸片的面积之和等于大三角形的面积减去正方形的面积求解是关键.5、B【解题分析】解：如图，∠2=90°﹣45°=45°，由三角形的外角性质得，∠1=∠2+60°=45°+60°=105°．故选B．点睛：本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．6、B【解题分析】试题分析：根据平行四边形的性质可知AB=CD，AD∥BC，AD=BC，然后根据平行线的性质和角平分线的性质可知AB=AF，DE=CD，因此可知AF+DE=AD+EF=2AB=12，解得AD=BC=12-2=10.故选B.点睛：此题主要考查了平行四边形的性质和等腰三角形的性质，解题关键是把所求线段转化为题目中已知的线段，根据等量代换可求解.7、B【解题分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式求解．【题目详解】根据题意得：x﹣1≥0，解得x≥1，则自变量x的取值范围是x≥1．故选B．【题目点拨】本题主要考查函数自变量的取值范围的知识点，注意：二次根式的被开方数是非负数．8、D【解题分析】分析：根据有理数的乘方、乘法和加法可以解答本题．详解：4+（﹣2）2×5=4+4×5=4+20=24，故选：D．点睛：本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数的混合运算的计算方法．9、C【解题分析】试题分析：先求出方程x2－6x＋8＝0的解，再根据三角形的三边关系求解即可.解方程x2－6x＋8＝0得x=2或x=4当x=2时，三边长为2、3、6，而2+3＜6，此时无法构成三角形当x=4时，三边长为4、3、6，此时可以构成三角形，周长=4+3+6=13故选C.考点：解一元二次方程，三角形的三边关系点评：解题的关键是熟记三角形的三边关系：任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边.10、B【解题分析】试题分析：作点P 关于OA 对称的点P 3,作点P 关于OB 对称的点P 3,连接P 3P 3,与OA 交于点M,与OB 交于点N,此时△PMN 的周长最小．由线段垂直平分线性质可得出△PMN 的周长就是P 3P 3的长，∵OP=3，∴OP 3=OP 3=OP=3．又∵P 3P 3=3，,∴OP 3=OP 3=P 3P 3,∴△OP 3P 3是等边三角形, ∴∠P 3OP 3=60°，即3（∠AOP+∠BOP ）=60°，∠AOP+∠BOP=30°,即∠AOB=30°，故选B ．考点：3．线段垂直平分线性质；3．轴对称作图．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、24m +【解题分析】因为大正方形边长为4m +，小正方形边长为m ，所以剩余的两个直角梯形的上底为m ，下底为4m +，所以矩形的另一边为梯形上、下底的和：4m ++m=24m +.12、4m【解题分析】设路灯的高度为x(m)，根据题意可得△BEF ∽△BAD ，再利用相似三角形的对应边正比例整理得DF=x ﹣1.8，同理可得DN=x ﹣1.5，因为两人相距4.7m ，可得到关于x 的一元一次方程，然后求解方程即可.【题目详解】设路灯的高度为x(m)，∵EF ∥AD ，∴△BEF ∽△BAD ， ∴， 即，解得：DF=x ﹣1.8，∵MN ∥AD ，∴△CMN ∽△CAD ， ∴， 即，解得：DN=x ﹣1.5，∵两人相距4.7m ，∴FD+ND=4.7，∴x﹣1.8+x﹣1.5=4.7，解得：x=4m，答：路灯AD的高度是4m．13、1 或0【解题分析】分两种情况讨论：当函数为一次函数时，必与坐标轴有两个交点；当函数为二次函数时，将（0，0）代入解析式即可求出m的值．【题目详解】解：（1）当m﹣1=0 时，m=1，函数为一次函数，解析式为y=2x+1，与x 轴交点坐标为（﹣12，0）；与y 轴交点坐标（0，1）．符合题意．（2）当m﹣1≠0 时，m≠1，函数为二次函数，与坐标轴有两个交点，则过原点，且与x 轴有两个不同的交点，于是△=4﹣4（m﹣1）m＞0，解得，（m﹣12）2＜54，解得m＜2或m＞2．将（0，0）代入解析式得，m=0，符合题意．（3）函数为二次函数时，还有一种情况是：与x 轴只有一个交点，与Y 轴交于交于另一点，这时：△=4﹣4（m﹣1）m=0，解得：．故答案为1 或0 ．【题目点拨】此题考查一次函数和二次函数的性质，解题关键是必须分两种情况讨论，不可盲目求解．14、1【解题分析】先根据平均数求出x，再根据极差定义可得答案．【题目详解】由题意知101098x5++++=9，解得：x=8，∴这列数据的极差是10-8=1，故答案为1．【题目点拨】本题主要考查平均数和极差，熟练掌握平均数的计算得出x的值是解题的关键．15、2【解题分析】解：x2﹣14x+41=0，则有（x-6）(x-1)=0解得：x=6或x=1．所以菱形的面积为：（6×1）÷2=2．菱形的面积为：2．故答案为2．点睛：本题考查菱形的性质．菱形的对角线互相垂直，以及对角线互相垂直的四边形的面积的特点和根与系数的关系．16、2.54×1【解题分析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n 是负数．【题目详解】2540000的小数点向左移动6位得到2.54，所以，2540000用科学记数法可表示为：2.54×1，故答案为2.54×1．【题目点拨】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．三、解答题（共8题，共72分）17、（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.【解题分析】（1）根据正方形的性质得到AD∥BC，AB∥CD，AD＝CD，根据相似三角形的性质列出比例式，等量代换即可；（2）根据勾股定理求出AE，根据相似三角形的性质计算即可；（3）延长GF交AM于H，根据平行线分线段成比例定理得到GF FHBE BM=，由于BM＝BE，得到GF＝FH，由GF∥AD，得到EF GFED AD=，FH FOAD OD=等量代换得到EF FHED AD=，即EF GFED AD=，于是得到结论．【题目详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD=CD，∵GF∥BE，∴GF∥BC，∴GF∥AD，∴GF EF AD ED=，∵AB∥CD，BF EFCD ED=，∵AD=CD，∴GF=BF；（2）∵EB=1，BC=4，∴DF BCFE EB==4，AE=2217EB AB+=，∴AG DFGE FE==4，∴AG=4175；（3）延长GF交AM于H，∵GF∥BC，∴FH∥BC，∴GF AF BE AB=，∴GF FH BE BM=，∵BM=BE，∴GF=FH，∵GF∥AD，∴EF GFED AD=，FH FOAD OD=，∴EF FH ED AD=，∴EF GF ED AD=， ∴FO•ED=OD•EF ．【题目点拨】本题主要考查平行线分线段成比例及正方形的性质，掌握平行线分线段中的线段对应成比例是解题的关键，注意利用比例相等也可以证明线段相等．18、﹣4≤x ＜1【解题分析】先求出各不等式的【题目详解】12231x x x -⎧⎨+≥-⎩＜ 解不等式x ﹣1＜2，得：x ＜1，解不等式2x+1≥x ﹣1，得：x≥﹣4，则不等式组的解集为﹣4≤x ＜1．【题目点拨】考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19、（1）所抽取的学生人数为40人（2）37.5%（3）①视力x ＜4.4之间活动前有9人，活动后只有5人，人数明显减少．②活动前合格率37.5%，活动后合格率55%，说明视力保健活动的效果比较好【解题分析】【分析】（1）求出频数之和即可；（2）根据合格率=合格人数÷总人数×100%即可得解； （3）从两个不同的角度分析即可，答案不唯一.【题目详解】（1）∵频数之和=3+6+7+9+10+5=40，∴所抽取的学生人数为40人；（2）活动前该校学生的视力达标率=1540×100%=37.5%； （3）①视力x ＜4.4之间活动前有9人，活动后只有5人，人数明显减少；②活动前合格率37.5%，活动后合格率55%，说明视力保健活动的效果比较好．【题目点拨】本题考查了频数分布直方图、用样本估计总体等知识，熟知频数、合格率等相关概念是解题的关键.20、（1）等腰三角形；线段的垂直平分线上的点到两端的距离相等；（2）1；（3）95.【解题分析】试题分析：（1）根据线段的垂直平分线的性质即可判断．（2）如图②中，作AE⊥BC于E．根据已知得出AE=BE，再求出BD的长，即可求出DE的长．（3）如图③中，作CH⊥AF于H，先证△ADE≌△FCE，得出AE=EF，利用勾股定理求出AE的长，然后证明△ADE∽△CHE，建立方程求出EH即可．解：（1）等腰三角形；线段的垂直平分线上的点到两端的距离相等（2）解：如图②中，作AE⊥BC于E．在Rt△ABE中，∵∠AEB=90°，∠B=15°，AB=3 ，∴AE=BE=3，∵AD为BC边中线，BC=8，∴BD=DC=1，∴DE=BD﹣BE=1﹣3=1，∴边BC的中垂距为1（3）解：如图③中，作CH⊥AF于H．∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠EHC=∠ECF=90°，AD∥BF，∵DE=EC，∠AED=∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴AE=EF，在Rt△ADE中，∵AD=1，DE=3，∴AE= =5，∵∠D=EHC，∠AED=∠CEH，∴△ADE∽△CHE，∴= ，∴= ，∴EH= ，∴△ACF中边AF的中垂距为21、4﹣3【解题分析】原式利用绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂的法则计算即可．【题目详解】原式=2×12﹣（3﹣1）+2=1﹣3+1+2=4﹣3．【题目点拨】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22、50°.【解题分析】试题分析：由平行线的性质得到∠ABC=∠1=65°，∠ABD+∠BDE=180°，由BC平分∠ABD，得到∠ABD=2∠ABC=130°，于是得到结论．解：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠1=65°，∵BC平分∠ABD，∴∠ABD=2∠ABC=130°，∴∠BDE=180°﹣∠ABD=50°，∴∠2=∠BDE=50°．【点评】本题考查了平行线的性质和角平分线定义等知识点，解此题的关键是求出∠ABD 的度数，题目较好，难度不大．23、（1）详见解析；（2）详见解析.【解题分析】（1）连接AE 、BF ，找到△ABC 的高线的交点，据此可得CD ；（2）延长CB 交圆于点F ，延长AF 、EB 交于点G ，连接CG ，延长AB 交CG 于点D ，据此可得．【题目详解】（1）如图所示，CD 即为所求；（2）如图，CD 即为所求．【题目点拨】本题主要考查作图-基本作图，解题的关键熟练掌握圆周角定理和三角形的三条高线交于一点的性质．24、详见解析.【解题分析】（1）根据全等三角形判定中的“SSS”可得出△ADC ≌△CBA ，由全等的性质得∠DAC =∠BCA ，可证AD ∥BC ，根据平行线的性质得出∠1=∠1；（1）（3）和（1）的证法完全一样．先证△ADC ≌△CBA 得到∠DAC =∠BCA ，则DA ∥BC ，从而∠1=∠1．【题目详解】证明：∠1与∠1相等．在△ADC 与△CBA 中，AD BC CD AB AC CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CBA ．（SSS ）∴∠DAC=∠BCA ．∴DA ∥BC ．∴∠1=∠1．②③图形同理可证，△ADC≌△CBA得到∠DAC=∠BCA，则DA∥BC，∠1=∠1．。
2020届北京市海淀区高三3月适应性考试(零模)文数试题(解析版)
北京市海淀区2020届高三3月适应性考试（零模）文数试题第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集，，则（）A. B. C. D.【答案】A2. 若，则下列不等式中正确的是（）A. B. C. D.【答案】C3. 中国诗词大会节目是央视首档全民参与的诗词节目，节目以“赏中华诗词、寻文化基因、品生活之美”为基本宗旨，力求通过对诗词知识的比拼及赏析，带动全民重温那些曾经学过的古诗词，分享诗词之美，感受诗词之趣，从古人的智慧和情怀中汲取营养，涵养心灵．如图是2016年中国诗词大会中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中为数字中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为，，则一定有（）A. B. C. D. ，的大小与的值有关【答案】B【解析】由茎叶图知，，，故选B．4. 如图所示，已知，，，，则下列等式中成立的是（）A. B. C. D.【答案】A5. 当时，执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. 6B. 8C. 14D. 30【答案】D【解析】第一次循环，，第二次循环，，第三次循环，，第四次循环，，结束循环，输出，故选D．6. 已知正项数列中，，，，则等于（）A. 16B. 8C. 4D.【答案】C7. 已知，，若向区域上随机投一点，则点落入区域的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】做出可行域如图，其中，根据几何概型知，故选D．点睛：本题是几何概型与线性规划问题相结合，属于中档题．解决问题时，首先由线性规划的知识，作出可行域，然后根据几何概型的概念，找到事件基本空间及事件所对应的区域，选择其度量方式应该采取面积，将概率问题转化为面积的比值即可．8. 已知函数，正实数，，是公差为负数的等差数列，且满足，若实数是方程的一个解，那么下列四个判断：①；②；③；④中一定成立的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9. 设为虚数单位，则复数所对应的点位于第__________象限．【答案】一【解析】因为，所以对应的点在第一象限，故填：一．10. 设，，，则，，按由小到大的顺序是__________．【答案】【解析】因为，，，所以应填：．点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．11. 已知某四棱锥的三视图如图所示，俯视图是边长为4的正方形，正视图和侧视图是边长为4的等边三角形，则该四棱锥的全面积为__________．【答案】12. 已知双曲线的右焦点为，的值为__________，渐进线方程__________．【答案】 (1). (2).【解析】由双曲线的焦点为知，，所以，解得：，所以渐近线方程为．13. 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线分别交于，两点（点在轴上方），__________．【答案】【解析】由抛物线方程知，所以直线方程，代入抛物线方程得，解得，所以，故填：．14. 已知函数在函数的零点个数__________．【答案】4三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求在的值域．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．试题解析：（Ⅰ）∵，∴．（Ⅱ），由，得，所以，，所以的值域为．16. 在数列中，（，）且．（Ⅰ）证明：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前项和．【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）根据条件，得，构造等比数列，数列是以3为首项2为公比的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，根据等比数列前项和公式及分组求和的方法得：．点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，证明题则经常构造等差等比问题去处理，求和时利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误．17. 如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，是侧棱上的动点．（Ⅰ）求四棱锥的体积；（Ⅱ）如果是的中点，求证平面；（Ⅲ）是否不论点在侧棱的任何位置，都有？证明你的结论．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析;（Ⅲ）不论点在何位置，都有．试题解析：（Ⅰ）∵平面，∴，即四棱锥的体积为．（Ⅱ）连结交于，连结．∵四边形是正方形，∴是的中点，又∵是的中点，∴，∵平面，平面，∴平面．（Ⅲ）不论点在何位置，都有．证明如下：∵四边形是正方形，∴，∵底面，且平面，∴，又∵，∴平面．∵不论点在何位置，都有平面，∴不论点在何位置，都有．18. 股票市场的前身是起源于1602年荷兰人在阿姆斯特河大桥上进行荷属东印度公司股票的买卖，而正规的股票市场最早出现在美国．2017年2月26号，中国证监会主席刘士余谈了对股市的几点建议，给广大股民树立了信心．最近，张师傅和李师傅要将家中闲置资金进行投资理财．现有两种投资方案，且一年后投资盈亏的情况如下：（1）投资股市：投资结果获利不赔不赚亏损概率（2）购买基金：投资结果获利不赔不赚亏损概率（Ⅰ）当时，求的值；（Ⅱ）已知“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，求的取值范围；（Ⅲ）已知张师傅和李师傅两人都选择了“购买基金”来进行投资，假设三种投资结果出现的可能性相同，求一年后他们两人中至少有一人获利的概率．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）;（Ⅲ）．试题解析：（Ⅰ）因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，所以，又因为，所以．（Ⅱ）由“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，得，因为，所以，解得，又因为，，所以，所以．（Ⅲ）记事件为“一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利”，用，，分别表示一年后张师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，用，，分别表示一年后李师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”，则一年后张师傅和李师傅购买基金，所有可能的投资结果有种，它们是：，，，，，，，，所以事件的结果有5种，它们是：，，，，．因此这一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利的概率．19. 已知函数，．（Ⅰ）求函数在区间上的最小值；（Ⅱ）证明：对任意，，都有成立．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知（）在时取得最小值，可知．由，可得，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减．所以函数（）在时取得最大值，又，可知，所以对任意，，都有成立．试题解析：（Ⅰ）解：由，可得．当，，单调递减；当，，单调递增．所以函数在区间上单调递增，又，所以函数在区间上的最小值为．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知（）在时取得最小值，又，可知．由，可得，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减．所以函数（）在时取得最大值，又，可知，所以对任意，，都有成立．20. 已知椭圆经过点，离心率为，动点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）求以为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程；（Ⅲ）设是椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆交于点，证明：线段的长为定值，并求出这个定值．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）线段的长为定值.试题解析：（Ⅰ）由题意得，①因为椭圆经过点，所以，②又，③由①②③解得，，所以椭圆方程为．（Ⅱ）以为直径的圆的圆心为，半径，方程为，因为以为直径的圆被直线截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离．所以，解得，所求圆的方程为．点睛：本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题．求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用，定值问题一般要注意式子的整体化简．- 11 -。
北京市海淀区实验中学2020年高三数学文月考试卷含解析
北京市海淀区实验中学2020年高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若点(a,9)在函数y＝3x的图像上，则tan的值为()A．0 B．C．1 D．参考答案：D2. 若实数满足的最小值为（）A.0B.1C.2D.3参考答案：B略3. 已知，，，则（）A．B．C．D．参考答案：C,故4.设项数为8的等比数列的中间两项与的两根相等，则数列的各项相乘的积为（）A. 64B. 8C. 16D. 32参考答案：答案：C5. 平面坐标系中，0为坐标原点，点A（3，1），点B（-1，3），若点C满足，其中且=1，则点C的轨迹方程为（）A．2x+y=l B．x+2y=5 C．x+y=5 D．x—y=1参考答案：B6. 复数z=（为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：D本题考查了复数的除法运算以及几何意义，难度较小。
，所以复数所对应的点在第四象限，故选D.7. 在中，，，且，则（）A．B．5 C. D．参考答案：A8. 已知数列为等比数列，，，则的值为（A）（B）（C）（D）参考答案：D略9. 已知集合,,则（）参考答案：D10. 集合，集合，则集合（）A、 B、 C、 D、参考答案：A因为集合，集合，则集合，选A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知向量，满足，，，，若，则所有可能的值为▲．参考答案：略12. 一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3．参考答案：考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：首先根据三视图把几何体复原成立体图形，进一步根据立体图形的体积公式求出结果．解答：解：根据三视图得知：该几何体的表面积是：上面是一个以1为半径的球体，下面是一个以2为半径，高为2的圆柱的组合体．所以：V=故答案为：点评：本题考查的知识要点：三视图和立体图之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的空间想象能力．13. 命题1）若是偶函数，其定义域是，则在区间是减函数。
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二、填空题（共 5 小题；共 25 分）
11. 双曲线
的焦距是
，渐近线方程是
．
12. 已知向量 13. 设抛物线
14. 在
，
，若
，则实数 的值是
．
上一点 到 轴的距离是 ，则点 到该抛物线焦点的距离是
．
的二项展开式中，若所有项的二项式系数之和为 ，则常数项等于
．
15. 数列
的前 项和为 ，若数列
的各项按如下规律排列： ，有如下运算和结论：
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20. （本小题 14 分）
已知函数
．
（1）当
时，求函数
的单调区间；
（2）若在区间
上存在不相等的实数 ， ，使
（3）若函数
有两个不同的极值点 ， ，求证：
成立，求 的取值范围； ．
21. （本小题 14 分） 对于数集
，其中
，定义向
量集
，若对任意
，存在
，使得
，则称 具有性质 ．例如
； 数列 数列
，是等比数列；
，的前 项和为
；
若存在正整数 ，使
，
，则
．
其中正确的结论有
．（ 将你认为正确的结论序号都填上 ）
三、解答题（共 6 小题；共 85 分）
16. 已知 理由．
，满足
，
，
，判断
的面积
是否成立?说明
从① 答．
，②
这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并做
第 2 页（共 11 页）
从① 做答．
，②
，
，
，判断
的面积
是否成立?
这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并
17. （本小题 14 分） 某校高二一次月考之后，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生此次
的数学成绩，按成绩分组，制成了下面频率分布表：
（1）试估计该校高二学生本次月考的平均分；
（2）如果把表中的频率近似地看作每个学生在这次考试中取得相应成绩的概率，那么从所有
C.
D.
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9. 函数 数列，要得到函数 A. 向左平移 个单位
C. 向左平移 个单位
10. 设函数 解 A.
，其中 B.
的图象与 轴交点的横坐标构成一个公差为 的等差
的图象，只需将
的图象
B. 向右平移 个单位
D. 向右平移 个单位
，若关于 的方程 ，则
C.
有四个实数 的取值范围是 D.
A.
B.
6. 已知定义在 上的函数
，
，则
C.
D.
（ 为实数）为偶函数，记
15. 数列
的前 项和为 ，若数列
的各项按如下规律排列：
， ；
，有如下运算和结论：
A.
B.
C.
D.
7. 设
，则“数列
为等比数列”是“数列
满足
”的
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
数列 数列
，是等比数列；
，的前 项和为
；
C. 充要条件
具有性质 ．
（1）若
，且
具有性质 ，求 的值；
（2）若 具有性质 ，求证：
，且当
时，
；
（3）若 具有性质 ，且
，
（ 为常数），求有穷数列 ， ， ， 的
通项公式．
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北京市海淀实验中学高三数学考前热身练习（三模）
一、选择题（共 10 小题；共 40 分）
1. 设集合
，
，则
A.
B.
A.
B.
C.
D.
6. 已 知定 义 在 上 的 函数
（ 为实数）为偶函数，记
，
，
，则
A.
B.
C.
D.
7. 设
，则“数列
为等比数列”是“数列
满足
”的
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要条件
8. 已知点
，
的个数为
．若点 在函数
的图象上，则使得
的面积为 的点
A.
B.
D. 既非充分也非必要条件
若存在正整数 ，使
，
，则
．
8. 已知点
，
点 的个数为
．若点 在函数
的图象上，则使得
的面积为 的
其中正确的结论有
．（ 将你认为正确的结论序号都填上 ）
A.
B.
C.
D.
第 1 页（共 4 页）
三、解答题（共 6 小题；共 85 分）
16. （本小题 14 分）
已知
，满足
说明理由．
B.
C.
D.
5. 若某几何体的三视图（单位： ）如图所示，其中左视图是一个边长为 的正三角形，则这个 几何体的体积是
9. 函数 差数列，要得到函数 A. 向左平移 个单位
C. 向左平移 个单位
10. 设函数 数解 A.
，其中 B.
的图象与 轴交点的横坐标构成一个公差为 的等
的图象，只需将
的图象
B. 向右平移 个单位
C.
D.
2. 以下函数中在区间
上单调递增的函数是
A.
B.
C.
D.
3. 已知函数
是偶函数，且
，则
A.
B.
C.
D.
4. 已知圆的半径为 ，圆心在 轴的正半轴上，且与直线 是
相切，则圆的方程
A.
B.
C.
D.
5. 若某几何体的三视图（单位： ）如图所示，其中左视图是一个边长为 的正三角形，则这个 几何体的体积是
（2）求二面角
的余弦值．
，四边形 ，AF ⊥ CF． 为 的中点；
是等腰梯
19. （本小题 14 分） 已知点 为椭圆
的右顶点，点 ， 是椭圆 上不同的两点
（均异于点 ），且满足直线 与直线 斜率之积为 ．
（1）求椭圆 的离心率及焦点坐标； （2）试判断直线 是否过定点?若是，求出定点坐标；若否，说明理由．
D. 向右平移 个单位
，若关于 的方程 ，则
C.
有四个实 的取值范围是 D.
二、填空题（共 5 小题；共 25 分）
11. 双曲线
的焦距是
，渐近线方程是
．
12. 已知向量 13. 设抛物线
，
，若
，则实数 的值是
．
上一点 到 轴的距离是 ，则点 到该抛物线焦点的距离是
．
14. 在 于
的二项展开式中，若所有项的二项式系数之和为 ，则常数项等 ．
北京市海淀实验中学高三数学考前热身练习（三模）
一、选择题（共 10 小题；共 40 分）
1. 设集合
，
，则
A.
B.
C.
D.
2. 以下函数中在区间
上单调递增的函数是
A.
B.
C.
D.
3. 已知函数
是偶函数，且
，则
A.
B.
C.
D.
4. 已知圆的半径为 ，圆心在 轴的正半轴上，且与直线 程是
相切，则圆的方
A.
学生中采用逐个抽取的方法任意抽取 名学生的成绩，并记成绩落在
中的学生
数为 ，求：
①在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在
中的概率；
② 的分布列和数学期望．（注：本小题结果用分数表示）
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18. （本小题 15 分）
在如图所示的几何体中，四边形
是矩形，
形，
，
，且平面
平面
（1）过 与 平行的平面与 交于点 ．求证：
17. 在如图所示的几何体中，四边形
形，
，
，且平面
是矩形， 平面
，四边形
，
．
是等腰梯
（1）过 与 平行的平面与 交于点 ．求证： 为 的中点；
（2）求二面角
的余弦值．
18. 某校高二一次月考之后，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生此次的数学