四. 定积分的换元积分法和分部积分法
定积分的换元积分法与分部积分法
有
b
a f (x) dx f [(t)](t) dt
上式称为定积分的换元公式。
π
例1 计算 2 cos3 x sin x dx 。 0
解
设 t cos x ，则 dt sin x dx 。当 x 0 时，t 1 ；当
x π 时，t 1。 2
原式 0 t3dt 1 t3dt 1 t4计算
4 dx 。
0 1 x
解
令 x t ，x t2 ，则 dx 2tdt 。当 x 0 时，t 0 ；当
x 4 时，t 2。
原式 2 2t dt 2 2 t 1 1 dt 2 2 ln 1 t 2 4 2ln 3
0 1t
0 1t
0
例3 计算
高等数学
定积分的换元积分法与分 部积分法
一、定积分的换元积分法
定理 设函数 f (x) 在 [a ，b] 上连续，而 x (t) 是定义在 [ ， ] 上的一个可微函数，并满足条件：
（1）(t)在区间 [a ，b] 上有连续的导数 (t) ；
（2）当t从α 变到β 时，(t) 从 ( ) a 单调地变到( ) b ，则
两边积分，得 移项，得 即
b
b
b
a (uv)dx a uvdx a uvdx
b uvdx
(uv)
b
b
vudx
a
a
a
b
b
b
udv uv vdu
a
a
a
这就是定积分的分部积分公式。
π
例6 计算 0 x cos x dx 。
解
原式
π
xd (sin
x)
x sin x
π
π
定积分的换元法和分部积分法
定积分的换元法和分部积分法文章标题：深入探讨定积分的换元法和分部积分法在高等数学中，定积分的换元法和分部积分法是两种重要的积分求解方法，它们在求解复杂积分问题时起着至关重要的作用。
通过这篇文章，我们将从简到繁，由浅入深地探讨定积分的换元法和分部积分法，以便读者能更加全面、深刻地理解这两种方法。
1. 定积分的换元法在定积分的换元法中，我们通过引入一个新的变量来简化被积函数，从而更容易求解定积分。
在求解具体的定积分时，我们常常会遇到被积函数与变量之间的复杂关系，利用换元法可以将原积分转化为一个简单的形式，然后通过简单的积分求解方法来得到最终的结果。
举例来说，当被积函数为sin(x^2)时，我们可以通过令u=x^2来进行换元，将原积分化为sin(u)的形式，从而更容易求解出积分的结果。
2. 定积分的分部积分法与换元法类似，分部积分法也是在求解定积分时经常使用的方法之一。
通过分部积分法，我们可以将原积分中的乘积形式进行分解，然后转化为一个更容易求解的形式。
在分部积分法中，我们通常选择一个函数作为u，选择另一个函数的微分作为dv，然后通过积分公式将原积分转化为u*v的形式，最终求解出积分的结果。
举例来说，当被积函数为x*cos(x)时，我们可以通过选择u=x和dv=cos(x)dx来进行分部积分，将原积分化为x*sin(x)-∫(sin(x))dx的形式，从而更容易求解出积分的结果。
通过以上简单的介绍，我们可以看到定积分的换元法和分部积分法在简化复杂积分问题时起着至关重要的作用。
通过这两种方法，我们可以将原积分转化为更容易求解的形式，从而更加灵活地解决数学中的积分难题。
总结回顾：在本文中，我们从简到繁，由浅入深地探讨了定积分的换元法和分部积分法。
通过具体的例子，我们展示了这两种方法在求解复杂积分问题时的重要作用。
我们希望读者通过本文的介绍，能更加全面、深刻地理解定积分的换元法和分部积分法，并在实际的数学问题中灵活运用这两种方法。
定积分计算方法总结
定积分计算方法总结定积分是微积分中的一种重要概念，用于计算曲线与x轴之间的面积、曲线的弧长、质量、质心等物理量。
本文将总结定积分的计算方法，包括基本定积分的计算、换元积分法、分部积分法等。
一、基本定积分的计算基本定积分是指形如∫f(x)dx的定积分，其中f(x)为已知函数。
基本定积分的计算方法主要包括常数法、分段法和凑微分法。
1. 常数法：当被积函数为常数函数时，可以直接利用积分性质计算。
如∫kdx=kx+C，其中k为常数，C为积分常数。
2. 分段法：当被积函数在不同区间上有不同的表达式时，可以将积分区间划分为不同的子区间，在每个子区间上分别计算积分，然后再求和得到整个区间上的积分值。
3. 凑微分法：当被积函数可以通过凑微分的方式转化为已知函数的微分形式时，可以利用凑微分法进行计算。
凑微分法的关键是找到合适的凑微分项，使得被积函数可以表示为一个函数的微分。
例如，对于∫x^2dx，可以将其转化为∫(x^2+1-1)dx，然后利用积分性质计算。
二、换元积分法换元积分法是一种常用的定积分计算方法，通过引入新的变量进行替换，将原来的积分转化为更容易计算的形式。
换元积分法的关键是选择合适的换元变量和适当的换元公式。
1. 一般换元法：当被积函数中存在形如f(g(x))g'(x)的部分时，可以选择g(x)作为新的变量进行替换。
然后利用链式法则计算新的微分形式，将原来的积分转化为新变量的积分。
2. 三角换元法：当被积函数中存在形如sin(x)或cos(x)等三角函数时，可以选择三角函数的反函数作为新的变量进行替换。
然后利用三角函数的导数和反函数的导数计算新的微分形式，将原来的积分转化为新变量的积分。
三、分部积分法分部积分法是一种常用的定积分计算方法，通过将积分中的乘积拆解为两个函数的乘积，利用分部积分公式进行计算。
分部积分法的关键是选择合适的分部函数和求导函数。
分部积分公式为∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u'(x)dx。
定积分的换元积分法和分部积分法
计算0
1
ln(1 x ) dx. 2 (2 x )
解
0
1
1 ln(1 x ) 1 dx 0 ln(1 x )d 2 (2 x ) 2 x
1
1 1 ln(1 x ) 0 2 x d ln(1 x ) 2 x 0
1 ln 2 1 1 1 1 dx 0 2 x 1 x 3 1 x 2 x ln 2 5 1 ln(1 x ) ln(2 x )0 ln 2 ln 3. 3 3
则 有 a f ( x )dx f [ ( t )] ( t )dt .
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b
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证
设F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，
a f ( x )dx F (b) F (a ),
b
( t ) F [( t )],
dF dx f ( x ) ( t ) f [( t )]( t ), ( t ) dx dt
0 0
f (sin x )dx xf (sin x )dx, 0 0 xf (sin x )dx f (sin x )dx. 0 2 0
0
x sin x sin x dx dx 2 2 2 0 1 cos x 1 cos x
解
令 则
u x,
dv sinxdx,
du dx, v cos x ,
0
4 0
4 x sin xdx x cos x 0 4 cos xdx
2 sin x 8
4 0
2 2 2 8
定积分的换元积分法和分部积分法
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例2 计算
x
ln 8
ln 3
1 e x dx .
ln(t2
2 td t - 1) ， dx 2 . t 1
解 令 1 e t, 则 x =
x ln3 ln8 t 2 3
于是
3
ln 8
ln 3
1 e x dx 2
3 1 2t 2 dt dt 22 1 2 2 t 1 t 1
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例13 解
计算
1
0
(arcsinx )3dx.
先换元，再分部积分.
x 0 1 令 arcsinx = t， = sin t， dx = cos tdt， 则 x ， t 0 2 1
0 2 0
于是
(arcsinx )3dx 2 t 3 cos tdt .
2 0
e 2 [e x cos x ]02 e x sin xdx
2 0
e 2 1 2 e x sin xdx
移项，解得
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1 e x sin xdx (e 2 1) 2
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0
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e x dx. 例10 计算 0
1
解 先换元，后分部积分.
1
解 令 x t，则 x = t2 ，dx = 2tdt，
于是
1 2t dx 0 1 x 0 1 t dt
x 0 1 ， t 0 1
1
1 2 1 dt 0 1 t
1
2t ln | 1 t | 0 2 2 ln 2.
最新定积分的换元积分法与分部积分法
定积分的换元积分法与分部积分法定积分的换元积分法与分部积分法教学目的：掌握定积分换元积分法与分部积分法难点：定积分换元条件的掌握重点：换元积分法与分部积分法由牛顿－莱布尼茨公式可知，定积分的计算归结为求被积函数的原函数．在上一章中，我们已知道许多函数的原函数需要用换元法或分部积分法求得，因此，换元积分法与分部积分法对于定积分的计算也是非常重要的．1．定积分换元法定理假设(1) 函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上连续；(2) 函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上有连续且不变号的导数；(3) 当«Skip Record If...»在«Skip Record If...»变化时，«Skip Record If...»的值在«Skip Record If...»上变化，且«Skip Record If...»，则有«Skip Record If...»．(1) 本定理证明从略．在应用时必须注意变换«Skip Record If...»应满足定理的条件，在改变积分变量的同时相应改变积分限，然后对新变量积分．例1计算«Skip Record If...»．仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4解 令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»．当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»；当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»．于是«Skip Record If...»«Skip Record If...»．例2 计算«Skip Record If...»«Skip Record If...»．解 令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»．当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»；当«Skip Record If...»时，« «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»．显然，这个定积分的值就是圆«(图5－8)．例3 计算«Skip Record If...»．解法一 令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»．当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»；当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，于是«Skip Record If...»．解法二 也可以不明显地写出新变量«Skip Record If...»，这样定积分的上、下限也不要改变．即 «Skip Record If...»«Skip Record If...»．此例看出：定积分换元公式主要适用于第二类换元法，利用凑微分法换元不需要变换上、下限．例4 计算«Skip Record If...»．解 «Skip Record If...»«Skip Record If...»注去绝对值时注意符号．=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»．例5 计算«Skip Record If...»．解设«Skip Record If...»，则当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»；当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»．«Skip Record If...»=«Skip Record If...»«Skip Record If...»．例6设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，证明：(1) 若«Skip Record If...»为奇函数，则«Skip Record If...»；(2) 若«Skip Record If...»为偶函数，则«Skip Record If...»．证由于«Skip Record If...»,对上式右端第一个积分作变换«Skip Record If...»，有«Skip Record If...»«Skip Record If...»．故«Skip Record If...»．(1) 当«Skip Record If...»为奇函数时，«Skip Record If...»，故仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4«Skip Record If...»．(2) 当«Skip Record If...»为偶函数时，«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»．利用例6的结论能很方便地求出一些定积分的值．例如«Skip Record If...»．«Skip Record If...»«Skip Record If...»．2．定积分的分部积分法设函数«Skip Record If...»与«Skip Record If...»均在区间«Skip Record If...»上有连续的导数，由微分法则«Skip Record If...»，可得«Skip Record If...»．等式两边同时在区间«Skip Record If...»上积分，有«Skip Record If...»． (2) 公式(2)称为定积分的分部积分公式，其中«Skip Record If...»与«Skip Record If...»是自变量«Skip Record If...»的下限与上限．例7计算«Skip Record If...»．解令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»．故«Skip Record If...»«Skip Record If...»．例8计算«Skip Record If...»．仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4解 «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»．例9计算«Skip Record If...»．解 «Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»．例10 计算«Skip Record If...»．解 «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»．即 «Skip Record If...»注移项得．故 «Skip Record If...»．例11计算«Skip Record If...»．解先用换元法，令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»．当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»；当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»．于是«Skip Record If...»．再用分部积分法，得«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»．仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4小结：1．定积分换元积分定理：假设(1) 函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上连续；(2) 函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上有连续且不变号的导数；(3) 当«Skip Record If...»在«Skip Record If...»变化时，«Skip Record If...»的值在«Skip Record If...»上变化，且«Skip Record If...»．则有«Skip Record If...»．2．定积分分部积分法：设函数«Skip Record If...»与«Skip Record If...»均在区间«Skip Record If...»上有连续的导数，则有«Skip Record If...»．仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4。
定积分的换元法和分部积分法
-
0
ò
1 2
x 1- x
2
dx
0
1 1 2 π 2 -21 + ò (1- x ) d(1- x 2 ) = 2 0 12
π = 12
+ (1- x )
2
1 2
1 2
π 3 = + 12 2
0
- 1
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结束
x 练习 计算(1) x arctanxdx (2) 2 e sinxdx 0 0
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( 2)
0
2
e sinxdx
x
2 e x d cos x
0
e x cos x
2
0
2 e x cos xdx
0
1 02 e x d sin x
1 [(e sin x ) e x sin xdx]
x
2 2
当 x = 0 时, t = 0;
p 2
且
x = a 时, t = π . 2
0
∴ 原式 = a
a = 2
2
2
ò
π 2
cos t d t
2
y
y=
a2 - x2
ò
(1 + cos 2 t ) dt
π 2
0
a 1 = ( t + sin 2t ) 2 2
2
O
a x
0
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+ 解: 令 t = 2 x + 1,
t2- 1 x= , dx = t dt , 2 则
第五章 第4节定积分的换元法和分部积分法
sin
3
x sin
5
5
x cos x sin x 2
3
0
sin
3
x sin
3
x dx
0
cos x sin x 2 dx
3
3
0
2
cos x sin x 2 dx
3
cos x sin x 2 dx
2 3
0 sin x 2 d sin
3
( t 3) d t
2
1
3 1 1 3 22 ( t 3t ) 2 3 3 1
6
例３
计算 0
x 2
cos
0
5
2
cos
5
x sin xdx .
解
令 t cos x ,
2
dt sin xdx ,
t 0,
x sin xdx
5
x 0 t 1,
a
a x d x (a 0).
2 2
0
解: 令 x a sin t , 则 d x a cos t d t , 且当 x 0 时 t 0 , x a 时 t
2
∴ 原式 = a
2
2
2
cos t d t
(1 cos 2 t ) d t 1 2
2
0
2
a
2 a
则 有 f ( x )dx
a
b
f [ ( t )] ( t )dt .
2
证
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例5
计算
1
2x2xcoxs dx.
1 1 1x2
解
原式
1 1
2x2 1 1x2
1
dx1
xcoxs 1 1x2
dx
偶函数
奇函数
1
40
1
x2 1x2
dx401
x21(1(11x2x)2)dx
40 1(11x2)dx 4401 1x2dx
4.
单位圆的面积
1
例6 计算 2arcsixndx. 0
4
xdx
0 1cos2x
4
xdx
0 2cos2 x
4
xdtanx
02
12xtanx04
1 2
4
0
tanxdx
812lnsexc0 4
8
ln2 4
.
例3 药物从患者的尿液中排出,一种典型的排
泄速率函数是 r(t)te,kt其中k是常数.求在时间
间隔 0,T 内,排出药物的量D
解
计算 si3n xsi5n xd.x 0 3
f(x )s3 ix n s5 ix n coxssinx2
si3n xsi5n xdx
coxssin x2 3dx
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
3
2coxssinx2dx
0
coxssinx23dx
3
2 sinx2dsinx
0
2
sinx23dsinx
2
sin
x
相 应 的 改 变 .
（2）求 出f[(t)](t)的 一 个 原 函 数 (t)后 ， 不
必 象 计 算 不 定 积 分 那 样 再 要 把 (t)变 换 成 原 变 量 x的 函 数 ， 而 只 要 把 新 变 量 t的 上 、 下 限 分 别 代 入 (t)然 后 相 减 就 行 了 .
例2 解
导 数 ， 则 有 a budvub a va bvd.u
定积分的分部积分公式
推导
uvuvuv, ab(uv)dxuvba,
ub a va bu vd xa bu vd,x
budvuvb
b
vd.u
a
aa
例7
计算 4
xdx .
0 1cos2x
解 1 c2 o x 2 s c2 o x , s
5
2
2
2
2 sin
5
x 2
4.
5
05
5
2
例3
计算
a
1 d.x(a0)
0 xa2x2
解 令 xasitn , d xaco tds , t
xa t , x0t0,
2
原式 2
acots
dt
0 asitn a2(1si2nt)
2 0
cots dt sintcots
1
2
20
1sciotn t scsiottnsdt
0
a
0
a
f(x)dxa f(t)dt0
f
(t)dt,
① f(x )为 偶 函 数 ， 则 f(t)f(t),
a af(x )d x 0 af(x )d x 0 af(x )dx
a
20 f(t)d;t
② f(x )为 奇 函 数 ， 则 f( t)f(t),
a
0
a
af(x )d x af(x )d x 0f(x )d0x .
D
T
r(t)dt
T tektdt
0
0
k1(tektT0
Tektdt)
0
Tk
ekt
1 k2
ekt T 0
1 k2
ekT(T kk12)
（ 2 ） 函 数 x(t)在 [,]上 是 单 值 的 且 有 连 续
导 数 ；
（3）当 t在区间 [,]上变化时，x(t)的值 在 [a,b]上变化，且 ()a、 ()b，
则 有 a bf(x )d x f[(t)](t)d.t
应用换元公式时应注意:
（1）用 x ( t) 把 变 量 x 换 成 新 变 量 t时 ， 积 分 限 也
1 2 21 2ln sitn cots0 2
4
.
例4 当 f ( x)在[a, a]上连续，且有
① f ( x)为偶函数，则
a
a
f
( x)dx
a
20
f
( x)dx；
②
f
(
x
)
为奇函数，则
a
a
f
( x)dx
0.
证
a
0
a
f(x )d xf(x )d xf(x )d,x
a
a
0
在 0 af(x ) d 中 令 x x t,
解 令 uarcsx,indvdx,
则 du dx , vx, 1 x2
1 2 0
arcsixndxxarcsxin012
1 2
0
xdx 1 x2
1 26
1
1 2
20
1 d(1x2) 1x2
12
1
1x2
2
0
31.
12 2
（二）分部积分公式
设 函 数 u(x)、 v(x)在 区 间 a,b上 具 有 连 续
第四小节 定积分的换元积分法和分部积分法
例1 计算 2 co5sxsinxd.x 0
解 2co s5xsin x d x = -2co s5x dco sx
0
0
令 tcox,s
x t0, x0t1,
2
原式
0 t5dt
t6 1
1.
1
60 6
（一）换元积分法
定理 假设
（1） f ( x)在[a, b]上连续；