概率论第12章习题课12
概率论第二版杨振明课后题答案
2.1.习题1．设随机变量ξ的分布函数为)(x F ，证明ξηe =也是随机变量，并求η的分布函数．证明：由定理2.1.3随机变量的Borel 函数仍为随机变量， 故ξηe =也是随机变量．η的分布函数为}{}{)(y e P y P y F <=<=ξηη当0≤y 时，φξ=<}{y e ，故0)(=y F η；当>y 时，)(ln }ln {}{}{)(y F y P y e P y P y F ξξηξη=<=<=<=因此，η的分布函数为⎩⎨⎧≤>=00),(ln )(y y y F y F ξη． 3．假定一硬币抛出正面的概率为(01)p p <<，反复抛这枚硬币直至正面与反面都出现过为止，试求：（1）抛掷次数ξ的密度阵；（2）恰好抛偶数次的概率．解：（1）}{k =ξ表示前1k -次都出现正(反)面，第k 次出现反(正)面，据题意知，p p p p k P k k 11)1()1(}{---+-==ξ， ,4,3,2=k所以，抛掷次数ξ的密度阵为22112322(1)(1)k k kp p p p p p p p--⎛⎫ ⎪ ⎪---+-⎝⎭(2) 恰好抛掷偶数次的概率为：+=++=+=+=}2{}6{}4{}2{n P P P P ξξξξ+++++++++=--p q q p p q q p p q q p qp pq n n 12125533)1()1(4242 +++++++=q q qp p p pq221111q qp p pq -⋅+-⋅=)1(1)1(1q p qp q p pq +⋅++⋅=qq p p +++=114．在半径为R 的圆内任取一点（二维几何概型），试求此点到圆心之距离ξ的分布函数及}32{RP >ξ． 解：此点到圆心之距离ξ的分布函数为}{)(x P x F <=ξ当0x ≤时，φξ=<}{x ，()0F x =；当0x R <<时，2222}{)(R x R x x P x F ==<=ππξ；当x R ≥时， ()1F x =故ξ的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<≤=R x R x Rxx x F ,10,0,0)(22．95941)3/2(1)32(1}32{22=-=-=-=>R R R F R P ξ．5．在半径为1的车轮边缘上有一裂纹，求随机停车后裂纹距地面高度ξ的分布函数．解：当0x ≤时，φξ=<}{x ，()0F x =；当裂纹距离地面高度为1时，分布函数为1x =R()(){}{}1arccos(1),1122R x F x F P R ππξππ--=-∞=<===；当裂纹距离地面高度为x()01x <<时，分布函数为()(){}{}()2arccos 1,2x RF x F x P x R ξπ-=-∞=<=()arccos 1x π-=()arccos 1x ππ--=；当裂纹距离地面高度为(12)x x <<时，分布函数为()(){}{}()()22arccos 1arccos 1,2x R x F x F x P x R ππξππ--⎡⎤--⎣⎦=-∞=<==； 当2>x时， ()1F x =；则ξ的分布函数为()()00arccos 10212x x F x x x ππ≤⎧⎪--⎪=<≤⎨⎪>⎪⎩6．已知随机变量ξ的密度函数为(),01,2,1 2.xx p x x x <≤⎧=⎨-<≤⎩试求：(1)ξ的分布函数，（2）{}0.2 1.2P ξ<<．解：（1）当0≤x 时，00)()(===⎰⎰∞-∞-dt dt t p x F xx；当01x <≤时，2021)()(x dt t dt t p x F xx ===⎰⎰∞-； 当12x <≤时，12212)()(2110-+-=-+==⎰⎰⎰∞-x x dt t dt t dt t p x F xx；当2x>时，12)()(2110=-+==⎰⎰⎰∞-dt t dt t dt t p x F x ；则ξ的分布函数为()220,0,1,01,2121,12,21,2.x x x F x x x x x ≤⎧⎪⎪<≤⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎪>⎩（2）{}0.2 1.2P ξ<<{}{}1.20.2P P ξξ=<-<=()()1.20.20.66F F -=7．设)()(a x e e x p --=，0x >（1）求a 使()p x 为密度函数；（2）若ξ以此()p x 为密度函数，求b 使b b P =>}{ξ．解：（1）由密度函数的性质，知ea a x e a x e e e e edx e dx x p 101)(1)(0)(=∞-===--∞--∞∞-⎰⎰解得，1a e=． （2）【法一】根据概率的非负性，0≥b ，当0=b 时，1}{=>b P ξ，显然b b P =>}{ξ不成立；当>b 时，()1()1(11)(}{be e x e bex e bee b e edx edx x p b P ---∞--∞=∞-===>⎰⎰ξ而b b P =>}{ξ，即b eee b e =--)1(1， 解得，1be=． 【法二】ξ的分布函数为()10,0,111,.e x e x F x e e x ee ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤⎧⎪=⎨++>⎪⎩{}{}()11P b P b F b b ξξ>=-<=-=当0b ≤时，()0Fb =，上式不成立．当0b ≥时，()111e b e F b ee ee⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-+ 则1111e b e ee b ee⎛⎫-- ⎪⎝⎭+-=， 解得，1b e=． 8.设()F x 是连续型分布函数，试证对任意a b <有[]()()F x b F x a dx b a +∞-∞+-+=-⎰.证：等式左边=()x bx ap t dtdx +∞+-∞+⎰⎰=(())x bx ad F t dx +∞+-∞+⎰⎰因()F x 是连续的分布函数则上式积分可以交换．则上式交换积分次序得(())x bx ad F t dx +∞+-∞+⎰⎰(())x b x a d F t dx ++∞+-∞=⎰⎰(()())x bx aF F dx ++=+∞--∞⎰1x bx a dx ++=⎰b a =-．2.2习题1．向目标进行20次独立的射击，假定每次命中率均为0.2．试求：（1）至少命中1次的概率；（2）至多命中2次的概率；（3）最可能命中次数．解：令ξ表示命中次数，这是n =20重Bernoulli 试验，每次命中率p =0.2，命中次数ξ服从B(20,0.2)分布．(1) 至少命中一次的概率200020)1(1}0{1}1{1}1{p p C P P P --==-=<-=≥ξξξ988.0)2.01(2.01200020≈--=C ．(2) 至多命中两次的概率}2{}1{}0{}2{=+=+==≤ξξξξP P P P182220191120200020)1()1()1(p p C p p C p p C -+-+-=191120200020)2.01(2.0)2.01(2.0+-+-=C C 206.0≈．(3) 在二项分布中，])1[(p n k +=时，}{k P =ξ最大，故]2.0)120[(⨯+=k=4时最大，即最可能命中的次数为4次． 2．同时掷两枚骰子，直到某个骰子出现6点为止，求恰好掷n 次的概率．解：掷一枚骰子出现6点的概率是16，同时出现6点的情况有两种：都是6点概率为16×16，其中一个是6点的概率为2×16×56．因此掷两枚骰子出现6点的概率是1136． 以ξ表示某骰子首次出现6点时的投掷次数，题目要求恰好掷n次则前1-n 次都没有出现6点，于是所求概率为1)36111)(3611(}{--==n n P ξ． 3．某公司经理拟将一提案交董事代表会批准，规定如提案获多数代表赞成则通过．经理估计各代表对此提案投赞成票的概率为0.6，且各代表投票情况相互独立．为以较大概率通过提案，试问经理请3名董事代表好还是请5名好？解：即求请3名董事获多数赞成通过的概率大还是请5名董事通过的概率大．令ξ表示3名董事代表对提案的赞成数，则)6.0,3(~B ξ分布．多数赞成，即}3{}2{}2{=+==≥ξξξP P P03331223)6.01(6.0)6.01(6.0-+-=C C648.0≈令η表示5名董事代表对提案的赞成数，则)6.0,5(~B η分布．多数赞成，即}5{}4{}3{}3{=+=+==≥ηηηηP P P P55514452335)6.01(6.0)6.01(6.0)6.01(6.0-+-+-=C C C68256.0≈因此，请5名董事代表好．4．甲、乙二队比赛篮球．假定每一场甲、乙队获胜的概率分别为0.6与0.4，且各场胜负独立．如果规定先胜4场者为冠军，求甲队经i 场(i =4,5,6,7)比赛而成为冠军的概率i p ．再问与赛满3场的“三场两胜”制相比较，采用哪种赛制甲队最终夺得冠军的概率较小？解：令ξ表示甲成为冠军所经过比赛的场数． 对甲先胜四场为冠军：}{i =ξ表示前1-i 场中胜三场，第i 场必胜．则1296.0)6.01(6.0}4{0444≈-==C P ξ20736.0)6.01(6.0}5{1434≈-==C P ξ20736.0)6.01(6.0}6{2435≈-==C P ξ165888.0)6.01(6.0}7{3436≈-==C P ξ因此，4431)6.01(6.0}{---==i i C i P ξ，i =4,5,6,7对甲先胜四场成为冠军的概率是7.0}7{}6{}5{}4{}4{==+=+=+==≥ξξξξξP P P P P ．对赛满3场的“三场两胜”制：甲前两场中胜一场，第三场必胜 则288.0)6.01(6.0}3{1212≈-==C P ξ．因此，进行甲先胜4场成为冠军的概率较大．5．对n 重Bernoulli 试验中成功偶数次的概率n P ． 解：记p 为一次Bernoulli 试验中事件成功的概率，q 为失败的概率．++=-22200n n n n n q p C q p C P由11100)(1qp C q p C q p C q p n n n n n n n n +++=+=-①1100)()(q p C pq C q p C p q n nn n n n n n -++-=--②（①-②）/2得：2)(1nn p q P --=7．在可列重Bernoulli 试验中，以i ξ表第i 次成功的等待时间，求证12ξξ-与1ξ有相同的概率分布．解：这是一个几何分布．12ξξ-表示第一次成功到第二次成功的等待时间．如果第一次成功到第二次成功进行了m 次试验，而第一次成功进行了n 次 试验．根据几何分布的无记忆性可得：p p m P m 112)1(}{--==-ξξ,p p n P n 11)1(){--==ξ因此，12ξξ-与1ξ有相同的概率分布．8.（广义Bernoulli 试验）假定一试验有r个可能结果r A A ,,1 ，并且0)(>=i i p A P ，121=+++r p p p ．现将此试验独立地重复n 次，求1A 恰出现1k 次，……，r A 恰出现r k 次(0>i k ，n k k k r =+++ 21)的概率．解：设一次试验的可能结果为r A A ,,1 ，它们构成一完备事件组，()i i P A p =，1i ip =∑，则在n 次重复独立试验中rA A ,,1 分别出现12,,,rk k k 次的概率为r k k k r p p p k k k n 21!!!!21 ．（1A 恰出现1k 次，……，r A 恰出现r k 次，则i A 组成n 元序列，上述n 次试验结果由分成r 组，共有rr k k kkn kn C C C 211-种结果，每种结果出现的概率是rk k k pp p 21，则n 次Bernoulli 试验中1A 恰出现1k 次，……，rA 恰出现rk 次(0>i k ，nk k k r =+++ 21)的概率概率是r rk k k k n k nCCC 211-rk k k pp p 21r k k k r p p p k k k n 21!!!!21=）2.3 Poisson 分布1．假定螺丝钉的废品率015.0=p ，试求一盒应装多少只才能保证每盒中正品在100只以上的概率不小于80%．解：设每盒应装100+k 只，为使每盒有100只以上的好钉，则每盒次品的个数ξ应≤k-1，故8.0)1(}1{100101001≥-=-≤=-+-=+∑ik i k i i k p p C k P p ξ 由于k 值不大，有)100(k +015.0⨯≈1.5,5.110!5.1--=∑e i k i i ≥0.80,查表，当11=-k时, 1p =0.557825；当21=-k 时, 1p =0.8,则k =3时，满足题设条件，故每盒中应装103只．2．据以往的记录，某商店每月出售的电视机台数服从参数7=λ的 Poisson 分布．问月初应库存多少台电视机，才能以0.999的概率保证满足顾客对电视机的需求．解：设月初应当库存电视机台数为η，则每月出售的电视机台数ξ，要满足顾客的要求，则999.0)1(0=--=∑i n i ni i np p C,即999.0!0=-=∑λλe i ni i．查表得： 当n =15时，997553.0!0=-=∑λλe i n i i；当n =16时，999001.0!0=-=∑λλe i ni i；因此，月初应当库存16台电视机才能以0.999的概率保证满足顾客对电视机的需求．3．保险公司的资料表明，持有某种人寿保险单的人在保险期内死亡的概率为0.005．现出售这种保险单1200份，求保险公司至多赔付10份的概率．解：保险公司赔付的份数ξ服从n =1200,p =0.005的二项分布．根据Poisson 定理，ξ服从参数为6005.01200=⨯=λ的Poisson 分布．=≤}10{ξP ∑=-106!k ke k λ查表，得95738.0}10{=≤ξP ．4．假定每小时进入某商店的顾客服从200=λ的 Poisson 分布，而进来的顾客将购买商品的概率均为0.05，且各顾客是否购物相互独立，求在一小时中至少有6位顾客在此商店中购物的概率．解：记每小时进入某商店的顾客数为ξ，则ξ服从200=λ的Poisson 分布．记每小时在商店中购物的顾客数为η，顾客购物概率为p ．以事件{}n =ξ, ,3,2,1=n 为分割，由全概率公式得，对于非负整数k , 有{}k P =η={}{}n k P n P n ===∑+∞=ξηξ|0=kn k knkn kqp C en --+∞=∑λλ!=k k n k n p e k k n q )(!)!()(λλλ-+∞=-∑- =()p k e p k λλ-!1{}pk k e k p P λλη-+∞=∑=≥6!)(6满足101==p λλ的Poisson 分布，查表，得{}93214.06=≥ηP ．8．假定非负整值离散型分布的密度{}k p 满足条件1-k kp p =kλ,k ≥1,其中常数λ>0，试证明分布是以λ为参数的Poisson 分布．解：1201p p p p ·····211λλ=-k k p p ·····kλ=!k kλ由此得：0!p k p kkλ=，并且00!p k k k∑+∞=λ=1,可得0p =λ-e ，故λλ-=e k p kk !．因此，此分布是以λ为参数的Poisson 分布．2.4 重要的连续性分布1．设ξ服从区间(0,5)上的均匀分布，求二次方程24420x x ξξ+++=有实根的概率．解：由题意知，ξ的概率密度函数为105()5x p x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它 若方程有实根，则2(4)44(2)0ξξ∆=-⨯⨯+≥，即220ξξ--≥， 解得，12ξξ≤-≥或．则}2{}1{}{≥+-≤=ξξP P P 方程有实根}2{1}1{<-+-≤=ξξP P2130155dx =+-=⎰． 3．假定随机变量ξ只取区间(0,1)中的值，且对任何10<<<y x ，ξ落在子区间(,)x y 内的概率仅与y x -有关．求证ξ服从区间(0,1)上的均匀分布．证法一：定义⎪⎩⎪⎨⎧∞∈∈<≤-∞∈=),1(,1]1,0(},0{]0,(,0)(x x x P x x F ξ则)(x F 是ξ的分布函数．由题设得对任意)1,0(2∈x 有}2{}0{x x P x P <≤=<≤ξξ，即有}0{2}20{x P x P <≤=<≤ξξ．由此得)(2)2(x F x F =．逐一类推可得，若)1,0(∈nx ，则)()(x nF nx F =，或者)()(1n x F x F n =．从而对有理数nm ，若x n m 与x 都属于(0,1)，则有)(x F nmx n m F =⎪⎭⎫ ⎝⎛．再由)(x F 的左连续性可得，对任意无理数a ，若ax 与x 都属于(0,1)，则)()(x aF ax F =．因为区间(0,1)与]1,0[的长度相等，由题设得1}10{}10{)1(=≤≤=<≤=ξξP P F .由此及上段证明得，对任意)1,0(∈x 有x xF x F ==)1()(，即)(x F 为⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=1,110,0,0)(x x x x x F∴ξ服从(0,1)上均匀分布．证法二：如同证法一中定义ξ的分布函数)(x F ，由)(x F 单调知它对(0,1)上的L －测试几乎处处可微．设)1,0(,21∈x x ，当)2,1)(1,0(=∈∆+i x x i时，由题设得}{)()(1111x x x P x F x x F ∆+<≤=-∆+ξ)()(}{2222x F x x F x x x P -∆+=∆+<≤=ξ等式两端都除以x ∆，再令0→∆x 可得，由)('1x F 存在可推得)('2x F 也存在，而且)('2x F )('1x F =．从而对任意)1,0(∈x 有c x F ≡)('．当)1,0(∈x 时，显然有0)('=x F ．一点的长度为0，由题设得0}1{}0{====ξξP P ．由上所述可知ξ是连续型随机变量，)('x F 是其密度函数，从而定出1=c ．至此得证ξ服从(0,1)均匀分布． 4．设ξ服从(3,4)N 分布．(1)求a使{}{}2P a P a ξξ>=<;(2)求b 使{}30.95P b ξ-<=．解：由题意知，3μ=，2σ=（1）{}{}{}{}112P a P a P a P a ξξξξ>=-≤=-<=<得，{}31P a ξ<= {}13P a ξ<=即31()23μ-Φ=，311()23μ--Φ=， 即32()23μ-Φ= 查表，得6664.0)43.0(=Φ，解得 2.14a =。
概率论与数理统计课后习题答案浙江大学第四版完整版.pdf
完全版概率论与数理统计课后习题答案第四版盛骤(浙江大学)浙大第四版（高等教育出版社）第一章概率论的基本概念1.[一]写出下列随机试验的样本空间（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一]1）nn n n o S1001, ，n 表小班人数（3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。
（[一]2）S={10，11，12，………，n ，………}（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。
（[一](3)）S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，}2.[二]设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。
（1）A 发生，B 与C 不发生。
表示为：C B A 或A －(AB+AC )或A －(B ∪C )（2）A ，B 都发生，而C 不发生。
表示为：C AB 或AB －ABC 或AB －C（3）A ，B ，C 中至少有一个发生表示为：A+B+C（4）A ，B ，C 都发生，表示为：ABC（5）A ，B ，C 都不发生，表示为：C B A 或S －(A+B+C)或CB A（6）A ，B ，C 中不多于一个发生，即A ，B ，C 中至少有两个同时不发生相当于C A C B B A ,,中至少有一个发生。
故表示为：C A C B B A 。
（7）A ，B ，C 中不多于二个发生。
相当于：C B A ,,中至少有一个发生。
故表示为：ABCC B A 或（8）A ，B ，C 中至少有二个发生。
相当于：AB ，BC ，AC 中至少有一个发生。
故表示为：AB +BC +AC6.[三]设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0.7.问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？解：由P (A )=0.6，P (B )=0.7即知AB ≠φ，（否则AB =φ依互斥事件加法定理，P (A ∪B )=P (A )+P (B )=0.6+0.7=1.3>1与P (A ∪B )≤1矛盾）.从而由加法定理得P (AB )=P (A )+P (B )－P (A ∪B )(*)（1）从0≤P (AB )≤P (A )知，当AB =A ，即A ∩B 时P (AB )取到最大值，最大值为P (AB )=P (A )=0.6，（2）从(*)式知，当A ∪B=S 时，P (AB )取最小值，最小值为P (AB )=0.6+0.7－1=0.3。
厦门理工概率论课件信号与系统复习练习题(12级)
一、选择题1、f （5-2t ）是如下运算的结果（ C ）。
A ．f （-2t ）右移5 B ．f （-2t ）左移5C ．f （-2t ）右移25D ．f （-2t ）左移252．已知f （t ）的频带宽度为Δω，则f （2t-4）的频带宽度为（ A ）。
A ． 2Δω B ． /2 C ． 2（Δω-4） D ． 2（Δω-2）3．已知信号f （t ）的频带宽度为Δω，则f （3t-2）的频带宽度为（ A ）。
A ．3Δω B ．Δω/3 C ．（Δω-2）/3 D ．（Δω-6）/6 4．连续周期信号f （t ）的频谱F(j )的特点是（ D ）。
A ．周期、连续频谱 B ．周期、离散频谱 C ．连续、非周期频谱 D ．离散、非周期频谱5．信号f （t ）=Sa （100t ），其最低取样频率fs 为（ A ）。
A ． 100/ B ． 200/ C ．/100 D ．/2006．系统函数H （s ）与激励信号X （s ）之间（ B ）。
A ．是反比关系；B ．无关系；C ．线性关系；D ．不确定。
7．线性时不变系统输出中的自由响应的形式由（ A ）决定。
A ．系统函数极点的位置； B ．激励信号的形式； C ．系统起始状态； D ．以上均不对。
8．线性时不变系统输出中的自由响应的形式由（ A ）决定。
A ．系统的结构参数； B ．系统激励信号的形式； C ．系统起始状态； D ．以上均不对。
9．信号⎪⎭⎫ ⎝⎛+=34cos 3)(πt t x 的周期是（ C ）。
（A ）π2 （B ）π （C ）2π （D ）π210. 设f(t)=0，t<3，则信号f(1-t)+ f(2-t)为0的t 值是（ C ）。
（A ）t>-2或 t>-1 （B ）t=1和t=2 （C ）t>-1 （D ）t>-2 11. 设f(t)=0，t<3，则信号f(1-t)× f(2-t) 为0的t 值是（ D ）。
概率论1至7章课后答案
一、习题详解：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数;解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω；(2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和;解：}{12,11,4,3,22 =Ω；(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{,2,1,03=Ω； (4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：()}{;51,4≤≤=Ωj i j i(5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离;解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度.解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ；1.2 设A ，B ，C 为三事件, 用A;B;C 的运算关系表示下列各事件：(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃；(3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃；(5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃；(6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃； (7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC ；(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ；注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
概率论和数理统计课后习题答案解析
随机事件及其概率1.1 随机事件习题1试说明随机试验应具有的三个特点．习题2将一枚均匀的硬币抛两次，事件A，B，C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”，试写出样本空间及事件A，B，C中的样本点.1.2 随机事件的概率1.3 古典概型与几何概型1.4 条件概率1.5 事件的独立性复习总结与总习题解答习题3. 证明下列等式：习题6.习题7习题9习题10习题12习题13习题14习题15习题16习题18习题20习题21习题23习题24习题26第二章随机变量及其分布2.1 随机变量习题1随机变量的特征是什么？解答：①随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数.②随机变量的取值是随机的，事先或试验前不知道取哪个值.③随机变量取特定值的概率大小是确定的.习题2试述随机变量的分类.解答：①若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来，则称X为离散型随机变量；否则称为非离散型随机变量.②若X的可能值不能一一列出，但可在一段连续区间上取值，则称X为连续型随机变量.习题3盒中装有大小相同的球10个，编号为0,1,2,⋯,9, 从中任取1个，观察号码是“小于5”，“等于5”，“大于5”的情况，试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果，并写出该随机变量取每一个特定值的概率.解答：分别用ω1,ω2,ω3表示试验的三个结果“小于5”，“等于5”，“大于5”，则样本空间S={ω1,ω2,ω3},定义随机变量X如下：X=X(ω)={0,ω=ω11,ω=ω2,2,ω=ω3则X取每个值的概率为P{X=0}=P{取出球的号码小于5}=5/10,P{X=1}=P{取出球的号码等于5}=1/10,P{X=2}=P{取出球的号码大于5}=4/10.2.2 离散型随机变量及其概率分布习题1设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2}, 求λ.解答：由P{X=1}=P{X=2}, 得λe-λ=λ^2/2e^-λ,解得λ=2.习题2设随机变量X的分布律为 P{X=k}=k15,k=1,2,3,4,5,试求(1)P{12<X<52; (2)P{1≤X≤3}; (3)P{X>3}.解答：(1)P{12<X<52=P{X=1}+P{X=2}=115+215=15;(2)P{≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=115+215+315=25;(3)P{X>3}=P{X=4}+P{X=5}=415+515=35.习题3已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值，相应概率依次为12c,34c,58c,716c, 试确定常数c, 并计算P{X<1∣X≠0}.解答：依题意知，12c+34c+58c+716c=1, 即3716c=1,解得c=3716=2.3125.由条件概率知 P{X<1∣X≠0}=P{X<1,X≠0}P{X≠0}=P{X=-1}P{X≠0}=12c1-34c=24c-3=26.25=0.32.习题4一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.解答：随机变量X的可能取值为3,4,5.P{X=3}=C22⋅1C53=110, P{X=4}=C32⋅1C53=310, P{X=5}=C42⋅1C53=35,所以X的分布律为设X表示取出3件产品的次品数，则X的所有可能取值为0,1,2,3. 对应概率分布为P{X=0}=C73C103=35120, P{X=1}=C73C31C103=36120,P{X=2}=C71C32C103=21120, P{X=3}=C33C103=1120.X的分布律为X 0123P 3512036120211201120习题9一批产品共10件，其中有7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，取出的产品仍放回去，求直至取到正品为止所需次数X的概率分布.解答：由于每次取出的产品仍放回去，各次抽取相互独立，下次抽取时情况与前一次抽取时完全相同，所以X的可能取值是所有正整数1,2,⋯,k,⋯.设第k次才取到正品(前k-1次都取到次品), 则随机变量X的分布律为P{X=k}=310×310×⋯×310×710=(310)k-1×710,k=1,2,⋯.习题10设随机变量X∼b(2,p),Y∼b(3,p), 若P{X≥1}=59, 求P{Y≥1}.解答：因为X∼b(2,p),P{X=0}=(1-p)2=1-P{X≥1}=1-5/9=4/9,所以p=1/3.因为Y∼b(3,p), 所以 P{Y≥1}=1-P{Y=0}=1-(2/3)3=19/27.习题11纺织厂女工照顾800个纺绽，每一纺锭在某一段时间τ内断头的概率为0.005, 在τ这段时间内断头次数不大于2的概率.解答：以X记纺锭断头数, n=800,p=0.005,np=4,应用泊松定理，所求概率为：P{0≤X≤2}=P{⋃0≤xi≤2{X=xi}=∑k=02b(k;800,0.005)≈∑k=02P(k;4)=e-4(1+41!+422!)≈0.2381.习题12设书籍上每页的印刷错误的个数X服从泊松分布，经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率.解答：\becauseP{X=1}=P{X=2}, 即λ11!e-λ=λ22!e-λ⇒λ=2,∴P{X=0}=e-2,∴p=(e-2)4=e-8.2.3 随机变量的分布函数习题1F(X)={0,x<-20.4,-2≤x<01,x≥0, 是随机变量X的分布函数，则X是___________型的随机变量.解答：离散.由于F(x)是一个阶梯函数，故知X是一个离散型随机变量.习题2设F(x)={0x<0x20≤1,1x≥1 问F(x)是否为某随机变量的分布函数.解答：首先，因为0≤F(x)≤1,∀x∈(-∞,+∞).其次，F(x)单调不减且右连续，即F(0+0)=F(0)=0, F(1+0)=F(1)=1,且 F(-∞)=0,F(+∞)=1,所以F(x)是随机变量的分布函数.习题3已知离散型随机变量X的概率分布为P{X=1}=0.3,P{X=3}=0.5,P{X=5}=0.2,试写出X的分布函数F(x)，并画出图形.解答：由题意知X的分布律为：X 135Pk 0.30.50.2所以其分布函数F(x)=P{X≤x}={0,x<10.3,1≤x<30.8,3≤x<51,x≥5.F(x)的图形见图.习题4设离散型随机变量X的分布函数为 F(x)={0,x<-10.4,-1≤x<10.8,1≤x<31,x≥3,试求：(1)X的概率分布； (2)P{X<2∣X≠1}.解答：(1)X -113pk 0.40.40.2(2)P{X<2∣X≠1}=P{X=-1}P{X≠1}=23.习题5设X的分布函数为F(x)={0,x<0x2,0≤x<1x-12,1≤x<1.51,x≥1.5,求P{0.4<X≤1.3},P{X>0.5},P{1.7<X≤2}.解答：P{0.4<X≥1.3}=P{1.3}-F(0.4)=(1.3-0.5)-0.4/2=0.6,P{X>0.5}=1-P{X≤0.5}=1-F(0.5)=1-0.5/2=0.75,P{1.7<X≤2}=F(2)-F(1.7)=1-1=0.习题6设随机变量X的分布函数为F(x)=A+Barctanx(-∞<x<+∞),试求：(1)系数A与B; (2)X落在(-1,1]内的概率.解答：(1)由于F(-∞)=0,F(+∞)=1,可知{A+B(-π2)A+B(π2)=1=0⇒A=12,B=1π,于是F(x)=12+1πarctanx, -∞<x<+∞;(2)P{-1<X≤1}=F(1)-F(-1)=(12+1πarctan1)-[12+1πarctanx(-1)]=12+1π⋅π4-12-1π(-π4)=12.习题7在区间[0,a]上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标.设这个质点落在[0,a]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例，试求X的分布函数.解答： F(x)=P{X≤x}={0,x<0xa,0≤x<a.1,x≥a2.4 连续型随机变量及其概率密度习题1设随机变量X的概率密度为f(x)=12πe-(x+3)24(-∞<x<+∞),则Y=¯∼N(0,1).解答：应填3+X2.由正态分布的概率密度知μ=-3,σ=2由Y=X-μσ∼N(0,1), 所以Y=3+X2∼N(0,1).习题2已知X∼f(x)={2x,0<x<10,其它, 求P{X≤0.5};P{X=0.5};F(x).解答：P{X≤0.5}=∫-∞0.5f(x)dx=∫-∞00dx+∫00.52xdx=x2∣00.5=0.25,P{X=0.5}=P{X≤0.5}-P{X<0.5}=∫-∞0.5f(x)dx-∫-∞0.5f(x)dx=0.当X≤0时，F(x)=0;当0<x<1时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt=t2∣0x=x2;当X≥1时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫0x2tdt+∫1x0dt=t2∣01=1,故F(x)={0,x≤0x2,0<x<1.1,x≥1习题3设连续型随机变量X的分布函数为F(x)={A+Be-2x,x>00,x≤0,试求：(1)A,B的值；(2)P{-1<X<1}; (3)概率密度函数F(x).解答：(1)\becauseF(+∞)=limx→+∞(A+Be-2x)=1, ∴A=1;又 \becauselimx→0+(A+Be-2x)=F(0)=0, ∴B=-1.(2) P{-1<X<1}=F(1)-F(-1)=1-e-2.(3)f(x)=F′(x)={2e-x,x>00,x≤0.习题4服从拉普拉斯分布的随机变量X的概率密度f(x)=Ae-∣x∣, 求系数A及分布函数F(x).解答：由概率密度函数的性质知，∫-∞+∞f(x)dx=1,即∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=1,而∫-∞+∞Ae-∣x∣dx=∫-∞0Aexdx+∫0+∞Ae-xdx=Aex∣-∞0+(-Ae-x∣0+∞)=A+A=2A或∫-∞+∞Ae-xdx=2∫0+∞Ae-xdx=-2Ae-x∣0+∞=2A,所以2A=1, 即A=1/2.从而f(x)=12e-∣x∣,-∞<x<+∞,又因为F(x)=∫-∞xf(t)dt,所以当x<0时，F(x)=∫-∞x12e-∣t∣dt=12∫-∞xetdt=12et∣-∞x=12ex;当x≥0时，F(x)=∫-∞x12e-∣x∣dt=∫-∞012etdt+∫0x12e-tdt=12et∣-∞0-12e-t∣0x=12-12e-x+12=1-12e-x,从而F(x)={12ex,x<01-12e-x,x≥0.习题5某型号电子管，其寿命(以小时计)为一随机变量，概率密度f(x)={100x2,x≥1000,其它,某一电子管的使用寿命为X, 则三个电子管使用150小时都不需要更换的概率.解答：设电子管的使用寿命为X, 则电子管使用150小时以上的概率为P{X>150}=∫150+∞f(x)dx=∫150+∞100x2dx=-100x∣150+∞=100150=23,从而三个电子管在使用150小时以上不需要更换的概率为 p=(2/3)3=8/27.习题6设一个汽车站上，某路公共汽车每5分钟有一辆车到达，设乘客在5分钟内任一时间到达是等可能的，试计算在车站候车的10位乘客中只有1位等待时间超过4分钟的概率.解答：设X为每位乘客的候车时间，则X服从[0,5]上的均匀分布. 设Y表示车站上10位乘客中等待时间超过4分钟的人数. 由于每人到达时间是相互独立的.这是10重伯努力概型. Y服从二项分布，其参数n=10,p=P{X≥4}=15=0.2,所以P{Y=1}=C101×0.2×0.89≈0.268.习题7设X∼N(3,22).(1)确定C, 使得P{X>c}=P{X≤c};(2)设d满足P{X>d}≥0.9, 问d至多为多少?解答：因为X∼N(3,22), 所以X-32=Z∼N(0,1).(1)欲使P{X>c}=P{X≤c}, 必有1-P{X≤c}=P{X≤c}, 即 P{X≤c}=1/2,亦即Φ(c-32)=12, 所以 c-32=0, 故c=3.(2)由P{X>d}≥0.9可得1-P{X≤d}≥0.9, 即 P{X≤d}≤0.1.于是Φ(d-32)≤0.1,Φ(3-d2)≥0.9.查表得3-d2≥1.282, 所以d≤0.436.习题8设测量误差X∼N(0,102), 先进行100次独立测量，求误差的绝对值超过19.6的次数不小于3的概率.解答：先求任意误差的绝对值超过19.6的概率p,p=P{∣X∣>19.6}=1-P{∣X∣≤19.6}=1-P{∣X10∣≤1.96=1-[Φ(1.96)-Φ(-1.96)]=1-[2Φ(1.96)-1]=1-[2×0.975-1]=1-0.95=0.05.设Y为100次测量中误差绝对值超过19.6的次数，则Y∼b(100,0.05).因为n很大，p很小，可用泊松分布近似，np=5=λ,所以P{Y≥3}≈1-50e-50!-51e-51!-52e-52!=1-3722-5≈0.87.习题9某玩具厂装配车间准备实行计件超产奖，为此需对生产定额作出规定. 根据以往记录，各工人每月装配产品数服从正态分布N(4000,3600).假定车间主任希望10%的工人获得超产奖，求：工人每月需完成多少件产品才能获奖？解答：用X表示工人每月需装配的产品数，则X∼N(4000,3600).设工人每月需完成x件产品才能获奖，依题意得P{X≥x}=0.1, 即1-P{X<x}=0.1,所以1-F(x)=0.1, 即 1-Φ(x-400060)=0.1, 所以Φ(x-400060)=0.9.查标准正态人分布表得Φ(1.28)=0.8997,因此 x-400060≈1.28, 即x=4077件，就是说，想获超产奖的工人，每月必须装配4077件以上.习题10某地区18岁女青年的血压(收缩压，以mm-HG计)服从N(110,122). 在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压X.(1)求P{X≤105},P{100<X≤120};(2)确定最小的x, 使P{X>x}≤0.005.解答：已知血压X∼N(110,122).(1)P{X≤105}=P{X-11012≤-512≈1-Φ(0.42)=0.3372,P{100<X≤120}=Φ(120-11012)-Φ(100-11012)=Φ(0.833)-Φ(-0.833)=2Φ(0.833)-1≈0.595.(2)使P{X>x}≤0.05, 求x, 即1-P{X≤x}≤0.05, 亦即Φ(x-11012)≥0.95,查表得x-10012≥1.645, 从而x≥129.74.习题11设某城市男子身高X∼N(170,36), 问应如何选择公共汽车车门的高度使男子与车门碰头的机会小于0.01.解答：X∼N(170,36), 则X-1706∼N(0,1).设公共汽车门的高度为xcm，由题意P{X>x}<0.01, 而P{X>x}=1-P{X≤x}=1-Φ(x-1706)<0.01,即Φ(x-1706)>0.99, 查标准正态表得x-1706>2.33, 故x>183.98cm.因此，车门的高度超过183.98cm时，男子与车门碰头的机会小于0.01.习题12某人去火车站乘车，有两条路可以走. 第一条路程较短，但交通拥挤，所需时间(单位：分钟)服从正态分布N(40,102); 第二条路程较长，但意外阻塞较少，所需时间服从正态分布N(50,42), 求：(1)若动身时离开车时间只有60分钟，应走哪一条路线？(2)若动身时离开车时间只有45分钟，应走哪一条路线？解答：设X,Y分别为该人走第一、二条路到达火车站所用时间，则 X∼N(40,102),Y∼N(50,42).哪一条路线在开车之前到达火车站的可能性大就走哪一条路线.(1)因为P{X<60}=Φ(60-4010)=Φ(2)=0.97725,P{Y<60}=Φ(60-504)=Φ(2.5)=0.99379,所以有60分钟时应走第二条路.(2)因为P{X<45}=Φ(45-4010)=Φ(0.5)=0.6915,P{X<45}=Φ(45-504)=Φ(-1.25)=1-Φ(1.25)=1-0.8925=0.1075所以只有45分钟应走第一条路.当c>0时，fY(y)={1c(b-a),ca+d≤y≤cb+d0,其它,当c<0时，fY(y)={-1c(b-a),cb+d≤y≤ca+d0,其它.习题4设随机变量X服从[0,1]上的均匀分布，求随机变量函数Y=eX的概率密度fY(y).解答：f(x)={1,0≤x≤10,其它,f=ex,x∈(0,1)是单调可导函数，y∈(1,e), 其反函数为x=lny, 可得f(x)={fX(lny)∣ln′y,1<y<e0,其它={1y,1<y<e0,其它.习题5设X∼N(0,1)，求Y=2X2+1的概率密度.解答：因y=2x2+1是非单调函数，故用分布函数法先求FY(y).FY(y)=P{Y≤y}=P{2X2+1≤y}(当y>1时)=P{-y-12≤X≤y-12=∫-y-12y-1212πe-x2dx,所以fY(y)=F′Y(y)=22πe-12⋅y-12⋅122y-1,y>1, 于是fY(y)={12π(y-1)e-y-14,y>10,y≤1.习题6设连续型随机变量X的概率密度为f(x), 分布函数为F(x), 求下列随机变量Y的概率密度：(1)Y=1X; (2)Y=∣X∣.解答：(1)FY(y)=P{Y≤y}=P{1/X≤y}.①当y>0时，FY(y)=P{1/X≤0}+P{0<1/X≤y}=P{X≤0}+P{X≥1/y}=F(0)+1-F(1/y),故这时fY(y)=[-F(1y)]′=1y2f(1y);；②当y<0时，FY(y)=P{1/y≤X<0}=F(0)-F(1/y),故这时fY(y)=1y2f(1y);③当y=0时，FY(y)=P{1/X≤0}=P{X<0}=F(0),故这时取fY(0)=0, 综上所述fY(y)={1y2⋅f(1y),y≠00,y=0.(2)FY(y)=P{Y≤y}=P{∣X∣≤y}.①当y>0时，FY(y)=P{-y≤X≤y}=F(y)-F(-y)这时fY(y)=f(y)+f(-y);②当y<0时，FY(y)=P{∅}=0, 这时fY(y)=0;③当y=0时，FY(y)=P{Y≤0}=P{∣X∣≤0}=P{X=0}=0,故这时取FY(y)=0, 综上所述 fY(y)={f(y)+f(-y),y>00,y≤0.习题7某物体的温度T(∘F)是一个随机变量, 且有T∼N(98.6,2), 已知θ=5(T-32)/9, 试求θ(∘F)的概率密度.解答：已知T∼N(98.6,2). θ=59(T-32), 反函数为T=59θ+32,是单调函数，所以fθ(y)=fT(95y+32)⋅95=12π⋅2e-(95y+32-98.6)24⋅95=910πe-81100(y-37)2.习题8设随机变量X在任一区间[a,b]上的概率均大于0, 其分布函数为FY(x), 又Y在[0,1]上服从均匀分布，证明:Z=FX-1(Y)的分布函数与X的分布函数相同.解答：因X在任一有限区间[a,b]上的概率均大于0, 故FX(x)是单调增加函数，其反函数FX-1(y)存在，又Y在[0,1]上服从均匀分布，故Y的分布函数为FY(y)=P{Y≤y}={0,y<0y,0≤y≤11,y>0,于是，Z的分布函数为FZ(z)=P{Z≤z}=P{FX-1(Y)≤z}=P{Y≤FX(z)}={0,FX(z)<0FX(z),0≤FX(z)≤1,1,FX(z)>1由于FX(z)为X的分布函数，故0≤FX(z)≤1.FX(z)<0和FX(z)>1均匀不可能，故上式仅有FZ(z)=FX(z), 因此，Z与X的分布函数相同.总习题解答习题1从1∼20的整数中取一个数，若取到整数k的概率与k成正比，求取到偶数的概率.解答：设Ak为取到整数k, P(Ak)=ck, k=1,2,⋯,20.因为P(⋃K=120Ak)=∑k=120P(Ak)=c∑k=120k=1，所以c=1210,P{取到偶数}=P{A2∪A4∪⋯∪A20} =1210(2+4+⋯+20)=1121.习题2若每次射击中靶的概率为0.7, 求射击10炮,(1)命中3炮的概率;(2)至少命中3炮的概率;(3)最可能命中几炮.解答：若随机变量X表示射击10炮中中靶的次数. 由于各炮是否中靶相互独立，所以是一个10重伯努利概型，X服从二项分布，其参数为n=10,p=0.7, 故(1)P{X=3}=C103(0.7)3(0.3)7≈0.009;(2)P{X≥3}=1-P{X<3}=1-[C100(0.7)0(0.3)10+C101(0.7)1(0.3)9+C102(0.7)2(0.3)8]≈0.998;(3)因X∼b(10,0.7), 而k0=[(n+1)p]=[(10+1)]×0.7=[7.7]=7,故最可能命中7炮.习题3在保险公司里有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险，在1年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交120元保险费，而在死亡时家属可从保险公司里领20000元赔偿金，求:(1)保险公司亏本的概率;(2)保险公司获利分别不少于100000元, 200000元的概率.解答：1)以“年”为单位来考虑，在1年的1月1日，保险公司总收入为2500×120元=30000元.设1年中死亡人数为X, 则X∼b(2500,0.002), 则保险公司在这一年中应付出200000X(元)，要使保险公司亏本，则必须 200000X>300000即X>15(人).因此，P{保险公司亏本}=P{X>15}=∑k=162500C2500k(0.002)k×(0.998)2500-k≈1-∑k=015e-55kk!≈0.000069,由此可见,在1年里保险公司亏本的概率是很小的.(2)P{保险公司获利不少于100000元}=P{300000-200000X≥100000}=P{X≤10}=∑k=010C2500k(0.002)×(0.998)2500-k≈∑k=010e-55kk!≈0.986305,即保险公司获利不少于100000元的概率在98%以上.P{保险公司获利不少于200000元}=P{300000-200000X≥200000}=P{X≤5}=∑k=05C2500k(0.002)k×(0.998)2500-k≈∑k=05e-55kk!≈0.615961,即保险公司获利不少于200000元的概率接近于62%.习题4一台总机共有300台分机，总机拥有13条外线，假设每台分机向总机要外线的概率为3%, 试求每台分机向总机要外线时，能及时得到满足的概率和同时向总机要外线的分机的最可能台数.解答：设分机向总机要到外线的台数为X, 300台分机可看成300次伯努利试验，一次试验是否要到外线. 设要到外线的事件为A, 则P(A)=0.03, 显然X∼b(300,0.03), 即P{X=k}=C300k(0.03)k(0.97)300-k(k=0,1,2,⋯,300),因n=300很大，p=0.03又很小,λ=np=300×0.03=9,可用泊松近似公式计算上面的概率. 因总共只有13条外线，要到外线的台数不超过13，故P{X≤13}≈∑k=0139kk!e-9≈0.9265, (查泊松分布表)且同时向总机要外线的分机的最可能台数k0=[(n+1)p]=[301×0.03]=9.习题5在长度为t的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数X服从参数t2的泊松分布，而与时间间隔的起点无关(时间以小时计), 求：(1)某一天从中午12至下午3时没有收到紧急呼救的概率；(2)某一天从中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率.解答：(1)t=3,λ=3/2, P{X=0}=e-3/2≈0.223;(2)t=5,λ=5/2, P{X≥1}=1-P{X=0}=1-e-5/2≈0.918.习题6设X为一离散型随机变量，其分布律为X -101pi 1/21-2qq2试求：(1)q的值； (2)X的分布函数.解答：(1)\because离散型随机变量的概率函数P{X=xi}=pi, 满足∑ipi=1, 且0≤pi≤1,∴ {1/2+1-2q+q2=10≤1-2q≤1q2≤1,解得q=1-1/2. 从而X的分布律为下表所示：因F(x)在x=π6处连续，故P{X=π6=12,于是有P{∣X∣<π6=P{-π6<X<π6=P{-π6<X≤π6=F(π6)-F(-π6)=12..习题8使用了x小时的电子管，在以后的Δx小时内损坏的概率等于λΔx+o(Δx),其中λ>0是常数，求电子管在损坏前已使用时数X的分布函数F(x)，并求电子管在T小时内损坏的概率.解答：因X的可能取值充满区间(0,+∞),故应分段求F(x)=P{X≤x}.当x≤0时，F(x)=P{X≤x}=P(∅)=0;当x>0时，由题设知P{x<X≤x+Δx/X}=λΔx+o(Δx),而P{x<X≤x+Δx/X}=P{x<X≤x+Δx,X>x}P{X>x}=P{x<X≤x+Δx}1-P{X≤x}=F(x+Δx)-F(x)1-F(x),故F(X+Δx)-F(x)1-F(x)=λΔx+o(Δx),即F(x+Δx)-F(x)Δx=[1-F(x)][λ+o(Δx)Δx],令o(Δx)→0,得F′(x)=λ[1-F(x)].这是关于F(x)的变量可分离微分方程，分离变量dF(x)1-F(x)=λdx,积分之得通解为C[1-F(x)]=e-λx(C为任意常数).注意到初始条件F(0)=0, 故C=1.于是F(x)=1-e-λx,x>0,λ>0,故X的分布函数为F(x)={0,x≤01-e-λx,x>0(λ>0),从而电子管在T小时内损坏的概率为P{X≤T}=F(T)=1-e-λT.习题9设连续型随机变量X的分布密度为f(x)={x,0<x≤12-x,1<x≤20,其它,求其分布函数F(x).解答：当x≤0时，F(x)=∫-∞x0dt=0;当0<x≤1时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00tdt+∫0xtdt=12x2;当1<x≤2时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+∫01tdt+∫1x(2-t)dt=0+12+(2t-12t2)∣1x=-1+2x-x22;当x>2时，F(x)=∫-∞00dt+∫01tdt+∫12(2-t)dt+∫2x0dt=1,故F(x)={0,x≤212x2,0<x≤1-1+2x-x22,1<x≤21,x>2.习题10某城市饮用水的日消费量X(单位：百万升)是随机变量，其密度函数为：f(x)={19xe-x3,x>00,其它,试求：(1)该城市的水日消费量不低于600万升的概率；(2)水日消费量介于600万升到900万升的概率.解答：先求X的分布函数F(x). 显然，当x<0时，F(x)=0, 当x≥0时有F(x)=∫0x19te-t3dt=1-(1+x3)e-x3故F(x)={1-(1+x3)e-x3,x≥00,x<0, 所以P{X≥6}=1-P{X<6}=1-P(X≤6}=1-F(6)=1-[1-(1+x3)e-x3]x=6=3e-2,P{6<X≤9}=F(9)-F(6)=(1-4e-3)-(1-3e-2)=3e-2-4e-3.习题11已知X∼f(x)={cλe-λx,x>a0,其它(λ>0),求常数c及P{a-1<X≤a+1}.解答：由概率密度函数的性质知∫-∞+∞f(x)dx=1,而∫-∞+∞f(x)dx=∫-∞a0dx+∫a+∞cλe-λxdx=c∫a+∞e-λxd(λx)=-ce-λx\vlinea+∞=ce-λa,所以ce-λa=1,从而c=eλa.于是P{a-1<X≤a+1}=∫a-1a+1f(x)dx=∫a-1a0dx+∫aa+1λeλae-λxdx=-eλae-λx\vlineaa+1=-eλa(e-λ(a+1)-e-λa)=1-e-λ.注意，a-1<a, 而当x<a时，f(x)=0.习题12已知X∼f(x)={12x2-12x+3,0<x<10,其它, 计算P{X≤0.2∣0.1<X≤0.5}.解答：根据条件概率;有P{X≤0.2∣0.1<X≤0.5}=P{X≤0.2,0.1<X≤0.5}P{0.1<X≤0.5}=P{0.1<X≤0.2}P{0.1<X≤0.5}=∫0.10.2(12x2-12x+2)dx∫0.10.5(12x2-12x+3) dx=(4x3-6x2+3x)∣0.10.2(4x3-6x2+3x)∣0.10.5=0.1480.256=0.578125.习题13若F1(x),F2(x)为分布函数，(1)判断F1(x)+F2(x)是不是分布函数，为什么？(2)若a1,a2是正常数，且a1+a2=1. 证明：a1F1(x)+a2F2(x)是分布函数.解答：(1)F(+∞)=limx→+∞F(x)=limx→+∞F1(x)+limx→+∞F2(x)=1+1=2≠1故F(x)不是分布函数.(2)由F1(x),F2(x)单调非减，右连续，且 F1(-∞)=F2(-∞)=0,F1(+∞)=F2(+∞)=1,可知a1F1(x)+a2F2(x)单调非减，右连续，且 a1F1(-∞)+a2F2(-∞)=0,a1F1(+∞)+a2F2(+∞)=1.从而a1F1(x)+a2F2(x)是分布函数.习题14设随机变量X的概率密度ϕ(x)为偶函数，试证对任意的a>0, 分布函数F(x)满足：(1)F(-a)=1-F(a); (2)P{∣X∣>a}=2[1-F(a)].解答：(1)F(-a)=∫-∞-aϕ(x)dx=∫a+∞ϕ(-t)dt=∫a+∞ϕ(x)dx=1-∫-∞aϕ(x)dx=1-F(a).(2)P{∣X∣>a}=P{X<-a}+P{X>a}=F(-a)+P{X≥a}F(-a)+1-F(a)=2[1-F(a)].习题15设K在(0,5)上服从均匀分布，求x的方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的概率.解答：因为K∼U(0,5), 所以 fK(k)={1/5,0<k<50,其它,方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的充要条件为(4K)2-4⋅4(K+2)≥0, 即 K2-K-2≥0,亦即(k-2)(K+1)≥0, 解得K≥2(K≤-1舍去), 所以P{方程有实根}=P{K≥2}=∫2515dx=35.习题16某单位招聘155人，按考试成绩录用，共有526人报名，假设报名者考试成绩X∼N(μ,σ2), 已知90分以上12人，60分以下83人，若从高分到低分依次录取，某人成绩为78分，问此人是否能被录取？解答：要解决此问题首先确定μ,σ2, 因为考试人数很多，可用频率近似概率.根据已知条件P{X>90}=12/526≈0.0228,P{X≤90}=1-P{X>90}≈1-0.0228}=0.9772;又因为P{X≤90}=P{X-μσ≤90-μσ, 所以有Φ(90-μσ)=0.9772, 反查标准正态表得90-μσ=2 ①同理：P{X≤60}=83/526≈0.1578; 又因为P{X≤60}=P{X-μσ≤60-μσ,故Φ(60-μσ)≈0.1578.因为0.1578<0.5,所以60-μσ<0, 故Φ(μ-60σ)≈1-0.1578=0.8422, 反查标准正态表得μ-60σ≈1.0 ②联立①，②解得σ=10,μ=70, 所以，X∼N(70,100).某人是否能被录取，关键看录取率. 已知录取率为155526≈0.2947, 看某人是否能被录取，解法有两种：方法1：P{X>78}=1-P{X≤78}=1-P{x-7010≤78-7010=1-Φ(0.8)≈1-0.7881=0.2119,因为0.2119<0.2947(录取率), 所以此人能被录取.方法2：看录取分数线. 设录取者最低分为x0, 则P{X≥x0}=0.2947(录取率),P{X≤x0}=1-P{X≥x0}=1-0.2947=0.7053,P{X≤x0}=P{x-7010≤x0-7010=Φ{x0-7010=0.7053,反查标准正态表得x0-7010≈0.54, 解得x0≈75. 此人成绩78分高于最低分，所以可以录取.习题17假设某地在任何长为t(年)的时间间隔内发生地震的次数N(t)服从参数为λ=0.1t的泊松分布，X表示连续两次地震之间间隔的时间(单位：年).(1)证明X服从指数分布并求出X的分布函数；(2)求今后3年内再次发生地震的概率；(3)求今后3年到5年内再次发生地震的概率.解答：(1)当t≥0时，P{X>t}=P{N(t)=0}=e-0.1t,∴F(t)=P{X≤t}=1-P{X>t}=1-e-0.1t;当t<0时，F(t)=0,∴ F(x)={1-e-0.1t,x≥00,x<0,X服从指数分布(λ=0.1);(2)F(3)=1-e-0.1×3≈0.26;(3)F(5)-F(3)≈0.13.习题18100件产品中，90个一等品，10个二等品，随机取2个安装在一台设备上，若一台设备中有i个(i=0,1,2)二等品，则此设备的使用寿命服从参数为λ=i+1的指数分布.(1)试求设备寿命超过1的概率；(2)已知设备寿命超过1，求安装在设备上的两个零件都是一等品的概率 .解答：(1)设X表示设备寿命. A表示“设备寿命超过1”，Bi表示“取出i个二等品”(i=0,1,2)，则X的密度函数为fX(x)={λe-λx,x>00,x≤0 (λ=i+1,i=0,1,2),P(B0)=C902C1002, P(B1)=C901C102C1002, P(B2)=C102C1002,P(A∣B0)=∫1+∞e-xdx=e-1, P(A∣B1)=∫1+∞2e-2xdx=e-2,P(A∣B2)=∫1+∞3e-3xdx=e-3,由全概率公式：P(A)=∑i=02P(Bi)P(A∣Bi)≈0.32.(2)由贝叶斯公式：P(B0∣A)=P(B0)P(A∣B0)P(A)≈0.93.fX(x)={e-x,x>00,其它,求Y=eX的概率密度.解答：因为α=min{y(0),y(+∞)}=min{1,+∞}=1,β=max{y(0),y(+∞)}=max{1,+∞}=+∞.类似上题可得fY(y)={fX[h(y)]∣h′(y)∣,1<y<+∞0,其它={1/y2,1<y<+∞0,其它.习题22设随便机变量X的密度函数为 fX(x)={1-∣x∣,-1<x<10,其它,求随机变量Y=X2+1的分布函数与密度函数.解答：X的取值范围为(-1,1), 则Y的取值范围为[1,2). 当1≤y<2时， FY(y)=P{Y≤y}=P{X2+1≤y}=P{-Y-1≤x≤y-1}=∫-y-1y-1(1-∣x∣)dx=2∫0y-1(1-x)dx=1-(1-y-1)2,从而Y的分布函数为 FY(y)={0,y<11-(1-y-1)2,1≤y<2,1,其它Y的概率密度为fY(y)={1y-1-1,1<y<20,其它.第三章多维随机变量及其分布3.1 二维随机变量及其分布习题1设(X,Y)的分布律为X\Y 1231 1/61/91/182 1/3a1/9求a.解答：由分布律性质∑i⋅jPij=1, 可知 1/6+1/9+1/18+1/3+a+1/9=1,解得 a=2/9.习题2(1)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：(1)P{a<X≤b,Y≤c};解答：P{a<X≤b,Y≤c}=F(b,c)-F(a,c).习题2(2)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示： (2)P{0<Y≤b};解答：P{0<Y≤b}=F(+∞,b)-F(+∞,0).习题2(3)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示： (3)P{X>a,Y≤b}.解答：P{X>a,Y≤b}=F(+∞,b)-F(a,b).习题3(1)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求： (1)P{12<X<32,0<Y<4;解答：P{12<X<23,0<Y<4P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}=14+0+0=14.习题3(2)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求： (2)P{1≤X≤2,3≤Y≤4};解答：P{1≤X≤2,3≤Y≤4}=P{X=1,Y=3}+P{X=1,Y=4}+P{X=2,Y=3}+P{X=2,Y=4}=0+116+0+14=516.习题3(3)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求： (3)F(2,3).解答：F(2,3)=P(1,1)+P(1,2)+P(1,3)+P(2,1)+P(2,2)+P(2,3)=14+0+0+116+14+0=916.习题4设X,Y为随机变量，且 P{X≥0,Y≥0}=37, P{X≥0}=P{Y≥0}=47,求P{max{X,Y}≥0}.解答：P{max{X,Y}≥0}=P{X,Y至少一个大于等于0} =P{X≥0}+P{Y≥0}-P{X≥0,Y≥0}=47+47-37=57.习题5(X,Y)只取下列数值中的值： (0,0),(-1,1),(-1,13),(2,0)且相应概率依次为16,13,112,512, 请列出(X,Y)的概率分布表，并写出关于Y的边缘分布.解答：(1)因为所给的一组概率实数显然均大于零，且有16+13+112+512=1, 故所给的一组实数必是某二维随机变量(X,Y)的联合概率分布. 因(X,Y)只取上述四组可能值，故事件：{X=-1,Y=0}, {X=0,Y=13, {X=0,Y=1},{X=2,Y=13,{X=2,Y=1}均为不可能事件，其概率必为零. 因而得到下表：(2)P{Y=0}=P{X=-1,Y=0}+P{X=0,Y=0}+P{X=2,Y=0} =0+16+512=712,同样可求得 P{Y=13=112,P{Y=1}=13,关于的Y边缘分布见下表：Y 01/31pk 7/121/121/3习题6设随机向量(X,Y)服从二维正态分布N(0,0,102,102,0), 其概率密度为f(x,y)=1200πex2+y2200,求P{X≤Y}.解答：由于P{X≤Y}+P{X>Y}=1，且由正态分布图形的对称性，知P{X≤Y}=P{X>Y}, 故 P{X≤Y}=12.习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={k(6-x-y),0<x<2,2<y<40,其它,(1)确定常数k; (2)求P{X<1,Y<3}; (3)求P{X<1.5}; (4)求P{X+Y≤4}.解答：如图所示(1)由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1,确定常数k.∫02∫24k(6-x-y)dydx=k∫02(6-2x)dx=8k=1,所以k=18.(2)P{X<1,Y<3}=∫01dx∫2318(6-x-y)dy=38.(3)P{X<1.5}=∫01.5dx∫2418(6-x-y)dy=2732.(4)P{X+Y≤4}=∫02dx∫24-x18(6-x-y)dy=23.习题8已知X和Y的联合密度为 f(x,y)={cxy,0≤x≤1,0≤y≤10,其它,试求：(1)常数c; (2)X和Y的联合分布函数F(x,y).解答：(1)由于1=∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=c∫01∫01xydxdy=c4,c=4.(2)当x≤0或y≤0时，显然F(x,y)=0;当x≥1,y≥1时，显然F(x,y)=1;设0≤x≤1,0≤y≤1, 有F(x,y)=∫-∞x∫-∞yf(u,v)dudv=4∫0xudu∫0yvdv=x2y2.设0≤x≤1,y>1, 有 F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫0xudu∫01ydy=x2.最后，设x>1,0≤y≤1, 有 F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫01xdx∫0yvdv=y2.函数F(x,y)在平面各区域的表达式 F(x,y)={0,x≤0或y≤0x2,0≤x≤1,y>1x2y2,0≤x≤1,0≤y≤1.y2,x>习题9设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)={4.8y(2-x),0≤x≤1,x≤y≤10,其它,求边缘概率密度fY(y).解答：fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={∫0x4.8y(2-x)dy,0≤x≤10,其它={2.4x2(2-x),0≤x≤10,其它.fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx={∫0y4.8y(2-x)dx,0≤y≤10,其它={2.4y(4y-y2),0≤y≤10,其它.习题10设(X,Y)在曲线y=x2,y=x所围成的区域G里服从均匀分布，求联合分布密度和边缘分布密度.解答：区域G的面积A=∫01(x-x2)dx=16, 由题设知(X,Y)的联合分布密度为f(x,y)={6,0≤x≤1,x2≤y≤x0,其它,从而fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy=6∫x2xdy=6(x-x2),0≤x≤1, 即 fX(x)={6(x-x2),0≤x≤10,其它fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx=6∫yydx=6(y-y),0≤y≤1,即fY(y)={6(y-y),0≤y≤10,其它.3.2 条件分布与随机变量的独立性习题1二维随机变量(X,Y)的分布律为解答：由题意知X的密度函数为fX(x)={15,0≤x≤50,其它, 因为X与Y相互独立，所以X与Y的联合密度为：fXY(x,y)={2(5-y)125,0≤y≤5,0≤x≤50,其它,故此人能及时上火车的概率为P{Y>X}=∫05∫x52(5-y)125dydx=13.习题7设随机变量X与Y都服从N(0,1)分布，且X与Y相互独立，求(X,Y)的联合概率密度函数.解答：由题意知，随机变量X,Y的概率密度函数分别是fX(x)=12πe-x22，fY(y)=12πe-y22因为X与Y相互独立，所以(X,Y)的联合概率密度函数是f(x,y)=12πe-12(x+y)2.习题8设随机变量X的概率密度f(x)=12e-∣x∣(-∞<x<+∞),问：X与∣X∣是否相互独立？解答：若X与∣X∣相互独立，则∀a>0, 各有 P{X≤a,∣X∣≤a}=P{X≤a}⋅P{∣X∣≤a},而事件{∣X∣≤a}⊂{X≤a}, 故由上式有 P{∣X∣≤a}==P{X≤a}⋅P{∣X∣≤a},⇒P{∣X∣≤a}(1-P{X≤a})=0⇒P{∣X≤a∣}=0或1=P{X≤a}⋅(∀a>0)但当a>0时，两者均不成立，出现矛盾，故X与∣X∣不独立.习题9设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在(0,1)上服从均匀分布，Y的概率密度为fY(y)={12e-y2,y>00,y≤0,(1)求X与Y的联合概率密度；(2)设有a的二次方程a2+2Xa+Y=0, 求它有实根的概率.解答：(1)由题设易知fX(x)={1,0<x<10,其它,又X,Y相互独立，故X与Y的联合概率密度为f(x,y)=fX(x)⋅fY(y)={12e-y2,0<x<1,y>00,其它;(2)因{a有实根}={判别式Δ2=4X2-4Y≥0}={X2≥Y},故如图所示得到： P{a有实根}=P{X2≥Y}=∫∫x2>yf(x,y)dxdy=∫01dx∫0x212e-y2dy=-∫01e-x22dx=1-[∫-∞1e-x22dx-∫-∞0e-x22dx] =1-2π[12π∫-∞1e-x22dx-12π∫-∞0e-x 22dx]=1-2π[Φ(1)-Φ(0),又Φ(1)=0.8413,Φ(0)=0.5,于是Φ(1)-Φ(0)=0.3413,所以 P{a有实根}=1-2π[Φ(1)-Φ(0)]≈1-2.51×0.3413=0.1433.3.3 二维随机变量函数的分布习题1设随机变量X和Y相互独立，且都等可能地取1,2,3为值，求随机变量U=max{X,Y}和V=min{X,Y}的联合分布.解答：由于U≥V, 可见P{U=i,V=j}=0(i<j).此外，有 P{U=V=i}=P{X=Y=i}=1/9(i=1,2,3),P{U=i,V=j}=P{X=i,Y=j}+P{X=j,Y=i}=2/9(i>j),于是，随机变量U和V的联合概率分布为\under2line令x+y=t{∫x+∞12te-tdt=12(x+1)e-x,x>00,x≤0,由对称性知fY(y)={12(y+1)e-y,y>00,y≤0, 显然f(x,y)≠fX(x)fY(y),x>0,y>0,所以X与Y不独立.(2)用卷积公式求fZ(z)=∫-∞+∞f(x,z-x)dx.当{x>0z-x>0 即 {x>0x<z时，f(x,z-x)≠0,所以当z≤0时，fZ(z)=0;当z>0时，fZ(z)=∫0z12xe-xdx=12z2e-z.于是，Z=X+Y的概率密度为 fZ(z)={12z2e-z,z>00,z≤0.习题6设随机变量X,Y相互独立，若X服从(0,1)上的均匀分布，Y服从参数1的指数分布，求随机变量Z=X+Y 的概率密度.解答：据题意，X,Y的概率密度分布为 fX(x)={1,0<x<10,其它, fY(y)={e-y,y≥00,y<0,由卷积公式得Z=X+Y的概率密度为fZ(z)=∫-∞+∞fX(x)fY(z-x)dx=∫-∞+∞fX(z-y)fY(y)dy =∫0+∞fX(z-y)e-ydy.由0<z-y<1得z-1<y<z,可见：当z≤0时，有fX(z-y)=0, 故fZ(z)=∫0+∞0⋅e-ydy=0;当z>0时，fZ(z)=∫0+∞fX(z-y)e-ydy=∫max(0,z-1)ze-ydy=e-max(0,z-1)-e-z,即 fZ(z)={0,z≤01-e-z,0<z≤1e1-z-e-z,z>1.习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={be-(x+y),0<x<1,0<y<+∞,0,其它.（1）试确定常数b；（2）求边缘概率密度fX(x),fY(y)；（3）求函数U=max{X,Y}的分布函数.解答：（1）由∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=1，确定常数b. ∫01dx∫0+∞be-xe-ydy=b(1-e-1)=1，所以b=11-e-1，从而 f(x,y)={11-e-1e-(x+y),0<x<1,0<y<+∞,0,其它.（2）由边缘概率密度的定义得fX(x)={∫0+∞11-e-1e-(x+y)dy=e-x1-e-x,0<x<1,0,其它，fY(x)={∫0111-e-1e-(x+y)dx=e-y,0<y<+∞,0,其它（3）因为f(x,y)=fX(x)fY(y)，所以X与Y独立，故 FU(u)=P{max{X,Y}≤u}=P{X≤u,Y≤u}=FX(u)FY(u)，其中FX(x)=∫0xe-t1-e-1dt=1-e-x1-e-1,0<x<1，所以 FX(x)={0,x≤0,1-e-x1-e-1,0<x<1,1,x≥1.同理FY(y)={∫0ye-tdt=1-e-y,0<y<+∞,0,y≤0，因此 FU(u)={0,u<0,(1-e-u)21-e-1,0≤u<1,1-e-u,u≥1.习题8设系统L是由两个相互独立的子系统L1和L2以串联方式联接而成，L1和L2的寿命分别为X与Y, 其概率密度分别为ϕ1(x)={αe-αx,x>00,x≤0, ϕ2(y)={βe-βy,y>00,y≤0,其中α>0,β>0,α≠β,试求系统L的寿命Z的概率密度.解答：设Z=min{X,Y}, 则 F(z)=P{Z≥z}=P{min(X,Y)≤z}=1-P{min(X,Y)>z}=1-P{X≥z,Y≥z} =1-[1P{X<z}][1-P{Y<z}]=1-[1-F1{z}][1-F2{z}]由于F1(z)={∫0zαe-αxdx=1-e-αz,z≥00,z<0, F2(z)={1-e-βz,z≥00,z<0,故 F(z)={1-e-(α+β)z,z≥00,z<0,从而ϕ(z)={(α+β)e-(α+β)z,z>00,z≤0.习题9设随机变量X,Y相互独立，且服从同一分布，试明： P{a<min{X,Y}≤b}=[P{X>a}]2-[P{X>b}]2.解答：设min{X,Y}=Z,则 P{a<min{X,Y}≤b}=FZ(b)-FZ(a),。
概率论课后习题答案
习题1解答1. 写出下列随机试验的样本空间Ω：（1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）； （2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数；（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记为“正品”，不合格的记为“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果； （4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标.解：（1）以n 表示该班的学生人数，总成绩的可能取值为0，1，2，…，100n ，所以该试验的样本空间为{|0,1,2,,100}ii n nΩ==.（2）设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品，样本空间为{10|0,1,2,}k k Ω=+=，或写成{10,11,12,}.Ω=（3）采用0表示检查到一个次品，以1表示检查到一个正品，例如0110表示第一次与第四次检查到次品，而第二次与第三次检查到的是正品，样本空间可表示为{00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=.（3）取直角坐标系，则有22{(,)|1}x y x y Ω=+<，若取极坐标系，则有{(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<.2．设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件. (1)A 发生而B 与C 不发生； (2)A 、B 、C 中恰好发生一个； (3)A 、B 、C 中至少有一个发生； (4)A 、B 、C 中恰好有两个发生； (5)A 、B 、C 中至少有两个发生； (6)A 、B 、C 中有不多于一个事件发生.解：(1)ABC 或A B C --或()A B C -；(2)ABC ABC ABC ；(3)AB C 或ABCABCABCABCABCABCABC ；(4)ABC ABCABC .(5)AB AC BC 或ABC ABC ABCABC ；(6)ABCABCABCABC .3．设样本空间{|02}x x Ω=≤≤，事件{|0.51}A x x =≤≤，{|0.8 1.6}B x x =<≤，具体写出下列事件：(1)AB ；（2）A B -；（3）A B -；（4）A B .解：（1）{|0.81}AB x x =<≤； （2）{|0.50.8}A B x x -=≤≤；（3）{|00.50.82}A B x x x -=≤<<≤或； （4）{|00.5 1.62}AB x x x =≤<<≤或.4. 一个样本空间有三个样本点， 其对应的概率分别为22,,41p p p -， 求p 的值. 解：由于样本空间所有的样本点构成一个必然事件，所以2241 1.p p p ++-=解之得1233p p =-=-，又因为一个事件的概率总是大于0，所以3p =- 5. 已知()P A =0.3，()P B =0.5，()P A B =0.8，求(1)()P AB ；(2)()P A B -；(3)()P AB .解：(1)由()()()()P AB P A P B P AB =+-得()()()()030.50.80P AB P A P B P A B =+-=+-=.(2) ()()()0.300.3P A B P A P AB -=-=-=. (3) ()1()1()10.80.2.P AB P AB P AB =-=-=-=6. 设()P AB =()P AB ，且()P A p =，求()P B . 解：由()P AB =()1()1()1()()()P AB P AB P AB P A P B P AB =-=-=--+得()()1P A P B +=，从而()1.P B p =-7. 设3个事件A 、B 、C ，()0.4P A =，()0.5P B =，()0.6P C =，()0.2P AC =，()P BC =0.4且AB =Φ，求()P A B C .解：()()()()()()()()0.40.50.600.20.400.9.P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+=++---+=8. 将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 解：依题意可知，基本事件总数为34个.以,1,2,3i A i =表示事件“杯子中球的最大个数为i ”，则1A 表示每个杯子最多放一个球，共有34A 种方法，故34136().416A P A ==2A 表示3个球中任取2个放入4个杯子中的任一个中，其余一个放入其余3个杯子中，放法总数为211343C C C 种，故211343239().416C C C P A == 3A 表示3个球放入同一个杯子中，共有14C 种放法，故14331().416C P A ==9. 在整数0至9中任取4个，能排成一个四位偶数的概率是多少?解：从0至9 中任取4个数进行排列共有10×9×8×7种排法.其中有(4×9×8×7－4×8×7＋9×8×7)种能成4位偶数. 故所求概率为4987487987411098790P ⨯⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯==⨯⨯⨯. 10. 一部五卷的文集，按任意次序放到书架上去，试求下列事件的概率：(1)第一卷出现在旁边；(2)第一卷及第五卷出现在旁边；(3)第一卷或第五卷出现在旁边；(4)第一卷及第五卷都不出现在旁边；(5)第三卷正好在正中.解：(1)第一卷出现在旁边，可能出现在左边或右边，剩下四卷可在剩下四个位置上任意排，所以5/2!5/!42=⨯=p .(2)可能有第一卷出现在左边而第五卷出现右边，或者第一卷出现在右边而第五卷出现在左边，剩下三卷可在中间三人上位置上任意排，所以 10/1!5/!32=⨯=p .(3)p P ={第一卷出现在旁边}+P{第五卷出现旁边}-P{第一卷及第五卷出现在旁边}2217551010=+-=. (4)这里事件是(3)中事件的对立事件，所以 10/310/71=-=P .(5)第三卷居中，其余四卷在剩下四个位置上可任意排，所以5/1!5/!41=⨯=P . 11. 把2，3，4，5诸数各写在一X 小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率.解：末位数可能是2或4.当末位数是2(或4)时，前两位数字从剩下三个数字中选排，所以 23342/1/2P A A =⨯=.12. 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客.电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率.解：每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为79.事件A “没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”.所以包含79A 个样本点，于是7799)(A A P =.13. 某人午觉醒来,发觉表停了, 他打开收音机,想听电台报时, 设电台每正点是报时一次,求他(她)等待时间短于10分钟的概率.解:以分钟为单位, 记上一次报时时刻为下一次报时时刻为60, 于是这个人打开收音机的时间必在),60,0(记 “等待时间短于10分钟”为事件,A 则有(0,60),Ω=)60,50(=A ,⊂Ω于是)(A P 6010=.61= 14. 甲乙两人相约812-点在预定地点会面。
《概率论与数理统计教程》课后习题解答
第一章 事件与概率1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。
(1) 叙述C AB 的意义。
(2)在什么条件下C ABC =成立？ (3)什么时候关系式B C ⊂是正确的？(4) 什么时候B A =成立？解 (1)事件C AB 表示该是三年级男生，但不是运动员。
(2)C ABC = 等价于AB C ⊂，表示全系运动员都有是三年级的男生。
(3)当全系运动员都是三年级学生时。
(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。
1.3 一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是合格品（n i ≤≤1）。
用i A 表示下列事件：(1)没有一个零件是不合格品； (2)至少有一个零件是不合格品； (3)仅仅只有一个零件是不合格品； (4)至少有两个零件是不合格品。
解 (1)n i iA 1=; (2) n i i n i i A A 11===; (3) n i nij j ji A A 11)]([=≠=;(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为nji j i jiAA ≠=1,；1.5 在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。
解 样本点总数为7828⨯=A 。
所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、13中的两个，或为2、4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个组合，所以事件A “所得分数为既约分数”包含6322151323⨯⨯=⨯+A A A 个样本点。
于是14978632)(=⨯⨯⨯=A P 。
1.8 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以相互吃掉的概率。
解 任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于891109=-⨯个不同位置，当它处于和红“车”同行或同列的1789=+个位置之一时正好相互“吃掉”。
概率论与数理统计统计课后习题答案(有过程)
概率论与数理统计统计课后习题答案(有过程)第一章习题解答1．解：（1）Ω=｛0，1，…，10｝；（2）Ω=｛，1，…，100n｝，其中n为小班人数；n（3）Ω=｛√,×√, ××√, ×××√,…｝,其中√表示击中，×表示未击中；（4）Ω=｛（x,y）｝。
2．解：（1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员；（2）当全学院运动员都是三年级学生时，关系式是正确的；（3）全学院运动员都是三年级的男生，ABC=C成立；（4）当全学院女生都在三年级并且三年级学生都是女生时，=B成立。
3．解：（1）ABC；（2）AB；（3）；（4）；（5）；（6）4．解：因，则P（ABC）≤P（AB）可知P（ABC）=0 所以A、B、C至少有一个发生的概率为P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）=3×1/4-1/8+0 =5/85．解：（1）P（A∪B）= P（A）+P（B）-P（AB）=0.3+0.8-0.2=0.9 P(A)=P（A）-P（AB）=0.3-0.2=0.1（2）因为P（A∪B）= P（A）+P（B）-P（AB）≤P（A）+P（B）=α+β, 所以最大值maxP （A∪B）=min(α+β,1)；又P（A）≤P（A∪B），P（B）≤P（A∪B）,故最小值min P（A∪B）=max(α,β)6．解：设A表示事件“最小号码为5”，B表示事件“最大号码为5”。
223由题设可知样本点总数，。
2C52C411所以；7．解：设A表示事件“甲、乙两人相邻”，若n个人随机排成一列，则样本点总数为n!，， 1若n个人随机排成一圈.可将甲任意固定在某个位置，再考虑乙的位置。
表示按逆时针方向乙在甲的第i个位置，。
则样本空间，事件所以8．解：设A表示事件“偶遇一辆小汽车，其牌照号码中有数8”，则其对立事件A表示“偶遇一辆小汽车，其牌照号码中没有数8”，即号码中每一位都可从除8以外的其他9个数中取，因此A包含的基本事件数为，样本点总数为104。
(呕心整理)概率论与数理统计经管类第四版课后题标准答案吴赣昌著
概率论：第一章习题笔记习题1-2题型分类：计算事件逻辑运算的概率2、思路：①首先将问题中的P[（A∪B）−C）]进行转换成逻辑语言P[(A∪B)∩C]；②将互不相容进行逻辑语言化，3、思路：将题目进行逻辑语言化后（如2题），进行韦恩图，帮助确定事件发生概率。
4、思路：明确逻辑语言后，进行韦恩图绘制，快速确定事件概率总结：可以从韦恩图出发，然后再将韦恩图转换成数学符号表达；掌握基本的运算法则，例如习题中的第2题目习题1-31、；如题目问取到的两个球中有黑球则包含两种情况，一是两个都是黑球，一思路：C82=7∗82∗1是一黑一白4、思路：①答案中的P=A；②颜色全相同+颜色不全相同=110、解法2：思路：①一共包含三种情形②A33是排列（在总数为3的样本总量中拿三个数来进行排列）；1*4*4是排列对象的样本个数；③基本的想法是选框（可供选择的框框）放数（能够放进去的数字）eg:一般来说第一个数字有三个框可以选择C31，假设次数框内需要填入的是偶数，则C31∗3④此题考虑了顺序，选框放数习题1-43、问题归类：条件概率事件；没有说明顺序，事件A：两件中有一件是不合格产品包含了两种情况（需要注意古典概型）思路：判断是交事件还是条件概率事件：交事件说法：求第一件和第二件都是不合格品的概率；条件概率事件说法：在已知第一件为不合格品下，求第二件也是不合格品的概率4、见作业本①思路：明确逻辑关系之间的等量关系式：P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)6、见作业本①思路：①乘法法则，通过树状图明确概率分布，进行条件概率的符号化②需要说明事件之间的独立性习题1-54、5、思路：①对立事件，转换成计算成功率（可利用乘法法则，进行条件概率的符号化）；需要说明事件之间的独立性6、思路：无人照管而停工的，同时又有一名工人进行照管；所以出现停工的事件应该是两台以上的机器同时需要照管8、伯努利实验思路：对逻辑语句的理解：不少于三次≥3总习题一1、思路：交事件：只有；并事件：至少10、16、思路：乘法法则进行条件概率的符号化17、思路：①条件概率：将文字符号化；②乘法法则都可以实现条件概率的符号化，或者说乘法法则就是条件概率；③贝叶斯公式实现已知条件的运用，树状图就是贝叶斯23、思路：①设事件：目标事件-这批微机被接受；条件事件-随机抽取的微机中有i台是次品②目标事件为某一事件的概率，可以考虑全概率事件③文字符号化24、思路：（1）①全概率事件，寻求条件概率，将文字符号化（2）①问题是条件概率：很有可能需要用到贝叶斯公式进行转换③贝叶斯公式与全概率公式的联系，全概率公式作为贝叶斯公式的分母总结：（1）并事件、交事件的逻辑关系（2）古典概型中注意事件的完备性，充分考虑可能存在的情况（3）注意C、A之间组合排列的对应关系（3）乘法法则---条件概率（全概率事件）（4）注意判断问题是条件概率（一般用贝叶斯公式），还是某一事件的概率（一般用全概率事件）（5）如果根据题目设置随机变量：eg：总习题23本题目研究的问题是被接受的概率与抽取到次品数量之间的关系，所以A为抽取的次品数量；B产品被接受第二章习题笔记习题2-23、思路：①不考虑顺序，只考虑组合关系②式子中的1表示该随机变量的取值X=？必须在北抽取的三个数字中，只有一种变化，即该随机变量的取值 4、离散型随机变量的分布律思路：①根据分布律直接将对应的概率进行运算 5、7、返回型离散型随机变量求分布律思路：①最后一个分布律满足问题条件，前面对应的分布律都是问题要求：如取到正品̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅②可以写出通式 9、伯努利试验思路：①实验次数较多，计算较为繁琐的时候，可以使用二项分布的泊松近似进行求解，参数λ=np；②泊松分布公式：10、泊松分布与伯努利试验思路：①随机变量为每页印刷错误②问题是四页中没有印刷错误，参杂了伯努利试验，重数是页数，所以要注意区别题目信息的作用习题2-33、求解离散型随机变量分布函数思路：①理解分布函数与分布律之间的关系，累加关系；右连续，单调递增4、离散型随机变量的条件概率思路：P{X<2丨X≠1}不是交事件，是条件概率事件，所以P=0.4/（0.4+0.2），对于条件概率事件一定要用逻辑符号进行表示5、通过连续型随机变量的分布函数求解概率思路：①理解分布律与分布函数之间的关系，累加关系，右连续；②掌握相关的分布函数与分布律之间的运算关系习题2-42、根据概率密度函数求解概率和分布函数思路：①明确分布函数、概率密度函数、概率之间的关系②分布函数与概率密度是累的形式，如何确定积分符号∫的上下标，下标都是从−∞开始（因为分布函数都是累加的形式） 3、通过分布函数和概率密度函数的性质求解参数思路：①当X →+∞时，F 等于1②∫f (t )dt =1+∞−∞求解参数；两个1的运用③在连续型随机变量中，对于p {−1<X <−2}概率的求解不用像离散型随机变量一样关注端点值，直接F(-2)-F(-1)即、可；④在求概率P 的时候可以通过分布函数求解，也可以通过概率密度积分求解，但是进行概率密度积分的时候注意断点，因为有可能需要进行分段求解 5、均匀分布与伯努利试验思路：①通过均匀分布确定P ，n=10；②伯努利试验的标志是多个样本，多重试验，问个数10次，4页、10个等等 6、正态分布的标准化与分位数思路：①标准化②P{X≤3}其中3是分位数，=ϑ（3）7、正态分布相关参数的求解思路：①标准化，便于查表②明确正态分布表的概率计算方式，是≤；③区别分位数与随机变量所在区间P{X≤3}则分位数为3：其中随机变量的区间为(−∞，3)；分位数为3，正态分布表显示的是分位数左边的概率总和，即P{X≤3}。
《概率论与数理统计》(韩旭里)课后习题答案【精选】
概率论与数理统计习题及答案习题一1．略.见教材习题参考答案.2.设A ，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件：（1）A发生，B，C 都不发生；（2）A与B发生，C不发生；（3）A，B，C都发生；（4）A，B，C至少有一个发生；（5）A，B，C都不发生；（6）A，B，C不都发生；（7）A，B，C至多有2个发生；（8）A，B，C至少有2个发生.【解】（1）A BC（2）AB C（3）ABC（4）A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABCU U (6) ABC(5) ABC=A B Cword完美格式(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC3.略.见教材习题参考答案4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A B)=0.3，求P（AB）.【解】P（AB）=1P（AB）=1[P(A)P(A B)]=1[0.70.3]=0.65.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求：（1）在什么条件下P（AB）取到最大值？（2）在什么条件下P（AB）取到最小值？【解】（1）当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.（2）当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.【解】P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)=14+14+13112=347.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？【解】p=5332131313131352C C C C/C8.对一个五人学习小组考虑生日问题：（1）求五个人的生日都在星期日的概率；（2）求五个人的生日都不在星期日的概率；word完美格式word 完美格式（3） 求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】（1） 设A 1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P （A 1）=517=（17）5（亦可用独立性求解，下同） （2） 设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故P （A 2）=5567=(67)5(3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日}P （A 3）=1P (A 1)=1(17)59.略.见教材习题参考答案.10.一批产品共N 件，其中M 件正品.从中随机地取出n 件（n <N ）.试求其中恰有m 件（m ≤M ）正品（记为A ）的概率.如果： （1） n 件是同时取出的；（2） n 件是无放回逐件取出的； （3） n 件是有放回逐件取出的.【解】（1） P （A ）=C C /C m n m nM N M N --(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有P n N 种，n 次抽取中有m 次为正品的组合数为C mn 种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M 件正品中取m 件的排列数有P mM 种，从N M 件次品中取n m 件的排列数为P n mN M --种，故P （A ）=C P P P m m n mn M N MnN-- 由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成word 完美格式P （A ）=C C C m n mM N MnN-- 可以看出，用第二种方法简便得多.（3） 由于是有放回的抽取，每次都有N 种取法，故所有可能的取法总数为N n种，n 次抽取中有m 次为正品的组合数为C mn 种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m 次取得正品，都有M 种取法，共有M m种取法，n m 次取得次品，每次都有N M 种取法，共有（N M ）n m种取法，故()C ()/m m n mn n P A M N M N -=- 此题也可用贝努里概型，共做了n 重贝努里试验，每次取得正品的概率为MN，则取得m 件正品的概率为 ()C 1mn mmnM M P A N N -⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11.略.见教材习题参考答案.12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 【解】设A ={发生一个部件强度太弱}133103501()C C /C 1960P A ==13.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设A i ={恰有i 个白球}（i =2,3），显然A 2与A 3互斥.213434233377C C C 184(),()C 35C 35P A P A ====word 完美格式故 232322()()()35P A A P A P A =+=U 14.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：（1） 两粒都发芽的概率； （2） 至少有一粒发芽的概率； （3） 恰有一粒发芽的概率.【解】设A i ={第i 批种子中的一粒发芽}，（i =1,2）(1) 1212()()()0.70.80.56P A A P A P A ==⨯= (2) 12()0.70.80.70.80.94P A A =+-⨯=U (3) 2112()0.80.30.20.70.38P A A A A =⨯+⨯=U15.掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.（1） 问正好在第6次停止的概率；（2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.【解】（1） 223151115()()22232p C ==(2) 1342111C ()()22245/325p == 16.甲、乙两个篮球运动员，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球数相等的概率.【解】 设A i ={甲进i 球}，i =0,1,2,3,B i ={乙进i 球},i =0,1,2,3,则3331212333()(0.3)(0.4)C 0.7(0.3)C 0.6(0.4)i i i P A B ==+⨯⨯+U 22223333C (0.7)0.3C (0.6)0.4+(0.7)(0.6)⨯=0.32076word 完美格式17．从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】 4111152222410C C C C C 131C 21p =-= 18.某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：（1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A ={下雨}，B ={下雪}.（1） ()0.1()0.2()0.5P AB p B A P A === （2） ()()()()0.30.50.10.7p A B P A P B P AB =+-=+-=U19.已知一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.【解】 设A ={其中一个为女孩}，B ={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故()6/86()()7/87P AB P B A P A ===或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.6()7P B A =20.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）. 【解】 设A ={此人是男人}，B ={此人是色盲}，则由贝叶斯公式()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+word 完美格式0.50.05200.50.050.50.002521⨯==⨯+⨯ 21.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.题21图 题22图【解】设两人到达时刻为x,y ,则0≤x ,y ≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x y |>30.如图阴影部分所示.22301604P ==22.从（0，1）中随机地取两个数，求：word 完美格式（1） 两个数之和小于65的概率； （2） 两个数之积小于14的概率.【解】 设两数为x ,y ，则0<x ,y <1.（1） x +y <65. 11441725510.68125p =-==(2) xy =<14.1111244111d d ln 242x p x y ⎛⎫=-=+⎪⎝⎭⎰⎰ 23.设P （A ）=0.3,P (B )=0.4,P (A B )=0.5，求P （B ｜A ∪B ） 【解】 ()()()()()()()()P AB P A P AB P B A B P A B P A P B P AB -==+-U U 0.70.510.70.60.54-==+-24.在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】 设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球}，i =0,1,2,3.B ={第二次取出的3球均为新球}由全概率公式，有word 完美格式3()()()i i i P B P B A P A ==∑33123213336996896796333333331515151515151515C C C C C C C C C C C C C C C C C C =•+•+•+•0.089=25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ （2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？ 【解】设A ={被调查学生是努力学习的}，则A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P （A ）=0.8，P （A ）=0.2，又设B ={被调查学生考试及格}.由题意知P （B |A ）=0.9，P （B |A ）=0.9，故由贝叶斯公式知（1）()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.20.110.027020.80.90.20.137⨯===⨯+⨯即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%(2) ()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.80.140.30770.80.10.20.913⨯===⨯+⨯即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.word 完美格式26. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02，而B 被误收作A 的概率为0.01.信息A 与B 传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A ，试问原发信息是A 的概率是多少？ 【解】 设A ={原发信息是A }，则={原发信息是B }C ={收到信息是A }，则={收到信息是B } 由贝叶斯公式，得()()()()()()()P A P C A P A C P A P C A P A P C A =+2/30.980.994922/30.981/30.01⨯==⨯+⨯27.在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若发现这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种） 【解】设A i ={箱中原有i 个白球}（i =0,1,2），由题设条件知P （A i ）=13,i =0,1,2.又设B ={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知 11112()()()()()()()i i i P B A P A P A B P A B P B P B A P A ===∑ 2/31/311/31/32/31/311/33⨯==⨯+⨯+⨯28.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】 设A ={产品确为合格品}，B ={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得word 完美格式()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.960.980.9980.960.980.040.05⨯==⨯+⨯29.某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？ 【解】 设A ={该客户是“谨慎的”}，B ={该客户是“一般的”}，C ={该客户是“冒失的”}，D ={该客户在一年内出了事故} 则由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C P D C ==++0.20.050.0570.20.050.50.150.30.3⨯==⨯+⨯+⨯30.加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率.【解】设A i ={第i 道工序出次品}（i =1,2,3,4）.412341()1()i i P A P A A A A ==-U12341()()()()P A P A P A P A =-10.980.970.950.970.124=-⨯⨯⨯=31.设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9? 【解】设必须进行n 次独立射击.1(0.8)0.9n -≥word 完美格式即为 (0.8)0.1n≤ 故 n ≥11 至少必须进行11次独立射击.32.证明：若P （A ｜B ）=P (A ｜B )，则A ，B 相互独立.【证】 (|)(|)P A B P A B =即()()()()P AB P AB P B P B =亦即 ()()()()P AB P B P AB P B =()[1()][()()]()P AB P B P A P AB P B -=-因此 ()()()P AB P A P B = 故A 与B 相互独立.33.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为15，13，14，求将此密码破译出的概率. 【解】 设A i ={第i 人能破译}（i =1,2,3），则31231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-U42310.6534=-⨯⨯= 34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】设A ={飞机被击落}，B i ={恰有i 人击中飞机}，i =0,1,2,3word 完美格式由全概率公式，得3()(|)()i i i P A P A B P B ==∑=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.45835.已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求：（1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率. （2） 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率. 【解】（1） 3101100C(0.35)(0.65)0.5138kk k k p -===∑(2) 10102104C(0.25)(0.75)0.2241k k k k p -===∑36.一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：（1） A =“某指定的一层有两位乘客离开”；（2） B =“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”； （3） C =“恰有两位乘客在同一层离开”； （4） D =“至少有两位乘客在同一层离开”.【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.（1） 2466C 9()10P A =，也可由6重贝努里模型：word 完美格式224619()C ()()1010P A =（2） 6个人在十层中任意六层离开，故6106P ()10P B =（3） 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有110C 种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有26C 种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有131948C C C 种可能结果；②4人同时离开，有19C 种可能结果；③4个人都不在同一层离开，有49P 种可能结果，故1213114610694899()C C (C C C C P )/10P C =++（4） D=B .故6106P ()1()110P D P B =-=-37. n 个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率： （1） 甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率； （2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；（3） 如果n 个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率. 【解】 （1） 111p n =-word 完美格式(2) 23!(3)!,3(1)!n p n n -=>-(3) 12(1)!13!(2)!;,3!!n n p p n n n n --''===≥ 38.将线段[0，a ]任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率【解】 设这三段长分别为x ,y ,a x y .则基本事件集为由0<x <a ,0<y <a ,0<a x y <a 所构成的图形，有利事件集为由()()x y a x y x a x y y y a x y x+>--⎡⎢+-->⎢⎢+-->⎣ 构成的图形，即02022a x a y ax y a ⎡<<⎢⎢⎢<<⎢⎢⎢<+<⎢⎣ 如图阴影部分所示，故所求概率为14p =. 39. 某人有n 把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）.证明试开k 次（k =1,2,…,n ）才能把门打开的概率与k 无关.【证】 11P 1,1,2,,P k n k n p k n n--===Lword 完美格式40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出一个，试求它有i 面涂有颜色的概率P （A i ）（i =0,1,2,3）. 【解】 设A i ={小立方体有i 面涂有颜色}，i =0,1,2,3.在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有8×8×6=384个.其余1000（8+96+384）=512个内部的小立方体是无色的，故所求概率为01512384()0.512,()0.38410001000P A P A ====, 24968()0.096,()0.00810001000P A P A ====.41.对任意的随机事件A ，B ，C ，试证P （AB ）+P （AC ）P （BC ）≤P (A ).【证】 ()[()]()P A P A B C P AB AC ≥=U U ()()()P AB P AC P ABC =+- ()()()P AB P AC P BC ≥+-42.将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 【解】 设i A ={杯中球的最大个数为i },i =1,2,3.将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故3413C 3!3()48P A ==而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故word 完美格式1433C 1()416P A ==因此 213319()1()()181616P A P A P A =--=--= 或 12143323C C C 9()416P A == 43.将一枚均匀硬币掷2n 次，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷2n 次硬币，可能出现：A ={正面次数多于反面次数}，B ={正面次数少于反面次数}，C ={正面次数等于反面次数}，A ，B ，C 两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P （A ）=P （B ）.所以1()()2P C P A -=由2n 重贝努里试验中正面出现n 次的概率为211()()()22n n nn P C C =故 2211()[1C ]22n n n P A =- 44.掷n 次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设A ={出现正面次数多于反面次数}，B ={出现反面次数多于正面次数}，由对称性知P （A ）=P （B ）（1） 当n 为奇数时，正、反面次数不会相等.由P （A ）+P （B ）=1得P （A ）=P （B ）=0.5 (2) 当n 为偶数时，由上题知211()[1C ()]22nn n P A =-45.设甲掷均匀硬币n +1次，乙掷n 次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.word 完美格式【解】 令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数.乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数. 显然有>正正（甲乙）=（甲正≤乙正）=（n +1甲反≤n 乙反） =（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反）由对称性知P （甲正>乙正）=P （甲反>乙反） 因此P (甲正>乙正)=1246.证明“确定的原则”（Sure thing ）：若P （A |C ）≥P (B |C ),P (A |C )≥P (B |C )，则P （A ）≥P (B ). 【证】由P （A |C ）≥P (B |C ),得()(),()()P AC P BC P C P C ≥即有 ()()P AC P BC ≥ 同理由 (|)(|),P A C P B C ≥ 得 ()(),P AC P BC ≥故 ()()()()()()P A P AC P AC P BC P BC P B =+≥+=47.一列火车共有n 节车厢，有k (k ≥n )个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】 设A i ={第i 节车厢是空的}，（i =1,…,n ）,则word 完美格式121(1)1()(1)2()(1)1()(1)n k ki k ki j ki i i n P A n nP A A nn P A A A n--==-=--=-LL 其中i 1,i 2,…,i n 1是1，2，…，n 中的任n 1个. 显然n 节车厢全空的概率是零，于是2112111122111111123111()(1)C (1)2()C (1)1()C (1)0()(1)n n nk ki ni ki j n i j n n kn i i i n i i i nn nn i ni S P A n n n S P A A n n S P A A A nS P A S S S S --=≤<≤--≤<<≤+===-=-==--==-==-+-+-∑∑∑L L L U L121121C (1)C (1)(1)C (1)k k n n kn n n n nnn--=---++--L 故所求概率为word 完美格式121121()1C (1)C (1)nk i i n n i P A n n =-=--+--+U L 111(1)C (1)n n k nn n+---- 48.设随机试验中，某一事件A 出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则A 迟早会出现的概率为1.【证】在前n 次试验中，A 至少出现一次的概率为1(1)1()n n ε--→→∞49.袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？【解】设A ={投掷硬币r 次都得到国徽}B ={这只硬币为正品} 由题知 (),()m nP B P B m n m n==++ 1(|),(|)12r P A B P A B == 则由贝叶斯公式知()()(|)(|)()()(|)()(|)P AB P B P A B P B A P A P B P A B P B P A B ==+ 121212rrr m m m n m nm n m n m n+==++++g g g 50.巴拿赫（Banach ）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N 根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r 根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r 根的概率又有多少？word 完美格式【解】以B 1、B 2记火柴取自不同两盒的事件，则有121()()2P B P B ==.（1）发现一盒已空，另一盒恰剩r 根，说明已取了2n r 次，设n 次取自B 1盒（已空），n r 次取自B 2盒，第2n r +1次拿起B 1，发现已空。
(呕心整理)概率论与数理统计-经管类第四版课后题答案-吴赣昌著
概率论：第一章习题笔记习题1-2题型分类：计算事件逻辑运算的概率2、思路：①首先将问题中的P[（A∪B）−C）]进行转换成逻辑语言P[(A∪B)∩C]；②将互不相容进行逻辑语言化，3、思路：将题目进行逻辑语言化后（如2题），进行韦恩图，帮助确定事件发生概率。
4、思路：明确逻辑语言后，进行韦恩图绘制，快速确定事件概率总结：可以从韦恩图出发，然后再将韦恩图转换成数学符号表达；掌握基本的运算法则，例如习题中的第2题目习题1-31、；如题目问取到的两个球中有黑球则包含两种情况，一是两个都是黑球，一思路：C82=7∗82∗1是一黑一白4、思路：①答案中的P=A；②颜色全相同+颜色不全相同=110、解法2：思路：①一共包含三种情形②A33是排列（在总数为3的样本总量中拿三个数来进行排列）；1*4*4是排列对象的样本个数；③基本的想法是选框（可供选择的框框）放数（能够放进去的数字）eg:一般来说第一个数字有三个框可以选择C31，假设次数框内需要填入的是偶数，则C31∗3④此题考虑了顺序，选框放数习题1-43、问题归类：条件概率事件；没有说明顺序，事件A：两件中有一件是不合格产品包含了两种情况（需要注意古典概型）思路：判断是交事件还是条件概率事件：交事件说法：求第一件和第二件都是不合格品的概率；条件概率事件说法：在已知第一件为不合格品下，求第二件也是不合格品的概率4、见作业本①思路：明确逻辑关系之间的等量关系式：P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)6、见作业本①思路：①乘法法则，通过树状图明确概率分布，进行条件概率的符号化②需要说明事件之间的独立性习题1-54、5、思路：①对立事件，转换成计算成功率（可利用乘法法则，进行条件概率的符号化）；需要说明事件之间的独立性6、思路：无人照管而停工的，同时又有一名工人进行照管；所以出现停工的事件应该是两台以上的机器同时需要照管8、伯努利实验思路：对逻辑语句的理解：不少于三次≥3总习题一1、思路：交事件：只有；并事件：至少10、16、思路：乘法法则进行条件概率的符号化17、思路：①条件概率：将文字符号化；②乘法法则都可以实现条件概率的符号化，或者说乘法法则就是条件概率；③贝叶斯公式实现已知条件的运用，树状图就是贝叶斯23、思路：①设事件：目标事件-这批微机被接受；条件事件-随机抽取的微机中有i台是次品②目标事件为某一事件的概率，可以考虑全概率事件③文字符号化24、思路：（1）①全概率事件，寻求条件概率，将文字符号化（2）①问题是条件概率：很有可能需要用到贝叶斯公式进行转换③贝叶斯公式与全概率公式的联系，全概率公式作为贝叶斯公式的分母总结：（1）并事件、交事件的逻辑关系（2）古典概型中注意事件的完备性，充分考虑可能存在的情况（3）注意C、A之间组合排列的对应关系（3）乘法法则---条件概率（全概率事件）（4）注意判断问题是条件概率（一般用贝叶斯公式），还是某一事件的概率（一般用全概率事件）（5）如果根据题目设置随机变量：eg：总习题23本题目研究的问题是被接受的概率与抽取到次品数量之间的关系，所以A为抽取的次品数量；B产品被接受第二章习题笔记习题2-23、思路：①不考虑顺序，只考虑组合关系②式子中的1表示该随机变量的取值X=？必须在北抽取的三个数字中，只有一种变化，即该随机变量的取值 4、离散型随机变量的分布律思路：①根据分布律直接将对应的概率进行运算 5、7、返回型离散型随机变量求分布律思路：①最后一个分布律满足问题条件，前面对应的分布律都是问题要求：如取到正品̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅②可以写出通式 9、伯努利试验思路：①实验次数较多，计算较为繁琐的时候，可以使用二项分布的泊松近似进行求解，参数λ=np；②泊松分布公式：10、泊松分布与伯努利试验思路：①随机变量为每页印刷错误②问题是四页中没有印刷错误，参杂了伯努利试验，重数是页数，所以要注意区别题目信息的作用习题2-33、求解离散型随机变量分布函数思路：①理解分布函数与分布律之间的关系，累加关系；右连续，单调递增4、离散型随机变量的条件概率思路：P{X<2丨X≠1}不是交事件，是条件概率事件，所以P=0.4/（0.4+0.2），对于条件概率事件一定要用逻辑符号进行表示5、通过连续型随机变量的分布函数求解概率思路：①理解分布律与分布函数之间的关系，累加关系，右连续；②掌握相关的分布函数与分布律之间的运算关系习题2-42、根据概率密度函数求解概率和分布函数思路：①明确分布函数、概率密度函数、概率之间的关系②分布函数与概率密度是累的形式，如何确定积分符号∫的上下标，下标都是从−∞开始（因为分布函数都是累加的形式） 3、通过分布函数和概率密度函数的性质求解参数思路：①当X →+∞时，F 等于1②∫f (t )dt =1+∞−∞求解参数；两个1的运用③在连续型随机变量中，对于p {−1<X <−2}概率的求解不用像离散型随机变量一样关注端点值，直接F(-2)-F(-1)即、可；④在求概率P 的时候可以通过分布函数求解，也可以通过概率密度积分求解，但是进行概率密度积分的时候注意断点，因为有可能需要进行分段求解 5、均匀分布与伯努利试验思路：①通过均匀分布确定P ，n=10；②伯努利试验的标志是多个样本，多重试验，问个数10次，4页、10个等等 6、正态分布的标准化与分位数思路：①标准化②P{X≤3}其中3是分位数，=ϑ（3）7、正态分布相关参数的求解思路：①标准化，便于查表②明确正态分布表的概率计算方式，是≤；③区别分位数与随机变量所在区间P{X≤3}则分位数为3：其中随机变量的区间为(−∞，3)；分位数为3，正态分布表显示的是分位数左边的概率总和，即P{X≤3}。
概率论课后习题解答
一、习题详解：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数;解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω；(2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和;解：}{12,11,4,3,22 =Ω；(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{,2,1,03=Ω； (4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：()}{;51,4≤≤=Ωj i j i(5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离;解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度.解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ；1.2 设A ，B ，C 为三事件, 用A;B;C 的运算关系表示下列各事件：(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃；(3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃；(5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃；(6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃； (7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC ；(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ；注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
同济大学第二版概率论课后习题答案
习题一解答1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ：(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件}{两次出现的面相同=A ；(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件{=A 一分钟内呼叫次数不超过3次}；(3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件{=A 寿命在2000到2500小时之间}。
解 (1) )},(),,(),,(),,{(--+--+++=Ω， )},(),,{(--++=A . (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数，则},2,1,0|{ ===Ωk k X ， }3,2,1,0|{===k k X A .(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则)},0({∞+∈=ΩX ， )}2500,2000({∈=X A .2. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设=A {取得球的号码是偶数}，=B {取得球的号码是奇数}，=C {取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：(1)B A ；(2)AB ；(3)AC ；(4)AC ；(5)C A ；(6)C B ；(7)C A -. 解 (1) Ω=B A 是必然事件； (2) φ=AB 是不可能事件；(3) =AC {取得球的号码是2，4}；(4) =AC {取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；(5) =C A {取得球的号码为奇数，且不小于5}={取得球的号码为5，7，9}；(6) ==C B C B {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}；(7) ==-C A C A {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}3. 在区间]2,0[上任取一数，记⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=121x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B ，求下列事件的表达式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)B A .解 (1) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B A ;(2) =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤≤=B x x x B A 21210或⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2312141x x x x ;(3) 因为B A ⊂，所以φ=B A ； (4)=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<≤=223410x x x A B A 或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<<≤223121410x x x x 或或 4. 用事件C B A ,,的运算关系式表示下列事件：(1) A 出现，C B ,都不出现（记为1E ）； (2) B A ,都出现，C 不出现（记为2E ）； (3) 所有三个事件都出现（记为3E ）； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为4E ）； (5) 三个事件都不出现（记为5E ）； (6) 不多于一个事件出现（记为6E ）； (7) 不多于两个事件出现（记为7E ）； (8) 三个事件中至少有两个出现（记为8E ）。
概率统计课后答案
第一章思 考 题1．事件的和或者差的运算的等式两端能“移项”吗？为什么？2．医生在检查完病人的时候摇摇头“你的病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活. ”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我，我已经看过九个病人了，他们都死于此病，所以你不会死” ，医生的说法对吗？为什么？ ３．圆周率 1415926.3=π是一个无限不循环小数, 我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后七位, 这个记录保持了1000多年! 以后有人不断把它算得更精确. 1873年, 英国学者克士公布了一个π的数值, 它的数目在小数点后一共有707位之多! 但几十年后, 曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑. 他统计了π的608位小数, 得到了下表:675844625664686762609876543210出现次数数字 你能说出他产生怀疑的理由吗?答：因为π是一个无限不循环小数，所以，理论上每个数字出现的次数应近似相等，或它们出现的频率应都接近于0.1，但7出现的频率过小.这就是费林产生怀疑的理由.4．你能用概率证明“三个臭皮匠胜过一个诸亮”吗？５．两事件A 、B 相互独立与A 、B 互不相容这两个概念有何关系？对立事件与互不相容事件又有何区别和联系？６．条件概率是否是概率？为什么？习题 一1．写出下列试验下的样本空间：（1）将一枚硬币抛掷两次答：样本空间由如下4个样本点组成{(,)(,)(,)(,)}Ω=正正，正反，反正，反反（2）将两枚骰子抛掷一次答：样本空间由如下36个样本点组成{(,),1,2,3,4,5,6}i j i j Ω==（3）调查城市居民（以户为单位）烟、酒的年支出答：结果可以用（x ，y ）表示，x ，y 分别是烟、酒年支出的元数.这时，样本空间由坐标平面第一象限一切点构成 .{(,)0,0}x y x y Ω=≥≥2．甲，乙，丙三人各射一次靶，记-A “甲中靶” -B “乙中靶” -C “丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件：(1) “甲未中靶”： ;A(2) “甲中靶而乙未中靶”： ;B A(3) “三人中只有丙未中靶”： ;C AB(4) “三人中恰好有一人中靶”： ;C B A C B A C B A(5)“ 三人中至少有一人中靶”： ;C B A(6)“三人中至少有一人未中靶”： ;C B A 或;ABC(7)“三人中恰有两人中靶”： ;BC A C B A C AB(8)“三人中至少两人中靶”： ;BC AC AB(9)“三人均未中靶”： ;C B A(10)“三人中至多一人中靶”： ;C B A C B A C B A C B A(11)“三人中至多两人中靶”： ;ABC 或;C B A3 .设,A B 是两随机事件，化简事件 (1)()()A B A B (2)()()A B A B 解:(1)()()AB A B AB AB B B ==, (2) ()()A B A B ()A B A B B A A B B ==Ω=.4．某城市的由5个数字组成，每个数字可能是从0-9这十个数字中的任一个，求由五个不同数字组成的概率.解：51050.302410P P ==. 5．n 奖券中含有m 有奖的，k 个人购买，每人一，求其中至少有一人中奖的概率.解法一：试验可模拟为m 个红球，n m -个白球，编上号，从中任取k 个构成一组，则总数为kn C ，而全为白球的取法有k m n C -种，故所求概率为k n k mn C C --1.解法二：令i A —第i 人中奖，,.,2,1k i =B —无一人中奖，则k A A A B 21=，注意到k A ，，A ，A 21不独立也不互斥：由乘法公式)()()()()(11213121-=k k A A A P A A A P A A P A P B P (1)(2)(1)121n m n m n m n m k n n n n k -------+=⋅⋅---+!,1k k n m n m k k n n C C k C C ---同除故所求概率为.6．从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（事件A ）的概率是多少？ 解：122585410()C C C P A C -= 7．在[]1,1-上任取一点X ，求该点到原点的距离不超过15的概率. 解：此为几何概率问题：]11[，-=Ω,所求事件占有区间 ]5151[，-，从而所求概率为121525P ⋅==. 8．在长度为a 的线段任取两点，将其分成三段，求它们可以构成一个三角形的概率.解：设一段长为x ，另一段长为y ，样本空间:0,0,0x a y a x y a Ω<<<<<+<，所求事件满足：0202()a x a y x y a x y ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪+>--⎪⎪⎩从而所求概率＝14CDEOAB SS =. 9．从区间(0,1)任取两个数，求这两个数的乘积小于14的概率. 解：设所取两数为,,X Y 样本空间占有区域Ω,两数之积小于14:14XY <,故所求概率 ()()1()()1S S D S D P S Ω--==Ω, 而11411()(1)1(1ln 4)44S D dx x =-=-+⎰,故所求概率为1(1ln4)4+. 10．设A 、B 为两个事件，()0.9P A =，()0.36P AB =，求()P AB . 解：()()()0.90.360.54P A B P A P AB =-=-=;11．设A 、B 为两个事件，()0.7P B =，()0.3P AB =，求()P AB .解：()()1()1[()()]1[0.70.3]0.6P A B P AB P AB P B P AB ==-=--=--=.12．假设()0.4P A =，()0.7P A B =，若A 、B 互不相容，求()P B ；若A 、B 相互独立，求()P B . 解：若A 、B 互不相容，()()()0.70.40.3P B P A B P A =-=-=；若A 、B 相互独立，则由()()()()()P A B P A P B P A P B +=+-可得()P B =0.5.13．飞机投弹炸敌方三个弹药仓库，已知投一弹命中1，2，3号仓库的概率分别为0.01,0.02,0.03,求飞机投一弹没有命中仓库的概率.解：设=A {命中仓库}，则=A {没有命中仓库}，又设=i A {命中第i 仓库})3,2,1(=i 则03.0)(,02.0)(,01.0)(321===A P A P A P ，根据题意321A A A A =（其中321,A A A 两两互不相容）故123()()()()P A P A P A P A =++=0.01+0.02+0.03=0.06所以94.006.01)(1)(=-=-=A P A P即飞机投一弹没有命中仓库的概率为0.9414．某市有50%住户订日报，有65%的住户订晚报，有85%的住户至少订这两种报纸中的一种，求同时订这两种报纸的住户的百分比解： 设=A {用户订有日报}，B ={用户订有晚报}，则=B A {用户至少订有日报和晚报一种}，=AB {用户既订日报又订晚报}，已知85.0)(,65.0)(,5.0)(===B A P B P A P ，所以3.085.065.05.0)()()()(=-+=-+=B A P B P A P AB P即同时订这两种报纸的住户的百分比为30%15．一批零件共100个，次品率为10%，接连两次从这批零件中任取一个零件，第一次取出的零件不再放回，求第二次才取得正品的概率.解：设=A {第一次取得次品}，=B {第二次取得正品}，则=AB {第二次才取得正品}，又因为9990)(,10010)(==A B P A P ，则 0909.0999010010)()()(===A B P A P AB P 16.设随机变量A 、B 、C 两两独立，A 与B 互不相容. 已知0)(2)(>=C P B P 且5()8P BC =，求()P A B . 解：依题意0)(=AB P 且)()()(B P A P AB P =，因此有0)(=A P . 又因 25()()()()()3()2[()]8P B C P B P C P B P C P C P C +=+-=-=，解方程 085)(3)]([22=+-C P C P 151()[()]()442P C P C P B ==⇒=舍去，，()()()()()0.5.P A B P A P B P AB P B =+-==17．设A 是小概率事件，即()P A ε=是给定的无论怎么小的正数.试证明：当试验不断地独立重复进行下去，事件A 迟早总会发生（以概率1发生）.解：设事件i A —第i 次试验中A 出现(1,2,,)i n =，∵(),()1i i P A P A εε==-，(1,2,,)i n =，∴n 次试验中，至少出现A 一次的概率为1212()1()n n P A A A P A A A =-121()n P A A A =-121()()()n P A P A P A =-⋅⋅⋅（独立性）1(1)n ε=--∴12lim ()1n n P A A A →∞=，证毕.18．三个人独立地破译一密码，他们能单独译出的概率分别是15，13，14，求此密码被译出的概率.解:设A ，B ，C 分别表示{第一、二、三人译出密码}，D 表示{密码被译出}，则 ()()()1 P D P A B C P A B C ==- 1()1()()() P ABC P A P B P C =-=-42331..5345=-=. 19．求下列系统（如图所示）的可靠度，假设元件i 的可靠度为i p ，各元件正常工作或失效相互独立解：(1)系统由三个子系统并联而成，每个子系统可靠度为123p p p ，从而所求概率为31231(1)p p p --；（2）同理得2312[1(1)]p p --. 20．三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率. 解：设1A —第一第三台机器发生故障，2A —第一第三台机器发生故障，3A —第一第三台机器发生故障，D —三台机器中至少有一台发生故障，则123()0.1,()0.2,()0.3P A P A P A ===，故 ()()()1 P D P A B C P A B C ==-1()1()()()10.90.80.70.496 P A BC P A P B P C =-=-=-⨯⨯=21．设A 、B 为两事件，()0.7P A =,()0.6P B =,()0.4B P A =，求()P A B .解：由()0.4B P A =得 ()0.4,()0.12,()()()0.48()P AB P AB P AB P B P AB P A ==∴=-=， ()()()()0.82P A B P A P B P AB =+-=.22.设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8, 活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动物, 它能活到25岁以上的概率是多少?解：设A —某种动物由出生算起活到20年以上，()0.8P A =，B —某种动物由出生算起活到25年以上，()0.4P B =，则所求的概率为()()0.4()()0.5()()0.8P AB P B B B P P A A P A P A ===== 23．某地区历史上从某年后30年发生特大洪水的概率为80%，40年发生特大洪水的概率为85%，求已过去了30年的地区在未来10年发生特大洪水的概率.解：设A —某地区后30年发生特大洪灾，()0.8P A =，B —某地区后40年发生特大洪灾，()0.85P B =，则所求的概率为()()0.15()1()1110.250.2()()P BA P B B B P P A A P A P A =-=-=-=-=. 24．设甲、乙两袋，甲袋中有2只白球，4只红球；乙袋中有3只白球，2只红球.今从甲袋中任意取一球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一球.1）问取到白球的概率是多少？2）假设取到白球，问该球来自甲袋的概率是多少？解：设A ：取到白球，B ：从甲球袋取白球24431) ()(/)()(/)()5/9 6666P A P A B P B P A B P B =+⋅+⋅= (/)()2/92) (/)()/()2/5()5/9P A B P B P B A P AB P A P A ==== 25．一批产品共有10个正品和2个次品，任取两次，每次取一个，抽出后不再放回，求第二次抽出的是次品的概率.解：设i B 表示第i 次抽出次品,(1,2)i =,由全概率公式2221111()()()()()B B P B P B P P B P B B =+=211021*********⨯+⨯=. 26.一批晶体管元件，其中一等品占95%，二等品占4%，三等品占1%，它们能工作500h 的概率分别为90%，80%，70%，求任取一个元件能工作500h 以上的概率.解：设=i B {取到元件为i 等品}(i =1,2,3) ，=A {取到元件能工作500小时以上} 则%1)(%,4)(%,95)(321===B P B P B P%70)(%,80)(%,90)(321===B A P B A P B A P 所以)()()()()()()(332211B A P B P B A P B P B A P B P A P ++==⋅+⋅+⋅=%70%1%80%4%90%950.89427．某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，三地的供货量分别占40%，35%和25%，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65，0.70和0.85，求从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率.如果一件产品是优质品，求它的材料来自甲地的概率解：以B i 分别表示抽到的产品的原材来自甲、乙、丙三地，A={抽到优等品}，则有：123()0.35,()0.25,P B P B ==P(B )=0.4,1()0.65,A P B =32()0.7,()0.85A A P P B B ==所求概率为().P A 由全概率公式得：123123()()()()()()()A A A P A P B P P B P P B P B B B =++0.650.40.70.350.850.250.7175.=⨯+⨯+⨯=1111()()(|)0.26()0.3624()()0.7175P B A P B P A B B P A P A P A ==== 28．用某种检验方法检查癌症，根据临床纪录，患者施行此项检查，结果是阳性的概率为0.95；无癌症者施行此项检查，结果是阴性的概率为0.90.如果根据以往的统计，某地区癌症的发病率为0.0005.试求用此法检查结果为阳性者而实患癌症的概率.解：设A={检查结果为阳性}，B={癌症患者}.据题意有()0.95,()0.90,A A P P B B ==()0.0005,P B =所求概率为().B P A()0.10,()0.9995.AP P B B ==由Bayes 公式得 ()()()()()()()AP B P BB P A A A P B P P B P B B=+ 0.00050.950.00470.47%0.00050.950.99950.10⨯===⨯+⨯ 29．3个射手向一敌机射击，射中的概率分别是0.4，0.6和0.7.如果一人射中，敌机被击落的概率为0.2；二人射中，被击落的概率为0.6；三人射中则必被击落.（1）求敌机被击落的概率；（2）已知敌机被击落，求该机是三人击中的概率.解:设A={敌机被击落}，B i ={i 个射手击中}，i=1,2,3. 则B 1,B 2,B 3互不相容.由题意知：132()0.2,()0.6,()1A A A P P P B B B ===，由于3个射手射击是互相独立的，所以1()0.40.40.30.60.60.30.60.40.70.324P B =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=2()0.40.60.30.40.70.40.60.70.60.436P B =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=3()0.40.60.70.168P B =⨯⨯=因为事件A 能且只能与互不相容事件B 1,B 2,B 3之一同时发生.于是 （1）由全概率公式得31()()(|)0.3240.20.4360.60.16810.4944i i i P A P B P A B ===⨯+⨯+⨯=∑（2）由Bayes 公式得33331()(|)0.168(|)0.340.4944()(|)i ii P B P A B P B A P B P A B ====∑. 30．某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求（1）该厂产品能出厂的概率；（2）任取一出厂产品未经调试的概率.解：A ——需经调试A ——不需调试B ——出厂则%30)(=A P ，%70)(=A P ，%80)|(=A B P ，1)|(=A B P（1）由全概率公式：)()()()()(A B P A P A B P A P B P ⋅+⋅=%941%70%80%30=⨯+⨯=.（2）由贝叶斯公式：9470%94)()()()()(=⋅==A B P A P B P B A P B A P . 31．进行一系列独立试验，假设每次试验的成功率都是p ，求在试验成功2次之前已经失败了3次的概率.解：所求的概率为234(1)p p -.32．10个球中有一个红球，有放回地抽取，每次取一球，求直到第n 次才取k 次()k n ≤红球的概率解：所求的概率为11191010k n k k n C ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33．灯泡使用寿命在1000h 以上的概率为0.2，求3个灯泡在使用1000h 后，最多只有一个坏了的概率.解：由二项概率公式所求概率为312333(0)(1)0.2(0.2)0.80.104P P C +=+⋅=34．（Banach 问题）某人有两盒火柴，每盒各有n 根，吸烟时任取一盒，并从中任取一根，当他发现有一盒已经用完时，试求：另一盒还有r 根的概率.解：设试验E —从二盒火柴中任取一盒，A —取到先用完的哪盒，1()2P A =， 则所求概率为将E 重复独立作2n r -次A 发生n 次的概率，故所求的概率为 222211()()()222n n n n r n r n r n r n r C P n C-----==.第二章思考 题1. 随机变量的引入的意义是什么？答：随机变量的引入,使得随机试验中的各种事件可通过随机变量的关系式表达出来，其目的是将事件数量化，从而随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念.引入随机变量后,对随机现象统计规律的研究,就由对事件及事件概率的研究转化为随机变量及其取值规律的研究,使人们可利用数学分析的方法对随机试验的结果进行广泛而深入的研究.随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件，随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量的引入则变为可以用动态的观点来研究.2.随机变量与分布函数的区别是什么？为什么要引入分布函数？答：随机变量与分布函数取值都是实数，但随机变量的自变量是样本点，不是普通实数，故随机变量不是普通函数，不能用高等数学的方法进行研究，而分布函数一方面是高等数学中的普通函数，另一方面它决定概率分布，故它是沟通概率论和高等数学的桥梁，利用它可以将高度数学的方法得以引入.3. 除离散型随机变量和连续型随机变量，还有第三种随机变量吗？答：有，称为混合型.例：设随机变量[]2,0~U X ，令⎩⎨⎧≤≤<≤=.21,1;10,)(x x x x g则随机变量)(X g Y =既非离散型又非连续型.事实上，由)(X g Y =的定义可知Y 只在[]1,0上取值，于是当0<y 时，0)(=y F Y ；1≥y 时，1)(=y F Y ；当10<≤y 时，()2))(()(yy X P y X g P y F Y =≤=≤= 于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1;10,2;0,0)(y y y y y F Y首先Y 取单点{1}的概率021)01()1()1(≠=--==Y Y F F Y P ，故Y 不是连续型随机变量.其次其分布函数不是阶梯形函数，故Y 也不是离散型随机变量.4.通常所说“X 的概率分布”的确切含义是什么？答：对离散型随机变量而言指的 是分布函数或分布律，对连续型随机变量而言指的是分布函数或概率密度函数.5.对概率密度()f x 的不连续点，如何由分布函数()F x 求出()f x ？答：对概率密度()f x 的连续点，()()f x F x '=，对概率密度()f x 的有限个不连续点处，可令()f x c =（c 为常数）不会影响分布函数的取值.6.连续型随机变量的分布函数是可导的，“概率密度函数是连续的”这个说法对吗？为什么？答：连续型随机变量密度函数不一定是连续的，当密度函数连续时其分布函数是可导的，否则不一定可导.习 题1．在测试灯泡寿命的试验中,试写出样本空间并在其上定义一个随机变量.解：每一个灯泡的实际使用寿命可能是),0[+∞中任何一个实数, 样本空间为}0|{≥=Ωt t ，若用X 表示灯泡的寿命（小时），则X 是定义在样本空间}0|{≥=Ωt t 上的函数，即t t X X ==)(是随机变量.2．一报童卖报, 每份0.15元,其成本为0.10元. 报馆每天给报童1000份报, 并规定他不得把卖不出的报纸退回. 设X 为报童每天卖出的报纸份数, 试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.解：{报童赔钱}⇔{卖出的报纸钱不够成本}，而当 0.15 X <1000× 0.1时，报童赔钱，故{报童赔钱} ⇔{X ≤666}3．若2{}1P X x β<=-，1{}1P X x α≥=-，其中12x x <，求12{}P x X x ≤<. 解：1221{}{}{}P x X x P X x P X x ≤<=<-<21{}[1{}]1P X x P X x αβ=<--≥=--.4．设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1,110,0,0)(2x x x x x F试求（1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤21X P （2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-431X P （3）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21X P解：41)21(21)1(==⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤F X P ； （2）1690169)1()43(431=-=--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-F F X P ； （3）43)21(121121=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>F X P X P .5．5个乒乓球中有2个新的，3个旧的，如果从中任取3个，其中新的乒乓球的个数是一个随机变量，求这个随机变量的概率分布律和分布函数，并画出分布函数的图形.解：设X 表示任取的3个乒乓球中新的乒乓球的个数，由题目条件可知，X 的所有可能取值为0，1，2，∵33351{0}10C P X C ===，1223356{1}10C C P X C ===，2133353{2}10C C P X C ===∴随机变量X 的概率分布律如下表所示： 由()k kx xF x P≤=∑可求得()F x 如下:0 ,0{0} ,01(){0}{1} ,12{0}{1}{2} x P X x F x P X P X x P X P X P X <=≤<==+=≤<=+=+= ,2x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪≥⎩X 0 1 2 P0.10.60.30 ,00.1 ,010.7 ,121 ,2x x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩，()F x 的图形如图所示. 6．某射手有5发子弹，射击一次命中率为0.9，如果他命中目标就停止射击，命不中就一直射击到用完5发子弹，求所用子弹数X 的概率分布 解：7 .一批零件中有9个合格品与3个废品，安装机器时，从这批零件中任取一个，如果每次取出的废品不再放回，求在取出合格品之前已取出的废品数的分布律.解：设{}i i A =第次取得废品，{}i A i =第次取得合格品，由题意知，废品数X 的可能值为0，1，2，3，事件{0}X =即为第一次取得合格品，事件{1}X =即为第一次取出的零件为废品，而第二次取出的零件为合格品，于是有19{0}()0.7512P X P A ====， 21211399{1}()0.2045121144A P X P A A P A P A ====⋅=≈（）（）， 3212311123299{2}()0.0409121110220A A P X P A A A P A P P A A A ===⋅⋅=≈（）（）（）=32412341112123{3}()321910.00451211109220A A A P X P A A A A P A P PPA A A A A A ====⋅⋅⋅=≈（）（）（）（）所以X 的分布律见下表8.从101-中任取一个数字，若取到数字)101( =i i 的概率与i 成正比，即 1,2,,10P X i ki i ===（），（），求k . 解：由条件 1,2,,10P X i ki i ===（），（），由分布律的性质1011ii p==∑,应有1011i ki ==∑,155k =.9 .已知随机变量X 服从参数1=λ的泊松分布，试满足条件{}01.0=>N X P 的自然数N .解：因为{}{}{}99.0101.0),1(~=>-=≤=>N X P N X P Y X P P X 所以从而{}99.0!0==≤∑=-Nk k e N X P λ查附表得4=N10.某公路一天发生交通事故的次数X 服从泊松分布，且一天发生一次交通事故的概率与发生两次交通事故的概率相等，求一周没有交通事故发生的概率.解：设~()X P λ，由题意：)1(=X P =)2(=X P ，2!2!1λλλλ--=e e ，解得2=λ，所求的概率即为2022!0)0(--===e e X P .11 . 一台仪器在10000个工作时平均发生10次故障，试求在100个工作时故障不多于两次的概率.解：设X 表示该仪器在100个工作时故障发生的次数，1~(100,)1000X B ，所求的概率即为)0(=X P ，)1(=X P ，)2(=X P 三者之和.而100个工作时故障平均次数为=μ1.010001100=⨯，根据Poisson 分布的概率分布近似计算如下： 99984.000452.009048.090484.0!2!1!0)2(21=++=++≈≤---μμμμμμe eeX P故该仪器在100个工作时故障不多于两次的概率为0.99984.12.设[]~2,5X U ，现对X 进行三次独立观察，试求至少有两次观察值大于3的概率. 解：()1,2530 ,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其余，令()3A X =>，则()23p P A ==，令Y 表示三次重复独立观察中A 出现次数，则2~3,3Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，故所求概率为()21323332121202333327P Y C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 13.设某种传染病进入一羊群，已知此种传染病的发病率为2/3，求在50头已感染的羊群中发病头数的概率分布律.解：把观察一头羊是否发病作为一次试验，发病率3/2=p ，不发病率3/1=q ，由于对50头感染羊来说是否发病，可以近似看作相互独立，所以将它作为50次重复独立试验，设50头羊群中发病的头数为X ，则X (50,2/3)XB ，X 的分布律为{})50,,2,1,0(31325050=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==-k C k X P kk k14.设随机变量X 的密度函数为2, 01()0 , x x p x <<⎧=⎨⎩其它，用Y 表示对X 的3次独立重复观察中事件1{}2X ≤出现的次数，求{2}P Y =.解：(3,)Yp B ，1211{}224p P X xdx =≤==⎰，由二项概率公式 223139{2}()()4464P Y C ===. 15.已知X 的概率密度为2,()0,x ax e x f x x λ-⎧>=⎨≤⎩，试求： （1）、未知系数a ；（2）、X 的分布函数()F x ；（3）、X 在区间1(0,)λ取值的概率.解：（1）由⎰+∞-=021dx eax xλ，解得.22λ=a(2) ()()()F x P X x f x dx +∞-∞=≤=⎰，∴当x ≤0时0)(=x F ,当x >0时，222()1(22)2x xxe F x ax edx x x λλλλ--==-++⎰,∴2211(22),0()20, 0x x x F x x λλ⎧-++>⎪=⎨⎪≤⎩ .（3）511(0)()(0)12P X F F eλλ<<=-=-.16.设X 在(1,6)服从均匀分布，求方程210x Xx ++=有实根的概率. 解:“方程210x Xx ++=有实根”即{2}X >，故所求的概率为{2}P X >=45. 17.知随机变量X 服从正态分布2(,)N a a ，且Y aX b =+服从标准正态分布(0,1)N ，求,a b .解：由题意222(0)1a b a a a ⎧+=>⎨⋅=⎩解得：1,1a b ==-18.已知随机变量X 服从参数为λ的指数分布，且X 落入区间（1，2）的概率达到最大，求λ.解：2(12)(1)(2)()P X P X P X e eg λλλ--<<=>->=-=令,令()0g λ'=，即022=---λλe e ,即021=--λe ， ∴.2ln =λ 19．设随机变量(1,4)XN ，求(0 1.6)P X ≤<，(1)P X <.解：01 1.61(0 1.6)()22P X P X --≤<=≤< 1.6101()()0.309422--=Φ-Φ=11(1)()(0)0.52P X -<==Φ=Φ=.20.设电源电压()2~220,25X N ，在200,200240,240X X X ≤<≤>电压三种情形下，电子元件损坏的概率分别为0.1,0.001,0.2，求： （1）该电子元件损坏的概率α；（2）该电子元件损坏时，电压在200~240伏的概率β.解：设()()()123200,200240,240A X A X A X =≤=<≤=>， D —电子元件损坏，则 （1）123,,A A A 完备，由全概率公式()()()()123123D D D P D P A P P A P P A P A A A α⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，今()()()12002200.810.80.21225P A -⎛⎫=Φ=Φ-=-Φ= ⎪⎝⎭，同理()()()()20.80.820.810.576P A =Φ-Φ-=Φ-=， ()310.2120.5760.212P A =--=， 从而()0.062P D α==.（2）由贝叶斯公式()222D P A P A A P D P D β⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫== ⎪⎝⎭0.5760.0010.0090.062⨯==. 21.随机变量的分布律为求2Y X =的分布律解：. 22.变量X 服从参数为0.7的0－1分布，求2X 及22X X -的概率分布.解．X 的分布为易见，2X 的可能值为0和1；而22X X -的可能值为1-和0，由于2{}P X u =={P X }u =(0,1)u =，可见2X 的概率分布为：由于2{21}{1}0.7P X X P X -=-===，2{20}{0}0.3P X X P X -====，可得22X X -的概率分布为23.X 概率密度函数为21()(1)X f x x π=+，求2Y X =的概率密度函数()Y f y .解：2y x =的反函数为2yx =，代入公式得22()()()22(4)Y X y y f y f y π'==+. 24.设随机变量[]~0,2X U ，求随机变量2Y X =在()0,4概率密度()Y f y .解法一（分布函数法） 当0y <时，()0,4Y F y y =>时()1Y F y =，当04y ≤≤时，()(Y XF y P X F ==从而 ()40 ,XY f y f y ⎧=≤≤⎪=⎨⎪⎩其余解法二（公式法）2y x =在()0,2单增，由于反函数x =在()0,4可导，'y x =，从而由公式得()40 ,X Y f y f y ⎧=≤≤⎪=⎨⎪⎩其余25. ,0)0 ,0x X e x f x x -⎧≥=⎨<⎩（，求X Y e =的密度.解法一（分布函数法）因为0X ≥，故1Y >，当1y >时，()()()ln ln Y X F y P X y F y =≤=， ()()ln 2111ln ,10 ,1y X Y f y ey y y y f y y -⎧==>⎪∴=⎨⎪≤⎩.解法二（公式法）x y e =的值域()1,+∞，反函数ln x y =，故()()[]21ln ln ' ,10 ,1X Y f y y y y f y y ⎧=>⎪=⎨⎪≤⎩.26.设随机变量X 服从(0,1)上的均匀分布，分别求随机变量X Y e =和ln Z X =的概率密度()Y f y 和()Z f z . 解：X 的密度为1, 01() x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩0,若其它，（1）函数x y e =有唯一反函数，ln x y =，且1Y e <<，故(ln )(ln ), 1() X f y y y e f y '⎧<<⎪=⎨⎪⎩0,其它1, 1 y e y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩0,其它. （2）在区间(0,1)上，函数ln ln z x x ==-，它有唯一反函数z x e -=，且0Z >，从而()(), () z z X Z f e e f z -->⎧'⎪=⎨⎪⎩z 00,其它0, zz e ->⎧⎪=⎨⎪⎩0,其它. 27. 设()X f x 为X 的密度函数，且为偶函数，求证X -与X 有相同的分布. 证：即证Y X =-与X 的密度函数相同，即()()Y X f y f y =. 证法一（分布函数法）()()()()()11Y X F y P X y P X y P X y F y =-≤=≥-=-≤-=--， ()()()()1Y X X p y p y p y ∴=--⋅-=，得证.证法二（公式法）由于y x =-为单调函数，∴()()()()()'Y X X X p y p y y p y p y =--=-=.28.设随机变量X 服从正态分布),(2σμN ，0,>+∞<<-∞σμ ，)(x F 是X 的分布函数，随机变量)(X F Y =. 求证Y 服从区间]1,0[上的均匀分布. 证明：记X 的概率密度为)(x f ，则⎰∞-=xdt t f X F .)()( 由于)(x F 是x 的严格单调增函数，其反函数)(1x F -存在，又因1)(0≤≤x F ，因此Y 的取值围是]1,0[. 即当10≤≤y 时{}{}{}1()()()Y F y P Y y P F X y P X F y -=≤=≤=≤.)]([1y y F F ==-于是Y 的密度函数为1, 01()0, Y y p y ≤<⎧=⎨⎩其它即Y 服从区间]1,0[上的均匀分布.第三章 思考题1(答:错)2 (答:错) 3答:错)习题 三1解：)(}1,1{}1,1{}{已知独立==+-=-===Y X P Y X P Y X P2121212121}1{}1{}1{}1{=⋅+⋅===+-=-==Y P X P Y P X P . 由此可看出,即使两个离散随机变量Y X 与相互独立同分布,Y X 与一般情况下也不会以概率1相等. 2解：由∑∑ijijp=1可得：14.0=b ,从而得：.1,0;2,1,0}{}{},{=======j i j Y P i X P j Y i X P 故Y X ,相互独立. 7.035.015.014.006.0}1,1{}0,1{}1,0{}0,0{)1,1(}1,1{=+++===+==+==+====≤≤Y X P Y X P Y X P Y X P F Y X P3解:)()1,1(11AB P Y X P p ====,121)()(==A B P A P )()0,1(12B A P Y X P p ====613241)()(=⋅==A B P A P 因为:,32)(1)(:,1)()(=-==+A B P A B P A B P A B P 所以 121)()()()()()()()1,0(21=-=-=-=====AB P B A P AB P AB P B P A B P B A P Y X P p 12812161121122=---=p ,结果如表所示. 4 解:X 的边缘分布律为32}2{,31}1{====X P X PY 的边缘分布律为21}2{,21}1{====X P Y P 1=Y 的条件下X 的条件分布为0}1{}1,1{}11{=======Y P Y X P X P1}1{}1,2{}12{=======Y P Y X P Y X P2=X 的条件下Y 的条件分布为,32}2{}1,2{}21{=======X P Y X P X Y P ,31}2{}2,2{}22{=======X P Y X P X Y P5 解：（1）由乘法公式容易求得),(Y X 分布律．易知，放回抽样时,61}1{,65}0{,61}1{,65}0{========Y P Y P X P X P且}{}{},{i X P i X j Y P j Y i X P ======.1,0;1,0}{}{=====j i j Y P i X P于是),(Y X 的分布律为（2）不放回抽样，则,61}1{,65}0{====X P X P ,在第一次抽出正品后，第二次抽取前的状态：正品9个，次品2个．故,112}01{,119}00{======X Y P X Y P又在第一次抽出次品后，第二次抽取前状态：正品10个，次品1个.故111}11{,1110}10{======X Y P X Y P ,且1,0,}{}{},{=======j i i X P i X j Y P j Y i X P 于是),(Y X 的分布律为放回抽样时，两次抽样互不影响，故彼此相互独立；不放回抽样，第一次抽样对第二次抽样有影响，不相互独立．6解),(y x f =⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤--.,0,,,))((1否则d y c b x a d c a b⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤-=b x a x b x a ab x f X ,0,1)(, )(y f Y =⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤-d y cy d y c d c ,0,1 随机变量X 及Y 是独立的.7 解（1）),(y x f =y x y x F ∂∂∂),(2=)9)(4(6222y x ++π （2）X 的边缘分布函数=+∞=),()(x F x F X )22)(22(12ππππ++x arctg =)22(1x arctg +ππ. 由此得随机变量X 的边缘分布密度函数==)()(x F dxdx f X X )4(22x +π同理可得随机变量Y 的边分布函数=+∞=),()(y F y F Y )32)(22(12y arctg ++ππππ=)32(1yarctg +ππ Y 的边缘分布密度函数==)()(y F dy dy f y Y )9(32y +π （3）由（2）知)(x f X )(y f Y =)4(22x +π)9(32y +π=),(y x f ，所以X 与Y 独立. 8 解因为X 与Y 相互独立，所以Y X ,的联合概率密度为∞<<-∞∞<<-∞==+-y x e y f x f y x f y x Y X ,,21)()(),(222π⎰⎰⎰⎰≤+---+--=-====120102110222222222,12121}2{y x r r y x ee rdr e d dxdye Z P πθππ⎰⎰⎰⎰≤+≤----+--=-====41202122121222222222,2121}1{y x r r y x e ee rdr e d dxdye Z P πθππ⎰⎰⎰⎰>+∞-∞--+-=-====420222222222222,2121}0{y x r r y x e erdred dxdye Z P πθππ所以，Z 的分布律为:.1}2{,}1{,}0{212212-----==-====eZ P eeZ P eZ P9解：（1）由 ⎰⎰∞+∞-∞+∞-dxdy y x f ),(=1，即⎰⎰∞+∞++-==⇒00)43(121Adxdy eA y x ，即 12=⇒A因此),(y x f =,,00,0,12)43(⎪⎩⎪⎨⎧>>+-其它y x e y x （2）X 的边缘概率密度为 当0>x ，)(x f X =⎰∞∞-dy y x f ),(=⎰∞+-0)43(12dy e y x =x e 33-，当0>y ，)(y f Y =⎰∞),(dx y x f =⎰∞+-0)43(12dx e y x =y e 44-，可知边缘分布密度为：)(x f X =⎪⎩⎪⎨⎧>-,,0,0,33其它x e x)(y f Y =⎪⎩⎪⎨⎧>-,,00,44其它y e y（3）}20,10{≤<≤<Y X P =⎰⎰--+---=102083)43()1)(1(12e e dxdy e y x10解因为⎰⎰∞+∞-∞+∞-dxdy y x f ),(=1，即⎰⎰=101021dy y xdx c ， 6,13121==⋅⋅c c对任意10<<x ，)(x f X =⎰∞+∞-dy y x f ),(=⎰=1226x dy xy ，所以)(x f X =⎩⎨⎧<<,,0,10,2其它x x对任意10<<y ，)(y f Y =⎰∞+∞-dx y x f ),(=⎰=122,36y dx xy ，所以)(y f Y =⎪⎩⎪⎨⎧<<,,0,10,32其它y y故),(y x f =)(x f X )(y f Y ，所以X 与Y 相互独立. 11解由 2ln 12211===⎰e e D x dx xS当21e x ≤≤时，,2121),()(1010xdy dy y x f x f x x X ===⎰⎰其它)(x f X =0. 所以:.41)2(=X f 12解（1）X ，Y 的边缘密度为分布密度为：)(x f X =⎰-<<=xx x x dy 10,21)(y f Y =⎰<<--=111,11yy y dx故)(y x f Y X =)(),(y f y x f Y =⎪⎩⎪⎨⎧<-,,0,,11其它x y y)(x y f X Y =)(),(x f y x f X =⎪⎩⎪⎨⎧<<,,0,1,21其它y x x（2）因为)(x f X )(y f Y y -=1≠),(y x f =1，故X 与Y 不相互独立.13证设X 的概率密度为)(x f ，Y 的概率密度为)(y f ，由于Y X ,相互独立，故),(Y X 的联合密度为),(y x f =)(x f )(y f .于是⎰⎰⎰⎰≤∞+∞-∞+==≤yx x dy y f dx x f dxdy y f x f Y X P )()()()(}{⎰⎰⎰⎰>∞+∞-∞+==>yx ydx x f dy y f dxdy y f x f Y X P )()()()(}{ 交换积分次序可得：⎰⎰∞+∞+∞-=xdy y f dx x f )()(⎰⎰∞+∞+∞-ydx x f dy y f )()(所以=≤}{Y X P =>}{Y X P 1－}{Y X P ≤故21}{=≤Y X P . 14解 设)(A P p =，由于Y X ,相互独立同分布，于是有,)(}{}{)(p A P a X P a Y P B P ==≤=≤=则,1)(p B P -=又=)(B A P )(A P +)(B P －)(A P )(B P =p +（)1p -－p )1p -=9712=+-p p 解得：,32,3121==p p 因而a 有两个值. 由于2121}{)(1-==≤=⎰a dx a X P A P a ，所以，当311=p 时，由21-a =31得35=a当322=p 时，由21-a =32得37=a . 15解 （1）Y X +的可能取值为2，3，4.且,41}1{}1{}2{=====+Y P X P Y X P2141414141}1,2{}2{}1{}3{=⋅+⋅===+====+Y X P Y P X P Y X P ,41}2{}2{}4{=====+Y P X P Y X P 故有:;41}4{,21}3{,41}2{==+==+==+Y X P Y X P Y X P（2）由已知易得 ;21}42{,21}22{====X P X P17证明：对任意的,,,1,021n n k += 我们有∑=-====ki i k Y P i X P k Z P 0}{}{}{（因为X 与Y 相互独立）=∑=-----ki i k n i k i k n i n i i nq p C q p C 0)(2211=∑=-+-ki k n n k i k n i n q p C C 02121)(（利用组合公式 ∑=+-=ki k n m i k n im C C C）=kn n k kn n qp C -++2121即Y X Z +=～),(21p n n b +18解Y X Z +=在[0，2]中取值，按卷积公式Z 的分布密度为：,)()()()(10dx x z f dx x z f x fz f Y Y X Z -=-=⎰⎰∞+∞-⎩⎨⎧≤≤-≤≤⎩⎨⎧≤-≤≤≤,1,10:,10,10:z x z x x z x 即其中如图，从而：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-=≤≤==⎰⎰-。
概率论与数理统计(第二版)课后答案
各章大体题详解习题一一、选择题1. （A ）A B A B B ⊂−−→=;（B ）B A A B A B B ⊂−−→⊂−−→=; （C ）AB A B A B B φ=−−→⊂−−→=;（D ）AB B A φ=−−→⊂ 不必然能推出A B B =（除非A B =）所以 选（D ）2. ()()()()()()()P A B P AB P AB P A P B P A P B -==--++ ()()()P A P B P AB =+-所以 选（C ）3. )()()()()()()()|(A P B P A P B P A P B P AB P B A P B A ≥−→−==−→−⊂所以 选（B ）4. 1)(0)()()()()(==−→−==B P A P B P A P AB P A P 或 所以 选（B ）5. （A ）若B A =，则φ=AB ，且φ==A A B A ，即B A ,不相容（B ）若φ≠⊃B A ，且Ω≠A ，则φ≠AB ，且φ≠=A B A ，即B A ,相容 （C ）若φφ≠=B A ,，则φ=AB ，且φ≠=B B A ，即B A ,相容 （D ）若φ≠AB ，不必然能推出φ=B A 所以 选（D ）6. （A ）若φ≠AB ，不必然能推出)()()(B P A P AB P =（B ）若1)(=A P ，且φ≠⊃B A ，则)()()()(B P A P B P AB P ==，即A,B 独立（C ）若φ=AB ，1)(0<<A P ,1)(0<<B P ，则)()()(B P A P AB P ≠ （D ）若1)(=A P ，则A 与任何事件都彼此独立 所以 选（B ）7. 射击n 次才命中k 次，即前1-n 次射击恰好命中1-k 次，且第n 次射击时命中目标，所以 选（C ）二、填空题8. C A C A C A A C A C A C A C A )())((= C C C C A A C C A C A C ==== ))(()()( 所以 C B =9. 共有44⨯种大体事件，向后两个邮筒投信有22⨯种大体事件，故所求概率为414422=⨯⨯ 10. 设事件A 表示两数之和大于21，则 样本空间}10,10|),{(<<<<=Ωy x y x ，}10,10,21|),{(<<<<>+=y x y x y x A 872121211=⋅⋅-==ΩS S P A 11. 由1.0)(,8.0)(=-=B A P A P ，得7.0)(=AB P ，故3.0)(=AB P 12. 由4.0)(,3.0)(,2.0)(===B A P B P A P ，得1.0)(=AB P ，故2.0)()()(=-=AB P B P A B P 13. 2.0)|()()(==A B P A P AB P ，故8.0)|()()(==B A P AB P B P14. )()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++=)()()()()()()()()()()()(C P B P A P A P C P C P B P B P A P C P B P A P +---++=2719=15. 由于A,B 彼此独立，可得91)()()(==B P A P B A P ，)()(B A P B A P =，于是31)()(==B P A P ，故32)(=B P 三、计算题16.（1）)},,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,{(T T T H T T T H T H H T T T H H T H T H H H H H =Ω；（2）}3,2,1,0{=Ω；（3）}1|),{(22≤+=Ωy x y x ；（4）}5:0,5:1,5:2,5:3,5:4,4:5,3:5,2:5,1:5,0:5{=Ω 17.（1）C B A ； （2）)(C B A ； （3）C B A C B A C B A ； （4）AC BC AB ； （5）C B A ； （6）C B A ； （7）ABC18. 法一，由古典概率可知，所求概率为：2016420109⋅C ；法二，由伯努利定理可知，所求概率为：1644209.01.0⋅⋅C19. 只有唯一的一个六位数号码开能打开锁。
概率论课后习题解答
一、习题详解：写出下列随机试验的样本空间：(1)某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数;解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω；(2)掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和;解：}{12,11,4,3,22 =Ω；(3)观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω；(4)从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：(5)检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6)观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7)在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离;解：}{207 x x =Ω；(8)在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度.解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ；设A ，B ，C 为三事件, 用A;B;C 的运算关系表示下列各事件：(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃；(3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃；(5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃；(6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃； (7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC ；(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ；注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
概率论与数理统计高教版第四版课后习题答案
定义1.2 若试验结果一共由n个基本事件E1,E2,…,En组成， 并且这些事件的出现具有相同的可能性，而事件A由其中的 某m个基本事件E1/,E2/,…,En/组成，则事件A的概率可用下式 计算：
有利于A的基本事件数 m P( A) = = 试验的基本事件总数 n (1.1)
这里E1,E2,…,En构成一个等概率完备事件组。 （三）计算概率的例题 例1 袋内有5个白球，3个黑球，从中任取两个位球，计算 取出的两个球都是白球的概率。 例2 一批产品共200个，有6个废品，求：（1）这些产品的 废品率；（2）任取3个恰有一个是废品的概率；（3）任取3个
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数值p，即（P(A)）就是在一次试验中对事件A发生可能 性的大小的数量描述。 如上所说，频率的稳定性是概率的经验基础，但并不是 说概率决定于试验。一个事件发生的概率完全决定于事件本 身的结构，是先于试验而客观存在的。 概率的统计定义仅仅指出了事件的概率是客观存在的 但 并不能用这个定义计算P(A)。实际上，人们是采用一次大量 实验的频率或一系列频率的平均值作为P(A)的近似值。 这就是说，概率的统计定义还不是真正意义上的数学定 义。 （二）概率的古典定义 直接计算某一事件的概率有时是非常困难的，甚至是不 可能的。仅在某些情况下，才可以直接计算事件的概率。
5
个事件发生。记作
å
¥
Ai 或
¥
Ai
i= 1
i= 1
4. 事件的交（积） 两个事件A与B同时发生，即“A且B” ，是一个事件，称为 A与B的交（积），它是由既属于A又属于B的所有公共样本点 构成的集合，记作 AB或A∩B 5.事件的差 事件A发生而事件B不发生，是一个事件，称为事件A与事 件B的差。它是由属于A但不属于B的样本点构成的集合。记作 A-B. 6. 互不相容事件
《概率论和数理统计》(韩旭里)课后习题答案解析
概率论与数理统计习题及答案习题一1．略.见教材习题参考答案.A，B，C为三个事件，试用A，B，C 的运算关系式表示以下事件：〔1〕A发生，B，C都不发生；〔2〕A与B发生，C 不发生；〔3〕A，B，C都发生；〔4〕A，B，C 至少有一个发生；〔5〕A，B，C都不发生；〔6〕A，B，C 不都发生；〔7〕A，B，C至多有2个发生；〔8〕A，B，C至少有2个发生.【解】〔1〕A BC〔2〕AB C〔3〕ABC〔4〕A∪B∪C=AB C∪A B C∪A BC∪A BC∪A B C∪AB C∪ABC=ABC(5) ABC=A B C (6) ABC(7) A BC∪A B C∪AB C∪AB C∪A BC ∪A B C∪ABC=ABC=A∪B∪C(8) AB∪BC∪CA=AB C∪A B C∪A BC∪ABC3.A，B为随机事件，且P〔A〕=0.7,P(A B)=0.3，求P〔AB〕.【解】P〔AB〕=1P〔AB〕=1[P(A)P(A B)]=1A，B是两事件，且P〔A〕=0.6,P(B)=0.7,求：〔1〕在什么条件下P〔AB〕取到最大值？〔2〕在什么条件下P〔AB〕取到最小值？【解】〔1〕当AB=A时，P〔AB〕取到最大值为0.6.〔2〕当A∪B=Ω时，P〔AB〕取到最小值为0.3.A，B，C为三事件，且P〔A〕=P〔B〕=1/4，P〔C〕=1/3且P〔AB〕=P〔BC〕=0，P〔AC〕=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.【解】P〔A∪B∪C〕=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)=14+14+13112=347.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？【解】p=5332131313131352C C C C/C8.对一个五人学习小组考虑生日问题：〔1〕求五个人的生日都在星期日的概率；〔2〕求五个人的生日都不在星期日的概率；〔3〕 求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】〔1〕 设A 1={五个人的生日都在星期日}，根本领件总数为75，有利事件仅1个，故 P 〔A 1〕=517=〔17〕5〔亦可用独立性求解，下同〕 〔2〕 设A 2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故P 〔A 2〕=5567=(67)5(3) 设A 3={五个人的生日不都在星期日}P 〔A 3〕=1P (A 1)=1(17)59.略.见教材习题参考答案.N 件，其中Mn 件〔n <N 〕.试求其中恰有m 件〔m ≤M 〕正品〔记为A 〕的概率.如果： 〔1〕 n 件是同时取出的；〔2〕 n 件是无放回逐件取出的； 〔3〕 n 件是有放回逐件取出的.【解】〔1〕 P 〔A 〕=C C /C m n m nM N M N --P n N 种，n 次抽取中有m 次为正品的组合数为C m n 种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M 件正品中取m 件的排列数有P mM 种，从N M 件次品中取n m 件的排列数为P n m N M --种，故P 〔A 〕=C P P P m m n mn M N MnN-- 由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成P 〔A 〕=C C C m n mM N MnN-- 可以看出，用第二种方法简便得多.〔3〕 由于是有放回的抽取，每次都有N 种取法，故所有可能的取法总数为N n种，n 次抽取中有m 次为正品的组合数为C m n 种，对于固定的一种正、次品的抽取次序，m 次取得正品，都有M 种取法，共有M m 种取法，n m 次取得次品，每次都有N M 种取法，共有〔N M 〕n m种取法，故()C ()/m m n m nnP A M N M N -=- 此题也可用贝努里概型，共做了n 重贝努里试验，每次取得正品的概率为MN，那么取得m 件正品的概率为 ()C 1mn mmnM M P A N N -⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11.略.见教材习题参考答案.12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.假设将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，那么这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 【解】设A ={发生一个部件强度太弱}133103501()C C /C 1960P A ==13.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设A i ={恰有i 个白球}〔i =2,3〕，显然A 2与A 3互斥.213434233377C C C 184(),()C 35C 35P A P A ====故 232322()()()35P A A P A P A =+=14.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：〔1〕 两粒都发芽的概率； 〔2〕 至少有一粒发芽的概率； 〔3〕 恰有一粒发芽的概率.【解】设A i ={第i 批种子中的一粒发芽}，〔i =1,2〕(1) 1212()()()0.70.80.56P A A P A P A ==⨯= (2) 12()0.70.80.70.80.94P A A =+-⨯=(3) 2112()0.80.30.20.70.38P A A A A =⨯+⨯=15.掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.〔1〕 问正好在第6次停止的概率；〔2〕 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.【解】〔1〕 223151115()()22232p C == (2) 1342111C ()()22245/325p == 16.甲、乙两个篮球运发动，投篮命中率分别为0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球数相等的概率.【解】 设A i ={甲进i 球}，i =0,1,2,3,B i ={乙进i 球},i =0,1,2,3,那么33312123330()(0.3)(0.4)C 0.7(0.3)C 0.6(0.4)i i i P A B ==+⨯⨯+22223333C (0.7)0.3C (0.6)0.4+(0.7)(0.6)⨯17．从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.【解】 4111152222410C C C C C 131C 21p =-= 18.某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：〔1〕 在下雨条件下下雪的概率；〔2〕 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A ={下雨}，B ={下雪}.〔1〕 ()0.1()0.2()0.5P AB p B A P A === 〔2〕 ()()()()0.30.50.10.7p A B P A P B P AB =+-=+-=19.一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率〔小孩为男为女是等可能的〕.【解】 设A ={其中一个为女孩}，B ={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故()6/86()()7/87P AB P B A P A ===或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.6()7P B A =20.5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率〔假设男人和女人各占人数的一半〕. 【解】 设A ={此人是男人}，B ={此人是色盲}，那么由贝叶斯公式()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+0.50.05200.50.050.50.002521⨯==⨯+⨯21.两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.题21图 题22图【解】设两人到达时刻为x,y ,那么0≤x ,y ≤“一人要等另一人半小时以上〞等价于|x y |>30.如图阴影局部所示.22301604P ==22.从〔0，1〕中随机地取两个数，求：〔1〕 两个数之和小于65的概率； 〔2〕 两个数之积小于14的概率.【解】 设两数为x ,y ，那么0<x ,y <1.〔1〕 x +y <65. 11441725510.68125p =-==(2) xy =<14.1111244111d d ln 242x p x y ⎛⎫=-=+⎪⎝⎭⎰⎰ 23.设P 〔A 〕=0.3,P (B )=0.4,P (A B )=0.5，求P 〔B ｜A ∪B 〕 【解】 ()()()()()()()()P AB P A P AB P B AB P A B P A P B P AB -==+- 0.70.510.70.60.54-==+-24.在一个盒中装有15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.【解】 设A i ={第一次取出的3个球中有i 个新球}，i =0,1,2,3.B ={第二次取出的3球均为新球}由全概率公式，有3()()()i i i P B P B A P A ==∑33123213336996896796333333331515151515151515C C C C C C C C C C C C C C C C C C =•+•+•+•0.089= 25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问：〔1〕考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ 〔2〕考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？ 【解】设A ={被调查学生是努力学习的}，那么A ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P 〔A 〕=0.8，P 〔A 〕=0.2，又设B ={被调查学生考试及格}.由题意知P 〔B |A 〕=0.9，P 〔B |A 〕=0.9，故由贝叶斯公式知〔1〕()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.20.110.027020.80.90.20.137⨯===⨯+⨯即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%(2) ()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.80.140.30770.80.10.20.913⨯===⨯+⨯即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.26. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02，而B 被误收作AA 与B 传递的频繁程度为2∶A ，试问原发信息是A 的概率是多少？【解】 设A ={原发信息是A }，那么={原发信息是B }C ={收到信息是A }，那么={收到信息是B } 由贝叶斯公式，得()()()()()()()P A P C A P A C P A P C A P A P C A =+2/30.980.994922/30.981/30.01⨯==⨯+⨯27.在已有两个球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，假设发现这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率〔箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种〕 【解】设A i ={箱中原有i 个白球}〔i =0,1,2〕，由题设条件知P 〔A i 〕=13,iB ={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知 11112()()()()()()()i i i P B A P A P A B P A B P B P B A P A ===∑ 2/31/311/31/32/31/311/33⨯==⨯+⨯+⨯28.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】 设A ={产品确为合格品}，B ={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得()()()()()()()()()P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==+ 0.960.980.9980.960.980.040.05⨯==⨯+⨯29.某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的〞，“一般的〞，“冒失的〞.统计资料说明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的〞被保险人占20%，“一般的〞占50%，“冒失的〞占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，那么他是“谨慎的〞的概率是多少？ 【解】 设A ={该客户是“谨慎的〞}，B ={该客户是“一般的〞}，C ={该客户是“冒失的〞}，D ={该客户在一年内出了事故} 那么由贝叶斯公式得()()(|)(|)()()(|)()(|)()(|)P AD P A P D A P A D P D P A P D A P B P D B P C P D C ==++0.20.050.0570.20.050.50.150.30.3⨯==⨯+⨯+⨯30.加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率.【解】设A i ={第i 道工序出次品}〔i =1,2,3,4〕.412341()1()i i P A P A A A A ==-12341()()()()P A P A P A P A =-10.980.970.950.970.124=-⨯⨯⨯=31.设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9? 【解】设必须进行n 次独立射击.1(0.8)0.9n -≥即为 (0.8)0.1n ≤ 故 n ≥11 至少必须进行11次独立射击.32.证明：假设P 〔A ｜B 〕=P (A ｜B )，那么A ，B 相互独立.【证】 (|)(|)P A B P A B =即()()()()P AB P AB P B P B =亦即 ()()()()P AB P B P AB P B =()[1()][()()]()P AB P B P A P AB P B -=-因此 ()()()P AB P A P B = 故A 与B 相互独立.33.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为15，13，14，求将此密码破译出的概率. 【解】 设A i ={第i 人能破译}〔i =1,2,3〕，那么31231231()1()1()()()i i P A P A A A P A P A P A ==-=-42310.6534=-⨯⨯= 34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，假设只有一人击中，那么飞机被击落的概率为0.2；假设有两人击中，那么飞机被击落的概率为0.6；假设三人都击中，那么飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.【解】设A ={飞机被击落}，B i ={恰有i 人击中飞机}，i =0,1,2,3由全概率公式，得3()(|)()i i i P A P A B P B ==∑××××××0.7)0.2+ ××××××××35.某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定假设10个病人中至少有四人治好那么认为这种药有效，反之那么认为无效，求：〔1〕 虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否认的概率. 〔2〕 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率. 【解】〔1〕 3101100C(0.35)(0.65)0.5138kk k k p -===∑(2) 10102104C(0.25)(0.75)0.2241k k k k p -===∑36.一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求以下事件的概率：〔1〕 A =“某指定的一层有两位乘客离开〞；〔2〕 B =“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开〞； 〔3〕 C =“恰有两位乘客在同一层离开〞； 〔4〕 D =“至少有两位乘客在同一层离开〞.【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.〔1〕 2466C 9()10P A =，也可由6重贝努里模型：224619()C ()()1010P A =〔2〕 6个人在十层中任意六层离开，故6106P ()10P B =〔3〕 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有110C 种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有26C 种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有131948C C C 种可能结果；②4人同时离开，有19C 种可能结果；③4个人都不在同一层离开，有49P 种可能结果，故1213114610694899()C C (C C C C P )/10P C =++〔4〕 D=B .故6106P ()1()110P D P B =-=-37. n 个朋友随机地围绕圆桌而坐，求以下事件的概率： 〔1〕 甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率； 〔2〕 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；〔3〕 如果n 个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率.【解】 〔1〕 111p n =- (2) 23!(3)!,3(1)!n p n n -=>-(3) 12(1)!13!(2)!;,3!!n n p p n n n n --''===≥ 38.将线段[0，a ]任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率【解】 设这三段长分别为x ,y ,a x y .那么根本领件集为由0<x <a ,0<y <a ,0<a x y <a 所构成的图形，有利事件集为由()()x y a x y x a x y y y a x y x+>--⎡⎢+-->⎢⎢+-->⎣ 构成的图形，即02022a x a y ax y a ⎡<<⎢⎢⎢<<⎢⎢⎢<+<⎢⎣如图阴影局部所示，故所求概率为14p =. 39. 某人有n 把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开〔抽样是无放回的〕.证明试开k 次〔k =1,2,…,n 〕才能把门翻开的概率与k 无关.【证】 11P 1,1,2,,P k n k n p k n n--===40.把一个外表涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出一个，试求它有i 面涂有颜色的概率P 〔A i 〕〔i =0,1,2,3〕.【解】 设A i ={小立方体有i 面涂有颜色}，i =0,1,2,3.在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上〔除去八个角外〕的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上〔除去棱〕的小立方体是一面涂色的，共有8×8×〔8+96+384〕=512个内部的小立方体是无色的，故所求概率为01512384()0.512,()0.38410001000P A P A ====, 24968()0.096,()0.00810001000P A P A ====.A ，B ，C ，试证P 〔AB 〕+P 〔AC 〕P 〔BC 〕≤P (A ).【证】 ()[()]()P A P A BC P AB AC ≥=()()()P AB P AC P ABC =+- ()()()P AB P AC P BC ≥+-42.将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 【解】 设i A ={杯中球的最大个数为i },i =1,2,3.将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故3413C 3!3()48P A ==而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故1433C 1()416P A ==因此 213319()1()()181616P A P A P A =--=--= 或 12143323C C C 9()416P A == 43.将一枚均匀硬币掷2n 次，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷2n 次硬币，可能出现：A ={正面次数多于反面次数}，B ={正面次数少于反面次数}，C ={正面次数等于反面次数}，A ，B ，C 两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P 〔A 〕=P 〔B 〕.所以1()()2P C P A -=由2n 重贝努里试验中正面出现n 次的概率为211()()()22n n nn P C C =故 2211()[1C ]22n n n P A =- 44.掷n 次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设A ={出现正面次数多于反面次数}，B ={出现反面次数多于正面次数}，由对称性知P 〔A 〕=P 〔B 〕〔1〕 当nP 〔A 〕+P 〔B 〕=1得P 〔A 〕=P 〔B (2) 当n 为偶数时，由上题知211()[1C ()]22nn n P A =-45.设甲掷均匀硬币n +1次，乙掷n 次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】 令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数.乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数. 显然有>正正（甲乙）=〔甲正≤乙正〕=〔n +1甲反≤n 乙反〕 =〔甲反≥1+乙反〕=〔甲反>乙反〕由对称性知P 〔甲正>乙正〕=P 〔甲反>乙反〕 因此P (甲正>乙正)=1246.证明“确定的原那么〞〔Sure thing 〕：假设P 〔A |C 〕≥P (B |C ),P (A |C )≥P (B |C )，那么P 〔A 〕≥P (B ). 【证】由P 〔A |C 〕≥P (B |C ),得()(),()()P AC P BC P C P C ≥即有 ()()P AC P BC ≥ 同理由 (|)(|),P A C P B C ≥ 得 ()(),P AC P BC ≥故 ()()()()()()P A P AC P AC P BC P BC P B =+≥+=n 节车厢，有k (k ≥n )个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率. 【解】 设A i ={第i 节车厢是空的}，〔i =1,…,n 〕,那么121(1)1()(1)2()(1)1()(1)n k ki kki j ki i i n P A n nP A A n n P A A A n--==-=--=-其中i 1,i 2,…,i n 1是1，2，…，n 中的任n 1个. 显然n 节车厢全空的概率是零，于是2112111122111111123111()(1)C (1)2()C (1)1()C (1)0()(1)n n nk ki ni ki j n i j nn kn i i i n i i i nn nn i ni S P A n n n S P A A n n S P A A A nS P A S S S S --=≤<≤--≤<<≤+===-=-==--==-==-+-+-∑∑∑121121C (1)C (1)(1)C (1)k kn n kn n n n nnn--=---++--故所求概率为121121()1C (1)C (1)nk i i n ni P A n n=-=--+--+111(1)C (1)n n kn n n+----48.设随机试验中，某一事件A 出现的概率为ε>0.试证明：不管ε>0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，那么A 迟早会出现的概率为1. 【证】在前n 次试验中，A 至少出现一次的概率为1(1)1()n n ε--→→∞m 只正品硬币，n 只次品硬币〔次品硬币的两面均印有国徽〕.在袋中任取一只，将它投掷r 次，每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？ 【解】设A ={投掷硬币r 次都得到国徽}B ={这只硬币为正品}由题知 (),()m nP B P B m n m n==++ 1(|),(|)12r P A B P A B == 那么由贝叶斯公式知()()(|)(|)()()(|)()(|)P AB P B P A B P B A P A P B P A B P B P A B ==+ 121212r rrm m m n m nm n m n m n+==++++ 50.巴拿赫〔Banach 〕火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有Nr 根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时〔不是发现空〕而另一盒恰有r 根的概率又有多少？【解】以B 1、B 2记火柴取自不同两盒的事件，那么有121()()2P B P B ==.〔1〕发现一盒已空，另一盒恰剩r 根，说明已取了2n r 次，设n 次取自B 1盒〔已空〕，n r 次取自B 2盒，第2n r +1次拿起B 1，发现已空。
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.
平稳过程X(t)和Y(t)的互谱密度
S XY ( ) lim 1 2T
T
E { F X ( , T ) F Y ( , T )}.
谱密度与相关函数的关系
F X ( ) S X ( ), π π,
R X ( )
2π π
1
π
则称随机过程
( 2 ) 如果对于实数
,
X ( t ) X ( t ) E [ X ( t ) X ( t )] R X ( )
以概率 1成立 , 则称随机过程
X ( t )的自相关函数
具有各态历经性.
当 0 时 , 称均方值具有各态历经 性.
( 3 ) 如果 X ( t ) 的均值和自相关函数都
E {[ A cos as B sin as ][ A cos at B sin at ]}
E [ A ] cos as cos at E [ B ] sin as sin at
2 2
2
cos a ( t s ),
2
C X (s, t )
cos a ( t s ),
RX ( ) RX (0) 和 C X ( ) C x (0) X .
2
性质4
RX ( )
是非负定的.
t 1 , t 2 , , t n T 和任意实值函数
即 对于任意数组
g ( t ) 都有
i , j1
n
R X (ti t j ) g (ti ) g (t j ) 0.
1 2T
T
T X ( t ) d t
1 2T
T
和
X ( t ) X ( t ) lim
T
T X ( t ) X ( t ) d t
函数 .
T
称为随机过程
X ( t ) 的时间均值和时间相关
相关函数的性质
假设 X(t) 和 Y(t) 是平稳相关过程,
2
B 相互独立同分布于 函数和协方差函数
, 相关 .
. 判别 X ( t ) 是否为平稳过程
解
m X ( t ) E [ A cos at B sin at ]
E ( A ) cos at E ( B ) sin at
0,
R X ( s , t ) E { X ( s ) X ( t )}
各态历经定理条件
定理一 (均值各态历经定理 ) 平稳过程X(t) 的均值具有各态历经性的充要 条件是 推论
在 lim R X ( ) 存在条件下
T
lim
1 T
0
2T
1 2T
2 [ R X ( ) X ]d 0 .
, 若 lim R X ( ) X ,
Y ( t ) b sin( 0 t ), 其中 a , b , 0 为常数 , 是均 匀分布于 ( 0 , 2 π ) 上的随机变量 , 试求互相关函 数 R XY ( ) 和 R YX ( ).
解
R XY ( ) E { X ( t )Y ( t )}
E { a cos( 0 t ) b sin( 0 t ) }
具有各态历
经性 , 则称 X ( t ) 是 ( 宽 ) 各态历经过程 或者说 X ( t ) 是各态历经的 .
.
说明 (1) “以概率1成立”是对 X(t) 的所有样本函数而言 . (2)各态历经性有时也称作遍历性或埃尔古德性 (ergodicity). (3)并不是任意一个平稳过程都是各态历经的.
t,t T :
E [ X ( t )] X
E [ X ( t ) X ( t )] R X ( ) ,
则称 { X ( t ), t T }为宽平稳过程 , 或广义平稳过程
X (t ) 和 Y (t ) ,
.
定义2
对于两个平稳过程:
R XY ( t , t ) E [ X ( t )Y ( t )] R XY ( ), 称 X ( t ) 和
性质5 如果平稳过程X(t) 满足条件
P { X ( t T 0 ) X ( t )} 1 ,
则称它为周期是 T 0 的平稳过程 .
各态历经性
设 X ( t ) 是一平稳过程 ( 1 ) 如果 : X ( t ) E [ X ( t )] X 以概率 1 成立 ,
X ( t )的均值具有各态历经性 .
Y ( t ) 是平稳相关的 , 或两过程是
联合宽平稳的.
狭义平稳过程与广义平稳过程的关系
1. 严平稳过程只要二阶矩存在, 则它必定也 是宽平稳的. 反之不成立. 2. 宽平稳的正态过程必定也是严平稳的.
相关函数
随机过程 X ( t ) 沿整个时间轴上的两种 时间
平均 :
X ( t ) lim
.
X ( t ) 是平稳过程
例2
上例中随机过程
X ( t ) A cos at B sin at , N ( 0 , ),
2
t 0 , a 为常数 , A , B 相互独立同分布于 试讨论 X ( t ) 对数学期望的各态历经
因为 m X (t ) 0 ,
2
性.
解
所以
C X ( ) R X ( )
以概率1成立的充要条件是
T
lim
1 T
0
T
1 2 1 [ B ( 1 ) R X ( )] d 1 0 . T
功率谱密度和互谱密度
平稳过程X(t)的功率谱密度
S X ( ) lim 1 2T
T
E F X ( , T )
2
1 1 2T
2 [ B ( 1 ) R x ( )] d 1 0 ,
其中
B ( 1 ) E [ X ( t ) X ( t ) X ( t 1 ) X ( t 1 )].
定理三
T
lim
1 T
0
T
X ( t ) d t E [ X ( t )] X
和
( X ( t 1 h ), X ( t 2 h ), , X ( t n h ))
具有相同的分布函数, 则称随机过程 { X ( t ), t T } 为严平稳过程或狭义平稳过程.
广义平稳过程
定义1
给定二阶矩过程 { X ( t ), t T }, 如果对任意
( 常数 ) ,
解
m X (n ) E [ X n ] 0,
R X (n , n m ) E { X n X n m }
0, 2 ,
故 { X n } 是平稳过程
称满足此性质的随机序
m 0, m 0,
.
列 { X n } 为离散白噪声 .
例4
设有两个随机过程
X ( t ) a cos( 0 t ),
1 2π ab 2
0
2π
ab cos( 0 t ) sin( 0 ( t ) ) d
R YX ( )
sin 0 ,
ab 2
sin 0 .
例5
( 1 ) 下列函数哪些是功率谱
密度 , 哪些不是
?
为什么 ? S 1 ( ) S 3 ( )
第十二章 习
平稳随机过程容
三、典型例题
一、重点与难点
1.重点
平稳性、平稳相关性、各态历经性的判断
2.难点
谱密度、互谱密度的计算
二、主要内容
平稳随机过程
相关函数
狭 义 平 稳 过 程 关 系 广 义 平 稳 过 程
关系
功率谱密度 互谱密度
各 态 历 经 性
平稳随机过程
cos a ,
T
lim
1 T
0
2T
(1
2T
)
2
cos a d
0,
经性 .
2
lim
1 cos 2 aT 2 Ta
2
T
T
X ( t ) 对数学期望具有各态历
例3
白噪声的取样观察值
2
{ X n } 相互独立同分布于 , 求它的相关函数 .
N ( 0 , ) , 它是一个随机序列
(2)
对 S 2 ( )
1
2
5 6
4 2
,
3
R X ( )
1 2 2
e
2
1 3
e 1
, 1 3
均方值为
E X (t )
2
.
2 2
备用例题
以概率1成立的充要条件是
T
lim
1 T
0
T
1 T
2 [ R X ( ) X ]d 0 .
定理四
T
lim
1 T
0
T
X ( t ) X ( t ) d t E [ X ( t ) X ( t )] R X ( )
(
2
2
9
2
4 )( 1 )
2
,
S 2 ( ) S 4 ( )
e
4 i 2
2
2
1
2
5 .
6
,
4
4