概率论第二章习题及答案

1
0
x
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第二章 习题课
30 P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 )
x2
f(x)
f ( x)dx. ( x1 x2 )
x1
0 x1 x2 x
40 若f ( x)在 点x处 连 续 ， 则 有 F ( x) f ( x).
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第二章 习题课
六、一些常用的连续型随机变量
PX 01 p q ， PX 1 p
或 P{ X k} pkq1k (k 0 , 1)
X
0
1
P
1-p
p
则称随机变量 X 服从参数为 p 的 Bernoulli分布．
记作 X ~ B1， p. 其中0 p 1 为参数
Bernoulli分布也称作 0-1 分布或二点分布． 返回主目录
第二章 随机变量及其分布
P{ x1 X x2 } P{ X x2 } P{ X x1 } F ( x2 ) F ( x1 ). 返回主目录
第二章 习题课
五、连续型随机变量的概念与性质
如果对于随机变量X 的分布函数 F(x) ， 存在非负实函数 f (x) ，使得对于任意
x
实数 x ，有 F ( x) f (t)dt,
并设 PX xk pk k 1, 2,
则称上式为离散型随机变量 X 的分布律．
离散型随机变量 X 的分布律还可列成下表．
X
x1
x2
xk
P
p1
p2
pk
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第二章 随机变量及其分布
说明 1. 离散型随机变量可完全由其分布律来刻
划． 即离散型随机变量可完全由其可能取值 以及取这些值的概率唯一确定．
定义 设 X 是一个随机变量，x 是任意实数， 函数
F ( x) P{X x}
称为 X 的分布函数．
X
0x
x
F(x) P{X x}
说明 分 布 函 数F ( x)是 x 的 实 值 单 值 函 数， 其 定 义 域 为(,) ，值 域 为[ 0 , 1 ]。
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第二章 习题课
分布函数的性质
1．均 匀 分 布
f (x)
若随机变量 X 的密度函数为
f
x
b
1
a
a xb
0
其它
1
ba
a
bx
则称随机变量X 服从区间a， b上的均匀分布．
记作 X ~ U [a , b].
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第二章 习题课
均匀分布的分布函数
若随机变量X 服从区间a， b上的均匀分布，
则 X的分布函数为
0
F
x
x b
2． {X x1}{X x2 } {X xk } S
且 {X xi} {X x j} , (i j)
离散型随机变量分布律的性质:
⑴ 对任意的自然数k，有
pk 0.
⑵ pk 1.
k
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第二章 随机变量及其分布
三、一些常用的离散型随机变量
1) Bernoulli分布 如果随机变量 X 的分布律为
则称 X 为连续型随机变量，其中函数 f (x) 称为X 的概率密度函数,简称概率密度或密度 函数.
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第二章 习题课
说明 f ( x) 不 一 定 连 续 ， 但F( x)一 定 连 续 。
概率密度 f(x) 具有以下性质：
10 f ( x) 0.
20
f ( x)dx 1.
这两条性质是f判(x定) 一个 函数 f(x)是否为某r.vX的 概率密度函数的充要条件.
PX k k e
k!
其中 0为常数
k 0， 1， 2，
则称随机变量 X 服从参数为λ的Poisson 分布．
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第二章 随机变量及其分布
4）几 何 分 布
若随机变量 X 的分布律为
PX k qk1 p k 1， 2，
其中 p 0，q 0，p q 1
则称随机变量X 服从参数为p的几何分布．
第二章 随机变量及其分布
习题课
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第二章 随机变量及其分布
• 随机变量 • 离散型随机变量及其分布律
• 随机变量的分布函数
• 连续型随机变量及其概率密度
• 随机变量的函数的分布
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要 求：
1. 了解随机变量的概念，会用随机变量表示随 机事件。
2. 理解分布函数的定义及性质，会利用分布函 数表示事件的概率。
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第二章 随机变量及其分布
5）超 几 何 分 布
如果随机变量 X 的分布律为
P
X k
C C k nk M NM
k 0， 1， ， minM， n
C
n N
其中N， M， n均为自然数．
则称随机变量X 服从参数为N， M， n的超几何分布．
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第二章 习题课
四、分布函数的定义及其性质
2）二 项 分 布
如果随机变量 X 的分布律为
PX
k
C
k n
pk 1
p nk
k 0， 1， ， n
则称随机变量X 服从参数为n， p的二项分布， 记作 X ~ Bn， p.
其中n为自然数，0 p 1 为参数
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第二章 随机变量及其分布
3）Poisson 分布
如果随机变量 X 的分布律为
3. 理解离散型随机变量及其分布率的定义、性 质，会求离散型随机变量的分布率及分布函 数，掌握常见的离散型随机变量分布：两点 分布、二项分布、泊松分布。
4. 理解连续型随机变量及概率密度的定义、性 质，掌握概率密度与分布函数之间关系及其 运算，熟悉常见的连续型随机变量分布：均 匀分布、指数分布和正态分布。
a a
1
xa a xb
b x
F (x) 1
f
x
b
1
a
0
a xb 其它
a0
b
x
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§4 连续型随机变量及其概率密度
2．指 数分布
如果随机变量 X 的密度函数为
5. 了解随机变量函数的概念，会求随机变量的 简单函数的分布。
第二章 随机变量及其分布
一、 随机变量的定义
设E是一个随机试验，S是其样本空间．若对每一个
S,都有唯一确定的一个实数X 与之对应,则称
X 为一个随机变量.
X
R
S
第二章 习题课
二、离散型随机变量的分布律
设离散型随机变量 X 的所有可能取值为 x1 ， x2 ， ， xk ，
10 F( x) 是一个不减的函数 ,
即当x2 x1时，F( x2 ) F( x1 ).
20 0 F ( x) 1,且
F () lim F ( x) 0; F () lim F ( x) 1.
x
x
30 F(x 0) F(x), 即 F(x)是右连续的. 40 对于任意的实数 x1 , x2 ( x1 x2 )，有：