概率论第二章习题及答案

合集下载

概率论与数理统计2.第二章练习题(答案)

概率论与数理统计2.第二章练习题(答案)

第二章练习题(答案)一、单项选择题1.已知连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤+<=ππx x b kx x x F ,10,0,0)( 则常数k 和b 分别为 ( A )(A )0,1==b k π (B )π1,0b k = (C )0,21==b k π (D )π21,0==b k . 2.下列函数哪个是某随机变量的分布函数 ( A )A. f (x )={xa e −x 22a,x ≥01, x <0(a >0); B. f (x )={12cosx, 0< x <π0, 其他C. f (x )={cosx, −π2< x <π20, 其他D. f (x )={sinx, −π2< x <π20, 其他3.若函数()f x 是某随机变量X 的概率密度函数,则一定成立的是 ( C ) A. ()f x 的定义域是[0,1] B. ()f x 的值域为[0,1] C. ()f x 非负 D. ()f x 在(,)-∞+∞内连续4. 设)1,1(~N X ,密度函数为)(x f ,则有( C ) A.{}{}00>=≤X P X P B. )()(x f x f -= C. {}{}11>=≤X P X P D. )(1)(x F x F --=5. 设随机变量()16,~μN X ,()25,~μN Y ,记()41-<=μX P p ,()52+>=μY P p ,则正确的是 ( A ).(A )对任意μ,均有21p p = (B )对任意μ,均有21p p < (C )对任意μ,均有21p p > (D )只对μ的个别值有21p p = 6. 设随机变量2~(10,)X N ,则随着的增加{10}P X ( C )A.递增B.递减C.不变D.不能确定7.设F 1(x )与F 2(x )分别为随机变量X 1、X 2的分布函数,为使F (x )=aF 1(x )-bF 2(x )是某一随机变量的分布函数,在下列给定的多组数值中应取 ( A )A . a =53, b =52-; B . a =32, b =32;C . 21-=a , 23=b ; D . 21=a , 23-=b .8.设X 1与X 2是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度函数分别为f 1(x )和f 2(x ),分布函数分别为F 1(x )和F 2(x ),则 ( D ) (A) f 1(x )+f 2(x ) 必为某个随机变量的概率密度; (B )f 1(x )•f 2(x ) 必为某个随机变量的概率密度; (C )F 1(x )+F 2(x ) 必为某个随机变量的分布函数; (D) F 1(x ) •F 2(x ) 必为某个随机变量的分布函数。

《概率论与数理统计》习题及答案 第二章

《概率论与数理统计》习题及答案  第二章

《概率论与数理统计》习题及答案第 二 章1.假设一批产品中一、二、三等品各占60%,30%,10%,从中任取一件,发现它不是三等品,求它是一等品的概率.解 设i A =‘任取一件是i 等品’ 1,2,3i =,所求概率为13133()(|)()P A A P A A P A =,因为 312A A A =+所以 312()()()0.60.30.9P A P A P A =+=+=131()()0.6P A A P A ==故1362(|)93P A A ==. 2.设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件,已知所取两件中有一件是不合格品,求另一件也是不合格品的概率.解 设A =‘所取两件中有一件是不合格品’i B =‘所取两件中恰有i 件不合格’ 1, 2.i = 则12A B B =+11246412221010()()()C C C P A P B P B C C =+=+, 所求概率为2242112464()1(|)()5P B C P B A P A C C C ===+. 3.袋中有5只白球6只黑球,从袋中一次取出3个球,发现都是同一颜色,求这颜色是黑色的概率.解 设A =‘发现是同一颜色’,B =‘全是白色’,C =‘全是黑色’,则 A B C =+, 所求概率为336113333611511/()()2(|)()()//3C C P AC P C P C A P A P B C C C C C ====++ 4.从52张朴克牌中任意抽取5张,求在至少有3张黑桃的条件下,5张都是黑桃的概率.解 设A =‘至少有3张黑桃’,i B =‘5张中恰有i 张黑桃’,3,4,5i =, 则345A B B B =++, 所求概率为555345()()(|)()()P AB P B P B A P A P B B B ==++51332415133********1686C C C C C C ==++. 5.设()0.5,()0.6,(|)0.8P A P B P B A ===求()P A B 与()P B A -.解 ()()()() 1.1()(|) 1.10P AB P A P B P A B P A P B A =+-=-=-= ()()()0.60.40.2P B A P B P AB -=-=-=.6.甲袋中有3个白球2个黑球,乙袋中有4个白球4个黑球,今从甲袋中任取2球放入乙袋,再从乙袋中任取一球,求该球是白球的概率。

概率论第二章习题解答(全)

概率论第二章习题解答(全)

概率论第二章习题1考虑为期一年的一张保险单,若投保人在投保一年内意外死亡,则公司赔付20万元,若投保人因其它原因死亡,则公司赔付5万元,若投保人在投保期末自下而上,则公司无需传给任何费用。

若投保人在一年内因意外死亡的概率为0.0002,因其它原因死亡的概率为0.0010,求公司赔付金额的分崣上。

解设赔付金额为X ,则X 是一个随机变量,取值为20万,5万,0,其相应的概率为0.0002;0.0010;0.9988,于是得分布律为X20(万)5万0xp 0.00020.00100.99882.(1)一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5。

在袋中同时取3只,以X 表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X 的分布律(2)将一颗骰子抛掷两次,以X 表示两次中得到的小的点数,试求X 的分布律。

解(1)在袋中同时取3个球,最大的号码是3,4,5。

每次取3个球,其总取法:35541021C ⋅==⋅,若最大号码是3,则有取法只有取到球的编号为1,2,3这一种取法。

因而其概率为22335511{3}10C P X C C ====若最大号码为4,则号码为有1,2,4;1,3,4;2,3,4共3种取法,其概率为23335533{4}10C P X C C ====若最大号码为5,则1,2,5;1,3,5;1,4,5;2,3,5;2,4,5;3,4,5共6种取法其概率为25335566{5}10C P X C C ====一般地3521)(C C x X p x -==,其中21-x C 为最大号码是x 的取法种类数,则随机变量X 的分布律为X 345xp 101103610(2)将一颗骰子抛掷两次,以X 表示两次中得到的小的点数,则样本点为S ={(1,1),(1,2),(1,3),…,(6,6)},共有36个基本事件,X 的取值为1,2,3,4,5,6,最小点数为1,的共有11种,即(1,1,),(1,2),(2,1)…,(1,6),(6,1),11{1}36P X ==;最小点数为2的共有9种,即(2,2),(2,3),(3,2),…,(3,6),(6,3),9{2}36P X ==;最小点数为3的共有7种,7{3}36P X ==;最小点数为4的共有5种,5{4}36P X ==;最小点数为5的共有3种,3{5}36P X ==;最小点数为6的共有1种,1{6}36P X ==于是其分布律为X 123456kp 11369367365363361363设在15只同类型的产品中有2只次品,在其中取3次,每次任取1只,作不放回抽样,以X 表示取出的次品的次数,(1)求X 的分布律;(2)画出分布律的图形。

概率论与数理统计(经管类)第二章课后习题答案

概率论与数理统计(经管类)第二章课后习题答案

习题2.11.设随机变量X 的分布律为P{X=k}=,k=1, 2,N,求常数a.aN 解:由分布律的性质=1得∑∞k =1p kP(X=1) + P(X=2) +…..+ P(X=N) =1N*=1,即a=1aN 2.设随机变量X 只能取-1,0,1,2这4个值,且取这4个值相应的概率依次为,,求常数c.12c 34c ,58c ,716c 解:12c +34c +58c +716c =1C=37163.将一枚骰子连掷两次,以X 表示两次所得的点数之和,以Y 表示两次出现的最小点数,分别求X,Y 的分布律.注: 可知X 为从2到12的所有整数值.可以知道每次投完都会出现一种组合情况,其概率皆为(1/6)*(1/6)=1/36,故P(X=2)=(1/6)*(1/6)=1/36(第一次和第二次都是1)P(X=3)=2*(1/36)=1/18(两种组合(1,2)(2,1))P(X=4)=3*(1/36)=1/12(三种组合(1,3)(3,1)(2,2))P(X=5)=4*(1/36)=1/9(四种组合(1,4)(4,1)(2,3)(3,2))P(X=6)=5*(1/36=5/36(五种组合(1,5)(5,1)(2,4)(4,2)(3,3))P(X=7)=6*(1/36)=1/6(这里就不写了,应该明白吧)P(X=8)=5*(1/36)=5/36P(X=9)=4*(1/36)=1/9P(X=10)=3*(1/36)=1/12P(X=11)=2*(1/36)=1/18P(X=12)=1*(1/36)=1/36以上是X 的分布律投两次最小的点数可以是1到6里任意一个整数,即Y 的取值了.P(Y=1)=(1/6)*1=1/6 一个要是1,另一个可以是任何值P(Y=2)=(1/6)*(5/6)=5/36 一个是2,另一个是大于等于2的5个值P(Y=3)=(1/6)*(4/6)=1/9 一个是3,另一个是大于等于3的4个值P(Y=4)=(1/6)*(3/6)=1/12一个是4,另一个是大于等于4的3个值P(Y=5)=(1/6)*(2/6)=1/18一个是5,另一个是大于等于5的2个值P(Y=6)=(1/6)*(1/6)=1/36一个是6,另一个只能是6以上是Y 的分布律了.4.设在15个同类型的零件中有2个是次品,从中任取3次,每次取一个,取后不放回.以X 表示取出的次品的个数,求X 的分布律.解:X=0,1,2X=0时,P=C 313C 315=2235X=1时,P=C 213∗C 12C 315=1235X=2时,P=C 013∗C 22C 315=1355.抛掷一枚质地不均匀的硬币,每次出现正面的概率为,连续抛掷8次,以X 表示出现正面的次数,求23X 的分布律.解:P{X=k}=, k=1, 2, 3, 8C k 8(23)k (13)8‒k 6.设离散型随机变量X 的分布律为X -123P141214解:求P {X ≤12}, P {23<X ≤52}, P {2≤X ≤3}, P {2≤X <3}P {X ≤12}=14P {23<X ≤52}=12P {2≤X ≤3}=12+14=34P {2≤X <3}=127.设事件A 在每一次试验中发生的概率分别为0.3.当A 发生不少于3次时,指示灯发出信号,求:(1)进行5次独立试验,求指示灯发出信号的概率;(2)进行7次独立试验,求指示灯发出信号的概率.解:设X 为事件A 发生的次数,(1)P {X ≥3}=P {X =3}+P {X =4}+P {X =5}=C 35(0.3)3(0.7)2+C 45(0.3)4(0.7)1+C 55(0.3)5(0.7)0=0.1323+0.02835+0.00243=0.163(2) P{X≥3}=1‒P{X=0}‒P{X=1}‒P{X=2}=1‒C07(0.3)0(0.7)7‒C17(0.3)1(0.7)6‒C27(0.3)2(0.7)5=1‒0.0824‒0.2471‒0.3177=0.3538.甲乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7.现各投3次,求两人投中次数相等的概率.解:设X表示各自投中的次数P{X=0}=C03(0.6)0(0.4)3∗C03(0.7)0(0.3)3=0.064∗0.027=0.002P{X=1}=C13(0.6)1(0.4)2∗C13(0.7)1(0.3)2=0.288∗0.189=0.054P{X=2}=C23(0.6)2(0.4)1∗C23(0.7)2(0.3)1=0.432∗0.441=0.191P{X=3}=C33(0.6)3(0.4)0∗C33(0.7)3(0.3)0=0.216∗0.343=0.074投中次数相等的概率= P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=0.3219.有一繁忙的汽车站,每天有大量的汽车经过,设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001.在某天的该段时间内有1000辆汽车经过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?(利用泊松分布定理计算)解:设X表示该段时间出事故的次数,则X~B(1000,0.0001),用泊松定理近似计算=1000*0.0001=0.1λP{X≥2}=1‒P{X=0}‒P{X=1}=1‒C01000(0.0001)0(0.9999)1000‒C11000(0.0001)1(0.9999)999=1‒e‒0.1‒0.1e‒0.1=1‒0.9048‒0.0905=0.004710.一电话交换台每分钟收到的呼唤次数服从参数为4的泊松分别,求:(1)每分钟恰有8次呼唤的概率;(2)每分钟的呼唤次数大于10的概率.解: (1) P{X=8}=P{X≥8}‒P{X≥9}=0.051134‒0.021363=0.029771(2) P{X>10}=P{X≥11}=0.002840习题2.21.求0-1分布的分布函数.解:F(x)={0, x<0q, 0≤x<11,x≥12.设离散型随机变量X的分布律为:3 OF 18X -123P0.250.50.25求X 的分布函数,以及概率,.P {1.5<X ≤2.5} P {X ≥0.5}解:當x <‒1時,F (x )=P {X ≤x }=0;當‒1≤x <2時,F (x )=P {X ≤x }=P {X =‒1}=0.25;當2≤x <3時,F (x )=P {X ≤x }=P {X =‒1}+P {X =2}=0.25+0.5=0.75;當x ≥3時,F (x )=P {X ≤x }=P {X =‒1}+P {X =2}+P {X =3}=0.25+0.5+0.25=1;则X 的分布函数F(x)为:F (x )={0, x <‒10.25, ‒1≤x <20.75, 2≤x <31, x ≥3P {1.5<X ≤2.5}=F (2.5)‒F (1.5)=0.75‒0.25=0.5 P {X ≥0.5}=1‒F (0.5)=1‒0.25=0.753.设F 1(x),F 2(x)分别为随机变量X 1和X 2的分布函数,且F(x)=a F 1(x)-bF 2(x)也是某一随机变量的分布函数,证明a-b=1.证: F (+∞)=aF (+∞)‒bF (+∞)=1,即a ‒b =14.如下4个函数,哪个是随机变量的分布函数:(1)F 1(x )={0, x <‒212, ‒2≤x <02, x ≥0(2)F 2(x )={0, x <0sinx, 0≤x <π1, x ≥π(3)F 3(x )={0, x <0sinx, 0≤x <π21, x ≥π2(4)F 4(x )={0, x <0x +13, 0<x <121, x ≥125.设随机变量X 的分布函数为F(x) =a+b arctanx ,‒∞<x <+∞,求(1)常数a,b;(2) P {‒1<X ≤1}解: (1)由分布函数的基本性质 得:F (‒∞)=0,F (+∞)=1{a +b ∗(‒π2)=0a +b ∗(π2)=1of backbone backbone role; to full strengthening members youth work, full play youth employees in company development in the of force role; to improve independent Commission against corruption work level, strengthening on enterprise business key link of effectiveness monitored. , And maintain stability. To further strengthen publicity and education, improve the overall legal system. We must strengthen safety management, establish and improve the education, supervision, and evaluation as one of the traffic safety management mechanism. To conscientiously sum up the Olympic security controls, promoting integrated management to a higher level, higher standards, a higher level of development. Employees, today is lunar calendar on December 24, the ox Bell is about to ring, at this time of year, we clearly feel the pulse of the XX power generation company to flourish, to more clearly hear XX power generation companies mature and symmetry breathing. Recalling past one another across a railing, we are enthusiastic and full of confidence. Future development opportunities, we more exciting fight more spirited. Employees, let us together across 2013 full of challenges and opportunities, to create a green, low-cost operation, fullof humane care of a world-class power generation company and work hard! The occasion of the Spring Festival, my sincere wish that you and the families of the staff in the new year, good health, happy, happy5 OF 18解之a=, b=121π(2)P {‒1<X ≤1}=F (1)‒F (‒1)=a +b ∗π4‒(a +b ∗‒π4)=b ∗π2=12(将x=1带入F(x) =a+b arctanx )注: arctan 为反正切函数,值域(), arctan1=‒π2,π2 π46.设随机变量X 的分布函数为F (x )={0, x <1lnx, 1≤x <e1, x ≥e求P {X ≤2},P {0<X ≤3},P {2<X ≤2.5}解: 注: P {X ≤2}=F(2)=ln2 F(x)=P {X ≤x }P {0<X ≤3}=F (3)‒F (0)=1‒0=1;P {2<X ≤2.5}=F (2.5)‒F (2)=ln2.5‒ln2=ln2.52=ln1.25习题2.31.设随机变量X 的概率密度为:f (x )={acosx, |x |≤π20, 其他.求: (1)常数a; (2);(3)X 的分布函数F(x).P {0<X <π4}解:(1)由概率密度的性质∫+∞‒∞f (x )dx =1,∫π2‒π2acosxdx =a sinx |π2‒π2=asin π2‒asin (‒π2)=asin π2+asin π2=a +a =1A =12(2)P {0<X <π4}=(12)sin(π4)‒(12)sin (0)=12∗22+12∗0=24一些常用特殊角的三角函数值正弦余弦正切余切0010不存在π/61/2√3/2√3/3√3π/4√2/2√2/211of backbone backbone role; to full strengthening members youth work, full play youth employees in company development in the of force role; to improve independent Commission against corruption work level, strengthening on enterprise business key link of effectiveness monitored. , And maintain stability. To further strengthen publicity and education, improve the overall legal system. We must strengthen safety management, establish and improve the education, supervision, and evaluation as one of the traffic safety management mechanism. To conscientiously sum up the Olympic security controls, promoting integrated management to a higher level, higher standards, a higher level of development. Employees, today is lunar calendar on December 24, the ox Bell is about to ring, at this time of year, we clearly feel the pulse of the XX power generation company to flourish, to more clearly hear XX power generation companies mature and symmetry breathing. Recalling past one another across a railing, we are enthusiastic and full of confidence. Future development opportunities, we more exciting fight more spirited. Employees, let us together across 2013 full of challenges and opportunities, to create a green, low-cost operation, full of humane care of a world-class power generation company and work hard! The occasion of the Spring Festival, my sincere wish that you and the families of the staff in the new year, good health, happy, happy(3)X 的概率分布为:F (x )={0, x <‒π212(1+sinx ), ‒π2≤x <π21, x ≥π2 2.设随机变量X 的概率密度为f (x )=ae ‒|x |, ‒∞<x <+∞,求: (1)常数a; (2); (3)X 的分布函数. P {0≤X ≤1}解:(1),即a=∫+∞‒∞f(x)dx =∫0‒∞ae x dx +∫+∞ae ‒x dx =a +a =112(2)P {0≤X ≤1}=F (1)‒F (0)=12(1‒e ‒1)(3)X 的分布函数F (x )={12e x, x ≤01‒12e ‒x, x >03.求下列分布函数所对应的概率密度:(1)F 1(x )=12+1πarctanx , ‒∞<x <+∞;解:(柯西分布)f 1(x )=1π(1+x 2)(2)F 2(x )={1‒e ‒x 22, x >00, x ≤0π/3√3/21/2√3√3/3π/210不存在0π-1不存在7 OF 18解:(指数分布) f 2(x )={x e ‒x 22, x >00, x ≤0(3)F 3(x )={0, x <0sinx , 0≤ x ≤π21, x >π2解: (均匀分布)f 3(x )={cosx , 0≤ x ≤π20, 其他4.设随机变量X 的概率密度为f (x )={x, 0≤x <12‒x, 1≤ x <20, 其他.求: (1); (2)P {X ≥12} P {12<X <32}.解:(1)P {X ≥12}=1‒F (12)=1‒1222=1‒18=78(2)(2)P {12<X <32}=F(32)‒F(12)=(2∗32‒1‒3222)‒(3222)=345.设K 在(0,5)上服从均匀分布,求方程(利用二次式的判别式)4x 2+4Kx +K +2=0有实根的概率.解: K~U(0,5)f (K )={15 , 0≤x ≤50, 其他方程式有实数根,则Δ≥0,即(4K)2‒4∗4∗(K +2)=16K 2‒16(K +2)≥02≤K ≤‒1故方程有实根的概率为:P {K ≤‒1}+P {K ≥2}=∫5215dx =0.66.设X ~ U(2,5),现在对X 进行3次独立观测,求至少有两次观测值大于3的概率.解:P {K >3}=1‒F (3)=1‒3‒25‒2=23至少有两次观测值大于3的概率为:C 23(23)2(13)1+C 33(23)3(13)0=20277.设修理某机器所用的时间X 服从参数为λ=0.5(小时)指数分布,求在机器出现故障时,在一小时内可以修好的概率.解: P {X ≤1}=F (1)=1‒e‒0.58.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分计)服从参数为λ=的指数分布,某顾客在窗口等待159 OF 18服务,若超过10分钟,他就离开.他一个月要到银行5次,以Y 表示他未等到服务而离开窗口的次数.写出Y 的分布律,并求P {Y ≥1}.解:“未等到服务而离开的概率”为P {X ≥10}=1‒F (10)=1‒(1‒e‒15∗10)=e ‒2P {Y =k }=C k 5(e ‒2)k(1‒e ‒2)5‒k , (k =0,1,2,3,4,5)Y 的分布律:Y 012345P0.4840.3780.1180.0180.0010.00004P {Y ≥1}=1‒P {Y =0}=1‒0.484=0.5169.设X ~ N(3,),求:22(1);P {2<X ≤5}, P {‒4<X ≤10}, P {|X |>2}, P {X >3}(2).常数c,使P {X >c }=P {X ≤c }解: (1)P {2<X ≤5}=Φ(5‒32)‒Φ(2‒32)=Φ(1)‒[1‒Φ(12)]=0.8413‒(1‒0.6915)=0.5328P {‒4<X ≤10}=Φ(10‒32)‒Φ(‒4‒32)=Φ(3.5)‒[1‒Φ(3.5)]=0.9998‒0.0002=0.9996 P {|X |>2}= 1‒P {‒2≤X ≤2}=1‒[Φ(2‒32)‒Φ(‒2‒32)]=1‒(0.3085‒0.0062)=0.6977P {X >3}= P {X ≥3}=1‒Φ(3‒32)=1‒Φ(0)=1‒0.5=0.5(2)P {X >c }=P {X ≤c }P {X >c }=1‒P {X ≥c }P {X >c }+P {X ≥c }=1Φ(c ‒32)+Φ(c ‒32)=1Φ(c ‒32)=0.5经查表,即C=3c ‒32=010.设X ~ N(0,1),设x 满足P {|X |>x }<0.1.求x 的取值范围.解:P {|X |>x }<0.12[1‒Φ(x )]<0.1‒Φ(x )<‒1920Φ(x )≥1920Φ(x )≥0.95经查表当 1.65时x ≥Φ(x )≥0.95即 1.65时x ≥P {|X |>x }<0.111.X ~ N(10,),求:22(1)P {7<X ≤15};(2)常数d,使P {|X ‒10|<d }<0.9.解: (1)P {7<X ≤15}=Φ(15‒102)‒Φ(7‒102)=Φ(2.5)‒[1‒Φ(1.5)]=0.9938‒0.0668=0.927(2)P {|X ‒10|<d }=P {10‒d <X <10+d }<0.9=Φ(10+d ‒102)‒Φ(10‒d ‒102)<0.9=Φ(d2)<0.95经查表,即d=3.3d2=1.6512.某机器生产的螺栓长度X(单位:cm)服从正态分布N(10.05,),规定长度在范围10.050.12内 0.062±为合格,求一螺栓不合格的概率.解:螺栓合格的概率为:P {10.05‒0.12<X <10.05+0.12}=P {9.93<X <10.17}=Φ(10.17‒10.050.06)‒Φ(9.93‒10.050.06)=Φ(2)‒[1‒Φ(2)]=0.9772∗2‒1=0.9544螺栓不合格的概率为1-0.9544=0.045613.测量距离时产生的随机误差X(单位:m)服从正态分布N(20,).进行3次独立测量.求:402(1)至少有一次误差绝对值不超过30m 的概率;(2)只有一次误差绝对值不超过30m的概率.解:(1)绝对值不超过30m的概率为:P{‒30<X<30}=Φ(30‒2040)‒Φ(‒30‒2040)=Φ(0.25)‒[1‒Φ(1.25)]=0.4931至少有一次误差绝对值不超过30m的概率为:1−C 03(0.4931)0(1‒0.4931)3=1‒0.1302=0.8698(2)只有一次误差绝对值不超过30m的概率为:C13(0.4931)1(1‒0.4931)2=0.3801习题2.41.设X的分布律为X-2023P0.20.20.30.3求(1)的分布律.Y1=‒2X+1的分布律; (2)Y2=|X|解: (1)的可能取值为5,1,-3,-5.Y1由于P{Y1=5}=P{‒2X+1=5}=P{X=‒2}=0.2P{Y1=1}=P{‒2X+1=1}=P{X=‒2}=0.2P{Y1=‒3}=P{‒2X+1=‒3}=P{X=2}=0.3P{Y1=‒5}=P{‒2X+1=‒5}=P{X=3}=0.3从而的分布律为:Y1X-5-315Y10.30.30.20.2(2)的可能取值为0,2,3.Y2由于P{Y2=0}=P{|X|=0}=P{X=0}=0.2P{Y2=2}=P{|X|=0}=P{X=‒2}+P{X=2}=0.2+0.3=0.5P{Y2=3}=P{|X|=3}=P{X=3}=0.3从而的分布律为:Y2X023Y20.20.50.32.设X的分布律为X-1012P0.20.30.10.411 OF 18求Y=(X‒1)2的分布律.解:Y的可能取值为0,1,4.由于P{Y=0}=P{(X‒1)2=0}=P{X=1}=0.1P{Y=1}=P{(X‒1)2=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.7P{Y=4}=P{(X‒1)2=4}=P{X=‒1}=0.2从而的分布律为:YX014Y0.10.70.23.X~U(0,1),求以下Y的概率密度:(1)Y=‒2lnX; (2)Y=3X+1; (3)Y=e x.解: (1) Y=g(x)=‒2lnX, 值域為(0,+∞),X=ℎ(y)=e‒Y2, ℎ'(y)=12e‒Y2 f Y(y)=f x(ℎ(y))| ℎ'(y)|=1∗12e‒Y2=12e‒Y2.即f Y(y)={12e‒Y2, y>0,0, y≤0(2) Y=g(x)=3X+1,值域為(‒∞,+∞), X=ℎ(y)=Y‒13, ℎ'(y)=13f Y(y)=f x(ℎ(y))| ℎ'(y)|=1∗13=13即f Y(y)={13, 1< y<4,0, 其他注: 由X~U(0,1),,当X=0时,Y=3*0+1=1; ,当X=1时,Y=3*1+1=4 Y=3X+1(3) Y=g(x)=e x, X=ℎ(y)=lny, ℎ'(y)=1yf Y(y)=f x(ℎ(y))| ℎ'(y)|=1∗1y=1y即f Y(y)={1y, 0< y<e,0, 其他注: ,当X=0时,; ,当X=1时,Y=e0=0 Y=e1=e4.设随机变量X的概率密度为f X(x)={32x2, ‒1<x<00, 其他.of backbone backbone role; to full strengthening members youth work, full play youth employees in company development in the of force role; to improve independent Commission against corruption work level, strengthening on enterprise business key link of effectiveness monitored. , And maintain stability. To further strengthen publicity and education, improve the overall legal system. We must strengthen safety management, establish and improve the education, supervision, and evaluation as one of the traffic safety management mechanism. To conscientiously sum up the Olympic security controls, promoting integrated management to a higher level, higher standards, a higher level of development. Employees, today is lunar calendar on December 24, the ox Bell is about to ring, at this time of year, we clearly feel the pulse of the XX power generation company to flourish, to more clearly hear XX power generation companies mature and symmetry breathing. Recalling past one another across a railing, we are enthusiastic and full of confidence. Future development opportunities, we more exciting fight more spirited. Employees, let us together across 2013 full of challenges and opportunities, to create a green, low-cost operation, fullof humane care of a world-class power generation company and work hard! The occasion of the Spring Festival, my sincere wish that you and the families of the staff in the new year, good health, happy, happy13 OF 18求以下Y 的概率密度:(1)Y=3X; (2) Y=3-X; (3)Y =X 2.解: (1) Y=g(x)=3X,X =ℎ(y )=Y 3, ℎ'(y)=13f Y (y )=f x (ℎ(y ))| ℎ'(y)|=Y 26∗13=Y218即f Y (y )={Y 218, ‒3< y <0,0, 其他(2)Y=g(x) =3-X, X=h(y) =3-Y,-1ℎ'(y)=f Y (y )=f x (ℎ(y ))| ℎ'(y)|=32∗(3‒Y)2+1=3(3‒Y)22即f Y (y )={3(3‒Y)22, 3< y <4,0, 其他(3), X=h(y)=,Y =g(x)=X 2Y ℎ'(y)=12Y,即f Y (y )=f x (ℎ(y ))| ℎ'(y)|=3Y 22∗1 2Y=3Y4f Y (y )={3Y4, 0< y <1,0, 其他5.设X 服从参数为λ=1的指数分布,求以下Y 的概率密度:(1)Y=2X+1; (2)(3) Y =e x; Y =X 2.解: (1) Y=g(x)=2X+1,X =ℎ(y )=Y ‒12, ℎ'(y )=12X 的概率密度为:f X (x )={λe ‒λx, x >0,0, x ≤0f Y (y )=f x (ℎ(y ))| ℎ'(y)|=λe ‒λ∗Y ‒12∗12=12e ‒Y ‒12即f Y (y )={12e ‒Y ‒12, y >00, 其他(2)Y =g (x )=e x , X =ℎ(y )=lnY,ℎ'(y )= 1Y注意是绝对值 ℎ'(y)of backbone backbone role; to full strengthening members youth work, full play youth employees in company development in the of force role; to improve independent Commission against corruption work level, strengthening on enterprise business key link of effectiveness monitored. , And maintain stability. To further strengthen publicity and education, improve the overall legal system. We must strengthen safety management, establish and improve the education, supervision, and evaluation as one of the traffic safety management mechanism. To conscientiously sum up the Olympic security controls, promoting integrated management to a higher level, higher standards, a higher level of development. Employees, today is lunar calendar on December 24, the ox Bell is about to ring, at this time of year, we clearly feel the pulse of the XX power generation company to flourish, to more clearly hear XX power generation companies mature and symmetry breathing. Recalling past one another across a railing, we are enthusiastic and full of confidence. Future development opportunities, we more exciting fight more spirited. Employees, let us together across 2013 full of challenges and opportunities, to create a green, low-cost operation, full of humane care of a world-class power generation company and work hard! The occasion of the Spring Festival, my sincere wish that you and the families of the staff in the new year, good health, happy, happyf Y (y )=f x (ℎ(y ))| ℎ'(y)|=e‒lnY∗1Y =1e lnY ∗1Y =1Y ∗1Y =1Y 2即f Y (y )={1Y2, y >10, 其他(3)Y =g (x )=X 2,X =ℎ(y )=Y , ℎ'(y )=12Y,,f Y (y )=f x (ℎ(y ))| ℎ'(y)|=e ‒Y∗12Y=12Ye ‒Y即f Y (y )={12Ye ‒Y, y >00, 其他6.X~N(0,1),求以下Y 的概率密度:(1) Y =|X |; (2)Y =2X 2+1解: (1) Y =g (x )=|X |, X =ℎ(y )=±Y, ℎ'(y )=1f X (x )=12πσe‒(x ‒μ)22σ2‒∞<x <+∞当X=+Y 时:f Y (y )=f x (ℎ(y ))| ℎ'(y)|=12πe‒y 22当X=-Y 时: f Y (y )=f x (ℎ(y ))| ℎ'(y)|=12πe ‒y 22故f Y (y )=12πe ‒y 22+12πe‒y 22=22πe ‒y 22=42πe‒y 22=2πe ‒y 22f Y (y )={2πe ‒y 22, y >00, y ≤0(2)Y =g (x )=2X 2+1, X =ℎ(y )=Y ‒12,ℎ'(y )=12Y ‒12永远大于0.e x 当x>0是,>1e xof backbone backbone role; to full strengthening members youth work, full play youth employees in company development in the of force role; to improve independent Commission against corruption work level, strengthening on enterprise business key link of effectiveness monitored. , And maintain stability. To further strengthen publicity and education, improve the overall legal system. We must strengthen safety management, establish and improve the education, supervision, and evaluation as one of the traffic safety management mechanism. To conscientiously sum up the Olympic security controls, promoting integrated management to a higher level, higher standards, a higher level of development. Employees, today is lunar calendar on December 24, the ox Bell is about to ring, at this time of year, we clearly feel the pulse of the XX power generation company to flourish, to more clearly hear XX power generation companies mature and symmetry breathing. Recalling past one another across a railing, we are enthusiastic and full of confidence. Future development opportunities, we more exciting fight more spirited. Employees, let us together across 2013 full of challenges and opportunities, to create a green, low-cost operation, fullof humane care of a world-class power generation company and work hard! The occasion of the Spring Festival, my sincere wish that you and the families of the staff in the new year, good health, happy, happy15 OF 18f Y (y )=f x (ℎ(y ))| ℎ'(y)|=12πe‒(Y ‒12)22∗12Y ‒12=12π(y ‒1)e‒y ‒14即f Y (y )={12π(y ‒1)e ‒y ‒14, y >10, y ≤1自测题一,选择题1,设一批产品共有1000件,其中有50件次品,从中随机地,有放回地抽取500件产品,X 表示抽到次品的件数,则P{X=3}= C .A. B.C. D.C 350C 497950C 5001000A 350A 497950A 5001000C 3500(0.05)3(0.95)497 35002.设随机变量X~B(4,0.2),则P{X>3}= A .A. 0.0016B. 0.0272C. 0.4096D. 0.8192解:P{X>3}= P{X=4}= (二项分布)C 44(0.2)4(1‒0.2)03.设随机变量X 的分布函数为F(x),下列结论中不一定成立的是D .A. B. C. D. F(x) 为连续函数F (+∞)=1 F (‒∞)=00≤F (x )≤14.下列各函数中是随机变量分布函数的为 B .A. B.F 1(x )=11+x 2, ‒∞<x <+∞F 2(x )={0, x ≤0x 1+x , x >0C.D.F 3(x )=e ‒x, ‒∞<x <+∞F 4(x )=34+12πarctanx, ‒∞<x <+∞5.设随机变量X 的概率密度为 则常数a= A .f (x )={a x 2, x >100, x ≤10A. -10B.C.D. 10解: F(x) =‒15001500∫+∞‒∞a x2dx =‒ax =16.如果函数是某连续型随机变量X 的概率密度,则区间[a,b]可以是 C f (x )={x, a<x <b0, 其他A. [0, 1]B. [0, 2]C. D. [1, 2][0,2]不晓得为何课后答案为Dof backbone backbone role; to full strengthening members youth work, full play youth employees in company development in the of force role; to improve independent Commission against corruption work level, strengthening on enterprise business key link of effectiveness monitored. , And maintain stability. To further strengthen publicity and education, improve the overall legal system. We must strengthen safety management, establish and improve the education, supervision, and evaluation as one of the traffic safety management mechanism. To conscientiously sum up the Olympic security controls, promoting integrated management to a higher level, higher standards, a higher level of development. Employees, today is lunar calendar on December 24, the ox Bell is about to ring, at this time of year, we clearly feel the pulse of the XX power generation company to flourish, to more clearly hear XX power generation companies mature and symmetry breathing. Recalling past one another across a railing, we are enthusiastic and full of confidence. Future development opportunities, we more exciting fight more spirited. Employees, let us together across 2013 full of challenges and opportunities, to create a green, low-cost operation, fullof humane care of a world-class power generation company and work hard! The occasion of the Spring Festival, my sincere wish that you and the families of the staff in the new year, good health, happy, happy7.设随机变量X 的取值范围是[-1,1],以下函数可以作为X 的概率密度的是 A A. B. {12, ‒1< x <10, 其他{2, ‒1< x <10, 其他C.D. {x, ‒1< x <10, 其他{x 2, ‒1< x <10, 其他8.设连续型随机变量X 的概率密度为 则= B .f (x )={x2, 0< x <20, 其他P{‒1≤ X ≤1}A. 0 B. 0.25 C. 0.5 D. 1解:P {‒1≤ X ≤1}=∫1‒1x2dx =x 24|1‒1=149.设随机变量X~U(2,4),则= A . (需在区间2,4内)P{3< x <4}A. B. P{2.25< x <3.25}P{1.5< x <2.5}C. D. P{3.5< x <4.5}P{4.5< x <5.5}10. 设随机变量X 的概率密度为 则X~ A .f (x )=122πe ‒(x ‒1)28A. N (-1, 2)B. N (-1, 4)C. N (-1, 8)D. N (-1, 16)11.已知随机变量X 的概率密度为fx(x),令Y=-2X,则Y 的概率密度fy(y)为 D .A.B.C.D. 2f X (‒2y)f X (‒y2)12f X(‒y2)12f X (y 2)二,填空题1.已知随机变量X 的分布律为X 12345P2a0.10.3a0.3则常数a= 0.1 .解:2a+0.1+0.3+a+0.3=12.设随机变量X 的分布律为X 123P162636记X 的分布函数为F(x)则F(2)=.解: 1216+263.抛硬币5次,记其中正面向上的次数为X,则=.P{ X ≤4}3132解:P { X ≤4}=1‒P { X =5}=1‒C 55(12)5(12)自己算的结果是12f X(‒y2)17 OF 184.设X 服从参数为λ(λ>0)的泊松分布,且,则λ= 2 .P { X =0}=12P { X =2}解:分别将.P { X =0},P { X =2}帶入P k =P { X =k }=λk k!e ‒λ5.设随机变量X 的分布函数为F (x )={0, x <a0.4, a ≤x <b1, x ≥b其中0<a<b,则= 0.4.P {a2<X <a +b 2}解:P { a 2<X <a +b 2}=F (a +b 2)‒F (a 2)=0.4‒0=0.46.设X 为连续型随机变量,c 是一个常数,则= 0.P { X =c }7. 设连续型随机变量X 的分布函数为F (x )={13e x, x <013(x +1), 0≤x <21, x ≥2则X 的概率密度为f(x),则当x<0是f(x)=.13e x 8. 设连续型随机变量X 的分布函数为其中概率密度为f(x),F (x )={1‒e ‒2x , x >00, x ≤0则f(1)= .2e ‒29. 设连续型随机变量X 的概率密度为其中a>0.要使,则常数a=f (x )={12a, ‒a < x <a 0, 其他P { X >1}=13 3 .解:P { X >1}=1‒P { X ≤1}=13,P { X ≤1}=23=12a10.设随机变量X~N(0,1),为其分布函数,则= 1 .Φ(x)Φ(x )+Φ(‒x)11.设X~N ,其分布函数为为标准正态分布函数,则F(x)与之间的关系是(μ,σ2)F (x ),Φ(x)Φ(x)=.F (x )Φ(x ‒μσ)12.设X~N(2,4),则= 0.5 .P { X ≤2}13.设X~N(5,9),已知标准正态分布函数值,为使,则Φ(0.5)=0.6915P { X <a }<0.6915常数a< 6.5. 解:, F (a )=Φ(a ‒μσ)=a ‒53a ‒53<0.514. 设X~N(0,1),则Y=2X+1的概率密度= .f Y (y )122πe‒(Y ‒1)28解:Y =g (x )=2X +1, X =ℎ(y )=Y ‒12,ℎ'(y )=12f Y (y )=f x (ℎ(y ))| ℎ'(y)|=12πe‒(Y ‒12)22∗12=122πe‒(Y ‒1)28三.袋中有2个白球3个红球,现从袋中随机地抽取2个球,以X 表示取到红球的数,求X 的分布律.解: X=0,1,2当X=0时,P { X =0}=C 03∗C 22C 25=110当X=1时,P { X =1}=C 13∗C 12C 25=610当X=2时,P { X =2}=C 23∗C 02C 25=310X 的分布律为:X 012P110610310四.设X 的概率密度为求: (1)X 的分布函数F(x);(2).f (x )={|x|, ‒1≤ x ≤10, 其他 P { X <0.5},P { X >‒0.5}解: (1)当x <-1时. F(x)=0;;当‒1≤x <0时,F(x)=∫x‒1‒x dx =‒x 22|x ‒1=12‒x 22当0≤x <1时,F (x )=1‒ 1∫xx dx =1‒x 22|1x =12+x 22当x ≥1时. F(x)=1F (X )={0, X <‒112‒x22, ‒1≤X <012+x22, 0≤X <11, X ≥1(2)P { X <0.5}=F (0.5)=12+0.522=58;P { X >‒0.5}=1‒F (‒0.5)=1‒(12‒0.522)=58五.已知某种类型电子组件的寿命X(单位:小时)服从指数分布,它的概率密度为f (x )={12000e ‒x 2000, x >00, x ≤0We will continue to improve the company's internal control system, and steady improvement in ability to manage and control, optimize business processes, to ensure smooth processes, responsibilities in place; to further strengthen internal controls, play a control post independent oversight role of evaluation complying with third-party responsibility; to actively make use of internal audit tools detect potential management, streamline, standardize related transactions, strengthening operations in accordance with law. Deepening the information management to ensure full communication "zero resistance". To constantly perfect ERP, and BFS++, and PI, and MIS, and SCM, information system based construction, full integration information system, achieved information resources shared; to expand Portal system application of breadth and depth, play information system on enterprise of Assistant role; to perfect daily run maintenance operation of records, promote problem reasons analysis and system handover; to strengthening BFS++, and ERP, and SCM, technology application of training, improve employees application information system of capacity and level. Humanistic care to ensure "zero." To strengthening Humanities care,continues to foster company wind clear, and gas are, and heart Shun of culture atmosphere; strengthening love helped trapped, care difficult employees; carried out style activities, rich employees life; strengthening health and labour protection, organization career health medical, control career against; continues to implementation psychological warning prevention system, training employees health of character, and stable of mood and enterprising of attitude, created friendly fraternity of Humanities environment. To strengthen risk management, ensure that the business of "zero risk". To strengthened business plans management, will business business plans cover to all level, ensure the business can control in control; to close concern financial, and coal electric linkage, and energy-saving scheduling, national policy trends, strengthening track, active should; to implementation State-owned assets method, further specification business financial management; to perfect risk tube control system, achieved risk recognition, and measure, and assessment, and report, and control feedback of closed ring management, improve risk prevention capacity. To further standardize trading, and strive to achieve "according to law, standardize and fair." Innovation of performance management, to ensure that potential employees "zero fly". To strengthen performance management, process control, enhance employee evaluation and levels of effective communication to improve performance management. To further quantify and refine employee standards ... Work, full play party, and branch, and members in "five type Enterprise" construction in the of core role, and fighting fortress role and pioneer model role; to continues to strengthening "four good" leadership construction, full play levels cadres in enterprise development in theof backbone backbone role; to full strengthening members youth work, full play youth employees in company development in the of force role; to improve independent Commission against corruption work level, strengthening on enterprise business key link of effectiveness monitored. , And maintain stability. To further strengthen publicity and education, improve the overall legal system. We must strengthen safety management, establish and improve the education, supervision, and evaluation as one of the traffic safety management mechanism. To conscientiously sum up the Olympic security controls, promoting integrated management to a higher level, higher standards, a higher level of development. Employees, today is lunar calendar on December 24, the ox Bell is about to ring, at this time of year, we clearly feel the pulse of the XX power generation company to flourish, to more clearly hear XX power generation companies mature and symmetry breathing. Recalling past one another across a railing, we are enthusiastic and full of confidence. Future development opportunities, we more exciting fight more spirited. Employees, let us together across 2013 full of challenges and opportunities, to create a green, low-cost operation, fullof humane care of a world-class power generation company and work hard! The occasion of the Spring Festival, my sincere wish that you and the families of the staff in the new year, good health, happy, happy19 OF 18一台仪器装有4个此种类型的电子组件,其中任意一个损坏时仪器便不能正常工作,假设4个电子组件损坏与否相互独立.试求: (1)一个此种类型电子组件能工作2000小时以上的概率;(2)一台仪器能正p 1常工作2000小时以上的概率.p 2解: (1)P 1=P {X ≥2000}=∫+∞200012000e‒x 2000dx=12000∗‒2000∗e‒x2000|+∞2000=‒e‒x 2000|+∞2000=0‒(‒e ‒1)=e ‒1(2)因4个电子组件损坏与否相互独立,故:P 2=P 14=(e ‒1)4=e ‒4当+∞带入‒x2000时变成负无穷大,e ‒∞=0。

概率论第二章练习答案解析

概率论第二章练习答案解析

《概率论》第二章 练习答案一、填空题:1.设随机变量X 的密度函数为f(x)=⎩⎨⎧02x 其它1〈⨯〈o 则用Y 表示对X 的3次独立重复的观察中事件(X≤21)出现的次数,则P (Y =2)= 。

⎰==≤412021)21(xdx X P649)43()41()2(1223===C Y p 2. 设连续型随机变量的概率密度函数为:ax+b 0<x<1f (x) =0 其他 且EX =31,则a = _____-2___________, b = _____2___________。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+→⎰⎰解之31)(011)(01dx b ax x dx b ax 3. 已知随机变量X 在[ 10,22 ] 上服从均匀分布,则EX= 16 , DX= 124. 设=+==)(,则,为随机变量,1041132ξξξξE E E 22104=+ξE =+)104(ξD []32161622=-=)(ξξξE E D 5. 已知X 的密度为=)(x ϕ 0b ax + 且其他,10<<x P (31<x )=P(X>31) ,则a = , b =⎰⎰⎰+=+⇒==+∞∞-10133131311dx b ax dx b ax x P x P dx x )()()〉()〈()(ϕ联立解得:4723=-=b a ,6.若f(x)为连续型随机变量X 的分布密度,则⎰+∞∞-=dx x f )(__1____。

7. 设连续型随机变量ξ的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=2,110,4/0,0)(2x x x x x F ,则 P (ξ=0.8)= 0 ;)62.0(<<ξP = 0.99 。

8. 某型号电子管,其寿命(以小时记)为一随机变量,概率密度)(x ϕ=()⎪⎩⎪⎨⎧≥)(01001002其他x x ,某一个电子设备内配有3个这样的电子管,则电子管使用150小时都不需要更换的概率为___8/27_____。

概率统计(概率论)第二章练习题答案及解析

概率统计(概率论)第二章练习题答案及解析

第二章习题与答案同学们根据自己作答的实际情况,并结合总正误率和单个题目正误统计以及答案解析来总结和分析习题!!!标红表示正确答案标蓝表示解析1、为掌握商品销售情况,对占该地区商品销售额60%的10家大型商场进行调查,这种调查方式属于( )。

A普查B抽样调查【解析:抽取一部分单位进行调查;习惯上将概率抽样(根据随机原则来抽取样本)称为抽样调查】C重点调查【解析:在调查对象中选择一部分重点单位进行调查的一种非全面调查】D统计报表2、人口普查规定标准时间是为了()。

A确定调查对象和调查单位B避免资料的重复和遗漏。

C使不同时间的资料具有可比性D便于登记资料【解析:规定时间只是为了统计该时间段内的人口数据,没有不同时间数据对比的需要】3、对一批灯泡的使用寿命进行调查,应该采用( )。

A普查 B重点调查 C典型调查D抽样调查4、分布数列反映( )。

A总体单位标志值在各组的分布状况B总体单位在各组的分布状况【解析:课本30页1.分布数列的概念一段最后一句】C总体单位标志值的差异情况D总体单位的差异情况5、与直方图比较,茎叶图( )。

A没有保留原始数据的信息B保留了原始数据的信息【解析:直方图展示了总体数据的主要分布特征,但它掩盖了各组内数据的具体差异。

为了弥补这一局限,对于未分组的原始数据则可以用茎叶图来观察其分布。

课本P38】C更适合描述分类数据D不能很好反映数据的分布特征6、在累计次数分布中,某组的向上累计次数表明( )。

A大于该组上限的次数是多少B大于该组下限的次数是多少C小于该组上限的次数是多少【解析:向上累计是由变量值小的组向变量值大的组累计各组的次数或频率,各组的累计次数表明小于该组上限的次数或百分数共有多少。

课本P33】D小于该组下限的次数是多少7、对某连续变量编制组距数列,第一组上限为500,第二组组中值是750,则第一组组中值为 ( )。

A. 200B. 250C. 500D. 300【解析:组中值=下限+组距/2=上限+组距/2】8、下列图形中最适合描述一组定量数据分布的是( )。

概率论第二章习题参考解答

概率论第二章习题参考解答

概率论第二章习题参考解答1. 用随机变量来描述掷一枚硬币的试验结果. 写出它的概率函数和分布函数. 解: 假设ξ=1对应于"正面朝上",ξ=0对应于反面朝上. 则 P (ξ=0)=P (ξ=1)=0.5 . 其分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=11105.000)(x x x x F 2. 如果ξ服从0-1分布, 又知ξ取1的概率为它取0的概率的两倍, 写出ξ的分布律和分布函数.解: 根据题意有 P (ξ=1)=2P (ξ=0) (1) 并由概率分布的性质知 P (ξ=0)+P (ξ=1)=1 (2) 将(1)代入(2)得3P (ξ=0)=1, 即P (ξ=0)=1/3 再由(1)式得 P (ξ=1)=2/3因此分布律由下表所示ξ0 1 P 1/32/3而分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>=<≤<=11103/100)(x x x x F 3. 如果ξ的概率函数为P {ξ=a }=1, 则称ξ服从退化分布. 写出它的分布函数F (x ), 画出F (x )的图形. 解: ⎩⎨⎧≥<=ax a x x F 10)(, 它的图形为4. 一批产品分一,二,三级, 其中一级品是二级品的两倍, 三级品是二级品的一半, 从这批产品中随机地抽取一个检验质量, 用随机变量描述检验的可能结果, 写出它的概率函数. 解 设ξ取值1,2,3代表取到的产品为一,二,三级, 则根据题意有 P (ξ=1)=2P (ξ=2) (1)P (ξ=3)=P (ξ=2)/2 (2) 由概率论性质可知P (ξ=1)+P (ξ=2)+P (ξ=3)=1 (3)(1),(2)代入(3)得:2P (ξ=2)+P (ξ=2)+P (ξ=2)/2=1解得P (ξ=2)=2/7, 再代回到(1)和(2)得 P (ξ=1)=4/7, P (ξ=3)=1/7 则概率函数为)3,2,1(271)(3=⨯==-i i P i ξ或列表如下:5. 一批产品20个, 其中有5个次品, 从这批产品中随意抽取4个, 求这4个中的次品数ξ的分布律.解: 基本事件总数为420C n =,有利于事件{ξ=i }(i =0,1,2,3,4)的基本事件数为ii i C C n -=4155, 则001.01731911718192051234)4(031.0171952121545171819201234)3(2167.01718191415231212141545171819201234)2(4696.01718191314151231314155171819201234)1(2817.01719137123412131415171819201234)0(445420115354202152542031515420415=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅===C C P C C C P C C C P C C C P C C P ξξξξξ 6. 一批产品包括10件正品, 3件次品, 有放回地抽取, 每次一件, 直到取得正品为止, 假定每件产品被取到的机会相同, 求抽取次数ξ的概率函数.解: 每次抽到正品的概率相同, 均为p =10/13=0.7692, 则每次抽到次品的概率q =1-p =0.2308则ξ服从相应的几何分布, 即有),3,2,1(1331310)(1=⎪⎭⎫⎝⎛⋅===-i pq i P i i ξ7. 上题中如果每次取出一件产品后, 总以一件正品放回去, 直到取得正品为止, 求抽取次数ξ的分布律.解: 这样抽取次数就是有限的, 因为总共只有3件次品, 即使前面三次都抽到次品,第四次抽时次品已经全部代换为正品, 因此必然抽到正品, 这样ξ的取值为1,2,3,4.不难算出,0027.0131132133)4(0328.01312132133)3(1953.01311133)2(7692.01310)1(=⋅⋅===⋅⋅===⋅=====ξξξξP P P Pξ的分布律如下表所示:8. 自动生产线在调整之后出现废品的概率为p , 当在生产过程中出现废品时立即重新进行调整, 求在两次调整之间生产的合格品数ξ的概率函数.解: 事件ξ=i 说明生产了i 次正品后第i +1次出现废品, 这是i +1个独立事件的交(1次发生i 次不发生, 因此有P (ξ=i )=p (1-p )i , (i =0,1,2,…)9. 已知随机变量ξ只能取-1,0,1,2四个值, 相应概率依次为cc c c 167,85,43,21, 确定常数c 并计算P {ξ<1|ξ≠0}.解: 根据概率函数的性质有1}2{}1{}0{}1{==+=+=+-=ξξξξP P P P即1167854321=+++cc c c 得2.3125163716710128167854321==+++=+++=c 设事件A 为ξ<1, B 为ξ≠0, (注: 如果熟练也可以不这样设)则32.0258167852121}2{}1{}1{}1{)0{}01{)()(}0|1{==++==+=+-=-==≠≠⋂<==≠<ξξξξξξξξξP P P P P P B P AB P P 10. 写出第4题及第9题中各随机变量的分布函数. 解: 第4题:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=31327/6217/410)(x x x x x F第9题:当x <-1时: F (x )=P (ξ≤x )=0 当-1≤x <0时: F (x )=P (ξ≤x )=P (ξ=-1)=2162.03125.22121=⨯=c 当0≤x <1时: F (x )=P (ξ≤x )=P (ξ=-1)+P (ξ=0)=5405.03125.243214321=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+c c 当1≤x <2时: F (x )=P (ξ≤x )=P (ξ=-1)+P (ξ=0)+P (ξ=1)=8108.03125.2854321854321=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++c c c 当x ≥2时: F (x )=P (ξ≤x )=1 综上所述, 最后得:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤--<=21218108.0105405.0012162.010)(x x x x x x F 11. 已知ξ~⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它1021)(x xx ϕ, 求ξ的分布函数F (x ), 画出F (x )的图形.解: 当x <0时: F (x )=0;当0≤x <1时:xx xt x t dt t dt t dt dt t x F xxx=-==+-⋅==+==+--∞-∞-⎰⎰⎰⎰00012112121210)()(12102100ϕ 当x ≥1时: F (x )=1 综上所述, 最后得⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=111000)(x x xx x F 图形为12. 已知ξ~⎩⎨⎧<<=其它0102)(x x x ϕ, 求P {ξ≤0.5}; P (ξ=0.5);F (x ).解: 25.005.020)(}5.0{225.0025.005,0|=-==+==≤⎰⎰⎰∞-∞-x xdx dx dx x P ϕξ, 因ξ为连续型随机变量, 因此取任何点的概率均为零, 所以P {ξ=0.5}=0,求F (x ): 当x <0时, F (x )=0 当0≤x <1时, 220|20)()(x t tdt dt dt t x F xxx==+==⎰⎰⎰∞-∞-ϕ 当x ≥1时, F (x )=1 综上所述, 最后得:⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=111000)(2x x x x x F 13. 某型号电子管, 其寿命(以小时计)为一随机变量, 概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≥=其它0100100)(2x x x ϕ, 某一个电子设备内配有3个这样的电子管, 求电子管使用150小时都不需要更换的概率.解: 先求一个电子管使用150小时以上的概率P (ξ≥150)为:3215010012100100)()150(|150121502150==+-===≥∞++-+∞+∞⎰⎰x dx xdx x P ϕξ 则3个这样的电子管构成贝努里独立试验概型, 试验三次发生三次的概率为2963.027832)3(33==⎪⎭⎫⎝⎛=p14. 设连续型随机变量ξ的分布函数为:⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=111000)(2x x Ax x x F 求系数A ; P (0.3<ξ<0.7); 概率密度φ(x ).解: 因ξ是连续型随机变量, 因此F (x )也必是连续曲线, 则其在第二段(0,1)区间的曲线必能和第三段(1,+∞)的曲线接上, 则必有 A ×12=1, 即A =1. 则分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=111000)(2x x x x x F P (0.3<ξ<0.7)=F (0.7)-F (0.3)=0.72-0.32=0.49-0.09=0.4概率密度φ(x )为⎩⎨⎧<≤='=其它0102)()(x x x F x ϕ15. 服从柯西分布的随机变量ξ的分布函数是F (x )=A +B arctg x , 求常数A ,B ;P {|ξ|<1}以及概率密度φ(x ). 解: 由F (-∞)=0, 得A +Barctg (-∞)=02=-πB A(1)再由F (+∞)=1,得12)arctg(=+=+∞+πB A B A(2)综和(1),(2)两式解得π1,21==B A 即x x F arctg 121)(π+=5.0214411111)1()1()11()1|(|==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--==--=--=<<-=<πππππξξarctg arctg F F P P2111)()(x x F x +⋅='=πϕ16. 服从拉普拉斯分布的随机变量ξ的概率密度||)(x Ae x -=ϕ, 求系数A 及分布函数F (x ).解: 这实际上是一个分段函数, φ(x )可重新写为⎩⎨⎧<≥=-0)(x Aex Ae x xxϕ 根据性质1)(=⎰+∞∞-dx x ϕ, 又因φ(x )为偶函数, 因此有1222)(|==-==∞+-+∞-+∞∞-⎰⎰A Aedx Aedx x x xϕ, 则有A =1/2因此⎪⎩⎪⎨⎧<≥==--02102121)(||x e x e ex x x x ϕ.求分布函数F (x ). 当x <0时, 有xxtxt x e e dt e dt t x F 212121)()(====∞-∞-∞-⎰⎰ϕ当x ≥0时, 有x x xtxt t x e e e dt e dt e dt t x F ----∞-∞--=+-=-=+==⎰⎰⎰21121212121212121)()(00ϕ 综上所述, 最后得⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-0211021)(x e x ex F x x17. 已知⎩⎨⎧<<+-=其它01031212)(~2x x x x ϕξ, 计算P {ξ≤0.2|0.1<ξ≤0.5}解: 设事件A ={ξ≤0.2}, B ={0.1<ξ≤0.5}, 则要计算的是条件概率P (A |B ), 而)()()|(B P AB P B A P =, 而事件AB ={ξ≤0.2}∩{0.1<ξ≤0.5}={0.1<ξ≤0.2} 因此有148.03.006.0004.06.024.0032.0)1.0301.06001.04()2.0304.06008.04()364(d )31212()(}2.01.0{)(2.01.0232.01.022.01.0=-+-+-=⨯+⨯-⨯-⨯+⨯-⨯==+-=+-==≤<=⎰⎰x x x xx x dx x P AB P ϕξ256.03.006.0004.05.15.15.0)1.0301.06001.04()5.0325.06125.04()364(d )31212()(}5.01.0{)(5.01.0235.01.025.01.0=-+-+-=⨯+⨯-⨯-⨯+⨯-⨯==+-=+-===≤<=⎰⎰x x x xx x dx x P B P ϕξ最后得5781.0256.0148.0)()()|(}5.01.0|2.0{====≤<≤B P AB P B A P P ξξ18. 已知xxce x +-=2)(~ϕξ, 确定常数c .解: 首先证明普阿松广义积分π=⎰+∞∞--x e xd 2, 因为函数2x e -并不存在原函数, 因此需要一技巧. 令⎰+∞∞--=x eI x d 2, 则⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+-+∞∞--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=y x e x e I y x x d d d )(22222作极坐标代换, 令θθsin ,cos r y r x ==, 则积分区间为全平面, 即θ从0积到2π, r 从0积到+∞, 且θd d d d r r y x =, 因此有πππθπ====∞+-+∞-+∞-⎰⎰⎰020202222)d(212rr r e r e rdr ed I , 所以I =π.现确定常数c , 由性质1)(=⎰+∞∞-dx x ϕ,1d d 41)21(414141212222====⎰⎰⎰+∞∞---+∞∞-+-⋅⋅+-+∞∞-+-πcedx ecex cex cex x x xx得421πe c =19. 已知⎩⎨⎧>>=-其它)0()(~λλϕξλa x e c x x, 求常数c 及P {a -1<ξ≤a +1}.解: 由性质1)(=⎰+∞∞-dx x ϕ得1d d 0)(|==-=+=-∞+-+∞-∞-+∞∞-⎰⎰⎰aax ax ace ce x e c x dx x λλλλϕ 解得 aec λ=, 因此有⎩⎨⎧>>=--其它)0()()(λλϕλa x e x a x则λλλλλλϕξ---+---+--=-==+==+≤<-⎰⎰⎰⎰e e due x ex x x a a P u u a aa x a a a a 1d d 0d )()11(|111)(111求边缘概率分布, 与是否独立?解: 按下表计算ξ与η的边缘分布:得的边缘分布如下表所示:当i =1及j =0时,因202.026.0}0{}1{0}0,1{)2(0)1(110⨯====≠====ηξηξP P p p P p因此ξ与η相互间不独立.21. 假设电子显示牌上有3个灯泡在第一排, 5个灯泡在第二排. 令ξ,η分别表示在某一规定时间内第一排和第二排烧坏的灯泡数. 若ξ与η的联合分布如下表所示: 试计算在规定时间内下列事件的概率: (1) 第一排烧坏的灯泡数不超过一个; (2) 第一排与第二排烧坏的灯泡数相等;(3) 第一排烧坏的灯泡数不超过第二排烧坏的灯泡数.解: 假设事件A 为第一排烧坏的灯泡数不超过一个, B 为第一排与第二排烧坏的灯泡数相等, C 为第一排烧坏的灯光数不超过第二排烧坏的灯泡数. 则事件A 发生的概率为上表中头两排概率之和52.008.006.005.004.002.001.009.007.005.003.001.001.0)(104=++++++++++++==∑∑==i j ij p A P事件B 发生的概率为上表中从0行0列开始的斜对角线之和14.006.005.002.001.0)(3=+++==∑=i ii p B P事件C 发生的概率为上表中斜对角线上右的各个数相加(包括斜对角线上的数), 但为减少运算量, 也可以考虑其逆事件C 的概率, 然后用1减去它. 而C 的概率为上表中斜对角线的左下角的所有概率之和(不包括斜对角线):89.011.01)04.001.003.001.001.001.0(1)(1)(=-=+++++-=-=C P C P22. 袋中装有标上号码1,2,2的3个球, 从中任取一个并且不再放回, 然后再从袋中任取一球, 以ξ, η分别记为第一,二次取到球上的号码数, 求(ξ,η)的分布律(袋中各球被取机会相同).解: 因为有两个2一个1, 因此第一次取到2号的概率为P (ξ=2)=2/3, 第一次取到1号的概率为P (ξ=1)=1/3. 第一次取到2号后还剩下一个2号一个1号, 则在此条件下第二次取到1号的概率P (η=1|ξ=2)=P (η=2|ξ=2)=1/2. 而第一次取到1号后还剩下两个2号, 因此这时P (η=1|ξ=1)=0, P (η=2|ξ=1)=1. 综上所述并用乘法法则可得312132)2|2()2()2,2(312132)2|1()2()1,2(31131)1|2()1()2,1(0031)1|1()1()1,1(22211211=⨯=========⨯=========⨯=========⨯========ξηξηξξηξηξξηξηξξηξηξP P P p P P P p P P P p P P P p23. (ξ , η)只取下列数组中的值:)0,2()31,1()1,1()0,0(--且相应的概率依次为1/6, 1/3, 1/12, 5/12. 列出(ξ,η)的概率分布表, 写出关于η的边缘分布. 解: 从上面数组可知ξ只取-1,0,2这三个值, 而η只取0,31,1这三个值, 因此总共可构成九个. 概率分布表及η的边缘分布计算如下即η的边缘分布率如下表所示24. 袋中装有标上号码1,2,2,3的4个球, 从中任取一个并且不再放回, 然后再从袋中任取一球, 以ξ, η分别记为第一,二次取到球上的号码数, 求(ξ,η)的分布律(袋中各球被取机会相同).解: 第一次取到号码1,2,3的概率为P{ξ=1}=P(ξ=3)=1/4P{ξ=2}=1/2在第一次取到号码i条件下,第二次取到号码j的概率各为P{η=1|ξ=1}=P{η=3|ξ=3}=0P{η=2|ξ=1}=P{η=2|ξ=3}=2/3P{η=3|ξ=1}=P{η=1|ξ=3}=1/3P{η=1|ξ=2}=P{η=3|ξ=2}=1/3P{η=2|ξ=2}=1/3则p11=P{ξ=1,η=1}=P{ξ=1}P{η=1|ξ=1}=0p12=P{ξ=1,η=2}=P{ξ=1}P{η=2|ξ=1}=1/6p13=P{ξ=1,η=3}=P{ξ=1}P{η=3|ξ=1}=1/12p21=P{ξ=2,η=1}=P{ξ=2}P{η=1|ξ=2}=1/6p22=P{ξ=2,η=2}=P{ξ=2}P{η=2|ξ=2}=1/6p23=P{ξ=2,η=3}=P{ξ=2}P{η=3|ξ=2}=1/6p31=P{ξ=3,η=1}=P{ξ=3}P{η=1|ξ=3}=1/12p32=P{ξ=3,η=2}=P{ξ=3}P{η=2|ξ=3}=1/6p33=P{ξ=3,η=3}=P{ξ=3}P{η=3|ξ=3}=025. 表示随机地在1-4的4个整数中取出的一个整数,η表示在1-ξ中随机地取出的一个整数值,求(ξ,η)的联合概率分布.解: 因ξ取四个数中的任何一个概率相等, 因此有P{ξ=i}=1/4, (i=1,2,3,4)而在ξ=i的条件下, (i=1,2,3,4), η取1到i的概率也相同,为1/i, 即P{η=j|ξ=i}=1/i, (i=1,2,3,4;j=1-i)因此有p ij=P{ξ=i,η=j}=P{ξ=i}P{η=j|ξ=i}=1/(4i), (i=1,2,3,4; j=1-i),联合概率分布如下表所示:26. 已知(ξ,η)~⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+=其它04,0)sin(),(πϕy x y x c y x ,试确定常数c 并求η的边缘概率密度.解: 根据性质1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dydx y x ϕ, 有1)12(]220122[)]4sin([sin )]4cos([cos )]cos([)sin(40440404040=-=+--=+-=+-=+-=+⎰⎰⎰⎰c c x x c x x dx c y x dx c dydx y x c ππππππππ解得12)12)(12(12121+=+-+=-=c ,因此,⎪⎩⎪⎨⎧≤≤++=其它04,0)sin()12(),(πϕy x y x y x求η的边缘概率密度: 当40π≤≤y 时:)8sin(22)12()]4cos()[cos 12()cos()12()sin()12(),()(4042ππϕϕκπ+-+==+-+==++-=++==⎰⎰∞+∞-y y y y x dx y x dx y x y上式后一等式利用了三角函数公式2sin 2sin2cos cos A B A B B A -+=-, 而计算三角函数8sin π的值, 又是在已知224cos=π的前提下,利用半角公式2cos 12sin θθ-=得222222124cos18sin-=-=-=ππ当y 取区间]4,0[π之外的值时, 0)(1=y ϕ.因此最后得:⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+=其它040)8sin(22)12()(2ππϕy y y27. 已知ξ服从参数p =0.6的0-1分布, 在ξ=0及ξ=1条件下, 关于η的条件分布分别如下二表所示:求二元随机变量(,)的联合概率分布, 以及在≠1时关于的条件分布. 解: 根据题意已知P {ξ=0}=1-p =1-0.6=0.4, P {ξ=1}=p =0.6 则根据乘法法则有:p 01=P {ξ=0,η=1}=P {ξ=0}P {η=1|ξ=0}=0.4×(1/4)=0.1 p 02=P {ξ=0,η=2}=P {ξ=0}P {η=2|ξ=0}=0.4×(1/2)=0.2 p 03=P {ξ=0,η=3}=P {ξ=0}P {η=3|ξ=0}=0.4×(1/4)=0.1 p 11=P {ξ=1,η=1}=P {ξ=1}P {η=1|ξ=1}=0.6×(1/2)=0.3 p 12=P {ξ=1,η=2}=P {ξ=1}P {η=2|ξ=1}=0.6×(1/6)=0.1 p 13=P {ξ=1,η=3}=P {ξ=1}P {η=3|ξ=1}=0.6×(1/3)=0.2由表中可以算出P {η≠1}=1-P {η=1}=1-(p 01+p 11)=1-0.4=0.6 P {ξ=0,η≠1}=p 02+p 03=0.2+0.1=0.3 P {ξ=1,η≠1}=p 12+p 13=0.1+0.2=0.3 因此有5.06.03.0}1{}1,1{}1|1{5.06.03.0}1{}1,0{}1|0{==≠≠==≠===≠≠==≠=ηηξηξηηξηξP P P P P P则在η≠1时关于ξ的条件分布律如下表所示:28. 第22题中的两个随机变量ξ与η是否独立?当ξ=1时η的条件分布是什么?: , 因为 P {ξ=1}=1/3, P {η=1}=1/3 而P {ξ=1,η=1}=0≠P {ξ=1}P {η=1} 在ξ=1条件下, 因13/13/1}1{}2,1{}1|2{03/10}1{}1,1{}1|1{================ξηξξηξηξξηP P P P P P因此在此条件下η服从单点分布或退化分布, 只取值为2, 取值为2的条件概率为1.=p i (1)p j (2), 算得联合分布律如下表所示 根据此联合分布律可算出43129611211)2/1,2/1()1,1(1)0(1)0(121484481161)1,0()3,2()1(==--==-==-=-=-==+-=≠+==+===+=-===+ηξηξηξηξηξηξηξP P P P P P P30. 测量一矩形土地的长与宽, 测量结果得到如下表所示的分布律(长与宽相互独立), 求周解: 因ζ=2ξ+2η, 可知ζ的取值为96,98,100,102,104, 又因ξ与η独立, 因此有 P {ζ=96}==P {ξ=29}P {η=19}=0.3×0.3=0.09P {ζ=98}=P {ξ=29}P {η=20}+P {ξ=30}P {η=19}=0.3×0.4+0.5×0.3=0.27 P {ζ=100}=P {ξ=29}P {η=21}+P {ξ=30}P {η=20}+P {ξ=31}}P {η=19}==0.3×0.3+0.5×0.4+0.2×0.3=0.35P {ζ=102}=P {ξ=30}P {η=21}+P {ξ=31}P {η=20}=0.3×0.5+0.2×0.4=0.23 P {ζ=104}=P {ξ=31}P {η=21}=0.2×0.3=0.06η的分布.解: 因周长=2πR , 面积=πR , 因此当半径R 取值10,11,12,13时, ξ的取值为62.83, 69.12,32. 一个商店每星期四进货, 以备星期五,六,日3天销售, 根据多周统计, 这3天销售件数 ξ问三天销售总量∑==31i iξη这个随机变量可以取哪些值?如果进货45件, 不够卖的概率是多少? 如果进货40件, 够卖的概率是多少?解: 因η的取值为ξ1,ξ2,ξ3三个随机变量可能取值之和, 因此可能的取值为从10+13+17=40到12+15+19=46之间的每一个整数值, 即40,41,42,43,44,45,46. 因此, 如进货15件, 不够卖的概率在η取值为46时出现, 即 P {η=46}=P {ξ1=12}P {ξ2=15}P {ξ3=19}=0.1×0.1×0.1=0.001 如进货40件, 够卖的概率发生在η取值为40时出现, 即P {η=40}=P {ξ1=10}P {ξ2=13}P {ξ3=17}=0.2×0.3×0.1=0.006 33. 求出第22题中ξ+η的分布律.ξ与η的联合分布律如下表: 则P {+=2}=P {=1,=1}=0P {ξ+η=3}=P {ξ=1,η=2}+P {ξ=2,η=1}=2/3 P {ξ+η=4}=P {ξ=2,η=2}=1/334. 求出第23题中ξ-η的分布律 解: 因(ξ , η)只取下列数组中的值:)0,2()31,1()1,1()0,0(--且相应的概率依次为1/6, 1/3, 1/12, 5/12.因此ξ-η也只取0-0=0, -1-1=-2, -1-1/3=-4/3, 2-0=2这四个值, 相应的概率也还是依次为1/6, 35. 已知P {ξ=k }=a /k , P {η=-k }=b /k (k =1,2,3), ξ与独立, 确定a ,b 的值; 求出(ξ,η)的联合概率分布以及ξ+η的概率分布. 解: 由概率分布的性质有131211}{31=⎪⎭⎫⎝⎛++==∑=a k P k ξ, 解得 5455.0116312111==++=a,191411}{31=⎪⎭⎫⎝⎛++=-=∑=b k P k η 解得 7347.04936914111==++=b 因此有P {ξ=1}=0.5455, P {ξ=2}=0.5455/2=0.2727, P {ξ=3}=0.1818 P {η=-1}=0.7347, P {η=-2}=0.1837, P {η=-3}=0.0816 因ξ与η独立, 则有p 11=P {ξ=1,η=-1}=P {ξ=1}P {η=-1}=0.5455×0.7347=0.4008 p 12=P {ξ=1,η=-2}=P {ξ=1}P {η=-2}=0.5455×0.1837=0.1002 p 13=P {ξ=1,η=-3}=P {ξ=1}P {η=-3}=0.5455×0.0816=0.0445 p 21=P {ξ=2,η=-1}=P {ξ=2}P {η=-1}=0.2727×0.7347=0.2004 p 22=P {ξ=2,η=-2}=P {ξ=2}P {η=-2}=0.2727×0.1837=0.0501 p 23=P {ξ=2,η=-3}=P {ξ=2}P {η=-3}=0.2727×0.0816=0.0223 p 31=P {ξ=3,η=-1}=P {ξ=3}P {η=-1}=0.1818×0.7347=0.1336 p 32=P {ξ=3,η=-2}=P {ξ=3}P {η=-2}=0.1818×0.1837=0.0333 p 33=P {ξ=3,η=-3}=P {ξ=3}P {η=-3}=0.1818×0.0816=0.0148计算+的概率分布: P {ξ+η=-2}=p 13=0.0445P {ξ+η=-1}=p 12+p 23=0.1002+0.0223=0.1225P {ξ+η=0}=p 11+p 22+p 33=0.4008+0.0501+0.0148=0.4657 P {ξ+η=1}=p 21+p 32=0.2004+0.0333=0.2337 P{ξ+η=2}=p 31=0.1336即ξ+η的概率分布率如下表所示36. 已知服从区间[0,1]上的均匀分布, 求的函数=3+1的概率分布. 解: 根据题意知ξ的概率密度φξ(x )为⎩⎨⎧≤≤=其它0101)(x x ξϕ 则η的分布函数为)31(}31{}13{}{)(-=-≤=≤+=≤=x F x P x P x P x F ξηξξη 对其求导得η的概率密度与ξ的概率密度间的关系为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤=-=-'='=其它其它041310131031)31(31)31(31)()(x x x x F x F x ϕϕξηη即η服从在区间[1,4]上的均匀分布.37. 已知ξ~⎪⎩⎪⎨⎧>+=其它0)1(2)(2x x x πϕ, ξηln =, 求η的概率密度.解: 求η的分布函数F η(x )为)(}{}{ln }{)(x x e F e P x P x P x F ξηξξη=≤=≤=≤=因e x 总大于0, 而当x 大于0时F ξ(x )为x t t t dt t x F x xxarctg 2arctg 2d )1(2)()(|002πππϕξ==+==⎰⎰∞- 因此有x x e e F x F arctg 2)()(πξη==则η的概率密度为其分布函数的求导:xx ee x F x 212)()(+⋅='=πϕηη。

概率论与数理统计习题及答案-第二章

概率论与数理统计习题及答案-第二章
P( X 15) 1 0.000069
k0 k !
(2) P(保险公司获利不少于 10000)
P(30000 2000X 10000) P(X 10)
10 e5 5k
0.986305
k0 k !
即保险公司获利不少于 10000 元的概率在 98%以上
5
分别为随机变量 X,Y 的概率分布,如果已知 P{X≥1}= ,试求 P{Y≥1}.
9
5
4
【解】因为 P( X 1) ,故 P( X 1) .
9
9

P( X 1) P(X 0) (1 p)2
故得
(1 p)2 4 ,
9
1

p .
3
从而
P(Y 1) 1 P(Y 0) 1 (1 p)4 65 0.80247
3 0.512
4.(1) 设随机变量 X 的分布律为
2
k P{X=k}= a ,
k!
其中 k=0,1,2,…,λ>0 为常数,试确定常数 a. (2) 设随机变量 X 的分布律为
P{X=k}=a/N, k=1,2,…,N, 试确定常数 a. 【解】(1) 由分布律的性质知
1

P( X
习题二
1.一袋中有 5 只乒乓球,编号为 1,2,3,4,5,在其中同时取 3 只,以 X 表示取出的 3 只
球中的最大号码,写出随机变量 X 的分布律.
【解】
X 3, 4, 5
故所求分布律为
1 P( X 3) 0.1
C35 3 P( X 4) 0.3 C35 P( X 5) C24 0.6 C35

概率论与数理统计-第二章习题附答案

概率论与数理统计-第二章习题附答案

概率论与数理统计-第二章习题附答案习题2-21. 设A 为任一随机事件, 且P (A )=p (0<p <1). 定义随机变量1,,0,A X A =⎧⎨⎩发生不发生.写出随机变量X 的分布律. 解X0 1P1-p p2. 已知随机变量X 只能取-1,0,1,2四个值,且取这四个值的相应概率依次为c c c c 167,85,43,21. 试确定常数c , 并计算条件概率}0|1{≠<X X P .解 由离散型随机变量的分布律的性质知,13571,24816c c c c+++= 所以3716c =.所求概率为P {X <1| X≠}=258167852121}0{}1{=++=≠-=cc c c X P X P .3. 设随机变量X 服从参数为2, p 的二项分布, 随机变量Y 服从参数为3, p 的二项分布, 若{P X ≥51}9=, 求{P Y ≥1}. 解 注意p{x=k}=kk n knC p q -,由题设5{9P X =≥21}1{0}1,P X q =-==- 故213q p =-=. 从而{P Y≥32191}1{0}1().327P Y =-==-=4. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知至少成功一次的概率为1927, 求每次试验成功的概率.解 设每次试验成功的概率为p , 由题意知至少成功一次的概率是2719,那么一次都没有成功的概率是278. 即278)1(3=-p , 故 p =31. 5. 若X 服从参数为λ的泊松分布, 且{1}{3}P X P X ===, 求参数λ.解 由泊松分布的分布律可知6=λ.6. 一袋中装有5只球, 编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只球, 以X 表示取出的3只球中的最大号码, 写出随机变量X 的分布律.解 X 的分布律是X3 4 5 P 110 31035 习题2-3X -1 01P0.15 0.200.65求分布函数F (x ), 并计算概率P {X <0}, P {X <2},P {-2≤X <1}.解 (1) F (x )=0,1,0.15,10,0.35,01,1,1.x x x x <-⎧⎪-<⎪⎨<⎪⎪⎩≤≤≥(2) P {X <0}=P {X =-1}=0.15;(3) P {X <2}= P {X =-1}+P {X =0}+P {X =1}=1;(4) P {-2≤x <1}=P {X =-1}+P {X =0}=0.35. 2. 设随机变量X 的分布函数为F (x ) = A +B arctan x -∞<x <+∞.试求: (1) 常数A 与B ; (2) X 落在(-1, 1]内的概率.解 (1) 由于F (-∞) = 0, F (+∞) = 1, 可知()0112,.2()12A B A B A B πππ⎧+-=⎪⎪⇒==⎨⎪+=⎪⎩(2){11}(1)(1)P X F F -<=--≤1111(arctan1)(arctan(1))22ππ=+-+- 11111().24242ππππ=+⋅---= 3. 设随机变量X 的分布函数为F (x )=0, 0, 01,21,1,,x xx x <<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ ≤ ≥求P {X ≤-1}, P {0.3 <X <0.7}, P {0<X ≤2}.解 P {X 1}(1)0F -=-=≤,P {0.3<X <0.7}=F (0.7)-F {0.3}-P {X =0.7}=0.2,P {0<X ≤2}=F (2)-F (0)=1.习题2-41. 选择题(1) 设2, [0,],()0, [0,].x x c f x x c ∈=∉⎧⎨⎩如果c =( ), 则()f x 是某一随机变量的概率密度函数.(A) 13. (B) 12. (C) 1. (D) 32. 本题应选(C ).(2) 设~(0,1),X N 又常数c 满足{}{}P X c P X c =<≥, 则c 等于( ).(A) 1. (B) 0. (C) 12. (D) -1. 本题应选(B).(3) 下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是( ).(A) cos ,[0,],()0,x x f x π∈=⎧⎨⎩其它. (B) 1,2,()20,x f x <=⎧⎪⎨⎪⎩其它.(C)22()2,0,()20,0.≥x x f x x μσπσ--=<⎧⎪⎨⎪⎩ (D)e ,0,()0,0.≥x x f x x -=<⎧⎨⎩本题应选(D).(6) 设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ,Y 服从正态分布222(,)N μσ,且12{1}{1},P X P Y μμ-<>-< 则下式中成立的是( ).(A) σ1 < σ2. (B) σ1 > σ2. (C) μ1<μ2. (D) μ1 >μ2.答案是(A).(7) 设随机变量X 服从正态分布N (0,1), 对给定的正数)10(<<αα, 数αu 满足{}P X u αα>=, 若{}P X x α<=, 则x 等于( ).(A) 2u α . (B) 21α-u . (C) 1-2u α.(D)α-1u .答案是(C).2. 设连续型随机变量X 服从参数为λ的指数分布, 要使1{2}4P k X k <<=成立, 应当怎样选择数k ? 解X 其分布函数为1e ,0,()0,0.≤x x F x x λ-->=⎧⎨⎩由题意可知221{2}(2)()(1e )(1e )e e 4k k k kP k X k F k F k λλλλ----=<<=-=---=-.于是ln 2k λ=.3. 设随机变量X 有概率密度34,01,()0,x x f x <<=⎧⎨⎩其它,要使{}{}≥P X a P X a =<(其中a >0)成立, 应当怎样选择数a ?解 由条件变形,得到1{}{}P X a P X a -<=<,可知{}0.5P X a <=, 于是34d 0.5ax x =⎰, 因此42a =. 4. 设连续型随机变量X 的分布函数为20,0,()01,1,1,,≤≤x F x x x x <=>⎧⎪⎨⎪⎩求: (1) X 的概率密度; (2){0.30.7}P X <<.解 (1) 由()()F x f x '=得2,01,()0,其它.x x f x <<⎧=⎨⎩(2) 22{0.30.7}(0.7)(0.3)0.70.30.4P X F F <<=-=-=.5. 设随机变量X 的概率密度为f (x )= 2,01,0,x x ⎧⎨⎩ ≤≤ 其它,求P {X ≤12}与P {14X <≤2}. 解{P X≤12201112d 2240}x x x ===⎰; 1{4P X <≤12141152}2d 1164x x x ===⎰.6. 设连续型随机变量X 具有概率密度函数,01,(),12,0,x x f x A x x <=-<⎧⎪⎨⎪⎩≤≤其它.求: (1) 常数A ;(2) X 的分布函数F (x ).解 (1) 由概率密度的性质可得1222011201111d ()d []122x x A x x x Ax x A =+-=+-=-⎰⎰, 于是 2A =; (2) 由公式()()d x F x f x x -∞=⎰可得(过程简略)220,0,1()221, 2.1,021,12x F x x x x x x x =->⎧⎪⎪<⎪⎨⎪-<⎪⎪⎩≤≤,≤,7. 设随机变量X 的概率密度为1(1),02,()40,x x f x ⎧⎪⎨⎪⎩+<<=其它,对X 独立观察3次, 求至少有2次的结果大于1的概率. 解 2115{1}(1)d 48P X x x >=+=⎰.所以, 3次观察中至少有2次的结果大于1的概率为223333535175()()()888256C C +=.8. 设~(0,5)X U , 求关于x 的方程24420x Xx ++=有实根的概率.解 若方程有实根, 则 21632X -≥0, 于是2X ≥2. 故方程有实根的概率为P {2X ≥2}=21{2}P X -<1{22}P X =--<<21d 5x =-215=-10. 设随机变量2~(2,)X N σ, 若{04}0.3P X <<=, 求{0}P X <.解 因为()~2,X N σ2,所以~(0,1)X Z N μσ-=. 由条件{04}0.3P X <<=可知02242220.3{04}{}()()X P X P ΦΦσσσσσ---=<<=<<=--, 于是22()10.3Φσ-=, 从而2()0.65Φσ=. 所以{{}2020}P P X X σσ==--<<22()1()0.35ΦΦσσ-=-=.习题2-52. 设~(1,2),23X N Z X =+, 求Z 所服从的分布及概率密度.解 若随机变量2~(,)X N μσ, 则X 的线性函数Y aX b =+也服从正态分布, 即2~(,()).Y aX b N a b a μσ=++ 这里1,2μσ==所以Z ~(5,8)N .概率密度为()f z =2(5)16,4x x π---∞<<+∞. 3. 已知随机变量X 的分布律为X-1137P 0.37 0.05 0.2 0.13 0.25(1) 求Y =2-X 的分布律; (2) 求Y =3+X 2分布律.解 (1)2-X-5 -1 1 2 3P 0.25 0.13 0.2 0.05 0.37 (2) 3+X 23 4 12 52P 0.05 0.57 0.13 0.254. 已知随机变量X 的概率密度为()X f x =1142ln 20x x <<⎧⎪⎨⎪⎩, , , 其它,且Y =2-X , 试求Y 的概率密度.解 )(y F Y={P Y ≤}{2y P X =-≤}{y P X =≥2}y -1{2}P X y =-<-=1-2()d yX f x x--∞⎰. 于是可得Y 的概率密度为121,2(2)ln 20, ,()其它.Y y y f y -<<-⎧⎪=⎨⎪⎩5. 设随机变量X 服从区间(-2,2)上的均匀分布, 求随机变量2Y X =的概率密度.解 因为对于0<y <4,(){Y F y P Y=≤2}{y P X =≤}{y P y =-X y ()()XX F y F y =--.于是随机变量2Y X =的概率密度函数为()Y f y ()22X X f y f y yy=-0 4.4y y=<< 即 ()04,40,.其它f y y y=<<⎩。

概率论与数理统计第二章课后习题及参考答案

概率论与数理统计第二章课后习题及参考答案

于是, X 的分布律为
P ( X k ) p k 1 (1 p ) (1 p ) k 1 p , k 2,3, .
7.随机变量 X 服从泊松分布,且 P ( X 1) P ( X 2) ,求 P ( X 4) 及 P ( X 1) .
3
解: P ( X 1) P ( X 2) ,
(3) 方法 1: P (1 X 3) P ( X 1) P ( X 1) P ( X 2) 1 . 方法 2: P (1 X 3) F (3) F (1 0) 1 0 1 . 4.一制药厂分别独立地组织两组技术人员试制不同类型的新药.若每组成功的 概率都是 0.4,而当第一组成功时,每年的销售额可达 40000 元;当第二组成 功时,每年的销售额可达 60000 元,若失败则分文全无.以 X 记这两种新药 的年销售额,求 X 的分布律. 解:设 Ai {第 i 组取得成功}, i 1,2 , 由题可知, A1 , A2 相互独立,且 P ( A1 ) P ( A2 ) 0.4 . 两组技术人员试制不同类型的新药, 共有四种可能的情况:A1 A2 ,A1 A2 ,A1 A2 ,
2
P ( X 0) P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 ) 0.36 ,
60000 0.24
40000 0.24
0 0.36
5.对某目标进行独立射击,每次射中的概率为 p ,直到射中为止,求: (1) 射击次数 X 的分布律;(2) 脱靶次数 Y 的分布律. 解:(1) 由题设, X 所有可能的取值为 1,2,…, k ,…, 设 Ak {射击时在第 k 次命中目标},则
1 ln 3) ;(3) 分布函数 F ( x) . 2

概率论与数理统计答案第2章

概率论与数理统计答案第2章

P{ X = −3} =
2 1 3 1 1 = , P{ X = 1} = = , P{ X = 2} = , 6 3 6 2 6 1 1 2 2⎞ 1⎟; ⎟ 6⎠ 1 , 3 1 1 5 + = , 3 2 6
⎛− 3 故 X 的分布列为 X ~ ⎜ 1 ⎜ ⎝ 3
当 x < −3 时,F (x) = P{X ≤ x} = P (∅) = 0, 当 −3 ≤ x < 1 时, F ( x) = P{ X ≤ x} = P{ X = −3} =
k 故概率为 P{ X ≤ 3} = ∑ P{ X = k} = ∑ C100 ⋅ 0.01k ⋅ 0.99100− k = 0.9816 . k =0 k =0 3 3
2
注:此题 n = 100 很大,p = 0.01 很小,n p = 1 较小,可用泊松分布近似计算, 取λ = n p = 1, X ~ & P (1) ,查表得 P{X ≤ 3} = 0.9810. 9. 假设一小时内进入学校图书馆的学生人数服从泊松分布, 已知一小时无学生进入图书馆的概率为 0.01, 求一小时内至少有 2 名学生进入图书馆的概率. 解:设 X 表示一小时内进入图书馆的学生人数,有 X ~ P (λ ),且 P{X = 0} = e −λ = 0.01, 则λ = − ln0.01 = 4.6052, 故概率为 P{X ≥ 2} = 1 − P{X = 0} − P{X = 1} = 1 − e −λ − λ e −λ = 1 − 0.01 − 0.0461 = 0.9439. 注:此题查表可得此概率的近似值,由 X ~ P (λ ),且 P{X = 0} = 0.01,查表可得λ ≈ 4.5, 故 P{X ≥ 2} = 1 − P{X ≤ 1} = 1 − 0.0611 = 0.9389.

概率论与数理统计习题及答案第二章.doc

概率论与数理统计习题及答案第二章.doc

习题 2-21. 设 A 为任一随机事件 , 且 P ( A )= p (0< p <1). 定义随机变量1, 发生 ,XA0, 不发生 .A写出随机变量 X 的分布律 .解 { =1}= ,{ =0}=1- p .P X p P X或者X 0 1P1- pp2. 已知随机变量X 只能取 -1,0,1,2 四个值 , 且取这四个值的相应概率依次为1 , 3 , 5 , 7. 试确定常数 c ,并计算条件概率 P{ X1 | X0} .2c 4c 8c 16c解 由离散型随机变量的分布律的性质知,1 3 571,2c4c8c 16c37所以 c .161P{ X1}8所求概率为{ <1|X0 }=2c.P XP{ X 0}1 5 7252c 8c 16c3. 设随机变量 X 服从参数为 2, p 的二项分布 , 随机变量 Y 服从参数为 3, p 的二项分布 ,若P{X ≥1}5, 求P{Y ≥1}.9解 注意 p{x=k}=C n k p k q n k , 由题设 5P{ X ≥1}1 P{ X0} 1 q 2 ,9故 q1 p2 从而.3P{Y ≥1} 1 P{ Y 0}1 (2 )3 19 .3 274. 在三次独立 的重复试验中 , 每次试验成功的概率相同 , 已知至少成功一次的概率19为, 求每次试验成功的概率 .27解设每次试验成功的概率为p , 由题意知至少成功一次的概率是19,那么一次都27没有成功的概率是8 . 即 (1 p)38 ,故p = 1 .272735. 若 X 服从参数为的泊松分布 ,且P{X1} P{ X 3}, 求参数 .解 由泊松分布的分布律可知 6 .6. 一袋中装有 5 只球 , 编号为 1,2,3,4,5.在袋中同时取 3 只球, 以 X 表示取出的 3 只球中的最大号码 , 写出随机变量 X 的分布律 .解 从 1,2,3,4,5 中随机取 3 个,以 X 表示 3 个数中的最大值, X 的可能取值是 3,4,5,在 5 个数中取 3 个共有C 5310 种取法 .{ =3} 表示取出的 3 个数以 3 为最大值, P{=3}=C 22= 1;C 53 10{ =4} 表示取出的 3 个数以 4 为最大值, P{=4}=C 323 ;C 53 10 { =5} 表示取出的 3 个数以 5 为最大值, P{=5}=C 423 .5 C 53X 的分布律是X 3 45P13310105习题 2-31. 设 X 的分布律为X -11P求分布函数( ), 并计算概率 { <0},{ <2},{-2 ≤ <1}.F xPXPXPX0, x 1, 解 (1)0.15, 1≤ x 0,F ( x )=0≤ x 1,0.35, 1,x ≥1.(2) P { X <0}= P { X =-1}=; (3) P { X <2}= P { X =-1}+ P { X =0}+P { X =1}=1; (4) P {-2 ≤ x <1}= P { X =-1}+ P { X =0}=.2. 设随机变量 X 的分布 函数为( ) = + arctan x - ∞< <+∞.F xA Bx试求 : (1) 常数 A 与 B ; (2)X 落在 (-1, 1] 内的概率 .解 (1) 由于 (- ∞)=0,(+∞)=1, 可知F FA B()1 12A, B.A B( )122于是F ( x) 1 1arctan x, x .2(2) P{ 1X ≤1} F (1) F ( 1)1 1 1 1arctan( 1))( arctan1) (2 21 1 1 1 () 1 .2424 23. 设随机变量 X 的分布函数为F ( x )=0,x 0, x,0≤x 1,1,x ≥1,求 P { X ≤ -1}, P { < X <}, P {0< X ≤ 2}.解 P {X ≤ 1} F( 1) 0,P {< X <}= F - F {}- P { X =}=, P {0< X ≤2}= F (2)- F (0)=1.5.X 的绝对值不大于1;P{ X1}1 1}1 假设随机变量 ,P{X; 在事件{ 1 X 1} 出现的条件下 ,84X 在 (-1,1) 内任一子区间上取值的条件概率与该区间的长度成正比 . (1) 求 X 的分布函数 F ( x) P{ X ≤ x }; (2)求 X 取负值的概率 p .解 (1) 由条件可知 ,当 x1时,F ( x) 0 ;当 x 1 时 , F ( 1) 1;当 x 1时 , 8F (1)= P { X ≤ 1}= P ( S )=1.所以P{ 1 X1} F (1) F ( 1)P{X 1}1 1 514.88易见 , 在 X 的值属于 (1,1) 的条件下 , 事件 { 1 X x} 的条件概率为P{ 1 X ≤ x | 1X 1} k[ x( 1)],取 x =1 得到 1= k (1+1),所以 k = 1.2x 1 . 因此P{ 1 X ≤x | 1 X 1}于是 , 对于1 x 1 ,有2P{ 1X ≤ x} P{ 1X ≤ x, 1 X 1}P{ 1 X 1} P{ 1 X ≤ x | 1 X 1}5 x 1 5x 5 . 对于 x ≥1,8 2 16有 F ( x) 1. 从而0, x 1, F ( x)5x 7 , 1x 1,161, ≥x1.(2) X 取负值的概率p P{ X0} F(0) P{ X0} F (0) [F(0)F (0 )] F (0 )7 . 习题 2-4161. 选择题设 f ( x)2x, x [0, c],则 f ( x) 是某一随机变量的概率(1)0,x如果 c =(),[0, c].密度函数 .(A)1(B)1.(C) 1.(D)3.2.3c2f ( x)dx 11 ,于是 c 1解 由概率密度函数的性质可得2xdx, 故本题应选 (C ).(2) 设 X ~ N (0,1), 又常数 c 满足 P{ X ≥ c} P{ X c} , 则 c 等于 ( ).(A) 1.(B) 0.(C)1 (D) -1..2解因为P{ X ≥ c} P{ X c} ,所以 1 P{ X c} P{ X c} , 即2P{ Xc} 1, 从而 P{X c} 0.5 , 即 ( c) 0.5 , 得 c =0. 因此本题应选 (B).(3) 下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是( ).cos x, x [0, ],1x2,(A)f (x)(B)f (x),0,其它 .20,其它 .1( x) 2x≥22e,≥ 0,e , x0, (C)f (x) (D)f ( x)20, x0.0,x 0.解 由概率密度函数的性质f ( x)dx 1 可知本题应选 (D).(4) 设随机变量X ~ N(,42) , Y~N(,52), P 1P{X ≤4 },P 2 PY ≥ 5 }, 则( ).(A) 对任意的实数 , P 1P 2 . (B) 对任意的实数 , P 1 P 2 .(C) 只对实数的个别值 ,有P 1 P 2 . (D) 对任意的实数 , P P .12解 由正态分布函数的性质可知对任意的实数, 有P 1( 1) 1 (1) P 2 .因此本题应选 (A).Xf xf (x)f ( x)F x(5) 设随机变量 的概率密度为 , 且 , 又( )为分布函数 , 则对任意实数 a , 有 ( ).a(A)F ( a) 1∫0 f (x)dx .(B)F ( a)(C) F ( a)F ( a) . (D) Fa解由分布函数的几何意义及概率密度的性质知答案为1 a2 ∫0f ( x)dx.2F ( a) 1 .(B).(6) 设随机变量X 服从正态分布N (1, 12 ) , Y 服从正态分布 N ( 2, 22) ,且P{ X11} P{ Y21},则下式中成立的是 (). (A) σ1 < σ2 .(B)σ 1 > σ 2 .(C)μ1 <μ2 .(D)μ1 >μ2 .解 答案是 (A). XN(0 1)u 满足(7) 设随机变量 服从正态分布对给定的正数, 数(0,1),P{ X u }, 若P{X x}, 则 x 等于 ().(A)u .(B)u.(C)u 1-.(D)u 1.2122解 答案是 (C).2. 设连续型随机变量 X 服从参数为的指数分布 ,要使P{ kX 2k}1成立 ,4应当怎样选择数 k ?解 因为随机变量 X 服从参数为的指数分布 , 其分布函数为F ( x)1 e x , x 0,0,x ≤ 0.由题意可知1 P{ k X 2k} F(2k) F ( k) (1 e2 k )(1 e k ) e k e 2 k .4于是kln 2.3. 设随机变量 X 有概率密度f ( x) 4 x 3 , 0 x 1, 0,其它 ,要使 P{ X ≥ a}P{ Xa} ( 其中 a >0) 成立 , 应当怎样选择数 a ?解由条件变形 , 得到 1P{ Xa} P{ Xa},可知P{ X a} 0.5 ,于是a3dx 0.5,因此 a14x.424. 设连续型随机变量 X 的分布函数为0,x 0,F ( x)x 2 , 0≤x ≤1,1,x 1,求: (1)X 的概率密度 ; (2) P{0.3 X 0.7} .解 (1)根据分布函数与概率密度的关系F ( x)f ( x) ,可得f (x)2x, 0 x 1,0, 其它 .(2)P{0.3 X0.7}F (0.7) F (0.3) 0.720.320.4 .5. 设随机变量 X 的概率密度为2x,0≤ x ≤1,f ( x ) =其它 ,0,求P {X ≤ 1}与P {1< X ≤2}.241}11 1解P{X ≤ 22xdx x 22 ;24P{ 1 X ≤2}1 2 xdx x 2 1 15 .1444 166. 设连续型随机变量 X 具有概率密度函数x,0 x ≤1,f ( x) Ax,1x ≤2,0,其它 .求 : (1) 常数 A ; (2) X 的分布函数 F ( x ).解 (1) 由概率密度的性质可得11 2( A x)dx1 x2xdx12于是A 2;(2) 由公式 F ( x) xf ( x)dx可得当 x ≤0 时 , F ( x) 0 ; 当 0x ≤1时 ,F( x)x1 x2 ;xdx2当 1x ≤2时 ,F ( x)1x(2xdx1当 x >2 时,F ( x) 1.0,1 x2 , 所以F ( x)2 x 22x1,2112[ Ax x 2]A 1,21x 2 x)dx 2x1;2x ≤ 0,0 x ≤ 1,1 x ≤ 2,1,x2.7. 设随机变量 X 的概率密度为1f ( x) 4( x 1), 0 x 2,0, 其它 ,对 X 独立观察 3 次, 求至少有 2 次的结果大于 1 的概率 . 解根据概率密度与分布函数的关系式P{ a X ≤ b} F (b) F ( a)b f ( x)dx ,a可得P{ X 1} 21 ( x 1)dx 54.1 8 所以 , 3 次观察中至少有2 次的结果大于 1 的概率为C 2(5)2(3) C 3 ( 5)3 175 .8 8 2568 4x 2 8. 设 X ~U(0,5) , 求关于 x 的方程 4 Xx 2 0 有实根的概率 .解 随机变量 X 的概率密度为1, ≤ x 5,f ( x)50, 其它 ,若方程有实根 , 则16 X 232≥0, 于是 X 2 ≥ 2. 故方程有实根的概率为P { X 2 ≥2}= 1P{ X 2 2}1 P{2 X2}1 21dx0 512 .59. 设随机变量 X ~ N(3,22) .(1)计算 P{2 X ≤5} , P{ 4 X ≤10}, P{| X | 2}, P{X 3};(2)确定 c 使得P{ X c} P{ X ≤ c}; (3) 设 d 满足 P{ X d}≥0.9 , 问 d 至多为多少?解 (1) 由 P { a <x ≤ b }= P { a3 X 3 ≤ b 3 } Φ( b 3 ) Φ( a 3)公式,得到2 2 2 22XΦ(1) Φ( 0.5) 0.5328P,{2< ≤5}=P {-4< X ≤10}= Φ(3.5) Φ( 3.5) 0.9996,P{|X|2}=P{X2} +P{X2}=1 2 32 3Φ() +Φ(2 ) =,2P{ X 3} =1 P{ X ≤3} 1Φ( 3 3 ) 1 Φ(0) = .2(2) 若P{Xc}P{ X ≤ c} , 得 1P{ X ≤ c}P{ x ≤ c} ,所以P{ X ≤ c} 0.5由 Φ(0) =0 推得c3 0, 于是 c =3.2 Φ(d3(3)P{ X d}≥ 0.9 即1)≥ 0.9 , 也就是2Φ( d 3 )≥ 0.9 Φ(1.282) ,2因分布函数是一个不减函数, 故(d 3)≥ 1.282,2解得d ≤ 3 2 ( 1.282) 0.436 .10. 设随机变量 X ~ N (2, 2) , 若 P{0 X4} 0.3 , 求 P{X 0} .解 因为X ~ N2,所以 ZX~ N(0,1). 由条件 P{0 X4} 0.3可知0.3 P{0 X4}0 2X 24 22(2P{}( )) ,于是 222 ( )10.3从而 ( )0.65 .,P{X 0}P{X202}(22 所以) 1( ) 0.35.习题 2-5 1. 选择题(1) 设 X 的分布函数为 F ( x ), 则 Y 3 X 1 的分布函数 G y 为( ).(A) F (1 1 (B)F (3 y 1) .y) .3311(C)3F ( y) 1.(D)F ( y).3 3解 由随机变量函数的分布可得 , 本题应选 (A).(2) 设X~N 01 ,令YX 2, 则Y ~().(A)N( 2, 1). (B)N(0,1) . (C) N( 2,1) . (D)N (2,1) .解 由正态分布函数的性质可知本题应选 (C).2. 设 X ~ N(1,2), Z 2X 3 , 求 Z 所服从的分布及概率密度 . 解 若随机变量 X ~ N(,2) , 则 X 的线性函数 YaX b 也服从正态分布 , 即Y aX b ~ N( a b,( a ) 2). 这里 1,2 , 所以 Z ~ N(5,8) .概率密度为1 ( x 5) 2f (z)16,x.e43. 已知随机变量 X 的分布律为X -1137P(1) 求 =2- X 的分布律; (2) 求 =3+ 2分布律 .YYX解 (1)2-X-5-1123P(2)3+X 23 41252P4. 已知随机变量 X 的概率密度为1, 1 x 4,f X ( x)=2 x ln 20,其它,且 Y =2- X , 试求 Y 的概率密度 .解 先求Y的分布函数F Y ( y):F Y ( y) = P{ Y ≤ y}P{2X ≤ y}P{X ≥2 y}2 y1 P{ X 2y} =1-f X ( x)dx.于是可得 Y 的概率密度为1, 1 2 y4,f Y ( y)f X (2y)(2 y)=2(2 y) ln 20,其它 .1, 2 y1,f Y ( y)即2(2 y) ln 20,其它 .5. 设随机变量 X 服从区间 (-2,2) 上的均匀分 布, 求随机变量 YX 2 的概率密度 .解 由题意可知随机变量 X 的概率密度为f X ( x)1 ,2 x2,40, 其它 .因为对于 0<y <4,F Y ( y) P{ Y ≤ y} P{ X 2 ≤ y} P{y ≤ X ≤ y }F X ( y ) F X ( y ) .于是随机变量YX 2 的概率密度函数为f Y ( y)1 f X ( y )11 , 0 y 4.f X ( y )y4 2 y2 yf ( y)1 , 0 y 4,即4 y0,其它 .总习题二1. 一批产品中有 20%的次品 , 现进行有放回抽样 , 共抽取 5 件样品 . 分别计算这 5 件样品中恰好有 3 件次品及至多有 3 件次品的概率 .解 以 X 表示抽取的 5 件样品中含有的次品数 . 依题意知 X ~ B(5,0.2) .(1) 恰好有 3 件次品的概率是 P X C 5 0.2 3 0.8 .{ =3}= 3 23(2) 至多有 3 件次品的概率是C 5k 0.2k 0.85 k .k 02. 一办公楼装有 5 个同类型的供水设备 . 调查表明 , 在任一时刻 t 每个设备被使用 的概率为 . 问在同一时刻(1) 恰有两个设备被使用的概率是多少? (2) 至少有 1 个设备被使用的概率是多少? (3) 至多有 3 个设备被使用的概率是多少?(4) 至少有 3 个设备被使用的概率是多少?解 以 X 表示同一时刻被使用的设备的个数,则X ~B (5,,{ = }=k k5 kP X kC 50.1 0.9, k =0,1, ,5.(1) 所求的概率是 P XC 50.1 0.90.0729 ;{ =2}=223(2)所求的概率是 P X(1 0.1)5 0.40951 ;{ ≥ 1}=1(3)所求的概率是{ ≤ 3}=1-P{ =4}- { =5}=;P XXP X(4) 所求的概率是 P { X ≥ 3}= P { X =3}+ P { X =4}+ P { X =5}=.3. 设随机变量 X 的概率密度为xkf ( x)e , x ≥0,0, x0,1且已知k θ, 求常数.,2k x解由概率密度的性质可知dx1得到 k =1.e1x1由已知条件1, 得.1 e dx2ln 24. 某产品的某一质量指标 X ~ N(160, 2 ) , 若要求 P{120 ≤X ≤ 200} ≥, 问允许最大是多少 ?解 由P{120 ≤ ≤ 200} P{ 120 160 X160 200 160X≤ ≤ }= ( 404040) (1( ))2 ( ) 1≥,( 40 ) ≥ , 40最大值为 .得到 查表得 ≥ , 由此可得允许5.设随机变量 X 的概率密度为( x ) = e -| x | , - ∞< <+∞.φX A x试求 : (1) 常数 ; (2) {0< <1}; (3)的分布函数 .AP X解 (1)由于(x)dxAe |x|dx 1, 即2 Ae x dx 1故 2A = 1, 得1到A = .2所以φ( x ) =1 e -|x |.2(2) P {0< X <1} = 11 xdx1 ( e x 11 e 10.316.e2 ) 220 (3)因为 F ( x)x1 e |x| 得到2 dx,11当 x <0 时 , F ( x)x x x ,2 e dx 2e当 x ≥0 时,F ( x)1 0x1 xe x1 x,2e dx2dx 1 e21e x ,x0,所以 X 的分布函数为F ( x)21 ex,1 x ≥ 0.2。

概率论第二章练习答案

概率论第二章练习答案

概率论第二章练习答案 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】《概率论》第二章练习答案一、填空题:1.设随机变量X 的密度函数为f(x)=⎩⎨⎧02x 其它1〈⨯〈o 则用Y 表示对X 的3次独立重复的观察中事件(X≤21)出现的次数,则P (Y =2)= 。

2. 设连续型随机变量的概率密度函数为: ax+b 0<x<1f (x) =0 其他且EX =31,则a = _____-2___________, b = _____2___________。

3. 已知随机变量X 在[ 10,22 ] 上服从均匀分布,则EX= 16 , DX= 124. 设=+==)(,则,为随机变量,1041132ξξξξE E E 22104=+ξE 5. 已知X 的密度为=)(x ϕb ax + 且其他,10<<x P (31<x )=P(X>31) , 则a = , b =⎰⎰⎰+=+⇒==+∞∞-10133131311dx b ax dx b ax x P x P dx x )()()〉()〈()(ϕ联立解得:6.若f(x)为连续型随机变量X 的分布密度,则⎰+∞∞-=dx x f )(__1____。

7. 设连续型随机变量ξ的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=2,110,4/0,0)(2x x x x x F ,则P (ξ=)= 0 ;)62.0(<<ξP = 。

8. 某型号电子管,其寿命(以小时记)为一随机变量,概率密度)(x ϕ=()⎪⎩⎪⎨⎧≥)(01001002其他x x ,某一个电子设备内配有3个这样的电子管,则电子管使用150小时都不需要更换的概率为___8/27_____。

2100xx≥100 ∴ ϕ(x)= 0 其它P (ξ≥150)=1-F(150)=1-⎰⎰=-+=+=150100150100232132********x dx x [P(ξ≥150)]3=(32)3=2789. 设随机变量X 服从B (n, p )分布,已知EX =,DX =,则参数n =___________,P =_________________。

(完整版)概率论第二章随机变量及其分布答案

(完整版)概率论第二章随机变量及其分布答案

概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第二章 随机变量及其分布(一)一.选择题:1.设X 是离散型随机变量,以下可以作为X 的概率分布是 [ B ](A )1234111124816Xx x x x p (B ) 123411112488X x x x x p (C )1234111123412Xx x x x p(D ) 1234111123412X x x x x p -2.设随机变量ξ的分布列为 01230.10.30.40.2X p )(x F 为其分布函数,则)2(F =[ C ](A )0.2 (B )0.4 (C )0.8 (D )1 二、填空题:1.设随机变量X 的概率分布为0120.20.5X p a ,则a = 0.32.某产品15件,其中有次品2件。

现从中任取3件,则抽得次品数X 的概率分布为 P{X=0}=22/35;P{X=1}=12/35; P{X=2}=1/353.设射手每次击中目标的概率为0.7,连续射击10次,则击中目标次数X 的概率分布为 P{X=k}=k kkC -⨯10103.07.0,10,,0Λ=k 或X~B(10,0.7)三、计算题:1.同时掷两颗骰子,设随机变量X 为“两颗骰子点数之和”求: (1)X 的概率分布; (2)(3)P X ≤; (3)(12)P X >(1) P{X=2}= P{X=12}=1/36; P{X=3}= P{X=11}=1/18;P{X=4}= P{X=10}=1/12; P{X=5}= P{X=9}=1/9;P{X=6}= P{X=8}=5/36;P{X=7}=1/6(2) P{X=2}=1/36; P{X=3}=1/18 (3) P{X>12}=02.产品有一、二、三等品及废品四种,其中一、二、三等品及废品率分别为60%,10%,20%及10%,任取一个产品检查其质量,试用随机变量X 描述检查结果。

《概率论》第二章习题

《概率论》第二章习题

第二章 事件与概率1、字母M ,A ,X ,A ,M 分别写在一张卡片上,充分混合后重新排列,问正好得到顺序MAAM 的概率是多少?解:这五个字母自左往右数,排第i 个字母的事件为A i ,则42)(,52)(121==A A P A P ,21)(,31)(1234123==A A A A P A A A P 1)(12345=A A A A A P 。

利用乘法公式,所求的概率为2、有三个孩子的家庭中,有一个是女孩,求至少有一个男孩的概率。

解:有三个孩子的家庭总共有23=8个类型。

设A={三个孩子中有一女},B={三个孩子中至少有一男},A 的有利场合数为7,AB 的有利场合为6,依题意所求概率为P 〔B|A 〕,则()768/78/6)()(===A P AB P A B P . 3、假设M 件产品中包含m 件废品,今在其中任取两件,求:〔1〕取出的两件中有一件是废品的条件下,另一件也是废品的条件概率;〔2〕两件中有一件不是废品的条件下,另一件是废品的条件概率;〔3〕取出的两件中至少有一件是废品的概率。

3、解:〔1〕M 件产品中有m 件废品,m M -件正品。

设A={两件有一件是废品},B={两件都是废品},显然B A ⊃,则 ()1122()/m M m m M P A C C C C -=+ 22/)(M m C C B P =, 题中欲求的概率为)(/)()(/)()|(A P B P A P AB P A B P ==121/)(/221122---=+=-m M m C C C C C C M m m M m M m . 〔2〕设A={两件中有一件不是废品},B={两件中恰有一件废品},显然A B ⊂,则(),/)(2112M m M m m M C C C C A P --+= 211/)(M m M m C C C B P -=.题中欲求的概率为)(/)()(/)()|(A P B P A P AB P A B P ==12/)(/2112211-+=+=---m M m C C C C C C C M m M m m M M m M m . 〔3〕P{取出的两件中至少有一件废品}=())1()12(/2211---=+-M M m M m C C C C M m m M m . 4、袋中有a 只黑球,b 只白球,甲乙丙三人依次从袋中取出一球〔取后不放回〕,试分别求出三人各自取得白球的概率〔3≥b 〕。

概率论与数理统计第二章习题与答案

概率论与数理统计第二章习题与答案

概率论与数理统计习题 第二章 随机变量及其分布习题2-1 一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取3只,以X 表示取出的3只球中的最大,写出X 随机变量的分布律.解:X 可以取值3,4,5,分布律为1061)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(1011)2,1,3()3(352435233522=⨯====⨯====⨯===C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为也可列为下表 X : 3, 4,5 P :106,103,101习题2-2 进行重复独立试验,设每次试验成功的概率为p ,失败的概率为p -1)10(<<p .(1)将试验进行到出现一次成功为止,以X 表示所需的试验次数,求X 的分布律.(此时称X 服从以p 为参数的几何分布.)(2)将试验进行到出现r 次成功为止,以Y 表示所需的试验次数,求Y 的分布律.(此时称Y 服从以p r ,为参数的巴斯卡分布.)(3)一篮球运动员的投篮命中率为%45.以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数,写出X 的分布律,并计算X 取偶数的概率.解:(1)P (X=k )=q k -1pk=1,2,……(2)Y=r+n={最后一次实验前r+n -1次有n 次失败,且最后一次成功},,2,1,0,)(111Λ===+=-+--+n p q C p p q C n r Y P r n n n r r n n n r 其中 q=1-p , 或记r+n=k ,则 P {Y=k }=Λ,1,,)1(11+=----r r k p p C rk r r k(3)P (X=k ) = (0.55)k -10.45k=1,2…P (X 取偶数)=311145.0)55.0()2(1121===∑∑∞=-∞=k k k k X P习题2-3 一房间有同样大小的窗子,其中只有一扇是打开的。

概率论与数理统计 第二章习题附答案

概率论与数理统计 第二章习题附答案

习题4-11. 设随机变量求()E X ;E (2-3 X ); 2()E X ;2(35)E X +.解 由定义和数学期望的性质知2.03.023.004.0)2()(-=⨯+⨯+⨯-=X E ; (23)23()23(0.2) 2.6E X E X -=-=-⨯-=;8.23.023.004.0)2()(2222=⨯+⨯+⨯-=X E ; 4.1358.235)(3)53(22=+⨯=+=+X E X E .2. 设随机变量X 的概率密度为,0,()0,0.xe xf x x -⎧>⎪=⎨⎪⎩≤求Xe Z X Y 22-==和的数学期望.解 0()(2)2()22x E Y E X E X x x ∞-====⎰e d ,2201()()3X x x E Z E e e e dx ∞---==⋅=⎰. 3. 游客乘电梯从底层到电视塔顶观光, 电梯于每个整点的第5分钟、第25分钟和第55分钟从底层起行. 假设一游客在早八点的第X 分钟到达底层侯梯处, 且X 在区间[0, 60]上服从均匀分布. 求该游客等候电梯时间的数学期望. 解已知X 在[0,60]上服从均匀分布, 其概率密度为1,060,()600,.x f x =⎧⎪⎨⎪⎩≤≤其它记Y 为游客等候电梯的时间,则5,05,25,525,()55,2555,65,5560.X X X X Y g X X X X X -<-<==-<-<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≤≤因此, 6001()[()]()()()60E Y E g X g x f x dx g x dx ∞-∞===⎰⎰()5255560525551(5)(25)(55)(65)60x dx x dx x dx x dx =-+-+-+-⎰⎰⎰⎰=11.67(分钟)..习题4-21. 选择题(1) 已知(1,(3))E D X X =-= 则2[3(2)]()E X -=.(A) 9. (B) 6. (C) 30. (D) 36.应选(D).(2) 设~(,),(6,( 3.6))B n p E D X X X ==, 则有( ).(A) 10, 0.6n p ==. (B) 20, 0.3n p ==. (C) 15, 0.4n p ==. (D) 12, 0.5n p ==.应选(C).(3) 设X 与Y 相互独立,且都服从2(,)N μσ, 则有( ).(A) ()()()E X Y E X E Y -=+. (B) ()2E X Y μ-=.(C) ()()()D X Y D X D Y -=-. (D) 2()2D X Y σ-=.选(D).(4) 在下列结论中, 错误的是( ).(A) 若~(,),().X B n p E X np =则(B) 若()~1,1X U -,则()0D X =. (C) 若X 服从泊松分布, 则()()D X E X =. (D) 若2~(,),X N μσ 则~(0,1)X N μσ-.选(B).2. 已知X , Y 独立, E (X )= E (Y )=2, E (X 2)= E (Y 2)=5, 求E (3X -2Y ),D (3X -2Y ). 解 由数学期望和方差的性质有E (3X -2Y )= 3E (X )-2 E (Y )=3×2-2×2=2,(32)9()4()D X Y D X D Y -=+ })]([)({4})]([)({92222Y E Y E X E X E -⨯+-⨯= 13)45(4)45(9=-⨯+-⨯=. 5. 设随机变量]2,1[~-U X , 随机变量⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=.0,1,0,0,0,1X X X Y求期望()E Y 和方差)(Y D .解 因为X 的概率密度为1,12,()30,.X x f x -=⎧⎪⎨⎪⎩≤≤其它于是Y 的分布率为--11{1}{0}31()d d 3X P Y P X f x x x ∞=-=<===⎰⎰, {0}{0}0P Y P X ====,+22{1}{0}31()d d 3X P Y P X f x x x ∞==>===⎰⎰. 因此121()1001333E Y =-⨯+⨯+⨯=,222212()(1)001133E Y =-⨯+⨯+⨯=.故有 2218()()[()]199D Y E Y E Y =-=-=.习题4-31. 选择题(1) 在下列结论中, ( )不是随机变量X 与Y 不相关的充分必要条件(A) E (XY )=E (X )E (Y ). (B) D (X +Y )=D (X )+D (Y ). (C) Cov(X ,Y )=0. (D) X 与 Y 相互独立.选(D).(2) 设随机变量X 和Y 都服从正态分布, 且它们不相关, 则下列结论中不正确的是( ).(A) X 与Y 一定独立. (B) (X , Y )服从二维正态分布. (C) X 与Y 未必独立. (D) X +Y 服从一维正态分布.选(A).(3) 设(X , Y )服从二元正态分布, 则下列说法中错误的是( ).(A) (X , Y )的边缘分布仍然是正态分布.(B) X 与Y 相互独立等价于X 与Y 不相关. (C) (X , Y )是二维连续型随机变量.(D)由(X , Y )的边缘分布可完全确定(X , Y )的联合分布. 选(D)2 设D (X )=4, D (Y )=6, ρXY =0.6, 求D (3X -2Y ) .解 (32)9()4()12Cov(,)D X Y D X D Y X Y -=+-)()(126449Y D X D XY ⨯⨯-⨯+⨯=ρ 727.24626.0122436≈⨯⨯⨯-+=.3. 设随机变量X , Y 的相关系数为5.0, ,0)()(==Y E X E 22()()2E X E Y ==, 求2[()]E X Y +.解222[()]()2()()42[Cov(,)()()]E X Y E X E XY E Y X Y E X E Y +=++=++42420.526.XY ρ=+=+⨯⨯=4. 设随机变量(X , Y )若E (XY )=0.8, 求常数a ,b 解 首先由∑∑∞=∞==111i j ijp得4.0=+b a . 其次由0.8()100.420110.2210.22E XY a b b ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+得=b于是 故 Cov(,)()()()0.8 1.40.50.1X Y E XY E X E Y =-=-⨯=.7.证明: 对随机变量(X , Y ), E (XY )=E (X )E (Y )或者D (X ±Y )=D (X )+D (Y )的充要条件是X 与Y 不相关.证 首先我们来证明)()()(Y E X E XY E =和()()()D X Y D X D Y ±=+是等价的. 事实上, 注意到()()()2Cov(,)D X Y D X D Y X Y ±=+±. 因此()()()D X Y D X D Y ±=+Cov(,)0()()()X Y E XY E X E Y ⇔=⇔=.其次证明必要性. 假设E (XY )=E (X )E (Y ), 则Cov(,)()()()0X Y E XY E X E Y =-=.进而0XY ρ==, 即X 与Y 不相关.最后证明充分性. 假设X 与Y 不相关, 即0=XY ρ, 则Cov(,)0X Y =. 由此知)()()(Y E X E XY E =.。

概率论与数理统计(经管类)第二章课后习题答案

概率论与数理统计(经管类)第二章课后习题答案
解:
2.设离散型随机变量X的分布律为:
X
-1
2
3
P
0.25
0.5
0.25
求X的分布函数,以及概率 , .
解:
则X的分布函数F(x)为:
3.设F1(x),F2(x)分别为随机变量X1和X2的分布函数,且F(x)=a F1(x)-bF2(x)也是某一随机变量的分布函数,证明a-b=1.
证:
4.如下4个函数,哪个是随机变量的分布函数:
注:可知X为从2到12的所有整数值.
可以知道每次投完都会出现一种组合情况,其概率皆为(1/6)*(1/6)=1/36,故
P(X=2)=(1/6)*(1/6)=1/36(第一次和第二次都是1)
P(X=3)=2*(1/36)=1/18(两种组合(1,2)(2,1))
P(X=4)=3*(1/36)=1/12(三种组合(1,3)(3,1)(2,2))
求: (1) ; (2)
解:
(1)
(2)(2)
5.设K在(0,5)上服从均匀分布,求方程 (利用二次式的判别式)
解: K~U(0,5)
方程式有实数根,则
故方程有实根的概率为:
6.设X ~ U(2,5),现在对X进行
解:
至少有两次观测值大于3的概率为:
7.设修理某机器所用的时间X服从参数为λ=0.5(小时)指数分布,求在机器出现故障时,在一小时内可以修好的概率.
(1)Y=2X+1; (2) (3)
解: (1)Y=g(x)=2X+1,
X的概率密度为:

(2)

(3)
,

6.X~N(0,1),求以下Y的概率密度:
(1)
解: (1)

第二章 概率论解析答案习题解答

第二章 概率论解析答案习题解答

第二章 随机变量及其分布I 教学基本要求1、了解随机变量的概念以及它与事件的联系;2、理解随机变量的分布函数的概念与性质;理解离散型随机变量的分布列、连续型随机变量的密度函数及它们的性质;3、掌握几种常用的重要分布:两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布,且能熟练运用;4、会求简单随机变量函数的分布.II 习题解答A 组、1、检查两个产品,用T 表示合格品,F 表示不合格品,则样本空间中的四个样本点为1(,)F F ω=、2(,)T F ω=、3(,)F T ω=、4(,)T T ω=以X 表示两个产品中的合格品数.(1) 写出X 与样本点之间的对应关系;(2) 若此产品的合格品率为p ,求(1)p X = 解:(1) 10ω→、21ω→、31ω→、42ω→;(2) 12(1)(1)2(1)p X C p p p p ==-=-.2、下列函数是否是某个随机变量的分布函数(1) 021()2021x F x x x <-⎧⎪⎪=-≤<⎨⎪≥⎪⎩; (2) 21()1F x x =+ ()x -∞<<+∞. :解:(1) 显然()F x 是单调不减函数;0()1F x ≤≤,且()0F -∞=、()1F +∞=;(0)()F x F x +=,故()F x 是某个随机变量的分布函数.(2) 由于()01F +∞=≠,故()F x 不是某个随机变量的分布函数. 3、设X 的分布函数为(1)0()00x A e x F x x -⎧-≥=⎨<⎩求常数A 及(13)p X <≤解:由()1F +∞=和lim (1)xx A e A -→+∞-=得1A =;(13)(3)(1)(3)(1)p X p X p X F F <≤=≤-≤=- 3113(1)(1)e e e e ----=---=-.4、设随机变量X 的分布函数为>200()0111x F x Ax x x ≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩求常数A 及(0.50.8)p X <≤解:由(10)(1)F F +=得1A =;(0.50.8)(0.8)(0.5)(0.8)(0.5)p X p X p X F F <≤=≤-≤=- 220.80.50.39=-=.5、设随机变量X 的分布列为()ap X k N==(1,2,,)k N =求常数a解:由11ii p+∞==∑得>11Nk a N==∑1a ⇒=.6、一批产品共有100个,其中有10个次品,求任意取出的5个产品中次品数的分布列解:设X 表示5个产品中的次品数,则X 是离散型随机变量,其所有可能取值为0、1、…、5,且0510905100(0)C C p X C ==、1410905100(1)C C p X C ==、2310905100(2)C C p X C ==、3210905100(3)C C p X C ==、4110905100(4)C C p X C ==、5010905100(5)C C p X C ==于是X 的分布列为510905100()k kC C p X k C -== (0,1,,5)k =.7、设10件产品中有2件次品,进行连续无放回抽样,直至取到正品为止,以X 表示抽样次数,求(1) X 的分布列; (2) X 的分布函数\解:(1) 由题意知X 是离散型随机变量,其所有可能取值为1、2、3,且84(1)105p X ===、288(2)10945p X ==⨯=、2181(3)109845p X ==⨯⨯=于是X(2) 由(1)可知的分布函数为014125()44234513x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩.8、设随机变量X 的分布函数为010.211()0.3120.52313x x F x x x x <-⎧⎪-≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩ 求X 的分布列解:X 的分布列为9、求在同一时刻(1) 恰有2个设备被使用的概率; (2) 至少有3个设备被使用的概率; .(3) 至多有3个设备被使用的概率解:设X 表示被同时使用的供水设备数,则~(5,0.1)X b (1) 恰有2个设备被使用的概率为2235(2)(0.1)(0.9)0.0729p X C ===;(2) 至少有3个设备被使用的概率为(3)(3)(4)(5)p X p X p X p X ≥==+=+=33244550555(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)0.00856C C C =++=;(3) 至多有3个设备被使用的概率为(3)1(4)(5)p X p X p X ≤=-=-=44550551(0.1)(0.9)(0.1)(0.9)0.99954C C =--=.!10、经验表明:预定餐厅座位而不来就餐的顾客比例为20%,如今餐厅有50个座位,但预定给了52位顾客,求到时顾客来到餐厅而没有座位的概率是多少解:设X 表示预定的52位顾客中不来就餐的顾客数,则~(52,0.2)X b ,由于“顾客来到餐厅没有座位”等价于“52位顾客中至多有1位不来就餐”,于是所求概率为005211515252(1)(0)(1)(0.2)(0.8)(0.2)(0.8)p X p X p X C C ≤==+==+0.0001279=.11、设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为的泊松分布,求 (1) 在一周内恰好发生2次交通事故的概率; (2) 在一周内至少发生1次交通事故的概率解:设X 表示该城市一周内发生交通事故的次数,则~(0.3)X P (1) 在一周内恰好发生2次交通事故的概率20.30.3(2)0.03332!p X e -===;,(2) 在一周内至少发生1次交通事故的概率00.30.3(1)1(0)10.2590!p X P X e -≥=-==-=.12、设X 服从泊松分布,已知(1)(2)p X p X ===,求(4)p X =解:由(1)(2)p X p X ===得22ee λλλλ--=2λ⇒=422(4)0.09024!p X e -⇒===.13、一批产品的不合格品率为,现从中任取40件进行检查,若发现两件或两件以上不合格品就拒收这批产品,分别用以下方法求拒收的概率:(1) 用二项分布作精确计算; (2) 用泊松分布作的似计算 …解:设X 表示抽取的40件产品中的不合格品数,则~(40,0.02)X b (1) 拒收的概率为(2)1(0)(1)p X p X p X ≥=-=-=0040113940401(0.02)(0.98)(0.02)(0.98)0.1905C C =--=;(2) 由于400.020.8λ=⨯=,于是拒收的概率为(2)1(0)(1)p X p X p X ≥=-=-= 0.80.810.80.1912e e --≈--=.14、设随机变量X 的密度函数为201()0x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它求X 的分布函数 *解:由()()xF x f t dt -∞=⎰得当0x <时()()00xxF x f t dt dt -∞-∞===⎰⎰当01x ≤≤时2200()()02|x xxF x f t dt dt tdt t x -∞-∞==+==⎰⎰⎰当1x >时0121001()()020|1x xF x f t dt dt tdt dt t -∞-∞==++==⎰⎰⎰⎰于是所求分布函数为200()0111x F x x x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩. 15、设随机变量X 的密度函数为 ~212(1)12()0x f x x⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求X 的分布函数解:由()()xF x f t dt -∞=⎰得当1x <时()()00xxF x f t dt dt -∞-∞===⎰⎰当12x ≤≤时1121111()()02(1)2()|2(2)xxx F x f t dt dt dt t x t t x-∞-∞==+-=+=+-⎰⎰⎰ 当2x >时122121211()()02(1)02()|1xx F x f t dt dt dt dt t t t-∞-∞==+-+=+=⎰⎰⎰⎰于是所求分布函数为 ·011()2(2)1212x F x x x x x <⎧⎪⎪=+-≤≤⎨⎪>⎪⎩.16、设随机变量X 的密度函数为cos ()220A x x f x ππ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求(1) 常数A ;(2) X 的分布函数;(3) (0)4p X π<≤解:(1) 由()1f x dx +∞-∞=⎰得2222220cos 0sin |21dt A xdx dt A x A ππππππ-+∞--∞-++===⎰⎰⎰12A ⇒=; (2) 当2x π<-时()()00xxF x f t dt dt -∞-∞===⎰⎰当22x ππ-≤≤时]2221111()()0cos sin |sin 2222xxxF x f t dt dt tdt t x πππ---∞-∞-==+==+⎰⎰⎰当2x π>时22222211()()0cos 0sin |122xx F x f t dt dt tdt dt t ππππππ---∞-∞-==++==⎰⎰⎰⎰ 于是所求分布函数为0211()sin 222212x F x x x x ππππ⎧<-⎪⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩;(3) (0)()(0)()(0)444p X p X p X F F πππ<≤=≤-≤=-1111sin sin 0242224π=+--=. 17、设随机变量X 的分布函数为1()ln 11x F x xx e x e<⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求(1) (03)p X <≤、(2)p X <、(2 2.5)p X <<;(2) X 的密度函数]解:(1) (03)(3)(0)(3)(0)101p X p X p X F F <≤=≤-≤=-=-=(2)(2)(2)(2)ln 2p X p X p X F <=≤-===5(2 2.5)(2 2.5)(2.5)(2)ln 2.5ln 2ln 4p X p X F F <<=<≤=-=-=;(2) 由于在()F x 的可导点处,有()()f x F x '=,于是X 的密度函数为11()0x ef x x⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.18、设~(1,6)K U ,求方程210x Kx ++=有实根的概率 解:由~(1,6)K U 得K 的密度函数为116()5k f k ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它又由于方程210x Kx ++=有实根等价于240K -≥,即||2K ≥,于是方程有实根的概率为22(||2)(2)(2)()()p K p K p K f k dk f k dk -+∞-∞≥=≤-+≥=+⎰⎰?621455dk ==⎰. 19、调查表明某商店从早晨开始营业起直至第一个顾客到达的等待时间X (单位:分钟)服从参数为0.4的指数分布,求下述事件的概率(1) X 至多3分钟; (2) X 至少4分钟;(3) X 在3分钟至4分钟之间; (4) X 恰为3分钟解:(1) X 至多3分钟的概率为0.43 1.2(3)(3)11p X F e e -⨯-≤==-=-;(2) X 至少4分钟的概率为0.44 1.6(4)1(4)1(4)1(1)p X p X F e e -⨯-≥=-<=-=--=;?(3) X 在3分钟至4分钟之间的概率为(34)(4)(3)(4)(3)p X p X p X F F ≤≤=≤-<=- 0.440.43 1.2 1.6(1)(1)e e e e -⨯-⨯--=---=-;(4) X 恰为3分钟的概率为(3)0p X ==.20、设~(0,1)X N ,求下列事件的概率( 2.35)p X ≤;( 1.24)p X ≤-;(|| 1.54)p X ≤ 解:( 2.35)(2.35)0.9906p X ≤=Φ=;( 1.24)( 1.24)1(1.24)10.89250.1075p X ≤-=Φ-=-Φ=-=; (|| 1.54)( 1.54 1.54)(1.54)( 1.54)p X p X ≤=-≤≤=Φ-Φ-(1.54)[1(1.54)]2(1.54)120.938210.8764=Φ--Φ=Φ-=⨯-=.&21、设~(3,4)X N ,(1) 求(25)p X <≤、(||2)p X >、(3)p X >;(2) 确定c ,使得()()p X c p X c >=≤;(3) 若d 满足()0.9p X d >≥,则d 至多为多少解:(1) 23353(25)()222X p X p ---<≤=≤≤ (1)(0.5)(1)(0.5)10.84130.691510.5328=Φ-Φ-=Φ+Φ-=+-=23323(||2)1(||2)1()222X p X p X p ---->=-≤=-≤≤ 1(0.5)( 2.5)1(0.5)(2.5)=-Φ-+Φ-=+Φ-Φ10.69150.99380.6977=+-= 333(3)1(3)1()22X p X p X p -->=-≤=-≤ 1(0)10.50.5=-Φ=-=;(2) 由()()p X c p X c >=≤得1()()p X c p X c -≤=≤?3330.5()()()222X c c p X c p ---⇒=≤=≤=Φ3032c c -⇒=⇒=; (3) 由()0.9p X d >≥得3330.9()1()1()1()222X d d p X d p X d p ---≤>=-≤=-≤=-Φ 33()0.11()0.122d d--⇒Φ≤⇒-Φ≤ 33()0.9 1.2820.43622d d d --⇒Φ≥⇒≥⇒≤.22、从甲地飞住乙地的航班,每天上午10:10起飞,飞行时间X 服从均值为4h ,标准差为20min 的正态分布.(1) 该航班在下午2:30以后到达乙地的概率; (2) 该航班在下午2:20以前到达乙地的概率;(3) 该航班在下午1:50至2:30之间到达乙地的概率 *解:(1) 该航班在下午2:30以后到达乙地的概率为240260240240(260)()1(1)202020X X p X p p ---≥=≥=-< 1(1)10.84130.1587=-Φ=-=;(2) 该航班在下午2:20以前到达乙地的概率为240250240(250)()(0.5)0.69152020X p X p --≤=≤=Φ=; (3) 该航班在下午1:50至2:30之间到达乙地的概率为220240240260240(220260)()202020X p X p ---≤≤=≤≤(1)(1)2(1)120.841310.6826=Φ-Φ-=Φ-=⨯-=.23、某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩(百分制)近似地服从2(72,)N σ,已知96分以上的人数占总数的%,试求考生的成绩在60分至84分之间的概率解:设考生的外语成绩为X ,则2~(72,)X N σ】由96分以上的人数占总数的%得0.023(96)p X =>729672240.977(96)()()X p X p σσσ--⇒=≤=≤=Φ242σ⇒=12σ⇒=于是,考生的成绩在60分至84分之间的概率为6072728472(6084)()121212X p X p ---≤≤=≤≤ (1)(1)2(1)120.841310.6826=Φ-Φ-=Φ-=⨯-=.24求cos Y X =的分布列解:由X于是Y25求2Y X =的分布列解:由26、设随机变量的密度函数为2311()2X xx f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其它求随机变量3Y X =+的密度函数解:由题意知,当2y ≤时,有()()0Y F y p Y y =≤=当24y <<时,有()()(3)(3)(3)Y X F y p Y y p X y p X y F y =≤=+≤=≤-=-当4y ≥时,有()()1Y F y p Y y =≤=¥即Y 的分布函数02()(3)2414Y X y F y F y y y ≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩于是,Y 的密度函数()()Y Y f y F y '=(3)240XF y y '-<<⎧=⎨⎩其它23(3)2420y y ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其它.27、设随机变量~(0,1)X U ,求随机变量XY e =的密度函数 解:由题意知,当1y ≤时,有()()0Y F y p Y y =≤=当1y e <<时,有()()()(ln )(ln )X Y X F y p Y y p e y p X y F y =≤=≤=≤=:当y e ≥时,有()()1Y F y p Y y =≤=即Y 的分布函数1()(ln )11Y X y F y F y y e y e≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩于是,Y 的密度函数()()Y Y f y F y '=(ln )10XF y y e'<<⎧=⎨⎩其它110y ey ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它.28、随机变量X 的密度函数为()0xX e x f x x -⎧>=⎨≤⎩ 求随机变量2Y X =的密度函数~解:由于20Y X =≥,故当0y <时,有()()0Y F y p Y y =≤=;当0y ≥时,有2()()()(Y F y p Y y p X y p X =≤=≤=≤≤0()1x X f x dx dx e -===-即Y 的分布函数10()0Y e y F y y ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩于是,Y 的密度函数0()()00Y Y y f y F y y >'==≤⎩.29、设随机变量~(0,1)X N ,试求随机变量||Y X =的密度函数 解:由于||0Y X =≥,故当0y <时,有()()0Y F y p Y y =≤=;$当0y ≥时,有()()(||)()2()1Y F y p Y y p X y p y X y y =≤=≤=-≤≤=Φ-即Y 的分布函数2()10()00Y y y F y y Φ-≥⎧=⎨<⎩于是,Y 的密度函数()()Y Y f y F y '=2()00y y y 'Φ>⎧=⎨≤⎩22000yy y ->=≤⎩.B 组1、A2、B3、D4、B5、B6、B7、C8、C9、C10、C:11、设随机变量X 的分布函数为0111()21232x a x F x a x a b x <-⎧⎪-≤<⎪⎪=⎨-≤<⎪⎪+≥⎪⎩且1(2)2p X==,求常数a、b解:由()1F+∞=及()()(0)p X a F a F a==--得()121(2)(2)(20)()()32F a bp X F F a b a+∞=+=⎧⎪⎨==--=+--=⎪⎩1726a ba b+=⎧⎪⇒⎨+=⎪⎩1656ab⎧=⎪⎪⇒⎨⎪=⎪⎩.12求常数a解:由11 ii p+∞==∑得20.5121a a+-+=12a⇒=±|再由11202a a-≥⇒≤,可得1a=13、口袋中有5个球,编号为1、2、3、4、5,从中任取3个,以X表示取出的3个球中的最大号码.(1) 求X的分布列;(2) 求X的分布函数解:(1) 由题意知X是离散型随机变量,其所有可能取值为3、4、5,且22351(3)10C p X C ===、23353(4)10C p X C ===、24356(5)10C p X C ===于是X(2) 由(1)可知的分布函数为030.134()0.44515x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩.14、设随机变量X 的密度函数为||()x af x Ce -= (0)a >-求(1) 常数C ;(2) X 的分布函数;(3) (||2)p X <解:(1) 由()1f x dx +∞-∞=⎰得||()2221x xa a f x dx C e dx C e dx aC +∞+∞+∞---∞====⎰⎰⎰12C a⇒=; (2) 当0x <时 ||111()()222t t xa a a x x x F x f t dt e dt e dt e a a --∞-∞-∞====⎰⎰⎰ 当0x ≥时||||0011()()22t t a a xx F x f t dt e dt e dt a a ---∞-∞==+⎰⎰⎰001111222t t x a a a x e dt e dt e a a ---∞=+=-⎰⎰ 于是102()1102xa x a e x F x e x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩;(3) 22211(||2)(22)(2)(2)1122a a ap X p X F F e e e ---<=-<<=--=--=-.15、设随机变量X 的密度函数为201()0x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件1{}2X ≤出现的次数,求(2)P Y =解:由题意知:事件1{}2X ≤在一次观察中出现的概率为1112222001()02|4p f x dx dt xdx x -∞-∞==+==⎰⎰⎰ 且~(3,)Y b p ,于是223139(2)()()4464P Y C ===. 16、设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X (单位:分钟)服从指数分布,其密度函数为510()5x e x f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次,以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数,求(1)p Y ≥解:由题意知:顾客在窗口等待服务的时间超过10分钟的概率为5521010101()|5x x p f x dx e dx e e +∞+∞--+∞-===-=⎰⎰且~(5,)Y b p ,于是02025255(1)1(0)1()(1)1(1)0.5167P Y P Y C e e e ---≥=-==--=--=.17、设随机变量2~(2,)X N σ且(24)0.3p X <<=,求(0)p X < 解:由2~(2,)X N σ得224242(24)()()(0)0.3p X p X σσσ---<<=<<=Φ-Φ=2()0.8σ⇒Φ=0222(0)()()1()10.80.2p X p X σσσ-⇒<=<=Φ-=-Φ=-=.18、设随机变量X 的分布函数为()F x ,试求随机变量()Y F X =的密度函数 解:由于0()1F X ≤≤,故当0Y <时,有()()0Y F y p Y y =≤=; 当01y ≤≤时,有11()()(())(())(())Y F y p Y y p F X y p X F y F F y y --=≤=≤=≤==当1y >时,有()()1Y F y p Y y =≤= 即Y 的分布函数00()0111Y y F y yy y <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩于是,Y 的密度函数()()Y Y f y F y '=101y <<⎧=⎨⎩其它即随机变量Y 服从区间(0,1)上的均匀分布.。

概率论第二章习题(答案)

概率论第二章习题(答案)

A.1 e1
. 设随机变量 X 的方差为 2,则根据切比雪夫不等式有(C)
A. P X EX 2 1
4
C. P X EX 2 1
2
B. P X EX 2 3
4
D. P X EX 2 1
2
二.填空与计算题
1. 设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布,则 P X EX 2 .
C. E( X C)2 E( X )2 D. E( X C)2 E( X )2
16. 设随机变量 X 的分布函数为 F (x) ,则随机变量Y 2 X 1的分布函数为(D)
A.
F
y 2
1
B.
2F(y) 1
C. 1 F ( y) 1
2
2
D.
F
y 2
1 2
17. 设随机变量 X 的密度函数为 f (x) ,则随机变量Y 3 2 X 的密度函数为(B)
度,
f (x) af1(x), bf2 (x),
x 0, (a 0,b 0)
x0
为概率密度,则 a,b 应满足(A).
A .2a 3b 4 ; B .3a 2b 4 ; C .a b 1; D .a b 2 .
11.
设随机变量 X
服从正态分布
N
(1
,
2 1
)
,随机变量 Y
服从正态分布
解: 由 EX 2 2 , P X EX 2 P X 2 e1 . 2
2. 设 随 机 变 量 X 概 率 分 布 为 P X k C (k 0,1, 2,) , 则
A. a 3 5,b 2 5 ; B. a 2 3, b 2 3 ;
C. a 1 2 , b 3 2 ; D. a 1 2 ,b 3 2 .
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
第二章 随机变量及其分布
习题课
返回主目录
第二章 随机变量及其分布
• 随机变量 • 离散型随机变量及其分布律
• 随机变量的分布函数
• 连续型随机变量及其概率密度
• 随机变量的函数的分布
返回主目录
要 求:
1. 了解随机变量的概念,会用随机变量表示随 机事件。
2. 理解分布函数的定义及性质,会利用分布函 数表示事件的概率。
5. 了解随机变量函数的概念,会求随机变量的 简单函数的分布。
第二章 随机变量及其分布
一、 随机变量的定义
设E是一个随机试验,S是其样本空间.若对每一个
S,都有唯一确定的一个实数X 与之对应,则称
X 为一个随机变量.
X
R
S
第二章 习题课
二、离散型随机变量的分布律
设离散型随机变量 X 的所有可能取值为 x1 , x2 , , xk ,
则称 X 为连续型随机变量,其中函数 f (x) 称为X 的概率密度函数,简称概率密度或密度 函数.
返回主目录
第二章 习题课
说明 f ( x) 不 一 定 连 续 , 但F( x)一 定 连 续 。
概率密度 f(x) 具有以下性质:
10 f ( x) 0.
20
f ( x)dx 1.
这两条性质是f判(x定) 一个 函数 f(x)是否为某r.vX的 概率密度函数的充要条件.
1.均 匀 分 布
f (x)
若随机变量 X 的密度函数为
f
x
b
1
a
a xb
0
其它
1
ba
a
bx
则称随机变量X 服从区间a, b上的均匀分布.
记作 X ~ U [a , b].
返回主目录
第二章 习题课
均匀分布的分布函数
若随机变量X 服从区间a, b上的均匀分布,
则 X的分布函数为
0
F
x
x b
返回主目录
第二章 随机变量及其分布
5)超 几 何 分 布
如果随机变量 X 的分布律为
P
X k
C C k nk M NM
k 0, 1, , minM, n
C
n N
其中N, M, n均为自然数.
则称随机变量X 服从参数为N, M, n的超几何分布.
返回主目录
第二章 习题课
四、分布函数的定义及其性质
1
0
x
返回主目录
第二章 习题课
30 P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 )
x2
f(x)
f ( x)dx. ( x1 x2 )
x1
0 x1 x2 x
40 若f ( x)在 点x处 连 续 , 则 有 F ( x) f ( x).
返回主目录
第二章 习题课
六、一些常用的连续型随机变量
并设 PX xk pk k 1, 2,
则称上式为离散型随机变量 X 的分布律.
离散型随机变量 X 的分布律还可列成下表.
X
x1
x2
xk
P
p1
p2
pk
返回主目录
第二章 随机变量及其分布
说明 1. 离散型随机变量可完全由其分布律来刻
划. 即离散型随机变量可完全由其可能取值 以及取这些值的概率唯一确定.
3. 理解离散型随机变量及其分布率的定义、性 质,会求离散型随机变量的分布率及分布函 数,掌握常见的离散型随机变量分布:两点 分布、二项分布、泊松分布。
4. 理解连续型随机变量及概率密度的定义、性 质,掌握概率密度与分布函数之间关系及其 运算,熟悉常见的连续型随机变量分布:均 匀分布、指数分布和正态分布。
PX 01 p q , PX 1 p
或 P{ X k} pkq1k (k 0 , 1)
X
0
1
P
1-p
p
则称随机变量 X 服从参数为 p 的 Bernoulli分布.
记作 X ~ B1, p. 其中0 p 1 为参数
Bernoulli分布也称作 0-1 分布或二点分布. 返回主目录
第二章 随机变量及其分布
2. {X x1}{X x2 } {X xk } S
且 {X xi} {X x j} , (i j)
离散型随机变量分布律的性质:
⑴ 对任意的自然数k,有
pk 0.
⑵ pk 1.
k
返回主目录
第二章 随机变量及其分布
三、一些常用的离散型随机变量
1) Bernoulli分布 如果随机变量 X 的分布律为
10 F( x) 是一个不减的函数 ,
即当x2 x1时,F( x2 ) F( x1 ).
20 0 F ( x) 1,且
F () lim F ( x) 0; F () lim F ( x) 1.
x
x
30 F(x 0) F(x), 即 F(x)是右连续的. 40 对于任意的实数 x1 , x2 ( x1 x2 ),有:
2)二 项 分 布
如果随机变量 X 的分布律为
PX
k
C
k n
pk 1
p nk
k 0, 1, , n
则称随机变量X 服从参数为n, p的二项分布, 记作 X ~ Bn, p.
其中n为自然数,0 p 1 为参数
返回主目录
第二章 随机变量及其分布
3)Poisson 分布
如果随机变量 X 的分布律为
Байду номын сангаас
PX k k e
k!
其中 0为常数
k 0, 1, 2,
则称随机变量 X 服从参数为λ的Poisson 分布.
返回主目录
第二章 随机变量及其分布
4)几 何 分 布
若随机变量 X 的分布律为
PX k qk1 p k 1, 2,
其中 p 0,q 0,p q 1
则称随机变量X 服从参数为p的几何分布.
定义 设 X 是一个随机变量,x 是任意实数, 函数
F ( x) P{X x}
称为 X 的分布函数.
X
0x
x
F(x) P{X x}
说明 分 布 函 数F ( x)是 x 的 实 值 单 值 函 数, 其 定 义 域 为(,) ,值 域 为[ 0 , 1 ]。
返回主目录
第二章 习题课
分布函数的性质
P{ x1 X x2 } P{ X x2 } P{ X x1 } F ( x2 ) F ( x1 ). 返回主目录
第二章 习题课
五、连续型随机变量的概念与性质
如果对于随机变量X 的分布函数 F(x) , 存在非负实函数 f (x) ,使得对于任意
x
实数 x ,有 F ( x) f (t)dt,
a a
1
xa a xb
b x
F (x) 1
f
x
b
1
a
0
a xb 其它
a0
b
x
返回主目录
§4 连续型随机变量及其概率密度
2.指 数分布
如果随机变量 X 的密度函数为
相关文档
最新文档