概率论第三版第2章答案详解

两人各投中两次的概率为：

P(A ^ A 2B 1B 2^0.0784O

所以:

作业题解：

2.1掷一颗匀称的骰子两次，以X 表示前后两次出现的点数之和 ，求X 的概率分布，并验

证其满足(222)

式.

解:

Q Q

Q Q

根据 v P(X = k) =1，得

k =0

故 a 二 e 「1

2.3 甲、乙两人投篮时，命中率分别为0.7和0.4 ,今甲、乙各投篮两次，求下列事件的 概率：

(1)两人投中的次数相同；(2)

甲比乙投中的次数多.

解：分别用A ，B j (i =1,2)表示甲乙第一、二次投中，则

P(A) = P(A 2)=0.7,P(A) = P(A 2)=0.3,P(B 1)= P(B 2)=0.4,P(B 1)= P(D) =0.6,

两人两次都未投中的概率为： P(A A 2 B^! B 2) = 0.3 0.3 0.6 0.6二0.0324，

两人各投中一次的概率为：

并且，P(X

P(X P(X P(X

= 12) =

1

36 =10)

煤

=8)

嗥；

=k)=(

=2) =P(X =4) =P(X =6) =P(X 2.2 2 P(X =3) =P(X =11)=

；

36 4

P(X =5) =P(X =9)= p (X =7)」。

36

k =2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)

P{X =k}二ae°,k =1,2…，试确定常数

解:

k ae

ae = 1 ，即 1=1。 k -0 1 - e

P(AA2BB2)P(AA2B2B1)P(A2AB1B2)P(AA2B2B1)= 4 0.7 0.3 0.4 0.6 = 0.2016两人各投中两次的概率为：P(A^ A2B1B2^0.0784O所以:

(1)

两人投中次数相同的概率为 0.0324 0.2016 • 0.0784 = 0.3124

(2) 甲比乙投中的次数多的概率为：

P (A 1A 2B 1B 2) P (A 1A 2B 2B I ) P (A 1A 2B 1B 2) P (A 1A 2B 1B 2) P (A 1A 2B ；B,)

=2 0.49 0.4 0.6 0.49 0.36 2 0.21 0.36 =0.5628

k

2.4设离散型随机变量 X 的概率分布为 P{X =k} =—，k =1,2,3,4,5，求

15

(1) P(1 乞 X <3)

(2) P(05：： X ：：：2.5) 12

3

2 解：(1) P(1 乞 X < 3)二

15 15 15

5

1 2 1

(2)

P(0.5 ：：： X :：: 2.5) = P(X =1) P(X 二 2)=

15 15 5

1

2.5设离散型随机变量 X 的概率分布为P{X =k} ={,k =1,2,3,…，，求

(1) P{X =2,4,6 };

(2)P{X _3}

(2) P{X _3} =1 _P{X =1} _P{X

2.6设事件A 在每次试验中发生的概率均为 0.4 ,当A 发生3次或3次以上时,指示灯发

出

信号，求下列事件的概率：

(1)进行4次独立试验，指示灯发出信号；(2) 进行5次独立试验，指示灯发出信号.

解：⑴ P(X _3) = P(X =3) P(X =4)

二 C ：0.43 0.6 0.44 二 0.1792

(2) P(X _3) =P(X =3) P(X =4) P(X =5)

二C ；0.43 0.62 Cs0.44 0.6 0.4^0.31744.

2.7某城市在长度为t (单位：小时)的时间间隔内发生火灾的次数 X 服从参数为0.5 t 的 泊 松分布，且与时间间隔的起点无关，求下列事件的概率： (1) 某天中午12时至下午15时未发生火灾； (2) 某天中午12时至下午16时至少发生两次火灾.

k

解：(1) P(X 二k) e_'，由题意，’- 0.5 3 = 1.5,k=0，所求事件的概率为 e _1.5. k!

解:

1 1 1

(1)P{X =24

6 }

〒刃歹

=22 (1 * * ) =£ 2

2 2 3

件的概率为1 -3e 2.

2.8为保证设备的正常运行，必须配备一定数量的设备维修人员 .现有同类设备180台,

且各台设备工作相互独立，任一时刻发生故障的概率都是

0.01，假设一台设备的故障由一

人进行修理，问至少应配备多少名修理人员，才能保证设备发生故障后能得到及时修理的 概率不小于0.99 ？ 解：设应配备 m 名设备维修人员。又设发生故障的设备数为 X,则X ~ B （180,0.01）。

依题意，设备发生故障能及时维修的概率应不小于

0.99，即P （X 岂m ） _ 0.99，也即

P(X _ m 1) < 0.01

因为n =180较大，p =0.01较小，所以X 近似服从参数为■ = 180 0.01 = 1.8的泊松分布。 查泊松分布表，得，当

mH=7时上式成立，得 n =6。

故应至少配备6名设备维修人员。

2.9某种元件的寿命X （单位：小时）的概率密度函数为：

1000 “c

2 ,x_1000 f （x ）二 x [o, x<1000

求5个元件在使用1500小时后，恰有2个元件失效的概率。 解：一个元件使用 1500小时失效的概率为

2.10设某地区每天的用电量 X 单位：百万千瓦•时）是一连续型随机变量，概率密度函数 为：

假设该地区每天的供电量仅有 80万千瓦•时，求该地区每天供电量不足的概率.若每天的 供电量上升到90万千瓦•时，每天供电量不足的概率是多少

？

解：求每天的供电量仅有 80万千瓦•时，该地区每天供电量不足的概率，

只需要求出该地区

⑵ P(X _2)=1 e

e ；'=1-e ^-%e —',由题意，，=0.5 4=1.5，所求事 0!

1!

P(1000 乞 X 空 1500)二 1000

1500

1000 1000

1500

设5个元件使用1500小时失效的元件数为

2 dx 二——

x x 1000

Y ，则 Y ~B(5,3)。

所求的概率为