(物理)物理万有引力定律的应用练习题含答案及解析

GT 2
GT 2R3
R2T 2
RT2
【解析】
【分析】
（1）卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解；
（2）根据密度的定义求解天体密度；
（3）在天体表面，重力等于万有引力，列式求解；
（4）该天体的第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度．
【详解】
（1）卫星做匀速圆周运动,万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有:
（物理）物理万有引力定律的应用练习题含答案及解析
一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用
1．2018 年是中国航天里程碑式的高速发展年，是属于中国航天的“超级 2018”．例如，我 国将进行北斗组网卫星的高密度发射，全年发射 18 颗北斗三号卫星，为“一带一路”沿线及 周边国家提供服务．北斗三号卫星导航系统由静止轨道卫星（同步卫星）、中轨道卫星和 倾斜同步卫星组成．图为其中一颗静止轨道卫星绕地球飞行的示意图．已知该卫星做匀速 圆周运动的周期为 T，地球质量为 M、半径为 R，引力常量为 G．
Gm2 L2
m( 2 )2 L T
T 4 L3 5Gm
（2）三角形三星系统中星体受另外两个星体的引力作用，万有引力做向心力，对任一颗
L
星，满足： 2 Gm2 cos 30 m( 2 )
L2
cos 30
解得： =
3Gm L3
8．我们将两颗彼此相距较近的行星称为双星，它们在万有引力作用下间距始终保持不变，
2
解得：
g
2h t2
则由 mg m v2 R
求得：星球的第一宇宙速度 v
gR
2h t2
R
，
2
由G
Mm R2
mg
m
2h t2
有： M
2hR2 Gt 2
所以星球的密度
M V
3h 2Gt 2 R
【点睛】
本题关键是通过自由落体运动求出星球表面的重力加速度，再根据万有引力提供圆周运动
向心力和万有引力等于重力求解．
①若在北极上空高出地面 h 处称量，弹簧测力计读数为 F1，求比值 的表达式，并就
h=1．0%R 的情形算出具体数值（计算结果保留两位有效数字）；
②若在赤道表面称量，弹簧测力计读数为 F2，求比值 的表达式．
（2）设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径为 r、太阳半径为 Rs 和地球的半径 R 三者均减小 为现在的 1．0%，而太阳和地球的密度均匀且不变．仅考虑太阳与地球之间的相互作用，
1 该行星的第一宇宙速度；
2 该行星的平均密度．
【答案】 1
2h t2 R?
2
3h
? 2Gt
2
R
．
【解析】
【分析】
根据自由落体运动求出星球表面的重力加速度，再根据万有引力提供圆周运动向心力，求
出质量与运动的周期，再利用 M ，从而即可求解． V
【详解】
1 根据自由落体运动求得星球表面的重力加速度 h 1 gt2
【答案】（1）
（2）
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（3）
【解析】（1）根据万有引力提供向心力得：
解得行星质量为：M=
（2）由
得第一宇宙速度为： （3）因为行星周围的卫星分布均匀，研究很远的卫星可把其他卫星和行星整体作为中心天
体，根据万有引力提供向心力得：
所以行星和其他卫星的总质量 M 总＝
所以靠近该行星周围的众多卫星的总质量为：△M＝ 点睛：根据万有引力提供向心力，列出等式只能求出中心体的质量．要求出行星的质量， 我们可以在行星周围找一颗卫星研究，即把行星当成中心体．
（1）求静止轨道卫星的角速度 ω； （2）求静止轨道卫星距离地面的高度 h1； （3）北斗系统中的倾斜同步卫星，其运转轨道面与地球赤道面有一定夹角，它的周期也是 T，距离地面的高度为 h2．视地球为质量分布均匀的正球体，请比较 h1 和 h2 的大小，并说 出你的理由．
【答案】（1） =
2π T
；（2） h1= 3
（4）该天体的第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，根据牛顿第二定律，有：mg=m v2 R
④
联立③④解得：v= gR = 4 2 (R h)3 ． RT 2
【点睛】 本题关键是明确卫星做圆周运动时，万有引力提供向心力，而地面附近重力又等于万有引 力，基础问题．
5．某课外小组经长期观测，发现靠近某行星周围有众多卫星，且相对均匀地分布于行星周 围，假设所有卫星绕该行星的运动都是匀速圆周运动，通过天文观测，测得离行星最近的
且沿半径不同的同心轨道作匀速圆周运动，设双星间距为 L，质量分别为 M1、M2 ( 万有引力
常量为 G)试计算：
1 双星的轨道半径 2 双星运动的周期．
【答案】 1 ? M 2 L， M1 L ； 2?2 L
M1 M2 M1 M2
L
G M1 M2 ；
【解析】
设行星转动的角速度为 ω ，周期为 T．
7．宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用， 三星质量也相同．现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位 于同一直线上，两颗星围绕中央星做囿周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三 角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的囿形轨道运行，如图乙所示．设这三个 星体 的质量均为 m，且两种系统中各星间的距离已在图甲、图乙中标出，引力常量为 G， 则: （1）直线三星系统中星体做囿周运动的周期为多少? （2）三角形三星系统中每颗星做囿周运动的角速度为多少?
6．据每日邮报 2014 年 4 月 18 日报道，美国国家航空航天局目前宣布首次在太阳系外发
现“类地”行星 .假如宇航员乘坐宇宙飞船到达该行星，进行科学观测：该行星自转周期为 T；宇航员在该行星“北极”距该行星地面附近 h 处自由释放 - 个小球 ( 引力视为恒力 ) ，落 地时间为 t.已知该行星半径为 R，万有引力常量为 G，求：
（2）静止轨道卫星做圆周运动，由牛顿运动定律有： G
Mm (R h1)2
=m(R
h1
)(
2π T
)
2
解得： h1= 3
GMT 2 4π2
R
（3）如图所示，同步卫星的运转轨道面与地球赤道共面，倾斜同步轨道卫星的运转轨道面 与地球赤道面有夹角，但是都绕地球做圆周运动，轨道的圆心均为地心．由于它的周期也
L
L
因为 T 2π ，所以有： T 2πL ω
L
G M1 M2
答： 1 双星的轨道半径分别是 M2 L， M1 L ；
M1 M2 M1 M2
2 双星的运行周期是 2πL
L
G M1 M2
点睛：双星靠相互间的万有引力提供向心力，抓住角速度相等，向心力相等求出轨道半径
之比，进一步计算轨道半径大小；根据万有引力提供向心力计算出周期．
1 如图，
对星球 M1 ，由向心力公式可得：
G
M1M2 L2
M1R1ω2
同理对星
M2
，有：
G
M1M2 L2
M2R2ω2
两式相除得： R1 M2 ，( 即轨道半径与质量成反比 ) R 2 M1
又因为 L R1 R 2
所以得： R1
M2 M1 M2
L，R 2
M1 M1 M2
L
2 有上式得到： ω 1 G M1 M2
以现实地球的 1 年为标准，计算“设想地球”的 1 年将变为多长？
【答案】（1）① 0.98，②
F2 F0
1
4 2R3 GMT 2
（2）“设想地球”的 1 年与现实地球的 1 年时间相同
【解析】
试题分析：（1）根据万有引力等于重力得出比值 的表达式，并求出具体的数值． 在赤道，由于万有引力的一个分力等于重力，另一个分力提供随地球自转所需的向心力， 根据该规律求出比值 的表达式 （2）根据万有引力提供向心力得出周期与轨道半径以及太阳半径的关系，从而进行判断． 解：（1）在地球北极点不考虑地球自转，则秤所称得的重力则为其万有引力，于是
GMT 2 4 2
R
（3）h1=
h2
【解析】
【分析】
（1）根据角速度与周期的关系可以求出静止轨道的角速度；
（2）根据万有引力提供向心力可以求出静止轨道到地面的高度； （3）根据万有引力提供向心力可以求出倾斜轨道到地面的高度； 【详解】
（1）根据角速度和周期之间的关系可知：静止轨道卫星的角速度= 2π T
对地面上的物体由黄金代换式
G
Mm R2
mg
a
卫星
GMm R2
m
4 2 Ta2
R
解得Ta 2
R g
b
卫星
GMm (4R)2
m
4 2 Tb2
·4R
解得Tb 16
R g
（2）卫星做匀速圆周运动， F引 F向 ，
a 卫星 GMm mva2
R2
R
解得 va
GM R
b
卫星 b
卫星 G
Mm (4R)2
2．a、b 两颗卫星均在赤道正上方绕地球做匀速圆周运动，a 为近地卫星，b 卫星离地面高 度为 3R，己知地球半径为 R，表面的重力加速度为 g，试求： （1）a、b 两颗卫星周期分别是多少？ （2） a、b 两颗卫星速度之比是多少？ （3）若某吋刻两卫星正好同时通过赤道同--点的正上方，则至少经过多长时间两卫星相距 最远？
G
Mm (R h)2
=m
2 T
2
(R+h)
解得：M= 4 2 (R h)3 ① GT 2
（2）天体的密度：
4 2 (R h)3
M
ρ= =
V
GT 2 4 R3 3
= 3 (R h)3 ． GT 2R3
（3）在天体表面，重力等于万有引力，故:
Mm mg=G R2
②
联立①②解得：g= 4 2 (R h)3 ③ R2T 2
一颗卫星的运动半径为 R1，周期为 T1，已知万有引力常量为 G。求： (1)行星的质量； (2)若行星的半径为 R，行星的第一宇宙速度大小； (3)研究某一个离行星很远的该行星卫星时，可以把该行星的其它卫星与行星整体作为中心 天体处理。现通过天文观测，发现离该行星很远处还有一颗卫星，其运动半径为 R2，周期 为 T2，试估算靠近行星周围众多卫星的总质量。
4．假设在半径为 R 的某天体上发射一颗该天体的卫星，若这颗卫星在距该天体表面高度 为 h 的轨道做匀速圆周运动,周期为 T，已知万有引力常量为 G，求: (1)该天体的质量是多少?
(2)该天体的密度是多少? (3)该天体表面的重力加速度是多少? (4)该天体的第一宇宙速度是多少?
【答案】(1) 4 2 (R h)3 ； (2) 3 (R h)3 ；(3) 4 2 (R h)3 ； (4) 4 2 (R h)3
【答案】（1） 2 R ，16 R （2）速度之比为 2 ； 8 R
g
g
7g
【解析】
【分析】根据近地卫星重力等于万有引力求得地球质量，然后根据万有引力做向心力求得
运动周期；卫星做匀速圆周运动，根据万有引力做向心力求得两颗卫星速度之比；由根据 相距最远时相差半个圆周求解；
解：（1）卫星做匀速圆周运动， F引 F向 ，
是
T，根据牛顿运动定律， G
Mm (R h2 )2
=m(R
h2
)(
2 T
)2
解得： h2 = 3
GMT 2 4 2
R
因此 h1= h2．
故本题答案是：（1） =
2π T
；（2） h1= 3
GMT 2 4 2
R
（3）h1= h2
【点睛】
对于围绕中心天体做圆周运动的卫星来说，都借助于万有引力提供向心力即可求出要求的 物理量．
【答案】（1） 4
L3 （2） 5Gm
3Gm L3
【解析】
【分析】
（1）两侧的星由另外两个星的万有引力的合力提供向心力，列式求解周期；
（2）对于任意一个星体，由另外两个星体的万有引力的合力提供向心力，列式求解角速
度；
【详解】
（1）对两侧的任一颗星，其它两个星对它的万有引力的合力等于向心力，则：
Gm2 (2L)2
9．2019 年 4 月 20 日 22 时 41 分，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号”乙运载火箭，成 功发射第四十四颗北斗导航卫星，卫星入轨后绕地球做半径为 r 的匀速圆周运动。卫星的 质量为 m，地球的半径为 R，地球表面的重力加速度大小为 g，不计地球自转的影响。 求：
①
② 由公式①②可以得出：
=0.98．
③
由①和③可得：
（2）根据万有引力定律，有
又因为
，
解得
从上式可知，当太阳半径减小为现在的 1.0%时，地球公转周期不变． 答：
（1）
=0.98．比值
（2）地球公转周期不变．仍然为 1 年． 【点评】解决本题的关键知道在地球的两极，万有引力等于重力，在赤道，万有引力的一 个分力等于重力，另一个分力提供随地球自转所需的向心力．
m
v2 4R
解得 vb
GM 4R
所以 Va 2 Vb
2 （3）最远的条件 Ta
2 Tb
解得 t 8 R 7g
3．万有引力定律揭示了天体运动规律与地上物体运动规律具有内在的一致性． （1）用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的物体的重力，随称量位置的变化可能会有不 同结果．已知地球质量为 M，自转周期为 T，引力常量为 G．将地球视为半径为 R、质量分 布均匀的球体，不考虑空气的影响．设在地球北极地面称量时，弹簧测力计的读数是 F0．