证明圆的切线的两种类型训练

证明圆的切线的两种类型

类型1已知直线与圆的交点【方法】“连半径，证垂直，得切线”.“证垂直”

如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M.

求证：DM与⊙O相切.

练习1(湖州中考改编)如图，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC=CP=2，弦AB 垂直平分OC.

(1)求BC的长；

(2)求证：PB是⊙O的切线.

练习2(德州中考)如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，C 是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形.

(1)求AD的长；

(2)BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明，若不是，说明理由.

3(临沂中考)如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB 交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E.

(1)证明：DE为⊙O的切线；

(2)连接OE，若BC=4，求△OEC的面积.

类型2未知直线与圆的交点【方法】作垂直，证半径，得切线

如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.

练习4如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M，与AB、AD分别相交于点E、F.

求证：CD与⊙O相切.

练习5如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE=DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB=5，EB=3.

（1）求证：AC是⊙D的切线;

（2）求线段AC的长.

23、（本题满分7分）（2014-2015学年（上）厦门市数学九年级质量检测）

如图8，已知AB 是⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，C 是⊙O 外一点。

若AD ∥OC ，直线BC 与⊙O 相交，判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由。

23．（本题满分7分）（2015—2016学年(上)厦门市九年级质量检测）

如图7，在□ABCD 中，∠ABC ＝70°，半径为r 的⊙O 经过点A ，B ，D ，︵AD 的长是πr 2

，延长CB 至点P ，使得PB ＝AB ．判断直线PA 与⊙O 的位置关系，并说明理由．

图7B O

B

A

C

图8D

圆的有关计算

类型1动态几何中弧长或扇形的面积问题

练习1已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50m ，半圆的直径为4m ，则圆心O 所经过的路线长是______m.(结果用π表示)

练习2如图所示，Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上，AC=3,∠ACB=90°,∠A=30°,若Rt △ABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A 第3次落在直线l 上时，点A 所经过的路线长为______.(结果用含π的式子表示)

练习3(恩施中考)如图，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD ，将正方形ABCD 沿x 轴的正方向无滑动的在x 轴上滚动，当点A 离开原点后第一次落在x 轴上时，点A 运动的路径线与x 轴围成图形的面积为()

A.2π+21

B.2π+1

C.π+1

D.π+2

1

练习4如图所示，扇形OAB 的圆心角为60°，半径为1，将它向右滚动到扇形O ′A ′B ′的位置，点O 到O ′所经过的路线长为()

A.π

B.34π

C.35π

D.2π

练习5(日照中考)如图，正六边形ABCDEF 是边长为2cm 的螺母，点P 是FA 延长线上的点，在A 、P 之间拉一条长为12cm 的无伸缩性细线，一端固定在点A ，握住另一端点P 拉直细线，把它全部紧紧缠绕在螺母上(缠绕时螺母不动)，则点P 运动的路径长为()

A.13πcm

B.14πcm

C.15πcm

D.16πcm

练习6如图，边长为2的正六边形ABCDEF 在直线l 上按顺时针方向作无滑动的翻滚.

(1)当正六边形绕点F 顺时针旋转60度时，A 落在点A 1位置；

(2)当点A 翻滚到点A 2的位置时，求点A 所经过的路径长.

类型2圆中不规则图形的面积问题

(盐城中考)如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，

AB ＝5cm ，AC ＝2cm ，将△ABC 绕顶点C 按顺时针方向旋转45°至△A 1B 1C 的位置，求线

段AB 扫过区域(图中阴影部分)的面积.

7.(泰安中考)如图7，半径为2cm ，圆心角为90°的扇形OAB

中，分别以OA 、OB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为()A.(2π-1)cm 2 B.(2π+1)cm 2 C.1cm 2 D.2

πcm 2

8(重庆中考)如图8，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AC=8，BD=6，以AB 为直

径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为(

)A.25π-6

B.225π-6

C.625π-6

D.8258-69(乐山中考)如图，正方形ABCD 的边长为3，以A 为圆心，2为半径作圆弧，以D 为圆心，3为半径作圆弧.若图中阴影部分的面积分别为S 1、S 2，则S 1-S 2=______

10(河南中考)如图，在菱形ABCD 中，AB=1，∠DAB=60°.把菱形ABCD 绕点A 顺时针旋转30°得到菱形AB ′C ′D ′，其中点C 的运动路径为CC ′，则图中阴影部分的面积为______11(襄阳中考)如图，在正方形ABCD 中，AD=2，E 是AB 的中点，将△BEC 绕点B 逆时针旋转90°后，点E 落在CB 的延长线上点F 处，点C 落在点A 处.再将线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ，连接EF ，CG.

(1)求证：EF ∥CG ；

(2)求点C ，点A 在旋转过程中形成的弧AC,弧AG 与线段CG 所围成的阴影部分的

面积.