2006年全国高中数学联赛一试试及解答

2006年全国高中数学联赛试题

第一试

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

1. 已知△ABC ，若对任意R t ∈

≥-，则△ABC 一定为

A ．锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 答案不确定 【答】 （ ）

2. 设2

log (21)log 2 1x x x x +->-，则x 的取值范围为

A ．

112x << B ．1

, 12

x x >≠且 C ． 1x > D ． 01x << 【答】

（ ） 3. 已知集合{}05≤-=a x x A ，{}

06>-=b x x B ,N b a ∈,，且{}2,3,4A B N ⋂⋂=，则整数对()b a ,的个数为

A. 20

B. 25

C. 30

D. 42 【答】 （ ） 4. 在直三棱柱111A B C ABC -中，2

BAC π

∠=

，11AB AC AA ===. 已知Ｇ与Ｅ分别为11A B 和

1CC 的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点）. 若GD EF ⊥，则线段DF

的长度的取值范围为

A. 1⎫⎪⎭

B.1, 25⎡⎫

⎪⎢⎣⎭

C. 1,⎡⎣

D. 【答】 （ ） 5.

设(32()log f x x x =+，则对任意实数,a b ，0a b +≥是()()0f a f b +≥的

A. 充分必要条件

B. 充分而不必要条件

C. 必要而不充分条件

D. 既不充分也不必要条件 【答】 （ ） 6. 数码1232006,,,,a a a a L 中有奇数个9的2007位十进制数12320062a a a a L 的个数为 A ．2006

20061

(10

8)2

+ B ．200620061

(108)2

- C ．20062006108+ D ．20062006108- 【答】（ ）

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

7. 设x x x x x f 4

4

cos cos sin sin )(+-=，则)(x f 的值域是 。

8. 若对一切θ∈R ，复数(cos )(2sin )i z a a θθ=++-的模不超过2，则实数a 的取值范围为 .

9. 已知椭圆

22

1164

x y +=的左右焦点分别为1F 与2F ，点P 在直线l

：80x ++=上. 当12F PF ∠取最大值时，比

12

PF PF 的值为 .

10. 底面半径为1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为

2

1

cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 cm 3. 11. 方程2006

2420042005(1)(1)2006x

x x x x +++++=L 的实数解的个数为 .

12. 袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取

完所有红球的概率为 . 三、解答题（本题满分60分，每小题20分）

13. 给定整数2n ≥，设 ),(000y x M 是抛物线12

-=nx y 与直线x y =的一个交点. 试证明对于任

意正整数m ，必存在整数2k ≥，使),(00m

m

y x 为抛物线12

-=kx y 与直线x y =的一个交点.

14. 将2006表示成5个正整数12345,,,,x x x x x 之和. 记15

i j i j S x x ≤<≤=

∑

. 问：

（1）当12345,,,,x x x x x 取何值时，S 取到最大值；

（2）进一步地，对任意1,5i j ≤≤有2i j x x -≤，当12345,,,,x x x x x 取何值时，S 取到最小值. 说明理由.

15. 设 2

()f x x a =+. 记1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x -=2,3,n =L ，，

{}

R (0)2n M a n f =∈≤对所有正整数 ，. 证明：⎥⎦⎤⎢⎣

⎡

-=41 ,2M .

一试参考答案

一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）

1.【答】 （ C ）【解】令ABC α∠=，过A 作AD BC ⊥于D ≥-，推出

222

22BA tBA BC t BC AC

-+≥u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g ,令

2

BA BC t BC

=u u u r u u u r g u u u r ，代入上式，得

222222

2cos cos BA BA BA AC αα-+≥u u u r u u u r u u u r u u u r ，即 222sin BA AC α≥u u u r u u u r , 也即 sin BA AC α≥u u u r u u u r 。

从而有AD AC ≥u u u r u u u r 。由此可得 2

ACB π

∠=。

2.【答】（ B ）【解】因为20,1210x x x x >≠⎧⎨+->⎩，解得 1

,12x x >≠. 由

2log (21)log 2 1x x x x +->-32log (2)log 2x x x x x ⇒+-> 32

01

22x x x x <<⎧⇒⎨+-<⎩ 解得 01x <<；或 32

122

x x x x >⎧⎨+->⎩ 解得 1x >，所以x 的取值范围为 1

, 12x x >≠且. 3.【答】 （ C ）【解】 50x a -≤5a x ⇒≤

；60x b ->6

b

x ⇒>。要使{}2,3,4A B N ⋂⋂=，则12645

5b

a ⎧≤<⎪⎪⎨⎪≤<⎪⎩

，即6122025b a ≤<⎧⎨≤<⎩。所以数对()b a ,共有116530C C =。

4.【答】 （ A ）【解】建立直角坐标系，以Ａ为坐标原点，ＡＢ为ｘ轴，ＡＣ为ｙ轴，ＡＡ１为ｚ轴，则1(,0,0)F t （101t <<），1

(0,1,)2E ，1(,0,1)2

G ，2(0,,0)D t （201t <<）。所以

11(,1,)2EF t =--u u u r ，21(,,1)2GD t =--u u u r 。因为GD EF ⊥，所以1221t t +=，由此推出 2102t <<。

又12(,,0)DF t t =-u u u r

，DF =u u u

r ==从而有

1DF ≤

r 。 5.【答】 （ A ）

【解】显然(32()log f x x x =+为奇函数，且单调递增。于是 若0a b +≥，则a b ≥-，有()()f a f b ≥-，即()()f a f b ≥-，从而有()()0f a f b +≥. 反之，若()()0f a f b +≥，则()()()f a f b f b ≥-=-,推出 a b ≥-，即 0a b +≥。 6. 【答】（ B ）【解】出现奇数个9的十进制数个数有1

2005

320032005

2006200620069

99A C C C =+++L 。

又由于2006

2006

20062006

(91)

9

k

k

k C

-=+=∑以及2006

2006

200620060

(91)

(1)9k

k k k C -=-=-∑，从而得 12005320032005

200620062006200620061999(108)2

A C C C =+++=-L 。

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

7.【解】 44

211()sin sin cos cos 1sin 2sin 222

f x x x x x x x =-+=--。令sin 2t x =，则

2211911()()1()22822f x g t t t t ==--=-+。因此11919

min ()(1)0,824

t g t g -≤≤==-=g

111919max ()()02828t g t g -≤≤=-=-=g 。 即得9

0()8

f x ≤≤。