高中数学选修2-3课件2.2.2《事件的相互独立性》课件

相互独立事件及其同时发生的概率
1、事件的相互独立性 设A，B为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事 件A与事件B相互独立。
即事件A（或B）是否发生,对事件B（或A）发生的
概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件。 注：
①区别：互斥事件和相互独立事件是两个不同概念：
两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生； 两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件 发生的概率没有影响。
答：在这段时间内线路正常工作的概率是0.973
巩固练习
1、分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设A是事件“第1 枚为正面”，B是事件“第2枚为正面”，C是事件 “2枚结果相同”。问：A，B，C中哪两个相互独立？
巩固练习
2、在一段时间内，甲地下雨的概率是0.2，乙地下雨 的概率是0.3，假定在这段时间内两地是否下雨相互 之间没有影响，计算在这段时间内： （1）甲、乙两地都下雨的概率；
这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率， 等于每个事件的概率的积。 一般地，如果事件A1，A2……，An相互独立，那么这n个 事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即
P（A1·A2……An）=P（A1）·P（A2）……P（An）
试一试 判断事件A, B 是否为互斥, 互独事件?
1.篮球比赛 “罚球二次” . 事件A表示“ 第1球罚中”, 事件B表示“第2球罚中”. A与B为互独事件
时发生，根据相互独立事件的概率的乘法公式,得到
P(A•B)=P(A) •P(B)=0.6×0.6＝0.36
答：两人都击中目标的概率是0.36
例2 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人击
中目标的概率都是0.6，计算： (2) 其中恰有1人击中目标的概率？ 解：“二人各射击1次，恰有1人击中目标”包括两种
事件A为“取出的是白球”.事件B为“取出的是白
球”. ( 放回抽取)
A与B为互独事件
例1 某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商
品可以获得一张奖券。奖券上有一个兑奖号码，可以 分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动。如果两次兑 奖活动的中奖概率都是0.05 ,求两次抽奖中以下事件的 概率：
（1）都抽到某一指定号码；
分析: 设事件A为“第1次射击中靶”. B为“第2次射击中 靶”. ⑴ “两次又都∵中A靶与”B是是互指斥“事事件件. A发生且事件B发生” 即
A·B （2∴）“P至( A少·B有）一= 次P（中A靶）”·P是（指B）(中= , 不中), (不中, 中), (中, 中) （3）即“A至·多B 有+ A一·B次+中A靶·B”. ∴是求指P((A中·B, 不+中A·)B, (+不A中·B,)中), (中, 中)
2.理清题意, 判断各事件之间的关系(等可能;互斥; 互独; 对立). 关键词 如“至多” “至少” “同时” “恰
有”. 求“至多” “至少”事件概率时,通常考虑它们的对立事件的
概 3.寻率.找所求事件与已知事件之间的关系.
“所求事件” 分几类 (考虑加法公式, 转化为互斥事件) 还是分几步组成(考虑乘法公式, 转化为互独事件)
②如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B是不是 相互独立的 相互独立
2、相互独立事件同时发生的概率公式：
“第一、第二次都取到红皮蛋”是一个事件，
它的发生就是事件A,B同时发生，将它记作A•B
两个相互独立事件A,B同时发生,即事件A•B发生的概 率为：
P( A B) P( A) P(B)
3.若 AB 为不可能事件,则说事件A与B互斥.
探究：
三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学 无放回的抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率 是否比前两名同学小。
思考1？
如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那 么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少？
已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最 后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？
4.根据公式解答
1.射击时, 甲射10次可射中8次;乙射10次可射中7次. 则甲,乙同时射中同一目标的概率为____1145___
2.甲袋中有5球 (3红,2白), 乙袋中有3球 (2红,1白). 从每袋中任取1球,则至少取到1个白球的概率是__35_
3.甲,乙二人单独解一道题, 若甲,乙能解对该题的概率 分别是m, n . 则此题被解对的概率是_m_+_n_-_m_n_
P=0.2×0.3＝0.06
（2）甲、乙两地都不下雨的概率；
ຫໍສະໝຸດ BaiduP=(1-0.2)×(1-0.3)=0.56
（3）其中至少有一方下雨的概率.
P=1-0.56=0.44
3.某战士射击中靶的概率为0.99.若连续射击两次. 求: (1) 两次都中靶的概率;(2)至少有一次中靶的概率: (3)至多有一次中靶的概率;(4)目标被击中的概率.
0.6 (1 0.6) (1 0.6) 0.6
0.24 0.24 0.48
答：其中恰由1人击中目标的概率为0.48.
例2 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人击
中目标的概率都是0.6，计算： （3）至少有一人击中目标的概率. 解法1:两人各射击一次至少有一人击中目标的概率是
P P( A • B) [P( A • B) P( A • B)]
情况:一种是甲击中, 乙未击中（事A件• B ）另一种是
甲未击中，乙击中（事件Ā•B发生）。根据题意，这两 种情况在各射击1次时不可能同时发生，即事件Ā•B与
A• B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立 事件的概率乘法公式，所求的概率是
P(A • B) P(A • B)
P( A) • P(B) P( A) • P(B)
（2）恰有一次抽到某一指定号码；
（3）至少有一次抽到某一指定号码。
例2 甲、乙二人各进行1次射击比赛，如果2人
击中目标的概率都是0.6，计算：
（1）两人都击中目标的概率；
解（2：）(1其) 中记恰“由甲1人射击击中1次目,标击的中概目率标”为事件A.“乙 射（3）击至1少次有,击一中人目击标中”目为标事的件且概B率A.与B相互独立， 又A与B各射击1次,都击中目标,就是事件A,B同
一般地，在已知另一事件A发生的前提下，事件B发
生的可能性大小不一定再是P(B).即 P(B | A) P(B)
条件的附加意味着对样本空间进行压缩.
思考2？
对于上面的事件A和事件B，P(B|A)与它们的概 率有什么关系呢？
n( AB)
P(B | A) n( AB) n( A)
n() n( A)
2.篮球比赛 “1+1罚球” . 事件A表示 “ 第1球罚中”, 事件B表示 “第2球罚中”.A与B不是互独事件
3.袋中有4个白球, 3个黑球, 从袋中依此取2球. 事件A:“取出的是白球”.事件B:“取出的是黑球” ( 不放回抽取) A与B为非互独也非互斥事件
4.袋中有4个白球, 3个黑球, 从袋中依此取2球.
P(A)+P(Ā)=1
复习回顾
(4).条件概率
设事件A和事件B，且P(A)>0,在已知事件A发 生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率。 记作P(B |A).
(5).条件概率计算公式:
P(B | A) n( AB) P( AB) n( A) P( A)
注意条件：必须 P(A)>0
问题探究：
我们知道，当事件A的发生对事件B的发生有影 响时，条件概率P(B|A)和概率P(B)一般是不相等的， 但有时事件A的发生，看上去对事件B的发生没有影 响，比如依次抛掷两枚硬币的结果（事件A）对抛掷第二枚
硬币的结果（事件B）没有影响，这时P(B|A)与P(B)相等吗？
下面看一例
在大小均匀的5个鸡蛋中有3个红皮蛋，2个白皮 蛋，每次取一个，有放回地取两次，求在已知第一 次取到红皮蛋的条件下，第二次取到红皮蛋的概率。
高二数学 选修2-3
2.2.2事件的相互独 立性
复习回顾
①什么叫做互斥事件？什么叫做对立事件？
不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；如果两个互斥 事件有一个发生时另一个必不发生，这样的两个互斥事件 叫对立事件.
②两个互斥事件A、B有一个发生的概率公式是
什么？ P(A+B)=P(A)+(B)
③若A与A为对立事件，则P（A）与P（A）关 系如何？
P(A+B)=P(A·B)+P(A·B) +P(A·B)=1- P(A·B)
4.有一谜语, 甲,乙,丙猜对的概率分别是1/5, 1/3 , 1/4 . 则三人中恰有一人猜对该谜语的概率是__1_3__
30
(1-a)(1-b)
5.加工某产品须经两道工序, 这两道工序的次品率分别 为a, b. 且这两道工序互相独立.产品的合格的概率是__.
段时间内3个开关都不能闭合的概率是
P( A • B • C) P( A) • P(B) • P(C)
[1 P( A)][1 P(B)][1 P(C)]
(1 0.7)(1 0.7)(1 0.7)
0.027
所以这段事件内线路正常工作的概率是
1 P(A • B • C) 1 0.027 0.973
P( AB) P( A)
n()
P(B |A)相当于把Ａ看作新的
基本事件空间求Ａ∩Ｂ发生的 概率
BA
基本概念
1.条件概率
对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的 条件下事件B发生的条件概率”，叫做条件概率。 记作P(B |A).
2.条件概率计算公式: P( A | B ) P( AB )
P( A )
625
例3 在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只
要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在 某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7,计算在这段时 间内线路正常工作的概率.
解：分别记这段时间内开关 J A、J B、J C 能够闭合为事 件A,B,C. 由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相 互之间没有影响。根据相互独立事件的概率乘法式这
③从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
(放回抽取)
C41·C41 C1001·C1001
( 互斥事件)
求
分类 P(A+B)= P(A) + P (B)
较
正向
复
杂
事
分步
P(A·B)= P(A) ·P (B)
( 互独事件)
件
概 率
反向
对立事件的概率
独立事件一定不互斥. 互斥事件一定不独立.
6.某系统由A,B,C三个元件组成, 每个元件正常工作概率为P. 则系统正常工作的概率为_P_+P_2_- P3
A
B
C
7.在100件产品中有4件次品.
C42
①从中抽2件, 则2件都是次品概率为_C_10_02
C41·C31 C1001·C991
②从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是___
(不放回抽取)
注:⑴ 0 ≤ P(B | A) ≤1 ;
⑵几何解释:
⑶可加性： 如果 B和C 互斥，
BA
那么 P (B C ) | A P(B | A) P(C | A)
0.36 0.48 0.84
解法2：两人都未击中的概率是 P(A • B) P(A) • P(B)
(1 0.6) (1 0.6) 0.16, 因此，至少有一人击中目标的概率
P 1 P(A • B) 1 0.16 0.84 答：至少有一人击中的概率是0.84.
巩固练习
生产一种零件，甲车间的合格率是96%,乙车间的合格率 是97％,从它们生产的零件中各抽取1件，都抽到合格品 的概率是多少？
解：设从甲车间生产的零件中抽取1件得到合格品为 事件A，从乙车间抽取一件得到合格品为事件B。那么， 2件都是合格品就是事件A•B发生，又事件A与B相互独 立，所以抽到合格品的概率为
P( A • B) P( A) • P(B)
96 • 97 582 100 100 625
答：抽到合格品的概率是 582
复习引入：
我们知道求事件的概率有加法公式：
若事件A与B互斥，则. P( A B) P( A) P(B)
那么怎么求A与B的积事件AB呢? 注: 1.事件A与B至少有一个发生的事件叫做A与B的
和事件,记为 A B (或 A B );
2.事件A与B都发生的事件叫做A与B的积事件,
记为 A B (或 AB );
即 A·B + A·B+ A·B. ∴求 P(A·B + A·B+ A·B) （4）“目标被击中” 是指 (中, 不中), (不中, 中), (中,中)
即 A·B + A·B+ A·B. ∴求 P(A·B + A·B+ A·B)
解题步骤：
1.用恰当的字母标记事件,如“XX”记为A, “YY”记为B.