高中数学双曲线的渐近线和共轭双曲线
三类常见的双曲线系及其应用
题型分类解析一、与已知双曲线共渐近线的双曲线系与双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的双曲线系方程为x 2a 2－y2b2＝λ(λ≠0) (*) 或写成b 2x 2－a 2y 2＝k(k ≠0).证明：（1） 当λ>0时，方程(*)可变形为λλ2222b y a x -=1, 22,0b a >λλ>0.表示中心在原点、焦点在x 轴上的双曲线，其渐近线方程为y =λλa b ±x =x a b ±，与双曲线2222b y a x -=1的渐近线相同.（2）当λ<0时，方程(*)可变形为λλ2222a x b y ---=1, -22,0a b ->λλ>0..表示中心在原点、焦点在y 轴上的双曲线，其渐近线方程为y =λλ--±a b x =x a b ±，与双曲线2222b y a x -=1的渐近线相同.由（1）（2）可知，原命题成立.例1 求与双曲线x 25－y24＝1有共同的渐近线，且焦距为12的双曲线方程．解：设所求双曲线为x 25－y24＝λ(λ≠0)．当λ＞0时，a 2＝5λ，b 2＝4λ，c 2＝9λ，则6λ＝12，解得λ＝4．此时所求双曲线方程为x 220－y216＝1.当λ＜0时，a 2＝－4λ，b 2＝－5λ，c 2＝－9λ，则6－λ＝12， 解得λ＝－4．此时所求双曲线方程为y 216－x220＝1.例 2.求与双曲线16922y x -=1有共同的渐近线，且经过点A （-3，23）的双曲线方程.解：设所求双曲线方程为16922y x -=λ(λ≠0).将A 点坐标代入，得λ=41，故所求双曲线方程为16922y x -=41，即44922y x -=1 二、以定直线为渐近线的双曲线系以已知直线A x ±B y ＝0为渐近线的双曲线系方程为(Ax ＋By)(A x －B y )＝λ(λ≠0)，即A 2x 2－B 2y 2＝λ(λ≠0) 例3．已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为y=±bax (a >0,b >0)，若双曲线上有一点M (x 0,y 0)，使b 0x >a 0y ，则双曲线的焦点（）A.当a >b 时在x 轴上B.当a <b 时在y 轴上C.在x 轴上D.在y 轴上 解：由双曲线的渐近线方程为y=±bax ，即b x ±a y =0, 可知双曲线的方程为b 2x 2-a 2y 2=λ（λ≠0）.∵点M (x 0,y 0)在双曲线上，∴λ= b 2x 02-a 2y 02>0, ∴双曲线的焦点在x 轴上,故选 C.例4．双曲线中心在原点，对称轴是坐标轴，若一条渐近线方程为3x +2y =0，且经过点P(8,63)，则其方程是___________.解：由对称性可知，双曲线的另一条渐近线方程为3x -2y =0.因此，所求双曲线方程可表示为(3x +2y )(3x -2y ) =λ，即2249y x -=λ(λ≠0).将P 点坐标代入，得λ=144，故所求双曲线方程为2249y x -=144，即361622y x -=1. 例 5.以椭圆224y x +=64的焦点为顶点，一条渐近线方程x+3y =0的双曲线方程是_____.解：由166422y x +=1，得c 2=48，设所求双曲线方程为223y x -=λ(λ≠0)，即322λλy x -=1.由已知知λ=c 2=48，故所求双曲线方程为164822y x -=1. 例 6.以双曲线224y x -=64的焦点为焦点，一条渐近线方程是x +3y =0的双曲线方程是_________.解： 由166422y x -=1，得c 2=80. 设所求双曲线方程为223y x -=λ(λ≠0)，即322λλy x -=1.由已知，得λ+3λ=80，∴λ=60,故所求双曲线方程为206022y x -=1. 三、与已知双曲线共焦点的双曲线系与已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)有共同焦点的双曲线系方程x 2a 2＋λ－y 2b 2－λ＝1(－a 2＜λ＜b 2).例7求与双曲线y239－x225＝1有共同焦点，且过点(27，62)的双曲线方程.分析：根据已知双曲线方程设出所求方程，然后代入已知点求得参数，进而求得双曲线方程.解：设所示双曲线方程为y239＋λ－x225－λ＝1(－39＜λ＜25)，则将点(62，27)代入上述方程，得(62)239＋λ－(27)225－λ＝1，解得λ＝－3或89(舍去)，故所求双曲线方程为y236－x228＝1.点评：根据已知方程求双曲线的方程时，一定注意双曲线系方程中的参数范围，否则会造成多解.。
高中双曲线知识点总结
高中双曲线知识点总结高中双曲线知识点总结进入高三总复习的第一阶段，同学们应从基础知识抓起，扎扎实实，一步一个脚印地过数学知识点关。
复习时，将双曲线方程知识点总结熟练掌握运用，小编相信您一定可以提高数学成绩!高中双曲线知识点总结1双曲线的第一定义：⑴①双曲线标准方程：. 一般方程：.⑵①i. 焦点在x轴上：顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或，参数方程：或 .②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距(两准线的距离);通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程(分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点) 长加短减原则：构成满足(与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号)⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程?解：令双曲线的方程为：，代入得.⑹直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条;区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条;区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条;区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条;区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.(2)若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.⑺若P在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P 到两准线的距离比为m︰n.简证： =.常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.高中双曲线知识点总结2一、用好双曲线的对称性例1若函数y=kx(k>0)与函数y=的图象相交于A、C两点，AB⊥x 轴于B。
高中数学优秀教案第二册上.双曲线的第二定义
课 题:8．4双曲线的第二定义教学目的：1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质2．掌握双曲线的另一种定义及准线的概念3．掌握等轴双曲线,共轭双曲线等概念4．进一步对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育教学重点：双曲线的渐近线、离心率、双曲线的另一种定义及其得出过程教学难点：渐近线几何意义的证明，离心率与双曲线形状的关系，双曲线的另一种定义的得出过程授课类型：新授课课时安排:1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程： 一、复习引入：1．范围、对称性由标准方程12222=-by a x ，从横的方向来看,直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心2．顶点顶点：()0,),0,(21a A a A -特殊点：()b B b B -,0),,0(21实轴:21A A 长为2a ， a 叫做半实轴长虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点,这是两者的又一差异3．渐近线过双曲线12222=-by a x 的两顶点21,A A ，作Y 轴的平行线a x ±=,经过21,BB 作X 轴的平行线b y ±=，四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是x ab y ±=（0=±by ax )，这两条直线就是双曲线的渐近线4．等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线等轴双曲线的性质：(1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂直；(3）离心率=e等轴双曲线可以设为：)0(22≠=-λλy x，当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上5．共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为x ab y ±=)0(>±=k x kakb ，那么此双曲线方程就一定是:)0(1)()(2222>±=-k kb y ka x 或写成λ=-2222by a x6．双曲线的草图具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线7．离心率双曲线的焦距与实轴长的比ac a c e ==22，叫做双曲线的离心率范围：1>e 双曲线形状与e的关系：1122222-=-=-==e ac a a c a b k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知,双曲线的离心率越大,它的开口就越阔8．共轭双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴,虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 区别：三量a,b ，c 中a ，b 不同（互换）c 相同共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为—1共用同一对渐近线kx y ±=的双曲线的方程具有什么样的特征:可设为)0(1222≠=-λλky x ,当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上二、讲解新课：9． 双曲线的第二定义:到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数)0(>>=a c ac e 的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e 是双曲线的离心率．10．准线方程：对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 21:-=，相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线ca x l 22:=；位置关系：2>>≥ca a x焦点到准线的距离cb p 2=（也叫焦参数）对于12222=-b x a y 来说，相对于上焦点),0(1c F -对应着上准线c a y l 21:-=；相对于下焦点),0(2c F 对应着下准线ca y l 22:=11 。
高中数学教程双曲线的几何性质
高中数学教程双曲线的几何性质（1）目标：1．能用对比的方法分析双曲线的范围、对称性、顶点等几何性质，并熟记之；2．掌握双曲线的渐近线的概念和证明； 3．明确双曲线方程中,,a b c 的几何意义；4．能根据双曲线的几何性质，确定双曲线的方程并解决简单问题。
重、难点：双曲线的范围、对称性、顶点和渐近线。
（一）复习：1．双曲线的定义和标准方程； 2．椭圆的性质；（二）新课讲解：以双曲线标准方程12222=-by a x 为例进行说明。
1．范围：观察双曲线的草图，可以直观看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线a x ±= 的外侧。
注意：从双曲线的方程如何验证？从标准方程12222=-b y a x 可知22221b y a x ≥-，由此双曲线上点的坐标都适合不等式122≥ax即22a x ≥，a x ≥即双曲线在两条直线a x ±=的外侧。
2．对称性：双曲线12222=-by a x 关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线12222=-by a x 的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。
3．顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。
在双曲线12222=-by a x 的方程里，对称轴是,x y 轴，所以令0=y 得a x ±=，因此双曲线和x 轴有两个交点)0,()0,(2a A a A -，他们是双曲线12222=-by a x 的顶点。
令0=x ，没有实根，因此双曲线和y 轴没有交点。
1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点）， 双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。
2）实轴：线段2A A 叫做双曲线的实轴，它的长等于2,a a 叫做双曲线的实半轴长。
虚轴：线段2B B 叫做双曲线的虚轴，它的长等于2,b b 叫做双曲线的虚半轴长。
在作图时，我们常常把虚轴的两个端点画上（为要确定渐进线），但要注意他们并非是双曲线的顶点。
双曲线的相关知识点高三网
双曲线的相关知识点高三网双曲线的相关知识点双曲线（Hyperbola）是数学中的一个重要概念，广泛应用于数学、物理和工程等领域。
本文将介绍双曲线的定义、性质以及相关的应用。
一、双曲线的定义双曲线可以由一个平面上的动点P到两个固定点F1和F2的距离差的绝对值等于常数2a所确定。
我们把这个差的绝对值定义为双曲线的离心率e。
当e>1时，双曲线为实数轴上对称的开口向左右两侧延伸的曲线；当e=1时，双曲线为一个抛物线；当e<1时，双曲线为虚数轴上对称的开口向上下两侧延伸的曲线。
二、双曲线的性质1. 双曲线的焦点和直线l的关系：平面上直线l上的点P到焦点F1和F2的距离之差等于双曲线的离心率e与PF1之间的距离之积。
2. 双曲线的渐近线：当双曲线的离心率e不等于1时，双曲线有两条渐近线，分别与双曲线的分支无限接近且是无穷远处的切线。
3. 双曲线的对称轴：双曲线的对称轴是垂直于双曲线渐近线的直线，过双曲线的中心。
4. 双曲线的顶点：双曲线的两条分支最靠近对称轴的交点称为双曲线的顶点。
5. 双曲线的直径：双曲线的直径是两条分支之间的最长线段，它通过双曲线的顶点。
三、双曲线的应用1. 物理学中的应用：双曲线在天体运动的研究中具有重要地位，如天体轨道、椭圆轨道和双曲线轨道等。
2. 工程学中的应用：双曲线被广泛应用于天线的设计和微波线的计算中，尤其在无线通信和雷达领域。
3. 经济学中的应用：双曲线在经济学中也有应用，如边际效用递减规律的研究、消费者行为的分析等。
4. 数学分析中的应用：双曲线和其它几何图形的研究有助于提供解析几何的基础，为更高阶的数学研究奠定基础。
综上所述，双曲线是一个重要的数学概念，它具有独特的性质和广泛的应用。
通过了解双曲线的定义、性质以及其应用领域，我们可以更好地应用双曲线来解决实际问题，推动科学研究的发展。
双曲线的渐近线和共轭双曲线
焦距与实轴长的比 e=c/a e>1
过焦点垂直于实轴的弦 2b2/a
标准方程
椭圆
x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)
双曲线
x2/a2-y2/b2=1(a>0、b>0)
几何 图形
范围 对称性 顶点
a,b,c的含义
离心率e定义 通径、通径长
y B2
A1
A2
F1 0 F2
x
B1
|x |≤a 、|y |≤ b
a
a
MN Y y b (x x2 a2 )
Y
a
b (x x2 a2 )(x x2 a2 )
a
ab
x x2 a2
O
x x2 a2
N (x,Y) Q
M （x,y)
X
MQ 是点M到直线y b 的距离，且 MQ MN 。当x逐渐增大时， a
推广到一般：双曲线A2x2-B2y2=1的渐近线方程为： Ax±By=0
结论2：如果已知双曲线的渐近线方程为：Ax±By=0，
去求双曲线方程，我们可以采用待定系数法设出双曲线 方程为：A 2x 2-B 2y 2=λ（λ≠0） 其中λ为待定的系数，再 根据题目中的一个条件，求出λ，方程得到求解。若λ>0, 则双曲线焦点在x轴上，若 λ<0，则双曲线焦点在y轴上。
近线方程为 y 4 x ，求此双曲线的离心率。
3
例3、求与双曲线 x2 y2 1 有共同渐近线且一个
9 16
焦点为（0，10）的双曲线的标准方程。
例4、求中心在原点，实轴在x轴上，实轴长为2 3， 且两条渐近线相交所成的角（含双曲线部分） 为600的双曲线方程。
高中数学双曲线的渐近线概述专题辅导
高中数学双曲线的渐近线概述专题辅导庞敬涛渐近线是双曲线的几何性质中特有的性质，加强对双曲线的渐近线的学习和研究，有利于同学们对双曲线的定义、性质的进一步理解和对解题方法的把握。
一、深刻理解双曲线的渐近线概念1、对关键词“渐近”的理解，它表述了双曲线的两支向四个方向与其渐近线无限地靠近，但永远都不会相交。
也可以这样理解，当双曲线上的动点M 沿着双曲线无限地远离双曲线的中心时，点M 到这条直线的距离逐渐变小且无限趋近于0。
2、渐近线的作法，过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们围成一个矩形，矩形的两条对角线所在的直线即为双曲线的渐近线。
二、掌握双曲线的渐近线方程的求法根据双曲线的标准方程求渐近线，把双曲线标准方程中等号右边的1改成0，就得到了此双曲线的渐近线方程。
比如，双曲线方程为),0b ,0a (1by a x 2222>>=-则渐近线方程的求法是令0by a x 2222=-，渐近线方程为.0b y a x =±三、掌握双曲线的渐近线常见结论1、两条渐近线倾斜角互补，斜率互为相反数。
2、两条渐近线关于x 轴、y 轴对称。
3、等轴双曲线的渐近线方程为y ＝±x 。
4、共轭双曲线的渐近线：两条共轭双曲线的渐近线相同。
四、例题分析1、根据几何性质求双曲线的渐近线。
例1 已知21F F 、为双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-的焦点，过2F 作垂直x 轴的直线，它与双曲线的一个交点为P ，且︒=∠30F PF 21，则双曲线的渐近线方程为（ ）。
A. x 22y ±= B. x 3y ±= C. x 33y ±= D. x 2y ±= 由条件知21F PF ∆为直角三角形，又︒=∠=30F PF ,c 2|F F |2121，可利用a 、b 、c 三者的关系式与三角形中边的关系式联立，解得a 与b 的关系，从而求解。
双曲线的定义及其基本性质
双曲线的定义及其基本性质
一、双曲线的定义：
（1）到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜
2
1F F ）的点的轨迹。
两定点叫双曲线的焦点。
a PF PF 221=-＜2
1F F
（2）动点P 到定点F 的距离与到一条定直线的距离之比是常数e （e ＞1）时，这个动点的轨迹是双曲线。
这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线。
二、双曲线的方程： 双曲线标准方程的两种形式：
①
12
222=-b y a x ，2
2b a c +=，
F 1(-c,0),F 2(c,0) 三、双曲线的性质：
（1）焦距F 1F 2=2c,实轴长A 1A 2=2a,虚轴长（2）双曲线的离心率为e=a
c
，e>1（3）焦点到渐近线的距离：虚半轴长b （4）有两条准线，c a x l 21:-=x l 2:=四、双曲线的渐近线：
（1）若双曲线为12222=-b y a x ⇒渐近线方程为x a
b
y ±=，
（2）若已知某双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，则可设此双曲线为λ=-22
22b
y a x ，
（3）特别地当a=b 时⇔2=e ⇔两渐近线互相垂直，分别为y =±x ，此时双曲线为等轴双曲线
五、共轭双曲线：
双曲线A 的实轴为双曲线B 的虚轴，双曲线A 的虚轴为双曲线B 的实轴，即11
122=+B
A e e 。
双曲线的渐近线和共轭双曲线课件
渐近线的存在使得双曲线在某些 方向上看起来更接近于直线。
渐近线的求法
确定双曲线的焦点位置
确定渐近线的方程
首先需要确定双曲线的焦点位置，这 可以通过给定的双曲线方程或已知条 件来确定。
利用已知的渐近线斜率和焦点位置， 可以确定渐近线的方程。
计算渐近线的斜率
根据双曲线的焦点位置和原点之间的 连线斜率，可以计算出渐近线的斜率 。
方程。
根据给定双曲线的焦距，求出 与给定双曲线共轭的双曲线方
程。
03
双曲线与渐近线、共轭双曲线的 联系
双曲线与渐近线的关系
渐近线是双曲线的一种特殊直线，它 与双曲线的形状和位置密切相关。
渐近线的斜率与双曲线的实轴和虚轴 的斜率相等。
当双曲线上的点逐渐接近渐近线时， 该点与渐近线的距离会无限接近于零 。
双曲线与共轭双曲线的关系源自共轭双曲线是与原双曲线具有相 同渐近线但不同顶点和焦点的双
曲线。
共轭双曲线的性质与原双曲线相 似，但在几何形状上可能有所不
同。
共轭双曲线的实轴和虚轴的长度 相等，且与原双曲线的实轴和虚
轴成直角。
双曲线、渐近线、共轭双曲线在实际问题中的应用
在物理学中，双曲线、渐近线和共轭双曲线可以用于描述波动、光学和力学等现象 。
双曲线的渐近线和共轭双曲 线课件
• 双曲线的渐近线 • 共轭双曲线 • 双曲线与渐近线、共轭双曲线的联
系 • 双曲线的几何意义 • 习题与解答
01
双曲线的渐近线
渐近线的定义
渐近线是双曲线上的一个重要概 念，它描述了双曲线在无穷远处
趋于直线的趋势。
渐近线是双曲线与直线之间的“ 桥梁”，它反映了双曲线的形状
渐近线的性质
双曲线的基本知识点(大全)
双曲线的基本知识点(大全)双曲线的基本知识点(大全)双曲线，这在高中数学中是一大考点，那么双曲线知识点又有什么重点呢下面小编给大家整理了关于双曲线的基本知识点的内容，欢迎阅读，内容仅供参考!双曲线的基本知识点一、直线与方程(1)直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α 180°(2)直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k表示。
即。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
②过两点的直线的斜率公式：注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°;(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
(3)直线方程①点斜式：直线斜率k，且过点注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示。
但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。
②斜截式：直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b③两点式：()直线两点，④截矩式：其中直线与轴交于点，与轴交于点，即与轴、轴的截距分别为。
⑤一般式：(A，B不全为0)注意：各式的适用范围特殊的方程如：平行于x轴的直线：(b为常数);平行于y轴的直线：(a为常数);(5)直线系方程：即具有某一共同性质的直线(一)平行直线系平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)(二)垂直直线系垂直于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)(三)过定点的直线系(ⅰ)斜率为k的直线系：，直线过定点;(ⅱ)过两条直线，的交点的直线系方程为(为参数)，其中直线不在直线系中。
双曲线的渐近线公式推导
双曲线的渐近线公式推导双曲线是一种常见的二次曲线，它有两条渐近线。
下面我将从多个角度来推导双曲线的渐近线公式。
首先，我们先来定义双曲线。
双曲线的一般方程可以表示为：\[ \frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1 \]其中，a和b是双曲线的两个参数。
接下来，我们来推导双曲线的渐近线公式。
1. 水平渐近线：当y趋近于正无穷或负无穷时，双曲线的x趋近于a或-a。
因此，我们可以得到两条水平渐近线的方程：\[ y = \pm \frac{b}{a} \cdot x \]2. 垂直渐近线：当x趋近于正无穷或负无穷时，双曲线的y趋近于b或-b。
因此，我们可以得到两条垂直渐近线的方程：\[ x = \pm \frac{a}{b} \cdot y \]3. 斜渐近线：斜渐近线是双曲线的一条特殊的渐近线，它的斜率不等于0或无穷大。
我们可以通过以下步骤推导斜渐近线的方程：首先，将双曲线的一般方程改写为：\[ y^2 = \frac{b^2}{a^2} \cdot x^2 b^2 \]然后，我们取y为bx，代入上式得到：\[ (bx)^2 = \frac{b^2}{a^2} \cdot x^2 b^2 \]化简得：\[ (b^2 a^2) \cdot x^2 b^2 \cdot a^2 = 0 \]这是一个二次方程，解它可以得到两个x的值，记为x1和x2。
接下来，我们可以求出对应的y值，即y1和y2。
这样，我们就得到了两个点(x1, y1)和(x2, y2)。
然后，我们可以计算斜率k：\[ k = \frac{y2 y1}{x2 x1} \]最后，我们可以得到斜渐近线的方程：\[ y = kx + c \]其中c为常数，可以通过将斜渐近线的方程代入双曲线的一般方程求解得到。
综上所述，我们从水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线三个角度推导了双曲线的渐近线公式。
高中数学双曲线的简单几何性质(经典)
双曲线的简单几何性质【知识点1】双曲线22a x -22b y ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x ｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x 轴、y 轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点：A 1(-a,0),A 2(a,0)，两顶点间的线段为实轴长为2a ，虚轴长为2b ，且c 2＝a 2+b 2.(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y ＝±a bx ，或令双曲线标准方程22a x -22b y ＝1中的1为零即得渐近线方程. (5)离心率e ＝a c＞1，随着e 的增大，双曲线张口逐渐变得开阔.(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x 2-y 2＝a 2(a≠0),它的渐近线方程为y ＝±x,离心率e ＝2.(7)共轭双曲线：方程22a x -22b y ＝1与22a x -22b y ＝-1表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注意方程的表达形式.注意：（1）与双曲线22a x -22b y ＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为22a x -22b y ＝λ(λ≠0且λ为待定常数) （2）与椭圆22a x +22b y ＝1(a ＞b ＞0)共焦点的曲线系方程可表示为λ-22a x -λ-22b y ＝1(λ＜a 2,其中b 2-λ＞0时为椭圆， b 2＜λ＜a 2时为双曲线)（3）双曲线的第二定义：平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l :x ＝c a 2的距离之比等于常数e ＝a c(c ＞a ＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p ＝c b 2，与椭圆相同.1、写出双曲线方程1254922-=-y x 的实轴长、虚轴的长，顶点坐标，离心率和渐近线方程2、已知双曲线的渐近线方程为x y 43±=，求双曲线的离心率3、求以032=±y x 为渐近线，且过点p （1,2）的双曲线标准方程4、已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为43，求双曲线的标准方程。
共轭双曲线
a b
2 2
1与
y 2 x2 1 b2 a 2
互为共轭双曲线
双曲线与椭圆有哪些不同？ （1）定义不同，图形不同。 （2）有两类特殊的双曲线，它们有一些特殊的性质。 一类是等轴双曲线。其主要性质有：a=b，离心率 e
2，
两条渐近线互相垂直，等轴双曲线上任意一点 到中心的距 离是它到两个焦点的距离的比例中项。 另一类是共轭双曲线，其主要性质有：它们有共同的渐近 线，它们的四个焦点共圆，它们的离心率的倒数的平方和等 于 1。 等轴双曲线是一个方程所对应的几何图形。有两支曲线： 而互为共轭双曲线则是两个方程所对应的几何图形，每个方 程各对应两支曲线。等轴双曲线也有它的共轭双曲线。
共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线也可以看做把原方程中的正负号交换了位置后得到的新方程通常称它们互为共轭双曲线
共扼双曲线 以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双 曲线的共轭双曲线，通常称它们互为共轭双曲线． 共轭双曲线有共同的渐近线； 共轭双曲线的四个焦点共圆． 例 过双曲线的一个顶点的切线交共轭双曲线于两点，求 证：过交点所作共轭双曲线的两切线必通过原双曲线的另一 顶点． 方程： x 2 y2
双曲线的共轭双曲线方程
双曲线的共轭双曲线方程我记得那是一个冬天,天特别冷。
数学老师老李穿着一件破旧的军大衣,戴着一顶毛线帽,鼻子上挂着两串清鼻涕,站在讲台上讲双曲线的共轭双曲线方程。
"同学们,今天我们来讲双曲线的共轭双曲线方程。
"老李一边说一边在黑板上写下了方程:x²/a² - y²/b² = -1"这个方程就是双曲线的共轭双曲线方程。
"老李转过身来,用他那双布满血丝的眼睛看着我们,"你们看,这个方程和双曲线的标准方程x²/a² - y²/b² = 1有什么不同?"教室里一片寂静,只有老李的咳嗽声在回荡。
我坐在最后一排,看着老李那张满是皱纹的脸,心里想着:这老头子,都快退休了,还这么认真。
"你们看,这个方程的右边是-1,而标准方程的右边是1。
"老李继续说道,"这就是它们最大的区别。
"我旁边的胖子小王低声对我说:"这老头子,讲得真啰嗦,不就是个方程吗,有什么好讲的。
"我笑了笑,没说话。
其实我心里也觉得老李讲得太啰嗦了,但我知道他这是为了我们好。
"同学们,你们要记住,双曲线的共轭双曲线方程和标准方程虽然形式上很相似,但它们的性质是完全不同的。
"老李继续说道,"你们看,这个方程的渐近线是y = ±(b/a)x,而标准方程的渐近线是y =±(a/b)x。
"我听着老李的讲解,心里却在想着中午吃什么。
这时,老李突然提高了声音:"你们看,这个方程的焦点在y轴上,而标准方程的焦点在x 轴上。
"我被老李的声音吓了一跳,赶紧集中注意力听讲。
这时,我突然想到一个问题:"老师,这个方程的离心率是多少?"老李看了我一眼,脸上露出一丝欣慰的笑容:"这个问题问得好。
高二数学双曲线方程知识点总结
高二数学双曲线方程知识点总结高二数学双曲线方程知识点总结导语：没有别的事情能比阅读古人的名着给我们带来更多的精神上的乐趣，这样的书即使只读半小时，也会令人愉快清醒高尚刚强，仿佛清澈的泉水沁人心脾。
下面是小编为大家整理的，数学期末考复习计划，希望对大家有所帮,欢迎阅读，仅供参考，更多相关的知识，请关注CNFLAz学习网!1. 双曲线的第一定义：⑴①双曲线标准方程：. 一般方程：.⑵①i. 焦点在x轴上：顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或，参数方程：或 .②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距(两准线的距离);通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程(分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点) “长加短减”原则：构成满足(与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号)⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程?解：令双曲线的方程为：，代入得.⑹直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条;区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的`直线，合计3条; 区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条; 区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条; 区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.(2)若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.⑺若P在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P 到两准线的距离比为m︰n.简证： =.。
共轭双曲线
2 2
1与
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y 2 x2 1 b2 a 2
互为共轭双曲线
双曲线与椭圆有哪些不同？ （1）定义不同，图形不同。 （2）有两类特殊的双曲线，它们有一些特殊的性质。 一类是等轴双曲线。其主要性质有：a=b，离心率 e
2，
两条渐近线互相垂直，等轴双曲线上任意一点 到中心的距 离是它到两个焦点的距离的比例中项。 另一类是共轭双曲线，其主要性质有：它们有共同的渐近 线，它们的四个焦点共圆，它们的离心率的倒数的平方和等 于 1。 等轴双曲线是一个方程所对应的几何图形。有两支曲线： 而互为共轭双曲线则是两个方程所对应的几何图形，每个方 程各对应两支曲线。等轴双曲线也有它的共轭双曲线。
共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线也可以看做把原方程中的正负号交换了位置后得到的新方程通常称它们互为共轭双曲线
共扼双曲线 以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双 曲线的共轭双曲线，通常称它们互为共轭双曲线． 共轭双曲线有共同的渐近线； 共轭双曲线的四个焦点共圆． 例 过双曲线的一个顶点的切线交共轭双曲线于两点，求 证：过交点所作共轭双曲线的两切线必通过原双曲线的另一 顶点． 方程： x 2 y2
高中双曲线知识点总结
高中双曲线知识点总结高中双曲线知识点总结进入高三总复习的第一阶段，同学们应从基础知识抓起，扎扎实实，一步一个脚印地过数学知识点关。
复习时，将双曲线方程知识点总结熟练掌握运用，小编相信您一定可以提高数学成绩!高中双曲线知识点总结1双曲线的第一定义：⑴①双曲线标准方程：. 一般方程：.⑵①i. 焦点在x轴上：顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或，参数方程：或 .②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距(两准线的距离);通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程(分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点) 长加短减原则：构成满足(与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号)⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程?解：令双曲线的方程为：，代入得.⑹直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条;区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条;区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条;区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条;区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.(2)若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.⑺若P在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P 到两准线的距离比为m︰n.简证： =.常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.高中双曲线知识点总结2一、用好双曲线的对称性例1若函数y=kx(k>0)与函数y=的图象相交于A、C两点，AB⊥x 轴于B。
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y
几何意义
B2
c2 b2 a2
A1
c bA2
0a
x
B1
8
问题1：根据方程画出下列双曲线的图形
1 x y 12 x2 y2 13 x2 y2 1
94
y
o
x
9
2、等轴双曲线
方程
x2 y2 ( 0)
a,b,c的关系
离心率 渐近线
ab 2 c 2
e 2
y x
y
y x
o
x
10
问题2：求下列双曲线的渐近线：
b
20
(1)双曲线
x2 y2 a2 b2 1
的共轭双曲线方程
y2 x2 b2 a2 1
即把双曲线方程中的常数项1改为-1就得到了它的共轭双曲线方程。
(2)双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线; (3)双曲线和它的共
轭双曲线的四个焦点共圆.
14
y x
焦点在x轴上
焦点在y轴上
方程
实轴、虚轴
离心率
渐近线
e>1
2b2/a
3
问题1：根据方程画出下列双曲线的图形
1 x y 12 x2 y2 13 x2 y2 1
94
y
y
O
x
O
x
22567.rar
4
下面我们证明双曲线上的点在沿曲线向远处运动时， 双曲线与直线逐渐靠拢。
方案1：考查点到直线的距离 MQ
方案2：考查同横坐标的两点间的距离 MN
(由双曲线的对称性知，我们只需 证明第一象限的部分即可)
过焦点垂直于实轴的弦
2
焦距与实轴长的比 e=c/a e>1
过焦点垂直于实轴的弦 2b22/a
标准方程
椭圆
x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)
双曲线
x2/a2-y2/b2=1(a>0、b>0)
几何 图形
范围 对称性 顶点
a,b,c的含义
离心率e定义 通径、通径长
y B2
A1
A2
F1 0 F2
x
B1
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。
3、顶点：A1（-a，0），A2（a，0） y
4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2
5、渐近线方程： x y 0 6、离心率： e c a b 7、通径： 2b2 a
B2
A1 O ab A2
B1
a
x
18
小 结 焦点在y轴上的双曲线的几何性质
双曲线性质：
双曲线标准方程： y2
叫做双曲线的渐近线。
7
解释说明：
(1)渐近线是双曲线特有的几何性质，它决定着双曲线
开口的开阔程度。
(2)两条渐近线的交点是双曲线的中心。
(3)以四条直线x=±a和y=±b(或x=±b和y=±a）围成 的矩形的对角线所在直线就是渐近线。
(4)两条渐近线相交所成的角叫夹角（含双曲线的部
分）：2种求解方式。
1 4x2 y2 42 y2 x2 1
9 16
解：1 x2 y2 1 y 2 x y 2x
14
1
2 y 3 x
4
结论1：把双曲线方程中的常数项1改为0，就得到了 它的渐近线方程。
推广到一般：双曲线A2x2-B2y2=1的渐近线方程为： Ax±By=0
11
结论2：如果已知双曲线的渐近线方程为：Ax±By=0，
说明：1、渐近线为 x y
ab
2、椭圆
x2 a2
y2 b2
0
1
与的双双曲曲线线方a2x程2 k可表k 示y2b为2 ax221(ab2y22
k
(
b2)
0)
有相同的焦点坐标。
17
小 结 焦点在x轴上的双曲线的几何性质
双曲线标准方程： x2
a2
y2 b2
1a 0, b 0
双曲线性质：
1、范围： x≥a或x≤-a
F2
y ≥ a 或 y ≤ -a
中心对称，轴对称
中心对称，轴对称
A1(-a,0 ) , A2(a,0)
A1(0,-a ) , A2(0,a)
a （实半轴长） c（半焦距） a（实半轴长） c（半焦距长）
b （虚半轴长） a2=c2-b2
b（虚半轴长） a2=c2-b2
焦距与实轴长的比 e=c/a e>1
b a
x无限接近，但永远
也不能相交。
6
1、双曲线渐近线：
对于双曲线 x2 a2
y2 b2
1，直线y
b a
x
叫做双曲线的渐近线。
双曲线渐近线的斜率的绝对值越 大,双曲线的开口越开阔。
x
y
B2
A1 O ab A2
x
B1
A1 O ab A2
B1
B2
y
对于双曲线 y2 a2
x2 b2
1，直线y
a b
x
x2 a2
y2 b2
1
x2 y 2 1 a2 b2
实轴长=2a、虚轴长=2b 实轴长=2b、虚轴长= 2a
1 e12
1 e2 2
1
yb x a
焦点
共轭双曲线的焦点共圆
15
证明:(1)设已知双曲线的方程是:
x2 a2
y2 b2
1
渐近线为： x y 0
ab
则它的共轭双曲线方程是: 渐近线为:
y2
16
1、求双曲线 x2 y2 1 的共轭双曲线的顶点和焦点坐
94
标及渐近线和准线方程。
2、求与椭圆
x2 y2 1
有共同的焦点，且与椭圆相交，
27 36
一个交点的纵坐标为4的双曲线方程。
3、已知双曲线与椭圆 x2 4y2 64 共焦点 ，它的一条渐近线 方程为 x 3y ，0 求双曲线的方程。
N (x,Y)
Y
Q
M （x,y)
b (x x2 a2 )(x x2 a2 ) •
a
ab
x x2 a2
O
X
x x2 a2
Q MQ 是点M到直线y b 的距离，且 MQ MN 。当x逐渐增大时， a
MN 逐渐减小，x无限增大，MN 接近于0，MQ 也接近于0，但不等于0
同理，由双曲线的对称性知：双曲线与直线y=
3
例3、求与双曲线 x2 y有2 共1 同渐近线且一个
9 16
焦点为（0，10）的双曲线的标准方程。
13
例4、求中心在原点，实轴在x轴上，实轴长为2 3， 且两条渐近线相交所成的角（含双曲线部分） 为600的双曲线方程。
3、共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚
轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线, 则
b2
y
x
x2 a2
1
0可化为：
x
y
0
ba
ab
故双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线
(2)设已知双曲线的焦点为F(c,0),F(-c,0)
它的共轭双曲线的焦点为F1(0,c), F2(0,-c),
∵ c a2 b2 c a2 b2 ∴c=c'
所以四个焦点F1, F2, F3, F4在同一个圆 x2 y2 a2 b2 =c2上. 问:有相同渐近线的双曲线方程一定是共轭双曲线吗？
性 双质 曲 线
x2 a2
y2 b2
1
(a 0,b 0)
y2 a2
x2 b2
1
(a 0,b 0)
图象 范围
y
xa
o
或
x x a
y ya
或
o x y a
对称 性
顶点
渐近 线
离心 率
关于 坐标 轴和
(a, 0) y b x
a
e c a
原点
(其中
都对 称
(0, a) y a x
c2 a2 b2)
有
共同的渐近线。
****求双曲线的渐近线方程的方法：定义法和方程法。
12
求下列双曲线的方程： 例2、已知中心在原点，焦点在坐标轴的双曲线的渐近 线方程为 y 4，x 且实轴长为6，求此双曲线的
3
标准方程。 变式：已知中心在原点，焦点在坐标轴的双曲线的渐 近线方程为 y 4 ，x 求此双曲线的离心率。
去求双曲线方程，我们可以采用待定系数法设出双曲线 方程为：A 2x 2-B 2y 2=λ（λ≠0） 其中λ为待定的系数，再 根据题目中的一个条件，求出λ，方程得到求解。若λ>0, 则双曲线焦点在x轴上，若 λ<0，则双曲线焦点在y轴上。
结论3:双曲线
x2 m2
y2 n2
1
与
x2 m2
y2 n2
0
|x |≤a 、|y |≤ b
中心对称，轴对称
A1(-a,0 ) , A2(a,0) B1(0-b ) , B2(0,b)
a2=b2+c2
0<e<1 2b2/a
y
X=-a
X=a
B2
A
F1 1
0
A2 F2
B1 x
x ≥a 或 x ≤ -a
中心对称，轴对称
A1(-a,0 ) 、 A2(a,0)
c2=a2+b2
设M (x, y)是它上面的点,
y
N QM
B2
则y b x2 a2 (x a) a
N (x，Y )是直线y b x a
上与有相同横坐标的点，
则Y b x a
A1 O
b a
A2
x
B1
x2 a2
y2 b2
1(a