高中数学双曲线的性质

2c c 因为c ＞a＞0，所以双曲线的离心率 e ＞ 1．
a
由
b a
c2 a2
a
c2 a2 1
e2 1
b 可以看到，e越大，a 的值越
大，即渐近线 y b x 的斜率的 a
绝对值越大，这是双曲线的“张口”
就越大（如图）．因此，离心率e 的值可以刻画出双曲线“张口”的大小．
想一想 等轴双曲线
标系中依次描出相应的点(x，y)，用光滑的曲线顺次联结各点 得到双曲线在第一象限及其边界内的图形．然后利用双曲线的 对称性，画出全部图形（如图）．
画双曲线的草图
时，可以首先确定 顶点，再画出双曲 线的渐近线，然后 根据双曲线与其渐 近线逐渐接近的特 点画出图形．
例4 已知双曲线的焦点为（6，0），渐近线方程为 y 2 5 x，求双曲线的标准方程．
5
解 由已知条件知双曲线的焦点在y轴．所以有
a2 b2 36
b2 5 a5
解得
a 2 5，b 4．
故所求的双曲线方程为
x2 y2 1． 20 16
不能由渐近 线方程 y 2 5 x
5
直接得到 a 2 5，
b 4．想一想为什 么？
例5 已知双曲线的两个顶点坐标为（0，－4），（0，4） 离心率为 3 ，求双曲线的标准方程及其渐近线方程．
再见
（2）渐近线方程为
yБайду номын сангаас
3 5
x，焦点坐标为
(
2，0) ．
（1） x2 y2 1或 y2 x2 1；
16 9
16 9
（2） 17 x2 17 y2 1． 25 9
已知双曲线的实轴长为12，焦距为14，焦点在y轴 上，求双曲线的标准方程．
y2 x2 1. 36 13
作业:练习7.6.2
出图形．
双曲线方程在第一象限及其边界内可以变形为 y 3 x2 16． 4
在区间[4，+∞]内，选出几个x的值，计算出对应的y值．
列表： x
4
5
6
7
8
y
0 2.25 3.35 4.31 5.20
以表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐
标系中依次描出相应的点(x，y)，用光滑的曲线顺次联结各点
a,b, c 的关系
c2 a2 b2
椭圆的简单几何性质有哪些？
y
范围
对称性
顶点
A1
离心率
F1
B2
o
B1
A2
F2
x
类比椭圆,探讨双曲线 的几何性质:
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
范围、对称性、顶点、离心率. 渐近线
1．范围
因为
y2 b2
≥ 0 ，所以由双曲线的标准方程知道，双曲线上
引导设问1 双曲线的定义和标准方程是什么？椭圆有哪些
几何性质？离心率的大小对椭圆的形状有何影 响？
你能从双曲线方程
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
得到双曲线这些的几何性质吗？
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０< 2a < |F1F2|）
图象
方程
x2 a2
y2 b2
1
y2 x2 a2 b2 1
方程中，令y = 0，得x = ±a，说明双曲线与x轴
有两个交点 A1(a，0)和A2 (a，0)．（如图）
双曲线和它的对称轴的交点叫做双曲线的顶点．y
因 此 A1(a，0) 和A2 (a，0)是双曲线的顶点．
b B2
A1 a o a A2 x
-b B1
3.顶点
令x = 0，得y = －b，这个方程没有实数解，说明双曲线和
的点的横坐标满足
x2 a2
≥1，即 x2
≥ a2．于是有
x≤－a或x
≥a．
说明双曲线位于直线x＝－a的左侧与直线x＝a的右侧（如图）．
y
a o a
x
2．对称性 x轴与y轴都叫做双曲线的对称轴，坐标原点叫做双曲线的对称 中心（简称中心）．
y
x, y
x, y
A1
x, y
o A2 x
x, y
3.顶点
2
解 由已知条件知a 4，e 3，焦点在y轴上．因此
2 c ae 4 3 6．
2
故
b2 c2 a2 36 4 20．
因此双曲线的标准方程为
y2 x2 1． 16 20
双曲线的渐近线方程为 y 4 x，即2x 5y 0． 25
求适合下列条件的双曲线的标准方程．
（1）半实轴为4，半虚轴为3；
a2 x2
y
可以看到，当|x|无限增大时，
B2
y的值无限接近于 b x的值．这
b
a
说明双曲线的两支曲线与两条直
A1
A2
oa
x
线 y b x无限接近（但不能相
a
B1
交）．因此，两条直线y b x
a
叫做双曲线的渐近线．
5．离心率
双曲线焦距与实轴长的比 2a a叫做双曲线的离心率，
记作e．即
e c．
6，焦点为F1(5，0)，F2 (5，0)，离心率为
e
c a
5 ，渐近线方 4
程为 y 3 x． 4
可以先画出双曲线在第一象限及其边界内的图形，然后
再利用双曲线的对称性，画出全部图形．
例3 求双曲线 9x2 16 y2 144的实轴长、虚轴长、焦
点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程，并用“描点法”画
得到双曲线在第一象限及其边界内的图形．然后利用双曲线的
对称性，画出全部图形（如图）．
双曲线方程在第一象限及其边界内可以变形为
y 3 x2 16． 4
在区间[4，+∞]内，选出几个x的值，计算出对应的y值．
x
列表：
y
4
5
6
7
8
0 2.25 3.35 4.31 5.20
以表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐
的离心率是多 少？
例3 求双曲线 9x2 16 y2 144的实轴长、虚轴长、焦
点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程，并用“描点法”画 出图形．
解 将所给的方程化为标准方程，得 x2 y2 1． 16 9
因此双曲线的焦点在x轴上且 a2 16，b2 9，c2 a2 b2 25．
故 a = 4，b = 3， c = 5．所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为
分别作x轴的平行线y = －b ，y = b．这四条直线围成一个
矩形（如图）．
y
矩形的两条对角线所在的方程为 y b x． a
B2
双曲线的标准方程可以写成
b
yb a
x2 a2 b x a
1
a2 x2
A1
A2
oa
x
观察这两条直线与双曲线有何关系？
B1
4．渐近线
yb a
x2 a2
bx a
1
y轴没有交点．但我们也将点 B1(0， b)和 B2 (0，b)画出来．
线段 A1A2，B1B2分别叫做双曲线的实轴和虚轴，
它们的长分别为2a和2b ．a和b分别表示 y
双曲线的半实轴长和半虚轴长．
b B2
说明 实轴与虚轴等
长的双曲线叫做 等轴双曲线．
A1 a o a A2 x -b B1
4．渐近线 经过 A1、A2分别作y轴的平行线x = －a ，x = a，经过B1、B2