高中数学双曲线函数的图像与性质及应用

每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！

一个十分重要的函数的图象与性质应用 新课标高一数学在“基本不等式abba2”一节课中已经隐含了函数xxy1的图象、性质与重要的应用，是高考要求范围内的一个重要的基础知识．那么在高三第一轮复习课中，对于重点中学或基础比较好一点学校的同学而言，我们务必要系统介绍学习

xbaxy（ab≠0）的图象、性质与应用．

2．1 定理：函数xbaxy（ab≠0）表示的图象是以y=ax和x=0（y轴）的直线为渐近线的双曲线． 首先，我们根据渐近线的意义可以理解：ax的值与xb的值比较，当x很大很大的时候，

xb的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是ax的值；当x的值很小很小，几乎为0的时候，

ax的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是xb的值．从而，函数xbaxy（ab≠0）表示的图象是以y=ax和x=0（y轴）的直线为渐近线的曲线．另外我们可以发现这个函数是奇函数，它的图象应该关于原点成中心对称． 由于函数形式比较抽象，系数都是字母，因此要证明曲线是双曲线是很麻烦的，我们通过一个例题来说明这一结论．

例1．若函数xxy3233是双曲线，求实半轴a，虚半轴b，半焦距c，渐近线及其焦点，并验证双曲线的定义．

分析：画图，曲线如右所示；由此可知它的渐近线应该是xy33和x=0两条直线；由此，两条渐近

线的夹角的平分线y=3x就是实轴了，得出顶点为A（3，3），A1（-3，-3）； ∴ a=OA=32, 由渐近线与实轴的夹角是30º，则有ab=tan30º, 得b=2 , c=22ba=4, ∴ F1(2,32)F2(-2,-32)．为了验证函数的图象是双曲线，在曲线上任意取一点P（x, xx3233）满足3421PFPF即可；

O x y A A1 例1图 每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！

34)323232()323232()32323()2()32323()2(222221xxxxxxxxxxPFPF 所以，函数xxy3233表示的曲线是双曲线． （在许多地方，老师把这个曲线形状形象概括为“双钩曲线”，其实很不准确的．） 2．2五种表现形式

表现 1：函数xbaxy （a>0,b>0）的双曲线大概图象如下：

渐近线含双曲线部分的夹角是锐角，在ab,(和),



ab

上函数分别是单调递

增的，在0,ab和ab,0上函数分别是单调递减的；在x=ab处有极大值，在x=ab处有极小值；值域是,22,abab． 表现 2：函数xbaxy （a<0,b<0）的双曲线大概图象如下：

渐近线含双曲线部分的夹角是锐角，在ab,(和),ab上函数分别是单调递减的，在0,ab和ab,0上函数分别是单调递增的；在x=ab处有极小值，在x=a

b

处有极大值；值域是,22,abab．

O x y A A1 y=ax

表现1图

O x y A

A1 y=ax

表现2图 每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！

表现 3：函数xbaxy （a>0,b<0）的双曲线大概图象如右： 此时，渐近线含双曲线部分的夹角是钝角，

∵2xbay>0，所以，函数在)0,(和),0(上函数分别是单调递增的，每一个单调区间上的值域都是R．

表现 4：函数xbaxy （a<0,b>0）的双曲线图象如右： 此时，渐近线含双曲线部分的夹角是钝角，

∵2xbay<0，所以，函数在)0,(和),0(上函数分别是单调递减的，每一个单调区间上的值域是R． 特别，后面两个函数的单调性很“单纯”，在解题时候要引起重视，在高考中也多次应用，注意总结．

表现 5：函数 xby (x≠0) 是等轴双曲线，以x

轴、y轴为渐近线，在两个区间)0,(和),0(上函数分别是单调递减的．这个学生在初中就应该掌握了的函数 2、3应用举例与重点推广 这个函数最大有用处就是它的单调性，因此往往是利用的它在某个区间上的单调性来求函数的值域，或比较大小，或求最值等．

例2．已知x>y>0 , xy=1 ,求yxyx22的最小值及此时x、y的值 解：∵x>y>0 ，∴x-y>0, 又 xy=1， ∴yxyx22=222)(2)(2yxyxyxxyyx；

解混合式yxyxxyyx210得：226226yx

所以当：226226yx 时候，yxyx22取得最小值为22．

O x y A A1 y=ax

表现4图

O x y A A1 y=ax

表现3图 每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！

例3．求y=2101122xxx (x≥0) 解：令x+2=t 则 x=t-2 代入得 342tty 由 x≥0得t≥2,而342tty在,2上是减函数的，所以y≤-5,值域为5, 例11．已知2)(aaxxf （1）若a＞0，求()fx的单调区间 （2）若当0,1x时，恒有()fx＜0，求实数a的取值范围

解：()2fxxxa=axaaxaxaax,24)2(,24)2(2222 当a＞0时，()fx的单调递增区间为(,)(,)2aa和，单调递减区间为,2aa． （2）（i）当0x时，显然()fx＜0成立，此时，aR （ii）当0,1x时，由()fx＜0，可得2xx＜a＜2+xx， 令 22(),(0,1);()(0,1)gxxxhxxxxx 则122()1gxx＞0，∴()gx在要求区间内是单调递增，可知max()(1)1gxg 12

2()1hxx＜0，∴()hx在要求区间内是单调递减，可知min()(1)3hxh

此时a的范围是（—1，3） 综合i、ii得：a的范围是（—1，3）

从上面几个例子可以看出，形如nmxcbxaxy2 或cbxaxnmxy2（m≠0,a≠0）函数值域不但可以用二次方程的△判别式来求，也可以用这个双曲线函数的单调性来求，尤其对于自变量不是自然的定义域，而是某个限制的范围时候，更要利用这个函数的单调性来解决了．

重点推广：到此我们来看看函数baxdcxy （ad≠bc，a≠0）究竟是什么样的图象与性质呢？ 每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！

它可以通过变形化为)()(abxaabcadabxcy，继续化为2))((abcadabxacy，因此，函数baxdcxy



（ad≠bc，a≠0）的图象是可以从2abcadxy的图象通过平移而来的，从而baxdcxy（ad≠bc，a≠0）的图象也是等轴双曲线，渐近线是abx，acy的两条直线，在),(ab和),(ab两个区间上都具有相同的单调性，2abcad>0时都是单调递减，

2a

bcad<0时都是单调递增．这个函数与函数xbaxy （a>0,b>0）要与一次函数、二

次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数一样，作为高三复习时候的基本函数，要熟练理解和应用，．

例4．已知正项数列na满足a1=a (0

求证 anaan)1(1 分析：本题有别的证法，这里就用数学归纳法结合上面函数的单调性思想来处理； i）n=1时 a1=a，符合求证结论

ii设n=k时 akaak)1(1结论成立

则n=k+1时候， ak+1≤kkaa1,而akaak)1(1，因此，考虑函数f(x)=xx1=1-x11 在区间)1,(和区间),1(都是递增函数，（0，1）),1(，所以f(x)=xx1在0，1）也是递增函数，从而，

ak+1≤kkaa1akaakaaka)11(1)1(11)1(1，所以 n=k+1时,不等式也成立． 综上所述，anaan)1(1对任意n是正的自然数都成立．

x y abx O

acy