高中数学解析几何双曲线性质与定义

双曲线
双曲线是圆锥曲线的一种，即双曲线是圆锥面与平行于轴的平面相截而得的曲线。

双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数。

双曲线有两个定义，一是与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，二是到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。

一、双曲线的定义 ①双曲线的第一定义
一动点移动于一个平面上，与该平面上两个定点F 1、F 2的距离之差的绝对值始终为一定值2a(2a 小于F 1和F 2之间的距离即2a<2c ）时所成的轨迹叫做双曲线。

取过两个定点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系。

设M(x ，y)为双曲线上任意一点，那么F1、F2的坐标分别是(-c ，0)、(c ，0)．又设点M 与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a 。

将这个方程移项，两边平方得：
两边再平方，整理得：()()22222222a c a y a x a c -=--
由双曲线定义，2c ＞2a 即c ＞a ，所以c 2-a 2＞0．设222b a c =- (b ＞0)，代入上式得：
双曲线的标准方程：122
22=-b
y a x
两个定点F 1,F 2叫做双曲线的左，右焦点。

两焦点的距离叫焦距，长度为2c 。

坐标轴上
的端点叫做顶点，其中2a 为双曲线的实轴长，2b 为双曲线的虚轴长。

实轴长、虚轴长、焦距间的关系：222b a c +=，
②双曲线的第二定义
与椭圆的方法类似：对于双曲线的标准方程：122
22=-b
y a x ，我们将222b a c +=代入，
可得：
()a
c c
a x c x y =
±
±+2
2 所以有：双曲线的第二定义可描述为：
平面内一个动点（x,y ）到定点F (±c,0)的距离与到定直线l (c
a x 2
±=)的距离之比为
常数()0c
e c a a
=>>的点的轨迹是双曲线，其中，定点F 叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双
曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率。

1、离心率：
（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比a
c
a c e ==22，叫做双曲线的离心率；
（2）范围：1>e ；
（3）双曲线形状与e 的关系：
1122222-=-=-==e a c a a c a b k ；
因此e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。

由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔；
（1）双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化； （2）渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约； 2、准线方程：
对于12222=-b
y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 2
1:-=，相对于右焦点
)0,(2c F 对应着右准线c
a x l 2
2:=；
位置关系：02>>≥c a a x ，焦点到准线的距离c
b p 2
=（也叫焦参数）； 对于12222=-b
x a y 来说，相对于下焦点),0(1c F -对应着下准线c a y l 2
1:-=；相对于上焦点),0(2c F 对
应着上准线
a y l 2
2:=。

3、双曲线的焦半径：
双曲线上任意一点M 与双曲线焦点12F F 、的连线段，叫做双曲线的焦半径。

设双曲线)0,0( 122
22>>=-b a b y a x ，21,F F 是其左右焦点，
e d MF =11
， ∴e c
a
x MF =+
2
01，∴10MF a ex =+；同理 20MF a ex =-； 即：焦点在x 轴上的双曲线的焦半径公式：其中12F F 、分别是双曲线的左（下）、右（上）焦点
1020
MF a ex MF a ex ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩ 同理：焦点在y 轴上的双曲线的焦半径公式： 1020MF a ey MF a ey ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩
二、双曲线的性质
1、轨迹上一点的取值范围：a x a x -≤≥或（焦点在x 轴上）或者a y a y -≤≥或（焦点在y 轴上）。

2、对称性：关于坐标轴和原点对称。

3、顶点：A(-a,0)， A ＇(a,0)。

同时 AA ＇叫做双曲线的实轴且∣AA ＇│=2a ； B(0,-b)， B ＇(0,b)。

同时 BB ＇叫做双曲线的虚轴且│BB ＇│=2b 。

4、渐近线： 由22222222221x b a b x y b y a x -=-⇒=-，当a
b
x y y x ±→∞→∞→时，,所以：双曲线的渐近线方程为： 焦点在x 轴：x a b y ±=，焦点在y 轴：y a
b
x ±=
5、双曲线焦半径公式：（圆锥曲线上任意一点P(x,y)到焦点距离） 右焦半径：r=│ex-a │ 左焦半径：r=│ex+a │
6、共轭双曲线
双曲线S: )0,0( 12222>>=-b a b y a x ，双曲线 )0,0( 1:22
2
2>>=-'b a a
x b y s 双曲线S ＇的实轴是双曲线S 的虚轴 且双曲线S ＇的虚轴是双曲线S 的实轴时，称双曲线S ＇与双曲线S 为共轭双曲线。

特点： （1）共渐近线 （2）焦距相等
（3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1
7. 焦点到一条渐近线的距离
特别如图2可知：双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于半短轴长．这个性质很重要． 三、例题求解：
例1：已知双曲线)0,0( 12222>>=-b a b
y a x 的渐近线是x a b
y ±=，我们可以判断直线
m kx y +=与双曲线的交点个数
①当直线m kx y +=的斜率a
b
k =时，如果，显然它就是渐近线，与双曲线没有任何交点，如果
，则它与双曲线有一个只有一个交点。

②当直线m kx y +=的斜率⎪⎭⎫
⎝⎛-∈a b a b k ,时，则m kx y +=与双曲线有两个交点。

③当直线m kx y +=的斜率⎪⎭
⎫
⎝⎛∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-∈，a b a b k ,时，则m kx y +=与与双曲线没有交点
例2 已知直线与双曲线有两个不同的交点，试确定的范围．
解：由可得，
从而，解得
． 又因为的渐近线方程是
，所以
.故
例3 已知双曲线)0,0( 122
22>>=-b a b
y a x 的焦点到渐近线的距离是其顶点到原点距离是
2倍，则有双曲线的离心率是
解：由已知可知
,所以
例4 双曲线14
92
2=-y x 上一点P 与左右焦点21,F F 构成21PF F ∆，求21PF F ∆的内切圆与边21F F 的切点N 的坐标。

分析：设点P 在已知双曲线的右支上，要求点N 的坐标。

即求ON 的长度，而
22NF OF ON -=，其中132==c OF ，只需求2NF 的长度，即2NF 是圆⊙M 的一条切线长，可用平面几何知识（切线长定理）求解。

解：设点P 在已知双曲线的右支上，由题意得2
1
2122PF F F PF NF -+=
，
a PF PF 212-=-，∴a c c
a NF -=+-=
2
222，又13=∴c ，3=a ，∴3132-=NF ，又132==c OF ，∴)313(1322--=-=NF OF ON
当点P 在已知双曲线的右支上时，切点N 为顶点)0,3(,当点P 在已知双曲线的左支上时，切点N 为顶点)0,3(-
例5 已知21F F 、是双曲线
116
92
2=-y x 的左右焦点，P 在双曲线的左支上，α=∠12F PF ，β=∠21F PF ，求2
cot
2tan
β
α⋅的值
分析：如右图，先做出21F PF ∆的内切圆⊙M ，则⊙M 切21F F 于点A ，MA 等于内切圆的
半径。

且212α
=
∠F MF ，2
1β
=
A MF
解：做出21F PF ∆的内切圆⊙M ，则⊙M 切21F F 于点A ，
212α=∠F MF ，21β=A MF ，∴82tan 2r c a r AF AM =+==α，r
r a c AM AF 2
2cot 2=-==β，
∴4
1282cot 2tan =⋅=⋅r r βα
例6 设21F F 、是曲线1C :12622=+y x 的焦点， P 为曲线2C :13
22
=-y x 与1C 的一个交点，则212
1PF PF ⋅的值
1PF 2PF 之间的关系。

m =
n =，不妨设n m >，显然椭圆和双曲线共焦点)0,2(±，由椭圆和双曲线的定义可知62=+n m 且32=-n m
∴36+=m ，36-=n 在三角形21F PF ∆中，由余弦定理可知
3
12)2(2cos 2222
12
2
1222121=-+=⋅-+=∠mn c n m PF PF F F PF PF PF F
3
1cos 21=
=PF F 例7 已知21F F 、是双曲线122
22=-b
y a x 的左右焦点，过1F 作倾斜角为o 30的直线交双曲线右支
于M 点，若2MF 垂直于x 轴，求双曲线的离心率.
解析：由题意的c F F 221=，c c MF 3326
tan
22=
⋅=π
，c c MF 33
46
cos 21==π由定义知
a c MF MF 23
3
221==
-，则3=e 。

例8 已知双曲线122
22=-b
y a x 的左右焦点分别为)0,(1c F -)0,(2c F 若双曲线上存在一点P 使得
212PF PF =，求双曲线离心率的范围。

解析：由双曲线的定义a PF PF 221=-，a PF 41=，在21F PF ∆中，结合双曲线的图像
2121F F PF PF ≥+，∴c a 26≥，即31≤≤e
例9 已知双曲线122
22=-b
y a x 的左右焦点分别为)0,(1c F -)0,(2c F ，以21F F 为直径的圆与双曲线
交于不同的四个点，顺次连接焦点和这四个顶点恰好组成一个正六边形，求双曲线的离心率。

解析：设P 为圆与双曲线在第二象限的交点，则2
21π
=
∠PF F ，3
21π
=
∠F pF ，在
21PF F Rt ∆中，a c c c PF PF 2)13(3
cos
23
sin
212=+=-=-π
π
13+==
∴a
c
e 例10 已知双曲线122
22=-b
y a x 的左右焦点分别为21F F 、，P 为双曲线上任意一点，21PF F ∠的
内角平分线为l ，过l F 做2的垂线2F M ，设垂足为M ，求点M 的轨迹。

解析：延长M F 2交P F 1于N 由角平分线及垂直关系得PN PF =2，有OM 是N F F 21∆的中位线，从而a PF PF PN PF NF OM =-=-=
=
)(2
1
)(2122111
，故a OM =为定值，即点M 的轨迹
是以坐标原点为圆心，a 为半径的圆（去掉与x 轴的交点） 方程为)(222a x a y x ≠=+
例11、已知⊙A ：49)5(22=++y x ，⊙B ：1)5(22=+-y x ，若⊙P 与⊙A 内切与⊙B 外切，求⊙P 的圆心的轨迹方程。

解析：⊙A ：49)5(22=++y x ，圆心)0,5(-A ，半径71=r ，
⊙B ：1)5(22=+-y x 圆心)0,5(B ，半径12=r ，由题意的1-=r PA ，1+=r PB 。

∴8)7()1(=--+=-r r PA PB ，即P 是以B A 、为焦点的双曲线的左支。

82=a ，4=a ，102=c ，5=c ，∴4222=-=a c b 。

∴P 点的轨迹为
)4(19
162
2-≤=-x y x 例12、已知21F F 、是双曲线13
22
=-y x 的左右焦点，)6,6(-M 是双曲线内部一点，P 为双曲线左支上一点，求1PF PM +的最小值
解析：双曲线的定义2221==-a PF PF ，即221-=PF PF
826)26(2222221=-+--=-≥-+=+MF PF PM PF PM 当且仅当2F 、P 、M 三点共线时“=”成立。

例13、已知双曲线方程为),0(122
22>>=-b a b
y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中
,21θ=∠PF F 证明：2
cot 221θ
b S PF F =∆。

证明
θcos 2)2(212
22
12
212PF PF PF PF F F c -+== )cos 1(2)(212
21θ-+-=PF PF PF PF
θ
θθcos 12)cos 1(244)
cos 1(24)(2
222
22121-=
--=----=∴b a c c PF PF PF PF 又θsin 21
2121PF PF S PF F ⋅=
∆ 综上2
cot cos 1sin sin 21222121θ
θθθb b PF PF S PF F =-=⋅=∆
例14①一个动圆与两个圆x 2＋y 2=1和x 2＋y 2
－8x ＋12=0都外切，则动圆圆心的轨
迹是（ ）
②、已知两圆2)4(:221=++y x C ，2)4(:222=+-y x C ，动圆M 与两圆都相切，则动圆圆心M 的轨迹方程。

例15、设21,F F 是双曲线120
162
2=-y x 的左、右焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点1F 的距离等于9，
求点P 到焦点2F 的距离。

分析：已知双曲线上的点到一个焦点的距离，求该点到另一个焦点的距离是双曲线第一定义的直接利用形式。

解析：由8||||||21=-PF PF 及9||1=PF ，得 1||2=PF 或17。

由82=a ，6362
=⇒=c c 知右支的顶点到1F 的距离为10，而已知9||1=PF ，说明点P 在左支上，此时，10||2≥PF ，所以，点P 到焦点2F 的距离为17。

点评：此类问题可以是一解，也可以是两解，如：当10||1≥PF 时，有两解；当10||21<≤PF 时，有一解，因此，对运算结果必须做合理性分析。

例16、如图，双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x
其焦点为21,F F ，过1F 作直线交双曲线的左支于B A , 两点，且m AB =||，则2ABF ∆的周长为 。

分析：本题中12,AF AF ，12,BF BF 都是焦半径，而2ABF ∆的周长恰好是这
四条焦半径之和，应用第一定义便可得。

解析：由a BF AF BF AF a
BF BF a
AF AF 4|)||(|||||2||||2||||11221212=+-+⇒⎩⎨
⎧=-=-；
由m AB BF AF ==+||||||11，∴m a BF AF +=+4||||22； 故2ABF ∆的周长为m a AB BF AF 24||||||22+=++。

点评：本题结合定义，求出||||22BF AF +，再求周长，简便易行；假如本题未给图形及条件“过1F 作直线交双曲线的左支于B A ,两点”中“左支”两字，情况又会怎样呢？
例17、已知双曲线
)(1422
2N b b
y x ∈=-的左、右两焦点分别为21,F F ，P 为双曲线上一点，若22121||||||F F PF PF =⋅，且8||||5221≤<<PF F F ，求12PF F ∆的面积。

分析：欲求面积，首先要确定b 的值，由第一定义及2
2121||||||F F PF PF =⋅可以构成方程组，通过方程组求得1||PF 及2||PF 的值。

解析：由2
2
4b c +=，又⎩⎨⎧⇒=-=⋅4||||||)2(||||21221PF PF c PF PF ⎩
⎨⎧⇒=-+=⋅4||||||)
4(4||||21221PF PF b PF PF
⎪⎩⎪⎨
⎧⇒=-+=+4
||||||54||||212
21PF PF b PF PF 252||22-+=b PF 或252||22++=b PF ， 由于||||221PF F F <，得252||22++=b PF ，又8||2≤PF ，即22528b ++≤，从而得42
≤b ，因为N b ∈且0≠b ，得1=b 或2；
若1=b ，则542
2=+=b c ，此时5522||21<==c F F ，不合题意； 若2=b ，则842
2=+=b c ，此时5242||21>==c F F ，符合题意；
那么212121212(||||)2||||3
cos 2||||4
PF PF PF PF F PF PF PF --⋅∠==⋅，从而127sin F PF ∠=
故12PF F ∆的面积为121211714
||||sin 422242
S PF PF F PF =
⋅∠=⨯⨯= 点评：本题考查的是双曲线的定义及常规的运算能力；运算过程既要用要方程思想又要注重分类讨论
思想，体现了重思维、轻运算量这一大纲要求。

例18、解方程2747422=+--++x x x x 分析：对第一个式子配方，得
2(2)3x ++。

联想两点间的距离公式，可设32=y ，此时变为
22(2)x y ++，问题即可解决。

解析：原方程可变为23)2(3)2(2
2=+--++x x ，令32
=y ，
则方程以变为2)2()2(2
2
2
2
=+--++y x y x ，显然，点),(y x 在以)0,2(-，)0,2(为焦点，实
轴长为2的双曲线上，易得其方程为13
2
2
=-y x 。

由⎪⎩
⎪⎨⎧==-
31322
2y y x ，得2±=x 。

双曲线学生练习和重要结论
1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.
2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直
径的圆，除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.
4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P
在左支）
5. 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是
00221x x y y
a b
-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点
为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y
a b
-=.
7. 双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点
12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t
2
F PF S b co γ
∆=.
8. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结
AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.
9. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，
A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.
10. AB 是双曲线22
221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，
则0202y a x b K K AB OM =⋅，即020
2y a x b K AB =。

11. 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是
22
00002222x x y y x y a b a b
-=-. 12. 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是
22002222x x y y x y a b a b
-=-.。