高中数学平面解析几何的知识点梳理

平面解析几何

1．直线的倾斜角与斜率：

（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针

方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角.

倾斜角)180,0[︒∈α,︒=90α斜率不存在.

（2）直线的斜率：αtan ),(211

212=≠--=k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2．直线方程的五种形式：

（1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )．

注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =．

（2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距).

（3）两点式：1

21121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；

② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线．

（4）截距式：1=+b

y a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线．

（5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式：B

C x B A y --

=，即，直线的斜率：B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =．

已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =．

已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合．

3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0.

（1）直线在两坐标轴上的截距相等．．．．⇔直线的斜率为1-或直线过原点．

（2）直线两截距互为相反数．．．．．．．⇔直线的斜率为1或直线过原点．

（3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．⇔直线的斜率为1±或直线过原点．

4．两条直线的平行和垂直：

（1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+

① 212121,//b b k k l l ≠=⇔； ② 12121l l k k ⊥⇔=-.

（2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有

① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=⇔且．② 0212121=+⇔⊥B B A A l l ．

5．平面两点距离公式：

(111(,)P x y 、222(,)P x y )，22122121)()(y y x x P P -+-=．x 轴上两点间距离：A B x x AB -=．

线段21P P 的中点是),(00y x M ，则⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+=+=2221

0210y y y x x x ．

6．点到直线的距离公式：

点),(00y x P 到直线0=++C By Ax l ：的距离：2200B A C By Ax d +++=

． 7．两平行直线间的距离：

两条平行直线002211=++=++C By Ax l C By Ax l ：，：距离：222

1B A C C d +-=．

8．直线系方程：

（1）平行直线系方程：

① 直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．．

② 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=．

③ 过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为：00()()0A x x B y y -+-=．

（2）垂直直线系方程：

① 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=．

② 过点00(,)P x y 与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为：00()()0B x x A y y ---=．

（3）定点直线系方程：

① 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数．

② 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．

（4）共点直线系方程：经过两直线0022221111=++=++C y B x A l C y B x A l ：，：交点的直线系方

程为0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ (除2l )，其中λ是待定的系数．

9．曲线1:(,)0C f x y =与2:(,)0C g x y =的交点坐标⇔方程组

{(,)0(,)0f x y g x y ==的解． 10．圆的方程：

（1）圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-（0>r ）．

（2）圆的一般方程：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ．

（3）圆的直径式方程：

若),(),(2211y x B y x A ，，以线段AB 为直径的圆的方程是：0))(())((2121=--+--y y y y x x x x ．

注：(1)在圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是)2,2(E D --，F E D r 42122-+=． （2）一般方程的特点：

① 2x 和2

y 的系数相同且不为零；② 没有xy 项； ③ 0422>-+F E D

（3）二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的等价条件是：

① 0≠=C A ； ② 0=B ； ③ 0422>-+AF E D ．

11．圆的弦长的求法：

（1）几何法：当直线和圆相交时，设弦长为l ，弦心距为d ，半径为r ，

则：“半弦长2+弦心距2=半径2”——222)2

(r d l =+； （2）代数法：设l 的斜率为k ，l 与圆交点分别为),(),(2211y x B y x A ，，则||11||1||22B A B A y y k

x x k AB -+

=-+= （其中|||,|2121y y x x --的求法是将直线和圆的方程联立消去y 或x ，利用韦达定理求解） 12．点与圆的位置关系：点),(00y x P 与圆2

22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种

①P 在在圆外22020)()(r b y a x r d >-+-⇔>⇔．

②P 在在圆内22020)()(r b y a x r d <-+-⇔<⇔．

③P 在在圆上22020)()(r b y a x r d =-+-⇔=⇔． 【P

到圆心距离d =