高中数学平面解析几何初步经典例题
高中数学第2章平面解析几何初步 直线与圆的位置关系同步练习湘教版选择性必修第一册
2.6 直线与圆、圆与圆的位置关系2.6.1 直线与圆的位置关系A级必备知识基础练1.(2022江苏盐城伍佑中学高二月考)点A为圆(x-1)2+y2=1上的动点，PA是圆的切线，|PA|=1，则点P的轨迹方程是()A.(x-1)2+y2=4B.(x-1)2+y2=2C.x2+y2=2xD.x2+y2=-2x2.圆x2+y2=1与直线y=kx-3有公共点的充要条件是()A.k≤-2或k≥2B.k≤-2C.k≥2D.k≤-2或k>23.(2022山东高二学情联考)过点P(1，-2)的直线与圆C:(x+2)2+(y-1)2=5相切，则切线长为()A. B.2C.2D.4.(多选题)(2022重庆育才中学高二月考)已知圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0，则下列说法正确的是()A.圆M的圆心为(4，3)B.圆M的半径为5C.圆M被x轴截得的弦长为6D.圆M被y轴截得的弦长为65.圆x2+y2-2x-8y+13=0截直线ax+y-1=0所得的弦长为2，则a=()A.-B.-C. D.26.已知圆C与直线x-y=0及x-y=4都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为.7.若点P(2，-1)为圆C:(x-1)2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为.8.已知圆C:x2+y2-6x-8y+21=0，直线l过点A(1，0).(1)求圆C的圆心坐标及半径;(2)若直线l与圆C相切，求直线l的方程;(3)当直线l的斜率存在且与圆C相切于点B时，求|AB|.B级关键能力提升练9.(2020全国Ⅰ，文6)已知圆x2+y2-6x=0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A.1B.2C.3D.410.已知直线l:x-y+m=0与圆x2+y2=4交于A，B两点，O为坐标原点，且=0，则实数m为()A.2B.2C.±2D.±211.(多选题)(2022云南罗平县高二检测)过点(2，2)，斜率为k的直线与圆x2+y2-4x=0的位置关系可能是()A.相离B.相切C.相交但不过圆心D.相交且经过圆心12.(多选题)(2022辽宁葫芦岛协作校高二联考)已知直线l:3x+4y=0，圆C:x2-4x+y2=m-5，则()A.m的取值范围为(0，+∞)B.当直线l与圆C相切时，m=C.当1<m<2时，l与圆C相离D.当直线l与圆C相交时，m的取值范围是13.已知k∈R，若直线l:y=kx+1被圆x2-2x+y2-3=0所截，则截得的弦长最短为，此时直线l的方程为.14.如图，已知以点A(-1，2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切.过点B(-2，0)的动直线l与圆A交于M，N两点.(1)求圆A的方程;(2)当|MN|=2时，求直线l的方程.C级学科素养创新练15.(2022黑龙江大庆中学高二月考)若圆x2+y2-2x-6y+1=0上恰有三点到直线y=kx的距离为2，则k的值为()A.2B.1C.D.16.若直线l:y=ax-3与圆C:x2+y2=4相交，求a的取值范围.参考答案2.6直线与圆、圆与圆的位置关系2.6.1直线与圆的位置关系1.B∵PA是圆的切线，|PA|=1且圆的半径为r=1，∴点P到圆心的距离恒为.又圆心(1，0)，设P(x，y)，由两点间的距离公式得(x-1)2+y2=2，即点P的轨迹方程是(x-1)2+y2=2.故选B.2.A若直线与圆有公共点，则圆心(0，0)到直线kx-y-3=0的距离d=≤1，即≥3，∴k2+1≥9，即k2≥8，解得k≤-2或k≥2.∴圆x2+y2=1与直线y=kx-3有公共点的充要条件是k≤-2或k≥2.故选A.3.D由圆C:(x+2)2+(y-1)2=5，可得圆心C(-2，1)，半径r=，过点P(1，-2)的直线与圆C:(x+2)2+(y-1)2=5相切，两条切线长相等，只取其中一条切线，设切点为M，则CM⊥PM，由题得|PC|==3，|CM|=r=，所以切线|PM|=.故选D.4.BD将x2+y2-8x+6y=0化为圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25，所以圆M的圆心坐标为(4，-3)，半径为5，故A错误，B正确;圆心(4，-3)到x轴的距离为3，所以圆M被x轴截得的弦长为2=8，故C错误;对选项D，圆心(4，-3)到y轴的距离为4，所以圆M被y轴截得的弦长为2=6，故D正确.故选BD.5.A将x2+y2-2x-8y+13=0化为(x-1)2+(y-4)2=4，则该圆圆心为(1，4)，半径为2.又弦长为2，则圆心到直线距离为=1.根据点到直线距离公式可知d==1，化简可得(a+3)2=a2+1.解得a=-，故选A.6.(x-1)2+(y+1)2=2设圆心为点C(a，-a)，由点到直线的距离公式得，解得a=1，所以圆心为(1，-1)，且半径为，故圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.7.x-y-3=0圆心坐标为点C(1，0)，由题可得，k PC==-1.又|CP|⊥|AB|，因此k AB=1.因为直线AB过点P，可知直线AB的方程为y+1=x-2，即x-y-3=0.8.解将圆C的方程化成标准式方程得(x-3)2+(y-4)2=22.(1)圆C的圆心坐标是(3，4)，半径为2.(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程是x=1，满足题意;当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程是y=k(x-1)，即kx-y-k=0.由圆心(3，4)到直线l的距离等于圆C的半径，可得=2，解得k=，故直线l的方程是3x-4y-3=0.综上所述，直线l的方程是x=1或3x-4y-3=0.(3)由(2)可得直线l的方程是3x-4y-3=0.圆C的圆心是点C(3，4)，则|AC|==2，所以|AB|==4.9.B圆的方程可化为(x-3)2+y2=9.因为=2<3，所以点(1，2)在圆内.如图所示，设圆心O1(3，0)，A(1，2)，当弦BC与O1A垂直时弦最短，因为|O1A|==2，|O1B|=3，所以|AB|==1，所以|BC|=2|AB|=2.10.C由=0可知∠AOB=90°.由于圆半径为r=2，则圆心(0，0)到直线l的距离d=，解得|m|=2，即m=±2，故选C.11.BC由题得，圆的标准方程为(x-2)2+y2=4，则圆心为(2，0)，半径为2.设过点(2，2)，斜率为k的直线为y=k(x-2)+2，即kx-y-2k+2=0，∴圆心到kx-y-2k+2=0的距离d=≤2，∴当d=2时，直线与圆相切;当d<2时，直线与圆相交但直线不过圆心.故B，C正确，A，D错误.故选BC.12.BC圆C的标准方程为(x-2)2+y2=m-1，则圆C的圆心为C(2，0)，半径r=，由r=>0，得m>1，故A错误;因为C(2，0)到直线l的距离为，所以当直线l与圆C相切时，r=，解得m=，故B正确; 当1<m<2时，0<r<1<，所以直线l与圆C相离，故C正确;当直线l与圆C相交时，，解得m>，故D错误.故选BC.13.2y=x+1圆x2-2x+y2-3=0的标准方程为(x-1)2+y2=22，所以圆心为O(1，0)，半径为r=2.直线l:y=kx+1过定点P(0，1).故|OP|=.当l⊥OP时，截得的弦长最短，则最短弦长为2=2.由题得，k OP=-1，所以k l=1，故直线l的方程为y=x+1.14.解(1)设圆A的半径为r.∵圆A与直线l1:x+2y+7=0相切，∴r==2.故圆A的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.(2)①当直线l的斜率不存在时，可得直线l的方程为x=-2，易得|MN|=2，符合题意;②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x+2)，即kx-y+2k=0.取MN的中点Q，连接AQ，则AQ⊥MN.∵|MN|=2，∴|AQ|==1.∴=1，解得k=.∴直线l的方程为3x-4y+6=0.综上，直线l的方程为x=-2或3x-4y+6=0.15.C将方程x2+y2-2x-6y+1=0化为(x-1)2+(y-3)2=9，则圆心(1，3)，半径为3.∵圆上恰有三点到直线y=kx的距离为2，∴圆心(1，3)到直线y=kx的距离为1，即=1，解得k=.故选C.16.解(方法1)圆C:x2+y2=4的圆心C(0，0)，r2=4.直线l:y=ax-3可化为ax-y-3=0.圆心C(0，0)到直线l:ax-y-3=0的距离d=.由直线l与圆C相交可得r>d，则r2>d2，即4>，解得a>或a<-.因此a 的取值范围是-∞，-∪，+∞.(方法2)将y=ax-3代入x2+y2=4得到x2+(ax-3)2=4，整理可得(1+a2)x2-6ax+5=0.因为直线与圆相交，则Δ=(-6a)2-4×(1+a2)×5=36a2-20-20a2=16a2-20>0，即a2>，解得a>或a<-，故a 的取值范围是-∞，-∪，+∞.11。
高一数学平面解析几何初步试题答案及解析
高一数学平面解析几何初步试题答案及解析1.圆关于直线对称的圆的方程是A．B．C．D．【答案】A【解析】圆心关于直线对称。
∵圆x2+y2-2x-6y+9=0转化为标准方程为（x-1）2+（y-3）2=1，所以其圆心为：（1，3），r=1，设（1，3）关于直线2x+y+5=0对称点为（a，b）则有，解得故所求圆的圆心为（-7，-1）．半径为1，所求圆的方程为：（x+7）2+（y+1）2=1，故选A。
【考点】本题主要考查直线与圆的位置关系。
点评：关于直线对称的圆的方程问题，重点在于求出对称圆的圆心坐标，因为半径相同。
2.直线与圆交于E、F两点，则（O为原点）的面积为A．B．C．D．【答案】C【解析】如图所示，计算的面积，需要计算EF的长度，O到直线的距离。
，O到直线的距离，所以的面积为，选C。
【考点】本题主要考查直线与圆的位置关系。
点评：研究直线与圆的位置关系，可根据条件灵活选用“代数法”或“几何法”。
圆的半弦长、半径、弦心距构成Rt△，在解“弦问题”中常常用到。
数形结合，分析得解。
3.已知圆的方程为，且在圆外，圆的方程为=，则与圆一定A．相离B．相切C．同心圆D．相交【答案】C【解析】因为C为圆，则f（x，y）=0必具有f（x，y）=x2+y2+Dx+Ey+F=0 ，1其圆心为（，） ；而C 2的方程为 f （x ，y ）-f （x 0，y 0）=0 ，即 x 2+y 2+Dx+Ey+（F-x 02-y 02-Dx 0-Ey 0-F ）=0 ， F-x 02-y 02-Dx 0-Ey 0-F 是常数项 ，因此上述方程中，圆心亦为（，），所以C 1与圆C 2是同心圆，故选C 。
【考点】本题主要考查圆与圆的位置关系点评：由题意设出圆C 1的方程为f （x ，y ）=0，求出圆心，半径，表示出圆C 2的方程为f （x ，y ）=f （x 0，y 0），推出二者是同心圆即可。
4. 两圆，的公切线有且仅有 A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条【答案】B 【解析】圆心为（－1，－1），半径为2；圆心为（2,1），半径为2；=，所以两圆相交，故公切线有2条，选B 。
高中数学典型例题解析(第七章平面解析几何
[例1]求过点的直线，使它与抛物线仅有一个交点.错解：设所求的过点的直线为，则它与抛物线的交点为，消去得整理得直线与抛物线仅有一个交点，解得所求直线为正解：①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直轴，因为过点，所以即轴，它正好与抛物线相切.②当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行轴，它正好与抛物线只有一个交点.③一般地，设所求的过点的直线为,则，令解得k = ,∴所求直线为综上，满足条件的直线为：[例2]已知曲线C：与直线L：仅有一个公共点，求m的范围.错解：曲线C：可化为①，联立，得：，由Δ＝0,得.错因：方程①与原方程并不等价，应加上.正解：原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分.（如图），结合图形易求得m的范围为.[例3]已知双曲线，过P(1,1)能否作一条直线L与双曲线交于A、B两点，且P为AB中点.（2）设过P的直线方程为，代入并整理得：∴，又∵∴正解：接以上过程，考虑隐含条件“Δ>0”，当k=2时代入方程可知Δ<0，故这样的直线不存在.[例4]已知A、B是圆与x轴的两个交点，CD是垂直于AB的动弦，直线AC和DB相交于点P，问是否存在两个定点E、F, 使| | PE |－| PF | | 为定值？若存在，求出E、F的坐标；若不存在，请说明理由.设P ( x, y ), C ( ) , 则 D (),由A、C、P三点共线得①由D、B、P三点共线得②①×②得③又, ∴，代入③得，即点P在双曲线上，故由双曲线定义知，存在两个定点E (－, 0 )、F (, 0 )（即此双曲线的焦点），使| | PE |－| PF | | = 2 (即此双曲线的实轴长为定值).[例5]已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1 与该椭圆相交于P 和Q，且OP⊥OQ，｜PQ｜=，求椭圆的方程.解：设所求椭圆的方程为=1.，③设方程③的两个根分别为、，则直线y=x+1和椭圆的交点为P(,+1)，Q(,+1)由题设OP⊥OQ，｜OP｜=，可得或(1)或(2)或=1 ，或 =1.[例6]已知椭圆C1：＝1，抛物线C2：，且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点。
(完整版)精选2020高考数学专题训练《平面解析几何初步》完整题(含答案)
2019年高中数学单元测试卷平面解析几何初步学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．x 轴上任一点到定点（0，2）、（1，1）距离之和最小值是（ ）A ．2B ．22+C ．10D ．15+二、填空题2．若直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4y ＋2＝0相切，且与两条坐标轴围成一个等腰直角三角形，则此三角形的面积为 ▲ ．3．若直线y =x +m 与曲线x 有且只有一个公共点，则实数m 的取值范围是 ．4．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），M为边BC 的中点，则||AM =u u u u r ▲ . 35．已知直线0742:1=+-y x l ，则过点)7,3(A 且与直线1l 垂直的直线的方程是 .6．有下列命题：①经过定点000(,)P x y 的直线方程都可以写成00()y y k x x -=-的形式；②不经过原点的直线都可以用方程1x y a b+=表示；③经过定点(0,)A b 的直线都可以用方程y kx b =+表示；④过不同两点11122(,),(,)P x y P x y 的直线都可以用方程121121()()()()0y y x x x x y y -----=g 表示。
其中正确的命题是_____________7．过点（1，2）的直线l 与x 轴的正半轴，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当AOB V D 的面积最小时，直线l 的方程是8．圆2220x y y +-=关于直线40x y +-=对称的圆的方程是__________9．两圆2240()x y a a R ++++-=∈和22140()x y b b R ++--+=∈恰有三条共切线，则11a b+的最小值为 ▲ . 10．过原点的直线与圆x 2+y 2+4x +3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是____________________11．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点。
高中解析几何典型题
高中解析几何典型题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：一、直线和平面的关系题目题目1：设直线L经过平面α和β两个平面的交点A和B，问直线L在平面α和平面β之间的位置关系是怎样的？解析：直线L在平面α和平面β之间的位置关系有三种情况，分别是直线L既不垂直于平面α，也不垂直于平面β；直线L既垂直于平面α，也垂直于平面β；直线L既不垂直于平面α，但垂直于平面β。
具体位置可根据直线和平面的垂直关系来确定。
解析：点P在平面α和平面β之间的位置关系根据两个平面的相交线和点P所在位置的具体情况来确定。
如果直线L和点P的位置不同，点P在两个平面之间；如果直线L和点P的位置相同，点P在两个平面外部；如果直线L和点P的位置重合，点P在两个平面上。
题目3：已知平面α和平面β相交于直线m，直线n与直线m相交于点A，平面α和平面β的交线分别为l1和l2，求证：∠l1An=∠l2An。
解析：根据已知条件可得到∠l1An=∠mAn，∠l2An=∠mAn，即∠l1An=∠l2An。
解析：根据已知条件可得到∠A和∠B垂直于直线m，因此∠A和∠B所成的角度为90度。
通过以上的几个典型题目及其解析，我们不难看出解析几何题目的解题思路主要是根据已知条件，运用几何知识和性质来推导出结论。
在解析几何的学习过程中，学生应该注重培养逻辑思维能力和数学运算能力，多进行几何图形的分析和推理，提高解题的能力和速度。
在解析几何的学习过程中，还需要注意以下几点：1、熟练掌握基本几何知识和性质，包括直线、角、三角形、四边形等几何图形的性质和计算方法。
2、善于画图分析，对于解析几何题目一定要画出清晰准确的图形，以便更直观地理解题意和计算。
3、多练习典型题目，通过多做题目来积累经验，查漏补缺，加深对解析几何知识的理解。
4、注意总结归纳，将解析几何的各种题目和性质进行分类和总结，形成自己的知识体系。
高中解析几何是一个非常重要的学科，学生在学习过程中要认真对待，多加练习，提高理解能力和解题能力，从而取得更好的学习成绩。
高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.1 平面直角坐标系中的基本公式 2.1.1 数轴上的基本公式
2.1.1 数轴上的基本公式1.给出下列命题:①零向量只有大小没有方向;②向量的数量是一个正实数;③一个向量的终点坐标就是这个向量的坐标;④两个向量相等,它们的坐标也相等,反之数轴上两个向量的坐标相等,则这两个向量也相等.其中正确的有( B )(A)0个(B)1个(C)2个(D)3个解析:由向量定义知:①不正确;由于向量的数量可以是任一个实数,故②不正确;一个向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标,故③不正确;由向量与其数量关系知④正确,所以选B.2.已知数轴上两点A(x),B(2-x2)且点A在点B的右侧,则x的取值X围是( D )(A)(-1,2) (B)(-∞,-1)∪(2,+∞)(C)(-2,1) (D)(-∞,-2)∪(1,+∞)解析:点A在点B的右侧,所以x>2-x2,x2+x-2>0,得x<-2或x>1.故选D.3.当数轴上的三点A,B,O互不重合时,它们的位置关系有六种不同的情形,其中使AB=OB-OA 和||=||-||同时成立的情况有( B )(A)1种(B)2种(C)3种(D)4种解析:AB=OB-OA恒成立,而||=||-||,只能是A在O,B的中间,有两种可能性.4.若数轴上A点的坐标为-1,B点的坐标为4,P点在线段AB上,且=,则P点的坐标为( A )(A)2 (B)-2 (C)0 (D)1解析:设P点的坐标为x,则AP=x+1,PB=4-x,由=,得=,解得x=2.5.数轴上A,B两点的坐标分别为x1,x2,则下列式子中不一定正确的是( B )(A)|AB|=|x1-x2| (B)|BA|=x2-x1(C)AB=x2-x1 (D)BA=x1-x2解析:B中|BA|=|x2-x1|,|BA|不一定等于x2-x1,因为x2-x1可能为负值.6.设M,N,P,Q是数轴上不同的四点,给出以下关系:①MN+NP+PQ+QM=0;②MN+PQ-MQ-PN=0;③PQ-PN+MN-MQ=0;④QM=MN+NP+ PQ.其中正确的序号是.解析:由向量的运算法则知①显然正确;MN+PQ-MQ-PN=MN+PQ+QM+NP= MP+PM=0.故②正确;PQ-PN+MN-MQ=PQ+NP+MN+QM=NQ+QN=0,故③正确; MN+NP+PQ=MQ,与QM不相等,故④错. 答案:①②③7.已知数轴上不同的两点A(a),B(b),则在数轴上满足条件|PA|=|PB|的点P的坐标为( C )(A)(B)(C)(D)b-a解析:设点P的坐标为x.因为|PA|=|PB|,所以|a-x|=|b-x|,即a-x= ±(b-x),解得x=,故选C.8.下列各组点:①M(a)和N(2a);②A(b)和B(2+b);③C(x)和D(x-a);④E(x)和F(x2).其中后面的点一定位于前面的点的右侧的是( B )(A)①(B)②(C)③(D)④解析:因为AB=(2+b)-b=2>0,所以点B一定在点A的右侧.9.在数轴上求一点,使它到点A(-9)的距离是它到点B(-3)的距离的2倍.解:设所求点为P(x),由题意,得d(A,P)=2d(B,P),即|x+9|=2|x+3|,解得x=3或x=-5.故P(3)或P(-5)为所求的点.10.甲、乙两人从A点出发背向行进,甲先出发,行进10 km后,乙再出发.甲的速度为每小时8 km,乙的速度为每小时6 km.当甲离开A点的距离为乙离开A点的距离的2倍时,甲、乙两人的距离是多少?解:以A为原点,以甲行进方向为正方向建立数轴,设乙出发后t h,甲到A点的距离是乙到A点的距离的2倍,则甲的坐标为8t+10,乙的坐标为-6t.由两点间的距离公式得8t+10=2×6t,解得t=.d(甲,乙)=|-6t-(8t+10)|=10+14t=45(km).故甲、乙两人相距45 km.11.(1)如果不等式|x+1|+|x-3|>a恒成立,求a的X围;(2)如果不等式|x+1|+|x-3|<a无解,求a的X围.解:法一设f(x)=|x+1|+|x-3|,由数轴上的距离公式化简得f(x)=画出f(x)图象如图所示.(1)由于函数f(x)的最小值为4,所以要想|x+1|+|x-3|>a恒成立,需a<4.(2)由于f(x)min=4,故要使|x+1|+|x-3|<a无解,要满足a≤4.法二(1)要使|x+1|+|x-3|>a恒成立,只需a小于|x+1|+|x-3|的最小值,而|x+1|+|x-3|表示数轴上的点到A(-1)与B(3)的距离之和,则|x+1|+|x-3|的最小值为|3-(-1)|=4,所以a<4.(2)由(1)知|x+1|+|x-3|的最小值为4,则要使|x+1|+|x-3|<a无解,只需满足a≤4即可.。
高中数学《平面几何》典型例题解析
高中数学《平面几何》典型例题解析一、基础知识：1、相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形的判定① 三个角：若两个三角形对应角都相等，则这两个三角形相似 注：由三角形内角和为180可知，三角形只需两个内角对应相等即可② 两边及一夹角：若两个三角形的两条边对应成比例，且所夹的角相等，则这两个三角形相似 ③ 三边：若两个三角形三边对应成比例，则这两个三角形相似④（直角三角形）若两个直角三角形有两组对应边成比例，则这两个直角三角形相似 （2）相似三角形性质：若两个三角形相似，这它们的对应角相等，对应边成比例即相似比（主要体现出“对应”两字），例如：若'''ABCA B C ，则有：''',,,A A B B C C ∠=∠∠=∠∠=∠''''''AB AC BCA B AC B C== 2、平行线分线段成比例：如图：已知123l l l ∥∥，且直线,m n 与平行线交于,,,,,A B C D E F ，则以下线段成比例： （1）AB DEBC EF=（上比下） （2）AB DEAC DF=（上比全） （3）BC EFAC DF=（下比全） 3、常见线段比例模型：（1）“A ”字形：在ABC 中，平行BC 的直线交三角形另两边于,D E ，即形成一个“A ”字，在“A ”字形中，可得ABC ADE ，进而有以下线段成比例：FE D CB A BCDE① AD AEDB EC =② DB CEAB AC =③AD AE DEAB AC BC==（2）“8”字形：已知AB CD ∥，连结,AD BC 相交于O ，即形成一个“8”字，在“8”字形中，有：AOB DOC ，从而AO BO ABOD CO CD==4、圆的几何性质： （1）与角相关的性质 ① 直径所对的圆周角是直角② 弦切角与其夹的弧所对的圆周角相等 ③ 同弧（或等弧）所对的圆周角是圆心角的一半 ④ 圆内接四边形，其外角等于内对角 （2）与线段相关的性质： ① 等弧所对的弦长相等② 过圆心作圆上一条弦的垂线，则直线垂直平分该弦 ③ 若一条直线与圆相切，则圆心与切点的连线与该直线垂直 5、与圆相关的定理（1）切割线定理：设PA 是O 的切线，PBC 为割线，则有：2PA PB PC =⋅（2）相交弦定理：设,AB CD 是圆内的两条弦，且,AB CD 相交于P ，则有AP BP CP DP ⋅=⋅（3）切线长定理：过圆外一点P 可作圆的两条切线，且这两条切线的长度相等C6、射影定理：已知在直角三角形ABC 中，90BCA ∠=，CD 为斜边AB 上的高（双垂直特点），则以下等式成立：2BC BD BA =⋅ 2AC AD AB =⋅ 2CD BD AD =⋅注：射影定理结合勾股定理，以及等面积法。
202223学年高中数学第2章平面解析几何初步-用坐标方法解决几何问题同步练习湘教版选择性必修第一册
2.7 用坐标方法解决几何问题A级必备知识基础练1.一涵洞的横截面是半径为5 m的半圆,则该半圆的方程是()A.x2+y2=25B.x2+y2=25(y≥0)C.(x+5)2+y2=25(y≤0)D.随建立直角坐标系的变化而变化2.在平面内,A,B是两个定点,C是动点,若=2,则点C的轨迹为()A.椭圆B.射线C.圆D.直线3.已知等腰三角形ABC其中一腰的两个端点分别是A(4,2),B(-2,0),|AB|=|AC|,则另一腰的一个端点C的轨迹方程是()A.x2+y2-8x-4y=0B.x2+y2-8x-4y-20=0(x≠-2,x≠10)C.x2+y2+8x+4y-20=0(x≠-2,x≠10)D.x2+y2-8x-4y+20=0(x≠-2,x≠10)4.(2022四川内江第六中学高二月考)当点P在圆x2+y2=1上变动时,它与定点Q(3,0)相连,线段PQ 的中点M的轨迹方程是()A.(x-3)2+y2=1B.(2x-3)2+4y2=1C.(x+3)2+y2=4D.(2x+3)2+4y2=45.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足条件|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于()A.πB.4πC.8πD.9π6.过点A(8,0)的直线与圆x2+y2=4交于点B,则线段AB中点P的轨迹方程为.7.已知:四边形ABCD,|AB|2+|CD|2=|BC|2+|AD|2.求证:AC⊥BD.B级关键能力提升练8.在直角三角形ABC中,D是斜边AB的中点,P为线段CD的中点,则=()A.2B.4C.5D.109.在△ABC中,D为BC边上任意一点(D与B,C不重合),且|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.则△ABC为()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.以上都不对10.已知圆C:x2+y2-8x-6y+16=0,过点P(4,1)的直线与圆C交于点M,N,线段MN的中点为Q.则点Q 的轨迹方程为.11.正方形ABCD与点P在同一平面内,已知该正方形的边长为1,且|PA|2+|PB|2=|PC|2,则|PD|的取值范围为.12.如图,已知点A,B,C共线,△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形,用坐标法证明:|AE|=|CD|.13.(2022四川成都云教联盟高二联考)(1)已知AD是△ABC边BC的中线,用坐标法证明:|AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|DC|2).(2)已知动点C与两个定点A(0,0),B(3,0)的距离之比为,若△ABC边BC的中点为D,求动点D的轨迹方程.C级学科素养创新练14.一艘轮船沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报,台风中心位于轮船正西70 km处,受影响的范围是半径为30 km的圆形区域,已知港口位于台风中心正北40 km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?参考答案2.7用坐标方法解决几何问题1.D由于建立的平面直角坐标系不同,因此该半圆的方程也不同,故选D.2.C以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,设A(-a,0),B(a,0),C(x,y),则=(x+a,y),=(x-a,y).由=2,得(x-a)(x+a)+y2=2,即x2+y2=a2+2,所以点C的轨迹为圆.3.B设C(x,y),由|AB|=|AC|,得(4+2)2+(2-0)2=(x-4)2+(y-2)2,即x2+y2-8x-4y-20=0.又点B与点C不重合且B,C,A不共线,所以x≠-2,x≠10.故选B.4.B设线段PQ的中点M(x,y),点P与定点Q(3,0)相连,则P(2x-3,2y).点P在圆x2+y2=1上变动时,线段PQ的中点M的轨迹方程是(2x-3)2+4y2=1.故选B.5.B设P点的坐标为(x,y),因为两定点A(-2,0),B(1,0),且动点P满足|PA|=2|PB|,则(x+2)2+y2=4[(x-1)2+y2],整理得(x-2)2+y2=4,所以点P的轨迹是以(2,0)为圆心,2为半径的圆,所以点P的轨迹所包围的图形的面积等于4π.故选B.6.(x-4)2+y2=1设点P的坐标为(x,y),点B为(x1,y1),由题意,结合中点坐标公式可得x1=2x-8,y1=2y,故(2x-8)2+(2y)2=4,化简得(x-4)2+y2=1.即线段AB中点P的轨迹方程为(x-4)2+y2=1.7.证明如图,以AC所在的直线为x轴,过点B垂直于AC的直线为y轴建立直角坐标系.设顶点坐标分别为A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(x,y),∵|AB|2+|CD|2=|BC|2+|AD|2,∴a2+b2+(x-c)2+y2=b2+c2+(x-a)2+y2,化简得(a-c)x=0.∵a≠c,即a-c≠0,∴x=0,即D在y轴上,∴AC⊥BD.8.D以直角三角形的直角顶点C为坐标原点建立平面直角坐标系(图略),设B(a,0),A(0,b),则D,P.则=10.故选D.9.A如图所示,作AO⊥BC,垂足为O,以BC所在直线为x轴,OA所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.设A(0,a),B(b,0),C(c,0),D(d,0)(b<d<c).因为|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|,所以b2+a2=d2+a2+(d-b)(c-d),所以-(d-b)(b+d)=(d-b)(c-d).又因为d-b≠0,所以-b-d=c-d,即-b=c,所以|OB|=|OC|.又AO⊥BC,故△ABC为等腰三角形.10.(x-4)2+(y-2)2=1(1)由圆C:(x-4)2+(y-3)2=9方程可知(4-4)2+(1-3)2=4<9,故点P(4,1)在圆C内.∵弦MN过点P,Q是MN的中点,则CQ⊥MN,∴点Q的轨迹是以CP为直径的圆,线段CP的中点为(4,2),故其方程为(x-4)2+(y-2)2=1.11.[2-,2+]以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示.则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1).设点P(x,y),则由|PA|2+|PB|2=|PC|2,得x2+y2+(x-1)2+y2=(x-1)2+(y-1)2,整理得x2+(y+1)2=2,即点P 的轨迹是以点M(0,-1)为圆心,为半径的圆.圆心M到点D的距离为|MD|=2,所以|PD|min=2-,|PD|max=2+,所以|PD|的取值范围是[2-,2+].12.证明如图,以点B为坐标原点,直线AC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.设△ABD和△BCE的边长分别为a,c,则A(-a,0),C(c,0),D-a,E,∴|AE|=,|CD|=,∴|AE|=|CD|.13.解(1)以BC边为x轴,线段BC的中垂线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.不妨设A(x,y),B(-b,0),C(b,0),其中b>0,所以|AB|2+|AC|2=(x+b)2+y2+(x-b)2+y2=2(x2+y2+b2),2(|AD|2+|DC|2)=2(x2+y2+b2),故|AB|2+|AC|2=2(|AD|2+|DC|2).(2)设C(m,n),由,则点C的轨迹方程为m2+n2+6m-9=0(m≠±3-3或n≠0).设D(x,y),则C(2x-3,2y),将C(2x-3,2y)代入m2+n2+6m-9=0,可得(2x-3)2+(2y)2+6(2x-3)-9=0,整理得x2+y2=.14.解以台风中心为坐标原点,以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图所示),其中取10km为单位长度,则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2+y2=9, 港口所对应的点的坐标为(0,4),轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0),则轮船航线所在直线l的方程为=1,即4x+7y-28=0,圆心(0,0)到航线4x+7y-28=0的距离d=,而半径长r=3,因为>3,所以直线与圆相离.故这艘轮船不改变航线,不会受到台风的影响.。
高一数学平面解析几何初步试题答案及解析
高一数学平面解析几何初步试题答案及解析1.设A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），AB的中点M，则A．B．C．D．【答案】C【解析】先求得M（2,，3）点坐标，利用两点间距离公式计算得，故选C。
【考点】本题主要考查空间直角坐标系的概念及空间两点间距离公式的应用。
点评：简单题，应用公式计算。
2.已知ABCD为平行四边形，且A（4，1，3），B（2，－5，1），C（3，7，－5），则点D 的坐标为A．（，4，－1）B．（2，3，1）C．（－3，1，5）D．（5，13，－3）【答案】D【解析】设D的坐标为(x,y,z)。
AC的中点和BD的中点重合，所以有x+2=4+3，y-5=1+7，z+1=3-5所以，x="5," y="13," z=-3，D的坐标为(5,13,-3)，故选D。
【考点】本题主要考查空间直角坐标系的概念及两点间距离公式的应用。
点评：本题解法利用了平行四边形的性质，也可利用向量知识。
3.点到坐标平面的距离是A．B．C．D．【答案】C【解析】点在坐标平面的正投影为，所以点到坐标平面的距离是，故选C。
【考点】本题主要考查空间直角坐标系的概念及两点间距离公式的应用。
点评：认识到点在坐标平面的正投影为，结合图形分析。
4.已知点，，三点共线，那么的值分别是A．，4B．1，8C．，－4D．－1，－8【答案】C【解析】因为点，，三点共线，=（3，4，－8），=（x－1，y+2，4)，所以，，故选C。
【考点】本题主要考查空间直角坐标系的概念及其应用。
点评：利用空间向量知识，简化解题过程。
5.在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是A．B．C．D．【答案】A【解析】依题意，构建正方体。
即求棱长为的正方体对角线长，计算得，故选A。
【考点】本题主要考查空间直角坐标系的概念及其应用。
点评：根据几何体的特征，认识点的坐标。
6.（12分）如图，长方体中，，，，设E为的中点，F为的中点，在给定的空间直角坐标系D－xyz下，试写出A，B，C，D，，，，，E，F各点的坐标．【答案】A（3，0，0），B（3，5，0），C（0，5，0），D（0，0，0）；（3，0，3），（3，5，3），（0，5，3），（0，0，3）； E（）；F（，5，）。
平面解析几何练习题
平面解析几何练习题平面解析几何练习题平面解析几何是数学中的一个重要分支，它研究平面上的点、线、圆等几何对象的性质和相互关系。
通过解析几何的学习，我们可以更好地理解和应用几何知识，解决实际问题。
在这篇文章中，我将为大家提供一些平面解析几何的练习题，希望能帮助大家更好地掌握这一知识点。
题目一：已知直线L1的方程为y = 2x + 1，直线L2经过点A(1, 3)且与L1垂直，求直线L2的方程。
解析：首先，我们知道两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积为-1。
由于L1的斜率为2，所以L2的斜率为-1/2。
又知道L2经过点A(1, 3)，代入斜率截距公式y - y1 = k(x - x1)，即可得到直线L2的方程为y - 3 = -1/2(x - 1)。
题目二：已知直线L1的方程为2x + 3y = 6，点A(1, 2)在直线L1上，求直线L2经过点A且平行于L1的方程。
解析：由于L2与L1平行，所以它们的斜率相等。
我们可以通过将L1的方程化为斜截式方程y = mx + b的形式，其中m为斜率，b为截距。
将L1的方程化简，得到y = -2/3x + 2。
由此可知L1的斜率为-2/3，所以直线L2的斜率也为-2/3。
又知道L2经过点A(1, 2)，代入斜截式方程即可得到直线L2的方程为y -2 = -2/3(x - 1)。
题目三：已知圆C的圆心为O(2, 3)，半径为5，点A(6, 3)在圆C上，求点A关于圆C的对称点的坐标。
解析：对于圆C上的任意一点P(x, y)，如果点P关于圆C的对称点为P'，那么OP与OP'的中点一定在圆C的直径上。
所以，我们可以先求出点A与圆心O的中点M的坐标，然后利用中点公式求出点A'的坐标。
点M的坐标为((6+2)/2, (3+3)/2)，即(4, 3)。
利用中点公式，我们可以得到点A'的坐标为(2 × 4 - 6, 2 × 3 - 3)，即(-2, 3)。
高中数学第2章平面解析几何初步-两条直线平行与垂直的判定同步练习湘教版选择性必修第一册
2.3 两条直线的位置关系2.3.1 两条直线平行与垂直的判定A级必备知识基础练1.下列各组直线中,互相垂直的一组是()A.2x-3y-5=0与4x-6y-5=0B.2x-3y-5=0与4x+6y+5=0C.2x+3y-6=0与3x-2y+6=0D.2x+3y-6=0与2x-3y-6=02.(多选题)下列各直线中,与直线2x-y-3=0平行的是()A.2ax-ay+6=0(a≠0,a≠-2)B.y=2xC.2x-y+5=0D.2x+y-3=03.(多选题)(2022山东五莲高二期中)已知直线l:x-2y-2=0,()A.直线x-2y-1=0与直线l平行B.直线x-2y+1=0与直线l平行C.直线x+2y-1=0与直线l垂直D.直线2x+y-2=0与直线l垂直4.(2022四川成都七中高二入学测试)已知A(3,1),B(1,-2),C(1,1),则过点C且与线段AB平行的直线方程为()A.3x+2y-5=0B.3x-2y-1=0C.2x-3y+1=0D.2x+3y-5=05.如果直线l1的斜率为a,l1⊥l2,则直线l2的斜率为()A. B.aC.-D.-或不存在6.(2022河北唐山五十九中高二月考)已知△ABC三个顶点坐标分别为A(-2,-4),B(6,6),C(0,6),则AB边上的高所在直线的斜率为.7.若直线l1,l2的斜率是一元二次方程x2-7x+t=0的两根,若直线l1,l2垂直,则t= .8.在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,2),B(n-1,3),C(-1,3-n).(1)若∠A是直角,求实数n的值;(2)求过坐标原点,且与△ABC的高AD垂直的直线l的方程.B级关键能力提升练9.已知点M(1,-2),N(m,2),若线段MN的垂直平分线的方程是+y=1,则实数m的值是()A.-2B.-7C.3D.110.(2022广州大学附属中学高二月考)已知直线l1过点A(-2,m)和点B(m,4),直线l2为2x+y-1=0,直线l3为x+ny+1=0.若l1∥l2,l2⊥l3,则实数m+n的值为()A.-10B.-2C.0D.811.(多选题)(2022山东济南山师附中高二期中)已知直线l1:x+my-1=0,l2:(m-2)x+3y+1=0,则下列说法正确的是()A.若l1∥l2,则m=-1或m=3B.若l1∥l2,则m=-1C.若l1⊥l2,则m=-D.若l1⊥l2,则m=12.(多选题)(2022湖北荆州高二期末)已知直线l1:3x+y-3=0,直线l2:6x+my+1=0,则下列表述正确的有()A.直线l2的斜率为-B.若直线l1垂直于直线l2,则实数m=-18C.直线l1倾斜角的正切值为3D.若直线l1平行于直线l2,则实数m=213.点M(1,2)在直线l上的射影是H(-1,4),则直线l的方程为,线段MH的垂直平分线的方程为.14.已知A(1,0),B(3,2),C(0,4),点D满足AB⊥CD,且AD∥BC,试求点D的坐标.15.若△ABC的顶点A的坐标为(2,3),三角形其中两条高所在的直线方程为x-2y+3=0和x+y-4=0,试求此三角形的边AB,AC所在直线的方程.C级学科素养创新练16.已知直线l1:x cos2α+y+2=0,若l1⊥l2,则直线l2的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.17.(多选题)(2022河北高二学情监测)已知直线l1:x sin α+y=0与直线l2:x+3y+c=0,则下列结论中正确的是()A.直线l1与直线l2可能相交B.直线l1与直线l2可能重合C.直线l1与直线l2可能垂直D.直线l1与直线l2可能平行参考答案2.3两条直线的位置关系2.3.1两条直线平行与垂直的判定1.C对于A,k1k2=≠-1,因此l1与l2不垂直;对于B,k1k2==-≠-1,因此l1与l2不垂直;对于C,k1k2==-1,因此l1⊥l2;对于D,k1k2==-≠-1,因此l1与l2不垂直.故选C.2.ABC与直线2x-y-3=0平行的直线都可以化为2x-y+m=0(m≠-3)的形式,因此选项A,B,C符合,故选ABC.3.ABD直线l:x-2y-2=0的斜率k=,在y轴上截距为-1.对于A,直线x-2y-1=0的斜率为,在y轴上截距为-,∴直线x-2y-1=0与直线l平行,故A正确;对于B,直线x-2y+1=0的斜率为,在y轴上截距为,∴直线x-2y+1=0与直线l平行,故B正确;对于C,直线x+2y-1=0的斜率为-,∴直线x+2y-1=0与直线l不垂直,故C错误;对于D,直线2x+y-2=0的斜率为-2,∴直线2x+y-2=0与直线l垂直,故D正确.故选ABD.4.B由题可知,k AB=,则过点C且与线段AB平行的直线的斜率为.又该直线过点(1,1),则该直线方程为y-1=(x-1),整理得3x-2y-1=0.5.D当a≠0时,由l1⊥l2得k1·k2=a·k2=-1,解得k2=-;当a=0时,l1与x轴平行或重合,则l2与y 轴平行或重合,故直线l2的斜率不存在.故直线l2的斜率为-或不存在.6.-由题可得k AB=.设AB边上高线的斜率为k,则k·k AB=-1,即k·=-1,解得k=-.所以AB边上的高所在直线的斜率为-.7.-1设直线l1,l2的斜率分别是k1,k2.因为k1,k2是一元二次方程x2-7x+t=0的两根,则k1·k2=t.又直线l1,l2垂直,所以k1·k2=-1.故可得t=-1.8.解(1)当n=2时,∠A不是直角,不合题意;当n≠2时,∵∠A是直角,∴k AB·k AC=-1,即=-1,解得n=.综上所述,实数n的值为.(2)∵直线l与△ABC的高AD垂直,∴直线l与直线BC平行或重合.∵B,C不重合,∴n≠0,∴直线l的斜率k=k BC==1,又直线l过坐标原点,∴直线l的方程为x-y=0.9.C由题知直线+y=1的斜率为-,则直线MN的斜率为2,即k MN==2,解得m=3.10.A由题意可得直线l1,l2,l3的斜率存在,分别设为k1,k2,k3.因为l1∥l2,所以k1=k2,即=-2,解得m=-8.因为l2⊥l3,所以k2·k3=-1,即(-2)×-=-1,解得n=-2.所以m+n=-8+(-2)=-10.故选A.11.AD若l1∥l2,则1×3-m(m-2)=0,解得m=3或m=-1,故A正确,B不正确;若l1⊥l2,则1×(m-2)+m×3=0,解得m=,故C不正确,D正确.故选AD.12.BD当m=0时,直线l2的斜率不存在,故A错误;当直线l1垂直于直线l2,则有3×6+1×m=0,解得m=-18,故B正确;由题知,直线l1的斜率为-3,故倾斜角的正切值为-3,故C错误;当直线l1平行于直线l2,则-3=-,且3≠-,解得m=2,故D正确.故选BD.13.x-y+5=0x-y+3=0由题得,k MH==-1.又点M在直线l上的射影是点H,则直线l与直线MH垂直,所以直线l的斜率为k=1.故直线l的方程为y-4=x+1,整理得x-y+5=0.由于线段MH的垂直平分线过MH的中点.由题知,线段MH的中点为(0,3),且垂直平分线的斜率等于直线l的斜率,所以垂直平分线的方程为y-3=x,整理得x-y+3=0.14.解设D(x,y),则k AB==1,k BC==-,k CD=,k DA=.因为AB⊥CD,AD∥BC,所以k AB·k CD=-1,k DA=k BC,即解得故点D的坐标为(10,-6).15.解因为点A的坐标不满足所给的两条高所在直线的方程,所以所给的两条直线方程是过顶点B,C的高所在直线的方程.又所给两条直线的斜率分别为,-1,若k AB=-2,则k AC=1,则直线AB的方程为y-3=-2(x-2),整理得2x+y-7=0,直线AC的方程为y-3=x-2,整理得x-y+1=0.同理,若k AC=-2,则k AB=1,则直线AC的方程为2x+y-7=0,直线AB的方程为x-y+1=0.16.C当cos2α≠0时,k1=-.∵l1⊥l2,∴k1·k2=-1,∴k2=.∵0<cos2α≤1,∴k2=.设l2的倾斜角为θ,θ∈[0,π),则tanθ≥,∴≤θ<;当cos2α=0时,直线l1的斜率为0,倾斜角为0.∵l1⊥l2,∴l2的倾斜角θ=.综上,直线l2的倾斜角的取值范围为.故选C.17.ABD由题知,直线l1:x sinα+y=0的斜率为k1=-sinα,过定点(0,0),直线l2:x+3y+c=0斜率为k2=-,过点(-c,0).若直线l1与直线l2相交,则sinα≠,而-1≤sinα≤1,即sinα≠成立,故选项A正确;若直线l1与直线l2重合,则c=0,且sinα=,而-1≤sinα≤1,故选项B正确;若直线l1与直线l2垂直,则k1k2=sinα=-1,则sinα=-3,与-1≤sinα≤1矛盾,则直线l1与直线l2不可能垂直,故选项C错误;若直线l1与直线l2平行,则sinα=且c≠0,而-1≤sinα≤1,可以有sinα=,故选项D正确.故选ABD.。
高中数学第二章平面解析几何初步2.4.2空间两点的距离公式练习(含解析)新人教B版必修2
对应学生用书P75知识点一空间两点间的距离高中数学第二章平面解析几何初步2.4.2空间两点的距离公式练习（含解析）新人教B版必修21．在空间直角坐标系中，点A(3，2，－5)到x轴的距离d等于( )A．32＋22 B．22＋－52C．32＋－52 D．32＋22＋－52答案 B解析过点A作AB⊥x轴于点B，则B(3，0，0)，所以点A到x轴的距离d＝|AB|＝22＋－52．2．如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCO－A′B′C′O′，则A′C 的中点E与AB的中点F的距离为( )A．2aB．22aC．aD．12a答案 B解析A′(a，0，a)，C(0，a，0)，点E的坐标为a2，a2，a2，而F⎝⎛⎭⎪⎫a，a2，0，∴|EF|＝a24＋02＋a24＝22a，故选B．知识点二空间两点间距离公式的应用3．点P(x ，y ，z)满足x －12＋y －12＋z ＋12＝2，则点P 在( )A ．以点(1，1，－1)为球心，以2为半径的球面上 B ．以点(1，1，－1)为中心，以2为棱长的正方体内 C ．以点(1，1，－1)为球心，以2为半径的球面上 D ．以上都不正确 答案 C 解析x －12＋y －12＋z ＋12表示P(x ，y ，z)到点M(1，1，－1)的距离，即|PM|＝2为定值．故点P 在以点(1，1，－1)为球心，以2为半径的球面上．4．如图所示，PA ，AB ，AD 两两垂直，四边形ABCD 为矩形，M ，N 分别为AB ，PC 的中点．求证：MN⊥AB．证明 如图所示，以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，设B(a ，0，0)，D(0，b ，0)，C(a ，b ，0)，P(0，0，c)，连接AN ．因为M ，N 分别是AB ，PC 的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2，c 2，则|AM|2＝a 24，|MN|2＝b 2＋c 24，|AN|2＝a 2＋b 2＋c24，所以|AN|2＝|MN|2＋|AM|2，所以MN⊥AB．对应学生用书P75一、选择题1．在空间直角坐标系中，一定点P 到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( )A ．62 B ． 3 C ．32 D ．63答案 A解析 如图所示，在正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，设正方体的棱长为a(a ＞0)，则点P 在顶点B 1处，建立分别以OA ，OC ，OO 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系，则点P 的坐标为(a ，a ，a)，由题意得a 2＋a 2＝1，∴a 2＝12，∴|OP|＝3a 2＝3×12＝62． 2．与两点A(3，4，5)，B(－2，3，0)距离相等的点M(x ，y ，z)满足的条件是( ) A ．10x ＋2y ＋10z －37＝0 B ．5x －y ＋5z －37＝0 C ．10x －y ＋10z ＋37＝0 D ．10x －2y ＋10z ＋37＝0 答案 A解析 由|MA|＝|MB|，即(x －3)2＋(y －4)2＋(z －5)2＝(x ＋2)2＋(y －3)2＋z 2，化简得10x ＋2y ＋10z －37＝0，故选A ．3．到定点(1，0，0)的距离小于或等于2的点的集合是( ) A ．{(x ，y ，z)|(x －1)2＋y 2＋z 2≤2} B ．{(x ，y ，z)|(x －1)2＋y 2＋z 2≤4} C ．{(x ，y ，z)|(x －1)2＋y 2＋z 2≥4}D ．{(x ，y ，z)|x 2＋y 2＋z 2≤4} 答案 B解析 由空间两点间的距离公式可得，点P(x ，y ，z)到定点(1，0，0)的距离应满足x －12＋y 2＋z 2≤2，即(x －1)2＋y 2＋z 2≤4．4．△ABC 的顶点坐标是A(3，1，1)，B(－5，2，1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，2，3，则它在yOz 平面上射影的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 D解析 △ABC 的顶点在yOz 平面上的射影点的坐标分别为A′(0，1，1)，B′(0，2，1)，C′(0，2，3)，∵|A′B′|＝0－02＋1－22＋1－12＝1，|B′C′|＝0－02＋2－22＋3－12＝2， |A′C′|＝0－02＋2－12＋3－12＝5，∴|A′B′|2＋|B′C′|2＝|A′C′|2，∴△ABC 在yOz 平面上的射影△A′B′C′是一个直角三角形，它的面积为1．5．已知A(x ，5－x ，2x －1)，B(1，x ＋2，2－x)，当|AB|取最小值时，x 的值为( ) A ．19 B ．－87 C ．87 D ．1914答案 C 解析 |AB|＝x －12＋3－2x2＋3x －32＝14x 2－32x ＋19＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －872＋57， ∴当x ＝87时，|AB|最小．二、填空题6．在空间直角坐标系中，设A(m ，1，3)，B(1，－1，1)，且|AB|＝22，则m ＝________． 答案 1 解析 |AB|＝m －12＋[1－－1]2＋3－12＝22，解得m ＝1．7．已知点P 32，52，z 到线段AB 中点的距离为3，其中A(3，5，－7)，B(－2，4，3)，则z ＝________．答案 0或－4解析 由中点坐标公式，得线段AB 中点的坐标为12，92，－2．又点P 到线段AB 中点的距离为3，所以32－122＋52－922＋[z－－2]2＝3，解得z＝0或－4．8．点B(3，0，0)是点A(m，2，5)在x轴上的射影，则点A到原点的距离为________．答案4 2解析由点B(3，0，0)是点A(m，2，5)在x轴上的射影，得m＝3，所以点A到原点的距离为d＝32＋22＋52＝32＝42．三、解答题9．如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E，F分别是棱AB，B1C1，AC的中点，求|DE|，|EF|．解以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∵|CC1|＝|CB|＝|CA|＝2，∴C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)，由空间直角坐标系中的中点坐标公式可得D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(1，0，0)，∴|DE|＝1－02＋1－12＋0－22＝5，|EF|＝0－12＋1－02＋2－02＝6．10．如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直．点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0<a<2)，(1)求MN的长；(2)当a为何值时，MN的长最小．解由于平面ABCD、ABEF互相垂直，其交线为AB，且CB⊥AB，所以CB⊥平面ABEF，故以B为原点O，BC所在直线为z轴正半轴，BA所在直线为x轴正半轴，BE所在直线为y轴正半轴，建立空间直角坐标系．由于N点在对角线BF上，且BN＝a，N点到x轴和到y轴的距离相等，所以N点坐标为2 2a，22a，0．同理M点的坐标为M22a，0，1－22a．于是：(1)MN＝22a－22a2＋22a－02＋22a－12＝a－222＋12，0<a<2．(2)由(1)知MN＝a－222＋12，故当a＝22时，MN有最小值，且最小值为22．。
专题36平面解析几何解答题(第一部分)
专题36平面解析几何解答题（第一部分）一、解答题1．已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．2．已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G . （i ）证明：PQG V 是直角三角形； （ii ）求PQG V 面积的最大值.3．已知椭圆E:2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ． （Ⅰ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.4．设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .（I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.5．平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b +=＞＞抛物线E ：22x y=的焦点F 是C 的一个顶点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ． （i ）求证：点M 在定直线上;（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标．6．已知椭圆2212x y +=上两个不同的点A ，B 关于直线12y mx =+对称．（1）求实数m 的取值范围；（2）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．7．已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=，点()2,0A -在C 上．(1)求C 的方程；(2)过点()2,3-的直线交C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 与y 轴的交点分别为,M N ，证明：线段MN 的中点为定点．8．已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．(1)求E 的方程；(2)设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =u u u r u u u r．证明：直线HN 过定点．9．已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=u u u r u u u r ，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.10．已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a>b>0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，P 4（1，C 上. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.11．已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．12．平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，左、右焦点分别是12,F F ，以1F 为圆心以3为半径的圆与以2F 为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆2222:144+=x y E a b ，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .（i ）求OQ OP的值；（ⅱ）求ABQ ∆面积的最大值.13．一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子在滑槽AB 内做往复运动时，带动绕O 转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．14．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b +=()0a b >>，焦距为2. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）如图，动直线l ：1y k x =E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且12k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M e 的半径为MC ，,OS OT 是M e的两条切线，切点分别为,S T .求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率.15．如图，设椭圆2221x y a+=（a ＞1）.（Ⅰ）求直线y=kx +1被椭圆截得的线段长（用a 、k 表示）；（Ⅱ）若任意以点A （0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.16．已知过原点的动直线l 与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ． （1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．(1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线交C 于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴． 18．设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0). （1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠. 19．已知抛物线21:4C x y =的焦点也是椭圆22222:1(0)y x C a b a b+=>>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦的长为26. （1）求2C 的方程； （2）过点的直线l 与1C 相交于，两点，与2C 相交于，两点，且AC u u u r 与BD u u u r同向（ⅰ）若AC BD =，求直线l 的斜率 （ⅱ）设1C 在点处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点旋转时，MFD ∆总是钝角三角形。
平面解析几何 经典习题(含答案
欢迎阅读平面解析几何一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率（1）倾斜角α的范围000180α≤<（2）经过两点的直线的斜率公式是（3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ⇔=。
特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。
（2）两条直线垂直如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥⇔=-注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。
如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。
二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件局限性点斜式为直线上一定点，k 为斜率不包括垂直于x 轴的直线斜截式k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距不包括垂直于x 轴的直线两点式是直线上两定点不包括垂直于x 轴和y 轴的直线截距式a 是直线在x 轴上的非零截距，b 是直线在y 轴上的非零截距不包括垂直于x 轴和y 轴或过原点的直线 一般式A ，B ，C 为系数无限制，可表示任何位置的直线三、直线的交点坐标与距离公式 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是，两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。
2.几种距离（1）两点间的距离平面上的两点间的距离公式（2）点到直线的距离点到直线的距离；（3）两条平行线间的距离两条平行线间的距离注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；（2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算（二）直线的斜率及应用利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。
(全国通用版)2018-2019高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.2.4 点到直线的距离练习
2.2.4 点到直线的距离1点(3,1)到直线y=2x的距离为()A.5B.C.D.解析：直线方程化为2x-y=0,故所求距离d=.答案：B2已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a的值是()A. B.2- C.-1 D.+1解析：由点到直线的距离公式,得=1,因为|a+1|=,所以a=±-1.又因为a>0,所以a=-1.答案：C3已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,那么它们之间的距离是()A.4B.C.D.解析：因为两直线平行,所以3m=12,即m=4,6x+my+1=0可化为3x+2y+=0,由两平行直线间的距离公式得d=.答案：D4已知点P(a,b)是第二象限的点,那么它到直线x-y=0的距离是()A.(a-b)B.b-aC.(b-a)D.解析：因为P(a,b)是第二象限的点,所以a<0,b>0.所以a-b<0.所以点P到直线x-y=0的距离d=(b-a).答案：C5若P,Q分别为3x+4y-12=0与3x+4y+3=0上任一点,则|PQ|的最小值为()A. B. C.3 D.6解析：|PQ|的最小值即两条平行线间的距离,则根据两条平行线间的距离公式得|PQ|==3.答案：C6已知x,y满足3x+4y-10=0,则x2+y2的最小值为()A.2B.4C.0D.1解析：因为x2+y2视为原点到直线上的点P(x,y)的距离的平方,所以x2+y2的最小值为原点到直线3x+4y-10=0的距离的平方.因为d==2,所以x2+y2的最小值为4.答案：B7过点M(1,5)和点N(-2,9)分别作两条平行直线,使它们之间的距离等于5,则满足条件的直线共有()A.0组B.1组C.2组D.3组解析：因为|MN|==5,所以满足条件的直线有且仅有1组,它们与线段MN所在的直线垂直.答案：B8已知定点A(0,1),点B在直线x+y=0上运动,当线段AB最短时,点B的坐标是.解析：可设B(x,-x),所以d(A,B)=,又d(A,B)min=,这时x=-,点B的坐标为.答案：9已知点M(1,4)到直线l:mx+y-1=0的距离为3,则实数m=.解析：由已知可得=3,即|m+3|=3,解得m=0或m=.答案：0或10与直线l:5x-12y+6=0平行且到l的距离为2的直线m的方程为.解析：设所求直线为5x-12y+c=0,则由两平行直线间的距离公式得2=,解得c=32或c=-20.故所求直线的方程为5x-12y+32=0或5x-12y-20=0.答案：5x-12y+32=0或5x-12y-20=011已知直线l过直线y=-x+1和y=2x+4的交点,(1)若直线l与直线x-3y+2=0垂直,求直线l的方程;(2)若原点O到直线l的距离为1,求直线l的方程.解(1)由得交点(-1,2),因为直线x-3y+2=0的斜率是,直线l与直线x-3y+2=0垂直,所以直线l的斜率为-3,所以所求直线l的方程为y-2=-3(x+1),即3x+y+1=0.(2)如果l⊥x轴,则l的方程为x=-1符合要求.如果l不垂直于x轴,设l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+2+k=0,原点O到直线l的距离=1,解之,得k=-,此时l:y-2=-(x+1).综上,直线l的方程为3x+4y-5=0或x=-1.12两条互相平行的直线分别过A(6,2),B(-3,-1)两点,并且各自绕着A,B点旋转(但始终保持平行关系).如果两条平行线间的距离为d.(1)求d的变化范围;(2)求当d取得最大值时两条直线的方程.解(1)根据题意可知,当两平行线均与线段AB垂直时,距离d=|AB|=3最大;当两平行线重合,即都过A,B点时,距离d=0最小.但平行线不能重合,所以0<d≤3.(2)当d=3时,所求的两条直线的斜率相同,且k=-3,所以两条直线的方程分别为3x+y-20=0和3x+y+10=0.★13已知点P(2,-1),求:(1)过点P且与原点O距离为2的直线l的方程;(2)过点P且与原点O距离最大的直线l的方程,并求此最大距离.解(1)点P的坐标为(2,-1),由题意知可分两种情况:①若直线l的斜率不存在,则其方程为x=2,原点到直线x=2的距离为2,满足题意;②若直线l的斜率存在,设为k,则l的方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.由已知,得=2,解得k=.此时l的方程为3x-4y-10=0.综上,可得直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.(2)过点P且与原点O距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线,故设直线l、直线OP的斜率分别为k l,k OP.由题意知k OP=-,由l⊥OP,得k l·k OP=-1,即k l=-=2.由直线方程的点斜式得y+1=2(x-2),即2x-y-5=0.即直线l:2x-y-5=0是过点P且与原点O距离最大的直线,且最大距离为.★14已知在△ABC中,A(1,1),B(m,)(1<m<4),C(4,2),则当m为何值时,△ABC的面积S最大? 解∵A(1,1),C(4,2),∴|AC|=.又直线AC的方程为x-3y+2=0,根据点到直线的距离公式可得点B(m,)到直线AC的距离d=,∴S=|AC|·d=|m-3+2|=.∵1<m<4,∴1<<2⇒-.∴0≤,∴S=.∴当=0,即m=时,S最大.故当m=时,△ABC的面积S最大.。
2022_2023学年高中数学第2章平面解析几何初步-圆与圆的位置关系同步练习湘教版选择性必修第一册
2.6.2 圆与圆的位置关系A级必备知识基础练1.(2022甘肃庆阳宁县期末)已知圆C1:x2+y2=1和C2:x2+y2-5x+4=0,则两圆的位置关系是( )A.内切B.相交C.外切D.相离2.若圆C1:(x+1)2+y2=2与圆C2:x2+y2-4x+6y+m=0内切,则实数m=( )A.-8B.-19C.-5D.63.圆心在直线x-y-4=0上,且经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点的圆的方程为( )A.x2+y2-x+7y-32=0B.x2+y2-x+7y-16=0C.x2+y2-4x+4y+9=0D.x2+y2-4x+4y-8=04.(2022四川广安高二期末)设圆C1:(x-1)2+(y-1)2=9和圆C2:(x+2)2+(y+1)2=4交于A,B两点,则线段AB的垂直平分线所在直线的方程为( )A.3x-2y-1=0B.2x-3y+1=0C.2x+3y-1=0D.3x+2y+4=05.若圆C:x2+(y-4)2=18与圆D:(x-1)2+(y-1)2=R2的公共弦长为6,则圆D的半径为( )A.5B.2C.2D.26.(多选题)已知圆C:x2-2ax+y2+a2-1=0与圆D:x2+y2=4有且仅有两条公共切线,则实数a的取值可以是( )A.-3B.3C.2D.-27.已知圆(x-a)2+y2=4与圆x2+y2=25没有公共点,则正数a的取值范围为 .B级关键能力提升练8.(2022安徽宣城高二期末)已知圆A:x2+y2-2x-4y-4=0,圆B:x2+y2+2x+2y-2=0,则两圆的公切线的条数是( )A.1条B.2条C.3条D.4条9.(2022广西北海高二期末)已知半径为2的圆M与圆x2+y2=5外切于点P(1,2),则点M的坐标为( )A.(-6,3)B.(3,6)C.(-3,-6)D.(6,3)10.若直线l与圆C1:(x+1)2+y2=1,圆C2:(x-1)2+y2=4都相切,切点分别为A,B,则|AB|=( )A.1B.C. D.211.(2022江苏常州三中等六校高二联考)已知圆O1:x2+y2-2x-3=0与圆O2:x2+y2-4x+2y+3=0相交于点A,B,则四边形AO1BO2的面积是( )A.1B.2C.3D.412.(多选题)(2022山东泰安宁阳高二期末)点P在圆C1:x2+y2=1上,点Q在圆C2:x2+y2-6x+8y+24=0上,则( )A.|PQ|的最小值为0B.|PQ|的最大值为7C.两个圆心所在的直线斜率为-D.两个圆相交弦所在直线的方程为6x-8y-25=013.(多选题)已知圆O:x2+y2=4和圆M:x2+y2+4x-2y+4=0相交于A,B两点,则( )A.直线AB的方程为y=2x+2B.两圆有两条公切线C.线段AB的长为D.圆O上点E,圆M上点F,则|EF|的最大值为+314.(2022河北张家口高二期中)若圆O1:x2+y2=5与圆O2:(x+m)2+y2=20(m>0)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则AB的直线方程为 .15.(2022吉林长春二十九中等校期末)已知圆C1:x2+y2+2x=0,圆C2:x2+y2-2x-2y-2=0,点C1,C2分别为两圆的圆心.(1)求圆C1和圆C2的公共弦长;(2)过点C1的直线l交圆C2于A,B两点,且AB=,求直线l的方程.C级学科素养创新练16.在平面直角坐标系中,已知点A(2,0),B(0,2),圆C:(x-a)2+y2=1,若圆C上存在点M,使得|MA| 2+|MB|2=12,则实数a的取值范围为( )A.[1,1+2]B.[1-2,1+2]C.[1,1+2]D.[1-,1+]17.已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别为圆C1,C2上的点,P为x轴上的动点,求|PM|+|PN|的最小值.参考答案2.6.2 圆与圆的位置关系1.C 根据题意,圆C1:x2+y2=1,其圆心为C1(0,0),半径为r=1,C2:x2+y2-5x+4=0,整理得+y2=,其圆心为C2,半径为R=,两圆的圆心距为|C1C2|=.又R+r=,故两圆外切.故选C.2.B 由题意得C1(-1,0),C2(2,-3),r1=,r2=,则|C1C2|==3.根据两圆内切得|C1C2|==3,解得m=-19.故选B.3.A 设所求圆的方程为(x2+y2+6x-4)+λ(x2+y2+6y-28)=0,变形可得(1+λ)x2+(1+λ)y2+6x+6λy-4-28λ=0,其圆心的坐标为.又由圆心在直线x-y-4=0上,则有-4=0,解得λ=-7.则圆的方程为(-6)x2+(-6)y2+6x-42y+192=0,即x2+y2-x+7y-32=0.故选A.4.B 由题得,圆心C1的坐标为(1,1),圆心C2的坐标为(-2,-1),两圆相交于A,B两点,则线段AB的垂直平分线所在直线就是直线C1C2.因为C1(1,1),C2(-2,-1),所以其斜率k=.则直线C1C2的方程为y-1=(x-1),即2x-3y+1=0.故选B.5.D 由圆C:x2+(y-4)2=18与圆D:(x-1)2+(y-1)2=R2,可得两圆公共弦所在直线的方程为2x-6y=4-R2.又由圆C的方程为x2+(y-4)2=18,其圆心的坐标为(0,4),半径r=3,两圆的公共弦长为6,则点C(0,4)在直线2x-6y=4-R2上,则有2×0-6×4=4-R2,解得R2=28,则圆D的半径为2.故选D.6.CD 根据题意,圆C:x2-2ax+y2+a2-1=0,即(x-a)2+y2=1,其圆心为(a,0),半径为R=1,圆D:x2+y2=4,其圆心的坐标为D(0,0),半径为r=2.若两个圆有且仅有两条公共切线,则两圆相交,则有2-1<|a|<2+1,即1<|a|<3,解得-3<a<-1或1<a<3,结合选项可知符合条件的是2,-2,故选CD.7.(0,3)∪(7,+∞) 根据题意,圆(x-a)2+y2=4的圆心的坐标为(a,0),半径为R=2,圆x2+y2=25圆心的坐标为(0,0),半径r=5,则两圆的圆心距d=|a|=a.若两个圆没有公共点,则有a>R+r=7或a<R-r=3,即正数a的取值范围为(0,3)∪(7,+∞).8.B 根据题意,圆A:x2+y2-2x-4y-4=0,即(x-1)2+(y-2)2=9,其圆心A(1,2),半径R=3,圆B:x2+y2+2x+2y-2=0,即(x+1)2+(y+1)2=4,其圆心B(-1,-1),半径r=2,则圆心距|AB|=.因为3-2<<3+2,则两圆相交,故两圆有2条公切线.故选B.9.B 设圆M的圆心坐标为M(a,b).因为圆x2+y2=5的圆心为O(0,0),半径r=.由圆M与圆x2+y2=5外切于点P(1,2),得M,P,O三点共线,且|OM|=3,即解得(不合题意,舍去)所以点M的坐标为(3,6).故选B.10.C 如图所示,设直线l交x轴于点M.由于直线l与圆C1:(x+1)2+y2=1,圆C2:(x-1)2+y2=4都相切,切点分别为A,B,则AC1⊥l,BC2⊥l,∴AC1∥BC2.∵|BC2|=2=2|AC1|,由中位线定理得C1为线段MC2的中点,则A为线段BM的中点,∴|MC1|=|C1C2|=2.由勾股定理可得|AB|=|MA|=.故选C.11.B 由题得,O1(1,0),O2(2,-1),所以|O1O2|=,圆O1的半径为2.圆O1:x2+y2-2x-3=0与圆O2:x2+y2-4x+2y+3=0相交于点A,B,直线AB的方程为2x-2y-6=0,整理得x-y-3=0.点O1到直线AB的距离为,则|AB|=2=2.因为O1O2⊥AB,所以四边形AO1BO2的面积为|AB||O1O2|=×2=2.故选B.12.BC 根据题意,圆C1:x2+y2=1,其圆心的坐标为C1(0,0),半径R=1.圆C2:x2+y2-6x+8y+24=0,即(x-3)2+(y+4)2=1,其圆心的坐标为C2(3,-4),半径r=1,则两圆的圆心距为|C1C2|==5,即圆C1与圆C2外离,则|PO|的最小值为|C1C2|-R-r=3,最大值为|C1C2| +R+r=7,故A错误,B正确;圆心C1(0,0),圆心C2(3,-4),则两个圆心所在的直线斜率k==-,故C正确;两圆圆心距|C1C2|=5,有|C1C2|>R+r=2,两圆外离,不存在公共弦,D错误.故选BC.13.BD 圆O:x2+y2=4和圆M:x2+y2+4x-2y+4=0作差得4x-2y+4=-4,整理得y=2x+4,即直线AB的方程为y=2x+4,故A错误;因为两圆相交于A,B两点,则两圆有两条公切线,故B正确;圆O:x2+y2=4的圆心O(0,0),半径为2,则圆心O到直线AB的距离d=,故AB=2,故C错误;圆M:x2+y2+4x-2y+4=0的圆心为M(-2,1),半径为1,|OM|=,则|EF|的最大值为|MO|+1+2=+3,故D正确.故选BD.14.x=-1 根据题意,圆O1:x2+y2=5,其圆心O1(0,0),半径r=,圆O2:(x+m)2+y2=20,其圆心O2(-m,0),半径R=2.若两圆在交点A处的切线互相垂直,则O1A⊥O2A,则有|O1O2|2=R2+r2,即m2=5+20=25,则m=5.故圆O2的方程为(x+5)2+y2=20,即x2+y2+10x+5=0.联立得方程组①-②,得-10x-10=0,整理得x+1=0,即x=-1,故公共弦AB所在的直线方程为x=-1.15.解(1)由题知,圆C1:x2+y2+2x=0,圆C2:x2+y2-2x-2y-2=0,两式相减可得公共弦所在的直线为2x+y+1=0.圆C1的圆心为(-1,0),半径为1,则圆心到直线的距离d=,故圆C1和圆C2的公共弦长=2.(2)圆C2的圆心为(1,1),半径为2,圆心到直线l的距离为.设直线l的方程为y=k(x+1),即kx-y+k=0,则,解得k=1或.故直线l的方程为y=x+1或y=(x+1).16.B 设M(x,y),∵|MA|2+|MB|2=12,∴(x-2)2+y2+x2+(y-2)2=12,∴(x-1)2+(y-1)2=4.∵圆C上存在点M,满足|MA|2+|MB|2=12,∴两圆相交或相切.∴1≤≤3,∴1-2≤a≤1+2.故选B.17.解由圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1知圆C1的圆心坐标为(2,3),半径为1,由圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,知圆C2的圆心坐标为(3,4),半径为3.如图所示,设点C1关于x轴的对称点为C3,则C3(2,-3),且|PM| +|PN|≥|PC1|-1+|PC2|-3=|PC3|-1+|PC2|-3≥|C2C3|-4.而|C2C3|==5,所以|PM|+|PN|≥5-4,即|PM|+|PN|的最小值为5-4.。
高中数学平面解析几何练习题(含解析)
高中数学平面解析几何练习题（含解析）一、单选题1．若曲线C ：2224100x y ax ay a ++--=表示圆，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()2,0- B ．()(),20,-∞-⋃+∞ C ．[]2,0-D ．(][),20,-∞-+∞2．过点1,2，且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是（ ） A ．24y x =B ．24y x =-C ．212=-x yD ．212x y =3．过 ()()1320A B --，，，两点的直线的倾斜角是（ ）A ．45︒B ．60︒C ．120D ．1354．已知()3,3,3A ，()6,6,6B ，O 为原点，则OA 与BO 的夹角是（ ） A ．0B ．πC ．π2D ．2π35．已知抛物线2:4C y x =与圆22:(1)4E x y -+=交于A ，B 两点，则||AB =（ ）A ．2B ．C ．4D ．6．已知抛物线2x my =焦点的坐标为(0,1)F ，P 为抛物线上的任意一点，(2,2)B ，则||||PB PF +的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．1127．动点P ，Q 分别在抛物线24x y =和圆228130+-+=x y y 上，则||PQ 的最小值为（ ）A ．B C D 8．直线2360x y +-=关于点(1,1)对称的直线方程为（ ） A ．3220x y -+= B ．2370x y ++= C ．32120x y --=D ．2340x y +-=9．已知椭圆2222:1()0x c bb y a a +>>=的上顶点为A ，左､右焦点分别为12,F F ，连接2AF 并延长交椭圆C 于另一点B ，若12:7:3F B F B =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．14B ．13C ．12D 10．“1m =”是“直线1l ：()410m x my -++=与直线2l ：()220mx m y ++-=互相垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题11．直线2310x y -+=与5100x y +-=的夹角为________．12．已知圆:C 2220x y x ++=，若直线y kx =被圆C 截得的弦长为1，则k =_______. 13．过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)-中的三点的一个圆的方程为____________． 14．写出与圆221x y +=和圆()()224316x y -++=都相切的一条切线方程___________.三、解答题15．已知△ABC 底边两端点(0,6)B 、(0,6)C -，若这个三角形另外两边所在直线的斜率之积为49-，求点A 的轨迹方程．16．已知1F 、2F 是椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥．若12PF F △的面积为9，求实数b 的值．17．已知圆C ：22120x y Dx Ey +++-=关于直线x ＋2y －4＝0对称，且圆心在y 轴上，求圆C 的标准方程．18．已知椭圆C ：22142x y +=，()0,1A ，过点A 的动直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点.(1)求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；(2)是否存在常数，使得AP AQ OP OQ λ⋅+⋅为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.参考答案：1．B【分析】根据圆的一般式变形为标准式，进而可得参数范围. 【详解】由2224100x y ax ay a ++--=， 得()()2222510x a y a a a ++-=+， 由该曲线表示圆， 可知25100a a +>， 解得0a >或2a <-， 故选：B. 2．C【分析】设抛物线方程为2x my =，代入点的坐标，即可求出m 的值，即可得解； 【详解】解：依题意设抛物线方程为2x my =，因为抛物线过点1,2， 所以()212m =⨯-，解得12m =-，所以抛物线方程为212=-x y ；故选：C 3．D【分析】根据两点坐标求出直线的斜率，结合直线倾斜角的范围即可得出结果. 【详解】由已知直线的斜率为 ()03tan 1018021k αα--===-≤<--，，所以倾斜角135α=． 故选：D. 4．B【分析】求出OA 和BO ，利用向量关系即可求出.【详解】因为()3,3,3A ，()6,6,6B ，则()3,3,3OA =，()6,6,6BO =---， 则3cos ,1OA BO OA BO OA BO⨯⋅<>===-⋅，所以OA 与BO 的夹角是π. 故选：B. 5．C【分析】先联立抛物线与圆求出A ，B 横坐标，再代入抛物线求出纵坐标即可求解.【详解】由对称性易得A ，B 横坐标相等且大于0，联立()222414y xx y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩得2230x x +-=，解得123,1x x =-=，则1A B x x ==，将1x =代入24y x =可得2y =±，则||4AB =. 故选：C. 6．A【分析】先根据焦点坐标求出m ，结合抛物线的定义可求答案. 【详解】因为抛物线2x my =焦点的坐标为()0,1，所以14m=，解得4m =． 记抛物线的准线为l ，作PN l ⊥于N ，作BAl 于A ，则由抛物线的定义得||||||||||3PB PF PB PN BA +=+=，当且仅当P 为BA 与抛物线的交点时，等号成立．故选：A. 7．B【分析】设2001,4P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，根据两点间距离公式，先求得P 到圆心的最小距离，根据圆的几何性质，即可得答案.【详解】设2001,4P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，圆化简为22(4)3x y +-=，即圆心为（0,4）所以点P 到圆心的距离d = 令20t x =，则0t ≥， 令21()1616f t t t =-+，0t ≥，为开口向上，对称轴为8t =的抛物线， 所以()f t 的最小值为()812f =，所以min d所以||PQ的最小值为min d =故选：B 8．D【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为()x y ，,则其关于点()1,1对称的点的坐标为(2,2)x y --,代入已知直线即可求得结果.【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为()x y ，,则其关于点()1,1对称的点的坐标为(2,2)x y --，以(2,2)x y --代换原直线方程中的(,)x y 得()()223260x y -+--=，即2340x y +-=.故选：D. 9．C【分析】根据椭圆的定义求得12,F B F B ，在1ABF 中，利用余弦定理求得22cos F AF ∠，在12AF F △中，再次利用余弦定理即可得解.【详解】解：由题意可得122F B F B a +=， 因为12:7:3F B F B =， 所以1273,55F B a F B a ==， 因为A 为椭圆的上顶点，所以12AF AF a ==，则85AB a =，在1ABF 中，22222211221644912525cos 82225a a a AF AB BF F AF AF ABa a +-+-∠===⨯⨯，在12AF F △中，122212121222cos F F AF AF A F A F A F F =+∠-， 即222224c a a a a =+-=，所以12c a =，即椭圆C 的离心率为12. 故选：C.10．A【分析】根据给定直线方程求出12l l ⊥的等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】依题意，12(4)(2)0l l m m m m ⊥⇔-++=，解得0m =或1m =，所以“1m =”是“直线1l ：()410m x my -++=与直线2l ：()220mx m y ++-=互相垂直”的充分不必要条件. 故选：A 11．4π##45︒ 【分析】根据直线方程可得各直线斜率，进而可得倾斜角之间的关系，从而得夹角. 【详解】直线2310x y -+=的斜率123k ，即倾斜角α满足2tan 3α=， 直线5100x y +-=的斜率215k =-，即倾斜角β满足1tan 5β=-，所以()12tan tan 53tan 1121tan tan 153βαβαβα----===-+⎛⎫+-⨯ ⎪⎝⎭， 所以34βαπ-=，又两直线夹角的范围为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以两直线夹角为4π，故答案为：4π. 12．【分析】将圆C 一般方程化为标准方程，先求圆心到直线的距离，再由圆的弦长公式即可解出k 的值.【详解】解：将2220x y x ++=化为标准式得()2211x y ++=，故半径为1；圆心()1,0-到直线y kx =，由弦长为1可得1=，解得k =故答案为：13．()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭． 【分析】方法一：设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；【详解】[方法一]：圆的一般方程依题意设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，（1）若过()0,0，()4,0，()1,1-，则01640110F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+-++=⎩，解得046F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22460x y x y +--=，即()()222313x y -+-=；（2）若过()0,0，()4,0，()4,2，则01640164420F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得042F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22420x y x y +--=，即()()22215x y -+-=；（3）若过()0,0，()4,2，()1,1-，则0110164420F D E F D E F =⎧⎪+-++=⎨⎪++++=⎩，解得083143F D E ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，所以圆的方程为22814033x y x y +--=，即224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（4）若过()1,1-，()4,0，()4,2，则1101640164420D E F D F D E F +-++=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得1651652F D E ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩，所以圆的方程为2216162055x y x y +---=，即()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；故答案为：()()222313x y -+-=或 ()()22215x y -+-=或 224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭． [方法二]：【最优解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心） 设()()()()0,04,01,14,2A B C D -点，，，（1）若圆过、、A B C 三点，圆心在直线2x =，设圆心坐标为(2,)a ，则()224913,a a a r +=+-⇒===22(2)(3)13x y -+-=； （2）若圆过A B D 、、三点， 设圆心坐标为(2,)a，则2244(2)1,a a a r +=+-⇒==22(2)(1)5x y -+-=；（3）若圆过 A C D 、、三点，则线段AC 的中垂线方程为1y x =+，线段AD 的中垂线方程 为25y x =-+，联立得47,33x y r ==⇒，所以圆的方程为224765()()339x y -+-=；（4）若圆过B C D 、、三点，则线段BD 的中垂线方程为1y =， 线段BC 中垂线方程为57y x =-，联立得813,155x y r ==⇒=，所以圆的方程为()228169()1525x -y +-=． 故答案为：()()222313x y -+-=或 ()()22215x y -+-=或 224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭． 【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．14．1y =或247250x y ++=或4350x y --=【分析】先判断两圆位置关系，再分情况依次求解可得.【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1；圆()()224316x y -++=的圆心为()4,3C -，半径为4，圆心距为5OC =，所以两圆外切，如图，有三条切线123,,l l l ， 易得切线1l 的方程为1y =，因为3l OC ⊥，且34OC k =-，所以343l k =，设34:3l y x b =+，即4330x y b -+=，则()0,0O 到3l 的距离315b =，解得53b =（舍去）或53-，所以343:50x y l --=，可知1l 和2l 关于3:4OC y x =-对称，联立341y x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭在2l 上， 在1l 上任取一点()0,1，设其关于OC 的对称点为()00,x y ， 则0000132421314y x y x +⎧=-⨯⎪⎪⎨-⎛⎫⎪⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得002425725x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则27124252447253l k --==--+，所以直线2244:173l y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即247250x y ++=， 综上，切线方程为1y =或247250x y ++=或4350x y --=. 故答案为：1y =或247250x y ++=或4350x y --=.15．()22108136x y x +=≠【分析】设(,)A x y ，利用斜率的两点式列方程并整理可得轨迹方程，注意0x ≠. 【详解】设(,)A x y 且0x ≠，则22663649AB ACy y y k k x x x -+-=⋅==-， 整理得：A 的轨迹方程()22108136x y x +=≠. 16．3b =【分析】由题意以及椭圆的几何性质列方程即可求解. 【详解】因为12PF PF ⊥，所以1290F PF ∠=︒， 所以12F PF △为直角三角形，22212(2)PF PF c +=，122PF PF a +=， ()2221212122PF PF PF PF PF PF +=+-⋅，即()()221212242c a PF PF =-⨯⋅， 1212192F PF S PF PF =⋅=△， 所以2244490c a =-⨯=，所以2449b =⨯．所以3b =； 综上，b =3.17．22(2)16x y +-=. 【分析】由题设知圆心(,)22D EC --，且在已知直线和y 轴上，列方程求参数D 、E ，写出一般方程，进而可得其标准方程. 【详解】由题意知：圆心(,)22D EC --在直线x ＋2y －4＝0上，即－2D －E －4＝0. 又圆心C 在y 轴上，所以－2D＝0. 由以上两式得：D ＝0, E ＝－4，则224120x y y +--=， 故圆C 的标准方程为22(2)16x y +-=.18．(1)2211222x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ (2)存在，1λ=【分析】(1)①当直线l 存在斜率时，设()11,P x y 、()22,Q x y 、()00,M x y ，00x ≠，利用点差法求解； ②当直线l 不存在斜率时，易知()0,0M ，验证即可；（2）①当直线l 存在斜率时，设直线l 的方程为：1y kx =+，与椭圆方程联立，结合韦达定理，利用数量积运算求解； ②当直线l 不存在斜率时，直线l 的方程为：0x =，易得(P、(0,Q ，验证即可.【详解】（1）解：①当直线l 存在斜率时，设()11,P x y 、()22,Q x y 、()00,M x y ，00x ≠，则应用点差法：22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式联立作差得：12121212()()()()042x x x x y y y y -+-++=， ∴()()()()121200121212121212002122PQ PQ PQ OM y y y y y y y y y y k k k k x x x x x x x x x x -+-+=⋅=⋅=⋅=⋅=--+-+， 又∵001PQ MA y k k x -==， ∴0000112y y x x -⋅=-，化简得22000220x y y +-=（00x ≠）， ②当直线l 不存在斜率时，()0,0M ，综上，无论直线是否有斜率，M 的轨迹方程为2211222x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；（2）①当直线l 存在斜率时，设直线l 的方程为：1y kx =+，联立221142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩并化简得：22(21)420k x kx ++-=，∴0∆>恒成立，∴122421k x x k +=-+，122221x x k ⋅=-+，又AP ()11,x k x =⋅，AQ ()22,x k x =⋅，OP ()11,1x k x =⋅+，OQ ()22,1x k x =⋅+，∴AP AQ OP OQ λ⋅+⋅()()()22121212111k x x k x x k x x λ=+⋅⋅++⋅⋅+++，()()()222222211222141212121k k k k k k λλλ-+++++=-+=-+++， 若使AP AQ OP OQ λ⋅+⋅为定值， 只需()222121λλ++=，即1λ=，其定值为3-， ②当直线l 不存在斜率时，直线l 的方程为：0x =，则有(P、(0,Q ， 又AP ()1=，AQ ()0,1=，OP (=，OQ (0,=， ∴2λλ⋅+⋅=--AP AQ OP OQ ，当1λ=时，AP AQ OP OQ λ⋅+⋅也为定值3-， 综上，无论直线是否有斜率，一定存在一个常数1λ=， 使AP AQ OP OQ λ⋅+⋅为定值3-.。
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直线和圆的方程一、知识导学1．两点间的距离公式:不论A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在坐标平面上什么位置，都有d=|AB|=221221)()(y y x x -+-，特别地，与坐标轴平行的线段的长|AB|=|x 2－x 1|或|AB|=|y 2-y 1|.2．定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x ，y )之间数量关系的一个公式，其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以A 为起点，B 为终点，P 为分点，则定比分点公式是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x .当P 点为AB 的中点时，λ=1，此时中点坐标公式是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x . 3．直线的倾斜角和斜率的关系（1）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.（2）斜率存在的直线，其斜率k 与倾斜角α之间的关系是k =tan α.4．确定直线方程需要有两个互相独立的条件。
直线方程的形式很多，但必须注意各种5．两条直线的夹角。
当两直线的斜率1k ,2k 都存在且1k ·2k ≠ -1时，tan θ=21121k k k k +-，当直线的斜率不存在时，可结合图形判断.另外还应注意到：“到角”公式与“夹角”公式的区别.6．怎么判断两直线是否平行或垂直？判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在，可以用斜率的关系来判断；若直线的斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断.（1）斜率存在且不重合的两条直线l 1∶11b x k y +=， l 2∶22b x k y +=，有以下结论： ①l 1∥l 2⇔1k =2k ，且ｂ1＝ｂ2 ②l 1⊥l 2⇔1k ·2k = -1（2）对于直线l 1∶0111=++C y B x A ，l 2 ∶0222=++C y B x A ，当A 1，A 2，B 1，B 2都不为零时，有以下结论：①l 1∥l 2⇔21A A =21B B ≠21C C②l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2 = 0 ③l 1与l 2相交⇔21A A ≠21B B ④l 1与l 2重合⇔21A A =21B B =21C C 7．点到直线的距离公式.（1）已知一点P （00,y x ）及一条直线l ：0=++C By Ax ，则点P 到直线l 的距离d =2200||BA C By Ax +++；（2）两平行直线l 1: 01=++C By Ax ， l 2: 02=++C By Ax 之间的距离d=2221||BA C C +-.8．确定圆方程需要有三个互相独立的条件。
圆的方程有两种形式，要知道两种形式之间的相互转化及相互联系（1）圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-，其中（a ，b ）是圆心坐标，r 是圆的半径；（2）圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （F E D 422-+＞0），圆心坐标为（-2D ，-2E ），半径为r =2422F E D -+.二、疑难知识导析1．直线与圆的位置关系的判定方法.（1）方法一 直线：0=++C By Ax ；圆：022=++++F Ey Dx y x .⎩⎨⎧=++++=++0022F Ey Dx y x C By Ax −−→−消元一元二次方程acb 42-=−−→−△判别式⎪⎩⎪⎨⎧⇔<⇔=⇔>相离△相切△相交△000 （2）方法二 直线: 0=++C By Ax ；圆：222)()(r b y a x =-+-，圆心（a ，b ）到直线的距离为 d=22||B A C Bb Aa +++−→−⎪⎩⎪⎨⎧⇔<⇔=⇔>相交相切相离r d r d r d2．两圆的位置关系的判定方法.设两圆圆心分别为O 1、O 2，半径分别为r 1，r 2，|O 1O 2|为圆心距，则两圆位置关系如下： |O 1O 2|>r 1+r 2⇔两圆外离； |O 1O 2|=r 1+r 2⇔两圆外切；| r 1-r 2|<|O 1O 2|<r 1+r 2⇔两圆相交； | O 1O 2 |=|r 1-r 2|⇔两圆内切； 0<| O 1O 2|<| r 1-r 2|⇔两圆内含. 三、经典例题导讲［例1］直线l 经过P （2,3）,且在x,y 轴上的截距相等,试求该直线方程. 错解：设直线方程为:1=+b y a x ,又过P(2,3),∴132=+ba ,求得a=5 ∴直线方程为x+y-5=0. 错因：直线方程的截距式: 1=+bya x 的条件是:a ≠0且b ≠0,本题忽略了0a b ==这一情形.正解：在原解的基础上,再补充这样的过程:当直线过(0,0)时,此时斜率为:230203=--=k , ∴直线方程为y=23x 综上可得:所求直线方程为x+y-5=0或y=23x . ［例2］已知动点P 到y 轴的距离的3倍等于它到点A(1,3)的距离的平方,求动点P 的轨迹方程.错解：设动点P 坐标为(x,y).由已知3,)3()1(22-+-=y x x 化简3x =x 2-2x+1+y 2-6y+9 .当x ≥0时得x 2-5x+y 2-6y+10=0 . ①当x ＜0时得x 2+ x+y 2-6y+10=0 . ②错因：上述过程清楚点到y 轴距离的意义及两点间距离公式,并且正确应用绝对值定义将方程分类化简,但进一步研究化简后的两个方程,配方后得 (x-52 )2+(y-3)2 = 214 ① 和 (x+12 )2+(y-3)2= - 34 ② 两个平方数之和不可能为负数,故方程②的情况不会出现.正解： 接前面的过程,∵方程①化为(x-52 )2+(y-3)2 = 214 ,方程②化为(x+12 )2+(y-3)2= -34 ,由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点P 的轨迹方程为: (x-52 )2+(y-3)2= 214 (x ≥0)［例3］m 是什么数时，关于x,y 的方程（2m 2+m-1）x 2+（m 2-m+2）y 2+m+2=0的图象表示一个圆？错解：欲使方程Ax 2+Cy 2+F=0表示一个圆，只要A=C ≠0，得2m 2+m-1=m 2-m+2，即m 2+2m-3=0，解得m 1=1，m 2=-3，∴当m=1或m=-3时，x 2和y 2项的系数相等，这时，原方程的图象表示一个圆错因：A=C ，是Ax 2+Cy 2+F=0表示圆的必要条件，而非充要条件，其充要条件是：A=C ≠0且FA＜0.正解：欲使方程Ax 2+Cy 2+F=0表示一个圆，只要A=C ≠0，得2m 2+m-1=m 2-m+2，即m 2+2m-3=0，解得m 1=1，m 2=-3，(1) 当m=1时，方程为2x 2+2y 2=-3不合题意，舍去.(2) 当m=-3时，方程为14x 2+14y 2=1,即x 2+y 2=114,原方程的图形表示圆.［例4］自点A(-3，3)发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2-4x-4y+7＝0相切，求光线L 所在的直线方程.错解：设反射光线为L ′,由于L 和L ′关于x 轴对称，L 过点A(-3，3)，点A 关于x 轴的对称点A ′(-3，-3)，于是L ′过A(-3，-3).设L ′的斜率为k ，则L ′的方程为y-(-3)＝k ［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0，已知圆方程即(x-2)2+(y-2)2＝1，圆心O 的坐标为(2，2)，半径r ＝1 因L ′和已知圆相切，则O 到L ′的距离等于半径r ＝1即11k 5k 51k 3k 32k 222=+-=+-+-整理得12k 2-25k+12＝0解得k ＝34 L ′的方程为y+3＝34(x+3) 即4x-3y+3＝0 因L 和L ′关于x 轴对称故L 的方程为4x+3y+3＝0. 错因：漏解正解：设反射光线为L ′,由于L 和L ′关于x 轴对称，L 过点A(-3，3)，点A 关于x 轴的对称点A ′(-3，-3)， 于是L ′过A(-3，-3).设L ′的斜率为k ，则L ′的方程为y-(-3)＝k ［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0，已知圆方程即(x-2)2+(y-2)2＝1，圆心O 的坐标为(2，2)，半径r ＝1 因L ′和已知圆相切，则O 到L ′的距离等于半径r ＝1即11k 5k 51k 3k 32k 222=+-=+-+-整理得12k 2-25k+12＝0解得k ＝34或k ＝43 L ′的方程为y+3＝34(x+3);或y+3＝43(x+3)。
即4x-3y+3＝0或3x-4y-3＝0因L 和L ′关于x 轴对称故L 的方程为4x+3y+3＝0或3x+4y-3＝0.［例5］求过直线042=+-y x 和圆014222=+-++y x y x 的交点，且满足下列条件之一的圆的方程： （1） 过原点；（2）有最小面积.解：设所求圆的方程是：()04214222=+-++-++y x y x y x λ即：()()04122222=+++-+++λλλy x y x（1）因为圆过原点，所以041=+λ，即41-=λ 故所求圆的方程为：0274722=-++y x y x . （2） 将圆系方程化为标准式，有： 当其半径最小时，圆的面积最小，此时52-=λ为所求. 故满足条件的圆的方程是54585422=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x .点评：（1）直线和圆相交问题，这里应用了曲线系方程，这种解法比较方便；当然也可以待定系数法。
（2）面积最小时即圆半径最小。
也可用几何意义，即直线与相交弦为直径时圆面积最小.［例6］（06年辽宁理科）已知点A(11,y x )，B(22,y x )（21x x ≠0）是抛物线)0(22>=p px y 上的两个动点，O 是坐标原点，向量,满足｜+｜＝｜-｜.设圆C 的方程为0)()(212122=+-+-+y y y x x x y x （1）证明线段AB 是圆C 的直径；（2）当圆C 的圆心到直线02=-y x 的距离的最小值为552时，求p 的值. 解：（1）证明 ∵｜+｜＝｜-｜，∴（+）2＝（-）2， 整理得：⋅＝0 ∴21x x ＋21y y ＝0设M （y x ,）是以线段AB 为直径的圆上的任意一点，则⋅＝0即 ))((21x x x x --＋))((21y y y y --＝0 整理得：0)()(212122=+-+-+y y y x x x y x 故线段AB 是圆C 的直径.（2）设圆C 的圆心为C （y x ,），则 ∵1212px y =，)0(2222>=p px y∴22221214py y x x =又∵21x x ＋21y y ＝0 ，21x x ＝－21y y∴－21y y 222214py y =∵21x x ≠0，∴21y y ≠0 ∴21y y ＝－42p＝)2(122p y p+ 所以圆心的轨迹方程为222p px y -= 设圆心C 到直线02=-y x 的距离为ｄ，则＝pp p y y p y py x 5|)(|5|2)2(1|5|2|2222+-=-+=-当y ＝p 时，ｄ有最小值5p ，由题设得5p ＝552 ∴p ＝2.四、典型习题导练1．直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为 （ ）A.π6 B.π4 C.π3 D.π22.已知直线x=a(a ＞0)和圆(x-1)2+y 2=4相切 ，那么a 的值是( )A.5B.4C.3D.23. 如果实数x 、y 满足等式(x-2)2+y 2＝３，则xy的最大值为： . 4.设正方形ABCD （A 、B 、C 、D 顺时针排列）的外接圆方程为x 2+y 2-6x+a=0（a<9），C 、D 点所在直线l 的斜率为31. （1）求外接圆圆心M 点的坐标及正方形对角线AC 、BD 的斜率；（2）如果在x 轴上方的A 、B 两点在一条以原点为顶点，以x 轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l 的方程；（3）如果ABCD 的外接圆半径为25，在x 轴上方的A 、B 两点在一条以x 轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l 的方程.5.如图，已知圆C ：（x+4）2+y 2=4。