高中数学双曲线抛物线知识点的总结

双曲线

平面内到两个定点,

的距离之差的绝对值是常数2a(2a<

)的点的轨迹。

考点

题型一 求双曲线的标准方程

1、给出渐近线方程n y x m =±的双曲线方程可设为22

22(0)x y m n

λλ-=≠，与双曲线

2222

1x y a b -=共渐近线的方程可设为22

22(0)x y a b λλ-=≠。

2、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。

【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。

（1） 虚轴长为12，离心率为

54

； （2） 焦距为26，且经过点M （0，12）；

（3） 与双曲线

22

1916

x y -=有公共渐进线，且经过点(3,A -。

解：（1）设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22

221y x a b

-=(0,0)a b >>。

由题意知，2b=12，c e a ==54

。 ∴b=6，c=10，a=8。

∴标准方程为236164x -=或22

16436

y x -=。 （2）∵双曲线经过点M （0，12），

∴M （0，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a=12。

又2c=26，∴c=13。∴2

2

2

144b c a =-=。

∴标准方程为

22

114425

y x -=。

（3）设双曲线的方程为22

22x y a b λ

-=

(

3,A -在双曲线上

∴(2

2

3

1916

-= 得1

4

λ=

所以双曲线方程为22

4194

x y -= 题型二 双曲线的几何性质

方法思路：解决双曲线的性质问题，关键是找好体重的等量关系，特别是e 、a 、b 、c 四者的关系，构造出c e a

=

和222

c a b =+的关系式。 【例2】双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的焦距为2c ，直线l 过点（a ，0）和（0，b ），且

点（1，0）到直线l 的距离与点（-1，0）到直线l 的距离之和s ≥4

5

c 。求双曲线的离心率e 的取值范围。 解：直线l 的方程为

1x y

a b

-=，级bx+ay-ab=0。 由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点（1，0）到直线l 的距离

1d =

，

同理得到点（-1，0）到直线l 的距离

2d =

122ab

s d d c

=+=

=

。 由s ≥

45c ，得2ab c

≥45c

，即252c ≥。

于是得22e ，即4

2

425250e e -+≤。 解不等式，得

2554e ≤≤。由于e ＞1＞0，所以e

e ≤≤ 【例3】设F 1、F 2分别是双曲线22

221x y a b

-=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使

1290F AF ∠=，且︱AF 1︱=3︱AF 2︱，求双曲线的离心率。

解：∵1290F AF ∠= ∴2

2

212

4AF AF c +=

又︱AF 1︱=3︱AF 2︱，

∴12222AF AF AF a -==即2AF a =， ∴2

2

222

2212222910104AF AF AF AF AF a c +=+===，

∴

2

c a ==

即2e =。 题型三 直线与双曲线的位置关系

方法思路：1、研究双曲线与直线的位置关系，一般通过把直线方程与双曲线方程组成方程组，即22

2

2

22

0Ax By C b x a y a b

++=⎧⎨

-=⎩，对解的个数进行讨论，但必须注意直线与双曲线有一个公共

点和相切不是等价的。

2、直线与双曲线相交所截得的弦长：

2121l x x y y =-=- 【例4】如图，

已知两定点12(F F ，满足条件

212PF PF -=的点P 的轨迹是曲线E ，直线y=kx-1与曲线E 交于A 、B

两点，如果AB =，且曲线E 上存在点C ，

使OA OB mOC +=，求 （1）曲线E 的方程； （2）直线AB 的方程；

（3）m 的值和△ABC 的面积S 。 解：由双曲线的定义可知，

曲线E

是以12(F F 为焦点的双曲线的左支，

且c =

a=1

，易知1b ==。

故直线E 的方程为221(0)x y x -=<， (2)设11A(x ,y ), 22B(x ,y ),

由题意建立方程组22y=kx-1

x -y =1

⎧⎨⎩消去y ，得22(1)220k x kx -+-=。

又已知直线与双曲线左支交于两点A 、B ，有

222

12212210,(2)8(1)0,20,

12

0.1k k k k x x k x x k ⎧-≠⎪=+->⎪⎪

-⎨+=<-⎪

⎪-=

>⎪-⎩

解得1k <-。 又∵

12AB x x =-=

==

依题意得=，整理后得42

2855250k k -+=， ∴2

57k =

或2

54

k =。

但1k <<-，

∴2

k =。 故直线AB

10x y ++=。 （3）设(,)c c C x y ，由已知OA OB mOC +=，得1122(,)(,)(,)c c x y x y mx my +=，

∴1212

(,)(

,)(0)c c x x y y x y m m m

++=≠。

又122

21k x x k +==--212122222()22811

k y y k x x k k +=+-=-==--，