(完整版)高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案

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抛物线知识点汇总及考点例题

抛物线姓名：___________ 班级：________________ 得分：________________知识点回顾：1、定义：把平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹叫做，点F 叫做抛物线的 ,直线l 叫做抛物线的。

2、椭圆的简单几何性质3、抛物线焦点弦性质直线过抛物线px y 22=的焦点与抛物线交于()()2211,,,y x B y x A 两点（1）221221,4p y y p x x -== （2）)(sin 2221的倾斜角为直线AB p p x x AB αα=++= （3）PFB FA 211=+ （4）以弦AB 为直径的圆与准线相切考点一: 定义和标准方程[例1]设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点．(1) 求点P 到点A (－1,1) 的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2) 若B (3,2)，求 |PB |＋|PF | 的最小值．练习1：已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M （－3，m ）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值．归纳:运用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”。

考点二: 抛物线性质[例2] (2013·四川高考)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是_____________.练习1：抛物线214y x =-的焦点坐标是（）． A 1016⎛⎫ ⎪⎝⎭， B 1016⎛⎫-⎪⎝⎭， C (01)-，D (10)-，练习2：抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是（）A （1，1）B ．（） C ． D ．（2，4）归纳（1）关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．（2）技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解．考点三: 抛物线与直线[例3] (2012·福建高考)如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py ( p >0)上． (1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q .证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．2x y =042=--y x 41,21)49,23(练习1：已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B ，C 两点．当直线l 的斜率是12时，＝4 . (1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．课后练习：一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1、如果抛物线y 2=ax 的准线是直线x =-1，那么它的焦点坐标为（）A ．（1, 0）B ．（2, 0）C ．（3, 0）D ．（－1, 0）2、圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A ．x 2+ y 2-x -2 y -=0 B ．x 2+ y 2+x -2 y +1=0 C ．x 2+ y 2-x -2 y +1=0D ．x 2+ y 2-x -2 y +=0 3、一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m ，则水面宽为（）A ．mB ． 2mC ．4.5mD ．9m4、平面内过点A （-2，0），且与直线x =2相切的动圆圆心的轨迹方程是（）A ． y 2=－2xB ． y 2=－4xC ．y 2=－8xD ．y 2=－16x5、抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上点（-5，m ）到焦点距离是6，则抛物线的方程是（） A ． y 2=-2x B ． y 2=-4x C ． y 2=2x D ． y 2=-4x 或y 2=-36x6、过抛物线y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于A(x 1, y 1) ，B(x 2, y 2)两点，如果x 1+ x 2=6，那么|AB|=（） A ．8B ．10C ．6D ．47、把与抛物线y 2=4x 关于原点对称的曲线按向量a 平移，所得的曲线的方程是（）A ．B ．C ．D ．8、过点M （2，4）作与抛物线y 2=8x 只有一个公共点的直线l 有（） A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条9、过抛物线y =ax 2(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则等于（） A ．2aB ．C ．4aD ．414166)3,2(-=)2(4)3(2--=-x y )2(4)3(2+-=-x y )2(4)3(2--=+x y )2(4)3(2+-=+x y qp 11+a21a4二、解答题10、过抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作斜率分别为k 1，k 2的两条不同直线l 1，l 2，且k 1＋k 2＝2，l 1与E 相交于点A ，B ，l 2与E 相交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N (M ，N 为圆心)的公共弦所在直线记为l .(1)若k 1>0，k 2>0，证明： ·<2p 2； (2)若点M 到直线l 的距离的最小值为755，求抛物线E 的方程．11、(2013·广东高考)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值．12、已知直线y ＝－2上有一个动点Q ，过点Q 作直线l 1垂直于x 轴，动点P 在l 1上，且满足OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，记点P 的轨迹为C .(1)求曲线C 的方程；(2)若直线l 2是曲线C 的一条切线，当点(0,2)到直线l 2的距离最短时，求直线l 2的方程．。

高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案

一．直线与抛物线的位置关系直线，抛物线，，消y 得：（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当k ≠0时，Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0，直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）二．关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线l ：b kx y += 抛物线，)0( p① 联立方程法：⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22⇒0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0 ∆,以及2121,x x x x +，还可进一步求出bx x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 1. 相交弦AB 的弦长2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=ak ∆+=21 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+=ak ∆+=21 b. 中点),(00y x M , 2210x x x +=， 2210y y y += ② 点差法：设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得1212px y = 2222px y =将两式相减，可得)(2))((212121x x p y y y y -=+-2121212y y px x y y +=--a. 在涉及斜率问题时，212y y pk AB +=b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ，021*******y py p y y p x x y y ==+=--，即0y p k AB =，同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，则有px p x p x x k AB 0021222==+=（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）抛物线练习及答案1、已知点P 在抛物线y 2= 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为。

20XX高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案

-----------------------------------精品考试资料---------------------学资学习网-----------------------------------一．直线与抛物线的位置关系直线，抛物线，，消y得：（1）当k=0时，直线与抛物线的对称轴平行，有一个交点；时，）当k≠0（2，直线与抛物线相交，两个不同交点；0 Δ＞直线与抛物线相切，一个切点；Δ=0，，直线与抛物线相离，无公共点。

0Δ＜（3）（不一定）则直线与抛物线必相切吗?若直线与抛物线只有一个公共点,二．关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法抛物线，直线：①联立方程法：以及，还可进一步求出，，则有,设交点坐标为,在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如1.的弦长相交弦AB或，b. 中点,②点差法：，代入抛物线方程，得设交点坐标为，将两式相减，可得a.在涉及斜率问题时，b.，在涉及中点轨迹问题时，设线段的中点为，即，同理，对于抛物线，若直线与抛物线相交于两点，点是弦的中点，则有（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）抛物线练习及答案到抛物线焦点距离之）的距离与点P到点Q（2，－11、已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P1）。

（,－的坐标为和取得最小值时，点P到该抛物线准线的距离之和）的距离与PP到点（0，22、已知点P是抛物线上的一个动点，则点。

的最小值为、直线与抛物线交于两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，则梯形的面积3。

为。

4、设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为，垂足为，、抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，5。

则的面积是。

6、已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为。

、已知双曲线，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为7。

高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案

条性质11(,)A x y 22(,)B x y以AB 为直径的圆必及准线l 相切假设AB 的倾斜角为α，那么22sin pAB α=假设AB 的倾斜角为α，那么22cos pAB α=2124p x x = 212y y p =-112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p++===•• 切线方程00()y y p x x =+ 00()y y p x x =-+ 00()x x p y y =+ 00()x x p y y =-+一．直线及抛物线的位置关系直线，抛物线，，消y 得：〔1〕当0时，直线l 及抛物线的对称轴平行，有一个交点；〔2〕当k ≠0时，Δ＞0，直线l 及抛物线相交，两个不同交点； Δ=0，直线l 及抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 及抛物线相离，无公共点。

（3）假设直线及抛物线只有一个公共点,那么直线及抛物线必相切吗〔不肯定〕二．关于直线及抛物线的位置关系问题常用途理方法直线l ：b kx y += 抛物线，)0( p① 联立方程法：⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22⇒0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，那么有0 ∆,以及2121,x x x x +，还可进一步求出bx x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比方 1. 相交弦的弦长2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=ak ∆+=21 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+=ak ∆+=21b. 中点),(00y x M , 2210x x x +=， 2210y y y +=② 点差法：设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得1212px y = 2222px y =将两式相减，可得)(2))((212121x x p y y y y -=+-2121212y y px x y y +=--a. 在涉及斜率问题时，212y y pk AB +=b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ，021*******y py p y y p x x y y ==+=--，即0y pk AB =，同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，假设直线l 及抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，那么有px p x p x x k AB 0021222==+=〔留意能用这个公式的条件：1〕直线及抛物线有两个不同的交点，2〕直线的斜率存在，且不等于零〕抛物线练习及答案1、点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q 〔2，－1〕的间隔及点P 到抛物线焦点间隔之和获得最小值时，点P 的坐标为。

抛物线知识点归纳总结与经典习题

抛物线经典结论和例题抛物线)0(22>=p pxy)0(22>-=p pxy)0(22>=p pyx)0(22>-=p pyx定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。

{MFM=点M 到直线l 的距离}范围 0,x y R ≥∈0,x y R ≤∈,0x R y ∈≥,0x R y ∈≤对称性关于x 轴对称关于y 轴对称焦点(2p,0) (2p -,0) (0,2p ) (0,2p -) 焦点在对称轴上顶点 (0,0)O离心率 e =1准线方程 2p x -= 2p x =2p y -= 2p y =准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。

顶点到准2p xyO lFxyOl FlF x y Oxy O l F线的距离焦点到准线的距离p焦半径11(,)A x y12p AF x =+12p AF x =-+12p AF y =+12p AF y =-+焦点弦长AB12()x x p ++12()x x p -++12()y y p ++12()y y p -++焦点弦AB 的几条性质11(,)A x y 22(,)B x y以AB 为直径的圆必与准线l 相切若AB 的倾斜角为α，则22sin pAB α=若AB 的倾斜角为α，则22cos pAB α=2124p x x = 212y y p =-112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p++===∙∙ ox ()22,B x y Fy ()11,A x y切线方程 00()y y p x x =+ 00()y y p x x =-+ 00()x x p y y =+ 00()x x p y y =-+1. 直线与抛物线的位置关系直线，抛物线，，消y 得：（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当k ≠0时，Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0，直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。

高中抛物线知识点归纳总结与练习题(含答案)

则 AFK 的面积为
。
7、已知双曲线 x2 y2 1，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程 45
为
。
8、在平面直角坐标系 xoy 中，有一定点 A(2,1) ,若线段 OA 的垂直平分线过抛物线
y2 2 px( p 0) 焦点，则该抛物线的方程是
高中抛物线知识点归纳总结与练习题
y 2 2 px ( p 0)
抛
y l
物
线
OF x
y 2 2 px ( p 0)
y l
FO x
x 2 2 py ( p 0)
y
F
O
x
l
x 2 2 py ( p 0)
y l
O x
F
定义范围
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。
二．关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法
直线 l ： y kx b 抛物线
1 联立方程法：
y kx b

y
2

2
px
k 2x22源自kbp)x
b2

0
， ( p 0)
设交点坐标为 A(x1, y1) , B(x2, y2 ) ，则有 0 ,以及 x1 x2, x1x2 ，还可进一步求出
距离之和的最小值为
。
3、直线 y x 3 与抛物线 y2 4x 交于 A, B 两点，过 A, B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分
别为 P,Q ，则梯形 APQB 的面积为
。
4、设 O 是坐标原点， F 是抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点， A 是抛物线上的一点， FA 与 x 轴正

高中抛物线知识点归纳总结与练习题及标准答案

抛物线专题复习•直线与抛物线的位置关系，消y得：1）当k=0 时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当k丰0时，△>0,直线l与抛物线相交，两个不同交点；△=0,直线I与抛物线相切，一个切点；△v0，直线I与抛物线相离，无公共点。

3）若直线与抛物线只有一个公共点, 则直线与抛物线必相切吗?（不一定）．关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线I : y kx b 抛物线，(p 0)联立方程法：y kx b 2 2 22k x 2(kb p)x b 0y 2px设交点坐标为A(x「y i) , B(x2,y2),则有0 ,以及为X2,%X2 ,还可进一步求出2 2y y2kx.( b kx2 b k(x1x2) 2b，y1 y2(kx1b)(kx2b) k X j X2kb(X j x2) b在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如相交弦AB 的弦长AB v 1 k 2|% x 2| 』k 2x 2)2 4x 1x 2 4l __k 2或 AB y 1 召 y i y 2抛物线练习1、已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q (2，— 1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为 ___________2、已知点P 是抛物线y 2 2x 上的一个动点，则点 P 到点(0，2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ___________23、直线y x 3与抛物线y 4x 交于A, B 两点，过代B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 P,Q ，则梯形APQB 的面积为 __________2 ULWo4、设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2 2px(p 0)的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60°， uuu 则OA 为 ___________5、抛物线y 2 4x 的焦点为F ,准线为I ,经过F 且斜率为 3的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A ，1「2心1 y 2)2 4y 』2ki 2 a.5AK 丄l ，垂足为K ,则△ AKF 的面积是 ______________6、已知抛物线C: y 2 8x 的焦点为F ,准线与x 轴的交点为K ,点A 在C 上且AK| J 2|AF |，贝U AFK的面积为 ___________2 27、已知双曲线 —1，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为4 52&在平面直角坐标系 xoy 中，有一定点 A(2,1)，若线段0A 的垂直平分线过抛物线 y 2 px( p 0)则该抛物线的方程是 ___________ 。

高中抛物线知识点归纳总结与练习题与答案

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）二．关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线l ：b kx y += 抛物线，)0( p① 联立方程法：⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22⇒0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0 ∆,以及2121,x x x x +，还可进一步求出bx x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 1. 相交弦AB 的弦长2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=ak ∆+=21 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+=ak ∆+=21 b. 中点),(00y x M , 2210x x x +=， 2210y y y += ② 点差法：设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得1212px y = 2222px y =将两式相减，可得)(2))((212121x x p y y y y -=+-2121212y y px x y y +=--a. 在涉及斜率问题时，212y y pk AB +=b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ，021*******y py p y y p x x y y ==+=--，即0y p k AB =，同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，则有px p x p x x k AB 0021222==+=（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）抛物线练习及答案1、已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为。

(完整版)抛物线知识点归纳总结

引言：抛物线是高中数学中重要的曲线之一，具有许多重要的性质和应用。

本文将对抛物线的知识点进行归纳总结，包括抛物线的定义、性质、方程、焦点、准线等。

通过深入理解抛物线的相关概念和性质，读者将能够更好地应用抛物线解决实际问题。

概述：抛物线是一种特殊的曲线，其形状呈现出两侧对称且开口向上或向下的特点。

具体而言，抛物线由一条称为准线的直线和一个称为焦点的特殊点确定。

正文内容：1.抛物线的定义：抛物线是所有到一个定点（焦点）与到一条直线（准线）的距离相等的点的集合。

抛物线也可以通过平面上点的坐标表示，而其坐标满足经典的二次方程形式。

抛物线具有一条对称轴，该对称轴是准线与焦点所在直线的垂直平分线。

2.抛物线的性质：对称性：抛物线是关于对称轴对称的，即对称轴上任意一点关于对称轴上的另一点的坐标对称。

单调性：抛物线开口朝上时，在对称轴上坐标递增；开口朝下时，在对称轴上坐标递减。

切线性质：抛物线上任意一点的切线与焦点到该点的连线垂直，这是抛物线独有的性质。

定理一：抛物线上两个焦点到准线的距离之和等于焦距的两倍。

定理二：抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。

3.抛物线的方程：标准形式：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为实常数，且a≠0。

顶点形式：y=a(xh)^2+k，其中a、h、k为实常数，且a≠0，(h,k)为抛物线的顶点坐标。

焦点形式：4a(yk)=(xh)^2，其中a、h、k为实常数，且a≠0，(h,k)为抛物线的顶点坐标。

4.抛物线的焦点和准线：焦点：抛物线的焦点是准线上一个固定的点，与抛物线的形状和方程相关。

焦距：焦距是焦点到准线的距离，等于焦点到对称轴的距离。

准线：准线是与抛物线的形状和焦点相关的一条直线，与对称轴平行且到焦点的距离等于焦距。

5.抛物线的应用：物理学中的自由落体：抛物线可以用来描述自由落体运动的轨迹，例如抛体的抛射问题。

工程学中的抛物面反射器：抛物面反射器可以将光线从一个点集中集中到另一个点上，常用于太阳能聚焦等应用。

抛物线练习题带答案,知识点总结(基础版)

抛物线重难点复习一．知识点总结2.,,C F p M C 焦抛物线的焦点为为是准距上的点min ;.2pMF OF MF MF p ===(1)(2)若与对称轴垂直，则2000(,)2(0)23p M x y y px p MF x =>=±+±若是抛物线上的点则() 2000(,)224p P x y x py PF y =±=±+若是抛物线上的(点，则) (5).()(90)1cos s ()1co p MF MF pp or MF p MF MF θθθθ≥≤-+==≤ 若与抛物线的为则夹角，对称轴1)2MF MF MF 以为直径的圆与坐标轴相切(的中点到坐标轴的距离为(6)1122(,)(,),.F l A x y B x y l k θ3.过焦点的直线交抛物线于点、，记直线的斜率为倾斜角为221222:2,(),sin 2sin AOB p p C y px AB x x p S θθ∆==++==（1）若抛物线则221222:2,()cos 2cos AOB p p C x py AB y y p S θθ∆==++==（2）若抛物线则， 222222121212124:2,,;:2,,44p p C y px y y p x x C x py x x p y y ==-===-=（）若抛物线则若抛物线则112(3)2();p AF BF p+=通焦点弦的最径小值为 (5)以AB 为直径的圆与准线相切12MN AB ⎛⎫=⎪⎝⎭（6）以CD 为直径的圆与AB 相切与焦点F1．已知抛物线22(0)y px p =>上横坐标为 3 的点到其焦点的距离为 4，则p =________. 【答案】2【解析】抛物线y 2=2px （p ＞0， ∵抛物线y 2=2px （p ＞04，∴p=2.故答案为2.2．已知F 是抛物线y 2=2x 的焦点，A ,B 是该抛物线上的两点，|AF |+|BF |=11，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】∵F 是抛物线y 2=2x 的焦点∴F (12,0) ,准线方程x =−12，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)∴|AF |+|BF |=x 1+1+x 2+1=11x 1+x 2=10,∴线段AB 的中点横坐标为5∴线段AB 5，所以B 选项是正确的.3．已知抛物线C ：的焦点为F ，()00A x y ，是C 上一点，则0x =（）A. 2B. 2±C. 4D. 4± 【答案】D【解析】28x y =，如图，由抛物线的几何意义，可知0022AF Al y y ===+，所以02y =，所以04x =±，故选D 。

抛物线练习题带答案,知识点总结(提高版)

抛物线重难点复习一．知识点总结2.,,C F p M C 焦抛物线的焦点为为是准距上的点min ;.2pMF OF MF MF p ===(1)(2)若与对称轴垂直，则2000(,)2(0)23p M x y y px p MF x =>=±+±若是抛物线上的点则() 2000(,)224p P x y x py PF y =±=±+若是抛物线上的(点，则) (5).()(90)1cos s ()1co p MF MF pp or MF p MF MF θθθθ≥≤-+==≤若与抛物线的为则夹角，对称轴1)2MF MF MF 以为直径的圆与坐标轴相切(的中点到坐标轴的距离为(6)1122(,)(,),.F l A x y B x y l k θ3.过焦点的直线交抛物线于点、，记直线的斜率为倾斜角为221222:2,(),sin 2sin AOB p p C y px AB x x p S θθ∆==++==（1）若抛物线则 221222:2,()cos 2cos AOB p p C x py AB y y p S θθ∆==++==（2）若抛物线则，112(3)2();p AF BF p+=通焦点弦的最径小值为222222121212124:2,,;:2,,44p p C y px y y p x x C x py x x p y y ==-===-=（）若抛物线则若抛物线则 (5)以AB 为直径的圆与准线相切12MN AB ⎛⎫=⎪⎝⎭标准方程22(0)y px p => 22(0)y px p =-> 22(0)x py p => 22(0)x py p =>图形焦点坐标 (,0)2p (,0)2p -(0,)2p(0,)2p -准线方程 2p x =-2p x =2p y =-2p y =范围 0x ≥ 0x ≤ 0y ≥0y ≤对称性 x 轴x 轴y 轴 y 轴顶点 (0,0)(0,0)(0,0)(0,0)离心率 1e =1e =1e =1e =通径2p（6）以CD 为直径的圆与AB 相切与焦点F1．已知抛物线C ： 2x的焦点为F ， ()00A x y ，是C 上一点，则0x =（）A. 2B. 2±C. 4D. 4± 【答案】D【解析】28x y =，如图，由抛物线的几何意义，可知0022AF Al y y ===+，所以02y =，。

高中抛物线知识点归纳总结与练习题与答案

直线与抛物线的位置关系直线■:、•二，抛物线「占八y =hr+J<，=2丹消y得.+2(肪-p)x+护二0(1) 当k=0时，直线I与抛物线的对称轴平行，有一个交点；(2) 当k M 0 时，△>0,直线I与抛物线相交，两个不同交点；△=0,直线I与抛物线相切，一个切点；△v0，直线I与抛物线相离，无公共点。

(3) 若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线必相切吗？(不一定)-------- •- •关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线1:kx b 抛物线- 丁芒八，(p ' 0)①联立方程法：y =kx +b 2 2 2:2二k2x2+2(kb — p)x+b2 =0y =2px设交点坐标为Ad-yJ, BX M)，则有:'0 ,以及x「，还可进一步求出y 1 y 2 二 kx i b kx 2 b = k(x 1 x 2) 2b2 2y 1y 2 =(kx b)(kx 2 b) = k X j X 2 kb(x-i x 2) b在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 1. 相交弦AB 的弦长AB| = J i +冏为—x 2| = J l + k 2 J% +x 2)2 —4X J X 2 = J l + k 2-p I 9!1 2 - 2+■^2^ (y i + y 2)—4y i y 2 =H 1 + kb. 中点 M （X 0,yo ）, X 0 二宁②点差法：设交点坐标为A （X 1，yJ ，B （X 2,y 2），代入抛物线方程，得2 2 y 12px 1y 2 2px 2将两式相减，可得（% -丫2）（% y 2）=2卩（％ -X 2）y 1 -y 2 _ 2p X 1 -X 2 y 1 y 2屮-七 _ 2p _ 2p _ p 捲一X 2y 1 y 22 y y °同理，对于抛物线X 2 =2py （p=0），若直线l 与抛物线相交于A 、是弦AB 的中点，则有k AB 二凶」二空0 =些2p 2p p（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点, 在，且不等于零）a.在涉及斜率问题时,k AB2p y 1 y 2b.在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为 M （x o ，y o ），B 两点，点 M (X o , y o ) 2）直线的斜率存AB =、：i +^卜1 _y2 =抛物线练习及答案21已知点P 在抛物线y = 4x 上，那么点P 到点Q (2, - 1)的距离与点 P 到抛物线焦点距离之1和取得最小值时，点 P 的坐标为。

高中数学抛物线经典性质的总结附精选提升训练练习题(含答案)

抛物线焦点弦长AB12()x x p ++12()x x p -++12()y y p ++12()y y p -++焦点弦AB 的几条性质11(,)A x y 22(,)B x y以AB 为直径的圆必与准线l 相切若AB 的倾斜角为α，则22sin p AB α=若AB 的倾斜角为α，则22cos pAB α= 2124p x x = 212y y p =-112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p++===•• 切线方程00()y y p x x =+ 00()y y p x x =-+ 00()x x p y y =+ 00()x x p y y =-+直线，抛物线，，消y 得：（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当k ≠0时，Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0，直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）（4）2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线l ：b kx y += 抛物线，)0(φp① 联立方程法：ox ()22,B x y Fy ()11,A x y⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22⇒0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0φ∆,以及2121,x x x x +，还可进一步求出bx x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB 的弦长2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=ak ∆+=21 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+=ak ∆+=21 b. 中点),(00y x M , 2210x x x +=， 2210y y y += ② 点差法：设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得1212px y = 2222px y =将两式相减，可得)(2))((212121x x p y y y y -=+-2121212y y px x y y +=--a. 在涉及斜率问题时，212y y pk AB +=b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ，021*******y py p y y p x x y y ==+=--，即0y p k AB =，同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，则有px p x p x x k AB 0021222==+=（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）一、抛物线的定义及其应用例1、设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点．(1)求点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2)若B (3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值．例2、(2011·山东高考)设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)二、抛物线的标准方程和几何性质例3、抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，经过F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，交准线于C 点，点A 在x 轴上方，AK ⊥l ，垂足为K ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝4，则△AKF 的面积是 ( ) A ．4 B ．3 3 C ．4 3D ．8例4、过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线l于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3则此抛物线的方程为 ( ) A ．y 2＝32x B ．y 2＝9x C ．y 2＝92x D ．y 2＝3x三、抛物线的综合问题例5、(2011·江西高考)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9. (1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC u u u r ＝ OA u uu r ＋λOB u u u r ，求λ的值．例6、(2011·湖南高考)(13分)已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD u u u r ·EB u u ur 的最小值例7、已知点M (1，y )在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上，M 点到抛物线C 的焦点F 的距离为2，直线l ：y ＝－12x ＋b 与抛物线C 交于A ，B 两点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若以AB 为直径的圆与x 轴相切，求该圆的方程．练习题1．已知抛物线x 2＝ay 的焦点恰好为双曲线y 2－x 2＝2的上焦点，则a 等于 ( )A ．1B ．4C ．8D ．162．抛物线y ＝－4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 ( )A ．－1716B ．－1516 C.716D.15163．(2011·辽宁高考)已知F 是拋物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该拋物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ( ) A.34B ．1 C.54D.744．已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是 ( )A ．相离B ．相交C ．相切D ．不确定5．(2012·宜宾检测)已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，过F 且斜率为1的直线交抛物线于A 、B两点，则||FA |－|FB ||的值等于 ( ) A ．4 2B ．8C ．8 2D ．166．在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是 ( )A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2)7．(2011·陕西高考)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是 ( )A ．y 2＝－8xB ．y 2＝8xC ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x 8．(2012·永州模拟)以抛物线x 2＝16y 的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．9．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，抛物线上一点Q (－3，m )到焦点的距离是5，则抛物线的方程为________．10．已知抛物线y 2＝4x 与直线2x ＋y －4＝0相交于A 、B 两点，抛物线的焦点为F ，那么| FA u u u r | ＋| FB u u u r| ＝________.11．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2， y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，那么 |AB |等于________ 12．根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点是双曲线 16x 2－9y 2＝144的左顶点； (2)过点P (2，－4)．13．已知点A (－1,0)，B (1，－1)，抛物线C ：y 2＝4x ，O 为坐标原点，过点A的动直线l 交抛物线C 于M ，P 两点，直线MB 交抛物线C 于另一点Q .若向量OMu u u u r与OP u u u r 的夹角为π4，求△POM 的面积．参考答案：一、抛物线的定义及其应用例1、(1)如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线是x ＝－1.由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．显然，连结AF 交曲线于P 点，则所求的最小值为|AF |，即为 5.(2)如图，自点B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |.则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4.即|PB |＋|PF |的最小值为4.例2、解析：圆心到抛物线准线的距离为p ，即p ＝4，根据已知只要|FM |>4即可．根据抛物线定|FM |＝y 0＋2由y 0＋2>4，解得y 0>2，故y 0的取值范围是(2，＋∞)．二、抛物线的标准方程和几何性质例3、设点A (x 1，y 1)，其中y 1>0.由点B 作抛物线的准线的垂线，垂足为B 1.则有 |BF |＝|BB 1|；又|CB |＝2|FB |，因此有|CB |＝2|BB 1|，cos ∠CBB 1＝|BB 1||BC |＝12，∠CBB 1＝π3.即直线AB 与x 轴的夹角为π3.又|AF |＝|AK |＝x 1＋p2＝4，因此y 1＝4sin π3＝23，因此△AKF 的面积等于12|AK |·y 1＝12×4×23＝4 3.例4．分别过点A 、B 作AA 1、BB 1垂直于l ，且垂足分别为A 1、B 1，由已知条件|BC |＝2|BF |得|BC |＝2|BB 1|，∴∠BCB 1＝30°，又|AA 1|＝|AF |＝3，∴|AC |＝2|AA 1|＝6，∴|CF |＝|AC |－|AF |＝6－3＝3，∴F 为线段AC 的中点．故点F 到准线的距离为p ＝12|AA 1|＝32，故抛物线的方程为y 2＝3x .三、抛物线的综合问题例5、(1)直线AB 的方程是y ＝22(x －p2)，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px＋p 2＝0，所以：x 1＋x 2＝5p4，由抛物线定义得：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)；设 OC u u u r＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)．又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)．即(2λ－1)2＝4λ＋1.解得λ＝0，或λ＝2. 例6、 (1)设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有x －12＋y 2－|x |＝1.化简得y 2＝2x ＋2|x |. 当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0.所以，动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0(x <0)． (2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎨⎧y ＝k x －1y 2＝4x，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. (7分)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4k2，x 1x 2＝1. (8分)因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1k. 设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1. ＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)·(x 4＋1)＝ x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1 (11分) ＝1＋(2＋4k2)＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1＝8＋4(k 2＋1k2)≥8＋4×2k 2·1k2＝16.当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时， AD u u u r ·EB u u u r取最小值16.例7 、(1)抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2，由抛物线定义和已知条件可知|MF |＝1－(－p 2)＝1＋p2＝2，解得p ＝2, 故所求抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)联立⎩⎨⎧y ＝－12x ＋b ，y 2＝4x消去x 并化简整理得y 2＋8y －8b ＝0.依题意应有Δ＝64＋32b >0，解得b >－2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－8，y 1y 2＝－8b ，设圆心Q (x 0，y 0)，则应用x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22＝－4.因为以AB 为直径的圆与x 轴相切，所以圆的半径为r ＝|y 0|＝4. 又|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋4y 1－y 22＝5[y 1＋y 22－4y 1y 2]＝564＋32b所以|AB |＝2r ＝564＋32b＝8，解得b ＝－85.所以x 1＋x 2＝2b －2y 1＋2b －2y 2＝4b ＋16＝485，则圆心Q 的坐标为(245，－4)．故所求圆的方程为(x －245)2＋(y ＋4)2＝16. 练习题：1．C ．解析：根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0，a4)，双曲线的上焦点为(0,2)，依题意则有a4＝2解得a ＝8.2．B ．解析：抛物线方程可化为x 2＝－y 4，其准线方程为y ＝116.设M (x 0，y 0)，则由抛物线的定义，可知116－y 0＝1⇒y 0＝－1516. 3．C ．解析：根据拋物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为：12(|AF |＋|BF |)－14＝32－14＝54.4．C ．解析：设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影，则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，于是M 到l 的距离d ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |＝半径，故相切．5．C ．解析：依题意F (2,0)，所以直线方程为y ＝x －2由⎩⎨⎧y ＝x －2，y 2＝8x，消去y 得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则||FA |－|FB ||＝|(x 1＋2)－(x 2＋2)|＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝144－16＝8 2.6．B ．解析：如图所示，直线l 为抛物线y ＝2x 2的准线，F 为其焦点，PN ⊥l ，AN 1⊥l ，由抛物线的定义知，|PF |＝|PN |，∴|AP |＋|PF |＝|AP |＋|PN |≥|AN 1|，当且仅当A 、P 、N 三点共线时取等号．∴P 点的横坐标与A 点的横坐标相同即为1，则可排除A 、C 、D.答案：B 7．B ．解析：由准线方程x ＝－2，可知抛物线为焦点在x 轴正，半轴上的标准方程，同时得p ＝4，所以标准方程为 y 2＝2px ＝8x8．解析：抛物线的焦点为F (0,4)，准线为y ＝－4，则圆心为(0,4)，半径r ＝8. 所以，圆的方程为x 2＋(y －4)2＝64.9．解析：设抛物线方程为x 2＝ay (a ≠0)，则准线为y ＝－a4.∵Q (－3，m )在抛物线上，∴9＝am .而点Q 到焦点的距离等于点Q 到准线的距离，∴|m －(－a4)|＝5.将m ＝9a 代入，得|9a ＋a4|＝5，解得，a ＝±2，或a ＝±18，∴所求抛物线的方程为x 2＝±2y ，或x 2＝±18y . 10．解析：由⎩⎨⎧y 2＝4x 2x ＋y －4＝0，消去y ，得x 2－5x ＋4＝0(*)，方程(*)的两根为A 、B 两点的横坐标，故x 1＋x 2＝5，因为抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，所以| FA u u u r | ＋| FB u u u r | ＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝7 11．解析：因线段AB 过焦点F ，则|AB |＝|AF |＋|BF |.又由抛物线的定义知|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1，故|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8.12．解析：双曲线方程化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，则－p2＝－3，∴p ＝6，∴抛物线方程为y 2＝－12x .(2)由于P (2，－4)在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴，可设抛物线方程为y 2＝mx 或x 2＝ny ，代入P 点坐标求得m ＝8，n ＝－1， ∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或x 2＝－y . 13．解：设点M (y 214，y 1)，P (y 224，y 2)，∵P ，M ，A 三点共线， ∴k AM ＝k PM ，即y 1y214＋1＝y 1－y 2y 214－y 224，即y 1y 21＋4＝1y 1＋y 2，∴y 1y 2＝4. ∴ OM u u u u r · OP u u u r ＝y 214·y 224＋y 1y 2＝5.∵向量 OM u u u u r 与 OP u u u r 的夹角为π4，∴| OM u u u u r |·|OP u u u r |·cos π4＝5.∴S △POM ＝12| OM u u u u r | ·| OP u u u r | ·sin π4＝52.抛物线习题精选一、选择题 1．过抛物线焦点的直线与抛物线相交于，两点，若，在抛物线准线上的射影分别是，，则为（）．A ．45°B ．60°C ．90°D ．120° 2．过已知点且与抛物线只有一个公共点的直线有（）．A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 3．已知，是抛物线上两点，为坐标原点，若，且的垂心恰好是此抛物线的焦点，则直线的方程是（）．A ．B ．C ．D ． 4．若抛物线（）的弦PQ 中点为（），则弦的斜率为（）A ．B ．C ．D ．5．已知是抛物线的焦点弦，其坐标，满足，则直线的斜率是（）A．B．C．D．6．已知抛物线（）的焦点弦的两端点坐标分别为，，则的值一定等于（）A．4 B．－4 C．D．7．已知⊙的圆心在抛物线上，且⊙与轴及的准线相切，则⊙的方程是（）A．B．C．D．8．当时，关于的方程的实根的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个9．将直线左移1个单位，再下移2个单位后，它与抛物线仅有一个公共点，则实数的值等于（）A．－1 B．1 C．7 D．910．以抛物线（）的焦半径为直径的圆与轴位置关系为（）A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定11．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么长是（）A．10 B．8 C．6 D．412．过抛物线（）的焦点且垂直于轴的弦为，为抛物线顶点，则大小（）A．小于B．等于C．大于D．不能确定13．抛物线关于直线对称的曲线的顶点坐标是（）A．（0，0）B．（－2，－2）C．（2，2）D．（2，0）14．已知抛物线（）上有一点，它到焦点的距离为5，则的面积（为原点）为（）A．1 B．C．2 D．15．记定点与抛物线上的点之间的距离为，到此抛物线准线的距离为，则当取最小值时点的坐标为（）A．（0，0）B．C．（2，2）D．16．方程表示（）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆17．在上有一点，它到的距离与它到焦点的距离之和最小，则的坐标为（）A．（－2，8）B．（2，8）C．（－2，－8）D．（－2，8）18．设为过焦点的弦，则以为直径的圆与准线交点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．0或1或219．设，为抛物线上两点，则是过焦点的（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．不充分不必要20．抛物线垂点为（1，1），准线为，则顶点为（）A．B．C．D．21．与关于对称的抛物线是（）A．B．C．D．二、填空题1.顶点在原点，焦点在轴上且通径（过焦点和对称轴垂直的弦）长为6的抛物线方程是_________．2.抛物线顶点在原点，焦点在轴上，其通径的两端点与顶点连成的三角形面积为4，则此抛物线方程为_________．3．过点（0，－4）且与直线相切的圆的圆心的轨迹方程是_________．4．抛物线被点所平分的弦的直线方程为_________．5．已知抛物线的弦过定点（－2，0），则弦中点的轨迹方程是________．6．顶点在原点、焦点在轴上、截直线所得弦长为的抛物线方程为____________．7．已知直线与抛物线交于、两点，那么线段的中点坐标是__ _．8．一条直线经过抛物线（）的焦点与抛物线交于、两点，过、点分别向准线引垂线、，垂足为、，如果，，为的中点，则 =__________．9．是抛物线的一条焦点弦，若抛物线，，则的中点到直线的距离为_________．10．抛物线上到直线的距离最近的点的坐标是____________．11．抛物线上到直线距离最短的点的坐标为__________．12．已知圆与抛物线（）的准线相切，则 =________．13．过（）的焦点的弦为，为坐标原点，则=________．14．抛物线上一点到焦点的距离为3，则点的纵坐标为__________．15．已知抛物线（），它的顶点在直线上，则的值为__________．16．过抛物线的焦点作一条倾斜角为的弦，若弦长不超过8，则的范围是________．17．已知抛物线与椭圆有四个交点，这四个交点共圆，则该圆的方程为__________．18．抛物线的焦点为，准线交轴于，过抛物线上一点作于，则梯形的面积为_______________．19．探照灯的反射镜的纵断面是抛物线的一部分，安装灯源的位置在抛物线的焦点处，如果到灯口平面的距离恰好等于灯口的半径，已知灯口的半径为30cm，那么灯深为_________．三、解答题1．知抛物线截直线所得的弦长，试在轴上求一点，使的面积为392．若的焦点弦长为5，求焦点弦所在直线方程3．已知是以原点为直角顶点的抛物线（）的内接直角三角形，求面积的最小值．4．若，为抛物线的焦点，为抛物线上任意一点，求的最小值及取得最小值时的的坐标．5．一抛物线拱桥跨度为52米，拱顶离水面6.5米，一竹排上一宽4米，高6米的大木箱，问能否安全通过．6．抛物线以轴为准线，且过点，（）求证不论点的位置如何变化，抛物线顶点的轨迹是椭圆，且离心率为定值．7．已知抛物线（）的焦点为，以为圆心，为半径，在轴上方画半圆，设抛物线与半圆交于不同的两点、，为线段的中点．①求的值；②是否存在这样的，使、、成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．8．求抛物线和圆上最近两点之间的距离．9．正方形中，一条边在直线上，另外两顶点、在抛物线上，求正方形的面积．10．已知抛物线的一条过焦点的弦被焦点分为，两个部分，求证．11．一抛物线型拱桥的跨度为，顶点距水面．江中一竹排装有宽、高的货箱，问能否安全通过．12．已知抛物线上两点，（在第二象限），为原点，且，求当点距轴最近时，的面积．13．是抛物线上的动点，连接原点与，以为边作正方形，求动点的轨迹方程．参考答案：一、1．C；2．C；3．D；4．B；5．C；6．B；7．B；8．D；9．C10．C；11．B；12．C；13．C；14．C；15．C；16．C；17．B；18．B；19．C；20．A；21．D二、1．；2．；3．；4．5．；6．（在已知抛物线内的部分）7．或；8．（4，2）；9．10．；11．；12．2；13．－414．2；15．0，，，；16．17．；18．3．14；19．36.2cm三、1．先求得，再求得或2．3．设，，则由得，，，于是当，即，时，4．抛物线的准线方程为，过作垂直准线于点，由抛物线定义得，，要使最小，、、三点必共线，即垂直于准线，与抛物线交点为点，从而的最小值为，此时点坐标为（2，2）．5．建立坐标系，设抛物线方程为，则点（26，－6.5）在抛物线上，抛物线方程为，当时，，则有，所以木箱能安全通过．6．设抛物线的焦点为，由抛物线定义得，设顶点为，则，所以，即为椭圆，离心率为定值．7．①设、、在抛物线的准线上射影分别为、、，则由抛物线定义得，又圆的方程为，将代入得②假设存在这样的，使得，由定义知点必在抛物线上，这与点是弦的中点矛盾，所以这样的不存在8．设、分别是抛物线和圆上的点，圆心，半径为1，若最小，则也最小，因此、、共线，问题转化为在抛物线上求一点，使它到点的距离最小.为此设，则，的最小值是9．设所在直线方程为，消去得又直线与间距离为或从而边长为或，面积，10．焦点为，设焦点弦端点，，当垂直于轴，则，结论显然成立；当与轴不垂直时，设所在直线方程为，代入抛物线方程整理得，这时，于是，命题也成立．11．取抛物线型拱桥的顶点为原点、对称轴为轴建立直角坐标系，则桥墩的两端坐标分别为（－26，－6.5），（26，－6.5），设抛物线型拱桥的方程为，则，所以，抛物线方程为．当时，，而，故可安全通过．12．设，则，因为，所以，直线的方程为，将代入，得点的横坐标为（当且仅当时取等号），此时，，，，所以．13．设，，过，分别作为轴的垂线，垂足分别为，，而证得≌，则有，，即、，而，因此，即为所求轨迹方程．。

(2021年整理)(完整)高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案

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焦点弦长AB12()x x p ++12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++焦点弦AB 的几条性质11(,)A x y 22(,)B x y以AB 为直径的圆必与准线l 相切若AB 的倾斜角为α，则22sin pAB α=若AB 的倾斜角为α，则22cos pAB α=2124p x x = 212y y p =-112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p++===•• 切线方程00()y y p x x =+00()y y p x x =-+ 00()x x p y y =+ 00()x x p y y =-+一．直线与抛物线的位置关系直线,抛物线,，消y 得：(1）当k=0时,直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2)当k ≠0时，Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0，直线l 与抛物线相切，一个切点;ox ()22,B x yFy ()11,A x yΔ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?(不一定)二．关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线l ：b kx y += 抛物线,)0( p① 联立方程法:⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22⇒0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0 ∆,以及2121,x x x x +，还可进一步求出b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如1. 相交弦AB 的弦长2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=ak ∆+=21 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+=ak ∆+=21 b. 中点),(00y x M ， 2210x x x +=, 2210yy y +=② 点差法：设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程,得1212px y = 2222px y =将两式相减，可得)(2))((212121x x p y y y y -=+-2121212y y px x y y +=--a. 在涉及斜率问题时，212y y pk AB +=b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ,021*******y py p y y p x x y y ==+=--，即0y p k AB =, 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，则有px p x p x x k AB 0021222==+=(注意能用这个公式的条件：1)直线与抛物线有两个不同的交点，2)直线的斜率存在，且不等于零）抛物线练习及答案1、已知点P 在抛物线y 2= 4x 上，那么点P 到点Q （2,－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为。