高中数学 抛物线知识点归纳总结与经典习题
抛物线 标准方程、几何性质、经典大题归纳总结
一、 第一讲: 抛物线标准方程 二、 考点、热点回顾一、定义: 在平面内,及一个定点F 和一条定直线l(l 不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.即：的轨迹是抛物线。
则点若M MNMF,1 三、 (定点F 叫做抛物线的焦点, 定直线l 叫做抛物线的准线。
)标准方程:设定点F 到定直线l 的距离为p(p 为已知数且大于0).取过焦点F 且垂直于准线l 的直线为x 轴, x 轴及l 交于K, 以线段KF 的垂直平分线为y 轴, 建立直角坐标系抛物线上的点M(x, y)到l的距离为d, 抛物线是集合p={M||MF|=d}.化简后得: y2=2px(p＞0).由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况, 抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：二、典型例题(2)例1.(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x, 求它的焦点坐标和准线方程；已知抛物线的焦点坐标是F(0, -2), 求它的标准方程．方程是x2=-8y.例2.根据下列所给条件, 写出抛物线的标准方程:(1)焦点是F(3, 0)；(3)焦点到准线的距离是2.答案是：(1)y2=12x；(2)y2=-x；(3)y2=4x, y2=-4x, x2=4y, x2=-4y．三、课堂练习1.抛物线y2＝4x的焦点到准线的距离是________答案：2解析: 解析: 抛物线y2＝4x的焦点F(1,0), 准线x＝－1.∴焦点到准线的距离为2.2.分别求适合下列条件的抛物线的标准方程:(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上.答案：解析: 解: (1)设抛物线方程为y2＝－2px或x2＝2py(p>0), 则将点(－3,2)代入方程得2p＝或2p＝, 故抛物线方程为y2＝－x或x2＝y.(2)①令x＝0, 由方程x－2y－4＝0, 得y＝－2.∴抛物线的焦点为F(0, －2).设抛物线方程为x2＝－2py(p>0), 则由＝2, 得2p＝8. ∴所求抛物线方程为x2＝－8y.②令y＝0，由方程x－2y－4＝0，得x＝4.∴抛物线的焦点为F(4,0).设抛物线方程为y2＝2px(p>0), 则由＝4, 得2p＝16.∴所求抛物线方程为y2＝16x.综上, 所求抛物线方程为y2＝16x或x2＝－8y.3.已知抛物线的顶点在原点, 对称轴是x轴, 抛物线上的点M(-3, m)到焦点的距离等于5, 求抛物线的方程和m的值解法一: 由焦半径关系, 设抛物线方程为y2=-2px(p＞0), 则准线方因为抛物线上的点M(-3, m)到焦点的距离|MF|及到准线的距离得p=4.因此, 所求抛物线方程为y2=-8x.又点M(-3, m)在此抛物线上, 故m2=-8(-3)．解法二: 由题设列两个方程, 可求得p和m. 由学生演板. 由题意在抛物线上且|MF|=5, 故四、课后作业1.分别求适合下列条件的抛物线的标准方程:(1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x－2y－4＝0上.答案：解析: (1)设抛物线方程为y2＝－2px或x2＝2py(p>0), 则将点(－3,2)代入方程得2p＝或2p＝, 故抛物线方程为y2＝－x或x2＝y.(2)①令x＝0, 由方程x－2y－4＝0, 得y＝－2.∴抛物线的焦点为F(0, －2).设抛物线方程为x2＝－2py(p>0), 则由＝2, 得2p＝8. ∴所求抛物线方程为x2＝－8y.②令y＝0，由方程x－2y－4＝0，得x＝4.∴抛物线的焦点为F(4,0).设抛物线方程为y2＝2px(p>0), 则由＝4, 得2p＝16.∴所求抛物线方程为y2＝16x.综上, 所求抛物线方程为y2＝16x或x2＝－8y.2.若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M, 其横坐标为－9, 它到焦点的距离为10, 求抛物线方程和M点的坐标.解析: 解: 由抛物线的定义, 设焦点F(－, 0). 则准线为x＝.设M到准线的距离为|MN|,则|MN|＝|MF|＝10, 即－(－9)＝10, ∴p＝2. 故抛物线方程为y2＝－4x.将M(－9，y)，代入抛物线方程得y＝±6. 故M(－9,6)或M(－9，－6)．3.已知抛物线C的焦点F在x轴的正半轴上, 点A(2, )在抛物线内. 若抛物线上一动点P到A.F两点距离之和的最小值为4, 求抛物线C的方程.解析: 解: 设抛物线方程为y2＝2px(p＞0), 其准线为x＝－, 过P点作抛物线准线的垂线, 垂足为H(图略), 由定义知, |PH|＝|PF|.∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PH|, 故当H、P、A三点共线时, |PA|＋|PF|最小. ∴|PA|＋|PF|的最小值为＋2＝4, p＝4, 即抛物线C的方程为y2＝8x.4.动圆M经过点A(3,0)且及直线l: x＝－3相切, 求动圆圆心M的轨迹方程.解：设圆M及直线l相切于点N. ∵|MA|＝|MN|, ∴圆心M到定点A(3,0)和定直线x＝－3的距离相等．根据抛物线的定义, M在以A为焦点, l为准线的抛物线上．∵＝3，∴p＝6. ∴圆心M的轨迹方程为y2＝12x.第二讲: 抛物线简单几何性质一、考点、热点回顾定义: 在平面内,及一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.补充：1.通径: 通过焦点且垂直对称轴的直线, 及抛物线相交于两点, 连接这两点的线段叫做抛物线的通径。
抛物线知识点汇总及考点例题
抛物线姓名：___________ 班级：________________ 得分：________________知识点回顾：1、定义：把平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹叫做 ，点F 叫做抛物线的 ,直线l 叫做抛物线的 。
2、椭圆的简单几何性质3、抛物线焦点弦性质直线过抛物线px y 22=的焦点与抛物线交于()()2211,,,y x B y x A 两点（1）221221,4p y y p x x -== （2）)(sin 2221的倾斜角为直线AB p p x x AB αα=++= （3）PFB FA 211=+ （4）以弦AB 为直径的圆与准线相切 考点一: 定义和标准方程[例1]设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点．(1) 求点P 到点A (－1,1) 的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2) 若B (3,2)，求 |PB |＋|PF | 的最小值．练习1：已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M （－3，m ）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值．归纳:运用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”。
考点二: 抛物线性质[例2] (2013·四川高考)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是_____________.练习1：抛物线214y x =-的焦点坐标是（ ）． A 1016⎛⎫ ⎪⎝⎭， B 1016⎛⎫-⎪⎝⎭， C (01)-，D (10)-， 练习2：抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是 （ ）A （1，1）B ．（） C ． D ．（2，4）归纳（1）关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．（2）技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解． 考点三: 抛物线与直线[例3] (2012·福建高考)如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py ( p >0)上． (1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q .证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．2x y =042=--y x 41,21)49,23(练习1：已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B ，C 两点．当直线l 的斜率是12时， ＝4 . (1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．课后练习：一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1、如果抛物线y 2=ax 的准线是直线x =-1，那么它的焦点坐标为（ ）A ．（1, 0）B ．（2, 0）C ．（3, 0）D ．（－1, 0）2、圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 （ ）A ．x 2+ y 2-x -2 y -=0 B ．x 2+ y 2+x -2 y +1=0 C ．x 2+ y 2-x -2 y +1=0D ．x 2+ y 2-x -2 y +=0 3、一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m ，则水面宽为（ ）A ．mB ． 2mC ．4.5mD ．9m4、平面内过点A （-2，0），且与直线x =2相切的动圆圆心的轨迹方程是（ ）A ． y 2=－2xB ． y 2=－4xC ．y 2=－8xD ．y 2=－16x5、抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上点（-5，m ）到焦点距离是6，则抛物线的方程是 （ ） A ． y 2=-2x B ． y 2=-4x C ． y 2=2x D ． y 2=-4x 或y 2=-36x6、过抛物线y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于A(x 1, y 1) ，B(x 2, y 2)两点，如果x 1+ x 2=6，那么|AB|=（ ） A ．8B ．10C ．6D ．47、把与抛物线y 2=4x 关于原点对称的曲线按向量a 平移，所得的曲线的方程是（ ）A ．B ．C ．D ．8、过点M （2，4）作与抛物线y 2=8x 只有一个公共点的直线l 有 （ ） A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条9、过抛物线y =ax 2(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则等于（ ） A ．2aB ．C ．4aD ．414166)3,2(-=)2(4)3(2--=-x y )2(4)3(2+-=-x y )2(4)3(2--=+x y )2(4)3(2+-=+x y qp 11+a21a4二、解答题10、过抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作斜率分别为k 1，k 2的两条不同直线l 1，l 2，且k 1＋k 2＝2，l 1与E 相交于点A ，B ，l 2与E 相交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N (M ，N 为圆心)的公共弦所在直线记为l .(1)若k 1>0，k 2>0，证明： ·<2p 2； (2)若点M 到直线l 的距离的最小值为755，求抛物线E 的方程．11、(2013·广东高考)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值．12、已知直线y ＝－2上有一个动点Q ，过点Q 作直线l 1垂直于x 轴，动点P 在l 1上，且满足OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，记点P 的轨迹为C .(1)求曲线C 的方程；(2)若直线l 2是曲线C 的一条切线，当点(0,2)到直线l 2的距离最短时，求直线l 2的方程．。
根据抛物线知识点梳理及练习
根据抛物线知识点梳理及练习抛物线是数学中的一个重要概念，广泛应用于物理、工程和其他领域。
本文将对抛物线的知识点进行梳理，并提供一些练题供研究和巩固。
1. 抛物线的定义和特点抛物线可以通过以下定义来进行描述：抛物线是平面上一种曲线，其点到焦点的距离等于该点到准线的距离。
主要特点包括：- 顶点：抛物线的最高或最低点称为顶点，记为(V)。
- 焦点：抛物线的焦点是准线与对称轴的交点。
- 准线：平行于对称轴，且与焦点的距离等于对称轴的曲线。
- 对称轴：通过顶点和焦点的一条直线为对称轴，对称轴上各点到焦点的距离相等。
2. 抛物线的方程和表示方法抛物线的方程可以使用以下形式表示：- 标准形式：y = ax^2 + bx + c- 顶点形式：y = a(x - h)^2 + k- 描述形式：(x - h)^2 = 4p(y - k)其中，a是抛物线的开口方向和形状因子，h和k分别是顶点的横坐标和纵坐标，p是焦点到对称轴的距离。
3. 抛物线的性质和运动学应用抛物线具有一些重要的性质和运动学应用：- 对称性：关于对称轴具有对称性，即抛物线上的任意一点到对称轴的距离相等。
- 最值点：顶点是抛物线的最高或最低点，根据抛物线的开口方向可确定是极大值还是极小值。
- 轨迹：抛物线的轨迹可以描述物体自由落体运动的路径。
- 抛物线方程应用：抛物线方程可以应用于弹道学、反射面天线和卫星轨迹等计算中。
练题1. 写出以下抛物线的方程形式：- 顶点在(2, 3)，开口向上的抛物线。
- 焦点在(-1, 4)，准线为y = 3，开口向下的抛物线。
2. 抛物线的准线为x = -1，焦点在(2, 5)，开口向上，请写出抛物线的标准形式方程。
3. 抛物线的焦点在(3, 4)，顶点在(1, 2)，请写出抛物线的顶点形式方程。
参考答案1.- y = a(x - 2)^2 + 3- (x + 1)^2 = -8(y - 4)2. y = (1/4)(x + 1)^2 + 53. y = (1/2)(x - 1)^2 + 2以上是对抛物线知识点的梳理和一些练习题的提供，希望能对学习和理解抛物线有所帮助。
高三抛物线的知识点归纳
高三抛物线的知识点归纳一、抛物线的定义及方程抛物线是二次函数的图像，它的一般方程可以表示为 y = ax^2 + bx+ c。
在这个方程中，a、b、c 是常数，其中 a 决定抛物线的开口方向和大小，b 影响抛物线沿着 x 轴的位置，而 c 则决定了抛物线与y 轴的交点。
二、抛物线的性质1. 开口方向：当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
2. 对称性：抛物线是轴对称图形，对称轴为直线 x = -b/(2a)。
3. 顶点：抛物线的最高点或最低点称为顶点，其坐标可以通过公式(-b/(2a), -Δ/(4a)) 计算得出，其中Δ = b^2 - 4ac 称为判别式。
4. 焦点和准线：对于开口向上或向下的抛物线，可以定义一个焦点和一条准线。
焦点位于距离顶点 a/(4a) 的位置，准线则是与抛物线对称轴平行且距离顶点 a/(2a) 的直线。
三、抛物线的应用1. 物理现象：在物理学中，抛物线常用于描述物体在重力作用下的抛射运动轨迹。
2. 工程建筑：在建筑设计中，抛物线形状常用于拱桥、穹顶等结构，以实现良好的力学性能。
3. 艺术设计：在艺术领域，抛物线因其优美的曲线被广泛应用于雕塑和装饰品的设计。
四、解题技巧1. 确定方程：根据题目条件确定抛物线的一般方程 y = ax^2 + bx + c。
2. 计算顶点：通过公式 (-b/(2a), -Δ/(4a)) 快速求出抛物线的顶点坐标。
3. 判断交点：通过代入 x 值或 y 值，可以求出抛物线与 x 轴或 y轴的交点。
4. 应用对称性：利用抛物线的对称性简化计算，特别是在求解与抛物线相关的最值问题时。
五、例题分析例1：已知抛物线 y = 2x^2 - 4x + 3，求其顶点坐标和对称轴方程。
解：首先计算判别式Δ = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4*2*3 = 16 - 24= -8。
由于Δ < 0，该抛物线与 x 轴无交点。
抛物线知识点全面总结及经典例题
x（p>0）
2
y p 2
y≤0 x∈R
y轴
例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点 在坐标原点，并且经过点M2（2２， ），求
它的标准方程。
变式:顶点在坐标原点，对称轴为坐标 轴，并且经过点M（２，2 2 ），抛物 线的标准方程。
例2：已知抛物线的方程为y2=4x,直线 l 经过点P(-2,1),斜率为k.当k为何值 时,直线与抛物线:只有一个公共点;有
1 FA
|
|
1 FB
|
是否为定值？
y
A ( x1, y1 )
这一结论非常奇妙, 变中有不变,动中有不动.
F
O
x
B ( x2, y2 )
例9、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个
顶点在抛物线 y2 2 px( p 0)上，求这个三角形的边长。
解：如图，设正三角形OAB的顶点A、
y
A (x1,y1)
（2）已知抛物线的方程是 y 6x2，求它的焦点坐标和准
线方程；
(3)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2)，求它的标准方程．
解：（1）因为焦点在x轴的正半轴上，p=3，所以焦点坐
标是
(3 2
,
0)
，准线方程是
x
3 2
.
（2）因为抛物线的标准方程 x2 1 y，焦点在y轴的正
半轴上，p 是y 1
X1=X2. 由此可得|y1|=|y2|,，即线段AB关于x轴对称。
(x2,y2)
B
因为x轴垂直于AB，且 AOX 30，所以 y1 tan 30 3
x1
y12 2p
,
x1
抛物线知识点归纳总结与经典习题
抛物线一、抛物线的定义及其应用例1、设P是抛物线y2＝4x上的一个动点．(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．例2、设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( )A．(0,2) B．[0,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)二、抛物线的标准方程和几何性质例3、抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，经过F的直线与抛物线交于A、B两点，交准线于C点，点A在x轴上方，AK⊥l，垂足为K，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则△AKF的面积是 ( )A．4 B．3 3 C．4 3 D．8例4、过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3则此抛物线的方程为 ( )A．y2＝32x B．y2＝9x C．y2＝92x D．y2＝3x三、抛物线的综合问题例5、已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求AD·EB的最小值练习题1．已知抛物线x2＝ay的焦点恰好为双曲线y2－x2＝2的上焦点，则a等于( ）A．1 B．4 C．8 D．162．抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是 ( )A．－1716B．－1516C.716D.15163．已知F是拋物线y2＝x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为 ( )A.34B．1 C.54D.744．已知抛物线y2＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( ) A．相离B．相交 C．相切D．不确定5．已知F为抛物线y2＝8x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，则||FA|－|FB||的值等于 ( ) A．4 2 B．8C． 8 2 D．166．在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是 ( ) A．(－2,1) B．(1,2) C．(2,1) D．(－1,2)7．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝ ( )A．4 3 B．8 C．8 3 D．168．抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，抛物线的方程（）A．y2＝－8x B．y2＝8x C．y2＝－4x D．y2＝4x9以抛物线x2＝16y的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为______．10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，抛物线上一点Q(－3，m)到焦点的距离是5，则抛物线的方程为________．11．已知抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0相交于A、B两点，抛物线的焦点为F，那么|FA| ＋|FB| ＝________.12．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2， y2)两点，若x1＋x2＝6，那么 |AB|等于________13．根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点是双曲线 16x2－9y2＝144的左顶点；(2)过点P(2，－4)．14已知点M(1，y)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，M点到抛物线C的焦点F的距离为2，直线l：y＝－12x＋b与抛物线C交于A，B两点．(1)求抛物线C的方程；(2)若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程．一、抛物线的定义及其应用例1、(1)如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线是x ＝－1.由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离． 于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．显然，连结AF 交曲线于P 点，则所求的最小值为|AF |，即为 5.(2)如图，自点B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |.则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4.即|PB |＋|PF |的最小值为4.例2、解析：圆心到抛物线准线的距离为p ，即p ＝4，根据已 知只要|FM |>4即可．根据抛物线定|FM |＝y 0＋2由y 0＋2>4，解得y 0>2，故y 0的取值范围是(2，＋∞)．二、抛物线的标准方程和几何性质例3、设点A (x 1，y 1)，其中y 1>0.由点B 作抛物线的准线的垂线，垂足为B 1.则有 |BF |＝|BB 1|；又|CB |＝2|FB |，因此有|CB |＝2|BB 1|，cos ∠CBB 1＝|BB 1||BC |＝12，∠CBB 1＝π3.即直线AB 与x 轴的夹角为π3.又|AF |＝|AK |＝x 1＋p2＝4，因此y 1＝4sin π3＝23，因此△AKF 的面积等于12|AK |·y 1＝12×4×23＝4 3.例4．分别过点A 、B 作AA 1、BB 1垂直于l ，且垂足分别为A 1、B 1，由已知条件|BC |＝2|BF |得|BC |＝2|BB 1|，∴∠BCB 1＝30°，又|AA 1|＝|AF |＝3，∴|AC |＝2|AA 1|＝6，∴|CF |＝|AC |－|AF |＝6－3＝3，∴F 为线段AC 的中点．故点F 到准线的距离为p ＝12|AA 1|＝32，故抛物线的方程为y 2＝3x .三、抛物线的综合问题例5、 (1)设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有x －12＋y 2－|x |＝1.化简得y 2＝2x ＋2|x |. 当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0.所以，动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0(x <0)． (2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎨⎧y ＝k x －1y 2＝4x，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. (7分)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4k2，x 1x 2＝1. (8分)因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1k. 设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1. ＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)·(x 4＋1)＝ x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1 (11分) ＝1＋(2＋4k 2)＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1＝8＋4(k 2＋1k2)≥8＋4×2k 2·1k2＝16.当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时， AD ·EB 取最小值16.练习题：1．解析：根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0，a4)，双曲线的上焦点为(0,2)，依题意则有a4＝2解得a ＝8.2．解析：抛物线方程可化为x 2＝－y 4，其准线方程为y ＝116.设M (x 0，y 0)，则由抛物线的定义，可知116－y 0＝1⇒y 0＝－1516.3．解析：根据拋物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为：12(|AF |＋|BF |)－14＝32－14＝54. 4．解析：设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影，则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，于是M 到l 的距离d ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |＝半径，故相切． 5．解析：依题意F (2,0)，所以直线方程为y ＝x －2由⎩⎨⎧y ＝x －2，y 2＝8x ，消去y得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则||FA |－|FB ||＝|(x 1＋2)－(x 2＋2)|＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝144－16＝8 2.6．解析：如图所示，直线l 为抛物线y ＝2x 2的准线，F 为其焦点，PN ⊥l ，AN 1⊥l ，由抛物线的定义知，|PF |＝|PN |，∴|AP |＋|PF |＝|AP |＋|PN |≥|AN 1|，当且仅当A 、P 、N 三点共线时取等号．∴P 点的横坐标与A 点的横坐标相同即为1，则可排除A 、C 、D.答案：B7．解析：设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝ ( ) A ．4 3 B ．8 C ．8 3 D ．168．解析：由准线方程x ＝－2，可知抛物线为焦点在x 轴正 ，半轴上的标准方程，同时得p ＝4，所以标准方程为 y 2＝2px ＝8x9．解析：抛物线的焦点为F (0,4)，准线为y ＝－4，则圆心为(0,4)，半径r ＝8. 所以，圆的方程为x 2＋(y －4)2＝64.10．解析：设抛物线方程为x 2＝ay (a ≠0)，则准线为y ＝－a4.∵Q (－3，m )在抛物线上，∴9＝am .而点Q 到焦点的距离等于点Q 到准线的距离，∴|m －(－a4)|＝5.将m ＝9a 代入，得|9a ＋a4|＝5，解得，a ＝±2，或a ＝±18，∴所求抛物线的方程为x 2＝±2y ，或x 2＝±18y .11．解析：由⎩⎨⎧y 2＝4x 2x ＋y －4＝0，消去y ，得x 2－5x ＋4＝0(*)，方程(*)的两根为A 、B 两点的横坐标，故x 1＋x 2＝5，因为抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，所以| FA | ＋| FB | ＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝712．解析：因线段AB 过焦点F ，则|AB |＝|AF |＋|BF |.又由抛物线的定义知|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1，故|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8.13．解析：双曲线方程化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3,0)，由题设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，则－p2＝－3，∴p ＝6，∴抛物线方程为y 2＝－12x .(2)由于P (2，－4)在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴，可设抛物线方程为y 2＝mx 或x 2＝ny ，代入P 点坐标求得m ＝8，n ＝－1， ∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或x 2＝－y .14． (1)抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2，由抛物线定义和已知条件可知|MF |＝1－(－p 2)＝1＋p2＝2，解得p ＝2, 故所求抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)联立⎩⎨⎧y ＝－12x ＋b ，y 2＝4x消去x 并化简整理得y 2＋8y －8b ＝0.依题意应有Δ＝64＋32b >0，解得b >－2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－8，y 1y 2＝－8b ，设圆心Q (x 0，y 0)，则应用x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22＝－4.因为以AB 为直径的圆与x 轴相切，所以圆的半径为r ＝|y 0|＝4. 又|AB |＝x 1－x 22y 1－y 22＝1＋4y 1－y 22＝ 5[y 1＋y 22－4y 1y 2]＝564＋32b所以|AB|＝2r＝564＋32b＝8，解得b＝－8 5 .所以x1＋x2＝2b－2y1＋2b－2y2＝4b＋16＝485，则圆心Q的坐标为(245，－4)．故所求圆的方程为(x－245)2＋(y＋4)2＝16.。
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抛物线专题复习焦 点弦 长 AB12()x x p ++12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++焦点弦AB 的几条性质11(,)A x y 22(,)B x y以AB 为直径的圆必与准线l 相切若AB 的倾斜角为α，则22sin p AB α=若AB 的倾斜角为α，则22cos pAB α= 2124p x x = 212y y p =-112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p++===•• 切线 方程00()y y p x x =+ 00()y y p x x =-+ 00()x x p y y =+ 00()x x p y y =-+直线，抛物线，，消y 得：（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时，Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。
（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） 二．关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线，)0(φp联立方程法：⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22⇒0)(2222=+-+b x p kb x k ox ()22,B x yFy ()11,A x y设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0φ∆,以及2121,x x x x +，还可进一步求出b x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++= 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 相交弦AB 的弦长2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=ak ∆+=21 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+=ak ∆+=21 抛物线练习1、已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为 2、已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为3、直线3y x =-与抛物线24y x =交于,A B 两点，过,A B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,P Q ，则梯形APQB 的面积为4、设O 是坐标原点，F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，A 是抛物线上的一点，FA u u u r与x 轴正向的夹角为60o，则OA u u u r 为5、抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是6、已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK =，则AFK∆的面积为7、已知双曲线22145x y -=，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为 8、在平面直角坐标系xoy 中，有一定点(2,1)A ,若线段OA 的垂直平分线过抛物线22(0)y px p =>则该抛物线的方程是 。
(完整版)高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案
抛物线y 2 2 px y 2 2 px x 2 2 py x22py ( p0)( p0)( p0)( p0)y y yyl l lFOx O F x F O xO x Fl定义范围对称性焦点极点离心率准线方程极点到准线的距离焦点到准线的距离焦半径A( x1 , y1 )焦点弦长AB 平面内与一个定点 F 和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。
{ M MF =点 M到直线 l 的距离 }x 0, y R x 0, y R x R, y 0x R, y0对于 x 轴对称对于 y 轴对称(p,0)(p,0)(0,p)(0,p ) 2222焦点在对称轴上O (0,0)e=1pxp p p x y2y222准线与焦点位于极点双侧且到极点的距离相等。
p2ppAFp pAFp AF x1x1AF y1y1 2222( x1x2 ) p( y1y2 ) p( y1y2 )p ( x1x2 )pyA x1 , y1o FxB x2 , y2焦点弦AB 的几条性质以 AB 为直径的圆必与准线l相切A(x1, y1 ) 2 p 2 p若 AB 的倾斜角为若 AB 的倾斜角为，则 AB，则 ABB(x2 , y2 )sin 2cos2p22x1x2y1 y2p4切线方程11AF BF AB2AF BF AF ? BF AF ? BF py0 y p( x x0 )y0 y p( x x0 )x0 x p( y y0 )x0 x p( y y0 )一．直线与抛物线的地点关系直线，抛物线，，消 y 得：（1）当 k=0 时，直线 l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当 k≠ 0 时，＞0，直线 l 与抛物线订交，两个不一样交点；=0，直线 l 与抛物线相切，一个切点；＜ 0，直线 l 与抛物线相离，无公共点。
（3）若直线与抛物线只有一个公共点, 则直线与抛物线必相切吗?（不必定）二．对于直线与抛物线的地点关系问题常用办理方法直线 l ：y kx b抛物线， ( p0)①联立方程法：y kx bk2 x22(kb p)x b20y2 2 px设交点坐标为(,y1), B( x2 , y2 ) ，则有0, 以及 x1x2 , x1 x2，还可进一步求出A x1y1 y2kx1 b kx2 b k (x1x2 ) 2b，y1 y2( kx1b)(kx2b) k 2 x1 x2kb( x1x2 ) b2在波及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比方1.订交弦 AB的弦长AB 1 k 2 x1x2 1 k 2(x1x2 )24x1x2 1 k 2a或1121 k 2AB1k 2 y1y21k 2( y1y2 ) 4 y1 y2ab. 中点M (x0, y0) , x0x1x2，y0y1y222②点差法：设交点坐标为 A( x1, y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，代入抛物线方程，得y12 2 px1y22 2 px2将两式相减，可得( y1y2 )( y1y2 ) 2 p(x1 x2 )y1y2 2 px1x2 y1 y2a.在波及斜率问题时，k AB 2 py1y2b.在涉及中点轨迹问题时，设线段 AB 的中点为 M ( x0 , y0 ) ，y1y2 2 p2p p ，x1x2y1 y2 2 y0y0即 k AB p ，y0同理，对于抛物线x 22(p0)，若直线 l 与抛物线订交于A、, y0 ) py B 两点，点M ( x0是弦 AB 的中点，则有 k AB x1 x22x0x0 2 p 2 p p（注意能用这个公式的条件： 1）直线与抛物线有两个不一样的交点， 2）直线的斜率存在，且不等于零）抛物线练习及答案1、已知点 P 在抛物线 y 2 = 4x 上，那么点P 到点 Q （ 2，－ 1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和获得最小值时，点P 的坐标为。
高中抛物线知识点归纳总结与练习题(含答案)
则 AFK 的面积为
。
7、已知双曲线 x2 y2 1，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程 45
为
。
8、在平面直角坐标系 xoy 中，有一定点 A(2,1) ,若线段 OA 的垂直平分线过抛物线
y2 2 px( p 0) 焦点，则该抛物线的方程是
高中抛物线知识点归纳总结与练习题
y 2 2 px ( p 0)
抛
y l
物
线
OF x
y 2 2 px ( p 0)
y l
FO x
x 2 2 py ( p 0)
y
F
O
x
l
x 2 2 py ( p 0)
y l
O x
F
定义 范围
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 F 叫 做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。
二． 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法
直线 l ： y kx b 抛物线
1 联立方程法：
y kx b
y
2
2
px
k 2x22源自kbp)x
b2
0
， ( p 0)
设交点坐标为 A(x1, y1) , B(x2, y2 ) ，则有 0 ,以及 x1 x2, x1x2 ，还可进一步求出
距离之和的最小值为
。
3、直线 y x 3 与抛物线 y2 4x 交于 A, B 两点，过 A, B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分
别为 P,Q ，则梯形 APQB 的面积为
。
4、设 O 是坐标原点， F 是抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点， A 是抛物线上的一点， FA 与 x 轴正
高中抛物线知识点归纳总结与练习题及标准答案
抛物线专题复习•直线与抛物线的位置关系，消y得：1）当k=0 时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当k丰0时，△>0,直线l与抛物线相交，两个不同交点；△=0,直线I与抛物线相切，一个切点；△v0，直线I与抛物线相离，无公共点。
3）若直线与抛物线只有一个公共点, 则直线与抛物线必相切吗?（不一定）．关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线I : y kx b 抛物线，(p 0)联立方程法：y kx b 2 2 22k x 2(kb p)x b 0y 2px设交点坐标为A(x「y i) , B(x2,y2),则有0 ,以及为X2,%X2 ,还可进一步求出2 2y y2kx.( b kx2 b k(x1x2) 2b，y1 y2(kx1b)(kx2b) k X j X2kb(X j x2) b在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 相交弦AB 的弦长AB v 1 k 2|% x 2| 』k 2x 2)2 4x 1x 2 4l __k 2或 AB y 1 召 y i y 2抛物线练习1、 已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q (2，— 1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为 ___________2、 已知点P 是抛物线y 2 2x 上的一个动点，则点 P 到点(0，2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的 最小值为 ___________23、 直线y x 3与抛物线y 4x 交于A, B 两点，过代B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 P,Q ，则梯形APQB 的面积为 __________2 ULWo4、 设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2 2px(p 0)的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60°， uuu 则OA 为 ___________5、 抛物线y 2 4x 的焦点为F ,准线为I ,经过F 且斜率为 3的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A ，1「2心1 y 2)2 4y 』2ki 2 a.5AK 丄l ，垂足为K ,则△ AKF 的面积是 ______________6、 已知抛物线C: y 2 8x 的焦点为F ,准线与x 轴的交点为K ,点A 在C 上且AK| J 2|AF |，贝U AFK的面积为 ___________2 27、 已知双曲线 —1，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为4 52&在平面直角坐标系 xoy 中，有一定点 A(2,1)，若线段0A 的垂直平分线过抛物线 y 2 px( p 0)则该抛物线的方程是 ___________ 。
抛物线知识点归纳总结高中
一、抛物线的定义平面内与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点 F 叫做抛物线的焦点，定直线 l 叫做抛物线的准线。
二、抛物线的标准方程1. 焦点在 x 轴正半轴上：\(y^2 = 2px (p>0)\)，焦点坐标\(F(\frac{p}{2}, 0)\)，准线方程\(x = \frac{p}{2}\)2. 焦点在 x 轴负半轴上：\(y^2 = 2px (p>0)\)，焦点坐标\(F(\frac{p}{2}, 0)\)，准线方程\(x = \frac{p}{2}\)3. 焦点在 y 轴正半轴上：\(x^2 = 2py (p>0)\)，焦点坐标\(F(0, \frac{p}{2})\)，准线方程\(y = \frac{p}{2}\)4. 焦点在 y 轴负半轴上：\(x^2 = 2py (p>0)\)，焦点坐标\(F(0, \frac{p}{2})\)，准线方程\(y = \frac{p}{2}\)三、抛物线的性质1. 范围：对于\(y^2 = 2px (p>0)\)，\(x\geq 0\)；对于\(y^2 = 2px (p>0)\)，\(x\leq 0\)；对于\(x^2 = 2py (p>0)\)，\(y\geq 0\)；对于\(x^2 = 2py (p>0)\)，\(y\leq 0\)。
2. 对称性：抛物线关于其对称轴对称。
3. 顶点：抛物线的顶点为坐标原点\((0,0)\)。
4. 离心率：抛物线的离心率\(e = 1\)。
四、抛物线的焦半径对于抛物线\(y^2 = 2px (p>0)\)，抛物线上一点\(P(x_0, y_0)\)到焦点的距离称为焦半径，\(|PF| = x_0 + \frac{p}{2}\)五、抛物线的通径通过焦点且垂直于对称轴的弦叫做通径。
通径的长度为\(2p\)六、抛物线中的弦长问题若抛物线\(y^2 = 2px (p>0)\)上两点\(A(x_1, y_1)\)，\(B(x_2, y_2)\)，则弦长\(|AB| = x_1 + x_2 + p\)七、抛物线与直线的位置关系联立抛物线方程和直线方程，消去一个未知数，得到一个一元二次方程，根据判别式\(\Delta\)的值来判断位置关系：1. \(\Delta > 0\)，相交；2. \(\Delta = 0\)，相切；3. \(\Delta 0\)，相离。
高中抛物线知识点归纳总结计划及练习题及答案
抛物线y22pxy22pxx22pyx22py(p0)(p)(p0)(p)y y yyl l lOx OF x xO x Fl定义范围对称性焦点顶点离心率准线方程顶点到准线的距离焦点到准线的距离焦半径A(x1,y1)焦点弦长AB平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。
{MMF =点M 到直线l 的距离}x0,y R x0,y R xR,y 0 xR,y 0关于x 轴对称关于y 轴对称(p,0) (p,0) (0,p)(0,p)22 22焦点在对称轴上 O(0,0) e=1pxppxy2y22准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。
p 2 ppAFp pAFAFx 1x 1AFy 1y1222(x 1 x 2) p (y 1 y 2) p (y 1 y 2) p(x1 x2) pyAx1,y1o FxBx2,y2焦点弦AB的几条性质以AB为直径的圆必与准线l相切A(x1,y1)2p2 p假设AB的倾斜角为假设AB的倾斜角为，那么AB，那么ABB(x2,y2)sin2cos2p22x1x2y1y2p4切线方程1 1 AF BF AB 2AF BF AF BF AF BF py0y p(x x0) y0y p(x x0) x0x p(y y0) x0x p(y y0)一．直线与抛物线的位置关系直线，抛物线，，消y得：〔1〕当k=0时，直线l与抛物线的对称轴平行，有一个交点；〔2〕当k≠0时，＞0，直线l与抛物线相交，两个不同交点；=0，直线l与抛物线相切，一个切点；＜0，直线l与抛物线相离，无公共点。
〔3〕假设直线与抛物线只有一个公共点 ,那么直线与抛物线必相切吗?〔不一定〕二．关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线l ：ykx b 抛物线，(p 0)①联立方程法：k xb k2x 22(kbp)xb 222p x设交点坐标为 ( 1,B(x 2,y 2)，那么有,以及x 1 x 2,x 1x 2，还可进一步求出Ax 1y1 y2kx1bkx2bk(x1x2)2by 1y2(kx1b)(kx2b)k2x1x2kb(x1x2)b2在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比方相交弦AB的弦长AB1k2x1x21k2(x1x2)24x1x21k2a或1121k 2AB1k2y1y21k2(y1y2)4y1y2ab.中点M(x0,y0),x0x1x2，y0y1y222②点差法：设交点坐标为A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入抛物线方程，得y122px122px2将两式相减，可得(y1y2)(y1y2)2p(x1x2) y1y22px1x2y1y22pa. 在涉及斜率问题时， k ABy1 y2在涉及中点轨迹问题时，设线段AB的中点为M(x0,y0)，y 1y22p2pp，x 1x2y1y22y0y即k ABp ，y0同理，对于抛物线()，假设直线l与抛物线相交于、,y0)p yB两点，点M(x0是弦AB的中点，那么有k ABx1x22x0x02p2p p〔注意能用这个公式的条件：1〕直线与抛物线有两个不同的交点，2〕直线的斜率存在，且不等于零〕抛物线练习及答案1、点P在抛物线P到抛物线焦点距离之y=4x上，那么点P到点Q〔2，－1〕的距离与点和取得最小值时，点P的坐标为。
高考一轮复习 抛物线 知识点+例题+练习
自主梳理1．抛物线的概念平面内到一个定点F 和一条定直线l (F 不在l 上)的距离________的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的________，直线l 叫做抛物线的________．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0) p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F (p2，0) F (－p2，0)F (0，p 2)F (0，－p2)离心率 e ＝1准线 方程 x ＝－p 2x ＝p 2 y ＝－p 2y ＝p 2 范围 x ≥0， y ∈R x ≤0， y ∈R y ≥0， x ∈R y ≤0， x ∈R 开口 方向向右向左向上向下自我检测1．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是________．2．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．3．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是________．4．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝________.5．已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过该抛物线焦点F 且不与x 轴垂直的直线AB 交抛物线于A 、B 两点，过点A 、点B 分别作AM 、BN 垂直于抛物线的准线，分别交准线于M 、N 两点，那么∠MFN ＝________.学生姓名 教师姓名班主任 日期时间段年级课时教学内容 抛物线复习教学目标 1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质. 2.理解数形结合的思想． 重点 同上 难点同上探究点一抛物线的定义及应用例1已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求P A ＋PF的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．变式迁移1已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为________．探究点二求抛物线的标准方程例2已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．变式迁移2 根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点F 是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点； (2)过点P (2，－4)．探究点三 抛物线的几何性质例3 过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线和抛物线相交于A ，B 两点，如图所示．(1)若A ，B 的纵坐标分别为y 1，y 2，求证：y 1y 2＝－p 2；(2)若直线AO 与抛物线的准线相交于点C ，求证：BC ∥x 轴．变式迁移3 已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．求证：(1)x 1x 2＝p 24；(2)1AF ＋1BF为定值．一、填空题1．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB 等于________．2．将两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则n ＝________.3．已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是________．4．抛物线y 2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．5．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标为________．6．设圆C 位于抛物线y 2＝2x 与直线x ＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C 的半径能取到的最大值为________．7．已知A 、B 是抛物线x 2＝4y 上的两点，线段AB 的中点为M (2,2)，则AB ＝________.8．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0，2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．二、解答题9．已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y ＝2x ＋1所得的弦长为15，求抛物线方程．10．已知抛物线C：x2＝8y.AB是抛物线C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQ⊥BQ.轨迹方程自主梳理1．曲线的方程与方程的曲线如果曲线C 上点的坐标(x ，y )都是方程f (x ，y )＝0的解，且以方程f (x ，y )＝0的解(x ，y )为坐标的点都在曲线C 上，那么，方程f (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程．曲线C 叫做方程f (x ，y )＝0的曲线．2．求曲线方程的一般方法(五步法)求曲线(图形)的方程，一般有下面几个步骤：(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； (2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}； (3)用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0； (4)化方程f (x ，y )＝0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．3．求曲线方程的常用方法：(1)直接法；(2)定义法；(3)代入法；(4)参数法．自我检测1．已知动点P 在曲线2x 2－y ＝0上移动，则点A (0，－1)与点P 连线中点的轨迹方程为______________．2．一动圆与圆O ：x 2＋y 2＝1外切，而与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8＝0内切，那么动圆的圆心P 的轨迹是__________________________________________________________________．3．已知A (0,7)、B (0，－7)、C (12,2)，以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是______________________．4．若M 、N 为两个定点且MN ＝6，动点P 满足PM →·PN →＝0，则P 点的轨迹方程为________．5．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是__________________．探究点一 直接法求轨迹方程例1 动点P 与两定点A (a,0)，B (－a,0)连线的斜率的乘积为k ，试求点P 的轨迹方程，并讨论轨迹是什么曲线．变式迁移1 已知两点M (－2,0)、N (2,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →||MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为______________．探究点二 定义法求轨迹方程例2 已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且O 1O 2＝4.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．变式迁移2 在△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B ⎝⎛⎭⎫－a 2，0，C ⎝⎛⎭⎫a2，0，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程为____________________________________．探究点三 相关点法(代入法)求轨迹方程例3 如图所示，从双曲线x 2－y 2＝1上一点Q 引直线x ＋y ＝2的垂线，垂足为N . 求线段QN 的中点P 的轨迹方程．变式迁移3 已知长为1＋2的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，P是AB 上一点，且AP →＝22PB →.求点P 的轨迹C 的方程．一、填空题1．已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆的一个动点，如果M 是线段F 1P 的中点，则动点M 的轨迹是_________________________________________________________________．2．已知A 、B 是两个定点，且AB ＝3，CB －CA ＝2，则点C 的轨迹方程为______________．3．长为3的线段AB 的端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，AC →＝2CB →，则点C 的轨迹方程为____________．4．如图，圆O ：x 2＋y 2＝16，A (－2，0)，B (2,0)为两个定点．直线l 是圆O 的一条切线，若经过A 、B 两点的抛物线以直线l 为准线，则抛物线焦点所在的轨迹是________．5．P 是椭圆x 216＋y 29＝1上的动点，作PD ⊥y 轴，D 为垂足，则PD 中点的轨迹方程为____________．6．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足P A ＝2PB ，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于______．7．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长CD ＝3，则顶点A 的轨迹方程为______________．8．平面上有三点A (－2，y )，B ⎝⎛⎭⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为__________．二、解答题9．已知抛物线y2＝4px (p>0)，O为顶点，A，B为抛物线上的两动点，且满足OA⊥OB，如果OM⊥AB于点M，求点M的轨迹方程．10．已知椭圆C的中心为平面直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C的方程；(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的一点，OPOM＝λ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．。
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抛物线经典结论和例题方程1. 直线与抛物线的位置关系 直线，抛物线，，消y 得：（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时，Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。
（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线，)0( p① 联立方程法：⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22⇒0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0 ∆,以及2121,x x x x +，还可进一步求出bx x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB 的弦长2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=ak ∆+=21 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+=ak ∆+=21 b. 中点),(00y x M , 2210x x x +=， 2210y y y += ② 点差法：设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得1212px y = 2222px y = 将两式相减，可得)(2))((212121x x p y y y y -=+-所以2121212y y px x y y +=--a. 在涉及斜率问题时，212y y pk AB +=b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ，021*******y py p y y p x x y y ==+=--，即0y p k AB =，同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，则有px p x p x x k AB 0021222==+=（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）一、抛物线的定义及其应用例1、设P是抛物线y2＝4x上的一个动点．(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．例2、设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( ) A．(0,2) B．[0,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)二、抛物线的标准方程和几何性质例3、抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，经过F的直线与抛物线交于A、B两点，交准线于C点，点A在x轴上方，AK⊥l，垂足为K，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则△AKF的面积是( )A．4 B．3 3 C．4 3 D．8例4、过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3则此抛物线的方程为( )A．y2＝32x B．y2＝9x C．y2＝92x D．y2＝3x三、抛物线的综合问题例5、已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC＝OA＋λOB，求λ的值．例6、已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求AD·EB的最小值例7、已知点M(1，y)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，M点到抛物线C的焦点F的距离为2，直线l：y＝－12x＋b与抛物线C交于A，B两点．(1)求抛物线C的方程；(2)若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程．练习题1．已知抛物线x2＝ay的焦点恰好为双曲线y2－x2＝2的上焦点，则a等于( ）A．1 B．4 C．8 D．162．抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )A．－1716B．－1516C.716D.15163．(2011·辽宁高考)已知F是拋物线y2＝x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )A.34B．1 C.54D.744．已知抛物线y2＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( ) A．相离B．相交C．相切D．不确定5．已知F为抛物线y2＝8x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，则||FA|－|FB||的值等于( ) A．4 2 B．8C．8 2 D．166．在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( ) A．(－2,1) B．(1,2) C．(2,1) D．(－1,2)7．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝( )A．4 3 B．8 C．8 3 D．16 8．抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，抛物线的方程（）A．y2＝－8x B．y2＝8x C．y2＝－4x D．y2＝4x9以抛物线x2＝16y的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为______．10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，抛物线上一点Q(－3，m)到焦点的距离是5，则抛物线的方程为________．11．已知抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0相交于A、B两点，抛物线的焦点为F，那么|FA| ＋|FB| ＝________.12．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，那么|AB|等于________13．根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；(2)过点P(2，－4)．14．已知点A(－1,0)，B(1，－1)，抛物线C：y2＝4x，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M，P两点，直线MB交抛物线C于另一点Q.若向量OM与OP的夹角为π4，求△POM的面积．解析一、抛物线的定义及其应用例1、(1)如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线是x ＝－1.由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离． 于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．显然，连结AF 交曲线于P 点，则所求的最小值为|AF |，即为 5. (2)如图，自点B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |.则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4.即|PB |＋|PF |的最小值为4.例2、解析：圆心到抛物线准线的距离为p ，即p ＝4，根据已 知只要|FM |>4即可．根据抛物线定|FM |＝y 0＋2由y 0＋2>4，解得y 0>2，故y 0的取值范围是(2，＋∞)．二、抛物线的标准方程和几何性质例3、设点A (x 1，y 1)，其中y 1>0.由点B 作抛物线的准线的垂线，垂足为B 1.则有 |BF |＝|BB 1|；又|CB |＝2|FB |，因此有|CB |＝2|BB 1|，cos ∠CBB 1＝|BB 1||BC |＝12，∠CBB 1＝π3.即直线AB 与x 轴的夹角为π3.又|AF |＝|AK |＝x 1＋p 2＝4，因此y 1＝4sin π3＝23，因此△AKF 的面积等于12|AK |·y 1＝12×4×23＝4 3.例4．分别过点A 、B 作AA 1、BB 1垂直于l ，且垂足分别为A 1、B 1，由已知条件|BC |＝2|BF |得|BC |＝2|BB 1|，∴∠BCB 1＝30°，又|AA 1|＝|AF |＝3，∴|AC |＝2|AA 1|＝6，∴|CF |＝|AC |－|AF |＝6－3＝3，∴F 为线段AC 的中点．故点F 到准线的距离为p ＝12|AA 1|＝32，故抛物线的方程为y 2＝3x .三、抛物线的综合问题例5、(1)直线AB 的方程是y ＝22(x －p2)，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以：x 1＋x 2＝5p4，由抛物线定义得：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)；设 OC ＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)． 又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)． 即(2λ－1)2＝4λ＋1.解得λ＝0，或λ＝2. 例6、 (1)设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有x －12＋y 2－|x |＝1.化简得y 2＝2x ＋2|x |. 当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0.所以，动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0(x <0)． (2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎨⎧y ＝k x －1y 2＝4x，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. (7分)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4k2，x 1x 2＝1. (8分)因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1k. 设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1. ＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)·(x 4＋1)＝ x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1 (11分) ＝1＋(2＋4k 2)＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1＝8＋4(k 2＋1k2)≥8＋4×2k 2·1k2＝16. 当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时， AD ·EB 取最小值16.例7 、(1)抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2，由抛物线定义和已知条件可知|MF |＝1－(－p 2)＝1＋p2＝2，解得p ＝2, 故所求抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)联立⎩⎨⎧y ＝－12x ＋b ，y 2＝4x消去x 并化简整理得y 2＋8y －8b ＝0.依题意应有Δ＝64＋32b >0，解得b >－2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－8，y 1y 2＝－8b ，设圆心Q (x 0，y 0)，则应用x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22＝－4.因为以AB 为直径的圆与x 轴相切，所以圆的半径为r ＝|y 0|＝4. 又|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋4y 1－y 22＝5[y 1＋y 22－4y 1y 2]＝564＋32b所以|AB |＝2r ＝564＋32b ＝8，解得b ＝－85.所以x 1＋x 2＝2b －2y 1＋2b －2y 2＝4b ＋16＝485，则圆心Q 的坐标为(245，－4)．故所求圆的方程为(x －245)2＋(y ＋4)2＝16.练习题：1．解析：根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0，a4)，双曲线的上焦点为(0,2)，依题意则有a4＝2解得a ＝8.2．解析：抛物线方程可化为x 2＝－y 4，其准线方程为y ＝116.设M (x 0，y 0)，则由抛物线的定义，可知116－y 0＝1⇒y 0＝－1516.3．解析：根据拋物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为：12(|AF |＋|BF |)－14＝32－14＝54. 4．解析：设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影，则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，于是M 到l 的距离d ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |＝半径，故相切． 5．解析：依题意F (2,0)，所以直线方程为y ＝x －2由⎩⎨⎧y ＝x －2，y 2＝8x，消去y 得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则||FA |－|FB ||＝|(x 1＋2)－(x 2＋2)|＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝144－16＝8 2. 6．解析：如图所示，直线l 为抛物线y ＝2x 2的准线，F 为其焦点，PN ⊥l ，AN 1⊥l ，由抛物线的定义知，|PF |＝|PN |，∴|AP |＋|PF |＝|AP |＋|PN |≥|AN 1|，当且仅当A 、P 、N 三点共线时取等号．∴P 点的横坐标与A 点的横坐标相同即为1，则可排除A 、C 、D.答案：B7．解析：设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝ ( ) A ．4 3 B ．8C ．8 3D ．168．解析：由准线方程x ＝－2，可知抛物线为焦点在x 轴正 ，半轴上的标准方程，同时得p ＝4，所以标准方程为 y 2＝2px ＝8x9．解析：抛物线的焦点为F (0,4)，准线为y ＝－4，则圆心为(0,4)，半径r ＝8. 所以，圆的方程为x 2＋(y －4)2＝64.11 10．解析：设抛物线方程为x 2＝ay (a ≠0)，则准线为y ＝－a 4.∵Q (－3，m )在抛物线上，∴9＝am .而点Q 到焦点的距离等于点Q 到准线的距离，∴|m －(－a 4)|＝5.将m ＝9a 代入，得|9a ＋a 4|＝5，解得，a ＝±2，或a ＝±18，∴所求抛物线的方程为x 2＝±2y ，或x 2＝±18y .11．解析：由⎩⎨⎧y 2＝4x 2x ＋y －4＝0，消去y ，得x 2－5x ＋4＝0(*)，方程(*)的两根为A 、B 两点的横坐标，故x 1＋x 2＝5，因为抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，所以| FA | ＋| FB | ＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝712．解析：因线段AB 过焦点F ，则|AB |＝|AF |＋|BF |.又由抛物线的定义知|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1，故|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8.13．解析：双曲线方程化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3,0)，由题设抛物线方程为 y 2＝－2px (p >0)，则－p 2＝－3，∴p ＝6，∴抛物线方程为y 2＝－12x . (2)由于P (2，－4)在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴，可设抛物线方程为y 2＝mx 或x 2＝ny ，代入P 点坐标求得m ＝8，n ＝－1，∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或x 2＝－y .14．解：设点M (y 214，y 1)，P (y 224，y 2)，∵P ，M ，A 三点共线，∴k AM ＝k PM ，即y 1y 214＋1＝y 1－y 2y 214－y 224，即y 1y 21＋4＝1y 1＋y 2，∴y 1y 2＝4. ∴ OM · OP ＝y 214·y 224＋y 1y 2＝5.∵向量 OM 与 OP 的夹角为π4，∴| OM |·|OP |·cos π4＝5.∴S △POM ＝12| OM | ·| OP | ·sin π4＝52.。