高等数学A习题课11

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辽宁工业大学高数习题课11-1

∞
an ≥ 0
正项级数
二,判别常数项级数收敛的解题方法
的敛散性, 判别常数项级数∑an的敛散性,应先考察是否有
n=1
liman = 0 成立.若不成立,则可判定级数发散; 成立.若不成立,则可判定级数发散;
n→∞
若成立,则需作进一步的判别. 若成立,则需作进一步的判别.
此时可将常数项级数分为两大类,即正项级数与任意项级数. 此时可将常数项级数分为两大类,即正项级数与任意项级数. 对于正项级数,可优先考虑应用比值法或根值法. 对于正项级数,可优先考虑应用比值法或根值法.若此二方法失效,则可利用比较法(或定义)作进一步判别; 二方法失效,则可利用比较法(或定义)作进一步判别; 对于任意项级数, 是否收敛. 对于任意项级数,一般应先考虑正项级数 ∑ an 是否收敛. 若收敛,则可判定原级数收敛,且为绝对收敛; 若收敛,则可判定原级数收敛,且为绝对收敛;
n=1
∞
问题是熟练掌握一批已知正项级数的敛散性(如几何级数, 问题是熟练掌握一批已知正项级数的敛散性(如几何级数,
p 级数等),然后根据 an 的特点,进行有针对性的放缩. 级数等), ),然后根据的特点,进行有针对性的放缩.
a nn! 的收敛性. 【例6】判别级数 ∑ nn 的收敛性. 】 n =1
un+1 ∵ = un e >1 1 n (1 + ) n
∴ un+1 > un lim un ≠ 0
n →∞
所以,原级数发散. 所以,原级数发散. 的因子时, 注:在级数一般项 un 中,若含有形如 nk , an , n!, nn 的因子时, 适于使用比值审敛法. 适于使用比值审敛法.
1 的敛散性. 【例7】判断级数∑ [ln(n + 1)]n 的敛散性】 n =1

大学《高等数学A》课后复习题及解析答案

大学数学A （1）课后复习题第一章一、选择题1.下列各组函数中相等的是. …….. ……..…………………………………………………………………………………….（） A .2ln )(,ln 2)(x x g x x f ==B .0)(,1)(x x g x f ==C .1)(,11)(2-=-⋅+=x x g x x x f D .2)(|,|)(x x g x x f ==2.下列函数中为奇函数的是. ……. …….. …………………………………………………………………………………….（）. A .)1ln()(2++=x x x f B .||)(x e x f = C .x x f cos )(= D .1sin )1()(2--=x xx x f3.极限⎪⎭⎫⎝⎛+++∞→22221lim n n n n n 的值为………………………………………………………………………..…….（） A ．0 B ．1 C ．21D ．∞ 4.极限xxx x sin lim+∞→的值为.. …….. ……..……………………………………………………………………………...…….（）A ．0B ．1C ．2D ．∞5.当0→x 时，下列各项中与 23x 为等价无穷小的是…………………………………………………….（）A ．)1(3-xe x B ．x cos 1- C ．x x sin tan - D ．)1ln(x + 6.设12)(-=xx f ，则当0→x 时，有…………………………………………………………………………..…….（）. A ．)(x f 与x 是等价无穷小 B ．)(x f 与x 同阶但非等价无穷小 C ．)(x f 是比x 高阶的无穷小 D ．)(x f 是比x 低阶的无穷小7.函数)(x f 在点x 0可导是)(x f 在点x 0连续的____________条件. ………...………………....…..（） A .充分不必要 B .必要不充分 C .充要 D .既不充分也不必要8.设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤--<≤≤≤-=01,110,21,2)(2x x x x x x x f ，则下述结论正确的是……………………………………….（）A ．在0=x ,1=x 处间断B ．在0=x ,1=x 处连续C ．在0=x 处间断，在1=x 处连续D ．在1=x 处间断，在0=x 处连续 9.极限xx x 10)1(lim -→-的值为.. …….. ……..…………………………………………………………………………………….（）A ．1B ．e -C ．e1D ．e 二、填空题10.函数ln y x =的定义域为（用区间表示） . 11. 函数xxy -+=11的定义域为（用区间表示） . 12. 已知x xx f +=1)(，则=))((x f f . 13. 函数x x y 2353+-=的反函数为 .14. =→xx x 1sin lim 20 .15. 当________=α时，αx 与x 2sin 是0→x 时的同阶无穷小.16. 设21)1(lim e kx xx =+→，则=k .17. 设1sin lim0-=→xkxx ，则=k .18. =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→11232lim x x x x .9. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=0,0,1sin )(2x x a x xx x f 在点0=x 处连续，则=a . 三、解答与证明题20. 求下列数列极限（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯++⨯+⨯∞→)1(1321211lim n n n （2）)12(lim +-+∞→n n n n （3）⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n n n n 22221lim （4）n n n nx 10...21lim +++∞→ 21. 求下列函数极限（1）15723lim 2323+++-∞→x x x x x （2）134lim 22++∞→x x x（3）503020)12()23()32(lim ++-∞→x x x x （4）11lim 31--→x x x （5）28lim 32--→x x x （6）)1311(lim 31x x x ---→ （7）)1(lim x x x -++∞→ （8）xx x x ln )1(lim1-→（9）xx x sin ln lim 0→ （10）x xx 3sin 2sin lim 0→（11）30sin tan lim xx x x -→ （12）x x x 10)51(lim -→ 22. 若432lim23=-+-→x ax x x ，求a 的值. 23. 若已知411lim21=-++→x b a x x ，求a,b 值. 24. 当 a 取何值时，函数)(x f 在 x =0 处连续：（1）⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x x a x e x f x . （2）⎪⎩⎪⎨⎧≤+>-+=0),cos(0,11)(x x a x xx x f . 25. 证明（1）方程01423=+-x x 在区间)1,0(内至少有一个根.（2）方程x e x 3=在)1,0(内至少有一个根.第二章一、选择题1、设函数)(x f 在点0x 可导，则=-+→hx f h x f h )()2(lim000( )．（A ） )(0x f '-； (B) )(0x f '； (C) )(20x f '； (D) )(20x f '-． 2、设函数)(x f 是可导函数，且13)1()1(lim-=--→xx f f x ，则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处切线的斜率是 ……………………………………………( )． (A) 3； (B) 1- ； (C) 13 ； (D) 3-．3、设)()()(x a x x f ϕ-=，其中)(x ϕ在a x =处连续，则)(a f '= ………( )． (A) )(a ϕ ； (B)0； (C)a ； (D))(a a ϕ．4、若0x 为函数)(x f 的极值点，则…………………………………………( )． (A)0)(0='x f ； (B)0)(0≠'x f ； (C)0)(0='x f 或不存在； (D))(0x f '不存在．5、设)0)(1ln(≠+=a ax y ，则y ''= ( )．(A)22)1(ax a +； (B)2)1(ax a +； (C)22)1(ax a +-； (D)2)1(ax a +-． 6、由方程5ln =-y xe y 确定的隐函数)(x y y =的导数=dxdy( )． (A)1-y y xe e ； (B)y y xe e -1； (C)yy e xe -1； (D)y y e xe 1-．7、)2sin sin (lim xx x x x +∞→＝ ……………………………………… ( )．(A)2； (B)1； (C)3； (D)极限不存在．8、设x x y =)0(>x 则='y ( )．(A)x x ； (B) x x x ln ； (C) 1-x x ； (D))1(ln +x x x ．9、曲线x y sin 1+=在点)1,0(处的切线方程是…………………………( )． (A)01=--y x (B)01=+-y x (C)01=++y x (D)01=-+y x 10．下列函数在所给区间满足罗尔定理条件的是……………………( )(A) 2(),[0,3]f x x x =∈ (B) 21(),[1,1]f x x x=∈-(C) (),[1,1]f x x x =∈-(D) ()[0,3]f x x =∈ 二、填空题11、设x x y 2sin 2+=，则=dy ．12、已知x x y n ln )3(=-，(N n n ∈≥,3)，则)(n y ＝．13、已知过曲线24y x =-上点P 的切线平行于直线x y =，则切点P 的坐标为 . 14. 已知2)1(='f ，则=-+-→2)1()(lim31x x f x f x .15. 设x a y =(0>a 且1≠a ),则=)(n y .16. 曲线3)1(-=x y 的拐点是． 17.设函数)(x f 在0x 处可导，则xx x f x x f x ∆∆--∆+→∆)()(lim000= ．18.设⎩⎨⎧≥+<=0)(x x a x e x f x ，当a =_____时，)(x f 在x = 0处可导．19.若函数5)(23-+-=x x ax x f 在),(+∞-∞上单调递增，则a 的取值范围为．20. 设由参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x (其中0>a )确定的函数为)(x y y =，则=dxdy. 三、解答与证明题21.设e x x e y +=，求y '． 22.求下列函数的二阶导数.(1) 设x e y x sin =，求y ''. (2) 设1arctan1xy x-=+，求y ''23. 求曲线21x y =在点（4，2）处的切线方程和法线方程． 24. 讨论下列函数在点0=x 处的连续性和可导性：（1） 0 0 )1ln()(⎩⎨⎧<≥+=x x x x x f ，（2） 0 tan 01sin )(2⎪⎩⎪⎨⎧≤>=x x x xx x f ． 25. 求由方程ln xy x y x e -=所确定的隐函数y 的导数dxdy． 26. 求极限：（1）]1)1ln(1[lim 0x x x -+→；（2）30sin tan lim xx x x -→；（3）)arctan 2(lim x x x -+∞→π；（4）x x x +→0lim ；（5）)1sin 1(lim 0x x x -→；（6）200sin lim xdt t xx ⎰→． 27. 设函数)(x y y =由参数方程⎩⎨⎧-=+=tt y t x arctan )1ln(2所确定，求22dx yd ．28.求函数()(f x x =-. 29. 求函数32332y x x x =-++的凹凸区间、拐点． 30. 已知点)3,1(为曲线1423+++=bx ax x y 的拐点. (1) 求b a ,的值； (2)求函数1423+++=bx ax x y 的极值. 31. 设11xy x-=+，求()n y 32．设b a <<0，证明：a b ab ba a --<+ln ln 222. 33. 设0,()(0)0,x f x f ≥=连续，0'()x f x >当时,存在且'()f x 单调增加，证明：当0x >时函数()f x x 单调增加.34. 证明：当0>x 时，x x x x<+<+)1ln(1． 35. 证明:当0x >时,有1x x x e xe <-<成立.第三章一、选择题：1．下列凑微分正确的一个是（） A ．)2(sin cos x d xdx = ； B. )11(arctan 2xd xdx += C ．)1(ln x d xdx = D. )1(12x d dx x -=2．若⎰+=,)(c x dx x f 则⎰-dx x f )32(= （）A ．2-3x+c ； B. c x +-31； C. x+c ； D. c x +-2)32(213．在以下等式中，正确的一个是（） A ．⎰=')()(x f dx x f B. ⎰=')(])([x f dx x f C ．⎰=)(])([x f dx x f d D. ⎰='')(])([x f dx x f 4. 设x x f 3sin )(='，则⎰dx x f )(是（）A ．cos3x ； B. cos3x+c ； C.c x +-3cos 31； D.2193sin c x c x++- 5. 若,0(),0x x x f x e x ≥⎧=⎨<⎩，则21()d f x x -=⎰（）. A. 13e -- B. 13e -+ C. 3e - D. 3e + 6. 下列定积分是负数的是（）（A ）dx x ⎰20sin π(B)dx x ⎰20cos π(C)dx x ⎰ππ2sin (D)dx x ⎰ππ2cos7. 若4)12(1=+⎰dx x a，则a = ( )(A) 3 (B) 2 (C) 0 (D) 48.若⎰∞-=31dx e kx ，则k=( ) (A)31 (B)-31(C) 3 (D)-3 9.=+⎰)1(212x dt t t dx d （）（A ）x x+12(B) 212-+x x(C) 241x x + (D) 2512x x +10.若,21)(21)(0-=⎰x f dt t f x且1)0(=f ，则=)(x f （） (A)2x e (B)x e 21 (C)x e 2 (D)x e 221 二、填空题： 1．x d xdx 3(arcsin ________312=-）.2．⎰=+________________912dx x .3．若⎰+=,3cos )(c x dx x f 则f （x ）= .4. ⎰='____________________)()(22dx x f x xf . 5. F(x ) =dt t x ⎰+223,则=')1(F _________.6. 极限020cos d limxx t t x→⎰= ；7. 23423sin 1x e xdx x x -++⎰= 8．设()f x 连续，(0)1f =，则曲线0()d xy f x x =⎰在()0,0处的切线方程是；三、解答题：1、2x dx 2、⎰-+322x x dx3、⎰+dx x x214、422331.1x x dx x ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭⎰ 5、cos 2.cos sin xdx x x -⎰6、dx x x ⎰-42 7、⎰-+211xdx8、⎰xdx x arctan 29、1x ⎰10、10d e ex xx-+⎰11、10x ⎰12、22()e d xx x x --+⎰；13．40d 1cos2xx xπ+⎰；14.41x ⎰；15.1d ln x x x+∞⎰16.2203sin d limx x t t x→⎰；17.求曲线xxe y e y -==,及直线1=x 所围成的平面图形的面积.18. 求由曲线)cos 2(2θ+=a r 所围图形的面积19. 由曲线2y x =和2x y =所围成的图形绕y 轴旋转后所得旋转体体积. 20. 计算曲线)3(31x x y -=上相应于31≤≤x 的一段弧的弧长大学数学A （1）复习题参考答案第一章一、选择题1、D2、A3、C4、B5、C6、B7、A8、C9、D二、填空题10、]3,0( 11、)1,1[- 12、x x21+ 13、)23(2353≠-+=x x x y 14、0 15、1 16、2 17、-1 18、e 19、0三、解答与证明题20（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯++⨯+⨯∞→)1(1321211lim n n n )1113121211(lim +-++-+-=∞→n n n 1)111(lim =+-=∞→n n . （2）2111211lim12lim )12(lim=+++=+++=+-+∞→∞→∞→nn n n n n n n n n n . （3）因为 1212222222+≤++++++≤+n n n n n n n n n n n n ，而 11lim lim 2222=+=+∞→∞→n n n n n n n ，所以121lim 222=⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n n nn . （4）因为n nn n n nn n n nn 101010...101010...211010=+++<+++<=，110lim 10lim 1==∞→∞→nn nn ，故1010...21lim =+++∞→n n n n n .21（1）15723lim2323+++-∞→x x x x x 33115723lim x xx x x +++-=∞→53=.（2）331341lim 134lim 2222=++=++∞→∞→xx x x x x . （3）503020)12()23()32(lim ++-∞→x x x x 503020122332lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→x x x x 503020)02()03()02(++-=3023⎪⎭⎫⎝⎛=. （4）11lim31--→x x x 1)1)(1(lim333231-++-=→x x x x x 3)1(lim 3321=++=→x x x .（5）12)42(lim 28lim2232=++=--→→x x x x x x . （6）112lim 131lim )1311(lim 2132131-=+++-=--++=---→→→xx x x x x x x x x x . （7）)1(lim x x x -++∞→011lim=++=+∞→xx x .（8）11)1(lim ln )1(lim11=--=-→→x x x x x x x x .（9）0sin lim ln sin lnlim 00==→→xxx x x x . （10）x xx 3sin 2sin lim0→3232lim 32lim 00===→→x x x x . （11）30sin tan limx x x x -→30)cos 1(tan lim x x x x -⋅=→3202lim x x x x ⋅=→21=. （12）xx x 1)51(lim -→ xt 51-== tt t 511lim -∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+511lim -∞→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t t 5-=e .22 解由题意知 0)2(lim 23=+-→a x x x ，即06232=+⨯-a ，从而3-=a .23 解因1→x 时, 012→-x , 而函数极限存在, 则)1(0→→++x b a x即 0lim 1=++→b a x x从而01=++b a （1）故原式=)1)(1)(1(1lim 11lim121a a x x x x x a a x x x ++++--=-+-+→→ aa a x x x +=++++=→141)1)(1(1lim1即41141=+a（2）由（1）（2）解得1,0-==b a .24 解（1）因为 a x a x f x x =+=++→→)(lim )(lim 0，1lim )(lim 0==--→→x x x e x f ，而 ,)0(a f = 故要使 )(lim 0x f x -→)(lim 0x f x +→=)0(f =，须且只须 1=a .所以当且仅当1=a 时，函数)(x f 在0=x 处连续．（2）因为 21111lim 11lim )(lim 00=++=-+=+++→→→x xx x f x x x ， a x a x f x x cos )cos(lim )(lim 00=+=--→→，而 ,cos )0(a f = 故要使 )(lim 0x f x -→)(lim 0x f x +→=)0(f =，须且只须 21cos =a ，即32ππ±=k a )(Z k ∈. 所以当且仅当32ππ±=k a )(Z k ∈时，函数)(x f 在0=x 处连续．25 证（1）令14)(23+-=x x x f ，则)(x f 在[0,1]上连续，且,02)1(,01)0(<-=>=f f由零点定理知，),1,0(∈∃ξ使,0)(=ξf 即01423=+-ξξ，所以方程01423=+-x x 在(0,1)内至少有一个根.（2）设x e x f x3)(-=，则)(x f 在]1,0[上连续，且03)1(,01)0(<-=>=e f f ，故由零点定理知方程在)1,0(内至少有一个根.第二章一、选择题1、C2、D3、A4、C5、C6、B7、A8、D9、B 10、D 二、填空题11、dx x x )2cos 2(2+ 12、21x -13、)415,21(- 14、1215、n x a a )(ln 16、(1,0) 17、)(20x f ' 18、1． 19、),31(+∞ 20、t tcos 1sin -.三、解答与证明题21、解：1-+='e x ex e y ．22、解：(1)(sin cos )xy e x x '=+，(sin cos )(cos sin )2cos x x x y e x x e x x e x ''=++-=．(2) 2111111x y x x x '-⎛⎫'=⎪+⎝⎭-⎛⎫+ ⎪+⎝⎭()()2222(1)1(1)(1)(1)1x x x x x x -+--+=⋅+++- 22212(1)(1)x x --==++()1211y x -'⎡⎤''=-+⎢⎥⎣⎦()()22222121x x x x -=+⋅=+23、解：2121-='x y ，所以4121)4(421=='=-x x y ，所以切线方程为)4(412-=-x y ，法线方程为)4(42--=-x y ． 24、解：（1）因为0)(lim 0=+→x f x ，0)(lim 0=-→x f x ，所以，0)(lim 0=→x f x ．且0)0(=f ，因此，函数在0=x 处连续．10lim 0)0()(lim )0(00'=--=--=++→→+x x x f x f f x x ，10)1ln(lim 0)0()(lim )0(00'=--+=--=+-→→-x x x f x f f x x ，所以函数在0=x 处可导．（2）因为0)(lim 0=+→x f x ，0)(lim 0=-→x f x ，所以，0)(lim 0=→x f x ．且0)0(=f ，因此，函数在0=x 处连续．01sin lim 001sinlim 0)0()(lim )0(0200'==--=--=+++→→→+xx x x x x f x f f x x x ， 10tan lim 0)0()(lim )0(00'=--=--=--→→-x x x f x f f x x ，所以函数在0=x 处不可导．25、解：两边同时对x 求导得，11ln ()xy y x y e y xy x ''--=+，所以，1ln xyxy yye x y x xe--'=+． 26、解：（1）原式＝)1ln()1ln(limx x x x x ++-→＝20)1ln(lim xx x x +-→＝xx x 2111lim 0+-→＝)1(21lim 0x x +→＝21．（2）30sin tan lim x x x x -→=30)1cos 1(sin lim xx x x -→=x x x x x cos )cos 1(sin lim 30⋅-→121lim 320⋅⋅=→x x x x =21．（3）)arctan 2(lim x x x -+∞→πx x x 1)arctan 2(lim -=+∞→π22111limxx x -+-=+∞→11lim 22=+=+∞→x x x .（4）xx x +→0lim =xx xx x x eeln lim ln 00lim +→+=→，0ln lim 0=+→x x x ，所以原极限10=e ．（5）)1sin 1(lim 0x x x -→ x x x x x sin sin lim 0-=→20sin lim xx x x -=→x x x 2cos 1lim 0-=→2sin lim 0x x →=0=．（6）2sin lim x dt t x x ⎰→=x x x 2sin lim 0→=21．27、解：22111221dy dy t dt t dx t dx dt t -+===+, 22221()12241d dy d y t dt dx dx t dx t dt t +===+.28、解：函数定义域为),(+∞-∞.'()f x =，令'()0f x =，得驻点1=x ，1x =-为不可导点.由上表可以看出，函数在),1(),1,(+∞--∞上单调上升,函数在(1,1)-上单调下降；函数在1-=x 处取得极大值0)1(=-f ，在1=x 处取得极小值343)1(-=f ， 29、解：函数定义域为),(+∞-∞.2363y x x '=-+,666(1)y x x ''=-=-，令0y ''=,得x =1.当1x >时，0y ''>；当1x <时，0y ''<，所以函数的拐点为（1，3），在（-∞，1）上是凸的；在（1，+∞）上是凹的． 30、解：(1)b ax x y ++='232,a x y 26+=''.由条件，有⎩⎨⎧+=+++=ab a 2601413，解得9,3-=-=b a .(2)149323+--=x x x y ，函数定义域为),(+∞-∞.)3)(1(3963)(2-+=--='x x x x x f ，)1(666)(-=-=''x x x f .令0)(='x f ，得稳定点 11-=x ，32=x . 又012)1(<-=-''f ，012)3(>=''f故149323+--=x x x y 在点1-=x 处取极大值，极大值为19)1(=-f ，在点3=x 处取极小值，极小值为13)3(-=f .31. 解：122111x y x x--+==-+++()2121(1)y x '=-+，()()()312121y x ''=--+ ()()()41212(3)1y x '''=---+…… ()n y()()1121!1nn n x +=-+32. 证明：令x x f ln )(=，则)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导.所以由Lagrange 中值定理知，),(b a ∈∃ξ，使)()()(ξf ab a f b f '=--，即ξ1ln ln =--a b a b .又由),(b a ∈ξ，故22211ba ab +>>ξ.. 即222ln ln ba aa b a b +>--. 33. 证明：1）令()(0)f x F x x x=>()2'()()(2)'()xf x f x F x x-=2(0)0'()[()(0)]f xf x f x f x =-- 2'()'()(0)xf x xf x xξξ-<<微分中值定理 '()'()f x f xξ-=当0x >时，'()f x 单调增加 ∴'()'(),'()'()0f f x f x f ξξ<->即故有()'()0.(0,)f x F x x>+∞即在单调增加 34. 证明：令)1ln()(u u f +=，则)(u f 在],0[x 上满足Lagrange 中值定理条件，故),0(x ∈∃ξ，使)0)(()0()(-'=-x f f x f ξ，即)0(11)01ln()1ln(-+=+-+x x ξ，即ξ+=+1)1ln(x x . 又由),0(x ∈ξ，故x xx x <+<+ξ11，即x x xx <+<+)1ln(1. 35. 证明：令()[],0,t f t e t x =∈,()t f t e =在[]0,x 应用拉格朗日中值定理 ()00,0x e e e x x ξ-=-<ξ<x e 是单调增函数，0x e e e ξ∴<<，故有1xxx e xe <-<,0x > 证毕第三章一、选择题1-5 DCBDA 6-10 CBCDC 二、填空题 1．3 2． 11arctan 33x C + 3. -3sin3x 4． 221()+C 4f x5． -2 6． -1 7． 0 8．y x =三、解答题1. 572222=557x dx x dx dx x x C --=-+⎰⎰2.2111=23(3)(1)41311ln ||43dx dx dx dx x x x x x x x Cx ⎛⎫=- ⎪+-+--+⎝⎭-=++⎰⎰⎰⎰3. 22221(1)1=ln |1|+C 1212x d x dx x x x +=+++⎰⎰ 4. 42232233113arctan .11x x dx x dx x x C x x ⎛⎫++⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎰⎰5.22cos 2cos sin (cos sin )sin cos .cos sin cos sin x x x dx dx x x dx x x C x x x x-==+=-+--⎰⎰⎰ 6.dx x x ⎰-42=c xx +--)2arccos 24(tan 227.⎰-+211xdx =cxx x +-+-211arcsin8.⎰xdx x arctan 2=c x x x x +++-)1ln(6161arctan 312239．令t x tan =，则1x ⎰=3344111cos d ln sin 21cos t t t t ππππ-=+⎰=10. 10d e e x x x -+⎰=112200e 1d de e 1e 1x x x x x =++⎰⎰1arctan(e )arctan e 4xπ==-11.10x ⎰=102⎰2121216π===⎰12. 22()e d xx x x --+⎰=22220002e d 2de 2e2e d xxx x x x x x x ----=-=-+⎰⎰⎰262e =-13.40d 1cos2x x x π+⎰=442001d d tan 2cos 2x x x x x ππ=⎰⎰ 444000111ln 2tan tan d lncos 228284x x x x x πππππ=-=+=-⎰14. 41x⎰412ln x =⎰4112x x ⎤=-⎥⎦⎰124ln 2x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰ 14218ln 22d x x -=-⎰8ln24=-15. ee 11d d(ln )ln(ln )ln ln e x x x x xx +∞+∞+∞===+∞⎰⎰ 16. 22220322000sin d 2sin 22(2)8=333lim lim lim x x x x t t x x x x x →→→==⎰17.如图所示，解方程组xxy e y e -⎧=⎨=⎩，得交点(0,1)，所求面积为11100()d []2x x x x A e e x e e e e---=-=+=+-⎰18.解：∵1D ：⎩⎨⎧+<<<<)cos 2(200θπθa r∴12220141122[2(2cos3)]4[4(sin 3sin 6)1823212D D S S a d a a ππθθπθθθπ==+=+++=⎰19. 思路：该平面图形绕y 轴旋转而成体积V 可看作1D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤yx y 010绕y 轴旋转而成的体积1V ，减去2D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤2010y x y 绕y 轴旋转而成的立体体积2V 所得，见图解： πππ103)()(102221021=-=-=⎰⎰dy y dy y V V V20.解：12y '==， ∴3432322(21)214)1(113123313122-=+=+=-+='+=⎰⎰⎰x x dx x x dx x x dx y s ba。

高数第十一章复习

第十一章
曲线积分
习题课
高等数学
1
知识梳理一、两类曲线积分
定义对弧长的曲线积分 ∫ f ( x, y)ds
L
对坐标的曲线积分
∫ P( x, y)dx = lim ∑P(ξ ,η )∆x λ
L →0
n
= lim∑ f (ξi ,ηi )∆Si
λ→0
i =1
n
∫ Q( x, y)dy = lim ∑Q(ξ ,η )∆y λ
（7）求）
其中
是以点 A(1,0) , B(0,1) , C(-1,0) 为 y
B (0,1)
顶点的三角形的正向边界曲线. 顶点的三角形的正向边界曲线解上式积分 =
C (-1,0) o
x
A(1,0)
由格林公式，得由格林公式，
高等数学
13
例2.螺旋形弹簧一圈的方程为螺旋形弹簧一圈的方程为
二、四个等价命题
条件：在单连通区域内条件：在单连通区域G内，函数P ( x , y ) , Q ( x , y ) 具有一阶连续偏导数以下四个命题等价：以下四个命题等价：内与路径无关； 1 曲线积分 ∫ Pdx + Qdy 在G 内与路径无关；
L
2
∫
∂Q ∂P 3 在 G 内恒成立内恒成立; = ∂x ∂y 4 Pdx + Qdy = du( x , y ), 即Pdx + Qdy 为某一 u( x , y )的全微分的全微分.
此时不能用格林公式
2 xy − 3 y x 2 − 5x dx + 2 dy 解 ∫ 2 2 2 x +y L x + y 1 = 2 ∫ (2 xy − 3 y )dx + (x 2 − 5 x )dy a L 1 = 2 ∫∫ [(2 x − 5 ) − (2 x − 3 )]dxdy a x 2 + y 2 ≤a 2

11第3、4课时极限运算法则复习

为后续学习洛必达法则以及无穷解决问题的能力，要学5+2”专转本考试内容中在本课教学过程中着重针尤其是对两个重要极限和无穷大与无穷小问题进行分析，使得学生能够深刻体会和理解极限的本二、用两个重要公式例1．求xxx -→ππsin lim例2．求()x x xx x cos 1sin 1tan 1lim-+-+→解一：原式()()()()x x x x x x x sin 1tan 1cos 11sin 1tan lim+++-+-+=→()()21tan lim 21cos 1cos 1tan lim 2100==--=→→x x x x x x x x 解二：原式()()()()x x x x x x x x x x cos 1sin tan lim 21cos 11sin 11tan 1lim 00--=--+--+=→→21tan lim 210==→x x x 例3．求n n xx x 2cos 4cos 2cos lim ∞→例4．求下列极限（1）1021lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x （2）xx x x 1011lim ⎪⎭⎫⎝⎛+-→（3）xx x x ⎪⎭⎫⎝⎛+-∞→11lim （4）11232lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x x例5．求下列极限（1）()xx x cot tan 1lim +∞→ （2）141lim -→x x x（3）()xx x 2cot 0cos lim → （4）()()x x x 3csc 02cos lim →三、用迫敛定理求极限例1．求⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⋅∞→n n n 212654321lim解：令n n x n 212654321-⋅⋅=，1225432+⋅=n ny n 则n n y x <<0，于是12102+=<<n y x x n n n 由迫敛定理可知0lim 2=∞→n n x ，于是原极限为0。

高等数学A-第2章-11-4(对数求导法参数方程的求导法则)

t x cos y 0 d 2 y 例7.设 ,求 2 . x dx x te 1 0
解:
因为 x 和 y 都是关于 t 的可微函数, 则
dx dy 1 sin y 0 dt dt dx e x te x dx 0 dt dt
当 x x0时, H ( x ) g( x ) 当 x x0时,
H ( x ) H ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) ( x0 ) lim H lim , x x0 x x0 x x0 x x0 H ( x ) H ( x0 ) g( x ) f ( x0 ) ( x0 ) lim H lim , x x0 x x0 x x0 x x0
y ( x 1)
2 sin x
2 x sin x cos x ln( x 1) 2 . x 1
2
例5.设y 5
x5
5
x 2
2
, 求y .
1 1 , 2 ln y ln( x 5 ) ln( x 2 ) 解: 5 5
三、由参数方程确定的函数的求导法则
dy a. y f ( x ) f ( x) x ( t ) dx 1. y (t ) b. F ( x , y ) 0 dy f ( x ) dx
2.问题: 消参困难或无法消参时如何求导?
x (t ) 定理: 设确定了 y为 x的函数, y (t )
x ( t ) 和 y ( t ) 可导, 且 ( t ) 0,
dy ( t ) 则 . dx ( t )

高等数学(第六版)课后习题(完整版)及答案

高等数学课后答案习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞), A ⋂B =[-10, -5), A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C . 证明因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明 (1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ); (2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ). 证明因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ⇔ y ∈f (A )⋃f (B ), 所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ). (2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ), 所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2.因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明: (1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )), 所以 f -1(f (A ))⊃A . (2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A .6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;解由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-.(2)211xy -=;解由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞). (3)211x xy --=;解由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1]. (4)241x y -=; 解由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2). (5)x y sin =;解由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞). (6) y =tan(x +1);解由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).(7) y =arcsin(x -3);解由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4]. (8)xx y 1arctan 3+-=;解由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).(9) y =ln(x +1);解由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞). (10)xe y 1=.解由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞). 7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？ (1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ; (2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g . (4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x . 解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x . (3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同. (4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, )4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形.解 21|6sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ. 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性: (1)x x y -=1, (-∞, 1);(2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时, 0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数x x y -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的.(2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有0l n )()l n ()l n (2121221121<+-=+-+=-x xx x x x x x y y ,所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2. 因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), -f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明: (1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数. 如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ), 所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数. (2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数. 如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数. 如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ), 所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？ (1)y =x 2(1-x 2); (2)y =3x 2-x 3;(3)2211x xy +-=;(4)y =x (x -1)(x +1);(5)y =sin x -cos x +1;(6)2x x aa y -+=.解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数. (2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数. (4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数. (5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数. (6)因为)(22)()()(x f a a a ax f x x x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数.13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期: (1)y =cos(x -2);解是周期函数, 周期为l =2π. (2)y =cos 4x ;解是周期函数, 周期为2π=l .(3)y =1+sin πx ;解是周期函数, 周期为l =2. (4)y =x cos x ; 解不是周期函数. (5)y =sin 2x .解是周期函数, 周期为l =π. 14. 求下列函数的反函数: (1)31+=x y ;解由31+=x y 得x =y 3-1, 所以31+=x y 的反函数为y =x 3-1. (2)xx y +-=11;解由x x y +-=11得y yx +-=11, 所以x x y +-=11的反函数为xx y +-=11.(3)dcx b ax y ++=(ad -bc ≠0);解由d cx b ax y ++=得a cy bdy x -+-=, 所以d cx b ax y ++=的反函数为acx b dx y -+-=.(4) y =2sin3x ;解由y =2sin 3x 得2arcsin 31yx =, 所以y =2sin3x 的反函数为2arcsin 31x y =.(5) y =1+ln(x +2);解由y =1+ln(x +2)得x =e y -1-2, 所以y =1+ln(x +2)的反函数为y =e x -1-2.(6)122+=x xy .解由122+=x x y 得y y x -=1log 2, 所以122+=x x y 的反函数为xx y -=1log 2. 15. 设函数f (x )在数集X 上有定义, 试证: 函数f (x )在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界.证明先证必要性. 设函数f (x )在X 上有界, 则存在正数M , 使|f (x )|≤M , 即-M ≤f (x )≤M . 这就证明了f (x )在X 上有下界-M 和上界M .再证充分性. 设函数f (x )在X 上有下界K 1和上界K 2, 即K 1≤f (x )≤ K 2 . 取M =max{|K 1|, |K 2|}, 则 -M ≤ K 1≤f (x )≤ K 2≤M ,即 |f (x )|≤M .这就证明了f (x )在X 上有界.16. 在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值x 1和x 2的函数值:(1) y =u 2, u =sin x , 61π=x , 32π=x ; 解 y =sin 2x , 41)21(6sin 221===πy ,43)23(3sin 222===πy .(2) y =sin u , u =2x , 81π=x ,42π=x ;解 y =sin2x , 224sin )82sin(1==⋅=ππy ,12sin )42sin(2==⋅=ππy . (3)u y =, u =1+x 2, x 1=1, x 2= 2;解 21x y +=, 21121=+=y , 52122=+=y . (4) y =e u , u =x 2, x 1 =0, x 2=1;解 2x e y =, 1201==e y , e e y ==212.(5) y =u 2 , u =e x , x 1=1, x 2=-1. 解 y =e 2x , y 1=e 2⋅1=e 2, y 2=e 2⋅(-1)=e -2.17. 设f (x )的定义域D =[0, 1], 求下列各函数的定义域: (1) f (x 2);解由0≤x 2≤1得|x |≤1, 所以函数f (x 2)的定义域为[-1, 1]. (2) f (sin x );解由0≤sin x ≤1得2n π≤x ≤(2n +1)π (n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅), 所以函数f (sin x )的定义域为 [2n π, (2n +1)π] (n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅) . (3) f (x +a )(a >0);解由0≤x +a ≤1得-a ≤x ≤1-a , 所以函数f (x +a )的定义域为[-a , 1-a ]. (4) f (x +a )+f (x -a )(a >0).解由0≤x +a ≤1且0≤x -a ≤1得: 当210≤<a 时, a ≤x ≤1-a ; 当21>a 时, 无解. 因此当210≤<a 时函数的定义域为[a , 1-a ], 当21>a 时函数无意义.18. 设⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1||11||01||1)(x x x x f , g (x )=e x , 求f [g (x )]和g [f (x )], 并作出这两个函数的图形. 解 ⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1|| 11|| 01|| 1)]([x x x e e e x g f , 即⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0 10 001)]([x x x x g f .⎪⎩⎪⎨⎧>=<==-1|| 1|| e 1|| )]([101)(x e x x e e x f g x f , 即⎪⎩⎪⎨⎧>=<=-1|| 1|| 11|| )]([1x e x x e x f g . 19. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角ϕ=40︒(图1-37). 当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时, 求湿周L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式, 并指明其定义域.图1-37解 40sin hDC AB ==, 又从)]40cot 2([21Sh BC BC h =⋅++ 得h hS BC ⋅-=40cot 0, 所以h h S L 40sin 40cos 20-+=. 自变量h 的取值范围应由不等式组h >0,040cot 0>⋅-h hS确定, 定义域为40cot 00S h <<.20. 收敛音机每台售价为90元, 成本为60元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订购量超过100台以上的, 每多订购1台, 售价就降低1分, 但最低价为每台75元.(1)将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数; (2)将厂方所获的利润P 表示成订购量x 的函数; (3)某一商行订购了1000台, 厂方可获利润多少？解 (1)当0≤x ≤100时, p =90.令0.01(x 0-100)=90-75, 得x 0=1600. 因此当x ≥1600时, p =75. 当100<x <1600时,p =90-(x -100)⨯0.01=91-0. 01x . 综合上述结果得到⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=1600 75160010001.091100090x x x x p . (2)⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=-=1600 15160010001.0311000 30)60(2x x x x x x x x p P . (3) P =31⨯1000-0.01⨯10002=21000(元).习题1-21. 观察一般项x n 如下的数列{x n }的变化趋势, 写出它们的极限: (1)nn x 21=; 解当n →∞时, nn x 21=→0, 021lim =∞→n n . (2)nx n n 1)1(-=;解当n →∞时, n x n n 1)1(-=→0, 01)1(lim =-∞→nn n .(3)212nx n +=; 解当n →∞时, 212n x n +=→2, 2)12(lim 2=+∞→n n . (4)11+-=n n x n ;解当n →∞时, 12111+-=+-=n n n x n →0, 111lim =+-∞→n n n .(5) x n =n (-1)n .解当n →∞时, x n =n (-1)n 没有极限.2. 设数列{x n }的一般项nn x n 2cos π=. 问n n x ∞→lim =? 求出N , 使当n >N 时, x n与其极限之差的绝对值小于正数ε , 当ε =0.001时, 求出数N .解 0lim =∞→n n x .n n n x n 1|2c o s||0|≤=-π. ∀ε >0, 要使|x n -0|<ε , 只要ε<n 1, 也就是ε1>n . 取]1[ε=N , 则∀n >N , 有|x n -0|<ε .当ε =0.001时, ]1[ε=N =1000.3. 根据数列极限的定义证明:(1)01lim 2=∞→n n ;分析要使ε<=-221|01|n n , 只须ε12>n , 即ε1>n . 证明因为∀ε>0, ∃]1[ε=N , 当n >N 时, 有ε<-|01|2n , 所以01lim2=∞→n n .(2)231213lim =++∞→n n n ;分析要使ε<<+=-++n n n n 41)12(21|231213|, 只须ε<n41, 即ε41>n .证明因为∀ε>0, ∃]41[ε=N , 当n >N 时, 有ε<-++|231213|n n , 所以231213lim =++∞→n n n .(3)1lim 22=+∞→na n n ; 分析要使ε<<++=-+=-+na n a n n a n n a n n a n 22222222)(|1|, 只须ε2a n >. 证明因为∀ε>0, ∃][2εa N =, 当∀n >N 时, 有ε<-+|1|22n a n , 所以1lim 22=+∞→na n n .(4)19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n . 分析要使|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9-1|ε<=-1101n , 只须1101-n <ε , 即ε1lg 1+>n . 证明因为∀ε>0, ∃]1lg 1[ε+=N , 当∀n >N 时, 有|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9-1|<ε , 所以19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n . 4. a u n n =∞→lim , 证明||||lim a u n n =∞→. 并举例说明: 如果数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限.证明因为a u n n =∞→lim , 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有ε<-||a u n , 从而||u n |-|a ||≤|u n -a |<ε .这就证明了||||lim a u n n =∞→.数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限. 例如1|)1(|lim =-∞→n n , 但n n )1(lim -∞→不存在.5. 设数列{x n }有界, 又0lim =∞→n n y , 证明: 0lim =∞→n n n y x .证明因为数列{x n }有界, 所以存在M , 使∀n ∈Z , 有|x n |≤M .又0lim =∞→n n y , 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有M y n ε<||. 从而当n >N 时, 有εε=⋅<≤=-M M y M y x y x n n n n n |||||0|,所以0lim =∞→n n n y x .6. 对于数列{x n }, 若x 2k -1→a (k →∞), x 2k →a (k →∞),证明: x n →a (n →∞).证明因为x 2k -1→a (k →∞), x 2k →a (k →∞), 所以∀ε>0, ∃K 1, 当2k -1>2K 1-1时, 有| x 2k -1-a |<ε ; ∃K 2, 当2k >2K 2时, 有|x 2k -a |<ε .取N =max{2K 1-1, 2K 2}, 只要n >N , 就有|x n -a |<ε . 因此x n →a (n →∞). 习题1-31. 根据函数极限的定义证明: (1)8)13(lim 3=-→x x ;分析因为|(3x -1)-8|=|3x -9|=3|x -3|,所以要使|(3x -1)-8|<ε , 只须ε31|3|<-x .证明因为∀ε>0, ∃εδ31=, 当0<|x -3|<δ时, 有|(3x -1)-8|<ε , 所以8)13(lim 3=-→x x .(2)12)25(lim 2=+→x x ;分析因为|(5x +2)-12|=|5x -10|=5|x -2|, 所以要使|(5x +2)-12|<ε , 只须ε51|2|<-x .证明因为∀ε >0, ∃εδ51=, 当0<|x -2|<δ时, 有 |(5x +2)-12|<ε , 所以12)25(lim 2=+→x x .(3)424lim 22-=+--→x x x ; 分析因为|)2(||2|244)4(2422--=+=+++=--+-x x x x x x x ,所以要使ε<--+-)4(242x x , 只须ε<--|)2(|x . 证明因为∀ε >0, ∃εδ=, 当0<|x -(-2)|<δ时, 有ε<--+-)4(242x x , 所以424lim 22-=+--→x x x .(4)21241lim 321=+--→x x x . 分析因为|)21(|2|221|212413--=--=-+-x x x x ,所以要使ε<-+-212413x x , 只须ε21|)21(|<--x . 证明因为∀ε >0, ∃εδ21=, 当δ<--<|)21(|0x 时, 有ε<-+-212413x x , 所以21241lim 321=+--→x x x . 2. 根据函数极限的定义证明:(1)2121lim 33=+∞→x xx ; 分析因为333333||21212121x x x x x x =-+=-+, 所以要使ε<-+212133x x , 只须ε<3||21x , 即321||ε>x . 证明因为∀ε >0, ∃321ε=X , 当|x |>X 时, 有 ε<-+212133x x , 所以2121lim 33=+∞→x xx . (2)0sin lim =+∞→xx x .分析因为x xx x x 1|s i n |0s i n≤=-.所以要使ε<-0sin xx , 只须ε<x1, 即21ε>x . 证明因为∀ε>0, ∃21ε=X , 当x >X 时, 有ε<-0s i n xx , 所以0sin lim =+∞→xx x .3. 当x →2时, y =x 2→4. 问δ等于多少, 使当|x -2|<δ时, |y -4|<0.001？解由于当x →2时, |x -2|→0, 故可设|x -2|<1, 即1<x <3. 要使|x 2-4|=|x +2||x -2|<5|x -2|<0.001, 只要0002.05001.0|2|=<-x .取δ=0.0002, 则当0<|x -2|<δ时, 就有|x 2-4|<0. 001.4. 当x →∞时, 13122→+-=x x y , 问X 等于多少, 使当|x |>X 时, |y -1|<0.01?解要使01.034131222<+=-+-x x x , 只要397301.04||=->x , 故397=X . 5. 证明函数f (x )=|x |当x →0时极限为零. 证明因为|f (x )-0|=||x |-0|=|x |=|x -0|, 所以要使|f (x )-0|<ε, 只须|x |<ε.因为对∀ε>0, ∃δ=ε, 使当0<|x -0|<δ, 时有 |f (x )-0|=||x |-0|<ε, 所以0||lim 0=→x x .6. 求,)(x x x f = xx x ||)(=ϕ当x →0时的左﹑右极限, 并说明它们在x →0时的极限是否存在.证明因为11lim lim )(lim 000===---→→→x x x x x x f , 11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x f ,)(lim )(lim 0x f x f x x +→→=-,所以极限)(lim 0x f x →存在.因为1lim ||lim )(lim 000-=-==---→→→xx x x x x x x ϕ,1lim||lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x x x ϕ, )(lim )(lim 0x x x x ϕϕ+→→≠-,所以极限)(lim 0x x ϕ→不存在.7. 证明: 若x →+∞及x →-∞时, 函数f (x )的极限都存在且都等于A , 则A x f x =∞→)(lim .证明因为A x f x =-∞→)(lim , A x f x =+∞→)(lim , 所以∀ε>0,∃X 1>0, 使当x <-X 1时, 有|f (x )-A |<ε ; ∃X 2>0, 使当x >X 2时, 有|f (x )-A |<ε .取X =max{X 1, X 2}, 则当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε , 即A x f x =∞→)(lim .8. 根据极限的定义证明: 函数f (x )当x →x 0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明先证明必要性. 设f (x )→A (x →x 0), 则∀ε>0, ∃δ>0, 使当0<|x -x 0|<δ 时, 有 |f (x )-A |<ε .因此当x 0-δ<x <x 0和x 0<x <x 0+δ 时都有 |f (x )-A |<ε .这说明f (x )当x →x 0时左右极限都存在并且都等于A . 再证明充分性. 设f (x 0-0)=f (x 0+0)=A , 则∀ε>0, ∃δ1>0, 使当x 0-δ1<x <x 0时, 有| f (x )-A <ε ; ∃δ2>0, 使当x 0<x <x 0+δ2时, 有| f (x )-A |<ε .取δ=min{δ1, δ2}, 则当0<|x -x 0|<δ 时, 有x 0-δ1<x <x 0及x 0<x <x 0+δ2 , 从而有 | f (x )-A |<ε , 即f (x )→A (x →x 0).9. 试给出x →∞时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.解 x →∞时函数极限的局部有界性的定理: 如果f (x )当x →∞时的极限存在, 则存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M .证明设f (x )→A (x →∞), 则对于ε =1, ∃X >0, 当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε =1. 所以 |f (x )|=|f (x )-A +A |≤|f (x )-A |+|A |<1+|A |.这就是说存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M , 其中M =1+|A |. 习题1-41. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之. 解不一定.例如, 当x →0时, α(x )=2x , β(x )=3x 都是无穷小, 但32)()(lim 0=→x x x βα, )()(x x βα不是无穷小.2. 根据定义证明:(1)392+-=x xy 当x →3时为无穷小;(2)xx y 1sin =当x →0时为无穷小.证明 (1)当x ≠3时|3|39||2-=+-=x x x y . 因为∀ε>0, ∃δ=ε , 当0<|x -3|<δ时, 有εδ=<-=+-=|3|39||2x x x y ,所以当x →3时392+-=x xy 为无穷小.(2)当x ≠0时|0||1sin |||||-≤=x xx y . 因为∀ε>0, ∃δ=ε , 当0<|x -0|<δ时, 有εδ=<-≤=|0||1sin |||||x xx y ,所以当x →0时xx y 1sin =为无穷小.3. 根据定义证明: 函数x x y 21+=为当x →0时的无穷大. 问x 应满足什么条件, 能使|y |>104？证明分析2||11221||-≥+=+=x x x x y , 要使|y |>M , 只须M x >-2||1, 即21||+<M x .证明因为∀M >0, ∃21+=M δ, 使当0<|x -0|<δ时, 有M x x >+21,所以当x →0时, 函数xx y 21+=是无穷大.取M =104, 则21014+=δ. 当2101|0|04+<-<x 时, |y |>104. 4. 求下列极限并说明理由:(1)xx x 12lim +∞→;(2)xxx --→11lim 20.解 (1)因为xx x 1212+=+, 而当x →∞ 时x 1是无穷小, 所以212lim =+∞→x x x .(2)因为x x x +=--1112(x ≠1), 而当x →0时x 为无穷小, 所以111lim 20=--→x x x .5. 根据函数极限或无穷大定义, 填写下表:f (x )→Af (x )→∞f (x )→+∞f (x )→-∞x→x 0 ∀ε>0, ∃δ>0, 使当0<|x -x 0|<δ时,有恒|f (x )-A |<ε.x →x 0+x →x 0-x →∞∀ε>0, ∃X >0, 使当|x |>X 时,有恒|f (x )|>M .x →+∞x →-∞解 f (x )→A f (x )→∞ f (x )→+∞ f (x )→-∞ x →x 0∀ε>0, ∃δ>0, 使当0<|x -x 0|<δ∀M >0, ∃δ>0, 使当∀M >0, ∃δ>0, 使当∀M >0, ∃δ>0, 使当时, 有恒|f (x )-A |<ε.0<|x -x 0|<δ时, 有恒|f (x )|>M .0<|x -x 0|<δ时, 有恒f (x )>M .0<|x -x 0|<δ时, 有恒f (x )<-M .x→x 0+ ∀ε>0, ∃δ>0,使当0<x -x 0<δ时, 有恒|f (x )-A |<ε.∀M >0,∃δ>0, 使当0<x -x 0<δ时, 有恒|f (x )|>M .∀M >0, ∃δ>0, 使当0<x -x 0<δ时, 有恒f (x )>M .∀M >0, ∃δ>0, 使当0<x -x 0<δ时, 有恒f (x )<-M .x →x 0- ∀ε>0, ∃δ>0,使当0<x 0-x <δ时, 有恒|f (x )-A |<ε.∀M >0,∃δ>0, 使当0<x 0-x <δ时, 有恒|f (x )|>M .∀M >0, ∃δ>0, 使当0<x 0-x <δ时, 有恒f (x )>M .∀M >0, ∃δ>0, 使当0<x 0-x <δ时, 有恒f (x )<-M .x →∞∀ε>0, ∃X >0, 使当|x |>X 时, 有恒|f (x )-A |<ε.∀ε>0, ∃X >0, 使当|x |>X 时, 有恒|f (x )|>M .∀ε>0, ∃X >0, 使当|x |>X 时, 有恒f (x )>M .∀ε>0, ∃X >0, 使当|x |>X 时, 有恒f (x )<-M .x →+∞∀ε>0, ∃X >0, 使当x >X 时, 有恒|f (x )-A |<ε.∀ε>0, ∃X >0, 使当x >X 时, 有恒|f (x )|>M .∀ε>0, ∃X >0, 使当x >X 时, 有恒f (x )>M .∀ε>0, ∃X >0, 使当x >X 时, 有恒f (x )<-M .x →-∞∀ε>0, ∃X >0,使当x <-X 时, 有恒|f (x )-A |<ε.∀ε>0, ∃X >0,使当x <-X 时, 有恒|f (x )|>M .∀ε>0, ∃X >0,使当x <-X 时, 有恒f (x )>M .∀ε>0, ∃X >0,使当x <-X 时, 有恒f (x )<-M .6. 函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内是否有界？这个函数是否为当x →+∞ 时的无穷大？为什么？解函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内无界.这是因为∀M >0, 在(-∞, +∞)内总能找到这样的x , 使得|y (x )|>M . 例如y (2k π)=2k π cos2k π=2k π (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当k 充分大时, 就有| y (2k π)|>M .当x →+∞ 时, 函数y =x cos x 不是无穷大.这是因为∀M >0, 找不到这样一个时刻N , 使对一切大于N 的x , 都有|y (x )|>M . 例如0)22cos()22()22(=++=+ππππππk k k y (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),对任何大的N , 当k 充分大时, 总有N k x >+=22ππ, 但|y (x )|=0<M .7. 证明: 函数xx y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x →0+时的无穷大.证明函数x x y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界. 这是因为∀M >0, 在(0, 1]中总可以找到点x k , 使y (x k )>M . 例如当221ππ+=k x k (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)时, 有22)(ππ+=k x y k ,当k 充分大时, y (x k )>M .当x →0+ 时, 函数xx y 1sin 1=不是无穷大. 这是因为∀M >0, 对所有的δ>0, 总可以找到这样的点x k , 使0<x k <δ, 但y (x k )<M . 例如可取πk x k 21=(k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当k 充分大时, x k <δ, 但y (x k )=2k πsin2k π=0<M . 习题1-51. 计算下列极限:(1)35lim22-+→x x x ;解 9325235lim222-=-+=-+→x x x . (2)13lim 223+-→x x x ; 解 01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x . (3)112lim 221-+-→x x x x ;解 02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x . (4)xx xx x x 2324lim 2230++-→;解 2123124lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x .(5)hx h x h 220)(lim -+→;解 x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→. (6))112(lim 2x x x +-∞→;解 21lim 1lim2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x . (7)121lim 22---∞→x x x x ;解 2111211lim 121lim 2222=---=---∞→∞→xx x x x x x x . (8)13lim 242--+∞→x x xx x ;解 013lim 242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数, 极限为零). 或 012111lim 13lim 4232242=--+=--+∞→∞→xx x x x x x x x x . (9)4586lim 224+-+-→x x x x x ; 解 32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x .(10))12)(11(lim 2x x x -+∞→;解 221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x . (11))21 41211(lim nn +⋅⋅⋅+++∞→;解 2211)21(1lim )21 41211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n . (12)2)1( 321limn n n -+⋅⋅⋅+++∞→;解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n n n n n n n n .(13)35)3)(2)(1(limnn n n n +++∞→; 解 515)3)(2)(1(lim3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同, 极限为最高次项系数之比).或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n . (14))1311(lim 31xx x ---→;解 )1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 112l i m 21-=+++-=→x x x x .2. 计算下列极限:(1)2232)2(2lim -+→x x x x ;解因为01602)2(lim 2322==+-→x x x x , 所以∞=-+→2232)2(2lim x x x x . (2)12lim 2+∞→x xx ;解 ∞=+∞→12lim2x x x (因为分子次数高于分母次数). (3))12(lim 3+-∞→x x x .解 ∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数).3. 计算下列极限:(1)xx x 1sin lim 20→;解 01sin lim 20=→xx x (当x →0时, x 2是无穷小, 而x 1sin 是有界变量).(2)xx x arctan lim ∞→.解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x x x x x (当x →∞时, x 1是无穷小,而arctan x 是有界变量). 4. 证明本节定理3中的(2).习题1-51. 计算下列极限:(1)35lim22-+→x x x ;解 9325235lim222-=-+=-+→x x x . (2)13lim 223+-→x x x ; 解 01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x . (3)112lim 221-+-→x x x x ;解 02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x . (4)xx xx x x 2324lim 2230++-→;解 2123124lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x . (5)hx h x h 220)(lim -+→;解 x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim 02220220=+=-++=-+→→→. (6))112(lim 2xx x +-∞→; 解 21lim 1lim2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x . (7)121lim 22---∞→x x x x ;解 2111211lim 121lim 2222=---=---∞→∞→xx x x x x x x . (8)13lim 242--+∞→x x xx x ;解 013lim 242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数, 极限为零).或 012111lim 13lim 4232242=--+=--+∞→∞→xx x x x x x x x x .(9)4586lim 224+-+-→x x x x x ; 解 32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x .(10))12)(11(lim 2x x x -+∞→;解 221)12(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x . (11))21 41211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→; 解 2211)21(1lim )21 41211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n .(12)2)1( 321limn n n -+⋅⋅⋅+++∞→;解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n n n n n n n n . (13)35)3)(2)(1(lim n n n n n +++∞→;解 515)3)(2)(1(lim 3=+++∞→nn n n n (分子与分母的次数相同, 极限为最高次项系数之比).或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n .(14))1311(lim 31xx x ---→;解 )1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 112l i m 21-=+++-=→x x x x . 2. 计算下列极限:(1)2232)2(2lim -+→x x x x ; 解因为01602)2(lim 2322==+-→x x x x , 所以∞=-+→2232)2(2limx x x x .(2)12lim 2+∞→x x x ;解 ∞=+∞→12lim2x x x (因为分子次数高于分母次数). (3))12(lim 3+-∞→x x x .解 ∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数).3. 计算下列极限:(1)xx x 1sin lim 20→;解 01sin lim 20=→xx x (当x →0时, x 2是无穷小, 而x 1sin 是有界变量).(2)xx x arctan lim ∞→.解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x x x x x (当x →∞时, x 1是无穷小,而arctan x 是有界变量). 4. 证明本节定理3中的(2).习题 1-71. 当x →0时, 2x -x 2 与x 2-x 3相比, 哪一个是高阶无穷小？解因为02lim 2lim202320=--=--→→xx x x x x x x x , 所以当x →0时, x 2-x 3是高阶无穷小, 即x 2-x 3=o (2x -x 2).2. 当x →1时, 无穷小1-x 和(1)1-x 3, (2))1(212x -是否同阶？是否等价？解 (1)因为3)1(lim 1)1)(1(lim 11lim212131=++=-++-=--→→→x x x x x x x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和1-x 3是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小.(2)因为1)1(lim 211)1(21lim 121=+=--→→x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和)1(212x -是同阶的无穷小, 而且是等价无穷小.3. 证明: 当x →0时, 有: (1) arctan x ~x ;(2)2~1sec 2xx -.证明 (1)因为1tan limarctan lim 00==→→y yxx y x (提示: 令y =arctan x , 则当x →0时, y →0), 所以当x →0时, arctan x ~x .(2)因为1)22sin 2(lim 22sin 2lim cos cos 1lim 2211sec lim 202202020===-=-→→→→x xx x x x x xx x x x x , 所以当x →0时, 2~1s e c2x x -. 4. 利用等价无穷小的性质, 求下列极限: (1)xx x 23tan lim 0→;(2)mn x x x )(sin )sin(lim 0→(n , m 为正整数);(3)x x x x 30sin sin tan lim -→; (4))1sin 1)(11(tan sin lim320-+-+-→x x x x x . 解 (1)2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧<∞>===→→mn m n m n x x x x mn x m n x 0 1lim )(sin )sin(lim00. (3)21cos 21lim sin cos cos 1lim sin )1cos 1(sin lim sin sin tan lim 220203030==-=-=-→→→→x x x x x x xx x x x x x x x x . (4)因为32221)2(2~2s i n t a n 2)1(c o s t a n t a n s i n x x x x x x x x x -=⋅--=-=-(x →0),23232223231~11)1(11x x x x x ++++=-+(x →0), x x x x x ~s i n ~1s i n 1s i n 1s i n1++=-+(x →0),所以 33121l i m )1s i n 1)(11(tan sin lim 230320-=⋅-=-+-+-→→xx x x x x x x x .5. 证明无穷小的等价关系具有下列性质: (1) α ~α (自反性);(2) 若α ~β, 则β~α(对称性); (3)若α ~β, β~γ, 则α~γ(传递性). 证明 (1)1lim =αα, 所以α ~α ;(2) 若α ~β, 则1lim =βα, 从而1lim =αβ. 因此β~α ;(3) 若α ~β, β~γ, 1lim lim lim =⋅=βαγβγα. 因此α~γ.习题1-81. 研究下列函数的连续性, 并画出函数的图形:(1)⎩⎨⎧≤<-≤≤=21 210 )(2x x x x x f ;解已知多项式函数是连续函数, 所以函数f (x )在[0, 1)和(1, 2]内是连续的. 在x =1处, 因为f (1)=1, 并且1lim )(lim 211==--→→x x f x x , 1)2(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x . 所以1)(lim 1=→x f x , 从而函数f (x )在x =1处是连续的.综上所述，函数f (x )在[0, 2]上是连续函数.(2)⎩⎨⎧>≤≤-=1|| 111 )(x x x x f .解只需考察函数在x =-1和x =1处的连续性. 在x =-1处, 因为f (-1)=-1, 并且)1(11l i m )(l i m 11-≠==---→-→f x f x x , )1(1lim )(lim 11-=-==++-→-→f x x f x x ,所以函数在x =-1处间断, 但右连续.在x =1处, 因为f (1)=1, 并且1l i m )(l i m 11==--→→x x f x x =f (1), 11lim )(lim 11==++→→x x x f =f (1), 所以函数在x =1处连续.综合上述讨论, 函数在(-∞, -1)和(-1, +∞)内连续, 在x =-1处间断, 但右连续. 2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续:(1)23122+--=x x xy , x =1, x =2;解 )1)(2()1)(1(23122---+=+--=x x x x x x x y . 因为函数在x =2和x =1处无定义, 所以x =2和x =1是函数的间断点.因为∞=+--=→→231lim lim 2222x x xy x x , 所以x =2是函数的第二类间断点;因为2)2()1(limlim 11-=-+=→→x x y x x , 所以x =1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x =1处, 令y =-2, 则函数在x =1处成为连续的.(2)x x y tan =, x =k , 2ππ+=k x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅);解函数在点x =k π(k ∈Z)和2ππ+=k x (k ∈Z)处无定义, 因而这些点都是函数的间断点.因∞=→x x k x tan lim π(k ≠0), 故x =k π(k ≠0)是第二类间断点;因为1tan lim 0=→x x x ,0tan lim2=+→x x k x ππ(k ∈Z), 所以x =0和2ππ+=k x (k ∈Z) 是第一类间断点且是可去间断点.令y |x =0=1, 则函数在x =0处成为连续的;令2 ππ+=k x 时, y =0, 则函数在2ππ+=k x 处成为连续的.(3)xy 1cos 2=, x =0;解因为函数x y 1cos 2=在x =0处无定义, 所以x =0是函数xy 1cos 2=的间断点. 又因为xx 1cos lim 20→不存在, 所以x =0是函数的第二类间断点. (4)⎩⎨⎧>-≤-=1311x x x x y , x =1.解因为0)1(lim )(lim 11=-=--→→x x f x x 2)3(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x , 所以x =1是函数的第一类不可去间断点.3. 讨论函数x x x x f nnn 2211lim)(+-=∞→的连续性, 若有间断点, 判别其类型. 解 ⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=+-=∞→1|| 1|| 01|| 11lim )(22x x x x x x x x x f nn n . 在分段点x =-1处, 因为1)(lim )(lim 11=-=---→-→x x f x x , 1lim )(lim 11-==++-→-→x x f x x , 所以x =-1为函数的第一类不可去间断点.在分段点x =1处, 因为1lim )(lim 11==--→→x x f x x , 1)(lim )(lim 11-=-=++→→x x f x x , 所以x =1为函数的第一类不可去间断点.4. 证明: 若函数f (x )在点x 0连续且f (x 0)≠0, 则存在x 0的某一邻域U (x 0), 当x ∈U (x 0)时, f (x )≠0.证明不妨设f (x 0)>0. 因为f (x )在x 0连续, 所以0)()(lim 00>=→x f x f x x , 由极限的局部保号性定理, 存在x 0的某一去心邻域)(0x U , 使当x ∈)(0x U时f (x )>0, 从而当x ∈U (x 0)时, f (x )>0. 这就是说, 则存在x 0的某一邻域U (x 0), 当x ∈U (x 0)时, f (x )≠0.5. 试分别举出具有以下性质的函数f (x )的例子:(1)x =0, ±1, ±2, 21±, ⋅ ⋅ ⋅, ±n , n1±, ⋅ ⋅ ⋅是f (x )的所有间断点, 且它们都是无穷间断点; 解函数x x x f ππcsc )csc()(+=在点x =0, ±1, ±2, 21±, ⋅ ⋅ ⋅, ±n , n 1±, ⋅ ⋅ ⋅处是间断的且这些点是函数的无穷间断点.(2)f (x )在R 上处处不连续, 但|f (x )|在R 上处处连续;解函数⎩⎨⎧∉∈-=Q Qx x x f 1 1)(在R 上处处不连续, 但|f (x )|=1在R 上处处连续.(3)f (x )在R 上处处有定义, 但仅在一点连续.解函数⎩⎨⎧∉-∈=Q Q x x x x x f)(在R 上处处有定义, 它只在x =0处连续.习题1-91. 求函数633)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间, 并求极限)(lim 0x f x →, )(lim 3x f x -→及)(lim 2x f x →.解 )2)(3()1)(1)(3(633)(223-++-+=-+--+=x x x x x x x x x x x f , 函数在(-∞, +∞)内除点x =2和x =-3外是连续的, 所以函数f (x )的连续区间为(-∞, -3)、(-3, 2)、(2, +∞).在函数的连续点x =0处, 21)0()(lim 0==→f x f x . 在函数的间断点x =2和x =-3处, ∞=-++-+=→→)2)(3()1)(1)(3(lim)(lim 22x x x x x x f x x , 582)1)(1(lim)(lim 33-=-+-=-→-→x x x x f x x . 2. 设函数f (x )与g (x )在点x 0连续, 证明函数 ϕ(x )=max{f (x ), g (x )}, ψ(x )=min{f (x ), g (x )} 在点x 0也连续.证明已知)()(lim 00x f x f x x =→, )()(lim 00x g x g x x =→.可以验证] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x -++=ϕ,] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x --+=ψ.因此 ] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x -++=ϕ,] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x --+=ψ.因为] |)()(|)()([21lim )(lim 00x g x f x g x f x x x x x -++=→→ϕ] |)(lim )(lim |)(lim )(lim [210000x g x f x g x f x x x x x x x x →→→→-++=] |)()(|)()([210000x g x f x g x f -++==ϕ(x 0),所以ϕ(x )在点x 0也连续.同理可证明ψ(x )在点x 0也连续.3. 求下列极限: (1)52lim 20+-→x x x ;。

东南大学高等数学习题课十一

y = f (ξ) ， x= a 所围成的面积 A1 是曲线 y= f ( x ) 与两 = ξ =
的三倍。 < 直线 y = f (ξ) ， x= b 所围成的面积 A2 的三倍。 a< b ） = （ ξ
y
A1
y= f (x) =
A2
o a
ξ
b
x
y
A1
y= f (x) =
A2
o a
ξ
b
x
A1 (ξ ) 证明思路：要证存在唯一的 ξ ，使 = 3 ，等价于 A2 ( ξ )
证明存在唯一的 ξ ，使 A1 (ξ )− 3 A2 (ξ )= 0 。
证明：先证存在性证明：先证存在性。
设辅助函数 F ( x )= A1 ( x )− 3 A2 ( x ) ，则 F ( x )∈C [a ,b] 。
F ( x )= ∫ [ f ( x )− f ( t )]dt − 3 ∫ [ f ( t )− f ( x )]dt ，
x
x
∫
π t 2 ⋅sec 2 tdt π tan 2 t 4
=∫
π 2t π 4
csc tdt =
2
π 2+ π 4
∫
π 2t π 4
d ( −cot t )
= − t cot t
∫
π = + ln sin x 4
π 2 cot tdt π 4 π 2 = π − ln π 4 4
2 π 1 = + ln 2. 2 4 2
边阴影部分的面积相等，写出
ϑ 的表达式 ; ( 2 ) 求 lim θ .
解
o
x 2 x 2
∫
x→0 x ξ e 2 dx 0

高等数学电子教案：第11章曲线积分与曲面积分

)i x ，)i LQ y ⎰以上这两个积分称为第二类曲线积分。

第二类曲线积分的定义可以类似地推广到积分弧段为空间有向曲线弧的情形。

第二类曲线积分的物理意义：当质点受到力Ｆ(x,y)=P(x,y)作用，在xoy 平面内从点Ａ沿光滑曲线L 移动到点Ｂ时，变力Ｆ所做的功，即(,)L F ds P x dy ⋅=⎰ ,其中类似地可以推广到空间情形。

第二类曲线积分的性质：]Pdx Qdy k +=L Pdx Qdy Pdx +=⎰LPdx Qdy +⎰成立，其中平面上曲线积分与路径无关的条件：P(x,y)及Q(x,y)在G 内具有一阶连续偏导数，则下面四个命题等价：内积分与路径无关；LPdx Qdy +=⎰，L 为G 内任一闭曲线；,(,)Q P x y G xy∂∂=∈∂∂；）存在可微函数u(x,y)且当上述四个等价命题之一成立时有：00(,)(,))x y x y y Pdx =+⎰0(,)yy Q x y dy +⎰对于一个第二类曲线积分的计算题目，先分析其是否满足格林公式：LPdx Qdy +⎰，若成为取正向的封闭曲线，进而采用格林公式，然后再减去L 1与L 所围成区域内计算二重积分，又要有利用所围成区域满足格林公式条件。

若L 为闭区线，但连续偏导数，则可采用“挖洞’法来利用格林公式。

且区域为单连通区域时，积分与路径无关，因而我们可选取一条最简单的路经计算。

一般轴的折线，如果曲线本身是封闭的，可寻找一条更简单的封闭同向曲线，只要两条曲线不象Q P∂∂)S存在，则称这个极限iS，亦称它为第一型曲面积分。

其物理意义是面密度)i，∑叫做积分曲面曲面面积元素。

可以得知它具有以下性质（假定下面的曲面积分都存在）=⎰⎰)]dS k1∑2{1{,,}{x F n dS z F dxdy z P Q R dxdy⋅-⋅'+⋅ “+”， “-”的确定：若题设中曲面∑的侧与-”。

)()i xy S 存在，x,y 的曲面积分，记作)()i xy S 。

高等数学第十一章习题课(二)曲面积分

z
B
o
dS
n C

y
z
x
3 2
y A x : x y z 1
n 1 (1, 1, 1)
3
1 3

(3) d S
答: 第一类曲面积分的特例.
2) 设曲面问下列等式是否成立?
不对 ! 对坐标的积分与的侧有关
练习: P185 题4(3)
计算 x d y d z y d z d x z d x d y, 其中为半球面

的上侧. 提示: 以半球底面 0 为辅助面, 且取下侧 , 记半球域为 , 利用高斯公式有原式 =
x , 2 2 x y y , 2 2 x y
D

x y I y , x , z 2 , 2 ,1dxdy 2 2 x y x y
2
z 2dxdy

( x 2 y 2 )dxdy
D xy
[ Dxy : 1 x 2 y 2 4 ]

用重心公式
利用对称性
2( x z ) d S

0
例7. 设L 是平面
与柱面
的交线
从 z 轴正向看去, L 为逆时针方向, 计算解: 记为平面
上 L 所围部分的上侧,
D为在 xoy 面上的投影. 由斯托克斯公式
z
L
I

1 3 x
2z x y z 2 (4 x 2 y 3z )dS 3
2 2
1 3 y 2
2
3x y 2
1 3 z 2
dS
D
o x
y

高等数学课后习题答案

习题6?21? 求图6?21 中各画斜线部分的面积?(1)解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 61]2132[)(1022310=-=-=⎰x x dx x x A .(2)解法一画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为1|)()(1010=-=-=⎰x x e ex dx e e A ?解法二画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1? e ]? 所求的面积为1)1(|ln ln 111=--=-==⎰⎰e e dy y y ydy A e e e ?(3)解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 332]2)3[(132=--=⎰-dx x x A ?(4)解画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为332|)313()32(3132312=-+=-+=--⎰x x x dx x x A ?2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积?(1) 221x y =与x 2?y 2?8(两部分都要计算)?解?34238cos 16402+=-=⎰ππtdt ? 346)22(122-=-=ππS A ? (2)xy 1=与直线y ?x 及x ?2?解?所求的面积为⎰-=-=212ln 23)1(dx x x A ?(3) y ?e x ? y ?e ?x 与直线x ?1?解?所求的面积为 ⎰-+=-=-1021)(ee dx e e A x x ? (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0).解所求的面积为3? 求抛物线y ??x 2?4x ?3及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解?y ???2 x ?4?过点(0, ?3)处的切线的斜率为4? 切线方程为y ?4(x ?3)?过点(3, 0)处的切线的斜率为?2? 切线方程为y ??2x ?6?两切线的交点为)3 ,23(? 所求的面积为 49]34(62[)]34(34[23023232=-+--+-+-+---=⎰⎰dx x x x x x x A ?4? 求抛物线y 2=2px 及其在点),2(p p 处的法线所围成的图形的面积?解2y ?y ??2p ?在点),2(p p处? 1),2(=='p p y p y ? 法线的斜率k ??1? 法线的方程为)2(px p y --=-? 即y p x -=23? 求得法线与抛物线的两个交点为),2(p p 和)3,29(p p -? 法线与抛物线所围成的图形的面积为233232316)612123()223(p y p y y p dy p y y p A p p pp =--=--=--⎰? 5? 求由下列各曲线?所围成的图形的面积?(1)??2a cos ? ??解?所求的面积为 ⎰⎰==-2022222cos 4)cos 2(21πππθθθθd a d a A ??a 2?(2)x ?a cos 3t , y ?a sin 3t ;解所求的面积为2206204283]sin sin [12a tdt tdt a πππ=-=⎰⎰? (3)?=2a (2+cos ? )解所求的面积为 2202220218)cos cos 44(2)]cos 2(2[21a d a d a A πθθθθθππ=++=+=⎰⎰? 6? 求由摆线x ?a (t ?sin t )? y ?a (1?cos t )的一拱(0?t ?2?)与横轴?所围成的图形的面积?解?所求的面积为π22023)2cos 1cos 21(a dt t t a a =++-=⎰? 7? 求对数螺线??ae ?(??????)及射线???所围成的图形面积?解所求的面积为 )(421)(21222222ππππθππθθθ----===⎰⎰e e a d e a d ae A ? 8? 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积?(1)??3cos ? 及??1?cos ?解曲线??3cos ? 与??1?cos ??交点的极坐标为)3,23(πA ? )3,23(π-B ? 由对称性? 所求的面积为πθθθθπππ45])cos 3(21)cos 1(21[2232302=++=⎰⎰d d A ? (2)θρsin 2=及θρ2cos 2=?解曲线θρsin 2=与θρ2cos 2=的交点M 的极坐标为M )6,22(π? 所求的面积为 2316]2cos 21)sin 2(21[246602-+=+=⎰⎰πθθθθπππd d A ? 9? 求位于曲线y =e x 下方??该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形的面积?解设直线y ?kx 与曲线y ?e x 相切于A (x 0? y 0)点? 则有⎪⎩⎪⎨⎧=='==k e x y e y kx y x x 00)(0000?求得x 0?1? y 0?e ? k ?e ?所求面积为21ln 21)ln 1(00020e dy y y y y y e dy y y e e e e e=⋅+-=-⎰⎰? 10? 求由抛物线y 2?4ax 与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值?解设弦的倾角为?? 由图可以看出? 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积为10A A A +=? 显然当时? A 1?0? 当2πα<时? A 1?0? 2πα=因此? 抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值为 20300383822a x a dx ax A a a===⎰? 11? 把抛物线y 2?4ax 及直线x ?x 0(x 0?0)所围成的图形绕x 轴旋转? 计算所得旋转体的体积?解所得旋转体的体积为2002002224000x a x a axdx dx y V x x x ππππ====⎰⎰?12? 由y ?x 3? x ?2? y ?0所围成的图形? 分别绕x 轴及y 轴旋转? 计算所得两个旋转体的体积?解绕x 轴旋转所得旋转体的体积为ππππ712871207206202====⎰⎰x dx x dx y V x ?绕y 轴旋转所得旋转体的体积为πππ56453328035=-=y ?13? 把星形线3/23/23/2a y x =+所围成的图形? 绕x 轴旋转? 计算所得旋转体的体积? 解由对称性? 所求旋转体的体积为30234323234210532)33(2a dx x x a x a a a ππ=-+-=⎰?14? 用积分方法证明图中球缺的体积为)3(2H R H V -=π?证明 ⎰⎰---==RHR RHR dy y R dy y x V )()(222ππ)3()31(232H R H y y R RH R -=-=-ππ? 15? 求下列已知曲线所围成的图形? 按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积? (1)2x y =? 2y x =? 绕y 轴?解 ππππ103)5121()(1052102210=-=-=⎰⎰y y dy y ydy V ?(2)ax a y ch=? x ?0? x ?a ? y ?0? 绕x 轴? 解 ⎰⎰⎰===102302202chch )(udu a au x dx ax a dx x y V aaπππ令 )2sh 2(43+=a π? (3)16)5(22=-+y x ? 绕x 轴? 解 ⎰⎰------+=44224422)165()165(dx x dx x V ππ24021601640π⎰=-=dx x ?(4)摆线x ?a (t ?sin t )? y ?a (1?cos t )的一拱? y ?0? 绕直线y ?2a ? 解 ⎰⎰--=ππππa a dx y a dx a V 202202)2()2(232023237sin )cos 1(8ππππa tdt t a a =+-=⎰?16? 求圆盘222a y x ≤+绕x ??b (b >a >0)旋转所成旋转体的体积? 解 ⎰⎰------+=aaaa dy y ab dy y a b V 222222)()(ππ2202228ππb a dy y a b a=-=⎰?17? 设有一截锥体? 其高为h ? 上、下底均为椭圆? 椭圆的轴长分别为2a 、2b 和2A 、2B ? 求这截锥体的体积?解建立坐标系如图? 过y 轴上y 点作垂直于y 轴的平面? 则平面与截锥体的截面为椭圆? 易得其长短半轴分别为y h a A A --? y hb B B --? 截面的面积为π)()(y hb B B y h a A A --⋅--?于是截锥体的体积为])(2[61)()(0bA aB AB ab h dy y h b B B y h a A A V h+++=--⋅--=⎰ππ? 18? 计算底面是半径为R 的圆? 而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积?解设过点x 且垂直于x 轴的截面面积为A (x )? 由已知条件知? 它是边长为x R -2的等边三角形的面积? 其值为 )(3)(22x R x A -=?所以 322334)(3R dx x R V RR=-=⎰-?19? 证明由平面图形0?a ?x ?b ? 0?y ?f (x )绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为 ⎰=badx x xf V )(2π?证明如图? 在x 处取一宽为dx 的小曲边梯形? 小曲边梯形绕y 轴旋转所得的旋转体的体积近似为2?x ?f (x )dx ? 这就是体积元素? 即 dV ?2?x ?f (x )dx ?于是平面图形绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为⎰⎰==bab adx x xf dx x xf V )(2)(2ππ?20? 利用题19和结论? 计算曲线y ?sin x (0?x ??)和x 轴所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积? 解 2002)sin cos (2cos 2sin 2πππππππ=+-=-==⎰⎰x x x x xd xdx x V ?21? 计算曲线y ?ln x 上相应于83≤≤x 的一段弧的长度?解 ⎰⎰⎰+=+='+=8328328321)1(1)(1dx xx dx x dx x y s ?令t x =+21? 即12-=t x ? 则23ln 211111113223232222322+=-+=-=-⋅-=⎰⎰⎰⎰dt t dt dt t t dt t tt t s ? 22? 计算曲线)3(3x x y -=上相应于1?x ?3的一段弧的长度?解 x x x y 31-=? x x y 2121-='? x x y 4121412+-='? )1(2112xx y +='+?所求弧长为3432)232(21)1(213131-=+=+=⎰x x x dx xx s ? 23? 计算半立方抛物线32)1(32-=x y 被抛物线32x y =截得的一段弧的长度?解由⎪⎩⎪⎨⎧=-=3)1(32232x y x y 得两曲线的交点的坐标为)36,2(? )36 ,2(-? 所求弧长为⎰'+=21212dx y s ?因为2)1(22-='x y y ? yx y 2)1(-='? )1(23)1(32)1()1(34242-=--=-='x x x y x y ? 所以]1)25[(98)13(13232)1(2312232121-=--=-+=⎰⎰x d x dx x s ? 24? 计算抛物线y 2?2px 从顶点到这曲线上的一点M (x ? y )的弧长?解 ⎰⎰⎰+=+='+=y y ydy y p p dy p y dy y x s 02202021)(1)(1py p y p y p p y 2222ln22++++=? 25? 计算星形线t a x 3cos =? t a y 3sin =的全长? 解用参数方程的弧长公式?a tdt t 6cos sin 122==⎰π?26? 将绕在圆(半径为a )上的细线放开拉直? 使细线与圆周始终相切? 细线端点画出的轨迹叫做圆的渐伸线? 它的方程为 )sin (cos t t t a x +=? )cos (sin t t t a y -=?计算这曲线上相应于t 从0变到?的一段弧的长度? 解由参数方程弧长公式202ππa tdt a==⎰? 27? 在摆线x ?a (t ?sin t )? y ?a (1?cos t )上求分摆线第一拱成1? 3的点的坐标? 解设t 从0变化到t 0时摆线第一拱上对应的弧长为s (t 0)? 则)2cos 1(42sin 2000t a dt t a t -==⎰? 当t 0?2?时? 得第一拱弧长s (2?)?8a ? 为求分摆线第一拱为1? 3的点为A (x ? y )? 令a t a 2)2cos 1(40=-?解得320π=t ? 因而分点的坐标为? 横坐标a a x )2332()32sin 32(-=-=πππ? 纵坐标a a y 23)32cos1(=-=π?故所求分点的坐标为)23 ,)2332((a a -π? 28? 求对数螺线θρa e =相应于自??0到???的一段弧长?? 解用极坐标的弧长公式?)1(1122-+=+=⎰θϕθθa a e aa d e a ?29? 求曲线???1相应于自43=θ至34=θ的一段弧长? 解按极坐标公式可得所求的弧长23ln 12511344322+=+=⎰θθθd ? 30? 求心形线??a (1?cos ???的全长?? 解用极坐标的弧长公式?a d a82cos 40==⎰πθθ?习题6?31? 由实验知道? 弹簧在拉伸过程中? 需要的力F (单位? N )与伸长量s (单位? cm)成正比? 即F ?ks (k 为比例常数)? 如果把弹簧由原长拉伸6cm? 计算所作的功?解将弹簧一端固定于A ? 另一端在自由长度时的点O 为坐标原点? 建立坐标系? 功元素为dW ?ksds ? 所求功为1821626===⎰s k ksds W k(牛?厘米)? 2? 直径为20cm 、高80cm 的圆柱体内充满压强为10N/cm 2的蒸汽? 设温度保持不变? 要使蒸汽体积缩小一半? 问需要作多少功？解由玻?马定律知?ππ80000)8010(102=⋅⋅==k PV ?设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变? 高度减小x 厘米时压强为P (x )牛/厘米2? 则ππ80000)]80)(10[()(2=-⋅x x P ? π-=80800)(x P ? 功元素为dx x P dW )()10(2⋅=π? 所求功为2ln 8008018000080800)10(400402πππππ=-=-⋅⋅=⎰⎰dx dx W (J)? 3? (1)证明? 把质量为m 的物体从地球表面升高到h 处所作的功是hR mgRhW +=? 其中g 是地面上的重力加速度? R 是地球的半径?(2)一颗人造地球卫星的质量为173kg? 在高于地面630km 处进入轨道? 问把这颗卫星从地面送到630的高空处? 克服地球引力要作多少功？已知g ?9?8m/s 2? 地球半径R ?6370km?证明 (1)取地球中心为坐标原点? 把质量为m 的物体升高的功元素为dy y kMm dW 2=? 所求的功为)(2h R R mMhk dy y kMm W hR R+⋅==⎰+?(2)533324111075.910)6306370(106370106301098.51731067.6⨯=⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯=-W (kJ)?4? 一物体按规律3ct x =作直线运动? 媒质的阻力与速度的平方成正比? 计算物体由x ?0移至x ?a 时? 克服媒质阻力所作的功? 解因为3ct x =? 所以23)(cx t x v ='=? 阻力4229t kc kv f -=-=? 而32)(cx t =? 所以 34323429)(9)(x kc cx kc x f -=-=? 功元素dW ??f (x )dx ? 所求之功为37320343203432072799)]([a kc dx x kc dx x kc dx x f W a aa ===-=⎰⎰⎰? 5? 用铁锤将一铁钉击入木板? 设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比? 在击第一次时? 将铁钉击入木板1cm? 如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等? 问锤击第二次时? 铁钉又击入多少？解设锤击第二次时铁钉又击入h cm? 因木板对铁钉的阻力f 与铁钉击入木板的深度x (cm)成正比? 即f ?kx ? 功元素dW ?f dx ?kxdx ? 击第一次作功为k kxdx W 21101==⎰?击第二次作功为)2(212112h h k kxdx W h+==⎰+?因为21W W =? 所以有)2(21212h h k k +=?解得12-=h (cm)?6? 设一锥形贮水池? 深15m? 口径20m? 盛满水? 今以唧筒将水吸尽? 问要作多少功？解在水深x 处? 水平截面半径为x r 3210-=? 功元素为dx x x dx r x dW 22)3210(-=⋅=ππ?所求功为?1875(吨米)?57785.7(kJ)?7? 有一闸门? 它的形状和尺寸如图? 水面超过门顶2m? 求闸门上所受的水压力?解建立x 轴? 方向向下? 原点在水面? 水压力元素为xdx dx x dP 221=⋅⋅=?闸门上所受的水压力为 21252252===⎰xxdx P (吨)=205? 8(kN)?8? 洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体? 尺寸如图所示? 当水箱装满水时? 计算水箱的一个端面所受的压力?解建立坐标系如图? 则椭圆的方程为11)43()43(2222=+-y x ? 压力元素为dx x x dx x y x dP 22)43()43(38)(21--⋅=⋅⋅=? 所求压力为ππ169cos 49202==⎰tdx (吨)?17.3(kN)? (提示? 积分中所作的变换为t x sin 4343=-) 9? 有一等腰梯形闸门? 它的两条底边各长10m 和6m? 高为20m? 较长的底边与水面相齐? 计算闸门的一侧所受的水压力?解建立坐标系如图? 直线AB 的方程为 x y 1015-=? 压力元素为dx x x dx x y x dP )5110()(21-⋅=⋅⋅=? 所求压力为1467)5110(200=-⋅=⎰dx x x P (吨)?14388(千牛)? 10? 一底为8cm 、高为6cm 的等腰三角形片? 铅直地沉没在水中? 顶在上? 底在下且与水面平行? 而顶离水面3cm? 试求它每面所受的压力?解建立坐标系如图?腰AC 的方程为x y 32=? 压力元素为 dx x x dx x x dP )3(34322)3(+=⋅⋅⋅+=? 所求压力为168)2331(34)3(34602360=+=+=⎰x x dx x x P (克)?????(牛)? 11? 设有一长度为l 、线密度为?的均匀细直棒? 在与棒的一端垂直距离为a 单位处有一质量为m 的质点M ? 试求这细棒对质点M 的引力?解建立坐标系如图? 在细直棒上取一小段dy ? 引力元素为 dy y a Gm y a dy m G dF 2222+=+⋅=μμ? dF 在x 轴方向和y 轴方向上的分力分别为? dF ry dF y =? 2202222022)(1)(l a a l Gm dy y a y a aGm dy y a Gm r a F l lx +-=++-=+⋅-=⎰⎰μμμ? )11()(12202222022l a a Gm dy y a y a Gm dy y a Gm r y F l ly +-=++=+⋅=⎰⎰μμμ? 12? 设有一半径为R 、中心角为 ??的圆弧形细棒? 其线密度为常数???? 在圆心处有一质量为m 的质点F ? 试求这细棒对质点M 的引力?解根据对称性? F y ?0?θθμθθμd RGm R Rd Gm cos cos )(2=⋅=? 2sin 2cos 220ϕμθθμϕR Gm d R Gm ==⎰? 引力的大小为2sin 2ϕμR Gm ? 方向自M 点起指向圆弧中点? 总习题六 dF r adF x -=1? 一金属棒长3m ? 离棒左端xm 处的线密度为11)(+=x x ρ (kg/m )? 问x 为何值时? [0? x ]一段的质量为全棒质量的一半? 解 x 应满足⎰⎰+=+300112111dt t dt t x? 因为212]12[1100-+=+=+⎰x t dt t x x? 1]12[2111213030=+=+⎰t dt t ? 所以 1212=-+x ?45=x (m)? 2? 求由曲线??a sin ?? ??a (cos ??sin ?)(a >0)所围图形公共部分的面积?解 ⎰++⋅=432222)sin (cos 21)2(21ππθθθπd a a S 24322241)2sin 1(28a d a a -=++=⎰πθθπππ? 3? 设抛物线c bx ax y ++=2通过点(0? 0)? 且当x ?[0? 1]时? y ?0? 试确定a 、b 、c 的值? 使得抛物线c bx ax y ++=2与直线x ?1? y ?0所围图形的面积为94? 且使该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积最小?解因为抛物线c bx ax y ++=2通过点(0? 0)? 所以c ?0? 从而bx ax y +=2?抛物线bx ax y +=2与直线x ?1? y ?0所围图形的面积为 23)(102b a dx bx ax S +=+=⎰? 令9423=+b a ? 得968a b -=? 该图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为)]968(2)968(315[22a a a a -+-+=π? 令0)]128(181********[=-+-⋅+2=a a a d dV π? 得35-=a ? 于是b ?2? 4? 求由曲线23x y =与直线x ?4? x 轴所围图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积?解所求旋转体的体积为πππ7512722240274023=⋅=⋅=⎰x dx x x V ? 5? 求圆盘1)2(22≤+-y x 绕y 轴旋转而成的旋转体的体积?解 )2(122312⎰--⋅⋅=dx x x V π22224cos )sin 2(4sin 2ππππ=+=-⎰-tdt t t x 令?6? 抛物线221x y =被圆322=+y x 所需截下的有限部分的弧长? 解由⎪⎩⎪⎨⎧==+222213x y y x 解得抛物线与圆的两个交点为)1 ,2(-? )1 ,2(? 于是所求的弧长为)32ln(6++=?7? 半径为r 的球沉入水中? 球的上部与水面相切?球的比重与水相同? 现将球从水中取出? 需作多少功? 解建立坐标系如图? 将球从水中取出时? 球的各点上升的高度均为2r ? 在x 处取一厚度为dx 的薄片? 在将球从水中取出的过程中? 薄片在水下上升的高度为r ?x ? 在水上上升的高度为r ?x ? 在水下对薄片所做的功为零? 在水上对薄片所做的功为dx x r x r g dW ))((22--=π?对球所做的功为g r x d x r x r g W rr 22234))((ππ=--=⎰-? 8? 边长为a 和b 的矩形薄板? 与液面成??角斜沉于液体内? 长边平行于液面而位于深h 处? 设a >b ? 液体的比重为?? 试求薄板每面所受的压力?解在水面上建立x 轴? 使长边与x 轴在同一垂面上? 长边的上端点与原点对应? 长边在x 轴上的投影区间为[0? b cos ?]? 在x 处x 轴到薄板的距离为h ?x tan ?? 压力元素为 dx x h ga dx a x h g dP )tan (cos cos )tan (ααρααρ+=⋅⋅+⋅=? 薄板各面所受到的压力为 )sin 2(21)tan (cos cos 0αρααραb h gab dx x h ga P b +=+=⎰? 9? 设星形线t a x 3cos =? t a y 3sin =上每一点处的线密度的大小等于该点到原点距离的立方? 在原点O 处有一单位质点? 求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力? 解取弧微分ds 为质点? 则其质量为 ds y x ds y x 322322)()(+=+? 其中tdt t a dt t a t a ds cos sin 3])sin [(])cos [(2323='+'=?设所求的引力在x 轴、y 轴上的投影分别为F x 、F y ? 则有 ⎰+⋅++⋅⋅=202222322)()(1πds y x x y x y x G F x 2204253sin cos 3Ga tdt t Ga ==⎰π? ⎰+⋅++⋅⋅=202222322)()(1πds yx y y x y x G F x 2204253sin cos 3Ga tdt t Ga ==⎰π? 所以)53 ,53(22Ga Ga =F ?。

高等数学 D1习题课11

f (1) f (0) f ( ) (0 1)
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例9. 设 f (x) 0 , 则 f (2) f (1) f (2) 0 提示: 利用 f (x) 单调增加 , 及 f (2) f (1) f ( ) (1 2)
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n
n
n2 2
lim n1
1
n2
1
lim n
n
n
2
1
n2
1
2
n2
1
n
1
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一般有如下结果：
lim
x
a0 xm b0 x n
a1x m1 b1x n1
am bn
为非负常数 )
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lim n3 n 5 ____ n 1 4n 2n3
esin
x
ln
x
lim e x ln x
x0
e0 1
例5 目录上页下页返回结束
例3.
1
6
分析:
原式
lim
x0
cos
x x
(x sin 2
sin x
x)
lim
x0
x
sin x3
x
sin x ～ x
lim cos x 1
x0
lim 1
x0
cos 3x2
x
lim
x0
1 2
x2
3x2
1 6
例10. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20
Km , AC⊥ AB , 要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条

辽宁工业大学高数习题课11-2

而
1
1
(x2)n, x21
x 1 1(x 2) n0
x
1
4
2
1 (x
2)
121x12n 0(2n1)1n(x2)n,
2
x2 1 2
故
f(x )1[(x 2 )n1( 1 )n (x 2 )n ]
3n 0
2n 0
2
13n 0[1(2n1)1n](x2)n
满足 | x2|1，即3x1，成立区间为：3x1
4
当 1 x 2 1 ，即 x 2 时，级数收敛。 4
当 1 x 2 1 ，即 x 2 时，级数发散。
4
当
x
2时，级数为
(1)n22n1 n1 n4n
(1)n，为交错级数收敛。
n1 2n
当x2时，级数为n 1(n 4 1)nn(2)2n1n 1(1 2)nn1，为交错级数收敛。
故此幂级数的收敛域为 [2,2]。
【例4】求幂级数
(1)n1
22n1
x2n1的和函数，并求
n1
2n1
(1)n1
1
的和。
n1
2n1
解：记
S(x) (1)n1
22n1
x2n1 (1)n1
1 (2x)2n1
n1
2n1
n1
2n1
求导得 S(x)2 (1)n1(2x)2n2
n1
2 1 4x2
(|2x|1)
积分得S(x)
x2 0 14x2
n1 n
当 x3时，级数为
1
，为P-级数发散，
n1 n
故此幂级数的收敛域为[1, 3) 。
【例3】求幂级数
(1)n n1 n4n

高等数学教材习题及答案

高等数学教材习题及答案导言：高等数学是大学学习中的重要一门课程，对于培养学生的分析思维和问题解决能力具有重要作用。

习题是学生巩固知识、提高技能的重要方式之一。

本文将为大家提供一些常见高等数学习题及答案，以帮助各位同学更好地理解和掌握相关知识。

1. 一元函数与极限1.1 求函数$f(x)=\frac{1}{x}$的极限$\lim_{x\to+\infty}f(x)$。

解答：我们知道，当$x$趋向于正无穷时，分母$1/x$趋于0，所以函数$f(x)$的极限为0。

1.2 设函数$f(x)$满足$\lim_{x\to a} f(x) = A$，则下列哪个结论必定成立？A. $\lim_{x\to a} |f(x)| = |A|$B. $\lim_{x\to a} [f(x)]^2 = [A]^2$C. $\lim_{x\to a} [f(x)]^3 = [A]^3$D. $\lim_{x\to a} \sqrt{f(x)} = \sqrt{A}$答案：B. $\lim_{x\to a} [f(x)]^2 = [A]^2$2. 多元函数与偏导数2.1 函数$f(x, y) = x^2 + y^2$的偏导数$\frac{\partial f}{\partial x}$是多少？解答：对$x$求偏导数，保持$y$不变，即将$y^2$看作常数，所以$\frac{\partial f}{\partial x} = 2x$。

2.2 求函数$z = e^x \sin y$的偏导数$\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}$。

解答：对$x$求偏导数得到$\frac{\partial z}{\partial x} = e^x \sin y$，再对$y$求偏导数得到$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = e^x \cosy$。

3. 微分中值定理和泰勒公式3.1 利用微分中值定理证明：对于任意$x > 0$，恒有$\ln(1 + x) < x$。

传热习题课计算题11

1、现测定一传热面积为2m2的列管式换热器的总传热系数K值。

已知热水走管程，测得其流量为1500kg/h，进口温度为80℃，出口温度为50℃；冷水走壳程，测得进口温度为15℃，出口温度为30℃，逆流流动。

（取水的比热c p=4.18×103J/kg·K）解：换热器的传热量：Q ＝q m c p (T 2－T 1)＝1500/3600×4.18×103×(80－50)=52.25kW传热温度差△t m ：热流体 80 → 50 冷流体 30 ← 15 50 35△t 1=50， △t 2=352355021<=∆∆t t 传热温度差△t m 可用算数平均值：5.4223550221=+=∆+∆=∆t t t m ℃⋅=⨯⨯=∆=23/6155.4221025.52m W t A Q K m ℃2、一列管换热器，由φ25×2mm 的126根不锈钢管组成。

平均比热为4187J/kg·℃的某溶液在管内作湍流流动，其流量为15000kg/h ，并由20℃加热到80℃，温度为110℃的饱和水蒸汽在壳方冷凝。

已知单管程时管壁对溶液的传热系数αi 为520W/m 2·℃，蒸汽对管壁的传热系数α0为1.16×104W/m 2·℃，不锈钢管的导热系数λ＝17W/m·℃，忽略垢层热阻和热损失。

试求：（1）管程为单程时的列管长度（有效长度，下同）（2）管程为4程时的列管长度（总管数不变，仍为126根）（总传热系数：以管平均面积为基准，00111d d b d d K m i m i ⋅++⋅=αλα）解：（1）传热量：Q ＝q m c p (t 2－t 1)＝15000/3600×4187×(80－20) ≈ 1.05×106W 总传热系数：（以管平均面积为基准）1111152023210002171116102325004Kd d b d d K i m i m =⋅++⋅=⋅++⨯⋅αλα .. 解得： K ＝434.19W/m 2·℃对数平均温差： 110110 2080△t 1 90 △t 2 30∆∆∆∆∆t t t t t m =-=-=1212903090305461ln ln .℃传热面积： Q KA t m m =∆ A Q K t m m m==⨯⨯=∆10510434195461442862....A n d L m m =π；列管长度：L A n d m m m ==⨯⨯≈π44281263140023487.... （2）管程为4程时，只是αi 变大：强制湍流时：αi ＝0.023（λ/d ）Re 0.8Pr 0.4，u 变大，Re ＝duρ/μ变大 4程A ＇＝1/4A （单程），则：4程时u ＇=4u （单程）有'αi （4程）＝40.8αi （单程）＝40.8×520＝1576.34W/m 2·℃ 4程时：1111115763423210002171116102325004'=⋅++⋅'=⋅++⨯⋅K d d b d m d K i m i αλα ... K '=1121.57W/m 2·℃2614.1761.5457.11211005.1m t K Q A m =⨯⨯=∆'='4程列管长：m d n A L m 88.1023.014.312614.17≈⨯⨯='='π3、有一列管式换热器，装有φ25×2.5mm钢管320根，其管长为2m，要求将质量为8000kg/h的常压空气于管程由20℃加热到85℃，选用108℃饱和蒸汽于壳程冷凝加热之。

在线MOOC教材《高等数学》教材课后习题参考解答

第一本在线课程配套教材，“十三五”普通高等教育本科国家级规划教材，国防科技大学朱健民、李建平主编，高等教育出版社出版的《高等数学》教材课后习题解答.这些课后习题都是非常经典的，学习高数课程应知应会，必须熟练掌握的基本典型练习题，不管是对于课程学习、还是考研、竞赛等相关内容的学习、复习、备考，都应该逐题过关！参考习题解答列表第一章映射与函数习题1.1 《集合与映射》部分练习参考解答习题1.2 《函数》部分练习参考解答习题1.3 《曲线的参数方程与极坐标方程》部分练习参考解答第二章数列极限与数值级数习题2.1 《数列极限的概念与性质》部分练习参考解答习题2.2 《数列收敛的判定方法》部分练习参考解答习题2.3 《数值级数的基本概念与性质》部分练习参考解答习题2.4-《同号级数的敛散性判别方法》部分习题参考解答习题2.5-《变号级数收敛性判别方法》部分习题参考解答第三章函数极限与连续习题3.1-《函数极限的概念》部分习题参考解答习题3.2-《函数极限运算法则及存在性的判定准则》部分习题及参考解答习题3.3-《无穷小的比较与渐近线》练习题及参考解答习题3.4-《函数的连续性与间断点》练习题及参考解答第四章导数与不定积分习题4.1 《导数的概念及基本性质》练习题及参考解答习题4.2-《导数的计算》专题练习及参考解答习题4.3-《一元函数的微分》专题练习与参考解答习题4.4-《变化率与相关变化率》专题练习与参考解答习题4.5-《不定积分基本概念、性质和基本计算》专题练习与参考解答第五章导数的应用习题5.1-《极值与最优化》专题练习专题练习与参考解答习题5.2-《微分中值定理及其应用》专题练习专题练习与参考解答习题5.3-《泰勒公式及其应用》专题练习与参考解答习题5.4-《函数单调性与凹凸性及其应用》专题练习及参考解答习题5.5-《曲率》专题练习及参考解答第六章定积分及其应用习题6.1-《定积分基本概念与性质》专题练习及参考解答习题6.2-《变限积分及其应用》专题练习及参考解答习题6.3-《不定积分与定积分》专题练习及参考解析习题6.4 -《定积分的应用》专题练习及其参考解析习题6.5 -《反常积分》专题练习及其参考解析第七章常微分方程习题7.1-《微分方程的基本概念》专题练习与参考解答习题7.2-《一阶微分方程》专题练习及参考解答习题7.3 -《可降阶微分方程》专题练习及参考解答习题7.4 -《线性微分方程》专题练习及参考解答第八章空间解析几何习题08-01 《向量及其运算》专题练习与参考解答习题08-02 《空间平面与直线》专题练习与参考解答习题08-03-《空间曲面及其方程》专题练习与参考解答习题08-04-《空间曲线及其方程》专题练习与参考解答第九章向量值函数的导数与积分习题09-123-《向量值函数》专题练习与参考解析第十章多元函数的导数及其应用习题10-01-《多元函数基本概念与性质》专题练习与参考解答习题10-02《偏导数与全微分》专题练习与参考解答习题10-03 《多元复合函数和隐函数求偏导》专题练习与参考解答习题10-04 《方向导数与梯度、泰勒公式》专题练习与参考解析习题10-05《多元函数的极值与最值》专题练习，知识点与典型习题视频解析第十一章重积分习题11-01 《重积分基本概念与性质》专题练习与参考解答习题11-02 《重积分直角坐标计算法》专题练习及典型习题视频解析习题11-03 《重积分的柱坐标、球坐标、换元法》专题练习与参考解答习题11-04 《重积分的应用》专题练习与参考解答第十二章曲线积分与曲面积分习题12-01《曲线积分的基本概念与计算》专题练习及参考解答习题12-02《格林公式、积分与曲线无关》专题练习与参考解答习题12-03 《曲面积分的基本概念、基本计算》专题练习与参考解答习题12-04 《高斯公式与斯托克斯公式》专题练习与参考解答第十三章幂级数与傅里叶级数习题13-01《幂级数及其展开》专题练习与参考解答习题13-02 《傅里叶级数及其收敛性》内容总结、视频解析与专题练习。

高等数学A习题课490612

证明令 F(x) = (b-x)[(x) -(a)]，则有F(x)在 [a, b]上连
续、在(a, b)内可导，且有F(a)=F(b) = 0，由罗尔定理知
Vf(x,y,z)xyz (a, b)，使F(a)F(b)lbn(a)flan(b)f ，即
例2
设 f (x) 在[a, b]上连续、在(a, b)内可导(a >0, b>0),
例7
证明当 f(x)0,x(0,) 时，sinx + tanx > 2x
2
解取由分母不能该为函零数可的知定x，y平义面域上为
{x ,y ()|(x ,y ) R 2且 x y}
yn元u函f(x1,数2,xn),(x1,2,xn)的图形为集
40 10 40
因此在x 4 上严格单调增，故 Lx4x2,x(0,
b 3a
,
2b3 27a2
)
，当
y 6ax2b6a(xb) 3a
有 12 n，这时曲线y=lnx-ax与x轴分别有两个交点和没
有交点，即原方程分别有两个实根和没有实根.
4(1)取 [ 0 , ] 则有 2
y
再取

1
f
( x)

[ (1 x) x

e

1

e 2,
1
No Image
abc 令得 3 No Image
f:R 当
时，原极限
2，曲线在
3
f
(1)ln110上严格上凸；
aa
则称f为上的n元函数，记为当
时，，曲线在 No Image
No Image
上严格下凸；
yx 当

11高等数学第11章无穷级数教案1

n=0
∑ 解： Sn
=
n−1
aq k
k =0
=
a(1 − qn ) , q ≠ 1 1− q
1）当
q
<
1
时，
lim
n→∞
S
n
=
a 1− q
，收敛。
2）当
q
>
1
时，
lim
n→∞
S
n
=
∞ ，发散。
3）当 q = 1时，
q = 1, Sn = na → ∞ ，发散。
第十一章无穷级数第 3 页共 41 页
《高等数学》Ⅱ—Ⅱ备课教案
张谋
q = −1, Sn = a − a + a − a + ⋅ ⋅ ⋅ + (−1)n a ，极限不存在，发散。
综上所述：等比级数，当
q
<
1
时收敛，其和为
第一项 1 − 公比
当 q ≥ 1时发散。
∑ ∑ （6）
∞ n=1
ln 2 2n
2
，
∞ n=1
9n 8n
例试用无穷级数说明循环小数 0.3 = 1 。 3
与发散的定义。
∞
∑ 定义
如果级数
un
n=1
的部分数列
{S
n
}
有极限
s
，即
lim
n→∞
S
n
=
s ，则称无穷级
∞
∞
数 ∑ un 收敛，其极限值 s 叫做这个级数的和，即 ∑ un = s 。
n=1
n=1
∞
如果{Sn }没有极限，称无穷级数 ∑ un 发散。
n=1

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3
y0 所围成的平面图形的面积为 2 。
y
y(e1) x
yln x
1
o1
e1
x
t2
2.设曲线L
由
x y
0
t
0
2
1 udu 确定，则该曲线对应于
1 udu
0t1 的弧长为
。
三、计算下列广义积分
1.
2
(
x
dx 7)
x
2
2.
arctan
x dx
1
x2
3. 1
xdx
0 (2 x2 ) 1 x2
1
1.
1
1 e x dx
四、解答题
1．求曲线 y x2 2 x ， y0 ， x 1 ， x3 所围成的平面图形的面积 S，并求该平面图形绕 y 轴旋转一周所得的旋转体的体积。
y
(3,3)
y x2 2x
S2
o 1 ，过原点作其切线，试求：（1）切线方程；（2）此曲线、切线及 x 轴围成的平面图形绕 x 轴
5.设 f ( x) 在[a,b] 连续，且在 (a,b) 内有 f ( x)0 ，证
明在 (a,b) 内存在唯一的，使曲线 y f ( x) 与两直线
y f () ， xa 所围成的面积 A1 是曲线 y f ( x) 与两
直线 y f () ， xb 所围成的面积 A2 的三倍。（ ab ）
旋转一周所得到的旋转体的体积。
x
3.设 y f ( x) e 2
y
(1) 在原点与x( x 0)之间找一点
x(0 1)，使此点左右两
边阴影部分的面积相等，写出
的表达式; (2)求 lim .
x0
o
x
x
4．求由曲线 y x3 ， x2 ， y0 所围成的图形绕直线 x1旋转，所得旋转体的体积 V.
kmdx
0 (a x)2
。
m
L
oa x
3. 双纽线 ( x2 y2 )2 x2 y2 所围成的区域面积
可用定积分表示为（）
（A） 2 4cos2d ； 0
（C） 2 4 cos2d ； 0
（B）4 4cos2d ； 0
（D） 1
4(cos 2)2 d
20
二、填空题
1.如图，由曲线 ylnx 与两直线 y(e1) x 及
习题课十一
1.如图，x 轴上有一线密度为常数，长度为 L 的细杆，
有一质量为 m 的质点到杆右端的距离为 a ，已知引力
系数为 k，则质点和细杆之间引力的大小为（）
（A）
0 kmdx L(a x)2
；
（B）
L
0
kmdx (a x)2
；
（C） 2
0 kmdx
L 2
(a
x
)2
；（D） 2
L 2
y
y f (x)
A2 A1
oa
bx
y
y f (x)
A2 A1
oa
bx
证明思路：要证存在唯一的，使 A1() 3 ，等价于
A2 () 证明存在唯一的，使 A1()3A2()0 。
六.已知 lim ( x c ) x x x c
c te2t dt, 求 c.