高中数学竞赛_解三角形【讲义】

第七章 解三角形
一、基础知识
在本章中约定用A ，B ，C 分别表示△ABC 的三个内角，a, b, c 分别表示它们所对的各边长，
2
c
b a p ++=
为半周长。

1．正弦定理：C
c
B b A a sin sin sin ===2R （R 为△AB
C 外接圆半径）。

推论1：△ABC 的面积为S △ABC =.sin 2
1
sin 21sin 21B ca A bc C ab ==
推论2：在△ABC 中，有bcosC+ccosB=a. 推论3：在△ABC 中，A+B=θ，解a 满足
)
sin(sin a b
a a -=
θ，则a=A. 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。

先证推论1，由正弦函数定义，
BC 边上的高为bsinC ，所以S △ABC =C ab sin 2
1
；再证推论2，因为B+C=π-A ，所以sin(B+C)=sinA ，即sinBcosC+cosBsinC=sinA ，两边同乘以2R 得bcosC+ccosB=a ；再证推论3，由正弦定理B
b
A a sin sin =，
所以)
sin()
sin(sin sin A a A a --=
θθ，即sinasin(θ-A)=sin(θ-a)sinA ，等价于21-[cos(θ-A+a)-cos(θ-A-a)]= 2
1
-[cos(θ-a+A)-cos(θ-a-A)]，等价于cos(θ-A+a)=cos(θ-a+A)，因为0<θ-A+a ，θ-a+A<π. 所以只有θ-A+a=θ-a+A ，所以a=A ，得证。

2．余弦定理：a 2=b 2+c 2
-2bccosA bc
a c
b A 2cos 2
22-+=⇔，下面用余弦定理证明几个常用的结论。

（1）斯特瓦特定理：在△ABC 中，D 是BC 边上任意一点，BD=p ，DC=q ，则AD 2=.22pq q
p q
c p b -++
（1）
【证明】 因为c 2=AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BDcos ADB ∠， 所以c 2=AD 2+p 2-2AD ·pcos .ADB ∠ ① 同理b 2=AD 2+q 2-2AD ·qcos ADC ∠， ② 因为∠ADB+∠ADC=π，
所以cos ∠ADB+cos ∠ADC=0， 所以q ×①+p ×②得
qc 2
+pb 2
=(p+q)AD 2
+pq(p+q)，即AD 2
=.22pq q
p q
c p b -++
注：在（1）式中，若p=q ，则为中线长公式.2
222
22a c b AD -+=
（2）海伦公式：因为412
=∆ ABC S b 2c 2
sin 2
A=4
1b 2c 2
(1-cos 2
A)=
4
1
b 2
c 2
16
14)(12
22222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-c b a c b [(b+c)2-a 2
][a 2
-(b-c) 2
]=p(p-a)(p-b)(p-c). 这里
.2
c
b a p ++=
所以S △ABC =).)()((c p b p a p p ---
二、方法与例题
1．面积法。

例1 （共线关系的张角公式）如图所示，从O 点发出的三条射线满足βα=∠=∠QOR POQ ,，
另外OP ，OQ ，OR 的长分别为u, w, v ，这里α，β，α+β∈(0,
π)，则P ，Q ，R 的共线的充要条件是
.)
sin(sin sin w
v u βααβ+=+ 【证明】P ，Q ，R 共线O RQ O PQ O PR ΔPQ R S S S S ∆∆∆+=⇔=⇔0
sin 21uv ⇔
(α+β)=21uwsin α+21
vwsin β v
u w αββαsin sin )sin(+=+⇔，得证。

2．正弦定理的应用。

例2 如图所示，△ABC 内有一点P ，使得∠BPC-∠BAC=∠CPA-∠CBA=∠APB-∠ACB 。

求证：AP ·BC=BP ·CA=CP ·AB 。

【证明】 过点P 作PD ⊥BC ，PE ⊥AC ，PF ⊥AB ，垂足分别为D ，E ，F ，则P ，D ，C ，E ；P ，E ，A ，F ；P ，D ，B ，F 三组四点共圆，所以∠EDF=∠PDE+∠PDF=∠PCA+∠PBA=∠BPC-∠BAC 。

由题设及∠BPC+∠CPA+∠APB=3600可得∠BAC+∠CBA+∠ACB=1800。

所以∠BPC-∠BAC=∠CPA-∠CBA=∠APB-∠ACB=600。

所以∠EDF=600，同理∠DEF=600，所以△DEF 是正三角形。

所以DE=EF=DF ，由正弦定理，CDsin ∠ACB=APsin ∠BAC=BPsin ∠ABC ，两边同时乘以△ABC 的外接圆直径2R ，得CP ·BA=AP ·BC=BP ·AC ，得证：
例3 如图所示，△ABC 的各边分别与两圆⊙O 1，⊙O 2相切，直线GF 与DE 交于P ，求证：PA ⊥BC 。

【证明】 延长PA 交GD 于M ，
因为O 1G ⊥BC ，O 2D ⊥BC ，所以只需证
.21AE
AF
AO A O MD GM == 由正弦定理βπαπsin )2sin(,sin )1sin(AE
PA AF AP =
∠-=∠-， 所以
.sin sin 2sin 1sin α
β
⋅∠∠=AF AE 另一方面，2sin sin ,1sin sin ∠=∠=PM
MD PM GM βα，
所以βα
sin sin 1sin 2sin ⋅∠∠=MD GM ， 所以AE AF
MD GM =，所以PA//O 1G ， 即PA ⊥BC ，得证。

3．一个常用的代换：在△ABC 中，记点A ，B ，C 到内切圆的切线长分别为x, y, z ，则a=y+z, b=z+x, c=x+y.
例4 在△ABC 中，求证：a 2(b+c-a)+b 2(c+a-b)+c 2
(a+b-c) ≤3abc. 【证明】 令a=y+z, b=z+x, c=x+y ，则 abc=(x+y)(y+z)(z+x)
zx yz xy ⋅⋅≥8=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)
=a 2(b+c-a)+b 2(c+a-b)+c 2(a+b-c)-2abc.
所以a 2(b+c-a)+b 2(c+a-b)+c 2(a+b-c) ≤3abc. 4．三角换元。

例5 设a, b, c ∈R +，且abc+a+c=b ，试求1
3
1212222+++-+=
c b a P 的最大值。

【解】 由题设=
b
ac
c
a -+1，令a=tan α, c=tan γ, b=tan β,
则tan β=tan(α+γ), P=2sin γsin(2α+γ)+3cos 2γ≤31031031sin 32
≤⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--γ，
当且仅当α+β=2π，sin γ=31，即a=4
2
,2,22=
=c b 时，P max =.310 例6 在△ABC 中，若a+b+c=1，求证: a 2+b 2+c 2+4abc<.21
【证明】 设a=sin 2αcos 2β, b=cos 2αcos 2β, c=sin 2β, β⎪⎭
⎫
⎝⎛∈2,0π.
因为a, b, c 为三边长，所以c<2
1
, c>|a-b|，
从而⎪⎭
⎫
⎝⎛∈4,0πβ，所以sin 2β>|cos 2α·cos 2β|.
因为1=(a+b+c)2=a 2+b 2+c 2+2(ab+bc+ca), 所以a 2+b 2+c 2+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc). 又ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c) =sin 2βcos 2β+sin 2αcos 2α·cos 4β·cos2β
=
41[1-cos 22β+(1-cos 22α)cos 4βcos2β]
=41+
41cos2β(cos 4β-cos 22αcos 4β-cos2β) >4
1+4
1cos2β(cos 4β-sin 4β-cos 2β)=
4
1.
所以a 2+b 2+c 2+4abc<.2
1 三、基础训练题
1．在△ABC 中，边AB 为最长边，且sinAsinB=
4
3
2-，则cosAcosB 的最大值为__________. 2．在△ABC 中，若AB=1，BC=2，则C ∠的取值范围是__________.
3．在△ABC 中，a=4, b+c=5, tanC+tanB+
33=tanCtanB ，则△ABC 的面积为__________.
4．在△ABC 中，3sinA+4cosB=6, 3cosA+4sinB=1，则C ∠=__________.
5．在△ABC 中，“a>b ”是“sinA>sinB ”的__________条件.
6．在△ABC 中，sinA+cosA>0, tanA-sinA<0，则角A 的取值范围是__________.
7．在△ABC 中，sinA=
53，cosB=13
5，则cosC=__________. 8．在△ABC 中，“三边a, b, c 成等差数列”是“tan 3
1
2tan 2=⋅C A ”的__________条件. 9．在△ABC 中，若sinC=2cosAsinB ，则三角形形状是__________.
10．在△ABC 中，tanA ·tanB>1，则△ABC 为__________角三角形.
11．三角形有一个角是600，夹这个角的两边之比是8：5，内切圆的面积是12π，求这个三角形的面积。

12．已知锐角△ABC 的外心为D ，过A ，B ，D 三点作圆，分别与AC ，BC 相交于M ，N 两点。

求证：△MNC 的外接圆半径等于△ABD 的外接圆半径。

13．已知△ABC 中，sinC=B A B
A cos cos sin sin ++，试判断其形状。

四、高考水平训练题 1．在△ABC 中，若tanA=
2
1, tanB=
3
1
，且最长边长为1，则最短边长为__________.
2．已知n ∈N +，则以3，5，n 为三边长的钝角三角形有________个. 3．已知p, q ∈R +, p+q=1，比较大小：psin 2A+qsin 2B__________pqsin 2C.
4．在△ABC 中，若sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC ，则△ABC 为__________角三角形. 5．若A 为△ABC 的内角，比较大小：A A
cot 8
cot
-__________3. 6．若△ABC 满足acosA=bcosB ，则△ABC 的形状为__________.
7．满足A=600，a=
6, b=4的三角形有__________个.
8．设θ为三角形最小内角，且acos 22θ+sin 22θ-cos 22θ-asin 22
θ
=a+1，则a 的取值范围是__________.
9．A ，B ，C 是一段笔直公路上的三点，分别在塔D 的西南方向，正西方向，西偏北300方向，且
AB=BC=1km ，求塔与公路AC 段的最近距离。

10．求方程xy x y y x
=-+-11的实数解。

11．求证：.20
720sin 310
<
< 五、联赛一试水平训练题
1．在△ABC 中，b 2=ac ，则sinB+cosB 的取值范围是____________.
2．在△ABC 中，若
B
A C
A C
B cos 2cos cos 2cos sin sin ++=，则△AB
C 的形状为____________.
3．对任意的△ABC ，2cot 2cot 2cot C
B A T ++≤-(cotA+cotB+cotC)，则T 的最大值为____________.
4．在△ABC 中，C B A
sin sin 2
sin 的最大值为____________.
5．平面上有四个点A ，B ，C ，D ，其中A ，B 为定点，|AB|=3，C ，D 为动点，且|AD|=|DC|=|BC|=1。

记S △ABD =S ，S △BCD =T ，则S 2+T 2的取值范围是____________.
6．在△ABC 中，AC=BC ，0
80=∠ACB ，O 为△ABC 的一点，0
10=∠OAB ，∠ABO=300，则∠ACO=____________.
7．在△ABC 中，A ≥B ≥C ≥6
π，则乘积2
cos 2sin 2cos
C B A 的最大值为____________，最小值为
__________.
8．在△ABC 中，若c-a 等于AC 边上的高h ，则2
cos 2sin
C
A A C ++-=____________.
9．如图所示，M ，N 分别是△ABC 外接圆的弧AB ，AC 中点，P 为BC 上的动点，PM 交AB 于Q ，
PN 交AC 于R ，△ABC 的内心为I ，求证：Q ，I ，R 三点共线。

10．如图所示，P ，Q ，R 分别是△ABC 的边BC ，CA ，AB 上一点，且AQ+AR=BR+BP=CQ+CP 。

求证：AB+BC+CA ≤2（PQ+QR+RP ）。

11．在△ABC 外作三个等腰三角形△BFC ，△ADC ，△AEB ，使BF=FC ，CD=DA ，AE=EB ，∠ADC=2∠BAC ，∠AEB=2∠ABC ，∠BFC=2∠ACB ，并且AF ，BD ，CE 交于一点，试判断△ABC 的形状。

六、联赛二试水平训练题
1．已知等腰△ABC ，AB=AC ，一半圆以BC 的中点为圆心，且与两腰AB 和AC 分别相切于点D 和G ，EF 与半圆相切，交AB 于点E ，交AC 于点F ，过E 作AB 的垂线，过F 作AC 的垂线，两垂线相交于P ，作PQ ⊥BC ，Q 为垂足。

求证：θ
sin 2EF PQ
=
，此处θ=∠B 。

2．设四边形ABCD 的对角线交于点O ，点M 和N 分别是AD 和BC 的中点，点H 1，H 2（不重合）分别是△AOB 与△COD 的垂心，求证：H 1H 2⊥MN 。

3．已知△ABC ，其中BC 上有一点M ，且△ABM 与△ACM 的内切圆大小相等，求证：
)(a P P AM -=，此处2
1
=
P (a+b+c), a, b, c 分别为△ABC 对应三边之长。

4．已知凸五边形ABCDE ，其中∠ABC=∠AED=900，∠BAC=∠EAD ，BD 与CE 交于点O ，求证：
AO ⊥BE 。

5．已知等腰梯形ABCD ，G 是对角线BD 与AC 的交点，过点G 作EF 与上、下底平行，点E 和F 分别在AB 和CD 上，求证：∠AFB=900的充要条件是AD+BC=CD 。

6．AP ，AQ ，AR ，AS 是同一个圆中的四条弦，已知∠PAQ=∠QAR=∠RAS ，求证：AR （AP+AR ）=AQ （AQ+AS ）。

7．已知一凸四边形的边长依次为a, b, c, d ，外接圆半径为R ，如果a 2+b 2+c 2+d 2=8R 2，试问对此四边形有何要求？
8．设四边形ABCD 内接于圆，BA 和CD 延长后交于点R ，AD 和BC 延长后交于点P ，∠A ，∠B ，
∠C 指的都是△ABC 的内角，求证：若AC 与BD 交于点Q ，则
.cos cos cos BQ
B
CR C AP A =+ 9．设P 是△ABC 内一点，点P 至BC ，CA ，AB 的垂线分别为PD ，PE ，PF （D ，E ，F 是垂足），求
证：PA ·PB ·PC ≥(PD+PE)·(PE+PF)·(PF+PD)，并讨论等号成立之条件。