高中数学竞赛_解三角形【讲义】

第七章 解三角形一、基础知识在本章中约定用A ，B ，C 分别表示△ABC 的三个内角，a, b, c 分别表示它们所对的各边长，2cb a p ++=为半周长。

1．正弦定理：CcB b A a sin sin sin ===2R （R 为△ABC 外接圆半径）。

推论1：△ABC 的面积为S △ABC =.sin 21sin 21sin 21B ca A bc C ab ==推论2：在△ABC 中，有bcosC+ccosB=a. 推论3：在△ABC 中，A+B=θ，解a 满足)sin(sin a ba a -=θ，则a=A. 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。

先证推论1，由正弦函数定义，BC 边上的高为bsinC ，所以S △ABC =C ab sin 21；再证推论2，因为B+C=π-A ，所以sin(B+C)=sinA ，即sinBcosC+cosBsinC=sinA ，两边同乘以2R 得bcosC+ccosB=a ；再证推论3，由正弦定理BbA a sin sin =，所以)sin()sin(sin sin A a A a --=θθ，即sinasin(θ-A)=sin(θ-a)sinA ，等价于21-[cos(θ-A+a)-cos(θ-A-a)]= 21-[cos(θ-a+A)-cos(θ-a-A)]，等价于cos(θ-A+a)=cos(θ-a+A)，因为0<θ-A+a ，θ-a+A<π. 所以只有θ-A+a=θ-a+A ，所以a=A ，得证。

2．余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA bca cb A 2cos 222-+=⇔，下面用余弦定理证明几个常用的结论。

（1）斯特瓦特定理：在△ABC 中，D 是BC 边上任意一点，BD=p ，DC=q ，则AD 2=.22pq qp qc p b -++（1）【证明】 因为c 2=AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BDcos ADB ∠， 所以c 2=AD 2+p 2-2AD ·pcos .ADB ∠ ① 同理b 2=AD 2+q 2-2AD ·qcos ADC ∠， ② 因为∠ADB+∠ADC=π，所以cos ∠ADB+cos ∠ADC=0， 所以q ×①+p ×②得qc 2+pb 2=(p+q)AD 2+pq(p+q)，即AD 2=.22pq qp qc p b -++注：在（1）式中，若p=q ，则为中线长公式.222222a c b AD -+=（2）海伦公式：因为412=∆ ABC S b 2c 2sin 2A=41b 2c 2(1-cos 2A)=41b 2c 21614)(1222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-c b a c b [(b+c)2-a 2][a 2-(b-c) 2]=p(p-a)(p-b)(p-c). 这里.2cb a p ++=所以S △ABC =).)()((c p b p a p p ---二、方法与例题1．面积法。

例1 （共线关系的张角公式）如图所示，从O 点发出的三条射线满足βα=∠=∠QOR POQ ,，另外OP ，OQ ，OR 的长分别为u, w, v ，这里α，β，α+β∈(0,π)，则P ，Q ，R 的共线的充要条件是.)sin(sin sin wv u βααβ+=+ 【证明】P ，Q ，R 共线O RQ O PQ O PR ΔPQ R S S S S ∆∆∆+=⇔=⇔0sin 21uv ⇔(α+β)=21uwsin α+21vwsin β vu w αββαsin sin )sin(+=+⇔，得证。

2．正弦定理的应用。

例2 如图所示，△ABC 内有一点P ，使得∠BPC-∠BAC=∠CPA-∠CBA=∠APB-∠ACB 。

求证：AP ·BC=BP ·CA=CP ·AB 。

【证明】 过点P 作PD ⊥BC ，PE ⊥AC ，PF ⊥AB ，垂足分别为D ，E ，F ，则P ，D ，C ，E ；P ，E ，A ，F ；P ，D ，B ，F 三组四点共圆，所以∠EDF=∠PDE+∠PDF=∠PCA+∠PBA=∠BPC-∠BAC 。

由题设及∠BPC+∠CPA+∠APB=3600可得∠BAC+∠CBA+∠ACB=1800。

所以∠BPC-∠BAC=∠CPA-∠CBA=∠APB-∠ACB=600。

所以∠EDF=600，同理∠DEF=600，所以△DEF 是正三角形。

所以DE=EF=DF ，由正弦定理，CDsin ∠ACB=APsin ∠BAC=BPsin ∠ABC ，两边同时乘以△ABC 的外接圆直径2R ，得CP ·BA=AP ·BC=BP ·AC ，得证：例3 如图所示，△ABC 的各边分别与两圆⊙O 1，⊙O 2相切，直线GF 与DE 交于P ，求证：PA ⊥BC 。

【证明】 延长PA 交GD 于M ，因为O 1G ⊥BC ，O 2D ⊥BC ，所以只需证.21AEAFAO A O MD GM == 由正弦定理βπαπsin )2sin(,sin )1sin(AEPA AF AP =∠-=∠-， 所以.sin sin 2sin 1sin αβ⋅∠∠=AF AE 另一方面，2sin sin ,1sin sin ∠=∠=PMMD PM GM βα，所以βαsin sin 1sin 2sin ⋅∠∠=MD GM ， 所以AE AFMD GM =，所以PA//O 1G ， 即PA ⊥BC ，得证。

3．一个常用的代换：在△ABC 中，记点A ，B ，C 到内切圆的切线长分别为x, y, z ，则a=y+z, b=z+x, c=x+y.例4 在△ABC 中，求证：a 2(b+c-a)+b 2(c+a-b)+c 2(a+b-c) ≤3abc. 【证明】 令a=y+z, b=z+x, c=x+y ，则 abc=(x+y)(y+z)(z+x)zx yz xy ⋅⋅≥8=8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)=a 2(b+c-a)+b 2(c+a-b)+c 2(a+b-c)-2abc.所以a 2(b+c-a)+b 2(c+a-b)+c 2(a+b-c) ≤3abc. 4．三角换元。

例5 设a, b, c ∈R +，且abc+a+c=b ，试求131212222+++-+=c b a P 的最大值。

【解】 由题设=bacca -+1，令a=tan α, c=tan γ, b=tan β,则tan β=tan(α+γ), P=2sin γsin(2α+γ)+3cos 2γ≤31031031sin 32≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--γ，当且仅当α+β=2π，sin γ=31，即a=42,2,22==c b 时，P max =.310 例6 在△ABC 中，若a+b+c=1，求证: a 2+b 2+c 2+4abc<.21【证明】 设a=sin 2αcos 2β, b=cos 2αcos 2β, c=sin 2β, β⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0π.因为a, b, c 为三边长，所以c<21, c>|a-b|，从而⎪⎭⎫⎝⎛∈4,0πβ，所以sin 2β>|cos 2α·cos 2β|.因为1=(a+b+c)2=a 2+b 2+c 2+2(ab+bc+ca), 所以a 2+b 2+c 2+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc). 又ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c) =sin 2βcos 2β+sin 2αcos 2α·cos 4β·cos2β=41[1-cos 22β+(1-cos 22α)cos 4βcos2β]=41+41cos2β(cos 4β-cos 22αcos 4β-cos2β) >41+41cos2β(cos 4β-sin 4β-cos 2β)=41.所以a 2+b 2+c 2+4abc<.21 三、基础训练题1．在△ABC 中，边AB 为最长边，且sinAsinB=432-，则cosAcosB 的最大值为__________. 2．在△ABC 中，若AB=1，BC=2，则C ∠的取值范围是__________.3．在△ABC 中，a=4, b+c=5, tanC+tanB+33=tanCtanB ，则△ABC 的面积为__________.4．在△ABC 中，3sinA+4cosB=6, 3cosA+4sinB=1，则C ∠=__________.5．在△ABC 中，“a>b ”是“sinA>sinB ”的__________条件.6．在△ABC 中，sinA+cosA>0, tanA-sinA<0，则角A 的取值范围是__________.7．在△ABC 中，sinA=53，cosB=135，则cosC=__________. 8．在△ABC 中，“三边a, b, c 成等差数列”是“tan 312tan 2=⋅C A ”的__________条件. 9．在△ABC 中，若sinC=2cosAsinB ，则三角形形状是__________.10．在△ABC 中，tanA ·tanB>1，则△ABC 为__________角三角形.11．三角形有一个角是600，夹这个角的两边之比是8：5，内切圆的面积是12π，求这个三角形的面积。

12．已知锐角△ABC 的外心为D ，过A ，B ，D 三点作圆，分别与AC ，BC 相交于M ，N 两点。

求证：△MNC 的外接圆半径等于△ABD 的外接圆半径。

13．已知△ABC 中，sinC=B A BA cos cos sin sin ++，试判断其形状。

四、高考水平训练题 1．在△ABC 中，若tanA=21, tanB=31，且最长边长为1，则最短边长为__________.2．已知n ∈N +，则以3，5，n 为三边长的钝角三角形有________个. 3．已知p, q ∈R +, p+q=1，比较大小：psin 2A+qsin 2B__________pqsin 2C.4．在△ABC 中，若sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC ，则△ABC 为__________角三角形. 5．若A 为△ABC 的内角，比较大小：A Acot 8cot-__________3. 6．若△ABC 满足acosA=bcosB ，则△ABC 的形状为__________.7．满足A=600，a=6, b=4的三角形有__________个.8．设θ为三角形最小内角，且acos 22θ+sin 22θ-cos 22θ-asin 22θ=a+1，则a 的取值范围是__________.9．A ，B ，C 是一段笔直公路上的三点，分别在塔D 的西南方向，正西方向，西偏北300方向，且AB=BC=1km ，求塔与公路AC 段的最近距离。