误差理论与数据处理 第二章随机误差

量
t X
Y /
的概率密度
f x

(

1)
2
(1
x2

1
)2

( )

t分布的主要分布特2 征量为：
0
2




2

2
（2－32） （2－33）
七、F分布
317
设随机变量X与Y相互独立，分别服 从自由度为与的χ2分布，则随机变量
态分布。
测量的标准偏差：单次测量 的标准偏差、贝塞尔公式、 算术平均值的标准偏差、标
准差的其它估计方法。
算术平均值原理： 算术平均值原理、
残余误差。
第一节 随机误差概述
一、随机误差的定义
随机误差系指测量结果与在重复条件下，对同一 被测量进行无限多次测量所得结果的平均值之差。 随机误差等于误差减去系统误差。因为测量只能 进行有限次数，故可能确定的只是随机误差的估 计值。
单峰性，即绝对值小的误差出现的次数多于绝对值大的误差出现的次数。
第二节 随机误差的分布
一、正态分布
随机误差概率分布密度函 数表达式为：
f ( )
1
2


e 2 2
2
图2－4
数学期望 E（δ ）＝0 方 差 D（δ ）＝σ2
标准偏差 D( )
二、均匀分布
均匀分布又称等概率分布， 其概率密度函数为：
值x1, x2,..., xn ,常取算术平均值
x

1 n
n i 1
xi
作为测量结果的最佳估计。
算术平均值原理
若测量次数无限增多，且无系统误差下， 由概率论的大数定律知，算术平均值以概率 为1趋近于真值
因为
n
n
i xi nx0
i 1
i 1
根据随机误差的抵偿性，当n充分大时，有
重点和难点
3- 3
随机 误差 产生 的原 因
随机 误差 的本 质特 征
算术 平均 值
贝塞 尔公 式
试验 标准 差
测量 结果 的最 佳估 计
置信 区间
主要内容
产生原因、随机误差特 性、随机误差处理的基
本原则。
极限误差：极限误差的 定义、单次测量的极限 误差、算术平均值的极
限误差。
随机误差的分布： 正态分布、非正
第一节 随机误差概述
二、随机误差产生的原因
随机误差是由人们不能掌握，不能控制，不 能调节，更不能消除的微小因素造成。这些因素 中，有的是尚未掌握其影响测量准确的规律；有 的是在测量过程中对其难以完全控制的微小变化， 而这些微小变化又给测量带来误差。
例题
举例：用测长机测量1m长的钢杆制件，测量温度的允 许范围为（20±2）℃。为此，测量在恒温室内进行， 恒温室温度控制能力达到（20±0.5）℃，满足测量要 求。但在测量时，恒温室的温度必然处在不断地变化 中，围绕平均温度20℃有微小的波动，温度时高时低， 变化速度时快时慢。温度的微小变化引起钢杆制件长 度和测量仪器示值的微小变化，且它们受温度的影响 又不一致，有快慢之别，大小之分。这种影响又无法 确定，因此造成随机误差。
1
f
(
)

2a
0
当|δ|≤a 当|δ|＞a
它的数学期望为：
它的方差为：
它的标准偏差为：
E（δ ）＝ 0
2 a2
3
a
3
三、三角分布
313
三角分布的概率密度函数为：
a
f
(
)


a2
a
a 2
当a 0 当0＜ a
数学期望： 它的方差为：
三、随机误差的本质特征
1、具有随机性：测量过程中误差的大小 和符号以不可预知形式的形式出现。
2、产生在测量过程之中：影响随机误差的因 素在测量开始之后体现出来。
3、与测量次数有关系：增加测量次数可 以减小随机误差对测量结果的影响。
四、随机误差的处理原则
随机误差性质上属随机变量，其处理方法 的理论依据是概率论与数理统计。具体参量可 用随机变量的数学期望（算术平均值）、方差 （标准偏差）和置信概率等三个特征量来描述。
的概率密度为
X 1
Y 2
f
x


(1 2
(1 ) 2
2 )
(
2
)
2
11
2

2 2
2
1 1
x2
1 2
(1x 2 ) 2
x0
0
x0
第三节 算术平均值原理
一、算术平均值
在等权测量条件下，对某被测量进
行多次重复测量，得到一系列测量
第二章 随机误差
教学目的和要求
通过本章内容的教学，使学生对误差的概念有一个感 性的了解。要求学生清楚为什么所有的测量均存在误 差 ,了解误差公理，明确学习本课程的目的和意义。 通过本章内容的教学，使学生对随机误差的产生原因、 特点及处理方法有一个整体的认识。要求学生清楚随 机误差的产生原因、特征，服从正态分布随机误差的 特征；掌握随机误差 特征值的确定方法；了解随机 误差的分布；正确求解极限误差。
x

1 n
n i 1
xi

x0
最佳估计的意义
若测量次数有限，由参数估计知，算术 平均值是该测量总体期望的一个最佳的估 计量 ，即满足无偏性、有效性、一致性
它的标准偏差为：
E（δ ）＝ 0
2 a2
6
a
6
四、反正弦分布
314
它的概率密度为：

f
(
)



0
1
e2 2
e e
数学期望： E（δ ）＝ 0
方差为：
标准偏差为：
2 e2
2
e
2
五、χ2分布 315
设随机变量X1，X2，…，Xυ相互独立，且都服从 标准正态分布N（0，1），则随机变量

2

X
2 1

X
2 2

X的2 概率密度为
f
x

2 2
1

(
)
1 x
x2 e 2
x0

2Байду номын сангаас
x0
0
特征量为：

2


2 2
六、t分布
316
设随机变量X与Y相互独立，X服从标准正态分布
N（0，1），Y服从自由度为的χ2分布，则随机变
服从正态分布随机误差的特征
310
有界性 随机误差总是有界限的，不可能出现无限大的随机误差。在一 定测量条件下的有限次测量结果中，随机误差的绝对值不会超过某一界 限。
对称性 在一定测量条件下的有限次测量结果，其绝对值相等的正误差 与负误差出现的次数大致相等。
抵偿性 由随机误差的对称性知，在有限次测量中，绝对值相同的正负 误差出现的次数大致相同。因此，取这些误差的算术平均值时，绝对 值相同的正负误差产生相互抵消现象，从而导致了随机误差的第三个 特性——抵偿性。