高考数学大二轮复习专题7立体几何 综合大题部分真题押题精练(文)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第2讲 综合大题部分
1. (2018·高考天津卷)如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB ＝2，AD ＝23，∠BAD ＝90°. (1)求证：AD ⊥BC ；
(2)求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值； (3)求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．
解析：(1)证明：由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC ∩平面ABD ＝AB ，AD ⊥AB ，可得AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥BC .
(2)如图，取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND . 又因为M 为棱AB 的中点，所以MN ∥BC .
所以∠DMN (或其补角)为异面直线BC 与MD 所成的角． 在Rt △DAM 中，AM ＝1，故DM ＝AD 2
＋AM 2
＝13. 因为AD ⊥平面ABC ，所以AD ⊥AC . 在Rt △DAN 中，AN ＝1， 故DN ＝AD 2
＋AN 2
＝13. 在等腰三角形DMN 中，MN ＝1， 可得cos ∠DMN ＝12MN DM ＝13
26
.
所以，异面直线BC 与MD 所成角的余弦值为
13
26
. (3)如图，连接CM .因为△ABC 为等边三角形，M 为边AB 的中点，所以CM ⊥AB ，CM ＝ 3. 又因为平面ABC ⊥平面ABD ， 平面ABC ∩平面ABD ＝AB ，
而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面ABD ， 所以∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角． 在Rt △CAD 中，CD ＝AC 2
＋AD 2
＝4. 在Rt △CMD 中，sin ∠CDM ＝
CM CD ＝34
.
所以，直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为
34
. 2．(2018·高考北京卷)如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，
PA ⊥PD ，PA ＝PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．
(1)求证：PE ⊥BC ；
(2)求证：平面PAB ⊥平面PCD ； (3)求证：EF ∥平面PCD .
证明：(1)因为PA ＝PD ，E 为AD 的中点， 所以PE ⊥AD .
因为底面ABCD 为矩形， 所以BC ∥AD ，所以PE ⊥BC . (2)因为底面ABCD 为矩形， 所以AB ⊥AD .
又因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以AB ⊥平面PAD ， 所以AB ⊥PD . 又因为PA ⊥PD ， 所以PD ⊥平面PAB . 所以平面PAB ⊥平面PCD .
(3)如图，取PC 的中点G ，连接FG ，DG .
因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点， 所以FG ∥BC ，FG ＝12
BC .
因为四边形ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点，
所以DE ∥BC ，DE ＝1
2BC .
所以DE ∥FG ，DE ＝FG .
所以四边形DEFG 为平行四边形． 所以EF ∥DG .
又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ， 所以EF ∥平面PCD .
3．(2017·高考全国卷Ⅰ)如图，在四棱锥P ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.
(1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ；
(2)若PA ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥P ABCD 的体积为8
3，求该四棱锥的侧面
积．
解析：(1)证明：由∠BAP ＝∠CDP ＝90°，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD . 由于AB ∥CD ，故AB ⊥PD ， 又AP ∩PD ＝P ，从而AB ⊥平面PAD . 又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD . (2)如图所示，在平面PAD 内作PE ⊥AD ，垂足为E .
由(1)知，AB ⊥平面PAD ，故AB ⊥PE ，可得PE ⊥平面ABCD . 设AB ＝x ，则由已知可得AD ＝2x ，PE ＝
22
x . 故四棱锥P ABCD 的体积V P ABCD ＝13AB ·AD ·PE ＝13x 3
.
由题设得13x 3＝8
3
，故x ＝2.
从而PA ＝PD ＝2，AD ＝BC ＝22，PB ＝PC ＝2 2.
可得四棱锥P ABCD 的侧面积为12PA ·PD ＋12PA ·AB ＋1
2PD ·DC
＋12
BC 2
sin 60°＝6＋2 3. 4. (2017·高考全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝1
2
AD ，∠BAD ＝∠
ABC ＝90°.
(1)证明：直线BC ∥平面PAD ；
(2)若△PCD 的面积为27，求四棱锥P ABCD 的体积．
解析：(1)证明：在平面ABCD 内，因为∠BAD ＝∠ABC ＝90°，所以BC ∥AD . 又BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 故BC ∥平面PAD .
(2)如图，取AD 的中点M ，连接PM ，CM .由AB ＝BC ＝1
2AD 及BC ∥AD ， ∠ABC ＝90°
得四边形ABCM 为正方形，则CM ⊥AD .
因为侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ， 平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以PM ⊥AD ，PM ⊥底面ABCD . 因为CM ⊂底面ABCD ，所以PM ⊥CM . 设BC ＝x ，
则CM ＝x ，CD ＝2x ，PM ＝3x ，PC ＝PD ＝2x . 如图，取CD 的中点N ，连接PN ，则PN ⊥CD ，
所以PN ＝
142
x . 因为△PCD 的面积为27， 所以12×2x ×142x ＝27，
解得x ＝－2(舍去)或x ＝2.