山东省聊城市聊城文轩中学2020-2021学年九年级上学期期中数学试题

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2021-2022学年-有答案-山东省聊城市某校初三(上)期中考试数学试卷

2021-2022学年山东省聊城市某校初三（上）期中考试数学试卷一、选择题1. 在Rt△ABC中，若各边的长度同时都扩大2倍，则锐角A的正弦值与余弦值的情况()A.都扩大2倍B.都缩小2倍C.都不变D.不确定2. 下列说法中正确的是()A.对应角相等的多边形一定是相似多边形B.对应边的比相等的多边形是相似多边形C.边数相同的多边形是相似多边形D.边数相同、对应角相等、对应边成比例的多边形是相似多边形3. 如图，在△ABC中，若DE//BC,AD=3，BD=6，AE=2，则AC的长为()A.4B.5C.6D.84. 如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE // AC，AE，CD相交于点O，若S△DOE:S△COA=1:25，则S△BDE与S△CDE的比是()A.1:3B.1:4C.1:5D.1:255. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中不能判断△ABC∼△AED()A.∠AED=∠BB.∠ADE=∠CC.ADAE =ACABD.ADAB=AEAC6. 在平面直角坐标系中，点P(m, n)是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为()A.(2m, 2n)B.(2m, 2n)或(−2m, −2n)C.(12m, 12n) D.(12m, 12n)或(−12m, −12n)7. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，已知a和∠A，则下列关系式中正确的是()A.c=a⋅sinAB.c=asinA C.c=a⋅cosB D.c=acosA8. 如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD，下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D，C，E．若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是()A.9B.10C.12D.149. 如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为点E，连接OD，CB，AC，∠DOB=60∘，EB=2，那么CD的长为()A.√3B.2√3C.3√3D.4√310. 如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．已知∠A=30∘，则∠C的大小是()A.30∘B.45∘C.60∘D.40∘̂=AĈ，∠BAC=50∘，则∠AEC的度数为()11. 如图，在⊙O中，ABA.65∘B.75∘C.50∘D.55∘̂上一点，且DF̂=BĈ，连接CF并延长交12. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是CDAD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC=105∘，∠BAC=25∘，则∠E的度数为()A.45∘B.50∘C.55∘D.60∘二、填空题△ABC中，∠C=90∘，AB=8，cosA=3，则BC的长________．4直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为5，则半径r的取值范围是________.已知山坡的坡度i=1:√3，则坡角为________度．如图，在△ABC中，点P是△ABC的内心，则∠PBC+∠PCA+∠PAB=________．如图，AB是⊙O直径，弦AD，BC相交于点E，若CD=5，AB=13，则DE=________．BE三、解答题计算.(1)2sin230∘⋅tan30∘+cos60∘tan60∘；sin45∘+sin260∘−√2cos45∘.(2)√22如图，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B，且DM交AC于F，ME交BC于G，求证：△AMF∼△BGM．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边QM在BC上，其余两个顶点P,N分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是多少？如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37∘，旗杆底部B点的俯角为45∘，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：sin37∘≈0.60，cos37∘≈0.80，tan37∘≈0.75）今年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，达到历史最低水位，一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东60∘方向上，前进100米到达B处，又测得航标C在北偏东45∘方向上（如图），在以航标C为圆心，120米长为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？(√3≈1.73)如图，AB是⊙O的弦，OC⊥OA交AB于点C，过B的直线交OC的延长线于点E，当CE=BE时，直线BE与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC，BC，若∠BAC=30∘，CD=6cm．(1)求∠BCD的度数；(2)求⊙O的直径．如图，AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，连接PA交⊙O于点C，连接BC．(1)求证：∠BAC=∠CBP；(2)求证：PB2=PC⋅PA；(3)当AC=6，CP=3时，求sin∠PAB的值．参考答案与试题解析2021-2022学年山东省聊城市某校初三（上）期中考试数学试卷一、选择题1.【答案】C【考点】相似三角形的判定锐角三角函数的定义【解析】本题主要考查了相似三角形的判定和锐角三角函数的定义的相关知识点，需要掌握相似三角形的判定方法:两角对应相等，两三角形相似(ASA)；直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(SAS)；三边对应成比例，两三角形相似(SSS)；锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数才能正确解答此题．【解答】解：∵Rt△ABC中，若各边的长度同时都扩大2倍，∴扩大后形成的三角形与原三角形相似，∴锐角A的正弦值与余弦值都不变.故选C．2.【答案】D【考点】相似图形【解析】此题暂无解析【解答】解：A，对应角相等的多边形，若各边不对应成比例，不一定是相似多边形，故A错误；B，对应边的比相等的多边形，若对应角不相等，不一定是相似多边形，故B错误；C，边数相同的多边形，如正方形与菱形不是相似多边形，故C错误；D，由相似多边形的定义，可知边数相同、对应角相等、对应边成比例的的多边形是相似多边形，故D正确.故选D.3.【答案】C【考点】平行线分线段成比例【解析】此题暂无解析【解答】解：∵AD=3，BD=6∴AB=AD+BD=9，∵DE//BC，∴ADAB =AEAC，即39=2AC，∴AC=6.故选C.4.【答案】B【考点】相似三角形的性质与判定【解析】根据相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根据相似三角形的性质定理得到DE AC =15，BEBC=DEAC=15，结合图形得到BEEC=14，得到答案．【解答】解：∵DE // AC，∴△DOE∼△COA，又S△DOE:S△COA=1:25，∴DEAC =15，∵DE // AC，∴△BDE∼△BAC，∴BEBC =DEAC=15，∴BEEC =14，∴S△BDE与S△CDE的比是1:4.故选B．5.【答案】D【考点】相似三角形的判定【解析】由于两三角形有公共角，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对A、B选项进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对C、D选项进行判断．【解答】解：∵∠DAE=∠CAB，∴当∠AED=∠B或∠ADE=∠C时，△ABC∼△AED；当ADAC =AEAB时，△ABC∼△AED．故选D．6.【答案】B【考点】位似变换坐标与图形性质【解析】根据位似变换的性质计算即可．【解答】解：点P(m, n)是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为(m×2, n×2)或(m×(−2)，n×(−2))，即(2m, 2n)或(−2m, −2n).故选B.7.【答案】B【考点】锐角三角函数的定义【解析】根据三角函数的定义即可作出判断．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠C的对边为c，∠A的对边为a，∴sinA=ac，∴a=c⋅sinA，c=asinA．故选B．8.【答案】D【考点】切线长定理直角梯形【解析】由切线长定理可知：AD=AE，BC=BE，因此梯形的周长=2AB+CD，已知了AB和⊙O的半径，由此可求出梯形的周长．【解答】解：根据切线长定理，得AD=AE，BC=BE，所以梯形的周长是5×2+4=14．故选D．9.【答案】D【考点】垂径定理勾股定理含30度角的直角三角形【解析】根据同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，可以容易求出∠BCE=30∘，在直角三角形BCE中，利用含30∘的直角三角形的性质和勾股定理算出CE的长，最后根据垂径定理求得CD的长【解答】解：∵∠DOB=60∘，∴∠BCE=30∘．在Rt△BCE中，∵BE=2，∠BCE=30∘，∴BC=4，CE=√BC2−BE2=√42−22=2√3，∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∴CD=2CE=4√3.故选D．10.【答案】A【考点】切线的性质【解析】根据切线的性质由AB与⊙O相切得到OB⊥AB，则∠ABO＝90∘，利用∠A＝30∘得到∠AOB＝60∘，再根据三角形外角性质得∠AOB＝∠C+∠OBC，由于∠C＝∠OBC，所以∠AOB＝30∘．∠C=12【解答】解：连结OB，如图，∵AB与⊙O相切，∴OB⊥AB，∴∠ABO=90∘，∵∠A=30∘，∴∠AOB=60∘，∵∠AOB=∠C+∠OBC，而∠C=∠OBC，∠AOB=30∘．∴∠C=12故选A.11.【答案】A【考点】圆周角定理圆心角、弧、弦的关系【解析】̂=AĈ，根据弧与弦的关系，可得AB=AC，然后由等腰三角形的性由在⊙O中，AB质，求得∠B的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．【解答】̂=AĈ，解：∵在⊙O中，AB∴AB=AC，∵∠BAC=50∘，∴∠B=∠ACB=65∘，∴∠AEC=∠B=65∘．故选A．12.【答案】B【考点】圆内接四边形的性质圆心角、弧、弦的关系【解析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105∘，∴∠ADC=180∘−∠ABC=180∘−105∘=75∘．̂=BĈ，∠BAC=25∘，∵DF∴∠DCE=∠BAC=25∘，∴∠E=∠ADC−∠DCE=75∘−25∘=50∘．故选B.二、填空题【答案】2√7【考点】锐角三角函数的定义勾股定理解直角三角形【解析】首先利用余弦函数的定义求得AC的长，然后利用勾股定理即可求得BC的长．【解答】解：如图，∵cosA=AC，AB=6，∴AC=AB⋅cosA=8×34∴BC=√AB2−AC2=√82−62=2√7．故答案为：2√7．【答案】r>5【考点】直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：∵直线l与半径r的⊙O相交，∴d<r.∵点O到直线l的距离为5，∴d=5，∴r>5.故答案为：r>5.【答案】30【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解析】坡度比=垂直高度：水平距离，即为坡角的正切值．【解答】解：设坡角为α，则tanα=1:√3=√3，3∴坡角α=30∘．故答案为：30.【答案】90∘【考点】三角形的内切圆与内心三角形内角和定理【解析】根据三角形的内心的定义知内心是三角形三角平分线的交点，根据三角形内角和定理可以得到题目中的三个角的和．【解答】解：∵ 点P 是△ABC 的内心，∴ PB 平分∠ABC ，PA 平分∠BAC ，PC 平分∠ACB ，∴ ∠PBC =12∠ABC ，∠PCA =12∠ACB ，∠PAB =12∠BAC . ∵ ∠ABC +∠ACB +∠BAC =180∘，∴ ∠PBC +∠PCA +∠PAB=12(∠ABC +∠ACB +∠BAC)=90∘.故答案为：90∘.【答案】513【考点】相似三角形的性质与判定圆周角定理【解析】根据圆周角定理得到∠C =∠A ，∠D =∠B ，则可判断△ECD ∽△EAB ，得出对应边成比例，即可得出结果．【解答】解：∵ ∠C =∠A ，∠D =∠B ，∴ △ECD ∼△EAB ，∴ DE BE =CD AB =513.故答案为：513．三、解答题【答案】解：(1)原式=2×(12)2×√33+12×√3=2×14×√33+√32=√36+√32=2√33；(2)原式=√22×√22+(√32)2−√2×√22 =12+34−1 =14.【考点】特殊角的三角函数值【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)原式=2×(12)2×√33+12×√3 =2×14×√33+√32=√36+√32 =2√33；(2)原式=√22×√22+(√32)2−√2×√22 =12+34−1 =14.【答案】证明：∵ ∠DMB 是△AMF 的外角，∴ ∠DMB =∠AFM +∠A ，∵ ∠DMB =∠BMG +∠DME ，且∠A =∠DME ，∴ ∠AFM =∠BMG ，∵ ∠A =∠B ，∴ △AMF ∼△BGM .【考点】相似三角形的判定【解析】由于∠DMB 是△AMF 的外角，所以∠DMB =∠AFM +∠A ，又因为∠DMB =∠BMG +∠DME ，所以∠AFM =∠BMG ，从而可证明△AMF ∽△BGM【解答】证明：∵ ∠DMB 是△AMF 的外角，∴ ∠DMB =∠AFM +∠A ，∵∠DMB=∠BMG+∠DME，且∠A=∠DME，∴∠AFM=∠BMG，∵∠A=∠B，∴△AMF∼△BGM.【答案】解：设AD交PN于点E，如图，设正方形的边长为xmm，则AE=AD−x=80−x，∵PQMN是正方形，∴PN // QM，∴△APN∼△ABC，∴PNBC =AEAD，即x120=80−x80，解得x=48，答：这个正方形零件的边长是48mm．【考点】相似三角形的性质与判定相似三角形的应用【解析】设正方形的边长为x，表示出AI的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解．【解答】解：设AD交PN于点E，如图，设正方形的边长为xmm，则AE=AD−x=80−x，∵PQMN是正方形，∴PN // QM，∴△APN∼△ABC，∴PNBC =AEAD，即x120=80−x80，解得x=48，答：这个正方形零件的边长是48mm．【答案】解：在Rt△BCD中，BD=9米，∠BCD=45∘，则BD=CD=9米．在Rt△ACD中，CD=9米，∠ACD=37∘，则AD=CD⋅tan37∘≈9×0.75=6.75（米）．所以，AB=AD+BD=15.75(米)，整个过程中旗子上升高度是：15.75−2.25=13.5（米），因为耗时45s，所以上升速度v=13.545=0.3（米/秒）．答：国旗应以0.3米/秒的速度匀速上升.【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】通过解直角△BCD和直角△ACD分别求得BD、CD以及AD的长度，则易得AB的长度，则根据题意得到整个过程中旗子上升高度，由“速度=”进行解答即可．【解答】解：在Rt△BCD中，BD=9米，∠BCD=45∘，则BD=CD=9米．在Rt△ACD中，CD=9米，∠ACD=37∘，则AD=CD⋅tan37∘≈9×0.75=6.75（米）．所以，AB=AD+BD=15.75(米)，整个过程中旗子上升高度是：15.75−2.25=13.5（米），因为耗时45s，所以上升速度v=13.545=0.3（米/秒）．答：国旗应以0.3米/秒的速度匀速上升.【答案】解：过点C作CD⊥AB于点D，如图，在Rt△ACD中，AD=CDtan∠CAD=√3CD，在Rt△BDC中，BD=CDtan∠CBD=CD，∴AB=AD−BD=√3CD−CD=100，解得CD=50(√3+1)≈136.5米>120米，因而如果这条船继续前进，没有被浅滩阻碍的危险．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【解析】过点C作CD⊥AB于点D，在直角△ACD和直角△BDC中，AD，BD都可以用CD表示出来，根据AB的长，就得到关于CD的方程，就可以解得CD的长，与120米进行比较即可．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，如图，=√3CD，在Rt△ACD中，AD=CDtan∠CAD=CD，在Rt△BDC中，BD=CDtan∠CBD∴AB=AD−BD=√3CD−CD=100，解得CD=50(√3+1)≈136.5米>120米，因而如果这条船继续前进，没有被浅滩阻碍的危险．【答案】解：BE与⊙O相切；理由：连接OB，如图，∵CE=BE，∴∠2=∠1=∠3，∵OC⊥OA，∴∠2+∠A=90∘.又∵OA=OB，∴∠A=∠OBA，∴∠3+∠OBA=90∘，即∠OBE=90∘，∴BE与⊙O相切．【考点】切线的判定与性质【解析】连接OB，根据角与角之间的相互关系可得∠OBE=90∘，则OB⊥BE，故BE与⊙O相切．【解答】解：BE与⊙O相切；理由：连接OB，如图，∵CE=BE，∴∠2=∠1=∠3，∵OC⊥OA，∴∠2+∠A=90∘.又∵OA=OB，∴∠A=∠OBA，∴∠3+∠OBA=90∘，即∠OBE=90∘，∴BE与⊙O相切．【答案】解：(1)∵直径AB⊥CD，∴BĈ=BD̂，∴∠BCD=∠CAB=30∘；(2)∵直径AB⊥CD，CD=6cm，∴CE=3cm.在Rt△ACE中，∠BAC=30∘，∴AC=6cm.∵AB是直径，∴∠ACB=90∘，在Rt△ACB中，AB=ACcos∠BAC =6cos30∘=4√3cm．∴⊙O的直径为4√3cm.【考点】圆周角定理解直角三角形垂径定理【解析】（1）由垂径定理知，BĈ=BD̂，∴∠DCB=∠CAB=30∘；（2）由垂径定理知，点E是CD的中点，有CE=12CD=3，AB是直径，∴∠ACB= 90∘，再求出AC的长，利用∠A的余弦即可求解．【解答】解：(1)∵直径AB⊥CD，∴BĈ=BD̂，∴∠BCD=∠CAB=30∘；(2)∵直径AB⊥CD，CD=6cm，∴CE=3cm.在Rt△ACE中，∠BAC=30∘，∴AC=6cm.∵AB是直径，∴∠ACB=90∘，在Rt△ACB中，AB=ACcos∠BAC =6cos30∘=4√3cm．∴⊙O的直径为4√3cm.【答案】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，∴∠ACB=∠ABP=90∘，∴∠BAC+∠ABC=∠ABC+∠CBP=90∘，∴∠BAC=∠CBP；(2)证明：∵∠PCB=∠ABP=90∘，∠P=∠P，∴△ABP∼△BCP，∴PBAP =PCPB，∴PB2=PC⋅PA；(3)解：∵PB2=PC⋅PA，AC=6，CP=3，∴PB2=9×3=27，∴PB=3√3，∴sin∠PAB=PBAP =3√39=√33．【考点】相似三角形的性质与判定解直角三角形切线的性质【解析】（1）根据已知条件得到∠ACB=∠ABP=90∘，根据余角的性质即可得到结论；（2）根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；（3）根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，∴∠ACB=∠ABP=90∘，∴∠BAC+∠ABC=∠ABC+∠CBP=90∘，∴∠BAC=∠CBP；(2)证明：∵∠PCB=∠ABP=90∘，∠P=∠P，∴△ABP∼△BCP，∴PBAP =PCPB，∴PB2=PC⋅PA；(3)解：∵PB2=PC⋅PA，AC=6，CP=3，∴PB2=9×3=27，∴PB=3√3，∴sin∠PAB=PBAP =3√39=√33．。

山东省聊城市九年级(上)期中数学试卷-(含答案)

九年级（上）期中数学试卷副标题一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.下列说法：①有一个锐角相等的两个直角三角形相似；②顶角相等的两个等腰三角形相似；③任意两个菱形一定相似；④位似图形一定是相似图形；其中正确的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.已知直角梯形一腰长为10，此腰与底成45°角，那么另一腰长是（）A. 10B.C.D.3.一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（）A. B. 1 C. 2 D. 44.如图，AB、CD都是⊙O的弦，且AB⊥CD．若∠CDB=62°，则∠ACD的大小为（）A.B.C.D.5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，⊙O的半径为5cm，则圆心O到弦CD的距离为（）A.B. 3cmC.D. 6cm6.如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，则坝底AD的长度为（）A. 26米B. 28米C. 30米D. 46米7.如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，CE=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（）A. 60mB. 40mC. 30mD. 20m8.已知，如图，E（-4，2），F（-1，-1）．以O为位似中心，按比例尺1：2把△EFO缩小，点E的对应点的坐标（）A.B.C. 或D. 或9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=2，AB=2，设∠BCD=α，那么cosα的值是（）A.B.C.D.10.如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（）A. 1：2B. 1：4C. 1：5D. 1：611.已知⊙O的半径为3cm，点P是直线l上一点，OP长为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（）A. 相交B. 相切C. 相离D. 相交、相切、相离都有可能12.已知：如图，AB、AC分别切⊙O于B、C，D是⊙O上一点，∠D=40°，则∠A的度数等于（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）13.△ABC中，∠C=90°，AB=8，cos A=，则BC的长______．14.已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则它的半径为______．15.直角三角形的两直角边长分别为12和16，则此直角三角形的内切圆半径是______．16.一条弦把圆分成2：4两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是______．17.如图，△ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的______．三、计算题（本大题共2小题，共14.0分）18.计算（1）2sin30°+cos60°-tan60°•tan30°+cos245°（2）cos30°+sin45°+sin60°•cos60°．19.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC、BC，若∠BAC=30°，CD=6cm．（1）求∠BCD的度数；（2）求⊙O的直径．四、解答题（本大题共6小题，共55.0分）20.如图，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B，且DM交AC于F，ME交BC于G求证：△AMF∽△BGM．21.如图，身高1.5米的人站在两棵树之间，距较高的树5米，距较矮的树3米，若此人观察的树梢所成的视线的夹角是90°，且较矮的树高4米，那么较高的树有多少米？22.如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，连接PO与⊙O相交于C，连接AC、BC，求证：AC=BC．23.周末，小亮一家在东昌湖游玩，妈妈在湖心岛岸边P处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图）．小船从P处出发，沿北偏东60°划行200米到达A处，接着向正南方向划行一段时间到达B处．在B处小亮观测妈妈所在的P处在北偏西37°方向上，这时小亮与妈妈相距多少米（精确到米）？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）24.如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于点F．（1）证明△ABE∽△DFA；（2）若AB=3，AD=6，BE=4，求DF的长．连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CD=2，求⊙O的半径．答案和解析1.【答案】C【解析】解：①中两个角对应相等，为相似三角形，①对；②顶点相等且为等腰三角形，即底角也相等，是相似三角形，②对；③菱形的角不确定，所以不一定相似，③错；④如果两个图形是位似图形，那么这两个图形必是相似图形，但是相似的两个图形不一定是位似图形，题中所述正确，④对；所以①②④正确，故选C．考查三角形及多边形的相似问题，相似三角形的对应角相等即可；而对于菱形，矩形等多边形，即使角度可以确定，边长的比例不确定，所以多边形一般情况下不能判断其相似．熟练掌握相似三角形及相似多边形的性质及判定．2.【答案】B【解析】解：过D作DE⊥BC于E，∵∠C=45°，∴△DEC是等腰直角三角形，∵DC=10，∴DE=EC==5，∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AB=DE=5；故选B．作梯形的高线DE，根据等腰直角三角形求直角边DE=EC=5，再由两平行线的距离相等得：AB=5．本题考查了直角梯形的性质、等腰直角三角形的性质和判定、平行线的距离和勾股定理，得出△DEC是等腰直角三角形是本题的关键．3.【答案】B【解析】解：设半径为r，过O作OE⊥AB交AB于点D，连接OA、OB，则AD=AB=×0.8=0.4米，设OA=r，则OD=r-DE=r-0.2，在Rt△OAD中，OA2=AD2+OD2，即r2=0.42+（r-0.2）2，解得r=0.5米，故此输水管道的直径=2r=2×0.5=1米．故选B．根据题意知，已知弦长和弓形高，求半径（直径）．根据垂径定理和勾股定理求解．本题考查的是垂径定理，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线．4.【答案】A【解析】解：∵AB⊥CD，∴∠DPB=90°，∵∠CDB=62°，∴∠B=180°-90°-62°=28°，∴∠ACD=∠B=28°．故选A．利用垂直的定义得到∠DPB=90°，再根据三角形内角和定理求出∠B=180°-90°-62°=28°，然后根据圆周角定理即可得到∠ACD的度数．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．5.【答案】A【解析】解：连接CB．∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∴圆心O到弦CD的距离为OE；∵∠COB=2∠CDB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∠CDB=30°，∴∠COB=60°；在Rt△OCE中，OC=5cm，OE=OC•cos∠COB，∴OE=cm．故选：A．根据垂径定理知圆心O到弦CD的距离为OE；由圆周角定理知∠COB=2∠CDB=60°，已知半径OC的长，即可在Rt△OCE中求OE的长度．本题考查了垂径定理、圆周角定理及解直角三角形的综合应用．解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．6.【答案】D【解析】解：∵坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，∴AE=1.5BE=18米，∵BC=10米，∴AD=2AE+BC=2×18+10=46米，故选：D．先根据坡比求得AE的长，已知CB=10m，即可求得AD．此题考查了解直角三角形的应用中的坡度坡角的问题及等腰梯形的性质的掌握情况，将相关的知识点相结合更利于解题．7.【答案】B【解析】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴△BAE∽△CDE，∴∵BE=20m，CE=10m，CD=20m，∴解得：AB=40，故选：B．由两角对应相等可得△BAE∽△CDE，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．考查相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．8.【答案】D【解析】解：∵E（-4，2），以O为位似中心，按比例尺1：2把△EFO缩小，∴点E的对应点的坐标为：（-2，1）或（2，-1）．故选D．由E（-4，2），F（-1，-1）．以O为位似中心，按比例尺1：2把△EFO缩小，根据位似图形的性质，即可求得点E的对应点的坐标．此题考查了位似图形的性质．此题比较简单，注意位似图形有两个．9.【答案】D【解析】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∴∠B+∠A=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD=α，∴cosα===．故选D．求出∠A=α，将求cosα的问题转化为求cos∠A的问题解答．此题考查了直角三角形的性质：直角三角形的两锐角互余；还考查了三角函数的定义以及转化思想．10.【答案】B【解析】解：∵D、F分别是OA、OC的中点，∴DF=AC，∴△DEF与△ABC的相似比是1：2，∴△DEF与△ABC的面积比是1：4．故选：B．图形的位似就是特殊的相似，满足相似的性质，且位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．因为D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，根据三角形的中位线定理可知：DF=AC，即△DEF与△ABC的相似比是1：2，所以面积的比是1：4．本题主要考查了三角形中位线定理，位似的定义及性质：面积的比等于相似比的平方．11.【答案】D【解析】解：因为垂线段最短，所以圆心到直线的距离小于等于5．此时和半径3的大小不确定，则直线和圆相交、相切、相离都有可能．故选D．直线和圆的位置关系与数量之间的联系：若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．判断直线和圆的位置关系，必须明确圆心到直线的距离．特别注意：这里的5不一定是圆心到直线的距离．12.【答案】C【解析】解：连接OB，OC，∵∠BOC=2∠D=80°，∴∠OBA=∠OCA=90°，∴∠A=100°．故选C．连接OB、OC，根据圆周角定理得∠BOC=2∠=80°，根据切线的性质得∠OBA=∠OCA=90°，再根据四边形的内角和定理可得∠A=100°．此题涉及到了切线的性质定理、圆周角定理以及四边形的内角和定理．13.【答案】2【解析】解：∵cosA=，∴AC=AB•cosA=8×=6，∴BC===2．故答案是：2．首先利用余弦函数的定义求得AC的长，然后利用勾股定理即可求得BC的长．本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．14.【答案】3【解析】解：∵l=，∴R==3．故答案为：3．根据弧长公式代入求解即可．本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：l=．15.【答案】4【解析】解：∵直角三角形的两直角边长分别为12和16，∴直角三角形的斜边长为：=20，∴直角三角形的内切圆半径是：=4，故答案为：4．根据勾股定理求出斜边长，根据求直角三角形的内切圆的半径的公式计算即可．本题考查的是三角形的内切圆和内心的概念，掌握勾股定理、直角三角形的内切圆的半径的求法是解题的关键．16.【答案】60°或120°【解析】解：∵一条弦把圆分成2：4两部分，∴这条弦所对的两个圆心角的比为2：4，而它们的和为360°，∴这条弦所对的圆心角为360°×=120°或360°×=240°，∴这条弦所对的圆周角的度数分别为60°或120°．故答案为60°或120°．利用圆心角、弧、弦的关系得到这条弦所对的两个圆心角的比为2：4，则利用它们的和为360°可计算出这条弦所对的圆心角为120°或240°，然后根据圆周角定理可得到这条弦所对的圆周角的度数．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．17.【答案】【解析】解：∵AB被截成三等分，∴△AEH∽△AFG∽△ABC，∴，，∴S△AFG：S△ABC=4：9，S△AEH：S△ABC=1：9，∴S=S△ABC-S△ABC=S△ABC．阴影部分的面积故答案为．根据题意，易证△AEH∽△AFG∽△ABC，利用相似比，可求出S△AEH、S△AFG 面积比，再求出S△ABC．本题主要考查了利用三等分点求得各相似三角形的相似比，从而求出面积比计算阴影部分的面积，难度适中．18.【答案】解：（1）原式=2×+-×+=1+-1+=1；（2）原式=×+×+×=+1+=+1．【解析】（1）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；（2）原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．此题考查了实数的运算，以及特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解本题的关键．19.【答案】解：（1）∵直径AB⊥CD，∴，∴∠DCB=∠CAB=30度；（2）∵直径AB⊥CD，CD=6cm，∴CE=3cm，在Rt△ACE中，∠A=30°，∴AC=6cm，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ACB中，AB===4（cm）．【解析】（1）由垂径定理知，，∴∠DCB=∠CAB=30°；（2）由垂径定理知，点E是CD的中点，有CE=CD=3，AB是直径，∴∠ACB=90°，再求出AC的长，利用∠A的余弦即可求解．本题利用了垂径定理和圆周角定理及锐角三角函数的概念求解．20.【答案】解：∵∠DMB是△AMF的外角，∴∠DMB=∠AFM+∠A∵∠DMB=∠BMG+∠DME，且∠A=∠DME∴∠AFM=∠BMG∵∠A=∠B∴△AMF∽△BGM【解析】由于∠DMB是△AMF的外角，所以∠DMB=∠AFM+∠A，又因为∠DMB=∠BMG+∠DME，所以∠AFM=∠BMG，从而可证明△AMF∽△BGM 本题考查相似三角形的判定，解题的关键是找出两对对应角相等，本题属于中等题型．21.【答案】解：过点E作EH⊥AB，EM⊥CD，H、M为垂足，则∠A+∠AEH=90°．∵∠AEC=90°，∴∠AEH+∠CEM=90°，∴∠A=∠CEM．∴=，即=，解得CM=6，∴CD=CM+DM=6+1.5=7.5（米）．【解析】过点E作EH⊥AB，EM⊥CD，H、M为垂足，根据相似三角形的判定定理得出△AHE∽△EMC，由相似三角形的对应边成比例求出CM的长，进而可得出结论．本题考查的是相似三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．22.【答案】证明：∵PA、PB分别切⊙O于A、B，∴PA=PB，∠APC=∠BPC．又∵PC=PC，∴△APC≌△BPC．∴AC=BC．【解析】由切线长定理知，PA=PB，∠APC=∠BPC，又有PC=PC，故由SAS证得△APC≌△BPC，可得AC=BC．本题利用了切线长定理，全等三角形的判定和性质求解．23.【答案】解：作PD⊥AB于点D，由已知得PA=200米，∠APD=30°，∠B=37°，在Rt△PAD中，由cos30°=，得PD=PA cos30°=200×=100米，在Rt△PBD中，由sin37°=，得PB=≈≈288米．答：小亮与妈妈的距离约为288米．【解析】作PD⊥AB于点D，分别在直角三角形PAD和直角三角形PBD中求得PD和PB即可求得结论．本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解．24.【答案】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∵DF⊥AE∴∠ADF=∠EAB∴△ABE∽△DFA；（2）∵AB=3，BE=4，∴由勾股定理得AE=5，∵△ABE∽△DFA；∴即：∴DF=3.6【解析】（1）利用矩形和直角三角形的性质得到∠AEB=∠EAD、∠ADF=∠EAB，从而证得两个三角形相似．（2）首先利用勾股定理求得线段AE的长，然后利用相似三角形的性质：对应边成比例即可求得DF的长．本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理及矩形的性质的知识，综合性比较强，但难度不是很大．25.【答案】（1）证明：连结OC，如图，∵=，∴∠FAC=∠BAC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠FAC=∠OCA，∴OC∥AF，∵CD⊥AF，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连结BC，如图，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵==，∴∠BOC=×180°=60°，∴∠BAC=30°，∴∠DAC=30°，在Rt△ADC中，CD=2，∴AC=2CD=4，∴AB=2BC=8，∴⊙O的半径为4．【解析】（1）连结OC，由=，根据圆周角定理得∠FAC=∠BAC，而∠OAC=∠OCA，则∠FAC=∠OCA，可判断OC∥AF，由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；（2）连结BC，由AB为直径得∠ACB=90°，由==得∠BOC=60°，则∠BAC=30°，所以∠DAC=30°，在Rt△ADC中，利用含30度的直角三角形三边的关系得AC=2CD=4，在Rt△ACB中，利用含30度的直角三角形三边的关系得BC=AC=4，AB=2BC=8，所以⊙O的半径为4．本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．。

2020-2021学年山东省聊城市九年级(上)期中数学试卷

2020-2021学年山东省聊城市九年级（上）期中数学试卷一．选择题（共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（3分）cos60°的值等于（）A．B．C．D．2．（3分）如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长之比是（）A．1：16B．1：4C．4：1D．1：23．（3分）下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是（）A．∠A＝∠D，∠B＝∠F B．且∠B＝∠DC．D．且∠A＝∠D4．（3分）在△ABC中，已知∠C＝90°，BC＝4，sin A＝，那么AC边的长是（）A．6B．C．D．5．（3分）如图在⊙O中，弦AB＝8，OC⊥AB，垂足为C，且OC＝3，则⊙O的半径（）A．5B．10C．8D．66．（3分）如图，在三角形纸片ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝4．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．7．（3分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，OB，∠OBA＝50°，则∠C的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．80°8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，2），B（1，1），C（3，1），以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为（）A．B．2C．4D．29．（3分）已知等边三角形的周长为6，则它的内切圆和外接圆组成的圆环面积为（）A．6πB．3πC．πD．2π10．（3分）如图，已知▱ABCD，AB＝2，AD＝6，将▱ABCD绕点A顺时针旋转得到▱AEFG ，且点G落在对角线AC上，延长AB交EF于点H，则FH的长为（）A．B．C．5D．无法确定11．（3分）如图，AB是半圆O的直径，D，E是半圆上任意两点，连接AD，DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是（）A．∠ACD＝∠DAB B．AD＝DEC．AD2＝BD•CD D．AD•BD＝AC•AB12．（3分）将矩形OABC如图放置，O为坐标原点，若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，则点C的坐标是（）A．（4，2）B．（3，）C．（3，）D．（2，）二．填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求写出最后结果）13．（3分）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点距离相距6m ，与树相距15m，则树的高度为m．14．（3分）已知圆的直径是13cm，圆心到某条直线的距离是6cm，那么这条直线与该圆的位置关系是．15．（3分）如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC＝6，AD＝4，EF＝EH，那么EH的长为．16．（3分）如图1，一扇窗户打开一定角度，其中一端固定在窗户边OM上的点A处，另一端B在边ON上滑动，图2为某一位置从上往下看的平面图，测得∠ABO为30°，∠AOB为45°，OB长为（16+16）厘米，则AB的长为厘米．17．（3分）如图，将三角形纸片的一角折叠，使点B落的AC边上的F处，折痕为DE，已知AB＝AC＝8，BC＝10，若以点E，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BE 的长是．三．解答题（本小题共8个小题，共69分，解答写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。

山东省聊城市九年级上学期期中数学试卷

山东省聊城市九年级上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c如图所示，则下列结论中，正确的是（）A . a＞0B . a－b＋c＞0C . b2－4ac＜0D . 2a＋b＝02. （2分） (2016九上·萧山期中) 已知⊙O的半径为5．若OP=6，则点P与⊙O的位置关系是（）A . 点P在⊙O内B . 点P在⊙O上C . 点P在⊙O外D . 无法判断3. （2分）如图，点A、B、C都在圆O上，若∠AOB＝72°，则∠ACB的度数为（）A . 18°B . 30°C . 36°D . 72°4. （2分）某电视台每播放18分钟节目便插播2分钟广告，打开电视收看该台恰好遇到广告的概率是（）A .B .C .D .5. （2分）(2011·衢州) 如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为a（a≥3）的正方形内任意移动，则该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（）A . a2﹣πB . （4﹣π）a2C . πD . 4﹣π6. （2分）如图，AB、AC是⊙O的弦，直径AD平分∠BAC，给出下列结论：①AB=AC；②=；③AD⊥BC；④AB⊥AC．其中正确结论的个数有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个7. （2分） (2017九上·亳州期末) 抛物线y=﹣（x﹣2）2+3的顶点坐标是（）A . （﹣2，3）B . （2，3）C . （﹣2，﹣3）D . （2，﹣3）8. （2分）如图为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，在下列说法中：①ac<0 ②2a＋b＝0；③a＋b＋c>0；④当x>0.5时，y随x的增大而增大；⑤对于任意x均有ax2＋ax≥a＋b，正确的说法有A . 5个B . 4个C . 3个D . 2个9. （2分） (2019九上·宜兴期中) 下列说法正确的是（）A . 等弧所对的圆心角相等B . 优弧一定大于劣弧C . 经过三点可以作一个圆D . 相等的圆心角所对的弧相等10. （2分）某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是，则下列结论：（1）柱子OA的高度为3m；（2）喷出的水流距柱子1m处达到最大高度；（3）喷出的水流距水平面的最大高度是4m；（4）水池的半径至少要3m才能使喷出的水流不至于落在池外.其中正确的有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个二、填空题 (共6题；共7分)11. （2分）从2，3，4这三个数字中，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是________．12. （1分） (2018九上·通州期末) 二次函数的部分图象如图所示，由图象可知，不等式的解集为________.13. （1分）(2020·松江模拟) 如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米.那么斜面AB的坡度为________．14. （1分） (2019九上·宜兴期末) 如图，AB是的直径，弦于点E，，，则 ________cm.15. （1分） (2017九上·鄞州月考) 一圆的半径是10cm，圆内的两条平行弦长分别为12cm和16cm，则这两条平行弦之间的距离为________．16. （1分） (2017八下·长春期末) 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限作正方形，点D恰好在双曲线上，则值为________．三、解答题 (共7题；共75分)17. （5分）已知二次函数的顶点坐标为(3,－1),且其图象经过点(4,1),求此二次函数的解析式.18. （5分） (2018八上·上杭期中) 如图，在中，，，过B作于D，求的度数．19. （15分）(2018·毕节模拟) 已知，抛物线y=ax2+ax+b（a≠0）与直线y=2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；（3） a=﹣1时，直线y=﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．20. （15分） (2016九上·常熟期末) 九年级某班同学在庆祝2015年元旦晚会上进行抽奖活动．在一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号1、2、3．随机摸出一个小球记下标号后放回摇匀，再从中随机摸出一个小球记下标号．（1）请用列表或画树形图的方法（只选其中一种），表示两次摸出小球上的标号的所有结果；（2）规定当两次摸出的小球标号相同时中奖，求中奖的概率．21. （10分）(2018·葫芦岛) 如图，AB是⊙O的直径，，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF=CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若OB=2，求BD的长．22. （15分）(2019·南充模拟) 如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（-2，0），B(4，0），C（0，-4)三点．点P 是抛物线BC段上一动点（不含端点B，C)，BD⊥BC与CP的延长线交于点D（1）求抛物线的解析式．（2）当PC=PD时，求点P的坐标。

2020-2021学年山东省九年级上册期中数学试卷

2020-2021学年山东省九年级上册期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共14小题，共42.0分）1.一元二次方程x2−6x−6=0配方后化为()A. (x−3)2=15B. (x−3)2=3C. (x+3)2=15D. (x+3)2=32.抛物线y=2x2+4x+5的顶点坐标为()A. (1,3)B. (−1,3)C. (1,5)D. (−1,5)3.下列四个图案中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是()A. B. C. D.4.为了调查某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的每月的用水量，结果如表：月用水量(吨)3458户数2341则关于这若干家庭的月用水量，下列说法错误的是()A. 众数是4B. 平均数是4.6C. 中位数是4.5D. 调查了10户家庭的用水量5.若关于x一元二次方程kx2−x−34=0有实数根，则实数k的取值范围是()A. k=0B. k≥−13且k≠0C. k≥−13D. k>−136.如图，将△OAB绕原点O逆时针旋转105°到△OA′B′的位置，若AB//x轴，OA=AB，OB=2，∠A=120°，则点B′的坐标为()A. (−2,2√2)B. (−2√2,2)C. (√2,−√2)D. (−√2,√2)7.若(2,5)、(4,5)是抛物线y=ax2+bx+c上的两个点，则它的对称轴是()．B. x=1C. x=2D. x=3A. x=−ba8.某超市一月份的营业额是100万元，月平均增加的百分率相同，第一季度的总营业额是364万元，若设月平均增长的百分率是x，那么可列出的方程是()A. 100(1+x)2=364B. 100+100(1+x)+100(1+x)2=364C. 100(1+2x)=364D. 100+100(1+x)+100(1+2x)=3649.如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是CD⏜上一点，且DF⏜=BC⏜，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为()A. 45°B. 50°C. 55°D. 60°10.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=1，BP=5，∠APC=30°，则CD的长为()A. 2√2B. 2√3C. 4√2D. 611.如图，一次函数y=−x与二次函数为y=ax2+bx+c的图象相较于点M，N，则关于x的一元二次方程ax2+(b+1)x+c=0的根的情况是()A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数C. 没有实数根D. 以上结论都正确12.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC.若AB=8，CD=2，则EC的长为()A. 2√15B. 8C. 2√10D. 2√1313.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°.将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得△A′B′C，且点B在A′B′上，CA′交AB于点D，则∠BDC的度数为()A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°14.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c为常数，a≠0)经过点(−1,0)，(0,3)，其对称轴在y轴右侧．有下列结论：①抛物线经过点(1,0)；②方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根；③−3<a+b<3其中，正确结论的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）15.若点P(4,−5)和点Q(a,b)关于原点对称，则a的值为______．16.已知一扇形的周长为16cm，则它的面积最大值为____________cm2．17.已知：关于x的方程x2+2mx+m2−1=0.若方程有一个根为3，则m=______．18.将二次函数y=x2的图象向下平移1个单位，再向右平移2个单位，得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点，则b的取值范围______．三、解答题（本大题共6小题，共62.0分）19.解下列方程：(1)2x2+x−6=0；(2)(x−5)2=2(5−x)．20.某校要从九年级(1)班和(2)班中各选取10名女生组成礼仪队，选取的两班女生的身高如下(单位：cm)：(1)班：168，167，170，165，168，166，171，168，167，170；(2)班：165，167，169，170，165，168，170，171，168，167．(1)补充完成下面的统计分析表：班级平均数/cm方差中位数/cm极差/cm九年级(1)班1681686九年级(2)班168 3.8(2)请选一个合适的统计量作为选择标准，哪一个班能被选取？请说明理由．21.如图，四边形ABDC内接于⊙O，∠BAC=60°，AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接OB、OC、BD、CD．(1)求证：四边形OBDC是菱形；(2)若∠ABO =15°，OB =1，求弦AC 长．22. 科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园．如图所示，图中点的横坐标x 表示科技馆从8：30开门后经过的时间(分钟)，纵坐标y 表示到达科技馆的总人数．图中曲线对应的函数解析式为y ={ax 2,0≤x ≤30b(x −90)2+n,30≤x ≤90，10：00之后来的游客较少可忽略不计． (1)请写出图中曲线对应的函数解析式；(2)为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等待．从10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入．请问馆外游客最多等待多少分钟？23.如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点(1)观察猜想图1中，线段PM与PN的数量关系是______，位置关系是______；(2)探究证明把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；(3)拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=6，AB=12，请直接写出△PMN面积的最大值．24.如图，对称轴为x=1的抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(3,0)与y轴交于点B，顶点为C．(1)求抛物线的解析式；(2)求△ABC的面积；(3)若点P在x轴上，将线段BP绕着点P逆时针旋转90°得到PD，点D是否会落在抛物线上？如果会，求出点P的坐标；若果不会，说明理由．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【解答】解：方程整理得：x2−6x=6，配方得：x2−6x+9=15，即(x−3)2=15，故选A．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答，先将题目中的函数解析式化为顶点时，即可得到该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y=2x2+4x+5=2(x+1)2+3，∴抛物线y=2x2+4x+5的顶点坐标为(−1,3)，故选B．3.【答案】A【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意．故选：A．本题考查轴对称图形与中心对称图形的概念．掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4.【答案】A【解析】解：A、5出现了4次，出现的次数最多，则众数是5，故说法错误，本选项符合题意；B、这组数据的平均数是：(3×2+4×3+5×4+8×1)÷10=4.6，故说法正确，本选项不符合题意；C、把这组数据从小到大排列，最中间的两个数的平均数是(4+5)÷2=4.5，故说法正确，本选项不符合题意；D、调查的户数是2+3+4+1=10，故说法正确，本选项不符合题意；故选：A．根据众数、中位数和平均数的定义分别对每一项进行分析即可．此题考查了众数、中位数和平均数，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．根据一元二次方程的定义结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2−x−34=0有实数根，∴{k≠0Δ=(−1)2−4×k×(−34)≥0,解得：k≥−13且k≠0．故选B．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了坐标与图形变化−旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．作B′C⊥y轴于C，如图，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠2=∠B=30°，再根据平行线的性质得∠1=∠B=30°，则∠BOC=60°，然后根据旋转的性质得OB′=OB=2，∠BOB′=105°，于是可得∠COB′=∠BOB′−∠BOC=45°，则可OB′=√2，最后根据第二象限点的坐标特判断△OB′C为等腰直角三角形，所以OC=√22征写出点B′的坐标．【解答】解：作B′C⊥y轴于C，如图，∵OA=AB，∴∠2=∠B，而∠A=120°，∴∠2=∠B=30°，∵AB//x轴，∴∠1=∠B=30°，∴∠BOC=60°，∵△OAB绕原点O逆时针旋转105°到△OA′B′的位置，∴OB′=OB=2，∠BOB′=105°，∴∠COB′=∠BOB′−∠BOC=105°−60°=45°，∴△OB′C为等腰直角三角形，OB′=√2，∴OC=√22∴B′(−√2,√2).7.【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次函数的对称性．二次函数关于对称轴成轴对称图形．由点(2,5)、(4,5)是该抛物线上关于对称轴对称的两点，所以只需求两对称点横坐标的平均数．【解答】解：∵点(2,5)、(4,5)在抛物线上，根据抛物线上纵坐标相等的两点，其横坐标的平均数就是对称轴，=3．∴对称轴为直线x=2+42故选D．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为100(1+x)万元，三月份的营业额为100(1+x)2万元，根据该超市第一季度的总营业额是364万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为100(1+x)万元，三月份的营业额为100(1+x)2万元，依题意，得：100+100(1+x)+100(1+x)2=364．故选B．9.【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，∴∠ADC=180°−∠ABC=180°−105°=75°．∵DF⏜=BC⏜，∠BAC=25°，∴∠DCE=∠BAC=25°，∴∠E=∠ADC−∠DCE=75°−25°=50°．故选：B．先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．10.【答案】C【解析】作OH⊥CD于H，连接OC，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC=HD，再利用AP=1，BP=5可计算出半径OA=3，则OP=OA−AP=2，接着在Rt△OPH中根据含30度OP=1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出的直角三角形的性质计算出OH=12CH=2√2，所以CD=2CH=4√2．本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形的性质．【解答】解：作OH⊥CD于H，连接OC，如图，∵OH⊥CD，∴HC=HD，∵AP=1，BP=5，∴AB=6，∴OA=3，∴OP=OA−AP=2，在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，∴∠POH=60°，OP=1，∴OH=12在Rt△OHC中，∵OC=3，OH=1，∴CH=√OC2−OH2=2√2，∴CD=2CH=4√2，故选：C．11.【答案】A【解析】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．根据二次函数与一元二次方程的关系判断．【解答】解：∵一次函数y=−x与二次函数为y=ax2+bx+c的图象有两个交点，∴ax2+bx+c=−x有两个不相等的实数根，ax2+bx+c=−x变形为ax2+(b+1)x+c=0，∴ax2+(b+1)x+c=0有两个不相等的实数根，故选A．12.【答案】D【解析】【分析】本题考查的是勾股定理，圆周角定理，垂径定理有关知识，连结BE，设⊙O的半径为R，由OD⊥AB，根据垂径定理得AC=BC=12AB=4，在Rt△AOC中，OA=R，OC=R−CD=R−2，根据勾股定理得到(R−2)2+42=R2，解得R=5，则OC=3，由于OC 为△ABE的中位线，则BE=2OC=6，再根据圆周角定理得到∠ABE=90°，然后在Rt△BCE中利用勾股定理可计算出CE．【解答】解：连结BE，设⊙O的半径为R，如图，∵OD⊥AB，∴AC=BC=12AB=12×8=4，在Rt△AOC中，OA=R，OC=R−CD=R−2，∵OC2+AC2=OA2，∴(R−2)2+42=R2，解得R=5，∴OC=5−2=3，∴BE=2OC=6，∵AE为直径，∴∠ABE=90°，在Rt△BCE中，CE=√BC2+BE2=√62+42=2√13．故选D．13.【答案】C【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，基础题由旋转的性质可得△ABC≌△A′B′C′，∠ACA′=∠BCB′，由全等三角形的性质可得CB= CB′，由三角形内角和定理和三角形的外角性质可求∠BDC的度数．【解答】解：∵∠ACB=90°，∠A=20°，∴∠ABC=70°，∵旋转，∴△ABC≌△A′B′C′，∠ACA′=∠BCB′，∴CB=CB′，∴∠B′=∠CBB′=70°，∴∠BCB′=40°=∠ACA′，∴∠BDC=∠A+∠ACA′=60°，故选：C．14.【答案】C【解析】解：①∵抛物线过点(−1,0)，对称轴在y轴右侧，∴当x=1时y>0，结论①错误；②过点(0,2)作x轴的平行线，如图所示．∵该直线与抛物线有两个交点，∴方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根，结论②正确；③∵当x=1时y=a+b+c>0，∴a+b>−c．∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b，c为常数，a≠0)经过点(0,3)，∴c=3，∴a+b>−3．∵当x=−1时，y=0，即a−b+c=0，∴b=a+c，∴a+b=2a+c．∵抛物线开口向下，∴a<0，∴a+b<c=3，∴−3<a+b<3，结论③正确．故选：C．①由抛物线过点(−1,0)，对称轴在y轴右侧，即可得出当x=1时y>0，结论①错误；②过点(0,2)作x轴的平行线，由该直线与抛物线有两个交点，可得出方程ax2+bx+c= 2有两个不相等的实数根，结论②正确；③由当x=1时y>0，可得出a+b>−c，由抛物线与y轴交于点(0,3)可得出c=3，进而即可得出a+b>−3，由抛物线过点(−1,0)可得出a+b=2a+c，结合a<0、c=3可得出a+b<3，综上可得出−3<a+b<3，结论③正确．此题得解．本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析三条结论的正误是解题的关键．15.【答案】−4【解析】解：∵点P(4,−5)和点Q(a,b)关于原点对称，∴点Q的坐标为(−4,5)，即a=−4．故答案为：−4．根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．16.【答案】16【解析】【分析】本题考查扇形的周长和面积公式以及二次函数的最值，本题解题的关键是用扇形的周长关系正确表示出扇形的面积，再利用二次函数求解．由扇形的周长和面积公式都和半径和弧长有关，故可设出半径和弧长，表示出周长和面积，再利用二次函数求出最大值．【解答】解：设扇形半径为r ，弧长为l ，则周长为2r +l =16，面积为s =12lr ， ∵l =16−2r ，∴s =12(16−2r)r=8r −r 2=−(r −4)2+16， ∵−1<0，∴当r =4时，s 取得最大值16．故答案为16．17.【答案】−2或−4【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把x =3代入方程x 2+2mx +m 2−1=0得9+6m +m 2−1=0，然后解关于m 的方程即可．【解答】解：把x =3代入方程x 2+2mx +m 2−1=0，得9+6m +m 2−1=0，解得m 1=−2，m 2=−4，即m 的值为−2或−4．故答案为−2或−4．18.【答案】x ≥−6【解析】解：由题意得：平移后得到的二次函数的解析式为：y =(x −2)2−1，则{y =(x −2)2−1y =2x +b，(x−2)2−1=2x+b，x2−6x+3−b=0，△=(−6)2−4×1×(3−b)≥0，b≥−6，故答案为x≥−6．先根据平移原则：上加下减，左加右减写出解析式，再列方程组，有公共点则△≥0，则可求出b的取值．主要考查的是函数图象的平移和两函数的交点问题，两函数有公共点：说明两函数有一个交点或两个交点，可利用方程组→一元二次方程→△≥0的问题解决．19.【答案】解：(1)∵(x+2)(2x−3)=0，∴x+2=0或2x−3=0，解得：x=−2或x=3；2(2)∵(x−5)2+2(x−5)=0，∴(x−5)(x−3)=0，∴x−5=0或x−3=0，解得：x=5或x=3．【解析】(1)十字相乘法因式分解后求解可得；(2)提公因式法因式分解后求解可得．本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．[(168−168)2+(167−168)2+(170−168)2+⋯+ 20.【答案】解：(1)一班的方差=110(170−168)2]=3.2；二班的极差为171−165=6；二班的中位数为168；补全表格如下：(2)选择方差做标准，∵一班方差<二班方差，∴一班可能被选取．【解析】本题考查了方差及中位数的知识，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．(1)根据方差、中位数及极差的定义进行计算，得出结果后补全表格即可；(2)应选择方差为标准，哪班方差小，选择哪班．21.【答案】(1)证明：连接OD，∵∠BAC=60°，∴∠BOC=120°．∵AD平分∠BAC交⊙O于点D，∴∠BAD=∠CAD，∴BD=DC．∴∠BOD=∠COD=60°，∵OB=OD=OC，∴△BOD和△COD都是等边三角形．∴OB=BD=DC=OC．∴四边形OBDC是菱形．(2)解：连接OA．∵AO=OB=1，∴∠OBA=∠OAB=15°．∵∠ BAC =60°， ∴OAC =45°． ∵OA =OC ，∴∠OAC =∠OCA =45°．∴∠AOC =90°，AC =√2OA =√2．【解析】本题考查的是等边三角形的判定，圆周角定理，菱形的判定有关知识． (1)连接OD ，证明△BOD 和△COD 都是等边三角形，得OB =BD =DC =OC ，所以四边形OBDC 是菱形；(2)连接OA ，然后再利用等边三角形的性质进行解答即可．22.【答案】解(1)由图象可知，300=a ×302，解得a =13，n =700，b ×(30−90)2+700=300，解得b =−19，∴y ={13x 2(0≤x ≤30)−19(x −90)2+700(30≤x ≤90)，(2)由题意−19(x −90)2+700=684，解得x =78， ∴684−6244=15，∴15+30+(90−78)=57分钟所以，馆外游客最少等待57分钟．【解析】(1)构建待定系数法即可解决问题．(2)先求出馆内人数等于684人时的时间，再求出直到馆内人数减少到624人时的时间，即可解决问题．本题考查二次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．23.【答案】解：(1)PM =PN ；PM ⊥PN ；(2)△PMN 是等腰直角三角形，由旋转知，∠BAD =∠CAE ， ∵AB =AC ，AD =AE ， ∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，利用三角形的中位线得，PN=12BD，PM=12CE，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，同(1)的方法得，PM//CE，∴∠DPM=∠DCE，同(1)的方法得，PN//BD，∴∠PNC=∠DBC，∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC，=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC，=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，∵∠BAC=90°，∴∠ACB+∠ABC=90°，∴∠MPN=90°，∴△PMN是等腰直角三角形；(3)方法1：如图2，同(2)的方法得，△PMN是等腰直角三角形，∴MN最大时，△PMN的面积最大，∴DE//BC且DE在顶点A上面，∴MN最大=AM+AN，连接AM，AN，在△ADE中，AD=AE=6，∠DAE=90°，∴AM=3√2，在Rt△ABC中，AB=AC=12，AN=6√2，∴MN最大=3√2+6√2=9√2，∴S△PMN最大=12PM2=12×12MN2=14×(9√2)2=812，方法2：由(2)知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN=12BD，∴PM最大时，△PMN面积最大，∴点D在BA的延长线上，∴BD=AB+AD=18，∴PM=9，∴S△PMN最大=12PM2=12×92=812．【解析】【分析】此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解(1)的关键是判断出PM=12CE，PN=12BD，解(2)的关键是判断出△ABD≌△ACE，解(3)的关键是判断出MN最大时，△PMN的面积最大．属难题．(1)利用三角形的中位线得出PM=12CE，PN=12BD，进而判断出BD=CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM//CE得出∠DPM=∠DCA，最后用互余即可得出结论；(2)先判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，同(1)的方法得出PM=12BD，PN=12BD，即可得出PM=PN，同(1)的方法即可得出结论；(3)方法1：先判断出MN最大时，△PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN最大=AM+AN，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD最大时，△PMN的面积最大，而BD最大是AB+AD=14，即可得出结论．【解答】解：(1)∵点P，N是BC，CD的中点，∴PN//BD，PN=12BD，∵点P，M是CD，DE的中点，∴PM//CE，PM=12CE，∵AB=AC，AD=AE，∴BD=CE，∴PM=PN，∵PN//BD，∴∠DPN=∠ADC，∵PM//CE，∴∠DPM=∠DCA，∵∠BAC=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，∴PM⊥PN，故答案为PM=PN，PM⊥PN；(2)见答案；(3)见答案．24.【答案】解：(1)抛物线对称轴为x=1，点A(3,0)，则抛物线与x轴另外一个交点为(−1,0)，则抛物线的表达式为：y=(x+1)(x−3)=x2−2x−3，(2)设对称轴交直线AB与点H，令x=0，则y=−3，即点B(0,−3)，点C的坐标为(1,−4)；把点B、A坐标代入一次函数表达式：y=kx−3得：0=3k−3，解得：k=1，则直线BA的表达式为：y=x−3，则点H(1,−2)，S△ABC=12CH×OA=12×2×3=3；(3)会，理由：如图所示，过点D分别作x、y轴的垂线于点N、M，设点P坐标为(m,0)，∵∠DPN+∠OPB=90°，∠OPB+∠OBP=90°，∴∠OBP=∠DPN，∠DNP=∠BOP=90°，PB=PD，∴△DNP≌△POB(AAS)，∴PN=OB=3，DN=OP=−m，即点D的坐标(m+3,−m)，将点D坐标代入二次函数表达式解得：m=−5或0，即点P坐标为(−5,0)或(0,0)．【解析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等、一次函数等知识，题目难度不大，但要弄清题意，避免遗漏．(1)抛物线对称轴为x=1，点A(3,0)，则抛物线与x轴另外一个交点为(−1,0)，即可求解；CH×OA即可求解；(2)利用S△ABC=12(3)会，证明△DNP≌△POB(AAS)，则PN=OB=3，DN=OP=−m，即点D的坐标(m+3,−m)，即可求解．。

聊城市九年级上册期中试卷检测题

聊城市九年级上册期中试卷检测题一、初三数学一元二次方程易错题压轴题（难）1．如图，直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+的图象1l 分别与x 轴，y 轴交于A ，B两点，点A 坐标为()9,0，正比例函数12y x =的图象2l 与1l 交于点(),3C m ，点(),0N n 在x 轴上一个动点，过点N 作x 轴的垂线与直线1l 和2l 分别交于P 、Q 两点．（1）求m 的值及直线1l 所对应的一次函数表达式；（2）当03PQ <时，求n 的取值范围；（3）求出当n 为何值时，PQC ∆面积为12？【答案】（1）6m =；9y x =-+；（2）46n <或68n <；（3）2n =或10．【解析】【分析】（1）直接将点C 代入正比例函数，可求得m 的值，然后将点C 和点A 代入一次函数，可求得一次函数解析式；（2）用含n 的式子表示出PQ 的长，然后解不等式即可；（3）用含有n 的式子表示出△PQC 的底边长和高的长，然后求解算式即可得．【详解】（1）将点C(m ，3)代入正比例函数12y x =得： 3=1m 2，解得：m=6 则点C(6，3) ∵A(9，0)将点A ，C 代入一次函数y kx b =+得：0936k bk b =+⎧⎨=+⎩解得：k=－1，b=9∴一次函数解析式为：y=－x+9 （2）∵N(n ，0) ∴P(n ，9－n)，Q(n ，12n ) ∴PQ=192n n --∵要使03PQ < ∴0＜1932n n --≤ 解得：46n <或68n <（3）在△PQC 中，以PQ 的长为底，则点C 到PQ 的距离为高，设为h 第（2）已知：PQ=139922n n n --=- 由图形可知，h=6n - ∵△PQC 的面积为12 ∴12=136922nn -- 情况一：当n ＜6是，则原式化简为：12=()136922n n ⎛⎫--⎪⎝⎭ 解得：n=2或n=10(舍)情况二：当n ≥6时，则原式化简为：12=()136922n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭解得：n=2(舍)或n=10 综上得：n=2或n=10．【点睛】本题考查一次函数的综合，用到了解一元二次方程，求三角形面积等知识点，解题关键是用含n 的算式表示出PQ 的长度，注意需要添加绝对值符号．2．已知关于x 的一元二次方程()221210m x m x +-+=有两个不相等的实数根．（1）求实数m 的取值范围；（2）若原方程的两个实数根分别为1x ，2x ，且满足1212215x x x x +=-，求m 的值．【答案】（1）14m <且0m ≠；（2）15m =- 【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到：()22140m m ∴∆=-->且20m ≠，然后求出两个不等式解集的公共部分即可.（2）利用根与系数的关系得到12221m x x m -+=， 1221x x m=，加上14m <且0m ≠，则可判断10x <，20x <，所以1212215x x x x --=-，2221215m m m--=-，然后解方程求出m 即可得到满足条件的m 的值. 【详解】（1）因为方程()221210m x m x +-+=有两个不相等的实数根，()221240m m ∴∆=-->，解得14m <；又因为是一元二次方程，所以20m ≠，0m ∴≠．m ∴的取值范围是14m <且0m ≠．（2）1x ，2x 为原方程的两个实数根，12221m x x m -∴+=，1221x x m = 14m <且0m ≠，122210m x x m -∴+=<，12210x x m=>，10x ∴<，20x <． 1212215x x x x +=-，1212215x x x x --=-，2221215m m m -∴-=-，215210m m ∴--=，解得113m =，215m =-， 14m <且0m ≠，113m ∴=不合题意，舍去，15m ∴=-．【点睛】此题主要考查一元一次方程的定义和判别式的意义，正确理解概念和熟练运用根的判别式是解题的关键.3．已知二次函数y ＝9x 2﹣6ax +a 2﹣b ，当b ＝﹣3时，二次函数的图象经过点（﹣1，4） ①求a 的值；②求当a ≤x ≤b 时，一次函数y ＝ax +b 的最大值及最小值；【答案】①a 的值是﹣2或﹣4；②最大值＝13，最小值＝9 【解析】【分析】①根据题意解一元二次方程即可得到a 的值；②根据a ≤x ≤b ，b ＝﹣3求得a=-4，由此得到一次函数为y ＝﹣4x ﹣3，根据函数的性质当x ＝﹣4时，函数取得最大值，x ＝﹣3时，函数取得最小值，分别计算即可.【详解】解：①∵y ＝9x 2﹣6ax +a 2﹣b ，当b ＝﹣3时，二次函数的图象经过点（﹣1，4） ∴4＝9×（﹣1）2﹣6a ×（﹣1）+a 2+3，解得，a 1＝﹣2，a 2＝﹣4， ∴a 的值是﹣2或﹣4； ②∵a ≤x ≤b ，b ＝﹣3 ∴a ＝﹣2舍去， ∴a ＝﹣4， ∴﹣4≤x ≤﹣3， ∴一次函数y ＝﹣4x ﹣3，∵一次函数y ＝﹣4x ﹣3为单调递减函数，∴当x ＝﹣4时，函数取得最大值，y ＝﹣4×（﹣4）﹣3＝13 x ＝﹣3时，函数取得最小值，y ＝﹣4×（﹣3）﹣3＝9. 【点睛】此题考查解一元二次方程，一次函数的性质，（2）是难点，正确理解a 、b 的关系得到函数解析式是解题的关键.4．已知关于x 的二次函数22(21)1y x k x k =--++的图象与x 轴有2个交点.（1）求k 的取值范围；（2）若图象与x 轴交点的横坐标为12,x x ，且它们的倒数之和是32-，求k 的值. 【答案】（1）k ＜-34；（2）k=﹣1 【解析】试题分析：（1）根据交点得个数，让y=0判断出两个不相等的实数根，然后根据判别式△= b 2-4ac 的范围可求解出k 的值；（2）利用y=0时的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可直接列式求解可得到k 的值.试题解析：（1）∵二次函数y=x 2-（2k-1）x+k 2+1的图象与x 轴有两交点， ∴当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0有两个不相等的实数根． ∴△=b 2-4ac=[-（2k-1）]2-4×1×（k 2+1）＞0．解得k ＜-34；（2）当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0．则x 1+x 2=2k-1，x 1•x 2=k 2+1， ∵=== 32-，解得：k=-1或k= 13-（舍去）， ∴k=﹣15．在等腰三角形△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中ɑ＝4，若b 、c 是关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +4（k ﹣12）＝0的两个实数根，求△ABC 的周长．【答案】△ABC 的周长为10．【解析】【分析】分a 为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k 值，将k 值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC 的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k 值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值，由b+c=a 可得出此种情况不存在．综上即可得出结论．【详解】当a ＝4为腰长时，将x ＝4代入原方程，得：()214421402k k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭解得：52k = 当52k =时，原方程为x 2﹣6x +8＝0，解得：x 1＝2，x 2＝4，∴此时△ABC 的周长为4+4+2＝10；当a ＝4为底长时，△＝[﹣（2k +1）]2﹣4×1×4（k ﹣12）＝（2k ﹣3）2＝0，解得：k ＝32， ∴b +c ＝2k +1＝4． ∵b +c ＝4＝a ，∴此时，边长为a ，b ，c 的三条线段不能围成三角形． ∴△ABC 的周长为10．【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．二、初三数学二次函数易错题压轴题（难）6．如图，抛物线y=﹣x 2+mx+n 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，已知A （﹣1，0），C （0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点E 时线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标．【答案】(1)抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2(2)存在，P1（，4），P2（，），P3（，﹣）(3)当点E运动到（2，1）时，四边形CDBF的面积最大，S四边形CDBF的面积最大=．【解析】试题分析：（1）将点A、C的坐标分别代入可得二元一次方程组，解方程组即可得出m、n的值；（2）根据二次函数的解析式可得对称轴方程，由勾股定理求出CD的值，以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1；以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3；作CH 垂直于对称轴与点H，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；（3）由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出BC的解析式，从而可设设E点的坐标，进而可表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=S△BCD+S△CEF+S△BEF可求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论．试题解析：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；（2）∵y=﹣x2+x+2，∴y=﹣（x﹣）2+，∴抛物线的对称轴是x=．∴OD=．∵C（0，2），∴OC=2．在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=．∵△CDP是以CD为腰的等腰三角形，∴CP1=CP2=CP3=CD．作CH⊥x轴于H，∴HP1=HD=2，∴DP1=4．∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；（3）当y=0时，0=﹣x2+x+2∴x1=﹣1，x2=4，∴B（4，0）．设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2．如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2），∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）．∵S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN，=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），=﹣a2+4a+（0≤x≤4）．=﹣（a﹣2）2+∴a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，∴E（2，1）．考点：1、勾股定理；2、等腰三角形的性质；3、四边形的面积；4、二次函数的最值7．在平面直角坐标系中，将函数y＝x2﹣2mx+m（x≤2m，m为常数）的图象记为G，图象G的最低点为P(x0，y0)．（1）当y0＝﹣1时，求m的值．（2）求y0的最大值．（3）当图象G与x轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x1，则x1的取值范围是．（4）点A在图象G上，且点A的横坐标为2m﹣2，点A关于y轴的对称点为点B，当点A不在坐标轴上时，以点A、B为顶点构造矩形ABCD，使点C、D落在x轴上，当图象G 在矩形ABCD内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．【答案】（1）512+或﹣1；（2）14；（3）0＜x1＜1；（4）m＝0或m＞43或23≤m＜1【解析】【分析】（1）分m＞0，m＝0，m＜0三种情形分别求解即可解决问题；（2）分三种情形，利用二次函数的性质分别求解即可；（3）由（1）可知，当图象G与x轴有两个交点时，m＞0，求出当抛物线顶点在x轴上时m的值，利用图象法判断即可；（4）分四种情形：①m＜0，②m＝0，③m＞1，④0＜m≤1，分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，当m＞0时，∵y＝x2﹣2mx+m＝（x﹣m）2﹣m2+m，图象G是抛物线在直线y＝2m的左侧部分（包括点D），此时最底点P（m，﹣m2+m），由题意﹣m2+m＝﹣1，解得m＝512+或512-+（舍弃），当m＝0时，显然不符合题意，当m＜0时，如图2中，图象G是抛物线在直线y＝2m的左侧部分（包括点D），此时最底点P是纵坐标为m，∴m＝﹣1，综上所述，满足条件的m的值为51或﹣1；（2）由（1）可知，当m＞0时，y0＝﹣m2+m＝﹣（m﹣12）2+14，∵﹣1＜0，∴m＝12时，y0的最大值为14，当m＝0时，y0＝0，当m＜0时，y0＜0，综上所述，y0的最大值为14；（3）由（1）可知，当图象G与x轴有两个交点时，m＞0，当抛物线顶点在x轴上时，4m2﹣4m＝0，∴m＝1或0（舍弃），∴观察观察图象可知，当图象G与x轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x1，则x1的取值范围是0＜x1＜1，故答案为0＜x1＜1；（4）当m＜0时，观察图象可知，不存在点A满足条件，当m＝0时，图象G在矩形ABCD内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，满足条件，如图3中，当m＞1时，如图4中，设抛物线与x轴交于E，F，交y轴于N，观察图象可知当点A在x轴下方或直线x＝﹣m和y轴之间时（可以在直线x＝﹣m上）时，满足条件．则有（2m﹣2）2﹣2m（2m﹣2）+m＜0，解得m＞43，或﹣m≤2m﹣2＜0，解得23≤m＜1（不合题意舍弃），当0＜m≤1时，如图5中，当点A在直线x＝﹣m和y轴之间时（可以在直线x＝﹣m上）时，满足条件．即或﹣m≤2m﹣2＜0，解得23≤m＜1，综上所述，满足条件m的值为m＝0或m＞43或23≤m＜1．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，最值问题，不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．8．如图，直线l：y＝﹣3x+3与x轴，y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝﹣x2+2x+b经过点B．（1）该抛物线的函数解析式；（2）已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 的横坐标为m ，△ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值；（3）在（2）的条件下，当S 取得最大值时，动点M 相应的位置记为点M '． ①写出点M '的坐标；②将直线l 绕点A 按顺时针方向旋转得到直线l '，当直线l ′与直线AM '重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l '与线段BM '交于点C ，设点B ，M '到直线l '的距离分别为d 1，d 2，当d 1+d 2最大时，求直线l '旋转的角度（即∠BAC 的度数）．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）21525228S m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ ，258；（3）①57,24M ⎛⎫' ⎪⎝⎭；②45° 【解析】【分析】（1）利用直线l 的解析式求出B 点坐标，再把B 点坐标代入二次函数解析式即可求出b 的值．（2）设M 的坐标为（m ，﹣m 2+2m +3），然后根据面积关系将△ABM 的面积进行转化．（3）①由（2）可知m ＝52，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值． ②可将求d 1+d 2最大值转化为求AC 的最小值．【详解】（1）令x ＝0代入y ＝﹣3x+3，∴y ＝3，∴B （0，3），把B （0，3）代入y ＝﹣x 2+2x+b 并解得：b ＝3，∴二次函数解析式为：y ＝﹣x 2+2x+3．（2）令y ＝0代入y ＝﹣x 2+2x+3，∴0＝﹣x2+2x+3，∴x＝﹣1或3，∴抛物线与x轴的交点横坐标为-1和3，∵M在抛物线上，且在第一象限内，∴0＜m＜3，令y＝0代入y＝﹣3x+3，∴x＝1，∴A的坐标为（1，0），由题意知：M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），∴S＝S四边形OAMB﹣S△AOB＝S△OBM+S△OAM﹣S△AOB＝12×m×3+12×1×（-m2+2m+3）-12×1×3＝﹣12（m﹣52）2+258，∴当m＝52时，S取得最大值258．（3）①由（2）可知：M′的坐标为（52，74）．②设直线l′为直线l旋转任意角度的一条线段，过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，根据题意知：d1+d2＝BF，此时只要求出BF 的最大值即可， ∵∠BFM′＝90︒， ∴点F 在以BM′为直径的圆上，设直线AM′与该圆相交于点H ，∵点C 在线段BM′上，∴F 在优弧'BM H 上，∴当F 与M′重合时，BF 可取得最大值，此时BM′⊥l 1，∵A （1，0），B （0，3），M′（52，74）， ∴由勾股定理可求得：AB ＝10，M′B ＝55，M′A ＝85，过点M ′作M′G ⊥AB 于点G ，设BG ＝x ，∴由勾股定理可得：M′B 2﹣BG 2＝M′A 2﹣AG 2，∴8516﹣（10﹣x ）2＝12516﹣x 2， ∴x ＝510， cos ∠M′BG ＝'BG BM ＝22，∠M′BG= 45︒ 此时图像如下所示，∵l 1∥l′，F 与M′重合，BF ⊥l 1∴∠B M′P=∠BCA ＝90︒，又∵∠M′BG=∠CBA= 45︒∴∠BAC ＝45︒．【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数的综合以及一次函数旋转求角度问题，正确掌握一次函数与二次函数性质及综合问题的解法是解题的关键． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠交x 轴于点(2,0),(3,0)A B -，交y 轴于点C ，且经过点(6,6)D --，连接,AD BD ．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）△ANM 与ABD ∆是否相似?若相似，请求出此时点M 、点N 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是直线AD 上方的抛物线上一动点(不与点,A D 重合)，过P 作//PQ y 轴交直线AD 于点Q ，以PQ 为直径作⊙E ，则⊙E 在直线AD 上所截得的线段长度的最大值等于．（直接写出答案）【答案】（1）2113442y x x =--+；（2）点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）或点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）；（3）QH 有最大值，当x=2-时，其最大值为125．【解析】【分析】（1）用交点式函数表达式得：y=a （x-2）（x+3），将点D 坐标代入上式即可求解；（2）分∠MAB=∠BAD 、∠MAB=∠BDA ，两种大情况、四种小情况，分别求解即可；（3）根据题意，利用二次函数的性质和三角函数，QH=PQcos ∠PQH=35PQ=352113(442x x --+33)42x -+=23392055x x --+，即可求解．【详解】解：（1）用交点式函数表达式得：y=a （x-2）（x+3），将点D 坐标代入上式并解得：14a =-，故函数的表达式为：2113442y x x =--+…①，则点C （0，32）；（2）由题意得：AB=5，AD=10，BD=，①∠MAN=∠ABD 时，（Ⅰ）当△ANM ∽△ABD 时，直线AD 所在直线的k 值为34，则直线AM 表达式中的k 值为34-，则直线AM 的表达式为：3(2)4y x =--，故点M （0，32）， AD AB AM AN =，则AN=54，则点N （34，0）；（Ⅱ）当△AMN ∽△ABD 时，同理可得：点N （-3，0），点M （0，32），故点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）； ②∠MAN=∠BDA 时，（Ⅰ）△ABD ∽△NMA 时，∵AD ∥MN ，则tan ∠MAN=tan ∠BDA=12， AM ：y=12-（x-2），则点M （-1，32）、点N （-3，0）；（Ⅱ）当△ABD ∽△MNA 时，AD BDAM AN ==，解得：AN=94，故点N （14-，0）、M （-1，32）；故：点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）；综上，点M （0，32）、点N （34，0）或点M （0，32），N （-3，0）或点M （-1，32）、点N （-3，0）或N （14-，0）、M （-1，32）；（3）如图所示，连接PH ，由题意得：tan ∠PQH=43，则cos ∠PQH=35，则直线AD 的表达式为：y=3342x -，设点P （x ，2113442x x --+），则点Q （x ，3342x -），则QH=PQcos ∠PQH=35PQ=352113(442x x --+33)42x -+ =23392055x x --+ =2312(2)205x -++， ∵3020-<，故QH 有最大值，当x=2-时，其最大值为125．【点睛】本题考查的是二次函数综合应用，涉及到一次函数、圆的基本知识，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，其中（2）需要分类求解共四种情况，避免遗漏．10．如图，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点，过点A 的直线l 与抛物线交于点C ，其中点A 的坐标是()1,0，点C 的坐标是()2,3-，抛物线的顶点为点D ．（1）求抛物线和直线AC 的解析式．（2）若点P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求APC ∆的面积的最大值及此时点P 的坐标．（3）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点E ，点M 为直线AC 上的任意一点，过点M 作//MN DE 交抛物线于点N ，以D ，E ，M ，N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点M 的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）y=-x 2-2x+3，y=-x+1；（2）最大值为278，此时点P(12-，154)；（3）能，(0，1)，)或【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解，即可得到答案；（2）设点P(m ，-m 2-2m+3)，则Q(m ，-m+1)，求出PQ 的长度，结合三角形的面积公式和二次函数的性质，即可得到答案；（3）根据题意，设点M(t ，-t+1)，则点N(t ，-t 2-2t+3)，可分为两种情况进行分析：①当点M 在线段AC 上时，点N 在点M 上方；②当点M 在线段AC （或CA ）延长线上时，点N 在点M 下方；分别求出点M 的坐标即可．【详解】解：（1）∵抛物线y=-x 2+bx+c 过点A(1，0)，C(-2，3)，∴10423b c b c -++=⎧⎨--+=⎩，，解得：23b c =-⎧⎨=⎩，． ∴抛物线的解析式为y=-x 2-2x+3．设直线AC 的解析式为y=kx+n ．将点A ，C 坐标代入，得023k n k n +=⎧⎨-+=⎩，，解得11k n =-⎧⎨=⎩，． ∴直线AC 的解析式为y=-x+1．（2）过点P 作PQ ∥y 轴交AC 于点Q ．设点P(m ，-m 2-2m+3)，则Q(m ，-m+1)．∴PQ=(-m 2-2m+3)-(-m+1)=-m 2-m+2．∴S △APC =S △PCQ +S △APQ =12PQ·(x A -x C )=12(-m 2-m+2)×3=23127()228m -++． ∴当m=12-时，S △APC 最大，最大值为278，此时点P(12-，154)．（3）能．∵y=-x 2-2x+3，点D 为顶点，∴点D(-1，4)，令x=-1时，y=-（-1）+1=2，∴点E(-1，2)．∵MN ∥DE ，∴当MN=DE=2时，以D ，E ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形．∵点M 在直线AC 上，点N 在抛物线上，∴设点M(t ，-t+1)，则点N(t ，-t 2-2t+3)．①当点M 在线段AC 上时，点N 在点M 上方，则MN=(-t 2-2t+3)-(-t+1)=-t 2-t+2．∴-t 2-t+2=2，解得：t=0或t=-1（舍去）．∴此时点M 的坐标为（0，1）．②当点M 在线段AC （或CA ）延长线上时，点N 在点M 下方，则MN=(-t+1)-(-t 2-2t+3)=t 2+t-2．∴t 2+t-2=2，解得：或．∴此时点M ）．综上所述，满足条件的点M 的坐标为：（0，1），（12-+，32-）或（12-，32）．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式和二次函数的性质解题；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M 的位置．三、初三数学旋转易错题压轴题（难）11．如图，在矩形ABCD 中，6AB cm =，8AD cm =，连接BD ，将ABD △绕B 点作顺时针方向旋转得到A B D '''△（B ′与B 重合），且点D '刚好落在BC 的延长上，A D ''与CD 相交于点E ．（1）求矩形ABCD 与A B D '''△重叠部分（如图1中阴影部分A B CE ''）的面积；（2）将A B D '''△以每秒2cm 的速度沿直线BC 向右平移，如图2，当B ′移动到C 点时停止移动．设矩形ABCD 与A B D '''△重叠部分的面积为y ，移动的时间为x ，请你直接写出y 关于x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围；（3）在（2）的平移过程中，是否存在这样的时间x ，使得AA B ''△成为等腰三角形？若存在，请你直接写出对应的x 的值，若不存在，请你说明理由．【答案】（1）2452cm ；（2）22331624(0)22588020016(4)3335x x x y x x x ⎧--+≤<⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩；（3）存在，使得AA B ''△成为等腰三角形的x 的值有：0秒、32秒、695．【解析】【分析】（1）先用勾股定理求出BD 的长，再根据旋转的性质得出10B D BD cm ''==，2CD B D BC cm '=''-=，利用B D A ∠'''的正切值求出CE 的值，利用三角形的面积差即可求阴影部分的面积；（2）分类讨论，当1605x ≤<时和当1645x ≤≤时，分别列出函数表达式；（3）分类讨论，当AB A B '=''时；当AA A B '=''时；当AB AA '='时，根据勾股定理列方程即可．【详解】解：（1）6AB cm =，8AD cm =，10BD cm ∴=，根据旋转的性质可知10B D BD cm ''==，2CD B D BC cm '=''-=，tan A B CE B D A A D CD '''''∠=='''， 682CE ∴=， 32CE cm ∴=， ()28634522222A B CE A B D CED S S S cm ''''''⨯∴==-⨯÷=-；（2）①当1605x ≤<时，22CD x '=+，32CE x =， 233+22CD E S x x '∴=△，22133368242222y x x x ∴=⨯⨯-=--+； ②当1645x ≤≤时，102BC x =-，()41023CE x =- ()221488020010223333y x x x ∴=⨯-=-+．（3）①如图1，当AB A B '=''时，0x =秒；②如图2，当AA A B '=''时，1825A N BM BB B M x '=='+'=+，245A M NB '==， 2236AN A N +'=，222418623655x ⎛⎫⎛⎫∴-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：669x -=秒，（669x --=舍去）； ③如图2，当AB AA '='时，1825A N BM BB B M x '=='+'=+，245A M NB '==， 2222AB BB AN A N +'=+'22224183646255x x ⎛⎫⎛⎫∴+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得：32x =秒．综上所述：使得AA B ''△成为等腰三角形的x 的值有：0秒、32秒、669-．【点睛】本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换，能够数形结合，运用分类讨论的思想方法全面的分析问题，思考问题是解决问题的关键．12．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点P 、Q 分别是边AB 、BC 上的两个动点（与点A 、B 、C 不重合），且始终保持BP BQ =，AQ QE ⊥，QE 交正方形外角平分线CE 于点E ，AE 交CD 于点F ，连结PQ ．（1）求证：APQ QCE ∆∆≌；（2）证明：DF BQ QF +=；（3）设BQ x =，当x 为何值时，//QF CE ，并求出此时AQF ∆的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）当222x =-+//QF CE ；AQF S ∆442=-+．【解析】【分析】（1）判断出△PBQ 是等腰直角三角形，然后求出∠APQ=∠QCE=135°，再根据同角的余角相等求出∠PAQ=∠CQE ，再求出AP=CQ ，然后利用“角边角”证明即可；（2）根据全等三角形对应边相等可得AQ=EQ ，判断出△AQE 是等腰直角三角形，将ADF ∆绕点A 顺时针旋转90︒得F AB '∆，再证明()F AQ FAQ SAS '∆∆≌；（3）连结AC ，设QF CE ，推出QCF ∆是等腰直角三角形°，再证明()ABQ ADF SAS ∆∆≌，根据全等三角形对应边相等可得QF=GF ，AQ AF =，22.5QAB DAF ∠=∠=︒，分别用x 表示出DF 、CF 、QF ，然后列出方程求出x ，再求出△AQF 的面积．【详解】（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC =，90B BCD DCM ∠=∠=∠=︒，∵BP BQ =，∴PBQ ∆是等腰直角三角形，AP QC =，∴45BPQ ∠=︒，∴135APQ ∠=︒∵CE 平分DCM ∠，∴45DCE ECM ∠=∠=︒，∴135QCE ∠=︒，∴135APQ QCE ∠=∠=︒，∵AQ QE ⊥，∴90AQB CQE ∠+∠=︒．∵90AQB BAQ ∠+∠=︒．∴BAQ CQE ∠=∠．∴()APQ QCE ASA ∆≌．（2）由（1）知APQ QCE ∆∆≌．∴QA QE =．∵90AQE ∠=︒，∴AQE ∆是等腰直角三角形，∴45QAE ∠=︒．∴45DAF QAB ∠+∠=︒，如图4，将ADF ∆绕点A 顺时针旋转90︒得F AB '∆，其中点D 与点B 重合，且点F '在直线BQ 上，则45F AQ '∠=︒，F A FA '=，AQ AQ =，∴()F AQ FAQ SAS '∆∆≌．∴QF QF BQ DF '==+．（3）连结AC ，若QF CE ，则45FQC ECM ∠=∠=︒．∴QCF ∆是等腰直角三角形，∴2CF CQ x ==-，∴DF BQ x ==．∵AB AD =，90B D ∠=∠=︒，∴()ABQ ADF SAS ∆∆≌．∴AQ AF =，22.5QAB DAF ∠=∠=︒，∴AC 垂直平分QF ，∴22.5QAC FAC QAB FAD ∠=∠=∠=∠=︒，2FQ QN =，∴22FQ BQ x ==．在Rt QCF ∆中，根据勾股定理，得222(2)(2)(2)x x x -+-=．解这个方程，得1222x =-+ 2222x =--（舍去）．当222x =-+QF CE ．此时，QCF QEF S S ∆∆=，∴212QCF AQF QEF AQF AQE S S S S S AQ ∆∆∆∆∆+=+==， ∴()2222111222AQF AQE QCF S S S AQ CQ AQ CQ ∆∆∆=-=-=- ()222112(2)4244222x x x x ⎡⎤=+--=⋅==-+⎣⎦ 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于（3）作辅助线构造成全等三角形并利用勾股定理列出方程．13．在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点O （0，0），点A （5，0），点B（0，3）．以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F ．（1）如图①，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标；（2）如图②，当点D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点H ．①求证△ADB ≌△AOB ；②求点H 的坐标．（3）记K 为矩形AOBC 对角线的交点，S 为△KDE 的面积，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】（1）D （1，3）；（2）①详见解析；②H （175，3）；（3）30334-≤S 30334+ 【解析】【分析】（1）如图①，在Rt △ACD 中求出CD 即可解决问题；（2）①根据HL 证明即可；②，设AH=BH=m ，则HC=BC-BH=5-m ，在Rt △AHC 中，根据AH 2=HC 2+AC 2，构建方程求出m 即可解决问题；（3）如图③中，当点D 在线段BK 上时，△DEK 的面积最小，当点D 在BA 的延长线上时，△D′E′K 的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题；【详解】（1）如图①中，∵A（5，0），B（0，3），∴OA=5，OB=3，∵四边形AOBC是矩形，∴AC=OB=3，OA=BC=5，∠OBC=∠C=90°，∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到，∴AD=AO=5，在Rt△ADC中，CD=22AD AC=4，∴BD=BC-CD=1，∴D（1，3）．（2）①如图②中，由四边形ADEF是矩形，得到∠ADE=90°，∵点D在线段BE上，∴∠ADB=90°，由（1）可知，AD=AO，又AB=AB，∠AOB=90°，∴Rt△ADB≌Rt△AOB（HL）．②如图②中，由△ADB≌△AOB，得到∠BAD=∠BAO，又在矩形AOBC中，OA∥BC，∴∠CBA=∠OAB，∴∠BAD=∠CBA，∴BH=AH，设AH=BH=m，则HC=BC-BH=5-m，在Rt△AHC中，∵AH2=HC2+AC2，∴m2=32+（5-m）2，∴m=175，∴BH=175，∴H（175，3）．（3）如图③中，当点D在线段BK上时，△DEK的面积最小，最小值=12•DE•DK=12×3×（5-342）=303344-，当点D在BA的延长线上时，△D′E′K的面积最大，最大面积=12×D′E′×KD′=12×3×（5+342）=303344+．综上所述，30334-≤S≤30334+．【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．14．如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．（1）求证：DE⊥AG；（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如图2．①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；②若正方形ABCD 的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．【答案】（1）见解析；（2）①30°或150°，②AF '的长最大值为222+，此时0315α=．【解析】【分析】（1）延长ED 交AG 于点H ，易证△AOG≌△DOE，得到∠AGO=∠DEO，然后运用等量代换证明∠AHE=90°即可；（2）①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′=90°时，α=30°，α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′=90°时，α=150°；②当旋转到A 、O 、F′在一条直线上时，AF ′的长最大，AF′=AO+OF′=22+2，此时α=315°．【详解】(1)如图1,延长ED 交AG 于点H,∵点O 是正方形ABCD 两对角线的交点，∴OA=OD ，OA ⊥OD ，∵OG=OE ，在△AOG 和△DOE 中，90OA OD AOG DOE OG OE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△AOG ≌△DOE ，∴∠AGO=∠DEO ，∵∠AGO+∠GAO=90°，∴∠GAO+∠DEO=90°，∴∠AHE=90°，即DE ⊥AG ；(2)①在旋转过程中,∠OAG′成为直角有两种情况：(Ⅰ)α由0°增大到90°过程中,当∠OAG′=90°时，∵OA=OD=12OG=12OG′，∴在Rt△OAG′中,sin∠AG′O=OAOG=12，∴∠AG′O=30°，∵OA⊥OD,OA⊥AG′，∴OD∥AG′,∴∠DOG′=∠AG′O=30°∘，即α=30°；(Ⅱ)α由90°增大到180°过程中,当∠OAG′=90°时，同理可求∠BOG′=30°，∴α=180°−30°=150°.综上所述,当∠OAG′=90°时,α=30°或150°.②如图3,当旋转到A. O、F′在一条直线上时,AF′的长最大，∵正方形ABCD的边长为1，∴OA=OD=OC=OB=22，∵OG=2OD，∴2，∴OF′=2，∴2+2，∵∠COE′=45°，∴此时α=315°.【点睛】本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质以及锐角三角函数的定义，掌握正方形的四条边相等、四个角相等，旋转变换的性质是解题的关键，注意特殊角的三角函数值的应用．15．已知，正方形ABCD的边长为4，点E是对角线BD延长线上一点，AE=BD．将△ABE绕点A顺时针旋转α度（0°＜α＜360°）得到△AB′E′，点B、E的对应点分别为B′、E′．（1）如图1，当α=30°时，求证：B′C=DE；（2）连接B′E、DE′，当B′E=DE′时，请用图2求α的值；（3）如图3，点P为AB的中点，点Q为线段B′E′上任意一点，试探究，在此旋转过程中，线段PQ长度的取值范围为．【答案】（1）证明见解析（2）45°或22.5°（3）22-2≤PQ≤42+2【解析】【分析】（1）先由正方形的性质得到直角三角形AOE，再经过简单计算求出角，判断出△ADE≌△AB′C即可；（2）先判断出△AEB′≌△AE′D，再根据旋转角和图形，判断出∠BAB′=∠DAB′即可；（3）先判断出点Q的位置，PQ最小时和最大时的位置，进行计算即可．【详解】解：（1）如图1，连接AC，B′C，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，AC⊥BD，AC=BD=2OA，∠CAB=ADB=45°，∵AE=BD，∴AC=AE=2OA，在Rt△AOE中，∠AOE=90°，AE=2OA，∴∠E=30°，∴∠DAE=∠ADB-∠E=45°-30°=15°，由旋转有，AD=AB=AB′∠BAB′=30°，∴∠DAE=15°，在△ADE和△AB′C中，''AD ABDAE CABAE AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE≌△AB′C，∴DE=B′C，（2）如图2，由旋转得，AB′=AB=AD，AE′=AE，在△AEB′和△AE′D中，''''AE AEAD ABDB DE=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△AEB′≌△AE′D，∴∠DAE′=∠EAB′，∴∠EAE′=∠DAB′，由旋转得，∠EAE′=∠BAB′，∴∠BAB′=∠DAB′，∵∠BAB′+∠DAB′=90°，∴α=∠BAB′=45°，或α=360°-90°-45°=225°；（3）如图3，∵正方形ABCD的边长为4，∴12BD=22，连接AC交BD于O，∴OA⊥BD，OA=12AC=12BD=22在旋转过程中，△ABE在旋转到边B'E'⊥AB于Q，此时PQ最小，由旋转知，△ABE≌△AB'E'，∴AQ=OA=12BD（全等三角形对应边上的高相等），∴PQ=AQ-AP=12BD-AP=22-2在旋转过程中，△ABE在旋转到点E在BA的延长线时，点Q和点E'重合，∴AE'=AE=42，∴PE'=AE'+AP=42+2，故答案为22-2≤PQ≤42+2．．四、初三数学圆易错题压轴题（难）16．在直角坐标系中，A（0，4），B（4，0）．点C从点B出发沿BA方向以每秒2个单位的速度向点A匀速运动，同时点D从点A出发沿AO方向以每秒1个单位的速度向点O匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点C、D运动的时间是t秒(t>0)．过点C作CE⊥BO于点E，连结CD、DE．⑴当t为何值时，线段CD的长为4；⑵当线段DE与以点O为圆心，半径为的⊙O有两个公共交点时，求t的取值范围；⑶当t为何值时，以C为圆心、CB为半径的⊙C与⑵中的⊙O相切？【答案】(1); (2) 4-＜t≤; (3)或．【解析】试题分析：（1）过点C作CF⊥AD于点F，则CF，DF即可利用t表示出来，在Rt△CFD中利用勾股定理即可得到一个关于t的方程，从而求得t的值；（2）易证四边形ADEC是平行四边形，过点O作OG⊥DE于点G，当线段DE与⊙O相切时，则OG=，在直角△OEG中，OE可以利用t表示，则OG也可以利用t表示出来，当OG＜时，直线与圆相交，据此即可求得t的范围；（3）分两圆外切与内切两种情况进行讨论，当外切时，圆心距等于两半径的和，当内切时，圆心距等于圆C的半径减去圆O的半径，列出方程即可求得t的值．（1）过点C作CF⊥AD于点F，在Rt△AOB中，OA=4，OB=4，∴∠ABO=30°，由题意得：BC=2t，AD=t，∵CE⊥BO，∴在Rt△CEB中，CE=t，EB=t，∵CF⊥AD，AO⊥BO，∴四边形CFOE是矩形，∴OF=CE=t，OE=CF=4-t，在Rt△CFD中，DF2+CF2=CD2，∴（4-t-t）2+（4-t）2=42，即7t2-40t+48=0，解得：t=，t=4，∵0＜t＜4，∴当t=时，线段CD的长是4；（2）过点O作OG⊥DE于点G（如图2），∵AD∥CE，AD=CE=t∴四边形ADEC是平行四边形，∴DE∥AB∴∠GEO=30°，∴OG=OE=（4-t）当线段DE与⊙O相切时，则OG=，∴当（4-t）＜，且t≤4-时，线段DE与⊙O有两个公共交点．∴当 4-＜t≤时，线段DE与⊙O有两个公共交点；（3）当⊙C与⊙O外切时，t=；当⊙C与⊙O内切时，t=；∴当t=或秒时，两圆相切．考点：圆的综合题．17．已知圆O的半径长为2，点A、B、C为圆O上三点，弦BC=AO，点D为BC的中点，(1)如图，连接AC 、OD ，设∠OAC=α，请用α表示∠AOD ；(2)如图，当点B 为AC 的中点时，求点A 、D 之间的距离：(3)如果AD 的延长线与圆O 交于点E ，以O 为圆心，AD 为半径的圆与以BC 为直径的圆相切，求弦AE 的长．【答案】（1）1502AOD α∠=︒-；（2）7AD =3）33133122or 【解析】【分析】（1）连接OB 、OC ，可证△OBC 是等边三角形，根据垂径定理可得∠DOC 等于30°，OA=OC 可得∠ACO=∠CAO=α，利用三角形的内角和定理即可表示出∠AOD 的值.（2）连接OB 、OC ，可证△OBC 是等边三角形，根据垂径定理可得∠DOB 等于30°，因为点D 为BC 的中点，则∠AOB=∠BOC=60°，所以∠AOD 等于90°，根据OA=OB=2,在直角三角形中用三角函数及勾股定理即可求得OD 、AD 的长.（3）分两种情况讨论：两圆外切，两圆内切.先根据两圆相切时圆心距与两圆半径的关系，求出AD 的长，再过O 点作AE 的垂线，利用勾股定理列出方程即可求解.【详解】(1)如图1：连接OB 、OC.∵BC=AO∴OB=OC=BC∴△OBC 是等边三角形∴∠BOC=60°∵点D 是BC 的中点 ∴∠BOD=1302BOC ∠=︒ ∵OA=OC∴OAC OCA ∠=∠=α∴∠AOD=180°-α-α-30︒=150°-2α。

山东省聊城市2021版九年级上学期数学期中考试试卷B卷

山东省聊城市2021版九年级上学期数学期中考试试卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共10题；共20分)1. （2分）方程（m﹣2）x +（ m+2）x+5=0是关于x的一元二次方程，则（）A . m=±2B . m=﹣2C . m=2D . m=12. （2分）若2x+1与2x-1互为倒数，则实数x为（）A . ±B . ±1C . ±D . ±3. （2分）抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A . （﹣1，2）B . （﹣1，﹣2）C . （1，﹣2）D . （1，2）4. （2分） 4张扑克牌如左图所示放在桌子上，小敏把其中两张旋转180°后得到如右图所示，那么她所旋转的牌从左起是（）A . 第一张、第二张B . 第二张、第三张C . 第三张、第四张D . 第四张、第一张5. （2分）若代数式x2-6x+5的值是12，则x的值为（）A . 7或-1B . 1或-5C . -1或-5D . 不能确定6. （2分）如图，在扇形纸片AOB中，OA =10，AOB=36°，OB在桌面内的直线l上．现将此扇形沿l按顺时针方向旋转（旋转过程中无滑动），当OA落在l上时，停止旋转．则点O所经过的路线长为（）．A . 12πB . 11πC . 10πD . 10π+57. （2分）(2017·新疆模拟) 关于x的一元二次方程x2﹣2x+2+m2=0的根的情况是（）A . 有两个不相等的实数根B . 有两个相等的实数根C . 没有实数根D . 无法确定8. （2分）若a、b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n+1=0的两根，且等腰三角形三边长分别为a、b、4，则n的值为（）A . 8B . 7C . 8或7D . 9或89. （2分）(2016·广东) 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（）A .B .C .D .10. （2分） (2017九上·吴兴期中) 二次函数，自变量x与函数y的对应值如下表：x…-5-4-3-2-10…y…40-2-204…下列说法正确的是（）A . 抛物线的开口向下B . 当x＞-3时，y随x的增大而增大C . 二次函数的最小值是-2D . 抛物线的对称轴x=二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分）(2018·聊城) 已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3=0有两个相等的实根，则k的值是________．12. （1分）(2017·市北区模拟) 如图，把△ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果图中△ABC上的点P的坐标为（a，b），那么它的对应点P′的坐标为________．13. （1分）(2017·菏泽) 关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+6x+k2﹣k=0的一个根是0，则k的值是________．14. （1分） (2017九上·重庆期中) 已知抛物线y=（a﹣1）x2﹣4x+a2﹣1过原点，那么a的值为________．15. （1分）(2020·宁波模拟) 若二次函数y=ax2+bx+c（a<0）的图象经过A（-7，m）、B（3，n）、C（13，m）三点，则m与n的大小关系是________。

山东省聊城市九年级上学期数学期中考试试卷

山东省聊城市九年级上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题：选择唯一正确的答案填在括号内(本大题共10小题，每小 (共10题；共30分)1. （3分）（a-1）x2+2x-3=0是一元二次方程，则字母a应满足（）A . a＞1B . a≠1C . a≠0D . a＜-12. （3分）(2019·泰安模拟) 从下列4个图形中任选一个，得到的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（）A .B .C .D . 13. （3分）用公式法解方程3x2＋4＝12x ，下列代入求根公式正确的是（）A . x＝B . x＝C . x＝D . x＝4. （3分）二次函数y=（x﹣1）2﹣2的顶点坐标是（）A . （1，﹣2）B . （﹣1，2）C . （﹣1，﹣2）D . （1，2）5. （3分）若关于x的一元二次方程2x2﹣2x+3m﹣1=0有两个实数根x1、x2 ，且x1x2＞x1+x2﹣4，则实数m的取值范围是（）A . m＞﹣B . m≤C . m＜﹣D . ﹣＜m≤6. （3分）点（－1，2）关于原点对称的点的坐标是（）A . （1，2）B . （－1，－2）C . （2，－1）D . （1，－2）7. （3分）(2018·罗平模拟) 今年“十一”长假某湿地公园迎来旅游高峰，第一天的游客人数是1.2万人，第三天的游客人数为2.3万人，假设每天游客增加的百分率相同且设为x，则根据题意可列方程为（）A . 2.3 （1+x）2=1.2B . 1.2（1+x）2=2.3C . 1.2（1﹣x）2=2.3D . 1.2+1.2（1+x）+1.2（1+x）2=2.38. （3分）(2020·百色模拟) 在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x+5）（x﹣3）经变换后得到抛物线y＝（x+3）（x﹣5），则这个变换可以是（）A . 向左平移2个单位B . 向右平移2个单位C . 向左平移8个单位D . 向右平移8个单位9. （3分）(2017九上·东丽期末) 已知△ 和△ 都是等腰直角三角形，，，，是的中点．若将△ 绕点旋转一周，则线段长度的取值范围是（）A .B .C .D .10. （3分）(2018·南山模拟) 如图，将平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转40°，得到平行四边形AB′C′D′，若点B′恰好落在BC边上，则∠DC′B′的度数为（）A . 60°B . 65°C . 70°D . 75°二、填空题(每小题3分，共18分) (共6题；共18分)11. （3分）(2017·资中模拟) 如果m是从﹣1，0，1，2四个数中任取的一个数，n是从﹣2，0，3三个数中任取的一个数，则二次函数y=（x﹣m）2+n的顶点在坐标轴上的概率为________．12. （3分）已知是二次函数，则a=________13. （3分） (2019九上·开州月考) 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是________.14. （3分） (2017九上·上杭期末) 已知方程x2+mx+3=0的一个根是1，则它的另一个根是________．15. （3分）抛物线y=x2﹣（m+1）x+9与x轴只有一个交点，则m的值为________ ．16. （3分）在平面直角坐标系中，把抛物线y=﹣x2+1向上平移3个单位，再向左平移1个单位，则所得抛物线的解析式是________ ．三、解答题(本题共52分) (共7题；共52分)17. （8分）解下列方程（1）x2﹣8x+9=0（2）（2x﹣3）（x﹣4）=0（3）2（x﹣3）2=方程可变为：2x﹣3=0，x﹣4=0，解得：x1= ，x2=4x﹣3．18. （6分）(2019·云霄模拟) 如图，用48米篱笆围成一个外形为矩形的花园，花园一面利用院墙，中间用一道篱笆间隔成两个小矩形，院墙的长度为20米，平行于院墙的一边长为x米，花园的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式；（2）问花园面积可以达到180平方米吗？如果能，花园的长和宽各是多少？如果不能，请说明理由．19. （5.0分） (2019九上·博白期中) △ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为 1 个单位长度.①画出△ABC 关于原点 O 的中心对称图形△A1B1C1，并写出点 A1的坐标；②将△ABC 绕点 C 顺时针旋转90°得到△A2B2C，画出△A2B2C，求在旋转过程中，点 A所经过的路径长20. （7.0分） (2016九下·澧县开学考) 在图1﹣﹣图4中，菱形ABCD的边长为3，∠A=60°，点M是AD 边上一点，且DM= AD，点N是折线AB﹣BC上的一个动点．（1）如图1，当N在BC边上，且MN过对角线AC与BD的交点时，则线段AN的长度为________．（2）当点N在AB边上时，将△AMN沿MN翻折得到△A′MN，如图2，①若点A′落在AB边上，则线段AN的长度为________；②当点A′落在对角线AC上时，如图3，求证：四边形AM A′N是菱形；________③当点A′落在对角线BD上时，如图4，求的值．________21. （8分）(2016·丹东) 某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？22. （8分）(2017·海陵模拟) 如图，已知点M、N分别为▱ABCD的边CD、AB的中点，连接AM、CN．（1）证明：AM=CN；（2）过点B作BH⊥AM于点H，交CN于点E，连接CH，判断线段CB、CH的数量关系，并说明理由．23. （10.0分）(2017·宁津模拟) 如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．（1）求抛物线的解析式及点B坐标；（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．求ME长的最大值；（3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．参考答案一、选择题：选择唯一正确的答案填在括号内(本大题共10小题，每小 (共10题；共30分) 1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题(每小题3分，共18分) (共6题；共18分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题(本题共52分) (共7题；共52分)17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、23-2、23-3、第11 页共11 页。

2020-2021学年度九年级(上)期中数学试卷 (附答案)

2020-2021学年度九年级（上）数学期中试卷（附答案）一、选择题（每小题只有一个正确选项，每小题3分，共18分）1．（3分）如下图所示，下列四组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的是（）A．B．C．D．2．（3分）如图，A、B、C三点在圆O上，∠B＝36°，则∠A O C的度数为（）A．36°B．54°C．72°D．90°3．（3分）在直角坐标系中，将点（﹣2，3）关于原点的对称点向左平移2个单位长度得到的点的坐标是（）A．（4，﹣3）B．（﹣4，3）C．（0，﹣3）D．（0，3）4．（3分）如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，点P在AP上运动，则OP的最小值是（）A．2B．3C．4D．55．（3分）已知函数y＝x2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，（x，2017）、（x，2017）是12该函数图象上的两个点，则当x=122时，函数值y＝（A．﹣2017B．c C．0）D．c﹣20176．（3分）下表中所列x，y的数值是某二次函数y＝ax2+bx+c图象上的点所对应的坐标，其中x＜x＜x＜x＜x＜x＜x，根据表中所提供的信息，以下判断正确的是（）①a 1234567＞0；②9＜m＜16；③k≤9；④b2≤4a（c﹣k）x… (x1x2)mx3x4kx5x6mx7……y169916 A．①②B．③④C．①②④D．①③④二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）函数y=√3−中，自变量x的取值范围是．8．（3分）如图，将正三角形绕其对称中心O旋转后，恰好能与原来的正三角形重合，那么旋转的角度至少是度．9．（3分）已知一元二次方程x2﹣4x+2＝0的两根分别是x，x，那么（1+x）（1+x）的值1212是．10．（3分）如图，将△AB C绕点A逆时针方向旋转到△A DE的位置，点B落在AC边上的点D处，设旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠B＝125°，∠E＝30°，则∠α＝°．11．（3分）已知函数y＝（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围为12．（3分）如图所示的是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，有下列结论：．①二次三项式ax2++的最大值为4；②4+2+＜0；③一元二次方程2++＝1的bx c a b c ax bx c 两根之和为﹣1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤﹣2．其中正确结论的序号是．（把所有正确结论的序号都填在横线上）三、本大题共6小题，每小题6分，共30分）13．x2﹣2x﹣15＝0．̂̂14．（6分）如图，在⊙O中，=A40D，∠＝°，求∠的度数．15．（6分）如图，某旅游景点要在长、宽分别为20米、12米的矩形水池的正中央建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭，观赏亭的四边连接四条与矩形的边互相平行的且宽1度相等的道路，已知道路的宽为正方形边长的．若道路与观赏亭的面积之和是矩形水池41面积的，求道路的宽．616．（6分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′．若点B′落到BC边上，∠B＝50°．求∠CB′C′的度数．17．（6分）已知二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象经过点A（﹣1，﹣1）和B（3，﹣9）．（1）求该二次函数的解析式；（2）填空：该抛物线的对称轴是；顶点坐标是；当x＝时，y随x的增大而减小．18．（6分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BA D是它的个外角，OP⊥B C交⊙O于点P，仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（1）在图1中，画出△ABC的角平分线AF；（2）在图2中，画出△ABC的外角∠BA D的角平分线A G．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）19．（8分）已知关于x的一元二次方程ax2﹣（a+2）x+2＝0．（1）不解方程，判别方程的根的情况；（2）方程有两个不相等的正整数根时，求整数a的值．20．（8分）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且O D∥B C，O D与AC 交于点E．（1）若∠B＝70°，求∠CA D的度数；（2）若AB＝4，A C＝3，求DE的长．21．（8分）如图，△OB D中，O D＝B D，△OB D绕点O逆时针旋转一定角度后得到△OA C，此时B，D，C三点正好在一条直线上，且点D是B C的中点．（1）求∠C O D度数；（2）求证：四边形O D A C是菱形．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）．22．（9分）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格出售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）（x＞50）之间的函数关系式．（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？123．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于23点C．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x=−且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点2B．（1）直接写出点B的坐标；（2）求抛物线解析式．（3）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PA C的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．六、（本题12分）24．（12分）已知△ABC和△A D E为等边三角形，M，N分别为EB，C D的中点．（1）如图1，试证C D＝BE时，△A M N是等边三角形；（2）当把△A D E绕点A旋转到图2的位置时C D＝BE吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；（3）当把△A D E绕点A旋转到图3的位置时，△AM N还是等边三角形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由（可用第（1）问结论）．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）．22．（9分）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格出售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）（x＞50）之间的函数关系式．（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？123．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于23点C．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x=−且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点2B．（1）直接写出点B的坐标；（2）求抛物线解析式．（3）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PA C的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．六、（本题12分）24．（12分）已知△ABC和△A D E为等边三角形，M，N分别为EB，C D的中点．（1）如图1，试证C D＝BE时，△A M N是等边三角形；（2）当把△A D E绕点A旋转到图2的位置时C D＝BE吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；（3）当把△A D E绕点A旋转到图3的位置时，△AM N还是等边三角形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由（可用第（1）问结论）．。

山东省聊城市(临清、东昌府区、阳谷、冠县、东阿)2021届九年级上学期期中考试数学试题

2020−2021学年度第一学期期中学业水平测试九年级数学试题（时间120分钟满分120分）一、选择题(共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．cos60︒的值等于（）AB ．2C ．2D ．122．如果两个相似三角形的面积比是1∶4，那么它们的周长之比是（）A ．1∶16B ．1∶4C ．4∶1D ．1∶23．在下列条件中，不能判断∶ABC 与∶DEF 相似的是（）A ．∠A ＝∠D ，∠B ＝∠EB ．BC EF ＝AC DF 且∠B ＝∠E C ．==AB BC ACDE EF DFD ．=AB ACDE DF且∠A ＝∠D 4．在△ABC 中，已知∠C =90°，BC =4，sin A =23，那么AC 边的长是（）A ．6B ．C ．D ．5．如图⊙O 中，弦AB =8，OC ⊥AB ，垂足为C ，且OC =3，则⊙O 的半径（）A ．5B ．10C ．8D ．6第5题图第6题图6．如图，在三角形纸片ABC 中，AB =6，BC =8，AC =4．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC 相似的是（）A ．B ．C ．D ．7．如图，∶O 是△ABC 的外接圆，连接OA 、OB ，∠OBA ＝50°，则∠C 的度数为（）A ．30°B ．40°C ．50°D ．80°8．在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别是(1,2)A ，(1,1)B ，(3,1)C ，以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF ，使△DEF 与△ABC 成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF 的长度为（） AB ．2C ．4D．9．已知等边三角形的周长为6，则它的内切圆和外接圆组成的圆环面积为（）A ．6πB ．3πC ．πD ．2π10．如图，已知□ABCD ，AB ＝2，AD ＝6，将□ABCD 绕点A 顺时针旋转得到□AEFG ，且点G 落在对角线AC 上，延长AB 交EF 于点H ，则FH 的长为（）A ．92B ．163C ．5D ．无法确定11．如图，AB 是半圆O 的直径，D ，E 是半圆上任意两点，连结AD ，DE ，AE 与BD 相交于点C ，要使△ADC 与△ABD 相似，可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误的是（）第7题图第10题图第11题图A．ACD DAB∠=∠B．AD DE=C．2AD BD CD=⋅D．AD AB AC BD⋅=⋅12．将矩形OABC如图放置，O为坐标原点，若点A（−1，2），点B的纵坐标是72，则点C的坐标是（）A．（3，32）B．（4，2）C．（3，94）D．（2，32）二、填空题(本题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求写出最后结果)13.如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度为_________m.14. 已知圆的直径是13,cm圆心到直线l的距离是6cm，那么直线l与该圆的位置关系是__________．15.如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC=6，AD=4，EF=23EH，那么EH的长为__________.16. 如图1，一扇窗户打开一定角度，其中一端固定在窗户边OM上的点A处，另一端B在边ON上第12题图第13题图第15题图第16题图第17题图滑动，图2为某一位置从上往下看的平面图，测得30ABO ∠=︒，45AOB ∠=︒，OB 长为（16）厘米，则AB 的长为_______ 厘米．17. 如图，将三角形纸片的一角折叠，使点B 落的AC 边上的F 处，折痕为DE ，已知AB ＝AC ＝8，BC ＝10，若以点E ，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BE 的长是_____________．三、解答题(本大题共8小题，共69分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 18. (本题满分8分，每小题4分)计算：（1）；（2）cos 245°-sin60°tan45°+sin 230∶19. (本题满分8分) 如图，四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，OD =2OA ，OC =2OB ∶ ∶1）求证：∶AOB ∶∶DOC ∶∶2）点E 在线段OC 上，若AB ∶DE ，求证：OD 2=OE •OC ∶20. (本题满分7分) 如图,在锐角∶ABC 中, AB =4, BC =B =60°,求∶ABC 的面积21. (本题满分8分)如图，AB是⊙O直径，弦CD与AB相交于点E，∶ADC=26°，求∶CAB的度数．22. (本题满分8分)如图，已知CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作AC的平行线，过点C作CD的垂线，两线相交于点E.（1）求证：∶ABC∶∶DEC；（2）若CE=2，CD=4，求△ABC的面积.23.（本题满分8分）在“停课不停学”期间，小明用电脑在线上课，图1是他的电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AB可以绕O点旋转一定角度．研究表明：当眼睛E与显示屏顶端A在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个18°俯角（即望向屏幕中心P的的视线EP与水平线EA的夹角∠AEP）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端A与底座C的连线AC与水平线CD垂直时（如图2）时，观看屏幕最舒适，此时测得∠BCD＝30°，∠APE＝90°，液晶显示屏的宽AB为32cm．（1）求眼睛E与显示屏顶端A的水平距离AE；（结果精确到1cm）（2）求图2中显示屏顶端A到底座的距离AC．（结果精确到1cm）（参考数据：sin18°≈0.3，cos18°≈0.9，tan18°≈0.3，2≈1.4，3≈1.7）24. (本题满分10分)如图，AB为∶O的直径，C，E是∶O上两点，且CE=CB，过点C的直线与AE 垂直，且交AE的延长线于D，连接AC．（1）求证：CD是∶O的切线；（2）若AC=25，CE=5，求AE的长．25.（本题满分12分）如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M．（1）求证：△MFC∽△MCA；（2）求证：△ACF∽△ABE；（3）若DM＝1，CM＝2，求正方形AEFG的边长．2020−2021学年度第一学期期中学业水平测试九年级数学参考答案一、选择题（共12小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求写出最后结果）13. 7； 14. 相交； 15. 3; 16. 32; 17.409或5 三、解答题（本大题共8小题，共69分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 18. (本题满分8分，每小题4分)（1）−12；（2. 19. (本题满分8分)证明：（1∶∶OD=2OA ∶OC =2OB ∶12OA OB OD OC ∴== , 又∠AOB =∶DOC ∶∶∶AOB ∶∶DOC ∶……………3分∶2）由（1）得：△AOB ∶∶DOC ∶ ∶∶ABO =∶DCO ∶ ∶AB∥DE ∶∶∶ABO =∶EDO ∶ ∶∶DCO =∶EDO ∶ ∶∶DOC =∶EOD ∶∶∶DOC ∶∶EOD , ……………5分 ∴OD OCOE OD= , 2·OD OE OC ∴= ……………8分20. (本题满分7分)解：过点A 作AD ⊥BC 于D ……………1分在Rt △ABD 中，AB =4, ∠B =60°∴AD=AB ·sin B = ……………4分∴S △ABC =12BC ·AD =12⨯ ……………7分 21. (本题满分8分)解：如图，连接BC ，∵AB 是⊙O 直径，∴∠ACB =90°， ……………3分 ∵∠B =∠ADC =26°，∴∠CAB =90°−26°=64°． ……………8分 22. (本题满分8分)（1）证明：∵CD 为Rt ABC ∆斜边上的中线， ∴12CD AB AD ==， ∴A ACD ∠=∠， ∵//DE AC ，∴CDE ACD A ∠=∠=∠，又∵90ACB DCE ∠=∠=︒，∴△ABC ∽△DEC . ……………4分（2）解：在Rt DCE ∆中，2CE =，4CD =， ∴222425DE =+=，12442DEC S ∆=⨯⨯=， ……………6分 ∵CD 为Rt ABC ∆斜边上的中线， ∴28AB CD ==， ∵△ABC ∽△DEC ，∴2ABC DEC S AB S DE ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，即2425ABC S ∆= ⎪⎝⎭， ∴645ABC S ∆=. ……………8分 23. (本题满分8分)解：（1）由已知得116cm 2===AP BP AB ，在Rt∶APE 中， ∶sin =∠APAEP AE， ∶1616==53sin sin180.3≈≈∠︒AP AE AEP . ……………………3分答：眼睛E 与显示屏顶端A 的水平距离AE 约为53cm ；（2）如图，过点B 作BF∶AC 于点F ，∶∥EAB+∥BAF＝90°，∥EAB+∥AEP＝90°，∶∥BAF＝∥AEP＝18°，在Rt∶ABF中，AF＝AB•cos∥BAF＝32×cos18°≈32×0.9≈28.8，…………5分BF＝AB•sin∶BAF＝32×sin18°≈32×0.3≈9.6，∶BF∥CD，∶∥CBF＝∥BCD＝30°，∶=tan=9.6tan30=9.6 5.44CF BF CBF，……………………7分∠⨯︒≈∶AC＝AF+CF＝28.8+5.44≈34（cm）．答：显示屏顶端A到底座C的距离AC约为34cm．………………8分24. (本题满分10分)（1）证明：连接OC，∵CE=CB，∴CE⏜=CB⏜，∴∠1=∠2，∵OA=OC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3；∴OC∥AD.∵AD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；……………5分（2）解：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵AC∴5AB===. ……………6分∵∠ADC=∠ACB=90°，∠1=∠2，∴△ADC∽△ACB，∴AD AC DCAC AB CB==，==，∴AD=4，DC=2．……………8分在Rt△DCE中，DE1==，∶AE=AD-ED=4﹣1=3．……………10分25.（本题满分12分）解：（1）∵四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是正方形，∴∠ACD=∠AFG=45°，∵∠CFM=∠AFG，∴∠CFM=∠ACM=45°，∵∠CMF=∠AMC，∴△MFC∽△MCA；……………………4分（2）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，∠BAC=45°，∴AC AB ，同理可得AF ，∴==AFACAE AB ，∵∠EAF =∠BAC =45°，∴∠CAF+∠CAE =∠BAE+∠CAE =45°，∴∠CAF =∠BAE ，∴△ACF ∽△ABE ； ……………………8分（3）∵DM =1，CM =2，∴AD =CD =1+2=3，∴AM∵△MFC ∽△MCA ， ∴=CMFMAM CM 2FM=，∴FM ， ……………………10分∴AF =AM ﹣FM =5，∴=AG ，即正方形AEFG ．……………………12分。

山东省聊城市2021年九年级上学期数学期中考试试卷(I)卷

山东省聊城市2021年九年级上学期数学期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）下列函数中，y是x的反比例函数的是（）A . y=B . y=﹣C . y=D . y=2+2. （2分）已知关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A . a＞2B . a＜2C . a＜2且a≠lD . a＜﹣23. （2分） (2020九上·柳州期末) 如图，点C在反比例函数y= （x>0）的图象上，过点C的直线与x 轴，y轴分别交于点A，B，且AB=BC，△AOB的面积为1，则k的值为（）A . 1B . 2C . 3D . 44. （2分）若x：y=1：3，2y=3z ，则的值是（）.A . -5B .C .D . 55. （2分） (2019九上·台安月考) 一元二次方程根的情况为（）A . 没有实数根B . 有两个不相等的实数根C . 有两个相等的实数根D . 只有一个实数根6. （2分）在平面直角坐标系中，正方形OABC的面积为16，反比例函数图象的一个分支经过该正方形的对角线交点，则反比例函数的解析式为（）A . y=B . y=﹣C . y=D . y=﹣7. （2分）线段内一点，且，，则（）A .B .C .D .8. （2分）反比例函数y=图象上有三个点（x1 ， y1），（x2 ， y2），（x3 ， y3），其中x1＜x2＜0＜x3 ，则y1 ， y2 ， y3的大小关系是（）A . y1＜y2＜y3B . y2＜y1＜y3C . y3＜y1＜y2D . y3＜y2＜y19. （2分）用配方法解方程x²-4x+3=0，配方后的结果为（）A .（x-1）（x-3）=0B . （x+1）（x-3）=0C . （x-1）（x-3）=0D . （x-1）（x+3）=010. （2分） (2019九上·硚口月考) 某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为8万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的年平均增长率是x，则所列方程正确的是（）A .B .C .D .11. （2分）(2017·马龙模拟) 函数y=kx﹣k与在同一坐标系中的大致图象是（）A .B .C .D .12. （2分）如图，双曲线y＝与直线y＝kx＋b交于点M、N，并且点M的坐标为(1，3)，点N的纵坐标为－1．根据图象信息可得关于x的方程＝kx＋b的解为（）A . －1，1B . －3，3C . －3，1D . －1，3二、填空题 (共6题；共6分)13. （1分）如果，那么=________14. （1分）已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m=________15. （1分） (2018九上·汨罗期中) 在反比例函数的图象上的图象在二、四象限，则的取值范围是________.16. （1分）关于x的一元二次方程x2+2x﹣2m+1=0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是________．17. （1分）(2018·威海) 如图，直线AB与双曲线y= （k＜0）交于点A，B，点P是直线AB上一动点，且点P在第二象限．连接PO并延长交双曲线于点C．过点P作PD⊥y轴，垂足为点D．过点C作CE⊥x轴，垂足为E．若点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（m，1），设△POD的面积为S1 ，△COE的面积为S2 ，当S1＞S2时，点P的横坐标x的取值范围为________．18. （1分） (2018八上·北京期末) 下面的图表是我国数学家发明的“杨辉三角”，此图揭示了（a+b）n（n 为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．请你观察，并根据此规律写出：（a﹣b）5=________．,,,,三、解答题 (共8题；共70分)19. （10分）(2017·江阴模拟) 计算下列各题：（1）解方程：x2+3=3（x+1）（2）解不等式组：．20. （5分）若不等式(2x＋1)－5<3(x－1)＋3的最小整数解是方程 x－ax＝5的解，求代数式a2－2a－11的值．21. （5分）已知△ABD和△CBD关于直线BD对称(点A的对称点是点C)，点E、F分别是线段BC和线段BD 上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，联结AF、AE，交BD于点G．（1）如图（1），求证：∠EAF=∠ABD；图（1）（2）如图（2），当AB=AD时，M是线段AG上一点，联结BM、ED、MF，MF的延长线交ED于点N，∠M BF=∠BAF，AF=AD，试探究线段FM和FN之间的数量关系，并证明你的结论．图（2）22. （10分）综合题。

山东省聊城市2021版九年级上学期数学期中考试试卷(II)卷

山东省聊城市2021版九年级上学期数学期中考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共6题；共12分)1. （2分）若关于x的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2的常数项是0，则m的值是（）A . 1B . 2C . 1或2D . 02. （2分）(2012·宿迁) 在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x2﹣4x+3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（）A . （﹣2，3）B . （﹣1，4）C . （1，4）D . （4，3）3. （2分）下列各数是方程解的是（）A . 6B . 2C . 4D . 04. （2分） (2018八上·重庆期末) 等腰三角形一底角平分线与另一腰所成锐角为，则等腰三角形的顶角大小为（）A .B .C . 或D . 或5. （2分） (2019七下·景县期中) 在平面直角坐标系中，有一点P绕原点旋转180°后得到点P'的坐标是（2，-5），那么点P的坐标是（）A . （5，-2）B . （-2，5）C . （-5，2）D . （-2，-5）6. （2分） (2017八下·福建期中) 如图,对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展开.再一次折叠纸片,使点A落在EF上,得到折痕BM,同时,得到线段BN,若 ,则BM的长为（）A .B . 2C . 3D .二、填空题 (共6题；共6分)7. （1分） (2017八下·柯桥期中) 若2是方程x2+mx﹣10=0的一个根，则m的值为________．8. （1分） (2019九上·瑞安期末) 如图，已知二次函数的图象与y轴交于点A，MN是该抛物线的对称轴，点P在射线MN上，连结PA，过点A作交x轴于点B，过A作于点C，连结PB，在点P的运动过程中，抛物线上存在点Q，使，则点Q的横坐标为________.9. （1分） (2016九上·河西期中) 如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD=2 ，BD= ，则AB的长为________．10. （1分）(2017·黑龙江模拟) Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠B=50°，点D在边BC上，BD=2CD（如图）．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m=________．11. （1分）(2018·庐阳模拟) 如图，正五边形ABCDE的边长为2，分别以点C、D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点F，则弧BF 的长为________．12. （1分）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象经过点A（﹣3，0）对称轴为直线x=﹣1，给出以下5个结论：①abc＞0；②b2＞4ac；③2a+b=0；④a+bc＞0；⑤若点B（﹣，y1），C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2 ．其中正确的序号为________．三、解答题 (共11题；共104分)13. （5分） (2018九上·萧山开学考) 解下列一元二次方程（1） 5x﹣2=（2﹣5x）（3x+4）（2） 4（x+3）2=25（x﹣2）214. （5分） (2018九上·重庆月考) 如图，已知点A（-4，8）和点B（2，n）在抛物线y=ax2上.求a的值及点B的坐标.15. （10分） (2019九上·西城期中) 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，3），点B（4，0），点C（0，﹣1）．以点C为中心，△ABC逆时针旋转90°；（1）画出旋转后的图形，并写出点B′的坐标；（2）求点A经过的路径的长（结果保留π）．16. （5分）已知A、B两点，求作：过A、B两点的⊙O及⊙O的内接正六边形ABCDEF．（要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不必写作法及证明．）17. （11分）如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5．（1）用尺规作图作出∠B AC的平分线，并标出它与劣弧的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．18. （10分）已知关于x的一元二次方程x2-2x+m-1=0有两个实数根x1 ， x2 ．（1）求m的取值范围；（2）当x12+x22=6x1x2时，求m的值．19. （11分）(2017·河南模拟) 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=﹣ x2+bx+c表示，且抛物线的点C到墙面OB的水平距离为3m时，到地面OA的距离为 m．（1）求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？20. （10分）如图，AB⊥x轴于点B（8，0），sin∠AOB= ，反比例函数y1= 与OA相交于点C，且点C 为OA的中点（1）求反比例函数函数的解析式（2）一次函数y2=x+4，当y2＞y1时，直接写出x的取值范围．21. （11分）(2016·余姚模拟) 如图，在矩形ABCD中，点A为坐标原点，点B在x轴正半轴，点D在y轴正半轴，点C坐标为（6，m），点E是CD的中点，以CE为一边在矩形ABCD的内部作矩形CEFG，使点F在直线y=x 上，交线段BC于点G，直线DG的函数表达式为y=- x+4，直线DG和AF交于点H．（1）求m的值；（2）求点H的坐标；（3）判断直线BE是否经过点H，并说明理由．22. （11分） (2015九上·宜昌期中) 如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若点B，P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M．CN⊥直线a于点N，连接PM，PN．（1）延长MP交CN于点E（如图2）．①求证：△BPM≌△CPE；②求证：PM=PN；（2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B，P在直线a的同侧，其它条件不变，此时PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM=PN 还成立吗？不必说明理由．23. （15分）(2014·河池) 如图（1），在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A （﹣1，0），B（3，0），与y轴交于C（0，3），顶点为D（1，4），对称轴为DE．（1）抛物线的解析式是________；（2）如图（2），点P是AD上一个动点，P′是P关于DE的对称点，连接PE，过P′作P′F∥PE交x轴于F．设S 四边形EPP′F=y，EF=x，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；（3）在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使△BCQ成为以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出Q的坐标；若不存在．请说明理由．参考答案一、单选题 (共6题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、二、填空题 (共6题；共6分)7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、三、解答题 (共11题；共104分)13-1、13-2、14-1、15-1、15-2、16-1、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、22-3、23-1、23-2、23-3、。

山东省聊城市莘县2020-2021学年九年级上学期期中数学试题

4．将三角形纸片按如图所示的方式折叠，使点落在边上，记为点，折痕为．已知，若以点为顶点的三角形与相似，那么的长度是（）
A． B． C．或 D．或
5．在△ABC中，∠C=90°，如果tanA= ，那么sinB的值的等于（）
A． B． C． D．
6．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A,B,C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）
【详解】
设BF= ，则由折叠的性质可知：B′F= ，FC= ，
当△B′FC∽△ABC时，有，
即：，解得：；
当△B′FC∽△BAC时，有，
即：，解得：；
综上所述，可知：若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是4或．
故选：C
【点睛】
解本题时，由于题目中没有指明△B′FC和△ABC相似时顶点的对应关系，所以根据∠C是两三角形的公共角可知，需分：（1）△B′FC∽△ABC；（2）△B′FC∽△BAC；两种情况分别进行讨论，不要忽略了其中任何一种．
A．2：5B．2：3C．3：5D．3：2
3．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（）
A．60mB．40mC．30mD．20m
三、解答题
20．计算
（1）
（2）已知是锐角，且，计算的值．
21．如下图，在中，正方形的两个顶点在上，另两个顶点分别在上边上的高是，求正方形的面积．
22．已知：如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，BE＝16cm，
求此菱形的周长．

山东省聊城市2020-2021学年九年级上学期期中数学试题

解得：x=2或x=﹣2（舍），
所以BC=4x=8cm，
故答案选C．
A．45°B．50°C．55°D．60°
5．下列结论正确的是（）
A．三点确定一个圆B．相等的圆心角所对的弧相等
C．等弧所对的弦相等D．三角形的外心到三角形各边的距离相等
6．如图2，在平面直角坐标系中，点的坐标为（1，4）、（5，4）、（1、），则外接圆的圆心坐标是
A．（2，3）B．（3，2）C．（1，3）D．（3，1）
A．120°B．135°C．150°D．165°
12．如图，直线l：y＝－ x，点A1的坐标为(－3，0).过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2，再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A3，…按此做法进行下去，点A2 017的坐标为( )
山东省聊城市2020-2021学年九年级上学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，下列各式成立的是（）
A． B． C． D．
2．如图，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是（）
（2）若BE＝3，ED＝6，求AB的长．
23．某新农村乐园设置了一个秋千场所，如图所示，秋千拉绳OB的长为3m，静止时，踏板到地面距离BD的长为0.6m（踏板厚度忽略不计）．为安全起见，乐园管理处规定：儿童的“安全高度”为hm，成人的“安全高度”为2m（计算结果精确到0.1m）
（1）当摆绳OA与OB成45°夹角时，恰为儿童的安全高度，则h＝m