概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第三章习题参考解答
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3． 口袋中有 5 个白球、8 个黑球，从中不放回地一个接一个取出 3 个．如果第 i 次取出的是白球，则令 Xi = 1，否则令 Xi = 0，i = 1, 2, 3．求：
1
（1）(X1, X2, X3)的联合分布列； （2）(X1, X2)的联合分布列． 解： （1） P{( X 1 , X 2 , X 3 ) = (0, 0, 0)} =
（2）(X, Y )服从多项分布，X, Y 的全部可能取值分别为 0, 1, 2, 3, 4, 5， 且 P{ X = i, Y = j} =
5! × 0.5 i × 0.3 j × 0.2 5−i − j , i = 0, 1, 2, 3, 4, 5; j = 0, L , 5 − i ， i! ⋅ j! ⋅ (5 − i − j )!
故 (X, Y ) 的联合分布列为
Y X 0 1 2 3 4 5
0 0.00032 0.004 0.02 0.05 0.0625 0.03125
1 0.0024 0.024 0.09
2 0.054 0.135
Hale Waihona Puke Baidu
3 0.054 0.0675 0 0 0
4 0.0081 0.02025 0 0 0 0
5 0.00243 0 0 0 0 0
第三章
多维随机变量及其分布
习题 3.1
1． 100 件商品中有 50 件一等品、30 件二等品、20 件三等品．从中任取 5 件，以 X、Y 分别表示取出的 5 件中一等品、二等品的件数，在以下情况下求 (X, Y ) 的联合分布列． （1）不放回抽取； （2）有放回抽取． 解： （1）(X, Y )服从多维超几何分布，X, Y 的全部可能取值分别为 0, 1, 2, 3, 4, 5，
0.0072 0.0108
0.15 0.1125 0.09375 0 0 0
2． 盒子里装有 3 个黑球、2 个红球、2 个白球，从中任取 4 个，以 X 表示取到黑球的个数，以 Y 表示取 到红球的个数，试求 P{X = Y }．
⎛ 3 ⎞⎛ 2 ⎞⎛ 2 ⎞ ⎛ 3 ⎞⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎜1⎟ ⎟⎜ ⎜1⎟ ⎟⎜ ⎜ 2⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 2⎟ ⎟⎜ ⎜ 2⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= 6 + 3 = 9 ． 解： P{ X = Y } = P{ X = 1, Y = 1} + P{ X = 2, Y = 2} = + 35 35 35 ⎛7⎞ ⎛7⎞ ⎜ ⎜ ⎜ 4⎟ ⎟ ⎜ 4⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Y X 0 1 2 3 4 5
0
1
2
3
4
5 0 0 0 0 0
0.0002 0.0019 0.0066 0.0102 0.0073 0.0019 0.0032 0.0227 0.0549 0.0539 0.0182 0.0185 0.0927 0.1416 0.0661 0.0495 0.1562 0.1132 0.0612 0.0918 0 0.0281 0 0 0 0 0 0 0 0 0
⎛ 50 ⎞⎛ 30 ⎞⎛ 20 ⎜ ⎜ i ⎟ ⎟⎜ ⎜ j⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ 5 − i − 且 P{ X = i, Y = j} = ⎛100 ⎞ ⎜ ⎜ 5 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠
故 (X, Y ) 的联合分布列为
⎞ ⎟ j⎟ ⎠ , i = 0, 1, 2, 3, 4, 5; j = 0, L , 5 − i ，
X2 X1 −1 0 1 p⋅ j
−1 0
0
1 0
p i⋅ 0.25 0 .5
X2 X1 −1 0 1 p⋅ j
−1
0
1
p i⋅
0 0.25 0 0.25 0.25 0 0.25 0.5 0 0.25 0 0.25 0.25 0.5 0.25
0 0 0.25 0.25 0.5 0.25
故 P{X1 = X2} = P{X1 = −1, X2 = −1} + P{X1 = 0, X2 = 0} + P{X1 = 1, X2 = 1} = 0． 5． 设随机变量 (X, Y ) 的联合密度函数为
8 7 6 28 8 7 5 70 ⋅ ⋅ = ， P{( X 1 , X 2 , X 3 ) = (0, 0, 1)} = ⋅ ⋅ = ， 13 12 11 143 13 12 11 429 8 5 7 70 5 8 7 70 P{( X 1 , X 2 , X 3 ) = (0, 1, 0)} = ⋅ ⋅ = ， P{( X 1 , X 2 , X 3 ) = (1, 0, 0)} = ⋅ ⋅ = ， 13 12 11 429 13 12 11 429 8 5 4 40 5 8 4 40 P{( X 1 , X 2 , X 3 ) = (0, 1, 1)} = ⋅ ⋅ = ， P{( X 1 , X 2 , X 3 ) = (1, 0, 1)} = ⋅ ⋅ = ， 13 12 11 429 13 12 11 429 5 4 8 40 5 4 3 5 P{( X 1 , X 2 , X 3 ) = (1, 1, 0)} = ⋅ ⋅ = ， P{( X 1 , X 2 , X 3 ) = (1, 1, 1)} = ⋅ ⋅ = ； 13 12 11 429 13 12 11 143 8 7 14 8 5 10 （2） P{( X 1 , X 2 ) = (0, 0)} = ⋅ = ， P{( X 1 , X 2 ) = (0, 1)} = ⋅ = ， 13 12 39 13 12 39 5 8 10 5 4 5 P{( X 1 , X 2 ) = (1, 0)} = ⋅ = ， P{( X 1 , X 2 ) = (1, 1)} = ⋅ = ． 13 12 39 13 12 39 X2 0 1 X1 0 14 / 39 10 / 39 1 10 / 39 5 / 39
i =1, 2 的分布列如下，且满足 P{X1X2 = 0} = 1，试求 P{X1 = X2}．
4． 设随机变量 Xi ,
Xi P
−1 0 1 0.25 0.5 0.25
解：因 P{X1 X2 = 0} = 1，有 P{X1 X2 ≠ 0} = 0， 即 P{X1 = −1, X2 = −1} = P{X1 = −1, X2 = 1} = P{X1 = 1, X2 = −1} = P{X1 = 1, X2 = 1} = 0，分布列为
1
（1）(X1, X2, X3)的联合分布列； （2）(X1, X2)的联合分布列． 解： （1） P{( X 1 , X 2 , X 3 ) = (0, 0, 0)} =
（2）(X, Y )服从多项分布，X, Y 的全部可能取值分别为 0, 1, 2, 3, 4, 5， 且 P{ X = i, Y = j} =
5! × 0.5 i × 0.3 j × 0.2 5−i − j , i = 0, 1, 2, 3, 4, 5; j = 0, L , 5 − i ， i! ⋅ j! ⋅ (5 − i − j )!
故 (X, Y ) 的联合分布列为
Y X 0 1 2 3 4 5
0 0.00032 0.004 0.02 0.05 0.0625 0.03125
1 0.0024 0.024 0.09
2 0.054 0.135
Hale Waihona Puke Baidu
3 0.054 0.0675 0 0 0
4 0.0081 0.02025 0 0 0 0
5 0.00243 0 0 0 0 0
第三章
多维随机变量及其分布
习题 3.1
1． 100 件商品中有 50 件一等品、30 件二等品、20 件三等品．从中任取 5 件，以 X、Y 分别表示取出的 5 件中一等品、二等品的件数，在以下情况下求 (X, Y ) 的联合分布列． （1）不放回抽取； （2）有放回抽取． 解： （1）(X, Y )服从多维超几何分布，X, Y 的全部可能取值分别为 0, 1, 2, 3, 4, 5，
0.0072 0.0108
0.15 0.1125 0.09375 0 0 0
2． 盒子里装有 3 个黑球、2 个红球、2 个白球，从中任取 4 个，以 X 表示取到黑球的个数，以 Y 表示取 到红球的个数，试求 P{X = Y }．
⎛ 3 ⎞⎛ 2 ⎞⎛ 2 ⎞ ⎛ 3 ⎞⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎜1⎟ ⎟⎜ ⎜1⎟ ⎟⎜ ⎜ 2⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 2⎟ ⎟⎜ ⎜ 2⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= 6 + 3 = 9 ． 解： P{ X = Y } = P{ X = 1, Y = 1} + P{ X = 2, Y = 2} = + 35 35 35 ⎛7⎞ ⎛7⎞ ⎜ ⎜ ⎜ 4⎟ ⎟ ⎜ 4⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Y X 0 1 2 3 4 5
0
1
2
3
4
5 0 0 0 0 0
0.0002 0.0019 0.0066 0.0102 0.0073 0.0019 0.0032 0.0227 0.0549 0.0539 0.0182 0.0185 0.0927 0.1416 0.0661 0.0495 0.1562 0.1132 0.0612 0.0918 0 0.0281 0 0 0 0 0 0 0 0 0
⎛ 50 ⎞⎛ 30 ⎞⎛ 20 ⎜ ⎜ i ⎟ ⎟⎜ ⎜ j⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ 5 − i − 且 P{ X = i, Y = j} = ⎛100 ⎞ ⎜ ⎜ 5 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠
故 (X, Y ) 的联合分布列为
⎞ ⎟ j⎟ ⎠ , i = 0, 1, 2, 3, 4, 5; j = 0, L , 5 − i ，
X2 X1 −1 0 1 p⋅ j
−1 0
0
1 0
p i⋅ 0.25 0 .5
X2 X1 −1 0 1 p⋅ j
−1
0
1
p i⋅
0 0.25 0 0.25 0.25 0 0.25 0.5 0 0.25 0 0.25 0.25 0.5 0.25
0 0 0.25 0.25 0.5 0.25
故 P{X1 = X2} = P{X1 = −1, X2 = −1} + P{X1 = 0, X2 = 0} + P{X1 = 1, X2 = 1} = 0． 5． 设随机变量 (X, Y ) 的联合密度函数为
8 7 6 28 8 7 5 70 ⋅ ⋅ = ， P{( X 1 , X 2 , X 3 ) = (0, 0, 1)} = ⋅ ⋅ = ， 13 12 11 143 13 12 11 429 8 5 7 70 5 8 7 70 P{( X 1 , X 2 , X 3 ) = (0, 1, 0)} = ⋅ ⋅ = ， P{( X 1 , X 2 , X 3 ) = (1, 0, 0)} = ⋅ ⋅ = ， 13 12 11 429 13 12 11 429 8 5 4 40 5 8 4 40 P{( X 1 , X 2 , X 3 ) = (0, 1, 1)} = ⋅ ⋅ = ， P{( X 1 , X 2 , X 3 ) = (1, 0, 1)} = ⋅ ⋅ = ， 13 12 11 429 13 12 11 429 5 4 8 40 5 4 3 5 P{( X 1 , X 2 , X 3 ) = (1, 1, 0)} = ⋅ ⋅ = ， P{( X 1 , X 2 , X 3 ) = (1, 1, 1)} = ⋅ ⋅ = ； 13 12 11 429 13 12 11 143 8 7 14 8 5 10 （2） P{( X 1 , X 2 ) = (0, 0)} = ⋅ = ， P{( X 1 , X 2 ) = (0, 1)} = ⋅ = ， 13 12 39 13 12 39 5 8 10 5 4 5 P{( X 1 , X 2 ) = (1, 0)} = ⋅ = ， P{( X 1 , X 2 ) = (1, 1)} = ⋅ = ． 13 12 39 13 12 39 X2 0 1 X1 0 14 / 39 10 / 39 1 10 / 39 5 / 39
i =1, 2 的分布列如下，且满足 P{X1X2 = 0} = 1，试求 P{X1 = X2}．
4． 设随机变量 Xi ,
Xi P
−1 0 1 0.25 0.5 0.25
解：因 P{X1 X2 = 0} = 1，有 P{X1 X2 ≠ 0} = 0， 即 P{X1 = −1, X2 = −1} = P{X1 = −1, X2 = 1} = P{X1 = 1, X2 = −1} = P{X1 = 1, X2 = 1} = 0，分布列为