浮点数和定点数的区别

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定点数与浮点数区别

最近做HDR时，经常要用NV提供的16位纹理，它的说明书16位能达到24位的精度，就很奇怪？一直搞不懂浮点数的精度怎么算的？

今天认真看了一下IEEE float point的标准，终于明白是什么了

1. 什么是浮点数

在计算机系统的发展过程中，曾经提出过多种方法表达实数。典型的比如相对于浮点数的定点数（Fixed Point Number）。在这种表达方式中，小数点固定的位于实数所有数字中间的某个位置。货币的表达就可以使用这种方式，比如99.00 或者00.99 可以用于表达具有四位精度（Precision），小数点后有两位的货币值。由于小数点位置固定，所以可以直接用四位数值来表达相应的数值。SQL 中的NUMBER 数据类型就是利用定点数来定义的。还有一种提议的表达方式为有理数表达方式，即用两个整数的比值来表达实数。

定点数表达法的缺点在于其形式过于僵硬，固定的小数点位置决定了固定位数的整数部分和小数部分，不利于同时表达特别大的数或者特别小的数。最终，绝大多数现代的计算机系统采纳了所谓的浮点数表达方式。这种表达方式利用科学计数法来表达实数，即用一个尾数（Mantissa ），一个基数（Base），一个指数（Exponent）以及一个表示正负的符号来表达实数。比如123.45 用十进制科学计数法可以表达为1.2345 × 102 ，其中1.2345 为尾数，10 为基数，2 为指数。浮点数利用指数达到了浮动小数点的效果，从而可以灵活地表达更大范围的实数。

提示: 尾数有时也称为有效数字（Significand）。尾数实际上是有效数字的非正式说法。同样的数值可以有多种浮点数表达方式，比如上面例子中的123.45 可以表达为12.345 ×101，0.12345 × 103 或者1.2345 × 102。因为这种多样性，有必要对其加以规范化以达到统一表达的目标。规范的（Normalized）浮点数表达方式具有如下形式：

±d.dd...d × β e , (0 ≤ d i < β)

其中 d.dd...d 即尾数，β 为基数，e 为指数。尾数中数字的个数称为精度，在本文中用p 来表示。每个数字d 介于0 和基数之间，包括0。小数点左侧的数字不为0。

基于规范表达的浮点数对应的具体值可由下面的表达式计算而得：

±(d 0 + d 1β-1 + ... + d p-1β-(p-1))β e , (0 ≤ d i < β)

对于十进制的浮点数，即基数β 等于10 的浮点数而言，上面的表达式非常容易理解，也很直白。计算机内部的数值表达是基于二进制的。从上面的表达式，我们可以知道，二进制数同样可以有小数点，也同样具有类似于十进制的表达方式。只是此时β 等于2，而每个数字d 只能在0 和 1 之间取值。比如二进制数1001.101 相当于1 × 2 3 + 0 × 22 + 0 ×21 + 1 ×20 + 1 ×2-1 + 0 ×2-2 + 1 ×2-3，对应于十进制的9.625。其规范浮点数表达为1.001101 × 23。

2. IEEE 浮点数

计算机中是用有限的连续字节保存浮点数的。保存这些浮点数当然必须有特定的格式，Java 平台上的浮点数类型float 和double 采纳了IEEE 754 标准中所定义的单精度32 位浮点数和双精度64 位浮点数的格式。

注意: Java 平台还支持该标准定义的两种扩展格式，即float-extended-exponent 和double-extended-exponent 扩展格式。这里将不作介绍，有兴趣的读者可以参考相应的参考资料。

在IEEE 标准中，浮点数是将特定长度的连续字节的所有二进制位分割为特定宽度的符号域，指数域和尾数域三个域，其中保存的值分别用于表示给定二进制浮点数中的符号，

指数和尾数。这样，通过尾数和可以调节的指数（所以称为"浮点"）就可以表达给定的数值了。具体的格式参见下面的图例：

在上面的图例中，第一个域为符号域。其中0 表示数值为正数，而1 则表示负数。第二个域为指数域，对应于我们之前介绍的二进制科学计数法中的指数部分。其中单精度数为8 位，双精度数为11 位。以单精度数为例，8 位的指数为可以表达0 到255 之间的255 个指数值。但是，指数可以为正数，也可以为负数。为了处理负指数的情况，实际的指数值按要求需要加上一个偏差（Bias）值作为保存在指数域中的值，单精度数的偏差值为127，而双精度数的偏差值为1023。比如，单精度的实际指数值0 在指数域中将保存为127；而保存在指数域中的64 则表示实际的指数值-63。偏差的引入使得对于单精度数，实际可以表达的指数值的范围就变成-127 到128 之间（包含两端）。我们不久还将看到，实际的指数值-127（保存为全0）以及+128（保存为全1）保留用作特殊值的处理。这样，实际可以表达的有效指数范围就在-127 和127 之间。在本文中，最小指数和最大指数分别用emin 和emax 来表达。

图例中的第三个域为尾数域，其中单精度数为23 位长，双精度数为52 位长。除了我们将要讲到的某些特殊值外，IEEE 标准要求浮点数必须是规范的。这意味着尾数的小数点左侧必须为1，因此我们在保存尾数的时候，可以省略小数点前面这个1，从而腾出一个二进制位来保存更多的尾数。这样我们实际上用23 位长的尾数域表达了24 位的尾数。比如对于单精度数而言，二进制的1001.101（对应于十进制的9.625）可以表达为 1.001101 ×23，所以实际保存在尾数域中的值为00110100000000000000000，即去掉小数点左侧的1，并用0 在右侧补齐。

值得注意的是，对于单精度数，由于我们只有24 位的指数（其中一位隐藏），所以可以表达的最大指数为224 - 1 = 16,777,215。特别的，16,777,216 是偶数，所以我们可以通过将它除以2 并相应地调整指数来保存这个数，这样16,777,216 同样可以被精确的保存。相反，数值16,777,217 则无法被精确的保存。由此，我们可以看到单精度的浮点数可以表达的十进制数值中，真正有效的数字不高于8 位。事实上，对相对误差的数值分析结果显示有效的精度大约为7.22 位。参考下面的示例：

true value stored value

--------------------------------------

16,777,215 1.6777215E7

16,777,216 1.6777216E7

16,777,217 1.6777216E7

16,777,218 1.6777218E7

16,777,219 1.677722E7

16,777,220 1.677722E7

16,777,221 1.677722E7

16,777,222 1.6777222E7

16,777,223 1.6777224E7

16,777,224 1.6777224E7

16,777,225 1.6777224E7

--------------------------------------根据标准要求，无法精确保存的值必须向最接近的可保存的值进行舍入。这有点像我们熟悉的十进制的四舍五入，即不足一半则舍，一半以上（包括一半）则进。不过对于二进制浮点数而言，还多一条规矩，就是当需要舍入的值刚好是一半时，不是简单地进，而是在前后两个等距接近的可保存的值中，取其中最后一位有效数字为