2016年1月西城区高三期末理科数学试题及答案..
北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷-理数-含答案
北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2017.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|02}A x x =<<，2{|10}B x x =-≤，那么AB =（A ）{|01}x x <≤ （B ）{|12}x x -<≤ （C ）{|10}x x -<≤（D ）{|12}x x <≤2．下列函数中，定义域为R 的奇函数是（A ）21y x =+（B ）tan y x = （C ）2xy =（D ）sin y x x =+3．已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点是(2,0)，则其渐近线的方程为（A ）0x ±= （B 0y ±= （C ）30x y ±=（D ）30x y ±=4．在极坐标系中，过点(2,)6P π且平行于极轴的直线的方程是（A ）sin 1=ρθ （B ）sin =ρθ（C ）cos 1=ρθ（D ）cos =ρθ5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的四个侧面的面积中最大的是 （A ）3（B ）（C ）6（D ）6．设,a b 是非零向量，且≠±a b ．则“||||=a b ”是“()()+⊥-a b a b ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件7．实数,x y 满足3,0,60.x x y x y ⎧⎪+⎨⎪-+⎩≤≥≥若z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -，则a的取值范围是 （A ）[1,0]- （B ）[0,1]（C ）[1,1]-（D ）(,1][1,)-∞-+∞8．在空间直角坐标系O xyz -中，正四面体P ABC -的顶点A ，B 分别在x 轴，y 轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则||OP 的取值范围是 （A）1] （B ）[1,3] （C）1,2] （D）1]第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．复数1i1i+=-____．10．设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a =，34a =，则n a =____；6S =____．11．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为____．12．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若3c =，3C π=，sin 2sin B A =，则a =____．13．设函数30,()log ,,x a f x x x a =>⎪⎩≤≤ 其中0a >．① 若3a =，则[(9)]f f =____；② 若函数()2y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是____．14．10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的45．则第二名选手的得分是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2π()sin(2)2cos 16f x x x ωω=-+-(0)ω>的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求()f x 在区间7π[0,]12上的最大值和最小值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ， 90BAD ︒∠=，PA PD =，AB PA ⊥，2AD =，1AB BC ==．（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若E 为PD 的中点，求证：//CE 平面PAB ； （Ⅲ）若DC 与平面PAB 所成的角为30︒，求四棱锥P ABCD -的体积．17．（本小题满分13分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A ，B 两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A ，B 两个型号的手机各7台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：其中，a ，b 是正整数，且a b <．（Ⅰ）该卖场有56台A 型手机，试估计其中待机时间不少于123小时的台数； （Ⅱ）从A 型号被测试的7台手机中随机抽取4台，记待机时间大于123小时的台数为X ，求X 的分布列；（Ⅲ）设A ，B 两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机待机时间的方差最小时，写出a ，b 的值（结论不要求证明）．18．（本小题满分13分）已知函数()ln sin (1)f x x a x =-⋅-，其中a ∈R ．（Ⅰ）如果曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-，求a 的值； （Ⅱ）如果()f x 在区间(0,1)上为增函数，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知直线:l x t =与椭圆22:142x y C +=相交于A ，B 两点，M 是椭圆C 上一点．（Ⅰ）当1t =时，求△MAB 面积的最大值；（Ⅱ）设直线MA 和MB 与x 轴分别相交于点E ，F ，O 为原点．证明：||||OE OF ⋅为定值．20．（本小题满分13分）数字1,2,3,,(2)n n ≥的任意一个排列记作12(,,,)n a a a ，设n S 为所有这样的排列构成的集合．集合12{(,,,)|n n n A a a a S =∈任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有}i j a i a j --≤；集合12{(,,,)|n n n B a a a S =∈任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有}i j a i a j ++≤．（Ⅰ）用列举法表示集合3A ，3B ； （Ⅱ）求集合nn A B 的元素个数；（Ⅲ）记集合n B 的元素个数为n b ．证明：数列{}n b 是等比数列．北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2017.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．B 4．A 5．C 6．C 7．C 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．i 10．12n -；63 11． 3-12 13[4,9) 14．16 注：第10，13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()sin(2)(2cos 1)6f x x x ωω=-+-ππ(sin 2coscos 2sin )cos 266x x x ωωω=-+ [4分]12cos 22x x ωω=+ πsin(2)6x ω=+， [ 6分]所以()f x 的最小正周期 2ππ2T ω==, 解得 1ω=． [ 7分] （Ⅱ）由（Ⅰ）得 π()sin(2)6f x x =+．因为 7π12x ≤≤0，所以 ππ4π2663x +≤≤． [ 9分] 所以，当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值为1； [11分]当π4π263x +=，即7π12x =时，()f x 取得最小值为2-． [13分]解：（Ⅰ）因为90BAD ∠=，所以AB AD ⊥， [ 1分]又因为 AB PA ⊥，所以 AB ⊥平面PAD ． [ 3分] 所以 平面PAD ⊥平面ABCD ． [ 4分] （Ⅱ）取PA 的中点F ，连接BF ，EF ． [ 5分] 因为E 为PD 的中点，所以//EF AD ，12EF AD =，又因为 //BC AD ，12BC AD =，所以 //BC EF ，BC EF =．所以四边形BCEG 是平行四边形，//EC BF ． [7分]又 BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，所以//CE 平面PAB ． [ 8分] （Ⅲ）过P 作PO AD ⊥于O ，连接OC ．因为PA PD =，所以O 为AD 中点， 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ．如图建立空间直角坐标系O xyz -． [ 9分] 设PO a =．由题意得，(0,1,0)A ，(1,1,0)B ，(1,0,0)C ，(0,1,0)D -，(0,0,)P a ． 所以(1,0,0)AB −−→=，(0,1,)PA a −−→=-，(1,1,0)DC −−→=． 设平面PCD 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,AB PA −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n即0,0.x y az =⎧⎨-=⎩令1z =，则y a =．所以(0,,1)a =n ． [11分] 因为DC 与平面PAB 所成角为30，所以|1|cos ,|2||||DC DC DC −−→−−→−−→⋅〈〉===|n n n ， 解得 1a =． [13分]所以四棱锥P ABCD -的体积11121113322P ABCD ABCD V S PO -+=⨯⨯=⨯⨯⨯=．[14分]解：（Ⅰ）被检测的7台手机中有5台的待机时间不少于123小时，因此，估计56台A 型手机中有556407⨯=台手机的待机时间不少于123小时． [ 3分] （Ⅱ）X 可能的取值为0,1,2,3． [ 4分]4711(0)35C P X ===； 133447C C 12(1)35C P X ===； 223447C C 18(2)35C P X ===； 3447C 4(3)35C P X ===． [ 8分] 所以，X 的分布列为：[10分]（Ⅲ）若A ，B 两个型号被测试手机的待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机的待机时间的方差最小时，124a =，125b =． [13分]18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(0,)+∞， [ 1分]导函数为1()cos(1)f x a x x'=-⋅-． [ 2分] 因为曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-，所以 (1)1f '=-， 即 11a -=-， [ 3分] 所以 2a =． [ 4分] （Ⅱ）因为()f x 在区间(0,1)上为增函数，所以 对于任意(0,1)x ∈，都有1()cos(1)0f x a x x'=-⋅-≥． [ 6分] 因为(0,1)x ∈时，cos(1)0x ->，所以 11()cos(1)0cos(1)f x a x a x x x '=-⋅-⇔⋅-≤≥． [ 8分] 令 ()cos(1)g x x x =⋅-，所以()cos(1)sin (1)g x x x x '=--⋅-． [10分] 因为 (0,1)x ∈时，sin (1)0x -<，所以 (0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 在区间(0,1)上单调递增，所以()(1)1g x g <=． [12分] 所以 1a ≤．即a 的取值范围是(,1]-∞． [13分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）将1x =代入22142x y +=，解得2y =±， 所以||AB = [ 2分] 当M 为椭圆C 的顶点()2,0-时，M 到直线1x =的距离取得最大值3， [ 4分]所以 △MAB面积的最大值是2． [ 5分] （Ⅱ）设,A B 两点坐标分别为(),A t n ，(),B t n -，从而 2224t n +=． [ 6分]设()00,M x y ，则有220024x y +=，0x t ≠，0y n ≠±． [ 7分]直线MA 的方程为 00()y ny n x t x t--=--， [ 8分] 令0y =，得000ty nx x y n -=-，从而 000ty nx OE y n-=-． [ 9分]直线MB 的方程为00()y ny n x t x t++=--， [10分] 令0y =，得000ty nx x y n +=+，从而 000ty nx OF y n+=+． [11分]所以000000=ty nx ty nx OE OF y n y n -+⋅⋅-+222200220=t y n x y n--()()222202204242=n y n y y n ---- [13分]22022044=y n y n -- =4．所以OE OF ⋅为定值． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）3{(1,2,3)}A =，3{(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)}B =． [ 3分] （Ⅱ）考虑集合n A 中的元素123(,,,,)n a a a a ．由已知，对任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有i j a i a j --≤， 所以 ()()i j a i i a j j -+<-+， 所以 i j a a <．由,i j 的任意性可知，123(,,,,)n a a a a 是1,2,3,,n 的单调递增排列，所以{(1,2,3,,)}n A n =． [ 5分]又因为当k a k =*(k ∈N ，1)k n ≤≤时，对任意整数,,1i j i j n <≤≤， 都有 i j a i a j ++≤． 所以 (1,2,3,,)n n B ∈， 所以 n n A B ⊆． [ 7分]所以集合nn A B 的元素个数为1． [ 8分]（Ⅲ）由（Ⅱ）知，0n b ≠．因为2{(1,2),(2,1)}B =，所以22b =．当3n ≥时，考虑n B 中的元素123(,,,,)n a a a a ．（1）假设k a n =(1)k n <≤．由已知，1(1)k k a k a k ++++≤， 所以1(1)1k k a a k k n ++-+=-≥， 又因为11k a n +-≤，所以11k a n +=-． 依此类推，若k a n =，则11k a n +=-，22k a n +=-，…，n a k =．① 若1k =，则满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1个． ② 若2k =，则2a n =，31a n =-，42a n =-，…，2n a =． 所以 11a =．此时 满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1个． ③ 若2k n <<，只要1231(,,,)k a a a a -是1,2,3,,1k -的满足条件的一个排列，就可以相应得到1,2,3,,n 的一个满足条件的排列．此时，满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1k b -个． [10分]（2）假设n a n =，只需1231(,,,)n a a a a -是1,2,3,,1n -的满足条件的排列，此时 满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1n b -个． 综上 23111n n b b b b -=+++++，3n ≥． 因为 3221142b b b =++==，且当4n ≥时，23211(11)2n n n n b b b b b b ---=++++++=， [12分] 所以 对任意*n ∈N ，3n ≥，都有12n n b b -=． 所以 {}n b 成等比数列． [13分]。
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北京市西城区2015 — 2016学年度上学期期末试卷高三数学（理科）2016.1本试卷分第I 卷和第n 卷两部分，第I 卷I 至2页，第n 卷3至5页，共150 分.考试时间120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效•考试结束后，将本试卷和答题卡一并回交.第I 卷（选择题共40 分）一、 选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设集合A 二｛x|x 1｝，集合B ^｛a 2｝，若A 「B 二.一，则实数a 的取值范围是（）（A ） （「:, -1]（ B ） （_：:,1]（C ） [-1, ：：）（ D ） [1,：：）2. 下列函数中，值域为 R 的偶函数是（）（A ） y =x 2 1（ B ） y =e x d （C ） y =lg|x|（ D ） y =；汉1 113. 设命题p ：“若sin ，则 ”，命题q ：“若a . b ，则 "，则（）26a b（A ）" p q ”为真命题 （B ）" p q ”为假命题 （C ）" —q ”为假命题（D ）以上都不对4. 在数列｛a n ｝中，“对任意的n E N *, a^ =a n a n 七”是“数列｛a .｝为等比数列”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件5. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（(C ) 20 2 3(D ) 20 2 5y -x W 1,6. 设x , y 满足约束条件 x y < 3,若z=x ，3y 的最大值与7. 某市乘坐出租车的收费办法如下： 不超过4千米的里程收费12元；超过4千米的里程按每千米 2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于 0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元.(A) 16 2 3 (B ) 16 2、、5泸m,最小值的差为7,则实数m =（ )33 1 1 (A )- (B ) --— (D ) 24 4 俯视图侧（左）视图相应系统收费的程序框图如图所示，其中 为行驶里程，y (单位：元)为所收费用，用 最大整数，则图中①处应填()1(A) y =2[x] 4 2 1(B) y =2[x ] 5 2 (C) y =2[x -]42 1(D) y =2[x ] 5 28.如图，正方形 ABCD 的边长为6，点E , F 分别在边AD , BC 上，且DE =2AE , CF =2BF .如果对于常数，，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得PE PF^成立，那么■的取值范围是 ()(A ) (0,7)( B ) (4,7)(C ) (0,4)( D ) (—5,16)第 H 卷 (非选择题共110分)9. ____________________________________________ 已知复数Z 满足z(1 +i) =2 —4i ，那么z =10•在 MBC 中，角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c.若 A = B , a=3 , c = 2，则 cosC= __________________ .2 211.双曲线C : — _________________ =1的渐近线方程为 ;设F 1, F 2为双曲线C 的左、右焦点，P 为C 上一点,16 4且 | Ph |=4，则 | PF 2 |= ________ .12. 如图，在 ABC 中，.ABC=90 , AB =3 , BC =4，点O 为BC 的中点，以BC 为 直径的半圆与 AC , AO 分别相交于点 M , N ，则AN =; AM =.MC ------------------13. 现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察， 要求每个兴趣小组的带队教师至、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分.多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有________ 种.14. 某食品的保鲜时间t (单位：小时)与储藏温度x (单位：°C )满足函数关系七^0,且该食2 , x>0.品在4「C的保鲜时间是16小时.已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示.给出以下四个结论:D该食品在^C的保鲜时间是8小时;15. (本小题满分13分)已知函数f(x) =cosx(sinx 亠，3cosx) , x ：= R . 2(I)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；(n)设.0,若函数g(x)=f(x*)为奇函数，求：•的最小值.16. (本小题满分13分)甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分,未命中目标得0分•两人4局的得分情况如下：甲6699乙79x y(I)若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；(n)如果x = y =7，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X，求X的分布列和数学期望；(川)在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x的所有可能取值•(结论不要求证明)17. (本小题满分14 分)如图，在四棱锥P _ABCD中，底面ABCD是平行四边形，.BCD =135 ,侧面PAB _底面ABCD，. BAP=90j AB = AC = PA = 2 , E, F分别为BC,AD的中点，点M 在线段PD上.(I)求证：EF —平面PAC ; (n)若M为PD的中点，求证：ME //平面PAB ;(川)如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求PM的值.PD218.(本小题满分13分)已知函数f (x)二X -1，函数g(x) = 2t In x，其中t < 1 .(I)如果函数f (x)与g(x)在x 处的切线均为l，求切线l的方程及t的值;(n)如果曲线y = f (x)与y = g (x)有且仅有一个公共点，求t的取值范围.D2 2 —在椭圆C上.19.(本小题满分14分)已知椭圆C二笃=A(a b ■ 0)的离心率为-2，点A(1 a b 2(I)求椭圆C的方程；(n)设动直线I与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点o为圆心的圆，满足此圆与I相交两点P , P2 (两点均不在坐标轴上)，且使得直线OP , OP2的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由•20.(本小题满分13分)在数字12川，n(n》2)的任意一个排列A ：卯a?,川，4中，如果对于i，『，icj , 有a i ■ a j ,那么就称(a,a j)为一个逆序对•记排列A中逆序对的个数为S(A).如n=4 时，在排列B: 3, 2, 4, 1 中，逆序对有(3,2) , (3,1), (2,1) , (4,1)，则S(B)=4.(I)设排列C：3, 5, 6, 4, 1,2，写出S(C)的值；(n)对于数字1 , 2,「•，n的一切排列A，求所有S(A)的算术平均值；(川)如果把排列A：知a2jll, a n中两个数字a「a j(i cj)交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列A': b n b2,川，b n，求证：S(A) S(A)为奇数.北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2016.1、选择题：本大题共 8小题，每小题 1. A 2. C 5. B6. C二、填空题：本大题共 6小题，每小题9. -1 -3i111. yx21213. 54注：第11，12题第一问2分，第二问 5分，共40分.3 . B 4. B7. D8. C5分共30分.710. 912..13-29 16因为函数g （x ）为奇函数，且R ,三、解答题：本大题共 6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分 15.（本小题满分13分） J 3 (I) 解：f(x) =cosx(si n x ….f 3 cosx) - 丁 =sin x cosx f (2cos 2x -1) 1 • c 3 c sin 2x cos2x 2 2所以函数f （x ）的最小正周期 2n =n . 2由 2k n w 2xW 2kn ■ — , k Z ,2325 nn得 k nw x < k T + —,1212所以函数f(x)的单调递增区间为[“-石，k n+ —] , k - Z .5 nn(注：或者写成单调递增区间为(k n-k n + ) , k ，Z .)12 124分 6分7分9分解：由题意，得 g(x)二 f (x 叱)二sin(2x 2：11分n 所以 2.二川_ k n,Z ,3解得〉k • Z ，验证知其符合题意.2 6 又因为二：0 ,n 所以:-的最小值为—. .......... 13分_16. (本小题满分13分)(I)解：记“从甲的4局比赛中，随机选取 2局，且这2局的得分恰好相等”为事件 A ,2 1由题意，得P(A )二C 7 =_ ,1所以从甲的4局比赛中，随机选取 2局，且这2局得分恰好相等的概率为 -.……4分(H)解：由题意，X 的所有可能取值为13 , 15 , 16 , 18 ,................... 5分所以X 的分布列为:X 13 15 16 18 P3 1 3 1 88883 13 1所以E(X) =13工巴+15疋丄+16工2+18疋丄=15.8 8 8 8 (川)解：X 的可能取值为6 , 7 , 8. 17. (本小题满分14分)(I)证明：在平行四边形 ABCD 中，因为AB =AC , BCD =13引, 所以AB _ AC .由E,F 分别为BC, AD 的中点，得EF//AB , 所以EF _AC因为侧面PAB —底面ABCD ，且• BAP =90® , 所以PA _底面ABCD .又因为EF 底面ABCD , 又因为 PAf] AAC =A , PA 二平面 PAC , AC 二平面 PAC , 所以EF _平面PAC .且 P(XT3)1 P(X 胡5)飞， 3P(X “6)託， 1P(X =18)飞，10分 13分所以 g(0) =0，即 sin(2：.(川)解：因为PA_底面ABCD , AB _AC ，所以AP, AB, AC 两两垂直，故以 AB, AC, AP分别为x 轴、y 轴和z 轴，如上图建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0), B(2,0,0), C(0,2,0), P(0,0,2), D(£2,0), E(1,1,0)，T —I T所以 PB =(2,0, -2), PD =(-2,2, ~2) , BC =(-2,2,0) , ................... 10 分PM ^^4 设伙=,(,.[0,1])，贝y P^(-2 ,2 ,-2 ),PD所以 M(2,2，,2-2), ME =(1 2，,1—2, ,2，—2), 易得平面ABCD 的法向量m =(0,0,1). ................... 11分设平面PBC 的法向量为n =(x, y, z), 由 n BC =0, n PB =0，得_2x 2y =0,gx —2z =0,令 x =1,得 n =(1,1,1).................... 12 分因为直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面 ABCD 所成的角相等，所以 |cos ：：：ME, m 冃 cos ：：： ME, n |，即 型F m 丨二均F n 丨, (13)分|ME| | m | |ME| |n |. 2九 所以|2' -2円＜1， 解得.3，或.」3(舍)............ 14分^2^218. (本小题满分13分)2t(H)证明：因为M 为PD 的中点，F 分别为AD 的中点，所以ME//平面PAB. ................... 9分D(I)解：求导，得f (x) =2x , g(X)=2t, (x .0) . .................. 2 分x由题意，得切线I的斜率k=f(1)=g(1)，即k=2t=2，解得t =1. .............. 3分又切点坐标为(1,0)，所以切线I的方程为2x — y—2=0 . ..................... 4分(n)解：设函数h(x) = f (x) -g(x) =x2一1 -2tln x , x (0, ；). ...................... 5 分y = h(x)有且仅有"曲线y = f (x)与y =g(x)有且仅有一个公共点”等价于"函数个零点”.2t 2 x2_ 2t求导，得h(x) =2x 一三二'•x x①当t< 0时，由x (0,：：)，得h (x) 0 ,所以h(x)在(0,；)单调递增.又因为h(1)=0，所以y =h(x)有且仅有一个零点1，符合题意.②当t =1时，当x变化时，h(x)与所以h(x)在(0,1)上单调递减，在(1,；)上单调递增,所以当x =1 时，h(X)min = h(1) = 0 ,故y =h(x)有且仅有一个零点1，符合题意. ........... 10分③当0 :: t ：：：1时，令h (x) = 0，解得 ^ = . t .当x变化时，h (x)与h(x)的变化情况如下表所示：Array所以h(x)在(0, t)上单调递减，在c.t,；)上单调递增，所以当x = .,t 时，h(x)mi n二h(・t) . ................ 11 分因为h⑴=0 , ..t ：：：1，且h(x)在上单调递增，所以h(、f) ：：：h(1)=0.1 1 1 1 1又因为存在(0,1) ，h(e 枕)=e 耳-1 -2tl ne 页二■ 0，所以存在x^ (0,1)使得九沧)=0 ,所以函数y =h(x)存在两个零点x0 , 1，与题意不符•综上，曲线y=f(x)与y=g(x)有且仅有一个公共点时，t的范围是{t|t<0,或t =1} •.................... 13分19. (本小题满分14分)(I)解：由题意，得°=七'3, a2二b2• c2, ....................... 2分a 2又因为点“1,二)在椭圆C上，2所以丄• 2 =1 , ..................... 3分a24b2解得 a =2 , b =1 , c = • 3 ,2所以椭圆C的方程为—y2 =1. ..................... 5分4(H)结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为x2 y2 =5. ...................... 6分证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为x2y^r2(r 0).当直线l的斜率存在时，设I的方程为y = kx m . ................... 7分y 二kx m, 由方程组x2 2 得(4k2 1)x2 8kmx 4m2 -4 =0, 8 分u y =1,因为直线I与椭圆C有且仅有一个公共点，所以 1 =(8km)2 _4(4k2 1)(4m2 -4) =0，即m2=4k2 1 . .................... 9 分y =kx m,2 2 22由方程组2 22 得(k 1)x 2kmx m -r =0 , .................... 10 分[x +y =r ,则 2 =(2km)2 _4(k 2 1)(m 2 _r 2) 0.设直线OR , OP 的斜率分别为k 1 , k 2,2 2所以当圆的方程为 x y -5时，圆与I 的交点13分当直线I 的斜率不存在时，由题意知 I 的方程为x = 2，1 此时，圆x 2+y 2=5与I 的交点R,P 2也满足k 1k 2=—.41 综上，当圆的方程为 x2 y^5时，圆与I 的交点R,P 2满足斜率之积k !k 2为定值.4.................... 14分20. (本小题满分13分)(I)解：S(C) =10 ； (H)解：考察排列 D ： a,d 2, IH, d n 」,d n 与排列 D 1：d n ,山，d 2,a ,因为数对(d i ,d j )与(d j ,d i )中必有一个为逆序对(其中 1wi ：：：j < n ), 且排列D 中数对(d i ,d j )共有C ：二葺卫个， 所以 S(D) S(DJ 』；T ).所以排列D 与D 1的逆序对的个数的算术平均值为n(n T) 4设 P(X i ,yJ ,卩2(% y)，则 X i - X 2-2 kmk 2 12 2m -rx2 2~k 111分2 2y 1y 2(kx 1 m)(kx 2 m) k x 1x 2 km(x 1 x 2) m所以补2x 1x 2x 1x 2NX 22 2,2 m -r k 厂k 2 12 2 m -r k 2 1km 学 m 2 k 2 +1 2 2 2m -r k 2 2 ， m —r12分2 2将m =4k 1代入上式，得 k 1 k 22 2(4 -r )k 1 22~4k (1 — r )要使得Kk 2为定值，则 土丄4121 -r ，即r 2=5，验1R,P 2满足k 1k 2为定值2而对于数字1,2,…，n的任意一个排列A：a i,a?,川，a n，都可以构造排列A i：a n, a2, a ,且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为血却.4所以所有S(A)的算术平均值为12卫. ............ 7分4(川)证明：①当j -i 1，即厲，引相邻时，不妨设a, ::: a, i，则排列A•为a i, a?,川，a*, a’，a” q .2,川，a.,此时排列A■与排列A：印，a?,川，a n相比，仅多了一个逆序对(a, i,aj ,所以S(A) =S(A) 1,所以S(A) S(A) =2S(A) 1 为奇数. ..................... 10 分②当j - i 1，即a, ,a j不相邻时，假设a,,a j 之间有m 个数字，记排列A: a1, a：. Ill a,, 6 k：, ,lllk m,印,|||, a.,先将a,向右移动一个位置，得到排列A1：ai, a：, HI, a—心a,, k2, J|l,k m, a j,lli, a n,由②，知S(A)与S(A)的奇偶性不同，再将a,向右移动一个位置，得到排列A2：3, a2, a—匕，k：, a,, k3,||),k m, a」,川，％ , 由②，知S(A，)与S(A)的奇偶性不同，以此类推，a,共向右移动m次，得到排列A m: a1, a2, IIIK, k2川l,k m, a, a j,|||, a.,再将a」向左移动一个位置，得到排列A m+1: a1, a2,山,a』,匕，||),k m,a j, a,,山,a n , 以此类推，q共向左移动m+1次，得到排列A2m+1: a1, a2, HI, %,匕,11), k m, a,HI,a n, 即为排列A ,由②，可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化，而排列A经过2m十1次的前后两数交换位置，可以得到排列A：所以排列A与排列A•的逆序数的奇偶性不同，所以S(A) S(A)为奇数.13分综上，得S(A) S(A)为奇数.。
2016年北京市西城区高三理科上学期人教B版数学期末考试试卷
2016年北京市西城区高三理科上学期人教B版数学期末考试试卷一、选择题（共8小题；共40分）1. 设集合A= x−12<x<2，B=x x2≤1，则A∪B = A. x 1≤x<2B. x−12<x≤1C. x x<2D. x −1≤x<22. 下列函数中，定义域为R的奇函数是 A. y=x2+1B. y=tan xC. y=2xD. y=x+sin x3. 已知双曲线x2−y2b=1b>0的一个焦点是2,0，则其渐近线的方程为 A. x±3y=0B. 3x±y=0C. x±3y=0D. 3x±y=04. 在极坐标系中，已知点P2,π6，则过点P且平行于极轴的直线的方程是 A. ρsinθ=1B. ρsinθ=3C. ρcosθ=1D. ρcosθ=35. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的四个侧面的面积中最大的是 A. 3B. 25C. 6D. 356. 设a，b是非零向量，且a≠±b．则“a=b”是“ a+b⊥ a−b”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 实数x，y满足x≤3,x+y≥0,x−y+6≥0.若z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a−3，则a的取值范围是 A. −1,0B. 0,1C. −1,1D. −∞,−1∪1,+∞8. 在空间直角坐标系O−xyz中，正四面体P−ABC的顶点A，B分别在x轴，y轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则OP的取值范围是 A. 3−1,3+1B. 1,3C. 3−1,2D. 1,3+1二、填空题（共6小题；共30分）9. 复数1+i1−i等于．10. 设等比数列a n的各项均为正数，其前n项和为S n，若a1=1，a3=4，则a n=；S6=．11. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为．12. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=3，C=π3，sin B=2sin A，则a=．13. 设函数f x=x,0≤x≤alog3x,x>a，其中a>0．①若a=3，则f f9=；②若函数y=f x−2有两个零点，则a的取值范围是．14. 10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的45．则第二名选手的得分是．三、解答题（共6小题；共78分）15. 已知函数f x=sin2ωx−π6+2cos2ωx−1ω>0的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f x在区间0,7π12上的最大值和最小值．16. 如图，在四棱锥P−ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90∘，PA=PD，AB⊥PA，AD=2，AB=BC=1．（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（2）若E为PD的中点，求证：CE∥平面PAB．（3）若DC与平面PAB所成的角为30∘，求四棱锥P−ABCD的体积．17. 手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A，B两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A，B两个型号的手机各7台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：手机编号1234567A型待机时间h120125122124124123123B型待机时间h118123127120124a b其中，a，b是正整数，且a<b．（1）该卖场有56台A 型手机，试估计其中待机时间不少于123小时的台数；（2）从A型号被测试的7台手机中随机抽取4台，记待机时间大于123小时的台数为X，求X 的分布列；（3）设A，B两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当B型号被测试手机待机时间的方差最小时，写出a，b的值（结论不要求证明）．18. 已知函数f x=ln x−a⋅sin x−1，其中a∈R．（1）如果曲线y=f x在x=1处的切线的斜率是−1，求a的值；（2）如果f x在区间0,1上为增函数，求a的取值范围．19. 已知直线l：x=t与椭圆C：x24+y22=1相交于A，B两点，M是椭圆C上一点．（1）当t=1时，求△MAB面积的最大值；（2）设直线MA和MB与x轴分别相交于点E，F，O为原点．证明： OE ⋅ OF 为定值．20. 数字1，2，3，⋯，n n≥2的任意一个排列记作a1,a2,⋯,a n，设S n为所有这样的排列构成的集合．集合A n=a1,a2,⋯,a n∈S n任意整数i,j,1≤i<j≤n,都有a i−i≤a j−j ；集合B n=a1,a2,⋯,a n∈S n任意整数i,j,1≤i<j≤n,都有a i+i≤a j+j ．（1）用列举法表示集合A3，B3；（2）求集合A n∩B n的元素个数；（3）记集合B n的元素个数为b n，证明：数列b n是等比数列．答案第一部分1. D2. D3. B4. A5. C【解析】由三视图得几何体是四棱锥P−ABCD，如图所示：且PE⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，AB=4，AD=2，面PDC是等腰三角形，PD=PC=3，则△PDC的高为2−22=5，×4×5=25，所以△PDC的面积为：12因为PE⊥平面ABCD，所以PE⊥BC，又CB⊥CD，PE∩CD=E，所以BC⊥面PDC，即BC⊥PC，×2×3=3，侧面△PAB的面积为：同理可证AD⊥PD，则两个侧面△PAD，△PBC的面积都为：121×4×52+22=6，2所以四棱锥P−ABCD的四个侧面中面积最大是：6．6. C7. C 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由z=ax+y得y=−ax+z，因为z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a−3，所以当直线y=−ax+z经过点B3,9时直线截距最大，当经过点A3,−3时，直线截距最小．则直线y=−ax+z的斜率−a满足，−1≤−a≤1，即−1≤a≤1．8. A 【解析】如图所示，若固定正四面体P−ABC的位置，则原点O在以AB为直径的球面上运动，设AB的中点为M，则PM=2−12=3，所以原点O到点P的最近距离等于PM减去球M的半径，最大距离是PM加上球M的半径．所以3−1≤ OP ≤3+1，即OP的取值范围是3−1,3+1．第二部分9. i10. 2n−1，6311. 8【解析】执行程序框图，有k=0，S=1，满足条件k<3，S=1，k=1，满足条件k<3，S=2，k=2，满足条件k<3，S=8，k=3，不满足条件k<3，输出S的值为8．12. 313. 2，4,9【解析】①当a=3时，f9=log39=2，所以f2=，所以f f9=②分别画出y=f x与y=2的图象，如图所示，函数y=f x−2有两个零点，结合图象可得4≤a<9，故a的取值范围是4,9．14. 16【解析】每个队需要进行9场比赛，则全胜得：9×2=18（分），而最后五队之间赛10场，至少共得：10×2=20（分），所以第二名的队得分至少为20×45=16（分）．第三部分15. （1）f x=sin2ωx−π6+cos2ωx=32sin2ωx+12cos2ωx=sin2ωx+π6，所以2π2ω=π，ω=1．（2）因为0≤x≤7π12，所以0≤2x≤7π6，π6≤2x+π6≤4π3，所以−32≤sin2x+π6≤1，故f x的最大值和最小值分别为：1，−32．16. （1）因为∠BAD=90∘，所以AB⊥AD，又因为AB⊥PA，且PA交AD于A，所以AB⊥平面PAD．又AB在平面ABCD内，所以平面PAD⊥平面ABCD．（2）取PA的中点F，连接BF，EF．因为E为PD的中点，所以EF∥AD，EF=12AD，又因为BC∥AD，BC=12AD，所以BC∥EF，BC=EF．所以四边形BCEF是平行四边形，EC∥BF．又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，所以CE∥平面PAB．（3）过P作PO⊥AD于O，连接OC．因为PA=PD，所以O为AD中点，又因为平面PAD⊥平面ABCD，所以 PO ⊥平面ABCD ．如图建立空间直角坐标系 O −xyz ．设 PO =a ．由题意得，A 0,1,0 ，B 1,1,0 ，C 1,0,0 ，D 0,−1,0 ，P 0,0,a ． 所以 AB= 1,0,0 ，PA = 0,1,−a ，DC = 1,1,0 ． 设平面 PAB 的法向量为 n = x ,y ,z ， 则 n ⋅AB =x =0,n ⋅PA =y −az =0, 令 z =1，则 y =a ． 所以 n = 0,a ,1 ．因为 DC 与平面 PAB 所成角为 30∘，所以 cos n ,DC = n ⋅DCn ⋅ DC =a 2+1⋅ 2=sin30∘=12，解得 a =1．所以四棱锥 P −ABCD 的体积 V P−ABCD =13×S ABCD ×PO =13×1+22×1×1=12．17. （1） 被检测的 7 台手机中有 5 台的待机时间不少于 123 小时，因此，估计 56 台A 型手机中有 56×57=40 台手机的待机时间不少于 123 小时． （2） X 可能的取值为 0，1，2，3， P X =0 =1C 74=135；P X =1 =C 31C 43C 74=1235； P X =2 =C 32C 42C 74=1835；P X =3 =C 43C 74=435． 所以，X 的分布列为：X 0123P13512351835435（3） 若A ，B 两个型号被测试手机的待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机的待机时间的方差最小时，a =124，b =125．18. （1） 函数 f x 的定义域是 0,+∞ ，导函数为 fʹ x =1x −a ⋅cos x −1 ．因为曲线y=f x在x=1处的切线的斜率是−1，所以fʹ1=−1，即1−a=−1，所以a=2．（2）因为f x在区间0,1上为增函数，所以对任意x∈0,1，都有fʹx=1x−a⋅cos x−1≥0．因为x∈0,1时，cos x−1>0，所以fʹx=1x −a⋅cos x−1≥0⇔a≤1x⋅cos x−1．令g x=x⋅cos x−1，所以gʹx=cos x−1−x⋅sin x−1．因为x∈0,1时，sin x−1<0，所以x∈0,1时，gʹx>0，g x在区间0,1上单调递增，所以g x<g1=1．所以a≤1．即a的取值范围是−∞,1．19. （1）当t=1时，将x=1代入x24+y22=1，解得：y=±62，所以 AB =6．当M为椭圆C的顶点−2,0时，M到直线x=1的距离取得最大值3，所以△MAB面积的最大值是362．（2）设A，B两点坐标分别为A t,n，B t,−n，从而t2+2n2=4．设M x0,y0，则有x02+2y02=4，x0≠t，y0≠±n．直线MA的方程为y−n=y0−nx0−tx−t，令y=0，得x=ty0−nx0y0−n ，从而 OE =ty0−nx0y0−n．直线MB的方程为y+n=y0+nx0−tx−t，令y=0，得x=ty0+nx0y0+n ，从而 OF =ty0+nx0y0+n．所以OE ⋅ OF =ty0−nx0y0−n⋅ty0+nx0y0+n=t2y02−n2x022=4−2n2y02−n24−2y02y02−n2=4y02−4n2 y02−n2=4.所以 OE ⋅ OF 为定值．20. （1）A3=1,2,3，B3=1,2,3,1,3,2,2,1,3,3,2,1．（2）考虑集合A n中的元素a1,a2,a3.⋯,a n．由已知，对任意整数i，j，1≤i<j≤n，都有a i−i≤a j−j，所以a i−i+i< a j−j +j，所以a i<a j．由i，j的任意性可知，a1,a2,a3,⋯,a n是1，2，3，⋯，n的单调递增排列，所以A n=1,2,3,⋯,n．又因为当a k=k k∈N∗,1≤k≤n时，对任意整数i，j，1≤i<j≤n，都有a i+i≤a j+j．所以1,2,3,⋯,n∈B n，所以A n⊆B n．所以集合A n∩B n的元素个数为1．（3）由（2）知，b n≠0．因为B2=1,2,2,1，所以b2=2．当n≥3时，考虑B n中的元素a1,a2,a3,⋯,a n．（i）假设a k=n1≤k<n．由已知，a k+k≤a k+1+k+1，所以a k+1≥a k+k−k+1=n−1，又因为a k+1≤n−1，所以a k+1=n−1．依此类推，若a k=n，则a k+1=n−1，a k+2=n−2，⋯，a n=k．①若k=1，则满足条件的1，2，3，⋯，n的排列a1,a2,a3,⋯,a n有1个．②若k=2，则a2=n，a3=n−1，a4=n−2，⋯，a n=2，所以a1=1．此时满足条件的1，2，3，⋯，n的排列a1,a2,a3,⋯,a n有1个．③若2<k<n，只要a1,a2,a3,⋯,a k−1是1，2，3，⋯，k−1的满足条件的一个排列，就可以相应得到1，2，3，⋯，n的一个满足条件的排列．此时，满足条件的1，2，3，⋯，n的排列a1,a2,a3,⋯,a n有b k−1个．（ii）假设a n=n，只需a1,a2,a3,⋯,a n−1是1，2，3，⋯，n−1的满足条件的排列，此时满足条件的1，2，3，⋯，n的排列a1,a2,a3,⋯,a n有b n−1个．综上b n=1+1+b2+b3+⋯+b n−1，n≥3．因为b3=1+1+b2=4=2b2，且当n≥4时，b n=1+1+b2+b3+⋯+b n−2+b n−1=2b n−1，=2．所以对任意n∈N∗，n≥3，都有b nb n−1所以b n是等比数列．。
北京市西城区2016届高三上学期期末考试理数试题(解析版)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合A={x|x＞1}，集合B={a+2}，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，1] C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【答案】A【解析】试题分析：∵A={x|x＞1}，集合B={a+2}，若A∩B=∅，∴a+2≤1，即a≤﹣1，则实数a的范围为（﹣∞，﹣1]，故选：A．考点：交集及其运算．2．下列函数中，值域为R的偶函数是（）A．y=x2+1 B．y=e x﹣e﹣x C．y=lg|x| D．y=【答案】C【解析】试题分析：y=x2+1是偶函数，值域为：[1，+∞）．y=e x﹣e﹣x是奇函数．y=lg|x|是偶函数，值域为：R．y=[0，+∞）．故选：C考点：函数奇偶性的判断．3．设命题p：“若1sin2α=，则6πα=”，命题q：“若a＞b，则11a b<”，则（）A．“p∧q”为真命题 B．“p∨q”为假命题C．“￢q”为假命题D．以上都不对【答案】B 【解析】试题分析：命题p ：“若1sin 2α=，则6πα=”是假命题， 命题q ：“若a ＞b ，则11a b<”，如：a=1，b=﹣1，故命题q 是假命题， 故p∨q 是假命题， 故选：B ．考点：复合命题的真假．4．“212*,n n n n N a a a ++∀∈=”是“数列{a n }为等比数列”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：若数列{a n }是等比数列，根据等比数列的性质得：212*,n n n n N a a a ++∀∈=，反之，若“212*,n n n n N a a a ++∀∈=”，当a n =0，此式也成立，但数列{a n }不是等比数列， ∴“212*,n n n n N a a a ++∀∈=”是“数列{a n }为等比数列”的必要不充分条件，故选B ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．5．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（ ）（A）16+ （B）16+ （C）20+ （D）20+ 【答案】B 【解析】试题分析：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱， 其底面面积为：×（1+2）×2=3， 底面周长为：高为：2，故四棱柱的表面积S=2×3+（16+， 故选：B考点：由三视图求面积、体积．6．设x ，y 满足约束条件13y x x y y m -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z=x+3y 的最大值与最小值的差为7，则实数m=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】试题分析：由约束条件13y x x y y m -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩作出可行域如图，联立13y x x y -=⎧⎨+=⎩，解得A （1，2），联立1y my x =⎧⎨-=⎩，解得B （m ﹣1，m ），化z=x+3y ，得33x zy =-+． 由图可知，当直线33x zy =-+过A 时，z 有最大值为7，当直线33x zy =-+过B 时，z 有最大值为4m ﹣1，由题意，7﹣（4m ﹣1）=7，解得：m=14．考点：简单线性规划．7．某市乘坐出租车的收费办法如下：不超过4千米的里程收费12元；超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元．相应系统收费的程序框图如图所示，其中x（单位：千米）为行驶里程，y（单位：元）为所收费用，用[x]表示不大于x的最大整数，则图中①处应填（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：由已知中，超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元．可得：当x＞4时，所收费用y=12+[x﹣4+12]×2+1=12[]52x++，考点：程序框图；分段函数的应用；函数模型的选择与应用．8．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且DE=2AE ，CF=2BF ．如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得成立，那么λ的取值范围是（ ）A ．（0，7）B ．（4，7）C ．（0，4）D ．（﹣5，16） 【答案】C 【解析】试题分析：以DC 为x 轴，以DA 为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则E （0，4），F （6，4）． （1）若P 在CD 上，设P （x ，0），0≤x≤6．∴PE =（﹣x ，4）， PF =（6﹣x ，4）． ∴PE PF ⋅=x 2﹣6x+16，∵x∈[0，6]，∴7≤PE PF ⋅≤16． ∴当λ=7时有一解，当7＜λ≤16时有两解．（2）若P 在AD 上，设P （0，y ），0≤y≤6．∴PE =（0，4﹣y ），PF =（6，4﹣y ）． ∴PE PF ⋅=（4﹣y ）2=y 2﹣8y+16，∵0≤y≤6，∴0≤PE PF ⋅≤16． ∴当λ=0或4＜λ≤16，有一解，当0＜λ≤4时有两解．（3）若P 在AB 上，设P （x ，6），0≤x≤6. PE =（﹣x ，﹣2），PF =（6﹣x ，﹣2）． ∴PE PF ⋅=x 2﹣6x+4，∵0≤x≤6．∴﹣7≤PE PF ⋅≤4． ∴当λ=﹣7时有一解，当﹣7＜λ≤2时有两解．（4）若P 在BC 上，设P （6，y ），0≤y≤6，∴PE =（﹣6，4﹣y ），PF =（0，4﹣y ）． ∴PE PF ⋅=（4﹣y ）2=y 2﹣8y+16，∵0≤y≤6，∴0≤PE PF ⋅≤16． ∴当λ=0或4＜λ≤16，有一解，当0＜λ≤4时有两解． 综上，∴0＜λ＜4．考点：平面向量数量积的运算．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知复数z 满足z （1+i ）=2﹣4i ，那么z= ． 【答案】13i -- 【解析】试题分析：由z （1+i ）=2﹣4i ，得24(24)(1)26131(1)(1)2i i i iz i i i i -----====--++-． 故答案为：﹣1﹣3i ．考点：复数代数形式的乘除运算．10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若A=B ，a=3，c=2，则cosC= ． 【答案】79【解析】试题分析：∵A=B，a=3，c=2，可得：b=3，∴cosC=2229942233a b c ab +-+-=⨯⨯=79．故答案为：79． 考点：余弦定理．11．双曲线C ：221164x y -=的渐近线方程为 ；设F 1，F 2为双曲线C 的左、右焦点，P 为C 上一点，且|PF 1|=4，则|PF 2|= ． 【答案】12y x =±,12 【解析】试题分析：双曲线C ：221164x y -=中a=4，b=2，则渐近线方程为12y x =±，由题意P 在双曲线的左支上，则|PF 2|﹣|PF 1|=2a=8， ∴|PF 2|=12 故答案为：12y x =±，12． 考点：双曲线的简单性质．12．如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，点O 为BC 的中点，以BC 为直径的半圆与AC ，AO 分别相交于点M ，N ，则AN= ；AMMC= ．2-，916【解析】试题分析：由题意，AO==， 由切割线定理可得9=AN•（+2），∴AN=． AC==5，由切割线定理可得9=AM•5，∴AM=95， ∴MC=165， ∴916AM MC =．2-，916．考点：与圆有关的比例线段．13．现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有 种．（用数字作答） 【答案】54 【解析】试题分析：第一类，把甲乙看做一个复合元素，和另外的3人分配到3个小组中（2，1，1），C 42A 33=36种， 第二类，先把另外的3人分配到3个小组，再把甲乙分配到其中2个小组，A 33C 32=18种， 根据分类计数原理可得，共有36+18=54种， 故答案为：54．考点：排列、组合的实际应用．14．某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （单位：℃）满足函数关系664,02,0kx x t x +≤⎧=⎨>⎩且该食品在4℃的保鲜时间是16小时．已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示．给出以下四个结论：①该食品在6℃的保鲜时间是8小时；②当x ∈[﹣6，6]时，该食品的保鲜时间t 随着x 增大而逐渐减少； ③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； ④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间． 其中，所有正确结论的序号是 ．【答案】①④ 【解析】试题分析：∵食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （单位：℃）满足函数关系664,02,0kx x t x +≤⎧=⎨>⎩且该食品在4℃的保鲜时间是16小时． ∴24k+6=16，即4k+6=4，解得：k=﹣12， ∴16264,02,0x x t x -+≤⎧⎪=⎨⎪>⎩，当x=6时，t=8，故①该食品在6℃的保鲜时间是8小时，正确；②当x ∈[﹣6，0]时，保鲜时间恒为64小时，当x ∈（0，6]时，该食品的保鲜时间t 随看x 增大而逐渐减少，故错误；③到了此日10时，温度超过8度，此时保鲜时间不超过4小时，故到13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故错误；④到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间，故正确， 故正确的结论的序号为：①④， 故答案为：①④．考点：命题的真假判断与应用．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知函数()cos (sin )f x x x x =+-，x ∈R ． （Ⅰ）求f （x ）的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设α＞0，若函数g （x ）=f （x+α）为奇函数，求α的最小值． 【答案】（Ⅰ）周期是π，单调递增区间为5[,]1212k k ππππ-+，k ∈Z ． 【解析】试题分析：（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数f （x ）的单调递增区间．（Ⅱ）由题意可得g （0）=0，即sin(2)03πα+=，由此求得α的最小正值．试题解析：（Ⅰ）解：2()cos (sin )sin cos 1)f x x x x x x x =+-=+-1sin 222x x ==sin(2)3x π+，所以函数f （x ）的最小正周期22T ππ==． 由222232k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z ，得51212k x k ππππ-≤≤+， 所以函数f （x ）的单调递增区间为5[,]1212k k ππππ-+，k ∈Z ． （Ⅱ）解：由题意，得()()sin(22)3g x f x x παα=+=++，因为函数g （x ）为奇函数，且x ∈R ，所以g （0）=0，即sin(2)03πα+=，所以23k παπ+=，k ∈Z ，解得26k ππα=-，k ∈Z ，验证知其符合题意． 又因为α＞0，所以α的最小值为3π．考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．16．甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分．两人4局的得分情况如下：（Ⅰ）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；（Ⅱ）如果x=y=7，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X ，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x 的所有可能取值．（结论不要求证明） 【答案】（Ⅰ）13；（Ⅱ）分布列见解析，期望为15；（Ⅲ）6，7，8．（Ⅱ）解：由题意，X的所有可能取值为13，15，16，18，…且3(13)8P X==，1(15)8P X==，3(16)8P X==，1(18)8P X==，…所以X的分布列为：所以()13151618158888E X=⨯+⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）解：x的可能取值为6，7，8考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上．（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC；（Ⅱ）若M为PD的中点，求证：ME∥平面PAB；（Ⅲ）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求的值．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；【解析】试题分析：（Ⅰ）证明AB⊥AC．EF⊥AC．推出PA⊥底面ABCD，即可说明PA⊥EF，然后证明EF⊥平面PAC．（Ⅱ）证明MF∥PA，然后证明MF∥平面PAB，EF∥平面PAB．即可证明平面MEF∥平面PAB，从而证明ME∥平面PAB．（Ⅲ）以AB，AC，AP分别为x轴、y轴和z轴，如上图建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，平面ABCD 的法向量，平面PBC的法向量，利用直线ME与平面PBC所成的角和此直线与平面ABCD所成的角相等，列出方程求解即可试题解析：（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD中，因为AB=AC，∠BCD=135°，∠ABC=45°．所以AB⊥AC．由E，F分别为BC，AD的中点，得EF∥AB，所以EF⊥AC．…因为侧面PAB⊥底面ABCD，且∠BAP=90°，所以PA⊥底面ABCD．…又因为EF⊂底面ABCD，所以PA⊥EF．…又因为PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以EF⊥平面PAC．…（Ⅱ）证明：因为M为PD的中点，F分别为AD的中点，所以MF∥PA，又因为MF⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，所以MF∥平面PAB．…同理，得EF∥平面PAB ．又因为MF∩EF=F，MF ⊂平面MEF ，EF ⊂平面MEF ，所以平面MEF∥平面PAB ．…又因为ME ⊂平面MEF ，所以ME∥平面PAB ．…（Ⅲ）解：因为PA⊥底面ABCD ，AB⊥AC，所以AP ，AB ，AC 两两垂直，故以AB ，AC ，AP分别为x 轴、y 轴和z 轴，如上图建立空间直角坐标系，则A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2，0），P （0，0，2），D （﹣2，2，0），E （1，1，0）， 所以(2,0,2)PB =-，(2,2,2)PD =--，(2,2,0)BC =-，… 设([0,1])PM PDλλ=∈，则(2,2,2)PM λλλ=--， 所以M （﹣2λ，2λ，2﹣2λ），(12,12,22)ME λλλ=+--，易得平面ABCD 的法向量m =（0，0，1）．…设平面PBC 的法向量为n =（x ，y ，z ），由0n BC ⋅=，0n PB ⋅=，得220220x y x z -+=⎧⎨-=⎩令x=1，得n =（1，1，1）．…因为直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等， 所以cos ,cos ,ME m ME n <>=<>，即ME m ME n ME m ME n ⋅⋅=⋅⋅，所以2λ解得λ=，或λ=（舍）．考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．18．已知函数f（x）=x2﹣1，函数g（x）=2tlnx，其中t≤1．（Ⅰ）如果函数f（x）与g（x）在x=1处的切线均为l，求切线l的方程及t的值；（Ⅱ）如果曲线y=f（x）与y=g（x）有且仅有一个公共点，求t的取值范围．【答案】【解析】试题分析：（Ⅰ）分别求得f（x），g（x）的导数，求得切线的斜率，解方程可得t=1，即可得到切线的斜率和切点坐标，可得切线的方程；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），“曲线y=f（x）与y=g（x）有且仅有一个公共点”等价于“函数y=h（x）有且仅有一个零点”．对h（x）求导，讨论①当t≤0时，②当t=1时，③当0＜t＜1时，求出单调区间，即可得到零点和所求范围．试题解析：（Ⅰ）求导，得f′（x）=2x，2'()tg xx=，（x＞0）．由题意，得切线l的斜率k=f′（1）=g′（1），即k=2t=2，解得t=1．又切点坐标为（1，0），所以切线l的方程为2x﹣y﹣2=0；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣1﹣2tlnx，x∈（0，+∞）．“曲线y=f（x）与y=g（x）有且仅有一个公共点”等价于“函数y=h（x）有且仅有一个零点”．求导，得2222'()2t x th x xx x-=-=．①当t≤0时，由x∈（0，+∞），得h'（x）＞0，所以h （x ）在（0，+∞）单调递增．又因为h （1）=0，所以y=h （x ）有且仅有一个零点1，符合题意．②当t=1时，当x 变化时，h'（x ）与h （x ）的变化情况如下表所示：所以h （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以当x=1时，h （x ）min =h （1）=0，故y=h （x ）有且仅有一个零点1，符合题意．③当0＜t ＜1时，令h'（x ）=0，解得x =．当x 变化时，h'（x ）与h （x ）的变化情况如下表所示：所以h （x ）在上单调递减，在)+∞上单调递增，所以当x =时，min ()h x h ==．因为h （1）=01<，且h （x ）在)+∞上单调递增，所以(1)0h h <=．又因为存在12(0,1)t e -∈，111122()12ln 0t t t th e e t e e ----=--=>， 所以存在x 0∈（0，1）使得h （x 0）=0，所以函数y=h （x ）存在两个零点x 0，1，与题意不符．综上，曲线y=f （x ）与y=g （x ）有且仅有一个公共点时，t 的范围是{t|t≤0，或t=1}．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查函数的零点问题的解法，注意运用构造法，通过导数求得单调性，同时考查分类讨论的思想方法，属于中档题．19．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，点A 在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与l 相交两点P 1，P 2（两点均不在坐标轴上），且使得直线OP 1，OP 2的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）当圆的方程为x 2+y 2=5时，圆与l 的交点P 1，P 2满足斜率之积k 1k 2为定值14-． 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用离心率列出方程，通过点在椭圆上列出方程，求出a ，b 然后求出椭圆的方程． （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，验证直线OP 1，OP 2的斜率之积．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y=kx+m 与椭圆联立，利用直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，推出m 2=4k 2+1，通过直线与圆的方程的方程组，设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），结合韦达定理，求解直线的斜率乘积，推出k 1•k 2为定值即可．试题解析：（Ⅰ）解：由题意，得c a =a 2=b 2+c 2，…又因为点A 在椭圆C 上， 所以221314a b+=，解得a=2，b=1，c =所以椭圆C 的方程为2214x y +=．… （Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为x 2+y 2=5．…证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为x 2+y 2=r 2（r ＞0）．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y=kx+m ．…由方程组2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得（4k 2+1）x 2+8kmx+4m 2﹣4=0，… 因为直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，所以2221(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-=，即m 2=4k 2+1．… 由方程组222y kx m x y r=+⎧⎨+=⎩得（k 2+1）x 2+2kmx+m 2﹣r 2=0，… 则22222(2)4(1)()0km k m r ∆=-+->．设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），则12221km x x k -+=+，221221m r x x k -=+，… 设直线OP 1，OP 2的斜率分别为k 1，k 2， 所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x M k k x x x x x x +++++=== 222222222222222111m r km k km m m r k k k m r m rk --⋅+⋅+-++==--+，… 将m 2=4k 2+1代入上式，得221222(4)14(1)r k k k k r -+=+-． 要使得k 1k 2为定值，则224141r r-=-，即r 2=5，验证符合题意． 所以当圆的方程为x 2+y 2=5时，圆与l 的交点P 1，P 2满足k 1k 2为定值14-．… 当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为x=±2，此时，圆x 2+y 2=5与l 的交点P 1，P 2也满足1214k k =-． 综上，当圆的方程为x 2+y 2=5时，圆与l 的交点P 1，P 2满足斜率之积k 1k 2为定值14-． 考点：圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程．20．在数字1，2，…，n （n≥2）的任意一个排列A ：a 1，a 2，…，a n 中，如果对于i ，j ∈N *，i ＜j ，有a i ＞a j ，那么就称（a i ，a j ）为一个逆序对．记排列A 中逆序对的个数为S （A ）．如n=4时，在排列B ：3，2，4，1中，逆序对有（3，2），（3，1），（2，1），（4，1），则S （B ）=4．（Ⅰ）设排列 C ：3，5，6，4，1，2，写出S （C ）的值；（Ⅱ）对于数字1，2，…，n 的一切排列A ，求所有S （A ）的算术平均值；（Ⅲ）如果把排列A ：a 1，a 2，…，a n 中两个数字a i ，a j （i ＜j ）交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列A'：b 1，b 2，…，b n ，求证：S （A ）+S （A'）为奇数．【答案】（Ⅰ）10；（Ⅱ）(1)4n n -；（Ⅲ）证明见解析．所以1(1)()()2n n S D S D -+=． 所以排列D 与D 1的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -． 而对于数字1，2，…，n 的任意一个排列A ：a 1，a 2，…，a n ，都可以构造排列A 1：a n ，a n ﹣1，…，a 2，a 1， 且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -． 所以所有S （A ）的算术平均值为．（Ⅲ）证明：（1）当j=i+1，即a i ，a j 相邻时，不妨设a i ＜a i+1，则排列A'为a 1，a 2，…，a i ﹣1，a i+1，a i ，a i+2，…，a n ，此时排列A'与排列A ：a 1，a 2，…，a n 相比，仅多了一个逆序对（a i+1，a i ），所以S （A'）=S （A ）+1，所以S（A）+S（A'）=2S（A）+1为奇数．（2）当j≠i+1，即a i，a j不相邻时，假设a i，a j之间有m个数字，记排列A：a1，a2，…，a i，k1，k2，…k m，a j，…，a n，先将a i向右移动一个位置，得到排列A1：a1，a2，…，a i﹣1，k1，a i，k2，…，k m，a j，…，a n，由（1）知S（A1）与S（A）的奇偶性不同，再将a i向右移动一个位置，得到排列A2：a1，a2，…，a i﹣1，k1，k2，a i，k3，…，k m，a j，…，a n，由（1）知S（A2）与S（A1）的奇偶性不同，以此类推，a i共向右移动m次，得到排列A m：a1，a2，…，k1，k2，…，k m，a i，a j，…，a n，再将a j向左移动一个位置，得到排列A m+1：a1，a2，…，a i﹣1，k1，…，k m，a j，a i，…，a n，以此类推，a j共向左移动m+1次，得到排列A2m+1：a1，a2，…，a j，k1，…，k m，a i，…，a n，即为排列A'，由（1）可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化，而排列A经过2m+1次的前后两数交换位置，可以得到排列A'，所以排列A与排列A'的逆序数的奇偶性不同，所以S（A）+S（A'）为奇数．综上，得S（A）+S（A'）为奇数．考点：数列与函数的综合．：。
2016年北京市西城区高一数学期末试题.doc
北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高一数学2016.1试卷满分：150分考试时间：120分钟A卷[必修模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11. sin45π= _____. 12. 如图所示，D 为ABC △中BC 边的中点，设AB =a ，AC =b ， 则BD =_____.（用a ，b 表示）13. 角α终边上一点的坐标为(1,2)，则tan 2α=_____. 14. 设向量(0,2),a b ==，则,a b 的夹角等于_____. 15. 已知(0,)α∈π，且cos sin8απ=-，则α=_____. 16. 已知函数()sin f x x ω=（其中0ω>）图象过(,1)π-点，且在区间(0,)3π上单调递增，则ω的值为_______.三、解答题：本大题共3小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.ABCD17．（本小题满分12分）已知2απ∈π(,)，且3sin 5α=. （Ⅰ）求tan()4απ-的值；（Ⅱ）求sin2cos 1cos 2ααα-+的值．18．（本小题满分12分）如图所示，C B ，两点是函数()sin(2)3f x A x π=+（0>A ）图象上相邻的两个最高点，D 点为函数)(x f 图象与x 轴的一个交点. （Ⅰ）若2=A ，求)(x f 在区间[0,]2π上的值域；（Ⅱ）若CD BD ⊥，求A 的值．19．（本小题满分12分）如图，在ABC △中，1AB AC ==，120BAC ∠=. （Ⅰ）求AB BC ⋅的值；（Ⅱ）设点P 在以A 为圆心，AB 为半径的圆弧BC 上运动，且AP x AB y AC =+，其中,x y ∈R . 求xy 的最大值.ACPB 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在题中横线上. 1．设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则U A B =ð_____．2．2log =_____，31log 23+=_____．3．已知函数()f x =1,2, 1.x x x x ⎧-⎪⎨⎪<⎩≥1,且()(2)0f a f +=，则实数a = _____．4．已知函数)(x f 是定义在R 上的减函数，如果()(1)f a f x >+在[1,2]x ∈上恒成立，那么实数a 的取值范围是_____．5． 通过实验数据可知，某液体的蒸发速度y (单位：升/小时)与液体所处环境的温度x (单位：℃)近似地满足函数关系e kx b y +=（e 为自然对数的底数，,k b 为常数). 若该液体在0℃的蒸发速度是0.1升/小时，在30℃的蒸发速度为0.8升/小时，则该液体在20℃的蒸发速度为_____升/小时．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分10分）已知函数26()1xf x x =+. （Ⅰ）判断函数)(x f 的奇偶性，并证明你的结论； （Ⅱ）求满足不等式(2)2x x f >的实数x 的取值范围． 7．（本小题满分10分）设a 为实数，函数2()2f x x ax =-．（Ⅰ）当1a =时，求()f x 在区间[0,2]上的值域；（Ⅱ）设函数()()g x f x =，()t a 为()g x 在区间[0,2]上的最大值，求()t a 的最小值. 8．（本小题满分10分）设函数()f x 定义域为[0,1]，若()f x 在*[0,]x 上单调递增，在*[,1]x 上单调递减，则称*x 为函数()f x 的峰点，()f x 为含峰函数．（特别地，若()f x 在[0,1]上单调递增或递减，则峰点为1或0）对于不易直接求出峰点*x 的含峰函数，可通过做试验的方法给出*x 的近似值. 试验原理为：“对任意的1x ，2(0,1)x ∈，12x x <，若)()(21x f x f ≥，则),0(2x 为含峰区间，此时称1x 为近似峰点；若12()()f x f x <，则)1,(1x 为含峰区间，此时称2x 为近似峰点”．我们把近似峰点与*x 之间可能出现．．．．的最大距离称为试验的“预计误差”，记为d ，其值为=d }}1,m ax {},,m ax {m ax {212121x x x x x x ---（其中},max{y x 表示y x ,中较大的数）． （Ⅰ）若411=x ，212=x ．求此试验的预计误差d ． （Ⅱ）如何选取1x 、2x ，才能使这个试验方案的预计误差达到最小？并证明你的结论（只证明1x 的取值即可）．（Ⅲ）选取1x ，2(0,1)x ∈，12x x <，可以确定含峰区间为2(0,)x 或1(,1)x . 在所得的含峰区间内选取3x ，由3x 与1x 或3x 与2x 类似地可以进一步得到一个新的预计误差d '．分别求出当411=x 和125x =时预计误差d '的最小值．（本问只写结果，不必证明）。
北京市西城区2016届高三上学期期末考试数学理试题(WORD精校版)
所以 g (0)0 ，即sin(2π,,,,,,11 分) 0 ，3所以 2πkπ， k Z ，3解得kπ πZ ，验证知其符合题意. 2， k6又因为0 ，所以π,,,,,,13 分的最小值为.316．〔本小题总分值13 分〕〔Ⅰ〕解：记“从甲的 4 局比赛中，随机选取 2 局，且这 2 局的得分恰好相等〞为事件 A ，,,,,,, 1 分由题意，得P( A)21，23C 4所以从甲的 4 局比赛中，随机选取 2 局，且这14 分2 局得分恰好相等的概率为. ,,3〔Ⅱ〕解：由题意， X 的所有可能取值为13，15 ，16， 18，,,,,,, 5 分且 P(X 13)3，P(X15)1，P(X16)3，P(X18)1，,,,,,,7 分8888所以 X 的分布列为：X13151618P 31318888,,,,,,8分所以 E(X )13315116318115 .,,,,,,10分8888〔Ⅲ〕解： x 的可能取值为 6 ， 7， 8.,,,,,,13 分17．〔本小题总分值14 分〕〔Ⅰ〕证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB AC ，BCD 135 ，所以 AB AC.由 E,F 分别为BC, AD 的中点，得EF // AB，所以 EF AC.,,,,,, 1 分，又因为 EF底面 ABCD ，所以 PA EF .,,,,,, 3 分又因为 PA AC A， PA平面 PAC ， AC平面 PAC ，所以 EF平面 PAC .,,,,,, 4 分〔Ⅱ〕证明：因为 M 为 PD 的中点， F 分别为 AD 的中点，所以 MF //PA ，又因为 MF平面 PAB ， PA平面 PAB ，z所以 MF // 平面 PAB.,,,,,, 5 分P同理，得 EF // 平面PAB .M 又因为MF EF =F，MF平面MEF，EF平面MEF，A D 所以平面 MEF // 平面 PAB.,,,,,,7 分F 又因为 ME平面 MEF ，B E C所以 ME // 平面 PAB.,,,,,,9 分x y〔Ⅲ〕解：因为 PA底面 ABCD ， AB AC ，所以AP, AB,AC 两两垂直，故以AB, AC, AP分别为 x 轴、y轴和z轴，如上图建立空间直角坐标系，则A(0,0,0), B(2,0,0), C(0,2,0), P(0,0,2), D( 2,2,0), E(1,1,0) ，所以 PB(2,0,2)， PD( 2,2,2)， BC(2,2,0)，,,,,,,10 分设 PM([0,1])，那么PM(2 ,2, 2) ，PD所以 M( 2 ,2,2 2 )，ME(12,12,22)，易得平面 ABCD 的法向量m(0,0,1).,,,,,,11 分设平面 PBC 的法向量为n( x, y, z) ，由 n BC0 ，n PB 0 ，得2x 2 y0, 2 x 2 z 0,令 x 1,得n(1,1,1).,,,,,,12 分因为直线ME 与平面PBC所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等，所以 | cos ME ,m | |cos ME, n|，即|MEm || ME n | ，,,,,,,13 分又因为 EF底面 ABCD ，所以 PA EF .,,,,,, 3 分又因为 PA AC A， PA平面 PAC ， AC平面 PAC ，所以 EF平面 PAC .,,,,,, 4 分〔Ⅱ〕证明：因为 M 为 PD 的中点， F 分别为 AD 的中点，所以 MF //PA ，又因为 MF平面 PAB ， PA平面 PAB ，z所以 MF // 平面 PAB.,,,,,, 5 分P同理，得 EF // 平面PAB .M 又因为MF EF =F，MF平面MEF，EF平面MEF，A D 所以平面 MEF // 平面 PAB.,,,,,,7 分F 又因为 ME平面 MEF ，B E C所以 ME // 平面 PAB.,,,,,,9 分x y〔Ⅲ〕解：因为 PA底面 ABCD ， AB AC ，所以AP, AB,AC 两两垂直，故以AB, AC, AP分别为 x 轴、y轴和z轴，如上图建立空间直角坐标系，则A(0,0,0), B(2,0,0), C(0,2,0), P(0,0,2), D( 2,2,0), E(1,1,0) ，所以 PB(2,0,2)， PD( 2,2,2)， BC(2,2,0)，,,,,,,10 分设 PM([0,1])，那么PM(2 ,2, 2) ，PD所以 M( 2 ,2,2 2 )，ME(12,12,22)，易得平面 ABCD 的法向量m(0,0,1).,,,,,,11 分设平面 PBC 的法向量为n( x, y, z) ，由 n BC0 ，n PB 0 ，得2x 2 y0, 2 x 2 z 0,令 x 1,得n(1,1,1).,,,,,,12 分因为直线ME 与平面PBC所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等，所以 | cos ME ,m | |cos ME, n|，即|MEm || ME n | ，,,,,,,13 分又因为 EF底面 ABCD ，所以 PA EF .,,,,,, 3 分又因为 PA AC A， PA平面 PAC ， AC平面 PAC ，所以 EF平面 PAC .,,,,,, 4 分〔Ⅱ〕证明：因为 M 为 PD 的中点， F 分别为 AD 的中点，所以 MF //PA ，又因为 MF平面 PAB ， PA平面 PAB ，z所以 MF // 平面 PAB.,,,,,, 5 分P同理，得 EF // 平面PAB .M 又因为MF EF =F，MF平面MEF，EF平面MEF，A D 所以平面 MEF // 平面 PAB.,,,,,,7 分F 又因为 ME平面 MEF ，B E C所以 ME // 平面 PAB.,,,,,,9 分x y〔Ⅲ〕解：因为 PA底面 ABCD ， AB AC ，所以AP, AB,AC 两两垂直，故以AB, AC, AP分别为 x 轴、y轴和z轴，如上图建立空间直角坐标系，则A(0,0,0), B(2,0,0), C(0,2,0), P(0,0,2), D( 2,2,0), E(1,1,0) ，所以 PB(2,0,2)， PD( 2,2,2)， BC(2,2,0)，,,,,,,10 分设 PM([0,1])，那么PM(2 ,2, 2) ，PD所以 M( 2 ,2,2 2 )，ME(12,12,22)，易得平面 ABCD 的法向量m(0,0,1).,,,,,,11 分设平面 PBC 的法向量为n( x, y, z) ，由 n BC0 ，n PB 0 ，得2x 2 y0, 2 x 2 z 0,令 x 1,得n(1,1,1).,,,,,,12 分因为直线ME 与平面PBC所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等，所以 | cos ME ,m | |cos ME, n|，即|MEm || ME n | ，,,,,,,13 分又因为 EF底面 ABCD ，所以 PA EF .,,,,,, 3 分又因为 PA AC A， PA平面 PAC ， AC平面 PAC ，所以 EF平面 PAC .,,,,,, 4 分〔Ⅱ〕证明：因为 M 为 PD 的中点， F 分别为 AD 的中点，所以 MF //PA ，又因为 MF平面 PAB ， PA平面 PAB ，z所以 MF // 平面 PAB.,,,,,, 5 分P同理，得 EF // 平面PAB .M 又因为MF EF =F，MF平面MEF，EF平面MEF，A D 所以平面 MEF // 平面 PAB.,,,,,,7 分F 又因为 ME平面 MEF ，B E C所以 ME // 平面 PAB.,,,,,,9 分x y〔Ⅲ〕解：因为 PA底面 ABCD ， AB AC ，所以AP, AB,AC 两两垂直，故以AB, AC, AP分别为 x 轴、y轴和z轴，如上图建立空间直角坐标系，则A(0,0,0), B(2,0,0), C(0,2,0), P(0,0,2), D( 2,2,0), E(1,1,0) ，所以 PB(2,0,2)， PD( 2,2,2)， BC(2,2,0)，,,,,,,10 分设 PM([0,1])，那么PM(2 ,2, 2) ，PD所以 M( 2 ,2,2 2 )，ME(12,12,22)，易得平面 ABCD 的法向量m(0,0,1).,,,,,,11 分设平面 PBC 的法向量为n( x, y, z) ，由 n BC0 ，n PB 0 ，得2x 2 y0, 2 x 2 z 0,令 x 1,得n(1,1,1).,,,,,,12 分因为直线ME 与平面PBC所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等，所以 | cos ME ,m | |cos ME, n|，即|MEm || ME n | ，,,,,,,13 分又因为 EF底面 ABCD ，所以 PA EF .,,,,,, 3 分又因为 PA AC A， PA平面 PAC ， AC平面 PAC ，所以 EF平面 PAC .,,,,,, 4 分〔Ⅱ〕证明：因为 M 为 PD 的中点， F 分别为 AD 的中点，所以 MF //PA ，又因为 MF平面 PAB ， PA平面 PAB ，z所以 MF // 平面 PAB.,,,,,, 5 分P同理，得 EF // 平面PAB .M 又因为MF EF =F，MF平面MEF，EF平面MEF，A D 所以平面 MEF // 平面 PAB.,,,,,,7 分F 又因为 ME平面 MEF ，B E C所以 ME // 平面 PAB.,,,,,,9 分x y〔Ⅲ〕解：因为 PA底面 ABCD ， AB AC ，所以AP, AB,AC 两两垂直，故以AB, AC, AP分别为 x 轴、y轴和z轴，如上图建立空间直角坐标系，则A(0,0,0), B(2,0,0), C(0,2,0), P(0,0,2), D( 2,2,0), E(1,1,0) ，所以 PB(2,0,2)， PD( 2,2,2)， BC(2,2,0)，,,,,,,10 分设 PM([0,1])，那么PM(2 ,2, 2) ，PD所以 M( 2 ,2,2 2 )，ME(12,12,22)，易得平面 ABCD 的法向量m(0,0,1).,,,,,,11 分设平面 PBC 的法向量为n( x, y, z) ，由 n BC0 ，n PB 0 ，得2x 2 y0, 2 x 2 z 0,令 x 1,得n(1,1,1).,,,,,,12 分因为直线ME 与平面PBC所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等，所以 | cos ME ,m | |cos ME, n|，即|MEm || ME n | ，,,,,,,13 分又因为 EF底面 ABCD ，所以 PA EF .,,,,,, 3 分又因为 PA AC A， PA平面 PAC ， AC平面 PAC ，所以 EF平面 PAC .,,,,,, 4 分〔Ⅱ〕证明：因为 M 为 PD 的中点， F 分别为 AD 的中点，所以 MF //PA ，又因为 MF平面 PAB ， PA平面 PAB ，z所以 MF // 平面 PAB.,,,,,, 5 分P同理，得 EF // 平面PAB .M 又因为MF EF =F，MF平面MEF，EF平面MEF，A D 所以平面 MEF // 平面 PAB.,,,,,,7 分F 又因为 ME平面 MEF ，B E C所以 ME // 平面 PAB.,,,,,,9 分x y〔Ⅲ〕解：因为 PA底面 ABCD ， AB AC ，所以AP, AB,AC 两两垂直，故以AB, AC, AP分别为 x 轴、y轴和z轴，如上图建立空间直角坐标系，则A(0,0,0), B(2,0,0), C(0,2,0), P(0,0,2), D( 2,2,0), E(1,1,0) ，所以 PB(2,0,2)， PD( 2,2,2)， BC(2,2,0)，,,,,,,10 分设 PM([0,1])，那么PM(2 ,2, 2) ，PD所以 M( 2 ,2,2 2 )，ME(12,12,22)，易得平面 ABCD 的法向量m(0,0,1).,,,,,,11 分设平面 PBC 的法向量为n( x, y, z) ，由 n BC0 ，n PB 0 ，得2x 2 y0, 2 x 2 z 0,令 x 1,得n(1,1,1).,,,,,,12 分因为直线ME 与平面PBC所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等，所以 | cos ME ,m | |cos ME, n|，即|MEm || ME n | ，,,,,,,13 分。
北京市西城区2016届高三二模数学(理)试题【含答案】
北京市西城区2015-2016学年度第二学期高三综合练习（二）数学（理科）2016．5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设全集U =R ，集合{}02A x x =<<，{}1B x x =<，则集合()U C A B =（ ）A ．(),0-∞B ．(],0-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞ 2．若复数z 满足23z z i i +⋅=+，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若()1s i n343A B a c +===，，则sin A =（ ）A ．23B ．14C ．34D ．164．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ） A ．2 BC ．3 D．5．“a b c d 、、、成等差数列”是“a d b c +=+”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．某市家庭煤气的使用量()3x m 和煤气费()f x （元）满足关系()()0C x A f x C B x A x A <≤⎧⎪=⎨+->⎪⎩，，，已知家庭今年前三个月的煤气费如下表：若四月份该家庭使用了320m 的煤气，则其煤气费为（ ）A ．11．5 元B ．11元C ．10．5元D ．10元7．如图，点A B 、在函数2log 2y x =+的图像上，点C 在函数2log y x =的图像上，若ABC ∆为等边三角形，且直线//BC y 轴，设点A 的坐标为()mn ，，则m =（ ） A ．2 B ．3 CD8．设直线:340l x y a ++=圆()22:22C x y -+=，若在圆C 上存在两点P Q ，，在直线l 上存在一点M ，使得90∠=PMQ ，则a 的取值范围是（ ）A ．[]18,6- B．6⎡-+⎣ C ．[]16,4- D．66⎡---+⎣二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．在62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项等于 ．10．设x y ，满足约束条件2110y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =+的最大值为 ．11．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 ． 12．设双曲线C 的焦点在x轴上，渐近线方程为2y x =±， 则其离心率为 ；若点()42，在C 上，则双曲线C 的方程为 ．13．如图，ABC ∆为圆内接三角形，BD 为圆的弦，且//BD AC ，过点A 做圆的切线与BD 的延长线交于点E ，AD 与BC 交于点F ，若45AB AC BD ===，，则AFAD= , AE = ．14．在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度进行评优．若A 电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B 电影，则称A 电影不亚于B 电影．已知共有10部微电影参展，如果某部电影不亚于其他9部电影，就称此部电影为优秀影片．那么在这10部微电影中，最多可能有 部优秀影片．三、解答题:本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()()21cos f x x x =．（Ⅰ）若α为第二象限角，且sin α=，求()f α的值； （Ⅱ）求函数()f x 的定义域和值域．16．（本小题满分13分）某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：[)010，，[)1020，，[)2030，，[)3040，，[]4050，，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）写出a 的值；（Ⅱ）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（Ⅲ）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用X 表示其中初中生的人数，求X 的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）如图，正方形ABCD 的边长为4，E F 、分别为BC DA 、的中点，将正方形ABCD 沿着线段EF 折起，使得60DFA ∠=，设G 为AF 的中点． （Ⅰ）求证：DG EF ⊥；（Ⅱ）求直线GA 与平面BCF 所成角的正弦值；（Ⅲ）设P Q 、分别为线段DG CF 、上一点，且//PQ 平面ABEF ，求线段PQ 长度的最小值．设a R ∈，函数()()2x af x x a -=+．（Ⅰ）若函数()f x 在()()00f ，处的切线与直线32y x =-平行，求a 的值； （Ⅱ）若对于定义域内的任意1x ，总存在2x 使得()()21f x f x <，求a 的取值范围．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形，且其周长为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设过点()()00B m m >，的直线l 与椭圆C 相交于E F 、两点，点B 关于原点的对称点为D ，若点D 总在以线段EF 为直径的圆内，求m 的取值范围．已知任意的正整数n 都可唯一表示为1100112222kk k k n a a a a --=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅，其中{}012101k a a a a k N =⋅⋅⋅∈∈，，，，，．对于n N *∈，数列{}n b 满足：当012k a a a a ⋅⋅⋅，，，中有偶数个1时，0n b =；否则1n b =．如数5可以唯一表示为2105120212=⨯+⨯+⨯，则50b =． （Ⅰ）写出数列{}n b 的前8项；（Ⅱ）求证：数列{}n b 中连续为1的项不超过2项；（Ⅲ）记数列{}n b 的前n 项和为n S ，求满足1026n S =的所有n 的值（结论不要求证明）．北京市西城区2016年高三二模试卷参考答案及评分标准高三数学（理科） 2016.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．A 3．B 4．C 5．A 6．A 7．D 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．160 10．7311．527 12 22184x y -=13．456 14．10 注：第12，13题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为 α是第二象限角，且sin α所以cos α==. ………………2分所以sin tan cos ααα== ………………4分所以2()(1f α==. ………………6分 （Ⅱ）解：函数()f x 的定义域为{|x x ∈R ，且ππ,}2x k k ≠+∈Z . ………………8分化简，得2()(1)cos f x x x =2(1x =2cos cos x x x =1cos 222x x +=………………10分 π1sin(2)62x =++， ………………12分 因为x ∈R ，且ππ2x k ≠+，k ∈Z ，所以π7π22π66x k +≠+， 所以1π1sin(2)6x -+≤≤.所以函数()f x 的值域为13[,]22-. ………………13分（注：或许有人会认为“因为ππ2x k ≠+，所以()0f x ≠”，其实不然，因为π()06f -=.）16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：0.03a =. ………………3分 （Ⅱ）解：由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名. ………………4分 因为初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为(0.020.005)100.25+⨯=， 所以所有的初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生约有0.251800450⨯=人， ………………6分同理，高中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为(0.030.005)100.35+⨯=，学生人数约有0.351200420⨯=人.所以该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有450420870+=人. ………………8分（Ⅲ）解：初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为0.005100.05⨯=，样本人数为0.05603⨯=人.同理，高中生中，阅读时间不足10个小时的学生样本人数为(0.00510)402⨯⨯=人. 故X 的可能取值为1，2，3. ………………9分则 123235C C 3(1)C 10P X ⋅===， 213235C C 3(2)C 5P X ⋅===， 3335C 1(3)C 10P X ===. 所以X 的分布列为：……………… 12分 所以3319()123105105E X =⨯+⨯+⨯=. ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为正方形ABCD 中，,E F 分别为,BC DA 的中点，又因为FD FA F =，所以EF ⊥平面DFA . ………………2分 又因为DG ⊂平面DFA ，所以DG EF ⊥. ………………4分 （Ⅱ）解：因为60DFA ∠=，DF FA =，AG GF =， 所以DFA ∆为等边三角形，且DG FA ⊥. 又因为DG EF ⊥，EFFA F =，所以DG ⊥平面ABEF . ………………5分设BE 的中点为H ，连接GH ，则,,GA GH GD 两两垂直，故以,,GA GH GD 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)G ，(1,0,0)A ，(1,4,0)B，(0,C ，(1,0,0)F -，所以(1,0,0)GA =,(1BC =-，(2,4,0)BF =--. ………………6分 设平面BCF 的一个法向量为(,,)x y z =m ， 由0BC ⋅=m ，0BF ⋅=m，得0,240,x x y ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩ 令2z =，得2)=m . (7)设直线GA 与平面BCF 所成角为α， 则||257sin |cos ,|19||||GA GA GA α⋅=<>==m m m .即直线GA 与平面BCF 19. ………………9分（Ⅲ）由题意，可设(0,0,)(0P k k ≤，(01)FQ FC λλ=≤≤， 由(1,FC =，得(,4)FQ λλ=，所以(1,4)Q λλ-，(1,4)PQ k λλ--=. ………………10分 由（Ⅱ），得GD =为平面ABEF 的法向量. 因为//PQ 平面ABEF ，所以0GD PQ ⋅=0k -=. ………………11分 所以||(PQ λ==，………………12分 又因为221172117()171716λλλ-+=-+，所以当117λ=时，min ||17PQ =.所以当117λ=，17k =PQ 长度有最小值17. ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：函数()y f x =的定义域{|}D x x x a =∈≠-R 且， ………………1分由题意，(0)f '有意义，所以0a ≠.求导，得244()()2()()(3)()()()x a x a x a x a x a f x x a x a +--⋅++⋅-'==-++. ………………3分 由题意，得243(0)3a f a'==，解得1a =±.验证知1a =±符合题意. ………………5分（Ⅱ）解：“对于定义域内的任意1x ，总存在2x 使得21()()f x f x <”等价于“()f x 不存在最小值”． ………………6分① 当0a =时， 由1()f x x=，得()f x 无最小值，符合题意． ………………7分 ② 当0a >时， 令4()(3)()0()x a x a f x x a +⋅-'=-=+，得x a =- 或 3x a =. ………………8分随着x 的变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下：所以函数()f x 的单调递减区间为(,)a -∞-，(3,)a +∞，单调递增区间为(,3)a a -．………………9分因为当x a >时，2()0()x af x x a -=>+，当x a <时，()0f x <，所以只要考虑1(,)x a ∈-∞，且1x a ≠-即可． 当1(,)x a ∈-∞-时，由()f x 在(,)a -∞-上单调递减，且1111||2x x x a a <++<-， 得1111()(||)2f x f x x a >++， 所以存在2111||2x x x a =++，使得21()()f x f x <，符合题意； 同理，当1(,)x a a ∈-时，令2111||2x x x a =-+， 得21()()f x f x <，也符合题意；故当0a >时，对于定义域内的任意1x ，总存在2x 使得21()()f x f x <成立．………11分 ③ 当0a <时，随着x 的变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表：所以函数()f x 的单调递减区间为(,3)a -∞，(,)a -+∞，单调递增区间为(3,)a a -．因为当x a >时，2()0()x af x x a -=>+，当x a <时，()0f x <，所以min ()(3)f x f a =．所以当13x a =时，不存在2x 使得21()()f x f x <．综上所述，a 的取值范围为[0,)a ∈+∞. ………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，得：4,a b c ⎧⎪⎨⎪⎩== ………………2分 又因为222c b a +=解得a 1b =，1c =， ………………4分所以椭圆C 的方程为1222=+y x . ………………5分（Ⅱ）解：（方法一）当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为0=x ，此时E ，F 为椭圆的上下顶点，且2=EF ，因为点(0,)D m -总在以线段EF 为直径的圆内，且0m >， 所以10<<m .故点B 在椭圆内. ………………6分 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为m kx y +=.由方程组22,1,2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(21)4220k x kmx m +++-=， ………………8分 因为点B 在椭圆内，所以直线l 与椭圆C 有两个公共点，即0)22)(12(4)4(222>-+-=∆m k km . 设),(),,(2211y x F y x E ，则122421km x x k -+=+，21222221m x x k -=+. ………………9分 设EF 的中点),(00y x G ， 则12222210+-=+=k kmx x x ，12200+=+=k m m kx y ， 所以)12,122(22++-k mk km G . ………………10分 所以2222)12()122(m k m k km DG ++++-=124124224+++=k k k m ， 2122124)(1x x x x k EF -++=12121222222+-++=k m k k . ………………11分因为点D 总在以线段EF 为直径的圆内， 所以2EF DG <对于k ∈R 恒成立.所以 1212121241242222224+-++<+++k m k k k k k m . 化简，得1323722422242++<++k k m k m k m ，整理，得31222++<k k m ， ………………13分而2221221()113333k g k k k +==--=++≥（当且仅当0=k 时等号成立）.所以312<m ，由0>m ，得330<<m . 综上，m 的取值范围是330<<m . ………………14分（方法二）… …则122421kmx x k -+=+，21222221m x x k -=+. …………………9分因为点D 总在以线段EF 为直径的圆内，所以0DE DF ⋅<. ………………11分 因为11(,)DE x y m =+，22(,)DF x y m =+， 所以2121212()DE DF x x y y m y y m ⋅=++++2121212()()()x x kx m kx m m kx m kx m m =++++++++ 221212(1)2()4k x x km x x m =++++22222224(1)2402121m kmk km m k k --=+++<++，整理，得31222++<k k m . ………………13分（以下与方法一相同，略）20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：1，1，0，1，0，0，1，1. ………………3分 （Ⅱ）证明：设数列{}n b 中某段连续为1的项从m b 开始，则1m b =．由题意，令1100112222k k k k m a a a a --=⋅+⋅++⋅+⋅，则01,,,k a a a 中有奇数个1．（1）当01,,,k a a a 中无0时，因为1102222k k m -=++++，所以111011202020202k kk m +-+=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯， 111021202020212k k k m +-+=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯．所以1m b =，11m b +=，20m b +=，此时连续2项为1． ………………5分（2）当01,,,k a a a 中有0时，① 若0k a =，即11001122202k k k m a a a --=⋅+⋅++⋅+⨯，则110011122212k k k m a a a --+=⋅+⋅++⋅+⨯，因为01,,,k a a a 中有奇数个1，所以10m b +=，此时连续1项为1． ………………7分② 若1k a =，即111001 122202121212ik k s s s m a a --=⋅+⋅++⨯+⨯++⨯+⨯连续个乘以，则111001 0212212020202ik k s s s m a a --+=⋅+⋅++⨯+⨯++⨯+⨯连续个乘以，111001(1)0222212020212ik k s s s m a a ---+=⋅+⋅++⨯+⨯++⨯+⨯连续个乘以，（其中i ∈N ） 如果s 为奇数，那么11m b +=，20m b +=，此时连续2项为1． 如果s 为偶数，那么10m b +=，此时仅有1项1m b =．综上所述，连续为1的项不超过2项． ………………10分 （Ⅲ）解：2051n =或2052n =. ………………13分。
北京市西城区2015(1)
北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）第一部分 易错题4. 在数列}{n a 中，“对任意的*n ∈N ，221++=n n n a a a ”是“数列}{n a 为等比数列”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件考点分析：本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，所涉及的知识是等比数列的判断，充要条件的判断是高考的热点，常与函数的单调性、奇偶性、不等式的性质或解集、立体几何、解析几何、数列、概率等知识交汇命题. 解题方法：本题从两个方面判断：一、221++=n n n a a a 是“数列}{n a 为等比数列”的充分条件吗？即221++=n n n a a a 能否推导出“数列}{n a 为等比数列”；二、221++=n n n a a a 是“数列}{n a 为等比数列”的必要条件吗？即“数列}{n a 为等比数列”能否推导出221++=n n n a a a 。
如2015年北京（理科）高考题第4题设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β∥”是“αβ∥”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件考点分析：考查了充分条件、必要条件的判定，所涉及的知识是平面与平面平行的判，定和性质。
解题方法：从两个方面判断：一、m β∥能否推出αβ∥； 二、αβ∥能否推出m β∥。
易错题8. 如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =.如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得=PE PF λ⋅成立，那么λ的取值范围是（ ）A ．(0,7)B ．(4,7)C ．(0,4)D ．(5,16)-考点分析：本题主要考查了平面向量数量积的运算，在近几年的各省的高考题中出现的频率较高，常与三角函数、数列、解析几何等知识交汇命题.E F D P C A B解题方法：几何图形中的向量数量积运算，一是建立坐标系，借助向量的坐标运算处理，二是取基底，将所涉及的向量全部用基底表示，再进行运算。
.4.西城.高三数学答案
（Ⅰ）解：对 求导，得 ，………………2分
所以 ，解得 .………………3分
故 ， .
令 ，得 .
当 变化时， 与 的变化情况如下表所示：
0
0
↘
↗
所以函数 的单调减区间为 ，单调增区间为 .………………5分
（Ⅱ）解：方程 ，即为 ，
设函数 .………………6分
求导，得 ．
由 ，解得 ，或 .………………7分
又因为 ， ，
所以 平面 ，
所以 ，
又因为四边形 为矩形，且底面 中 与 相交一点，
所以 平面 ，
因为 ，
所以 平面 .
过 在底面 中作 ，所以 两两垂直，以 分
别为 轴、 轴和 轴，如图建立空间直角坐标系，………………6分
则 ， ， ， ， ， ，
所以 , .
设平面 的一个法向量为 ，
由 ， ，得
所以当 变化时， 与 的变化情况如下表所示：
0
↘
↗
所以函数 在 单调递减，在 上单调递增.………………9分
由 ，得 .
又因为 ，
所以 .
不妨设 （其中 为 的两个正实数根），
因为函数 在 单调递减，且 ， ，
所以 .………………11分
同理根据函数 在 上单调递增，且 ，
可得 ，
所以 ，
即 .………………13分
所以直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为： .………………10分
令 ，得 ，则 ，
由 ，得 ，
化简，得 .………………11分
所以四边形 的面积
………………12分
.
当且仅当 ，即 时等号成立.
所以四边形 面积的最小值为 .………………14分
2015-2016年北京市西城区高三上学期期末数学(理)试卷
北京市西城区2015 — 2016学年度上学期期末试卷高三数学（理科） 2016.1本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷l 至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分．考试时间120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并回交．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|1}A x x =>，集合{2}B a =+，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围是（ ） （A ）(,1]-∞- （B ）(,1]-∞ （C ）[1,)-+∞ （D ）[1,)+∞2. 下列函数中，值域为R 的偶函数是（ ）（A ）21y x =+ （B ）e e x x y -=- （C ）lg ||y x = （D ）2y x =3. 设命题p ：“若1sin 2α=，则π6α=”，命题q ：“若a b >，则11a b<”，则（ ） （A ）“p q ∧”为真命题 （B ）“p q ∨”为假命题 （C ）“q ⌝”为假命题 （D ）以上都不对4. 在数列{}n a 中，“对任意的*n ∈N ，212n n n a a a ++=”是“数列{}n a 为等比数列”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 5. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个 几何体的表面积是（ ） （A ）1623+ （B ）1625+ （C ）2023+ （D ）2025+侧(左)视图正(主)视图俯视图22 1 1开始 4x >输出y 结束否 是 输入xy=12○16. 设x ，y 满足约束条件1,3,,x y y m y x +-⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 若3z x y =+的最大值与最小值的差为7，则实数m =（ ）（A ）32 （B ）32- （C ）14（D ）14-7. 某市乘坐出租车的收费办法如下：不超过4千米的里程收费12元;超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元.相应系统收费的程序框图如图所示，其中x （单位：千米）为行驶里程，y （单位：元）为所收费用，用[x ]表示不大于x 的最大整数，则图中○1处应填（ ） （A ）12[]42y x =-+（B ）12[]52y x =-+（C ）12[]42y x =++（D ）12[]52y x =++8. 如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =.如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得=PE PF λ⋅成立，那么λ的取值范围是（ ） （A ）(0,7) （B ）(4,7) （C ）(0,4) （D ）(5,16)-E FD P C A BB OC A NM第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知复数z 满足(1i)24i z +=-，那么z =____.10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若A B =，3a =，2c =，则cos C =____.11．双曲线C ：221164x y -=的渐近线方程为_____；设12,F F 为双曲线C 的左、右焦点，P 为C 上一点，且1||4PF =，则2||PF =____.12．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠= ，3AB =，4BC =，点O 为BC 的中点，以BC 为直径的半圆与AC ，AO 分别相交于点M ，N ，则AN =____；AMMC= ____.13. 现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有____种.（用数字作答）14. 某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （单位：C）满足函数关系60,264, , 0.kx x t x +⎧=⎨>⎩≤ 且该食品在4C的保鲜时间是16小时.已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示. 给出以下四个结论：○1 该食品在6C 的保鲜时间是8小时； ○2 当[6,6]x ∈-时，该食品的保鲜时间t 随着x 增大而逐渐减少； ○3 到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； ○4 到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间. 其中，所有正确结论的序号是____.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数3()cos (sin 3cos )2f x x x x =+-，x ∈R . （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设0α>，若函数()()g x f x α=+为奇函数，求α的最小值.16．（本小题满分13分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分. 两人4局的得分情况如下： 甲 6 6 99乙79xy（Ⅰ）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；（Ⅱ）如果7x y ==，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X ，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x 的所有可能取值.（结论不要求证明）17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠= ，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠= ,2AB AC PA ===, ,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上.（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求证：//ME 平面PAB ； （Ⅲ）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平面ABCD 所成的角相等，求PMPD的值.F CADPMB E18．（本小题满分13分）已知函数2()1f x x =-，函数()2ln g x t x =，其中1t ≤．（Ⅰ）如果函数()f x 与()g x 在1x =处的切线均为l ，求切线l 的方程及t 的值； （Ⅱ）如果曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点，求t 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为23，点3(1,)2A 在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与l 相交两点1P ，2P （两点均不在坐标轴上），且使得直线1OP ，2OP 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由.20．（本小题满分13分）在数字21,2,,()n n ≥的任意一个排列A ：12,,,n a a a 中，如果对于,,i j i j *∈<N ，有i j a a >，那么就称(,)i j a a 为一个逆序对. 记排列A 中逆序对的个数为()S A .如=4n 时，在排列B ：3, 2, 4, 1中，逆序对有(3,2)，(3,1)，(2,1)，(4,1)，则()4S B =.（Ⅰ）设排列 C ：3, 5, 6, 4, 1, 2，写出()S C 的值；（Ⅱ）对于数字1，2， ，n 的一切排列A ，求所有()S A 的算术平均值；（Ⅲ）如果把排列A ：12,,,n a a a 中两个数字,()i j a a i j <交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列A '：12,,,n b b b ，求证：()()S A S A '+为奇数.北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2016.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．C 3．B 4．B 5．B 6．C 7．D 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．13i -- 10．7911．12y x =±12 12． 132- 91613．54 14．○1 ○4 注：第11，12题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：3()cos (sin 3cos )2f x x x x =+- 23sin cos (2cos 1)2x x x =+-13sin 2cos 222x x =+ ………………4分πsin(2)3x =+，………………6分所以函数()f x 的最小正周期2π=π2T =. ………………7分由ππππ2π+23222x k k -+≤≤，k ∈Z ，得5ππππ+1212x k k -≤≤， 所以函数()f x 的单调递增区间为5ππππ+]1212[k k -,，k ∈Z . ………………9分 （注：或者写成单调递增区间为5ππππ+)1212(k k -,，k ∈Z . ） （Ⅱ）解：由题意，得π()()sin(22)3g x f x x αα=+=++，因为函数()g x 为奇函数，且x ∈R ，所以(0)0g =，即πsin(2)03α+=， ………………11分所以π2π3k α+=，k ∈Z ， 解得ππ26k α=-，k ∈Z ，验证知其符合题意. 又因为0α>， 所以α的最小值为π3. ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记 “从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局的得分恰好相等”为事件A ， ………………1分 由题意，得2421()C 3P A ==， 所以从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局得分恰好相等的概率为13. ……4分（Ⅱ）解：由题意，X 的所有可能取值为13，15，16，18， ………………5分且3(13)8P X ==，1(15)8P X ==，3(16)8P X ==，1(18)8P X ==，………………7分所以X 的分布列为：X 13 15 16 18P38 1838 18……………… 8分 所以3131()13151618158888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………10分（Ⅲ）解：x 的可能取值为6，7，8. ………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB AC =，135BCD ∠= ， 所以AB AC ⊥.由,E F 分别为,BC AD 的中点，得//EF AB ，所以EF AC ⊥. ………………1分 因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90BAP ∠= ，所以PA ⊥底面ABCD . ………………2分又因为EF ⊂底面ABCD ，所以PA EF ⊥. ………………3分 又因为PA AC A = ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以EF ⊥平面PAC . ………………4分 （Ⅱ）证明：因为M 为PD 的中点，F 分别为AD 的中点， 所以//MF PA ，z又因为MF ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， 所以//MF 平面PAB . ………………5分 同理，得//EF 平面PAB .又因为=MF EF F ，MF ⊂平面MEF ，EF ⊂平面MEF ， 所以平面//MEF 平面PAB . ………………7分又因为ME ⊂平面MEF ，所以//ME 平面PAB . ………………9分（Ⅲ）解：因为PA ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，所以,,AP AB AC 两两垂直，故以,,AB AC AP 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如上图建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,0),(1,1,0)A B C P D E -，所以(2,0,2)PB =- ，(2,2,2)PD =-- ，(2,2,0)BC =-， ………………10分设([0,1])PMPDλλ=∈，则(2,2,2)PM λλλ=-- ， 所以(2,2,22)M λλλ--，(12,12,22)ME λλλ=+--，易得平面ABCD 的法向量(0,0,1)=m . ………………11分 设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ，由0BC ⋅= n ，0PB ⋅= n ，得220,220,x y x z -+=⎧⎨-=⎩ 令1x =, 得(1,1,1)=n . ………………12分因为直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等，所以|cos ,||cos ,|ME ME <>=<> m n ，即||||||||||||ME ME ME ME ⋅⋅=⋅⋅m n m n ， ………………13分 所以 2|22|||3λλ-=， 解得332λ-=，或332λ+=（舍）. ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：求导，得()2f x x '=，2()tg x x'=，(0)x >． ………………2分 由题意，得切线l 的斜率(1)(1)k f g ''==，即22k t ==，解得1t =． ……………3分又切点坐标为(1,0)，所以切线l 的方程为220x y --=． ………………4分 （Ⅱ）解：设函数2()()()12ln h x f x g x x t x =-=--，(0,)x ∈+∞． ………………5分 “曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点”等价于“函数()y h x =有且仅有一 个零点”．求导，得2222()2t x th x x x x-'=-=. ………………6分① 当0t ≤时，由(0,)x ∈+∞，得()0h x '>，所以()h x 在(0,)+∞单调递增．又因为(1)0h =，所以()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意． ………………8分② 当1t =时，当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：x(0,1)1(1,)+∞()h x '-0 +()h x↘↗所以()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以当1x =时，min()(1)0h x h ==，故()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意． ………………10分③ 当01t <<时， 令()0h x '=，解得x t =．当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：x(0,)tt(,)t +∞()h x '-0 +()h x↘↗所以()h x 在(0,)t 上单调递减，在(,)t +∞上单调递增， 所以当x t =时，min()()h x h t =． ………………11分因为(1)0h =，1t <，且()h x 在(,)t +∞上单调递增，所以()(1)0h t h <=.又因为存在12e (0,1)t -∈ ，111122()12ln 0t t t t h t ----=--=>e e e e ，所以存在0(0,1)x ∈使得0()0h x =，所以函数()y h x =存在两个零点0x ，1，与题意不符.综上，曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点时，t 的范围是0{|t t ≤，或1}t =.………………13分19．（本小题满分14分） （Ⅰ）解：由题意，得32c a =，222a b c =+， ………………2分 又因为点3(1,)2A 在椭圆C 上，所以221314ab+=， ………………3分解得2a =，1b =，3c =，所以椭圆C 的方程为1422=+y x . ………………5分（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为225x y +=. ………………6分 证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为222(0)x y r r +=>.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为m kx y +=. ………………7分由方程组22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得0448)14(222=-+++m kmx x k ， ………………8分 因为直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，所以2221(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-=，即2241m k =+. ………………9分由方程组222,,y kx m x y r =+⎧⎨+=⎩ 得2222(1)20k x kmx m r +++-=， ………………10分 则22222(2)4(1)()0km k m r ∆=-+->.设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12221km x x k -+=+，221221m r x x k -⋅=+， ………………11分 设直线1OP ，2OP的斜率分别为1k ，2k ， 所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++=== 222222222222222111m r km k km m m r k k k m r m r k --⋅+⋅+-++==--+， ………………12分将2241m k =+代入上式，得221222(4)14(1)r k k k k r -+⋅=+-.要使得12k k 为定值，则224141r r-=-，即25r =，验证符合题意. 所以当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足12k k 为定值14-. ………………13分当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±， 此时，圆225x y +=与l 的交点12,P P 也满足1214k k =-. 综上，当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足斜率之积12k k 为定值14-. ………………14分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()10S C =； ………………2分 （Ⅱ）解：考察排列D ：121,,,,n n d d d d - 与排列1121,,,,n n D d d d d - ：， 因为数对(,)i j d d 与(,)j i d d 中必有一个为逆序对（其中1i j n <≤≤）， 且排列D 中数对(,)i j d d 共有2(1)C 2n n n -=个， ………………3分 所以1(1)()()2n n S D S D -+=. ………………5分 所以排列D 与1D 的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -. ………………6分 而对于数字1，2， ，n 的任意一个排列A ：12,,,n a a a ，都可以构造排列A 1：121,,,,n n a a a a - ，且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -.所以所有()S A 的算术平均值为(1)4n n -. ………………7分 （Ⅲ）证明：○1当1j i =+，即,i j a a 相邻时， 不妨设1i i a a +<，则排列A '为12112,,,,,,,,i i i i n a a a a a a a -++ ，此时排列A '与排列A ：12,,,n a a a 相比，仅多了一个逆序对1(,)i i a a +， 所以()()1S A S A '=+，所以()()2()1S A S A S A '+=+为奇数. ………………10分 ○2当1j i ≠+，即,i j a a 不相邻时，假设,i j a a 之间有m 个数字，记排列A ：1212,,,,,,,,,,i m j n a a a k k k a a ， 先将i a 向右移动一个位置，得到排列A 1：12112,,,,,,,,,,,,i i m j n a a a k a k k a a - ， 由○1，知1()S A 与()S A 的奇偶性不同，再将i a 向右移动一个位置，得到排列A 2：121123,,,,,,,,,,,,i i m j n a a a k k a k k a a - ， 由○1，知2()S A 与1()S A 的奇偶性不同，以此类推，i a 共向右移动m 次，得到排列A m ：1212,,,,,,,,,,m i j n a a k k k a a a ，再将j a 向左移动一个位置，得到排列A m +1：1211,,,,,,,,,,i m j i n a a a k k a a a - ， 以此类推，j a 共向左移动m +1次，得到排列A 2m +1：121,,,,,,,,,j m i n a a a k k a a ， 即为排列A '，由○1，可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化， 而排列A 经过21m +次的前后两数交换位置，可以得到排列A '， 所以排列A 与排列A '的逆序数的奇偶性不同， 所以()()S A S A '+为奇数.综上，得()()S A S A '+为奇数. ………………13分。
北京市西城区2016届高三上学期期末考试数学(文)试题及答案
北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 2016.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|}A x x a =>，集合{1,1,2}B =-，若AB B =，则实数的取值范围是（ ）（A ）(1,)+∞ （B ）(,1)-∞ （C ）(1,)-+∞ （D ）(,1)-∞-2. 下列函数中，值域为[0,)+∞的偶函数是（ ）（A ）21y x =+ （B ）lg y x = （C ）||y x = （D ）cos y x x =3．设M 是ABC ∆所在平面内一点，且BM MC =，则AM =（ ）（A ）AB AC - （B ）AB AC + （C ）1()2AB AC - （D ）1()2AB AC +4．设命题p ：“若e 1x >，则0x >”，命题q ：“若a b >，则11a b<”，则（ ） （A ）“p q ∧”为真命题 （B ）“p q ∨”为真命题 （C ）“p ⌝”为真命题 （D ）以上都不对5. 一个几何体的三视图如图所示，那么 这个几何体的表面积是（ ） （A）16+ （B）16+ （C）20+ （D）20+侧(左)视图正(主)视图 俯视图6. “0mn <”是“曲线221x y m n+=是焦点在x 轴上的双曲线”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件7. 设x ，y 满足约束条件1,3,,x y y m y x +-⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 若3z x y =+的最大值与最小值的差为7，则实数m =（ ）（A ）32 （B ）32- （C ）14 （D ）14-8. 某市乘坐出租车的收费办法如下：相应系统收费的程序框图如图所示，其中x （单位：千米）为行驶里程，y （单位：元）为所收费用，用[x ]表示不大于x 的最大整数，则图中○1处应填（ ）（A ）12[]42y x =-+（B ）12[]52y x =-+（C ）12[]42y x =++（D ）12[]52y x =++第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知复数z 满足(1i)24i z +=-，那么z =____.10．若抛物线22C y px =：的焦点在直线30x y +-=上，则实数p =____；抛物线C 的准线方程为____. 11．某校某年级有100名学生，已知这些学生完成家庭作业的时间均在区间[0.5,3.5)内（单位：小时），现将这100人完成家庭作业的时间分为3组：[0.5,1.5)，[1.5,2.5)，[2.5,3.5)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.在这100人中，采用分层抽样的方法抽取10名学生研究其视力状况与完成作业时间的相关性，则在抽取样本中，完成作业的时间小于2.5个小时的有_____人.12．已知函数()f x 的部分图象如图所示，若不等式2()4f x t -<+<的解集为(1,2)-，则实数t 的值为____.13. 在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若πsin cos()2A B =-，3a =，2c =，则cos C =____；∆ABC 的面积为____.14. 某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （恒温，单位：C ）满足函数关系60,264, , 0.kx x t x +⎧=⎨>⎩≤ 且该食品在4C 的保鲜时间是16小时. ○1 该食品在8C 的保鲜时间是_____小时；○2 已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，那么到了此日13时，甲所购买的食品是否过了保鲜时间______.（填“是”或“否”）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知数列{}n a 是等比数列，并且123,1,a a a +是公差为3-的等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2n n b a =，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，证明：163n S <.16．（本小题满分13分）已知函数()cos (sin )f x x x x =，x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若(0,π)x ∈，求函数()f x 的单调增区间.17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠=,6AB AC PA ===, ,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上.（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求证：//ME 平面PAB ；（Ⅲ）当12PM MD =时，求四棱锥M ECDF -的体积.FADPM18．（本小题满分13分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分. 两人4局的得分情况如下：（Ⅰ）已知在乙的4局比赛中随机选取1局时，此局得分小于6分的概率不为零，且在4局比赛中，乙的平均得分高于甲的平均得分，求x y +的值；（Ⅱ）如果6x =，10y =，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为a ，b ，求b a ≥的概率；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x 的所有可能取值.（结论不要求证明）19．（本小题满分14分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a by a x ，点A 在椭圆C 上，O 为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，且l 与圆225x y +=的相交于不在坐标轴上的两点1P ，2P ，记直线1OP ，2OP 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k ⋅为定值.20．（本小题满分13分）已知函数21()2f x x x=+，直线1l y kx =-：.（Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）求证：对于任意k ∈R ，直线l 都不是曲线()y f x =的切线； （Ⅲ）试确定曲线()y f x =与直线l 的交点个数，并说明理由.北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准2016.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D 2．C 3．D 4．B 5．B 6．B 7．C 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．13i -- 10．6 3x =- 11. 9 12．1 13．7914．4 是注：第10，13，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等比数列{}n a 的公比为q ， 因为123,1,a a a +是公差为3-的等差数列， 所以213213,(1)3,a a a a +=-⎧⎨=+-⎩……………… 2分即112114,2,a q a a q a q -=-⎧⎨-=-⎩……………… 3分解得118,2a q ==. ……………… 5 分 所以114118()22n n nn a a q ---==⨯=． ……………… 7分（Ⅱ）证明：因为122214n n n n b a b a ++==， 所以数列{}n b 是以124b a ==为首项，14为公比的等比数列. ……………… 8分所以14[1()]4114n n S -=- ……………… 11分 16116[1()]343n =-<. ……………… 13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()cos (sin )f x x x x =+2sin cos 1)x x x =+-1sin 222x x =+ ……………… 4分πsin(2)3x =+， ……………… 6分所以函数()f x 的最小正周期2π=π2T =. ……………… 8分（Ⅱ）解：由ππππ2π+23222x k k -+≤≤，k ∈Z ， ……………… 9分得5ππππ+1212x k k -≤≤， 所以函数()f x 的单调递增区间为5ππππ+]1212[k k -,，k ∈Z . ……………… 11分 所以当(0,π)x ∈时，()f x 的增区间为π(0]12,，7π[,π)12. ……………… 13分（注：或者写成增区间为π(0)12,，7π(,π)12. ）17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB AC =，135BCD ∠=， 所以AB AC ⊥.由,E F 分别为,BC AD 的中点，得//EF AB ，所以EF AC ⊥. ………………1分 因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90BAP ∠=，所以PA ⊥底面ABCD . ………………2分又因为EF ⊂底面ABCD ，所以PA EF ⊥. ………………3分 又因为PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以EF ⊥平面PAC . ………………5分 （Ⅱ）证明：因为M 为PD 的中点，F 分别为AD 的中点， 所以//MF PA ，又因为MF ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，所以//MF 平面PAB . ………………7分 同理，得//EF 平面PAB . 又因为=MFEF F ，MF ⊂平面MEF ，EF ⊂平面MEF ，所以平面//MEF 平面PAB . ………………9分又因为ME ⊂平面MEF ，所以//ME 平面PAB . ………………10分 （Ⅲ）解：在PAD ∆中，过M 作//MN PA 交AD 于点N （图略）， 由12PM MD =，得23MN PA =， 又因为6PA =，所以4MN =， ……………… 12分 因为PA ⊥底面ABCD ，所以MN ⊥底面ABCD ，所以四棱锥M ECDF -的体积1166424332M ECDF ECDFV SMN -⨯=⨯⨯=⨯⨯=. …… 14分 18．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，得79669944x y ++++++>，即14x y +>. ……………… 2分因为在乙的4局比赛中，随机选取1局，则此局得分小于6分的概率不为零，F CADPMB E所以,x y 中至少有一个小于6， ……………… 4分 又因为10,10x y ≤≤，且,x y ∈N ， 所以15x y +≤，所以15x y +=. ……………… 5分 （Ⅱ）解：设 “从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，且得分满足b a ≥”为事件M ， ……………… 6分 记甲的4局比赛为1A ，2A ，3A ，4A ，各局的得分分别是6，6，9，9；乙的4局比赛 为1B ，2B ，3B ，4B ，各局的得分分别是7，9，6，10.则从甲、乙的4局比赛中随机各选取1局，所有可能的结果有16种， 它们是：11(,)A B ， 12(,)A B ，13(,)A B ，14(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ，24(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，33(,)A B ， 34(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，43(,)A B ，44(,)A B . ……………… 7分 而事件M 的结果有8种，它们是：13(,)A B ，23(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，33(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，43(,)A B ， ……………… 8分因此事件M 的概率81()162P M ==. ……………… 10分（Ⅲ）解：x 的可能取值为6，7，8. ……………… 13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，得c a =，222a b c =+， ……………… 2分又因为点A 在椭圆C 上，所以221314ab+=， ……………… 3分解得2a =，1b =，c ，所以椭圆C 的方程为1422=+y x . ……………… 5分（Ⅱ）证明：当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±，易得直线1OP ，2OP 的斜率之积1214k k ⋅=-. …………… 6分 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为m kx y +=. …………… 7分由方程组22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得0448)14(222=-+++m kmx x k ， ……………… 8分 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-=，即2241m k =+. ……………… 9分由方程组22,5,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 得222(1)250k x kmx m +++-=， ……………… 10分 设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12221km x x k -+=+，212251m x x k -⋅=+， ……………… 11分 所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++⋅=== 222222222252511551m km k km m m k k k m m k --⋅+⋅+-++==--+， ……………… 13分将2241m k =+代入上式，得212211444k k k k -+⋅==--.综上，12k k ⋅为定值14-. ……………… 14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：函数()f x 定义域为{|0}x x ≠， ……………… 1分 求导，得32()2f x x '=-， ……………… 2分 令()0f x '=，解得1x =．当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表所示：所以函数()y f x =的单调增区间为(,0)-∞，(1,)+∞，单调减区间为(0,1)，……………… 3分 所以函数()y f x =有极小值(1)3f =，无极大值． ……………… 4分 （Ⅱ）证明：假设存在某个k ∈R ，使得直线l 与曲线()y f x =相切， ……………… 5分 设切点为00201(,2)A x x x +，又因为32()2f x x'=-， 所以切线满足斜率3022k x =-，且过点A ， 所以002300122(2)1x x x x +=--， ……………… 7分 即2031x =-，此方程显然无解， 所以假设不成立．所以对于任意k ∈R ，直线l 都不是曲线()y f x =的切线. ……………… 8分 （Ⅲ）解：“曲线()y f x =与直线l 的交点个数”等价于“方程2121x kx x +=-的根的个数”. 由方程2121x kx x +=-，得3112k x x =++. ……………… 9分 令1t x=，则32k t t =++，其中t ∈R ，且0t ≠. 考察函数3()2h t t t =++，其中t ∈R ，因为2()310h t t '=+>时，所以函数()h t 在R 单调递增，且()h t ∈R . ……………… 11分 而方程32k t t =++中， t ∈R ，且0t ≠.所以当(0)2k h ==时，方程32k t t =++无根；当2k ≠时，方程32k t t =++有且仅有一 根，故当2k =时，曲线()y f x =与直线l 没有交点，而当2k ≠时，曲线()y f x =与直线l 有 且仅有一个交点. ……………… 13分。
北京市西城区2016届高三下学期第一次模拟考试数学数学(理)试题 Word版含答案
北京市西城区2016高三一模试卷数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.设集合{}240A x x x =+<，集合{}21,B n n k k ==-∈Z ，则A B =(A){}1,1-(B){}1,3(C){}3,1--(D){}3,1,1,3--2.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩ （θ为参数），则C 曲线是(A)关于x 轴对称的图形 (B)关于y 轴对称的图形 (C) 关于原点对称的图形(D)关于y x =对称的图形3.如果()f x 是定义在R 上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是 (A) ()y x f x =+(B)()y xf x = (C)()2y x f x =+(D)()2y x f x =4.在平面直角坐标系xOy 中，向量()1,2OA =- ,()2,OB m =，若O ，A ，B 三点构成的三角形，则 (A) 4m =-(B)4m ≠-C)1m ≠(D)m ∈R5.执行如图所示的程序库按图，若输入的A 、S 分别为0，1则输出的S = (A)4(B)16(C)27(D)366.设10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则“(),0a ∈-∞ ”是“12log x x a >+”的(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件7.设函数()()sin f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ是常数，0A >，0ω>），且函数()f x 的部分图像如图所示，则有(A)357436f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (B)375463f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (C) 573364f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(D)537346f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭8.如图，在棱长为()0a a >的正四面体ABCD 中，点B ，C ，D 分别在棱AB ，AC ，AD上，且平面111B C D ∥平面BCD ，1A 为BCD △内一点，记三棱锥1111A B C D -的体积为V ，设1AD x AD=，对于函数()V F x =，则 (A)当23x =时，函数()f x 取得最大值 (B)函数()f x 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数(C)函数()f x 的图像关于直线12x =对称(D)存在0x ，使得()013A BCD f x V ->（其中A BCD V -为四面体ABCD的体积）AD CBD 1C 1B 1A 1第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9.在复平面内，复数1z 与2z 对应的点关于虚轴对称，且11i z =-+，则12z z = . 10.已知等差数列{}n a 的公差0d >，33a =-，245a a =，则n a = ；记{}n a 的前项和为n S ，则n S 的最小值为 .11.若圆()2221x y -+=与双曲线()222:10x C y a a-=>的渐近线相切，则a = ；双曲线C 的渐近线方程是 .12.一个棱长为4的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积是.俯视图13.在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等5人报名参加了A ，B ，C 三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者工作，且甲不能参加A ，B 项目，乙不能参加B ，C 项目，共有 种不同的志愿者分配方案.（用数字作答）14.一辆赛车在一个周长为3km 的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反映了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系.根据图1，有一些四个说法：①在这第二圈的2.6km 到2.8km 之间，赛车速度逐渐增加； ②在整个跑道中，最长的直线路程不超过0.6km ；③大约在这第二圈的0.4km 到0.6km 之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶； ④在图2的四条曲线（注：s 为初始记录数据位置）中，曲线B 最能符合赛车的运动轨迹. 其中，所有正确说法的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设3A π=，sin 3sin B C =.（Ⅰ）若a =b 的值；（Ⅱ）求tan C 的值.16．（本小题满分13分）某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）.（Ⅰ）体育成绩大于或等于70分的学生常被成为“体育良好”.已知该校高一年级有1000名学生，试估计，高一全年级中“体育良好”的学生人数；（Ⅱ）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在[)60,70和[)80,90的样本学生中随机抽取2人，至少有1人体育成绩在[)60,70的概率；（Ⅲ）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a ，b ，c ，且分别在[)70,80，[)80,90，[]90,100三组中，其中a ，b ，c ∈N ，当数据a ，b ，c 的方差2s 最小时，写出a ，b ，c的值.（结论不要求证明）（注：()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦，其中x 为数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的平均数）17．（本小题满分14分）如图，四边形为梯形ABCD ，DAD BC ∥，90BAD ∠=，四边形11CC D D 为矩形，已知1AB BC ⊥，4AD =，2AB =，1BC =.（Ⅰ）求证：1BC ∥平面1ADD ；（Ⅱ）若12DD =，求平面11AC D 与平面1ADD 所成的锐二面角的余弦值；（Ⅲ）设P 为线段1C D 上的一个动点（端点除外），判断直线1BC 与直线CP 能否垂直？并说明理由.D 1C 1DCBA18．（本小题满分13分）已知函数()1e e x x f x x a -=- ，且()'1e f =. （Ⅰ）求a 的值及()f x 的单调区间；（Ⅱ）若关于x 的方程()()222f x kx k =->存在两不相等的正实数根1x ，2x ，证明：124ln ex x ->.19．（本小题满分14分）已知椭圆()22:310C mx my m +=>的长轴长为，O 为坐标原点（Ⅰ）求椭圆C 的方程和离心率；（Ⅱ）设点()3,0A ，动点B 在y 轴上，动点P 在椭圆C 上，且P 在y 轴的右侧，若BA BP =，求四边形OPAB 面积的最小值.20．（本小题满分13分）设数列{}n a 和{}n b 的项均为m ，则将数列和的距离定义为1mi ii a b=-∑.（Ⅰ）该出数列1,3,5,6和数列2,3,10,7的距离（Ⅱ）设A 为满足递推关系111nn na a a ++=-的所有数列{}n a 的集合，{}n b 和{}n c 为A 中的两个元素，且项数均为m ，若12b =，13c =，{}n b 和{}n c 的距离小于2016，求m 得最大值；的距离大于或等于3，证明：中的元素个数小于或等于16.。
(优辅资源)北京市西城区第一学期期末试卷高三数学理科试题
北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）2017.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|02}A x x =<<，2{|10}B x x =-≤，那么AB =（A ）{|01}x x <≤ （B ）{|12}x x -<≤（C ）{|10}x x -<≤ （D ）{|12}x x <≤2．下列函数中，定义域为R 的奇函数是（A ）21y x =+（B ）tan y x =（C ）2xy =（D ）sin y x x =+3．已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点是(2,0)，则其渐近线的方程为（A ）0x ±= （B 0y ±=（C ）30x y ±= （D ）30x y ±=4．在极坐标系中，过点(2,)6P π且平行于极轴的直线的方程是（A ）sin 1=ρθ（B ）sin =ρθ（C ）cos 1=ρθ（D ）cos =ρθ5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的四个 侧面的面积中最大的是 （A ）3 （B）（C ）6 （D）6．设,a b 是非零向量，且≠±a b ．则“||||=a b ”是“()()+⊥-a b a b ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件7．实数,x y 满足3,0,60.x x y x y ⎧⎪+⎨⎪-+⎩≤≥≥若z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -，则a的取值范围是（A ）[1,0]- （B ）[0,1]（C ）[1,1]- （D ）(,1][1,)-∞-+∞8．在空间直角坐标系O xyz -中，正四面体P ABC -的顶点A ，B 分别在x 轴，y 轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则||OP 的取值范围是（A）1]（B ）[1,3]（C）1,2]（D）1]优质文档第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．复数1i1i+=-____．10．设等比数列{}n a的各项均为正数，其前n项和为n S．若11a=，34a =，则n a =____；6S =____．11．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为____．12．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若3c =，3C π=，sin 2sin B A =，则a =____．13．设函数30,()log ,,x a f x x x a =>⎪⎩≤≤其中0a >．① 若3a =，则[(9)]f f =____；② 若函数()2y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是____．14．10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的45．则第二名选手的得分是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数2π()sin(2)2cos 16f x x x ωω=-+-(0)ω>的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求()f x 在区间7π[0,]12上的最大值和最小值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90BAD ︒∠=，PA PD =，AB PA ⊥，2AD =，1AB BC ==．（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若E 为PD 的中点，求证：//CE 平面PAB ； （Ⅲ）若DC 与平面PAB 所成的角为30︒，求四棱锥P ABCD -的体积．17．（本小题满分13分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A ，B 两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A ，B 两个型号的手机各7台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：其中，a ，b 是正整数，且a b <．（Ⅰ）该卖场有56台A 型手机，试估计其中待机时间不少于123小时的台数； （Ⅱ）从A 型号被测试的7台手机中随机抽取4台，记待机时间大于123小时的台数为X ，求X 的分布列；（Ⅲ）设A ，B 两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机待机时间的方差最小时，写出a ，b 的值（结论不要求证明）．18．（本小题满分13分）已知函数()ln sin (1)f x x a x =-⋅-，其中a ∈R ．（Ⅰ）如果曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-，求a 的值； （Ⅱ）如果()f x 在区间(0,1)上为增函数，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知直线:l x t =与椭圆22:142x y C +=相交于A ，B 两点，M 是椭圆C 上一点．（Ⅰ）当1t =时，求△MAB 面积的最大值；（Ⅱ）设直线MA 和MB 与x 轴分别相交于点E ，F ，O 为原点．证明：||||OE OF ⋅为定值．20．（本小题满分13分）数字1,2,3,,(2)n n ≥的任意一个排列记作12(,,,)n a a a ，设n S 为所有这样的排列构成的集合．集合12{(,,,)|n n n A a a a S =∈任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有}i j a i a j --≤；集合12{(,,,)|n n n B a a a S =∈任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有}i j a i a j ++≤．（Ⅰ）用列举法表示集合3A ，3B ；（Ⅱ）求集合n n A B 的元素个数；（Ⅲ）记集合n B 的元素个数为n b ．证明：数列{}n b 是等比数列．北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2017.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．B 4．A 5．C 6．C 7．C 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．i 10．12n -；6311．3-12；[4,9)14．16注：第10，13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()sin(2)(2cos1)6f x x x ωω=-+-ππ(sin 2cos cos 2sin )cos 266x x x ωωω=-+[4分]1sin 2cos 222x x ωω=+ πsin(2)6x ω=+，[6分]所以()f x 的最小正周期2ππ2T ω==, 解得1ω=．[7分]（Ⅱ）由（Ⅰ）得 π()sin(2)6f x x =+．因为7π12x ≤≤0，所以ππ4π2663x +≤≤．[9分] 所以，当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值为1；[11分]当π4π263x +=，即7π12x =时，()f x 取得最小值为 [13分]16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为90BAD ∠=，所以AB AD ⊥，[1分]又因为AB PA ⊥，所以AB ⊥平面PAD ．[3分] 所以平面PAD ⊥平面ABCD ．[4分]（Ⅱ）取PA 的中点F ，连接BF ，EF ．[5分] 因为E 为PD 的中点，所以//EF AD ，12EF AD =，又因为//BC AD ，12BC AD =，所以//BC EF ，BC EF =．所以四边形BCEG 是平行四边形，//EC BF ．[7分]又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ， 所以//CE 平面PAB ．[8分] （Ⅲ）过P 作PO AD ⊥于O ，连接OC ．因为PA PD =，所以O 为AD 中点，又因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ．如图建立空间直角坐标系O xyz -．[9分]设PO a =．由题意得，(0,1,0)A ，(1,1,0)B ，(1,0,0)C ，(0,1,0)D -，(0,0,)P a ．所以(1,0,0)AB −−→=，(0,1,)PA a −−→=-，(1,1,0)DC −−→=． 设平面PCD 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,AB PA −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n 即0,0.x y az =⎧⎨-=⎩令1z =，则y a =．所以(0,,1)a =n ．[11分] 因为DC 与平面PAB 所成角为30，所以|1|cos ,|2||||DC DC DC −−→−−→−−→⋅〈〉===|n n n ， 解得1a =．[13分]所以四棱锥P ABCD -的体积11121113322P ABCD ABCD V S PO -+=⨯⨯=⨯⨯⨯=．[14分] 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）被检测的7台手机中有5台的待机时间不少于123小时，因此，估计56台A 型手机中有556407⨯=台手机的待机时间不少于123小时．[3分] （Ⅱ）X 可能的取值为0,1,2,3．[4分]4711(0)35C P X ===；133447C C 12(1)35C P X ===； 223447C C 18(2)35C P X ===；3447C 4(3)35C P X ===．[8分]所以，X 的分布列为：[10分]（Ⅲ）若A ，B 两个型号被测试手机的待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机的待机时间的方差最小时，124a =，125b =．[13分]18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(0,)+∞，[1分] 导函数为1()cos(1)f x a x x'=-⋅-．[2分] 因为曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-，所以(1)1f '=-，即11a -=-，[3分]所以2a =．[4分]（Ⅱ）因为()f x 在区间(0,1)上为增函数，所以对于任意(0,1)x ∈，都有1()cos(1)0f x a x x'=-⋅-≥．[6分] 因为(0,1)x ∈时，cos(1)0x ->， 所以11()cos(1)0cos(1)f x a x a x x x '=-⋅-⇔⋅-≤≥．[8分] 令()cos(1)g x x x =⋅-，所以()cos(1)sin (1)g x x x x '=--⋅-．[10分] 因为(0,1)x ∈时，sin (1)0x -<，所以(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 在区间(0,1)上单调递增，所以()(1)1g x g <=．[12分]所以1a ≤．即a 的取值范围是(,1]-∞．[13分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）将1x =代入22142x y +=，解得2y =±，所以||AB =[2分] 当M 为椭圆C 的顶点()2,0-时，M 到直线1x =的距离取得最大值3，[4分]所以△MAB面积的最大值是2．[5分] （Ⅱ）设,A B 两点坐标分别为(),A t n ，(),B t n -，从而2224t n +=．[6分]设()00,M x y ，则有220024x y +=，0x t ≠，0y n ≠±．[7分] 直线MA 的方程为00()y n y n x t x t--=--，[8分] 令0y =，得000ty nx x y n -=-，从而000ty nx OE y n-=-．[9分] 直线MB 的方程为00()y n y n x t x t ++=--，[10分] 令0y =，得000ty nx x y n +=+，从而000ty nx OF y n+=+．[11分] 所以000000=ty nx ty nx OE OF y n y n -+⋅⋅-+222200220=t y n x y n--()()2222002204242=n y n y y n ----[13分]22022044=y n y n -- =4．所以OE OF ⋅为定值．[14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）3{(1,2,3)}A =，3{(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)}B =．[3分] （Ⅱ）考虑集合n A 中的元素123(,,,,)n a a a a ． 由已知，对任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有i j a i a j --≤， 所以()()i j a i i a j j -+<-+，所以i j a a <．由,i j 的任意性可知，123(,,,,)n a a a a 是1,2,3,,n 的单调递增排列， 所以{(1,2,3,,)}n A n =．[5分]又因为当k a k =*(k ∈N ，1)k n ≤≤时，对任意整数,,1i j i j n <≤≤， 都有i j a i a j ++≤．所以(1,2,3,,)n n B ∈，所以n n A B ⊆．[7分]所以集合n n A B 的元素个数为1．[8分]（Ⅲ）由（Ⅱ）知，0n b ≠．因为2{(1,2),(2,1)}B =，所以22b =．当3n ≥时，考虑n B 中的元素123(,,,,)n a a a a ．（1）假设k a n =(1)k n <≤．由已知，1(1)k k a k a k ++++≤， 所以1(1)1k k a a k k n ++-+=-≥， 又因为11k a n +-≤，所以11k a n +=-． 依此类推，若k a n =，则11k a n +=-，22k a n +=-，…，n a k =．① 若1k =，则满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1个． ② 若2k =，则2a n =，31a n =-，42a n =-，…，2n a =．所以11a =．此时满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1个．③ 若2k n <<，只要1231(,,,)k a a a a -是1,2,3,,1k -的满足条件的一个排列，就可以相应得到1,2,3,,n 的一个满足条件的排列．此时，满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1k b -个．[10分] （2）假设n a n =，只需1231(,,,)n a a a a -是1,2,3,,1n -的满足条件的排列，此时满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1n b -个．综上23111n n b b b b -=+++++，3n ≥． 因为3221142b b b =++==，且当4n ≥时，23211(11)2n n n n b b b b b b ---=++++++=，[12分] 所以对任意*n ∈N ，3n ≥，都有12n n b b -=． 所以{}n b 成等比数列．[13分]。
(完整版)北京市西城区2015-2016学年度第一学期期末试卷高三理科数学分析
北京市西城区2015 -2016学年度第一学期期末试卷高三理科数学分析一、试卷整体情况这份试题目的在于考查学生在完成高三数学第一轮复习时的知识掌握情况。
试卷结构与北京高考卷一致，知识点覆盖较全重点难点突出，没有偏题怪题。
在紧扣北京的考试说明的同时，从考生通过第一轮复习应该落实的的基础知识入手，遵循重点知识重点考查的原则，宽角度、多视点、有层次地考查了学生的数学能力与综合素养。
1．回归教材，注重基础遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点。
选择题、填空题考查知识点依次为：集合、函数、简易逻辑（四种命题和充要条件）、三角函数、三视图、线性规划、复数、解三角形、程序框图、概率、双曲线、平面几何选讲、向量、框图、排列组合、二项式定理等知识点。
大部分属于常规题型，是学生在平时训练中常见的类型．同时，在平面向量、概率统计、导数、数列等题目上进行了一些微创新，这些题目的设计回归教材和中学教学实际。
2．适当设置题目难度与区分度由于新课标重新修订完毕，即将实施下一轮新课改，一个重要的信息就是文科理科将会同卷，这就意味着理科数学难度必然会下降，该套试题依然秉承北京8、14、20作为能力题的传统，但这几个题的整体难度有所下降；多题把关其他题目的难度和以往相比相同，但对学生计算能力的要求有所提高，这就导致整卷在最后的成绩分布上和往年相同。
该卷区分度较好，结果表明对基本功扎实计算能力强且答题速度快的同学更为有利。
二、亮点试题【考试原题】4.在数列}{n a 中，“对任意的*n ∈N ，221++=n n n a a a ”是“数列}{n a 为等比数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【考查方向】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，所涉及的知识是等比数列的判断，充要条件的判断是高考的热点，常与函数的单调性、奇偶性、不等式的性质或解集、立体几何、解析几何、数列、概率等知识交汇命题.【易错点】本题易在判定是否为充分条件时出现错误，易忽视”数列为常数列0“的情形。
.4.西城.高三数学答案
北京市西城区2016年高三一模试卷参考答案及评分标准高三数学（理科）2016.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1．C2．A3．B4．B 5．D6．A7．D8．A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．i 10．29n -16-11y x =12．6 13．2114．○1○4注：第10，11题第一问2分，第二问3分；第14题多选、少选或错选均不得分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：因为sin 3sin B C =， 由正弦定理sin sin sin a b cA B C==， 得3b c =.………………3分由余弦定理2222cos a b c bc A =+-及π3A =，a ，………………5分 得227b c bc =+-，所以222()733b b b +-=，解得3b =.………………7分 （Ⅱ）解：由π3A =，得2π3B C =-. 所以2πsin()3sin 3C C -=.………………8分即1sin 3sin 22C C C +=，………………11分5sin 2C C =，所以tan C =………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有30人，………………2分 所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约有30100075040⨯=人.……4分 （Ⅱ）解：设“至少有1人体育成绩在[60,70)”为事件A ，………………5分由题意，得2325C 37()11C 1010P A =-=-=，因此至少有1人体育成绩在[60,70)的概率是710.………………9分 （Ⅲ）解：a ,b ,c 的值分别是为79,84,90；或79,85,90.………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：由11CC D D 为矩形，得11//CC DD ，又因为1DD ⊂平面1ADD ，1CC ⊄平面1ADD ， 所以1//CC 平面1ADD ，………………2分 同理//BC 平面1ADD ，又因为1BC CC C =I ，所以平面1//BCC 平面1ADD ,………………3分 又因为1BC ⊂平面1BCC ，所以1//BC 平面1ADD .………………4分（Ⅱ）解：由平面ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=o ，得AB BC ⊥，又因为1AB BC ⊥，1BC BC B =I ， 所以AB ⊥平面1BCC ， 所以1AB CC ⊥，又因为四边形11CC D D 为矩形，且底面ABCD 中AB 与CD 相交一点， 所以1CC ⊥平面ABCD ， 因为11//CC DD ， 所以1DD ⊥平面ABCD .过D 在底面ABCD 中作DM AD ⊥，所以1,,DA DM DD 两两垂直，以1,,DA DM DD 分 别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系，………………6分则(0,0,0)D ，(4,0,0)A ，(4,2,0)B ，(3,2,0)C ，1(3,2,2)C ，1(0,0,2)D ， 所以1(1,2,2)AC =-u u u r,1(4,0,2)AD =-u u u r. 设平面11AC D 的一个法向量为(,,)x y z =m ，由10AC ⋅=u u u u r m ，10AD ⋅=u u u u r m ，得220,420,x y z x z -++=⎧⎨-+=⎩令2x =，得(2,3,4)=-m .………………8分易得平面1ADD 的法向量(0,1,0)=n .所以cos ,||||⋅<>==m n m n m n1即平面11AC D 与平面1ADD ………………10分 （Ⅲ）结论：直线1BC 与CP 不可能垂直.………………11分证明：设1(0)DD m m =>，1((0,1))DP DC λλ=∈u u u r u u u u r，由(4,2,0)B ，(3,2,0)C ，1(3,2,)C m ，(0,0,0)D ，得1(1,0,)BC m =-u u u u r ，1(3,2,)DC m =u u u u r ，1(3,2,)DP DC m λλλλ==u u u r u u u u r ，(3,2,0)CD =--u u u r， (33,22,)CP CD DP m λλλ=+=--u u u r u u u r u u u r.………………12分若1BC CP ⊥，则21(33)0BC CP m λλ⋅=--+=u u u u r u u u r，即2(3)3m λ-=-，因为0λ≠， 所以2330m λ=-+>，解得1λ>，这与01λ<<矛盾.所以直线1BC 与CP 不可能垂直.………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：对()f x 求导，得1()(1)e e x x f x x a -'=+-，………………2分 所以(1)2e e f a '=-=，解得e a =.………………3分 故()e e x x f x x =-，()e x f x x '=. 令()0f x '=，得0x =.当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表所示：所以函数()f x 的单调减区间为(,0)-∞，单调增区间为(0,)+∞.………………5分（Ⅱ）解：方程2()2f x kx =-，即为2(1)e 20x x kx --+=，设函数2()(1)e 2x g x x kx =--+.………………6分 求导，得()e 2(e 2)x x g x x kx x k '=-=-．由()0g x '=，解得0x =，或ln(2)x k =.………………7分 所以当(0,)x ∈+∞变化时，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以函数()g x 在(0,ln(2))k 单调递减，在(ln(2),)k +∞上单调递增.………………9分 由2k >，得ln(2)ln 41k >>.又因为(1)20g k =-+<， 所以(ln(2))0g k <.不妨设12x x <（其中12,x x 为2()2f x kx =-的两个正实数根）， 因为函数()g x 在(0,ln 2)k 单调递减，且(0)10g =>，(1)20g k =-+<，所以101x <<.………………11分同理根据函数()g x 在(ln 2,)k +∞上单调递增，且(ln(2))0g k <， 可得2ln(2)ln 4x k >>，所以12214||ln 41lnex x x x -=->-=，即124||ln ex x ->.………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，椭圆C ：221113x y m m+=，………………1分所以21a m =，213b m=， 故2a ==16m =， 所以椭圆C 的方程为22162x y +=.………………3分因为2c ==，所以离心率c e a ==………………5分 （Ⅱ）解：设线段AP 的中点为D ，因为||||BA BP =，所以BD AP ⊥，………………7分 由题意，直线BD 的斜率存在，设点000(,)(0)P x y y ≠，则点D 的坐标为003(,)22x y +， 且直线AP 的斜率003AP y k x =-，………………8分 所以直线BD 的斜率为031AP x k y --=， 所以直线BD 的方程为：000033()22y x x y x y -+-=-.………………10分 令0x =，得2200092x y y y +-=，则220009(0,)2x y B y +-， 由2200162x y +=，得22063x y =-， 化简，得20023(0,)2y B y --.………………11分 所以四边形OPAB 的面积OPAB OAP OAB S S S ∆∆=+200023113||3||222y y y --=⨯⨯+⨯⨯………………12分 2000233(||||)22y y y --=+ 0033(2||)22||y y =+32⨯≥=当且仅当00322y y =，即0[y =时等号成立. 所以四边形OPAB面积的最小值为………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由题意，数列1,3,5,6和数列2,3,10,7的距离为7.………………2分 （Ⅱ）解：设1a p =，其中0p ≠，且1p ≠±. 由111n n n a a a ++=-，得211p a p +=-，31a p=-，411p a p -=+，5a p =， 所以15a a =，因此A 中数列的项周期性重复，且每隔4项重复一次.………………4分 所以{}n b 中，432k b -=，423k b -=-，4112k b -=-，413k b =（*k ∈N ），所以{}n c 中，433k c -=，422k c -=-，4113k c -=-，412k c =（*k ∈N ）.……………5分由111||||k ki i i i i i b c b c +==--∑∑≥，得项数m 越大，数列{}n b 和{}n c 的距离越大.由417||3i i i b c =-=∑，………………6分 得34564864117||||86420163i i iii i b c b c ⨯==-=-=⨯=∑∑.所以当3456m <时，1||2016m i i i b c =-<∑.故m 的最大值为3455.………………8分（Ⅲ）证明：假设T 中的元素个数大于或等于17个. 因为数列{}n a 中，0i a =或1，所以仅由数列前三项组成的数组123,,)(a a a 有且只有8个：,0,0)(0，,0,0)(1，,1,0)(0，,0,1)(0，,1,0)(1，,0,1)(1，,1,1)(0，,1,1)(1.那么这17个元素（即数列）之中必有三个具有相同的123,,a a a .………………10分设这三个数列分别为1234567,,,,,,{}n c c c c c c c c ：；1234567,,,,,,{}n d d d d d d d d ：；1234567,,,,,,{}n f f f f f f f f ：，其中111d f c ==，222d f c ==，333d f c ==.因为这三个数列中每两个的距离大于或等于3，所以{}n c 与{}n d 中，(4,5,6,7)i i c d i ≠=中至少有3个成立.不妨设445566,,c d c d c d ≠≠≠.由题意，得44,c d 中一个等于0，而另一个等于1. 又因为40f =或1，所以44f c =和44f d =中必有一个成立， 同理，得55f c =和55f d =中必有一个成立，66f c =和66f d =中必有一个成立，所以“(4,5,6)i i f c i ==中至少有两个成立”或“(4,5,6)i i f d i ==中至少有两个成立”中必有一个成立.所以71||2i i i f c =-∑≤和71||2i i i f d =-∑≤中必有一个成立.这与题意矛盾，所以T 中的元素个数小于或等于16.………………13分。
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北京市西城区2015 — 2016学年度上学期期末试卷 高三数学（理科） 2016.1本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷l 至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分．考试时间120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并回交．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|1}A x x =>，集合{2}B a =+，若A B =∅，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）(,1]-∞-（B ）(,1]-∞（C ）[1,)-+∞（D ）[1,)+∞2. 下列函数中，值域为R 的偶函数是（ ）（A ）21y x =+ （B ）e e x x y -=- （C ）lg ||y x = （D ）2y x = 3. 设命题p ：“若1sin 2α=，则π6α=”，命题q ：“若a b >，则11a b<”，则（ ） （A ）“p q ∧”为真命题 （B ）“p q ∨”为假命题 （C ）“q ⌝”为假命题 （D ）以上都不对4. 在数列{}n a 中，“对任意的*n ∈N ，212n n n a a a ++=”是“数列{}n a 为等比数列”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 5. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（ ） （A ）1623+ （B ）1625+ （C ）2023+ （D ）2025+6. 设x ，y 满足约束条件1,3,,x y y m y x +-⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≥ 若3z x y =+的最大值与最小值的差为7，则实数m =（ ）（A ）32 （B ）32- （C ）14（D ）14-7. 某市乘坐出租车的收费办法如下：不超过4千米的里程收费12元;超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元.侧(左)视图正(主)视图俯视图221 1开始 4x >输出y 结束否 是 输入xy=12○1B O CA NM相应系统收费的程序框图如图所示，其中x （单位：千米） 为行驶里程，y （单位：元）为所收费用，用[x ]表示不大于x 的 最大整数，则图中○1处应填（ ） （A ）12[]42y x =-+（B ）12[]52y x =-+（C ）12[]42y x =++（D ）12[]52y x =++8. 如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =.如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得=PE PF λ⋅成立，那么λ的取值范围是（ ）（A ）(0,7) （B ）(4,7) （C ）(0,4) （D ）(5,16)-第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知复数z 满足(1i)24i z +=-，那么z =________.10．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若A B =，3a =，2c =，则cos C =________.11．双曲线C ：221164x y -=的渐近线方程为_________；设12,F F 为双曲线C 的左、右焦点，P 为C 上一点，且1||4PF =，则2||PF =________.12．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=，3AB =，4BC =，点O 为BC 的中点，以BC 为直径的半圆与AC ，AO 分别相交于点M ，N ，则AN =________；AMMC= ________. 13. 现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有________种. 14. 某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （单位：C ）满足函数关系60,264, , 0.kx x t x +⎧=⎨>⎩≤ 且该食品在4C 的保鲜时间是16小时. 已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示. 给出以下四个结论：E F D P CA B○1 该食品在6C 的保鲜时间是8小时；○2 当[6,6]x ∈-时，该食品的保鲜时间t 随着x 增大而逐渐减少；○3 到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； ○4 到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间. 其中，所有正确结论的序号是____.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数3()cos (sin 3cos )2f x x x x =+-，x ∈R . （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）设0α>，若函数()()g x f x α=+为奇函数，求α的最小值.16．（本小题满分13分）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分. 两人4局的得分情况如下： 甲 6 6 99乙79xy（Ⅰ）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；（Ⅱ）如果7x y ==，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X ，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x 的所有可能取值.（结论不要求证明）17．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠=,2AB AC PA ===, ,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上.（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ； （Ⅱ）若M 为PD 的中点，求证：//ME 平面PAB ； （Ⅲ）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线ME 与平面ABCD 所成的角相等，求PMPD的值.18．（本小题满分13分）已知函数2()1f x x =-，函数()2ln g x t x =，其中1t ≤．（Ⅰ）如果函数()f x 与()g x 在1x =处的切线均为l ，求切线l 的方程及t 的值； （Ⅱ）如果曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点，求t 的取值范围．F CADPMB E19．（本小题满分14分）已知椭圆C :)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为23，点3(1,)2A 在椭圆C 上.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与l 相交两点1P ，2P （两点均不在坐标轴上），且使得直线1OP ，2OP 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由.20．（本小题满分13分)在数字21,2,,()n n ≥的任意一个排列A ：12,,,n a a a 中，如果对于,,i j i j *∈<N ，有i j a a >，那么就称(,)i j a a 为一个逆序对. 记排列A 中逆序对的个数为()S A .如=4n 时，在排列B ：3, 2, 4, 1中，逆序对有(3,2)，(3,1)，(2,1)，(4,1)，则()4S B =.（Ⅰ）设排列 C ： 3, 5, 6, 4, 1, 2，写出()S C 的值；（Ⅱ）对于数字1，2，，n 的一切排列A ，求所有()S A 的算术平均值；（Ⅲ）如果把排列A ：12,,,n a a a 中两个数字,()i j a a i j <交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列A '：12,,,n b b b ，求证：()()S A S A '+为奇数.北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2016.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A 2．C 3．B 4．B 5．B 6．C 7．D 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．13i -- 10．7911．12y x =±12 12． 132- 91613．54 14．○1 ○4 注：第11，12题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：3()cos (sin 3cos )2f x x x x =+- 23sin cos (2cos 1)2x x x =+-13sin 2cos 222x x =+ ………………4分πsin(2)3x =+，………………6分所以函数()f x 的最小正周期2π=π2T =. ………………7分由ππππ2π+23222x k k -+≤≤，k ∈Z ，得5ππππ+1212x k k -≤≤， 所以函数()f x 的单调递增区间为5ππππ+]1212[k k -,，k ∈Z . ………………9分 （注：或者写成单调递增区间为5ππππ+)1212(k k -,，k ∈Z . ） （Ⅱ）解：由题意，得π()()sin(22)3g x f x x αα=+=++，因为函数()g x 为奇函数，且x ∈R ，所以(0)0g =，即πsin(2)03α+=， ………………11分所以π2π3k α+=，k ∈Z ， 解得ππ26k α=-，k ∈Z ，验证知其符合题意. 又因为0α>，所以α的最小值为π3. ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记 “从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局的得分恰好相等”为事件A ， ………………1分 由题意，得2421()C 3P A ==， 所以从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局得分恰好相等的概率为13. ……4分（Ⅱ）解：由题意，X 的所有可能取值为13，15，16，18， ………………5分 且3(13)8P X ==，1(15)8P X ==，3(16)8P X ==，1(18)8P X ==，………………7分所以X 的分布列为：X 13 15 16 18 P38183818……………… 8分 所以3131()13151618158888E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………10分（Ⅲ）解：x 的可能取值为6，7，8. ………………13分 17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB AC =，135BCD ∠=， 所以AB AC ⊥.由,E F 分别为,BC AD 的中点，得//EF AB ，所以EF AC ⊥. ………………1分 因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90BAP ∠=，所以PA ⊥底面ABCD . ………………2分又因为EF ⊂底面ABCD ，所以PA EF ⊥. ………………3分 又因为PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以EF ⊥平面PAC . ………………4分 （Ⅱ）证明：因为M 为PD 的中点，F 分别为AD 的中点， 所以//MF PA ，又因为MF ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， 所以//MF 平面PAB . ………………5分 同理，得//EF 平面PAB . 又因为=MFEF F ，MF ⊂平面MEF ，EF ⊂平面MEF ，所以平面//MEF 平面PAB . ………………7分又因为ME ⊂平面MEF ，所以//ME 平面PAB . ………………9分（Ⅲ）解：因为PA ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，所以,,AP AB AC 两两垂直，故以,,AB AC AP 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如上图建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,0),(1,1,0)A B C P D E -，所以(2,0,2)PB =-，(2,2,2)PD =--，(2,2,0)BC =-， ………………10分 设([0,1])PMPDλλ=∈，则(2,2,2)PM λλλ=--， 所以(2,2,22)M λλλ--，(12,12,22)ME λλλ=+--，易得平面ABCD 的法向量(0,0,1)=m . ………………11分 设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ， 由0BC ⋅=n ，0PB ⋅=n ，得220,220,x y x z -+=⎧⎨-=⎩令1x =, 得(1,1,1)=n . ………………12分因为直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等，所以|cos ,||cos ,|ME ME <>=<>m n ，即||||||||||||ME ME ME ME ⋅⋅=⋅⋅m n m n ， ………………13分 所以 2|22|||3λλ-=， F CADPMB Ez yx解得332λ-=，或332λ+=（舍）. ………………14分 18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：求导，得()2f x x '=，2()tg x x'=，(0)x >． ………………2分 由题意，得切线l 的斜率(1)(1)k f g ''==，即22k t ==，解得1t =． ……………3分 又切点坐标为(1,0)，所以切线l 的方程为220x y --=． ………………4分 （Ⅱ）解：设函数2()()()12ln h x f x g x x t x =-=--，(0,)x ∈+∞． ………………5分 “曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点”等价于“函数()y h x =有且仅有一 个零点”．求导，得2222()2t x th x x x x-'=-=. ………………6分① 当0t ≤时，由(0,)x ∈+∞，得()0h x '>，所以()h x 在(0,)+∞单调递增．又因为(1)0h =，所以()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意． ………………8分② 当1t =时，当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：x(0,1)1(1,)+∞()h x '-0 +()h x↘↗所以()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以当1x =时，min()(1)0h x h ==，故()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意． ………………10分③ 当01t <<时， 令()0h x '=，解得x t =．当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：x(0,)t t(,)t +∞()h x '-0 +()h x↘↗所以()h x 在(0,)t 上单调递减，在(,)t +∞上单调递增， 所以当x t =时，min()()h x h t =． ………………11分因为(1)0h =，1t <，且()h x 在(,)t +∞上单调递增， 所以()(1)0h t h <=.又因为存在12e (0,1)t -∈ ，111122()12ln 0t t t t h t ----=--=>e e e e ，所以存在0(0,1)x ∈使得0()0h x =，所以函数()y h x =存在两个零点0x ，1，与题意不符.综上，曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点时，t 的范围是0{|t t ≤，或1}t =.………………13分 19．（本小题满分14分） （Ⅰ）解：由题意，得32c a =，222a b c =+， ………………2分 又因为点3(1,)2A 在椭圆C 上，所以221314ab+=， ………………3分解得2a =，1b =，3c =，所以椭圆C 的方程为1422=+y x . ………………5分（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为225x y +=. ………………6分 证明如下：假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为222(0)x y r r +=>.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为m kx y +=. ………………7分由方程组22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得0448)14(222=-+++m kmx x k ， ………………8分 因为直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，所以2221(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-=，即2241m k =+. ………………9分由方程组222,,y kx m x y r =+⎧⎨+=⎩ 得2222(1)20k x kmx m r +++-=， ………………10分 则22222(2)4(1)()0km k m r ∆=-+->.设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则12221km x x k -+=+，221221m r x x k -⋅=+， ………………11分 设直线1OP ，2OP的斜率分别为1k ，2k ， 所以221212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++=== 222222222222222111m r km k km m m r k k k m r m r k --⋅+⋅+-++==--+， ………………12分 将2241m k =+代入上式，得221222(4)14(1)r k k k k r -+⋅=+-.要使得12k k 为定值，则224141r r-=-，即25r =，验证符合题意. 所以当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足12k k 为定值14-. ………………13分当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±， 此时，圆225x y +=与l 的交点12,P P 也满足1214k k =-. 综上，当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足斜率之积12k k 为定值14-. ………………14分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()10S C =； ………………2分 （Ⅱ）解：考察排列D ：121,,,,n n d d d d -与排列1121,,,,n n D d d d d -：，因为数对(,)i j d d 与(,)j i d d 中必有一个为逆序对（其中1i j n <≤≤）， 且排列D 中数对(,)i j d d 共有2(1)C 2n n n -=个， ………………3分 所以1(1)()()2n n S D S D -+=. ………………5分 所以排列D 与1D 的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -. ………………6分而对于数字1，2，，n 的任意一个排列A ：12,,,n a a a ，都可以构造排列A 1：121,,,,n n a a a a -，且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为(1)4n n -. 所以所有()S A 的算术平均值为(1)4n n -. ………………7分 （Ⅲ）证明：○1当1j i =+，即,i j a a 相邻时， 不妨设1i i a a +<，则排列A '为12112,,,,,,,,i i i i n a a a a a a a -++，此时排列A '与排列A ：12,,,n a a a 相比，仅多了一个逆序对1(,)i i a a +，所以()()1S A S A '=+，所以()()2()1S A S A S A '+=+为奇数. ………………10分 ○2当1j i ≠+，即,i j a a 不相邻时，假设,i j a a 之间有m 个数字，记排列A ：1212,,,,,,,,,,i m j n a a a k k k a a ，先将i a 向右移动一个位置，得到排列A 1：12112,,,,,,,,,,,,i i m j n a a a k a k k a a -，由○1，知1()S A 与()S A 的奇偶性不同， 再将i a 向右移动一个位置，得到排列A 2：121123,,,,,,,,,,,,i i m j n a a a k k a k k a a -，由○1，知2()S A 与1()S A 的奇偶性不同，以此类推，i a 共向右移动m 次，得到排列A m ：1212,,,,,,,,,,m i j n a a k k k a a a ， 再将j a 向左移动一个位置，得到排列A m +1：1211,,,,,,,,,,i m j i n a a a k k a a a -，以此类推，j a 共向左移动m +1次，得到排列A 2m +1：121,,,,,,,,,j m i n a a a k k a a ，即为排列A '，由○1，可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化， 而排列A 经过21m +次的前后两数交换位置，可以得到排列A '， 所以排列A 与排列A '的逆序数的奇偶性不同， 所以()()S A S A '+为奇数.综上，得()()S A S A '+为奇数. ………………13分。