2020-2021学年初二数学培优竞赛讲与练：数的整除
初中数学竞赛：数的整除性
4.(2005年全国“华罗庚金杯”少年教学邀请赛试 题)小鸣用48元按零售价买了若干本练习本.如果按 批发价购买,每本便宜2元,恰好多买4本.问:零售价 为每本多少元？
48=1×48=2×24=3×16=4×12=6×8. 只有4×12=6×8满足6-4=2,12-8=4,所以零 售价为每本6元
注意到一个好数n一定具有形 式:n=101(10a+b)(1≤a,、b≤9),因为(ab)2/n2,所以, ab/n2又101为质数,则ab不整除101,ab/(10a+b), 故a/b,b/10a 于是,所有可能如下 1)b=a,则a2/11a→a/11,故a=b=1 (2)b=2a,则2a2/12a a/6,故(a,b)=(1,2),(2,4),(3,6 (3)b=5a,则5a2/15a a/3,故a=1,b=5 上述每一对数字都决定了一个好数,故所有的好 数是1111,1212,2424,3636,1515
例2已知7位数1287xy6是72的倍数,求出所 有符合条件的7位数(江苏省竞赛题）
解题思路因72=8×9,(8,9)=1,故原数能被 8,9整除,运用能被8，9整除的性质求出x,y的 值
因为72/1287xy6,所以8/1287xy6,9/1287xy6,由 此得1+2+8+7+x+y+6=24+x+y是9的倍数,而0 ≤ x 十y≤18,则x+y=3或12,又XY6必是8的倍数,Y6必是 4的倍散,则y=1,3,5,7或9, 当y=1时,x=2,8/216: 当y=3时,x=0,9,8不整除36;8/936; 当y=5时,x=7,8不整除756; 当y=7时,x=5,8/576; 当y=9时,x=3,8不整除396,所以符合条件的7位数 是1287216,1287936,1287576
全国初中数学竞赛辅导(初2)第24讲整数的整除性
第二十四讲* 整数的整除性整数的整除性问题，是数论中的最基本问题，也是国内外数学竞赛中最常出现的内容之一．由于整数性质的论证是具体、严格、富有技巧，它既容易使学生接受，又是培养学生逻辑思维和推理能力的一个有效课题，因此，了解一些整数的性质和整除性问题的解法是很有必要的．1．整除的基本概念与性质所谓整除，就是一个整数被另一个整数除尽，其数学定义如下．定义设a，b是整数，b≠0．如果有一个整数q，使得a=bq，那么称a能被b整除，或称b整除a，并记作b｜a．如果不存在这样的整数q，使得a=bq，则称a不能被b整除，或称b不整除a，记作ba．关于整数的整除，有如下一些基本性质：性质1 若b｜a，c｜b，则c｜a．性质2 若c｜a，c｜b，则c｜(a±b)．性质3 若c｜a，cb，则c(a±b)．性质4 若b｜a，d｜c，则bd｜ac．性质5 若a=b＋c，且m｜a，m｜b，则m｜c．性质6 若b｜a，c｜a，则[b，c]｜a(此处[b，c]为b，c的最小公倍数)．特别地，当(b，c)=1时，bc｜a(此处(b，c)为b，c的最大公约数)．性质7 若c｜ab，且(c，a)=1，则c｜b．特别地，若p是质数，且p｜ab，则p｜a或p｜b．性质8 若a≠b，n是自然数，则(a-b)｜(an-bn)．性质9 若a≠-b，n是正偶数，则(a＋b)｜(an-bn)．性质10 若a≠-b，n是正奇数，则(a＋b)｜(an＋bn)．2．证明整除的基本方法证明整除常用下列几种方法：(1)利用基本性质法；(2)分解因式法；(3)按模分类法；(4)反证法．下面举例说明．例1 证明：三个连续奇数的平方和加1，能被12整除，但不能被24整除．分析要证明一个数能被12整除但不能被24整除，只需证明此数等于12乘上一个奇数即可．证设三个连续的奇数分别为2n-1，2n＋1，2n+3(其中n是整数)，于是(2n-1)2+(2n+1)2+(2n+3)2＋1=12(n2＋n＋1)．所以12｜[(2n-1)2＋(2n＋1)2＋(2n＋3)2]．又n2+n＋1=n(n＋1)+1，而n，n+1是相邻的两个整数，必定一奇一偶，所以n(n+1)是偶数，从而n2＋n+1是奇数，故24[(2n-1)2+(2n+1)2＋(2n＋3)2]．例2 若x，y为整数，且2x+3y，9x＋5y之一能被17整除，那么另一个也能被17整除．证设u=2x＋3y，v=9x＋5y．若17｜u，从上面两式中消去y，得3v-5u=17x．①所以 17｜3v．因为(17，3)=1，所以17｜v，即17｜9x＋5y．若17｜v，同样从①式可知17｜5u．因为(17，5)=1，所以17｜u，即17｜2x ＋3y．q＞1．求pq的值．解若p=q，则不是整数，所以p≠q．不妨设p＜q，于是是整数，所以p只能为3，从而q=5．所以pq=3×5=15．例4 试求出两两互质的不同的三个自然数x，y，z，使得其中任意两个的和能被第三个数整除．分析题中有三个未知数，我们设法得到一些方程，然后从中解出这些未知数．最小的一个：y｜(y＋2x)，所以y｜2x，于是数两两互质，所以x=1．所求的三个数为1，2，3．例5 设n是奇数，求证：60｜6n-3n-2n-1．分析因为60=22×3×5，22，3，5是两两互质的，所以由性质6，只需证明22，3，5能被6n-3n-2n-1整除即可．对于幂的形式，我们常常利用性质8～性质10，其本质是因式分解．证60=22×3×5．由于n是奇数，利用性质8和性质10，有22｜6n-2n，22｜3n＋1，所以22｜6n-2n-3n-1， 3｜6n-3n， 3｜2n+1，所以3｜6n-3n-2n-1，5｜6n-1，5｜3n+2n，所以5｜6n-1-3n-2n．由于22，3，5两两互质，所以60｜6n-3n-2n-1．我们通常把整数分成奇数和偶数两类，即被2除余数为0的是偶数，余数为1的是奇数．偶数常用2k表示，奇数常用2k+1表示，其实这就是按模2分类．又如，一个整数a被3除时，余数只能是0，1，2这三种可能，因此，全体整数可以分为3k，3k＋1，3k＋2这三类形式，这是按模3分类．有时为了解题方便，还常把整数按模4、模5、模6、模8等分类，但这要具体问题具体处理．例6 若整数a不被2和3整除，求证：24｜(a2-1)．分析因为a既不能被2整除，也不能被3整除，所以，按模2分类与按模3分类都是不合适的．较好的想法是按模6分类，把整数分成6k，6k＋1，6k＋2，6k＋3，6k＋4，6k＋5这六类．由于6k，6k＋2，6k＋4是2的倍数，6k＋3是3的倍数，所以a只能具有6k＋1或6k＋5的形式，有时候为了方便起见，也常把6k ＋5写成6k-1(它们除以6余数均为5)．证因为a不被2和3整除，故a具有6k±1的形式，其中k是自然数，所以a2-1=(6k±1)2-1=36k2±12k=12k(3k±1)．由于k与3k±1为一奇一偶(若k为奇数，则3k±1为偶数，若k为偶数，则3k±1为奇数)，所以2｜k(3k±1)，于是便有24｜(a2-1)．例7 求证：3n+1(n为正整数)能被2或22整除，但不能被2的更高次幂整除．证按模2分类．若n=2k为偶数，k为正整数，则3n＋1=32k＋1=(3k)2＋1．由3k是奇数，(3k)2是奇数的平方，奇数的平方除以8余1，故可设(3k)2=8l＋1，于是3n＋1=8l＋2=2(4l＋1)．4l＋1是奇数，不含有2的因数，所以3n＋1能被2整除，但不能被2的更高次幂整除．若n=2k＋1为奇数，k为非负整数，则3n+1=32k＋1+1=3·(3k)2＋1=3(8l＋1)＋1=4(6l＋1)．由于6l＋1是奇数，所以此时3n+1能被22整除，但不能被2的更高次幂整除．在解决有些整除性问题时，直接证明较为困难，可以用反证法来证．例8 已知a，b是整数，a2＋b2能被3整除，求证：a和b都能被3整除．证用反证法．如果a，b不都能被3整除，那么有如下两种情况：(1)a，b两数中恰有一个能被3整除，不妨设3｜a，3b．令a=3m，b=3n±1(m，n都是整数)，于是a2+b2=9m2+9n2±6n+1=3(3m2＋3n2±2n)+1，不是3的倍数，矛盾．(2)a，b两数都不能被3整除．令a=3m±1，b=3n±1，则a2＋b2=(3m±1)2+(3n±1)2=9m2±6m+1+9n2±6n＋1=3(3m2+3n2±2m±2n)＋2，不能被3整除，矛盾．由此可知，a，b都是3的倍数．例9 设p是质数，证明：满足a2=pb2的正整数a，b不存在．证用反证法．假定存在正整数a，b，使得a2=pb2令(a，b)=d，a=a1d，b=b1d，则(a1，b1)=1．所以与(a1，b1)=1矛盾．例10 设p，q均为自然数，且求证：29｜p．证注意到29是质数．令a=10×11× (19)所以ap=29q·b，29｜a·p，29是质数，且29a，所以29｜p．练习二十四1．求证：对任意自然数n，2×7n＋1能被3整除．2．证明：当a是奇数时，a(a2-1)能被24整除．3．已知整数x，y，使得7｜(13x+8y)，求证：7｜(9x＋5y)．4．设p是大于3的质数，求证：24｜(p2-1)．5．求证：对任意自然数n，n(n-1)(2n-1)能被6整除．6．求证：三个连续自然数的立方和能被9整除．7．已知a，b，c，d为整数，ab＋cd能被a-c整除，求证：ad＋bc也能被a-c整除．。
专题01 数的整除(专项培优训练)(教师版)
专题01 数的整除（专项培优训练）试卷满分：100分考试时间：120分钟难度系数：0.68一．填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）1．（2分）（2020秋•浦东新区期末）能同时被2和5整除的最小两位数是 10 ．解：能被2整除的整数的尾数可为0，2，4，6，8；能被5整除的整数的尾数可为0，5；∴能同时被2和5整除的最小的两位数是10．故答案为：10．2．（2分）（2021秋•宝山区校级月考）能被2、3、5同时整除的最小的三位数是 120 ，最小的四位数是 1020 ．解：因为2、3、5的最小公倍数是2×3×5＝30，而100÷30＝3……10，1000÷30＝33……10，所以30×4＝120，30×34＝1020，即能被2、3、5同时整除的最小的三位数是120，最小的四位数是1020．故答案为：120，1020．3．（2分）（2019秋•徐汇区校级月考）写出一个能被7整除的最小偶数（正数） 14 ．解：7×2＝14，14为能被7整除的最小偶数．故答案为：14．4．（2分）（2019秋•嘉定区期中）将4、5、0这三个数排成一个三位数，能被5整除最大的是 540 ．解：因为将4、5、0这三个数排成一个三位数，可能是450，540，所以能被5整除最大的是540．故答案为：540．5．（2分）（2021秋•长宁区校级期中）能同时被2，3，5整除的最大三位数是 990 ．解：能被5整除的数的个位数字是5或0，能被2整除的数的尾数是0，2，4，6，8，所以这个三位数的个位数为0，因为数990中，9+9+0＝18，18是3的倍数，所以最大三位数是990，故答案为：990．6．（2分）（2022秋•徐汇区期末）既能被2整除，又能被5整除的最小正整数是 10 ．解：根据能被2，5整除的数的特征可知，既能被2整数，又能被5整除的最小正整数是：10．故答案为：10．7．（2分）（2020秋•浦东新区期中）两个合数的最大公因数是3，最小公倍数是30，则这两个数分别是： 6和15 ．解：30×3＝90，因为90＝6×15，所以这两个数分别为6和15；故答案为：6和15．8．（2分）（2014秋•浦东新区期中）商店开展有奖购物活动，一等奖的中奖号码是一个三位数，百位上的数字是最小的素数，十位上的数字是最小的自然数，个位数字上是最小的合数，这个一等奖的中奖号码是 204 ．解：最小的素数是2，最小的自然数是0，最小的合数是4，∵一等奖的中奖号码是一个三位数，百位上的数字是最小的素数，十位上的数字是最小的自然数，个位数字上是最小的合数，∴这个一等奖的中奖号码是 204；故答案为：204．9．（2分）（2021秋•嘉定区期末）一个长方形的周长为30厘米，且长和宽都是素数，这个长方形的面积是 26 平方厘米．解：长和宽的和是：30÷2＝15（厘米），∵15＝2+13，∴长方形的面积为13×2＝26（平方厘米）．故这个长方形的面积是26平方厘米．故答案为：26．10．（2分）（2021秋•金山区期末）如果A＝2×3×3×a，B＝2×2×3×a，且A、B的最小公倍数是180，那么a＝ 5 ．解：由题意得2×3×3×a×2＝180，解得：a＝5．故答案为：5．11．（2分）（2021秋•青浦区校级期末）定义新运算“*”如下：对于两个自然数a和b，它们的最大公因数与最小公倍数的和记为a*b，例如：6*8＝2+24＝26，根据上面的定义运算，12*15＝ 63 ．解：∵12＝2×2×3，15＝3×5，∴12和15的最大公约数是3，最小公倍数是2×3×2×5＝60，所以12*15＝3+60＝63；故答案为：63．12．（2分）（2021秋•宝山区校级月考）一个能被2和3整除的四位数，它的千位上的数是奇数又是合数，它的百位上的数不是素数也不是合数，它十位上的数是最小的素数，个位上的数是 6或0 ．解：∵它的千位上的数是奇数又是合数，∴千位是9，∵它的百位上的数不是素数也不是合数，∴百位是1，∵它十位上的数是最小的素数，∴十位是2，∵又能被2和3整除的四位数，∴个位数字是6或0，故答案为：6或0．二．选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）13．（2分）（2022秋•闵行区校级期中）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（ ）A．25和50B．42和3C．10和4D．9和1.5解：A，50÷25＝2，本选项符合题意；B，，本选项不符合题意；C，，本选项不符合题意；D，，本选项不符合题意；故选：A．14．（2分）（2022秋•徐汇区校级期中）下列说法中，正确的个数有（ ）①32能被4整除；②1.5能被0.5整除；③13能整除13；④0能整除5；⑤25不能被5整除；⑥0.3不能整除24．A．2个B．3个C．4个D．5个解：①32能被4整除，说法正确；②1.5不能被0.5整除，说法错误；③13能整除13，说法正确；④0不能整除5，说法错误；⑤25能被5整除，说法错误；⑥0.3不能整除24，说法正确．说法正确的有3个．故选：B．15．（2分）（2021秋•奉贤区期末）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（ ）A．3.6和1.2B．35和8C．27和3D．13.4和2解：A、3.6和1.2都不是整数，第一个数不能被第二个数整除，故此选项不符合题意；B、∵35÷8＝4…3，∴35不能被8整除，第一个数不能被第二个数整除，故此选项不符合题意；C、∵27÷3＝9，∴27能被3整除，第一个数能被第二个数整除，故此选项符合题意；D、13.4不是整数，第一个数不能被第二个数整除，故此选项不符合题意．故选：C．16．（2分）（2020秋•静安区期末）一个整数既能被6整除，又能被8整除，则它还一定能被（ ）整除．A．10B．12C．16D．18．解：因为6的因数是2和3，8的因数是2和4，所以一个数能被6整除，又能被8整除，所以这个数能被12整除．故选：B．17．（2分）（2022秋•杨浦区期中）下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（ ）A．12和5B．4.5和1.5C．4和28D．36和9A．12÷5＝，不符合题意，故A错误；B．4.5和1.5不是整数，不符合题意，故B错误；C．4÷28＝，不符合题意，故C错误；D．36÷9＝4，符合题意，故D正确；故选：D．18．（2分）（2022秋•闵行区期末）下列说法正确的是（ ）A．因为10÷4＝2.5，所以10是4的倍数B．所有正整数，不是素数就是合数C．2既是偶数又是素数D．比3小的自然数只有1和2解：A．10÷4＝2.5，2.5不是整数，故此选项说法错误；B.1既不是素数也不是合数，此选项说法错误；C．2既是偶数又是素数，说法正确；D．比3小的自然数有0、1、2故选：C．三．简答题（共6小题，满分33分）19．（8分）（2021秋•宝山区校级月考）求下列各组数的最大公因数和最小公倍数：（1）8和9；（2）12和48；（3）13和104；（4）34和51．解：（1）8和9是互质数，互为质数的两个数的最大公因数是1，故8和9的最大公因数是1，互为质数的两个数的最小公倍数是它们的乘积，故8和9的最小公倍数是：8×9＝72：（2）12＝3×2×2和48＝2×2×2×2×3，故12和48的最大公因数是：2×2×3＝12，12和48的最小公倍数是：3×2×2×2×2＝48；（3）13和104＝13×8，故13和104的最大公因数是13，13和104的最小公倍数是：13×8＝104：（4）34＝17×2和51＝3×17，故34和51的最大公因数是17，34和51的最小公倍数是：17×3×2＝102．20．（4分）（2021秋•宝山区校级月考）分解素因数：（1）32；（2）150．解：（1）把32分解素因数：32＝2×2×2×2×2；（2）把150分解素因数：150＝2×5×3×5．21．（3分）（2021秋•长宁区校级期中）用短除法求54与144的最大公因数和最小公倍数．解：如图，用短除法把54和144分解质因数为：∴最大公因数＝2×3×3＝18，最小公倍数＝2×3×3×3×8＝432．22．（6分）（2020秋•浦东新区月考）在下面素数表内的空白处，填上适当的素数．100以内的素数 2 35711 13 17 1923293137 41 43475359 61 677173798389 97 ……解：根据质数的定义（一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，又叫做素数），得：100以内的素数2357111317192329313741434753596167717379838997……故答案为：2；13；17；41；61；97．23．（6分）（2020秋•徐汇区校级期中）在从五个数字0，1，5，6，7中取三个可以拼出的三位数中（直接写出答案）．（1）写出能被9整除的所有三位数；（2）写出能同时被2，5，3整除的所有三位数；（3）写出能被33整除的所有三位数．解：（1）∵5+6+7＝18，18是9倍数，∴由5、6、7组成的三位数能被9整除，∴能被9整除的所有三位数有：567、576、657、675、756、765；（2）∵能同时被2，5，3整除的所有三位数必是30的倍数，∴本位数的个位为0，各个数位数字和是3的倍数，∴由0、1、5或0、5、7两组数字组成的个位为0的三位数才能被2，5，3整除，∴能同时被2，5，3整除的所有三位数的：150、510、570、750；（3）∵被33整除，∴各个数位数字和能被3整除；奇数位上的数字与偶数位上的数字之差能被11整除，∴能被33整除的所有三位数为：165、561．24．（6分）（2019秋•浦东新区期中）两百年前，德国数学家哥德巴赫发现：任何一个不小于6的偶数都可以写成两个奇素数（既是奇数又是素数）之和，简称：“l+1“．如6＝3+3，12＝5+7等等．众多数学家用很多偶数进行检验，都说明是正确的，但至今仍无法从理论上加以证明，也没找到一个反例．这就是世界上著名的哥德巴赫猜想．你能检验一下这个伟大的猜想吗？请把偶数42写成两个奇素数之和.42＝ 7 + 35 ，或者42＝ 13 + 29 ．你是否有更大的发现：把42写成4个奇素数之和？42＝ 3 + 7 + 15 + 17 ．解：根据题意得：42＝7+35或42＝13+29；42＝3+7+15+17（答案不唯一）；故答案为：7，35；13，29；3，7，15，17．四．解答题（共6小题，满分31分）25．（4分）（2022秋•松江区期中）一张长36厘米，宽20厘米的长方形纸片，把它裁成大小相等的正方形小纸片而没有剩余，裁出的正方形纸片最少有多少张？解：∵36＝2×2×3×3，20＝2×2×5，∴36、20的最大公因数为：2×2＝4，∴36×20÷（4×4）＝720÷16＝45（张），答：裁出的正方形纸片最少有45张．26．（4分）（2022秋•嘉定区期中）有三根绳子，分别长36米，54米，63米，现在要将它们裁成长度相等的短绳且没有剩余，每根短绳最长可以是几米？这样的短绳有几根？解：∵36＝2×3×2×3，54＝2×3×3×3，63＝3×3×7，∴36，54，63的最大公因数是9，4+6+7＝17，答：每根短绳最长可以是9米，这样的短绳有17根．27．（4分）（2022秋•闵行区校级期中）从运动场的一端到另一端全长100米，从一端起到另一端止每隔4米插一面小红旗．现在要改成每隔5米插一面小红旗，有多少面小红旗不用移动？解：5和4的最小公倍数是20，∴100÷20+1＝5+1＝6（面）．答：有6面小红旗不用移动．28．（6分）（2022秋•宝山区期中）如果两个相邻的奇数都是素数，就说它们是一组孪生素数．如11和13就是一组孪生素数，（1）请你举出除此之外的两组孪生素数；（2）如果三个相邻的奇数都是素数，就说它们是“三胞胎素数”，请写出一组“三胞胎素数”．（本题只需直接写出答案）解：（1）3和5是一组孪生素数，5和7是一组孪生素数；（2）3、5、7是“三胞胎素数”．29．（5分）（2021秋•宝山区校级月考）有两列公交车，宝山6路每30分钟发一次车，宝山8路每25分钟发一次车．请问：一位公交指挥员从早晨6点30分同时发车后，直到下午4点，这两班车在哪些时刻同时发车？解：，根据题意可得：30和25的最小公倍数是150，150÷60＝2.5，即两个半小时，∴从早晨6点30分同时发车后，再同时发车时间为9点，11点半，14点，∴两班车在上午9点，11点半，下午2点同时发车．30．（8分）（2022秋•徐汇区校级期中）“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这是驰名中外的中国古代问题之一，它是我国古代的一本著名的数学名书《孙子算经》中的一道题目，人们把它称为“韩信点兵”．这道题目可以译为：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合条件的最小的数？这就是外国人所称的“中国剩余定理”，是数学史上极有名的问题．表示的具体解法是：先分别求出能被5和7整除而被3除余1的数（70），能被3和7整除而被5除余1的数（21），能被3和5整除而被7除余1的数（15），然后用被3、5、7除所得的余数（即2、3、2）分别去乘这三个数，再相加，也就是70×2+21×3+15×2＝233．最后从233中减去3、5、7的最小公倍数105，如果得出的差还是比105大，就再减去105，一直到得数比105小为止．233﹣105×2＝23．这就是适合条件的最小的数．同学们，你能不能用这样的方法来解答下面的题目呢？或许你有更好的办法！一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小自然数．解：能被6和7整除而被5除余1的数（126），能被5和7整除而被6除余1的数（175），能被5和6整除而被7除余1的数（120），126×3+175×4+120×1＝378+700+120＝1198．1198﹣210×5＝1198﹣1050＝148．答：适合条件的最小自然数是148。
初中数学竞赛标准教程及练习69数的整除三 2.docx
初中数学竞赛精品标准教程及练习(69)数的整除(三)一、内容提要在第1讲《数的整除(一)》和44讲《数的整除(二)》中，分别介绍了数的整除特征和运用因式分解法解答数的整除问题，本讲介绍应用“同余”方面的知识.同余的概念两个整数a和b被同一个正整数m除，所得的余数相同时，称a, b 关于模m同余.记作a=b(mod m).如：8和15除以7同余1,记作8=15(mod 7),读作8和15关于模7同余.72003=7X286+1,/. 2003 = 1 (mod 7)；V-7和6对于模13同余6 (余数是非负数)A-7=6 (mod 13)；•••35和0除以5,余数都是0 (即都能整除).".35=0 (mod 5).用同余式判定数的整除若a=b(mod m), 则m|(a~b).即a-b=0(mod m) U> m|(a—b).例如：11 三25(mod7)0 7|(25 —11)；或7|(ll-25).V25+35=2+3=0(mod 5),A5|25+35.同余的性质(注意同余式与等式在变形中的异同点)a三Z?(mod m)]传递性：'二> G三c(mod m)・b = c(mod m)a = /?(mod [ a + c 三b + 〃(mod m)；可加可乘性：f…、c三J(modm).J [ac三bd(mod m).推论可移性：a=b+c (mod m)=>(a—b)三c(mod m).可倍性：a=b(iriod m)=>ka=kb(mod m) (k 为正整数).可乘方：a=b(mod m)=> a n=b n(mod m) (n 为正整数).a b m当d 是a, b, m 的正公因数时，a=b(mod m) => — = — (mod 一 ).d d d如：2 是20, 26, 6 的正公因数，20=26(mod 6) => 10 = 13(mod 3).根据抽屉原则：任给m+1个整数，其中至少有两个数对于模m同余.即至少有两个，其差能被m整除.例如：任给5个数a, b, c, d, e.其中至少有两个，它们的差能被4整除.•・•除以4的余数只有0, 1, 2, 3四种.・・・5个数除以4至少有两个同余.二、例题例1.已知：69, 90, 125除以正整数n有相同的余数. 求：n的值解：V69=90(mod n), 90= 125(mod n).・・・ n|(90-69), n|( 125-90).而21,35的最大公约数是7, 记作⑵,35)=7 (7是质数).n=7例2.求3炉除以5的余数.解：V38=3 (mod 5),・・・3炉三3*三(3纽三(一I)"三1 (mod5).(注意9除以5余4, 一1除以5也是余4, A32=-l (mod5) 例3.求7"的个位数字.解：V74k+n与7*1的个位数字相同，且9=1 (mod 4),:.9°=19 =l(mod4).A 79，＞与刃的个位数字相同都是7.例4.求证：7|(22225555+55552222).证明:V 22225555+55552222=(22225)'111 +(55552)''1'A22225=35=5(mod 7)；55552=42=2 (mod 7).A22225+55552=5+2=0 ( mod 7).即22225=-55552 (mod 7)・・•・(22225)1川三(一55552)1山三-(55552)1111 (mod 7).•••22225血+5555型2三o god 7).例5.求使32n-l能被5整除的一切自然数n.解：V32=-l (mod 5), .\(32)n=(-l)n (mod 5).32n-l=(-l)n-l (mod 5)・・•当且仅当n为偶数时，(一I)"—1二0.・••使32n-l能被5整除的一切自然数n是非负偶数例6.己知：a, b, c是三个互不相等的正整数.求证：a3b — ab\ b3c—bc\ c3a~ca3三个数中，至少有一个数能被10整除.证明：用同余式判定整除法证明当正整数n的个位数是0, 1, 4, 5, 6, 9时，I?的个位数也是0, 1, 4, 5, 6, 9.•I这时n3= n (mod 10)；当正整数n的未位数为2, 3, 7, 8时，I?的个位数分别是8, 7, 3, 2.・.・8与一2, 7与一3, 3与一7, 2与一8,除以10是同余数，二这时n3=—n (mod 10)；把三个正整数a, b, c按个位数的情况，分为上述两类时，则至少有两个属于同一类.设a, b的末位数是同一类，那么a3b —ab3=ab —ab=O (mod 10)：或a3b—ab5=(—a)b—a(—b)=0 (mod 10). ・•・ 10| (a3b-ab3)72222=7X317+3 ,.•⑵？？三3 ( mod5555=7X793+4.5555=4 (mod 7).三、练习691.三个数33, 45, 69除以正整数N有相同余数，但余数不是0,那么N二__________ .2.求77’的个位数字.3.求374592除以19的余数；4戦9除以9的余数.4.求1989网咤1990的余数.5.四个数2836, 4582, 5164, 6522都被同一个正整数除，所得的余数都相同口不是0,求除数和余数.6.求证：7|(33334444+44443333).7.己知：正整数n>2.求证：三3 (mod 4).s--- V - '〃个&任给8个整数，其小必有两个，它们的差能被7整除，试证之.9.求使2"+1能被3整除的一切自然数n.10.己知69, 90, 125除以N (N>1)有同余数，那么对于同样的N, 81同余于( )(A) 3. (B) 4. (C) 5. (D) 7. (E) 8.三、练习69参考答案：1.N=12, 6,2.(舍去3,・・•余数是0).解法仿例1.7 72.个位数字是3. V7 =-1 (mod4), A 77' =(~1)7 (mod 4)……仿例33.余数是18 和1. V37=-l (mod 19)・••原式三一1 三18 (mod 19)；41989=(43)663 64三1 (mod 9) 64663= I663 = 1.4.余数是1. V1989=-l (mod 1990) A 19891990=(-l)l990=l (mod 1990).5.根据题意2836三4582三5164三6522三r (mod m)而且4582-2836=1746, 6522—5164=1358.・I m| 1746, 且m| 1358, (1746, 1358)=2X97・・・m=194,97, 2 (2不合题意.舍去)答：除数为194, 余数是120或除数为97, 余数是236.J 33334444+4444B35= -1 )B33=0 (mod 7).7.11---11 = 1 l---U00+ll = ll=3(mod 4).' -------------- V -------- ' ' ----------V ---------- '"个"-2个8.8个正整数分别除以7,必有两个或两个以上是同余数9.V2=-l (mod 3) .-.2n=(-l)n (mod 3)2n+l=(-l)n+l (mod 3)当且仅当n奇数时，(一1 )吟1三0・・・能被3整除的一切正整数n是奇数10.(B)赠:小学五年级数学竞赛题1. ................................... 把自然数1.2.3. 4 ...................................................................... 的前几项顺次写下得到一个多位数1234567891011 .............................................................................. 已知这个多位数至少有十位,并且是9和11的倍数.那么它至少有几位？2.在做两个数的乘法时，甲把被剩数的个位数字看错了，得结果是255,乙把被剩数的十位数字看错了，得结果是365,那么正确的乘积是多少？3.将23分成三个不同的奇数Z和，共有几种不同的分法?4、把自然数1、2、3、4 ........... 的前几项顺次写下得到一个多位数12345678910111213…… 已知这个多位数至少有十位，并且是9的倍数，那么它最少有几位数？5、恰有两位数字相同的三位数共有儿个?6、有一群小孩，他们中任意5个孩子的年龄之和比50少，所有孩子的年龄之和是202,这群孩子至少有儿人？7、甲乙两同学按先后顺序摆多米诺骨牌，要求摆成正方形，由于每人手里一次只能拿10块，故每次每人摆10块。
初中数学竞赛：数的整除性
一，知能概述
对于整数a和不为零的整数b,总存 在整数m,n使得a-bm+n(0≤n<b),其中 m称为商,n称为余数,特别地,当n=0 时,即a=bm,便称a被b整除(也称a是b 的倍数或b是a的约数),记为b/a整除 有以下基本性质
1.若a|b,alc,则a|(b±c)2.若ab,b1c,则a|c;3.若ab,且 (aC)=1,则ab,特别地,若质数pb,则必有pb或pl;4.若 ba,ca,且(b,c)=1,则bea解整除有关间题常用到数的 整除性常见特征被2整除的数:个位数字是偶数
三，练习
1.(第14届五羊杯竞赛题)2002的不大于100的
正约数有( )
A.8个 B.9个
C.10个
D.11个
20 02=2×7×11×13.易见它的不大于 100的约数是 1,2,7,11,137,2×11,2×13,7×11,7×13,共 10个
2.(2005年河北初中数学竞赛题)在小于 1000的正整数中,能被5整除或能被7整除, 但是不能被35整除的数的个数为( )
6.(首届华杯赛试题)一个六位数3434ab能同时 被8和9整除,已知a+b=c,求c的最小值
由n=3434ab是9的倍数,知 3+4+3+4+a+b=14+a+b是9的倍数故a+b=4或13 由n是8的倍数,知4ab是8的倍数,从而ab是8的 倍数,易见a==0符合条件,且使a+b=c取最小值 4.
如果用[x]表示正数x的整数部分,那么,在小 于1000的999个正整数中,有[999/5]个数能被 5整除, [999/7]个数能被7整除.而既能被5整 除,又能被7整除的数有[999/35]个故所求数 的个数为[999/5]+ [999/7]-2 [999/35]=285
2020-2021学年数学人教版八年级培优和竞赛二合一讲炼教程-13-分式总复习
例2. 计算： a 1
a3
分析：如果先通分，分子运算量较大，观察分子中含分母的项与分母的关系，可采取“
分离分式法”简化计算。
a(a 1) 1 a(a 3) 1
解：原式
a 1
a3
a 1 (a 1 )
a 1
a3
11
a 1 a3
(a 3) (a 1)
(a 1)(a 3)
2a 2
当 x 2 时，分母 x 2 3x 2 0 ，原分式无意义。
例2．已知 x 2 3x 2 0 ，那么代数式
x 1
的值是_________。
分析：先化简所求分式，发现把 x 2 3x 看成整体代入即可求的结果。 解：原式 (x 1)2 (x 1) x 2 2x 1 x 1 x 2 3x x2 3x 2 0 x2 3x 2
(a 1)(a 3)
例3.
1
解方程：
x2
1 7x
6
x2 x2
5x 5 5x 6
分析：因为 x 2 7x 6 (x 1)(x 6) ， x 2 5x 6 (x 2)(x 3) ，所以最简公分
母为： (x 1)(x 6)(x 2)(x 3) ，若采用去分母的通常方法，运算量较大。由
x 0 经检验， x 0 是原方程的根。
3. 在代数求值中的应用
例4. 已知 a 2 6a 9 与 |b 1| 互为相反数，求代数式
( a2
4 b2
a ab 2
b a
2b
)
a 2 ab 2b2 a 2b 2ab2
b a
的值。
分析：要求代数式的值，则需通过已知条件求出a、b的值，又因
x2 y2
x y ，则M＝__________。
数的整除练习题
数的整除练习题数的整除练习题数的整除是数学中的一项基本概念，也是我们日常生活中常常会遇到的问题。
无论是在学校的数学课堂上，还是在购物时计算折扣，整除都扮演着重要的角色。
本文将通过一些练习题来帮助读者加深对数的整除的理解和应用。
1. 请问下列哪个数能够整除12：8、5、3、2？解答：整除是指一个数可以被另一个数整除，即没有余数。
我们可以逐个尝试这些数与12相除，看是否有余数。
首先，8 ÷ 12 = 0余8，所以8不能整除12。
然后，5 ÷ 12 = 0余5，所以5也不能整除12。
接下来，3 ÷ 12 = 0余3，所以3也不能整除12。
最后，2 ÷ 12 = 0余2，所以2也不能整除12。
综上所述，以上四个数都不能整除12。
2. 某个数能够整除15和35，那么它能够整除多少？解答：我们可以找出15和35的公约数，即能够同时整除这两个数的数。
首先，列出15的因数：1、3、5、15。
然后，列出35的因数：1、5、7、35。
可以看到，15和35的公约数是1和5。
所以，某个数能够整除15和35的话，它一定能够整除1和5。
因此，它能够整除的数有1和5。
3. 请问下列哪个数能够整除24：12、8、6、4？解答：同样地，我们可以逐个尝试这些数与24相除。
首先，12 ÷ 24 = 0余12，所以12不能整除24。
然后，8 ÷ 24 = 0余8，所以8也不能整除24。
接下来，6 ÷ 24 = 0余6，所以6也不能整除24。
最后，4 ÷ 24 = 0余4，所以4也不能整除24。
综上所述，以上四个数都不能整除24。
4. 某个数能够整除18和27，那么它能够整除多少？解答：同样地，我们列出18和27的因数。
18的因数是1、2、3、6、9、18，27的因数是1、3、9、27。
可以看到，18和27的公约数是1、3和9。
所以，某个数能够整除18和27的话，它一定能够整除1、3和9。
(完整版)数的整除特征专项训练
数的整除特色专项训练一、性质1、若是整数 A、B 都能被 C 整除，那么他们的和A＋B 或差 A－B 也能被 C 整除。
比方： 8 整除 64，8 整除 24，那么 8 整除 64＋24 或 64－ 24。
2、若是 A 能被 B 整除， B 能被 C整除，那么 A 能被 C整除。
比方： 30 能被 15 整除， 15 能被 5 整除，那么 30 能被 5 整除。
二、数的整除特色能被 2 整除的数的特色：个位数字是 0、 2、 4、 6、 8。
能被 3 整除的数的特色：各位数字之和是 3 的倍数。
能被 4（或 25）整除的数的特色：末两位数能被 4（或 25）整除。
能被 5 整除的数的特色：个位数字是 0 或 5。
能被 8（或 125）整除的数的特色：末三位数能被 8（或 125）整除。
能被 9 整除的数的特色：各位数字之和是 9 的倍数。
能被 11 整除的数的特色：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11 整除。
能被 7、11、13 整除的数的特色：末三位数与末三位数以前的数所组成的数之差能被7、11、13整除。
一个三位数连续写偶数次，所得的数能被7、11、13 整除三、例题与练习例 1、判断下面的数可否能整除。
1674565423067867 2345875 283504 34534514773 34578911例 2、判断下面的数可否能整除。
23454456765235704573496432658658 614251215例 3、四位数 2□2□能同时被 8、 9 整除，那么这个四位数是多少？练一练在 3□ 2□的方框里填入合适的数字，使这个四位数能被 15 整除，这样的四位数中最大的是多少？例 4、将 1、 2、3、4 这四个数任意排列，可组成若干个四位数，在这些四位数中，能被11 整除的数最小是多少？能被 4 整除的数最小是多少？1、由 1、2、3 这三个数任意排列，可组成若干个三位数，在这些三位数中，能被11 整除的数有哪些？2、从 0、3、5、7 这四个数中选择三个数，排成一个三位数，使它能同时被2、3、5 整除，这样的三位数最大的是哪个？3、在 568 后边补上三个数字，组成一个六位数，使它能被3、4、 5 整除，这个六位数最小是多少？例5、某个七位数 1993 口口口能同时被 2、3、4、5、6、7、8、9 整除，那么它的最后三位数字依次是多少 ?1、四位数 45□□能同时被 4、9 整除，这个四位数最小是多少？2、六位数 36□2□□能同时被3、4、5 整除，这个六位数最大是多少？3、用 0、2、3、5、6 这五个数字中的四个能组成能被11 整除的四位数，这些四位数中最小的一个是多少？4、七位数 23□354□能被 72 整除，两个□中的数的乘积是多少？5、已知五位数 3□6□5 是 75 的倍数，这样的五位数最大的一个是多少？6、由 1、2、5、6、7、 9 这六个数字所组成的六位数中，能被11 整除的最大的数是多少？。
初中数学竞赛精品标准教程及练习18式的整除
初中数学竞赛精品标准教程及练习18式的整除整除是指一个数能够整除另一个数，即能够被另一个数整除而不产生余数。
在初中数学竞赛中，整除是一个非常重要的概念。
掌握整除的性质和相关的解题方法将有助于学生更好地应对数学竞赛中的各种问题。
一、整除的定义整除是指一个数能够被另一个数整除而不产生余数。
如果一个数a能够被另一个数b整除，就可以表示为a能够整除b，也可以表示为b能够被a整除。
用数学语言表达就是a能够整除b表示为a，b，读作a整除b，b被a整除。
二、整除的性质整除具有以下性质：1.如果一个数a能够整除另一个数b，而b又能够整除另一个数c，则a能够整除c。
即如果a，b且b，c，则a，c。
2. 如果一个数a能够整除另一个数b，则a能够整除b的所有倍数。
即如果a，b，则a，kb(k为整数)。
3.整除具有传递性。
如果a能够整除b，而b能够整除c，则a能够整除c。
即如果a，b且b，c，则a，c。
三、整除的判定法则1.若一个数能被2整除，则个位数为0、2、4、6、8中的任意一个。
2.若一个数能够被3整除，则该数的各位数之和能够被3整除。
3.若一个数能够被4整除，则该数的末两位能够被4整除。
4.若一个数能够被5整除，则个位数为0或55.若一个数能够被6整除，则该数同时能够被3和2整除。
6.若一个数能够被8整除，则该数的末三位能够被8整除。
7.若一个数能够被9整除，则该数的各位数之和能够被9整除。
四、整除的应用1.求最大公约数最大公约数是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个。
当求最大公约数时，常常使用整除的方法。
首先列举出两个或多个数的约数，然后找出共有的约数中最大的一个即为最大公约数。
2.求最小公倍数最小公倍数是指两个或多个整数的公有倍数中最小的一个。
当求最小公倍数时，也常常使用整除的方法。
首先列举出两个或多个数的倍数，然后找到其中共有的最小的一个即为最小公倍数。
练习题：1.判断下列数是否能够被2整除：106、239、480、620。
初二数学竞赛辅导资料 式的整除
初二数学竞赛辅导资料 式的整除容提要1． 定义：如果一个整式除以另一个整式所得的商式也是一个整式，并且余式是零，则称这个整式被另一个整式整除。
根据被除式＝除式×商式＋余式，例如∵x 2－3x －4＝（x －4）（x +1）,∴x 2－3x －4能被（x －4）和（x +1）整除。
显然当 x=4或x=－1时x 2－3x －4＝0，2. 在二次三项式中若x 2+px+q=(x+a)(x+b)＝x 2+(a+b)x+ab 则p=a+b,q=ab在恒等式中，左右两边同类项的系数相等。
这可以推广到任意多项式。
例题例1己知 x 2－5x+m 能被x －2整除，求m 的值。
x －3解法一：列竖式做除法 （如右） x －2 x 2－5x+m由 余式m －6＝0 得m=6 x 2－2x解法二：∵ x 2－5x+m 含有x －2 的因式 －3x+m∴ 以x=2代入 x 2－5x+m 得 －3x+622－5×2 ＋m=0 得m=6 m －6解法三：设x 2－5x+m 除以x －2 的商是x+a (a 为待定系数) 那么 x 2－5x+m ＝(x+a)(x －2)＝ x 2+(a-2)x －2a根据左右两边同类项的系数相等，得⎩⎨⎧=--=-m a a 252 解得⎩⎨⎧=-=63m a （本题解法叫待定系数法） 例2 己知:x 4－5x 3+11x 2+mx+n 能被x 2－2x+1整除求：m 、n 的值及商式解：∵被除式＝除式×商式 （整除时余式为0）∴商式可设为x 2+ax+b得x 4－5x 3+11x 2+mx+n ＝（x 2－2x+1）（x 2+ax+b ）＝x 4+(a-2)x 3+(b+1-2a)x 2+(a-2b)x+b根据恒等式中，左右两边同类项的系数相等，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-+-=-n b m b a a b a 12112152 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-=4113n m n b a∴m=－11, n=4, 商式是x 2－3x+4练习1． 若x 3+2x 2+mx+10=x 3+nx 2－4x+10, 则m=___, n=___2． x 3－4x 2+3x+32除以x+2的余式是＿＿＿，x 4－x 2+1除以x 2－x －2的余式是＿＿＿3． 己知x 3+mx+4能被x+1整除，求m4.己知x 4+ax 3+bx －16含有两个因式x －1和x –2,求a 和b 的值5.己知13x 3+mx 2+11x+n 能被13x 2－6x+5整除,求m 、n 及商式6己知ab ≠0,m 取什么值时，a 3－6a 2b+mab 2-8b 3有因式a －2b.。
初中数学竞赛精品标准教程及练习69数的整除
初中数学竞赛精品标准教程及练习69数的整除数的整除是初中数学中的一个重要概念，也是数学竞赛中经常考查的内容之一、理解数的整除对于解题非常关键。
一、概念解析1.整除如果一个整数a能被另一个整数b整除，即a÷b的余数为0，我们就说a可以被b整除，记作b，a，反之，如果a不能被b整除，我们就说a不能被b整除，记作b∤a。
例如，若a=12，b=4，则12÷4=3（余0），所以4，12；而12÷5=2（余2），所以5∤122.数的整除性质（1）对于任意的整数a，有1，a（即1能被任意整数整除）；（2）对于任意的整数a，都有a，0（即任意一个整数都能整除0）；（3）对于任意的整数a，有a，a（即一个数能整除它自己）；（4）对于任意的非零整数a，有±a，a（即一个数的相反数能整除该数）；（5）对于任意的整数a，若a，b且b，c，则a，c（即如果一个数能整除另一个数，而另一个数又能整除第三个数，那么这个数也能整除第三个数）；（6）对于任意的整数a，b，c，若a，b且a，c，则a，（b±c）（即如果一个数能同时整除两个数，那么它也能整除这两个数的和或差）；（7）对于任意的整数a，b，c，若a，b且a，c，则a，（mb±nc）（其中m和n为任意整数）（即一个数能整除两个数，那么它也能整除这两个数的任意倍数之和或差）。
二、基本思路在数的整除方面，需要掌握以下几种基本思路：1.列出数的约数，判断一个数是否可以整除另一个数；2.利用数的整除性质进行推理，从已知条件出发找到目标；3.利用最大公约数和最小公倍数的性质进行推理。
三、典型例题【例题1】证明：一个正整数，如果不能同时被2和3整除，那么它一定不能被6整除。
解题思路：根据题目中的条件，如果一个正整数不能同时被2和3整除，那么它必然不能同时被2和3的最小公倍数6整除。
根据最小公倍数的性质，如果一个数不能被6整除，则它一定不能被6的约数2和3整除。
初中数学竞赛精品标准教程及练习01数的整除
初中数学竞赛精品标准教程及练习01数的整除数的整除是初中数学竞赛中常见的考点之一，在解题过程中需要掌握一些基本的概念和操作方法。
本文将介绍数的整除的基本概念和性质，并附上一些练习题供大家练习。
一、整除的定义对于两个整数a和b，如果存在一个整数c，使得a=c*b，那么我们就说a能够被b整除，b是a的一个因数，同时也说b是a的一个除数，记作b，a。
例如，2能够被4整除，就表示4是2的一个因数。
二、整除性质1.若a能够被c整除，而c能够被b整除，则a能够被b整除。
2.若a能够被b整除，且b能够被c整除，则a能够被c整除。
3.0除以任何非零整数都为0。
4.任何整数除以1都为本身。
5.任何整数除以0是没有意义的，应避免这样的操作。
三、整除的判定方法1.因数的概念：如果a能够被b整除，那么a一定是b的倍数，b一定是a的因数。
2.除数的性质：如果一个数a的除数是b，那么b的倍数一定是a的倍数。
3.余数的性质：如果一个数a除以b的余数为0，那么a一定能够被b整除。
四、整除的应用整除的概念和性质在解决一些实际问题时经常用到。
例如，求一个数的因数或倍数，判断一个数是否是另一个数的因数等等。
在这些问题中，我们可以应用整除性质和判定方法，进行推理和计算。
五、练习题1.一个数能够同时被3和5整除，它最小是多少？2.一个两位数，可以被3整除，这个两位数的十位数字加上个位数字等于6，这个两位数最大是多少？3.一个数同时是4和5的倍数，它最大是多少？解答：1.因为一个数能够同时被3和5整除，那么这个数一定是3和5的公倍数，即这个数是3和5的最小公倍数。
最小公倍数是两个数的乘积除以它们的最大公因数。
由于3和5没有公因数，所以它们的最大公因数是1，最小公倍数是3*5=15、所以这个数最小是152.设这个两位数为10a+b，其中a为十位数字，b为个位数字。
根据题意，有10a+b可以被3整除，且a+b=6、根据整除的判定方法，可以得到10a+b的各个位数之和能够被3整除。
初中数学竞赛精品标准教程及练习69数的整除
初中数学竞赛精品标准教程及练习69数的整除数的整除在初中数学竞赛中是一个重要的考点。
理解数的整除的概念及其性质对于解答与数的整除相关的题目非常有帮助。
本教程将介绍数的整除的相关概念、性质以及解题方法，并提供一些高质量的练习题供同学们练习。
一、数的整除的概念与性质1.整除的定义一个整数a能够被另一个整数b整除，表示为b，a，当且仅当存在另一个整数c使得a=bc。
例如，4能被2整除，表示为2，42.整除的性质（1）如果a能被b整除，b能被c整除，则a能被c整除。
（2）如果a能被b整除，那么对于任意的整数m，ma能被mb整除。
（3）如果a能被b整除，b能被a整除，则a和b互为倍数关系。
（4）如果a能被b整除且b能被a整除，则a和b相等。
二、解题思路1.判断一个数的整除性：给出两个数a、b，我们可以用a除以b，看是否余数为0来判断b是否能整除a。
2.判断一个数是否为另一个数的因数：如果一个数b能整除另一个数a，则b为a的因数。
例如，2是4的因数，我们可以通过判断4能否被2整除来得出结论。
3.利用整除的性质解题：根据整除的性质，我们可以广泛运用到解题中，例如通过倍数关系来得到整数之间的关系。
三、练习题请同学们结合上述的知识点完成以下练习题：1.如果一个整数能同时被2和3整除，它一定能被________整除。
2.在8-348的范围内，有多少个整数被4整除，但不能被5整除？3.如果一个整数能被12整除，它一定能被_______和_______整除。
4.请列举100以内被6整除但不被9整除的整数。
5.两个正整数a和b的最大公因数为6，a能被12整除，b能被9整除，其中一个可能的取值是_______。
解答参考：1.如果一个整数能同时被2和3整除，它一定能被6整除。
2.在8-348的范围内，有84个整数被4整除，但不能被5整除。
3.如果一个整数能被12整除，它一定能被2和6整除。
希望通过本教程的学习，同学们能够对数的整除的概念、性质以及解题方法有更深入的理解，提高数学竞赛的能力。
初中数学竞赛整除的判定(含答案)
整除的判定我们知道，任意两个整数相加、相减、相乘的结果都是整数，而两个整数相除，它们的商就不一定是整数了，也就是说，整数对加、减、乘运算是封闭的，而对于除法并不是封闭的，这样就出现了整除和余数这两个概念。
本期主要研究整除性和整除的判定，以及余数问题等。
本期所涉及的字母如无特别说明都表示整数。
§1.整除性30除以6得到的商是5，我们就叫30能被6整除，31除以6得到的商不是整数，31就不能被6整除。
一般地，若整数除以整数所得的商是一个整数,即存在一个整数q，使得a=bq成立，就叫做能被b整除，或叫做ｂ能整除,记作b|a，这时称是b的倍数，b是的约数（或因数）。
显然，+1和-1是任何整数的约数，0是任何非零整数的倍数，是它本身的约数，也是它本身的倍数。
关于整除有下面一些明显的结论：（1）若a|b, b|c, 则a|c（2）若c|a, c|b, 则c|ma+nb, 特别地，c|a+b, c|a-b.（3）若b|a, n为整数，则b|na.应用这些性质可以解决一些简单的约数和倍数问题。
例1 N=是一个被17整除的四位数，求x。
解因N17, 17||所以)x217-4(|而x为0～9的整数,故只有当x=2 时,才有可能)x24(|17-。
故x=2为所求。
例2若是互不相等的整数，且整数x满足等式求证：4|(a+b+c+d)证明：已知等式可化为由于是互不相等的整数，则也是互不相等的整数，且均为9的约数，于是只能等于9的四个互不相等的约数：+3，-3，+1，-1，即=4故)d++a(|4+cb§2、带余除法若不能被b整除，得到一个整数商后还会有余数。
比如14被3除，得到商是4，余数是2，被除数14，除数3，商数4和余数2之间可用这样一个表示。
14=实际上，这个结果可以推广到一般情况，这就是下面的定理：对于整数和b，存在唯一的整数q和r，使得=bq+r|)≤成立。
其(<b|Or中r 是被b除的余数。
初中数学竞赛精品标准教程及练习18式的整除
初中数学竞赛精品标准教程及练习18式的整除整数的除法是初中数学中的一个基础概念，也是数学竞赛中经常出现的题型。
在初中数学竞赛精品标准教程及练习18式中关于整除的内容，主要包括了整除的定义、性质、判定方法以及整数的倍数和因子等。
一、整除的定义在整数集中，对于任意的整数a和b，如果存在整数c使得a=b*c，那么我们称a可以被b整除，记作b，a，其中b称为除数，a称为被除数，c称为商。
特别地，当a=0时，任意非零整数b都可以整除a，即0，b。
二、整除的性质1. 如果a可以被b整除，那么对于任意的整数k，ka也可以被b整除。
2.如果a可以被b整除，b可以被c整除，那么a可以被c整除。
3.如果a可以被b整除，那么任意的整数k也可以被b整除。
三、整除的判定方法1.末位法：一个整数可以被2整除，当且仅当它的个位数是0、2、4、6、8中的一个。
2.末位法：一个整数可以被5整除，当且仅当它的个位数是0或者53.因子法：如果一个整数a可以整除一个整数b，那么a一定也是b的因子。
因此，如果我们要判断一个整数a是否能被b整除，只需要判断a的所有因子是否也是b的因子，如果是，则a可以被b整除；如果不是，则a不能被b整除。
4.整除例题：例1：判断100是否能被15整除。
解：15=3*5，100=4*25，所以100=15*（4*25/15），即100可以被15整除。
例2：判断448是否能被7整除。
解：448=7*64，所以448可以被7整除。
四、整数的倍数和因子1.倍数：如果一个整数a可以被另一个整数b整除，那么我们说a是b的倍数，b是a的约数。
特别地，任意一个整数a是0的倍数，0是任意一个整数a的约数。
2.倍数的性质：（1）一个整数是另一个整数的倍数时，它也必定是这个整数的约数。
（2）一个整数的正整数倍是这个整数的约数。
（3）一个非零整数的绝对值是这个整数的倍数，即，a，是a的倍数。
综上所述，整除是初中数学竞赛中重要的基础概念之一、掌握整除的定义、性质、判定方法以及整数的倍数和因子的概念，可以帮助我们更好地解决与整除相关的问题。
初中数学竞赛专题辅导：数的整除
初中数学竞赛专题选讲数的整除一、内容提要在《数的整除(一)》和《数的整除(二)》中，分别介绍了数的整除特征和运用因式分解法解答数的整除问题，本讲介绍应用“同余”方面的知识.一. 同余的概念 两个整数a 和b 被同一个正整数m 除，所得的余数相同时，称a, b关于模m 同余.记作a ≡b(mod m).如：8和15除以7同余1，记作8≡15(mod 7), 读作8和15关于模7同余.∵2003=7×286+1，∴2003≡1 (mod 7)；∵－7和6对于模13同余6（余数是非负数）∴－7≡6（mod 13）；∵35和0除以5，余数都是0（即都能整除）∴35≡0（mod 5）.二. 用同余式判定数的整除若a ≡b(mod m)，则m|(a －b).即a －b ≡0(mod m)⇔m|(a －b).例如：11≡25(mod 7)⇔7|(25－11)； 或 7|(11－25).∵25+35≡2+3≡0 (mod 5)，∴5|25+35.三. 同余的性质 (注意同余式与等式在变形中的异同点)1. 传递性： )(m o d )(m o d )(m o d m c a m c b m b a ≡⇒⎭⎬⎫≡≡. 2. 可加可乘性：⎩⎨⎧≡+≡+⇒⎭⎬⎫≡≡).(mod )(mod ).(mod )(mod m bd ac m d b c a m d c m b a ；， 推论 可移性：a ≡b+c (mod m)⇒(a －b)≡c(mod m).可倍性：a ≡b(mod m)⇒ka ≡kb(mod m) (k 为正整数).可乘方：a ≡b(mod m)⇒ a n ≡b n (mod m) (n 为正整数).3. 当d 是a, b, m 的正公因数时， a ≡b(mod m)⇒d b d a ≡(mod dm ). 如：2是20，26，6的正公因数， 20≡26(mod 6)1310≡⇒(mod 3).四. 根据抽屉原则：任给m+1个整数，其中至少有两个数对于模m 同余.即至少有两个，其差能被m 整除.例如：任给5个数a, b, c, d, e.其中至少有两个，它们的差能被4整除.∵除以4的余数只有0，1，2，3四种.∴5个数除以4至少有两个同余.二、例题例1.已知：69，90，125除以正整数n有相同的余数.求：n的值解：∵69≡90(mod n)，90≡125(mod n).∴n|(90－69)，n|(125－90).而21,35的最大公约数是7，记作(21,35)=7 (7是质数).∴n=7例2.求388除以5的余数.解：∵38≡3 (mod 5)，∴388≡38≡(32)4≡(－1)4≡1 (mod 5).(注意9除以5余4，－1除以5也是余4，∴32≡－1 (mod 5)例3.求997的个位数字.解：∵74k+n与7n的个位数字相同，且9≡1 ( mod 4)，∴99≡19 ≡1(mod 4).∴997与71的个位数字相同都是7.例4.求证：7|(22225555+55552222).证明：∵22225555+55552222=(22225)1111+(55552)1111∵2222=7×317+3 ，5555=7×793+4.∴2222≡3 ( mod 7)；5555≡4 (mod 7).∴22225≡35≡5(mod 7)；55552≡42≡2 (mod 7).∴22225+55552≡5+2≡0 ( mod 7).即22225≡－55552 (mod 7).∴(22225)1111≡(－55552)1111≡－(55552)1111 (mod 7).∴22225555+55552222≡0 (mod 7).∴7|(22225555+55552222).例5.求使32n－1能被5整除的一切自然数n.解：∵32≡－1 (mod 5) ，∴(32)n≡(－1)n (mod 5).32n－1≡(－1) n－1 (mod 5)∵当且仅当n为偶数时，(－1) n－1=0.∴使32n－1能被5整除的一切自然数n是非负偶数例6.已知：a,b,c是三个互不相等的正整数.求证：a3b－ab3,b3c－bc3,c3a－ca3三个数中，至少有一个数能被10整除.（1986年全国初中数学联赛题）证明：用同余式判定整除法证明当正整数n的个位数是0，1，4，5，6，9时，n3的个位数也是0，1，4，5，6，9.∴这时n3≡n (mod 10)；当正整数n的未位数为2，3，7，8时，n3的个位数分别是8，7，3，2.∵8与－2，7与－3，3与－7，2与－8，除以10是同余数，∴这时n3≡－n (mod 10)；把三个正整数a,b,c按个位数的情况，分为上述两类时，则至少有两个属于同一类.设a, b 的末位数是同一类，那么a 3b －ab 3≡ab －ab ≡0 (mod 10)；或a 3b －ab 3≡(－a)b －a(－b)≡0 (mod 10).∴ 10| (a 3b －ab 3)三、练习1. 三个数33，45，69除以正整数N 有相同余数，但余数不是0，那么N=_______.2. 求777的个位数字.3. 求379245除以19的余数； 41989除以9的余数.4. 求19891990÷1990的余数.5. 四个数2836，4582，5164，6522都被同一个正整数除，所得的余数都相同且不是 0，求除数和余数.6. 求证：7|(33334444+44443333).7. 已知：正整数n>2 . 求证：31111≡个n (mod 4). 8. 任给8个整数，其中必有两个，它们的差能被7整除，试证之.9. 求使2n +1能被3整除的一切自然数n.10. 已知 69，90，125除以N (N>1) 有同余数，那么对于同样的N ，81同余于( )（A ）3. （B ）4. （C ）5. （D ）7. （E ）8.（1971年美国中学数学竞赛试题）练习题参考答案1. N=12，6，2.(舍去3，∵余数是0).解法仿例1.2. 个位数字是3.∵7≡－1(mod 4), ∴ 777≡(－1)77(mod 4)……仿例33. 余数是18和1. ∵37≡－1 (mod 19) ∴原式≡－1 ≡18 (mod 19)；41989=(43)663 64≡1(mod 9) 64663≡1663 ≡1.4. 余数是1. ∵1989≡－1 (mod 1990) ∴19891990≡(－1)1990≡1 (mod 1990).5. 根据题意 2836≡4582≡5164≡6522≡r (mod m)而且4582－2836=1746, 6522－5164=1358.∴ m| 1746, 且m|1358， (1746，1358)=2×97∴m=194, 97, 2 (2不合题意.舍去)答：除数为194， 余数是120或除数为97， 余数是236. ∵ 33334444+44443333≡14444+(－1)3333≡0 (mod 7).7.个个211111111-=n n 00+11≡11≡3 (mod 4). 8. 8个正整数分别除以7，必有两个或两个以上是同余数9. ∵2≡－1 (mod 3) ∴2n ≡(－1)n (mod 3)2n +1≡(－1)n +1 (mod 3)当且仅当n 奇数时, (－1)n +1≡0∴能被3整除的一切正整数n 是奇数10. (B).。
初中数学竞赛标准教程及练习44数的整除(二)
初中数学比赛精选标准教程及练习（44 ）数的整除（二）一、内容概要第一讲介绍了能被2，3，4 ，5，7，8 ，9，11 ，13，25 整除的自然数的特点，本讲将介绍用因式分解方法解答数的整除问题.几个常用的定理，公式，法例：⑴n 个连续正整数的积能被 n ！整除 .（n 的阶乘： n ！＝ 1 ×2×3× ×n ）.例如： a 为整数时，2 a(a+1) ， 6 a(a+1)(a+2),24 a(a+1)(a+2)(a+3)，⑵若 a b且 a c, 则 a (b c).⑶若 a, b 互质，且 a c, b c ，则 ab c .反过来也建立： a, b 互质，ab c，则 a c, b c.比如： 8 和 15 互质， 8 ｜a, 15|a ，则 120 ｜a.反过来也建立：若 120 ｜a. 则8 ｜a, 15|a.⑷由乘法公式（ n 为正整数）推得：由(a －b)(a n-1 +a n-2 b++ab n-2 +b n-1 )=a n－b n . 得(a －b)|(a n－b n ).(a+b)(a 2n－ a2n－1 b+ ab 2n － 1 +b 2n )=a 2n+1 +b 2n+1 . (a+b)|(a 2n+1 +b 2n+1 ).(a+b)(a 2n － 1 －a2n － 2b+ +ab 2n － 2 －b 2n － 1)=a 2n －b 2n . (a+b)|(a 2n－b 2n ).归纳起来：齐偶数次幂的差式a2n －b 2n 含有因式 a＋b 和 a－b.齐奇数次幂的和或差式a2n+1 ＋b 2n+1 或a2n+1 －b 2n+1 只分别含有因式 a＋b 或 a－b.比如（ a+b ）| (a 6－b 6 ), (a－b)| (a 8－b 8 )；(a+b)|(a 5 +b 5)，(a －b)|(a 5－b 5).二、例题例1. 已知 :整数 n>2.求证： n 5 －5n 3 +4n 能被 120 整除 ..证明： n 5－5n 3 +4n ＝n(n 4－5n 2+4)=n(n －1)(n+1)(n+2)(n －2).∵(n －2) (n －1)n(n+1) (n ＋2)是五个连续整数，能被n! 整除，∴ 120 ｜n 5－5n 3+4n.例2. 已知： n 为正整数 .求证： n 3+ 3n 2+ 1 2 2证明： n 3+ 3 n 2 + 1 n ＝ 1n （2n 2 +3n+1 ）2 22= 1n(n+1)(2n+1)2n 是 3 的倍数 .= 1n(n+1)(n+2+n－1)2= 1 n(n+1)(n+2)+1n(n+1)(n －1).22∵ 3 ！｜ n(n+1)(n+2) ， ∴ 3 ｜ 1n(n+1)(n+2)+ 1 22且 3！｜ n(n+1)(n －1)..n(n+1)(n －1).即 n 3+ 3n 2+ 1n 是 3 的倍数 .2 2（上两例关鍵在于创建连续整数）例 3.求证：⑴ 33 ｜ 255 ＋ 1 ；⑵1989 ｜（ 1990 1990 －19881988）.证明：⑴255 ＋1＝25×11 ＋111＝32 11 ＋111 .∵(32 ＋1)|(32 11+1 11) ， 即 33 ｜255 ＋1.⑵1990 1990 － 1988 1988 ＝ 1990 1990 － 1988 1990 ＋ 1988 1990 －19881988.（添两项）∵（1990 ＋1988 ）｜（ 1990 1990 －1988 1990 ）.即 1989 ×2 ｜（ 1990 1990 －1988 1990 ）.∵ 1988 1990 －1988 1988 =1988 1988 (1988 2－1)＝19881988（1988 ＋1）（1988 －1）.即 1990 1990 － 1988 1988 ＝1989 ×2N ＋1989 ×1988 1988 ×1987.（ N 是整数）19901988实用文档 2证明： 32n+1+2n+2＝ 3×3 2n +4 ×2 n =3 ×9 n +4 ×2 n ＋3×2 n －3×2n（添两项）＝（ 4×2 n ＋3 ×2 n ）＋（ 3 ×9 n －3×2 n ）＝（ 4＋3 ）＋ 3（9 n －2 n ）＝ 7×2 n＋3 （9－2）N . （N 是整数）∴7 ｜（3 2n+1 +2 n+2 ）（例 3，4 是想法利用乘法公式）例5. 已知 19xy87 能被 33 整除，求 x, y 的值 .解：∵33 ＝3×11 ，∴1＋9+x+y+8+7 其和是 3 的倍数， 即 x+y=3K －25 (k 为整数).又（1＋x+8 ）－(9+y+7) 其差是 11 的倍数，即 x －y=11h+7(h 是整数 ).∵0≤x ≤9 ， 0≤y ≤9 ，∴0≤x ＋y ≤18 ，9≤x －y ≤9 ，x+y>x －y, 且 x+y 和 x －y 同是奇 数或偶数 .切合条件的有 x 11或 x 14 或 x 8 .y 7 y 4 y4解得x9或 x 5或 x 2 . y 2 y 9 y 6例 6.设 N ＝ 2x78 ，且 17｜N,求 x..解： N ＝2078 ＋100x=17 ×122 ＋4 ＋17 ×6x －2x＝ 17 ×（122 ＋6x ）+4 －2x.∵ 17｜N ，∴17｜4 －2x ，当 4－2x=0.∴ x=2.三、练习 441. 要使 2n +1 能被 3 整除，整数 n 应取＿＿＿，若 6 ｜（5 n－1）, 则整数 n 应取＿＿＿ .2.求证：①4!| （n 4 +2n 3－n 2－2n ）；②24 ｜n(n 2－1)(3n+2) ；③6｜（ n 3+11n ）；④30 ｜（ n 5－n ）.3.求证：①100 ｜99 10－1）；② 57 ｜（ 23333＋ 72222）；③995 ｜（996 996－994 994）；④ 1992 ｜（997 997＋995 995）.4.设 n 是正整数，求证 3 n +3 n+2 +6 2n能被 33 整除 .5.求证：六位数 abcabc 能被7，11，13，整除.6. 已知：五位数3xy98 能被77整除，求x, y的值.7. 已知： a, b, c 都是正整数，且 6｜（ a+b+c ）.求证： 6 ｜（ a3+b 3 +c 3）.三、练习 44 参照答案：1.正奇数；正偶数2. ①，②分解为4个连续整数③ n(n-1)(n+1)+12n④n(n-1)(n+1)(n 2 -4+5)3.②81111＋49 1111③添项－ 1，1④添项 995 997－995 9974.化为 3n(1+3 2)+36 n=11 ×3n＋36 n－3n＝5. 7 ×11 ×13 ＝1001 六位数 10 5 a+10 4b+10 3 c+10 2 a+10b+c=6.仿例 57. 由 6 ｜（ a+b+c ）可知 a,b,c 中起码有一个是偶数，且 a3 +b 3+c 3－3abc 含有因式 a+b+c。
初中数学竞赛题典--整除(本站推荐)
初中数学竞赛题典--整除（本站推荐）正文第一篇：初中数学竞赛题典--整除（本站推荐）初中数学竞赛题典数的整除题l 所有四位数中，有（）个数能同时被入3，5，7和11整除？（A）l（B）2（C）3（D）4题2 设n是100到2021间的自然数，则满足7n＋2是5的倍数的。
共有（）个．题3一个六位数a1991b能被12整除，这样的六位数共有多少个．（A）4 （B）（C）8（D）12题4 已知724－1可被40至50之间的两个整数整除，这两个整数是（），题6 n是一个两位数，它的数码之和为a．当n分别乘以3，5，79以后得到4个乘积．如果其每一个积的数码之和仍为a，那么，这样的两位数n有（）．题8设某个n位正整数的n个数宇是1，2，…，n的一个排列，如果它的前k个数字所组成的整数能被k整除，其中k ＝1，2，…，n，那么就这个n位数为一个“好数”．例如，321就是一个三位“好数”，因为1整除3，2整除32，3整除321．那么六位“好数”的个数为（）．题9能被11整除的最小的九位数是题12在自然数1，2，3，…，1990，1991中．不能披7整除的数有（）个．题13将自然数N接写在任意一个自然数的右面（例如，将2接写在35的右面得352），如果得到的新数都能被N整除，那么N称为魔术数，在小于l30的自然数中，魔术数的个数为（）．题14在所有的五位数中，各位数字之和等于43且能被11整除的数是（）。
题15定义：如果n个不同的正整数，对其中的任意两个数，这两数的积能被这两数的和整除．那么，叫这组数为n个数的祖冲之数组。
例如：60，1202180这三个数就构成一个三个数的祖冲之数组，（因（60×12021（60＋12021（60×180）÷（60＋180），（1202180）÷（1202180）都是整数）．请你写出一组四个数的祖冲之数组．题16 设a、b、c为整数，且a＋b和ab均可被c整除，求怔：a3＋b3可被c2整除．题17 设a、b、c为正整数，求证：a3（b－c）＋b3（c－a）＋c3（a－b）可被a＋b＋c整除．题19 一个魔方是由自然数组成的正方形网格。
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能被7整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。
如 1001 100－2＝98（能被7整除）
又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征：
①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99（能11整除） 又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）
1 分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积） ①593 ② 1859 ③1287 ④3276 ⑤10101 ⑥10296
2 若四位数 987a 能被3整除，那么 a=_______________
3 若五位数12 X 34 能被11整除，那么 X＝__________-
4 当 m=_________时， 35m5 能被25整除
下列各数整除的有（填上编号）： 6________,8__________,9_________,11__________ 9 从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个， 能被3整除但不是5的倍数的共______个。 10 由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3整除的数共 有几个？为什么？
6. 10010，9990 7. 9996，9992
8. 6：B 8：F，G 9：B，D 11：G，H
9. 16；27
10. 没有一个，∵1＋2＋3＋4＋5＝15是3的倍数，与数字的位置无关
11. 仿例2，a＝5
12. 10269（由最小五位数10234调换末两位数）
13. 11111111100
3或9 各位上的数字和被3或9整除(如771，54324)
奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被11整除 11 (如143,1859,1287,908270等)
7,11,13 从右向左每三位为一段,奇数段的各数和与偶数段的各数和相减, 其差能被7或11或13整除.(如1001，22743，17567，21281等)
人教版初一数学培优和竞赛二合一讲炼教程
数的整除（一）
【知识精读】
如果整数A除以整数B(B 0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除. 0能被所有非零的整数整 除.
一些数的整除特征
除数
能被整除的数的特征
2或5 末位数能被2或5整除
பைடு நூலகம்
4或25 末两位数能被4或25整除
8或125 末三位数能被8或125整除
2
幸遇•共勉：
思思
你见，或者不见我 我就在那里 不悲不喜
你念，或者不念我 课就在那里 不来不去
你爱，或者不爱我 有效期就在那里
不增不减 你跟，或者不跟我 我的手就在你手里
不舍不弃 来我的班里
或者 让我住进你的心里
大海，思思 寒假与你 再相聚
3
11 己知五位数1234A 能被15整除，试求A的值。
12 求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数。 13 在十进制中，各位数码是0或1，并能被225整除的最小正整数是＿＿＿＿
参考答案
1.④ 22×32×7×3 ⑤ 3×7×13×37 ⑥ 23×32×11×13
2. 0，3，6，9 3. 0 4. 2，7 5. 3
【分类解析】
例1已知两个三位数 328 和 2x9 的和仍是三位数 5 y7 且能被9整除。
求x,y
解：x,y都是0到9的整数，∵ 5 y7 能被9整除，∴y=6.
∵328＋ 2x9 ＝567，∴x=3
例2己知五位数1234x 能被12整除， 求X
解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除， 当1＋2＋3＋4＋X能被3整除时，x=2，5，8
5 当 n=__________时， 9610n 能被7整除
6 能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________ 7 能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________ 8 8个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被
当末两位 4 X 能被4整除时，X＝0，4，8
∴X＝8 例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数
解：五位数字都不相同的最小五位数是10234， 但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行 调整末两位数为30，41，52，63，均可，
1
∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。 【实战模拟】