图形与证明
图形与证明复习精讲
（ ） 握 学 过 的几 何 图 形 的 表 示 方 法 ， 能 根 据 语 ４掌 既
句 画 出相 应 的 图形 ， 又能 用 语 句描 述 简单 的图 形 ． （） ５ 掌握 尺 规作 图的 基本 方 法 ．
祝 律 方 法 总 结
图形 与证明 蘑习精讲
反 证 法 是一 种 间 接 证 法 ， 的基 本 步 骤 是 假 设 、 它 推 理 、 谬 、 出 结 论 ． 作 出与 原 命 题 结 论 相 反 的 假 设 归 得 在 时 ， 该 列 举 出各 种 可 能 的 情 况 ， 注 意 从 假 设 出 发 进 应 并
的和 、 及 线段 的 中点 的 概念 ． 差
长． Ｃ的 位 置 可 能 在线 段 ＡＢ上 ， 可 能在 线 段 Ａ 的 点 也 Ｂ
延 长 线上 ， 以线 段 ４ 所 Ｃ的长 有 ４ ｍ或 ８２１ 种情况 ． ｏ ＂两 １ １ Ｉ ＂
（ ） 与 角 度 有 关 的计 算 中 ， 该 避 免 出现 单 位 换 ３在 应 算之 间的错 误 ． 意度 、 、 之 间 是 ６ 注 分 秒 ０进 制． （） ４ 在尺 规 作 图 中 ， 保作 图语 言 的严 谨 与规 范． 确
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图形与 证明售 习璃 讲
最后 、 Ｃ为 圆 心 ， ＢＣ、 Ｂ 长 为半 径 画 弧 ， 弧 在 直 线 ＢＣ 边 Ａ 两 上方 交于 点 Ｄ， 接 ＡＤ、 则有 （ 连 Ｃ
（ ） ．
图 ２
数学中的几何图形与证明
数学中的几何图形与证明数学作为一门精确的科学，几何学是其中的重要分支之一。
几何学研究的是空间和形状，通过几何图形的研究来揭示事物的本质和规律。
在几何学中，图形是我们认识和研究的基本对象，而证明则是几何学的核心方法之一。
本文将探讨数学中的几何图形与证明的关系，以及一些有趣的几何图形和证明。
一、几何图形的分类几何图形可以分为二维图形和三维图形两大类。
二维图形是在平面上的图形，如点、线、圆等；而三维图形则是在空间中的图形，如球体、立方体等。
这些图形都有各自的特点和性质，通过对其进行研究和证明，可以揭示出许多有趣的数学定理和规律。
二、几何图形的性质与证明几何图形的性质是通过证明来得出的。
证明是数学中的一种推理方法，通过逻辑推理和演绎，以严密的语言和符号来证明一个命题的真实性。
在几何学中，证明是揭示几何图形性质的重要手段。
例如，我们可以通过证明来得出圆的性质。
圆是一个由一条曲线围成的图形，其内部的每一点到圆心的距离都相等。
这个性质可以通过构造和推理来证明。
我们可以通过构造一个等边三角形，然后证明其内切圆的性质，从而得出圆的性质。
另一个例子是证明平行线的性质。
平行线是指在同一个平面中，永远不会相交的两条直线。
我们可以通过利用平行线的定义和性质，进行角度推理和线段比较来证明平行线的性质。
这种证明方法可以帮助我们理解平行线的本质和特点。
三、有趣的几何图形与证明除了基本的几何图形和性质，还有一些有趣的几何图形和证明值得我们探索和研究。
1. 黄金分割黄金分割是指一条线段被分割成两部分，使得整条线段与较长部分的比值等于较长部分与较短部分的比值。
这个比值约为1.618，被认为是最美丽的比例之一。
黄金分割可以通过几何图形和代数方法进行证明，其中最著名的证明方法是欧几里得的证明方法。
2. 平面填充平面填充是指将一个平面完全填满，而不留下任何空隙或重叠。
平面填充有许多有趣的图形和方法，如著名的康威生命游戏和彼得斯图案。
这些图案和方法都可以通过几何图形和逻辑推理来证明其正确性。
苏科版九年级上册第一单元《图形与证明》小结+测试题
苏教版数学九年级（上）第一章知识点归纳总结1.1 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）。
等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。
等腰三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。
1.2 直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称“HL”）。
角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半。
1.3 平行四边形的性质与判定：定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
定理1：平行四边形的对边相等。
定理2：平行四边形的对角相等。
定理3：平行四边形的对角线互相平分。
判定——从边：1两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
2一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
3两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
从角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
矩形的性质与判定：定义：有一个角的直角的平行四边形是矩形。
定理1：矩形的4个角都是直角。
定理2：矩形的对角线相等。
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
判定：1有三个角是直角的四边形是矩形。
2对角线相等的平行四边形是矩形。
菱形的性质与判定：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
定理1：菱形的4边都相等。
定理2：菱形的对角线相互垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
判定：1四条边都相等的四边形是菱形。
2对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
正方形的性质与判定：正方形的4个角都是直角，4条边都相等，对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
正方形即是特殊的矩形，又是特殊的菱形，它具有矩形和菱形的所有性质。
判定：1有一个角是直角的菱形是正方形。
几何常见的基本图形及证明
初中几何基本图形及证明说明：本资料中所有虚线为证明用的辅助线 一：与角平分线有关的基本图形 基本图形1结论：如图，若P 点是B ∠和C ∠的平分线的交点，则P ∠和A ∠的数量关系为：A P ∠+︒=∠2190B基本图形2结论：如图，若P 点是FBC ∠的平分线和ECB ∠的平分线的交点，则P ∠与A ∠的数量关系为：A P ∠-︒=∠2190基本图形3如图，若P 是ABC ∠的角平分线和ACB ∠的外角平分线的交点，则P ∠与A∠的数量关系为：A P ∠=∠21BE二：等腰直角三角形与其共斜边的直角三角形 基本图形4如图，在等腰直角三角形ABC 中，D 点与C 点分别在AB 两侧，且BD AD ⊥，形成共斜边的两个直角三角形。
结论：CD BDAD 2=+E（延长DA 使BD EA =）基本图形5如图，在等腰直角三角形ABC 中，点D 与C 在AB 同侧，且BD AD ⊥，形成共斜边的两个直角三角形。
结论：CD BDAD 2=-A（截取BD AE=）三：线段和最短与轴对称 基本图形6 两定点一动点如图，A ，B 为直线l 同侧两定点，P 为直线l 上一动点，A 和1A 关于l 成轴对称，连接BA 1交直线l 于P 点。
结论：PB PA +最短基本图形7 一定点两动点如图P 为AOB ∠内一点，点1P 与P 关于OB 成轴对称，2P 与P 关于OA 成轴对称，连接21P P 交OB 于E 点，交OA 于F 点。
结论：△PEF 的周长最短OA基本图形8 两定点两动点如图，A ，B 为直角坐标系中的两定点，1A 与A 关于y 轴对称，1B 与B 关于x 轴对称，连接11B A 分别交x 轴、y 轴于C 、D 两点，连A ，B ，C ，D 结论：四边形ABCD 周长最短。
基本图形9 一定点一动长如图，P 为一定点，AB 为直线l 上的定长。
结论：当P 在AB 的垂直平分线上时△PAB 的周长最短基本图形10 两定点一动定长如图，A ，B 为直线l 同侧的两点，DC 为直线l 上的一定长，作∥BE DC 且DC BE =，A 与1A 关于直线l 对称，连接E A 1交直线于D结论：BC AD +最短基本图形11 线段差最大如图，A ，B 分别位于直线l 的两侧，作1A 与A 点关于直线l 对称，连B A 1交直线l 于P 。
苏教版八下第十一章图形与证明(一)复习
A
E B
D M F C P
探索研究3
如图：在△ABC中，P是∠ B 、∠ C角平分线的交点， ∠BPC与∠A有怎样的大小关系？说说你的理由。 A
P B C
如图：在△ABC中，P是∠ B 、∠ C外角的角平分线的交点， ∠BPC与∠A有怎样的大小关系？说说你的理由。 A 拓展1
B
C
P
如图：在△ABC中，P是∠ B的角平分线 和 ∠ C外角的角平分线的交点， ∠BPC与∠A有怎样的大小关系？说说你的理由。 拓展2 A P
改写成“如果……，那么……”的形式：
如果两个角不相等，那么这两个角不可能是对顶角
（3）两个无理数的乘积一定是无理数；
例题欣赏
☞
已知:如图6-13,在△ABC中,AD平分∠EAC, AD∥BC. 求证:∠B= ∠C.
E
A
１ ２
D
B
C
回顾与思考
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三角形内角和定理
A
E
AE2 B C1DBCA
E
A
F
F E
直角三角形 两锐角互余
回顾与思考
☞
学好几何的标志 是会“证明”
证明命题的一般步骤:
根据命题，画出图形； 根据命题，结合图形，写出已知、求证； 写出证明过程．
注：运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程; 检查表达过程是否正确,完善。
对名称或术语的含义进行描述，做出规定，就是给出 他们的定义.
例如： 互为相反数 “符号不同、绝对值相等的两个数”是“ 全等形 “能够完全重合的图形”是“_______”的定 义． 无理数： 无限不循环小数叫做无理数.
”的定义;
直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.
图形与证明1
第一章图形与证明复习题（1）一、基础练习1、若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是正方形，那么这个四边形的对角线 A 、互相垂直 B 、相等 C 、互相平分 D 、互相垂直且相等 ( )2、如图，在□ABCD 中，E 是BC 的中点，且∠AEC=∠DCE ，下列结论不正确．．．的是( ) A 、BF=21DF B 、S △FAD =2S △FBE C 、四边形AECD 是等腰梯形 D 、∠AEB=∠ADC ， 3、如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE 的和最小，则这个最小值为（ ）A． B． C ．3 D4、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，中位线EF 与对角线AC 、BD 交于M 、N 两点，若EF=18㎝，MN=8㎝，则AB 的长等于 。
5、如图，直线L 过正方形ABCD 的顶点B ，点A 、C 到直线L 的距离分别是1和2，则正方形的边长是 。
二、例题精讲例１、如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B ′处，点A 落在点A ′处，(1)求证：B ′E=BF ；(2)设AE=a ，AB=b, BF=c,试猜想a、b 、c 之间有何数量关系，并给予证明.例2、如图在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，AB ＝10 3 ，AD 、BC 的长是x 2-20x+75=0方程的两根，判断以点D 为圆心、AD 长为半径的圆与以C 圆心BC 为半径的圆的位置关系 。
21LDC BA 第5题图NM F E DC B A第4题图 A EP B C A CA BC D E F A ′ B ′例３、问题探究（1）请在图①的正方形ABCD 内，画出使∠APB ＝90°的一个．．点P ，并说明理由． （2）请在图②的正方形ABCD 内（含边），画出使∠APB ＝60°的所有．．的点P ，并说明理由． 问题解决如图③，现有一块矩形钢板ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB 和△CP ’D 钢板，且∠APB ＝∠CP ’D ＝60°，请你在图③中画出符合要求的点P 和P ’，并求出△APB 的面积（结果保留根号）．第一章图形与证明复习题（2）1、将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，AB ＝3，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为（ ）．A 、3B 、2C 、3D 、322、正方形ABCD 的边长为1，M 是AB 的中点，N 是BC 中点，AN 和CM相交于点O ，则四边形AOCD 的面积是（ ）（A ）16 （B ）34 （C ）23 （D ） 343、在△ABC 中，BC =10，B 1、C 1分别是图①中AB 、AC 的中点，在图②中，2121、C 、C 、B B 分别是AB ,AC 的三等分点，在图③中921921;C 、C C B 、、BB 分别是AB 、AC 的10等分点，则992211C B C B C B +++ 的值是（ ） A . 30 B . 45 C .55 D .60① ② ③ 4、如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 的顶点A 、B 、D 的坐标分别是(0,0)，(5,0)，(2,3)，则顶点C 的坐标是 。
初中数学九(上)第一章图形与证明讲学稿
课题：等腰三角形的性质和判定学习目标：①会阐述、推证等腰三角形的性质判定定理．②学会比较等腰三角形性质定理和判定定理的联系与区别．③经历综合应用等腰三角形性质定理和判定定理的过程，体验数学的应用价值．学习重点：等腰三角形的判定与性质的区别．学习难点：用“基本事实”和“已经证明的定理”为依据，证明等腰三角形性质定理和判定定理。
学习过程：一、情景创设：以前，我们曾经学习过三角形，你还记得按边分可以怎样分类吗？1、什么叫做等腰三角形？（等腰三角形的定义）2、等腰三角形有哪些性质？3、这些性质都是真命题吗？你能否用从基本事实出发，对它们进行证明？二、探索活动：1、合作与讨论：等腰三角形的两底角相等这是一道文字题，要分清题设和结论，画出图形，写出已知、求证和证明过程已知；在△ABC中，AB=AC求证；∠B=∠C2、思考与讨论怎样证明：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
3、通过上面两个问题的证明，我们得到了等腰三角形的性质定理。
5、思考与探索“等腰三角形的两个底角相等”（1）写出它的逆命题：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（2）画出图形，写出已知、求证，并进行证明。
6、通过上面的证明，我们又得到了等腰三角形的判定定理：思考：1、在△ABC中，∠A=1100，∠C=350，则△ABC是三角形。
2、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=360，D是AC上一点，若∠BDC=720，则图形中共有（）个等腰三角形。
A、1B、2C、3D、43有一个三角形，它的内角分别是200，400，1200，怎样把这个三角形分成两个等腰三角形？分成的两个等腰三角形的内角分别是多少？三、典例分析1、已知：如图，AB=AC，BD⊥AC，垂足为点D。
求证：∠DBC=21∠A。
2、已知：如图（1）∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC。
求证：AB＝AC（1）（2）AB CDEAB CDEBDAAB CD2、在上图（2）中，如果AB＝AC，AD∥BC，那么AD平分∠EAC吗？如果结论成立，你能证明这个结论吗？思：如图，△ABC中∠ABC与∠ACB的平分线交于点D．过点D作EF∥BC交AB于点E、交AC于点F．求证：EF＝BE+CF．四练习巩固（一）基础练习1、如果等腰三角形有两边长为3和7，那么周长为＿＿＿＿＿。
九上教案第一章 图形与证明(二) 1.1
1.1等腰三角形的性质和判定（1）九年级数学备课组【学习目标】1、进一步掌握证明的基本步骤和书写格式。
2、能用“基本事实”和“已经证明的定理”为依据，证明等腰三角形的性质定理和判定定理。
【重点、难点】1、等腰三角形的性质及其证明。
2、应用性质解题。
【预习指导】：在初中数学八（下）的第十一章中，我们学习了证明的相关知识，你还记得吗？不妨回忆一下。
1、用＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿的过程，叫做证明。
经过＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿称为定理。
2、证明与图形有关的命题，一般步骤有哪些？（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿;（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿;（3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.3、推理和证明的依据有哪几类？＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
4、我们初中数学中，选用了哪些真命题作为基本事实：（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（4）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（5）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
此外，还有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿也都看作是基本事实。
5、在八（下）的第十一章中，我们依据上述的基本事实，证明了哪些定理？你能一一列出来吗？（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（4）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（5）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（6）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（7）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（8）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（9）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（10）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
图形与证明 ~~期中复习
FED CBABACDEO图形与证明（二）复习课~~有关计算班级_________ 姓名__________学习目标：1.理解特殊三角形的概念，以及它们之间的关系；特殊四边形的概念，以及它们之间的关系；2.探索并证明特殊三角形、四边形的性质、判定定理，并能解决有关的运用；3.学会分析与综合的思考方法，能有条理的思考与表达自己的想法；4.感受公理化思想，转化思想。
学习重点：能运用特殊图形多边形的性质与判定的解决问题，并能进行有关计算。
学习难点：合理的运用多边形的性质，解决多边形的计算。
【课前练习】：1.以等腰三角形、菱形为例整理它们的判定、性质，画出知识结构图。
等腰三角形：判定：（几何语言） 性质：（组成元素）_____________________________________________________ ____________________ ______________________________ _____________________ （图形整体）______________________ _____________________ ______________________________ ______________________________ 菱形：由菱形面积的推导可以看出多边形的问题通常的思想方法：____________________________.【小试牛刀】：1.等腰三角形的一个角为︒30，则顶角的度数是____________．2.在□ABCD 中，∠ABC 的平分线交AD 于E ，且AE ＝2，DE ＝1，则□ABCD 的周长等于 ．3.如图，在△ABC 中，∠C=900，点D 在BC 上，DE 垂直平分AB ，且DE=DC ，则∠B =______.4.如图，矩形ABCD 的对角线AC ＝8cm ，∠AOD ＝120º，则AB 的长为_____________。
第11章图形与证明整章教案
第11章图形与证明11.1 你的判断对吗【新知导读】图中的两条线段AB与CD哪一条长一些？先猜一猜，再量一量.【范例点睛】如图11-1-1，假如用一根比地球赤道长1 m的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？能放进一颗红枣吗？能放进一个拳头吗？与同伴进行交流.图11-1-1思路点拨：要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察或实验是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理.【课外链接】费马数猜想：大师的失误1640年，在数论领域留下不可磨灭足迹的费马思考了一个问题：式子+1 的值是否一定为素数。
当n取0、1、2、3、4时，这个式子对应值分别为3、5、17、257、65537，费马发现这五个数都是素数。
由此，费马提出一个猜想：形如+1的数一定为素数。
在给朋友的一封信中，费马写道：“我已经发现形如+1的数永远为素数。
很久以前我就向分析学家们指出了这个结论是正确的。
”费马同时坦白承认，他自己未能找到一个完全的证明。
费马所研究的+1这种具有美妙形式的数，后人称之为费马数，并用F n表示。
费马当时的猜想相当于说：所有费马数都一定是素数。
费马是正确的吗？进一步验证费马的猜想并不容易。
因为随着n的增大，F n迅速增大。
比如对后人来说第一个需要检验的F5＝4294967297已经是一个十位数了。
非常可能的是，由于这一数太大，所以费马在得出自己的猜想时并没有对它进行验证。
那么，它到底是否如同费马所相信的那样是一个素数呢？1729年12月1日，哥德巴赫（哥德巴赫猜想的提出者）在写给欧拉的一封信中问道：“费马认为所有形如+1的数都是素数，你知道这个问题吗？他说他没能作出证明。
据我所知，也没有其他任何人对这个问题作出过证明。
”这个问题吸引了欧拉。
1732年，年仅25岁的欧拉在费马死后67年得出F5＝641×6700417，其中641=5×27+1这一结果意味着是一个合数，因此费马的猜想是错的。
初一数学图形与证明试题答案及解析
初一数学图形与证明试题答案及解析1.下列正多边形的组合中，不能铺满地面的是A．正三角形和正五边形B．正三角形和正四边形C．正三角形和正十二边形D．正三角形和正六边形【答案】A【解析】找到两种多边形的若干个内角的和为360°的两种正多边形的组合即可．解：A正三角形的每个内角是60°，正五边形的每个内角为：180°-360°÷5=108°，∵60m+108n=360°，m,n不能得出正整数解。
∴不能够组成镶嵌，符合题意；B、正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，∵4×60°+1×90°=360°，∴能够组成镶嵌，不符合题意；C、正十二边形的每个内角是150°，正三角形的每个内角是60°，∵2×150°+1×60°=360°，∴能够组成镶嵌，不符合题意；D、正三角形的每个内角是60°，正六边形的每个内角是120°，∵2×60°+2×120°=360°，或∵4×60°+1×120°=360°，能够进行镶嵌，不符合题意．故选A。
两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．需注意正多边形内角度数=180°-360°÷边数．2.(7分)如图，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，求证：AD=CF．【答案】AD=CF，证明略。
【解析】三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等，可根据AAS判定△ADE≌△CFE，即证AD=CF．解：AD=CF．∵AB∥FC，∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE．∵DE=FE，∴△ADE≌△CFE．∴AD=CF．3.一个角的补角是它的余角的4倍，则这个角是_________度．【答案】60【解析】设这个角为x°，根据题意可得：180-x=4（90-x），解得x=60．【考点】1．互余；2．互补．4.如图，给出下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③AD∥BE，且∠D=∠B；其中，能推出AB∥DC的条件为（）A．①②B．①③C．②③D．以上都错【答案】C【解析】因为由∠1=∠2可得AD//BC,所以①错误；因为由∠3=∠4可得AD//BC,所以②正确；因为AD∥BE，所以∠1=∠2，又因为∠D=∠B，所以根据三角形的内角和可得∠3=∠4，所以AD//BC,因此③正确；所以②③正确，故选：C．【考点】平行线的判定与性质．5.下列说法正确的是（）A．同位角相等．B．在同一平面内，如果a⊥b，b⊥c，则a⊥c．C．相等的角是对顶角．D．在同一平面内，如果a∥b，b∥c，则a∥c．[【答案】D．【解析】A选项说法错误，因为只有在两直线平行的情况下，同位角才能相等；B选项说法错误，因为垂直于同一直线的两直线平行，∴a∥c；C选项说法错误，由于位置关系不同，相等的角不一定是对顶角；D说法正确，根据是平行公理推论，即如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，故选D．【考点】1．直线的位置关系及形成的角的名称；2．平行公理推论．6.（3分）（2015•本溪）如图，直线a∥b，三角板的直角顶点A落在直线a上，两条直线分别交直线b于B、C两点．若∠1=42°，则∠2的度数是．【答案】48°．【解析】已知∠BAC=90°，∠1=42°，根据平角的定义可得∠3=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣42°=48°．再由平行线的性质即可得∠2=∠3=48°．【考点】平行线的性质．7.如图，△中，点是上的一点，，是中点，点F是BD的中点。
图形与证明(1)
第一章图形与证明复习题（1）一、基础练习1、若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是正方形，那么这个四边形的对角线 A 、互相垂直 B 、相等 C 、互相平分 D 、互相垂直且相等 ( )2、如图，在□ABCD 中，E 是BC 的中点，且∠AEC=∠DCE ，下列结论不正确．．．的是( ) A 、BF=21DF B 、S △FAD =2S △FBE C 、四边形AECD 是等腰梯形 D 、∠AEB=∠ADC ， 3、如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE 的和最小，则这个最小值为（ ）A． B． C ．3 D4、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，中位线EF 与对角线AC 、BD 交于M 、N 两点，若EF=18㎝，MN=8㎝，则AB 的长等于 。
5、如图，直线L 过正方形ABCD 的顶点B ，点A 、C 到直线L 的距离分别是1和2，则正方形的边长是 。
二、例题精讲例１、如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B ′处，点A 落在点A ′处，(1)求证：B ′E=BF ；(2)设AE=a ，AB=b, BF=c,试猜想a 、b 、c 之间有何数量关系，并给予证明.21LDC BA 第5题图NM F E DC B A第4题图 A EP B C ABCDEFA ′B ′例2、如图在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，AB ＝10 3 ，AD 、BC 的长是x 2-20x+75=0方程的两根，判断以点D 为圆心、AD 长为半径的圆与以C 圆心BC 为半径的圆的位置关系 。
例３、问题探究（1）请在图①的正方形ABCD 内，画出使∠APB ＝90°的一个．．点P ，并说明理由． （2）请在图②的正方形ABCD 内（含边），画出使∠APB ＝60°的所有．．的点P ，并说明理由． 问题解决如图③，现有一块矩形钢板ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB 和△CP ’D 钢板，且∠APB ＝∠CP ’D ＝60°，请你在图③中画出符合要求的点P 和P ’，并求出△APB 的面积（结果保留根号）．AC第一章图形与证明复习题（2）1、将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，AB ＝3，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为（ ）．A 、3B 、2C 、3D 、322、正方形ABCD 的边长为1，M 是AB 的中点，N 是BC 中点，AN 和CM相交于点O ，则四边形AOCD 的面积是（ ）（A ）16 （B ）34 （C ）23 （D ） 343、在△ABC 中，BC =10，B 1、C 1分别是图①中AB 、AC 的中点，在图②中，2121、C 、C 、B B 分别是AB ,AC 的三等分点，在图③中921921;C 、C C B 、、BB 分别是AB 、AC 的10等分点，则992211C B C B C B +++ 的值是（ ） A . 30 B . 45 C .55 D .60① ② ③4、如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 的顶点A 、B 、D 的坐标分别是(0,0)，(5,0)，(2,3)，则顶点C 的坐标是 。
图形与证明PPT
A
A、甲先到B点 C、甲、乙同时到B点
B
B、乙先到B点
D、无法确定
假如用一根比地球赤道长1 米的铁丝将 地球赤道围起来，那么铁丝与赤道之间的间 隙能有多大（把地球看成球形）？ 能放进一粒草莓吗？ 能放进一个拳头吗？
假如用一根比地球赤道长1 米的铁丝将 地球赤道围起来，那么铁丝与赤道之间的间 隙能有多大（把地球看成球形）？ 解：设赤道的周长为C，则铁丝与地球赤 道的间隙为
a b
18
19
2、图中的两条直线a、b平行吗？
a b
17
3、如图，两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有 ７个小圆，另一个大圆内有两个小圆，你认为大圆内 的７个小圆的周长之和与另一个大圆内的2个小圆的 周长之和哪个大些？
中考链接
如图，有两只小虫同时出发，以相同的速 度从A点到B点，甲虫沿红色路线爬行，乙虫沿 蓝色路线爬行，则下列结论正确的是（ C ）
1 C 1 C 2 2 2
0.16(m)
练习
1、观察图中两组中央的两个圆，哪 个大？再量一量.
练习
2、图①、②都是由9个大小相同的黑色等边三 角形纸片围成的，哪个图形中间的空隙大？
①
②
说一说
本节课你有什么收获?
1. 生活中存在着错觉，数学中也存在着错觉. 2. 学习数学需要实验、观察、操作，且得到的结 论常常是正确的.但仅凭实验、观察、操作得 到的结论有时是不深入的，不全面的，甚至是 错误的. 3. 要想正确地认识事物，不能单凭直觉，还要学 会说理.
d
a bc
d
2、图(1)中有曲线吗？
请你在图（2 ）中把编号相同的点 用线段连接起来？
1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8
初一数学图形与证明试题答案及解析
初一数学图形与证明试题答案及解析1.用圆规、直尺作出下图：（保留痕迹，不写作法）【答案】方法正确7分，结论1分【解析】分析：首先作AB的垂直平分线NM，交AB于点O，以AO的长为半径，分别以A，B，C，D为圆心作弧即可得出图形．解答：解：如图所示：点评：此题主要考查了作图与应用作图中，解决问题的关键是作出正方形，进而作出一边垂直平分线，题目应用较广同学们应学会这种图形作法．2.下列图形中不可以折叠成正方体的是（）A． B C D【答案】C【解析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．A，B，D都可以折叠成正方体，只有C有两个面重合，不能围成正方体．故选C．【考点】正方体及其表面展开图3.（9分）如图，已知∠AOB是直角，∠BOC＝600， OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．（1）求∠EOF的度数；（2）若将条件“∠AOB是直角，∠BOC＝600”改为：∠AOB＝ x0，∠EOF＝y0，条件不变．①则请用x的代数式来表示y．②如果∠AOB+∠EOF＝1560．则∠EOF是多少度？【答案】（1）45°;m（2）①y=x，②52°．【解析】（1）根据角平分线的定义和角的和差倍分的关系即可求得∠EOF的度数；（2）①把（1）中的数字换成字母即可解得x与y的关系；②根据x+y=156°，y=x即可解得x、y的值．试题解析：（1）∵∠AOB=90°，∠BOC=60°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．∴∠EOF=∠EOC-∠FOC=∠AOC-∠BOC= （∠AOB+∠BOC）-∠BOC=∠AOB=×=90°=45°．（2）①∵∠AOB=x°，∠EOF=y°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．∴∠EOF=∠EOC-∠FOC=∠AOC-∠BOC= （∠AOB+∠BOC）-∠BOC=∠AOB．即y=x．②∵∠AOB+∠EOF=156°．则x+y=156°，又∵y=x．代入解得x=104°，y=52°．即∠EOF=52°．【考点】角平分线的性质；角的计算．4.如图，△ABC中，∠A=90°，点D在AC边上，DE∥BC，若∠1=35°，则∠B的度数为（）A．25°B．35°C．55°D．65°【答案】C【解析】∵DE∥BC，∴∠C=∠1=35°，∵∠A=90°，∴∠B=90°－∠C=90°－35°=55°．故选C．【考点】1．平行线的性质；2．直角三角形的性质．5.（本题8分）如图，若AE是△ABC边上的高，∠EAC的角平分线AD交BC于D，∠ACB=40°，求∠ADE．【答案】65°．【解析】应用三角形内角和定理求出∠EAC的度数，再应用角平分线的定义求得∠DAE的度数，应用三角形内角和定理求得∠ADE的度数．试题解析：解：因为AE是△ABC的高，所以∠AEC=90°，由三角形内角和定理得∠EAC=90°-40°=50°，因为AD平分∠EAC，所以∠EAD=25°，所以∠ADE=90°-25°=65°．【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义．6.下面各图中，∠1、∠2互为邻补角的是：【答案】D．【解析】有公共顶点，相邻且互补的两个角互为邻补角，A没有公共顶点，B不互补，C不相邻，故选D．【考点】邻补角定义．7.（本题满分10分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACB交AB于E，EF⊥AB交CB于F．（1）CD与EF平行吗？并说明理由；（2）若∠A=70°，求∠FEC的度数．【解析】（1）根据垂线的定义得∠CDB=∠FEB=90°，后根据同位角相等，两直线平行，可以得到EF∥CD；（2）先根据角平分线的定义得∠ACE=45°，再利用互余计算出∠ACD=90°-∠A=20°，则∠ECD=∠ACE-∠ACD=25°，然后根据平行线的性质求解．试题解析：（1）证明：∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴∠CDB=∠FEB=90°，∴EF∥CD；（2）解：∵∠ACB=90°，CE平分∠ACB交AB于E，∴∠ACE=45°，∵∠A=70°，∴∠ACD=90°﹣70°=20°，∴∠ECD=∠ACE﹣∠ACD=25°，∵EF∥CD，∴∠FEC=∠ECD=25°．【考点】垂直的意义，角平分线，平行线判定8.（本题满分12分）如图（1），四边形ABCD中，AD∥BC，点E是线段CD上一点，（1）说明：∠AEB=∠DAE+∠CBE；（2）如图（2），当AE平分∠DAC，∠ABC=∠BAC．①说明：∠ABE+∠AEB=900；②如图（3）若∠ACD的平分线与BA的延长线交于点F，且∠F=600，求∠BCD．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）∠BCD=600【解析】（1）如图（1），过点E作EF∥BC，交AB于F．根据平行线的性质可证得结论；（2）①如图（2），根据平行线的性质和互为补角，角平分线的性质可证；②根据平行线的性质和角平分线的性质，可求结果．试题解析：解：（1）如图（1），过点E作EF∥BC，交AB于F．∵EF∥BC，AD∥BC∴EF∥AD∥BC∴∠DAE=∠AEF，∠CBE=∠BEF∴∠AEF+∠BEF=∠DAE+∠CBE∵∠AEB=∠AEF+∠BEF∴∠AEB=∠DAE+∠CBE．（2）如图（2）∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°∵∠ABC=∠BAC，∠ACB=2∠DAE∴2∠ABC+2∠DAE=180°即∠ABC+∠DAE=90°∠ABC=∠ABE+∠CBE由（1）得∠AEB=∠DAE+∠CBE∴∠ABE+∠AEB=90°．（3）∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-2∠BAC∵∠BAC=∠F+∠ACF∴∠ACB=180°-2（∠F+∠ACF）=180°-2×60°-2∠ACF∵CF平分∠ACD∴∠ACD=2∠ACF即∠ACB=180°-2×60°-∠ACD得∠ACB+∠ACD=60°即∠BCD=60°．【考点】平行线的性质，角平分线的性质，互为补角9.小强将一张正方形纸片按如图所示对折两次，并在如图位置上剪去一个小正方形，然后展开得到（）【答案】B．【解析】观察图形可得，剪去一个小正方形，得到四个小正方形，每两个小正方形构成一个矩形，并且这个矩形关于正方形纸片的一条对角线对称，只有选项B符合要求，故答案选B．【考点】翻折变换．10.如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b=10，ab=20，那么阴影部分的面积是（）A．20B．30C．40D．10【答案】A【解析】根据图形可得：阴影部分的面积====×（100－60）=20．【考点】代数的计算．11.如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是 .【答案】25°．【解析】如图，根据平行线的性质可得∠1=∠3=20°，由题意知∠3+∠2=45°，所以∠2=25°．【考点】平行线的性质.12.如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是．【答案】三角形的稳定性【解析】注意能够运用数学知识解释生活中的现象，考查三角形的稳定性．一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性．【考点】三角形的稳定性13.（3分）下面是一个正方体纸盒的展开图，请把－10，7，10，－2，－7，2分别填入六个正方形，使得按虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数。
初二数学图形与证明试题答案及解析
初二数学图形与证明试题答案及解析1.如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF=2．以上结论中，你认为正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】∵FH与CG，EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，∴FH∥CG，EH∥CF，∴四边形CFHE是平行四边形，由翻折的性质得，CF=FH，∴四边形CFHE是菱形，∴①正确；∴∠BCH=∠ECH，∴只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，∴②错误；点H与点A重合时，设BF=x，则AF=FC=8-x，在Rt△ABF中，，即，解得x=3，点G与点D重合时，CF=CD=4，∴BF=4，∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，∴③正确；过点F作FM⊥AD于M，则ME=（8-3）-3=2，由勾股定理得EF=2，∴④正确；【考点】图形的翻折、勾股定理．2.如图，沿折叠后，点落在边上的处，DE∥BC，，则的度数为．【答案】80°．【解析】先根据折叠的性质可得∠ADE=∠ED，再由平行线的性质可得∠B=∠ADE=50°，由平角的性质即可求=180°-∠ADE-∠ED=180°-50°-50°=80°．【考点】折叠的性质；平行线的性质；平角的性质．3.如图，在□ABCD中，DB=DC，∠C=70°，AE⊥BD于E，则∠DAE=_____度．【答案】20．【解析】∵ DB=DC，∴∠DBC=∠C=70°，∵是□ABCD，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=70º，∵AE⊥BD于E，∴∠AED=90º，∴∠DAE=90-70=20º．【考点】平行四边形性质．4.如图，△ABC为等腰三角形，如果把它沿底边BC翻折后，得到△DBC，那么四边形ABDC为（）．A．菱形B．正方形C．矩形D．一般平行四边形【答案】A．【解析】此题先判定四边形ABDC为平行四边形，再通过邻边相等判定四边形ABDC为菱形，∵△ABC为等腰三角形，∴∠ABC=∠ACB,又∵折叠角相等，∴∠ABC=∠DBC,∠ACB=∠DCB,∴∠ABC=∠DCB,∠ACB=∠DBC,∴AB∥DC,AC∥BD,∴四边形ABDC为平行四边形，又∵折叠边相等，AB=BD,∴四边形ABDC为菱形．【考点】菱形的判定．5.将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为长方形面积的倍（木条宽度忽略不计），则这个平行四边形的最小内角为度．【答案】45【解析】如图所示：过点C作AB的垂线垂足是E，∵将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形木框ABCD的形状，并使其面积为矩形木框的，∴BC=CE，∵sin∠CBE==，∴∠CBE=∠A=45°．【考点】1.矩形的性质；2.平行四边形的性质．6.（本题10分）如图1，正方形ABCD的边长为6cm，点F从点B出发，沿射线AB方向以1cm/秒的速度移动，点E从点D出发，向点A以1cm/秒的速度移动（不到点A）．设点E，F 同时出发移动t秒．（1）在点E，F移动过程中，连接CE，CF，EF，则△CEF的形状是，始终保持不变；（2）如图2，连接EF，设EF交BD于点M，当t=2时，求AM的长；（3）如图3，点G，H分别在边AB，CD上，且GH=cm，连接EF，当EF与GH的夹角为45°，求t的值．【答案】（1）等腰直角三角形；（2）；（3）3．【解析】（1）判断三角形CDE和三角形CBF全等是解题的关键；（2）此题过点E作EN∥AB，交BD于点N，证明△EMN≌△FMB，得出EM=FM，于是AM是直角三角形AEF斜边EF中线，只要求出EF长，AM长就求出来了；（3）设EF与GH交于P，连接CE，CF，若∠EPH=45°，前面已证∠EFC=45º，显然GH∥CF，又有AF∥DC，可判断四边形GFCH是平行四边形，CF=GH=，在Rt△CBF中，用勾股定理求出BF长，即t值求出．试题解析：（1）∵点E，F的运动速度相同，且同时出发移动t秒，∴DE=BF=t，又∵CD=CB，∠CDE=∠CBF，∴△CDE≌△CBF，∴CE=CF，∠DCE=∠BCF，∠ECF=∠ECB＋∠BCF=∠ECB＋∠DCE=90º，∴△CEF的形状是等腰直角三角形；（2）先证△EMN≌△FMB，过点E作EN∥AB，交BD于点N，∴∠END=∠ABD=∠EDN=45°，∴EN="ED=BF=2" ，可证△EMN≌△FMB（AAS），∴EM=FM，Rt△AEF中，AE=4，AF=6+2=8，EF=，∴AM=EF=．（3）连接CE，CF，设EF与GH交于P，由（1）得∠CFE=45°，又∠EPH=45°，∴GH∥CF，又AF∥DC，∴四边形GFCH是平行四边形，∴CF=GH=，在Rt△CBF中，得BF=3，∴t=3．【考点】1．正方形性质；2．三角形全等及勾股定理的运用；3．平行四边形的判定与性质．7.下列命题中是真命题的有（）个．①相等的角是对顶角；②两直线被第三条直线所截，内错角相等；③若m2=n2，则m=n；④平行四边形的对角线互相平分；⑤一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形．A．0B．1C．2D．3【答案】B．【解析】命题①相等的角是对顶角，如两个直角相等，但两个直角不一定是对顶角，命题①错误；命题②两直线被第三条直线所截，内错角相等，命题②错误，正确的为两条平行线被第三条直线所截，所得的内错角相等；命题③若m2=n2，则m=n，如，但2≠-2，命题③错误；命题④平行四边形的对角线互相平分，根据平行四边形的性质可得，命题④正确；命题⑤一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形，根据平行四边形的判定可得一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，命题⑤错误．故答案选B．【考点】命题与定理．8.已知，如图，点B、E、C、F四点在同一条直线上，AB∥DE，AB=DE，AC、DE相交于点O，BE=CF．求证：AC=DF．【答案】详见解析．【解析】已知AB∥DE，根据平行线的性质可得∠B=∠E，再由BE=CF可得BC=EF，根据SAS可判定△ABC≌△DEF，即可得AC=DF．试题解析：证明：∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF，∵BE=CF，∴BC=EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴AC=DF．【考点】平行线的性质；全等三角形的判定及性质．9.（3分）下列各组数据中，不可以构成直角三角形的是（）A．7，24，25B．1.5，2，2.5C．，1，D．40，50，60【答案】D【解析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．解：A、72+242=625=252，故是直角三角形，不符合题意；B、1.52+22=6.25=2.52，故是直角三角形，不符合题意；C、12+（）2==（）2，故是直角三角形，不符合题意；D、402+502=4100≠602，故不是直角三角形，符合题意．故选：D．【考点】勾股定理的逆定理．10.已知一直角三角形的木板，三边的平方和为1800，则斜边长为．【答案】30．【解析】∵在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和，又∵已知三边的平方和为1800，则斜边的平方为三边平方和的一半，即斜边的平方为=900，∴斜边长==30．故斜边长为30．【考点】勾股定理．11.顺次连接四边形各边中点所得的四边形是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．以上都不对【答案】A．【解析】如图四边形ABCD，E、N、M、F分别是DA，AB，BC，DC中点，连接AC，DE，根据三角形中位线定理可得：EF平行且等于AC的一半，MN平行且等于AC的一半，根据平行四边形的判定，可知四边形为平行四边形．故选A．【考点】三角形中位线定理．12.已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1，，2．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有（）A．②B．①②C．①③D．②③【答案】D．【解析】①∵22+32=13≠42，∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故不符合题意；②∵32+42=52，∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意；③∵12+（）2=22，∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意．故构成直角三角形的有②③．故选D．【考点】勾股定理的逆定理．13.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．若AC=4，则四边形CODE的周长是．【答案】8【解析】∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OC=AC=2，OD=BD，AC=BD，∴OC=OD=2，∴四边形CODE是菱形，∴DE=CE=OC=OD=2，∴四边形CODE的周长=2×4=8；【考点】1.菱形的判定与性质；2.矩形的性质．14.一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量出了这个零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗？求出四边形ABCD的面积．【答案】36.【解析】根据勾股定理的逆定理，判断出△ABD、△BDC的形状，从而判断这个零件是否符合要求；这个零件的面积=△ABD的面积+△BDC的面积，再根据三角形面积公式即可求解．试题解析：∵AD=4，AB=3，BD=5，DC=13，BC=12，∴AB2+AD2=BD2，BD2+BC2=DC2，∴△ABD、△BDC是直角三角形，∴∠A=90°，∠DBC=90°，∴这个零件的面积=△ABD的面积+△BDC的面积=3×4÷2+5×12÷2，=6+30，=36．故这个零件的面积是36．【考点】1.勾股定理的逆定理；2.勾股定理．15.等腰△ABC的腰长AB=10cm，底BC为16cm，面积为 .【答案】48cm2.【解析】如图所示，∵AB=AC=10cm，AD⊥BC，∴BD=CD=BC=8cm，在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AD=cm.∴S△ABC=BC•AD=×16×6=48cm2.【考点】1.勾股定理；2.等腰三角形的性质.16.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠BAC的平分线AE交C于F，EG⊥AB于G，请判断四边形GECF的形状，并证明你的结论．【答案】四边形GECF是菱形，理由详见解析．【解析】根据全等三角形的判定定理HL进行证明Rt△AEG≌Rt△AEC（HL），得到GE=EC；根据平行线EG∥CD的性质、∠BAC平分线的性质以及等量代换推知∠FEC=∠CFE，易证CF=CE；从而根据邻边相等的平行四边形是菱形进行判断．试题解析：四边形GECF是菱形，理由如下：∵∠ACB=90°，∴AC⊥EC．又∵EG⊥AB，AE是∠BAC的平分线，∴GE=CE．在Rt△AEG与Rt△AEC中，，∴Rt△AEG≌Rt△AEC（HL），∴GE=EC，∵CD是AB边上的高，∴CD⊥AB，又∵EG⊥AB，∴EG∥CD，∴∠CFE=∠GEA，∵Rt△AEG≌Rt△AEC，∴∠GEA=∠CEA，∴∠CEA=∠CFE，即∠CEF=∠CFE，∴CE=CF，∴GE=EC=FC，又∵EG∥CD，即GE∥FC，∴四边形GECF是菱形．【考点】菱形的判定．17.将一副常规的三角尺如图放置，则图中∠AOB的度数是（）A．75°B．95°C．105°D．120°【答案】C【解析】由已知可得∠ACO=45°-30°=15°，根据三角形外角的性质可得∠AOB=∠A+∠ACO=90°+15°=105°．故答案选C．【考点】三角形外角的性质．18.下列说法错误的是（）A．一个三角形中至少有一个角不少于60°B．三角形的中线不可能在三角形的外部C．三角形的中线把三角形的面积平均分成相等的两部分D．直角三角形只有一条高【答案】D【解析】选项A，根据三角形的内角和定理可知一个三角形中至少有一个角不少于60°，选项A正确；选项B，三角形的中线都在三角形的内部，不可能在三角形的外部，选项B正确；选项C，根据等底同高的两个三角形的面积相等可知三角形的中线把三角形的面积平均分成相等的两部分，选项C正确；选项D，直角三角形由三条高，其中两条是直角边，选项D错误．故答案选D．【考点】三角形的内角和定理；三角形的高线、中线．19.如图，若△ABC≌△ADE，∠EAC＝35°，则∠BAD＝_______．【答案】35°．【解析】已知△ABC≌△ADE，根据全等三角形的性质可得∠CAB=∠EAD，所以∠EAC=∠CAB-∠EAB，∠BAD=∠EAD-∠EAB，即∠BAD=∠EAC=35°．【考点】全等三角形的性质．20.如图，AB∥ED，点F、C在AD上，AB＝DE，AF＝DC，试说明BC＝EF．【答案】详见解析．【解析】由已知AB∥ED，AF=DC可以得出∠A=∠D，AC=DF，又因为AB=DE，根据SAS可得△ABC≌△DEF，再由全等三角形的对应边相等即可得出BC=EF．试题解析：证明：∵AB∥ED，∴∠A=∠D，又∵AF=DC，∴AC=DF．在△ABC与△DEF中，∴△ABC≌△DEF．∴BC=EF．【考点】全等三角形的判定及性质．21.（3分）如图，菱形ABCD的周长为16cm，BC的垂直平分线EF经过点A，则对角线BD 长为_____________cm．【答案】4．【解析】连接AC，∵菱形ABCD的周长为16cm，∴AB=4cm，AC⊥BD，∵BC的垂直平分线EF经过点A，∴AC=AB=4cm，∴OA=AC=2cm，∴OB==2cm，∴BD=2OB=4cm．故答案为：4．【考点】菱形的性质；线段垂直平分线的性质．22.如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A．1，2，3B．1，1，C．1，1，D．1，2，【答案】D．【解析】A、∵1+2=3，不能构成三角形，故选项错误；B、∵12+12=（）2，是等腰直角三角形，故选项错误；C、底边上的高是，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确．故选：D．【考点】解直角三角形．23.下列说法正确的是（）A．全等三角形是指形状相同的两个三角形B．全等三角形的周长和面积分别相等C．全等三角形是指面积相等的两个三角形D．所有的等边三角形都是全等三角形【答案】B．【解析】试题解析：A、全等三角形的形状相同，但形状相同的两个三角形不一定是全等三角形．故该选项错误；B、全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，则全等三角形的周长和面积一定相等，故B正确；C、全等三角形面积相等，但面积相等的两个三角形不一定是全等三角形．故该选项错误；D、两个等边三角形，形状相同，但不一定能完全重合，不一定全等．故错误．故选B．【考点】全等三角形的应用．24.如果等腰三角形的一个角为80°，那么它的一个底角为__________．【答案】50°或80°．【解析】试题解析：由题意知，分两种情况：（1）当这个80°的角为顶角时，则底角=（180°-80°）÷2=50°；（2）当这个80°的角为底角时，则另一底角也为80°．【考点】等腰三角形的性质25.一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（取3）是_________．【答案】10cm．【解析】如图，可以把A和B展开到一个平面内，即圆柱的半个侧面是矩形：矩形的长是圆柱底面周长的一半即2π=6．矩形的宽是圆柱的高8．根据勾股定理可得，爬行的最短路程是矩形的对角线的长为10cm．【考点】最短路径问题；勾股定理．26.在等腰三角形中有一个角是50°，它的顶角是（）或（）．【答案】50°，80°．【解析】因为题目中没有指明该角是顶角还是底角，所以要分两种情况进行分析．①50°是底角，则顶角为：180°-50°×2=80°；②50°为顶角；所以顶角的度数为50°或80°．【考点】三角形内角和定理、等腰三角形的性质．27.（12分）如图，在五角星ABCDE中，试说明：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．【答案】详见解析．【解析】如图，根据三角形外角的性质可得∠B+∠D=∠1，∠A+∠C=∠2，在由三角形内角和定理可知∠1+∠2+∠E=180°，即可得∠B+∠D+∠A+∠C+∠E=180°．试题解析：解：如图∵∠1是△BDF的外角，∴∠B+∠D=∠1，同理∠A+∠C=∠2，由三角形内角和定理可知∠1+∠2+∠E=180°，即，∠B+∠D+∠A+∠C+∠E=180°．【考点】三角形外角的性质；三角形内角和定理．28.如图，△ABC中，AB=5，AC=8，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F，则△AEF的周长为（）A．12B．13C．14D．18【答案】B．【解析】∵EF∥BC，∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，∵△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，∴∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB，∴∠EDB=∠EBD，∠FDC=∠FCD，∴ED=EB，FD=FC，∵AB=5，AC=8，∴△AEF的周长为：AE+EF+AF=AE+ED+FD+AF=AE+EB+FC+AF=AB+AC=5+8=13．故选B．【考点】1．等腰三角形的判定与性质；2．平行线的性质．29.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，若AB=10，则CD的长等于．【答案】5．【解析】∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，∴CD=AB，∵AB=10，∴CD=×10=5．故答案为：5．【考点】直角三角形斜边上的中线．30.等腰三角形中有一个角等于70º，则它的底角度数是（）A．70ºB．55ºC．40º或55ºD．70º或55º【答案】D．【解析】①当这个角是顶角时，底角=（180°﹣70°）÷2=55°；②当这个角是底角时，另一个底角为70°，因为70°+70°＜180°，符合三角形内角和定理；故选D．【考点】1．等腰三角形的性质；2．分类讨论．31.到三角形三边距离相等的点是（）A．三角形三边垂直平分线的交点B．三角形有三条高的交点C．三角形三条角平分线的交点D．三角形三条中线的交点【答案】C．【解析】∵OG⊥AB，OF⊥AC，OG=OF，∴O在∠A的平分线上，同理O在∠B的平分线上，O在∠C的平分线上，即O是三条角平分线的交点，故选C．【考点】1．角平分线的性质；2．三角形的角平分线、中线和高．32.若等腰三角形一个外角等于100，则它的顶角度数为（）．A．20°B．80°C．20°或80°D．无法确定【答案】C．【解析】①若100°是顶角的外角，则顶角=180°﹣100°=80°；②若100°是底角的外角，则底角=180°﹣100°=80°，那么顶角=180°﹣2×80°=20°．故选C．【考点】1．等腰三角形的性质；2．分类讨论．33.下列说法中，错误的有（）①周长相等的两个三角形全等；②周长相等的两个等边三角形全等；③有三个角对应相等的两个三角形全等；④有两边及一角对应相等的两个三角形全等．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C．【解析】①全等三角形的周长相等，但周长相等的两个三角形不一定全等，故①错误；②周长相等的等边三角形，边长也相等，根据SSS可判定两三角形全等，故②正确；③判定全等三角形的过程中，必须有边的参与，故③错误；④有两边对应相等，且两边的夹角对应相等的两三角形全等（SAS），故④错误；所以错误的结论有①③④，故选C．【考点】全等三角形的判定．34.（本题7分）△ABC中，∠C是最小内角．若过顶点B的一条直线把这个三角形分成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的伴侣分割线．例如：如图1，△ABC中，∠A＝90°，∠C＝20°，若过顶点B的一条直线BD交AC于点D，且∠DBC＝20°，则直线BD是△ABC的关于点B的伴侣分割线．（1）如图2，△ABC中，∠C＝20°，∠ABC＝110°．请在图中画出△ABC关于点B 的伴侣分割线，并注明角度；（2）△ABC中，设∠B的度数为y，最小内角∠C的度数为x．试探索y与x应满足什么要求时，△ABC存在关于点B的伴侣分割线．【答案】（1）答案见试题解析；（2）当y=90°﹣x或y=90°+x或x=45°且y＞x或y=135°﹣或y=135°﹣x时△ABC存在伴侣分割线．【解析】（1）首先了解伴侣分割线的定义，然后把角ABC分成90°角和20°角即可；（2）设BD为△ABC的伴侣分割线，分以下两种情况．第一种情况：△BDC是等腰三角形，△ABD是直角三角形；第二种情况：△BDC是直角三角形，△ABD是等腰三角形分别进行分析．试题解析：（1）如图所示：（2）设BD为△ABC的伴侣分割线，分以下两种情况．第一种情况：△BDC是等腰三角形，△ABD是直角三角形，易知∠C和∠DBC必为底角，∴∠DBC=∠C=x．当∠A=90°时，△ABC存在伴侣分割线，此时y=90°﹣x，当∠ABD=90°时，△ABC存在伴侣分割线，此时y=90°+x，当∠ADB=90°时，△ABC存在伴侣分割线，此时x=45°且y＞x；第二种情况：△BDC是直角三角形，△ABD是等腰三角形，当∠DBC=90°时，若BD=AD，则△ABC存在伴侣分割线，此时180°﹣x﹣y=y﹣90°，∴y=135°﹣，当∠BDC=90°时，若BD=AD，则△ABC存在伴侣分割线，此时∠A=45°，∴y=135°﹣x．综上所述，当y=90°﹣x或y=90°+x或x=45°且y＞x或y=135°﹣或y=135°﹣x时△ABC存在伴侣分割线．【考点】1．作图—应用与设计作图；2．分类讨论．35.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，△OEF是正三角形，且AE=BF，则∠AOE= ．【答案】15°．【解析】试题解析：∵四边形ABCD是正方形，∴OA=OB，∠AOB=90°．∵△OEF是正三角形，∴OE=OF，∠EOF=60°．在△AOE和△BOF中，，∴△AOE≌△BOF（SSS），∴∠AOE=∠BOF，∴∠AOE=（∠AOB﹣∠EOF）÷2=（90°﹣60°）÷2=15°．【考点】1．全等三角形的判定与性质；2．等边三角形的性质；3．正方形的性质．36.如图，△ABC中，∠C=90°．（1）在BC边上作一点P，使得点P到点C的距离与点P到边AB的距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，若AC=4，BC=3，求CP的长．【答案】（1）作图见解析；（2）CP的长为．【解析】（1）作∠CAB的平分线，交BC于点P，过点P作PD⊥AB于D，则PC=PD；（2）先利用HL证明Rt△ADP≌Rt△ACP，得出AD=AC=3，再设PC=x，则PD=x，BP=4-x，在Rt△BDP中，由勾股定理得出（4-x）2=x2+12，解出x的值即可．试题解析：（1）如图，点P即为所求；（2）∵AP平分∠CAB，PD⊥AB于D，∠C=90°，∴PD=PC．在Rt△ADP和Rt△ACP中，∴Rt△ADP≌Rt△ACP（HL）．∴AD=AC=4．在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=5．∴BD=5﹣4=1．设PC=x，则PD=x，BP=3﹣x，在Rt△BDP中，由勾股定理，得PD2＋BD2=PB2，即（3﹣x）2=x2＋12，解得：x=．答：CP的长为．【考点】1．角平分线的性质；2．勾股定理；3．作图—基本作图．37.若等腰三角形底角为72°，则顶角为（）A．108°B．72°C．54°D．36°【答案】D【解析】根据三角形内角和以及等腰三角形的性质可得：顶角的度数为：180－72×2=36°．【考点】等腰三角形38.（10分）如图，在等腰RT△中，，，点是斜边的中点，点、分别为、边上的点，且．（1）判断与的大小关系，并说明理由；（2）若，，求△的面积．【答案】（1）（1分）连接，证明全等（其它方法酌情给分）；（2）【解析】（1）连接AD，利用三线合一可得到AD⊥BC，AD=CD=BD，从而得到∠CDF=∠ADE，然后利用ASA证得△DCF≌△ADE后即可证得DF=DE；（2）根据（1）中结论可证：△EDF为等腰直角三角形，在Rt△AEF中，利用勾股定理可将EF的值求出，进而可求出DE、DF的值，代入三角形面积公式计算即可．试题解析：（1）连接AD，∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，AD=CD=BD，∵DE⊥DF，∴∠CDF+∠ADF=∠EDA+∠ADF，即∠CDF=∠ADE，在△DCF和△ADE中，∠C=∠DAE，∠CDF=∠ADE，CD=AD，∴△DCF≌△ADE（AAS），∴DF=DE；（2）解：由（1）知：AE=CF=6，同理AF=BE=8．∵∠EAF=90°，∴．∴EF=10，又∵由（1）知：△AED≌△CFD，∴DE=DF，∴△DEF为等腰直角三角形，，，【考点】等腰三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质．39.如图，△ABC中，∠BAC=100°，EF， MN分别为AB，AC的垂直平分线，如果BC="12" cm，那么△FAN的周长为 cm，∠FAN= ．【答案】12，20°．【解析】∵EF，MN分别为AB，AC的垂直平分线，∴AF=BF，AN=CN，∴△FAN的周长为：AF+FN+AN=BF+FN+CN=BC=12cm；∴∠BAF=∠B，∠CAN=∠C，∵△ABC中，∠BAC=100°，∴∠BAF+∠CAN=∠B+∠C=180°﹣∠BAC=80°，∴∠FAN=∠BAC﹣（∠BAF+∠CAN）=20°．故答案为：12，20°．【考点】线段垂直平分线的性质．40.一个三角形的两边长为3和8，第三边长为奇数，则第三边长为（）A．5或7B．7或9C．7D．9【答案】B【解析】根据三角形的三边关系，得：第三边大于8-3=5，而小于两边之和8+3=11．又第三边应是奇数，则第三边等于7或9．故选B．【考点】三角形三边关系41.如图，△ABC为等边三角形，D为射线BC上一点，∠ADE=60°，DE与∠ACB的外角平分线交于点E．（1）如图1，点D在BC上，求证：CA=CD+CE；（2）如图2，若D在BC的延长线上，直接写出CA、CD、CE之间的数量关系．【答案】（1）证明见试题解析；（2）CA=CE-CD．【解析】（1）首先在AC上截取CM=CD，由△ABC为等边三角形，易得△CDM是等边三角形，继而可证得△ADM≌△EDC，即可得AM=EC，则可证得CA=CD+CE；（2）首先在AC延长线上截取CM=CD，由△ABC为等边三角形，易得△CDM是等边三角形，继而可证得△ADM≌△EDC，即可得AM=EC，则可证得CA=CE﹣CD．试题解析：证明：（1）在AC上截取CM=CD，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴△CDM是等边三角形，∴MD=CD=CM，∠CMD=∠CDM=60°，∴∠AMD=120°，∵∠ADE=60°，∴∠ADE=∠MDC，∴∠ADM=∠EDC，∵DE与∠ACB的外角平分线交于点E，∴∠ACE=60°，∴∠DCE=120°=∠AMD，在△ADM和△EDC中，∵∠ADM=∠EDC，MD=CD，∠AMD=∠ECD，∴△ADM≌△EDC（ASA），∴AM=EC，∴CA=CM+AM=CD+CE；（2）CA=CE﹣CD．证明：在AC的延长线上截取CM=CD，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠DCM=60°，∴△CDM是等边三角形，∴MD=CD=CM，∠CMD=∠CDM=60°，∵DE与∠ACB的外角平分线交于点E，∴∠ACE=∠DCE=60°，∴∠ECD=∠AMD，∵∠ADE=60°，∴∠ADE=∠CDM，∴∠ADM=∠EDC，在△ADM和△EDC中，∵∠ADM=∠EDC，MD=CD，∠AMD=∠ECD，∴△ADM≌△EDC（ASA），∴AM=EC，∴CA=AM﹣CM=CE﹣CD．【考点】1．等边三角形的性质；2．全等三角形的判定与性质．42.下列三条线段，能组成三角形的是（）A．3，3，3B．3，3，6C．3，2，5D．3，2，6【答案】A．【解析】选项B， 3+3=6；选项C， 3+2=5；选项D， 3+2<6．根据三角形的三边关系可得选项B、C、D不能构成三角形，故答案选A．【考点】三角形的三边关系．43.如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，则∠3= ．【答案】55°．【解析】试题分析:在△ABD与△ACE中，因∠BAC=∠DAE，即∠1+∠CAD=∠CAE+∠CAD，可得∠1=∠CAE．又因为AB=AC，AD=AE，根据SAS可判定△ABD≌△ACE，根据全等三角形的对应角相等可得∠2=∠ABD．再由三角形外角的性质可得∠3=∠1+∠ABD=∠1+∠2 =25°+30°=55°．【考点】全等三角形的判定及性质．44.将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果∠1=41°，∠2=51°，那么∠3的度数等于．【答案】10°．【解析】等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°，正五边形的内角的度数是：（5﹣2）×180°=108°，则∠3=360°﹣60°﹣90°﹣108°﹣∠1﹣∠2=10°．故答案为：10°．【考点】1．多边形内角与外角；2．三角形内角和定理．45.如图，将长AB=5cm，宽AD=3cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，折痕为EF，则AE长为 cm．【答案】3．4【解析】根据矩形的性质可得：BC=AD=3cm，设AE=xcm，则BE=（5－x）cm，根据折叠图形的性质可得CE=AE=xcm，根据Rt△BCE的勾股定理可得：，解得：x=3．4【考点】折叠图形的性质、勾股定理46.计算：如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD．求证：AC=DF．【答案】见解析【解析】根据FB=CE得出BC=EF，根据平行得出∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，从而得出三角形全等．试题解析：∵FB=CE ∴BC=EF ∵ AB∥ED ∴∠B=∠E ∵ AC∥EF ∴∠ACB=∠DFE∴△ABC≌△DEF ∴AC=DF【考点】三角形全等的判定及性质47.已知等腰三角形的两条边长分别是3和7，则它的周长是（）A．17B．15C．13D．13或17【答案】A【解析】当3为腰时，则3+3=6＜7，不能构成三角形，则等腰三角形的腰长为7，底为3，则周长为：7+7+3=17．【考点】等腰三角形的性质48.如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PQ⊥OA，若PC=4，则PQ=___ __．【答案】2【解析】过点P作PE⊥OB，根据题意可得：∠COP=∠CPO=15°，根据外角的性质可得：∠ECP=30°，根据直角三角形的性质可得：PE=2，根据角平分线的性质可得：PQ=PE=2．【考点】角平分线的性质、直角三角形49.下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是（）A．两条直角边对应相等B．斜边和一锐角对应相等C．斜边和一条直角边对应相等D．两锐角相等【答案】D【解析】A可利用SAS来判定全等，故正确；B可利用AAS来判定全等，故正确；C可利用HL判定全等，故正确；D面积相等不一定退出两直角三角形全等，没有相关的判定方法，故不正确．故选D【考点】直角三角形全等的判定50.在△ABC中，若∠B=∠C=2∠A，则∠A的度数为（）A．72°B．45°C．36°D．30°【答案】C【解析】根据三角形的内角和可知∠A+∠B+∠C=180°，即5∠A=180°，解得∠A=36°．故选C【考点】三角形的内角和51.如图，∠1=∠2，要使△ABE ≌△ACE，则还需添加一个条件是．【答案】∠B＝∠C等【解析】根据题意，易得∠AEB=∠AEC，又由AE公共边，所以根据全等三角形的判定方法容易寻找添加条件为：当∠B=∠C时，△ABE≌△ACE（AAS）；或BE=CE时，△ABE≌△ACE（SAS）；或∠BAE=∠CAE时，△ABE≌△ACE（ASA）．【考点】全等三角形的判定52.△ABC中，AB=AC，D为AB上一点，且AD=CD=BC，则∠A的度数为（）A．30°B．36°C．40°D．45°【答案】B．【解析】试题解析：∵AB=AC，AD=CD=BC，∴∠A=∠ACD，∠B=∠ACB=∠CDB，设∠A=x°，则∠ACD=∠A=x°，∴∠B=∠ACB=∠CDB=∠A+∠ACD=2x°∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∴x+2x+2x=180，∴x=36，∴∠A=36°．故选B．【考点】等腰三角形的性质．53.如图，AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝ED，点F是CD的中点．试说明：AF⊥CD．【答案】参见解析．【解析】连接AC、AD．利用已知条件证明△ABC≌△AED（SAS）．得出AC=AD．因为点F 是CD的中点．所以利用等腰三角形性质即可得出AF⊥CD．试题解析：连接AC、AD．在△ABC和△AED中，∵AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，∴△ABC≌△AED（SAS）．∴AC=AD．∴△ACD为等腰三角形．∵F为CD的中点，∴AF⊥CD．【考点】1．全等三角形的判定与性质；2．等腰三角形性质．54.（2015秋•句容市月考）已知△ABC中，∠BAC=150°，AB、AC的垂直平分线分别交BC 于E、F．求∠EAF的度数．【答案】120°．【解析】根据三角形内角和定理可求∠B+∠C；根据垂直平分线性质，EA=EB，FA=FC，则∠EAB=∠B，∠FAC=∠C，∠EAF=∠BAC﹣∠EAB﹣∠FAC=140°﹣（∠B+∠C）．解：设∠B=x，∠C=y．∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∠BAC=150°∴x+y=30°．∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，∴EA=EB，FA=FC，∴∠EAB=∠B，∠FAC=∠C．∴∠EAF=∠BAC﹣（x+y）=150°﹣30°=120°．【考点】线段垂直平分线的性质．55.下面每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（）A．3、4、5B．6、8、10C．D．5、12、13【答案】C【解析】能构成直角三角形则说明两条短的边的平方和等于长的边的平方．3²+4²=5²；6²+8²=10²；5²+12²=13²．【考点】直角三角形的判定56.已知：如图，点D是△ABC内一点，AB=AC，∠1=∠2．求证：AD平分∠BAC．【答案】证明见解析.【解析】先根据∠1=∠2得出BD=CD，再由SSS定理得出△ABD≌△ACD，由全等三角形的性质即可得出结论．试题解析：∵∠1=∠2，∴BD=CD，在△ABD与△ACD中，∵，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC．【考点】全等三角形的判定与性质．57.如图，已知一块四边形的草地ABCD，其中∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=20米，CD=10米，求这块草地的面积．【答案】150．【解析】所求四边形ABCD的面积=S△ABE -S△CED．分别延长AD，BC交于点E，在直角三角形中解题，根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出各边的长，然后代入三角函数进行求解．。
初一数学图形与证明试题答案及解析
初一数学图形与证明试题答案及解析1.如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”. 则半径为2的“等边扇形”的面积为【答案】2【解析】根据扇形的面积公式S=lr，其中l=r，求解即可．解：∵S=lr，∴S=×2×2=2，故答案为2．本题是一个新定义的题目，考查了扇形面积的计算，注：扇形面积等于扇形的弧长与半径乘积的一半．2.如图，直线，∠1=40°，∠2=75°，则∠3等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°【答案】C．【解析】如图：∵直线l1∥l2，∠1=40°，∠2=75°，∴∠1=∠4=40°，∠2=∠5=75°，∴∠3=65°．故选C．【考点】1．三角形内角和定理；2．对顶角、邻补角；3．平行线的性质3.如图，C、D是线段AB上的两个点，CD="8" cm，M是AC的中点，N是DB的中点，MN="12" cm，那么线段AB的长等于 cm．【答案】16【解析】由CD=8cm，MN=12cm，可得MC+DN=4cm，由M是AC的中点，N是DB的中点可得AC+DB=2MC+2DN=8cm，即可求得AB=AC+CD+DB=16cm．【考点】比较线段的长短4.在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条弯曲水泥小路，小路任何地方的水平宽度都是1个单位，则草地面积为_________．【答案】（ab-b）．【解析】∵小路任何地方的水平宽度都是1个单位，∴通过平移把小路变成长为b，宽为1的面积相等的矩形，所以草地面积为（ab-b）．【考点】1．图形的平移规律；2．矩形面积的计算．5.下列命题中，①对顶角相等．②等角的余角相等．③若，则．④同位角相等．其中真命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】①对顶角相等，正确；②等角的余角相等，正确；③若|a|=|b|，则a=b，错误，如|-2|=|2|，但-2≠2；④同位角相等，错误，如图，∠1与∠2是同位角，但∠1≠∠2；故2个正确；故选B．【考点】真命题与假命题．6.下列长度的3条线段，能构成三角形的是（）A．1，2，3B．2，3，4C．6，6，12D．5，6，12【答案】B【解析】三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．A、1+2=3；C、6+6=12；D、5+6=11＜12．故选B．【考点】三角形三边关系．7.已知点P是线段AB的中点，若AB=6cm，则PB= cm．【答案】3【解析】根据线段的中点平分线段的长度．根据点P是线段AB的中点，则PB=AB==3cm．【考点】两点间的距离．8.如图，若PE平分∠BEF，PF平分∠DFE，∠1=35°，∠2=55°，则AB与CD平行吗？为什么？【答案】见解析．【解析】先根据角平分线的性质得出∠BEF与∠DFE的度数，再由等式的性质得出∠BEF+∠DFE=180°，从而根据同旁内角互补，两直线平行得出结论．试题解析：AB∥CD．理由：∵PE平分∠BEF，PF平分∠DFE，∠1=35°，∠2=55°，∴∠BEF=2∠1=70°，∠DFE=2∠2=110°（角平分线的定义），∴∠BEF+∠DFE=70°+110°=180°（等式的性质），∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．【考点】平行线的判定9.下列命题中是假命题的是（）A．对顶角相等B．同位角相等C．邻补角互补D．平行于同一条直线的两条直线平行【答案】B．【解析】根据正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题可知：选项A，对顶角相等是真命题；选项B，同位角相等是假命题，只有两直线平行，同位角才相等；选项C，邻补角互补是真命题；选项D，平行于同一条直线的两条直线平行是真命题；故答案选B．【考点】真假命题．10.已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为．【答案】20．【解析】分两种情况：第1种情况，腰长为8，底边长为4，等腰三角形的周长为20；第2种情况，腰长为4，底边长为8，这种情况不存在，故答案为20．【考点】分类讨论；等腰三角形的性质．11.下列说法中：①因为对顶角相等，所以相等的两个角是对顶角；②在平面内，不相交的两条直线叫做平行线；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；正确的有（）．A．个B．个C．个D．个【答案】C．【解析】①说法错误，因对顶角有特殊的位置关系，相等的角不一定是对顶角；②是平行线的定义，正确；③是垂线的性质，正确，故选C．【考点】1．对顶角的理解；2．平行线意义；3．垂线性质．12.如图，下列不能判定∥的条件是( ).A．B．C．D．【答案】B.【解析】选项A,根据同旁内角互补，两直线平行可判定∥；选项B,根据内错角相等，两直线平行可判定AD∥BC，不能判定∥；选项C,根据内错角相等，两直线平行可判定∥；选项D,根据同位角相等，两直线平行可判定∥.故答案选B.【考点】平行线的判定.13.如图，下列说法错误的是（）A．∠A与∠B是同旁内角B．∠3与∠1是同旁内角C．∠2与∠3是内错角D．∠1与∠2是同位角【答案】D【解析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义可知：∠A与∠B是同旁内角，所以A说法正确；∠3与∠1是同旁内角，所以B说法正确；∠2与∠3是内错角，所以C说法正确；∠1与∠2是邻补角，所以D说法错误，故选：D．【考点】1.同位角；2.内错角；3.同旁内角．14.如图，等边三角形ABC的边长为10厘米．点D是边AC的中点．动点P从点C出发，沿BC的延长线以2厘米/秒的速度作匀速运动，设点P的运动时间为t（秒）．若△BDP是等腰三角形，则为t= ．【答案】【解析】过点D作DG⊥BC，利用等边三角形的性质得出BD=5，再利用含30°的直角三角形得出BG=，即可得出PC的长度．过点D作DG⊥BC，如图：∵等边三角形ABC的边长为10厘米，点D是边AC的中点，∴BD=5，∠DBG=30°，∴BG=，∴PC=－5=，可得t=．【考点】等边三角形的性质；等腰三角形的判定15.（3分）下面是一个正方体纸盒的展开图，请把－10，7，10，－2，－7，2分别填入六个正方形，使得按虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数。
(2021年整理)图形与证明(三条线段之间的数量关系)
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图形与证明（2）1（09河北)在图14-1至图14—3中，点B 是线段AC 的中点，点D 是线段CE 的中点．四边形BCGF 和CDHN 都是正方形．AE 的中点是M ．(1)如图14—1，点E 在AC 的延长线上，点N 与点G重合时，点M 与点C 重合， 求证:FM = MH ，FM ⊥MH ；(2)将图14—1中的CE 绕点C 顺时针旋转一个锐角，得到图14-2，求证:△FMH 是等腰直角三角形； （3）将图14-2中的CE 缩短到图14—3的情况，△FMH 还是等腰直角三角形吗？（不必 说明理由）2. (10沈阳）如图1，在△ABC 中，点P 为BC 边中点，直线a 绕顶点A 旋转，若B 、P 在直线a 的异侧，BM 直线a 于点M ，CN 直线a 于点N ，连接PM 、PN ； （1） 延长MP 交CN 于点E (如图2）。
求证：△BPM △CPE ; 求证：PM = PN ； (2) 若直线a 绕点A 旋转到图3的位置时，点B 、P 在直线a 的同侧，其它条件不变。
此时PM =PN 还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由;（3） 若直线a 绕点A 旋转到与BC 边平行的位置时，其它条件不变。
请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM =PN 还成立吗?不必说明理由。
3．（08北京)请阅读下列材料:图14-1 A HC (M )DE BFG (N )G 图14-2AHC DEB F NMAHCDE 图14-3BFG MN aA BCPMNA BCM N aPA BCPNMa图1 图2 图3问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠=，探究PG 与PC 的位置关系及PGPC的值．小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题: （1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PGPC的值; (2)将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1)中得到的两个结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明．（3)若图1中2(090)ABC BEF αα∠=∠=<<，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PGPC的值（用含α的式子表示）．4。
初三数学图形与证明试题答案及解析
初三数学图形与证明试题答案及解析1.顺次连接矩形ABCD各边的中点，所得四边形必定是（）A．邻边不等的平行四边形B．矩形C．正方形D．菱形【答案】D【解析】如图：E，F，G，H为矩形的中点，则AH=HD=BF=CF，AE=BE=CG=DG，在Rt△AEH与Rt△DGH中，AH=HD，AE=DG，所以△AEH≌△DGH，因此根据全等三角形的性质可得EH=HG，同理，△AEH≌△DGH≌△BEF≌△CGF，因此可得EH=HG=GF=EF，所以四边形EFGH为菱形．故选A【考点】菱形的判定2.如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为，顶部A处的高AC为4m，B、C在同一水平地面上。
（1）求斜坡AB的水平宽度BC；（2）矩形DEFG为长方形货柜的侧面图，其中DE=2.5m，EF=2m.将该货柜沿斜坡向上运送，当BF=3.5m时，求点D离地面的高。
（，结果精确到0.1m）【答案】(1) 8m．(2) 4.5m．【解析】（1）根据坡度定义直接解答即可；（2）作DS⊥BC，垂足为S，且与AB相交于H．证出∠GDH=∠SBH，根据，得到GH=1m，利用勾股定理求出DH的长，然后求出BH=5m，进而求出HS，然后得到DS．试题解析：（1）∵坡度为i=1：2，AC=4m，∴BC=4×2=8m.（2）作DS⊥BC，垂足为S，且与AB相交于H.∵∠DGH=∠BSH，∠DHG=∠BHS，∴∠GDH=∠SBH，∵DG=EF=2m，∴GH=1m，∴DH=m，BH=BF+FH=3.5+（2.5-1）=5m，设HS=xm，则BS=2xm，∴x2+（2x）2=52，∴x=m，∴DS=+=2m≈4.5m．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．3.如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是（）A．AF＝AE B．△ABE≌△AGF C．EF＝D．AF＝EF【答案】D．【解析】∵AD∥BC，∴∠AFE=∠FEC，∵∠AEF=∠FEC，∴∠AFE=∠AEF，∴AF=AE，∴选项A正确；∵ABCD是矩形，∴AB=CD，∠B=∠C=90°，∵AG=DC，∠G=∠C，∴∠B=∠G=90°，AB=AG，∵AE=AF，∴△ABE≌△AGF，∴选项B正确；设BE=x，则CE=BC﹣BE=8﹣x，∵沿EF翻折后点C与点A重合，∴AE=CE=8﹣x，在Rt△ABE中，，即，解得x=3，∴AE=8﹣3=5，由翻折的性质得，∠AEF=∠CEF，∵矩形ABCD的对边AD∥BC，∴∠AFE=∠CEF，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF=5，过点E作EH⊥AD于H，则四边形ABEH是矩形，∴EH=AB=4，AH=BE=3，∴FH=AF﹣AH=5﹣3=2，在Rt△EFH中，EF=，∴选项C正确；由已知条件无法确定AF和EF的关系，故选D．【考点】翻折变换（折叠问题）．4.（7分）如图，平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）①当AE= cm时，四边形CEDF是矩形；②当AE= cm时，四边形CEDF是菱形；（直接写出答案，不需要说明理由）【答案】（1）证明见解析；（2）①当AE＝3．5cm时，四边形CEDF是矩形．②当AE＝2cm时，四边形CEDF是菱形．【解析】（1）利用“ASA”即可得证；①当四边形CEDF是矩形时，则有EG=DG=1．5cm，又由已知可得∠ADC＝60°，从而得△EGD为等边三角形，从而得DE=1．5cm，从而得AE=3．5cm；②．当四边形CEDF是菱形时，则有EF⊥CD，由已知可知∠ADC=60°，从而可得∠DEG＝30°，从而得DE＝2DG＝3，从而得AE＝2．试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴ CF∥ED，∴∠FCG＝∠EDG，∵ G是CD的中点，∴ CG＝DG，在△FCG和△EDG中，，∴△FCG ≌△EDG（ASA），∴ FG＝EG，∵ CG＝DG，∴四边形CEDF是平行四边形；（2）①当AE＝3．5cm时，四边形CEDF是矩形．②当AE＝2cm时，四边形CEDF是菱形．【考点】1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．矩形的判定；4．菱形的判定．5.如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD= 度．【答案】60°．【解析】由四边形OABC为平行四边形，根据平行四边形对角相等，即可得∠B=∠AOC，由圆周角定理，可得∠AOC=2∠ADC，又由内接四边形的性质，可得∠B+∠ADC=180°，即可求得∠B=∠AOC=120°，∠ADC=60°，然后由三角形外角的性质，即可求得∠OAD+∠OCD的度数．试题解析：连接DO并延长，∵四边形OABC为平行四边形，∴∠B="∠AOC，"∵∠AOC="2∠ADC，"∴∠B="2∠ADC，"∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B+∠ADC="180°，"∴3∠ADC="180°，"∴∠ADC="60°，"∴∠B="∠AOC=120°，"∵∠1="∠OAD+∠ADO，∠2=∠OCD+∠CDO，"∴∠OAD+∠OCD=（∠1+∠2）-（∠ADO+∠CDO）=∠AOC-∠ADC=120°-60°=60°．【考点】1．圆周角定理；2．平行四边形的性质．6.下列四个命题中真命题是（）A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形B．对角线垂直且相等的四边形是菱形C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形D．四边都相等的四边形是正方形【答案】C【解析】因为对角线互相垂直平分的四边形是菱形，所以A错误；因为对角线垂直且相等的四边形可能是菱形也可能是等腰梯形，所以B错误；因为对角线相等且互相平分的四边形是矩形，所以C正确；因为四边都相等的四边形是菱形，所以D错误；故选：C．【考点】特殊的平行四边形的判定．7.挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒条没有被其它棒条压着时，就可以把它往上拿走。
图形与证明好题
图形与证明好题图形与证明好题1顺次连接等腰梯形两底及两对⾓线的中点所得的四边形是（）A．平⾏四边形 B．矩形 C．菱形 D．正⽅形2、正⽅形四边中点的连线围成的四边形（最准确的说法）⼀定是（）A．矩形 B．菱形 C．正⽅形 D．平⾏四边形3、由三⾓形的三条中位线围成的三⾓形的周长是6，则这个三⾓形的周长是（）A．6 B．8 C．10 D．124、四边形ABCD是边长为16的菱形，顺次连接它的各边中点组成四边形EFGH（四边形EFGH称为原四边形ABCD的中点四边形），再顺次连接四边形EFGH的各边中点组成第⼆个中点四边形，…，则按上述规律组成的第⼋个中点四边形的周长等于（）A．B．1 C．4 D．85、如图，△ABC的中线BE与CD交于点G，连接DE，下列结论不正确的是（）A．点G是△ABC的重⼼ B．DE∥BCC．△ABC的⾯积=2△ADE的⾯积 D．BG=2GE6、如图，梯形ABCD中，DC∥AB，EF是梯形的中位线，对⾓线BD交EF于G，若AB=10，EF=8，则GF的长等于（）A．2 B．3 C．4 D．57、如图，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB=DC，E、F、G、H 分别是AD、AB、BC、CD的中点，则四边形EFGH⼀定是（）A．正⽅形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形8、如图所⽰，S、R、Q在AP上，B、C、D、E在AF上，其中BS、CR、DQ 皆垂直于AF，且AB=BC=CD=DE，若PE=2公尺，则BS+CR+DQ的长是多少公尺（）A．B．2 C．D．39、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形的中位线，连接AC交EF于G，BD交EF于H，若AD：BC=2：3，则HG：AD等于（）A．1：2 B．1：4 C．2：3 D．1：310、如图，△ABC、△ADE及△EFG都是等边三⾓形，D和G分别为AC和AE的中点．若AB=4时，则图形ABCDEFG外围的周长是（）A．12 B．15 C．18 D．2111、如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂⾜为N，且AB=6，BC=10，MN=1.5，则△ABC的周长是（）A．28 B．32 C．18 D．2512、如图，在平⾯直⾓坐标系中，以O为圆⼼，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆⼼，⼤于MN的长为半径画弧，两弧在第⼆象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为（）A．a=b B．2a+b=-1C．2a-b=1 D．2a+b=113、边长相等的下列两种正多边形的组合，不能作平⾯镶嵌的是（）A．正⽅形与正三⾓形 B．正五边形与正三⾓形C．正六边形与正三⾓形 D．正⼋边形与正⽅形14、李明设计了下⾯四种正多边形的瓷砖图案，⽤同⼀种瓷砖可以平⾯密铺的是（）A．①②④ B．②③④C．①③④ D．①②③15、如图，在△OAB中，C是AB的中点，反⽐例函数y=（k＞0）在第⼀象限的图象经过A、C两点，若△OAB⾯积为6，则k的值为（）A．2 B．4 C．8 D．1616、⿊⾊正三⾓形与⽩⾊正六边形的边长相等，⽤它们镶嵌图案，⽅法如下：⽩⾊正六边形分上下两⾏，上⾯⼀⾏的正六边形个数⽐下⾯⼀⾏少⼀个，正六边形之间的空隙⽤⿊⾊的正三⾓形嵌满．按第1，2，3个图案（如图）所⽰规律依次下去，则第n个图案中，⿊⾊正三⾓形和⽩⾊正六边形的个数分别是（）A．n2+n+2，2n+1 B．2n+2，2n+1C．4n，n2﹣n+3 D．4n，2n+117、如图所⽰，已知AB＝5 cm，AC＝3 cm，且△ABD与△ACD的⾯积⽐为5∶3，则∠1与∠2的⼤⼩关系是________．18、如图所⽰，E为△ABC的边AC的中点，CN∥AB，过E点作直线交AB于M点，交CN于N点，若MB＝6 cm，CN＝4 cm，则AB＝________．19、如图所⽰，在Rt△ABC中，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，若AC＝3 cm，则AE＋DE＝________ cm．20、如图所⽰，要测量河岸相对的两点A、B之间的距离，先从B处出发与AB 成90°⾓⽅向，向前⾛50⽶到C处⽴⼀根标杆，然后⽅向不变继续朝前⾛50⽶到D处，在D处转90°沿DE⽅向再⾛17⽶，到达E处，通过⽬测使A、C与E在同⼀直线上，那么测得AB的长为________⽶．21、如图，菱形ABCD的两条对⾓线分别长6和8，点P是对⾓线AC上的⼀个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最⼩值是．22、如图，在边长为2cm的正⽅形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对⾓线AC上??动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最⼩值为cm（结果不取近似值）．23、如图，△ABC和△A′B′C是两个完全重合的直⾓三⾓板，∠B=30°，斜边长为10cm．三⾓板A′B′C绕直⾓顶点C顺时针旋转，当点A′落在AB 边上时，CA′旋转所构成的扇形的弧长为cm．24、利⽤⽹格画图：（1）过点C画AB的平⾏线CD；（2）过点C画AB的垂线，垂⾜为E；（3）线段CE的长度是点C到直线的距离；（4）连接CA、CB，在线段CA、CB、CE中，线段最短，理由：．25、如图所⽰，已知∠MON的边OM上有两点A、B，边ON上有两点C、D，且AB＝CD，P为∠MON的平分线上⼀点．问：（1）△ABP与△PCD是否全等？请说明理由．（2）△ABP与△PCD的⾯积是否相等？请说明理由．26、如图，C是线段AB的中点，CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，CD＝CE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）若∠D＝50°，求∠B的度数．27、如图所⽰，△ABC沿⼀直线运动到△A1B1C1的位置，延长AC、A1B1相交于D点．（1）试说明∠D与∠A的⼤⼩关系；（2）试说明BB1＝CC1；（3）你还能发现其他信息吗？写出两个．28、如图所⽰，河旁有⼀座⼩⼭，从⼭顶A处测得河对岸点C的俯⾓为30°，测得岸边点D的俯⾓为45°，⼜知河宽CD为50⽶，现需从⼭顶A到河对岸点C拉⼀条笔直的缆绳AC，求缆绳AC的长．（结果保留根号）29、已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BC长为，BB是∠ABC的平分线，交AC于B1，过B1作B1B2⊥AB于B2，过B2作B2B3∥1BC交AC于B，过B3作B3B4⊥AB于B4，过B4作B4B5∥BC交AC于B5，过B53作B 5B 6⊥AB 于B 6……重复以上操作，设b 0＝BB 1，b 1＝B 1B 2，b 2＝B 2B 3，b 3＝B 3B 4，…，b n ＝B n B n ＋1，…．（1）求b 0、b 3的长；（2）求b n 的表达式．（⽤含p 与n 的式⼦表⽰，其中n 为正整数） 30、如图，D 是△ABC 的边AC 上⼀点，CD ＝2AD ，AE⊥BC 交BC 于点E ．若BD ＝8，，求AE 的长．31、如图所⽰，已知在△ABC 中，D 为AB 的中点，DC⊥AC ，且，求∠A 的各三⾓函数值．32、已知：在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，AE 是过点A 的⼀条直线，且BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于E ．（1）当直线AE 处于如图①的位置时，有BD=DE+CE ，请说明理由；（2）当直线AE 处于如图②的位置时，则BD 、DE 、CE 的关系如何？请说明理由；（3）归纳（1）、（2），请⽤简洁的语⾔表达BD 、DE 、CE 之间的关系．33、探究与发现：(1)探究⼀：三⾓形的⼀个内⾓与另两个内⾓的平分线所夹的⾓之间的关系已知：如图1，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系，并说明理由．图1 图2 图3(2)探究⼆：四边形的两个个内⾓与另两个内⾓的平分线所夹的⾓之间的关系已知：如图2，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试探究∠P与∠A＋∠B的数量关系，并说明理由．(3)探究三：六边形的四个内⾓与另两个内⾓的平分线所夹的⾓之间的关系已知：如图3，在六边形ABCDEF中，DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，请直接写出∠P与∠A＋∠B＋∠E＋∠F的数量关系：__ __ __．34、我们容易证明，三⾓形的⼀个外⾓等于与它不相邻的两个内⾓的和．那么，三⾓形的⼀个内⾓与它不相邻的两个外⾓的和之间存在怎样的数量关系呢？1.尝试探究：(1)如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外⾓，试探究∠A与∠DBC ＋∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？2.初步应⽤：(2) 如图2，在△ABC纸⽚中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1＝130°，则∠2－∠C＝_______________；(3) ⼩明联想到了曾经解决的⼀个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外⾓∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利⽤上⾯的结论直接写出答案_ _．3.拓展提升：(4) 如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外⾓∠EBC、∠FCB，∠P 与∠A、∠D有何数量关系？为什么？(若需要利⽤上⾯的结论说明，可直接使⽤，不需说明理由．)35、在等边△ABC中，点D、E分别是边AC、AB上的点(不与A、B、C重合)，点P是平⾯内⼀动点。
第11章图形与证明复习课
C
A
D
B
2、已知:如图,点D、E分别在△ABC的边BC、CA的 延长线上，点F在AB上. 求证:∠1>∠2
E
三角形的外角性质 不等关系的传递性
B
A F
2
3
1
C
D
探究1、探索两个连续奇数的平方差的 规律,并加以证明.
探究2、如图1，AB∥CD， （1）∠A、∠P、∠C三角之间存在怎样的关系？ 用几种方法证明你的结论?
内错角相等,两直线平行. 同旁内角互补,两直线平行.
举反例
定义 基本事实
两直线平行, 同位角相等.
两直线平行,内错角相等. 两直线平行,同旁内角互补.
证明
定理
角等于和它 不相邻的两个 内角的和 三角形的一个 外角大于任何 一个和它不相 邻的内角
直角三角形 两锐角互余
A P C B
A P B
图1
D
C
图2
D
（2）如果将P点向右移，如图2， AB∥CD， 此时∠A、∠P、∠C三角之间存在怎样的关系？ 并证明你的结论.
（3）如图3，AB∥CD， ∠A、∠P、∠C三角之 间存在怎样的关系？用几种方法证明你的结论?
A
B
C
D
P
探究3、如图，在△ABC中，
（1）P为△ABC内任意一点，∠BPC与∠A有怎 样的大小关系？证明你的结论.
A P
C
B
E
探索研究4
（1）如图(甲)，在五角星图形中， 求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数。
（2）把图（乙）、（丙）叫蜕化的五角星，问它们 的五角之和与五角星图形的五角之和仍相等吗？为 A 什么？
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13、（05年）如图，已知，在△ABC 和△DCB 中，AC=DB ，若不增加任何字母与辅助线，要使△ABC ≌△DCB ，则还需增加一个条件是__。
（13） （15） 15、（05年）如图，口ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，点A 正好落在CD 上的点F ，若△FDE 的周长为8，△FCB 的周长为22，则FC 的长为__。
18、（05年）（8分）大楼AD 的高为10米，远处有一塔BC ，某人在楼底A 处测得踏顶B 处的仰角为60º，爬到楼顶D 点测得塔顶B 点的仰角为30º，求塔BC 的高度。
22、（05年）（9分）AB 是⊙O 的直径，点E 是半圆上一动点（点E 与点A 、B 都不重合），点C 是BE 延长线上的一点，且CD ⊥AB ，垂足为D ，CD 与AE 交于点H ，点H 与点A 不重合。
（1）（5分）求证：△AHD ∽△CBD （2）（4分）连HB ，若CD=AB=2，求HD+HO 的值。
D B A O D B H EC D图10－1M GO DB E AC x yF图10－2pB GC EMODAxy ９．（06年）如图4，王华晚上由路灯A 下的B 处走到Ｃ处时，测得影子CD 的长为１米，继续往前走３米到达Ｅ处时，测 得影子EF 的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么 路灯A 的高度AB 等于Ａ．4.5米 Ｂ．6米 Ｃ．7.2米 Ｄ．8米 图410．（06年）如图5，在□ABCD 中，AB : AD = 3:2，∠ADB=60°，那么cos Ａ的值等于Ａ．36- Ｂ．322+Ｃ．36± Ｄ．322±图513．（06年）如图6所示，在四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA ，对角线AC 与BD 相交于点O ．若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD 是正方形，则还需增加的一个条件是______________． 图615．（06年）在△ABC 中，AB 边上的中线CD=3，AB=6，BC+AC=8，则△ABC 的面积为__________________．18．（06年）（７分）如图7，在梯形ABCD 中，AD ∥BC , AD DC AB ==，120ADC ∠=．（1）（３分）求证：DC BD ⊥证明：（2）（４分）若4AB =，求梯形ABCD 的面积． 解：得分22．（06年）(10分)如图10-1，在平面直角坐标系xoy 中，点M 在x 轴的正半轴上， ⊙M 交x 轴于 A B 、两点，交y 轴于C D 、两点，且C 为AE 的中点，AE 交y 轴于G 点，若点A 的坐标为（－2，0），AE 8= (1)(3分)求点C 的坐标. 解：(2)(3分)连结MG BC 、，求证：MG ∥BC 证明：(3)(４分) 如图10-2，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P .动点F 在⊙M 的 圆周上运动时，PFOF的比值是否发生变化，若不变，求出比值；若变化， 说明变化规律.解：A DBCABCDA B C DE FAB C DO9．（07年）如图2，直线a b ∥，则A ∠的度数是（ ） Ａ．28Ｂ．31Ｃ．39Ｄ．4218．（07年）如图3，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，EA AD ⊥，M 是AE 上一点，BAE MCE =∠∠，45MBE =∠．（1）求证：BE ME =．（2）若7AB =，求MC 的长．22．（07年）如图6，在平面直角坐标系中，正方形AOCB 的边长为1，点D 在x 轴的正半轴上，且OD OB =，BD 交OC 于点E ．（1）求BEC ∠的度数． （2）求点E 的坐标．（3）求过B O D ，，三点的抛物线的解析式．（计算结果要求分母有理化．参考资料：把分母中的根号化2525555==；②1==；③==有理化）（4）如图9，在Rt ABC △中，90ACB =∠，CD AB ⊥，垂足为D ，设BC a =，AC b =，AB c =．CD b =，试说明：222111a b h+=图3ABC DME图6图9ABDab图2 70°31°图 5E D CB A 8．（08年）下列命题中错误．．的是 Ａ．平行四边形的对边相等 Ｂ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形Ｃ．矩形的对角线相等 Ｄ．对角线相等的四边形是矩形10．（08年）如图2，边长为1的菱形ABCD 绕点A 旋转，当B 、C 两点 恰好落在扇形AEF 的弧EF 上时，弧BC 的长度等于Ａ．6π Ｂ．4π Ｃ．3π Ｄ．2π18．（08年）如图5，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ， DB 平分∠ADC ，过点A 作AE ∥BD ，交CD 的 延长线于点E ，且∠C ＝2∠E ． （1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形．（2）若∠BDC ＝30°，AD ＝5，求CD 的长．20．（08年）如图8，点D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点B 在⊙O 上，且AB ＝AD ＝AO ． （1）求证：BD 是⊙O 的切线． （2）若点E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交于点F ， 且△BEF 的面积为8，cos ∠BFA ＝32，求△ACF 的面积．图 8C图 2F EDCBA10．（09年）如图3，在矩形ABCD 中，DE AC ⊥于E ，13EDC EDA ∠∠=∶∶，且10AC =，则DE 的长度是（ ）A ．3B ．5 C． D ．16．（09年）如图6，在Rt ABC △中，90C ∠=°，点D 是BC 上一点，AD BD =， 若85AB BD ==，，则CD =____________．20．（09年）（本题8分）如图9，四边形ABCD 是正方形，BE BF BE BF EF ⊥=，，与BC 交于点G ．（1）求证：ABE CBF △≌△；（4分）（2）若50ABE ∠=°，求EGC ∠的大小．（4分）21．（09年）（本题8分）如图10，AB 是O ⊙的直径，10AB DC =，切O ⊙于点C AD DC ⊥，，垂足为D ，AD 交O ⊙于点E ．（1）求证：AC 平分BAD ∠；（4分）（2）若3sin 5BEC ∠=，求DC 的长．（4分）A DC EG BF图9BA图10A CD B 图6 ＡＢCＤＯＥ图3CD图19．（10年）如图1，△ABC 中，AC ＝AD ＝BD ，∠DAC ＝80º，则∠B A ．40º B ．35º C ．25º D ．20º14．如图3，在□ABCD 中，AB ＝5，AD ＝8，DE 平分∠ADC ，则B E ＝_______________．20．（10年）（本题7分）如图8，△AOB 和△COD 均为等腰直角三角形，∠AOB ＝∠COD ＝90º，D 在AB 上． （1）求证：△AOB ≌△COD ；（4分） （2）若AD ＝1，BD ＝2，求CD 的长．（3分）23．（10年）（本题9分）如图10，以点M （－1,0）为圆心的圆与y 轴、x 轴分别交于点A 、B 、C 、D ，直线y ＝－33 x － 533与⊙M 相切于点H ，交x 轴于点E ，交y 轴于点F ． （1）请直接写出OE 、⊙M 的半径r 、CH 的长；（3分）（2）如图11，弦HQ 交x 轴于点P ，且DP :PH ＝3:2，求cos ∠QHC 的值；（3分）（3）如图12，点K 为线段EC 上一动点（不与E 、C 重合），连接BK 交⊙M 于点T ，弦AT 交x 轴于点N ．是否存在一个常数a ，始终满足MN ·MK ＝a ，如果存在，请求出a 的值；如果不存在，请说明理由．（3分）图8图10图11图12BC图3EA B COAEC B图10 OAEC B图9OAB图57．（11年）如图2，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）图2 A ． B ． C ． D ． 12．（11年）如图4，△ABC 与△DEF 均为等边三角形，O 为BC 、EF 的中点，则AD ：BE 的值为（ ）A 3B 2C ．5:3D ．不确定14．（11年）如图5，在⊙O 中，圆心角∠AOB ＝120°，弦AB ＝3，则OA ＝___________cm 。
20．（11年）如图9，已知在⊙O 中，点C 为劣弧AB 上的中点，连接AC 并延长至D ，使CD ＝CA ，连接DB并延长交⊙O 于点E ，连接AE 。
（1）求证：AE 是⊙O 的直径；（2）如图10，连接EC ，⊙O 半径为5，AC 的长为4，求阴影部分的面积之和。
（结果保留π与根号）ABCD FE O 图4。