图形与证明(二)复习(1)练习1

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图形与证明复习精讲

角的概念和性质．
（）握学过的几何图形的表示方法，能根据语４掌既
句画出相应的图形，又能用语句描述简单的图形．（）５掌握尺规作图的基本方法．
祝律方法总结
图形与证明蘑习精讲
反证法是一种间接证法，的基本步骤是假设、它推理、谬、出结论．作出与原命题结论相反的假设归得在时，该列举出各种可能的情况，注意从假设出发进应并
的和、及线段的中点的概念．差
长．Ｃ的位置可能在线段ＡＢ上，可能在线段Ａ的点也Ｂ
延长线上，以线段４所Ｃ的长有４ｍ或８２１种情况．ｏ＂两１１Ｉ＂
（）与角度有关的计算中，该避免出现单位换３在应算之间的错误．意度、、之间是６注分秒０进制．（）４在尺规作图中，保作图语言的严谨与规范．确
标准．如，线段 ” 示的是图形，两点的 “ 离 ” 的例 “ 表而距指
是线段的长度，者不能等同．两
中学生数理化・中考版・口ｌＩ己Ｉ
图形与证明售习璃讲
最后、Ｃ为圆心，ＢＣ、Ｂ长为半径画弧，弧在直线ＢＣ边Ａ两上方交于点Ｄ，接ＡＤ、则有（连Ｃ
（）．
图２

苏科版九年级数学上册第一单元《图形与证明》(1)小结+测试题

数学九年级（上）第一章知识点归纳总结1.1 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）。

等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。

等腰三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。

1.2 直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称“HL”）。

角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半。

1.3 平行四边形的性质与判定：定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

定理1：平行四边形的对边相等。

定理2：平行四边形的对角相等。

定理3：平行四边形的对角线互相平分。

判定——从边：1两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

2一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

3两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

从角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

矩形的性质与判定：定义：有一个角的直角的平行四边形是矩形。

定理1：矩形的4个角都是直角。

定理2：矩形的对角线相等。

定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

判定：1有三个角是直角的四边形是矩形。

2对角线相等的平行四边形是矩形。

菱形的性质与判定：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

定理1：菱形的4边都相等。

定理2：菱形的对角线相互垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

判定：1四条边都相等的四边形是菱形。

2对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

正方形的性质与判定：正方形的4个角都是直角，4条边都相等，对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

正方形即是特殊的矩形，又是特殊的菱形，它具有矩形和菱形的所有性质。

判定：1有一个角是直角的菱形是正方形。

图形与证明(二)复习(1)练习2

DCBAD九年级数学作业1、如图，设M ，N 分别是直角梯形ABCD 两腰AD ，CB 的中点，DE 上AB 于点E ，将△ADE 沿DE 翻折，M 与N 恰好重合，则AE ：BE 等于（） A ．2:1 B ．1:2 C ．3:2 D ．2:32、小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张矩形纸片按图1的方式进行折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm ；展开后按图2的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm ，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是（）A ．0.5cmB ．1cmC ．1.5cmD ．2cm3、如图，若将四根木条钉成的矩形木框变为平行四边形ABCD 的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角的值等于。

4、矩形ABCD 中，22=AB ，将角D 与角C 分别沿过A 和B 的直线AE 、BF 向内折叠，使点D 、C 重合于点G ，且AGB EGF ∠=∠，则=AD ．5、已知平行四边形A B C D ，AD a AB b ABC α===，，∠．点F 为线段B C 上一点（端点B C ，除外），连结A F A C ，，连结D F ，并延长D F 交A B 的延长线于点E ，连结C E ．（1）当F 为B C 的中点时，求证E F C △与A B F △的面积相等；（2）当F 为B C 上任意一点时，E F C △与A B F △的面积还相等吗？说明理由．左右左右第二次折叠第一次折叠图1图26、在一次数学实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD 分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等；（1）根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有组；（2）请在图中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线；（3）由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？7、如图：把一个矩形如图折叠，使顶点B 和D 重合，折痕为EF 。

(完整)九年级数学上册第一章综合练习题及答案(2)

慧学云教育九年级数学试题（图形与证明二）一．选择题1、顺次连接任意四边形各边中点所得到的四边形一定是（ )A 平行四边形B 菱形C 矩形D 正方形2、国家级历史文化名城——金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB EF DC ∥∥，BC GH AD ∥∥，那么下列说法中正确的是（） A ．红花、绿花种植面积一定相等 B ．绿花、黄花种植面积一定相等 C ．红花、蓝花种植面积一定相等 D ．蓝花、紫花种植面积一定相等3．如图，直线1l ∥2l ，若155,265∠=︒∠=︒，则3∠A 50︒B 55︒C 60︒D 65︒4、若等腰三角形的一个底角为50°，则顶角为（ A ．50° B ．100° C ．80° D ．65°5、如图1，□ABCD 的周长是28㎝，△ABC 的周长是22㎝，则AC 的长为（）A ．14㎝B ．12㎝C ．10㎝D ．8㎝1 26、下列命题中，真命题是（）Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形Ｃ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形Ｄ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形7、已知菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的周长为（） A ．20 B ．30 C ．40 D ．108、如图2，在菱形ABCD 中，不一定成立的是（） A ．四边形ABCD 是平行四边形 B ．AC ⊥BDDCB AＡＦＣＤＢＥ3C ．△ABD 是等边三角形 D ．∠CAB ＝∠CAD9、如图3，在ABC △中，点E D F ，，分别在边AB ，BC ，CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四个判断中，不正确．．．的是（）Ａ．四边形AEDF 是平行四边形Ｂ．如果90BAC ∠=o ，那么四边形AEDF 是矩形Ｃ．如果AD 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形Ｄ．如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是正方形10．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 在AB 边上，四边形EFGB 也为正方形，设△AFC 的面积为S ，则（） A ．S=2 B ．S=4 C ．S=2.4 D ．S 与BE 长度有关二．填空题11．已知平行四边形ABCD 中,AB =14cm,BC =16cm,则此平行四边形的周长为 _____cm.12．矩形的两条对角线的夹角为600,较短的边长为12cm,则对角线长为 cm.13．如下图（1），在平行四边形ABCD 中，CE AB ⊥，E 为垂足．如果125A =o ∠，则BCE =∠14．在四边形ABCD 中，已知AB ∥CD ，请补充一个条件：，使得四边形ABCD 是平行四边形。

苏科版九上图形与证明(二)小测试

初三数学练习（一）一. 选择题1. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是 ( )A. 对角线相等B. 对角线互相垂直平分C. 对角线平分一组对角D. 四条边相等2. 如图，在△ABC 中，DE∥BC，DE 分别与AB 、AC 相交于点D 、E ，若AD=4，DB=2，则DE∶BC 的值为（） A ． B ． C ． D ．3．已知等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，60B ∠= ，28AD BC ==，，则此等腰梯形的周长为（） A ．19 B ．20C ．21D ．224. 如图，在平面直角坐标系中，□ABCD 的顶点A 、B 、 D 的坐标分别是(0,0)，(5,0)，(2,3)，则顶点C 的坐标是（）A.（3，7）B.（5，3）C.（7，3）D.（8，2）5．如图直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2， BC ＝3，将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90°至ED ，连AE 、CE ，则△ADE 的面积是（）A ．1B ．2C ．3D ．不能确定 6、如图，将矩形纸片ABCD 沿AE 折叠，使点B 落在直角梯形AECD 的中位线FG 上，若，则AE 的长为( )A.二. 填空题1.在菱形ABCD 中，已知AB ＝10,AC ＝16,那么菱形ABCD 的面积为_____. 2．如图是由边长为1m 的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A →B →C 所走的路程为_______m ．（结果保留根号）3．如图，若AB CD ∥，EF 与AB CD ，分别相交于点E F EP EF EFD ∠，，，⊥的平ABCEADCB分线与E P 相交于点P ，且40B E P ∠= ，则E P F ∠= 度．4、如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 和AC 的中点，F 是BC 延长线上的一点，DF 平分CE 于点G ，1=CF ，则=BC ，△ADE 与△ABC 的周长之比为，△CFG 与△BFD 的面积之比为5．在△ABC 中，AB>BC>AC ，D 是AC 的中点，过点D 作直线z ，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直线L 有条．6．如图，已知ABC △中，AB AC =，90B A C ∠= ，直角E P F ∠的顶点P 是BC 中点，两边P E ，PF 分别交AB ，AC 于点E ，F ，给出以下五个结论：①AE CF =,②APE CPF ∠=∠,③EPF △是等腰直角三角形,④E F A P=,⑤12A E P F A B CS S =四边形△.当E P F ∠在ABC △内绕顶点P 旋转时（点E 不与A ，B 重合），上述结论中始终正确的序号有三、解答题1．如图，D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的点，BE 与CD 相交于O 点。

图形与证明(二)小结与思考

第一章图形与证明（二）单元测试1第一章【知识回顾】【基础训练】1.梯形的中位线长为3，高为2，则该梯形的面积为。

2．若等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角为度。

3.某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为A ．9cmB ．12cmC ．15cmD ．12cm 或15cm4.已知梯形的上底长为3cm ，中位线长为5cm ，则此梯形下底长为__________cm ．2.直角三角形全等的判定：HL 4.等腰梯形的性质和判定 5.中位线三角形的中位线梯形的中位线注意：若等边三角形的边长为a ，则：其高为：，面积为：。

1.等腰三角形等边三角形的性质和判定等腰三角形的性质和判定线段的垂直平分线的性质和判定角的平分线的性质和判定3.平行四边形平行四边形的性质和判定：4个判定定理矩形的性质和判定：3个判定定理菱形的性质和判定：3个判定定理正方形的性质和判定：2个判定定理注注意：（1）中点四边形①顺次连接任意四边形各边中点，所得的新四边形是； ②顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得的新四边形是； ③顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，所得的新四边形是； ④顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点，所得的新四边形是。

（2）菱形的面积公式：ab S 21= （b a ,是两条对角线的长）注意：（1）解决梯形问题的基本思路:通过分割和拼接转化成三角形和平行四边形进行解决。

即需要掌握常作的辅助线。

（2）梯形的面积公式：()lh hb a S =+=21（l -中位线长）5.如图，点P 到∠AOB 两边的距离相等，若∠POB =30°，则 ∠AOB =_____度．6.如图，要测量A 、B 两点间距离，在O 点打桩，取OA 的中点 C ，OB 的中点D ，测得CD =30米，则AB =______米． 7．平行四边形ABCD 中，AC ，BD 是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD 是矩形，那么这个条件是（） A ．AB=BC B ．AC=BD C ．AC ⊥BD D ．AB ⊥BD 8．(08，扬州)如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A 、当AB=BC 时，它是菱形B 、当AC ⊥BD 时，它是菱形 C 、当∠ABC=900时，它是矩形 D 、当AC=BD 时，它是正方形 9.下列条件中不能确定四边形ABCD 是平行四边形的是（）A.AB=CD ，AD ∥BCB.AB=CD ，AB ∥CDC.AB ∥CD ，AD ∥BCD.AB=CD ，AD=BC10.如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为（）①A C B D ⊥ ②90BAD ∠=③A B B C = ④A C B D =A ．①③B ．②③C ．③④D ．①②③11.如图，在四边形ABCD 中，A D ∥BC，∠D=90°，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD 是矩形，你所添加的条件是（）．（写出一种情况即可） 12.）如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点0，若再补充一个条件能使菱形ABCD 成为正方形，则这个条件是（）（只填一个条件即可）．13.（08，临沂）如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为A ． 32B ． 33C ． 34D ． 3 14.顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是A.菱形B.正方形C.矩形D.等腰梯形ABCD 第10题DBC第11题ADBO第12题第13题15．顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是 A ．平行四边形 B ．对角线相等的四边形 C ．矩形. D ．对角线互相垂直的四边形 16.如图所示，有一张一个角为60拼成的四边形是（）A ．邻边不等的矩形B ．等腰梯形C ．有一个角是锐角的菱形D ．正方形17.某花木场有一块如等腰梯形ABCD 的空地(如图)，各边的中点分别是E 、F 、G 、H ，用篱笆围成的四边形EFGH 场地的周长为40cm ，则对角线AC= cm 18.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，AC ⊥BD ，AD ＝6,BC ＝8,则梯形的高为。

图形与证明1

第一章图形与证明复习题（1）一、基础练习1、若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是正方形，那么这个四边形的对角线 A 、互相垂直 B 、相等 C 、互相平分 D 、互相垂直且相等 ( )2、如图，在□ABCD 中，E 是BC 的中点，且∠AEC=∠DCE ，下列结论不正确．．．的是( ) A 、BF=21DF B 、S △FAD =2S △FBE C 、四边形AECD 是等腰梯形 D 、∠AEB=∠ADC ， 3、如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE 的和最小，则这个最小值为（）A． B． C ．3 D4、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，中位线EF 与对角线AC 、BD 交于M 、N 两点，若EF=18㎝，MN=8㎝，则AB 的长等于。

5、如图，直线L 过正方形ABCD 的顶点B ，点A 、C 到直线L 的距离分别是1和2，则正方形的边长是。

二、例题精讲例１、如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B ′处，点A 落在点A ′处，(1)求证：B ′E=BF ；(2)设AE=a ，AB=b, BF=c,试猜想a、b 、c 之间有何数量关系，并给予证明.例2、如图在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，AB ＝10 3 ，AD 、BC 的长是x 2-20x+75=0方程的两根，判断以点D 为圆心、AD 长为半径的圆与以C 圆心BC 为半径的圆的位置关系。

21LDC BA 第5题图NM F E DC B A第4题图 A EP B C A CA BC D E F A ′ B ′例３、问题探究（1）请在图①的正方形ABCD 内，画出使∠APB ＝90°的一个．．点P ，并说明理由．（2）请在图②的正方形ABCD 内（含边），画出使∠APB ＝60°的所有．．的点P ，并说明理由．问题解决如图③，现有一块矩形钢板ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB 和△CP ’D 钢板，且∠APB ＝∠CP ’D ＝60°，请你在图③中画出符合要求的点P 和P ’，并求出△APB 的面积（结果保留根号）．第一章图形与证明复习题（2）1、将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，AB ＝3，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为（）．A 、3B 、2C 、3D 、322、正方形ABCD 的边长为1，M 是AB 的中点，N 是BC 中点，AN 和CM相交于点O ，则四边形AOCD 的面积是（）（A ）16 （B ）34 （C ）23 （D ） 343、在△ABC 中，BC =10，B 1、C 1分别是图①中AB 、AC 的中点，在图②中，2121、C 、C 、B B 分别是AB ,AC 的三等分点，在图③中921921;C 、C C B 、、BB 分别是AB 、AC 的10等分点，则992211C B C B C B +++ 的值是（） A . 30 B . 45 C .55 D .60① ② ③ 4、如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 的顶点A 、B 、D 的坐标分别是(0,0)，(5,0)，(2,3)，则顶点C 的坐标是。

等腰三角形的性质和判定图形与证明(二)

如何证明“等腰三角形的两个底角相等” 的逆命题是正确的？（1）写出它的逆命题；
（2）画出图形，写出已知、求证，并进行证明.
通过上面的证明，我们又得到了等腰三角形的判定定理：定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等. （简称“等角对等边”）
练习1.
1、如果等腰三角形的周长为12，一边长为5，那么另两边长分别为 . 2、如果等腰三角形有两边长为2和5，那么周长为 .
在△ABC中， AB=AC，填空 D在BC上１.如果 AD⊥BC， CAD 那么∠BAD＝∠＿＿＿， A CD BD＝＿＿＿.
２.如果∠BAD＝∠CAD ， BC 那么AD⊥＿＿＿， CD BD＝＿＿＿. ３.如果BD＝CD， CAD 那么∠BAD＝∠＿＿＿， B BC AD⊥＿＿＿.
D
C
思考与探索
求证：∠B＝∠C.
A
B
D
C
证明：作∠BAC的平分线AD. 在△ABD和△ACD中， A
AB AC(已知) , ) BAD CAD(辅助线画法 , AD AD(公共边) ,
∴△ABD ≌ △ACD（SAS）. B D
C
∴ ∠ B＝ ∠ C（全等三角形的对应角相等）.
第一章图形与证明（二）
1.1 等腰三角形的性质和判定（1）
回首往事：
1、证明三角形全等的方法有？ 2、什么叫做等腰三角形？ 3、等腰三角形有哪些性质？ 4、上述性质你以前是怎么得到的？
5、这些性质都是真命题吗？你能证明它吗？如何证明一个文字命题呢？
试一试
求证：等腰三角形的两个底角相等.
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC.
6、若∠A=36°, ∠C=72°, ∠DBC=36°, 试找出图中所有的等腰三角形，并说明理由.

苏科版九年级上图形与证明(二)练习

图形与证明（二）练习姓名一、选择题:(每题2分,共26分)1.如图1所示, ABCD 中,两条对角线AC 、BD 相交于点O,AF ⊥BD 于F,CE ⊥BD 于E, 则图中全等三角形的对数共有( ) A.5对 B.6对 C.7对 D.8对CE BF A DOB 'CN BFADPM(2) (2) (3) 2.在 ABCD 中,AB ∥CD,AD ∥BC,则下列结论中正确的是( ) A.∠A=∠B B.AC=BD; C.AB=AD D.ABC ACD S S ∆∆=3.平行四边形的周长是25cm,对边的距离分别是2cm 、3cm,则这个平行四边形的面积为( ) A.15cm 2 B.25cm 2 C.30cm 2 D.50cm 24.一个菱形的两条对角线长分别是6cm,8cm,则这个菱形的面积S 等于( ) A.48cm 2B.24cm 2C.12cm 2D.18cm 25.直角三角形中,两条直角边长分别是12和5,则斜边上的中线长是( )A.26B.13C.8.5D.6.56.如图2所示,把菱形ABCD 沿着对角线AC 的方向移动到菱形A′B′C′D′的位置,它们的重叠部分(图中阴影部分)的面积是菱形ABCD 的面积的12,若AC=, 则菱形移动的距离AA′是( ) A.122C.1-17.在正方形ABCD 中,E 是AB 的中点,BF ⊥CE 于F,那么ABCD :S BFC S ∆正方形为( )A.1:3B.1:5C.1:4D.1:88.如图3所示,把矩形纸片ABCD 对折,设折痕为MN,再把B 点叠在折痕线上, 得到Rt △AB′E,沿着EB′线折叠所得到的△EAF 是( )A.等腰三角形B.等边三角形;C.等腰直角三角形D.直角三角形 9.等腰梯形的两条对角线互相垂直,中位线长为8cm,则它的高为( ) A.4cmcm C.8cm10.若一个梯形的中位线长为15,一条对角线把中位线分成两条线段, 这两条线段的比是3:2,则梯形的上、下底长分别是( )A.3,4.5B.6,9C.12,18D.2,311.如图4所示,在直角梯形ABCD 中,AB ⊥BC,AD=1,BC=3,CD=4,EF 为梯形的中位线,DH 为梯形的高且交EF 于G .下列结论:①G 为EF 的中点;②△EHF 为等边三角形;③四边形EHCF 为菱形;④12BEH C FH S S ∆∆=.其中正确的结论有( )A.1个B.2个C.3个D.4个CE B HG F A DCE B FADCEBFADP O CADO(4) (5) (6) (7)12.如图5所示,矩形ABCD 的边长AB=6,BC=8,将矩形沿EF 折叠,使C 点与A 点重合,则折痕EF 的长是( )A.7.5B.6C.10D.513.如图6所示,在矩形ABCD 中,AB=3,AD=4,P 是AD 上的动点,PE ⊥AC 于E,PF ⊥BD 于F,则PE+PF 的值为( ) A.125B.2C.52D.135二、填空题:(每题2分,共24分) 14.在四边形ABCD 中,∠B=80°,∠A 、∠C 、∠D 的度数比为2:3:5,则∠A= _____,∠C=_______,∠D=________.15.在 ABCD 中,若∠A:∠B=2:1,AD=20cm,AB=16cm, 则AD 与BC 两边间的距离是_____, ABCD 的面积是_______. 16.在四边形ABCD 中,∠A+∠C=180°,∠B:∠C:∠D=4:3:5,这个四边形中∠A=________,∠C=______,∠D=________.17.菱形的两条对角线长的比是1:2,其面积为12cm 2,则较长对角线是_______. 18.已知菱形的锐角是60°,边长是20cm,则较长的对角线是_____cm. 19.梯形ABCD 中,AB ∥CD,∠D=80°,∠C=50°,AB=4,CD=10,则AD 的长是______. 20.如图7所示, ABCD 中,AC ⊥AB,∠ABD=30°,AC 与BD 相交于点O, AO= 1, 则BC=_____.21. 如图8所示, 已知AD ∥BC, 要使四边形ABCD 为平行四边形, 需要增加条件_______.(只需填一个你认为正确的条件即可)22.如图9所示,已知矩形ABCD(AD>AB)中,AB=a,∠BDA=θ,试用a 与θ表示:AD=__________,BD=__________.23.如图10所示,是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图,由6个颜色不同的正方形组成.设中间最小的一个正方形边长为1,则这个矩形色块图的面积为________.CA DCBAD(8) (9) (10) (11)24.已知四边形ABCD 各边中点分别E 、F 、G 、H ，如果四边形ABCD 是________,那么四边形EFGH 是正方形.25.如图11所示,直角梯形ABCD 的中位线EF 的长为a,垂直于底的腰AB 的长为b,则图中阴影部分的面积等于________. 三、判断题:(正确的打“∨”，错误的打“×”,每题2分,共12分)26.n 边形的内角和为n ·180°-360°.( )27.四边形ABCD 中,∠A=∠B,∠C=∠D,则四边形ABCD 是平行四边形.( ) 28.矩形是平行四边形.( )29.菱形的两条对角线将菱形分成四个面积相等的直角三角形.( ) 30.一组邻边相等,一个角是直角的四边形是正方形.( ) 31.等腰梯形、直角梯形是特殊梯形.( )四、解答题:(第32、33题每题7分,其余每题8分,共38分)31.如图所示,以△ABC 的三边为边,分别作三个等边三角形. (1)求证四边形ADEF 是平行四边形.(2)△ABC 满足什么条件时,四边形ADEF 是菱形?是矩形? (3)这样的 ADEF 是否总是存在?32.已知:如图所示,BD 是△ABC 的角平分线,EF 是BD 的垂直平分线,且交AB 于E,交BC 于点F.求证:四边形BFDE 是菱形.E BFA D33.如图所示,在四边形ABCD 中,AD=BC,E 、F 、G 分别是AB 、CD 、AC 的中点. 求证:△EFG 是等腰三角形.CEFAD G34.如图所示,梯形ABCD 中,AD ∥BC,AB=DC.(1)P 、E 、F 分别是BC 、AC 、BD 的中点,求证:AB=PE+PF; (2)如果P 是BC 上的任意一点(中点除外),PE ∥AB,PF ∥DC,那么AB=PE+PF,这个结论还成立吗?如果成立,请证明;若不成立,请说明理由.E PBA D F CABEDF35. (多解题)如图所示,在梯形ABCD 中,AD ∥BC,AD<BC,F 、E 分别是对角线AC 、BD 的中点.求证:EF=12(BC-AD).E BADFC36. (多变题)已知:在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC,直线MN 是梯形的对称轴,P 是MN 上的一点, 直线BP 交直线DC 于点F,交CE 于点E,且CE ∥AB.(1)若点P 在梯形的内部,如图所示,求证:BP 2=PE ·PF;EPBAD F NCM(2)若点P 在梯形的外部,如图所示,那么(1)中的结论是否成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.。

第一章《图形与证明》(二)导学案

邳州市邹庄中学2009-2010学年度第一学期初三数学电子备课第一章导学案（总计16课时）邹庄中学孟庆金课题：等腰三角形的性质和判定（1）学习目标：1、进一步掌握证明的基本步骤和书写格式。

2、能用“基本事实”和“已经证明的定理”为依据，证明等腰三角形的性质定理和判定定理。

重点、难点：1、等腰三角形的性质及其证明。

2、应用性质解题。

学习过程：一、知识回顾：在初中数学八（下）的第十一章中，我们学习了证明的相关知识，你还记得吗？不妨回忆一下。

1、用＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿的过程，叫做证明。

经过＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿称为定理。

2、证明与图形有关的命题，一般步骤有哪些？（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿;（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿;（3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.3、推理和证明的依据有哪几类？＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿等。

4、我们初中数学中，选用了哪些真命题作为基本事实：（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（4）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（5）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

此外，还有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿也都看作是基本事实。

5、在八（下）的第十一章中，我们依据上述的基本事实，证明了哪些定理？你能一一列出来吗？（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（4）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（5）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（6）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（7）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（8）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（9）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（10）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

新初中数学命题与证明的知识点总复习有答案(1)

新初中数学命题与证明的知识点总复习有答案(1)一、选择题1．下列说法中，正确．．的是( ) A ．图形的平移是指把图形沿水平方向移动.B ．平移前后图形的形状和大小都没有发生改变.C ．“相等的角是对顶角”是一个真命题D ．“直角都相等”是一个假命题【答案】B【解析】图形的平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移，平移前后图形的形状和大小都没有发生改变．而相等的角不一定是对顶角，C 是一个假命题，直角都相等是真命题．故选B2．下列命题中:①等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合； ③若ABC V 与'''A B C V 成轴对称，则ABC V 一定与'''A B C V 全等；④有一个角是60度的三角形是等边三角形；⑤等腰三角形的对称轴是顶角的平分线．正确命题的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】【分析】利用轴对称的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定等知识分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解:①等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等；正确； ②等腰三角形的底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合；不正确: ③若ABC V 与'''A B C V 成轴对称，则ABC V 一定与'''A B C V 全等；正确； ④有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形；不正确；⑤等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线，不正确．正确命题为:2①③，个；故选：A【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解轴对称的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定等知识，属于基础知识，难度不大．3．下列定理中，逆命题是假命题的是（）A ．在一个三角形中，等角对等边B ．全等三角形对应角相等C．有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形D．等腰三角形两个底角相等【答案】B【解析】【分析】先把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再进行判断即可．【详解】解：A、逆命题为：在一个三角形中等边对等角，逆命题正确，是真命题；B、逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，逆命题错误，是假命题；C、逆命题为：如果一个三角形是等边三角形，那么它是一个等腰三角形而且有一个内角等于60°，逆命题正确，是真命题；D、逆命题为：两个角相等的三角形是等腰三角形，逆命题正确，是真命题；故选：B．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出原命题的逆命题．4．下列命题是真命题的是（）A．如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0B．如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1C．如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0D．如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0【答案】A【解析】【分析】根据相反数是它本身的数为0；倒数等于这个数本身是±1；平方等于它本身的数为1和0；算术平方根等于本身的数为1和0进行分析即可．【详解】A、如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0，是真命题；B、如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1，是假命题；C、如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0，是假命题；D、如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0，是假命题；故选A．【点睛】此题主要考查了命题与定理，关键是掌握正确的命题为真命题，错误的命题为假命题．5．下列命题中真命题是（）A2一定成立B．位似图形不可能全等C．正多边形都是轴对称图形D．圆锥的主视图一定是等边三角形【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的性质、位似图形的定义、正多边形的性质及三视图的概念逐一判断即可得．【详解】A）2，当a＜0时不成立，假命题；B、位似图形在位似比为1时全等，假命题；C、正多边形都是轴对称图形，真命题；D、圆锥的主视图不一定是等边三角形，假命题，故选C．【点睛】本题考查了真命题与假命题，涉及到二次根式的性质、位似图形、正多边形、视图等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.6．下列命题中，是假命题的是（）A．对顶角相等B．同位角相等C．同角的余角相等D．全等三角形的面积相等【答案】B【解析】【分析】根据对顶角得性质、平行线得性质、余角得等于及全等三角形得性质逐一判断即可得答案．【详解】A.对顶角相等是真命题，故该选项不合题意，B.两直线平行，同位角相等，故该选项是假命题，符合题意，C.同角的余角相等是真命题，故该选项不合题意，D.全等三角形的面积相等是真命题，故该选项不合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．7．下列命题是真命题的个数是（）．①64的平方根是8±；=；②22=，则a ba b③三角形三条内角平分线交于一点，此点到三角形三边的距离相等；④三角形三边的垂直平分线交于一点．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】【分析】分别根据平方根、等式性质、三角形角平分线、线段垂直平分线性质进行分析即可.【详解】①64的平方根是8±，正确，是真命题；②22a b =，则不一定a b =，可能=-a b ；故错误；③根据角平分线性质，三角形三条内角平分线交于一点，此点到三角形三边的距离相等；是真命题；④根据三角形外心定义，三角形三边的垂直平分线交于一点，是真命题；故选：C【点睛】考核知识点：命题的真假.理解平方根、等式性质、三角形角平分线、线段垂直平分线性质是关键.8．下列命题是假命题的是( )A ．对顶角相等B ．两直线平行，同旁内角相等C ．平行于同一条直线的两直线平行D ．同位角相等，两直线平行【答案】B【解析】解：A ．对顶角相等是真命题，故本选项正确，不符合题意；B ．两直线平行，同旁内角互补，故本选项错误，符合题意；C ．平行于同一条直线的两条直线平行是真命题，故本选项正确，不符合题意；D ．同位角相等，两直线平行是真命题，故本选项正确，不符合题意．故选B ．9．下列命题是真命题的是（）A ．若两个数的平方相等，则这两个数相等B ．同位角相等C ．同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行D ．相等的角是对顶角【答案】C【解析】【分析】根据平方的意义，同位角的概念，平行线的判定，对顶角的概念逐一进行判断即可得．【详解】A ．若两个数的平方相等，则这两个数不一定相等，如22=（-2）2，但2≠-2，故A 选项错误；B ．只有两直线平行的情况下，才有同位角相等，故B 选项错误；C ．同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，真命题，符合题意；D ．相等的角不一定是对顶角，如图，∠1=∠2，但这两个角不符合对顶角的概念，故D 选项错误，故选C ．【点睛】本题考查了命题真假的判定，涉及了乘方、同位角、对顶角、平行线的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．10．下列命题正确的是（）A ．矩形的对角线互相垂直平分B ．一组对角相等，一组对边平行的四边形一定是平行四边形C ．正八边形每个内角都是145oD ．三角形三边垂直平分线交点到三角形三边距离相等【答案】B【解析】【分析】根据矩形的性质、平行四边形的判定、多边形的内角和及三角形垂直平分线的性质，逐项判断即可．【详解】A.矩形的对角线相等且互相平分，故原命题错误；B.已知如图：A C ∠=∠，//AB CD ，求证：四边形ABCD 是平行四边形．证明：∵//AB CD ，∴180A D +=︒∠∠，∵A C ∠=∠，∴180C D ∠+∠=︒，∴//AD BC ，又∵//AB CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴一组对角相等，一组对边平行的四边形一定是平行四边形，故原命题正确；C.正八边形每个内角都是：()180821358︒⨯-=︒，故原命题错误；D.三角形三边垂直平分线交点到三角形三个顶点的距离相等，故原命题错误．故选：B．【点睛】本题考查命题的判断，明确矩形性质、平行四边形的判定定理、多边形内角和公式及三角形垂直平分线的性质是解题关键．11．下列命题是假命题的是（）A．三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等B．如果等腰三角形的两边长分别是5和6，那么这个等腰三角形的周长为16C．将一次函数y＝3x-1的图象向上平移3个单位，所得直线不经过第四象限D．若关于x的一元一次不等式组213x mx-≤⎧⎨+>⎩无解，则m的取值范围是1m£【答案】B【解析】【分析】利用三角形外心的性质、等腰三角形的性质和三角形三边关系定理、一次函数图象的平移规律、解一元一次不等式组分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A. 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，正确，是真命题；B. 如果等腰三角形的两边长分别是5和6，那么这个等腰三角形的周长为16或17，错误，是假命题；C. 将一次函数y＝3x-1的图象向上平移3个单位，所得直线不经过第四象限，正确，是真命题；D. 若关于x的一元一次不等式组213x mx-≤⎧⎨+>⎩无解，则m的取值范围是1m£，正确，是真命题；故答案为：B【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形外心的性质、等腰三角形的性质和三角形三边关系定理、一次函数图象的平移规律、解一元一次不等式组．12．下列命题正确的是( )A．在同一平面内，可以把半径相等的两个圆中的一个看成是由另一个平移得到的. B．两个全等的图形之间必有平移关系.C．三角形经过旋转，对应线段平行且相等.D．将一个封闭图形旋转，旋转中心只能在图形内部.【答案】A【解析】【分析】根据平移的性质：平移后图形的大小、方向、形状均不发生改变结合选项即可得出答案．【详解】解：A、经过旋转后的图形两个图形的大小和形状也不变，半径相等的两个圆是等圆，圆还具有旋转不变性，故本选项正确；B、两个全等的图形位置关系不明确，不能准确判定是否具有平移关系，错误；C、三角形经过旋转，对应线段相等但不一定平行，所以本选项错误；D、旋转中心可能在图形内部，也可能在图形边上或者图形外面，所以本选项错误.故选：A.【点睛】本题考查平移、旋转的基本性质，注意掌握①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．13．下列说法正确的是( )A．相等的角是对顶角B．在平面内,经过一点有且只有一条直线与已知直线平行C．两条直线被第三条直线所截,内错角相等D．在平面内,经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】D【解析】【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【详解】解：相等的角不一定是对顶角，故A错误；在平面内,经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故B错误；两直线平行，内错角相等，故C错误；在平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故D正确；故答案为D.【点睛】此题主要考查了命题的真假判断，掌握定理并灵活运用是解题的关键.14．用三个不等式a＞b，ab＞0，1a＞1b中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】【分析】由题意得出3个命题，由不等式的性质再判断真假即可．【详解】解：①若a ＞b ，ab ＞0，则1a ＞1b ；假命题：理由：∵a ＞b ，ab ＞0，∴a ＞b ＞0， ∴1a ＜1b； ②若ab ＞0，1a ＞1b，则a ＞b ，假命题；理由：∵ab ＞0，∴a 、b 同号， ∵1a ＞1b， ∴a ＜b ； ③若a ＞b ，1a ＞1b，则ab ＞0，假命题；理由：∵a ＞b ，1a ＞1b ， ∴a 、b 异号，∴ab ＜0．∴组成真命题的个数为0个；故选：A ．【点睛】本题考查了命题与定理、不等式的性质、命题的组成、真命题和假命题的定义；熟练掌握命题的组成和不等式的性质是解题的关键．15．下列命题的逆命题是真命题的是（）A ．若a b =，则a b =B ．ABC ∆中，若222AC BC AB +=，则ABC ∆是Rt ∆C ．若0a =，则0ab =D ．四边相等的四边形是菱形【答案】D【解析】【分析】先根据逆命题的定义分别写出各命题的逆命题，然后根据绝对值的意义和有理数的乘法、菱形的性质及勾股定理进行判断．【详解】解：A 、该命题的逆命题为：若|a|=|b|，则a=b ，此命题为假命题；B、该命题的逆命题为：若△ABC是Rt△，则AC2+BC2=AB2，此命题为假命题；C、该命题的逆命题为：若ab=0，则a=0，此命题为假命题；D、该命题的逆命题为：菱形的四边相等，此命题为真命题；故选：D．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．16．39．下列命题中，是假命题的是（）A．同旁内角互补B．对顶角相等C．直角的补角仍然是直角D．两点之间，线段最短【答案】A【解析】同旁内角不一定互补，同旁内角互补的条件是两直线平行，故选A.17．已知下列命题：①若a＞b，则ac＞bc；②若a=1；③内错角相等；④90°的圆周角所对的弦是直径．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】【分析】先对原命题进行判断，再判断出逆命题的真假即可．【详解】解:①若a＞b，则ac＞bc是假命题，逆命题是假命题；②若a=1是真命题，逆命题是假命题；③内错角相等是假命题，逆命题是假命题；④90°的圆周角所对的弦是直径是真命题，逆命题是真命题；其中原命题与逆命题均为真命题的个数是1个；故选A．点评：主要考查命题与定理，用到的知识点是互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．18．对于命题“若a 2＞b 2，则a ＞b ”，下面四组关于a ，b 的值中，能说明这个命题是假命题的是（）A ．a =3，b =2B ．a =﹣3，b =2C ．a =3，b =﹣1D ．a =﹣1，b =3【答案】B【解析】试题解析：在A 中，a 2=9，b 2=4，且3＞2，满足“若a 2＞b 2，则a ＞b”，故A 选项中a 、b 的值不能说明命题为假命题；在B 中，a 2=9，b 2=4，且﹣3＜2，此时虽然满足a 2＞b 2，但a ＞b 不成立，故B 选项中a 、b 的值可以说明命题为假命题；在C 中，a 2=9，b 2=1，且3＞﹣1，满足“若a 2＞b 2，则a ＞b”，故C 选项中a 、b 的值不能说明命题为假命题；在D 中，a 2=1，b 2=9，且﹣1＜3，此时满足a 2＜b 2，得出a ＜b ，即意味着命题“若a 2＞b 2，则a ＞b”成立，故D 选项中a 、b 的值不能说明命题为假命题；故选B ．考点：命题与定理．19．已知：在ABC V 中，AB AC ≠，求证：.B C ∠≠∠若用反证法来证明这个结论，可以假设( )A ．AB ∠=∠B ．AB BC = C ．B C ∠=∠D ．A C ∠=∠【答案】C【解析】【分析】反证法的步骤:1、假设命题反面成立;2、从假设出发,经过推理得出和反面命题矛盾,或者与定义、公理、定理矛盾;3、得出假设命题不成立是错误的,即所求证命题成立.【详解】已知：在ABC V 中，AB AC ≠，求证：.B C ∠≠∠若用反证法来证明这个结论，可以假设B C ∠=∠,由“等角对等边”可得AB=AC,这与已知矛盾，所以.B C ∠≠∠故选C【点睛】本题考核知识点：反证法. 解题关键点：理解反证法的一般步骤.20．下列三个命题：①对顶角相等；②全等三角形的对应边相等；③如果两个实数是正数，它们的积是正数.它们的逆命题成立的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B【解析】【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再把逆命题进行判断即可．【详解】①对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题错误；②全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的两个三角形全等，正确；③如果两个实数是正数，它们的积是正数的逆命题是如果两个数的积为正数，那么这两个数也是正数，逆命题错误，也可以有都是负数，所以逆命题成立的只有一个，故选B.【点睛】本题考查了互逆命题，真命题与假命题，真命题要运用相关知识进行推导，假命题要通过举反例来进行否定.。

图形与证明 ~~期中复习

FED CBABACDEO图形与证明（二）复习课~~有关计算班级_________ 姓名__________学习目标：1.理解特殊三角形的概念，以及它们之间的关系；特殊四边形的概念，以及它们之间的关系；2.探索并证明特殊三角形、四边形的性质、判定定理，并能解决有关的运用；3.学会分析与综合的思考方法，能有条理的思考与表达自己的想法；4.感受公理化思想，转化思想。

学习重点：能运用特殊图形多边形的性质与判定的解决问题，并能进行有关计算。

学习难点：合理的运用多边形的性质，解决多边形的计算。

【课前练习】：1.以等腰三角形、菱形为例整理它们的判定、性质，画出知识结构图。

等腰三角形：判定：（几何语言）性质：（组成元素）_____________________________________________________ ____________________ ______________________________ _____________________ （图形整体）______________________ _____________________ ______________________________ ______________________________ 菱形：由菱形面积的推导可以看出多边形的问题通常的思想方法：____________________________.【小试牛刀】：1.等腰三角形的一个角为︒30，则顶角的度数是____________．2.在□ABCD 中，∠ABC 的平分线交AD 于E ，且AE ＝2，DE ＝1，则□ABCD 的周长等于．3.如图，在△ABC 中，∠C=900，点D 在BC 上，DE 垂直平分AB ，且DE=DC ，则∠B =______.4.如图，矩形ABCD 的对角线AC ＝8cm ，∠AOD ＝120º，则AB 的长为_____________。

第1章图形与证明(二)：从重要知识点开始学习

学习并不是游离于以往的探索经验，而是依然建立在我们对 “ 对称” 的理解和认识基础上，继续发挥这根 “ 线” 的作用，借助曾经的实验操作方法，就能帮助我们确定证明的方法．
１３
ＴｎｔｅｌＩｉｇｅｎｔｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ
知识点７菱形的判定
【透析】若已知的四边形是平行四边
形．要证它是菱形．需要证它有一组邻边相
当四边形是一般的知识点３斜边和一条直角边对应相等等或对角线互相垂直：四边形．要证它是菱形．可以证它的四条边的两个直角三角形全等再证它【透析】此定理是直角三角形全等的相等或先证它是一个平行四边形．
基地学校：连云港市新海实验中学名师团队：连云港孙朝仁名师工作室
第１章
【思维导图】
图形与证明（二）
【名师箴言】
我们在前面研究图形的过程中，一直有一根 “ 线” —— “ 对称” 在引导着我们去认识图形．由“ 轴对称” 得到等腰三角形、等边三角形、直角三角形、角平分线、中垂线性质，由“ 中心对称” 得到平行四边形、矩形、菱形、正方形及中位线的性质．在这一章中上述结论的再

图形与证明(二)期末复习ppt

A D
B
C
19.如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=5, AD=6,BC=12.动点P从D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向终点C运动,动点Q从C点出发沿CB以每秒2个单位的速度向B点运动.两点同时出发,当P点到达C点时,Q点随之停止运动. (1)梯形ABCD的面积等于 36 ;
3 t 5 3 NC=1+t
5 5 MC = + t 4 4
t 4
H
20.如图，四边形ABCD为矩形，AB＝4，AD＝3，动点M、N分别从D、B同时出发，以1个单位/秒的速度运动，点M沿DA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动。过点N作NP⊥BC，交AC 于点P，连结MP。已知动点运动了x秒。 ⑴请直接写出PN的长；（用含x的代数式表示）
⑵若0秒≤x≤1秒，试求△MPA的面积S与时间x秒的函数关系式，并求S的最大值。 ⑶若0秒≤x≤3秒，△MPA能否为一个等腰三角形？若能，试写出所有x的对应值；若不能，试说明理由 D C C D M 3-x M N N H 3-x P x P 5 B A 3x B A
D M P 3-x 5 H x A 6
13 20 H
6.如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B’处，点A对应点为A’，且B’C=3，则AM的长是 ( B） A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.5
9 2 15 2
F
6 3
X=4
9-x
x 7.若梯形的面积为12cm2,高为3cm, 4 则此梯形的中位线长为_________cm.
A
6
D P
4 5
B
12
Q 3
C
(2)当PQ∥AB时,P点离开D点的时间等于秒; (3)当P、Q、C三点构成直角三角形时,P点离开D点多少时间?

九年级上数学期中复习教案：图形与证明二

图形与证明二复习一、课前导学知识点：二、课前练习：1．等腰三角形的一个角为50°，那么它的一个底角为______．2．四边形ABCD 中，若∠A ︰∠B ︰∠C ︰∠D ＝2︰2︰1︰3，那么这个四边形是 3.梯形的中位线长为3，高为2，则该梯形的面积为4.如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD=AD ，AC ，BD 相交于O 点，∠BCD=60°，则下列说法正确的是（）A ．梯形ABCD 是轴对称图形B ．BC=2ADC ．梯形ABCD 是中心对称图形 D ．AC 平分∠DCB5．矩形的两条对角线的一个夹角是60°，两条对角线的和是8cm ，周长是 cm ，较长边与对角线的夹角是ODCB A2.直角三角形全等的判定：HL 4.等腰梯形的性质和判定 5.中位线三角形的中位线：梯形的中位线注意：若等边三角形的边长为a ，则：其高为：，面积为：。

1.等腰三角形等边三角形的性质和判定等腰三角形的性质和判定线段的垂直平分线的性质和判定角的平分线的性质和判定3.平行四边形平行四边形的性质和判定：4个判定定理矩形的性质和判定：3个判定定理菱形的性质和判定：3个判定定理正方形的性质和判定：2个判定定理注注意：（1）中点四边形 ①顺次连接任意四边形各边中点，所得的新四边形是；②顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得的新四边形是； ③顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，所得的新四边形是；④顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点，所得的新四边形是。

（2）菱形的面积公式：ab S 21= （b a ,是两条对角线的长）注意：（1）解决梯形问题的基本思路:通过分割和拼接转化成三角形和平行四边形进行解决。

即需要掌握常作的辅助线。

（2）梯形的面积公式：()lh h b a S =+=21（l -中位线长）6．菱形的周长是20 cm，相邻两个内角的度数之比是1：2，则较短的对角线长为cm7. 若正方形的一条对角线的长为2cm，则这个正方形的面积为．8.如图：在四边形ABCD中，E是AB上的一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，点P、Q、M、N分别为AB、BC、CD、DA的中点，则四边形MNPQ是三、例题选讲：1．已知，如图，△ABC中，D、E 分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O，给出下面四个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC(1)上述条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（请用序号写出所有情形）；(2)选择第（1）题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形。

图形与证明(二)小结与思考(1)

08-09学年度第一学期九年级数学教学案第一章小结与思考（1）学习目标：通过对本章知识的小结与梳理，进一步掌握等腰三角形的性质和判定、直角三角形全等的判定、角平分线的性质定理与判定定理、特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）的定义、性质和判定；等腰梯形的性质和判定；中位线定理，并会灵活运用．学习重点：性质定理和判定定理的应用学习难点：性质定理和判定定理的应用学习过程：一、基础练习1、等腰三角形的一个底角为030，则顶角的度数是度．2、等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为．3、下列命题为真命题的是（）A ：三角形的中位线把三角形的面积分成相等的两部分;B ：对角线相等且相互平分的四边形是正方形;C ：关于某直线对称的两个三角形是全等三角形;D ：一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形4、下列命题是假命题的是( )A ：四个角相等的四边形是矩形;B ：对角线互相平分的四边形是平行四边形;C ：四条边相等的四边形是菱形;D ：对角线互相垂直且相等的四边形是正方形5、如图在A B C D 中，∠ABC 的平分线交AD 于E ，且AE ＝2，DE ＝1，则A B C D 的周长等于． 6、如图，点D 、E 、F 分别是A B C △三边上的中点．若A B C △的面积为12，则D EF△的面积为．二、例题学习1、如图，在等腰R t △ABC 中，∠ACB =90°，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF ．(1)求证：AD ⊥CF ；(2)连接AF ，试判断△ACF 的形状，并说明理由．（第5题）B A CF ED2、已知；如图．矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点O关于直线AD的对称点是E，连结AE、DE．(1)试判断四边形AODE的形状,说明理由； (2)请你连结EB、EC．并证明EB=EC．3、如图，在直角梯形纸片A B C D中，A B D C∥，90A∠= ，C D AD>，将纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在边C D上的点E处，折痕为D F．连接E F并展开纸片．（1）求证：四边形AD EF是正方形；（2）取线段A F的中点G，连接E G，如果B G C D=，试说明四边形G B C E是等腰梯形．4、如图，已知AD与BC相交于E，∠1=∠2=∠3，BD=CD，∠ADB=90°，CH⊥AB于H，CH交AD于F．(1)求证：CD∥AB；(2)求证：△BDE≌△ACE；(3)若O为AB中点，求证：OF=12 BE．三、作业：见作业纸。

八下图形与证明(复习)

注：运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程; 运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程检查表达过程是否正确,完善完善。检查表达过程是否正确完善。
知识回顾
对名称或术语的含义进行描述，做出规定，对名称或术语的含义进行描述，做出规定，就是给出定义. 他们的定义他们的定义. 例如：例如：符号不同、绝对值相等的两个数”是互为相反数 “符号不同、绝对值相等的两个数是“ _______”的定义的定义． “能够完全重合的图形”是“全等形的定义．能够完全重合的图形” 无理数：无理数：
A B D C
请用其中的两个事项作为条件，另一个事项作为结论，请用其中的两个事项作为条件，另一个事项作为结论，构造一个命题．构造一个命题．你构造的命题是真命题吗？为什么？你构造的命题是真命题吗？为什么？
例题精讲
如图，如图，在△AFD 和△CEB中，点A,E,F,C在 △ 中在 A 同一直线上，下面有4个判断个判断：同一直线上，下面有个判断： ①AD=CB ③ ∠ B= ∠ D ②AE=FC ④AD ∥BC
（1）每单位面积所受到的压力叫做压强；每单位面积所受到的压力叫做压强；（2）如果a是实数，那么a2+1〉0；如果a是实数，那么a +1〉（3）两个无理数的乘积一定是无理数；两个无理数的乘积一定是无理数；（4）偶数一定是合数吗？偶数一定是合数吗？（5）连接AB；连接AB； AB （6）不相等的两个角不可能是对顶角
才智T台
如图：内的任意一点，如图：在△ABC中，P是△ABC 内的任意一点，中是有怎样的大小关系？ ∠BPC与∠A有怎样的大小关系？说说你的理由。与有怎样的大小关系说说你的理由。 A 拓展3 拓展

第一章小结与思考(1)

如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BF. (1)求证：BD=CD； (2)如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论.
如图，在梯形ABCD中,AD∥BC,AB∥DE, AF∥CD,E、F两点在边BC上，且四边形AEFD 是平行四边形．（1）AD与BC有何等量关系？请说明理由；（2）当AB=DC时，求证：□AEFD是矩形
2、等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为
3、下列命题为真命题的是（） A：三角形的中位线把三角形的面积分成相等的两部分; B：对角线相等且相互平分的四边形是正方形; C：关于某直线对称的两个三角形是全等三角形; D：一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是等腰梯形
4、下列命题是假命题的是( ) A、四个角相等的四边形是矩形; B、对角线互相平分的四边形是平行四边形; C、四条边相等的四边形是菱形; D、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 5、在□ ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，且AE＝2， DE＝1，则□ ABCD的周长等于．
2、已知：如图，矩形ABCD的对角线AC与BD 相交于点O，点O关于直线AD的对称点是E，连结 AE、DE． (1)试判断四边形AODE的形状,说明理由； (2)请你连结EB、EC，并证明EB=EC．
3、已知：平行四边形ABCD中，对角线AC和BD 相交于点O，M，N分别是OA，OC的中点，求证：BM=DN ，BM∥DN.
回忆
• • • • 4. 等边三角形的判定: ______个角都相等的三角形是等边三角形; 有_____个角是600的三角形是等边三角形; 有一个角是600的_____三角线段垂直平分线上的点 • 到线段_______的距离相等;

2019年中考数学二轮复习专题练【几何图形的证明及计算问题】附答案解析

2019年中考数学二轮复习专题练【几何图形的证明及计算问题】附答案解析类型一与全等三角形有关的证明及计算1.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB＝AC＝BD，点M为BC中点，N为线段AM 上的点，且MB＝MN.(1)求证：BN平分∠ABE；(2)若BD＝1，连接DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长；第1题图2.如图①，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，在底边BC上取一点D，在边AC上取一点E，使AE＝AD，连接DE，在∠ABD的内部作∠ABF＝2∠EDC，交AD于点F.(1)求证：△ABF是等腰三角形；(2)如图②，BF的延长线交AC于点G.若∠DAC＝∠CBG，延长AC至点M，使GM＝AB，连接BM，点N是BG的中点，连接AN，试判断线段AN、BM之间的数量关系，并证明你的结论．第2题图3.如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边上的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D，且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G.(1)求证：CF＝BG；(2)如图②，延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB ＝CP＋CF；(3)在(2)问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝33，BG＝6，求AC的长．图①图②第3题图4.如图①，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD＝CE.(1)求证：∠CAE＝∠CBD；(2)如图②，F是BD的中点，连接CF交AE于点M，求证：AE⊥CF；(3)如图③，F，G分别是BD，AE的中点，连接GF，若AC＝2 2 ，CE＝1，求△CGF的面积．第4题图5.如图①，在正方形ABCD中，O是对角线AC上一点，点E在BC的延长线上，且OE＝OB，OE交CD于点F.(1)求证：△OBC≌△ODC；(2)求证：∠DOE＝∠ABC；(3)把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变(如图②)，若∠ABC＝52°，求∠DOE的度数．第5题图6.已知：如图①，等腰直角△ABC和△ECD中，∠ACB＝∠ECD＝90°，AC＝BC，EC＝DC.(1)求证：BE＝AD；(2)如图②，若将△ECD绕点C按逆时针方向旋转一个锐角，①延长BE交AD于点F，交AC于点O.求证：BF⊥AD；②如图③，取BE的中点M，AD的中点N，连接MN，NC，求∠MNC的度数．第6题图类型二与相似三角形有关的证明及计算1.如图①，已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4.点Q是线段AC上的点，过点Q作AC的垂线交线段AB(如图①)或线段AB的延长线(如图②)于点P.(1)当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；(2)当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．第1题图2. 如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC ＝∠ACB ＝90°，E 为AB 的中点，连接DE 、CE .(1)求证：AC 2＝AB ·AD ； (2)求证：CE ∥AD ；(3)若AD ＝5，AB ＝7，求ACAF 的值．第2题图3. 如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 、F 分别在BC 、AB 、AC 上，∠EDF ＝∠B. (1)求证：DE ·CD ＝DF ·BE ；(2)如图②，若D 为BC 中点，连接EF ，A D. ①求证：DE 平分∠BEF ；②若四边形AEDF 为菱形，求∠BAC 的度数及AEAB 的值．第3题图4. 如图①，△ABC 中，点D 在线段AB 上，点E 在线段CB 延长线上，且BE ＝CD ，EP ∥AC 交直线CD 的延长线于点P ，交直线AB 的延长线于点F ，∠ADP ＝∠AC B.(1)图①中是否存在与AC 相等的线段？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由； (2)若将“点D 在线段AB 上，点E 在线段CB 延长线上”改为“点D 在线段BA 延长线上，点E 在线段BC 延长线上”，其他条件不变(如图②)．当∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，AB ＝2时，求线段PE 的长．第4题图5. 如图①，△ABC 中，BC ＞AC ，CD 平分∠ACB 交AB 于D ，E ，F 分别是AC ，BC 边上的两点，EF 交CD 于H .(1)若∠EFC ＝∠A ，求证：CE ·CD ＝CH ·BC ；(2)如图②，若BH 平分∠ABC ，CE ＝CF ，BF ＝3，AE ＝2，求EF 的长；(3)如图③，若CE ≠CF ，∠CEF ＝∠B ，∠ACB ＝60°，CH ＝5，CE ＝4 3 ，求 AC BC 的值．第5题图类型三与全等和相似三角形有关的证明及计算1.如图，等边△ABC边长是8，过点C的直线l∥AB，点D为BC上一点(不与点B，C重合)，将一个60°角的顶点放在D处，它的边始终过点A，另一边与直线l交于点E，DE交AC于点F.(1)若BD＝6，求CF的长；(2)若点D是BC的中点，判定△ADE的形状，并给出证明；(3)若点D不是BC的中点，则(2)中的结论成立吗？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由．第1题图2.如图①，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D、P分别为AC、AB的中点，连接BD、CP，CP交BD于点E，点F在AB上且∠ACF＝∠CB D.(1)求证：CF＝BE；(2)如图②，过点A 作AG ⊥AB 交BD 的延长线于点G . ①若CF ＝6，求DG 的长； ②设CF 交BD 于点H ，求HECH 的值．第2题图3. 如图①，已知D 是△ABC 的边BC 上的中点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且BE ＝CF ，点M 、N 分别是AE 、DE 上的点，AN ⊥FM 于点G .(1)若∠BAC ＝90°，求证：△ABC 为等腰直角三角形； (2)如图②，若∠BAC ≠90°，AF ＝2DF . ①求证：FM AN ＝EM DN ； ②求AN ∶FM 的值．图① 图②第3题图4. (2018六安市模拟)我们知道，三角形三个内角平分线的交点叫做三角形的内心，已知点I 为△ABC 的内心．(1)如图①，连接AI 并延长交BC 于点D ，若AB ＝AC ＝3，BC ＝2，求ID 的长； (2)如图②，过点I 作直线交AB 于点M ，交AC 于点N . ①若MN ⊥AI ，求证：MI 2＝BM ·CN ；②如图③，AI 的延长线交BC 于点D ，若∠BAC ＝60°，AI ＝4，求1AM ＋AN1的值．第4题图5. 如图①，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，顶点C 恰好在直线l 上，过A 、B 分别作AD ⊥l ，BE ⊥l ，垂足分别为D 、E .(1)求证：DE＝AD＋BE；(2)如图②，在△ABC中，当AC＝kBC，其他条件不变，猜想DE与AD、BE的关系，并证明你的结论；(3)如图③，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝12，∠ACB＝90°，点D是AC的中点，点E在BC上，过点E作EF⊥DE交AB于点F，若恰好EF＝2DE，求CE的长．图①图②图③第5题图6.如图①，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC, D为AB的中点，连接CD，将一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E，F，DF 与AC交于点M，DE与BC交于点N.(1)若CE＝CF，求证：△DCE≌△DCF；(2)如图②，在∠EDF绕点D旋转的过程中：①探究线段AB与CE、CF之间的数量关系，并证明；②若AB＝42，CE＝2CF，求DN的长．第6题图类型一与全等三角形有关的证明及计算1. (1)证明：∵AB ＝AC ，点M 是BC 的中点，∴AM ⊥BC ，∠BAM ＝∠CAM ， ∴∠CAM ＋∠ACM ＝90°， ∵AC ⊥BD ，∴∠MBE ＋∠ACM ＝90°， ∴∠BAN ＝∠CAM ＝∠MBE ， ∵MB ＝MN ， ∴∠MNB ＝∠MBN ，∵∠MNB ＝∠ABN ＋∠BAN ，∠MBN ＝∠MBE ＋∠NBE ， ∴∠ABN ＋∠BAN ＝∠MBE ＋∠NBE ， ∴∠ABN ＝∠NBE ，即BN 平分∠ABE ；(2)解：连接DN ，∵点M 为BC 中点，MB ＝MN ， ∴MB ＝MN ＝12BC ，∵四边形DNBC 为平行四边形， ∴BN ＝CD ，BN ∥CD ， ∴∠DBN ＝∠BDC ，由(1)知∠ABN ＝∠DBN ， ∴∠ABN ＝∠BDC ， ∵AB ＝BD ＝1， ∴△ABN ≌△BDC ， ∴AN ＝BC ，∴AM ＝AN ＋MN ＝32BC ，参考答案由(1)中条件可知AM ⊥BC ，即∠AMB ＝90°， ∴AM 2＋MB 2＝AB 2，即(32BC )2＋(12BC )2＝1，解得BC ＝105.第1题解图2. (1)证明：∵等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，∴∠ABD ＝∠ACD ， ∵AE ＝AD ， ∴∠ADE ＝∠AED ，∵∠BAD ＋∠ABD ＝∠ADE ＋∠EDC ，∠EDC ＋∠ACD ＝∠AED ， ∴∠BAD ＝2∠EDC ， ∵∠ABF ＝2∠EDC ， ∴∠BAD ＝∠ABF ， ∴△ABF 是等腰三角形； (2)解：AN ＝12BM .证明：如解图，延长CA 至点H ，使AG ＝AH ，连接BH ， ∵点N 是BG 的中点，点A 是HG 的中点， ∴AN ＝12BH ，∵(1)中已证明∠BAD ＝∠ABF ，且∠DAC ＝∠CBG ， ∴∠CAB ＝∠CBA ， ∴CA ＝CB 又∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等边三角形，∠BAC ＝∠BCA ＝60°， ∴∠BAH ＝∠BCM ， ∵GM ＝AB ，AB ＝AC ， ∴AC ＝GM ， ∴CM ＝AG ， ∴AH ＝CM ，在△BAH 和△BCM 中，⎩⎨⎧AB ＝BC∠BAH ＝∠BCM AH ＝CM， ∴△BAH ≌△BCM (SAS)， ∴BH ＝BM ， ∴AN ＝12BM .第2题解图3. (1)证明：∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴∠A ＝45°， ∵CG 平分∠ACB ， ∴∠ACG ＝∠BCG ＝45°， ∴∠A ＝∠BCG ，在△BCG 和△CAF 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠BCGAC ＝BC∠ACF ＝∠CBE，∴△BCG ≌△CAF (ASA)， ∴CF ＝BG ；(2)证明：∵PC ∥AG ， ∴∠PCA ＝∠CAG ，∵AC ＝BC ，∠ACG ＝∠BCG ，CG ＝CG ， ∴△ACG ≌△BCG (SAS )， ∴∠CAG ＝∠CBE ，∵∠PCG ＝∠PCA ＋∠ACG ＝∠CAG ＋45°＝∠CBE ＋45°，∠PGC ＝∠GCB ＋∠CBE ＝∠CBE ＋45°， ∴∠PCG ＝∠PGC ， ∴PC ＝PG ，∵PB ＝BG ＋PG ，BG ＝CF ， ∴PB ＝CP ＋CF ；(3)解：如解图，过E 作EM ⊥AG ，交AG 于M ， ∵S △AEG ＝12AG ·EM ＝33，由(2)得：△ACG ≌△BCG ， ∴BG ＝AG ＝6， ∴ 12×6×EM ＝33，解得EM ＝3，设∠FCH ＝x °，则∠GAC ＝2x °， ∴∠ACF ＝∠EBC ＝∠GAC ＝2x °， ∵∠ACH ＝45°， ∴2x ＋x ＝45，解得x ＝15，∴∠ACF ＝∠GAC ＝30°，在Rt △AEM 中，AE ＝2EM ＝23， AM ＝（23）2－（3）2＝3， ∴M 是AG 的中点，第3题解图∴AE ＝EG ＝23， ∴BE ＝BG ＋EG ＝6＋23，在Rt △ECB 中，∠EBC ＝30°， ∴CE ＝12BE ＝3＋3，∴AC ＝AE ＋EC ＝23＋3＋3＝33＋3. 4. (1)证明：在△ACE 和△BCD 中，⎩⎨⎧AC ＝BC∠ACE ＝∠BCD CE ＝CD， ∴△ACE ≌△BCD ， ∴∠CAE ＝∠CBD ；(2)证明：在Rt △BCD 中，点F 是BD 的中点， ∴CF ＝BF ， ∴∠BCF ＝∠CBF ，由(1)知，∠CAE ＝∠CBD ， ∴∠BCF ＝∠CAE ，∴∠CAE ＋∠ACF ＝∠BCF ＋∠ACF ＝∠BCA ＝90°， ∴∠AMC ＝90°， ∴AE ⊥CF ；(3)解：∵AC ＝2 2 ， ∴BC ＝AC ＝2 2 ， ∵CE ＝1， ∴CD ＝CE ＝1，在Rt △BCD 中，根据勾股定理得，BD ＝CD 2＋BC 2＝3 ， ∵点F 是BD 中点， ∴CF ＝DF ＝12BD ＝32 ，同理：EG ＝12AE ＝32 ，如解图，连接EF ，过点F 作FH ⊥BC 于点H ， ∵∠ACB ＝90°，点F 是BD 的中点， ∴FH ＝12CD ＝12，∴S △CEF ＝12CE ·FH ＝12×1×12＝14，由(2)知，AE ⊥CF ，∴S △CEF ＝12CF ·ME ＝12×32ME ＝34ME ， ∴ 34ME ＝14，∴ME ＝13 ，∴GM ＝EG －ME ＝32－13＝76 ，∴S △CFG ＝12CF ·GM ＝12×32×76＝78. 5. (1)证明：∵AC 是正方形ABCD 的对角线，∴BC ＝DC ，∠BCA ＝∠DCA ，在△OBC 和△ODC 中，⎩⎨⎧BC ＝DC∠BCO ＝∠DCO CO ＝CO， ∴△OBC ≌△ODC (SAS)；(2)证明：由(1)知，△OBC ≌△ODC ， ∴∠CBO ＝∠CDO ， ∵OE ＝OB ， ∴∠CBO ＝∠E ， ∴∠CDO ＝∠E ， ∵∠DFO ＝∠EFC ，∴180°－∠DFO －∠CDO ＝180°－∠EFC －∠E ，即∠DOE ＝∠DCE ，第4题解图∵AB ∥CD ， ∴∠DCE ＝∠ABC ， ∴∠DOE ＝∠ABC ；(3)解：∵AC 是菱形ABCD 的对角线， ∴BC ＝DC ，∠BCA ＝∠DCA ，在△BCO 和△DCO 中，⎩⎨⎧BC ＝DC∠BCO ＝∠DCO CO ＝CO， ∴△BCO ≌△DCO (SAS)， ∴∠CBO ＝∠CDO ， ∵OE ＝OB ， ∴∠CBO ＝∠E ， ∴∠CDO ＝∠E ， ∵∠DFO ＝∠EFC ，∴180°－∠DFO －∠CDO ＝180°－∠EFC －∠E ，即∠DOE ＝∠DCE ， ∵AB ∥CD ， ∴∠DCE ＝∠ABC ， ∴∠DOE ＝∠ABC ＝52°. 6. (1)证明：在△BEC 和△ACD 中，⎩⎨⎧BC ＝AC∠ACB ＝∠ECD EC ＝DC， ∴△BEC ≌△ADC (SAS)， ∴BE ＝AD ；(2)①证明：∵∠ACB ＝∠ECD ＝90°， ∴∠ACB －∠ACE ＝∠ECD －∠ACE ，即∠BCE ＝∠ACD ，在△BEC 和△ADC 中，⎩⎨⎧BC ＝AC∠BCE ＝∠ACD EC ＝DC， ∴△BEC ≌△ADC (SAS)， ∴∠CBE ＝∠CAD ，在△BCO 和△AFO 中，∠CBE ＝∠CAD ，∠BOC ＝∠AOF ， ∴∠AFB ＝∠ACB ＝90°， ∴BF ⊥AD ；②解：如解图，连接MC ， ∵∠ACB ＝∠ECD ＝90°， ∴∠BCE ＝∠ACD ，又∵AC ＝BC ，EC ＝DC ， ∴△BEC ≌△ADC ，∴∠CBE ＝∠CAD ，AD ＝BE ， ∵M 是BE 的中点，N 是AD 的中点， ∴BM ＝AN ，在△BMC 和△ANC 中，⎩⎨⎧BM ＝AN∠CBE ＝∠CAD BC ＝AC， ∴△BMC ≌△ANC (SAS)， ∴CM ＝CN ，∠BCM ＝∠ACN ， ∴∠ACN ＋∠MCA ＝∠BCM ＋∠MCA ， ∴∠MCN ＝∠ACB ＝90°， ∴△MCN 是等腰直角三角形， ∴∠MNC ＝45°.第6题解图类型二与相似三角形有关的证明及计算1. (1)证明：∵PQ ⊥AQ ，∴∠AQP ＝90°＝∠ABC . 在△AQP 与△ABC 中， ∵∠AQP ＝∠ABC ， ∠QAP ＝∠BAC ， ∴△AQP ∽△ABC ；(2)解：在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，由勾股定理得AC ＝5. ①当点P 在线段AB 上时，如题图①所示． ∵∠QPB 为钝角，∴当△PQB 为等腰三角形时，只可能是PB ＝PQ ，由(1)可知，△AQP ∽△ABC ， ∴P A AC ＝PQBC ，即3－PB 5＝BP 4，解得PB ＝43，∴AP ＝AB －PB ＝3－43＝53；②当点P 在线段AB 的延长线上时，如题图②所示． ∵∠QBP 为钝角，∴当△PQB 为等腰三角形时，只可能是PB ＝BQ . ∴∠BQP ＝∠P ，∵∠BQP ＋∠AQB ＝90°，∠A ＋∠P ＝90°， ∴∠AQB ＝∠A ，∴BQ ＝AB ， ∴AB ＝BP ，∴AP ＝2AB ＝2×3＝6.综上所述，当△PQB 为等腰三角形时，AP 的长为53或6. 2. (1)证明：∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠CAB .又∵∠ADC ＝∠ACB ＝90°， ∴△ADC ∽△ACB ， ∴AD AC ＝AC AB ， ∴AC 2＝AB ·AD ;(2)证明：∵E 为AB 的中点， ∠ACB ＝90°， ∴CE ＝12AB ＝AE ， ∴∠EAC ＝∠ECA ， ∵∠DAC ＝∠CAB ， ∴∠DAC ＝∠ECA . ∴AD ∥CE ； (3)解：∵CE ∥AD ， ∴∠DAF ＝∠ECF ，又∵∠DF A ＝∠EFC ， ∴△AFD ∽△CFE ， ∴AD CE ＝AF CF ， ∵CE ＝12AB ， ∴CE ＝12×7＝72， ∵AD ＝5，∴572＝AFCF，∴CFAF＝710，∴AF＋CFAF＝1＋CFAF＝1710，即ACAF＝1710.3. (1)证明：∵△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠B＋∠BDE＋∠DEB＝180°，∠BDE＋∠EDF＋∠FDC＝180°，∠EDF＝∠B，∴∠FDC＝∠DEB，∴△CFD∽△BDE，∴DEDF＝BECD，即DE·CD＝DF·BE；(2)①证明：由(1)证得△BDE∽△CFD，∴BECD＝DEDF，∵D为BC中点，∴BD＝CD，∴BEBD＝DEDF，∵∠B＝∠EDF，∴△BDE∽△DFE，∴∠BED＝∠DEF，∴ED平分∠BEF；②解：∵四边形AEDF为菱形，∴∠AEF＝∠DEF，由(2)知，∠BED＝∠DEF，∵∠AEF＋∠DEF＋∠BED＝180°，∴∠AEF ＝60°，∵AE ＝AF ，∴∠BAC ＝60°.∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝60°，又∵∠BED ＝∠AEF ＝60°，∴△BED 是等边三角形，∴BE ＝DE ，∵AE ＝DE ，∴AE ＝BE ＝12AB ，∴AE AB ＝12.4. 解：(1)AC ＝BF .证明如下：∵∠ADP ＝∠ACD ＋∠A ，∠ACB ＝∠ACD ＋∠BCD ，∠ADP ＝∠ACB ，∴∠BCD ＝∠A ，又∵∠CBD ＝∠ABC ，∴△CBD ∽△ABC ，∴ CD AC ＝BC BA ，①∵FE ∥AC ，∴∠CAB ＝∠EFB ，又∵∠ABC ＝∠FBE ，∴△ABC ∽△FBE ，∴ BC BA ＝BE BF ，②由①②可得CD AC ＝BE BF ，∵BE ＝CD ，∴BF ＝AC ；(2)∵∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，∴∠ACB ＝30°＝∠ADP ，∴∠BCD ＝60°，∠ACD ＝60°－30°＝30°，∵PE ∥AC ，∴∠E ＝∠ACB ＝30°，∠CPE ＝∠ACD ＝30°，∴CP ＝CE ，∵BE ＝CD ，∴BE －CE ＝CD －CP ，∴BC ＝DP ，∵∠ABC ＝90°，∠D ＝30°，∴BC ＝12CD ，∴DP ＝12CD ，即P 为CD 的中点，又∵PF ∥AC ，∴F 是AD 的中点，∴FP 是△ADC 的中位线，∴FP ＝12 AC ，∵∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°，∴AB ＝12AC ，∴FP ＝AB ＝2，∵DP ＝CP ＝BC ，CP ＝CE ，∴BC ＝CE ，即C 为BE 的中点，又∵EF ∥AC ，∴A 为FB 的中点，∴AC 是△BEF 的中位线，∴EF ＝2AC ＝4AB ＝8，∴PE ＝EF －FP ＝8－2＝6.5. (1)证明：∵∠EFC ＋∠FEC ＋∠ECF ＝180°，∠A ＋∠B ＋∠ACB ＝180°，又∵∠EFC ＝∠A ，∠ECF ＝∠ACB ，∴∠CEF ＝∠B ，∵∠ECH ＝∠DCB ，∴△ECH ∽△BCD ，∴EC BC ＝CH CD ，∴CE ·CD ＝CH ·BC ；(2)解：如解图①，连接AH .∵BH 、CH 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，∴AH 是∠BAC 的平分线，∴∠BHC ＝180°－12(∠ABC ＋∠ACB )＝180°－12(180°－∠BAC )＝90°＋12∠BAC ＝90°＋∠HAE ，∵CE ＝CF ，∠HCE ＝∠HCF ，∴CH ⊥EF ，HF ＝HE ，∴∠CHF ＝90°，∵∠BHC ＝∠BHF ＋∠CHF ＝∠BHF ＋90°，∴∠HAE ＝∠BHF ，∵CE ＝CF ，∴∠CFE ＝∠CEF ，∴∠AEH ＝∠BFH ，∴△AEH ∽△HFB ，∴ AE HF ＝EH FB ，∴FH ·EH ＝6，∴HE ＝HF ＝6，∴EF ＝26；第5题解图①(3)解：如解图②，作HM ⊥AC 于M ，HN ⊥BC 于N .设HF ＝x ，FN ＝y .∵∠HCM ＝∠HCN ＝30°，HC ＝5，∴HM ＝HN ＝52 ，CM ＝CN ＝532，∵CE ＝4 3 ，∴EM ＝332， ∴EH ＝EM 2＋HM 2＝13 ，∵S △HCF ∶S △HCE ＝FH ∶EH ＝FC ∶EC ，∴x ∶13＝(y ＋ 532)∶43，又∵x 2＝y 2＋(52)2 ，解得y ＝5314或332，∵当y ＝332时，CF ＝CN ＋NF ＝43，又∵CE ≠CF ，∴y ≠332，即FN ＝5314，∴CF ＝2037 ，∵∠CEF ＝∠B ，∠ECF ＝∠ACB ，∴△ECF ∽△BCA ，∴ EC BC ＝CFAC ，∴ AC BC ＝CF EC ＝203743＝57.第5题解图②类型三与全等和相似三角形有关的证明及计算1. 解：(1)∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠FCD ＝60°，∵∠BAD ＝180°－60°－∠ADB ，∠FDC ＝180°－∠ADE －∠ADB ＝180°－60°－∠ADB ， ∴∠BAD ＝∠FDC ，∴△ABD ∽△DCF ，∴AB DC ＝BD CF ，∴CF ＝DC ·BD AB ＝（8－6）×68＝32；(2)△ADE 是等边三角形．证明：若D 点是BC 边中点，则AD ⊥BC ，∴∠CDE ＝∠ADC －∠ADE ＝90°－60°＝30°，又∵l ∥AB ，∴∠DCE ＝180°－∠ABC ＝180°－60°＝120°，∴∠CED ＝180°－∠DCE －∠CDE ＝180°－120°－30°＝30°，即∠CDE ＝∠CED ，∴CE ＝CD .在△ACD 和△ACE 中，⎩⎨⎧AC ＝AC∠ACD ＝∠ACE ＝60°DC ＝EC，∴△ACD ≌△ACE (SAS)，∴AD ＝AE ，又∵∠ADE ＝60°，∴△ADE 是等边三角形；(3)(2)中结论仍然成立．证明：如解图，过点D 作DG ∥l 交AC 于点G ，则△GDC ∽△ABC ， ∴△GDC 是等边三角形，∴DG ＝DC ，∠GDC ＝∠DGC ＝60°，∵∠ADE ＝60°，∴∠ADE ＝∠GDC ，∴∠ADG ＝∠EDC ，又∵∠AGD ＝180°－60°＝120°，∠DCE ＝180°－∠ABC ＝120°，∴∠AGD ＝∠DCE ，在△ADG 和△EDC 中，⎩⎨⎧∠ADG ＝∠EDCDG ＝DC ∠AGD ＝∠DCE ，∴△ADG ≌△EDC (ASA)，∴AD ＝DE ，又∵∠ADE ＝60°，∴△ADE 是等边三角形．2. (1)证明：∵P 为AB 的中点，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°， ∴∠BCE ＝12∠ACB ＝12×90°＝45°，∠A ＝45°，∴∠A ＝∠BCE ，在△ACF 和△CBE 中第1题解图⎩⎨⎧∠A ＝∠BCEAC ＝BC ∠ACF ＝∠CBD，∴△ACF ≌△CBE (ASA)，∴CF ＝BE ；(2)解：①由(1)得CF ＝BE ，∴BE ＝CF ＝6，∵AC ＝BC ，CE 平分∠ACB ，P 为AB 的中点，∴CP ⊥AB ，∵AG ⊥AB ，∴CE ∥AG ，∴∠GAD ＝∠ECD ，又∵∠ADG ＝∠CDE ，∴△ADG ∽△CDE ，∵点D 是AC 的中点，∴AD ＝CD ，即相似比k ＝1，∴△ADG ≌△CDE ，∴DG ＝DE ＝12GE ，∵CE ∥AG 且P 为AB 中点，∴GE ＝BE ＝6，∴DG ＝3；②设EP ＝a ，由(2)① 得EP ∥AG ，∴AG ＝2a ，又由上题得△ADG ≌△CDE ，∴CE ＝AG ＝2a ，∴CP ＝CE ＋EP ＝3a ，∵等腰直角△ABC 中 CP ⊥AB ，∴BP ＝CP ＝3a ，由题得∠ACP ＝∠CBP ＝45°，∵∠ACF ＝∠CBD ，∴∠ACP －∠ACF ＝∠CBP －∠CBD ，即∠HCE ＝∠PBE ， ∵∠CEH ＝∠PEB ，∴∠CHE ＝180°－∠CEH －∠HCE ，∠BPE ＝180°－∠PBE －∠PEB ， ∴∠CHE ＝∠BPE ＝90°，∴△CHE 是直角三角形，∴△CHE ∽△BPE ，∴HE CH ＝PE BP ＝a 3a ＝13.3. (1)证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠BED ＝∠CFD ＝90°，∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD ，在Rt △BED 和Rt △CFD 中，⎩⎨⎧BD ＝CDBE ＝CF ，∴Rt △BED ≌Rt △CFD (HL)，∴∠B ＝∠C ，∵∠BAC ＝90°，∴△ABC 为等腰直角三角形；(2)①证明：如解图，连接AD 、EF ，相交于点O ，∵由(1)可得Rt △BED ≌Rt △CFD ，∴∠B ＝∠C ，DE ＝DF ，∴AB ＝AC ，∵BE ＝CF ，∴AE ＝AF ，∴AD ⊥EF ，又∵∠NEM ＝∠MGN ＝90°，∴∠GME ＋∠ENG ＝∠DNG ＋∠ENG ＝180°， ∴∠EMF ＝∠DNA ，又∵∠AEO ＋∠EAO ＝90°，∠EAO ＋∠NDA ＝90°， ∴∠AEO ＝∠NDA ，∴△FME ∽△AND ，∴FM AN ＝EM DN ；第3题解图②解：设AF ＝2k ，DF ＝k ，在Rt △ADF 中，AD ＝（2k ）2＋k 2＝5k ，由①可得∠B ＝∠C ，DE ＝DF ，∴AD 垂直平分EF ，则OF ＝12EF ，∵DF ⊥AC ，∴S △ADF ＝12×5k ·OF ＝12×2k ×k ，∴OF ＝255k ，EF ＝455k ，∴ADEF ＝54，又∵△FME ∽△AND ，∴AN FM ＝AD EF ＝54，即AN ∶FM ＝5∶4.4. (1)解：如解图①中，作IE ⊥AB 于E .设ID ＝x ， ∵AB ＝AC ＝3，AI 平分∠BAC ，∴AD ⊥BC ，BD ＝CD ＝1，在Rt △ABD 中，AD ＝AB 2－BD 2＝32－12＝2 2 ，在△BEI 和△BDI 中，⎩⎨⎧∠EBI ＝∠DBI ，∠BEI ＝∠BDI ＝90°，BI ＝BI ，∴△BEI ≌△BDI ，∴ID ＝IE ＝x ，BD ＝BE ＝1，AE ＝2，在Rt △AEI 中，∵AE 2＋EI 2＝AI 2，∴22＋x 2＝(22－x )2 ，∴x ＝22，∴ID ＝22；第4题解图(2)①证明：如解图②，连接BI 、CI .∵I 是内心，∴∠MAI ＝∠NAI ，∵AI ⊥MN ，∴∠AIM ＝∠AIN ＝90°，又∵AI ＝AI ，∴△AMI ≌△ANI (ASA)，∴∠AMN ＝∠ANM ，∴∠BMI ＝∠CNI ，设∠BAI ＝∠CAI ＝α，∠ACI ＝∠BCI ＝β，∴∠NIC ＝90°－α－β，∵∠ABC ＝180°－2α－2β，∴∠MBI＝90°－α－β，∴∠MBI＝∠NIC，∴△BMI∽△INC，∴BMNI＝MINC，∴NI·MI＝BM·CN，∵NI＝MI，∴MI2＝BM·CN；②解：如解图③，过点N作NG∥AD交MA的延长线于G. ∵NG∥AD，∴∠ANG＝∠DAN，∠AGN＝∠BAD，∵∠BAC＝60°，∴∠BAD＝∠DAN＝30°，∴∠ANG＝∠AGN＝30°，∴AN＝AG，NG＝3AN，∵AI∥NG，∴∠MIA＝∠MNG，∠MAI＝∠MGN，∴△AMI∽△GMN，∴AMMG＝AING，∴AMAM＋AN＝43AN，∴AM＋ANAM＝3AN4，∴1AM＋1AN＝34.第4题解图③5.(1)证明：∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＋∠BCE ＝90°，∵AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠DAC ＋∠DCA ＝90°，∠ADC ＝∠BEC ，∴∠DAC ＝∠ECB ，在△ADC 和△CEB 中，⎩⎨⎧∠ADC ＝∠CEB∠DAC ＝∠ECBAC ＝CB，∴△ADC ≌△CEB (AAS)，∴AD ＝CE ，CD ＝BE ，∴DE ＝CE ＋DC ＝AD ＋BE ；(2)解：DE ＝kBE ＋1k AD .证明：∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＋∠BCE ＝90°，∵AD ⊥DE ，∴∠DAC ＋∠DCA ＝90°，∴∠DAC ＝∠ECB ，∵AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∴△ADC ∽△CEB ，∴AD CE ＝DC BE ＝AC BC ＝k ，∴DC ＝kBE ，CE ＝1k AD ，∴DE ＝DC ＋CE ＝kBE ＋1k AD ；(3)解：如解图，过点F 作FG ⊥BC 于点G ，∵AC ＝4，D 是AC 的中点，∴CD ＝2，∵EF ＝2DE ，易证△DCE ∽△EGF ，FG ＝2CE ，EG ＝2DC ＝4，设CE ＝x ，则BG ＝BC －CG ＝12－4－x ＝8－x ，∵FG ⊥BC ，AC ⊥BC ，∴∠ACB ＝∠FGB ＝90°，∵∠B ＝∠B ，∴△FGB ∽△ACB ，∴FG AC ＝BG BC ，即2x 4＝8－x 12，解得x ＝87，即CE 的长为87.第5题解图6. (1)证明：∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 为AB 的中点，∴∠BCD ＝∠ACD ＝45°，∠BCE ＝∠ACF ＝90°，∴∠DCE ＝∠DCF ＝135°，在△DCE 与△DCF 中，⎩⎨⎧CE ＝CF∠DCE ＝∠DCFCD ＝CD，∴△DCE ≌△DCF (SAS)；(2) ①解：AB 2＝4CE ·CF .证明：∵∠DCF ＝∠DCE ＝135°，∴∠CDF ＋∠F ＝180°－135°＝45°，∵∠CDF ＋∠CDE ＝45°，∴∠F ＝∠CDE ，∴△CDF ∽△CED ， ∴CD CE ＝CF CD ，即CD 2＝CE ·CF ，∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，CD 平分∠ACB ，∴CD ＝AD ＝BD ＝12AB ，∴(12AB )2＝CE ·CF ，∴AB 2＝4CE ·CF ；②解：如解图，过D 作DG ⊥BC 于G ，由①得AB 2＝4CE ·CF ， ∵AB ＝42，CE ＝2CF ，∴CE ＝4，CF ＝2，∵DG ⊥BC 于G ，由题得∠B ＝45°，BD ＝12AB ＝2 2∴△DGB 是等腰直角三角形，∴BG ＝DG ＝22·sin 45°＝2，∵DG ⊥BC ，AC ⊥BC ，∴DG ∥AC 即DG ∥CE ，∴∠ECN ＝∠DGN 又∵∠ENC ＝∠DNG ∴△CEN ∽△GDN ，∴CE DG ＝CN NG ＝42＝2，又∵D 点为AB 中点，DG ∥AC ，∴CG ＝BG ＝2， ∴NG ＝13CG ＝23，在Rt △DGN 中，DN ＝DG 2＋NG 2＝22＋（23）2＝2103.第6题解图。

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