幻方与数表
四年级上册数学奥数试题 第三讲《排排数——数表与幻方》 人教新课标 含答案
一、幻方这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”。
“洛书”就是幻和为15的三阶幻方。
如下图：我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。
”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久。
三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆。
”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们。
幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的3⨯3的数阵称作三阶幻方，4⨯4的数阵称作四阶幻方，5⨯5的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样。
四年级奥数必考知识点：第三讲：排排数——数表与幻方【例 1】3 3的正方形中，在每个格子里分别填入1～9的9个数字，要求每行每列及对角线上的三个数的和相等(请给出至少一种填法)。
三阶幻方的主要性质：1．能组成三阶幻方的数必须为从小到大排列，首尾对应相加均相等且等于中间数两倍的九个数数列。
2．幻方的中心数为数列中的中间数。
3．幻方中所有相等的和称做幻和，幻方的幻和等于中心数的3倍。
中心数还等于所有所填数的平均数。
4．数列中最大与最小数的配对不能出现在幻方的四角，即只能出现在中间位置，依次可得知第二大与第二小数的配对只能出现在四角上。
【例 2】请你将2～10这九个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的三数之和相等。
例2图【例 3】在下面两幅图的每个空格中，填入7个自然数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和等于21。
例3图【例 4】用1～16编制一个四阶幻方。
二、数表与周期性问题【例 5】如图，横、竖各有12个方格，每个方格内都有一个数。
已知横行上任意3个相邻数之和为20，竖列上任意3个相邻数之和为2l，并且其中4个方格内的数分别是3，5，8和x。
第七讲 幻方和数阵图
第七讲幻方和数阵图（一）（1）把1到9这9个数填到3行3列的格子里，使每一行，每一列，每条对角线上的三个数字的和都相等，这样的数学游戏叫做幻方，像这样的3行3列的幻方叫三阶幻方。
（2）在三阶幻方中任意行，任意列或任意一条对角线上的3个数字的和叫幻和，如：7+5+3=15 4+3+8=15 6+5+4=15 这个三阶幻方的幻和是15 （3）除三阶幻方以外，常见的幻方还有四阶幻方，五阶幻方，六阶幻方四阶幻方五阶幻方六阶幻方三阶幻方的口诀是：九子斜排上下对易左右相更四维挺出例1：用3、4、5、9、10、11、15、16、17这九个数，编制一个三阶幻方，它的幻和是多少？幻和为30总结：满足一下两个条件中任意一条的九个数，就可以做填三阶幻方的游戏：（1）把九个数从小到大排列，组成了等差数列；（2）把九个数从小到大排列后，每三个数分为一组，每一组都是等差数列，而且组与组之间也是等差数列。
幻和是中间这个数的三倍三阶幻方的幻和=正中间的数 3例2：在右边的方格里填入适当的数，使它成为一个三阶幻方。
三阶幻方的幻和=正中间的数⨯3 幻和：8⨯3=24 练习：1、用2、4、6、8、10、12、14、16、18这九个数编制三阶幻方，并求幻和。
2、用1、2、3、7、8、9、13、14、15这九个数编制三阶幻方，并求幻和。
3、在右边的三阶幻方的空格内填入适当的数，使幻和等于27.4、在右边的三阶幻方的空格内填入适当的数，使它成为一个三阶幻方。
数阵图:把一些数按照一定的要求排列成各种各样的图形。
例3：在下面的三角形数阵图的3个 内的数的和是12例4：在下面图中的内，填上适当的数，使每条线上三个于13。
例5：把10,20,30,40,50，这五个数填入图中的使每条线段的三个数的和相等。
例6：把1,2,3,4,5,6,7这七个数字填入图中的内，使每条线上的内的3个数的和相等。
练习：1、在正方形数阵图中的内填入适当的数使每条线上的3个数的和等于21.2、把10到20这11个数填在图中的内，使每条线段上三个数的和等于45.3、把3到7这五个数分别天入“T”2形和“十”字形的方格内，使横竖两行的3个数的和相等。
第八讲(幻方与数阵图)
23
57
40
解析：告诉了幻和，先求中间数=90÷3=30
23 30
告诉了相邻 2 个棱块，一定能求对角角块=（23+57）÷2=40，得到右图
57
接下来就容易了吧？同学们自己计算吧！
（尖子）学案 1 按要求完成幻方
（1）只求 x
x
（2）如果中间格填入 100，请在（1）的基础上完成所有格的填数。
19
解析：想想窍门 2，95=（x+19）÷2，那么可算出 x=117
95
中间数是 100，可求出幻和是 300，其他的就好填了，同学们自己试试吧！
最后答案： 24 117 105 你填对了吗？
181 100 19
95 29 176
492 357
每个数加 3
7 12 5 6 8 10
816
11 4 9
先写出基本型
OK 啦
当然，本题并没有说用哪些数，所以答案很多，但是这种方法是不是更快呢？
拓展：请用 11.13.15.17.19.21.23.25.27 编制一个三阶幻方 解析：这是一个等差数列，将它与基本型中的 1-9 对应好
11 13 15 17 19 21 23 25 27 对应 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2010 年四年级秋季班 第八讲 幻方与数阵图
第八讲 幻方与数阵图
一、幻方基本概念 1、幻方：是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的 3×3 的数 阵称作三阶幻方，4×4 的数阵称作四阶幻方，5×5 的称作五阶幻方…… 2、幻和：幻方中每行/列/对角线的数的和
四年级奥数幻方与数表
知识要点幻方与数表二、 如果一个n n ⨯的方阵中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上数的和都相等，那么这个方阵称为n 阶幻方。
三、 在n 阶幻方中，其每一行、每一列、两条对角线上的数字之和都相等，这个和称为幻和。
对于n 行或者n 列，其和为幻和乘以n ，也等于所有2n 个数的和；所以，幻和2n S n=个数。
用1、2、……、2n 这2n 个数构造n 阶幻方，其幻和为2212(1)2n n n n ++++=……； 用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数构造3阶幻方，其幻和为21234567893(13)1532++++++++⨯+==。
四、 对于n 阶幻方，当n 分别为奇数或偶数时，幻方有一个明显的不同，即奇数阶幻方有一个中心方格，而偶数阶幻方则没有；奇数阶幻方这个中心方格上的数称为中心数。
中心数等于幻方中所有2n 个数的平均数，也等于任意一行、一列、一条对角线中n 个数的平均数，也等于任意两个关于中心对称的空格中的数的平均数；中心数22n S n =个数n=幻和。
用1、2、……、2n 这2n 个数构造n 阶幻方，其中心数为212n +。
用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数构造3阶幻方，其中心数为21352+=。
五、在3阶幻方中，2222a i b h c g d f e ++++====，2f h a +=、2d h c +=、2b f g +=、2b di +=。
ihgf e d c b a幻方【例1】 请将2009、2010、2011、2012、2013、2014、2015、2016、2017这9个自然数填入图中的空格内，使每行、每列、两条对角线上的3个数之和相等。
（只要构造出一种）一、 若一个n n ⨯的方阵1111n n nna a a a 是n 阶幻方，则方阵1111n n nn a b c a b ca b ca b c⨯+⨯+⨯+⨯+也是n 阶幻方。
数表中心数幻和三阶幻方的性质幻方的构造幻方幻方与数表（本讲）200920102011201220132014201520162017201620092014201520132011201220172010201420152010201720132009201620112012201020172012201120132015201420092016201620112012201720132009201420152010201020152014200920132017201220112016201420092016201120132015201020172012201220172010201520132011201620092014【分析】 （方法一）第一步——求幻和：幻和为(200920102011201220132014201520162017)36039++++++++÷=；第二步——求中心数：中心数为603932013÷=；第三步——确定4个角上的数：用尝试法，可推出4个角上的数只能为偶数； 第四步——求出幻方：根据幻和求出各边中点的数，求出1个基本解； 以基本解为基础，可通过旋转或镜像变换得到其它各解，共8解。
四年级计算幻方与数表教师版
知识要点幻方与数表一、 如果一个n n ⨯的方阵中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上数的和都相等，那么这个方阵称为n 阶幻方。
二、 在n 阶幻方中，其每一行、每一列、两条对角线上的数字之和都相等，这个和称为幻和。
对于n 行或者n 列，其和为幻和乘以n ，也等于所有2n 个数的和；所以，幻和2n S n=个数。
用1、2、……、2n 这2n 个数构造n 阶幻方，其幻和为2212(1)2n n n n ++++=……； 用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数构造3阶幻方， 其幻和为21234567893(13)1532++++++++⨯+==。
三、 对于n 阶幻方，当n 分别为奇数或偶数时，幻方有一个明显的不同，即奇数阶幻方有一个中心方格，而偶数阶幻方则没有；奇数阶幻方这个中心方格上的数称为中心数。
中心数等于幻方中所有2n 个数的平均数，也等于任意一行、一列、一条对角线中n 个数的平均数，也等于任意两个关于中心对称的空格中的数的平均数；中心数22n S n =个数n=幻和。
用1、2、……、2n 这2n 个数构造n 阶幻方，其中心数为212n +。
用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数构造3阶幻方，其中心数为21352+=。
四、在3阶幻方中，2222a i b h c g d f e ++++====，2f h a +=、2d h c +=、2b f g +=、2b di +=。
ihgf e d c b a幻方【例1】 请将2009、2010、2011、2012、2013、2014、2015、2016、2017这9个自然数填入图中的空格内，使每行、每列、两条对角线上的3个数之和相等。
（只要构造出一种）200920102011201220132014201520162017201620092014201520132011201220172010201420152010201720132009201620112012201020172012201120132015201420092016201620112012201720132009201420152010201020152014200920132017201220112016201420092016201120132015201020172012201220172010201520132011201620092014【分析】 （方法一）第一步——求幻和：幻和为(200920102011201220132014201520162017)36039++++++++÷=；第二步——求中心数：中心数为603932013÷=；第三步——确定4个角上的数：用尝试法，可推出4个角上的数只能为偶数； 第四步——求出幻方：根据幻和求出各边中点的数，求出1个基本解； 以基本解为基础，可通过旋转或镜像变换得到其它各解，共8解。
幻方和数阵(精选)
幻方的起源
幻方的结构
杨辉（南宋）
中国研究幻方的第一人
载九履一，左三右七，二四为肩，六八为足， 以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数
492 357 816
三阶幻方：在三行三列的正方形方格中，既不重 复又不遗漏地填上3×3个连续的自然数，使每一 行、每一列、每条对角线上的三个数的和均相等。 通常这样的图形叫做三阶幻方。 在三阶幻方中有： （1）幻和=九个数之和÷3， （2）中间数=幻和÷3. （3）C=(A+B)÷2 （如右图）
幻和=(1+2+3+…+8+9) ÷3=15
1 2 34 5 67 8 9
◆例1 将1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数
填入下图的九个方格里，使每行、每列、每条 对角线上的三个数的和都相等。
1填首行正中央
依次斜上莫要忘。
罗
伯
上出下填右出左
法
若是重了填下方
◆例2 用2~10九个数填入下图的九个方格里，
九个连续的自然数中，第五个数是中间数，第二、 四、六、八个数是四角上的数。
1 2 34 5 67 8 9
◆例1 将1~9九个自然数填入下图的九个方 格里，使每行、每列、每条对角线上的三 个数的和都相等。
定中间数，填四角数，算其余数
把九个数最中间的一个填在方 格的正中央，第二、四、六、 八个数分别填在四个角上。
使每行、每列、每条对角线上的三个数的和都 相等。
4
3
7
添 耳
朵
2
6
10
法
5
9
8
◆例2 用5~20这16个数填入下图的16个方格里， 使每行、每列、每条对角线上的四个数的和都 相等。
小学数学《数表与幻方》练习题
数表与幻方幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的3×3的数阵称作三阶幻方，4×4的数阵称作四阶幻方，5×5的称作五阶幻方…… 如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，三阶幻方的中心位置上的数等于所有所填数的平均数，也等于横行、竖列、对角线上数和的三分之一.解决数表类问题中，首先要找出数填写的规律，再从规律中找到数表的数量关系，从而找出解决问题的关键.（一）幻方【例1】 3×3的正方形中，在每个格子里分别填入1～9的9个数字，要求每行每列对角线上的三个数的和相等，请给出至少一种填法【例2】 请你将1～25这二十五个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的五数之和相等.【例3】 用11，13，15，17，19，21，23，25，27编制成一个三阶幻方.987654321 14115106213169711548312【例4】 将九个数填入左下图的九个空格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都等于定数k ，则中心方格中的数必为k ÷3【例5】 在3×3的方格中，如果要求填入九个互不相同的质数，要求任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都相等，那么这样填好的图称为三阶质数幻方.求任一列、任一行以及两条对角线上的三个数之和都等于267的三阶质数幻方.【例6】 在九宫图中，第一行第三列的位置上填5，第二行第一列位置上填6，如图.请你在其他方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和均为27.【例7】 将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字，分别填入3×3阵列中的九个方格，使第二行组成的三位数是第一行组成的三位数的2倍，第三行组成的三位数是第一行组成的三位数的3倍.【例8】 已知如图是一个四阶幻方，那么标有*的方格中所填的数是多少?3811165*49712（二）数表【例9】 如图，横、竖各有12个方格，每个方格内都有一个数．已知横行上任意3个相邻数之和为20，竖列上任意3个相邻数之和为2l ，并且其中4个方格内的数分别是3，5，8和x ．那么x 所代表的数是多少?【例10】 请在4×8方格表的每个方格内填入数1，2或3，使得任何排列如图所示形状的4个方格中所填数的和都是7．【例11】 如图表中所示的顺序，将正整数1、2、3、4、5……按顺序依次填入，求2007在第几行第几列？第一列 第二列 第三列 第四列……第一行 1 2 5 10 17 第二行 4 3 6 11 第三行 9 8 7 12 第四行 16 15 14 13 ……【例12】 将1～8填入右图中的○内，要求按照自然数顺序相邻的两个数不能填入有直线段连接的相邻的两个○内.83x51.将九个连续自然数填入3行3列的九个空格中，使每一横行及每一竖列的三个数之和都等于60.2.用1，3，5，7，9，11，13，15，17编制成一个三阶幻方.3.在图中的每个空格内填入一个数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都等于19．95．那么，标有*的格内所填的数是多少?4.在如左图6×6的方格网中填入1、2、3这三个数，使得用右图任意一种图形覆盖方格网，盖住的数和为12.5.将1～10这十个自然数分别填入下左图中的10个圆圈内，使五边形每条边上的三数之和都相等，并使值尽可能大.*8.804.33。
4年级-6-幻方和数阵图
传说在五千年前，大禹治水的时代，人们在黄河中发现一只大龟，龟背上有一些奇怪的图案，经过破译，人们将龟背上的神奇的图案译成了如下图这样的数阵图，也称做幻方。
幻方和数阵是我国文化遗产之一，早在公元前4世纪就有“河图”、“洛书”的传说与记载。
到了宋朝，杨辉对幻方已有较详细的记述，并探索出一些编制方法。
明朝程大位、清朝张潮等人，创制了绚丽多彩的幻方与数阵图式，其中九宫图是最简单的三阶幻方。
将三阶幻方推广，结合某些几何图形，把一些数字填入图形的某种位置上，并使数字满足一定的约束条件，这类问题，通常被称为“数阵图”。
幻方是特殊的数阵图。
大约在15世纪初，幻方传到国外，引起了欧洲很多数学家的兴趣，发现许多新成果。
人们发现幻方不仅仅是一种数字游戏，而且与实验方案的设计及一些高深数学分支有关，幻方已成为数阵图中最重要的课题，是数学研究中的一个重要分支。
数阵图大致分三种：封闭型数阵图、开放型数阵图和复合型数阵图。
幻方的特点：一个幻方每行、每列、每条对角线上的几个数的和都相等。
这个相等的和叫“幻和”。
要求在n 行n 列的方格里，既不重复又不遗漏地填上n ×n 个连续的自然数。
这些自然数所组成的一列数有极强的规律性，按顺序排列后，每一项都比它前面的一项大1，即它们构成了差相等的数列，是等差数列。
因此在解答这类问题时，常用的知识有： 1．等差数列的求和公式总和=（首项+末项）×项数÷2 2．数字的奇偶性 奇数±奇数=偶数偶数±偶数=偶数知识梳理奇数±偶数=奇数可简记为：同性为偶，异性为奇（注：同性是同奇或同偶，异性是指一奇一偶）。
数阵图【例1】★如图所示，在三个圆圈中各填入一个自然数，使每条线段两端的两个数之和均为奇数。
请问这样的填法存在吗?如不存在，请说明理由；如存在，请写出一种填法。
【例2】★小蜗牛不小心爬到一个三角形数阵图中，必须将1～6六个自然数分别填入下图的○内，使三角形每边上的三数之和都等于11才能通过这个数阵图，你能帮它吗？614532【小试牛刀】把1，2，3，4，5，6，7，8八个数字填入下图中的○内，使正方形每条边上三个数的和都等于13．典型例题【例3】★把1～7这七个自然数，分别填在下图（1）的圆圈内，使每条直线上的三个数的和都相等。
小学数学《数表与幻方》练习题
数表与幻方幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的3×3的数阵称作三阶幻方，4×4的数阵称作四阶幻方，5×5的称作五阶幻方…… 如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，三阶幻方的中心位置上的数等于所有所填数的平均数，也等于横行、竖列、对角线上数和的三分之一.解决数表类问题中，首先要找出数填写的规律，再从规律中找到数表的数量关系，从而找出解决问题的关键.（一）幻方【例1】 请你将2～10这九个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的三数之和相等.【例2】 3×3的正方形中，在每个格子里分别填入1～9的9个数字，要求每行每列对角线上的三个数的和相等，请给出至少一种填法【例3】 请你将1～25这二十五个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的五数之和相等.【例4】 请编出一个三阶幻方，使其幻和为24.987654321 14115106213169711548312【例5】 在下图中的A 、B 、C 、D 处填上适当的数，使下图成为一个三阶幻方.【例6】 在九宫图中，第一行第三列的位置上填5，第二行第一列位置上填6，如下图.请你在其他方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和均为27.【例7】 将自然数1至9分别填在如下图所示的3×3方格表内，使得每行、每列及两条对角线上的数满足：两端的两个数之和减去中间的数，结果都等于5．【例8】 已知如图是一个四阶幻方，那么标有*的方格中所填的数是多少?（二）数表【例9】 如图，有一个11位数，它的每3个相邻数字之和都是20．问标有*的那个数位上的数字应是几?3811165*497127*9*CDCBA【例10】在图中所示的方格表的每个方格内填入一个恰当的字母，可以使得每行、每列及两条对角线上4个方格中的字母都是A，B，C，D，那么，表中标有★的方格内应填的字母是什么?并完成这个数表.【例11】请在4×8方格表的每个方格内填入数1，2或3，使得任何排列如图所示形状的4个方格中所填数的和都是7．【例12】如图表中数的排列顺序，2007在第几行第几列？2007的下边是哪个数？1.如右图的3×3的阵列中填入了l～9的自然数，构成大家熟知的3阶幻方.现在另有一个3×3的阵列，请选择9个不同自然数填人9个方格中，使得其中最大者为20，最小者大于5，且要求横加、竖加、对角线方式相加的3个数之和都相等.2.在下面两幅图的空格中填入不大于15且互不相同的自然数（其中已填好一个数），使每一横行、竖列和对角线上的三数之和都等于30.3.在下面两幅图的每个空格中，填入7个自然数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和等于21.88444.在右图的每个方格中填入一个数字，使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数字都是1，2，3，4.5.在左图6×6的方格网中填入1、2、3这三个数，使得用右图任意一种图形覆盖方格网，盖住的数和为12.。
小学三年级奥数-幻方
数字依次先排好, 上下中间交叉换, 左右中间交叉换, 其他地方不要变!
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
42
42
42
42
42
42
42
42
所以 幻和=42
同学们 你们真的好棒哦!不要骄傲, 继续加油哦!
把1，2，3…9这9个数填入3×3的方格里,变成三阶幻方
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换位
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三阶幻方有技巧, 3数斜着先排好, 上下左右要交换, 然后各自归位了!
01
如何填幻方（幻方的构成）
02
定中间数 填四角数 算其余数
定中间数，填四角数，算其余数
将1~9九个自然数填入下图的九个方格里，使每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等。 把九个数最中间的一个填在方格的正中央，第二、四、六、八个数分别填在四个角上。 幻和=(1+2+3+…+8+9) ÷3=15
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一.三阶幻方的编制和补充
二.四阶幻方的编制和补充
三阶幻方有技巧, 3数斜着先排好, 上下左右要交换, 然后各自归位了!
数字依次先排好, 上下中间交叉换, 左右中间交叉换, 其他地方不要变!
四年级计算幻方与数表学生版
知识要点幻方与数表一、 如果一个n n ⨯的方阵中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上数的和都相等，那么这个方阵称为n 阶幻方。
二、 在n 阶幻方中，其每一行、每一列、两条对角线上的数字之和都相等，这个和称为幻和。
对于n 行或者n 列，其和为幻和乘以n ，也等于所有2n 个数的和；所以，幻和2n S n=个数。
用1、2、……、2n 这2n 个数构造n 阶幻方，其幻和为2212(1)2n n n n ++++=……； 用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数构造3阶幻方， 其幻和为21234567893(13)1532++++++++⨯+==。
三、 对于n 阶幻方，当n 分别为奇数或偶数时，幻方有一个明显的不同，即奇数阶幻方有一个中心方格，而偶数阶幻方则没有；奇数阶幻方这个中心方格上的数称为中心数。
中心数等于幻方中所有2n 个数的平均数，也等于任意一行、一列、一条对角线中n 个数的平均数，也等于任意两个关于中心对称的空格中的数的平均数；中心数22n S n =个数n=幻和。
用1、2、……、2n 这2n 个数构造n 阶幻方，其中心数为212n +。
用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数构造3阶幻方，其中心数为21352+=。
四、在3阶幻方中，2222a i b h c g d f e ++++====，2f h a +=、2d h c +=、2b f g +=、2b di +=。
ihgf e d c b a幻方【例1】 请将2009、2010、2011、2012、2013、2014、2015、2016、2017这9个自然数填入图中的空格内，使每行、每列、两条对角线上的3个数之和相等。
（只要构造出一种）【例2】 请构造出一个3阶幻方，使其幻和为2010。
（只要构造出一种）五、 若一个n n ⨯的方阵1111n n nn a a a a KM OM K 是n 阶幻方，则方阵1111n n nn a b c a b ca b c a b c⨯+⨯+⨯+⨯+KM O M K 也是n 阶幻方。
幻方与数表
把一些数按一定的规则，填在特定形状的图形中，那么这种图形，我们就称它为数阵图。
数阵图是一种有趣味性很强的填数游戏，它的形式多样，绚丽奇妙，大致可分为三种：封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。
填数阵图的技巧和方法是：1.认真分析研究数阵图的内在规律；2.抓住数的特点，找出突破口；3.注意调整，找出多种填法幻方的具体方法如下：（1）把1（或最小的数）放在第一行正中间：按以下规律剩下的数：（2）每个数放在前一个数的右上一格；（3）如果这个数所要放的格已经超出了最顶行，那么就把它放在最底行，仍然要放在右一列；比如2超出了最顶行，就把它放在最底行。
（4）如果这个数所要放的格已经超出了最右列，那么就把它放在最左列，仍然要放在上行：比如3超出了最右列，就把它放在最左列。
（5）如果这个数所要放的格已经填好了其他的数，或者同时超出了最顶行和最右列，那么就把它放在前一个数的下面：比如4不能和1填在同一个格子晨，就填在3的下面。
（6）依照这种方法把全部的数填完，一个三阶幻方就诞生了，我们的顺口溜就是：“1”居上行正中央依次斜排切莫忘上出框时往下写右出框时写左旁重排便往下格写又出重排一个样1. 把15～23这9个数字填入以下三阶幻方中，使每一行、每一列及每条对角线上的数的和都相等。
2. 把3、6、9、12、15、18、21……这25个数字填入以下五阶幻方中，使每一行、每一列、每条对角线上的数的和都相等。
3. 在下图的空格中填入适当的数，使每行、每列两条对角线上的三个数的和都等于21。
4．将图中的数重新排列，使每行、每列及每条对角线上的三个数的和都相等。
→5．下图中，每个字母代表一个数，已知每行、每列以及每条对角线上三个数字的和都相等，若a=4、I=16、d=17、h=5,那么b=______ .f=_______.7 2 52225 5 5888下图是一个三阶幻方，请说明幻和等于3倍的E 且D+F=2×E。
小学数学《数表与幻方》练习题(含答案
数表与幻方幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的3×3的数阵称作三阶幻方，4×4的数阵称作四阶幻方，5×5的称作五阶幻方…… 如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，三阶幻方的中心位置上的数等于所有所填数的平均数，也等于横行、竖列、对角线上数和的三分之一.解决数表类问题中，首先要找出数填写的规律，再从规律中找到数表的数量关系，从而找出解决问题的关键.（一）幻方[小故事]（教师导入）同学们是否知道我国古代有关“洛书”的神话传说？传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思.一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了.这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”.“洛书”就是幻和为15的三阶幻方.如下图：987653421【例1】 请你将2～10这九个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的三数之和相等.分析：第一步：求幻和：2+3+4+…+9+10=54第二步：求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，仔细观察可以发现：除了对角线外，第二行、第二列也分别经过中心数，那么，经过中心数的四条线段上的数字总和是幻和的4倍，即18×4=72，显然，在这个总和中，中心数用了四次，其余各数正好各用一次，所以中心数应是：（72-54）÷3=6第三步：确定四个角上的数：用尝试法，不难推知，四个角只能是奇数.第四步：用尝试法填一个基本解，以基本解为基础，可绕中心旋转与对调得到其它各解，共八解，如图：987654321 14115106213169711548312[巩固]3×3的正方形中，在每个格子里分别填入1～9的9个数字，要求每行每列对角线上的三个数的和相等，请给出至少一种填法分析：除了运用例题中的方法，还有两种方法：（方法一）罗伯法：把1（或最小的数）放在第一行正中，按以下规律排列剩下的数：（1）每一个数放在前一个数的右上一格（2）如果这个数所要放的格已经超出了最顶行，那么就把它放在最底行，仍然要放在右一列（3）如果这个数所要放的格已经超出了最右列，那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行（4）如果这个数所要放的格已经填好了其它的数，或者同时超出了最顶行和最右列，那么就把它放在前一个数的下面，具体如下图：1213213421563421563742156387421563987421（方法二）对易法：先把1到9九个数字按顺序斜着排列，再把上下的数字1和9对调，左右的数字7和3对调，最后把4个不在边上也不在最中心的数字拉到角上，一个三阶幻方就形成了.563987421563987421563987421[说明]南宋数学家杨辉曾概括幻方为：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出.”这就是我们现在所学的对易法.[小知识] 我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央.”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久，三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆.”【例2】请你将1～25这二十五个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的五数之和相等.[亮点设计]（1）提问：三阶幻方的我们可以通过算的方法填出，五阶的呢？算算看，累死.七阶呢？更累死.同学们想不想在一分钟之内写出五阶幻方呢？看老师的：（2）示范：边写边说口诀：“一居上行正中央，后数依次右上连.上出框时往下填，右出框时往左填.排重便在下格填，右上排重一个样”.见第二个图.这是法国人罗伯特总结出的“罗伯法”，它对于构造连续自然数幻方是最简单易行的.（3）练习：写个七阶的看看（大家一起来练）注意强调细节.上出框与右出框的处理有时不容易把握，老师隆重推荐大家一种方法——“卷纸筒”，即把上下边重合在一线，则上出框后往右上填的位置正好在下边的对应点上.强调这种方法适用于任意奇数阶幻方.（4）亮化：大家现在感到是不是很好玩？美国的有个小孩子写出了105阶的幻方，被记在一本数学课本上.我们现在知道，这里的方法其实不算难吧？其实我们也不妨跟美国小朋友PK一下，来构造一个比较大的幻方，也可以是或者就是做一份数学作品，跟书法作品一样装裱得非常漂亮地挂在你家客厅的墙上，客人到你家作客时，一看是一头雾水，你就简单地问一问他，横行的所有数之和是多少？所有横行的每个和怎么样呢？都相等吧？竖列所有数之和是多少？跟横行的和相等吧！还有，看看两条对角线上，每条对角线上所有数之和呢？轻轻而清晰地告诉他，这就是57阶幻方或者**阶幻方！厉害吧，这就是奥数研究生的作品.（研究奥数的学生简称奥数研究生嘛）当然，别忘了，十几阶的奇数幻方奖一个章，二十几阶的奖励三个章，三十几阶的奖励五个章，四十几阶的奖励七个章，如果六十几阶应该奖励几个章呢？【例3】将九个数填入左下图的九个空格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都等于定数k，则中心方格中的数必为k÷3证明：因为每行的三数之和都等于k，共有三行，所以九个数之和等于3k.如右上图所示，经过中心方格的有四条虚线，每条虚线上的三个数之和都等于k，四条虚线上的所有数之和等于4k，其中只有中心方格中的数是“重叠数”，九个数各被计算一次后，它又被重复计算了三次.所以有：九数之和+中心方格中的数×3=4k，3k+中心方格中的数×3=4k，中心方格的数=k÷3注意：例题中对九个数及定数k都没有特殊要求.这个结论对求解3×3方格中的数阵问题很实用. [拓展]如图是一个三阶幻方，那么标有*的方格中所填的数是多少?110 8*分析：首先确定左下角的数为17，这样才能保证第一行和第一列的和相等，如此可以得出，这个三阶幻方中围绕中心的相对位置上的两个数和为17+10=27，接着确定底边和右边上的数，通过设左上角标有*的方格中所填的数未知数为X，列式为（18+x）÷3+27=18+x，最后求出标有*的方格中所填的数为22.5.【例4】在下图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（其中已填好一个数），使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21.分析：中间方格中的数为7.再设右下角的数为x，然后根据任一行、任一列及每条对角线上的三个数之和都等于21，如下图所示填上各数（含x）.因为九个数都不大于12，由16－x≤12知4≤x，由x+2≤12知x≤10，即4≤x≤10.考虑到5，7，9已填好，所以x只能取4，6，8或10.经验证，当x＝6或8时，九个数中均有两个数相同，不合题意；当x＝4或10时可得两个解（见下图）.这两个解实际上一样，只是方向不同而已.[巩固]如图所示，在3×3方格表内已填好了两个数19和95，在其余的空格中填上适当的数，可以使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等．(1)求x；(2)如果中间的空格内填入100，试在上一小题的基础上，完成填图．x19 95100951918124171291761051009519分析：（1）设中间的数为Y，则各行各列的和为3Y，求出各个方格中每个数的代数式，左上角为Y-X+95,右上角为2Y-95,右下角为：Y+X-95,最下面一行中间的数为：2Y-X，根据每行每列的和相等，最左面的一列等于最右面的一列，可列出方程：X+3Y-190+19=3Y-X+190-19,解得X=171.（由此引出三阶幻方性质：角上的数等于不相邻边上数的平均数）（2）根据（1）所得的每个方格中的代数式可得右上图.【例5】将前9个自然数填入右图的9个方格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同，并且相邻的两个自然数在图中的位置也相邻.分析：题目要求相邻的两个自然数在图中的位置也相邻，所以这9个自然数按照大小顺序在图中应能连成一条不相交的折线.经试验有下图所示的三种情况：按照从1到9和从9到1逐一对这三种情况进行验算，只有第二种情况得到下图的两个解.因为第二种情况是螺旋形，故本题的解称为螺旋反幻方.[前铺]用11，13，15，17，19，21，23，25，27编制成一个三阶幻方.分析：给出的九个数形成一个等差数列，1～9也是一个等差数列.不难发现：中间方格里的数字应填等差数列的第五个数，即应填19；填在四个角上方格中的数是位于偶数项的数，即13，17，21，25，而且对角两数的和相等，即13＋25=17＋21；余下各数就不难填写了（见下图）.与幻方相反的问题是反幻方.将九个数填入3×3（三行三列）的九个方格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同，这样填好后的图称为三阶反幻方.【例6】将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字，分别填入3×3阵列中的九个方格，使第二行组成的三位数是第一行组成的三位数的2倍，第三行组成的三位数是第一行组成的三位数的3倍.分析：这一例题较复杂些，但如果我们充分利用题目的要求和1至9这九个数的特性（五奇四偶），那么也能缩小每格中所应填的数的范围，直至完全确定每格中应填的数.为了方便起见，把九个格中的数字用A 至I 这九个英文字母代替.这样，例如C=2，则F=4，I=6.因而其余六格应包含全部奇数（1、3、5、7、9）和偶数8，由于DEF =2×ABC，GHI =3×ABC ，所以GHI =ABC +DEF ,因此又可把3×3方格中的数看作一个加式：前两行之和等于第三行.这对于我们用奇偶性去分析加式成立的可能性是有用的.由于个位上的加法没有进位，因此十位上的三个数字不能都为奇数（否则将出现奇数+奇数=奇数的矛盾等式），即8一定是其中的一个十位数字，显然B≠8（否则E=6，与I=6矛盾）.又H≠8（否则，B≤8/3，只有B=1.而当B=1时，H 至多为5）.因此E=8，这样，B ＝9，H=7.最后，由于A ＜D ＜G 必有A=1，D=3，G=5.由于192×2=384，192×3=576，所以所填的数满足题目要求.又如，C=4，则F=8，I=2.个位上的加式向十位进1，因此十位上的三个数字都是奇数，因此6是一个百位数字.显然A≠6.如果D=6，则必有A=3，G=9.而B 、E 、H 是1、5、7这三个数，要满足B+E+1=H ，只能B=1，E=5，H=7或B=5，E=1，H=7.由于314×2≠658，354×2≠618，所以此时不满足题目要求.如果G=6，显然A ＜3，此时只有A=1，但当A=1时，G ＜（1+1）×3=6.因而当C=4时，不可能有满足题目要求的填法.其他的情形可以类似地加以讨论，分别给出肯定的或否定的结论. 由分析，下左图是一种符合要求的填法.由于作为一个加法算式（上两行的和等于第三行），上图只是在十位上的加式向百位进了1，其他两个数位上都没有进位，因此把它的个位移到百位的位置上加式仍然成立，所以上右图也是一种符合要求的填法.还有两种符合要求的填法，希望同学们利用分析中的方法把它们找出来.【例7】 在一个3×3的网格中填入9个数使得每一横行、竖行、对角线上三个数的乘积相等.分析：先填出一个普通幻方，任意取一个自然数n ，然后将幻方中的数改成以n 为底，原来的数为指数的形式即可,取n=2，如果取2，则九个数字为：2、4、8、16、64、128、256、512，如图.563987421512256128641684232[拓展]把1，2，3，4，6，9，12，18，36这9个数分别填入3×3方格表的各方格内，使每一行、每一列及两条对角线上的3个数的乘积都是216．求位于正中间的方格中所填的数．分析：1=2030，2=2130，3=2031，4=2230，6=2131，9=2032，12=2231，18=2132，36=2232，只要将这些数填入空格保证每行每列以及对角线上的2和3上的指数和相等.943122183616【例8】已知如图是一个四阶幻方，那么标有*的方格中所填的数是多少?分析：对角线上的和为34，由此可以确定第四行第三列的数为2，右下角的数为13，于是便可以确定标有*的方格中所填的数为6.3811165*49712（二）数表【例9】 如下图，在方格中填入一些数以后使得无论横行、竖行相邻三个数的和都为20，那么“*”所代表的数是多少？分析：设左上角方格中的数为x ，由相邻三个数的和为20，可知横行、竖行都以3为循环，那么左上角的数为14-x ，左下角方格中的数为12-x ，由此还能求到右下角的数为6+x ，“*”所代表的数为20-（14-x ）-（6+x ）=0.[巩固]如图，横、竖各有12个方格，每个方格内都有一个数．已知横行上任意3个相邻数之和为20，竖列上任意3个相邻数之和为2l ，并且其中4个方格内的数分别是3，5，8和x ．那么x 所代表的数是多少?分析：先分析竖直方向的数字出现规律，都是以3为周期循环出现相同数字，求得交叉点上数字为10，同理可求得x=5.【例10】 请在4×8方格表的每个方格内填入数1，2或3，使得任何排列如图所示形状的4个方格中所填数的和都是7．*26883x511121132113211321133232132113211分析：这个图形如中间图所示打上斜线，那么这四个格子都在不同的斜线上，将4×8的方格网也打上斜线，填数的时候，只要保证同一条斜线上的数相同，并且从最上边的斜线向下，线上对应的数以4为周期依次出现两个1，一个2，一个3.[拓展] 请在4×8方格表的每个方格内填入数1、2、3、4，使得任何排列如例10图所示形状的4个方格中所填数的和都是10．分析：只需将图中的部分斜线上的1替换成4.[前铺]请在4×8方格表的每个方格内填人数1，2或3，使得任何排列如图所示形状的4个方格中所填数的和都是7．11121132113211321133232132113211分析，首先考虑一个横排，要使横排任意四个数包含3、2、1、1，那么每个横排上的数都应该以4为一个周期，将这样的一个横排向左错位一格作为它的下一排，向左错位两格作为它的下边第二排，……，那么在竖直方向，数表也将符合题目条件的性质.[巩固]在如左图6×6的方格网中填入1、2、3这三个数，使得用右图任意一种图形覆盖方格网，盖住的数和为12.分析：12=1+1+2+2+3+3，由例10得到灵感：将1、2、3如图排列后能保证符合条件211333222211111333333222221111333221[拓展]用一个九宫格盖住下边表中9个数，已知这个九宫格中间一个数是86，你能否用这被盖住的9个数构成一个幻方，使得每一横行，每一竖行还有对角线上三个数的相等.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 …………………………………………………………分析：表中对于任何一个数，它的左邻比它小1，右邻比它大1，上邻比它小9，下邻比他大9，由此可知，九宫格盖住的9个数分别为76、77、78、85、86、87、94、95、96，将它们填成幻方如图，86当然放在最中间.969594878685787776【例11】 如图表中所示的顺序，将正整数1、2、3、4、5……按顺序依次填入，求2007在第几行第几列？第一列 第二列 第三列 第四列……第一行 1 2 5 10 17 第二行 4 3 6 11 第三行 9 8 7 12 第四行 16 15 14 13 ……分析：按照填写顺序，所有的完全平方数都出现在数表的第一列，所有小于等于2n 的正整数数都能够组成一个边长为n 的正方形，442＜2007＜452，所以2007处在边长为45的正方形的边缘，边长为四十五的正方形边缘第一个数是442+1=1937，位于第一行、第四十五列，最后一个数是452=2025，位于第四十五行，第一列，所以第四十五行，第四十五列的数是（2025+1937）÷2=1981，2007＞1981，所以2007在第四十五行上，2025-2007=18，所以2007在第十九列上.[拓展]如图表中所示的顺序，将正整数1、2、3、4、5……按顺序依次填入，求2007在第几行第几列？第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第6列……第1行 1 2 6 7 15 16 第2行 3 5 8 14 17 第3行 4 9 13 18 第4行 10 12 19 第5行 11 20 第6行 21 ……分析：每当所填的数能表示成n n+12（）时（n 为正整数），所有已经填的数就构成一个直角边长为n 个数的直角三角形，n 为奇数时，2n （n+1）在第一行，n 为偶数时，n n+12（）在第一列，因为6262+12⨯（）＜2007＜6363+12⨯（），所以2007在边长为63个数的直角三角形的斜边上，6363+12⨯（）=2016位于第1行第63列，2016-2007=9，所以2007在第10行，第54列.【例12】 在有大小六个正方形的方框下左图中的圆圈内，填入1～9这九个自然数，使每一个正方形角上四个数字之和相等.分析：为了叙述方便，我们将各个圆圈内填入字母，如上右图所示.如果设每个正方形角上四个数字之和为S ，那么图中六个正方形可得到：a 1+a 2+b 1+b 2=S,a 2+b 2+a 3+b 3=S,b 1+b 2+c 1+b 2=S,a 2+b 3+b 2+b 1=S,b 2+b 2+b 3+c 3=S,a 1+a 3+c 3+c 1=S.将上面的六个等式相加可得到： 2（a 1+a 3+c 3+c 1）+3（a 2+b 3+b 2+b 1）+4b 2=6S.则4b 2＝S 4（a 1+a 3+c 3+c 1）+4（a 2+b 3+b 2+b 1）+4b 2=9S.于是有： 4（a 1+a 2+a 3+b 1+b 2+b 3+c 1+b 2+c 3）=4×45=9S. 9S=4×45 S=20.这就说明每个正方形角上四个数字之和为20. 所以：b 2=5. 从而得到：a 1+a 2+b 1=a 2+a 3+b 3=15， b 1+c 1+b 2=b 2+c 3+b 3=15.由上面两式可得：a 1+b 1=a 3+b 3,b 1+c 1=b 3+c 3. 如果a 2为奇数，则a 1+b 1和a 3+b 3均为偶数.①若a 1为奇数，a 3为偶数，则b 1为奇数，b 3为偶数.因为a 2+b 3+b 2+b 1=20，所以b 2为偶数，则c 1为偶数，c 3为奇数.但是a 1+a 2+5+b 1=20，而奇数1、3、5、7、9中含有5的任意四个奇数的和不等于20，有矛盾.②若a 1为偶数，a 3为偶数，则b 1也为偶数，b 3也为偶数.因为a 2+b 3+b 2+b 1=20，所以b 2为奇数，则c 1为偶数，c 3为偶数，但1～9中只有4个偶数，有矛盾.③若a 1为奇数，a 3为奇数，则b 1、b 3也为奇数，这样1～9中有六个奇数，有矛盾. ④若a 1为偶数，a 3为奇数，情况与①相同.综合上述，a 2必为偶数.由对称性易知：b 2、b 2、b 1也为偶数.因此a 1、a 3、c 3、c 1全为奇数. 这样，就比较容易找到此解.也可以这样想：因为1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，中心数用5试填后，余下40，那么大正方形、中正方形对角数字之和一定为10，比如：2+8=10、3+7=10、1+9=10、4+6=10.再利用小正方形调整一下，便可以凑出结果了.1. （例4）在图中的每个空格内填入一个数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都等于19．95．那么，标有*的格内所填的数是多少?分析：设中间的数为X ，可以此确定上边、右上角、右下角、左下角、左边、右边所填数的代数式，由于3X=19.95，X=6.65，最后得到，标有*的格内所填的数是11.12.*8.804.332. （例6）将自然数1至9分别填在如图所示的3×3方格表内，使得每行、每列及两条对角线上的数满足：两端的两个数之和减去中间的数，结果都等于5．分析：中间的数只能为5，这样才能保证有4组数对分别填写于方格四周，相对位置两数和相等并且比中心所填的数大5.9876432153. （例9）如图，有一个11位数，它的每3个相邻数字之和都是20．问标有*的那个数位上的数字应是几?分析：这个数的各个数位上的数字以3为周期循环出现，这个数为97497497497，标有*的那个数位上的数字应是7.7* 94.（例11）如图表中数的排列顺序，2007在第几行第几列？2007的下边是哪个数？第一列第二列第三列第四列第五行第一行 1 2 3 4第二行8 7 6 5第三行9 10 11 12第四行16 15 14 13……分析：各个自然数的列号以8为循环，行号每4个数加一行，2007=8×250+7，所以2007在第3列，第502行，它下边的数比2007大4，所以2007下边是2011.5.（例12）将1～8填入下图中的○内，要求按照自然数顺序相邻的两个数不能填入有直线段连接的相邻的两个○内.分析：因为中间两个○分别只与一个○不相邻，只能填1和8，其余数的填法见右上图.。
幻方课件
（2）现在我们把这些数 依次填进去
三阶幻方的幻和可以用9个数的和除以3； 那么四阶幻方的幻和也可以用16个数的和除以4
（3）现在来分析这个列表
幻和=34
1 5 9
第 一 对角线和=34 列 和
2 6
3 7
4 第一行和=10 少了24
8
第二行和=26
古代神龟 的故事
传说夏禹治水时洛河中出现了一只大乌龟，龟背 上有一张纵横图，又称“龟背图”古代数学史上经 常研究这一神话。 图案用数字表示就是将数1至9填在方格里，每一 行，每一列及两条对角线上三个数的和均为15。
8+5+2=15
1到9的数字都按照某个特殊规律排 列在小乌龟的背上
8+1+6=15 3+5+7=15 4+9+2=15 6+5+4=15 每行，每列，每条对 8+3+4=15 6+7+2=15 角线上的数字之和相 等都是15 1+5+9=15
它就是对称交换法
对 数字依次先排好, 上下中间交叉换,左右中间交叉换 ,其他地方不要变 比 以前 现在 一 1 2 3 4 1 15 14 4 下 12 6 了 7 8 7 9 5 6 ， 8 10 11 5 9 10 11 12 哪 13 3 2 16 些 13 14 15 16 数 1 2 3 4 位 你们能不能 置 告诉老师诀窍在哪里？ 5 6 7 8 有 原来只有8个数的位置进行了 9 10 11 12 变 调换，其他数不变。。。。 化
4个数和= 34 4个数和= 34 1.我先变个中心点 4个数和= 34 2.数字2和3与谁关于 4个数和= 34 中心点相对 3.数字5和9谁关于 中心点相对
四年级下册数学试题-奥数专题讲练：7 数表与幻方 提高篇(解析版)全国通用
第七讲 数表与幻方幻方问题千变万化，幻方的填法虽然单一，但包含的数学知识非常丰富.教师在讲授本讲时应该做到：1.使学生掌握三阶、四阶幻方基本图样与奇数阶幻方的填法；2.使学生掌握补填幻方的方法技巧；3.让学生了解和运用幻方的主要性质；数表一类的问题与幻方问题往往有结合和相近的内容，但数表问题更考验学生对数字规律的发现和运用能力.教师应当注意对学生这方面的培养.分析：563987421563987421幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的3×3的数阵称作三阶幻方，4×4的数阵称作四阶幻方，5×5的称作五阶幻方…… 如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样，三阶幻方的中心位置上的数等于所有所填数的平均数，也等于横行、竖列、对角线上数和的三分之一.解决数表类问题中，首先要找出数填写的规律，再从规律中找到数表的数量关系，从而找出解决问题的关键.专题精讲教学目标想 挑 战 吗？将1到9这9个数字填入3×3的正方形表格中，使表格中横、竖、对角线上三个数的和相等，并且相邻的两个数在图中位置也相邻，你知道怎么填吗？ 98765432114115106213169711548312（一）幻方[小故事]（教师导入）同学们是否知道我国古代有关“洛书”的神话传说？传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思.一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了.这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”.“洛书”就是幻和为15的三阶幻方.如下图：987653421【例1】3×3的正方形中，在每个格子里分别填入1～9的9个数字，要求每行每列对角线上的三个数的和相等，请给出至少一种填法分析：（方法一）第一步：求幻和：1+2+3+…+9=45第二步：求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，仔细观察可以发现：除了对角线外，第二行、第二列也分别经过中心数，那么，经过中心数的四条线段上的数字总和是幻和的4倍，即15×4=60，显然，在这个总和中，中心数用了四次，其余各数正好各用一次，所以中心数应是：（60-45）÷3=5第三步：确定四个角上的数：用尝试法，不难推知，四个角只能是奇数.第四步：用尝试法填一个基本解，以基本解为基础，可绕中心旋转与对调得到其它各解，共八解，如图为其中两解，其余请学生自己解决：（方法二）罗伯法：把1（或最小的数）放在第一行正中，按以下规律排列剩下的数：（1）每一个数放在前一个数的右上一格（2）如果这个数所要放的格已经超出了最顶行，那么就把它放在最底行，仍然要放在右一列（3）如果这个数所要放的格已经超出了最右列，那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行（4）如果这个数所要放的格已经填好了其它的数，或者同时超出了最顶行和最右列，那么就把它放在前一个数的下面，具体如下图：1213213421563421563742156387421563987421（方法三）对易法：先把1到9九个数字按顺序斜着排列，再把上下的数字1和9对调，左右的数字7和3对调，最后把4个不在边上也不在最中心的数字拉到角上，一个三阶幻方就形成了.563987421563987421563987421[说明]南宋数学家杨辉曾概括幻方为：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出.”这就是我们现在所学的对易法.[巩固]请你将2～10这九个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的三数之和相等.分析：第一步：求幻和：2+3+4+…+9+10=54第二步：求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，仔细观察可以发现：除了对角线外，第二行、第二列也分别经过中心数，那么，经过中心数的四条线段上的数字总和是幻和的4倍，即18×4=72，显然，在这个总和中，中心数用了四次，其余各数正好各用一次，所以中心数应是：（72-54）÷3=6第三步：确定四个角上的数：用尝试法，不难推知，四个角只能是奇数.第四步：用尝试法填一个基本解，以基本解为基础，可绕中心旋转与对调得到其它各解，共八解，如图：[小知识] 我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央.”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久，三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆.”【例2】请你将1～25这二十五个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的五数之和相等.[亮点设计]（1）提问：三阶幻方的我们可以通过算的方法填出，五阶的呢？算算看，累死.七阶呢？更累死.同学们想不想在一分钟之内写出五阶幻方呢？看老师的：（2）示范：边写边说口诀：“一居上行正中央，后数依次右上连.上出框时往下填，右出框时往左填.排重便在下格填，右上排重一个样”.见第二个图.这是法国人罗伯特总结出的“罗伯法”，它对于构造连续自然数幻方是最简单易行的.（3）练习：写个七阶的看看（大家一起来练）注意强调细节.上出框与右出框的处理有时不容易把握，老师隆重推荐大家一种方法——“卷纸筒”，即把上下边重合在一线，则上出框后往右上填的位置正好在下边的对应点上.强调这种方法适用于任意奇数阶幻方.（4）亮化：大家现在感到是不是很好玩？美国的有个小孩子写出了105阶的幻方，被记在一本数学课本上.我们现在知道，这里的方法其实不算难吧？其实我们也不妨跟美国小朋友PK一下，来构造一个比较大的幻方，也可以是或者就是做一份数学作品，跟书法作品一样装裱得非常漂亮地挂在你家客厅的墙上，客人到你家作客时，一看是一头雾水，你就简单地问一问他，横行的所有数之和是多少？所有横行的每个和怎么样呢？都相等吧？竖列所有数之和是多少？跟横行的和相等吧！还有，看看两条对角线上，每条对角线上所有数之和呢？轻轻而清晰地告诉他，这就是57阶幻方或者**阶幻方！厉害吧，这就是奥数研究生的作品.（研究奥数的学生简称奥数研究生嘛）当然，别忘了，十几阶的奇数幻方奖一个章，二十几阶的奖励三个章，三十几阶的奖励五个章，四十几阶的奖励七个章，如果六十几阶应该奖励几个章呢？【例3】用11，13，15，17，19，21，23，25，27编制成一个三阶幻方.分析：给出的九个数形成一个等差数列，1～9也是一个等差数列.不难发现：中间方格里的数字应填等差数列的第五个数，即应填19；填在四个角上方格中的数是位于偶数项的数，即13，17，21，25，而且对角两数的和相等，即13＋25=17＋21；余下各数就不难填写了（见下图）.与幻方相反的问题是反幻方.将九个数填入3×3（三行三列）的九个方格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和互不相同，这样填好后的图称为三阶反幻方.[巩固]请编出一个三阶幻方，使其幻和为24.分析：（1）根据题意，要求其三阶幻方的幻和为24，所以中心数为24÷3=8.（2）既然8是中心数，那么与8在一条直线的各个组的其余两数的和为16，想一想哪两个数相加为16呢？1+15=16 2+14=16 3+13=16 4+12=16 5+11=16 6+10=16 7+9=16（3）按上述条件进行估算后填出，然后再进行调整即可得正确的答案.【例4】将九个数填入左下图的九个空格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都等于定数k，则中心方格中的数必为k÷3证明：因为每行的三数之和都等于k，共有三行，所以九个数之和等于3k.如右上图所示，经过中心方格的有四条虚线，每条虚线上的三个数之和都等于k，四条虚线上的所有数之和等于4k，其中只有中心方格中的数是“重叠数”，九个数各被计算一次后，它又被重复计算了三次.所以有：九数之和+中心方格中的数×3=4k，3k+中心方格中的数×3=4k，中心方格的数=k÷3注意：例题中对九个数及定数k都没有特殊要求.这个结论对求解3×3方格中的数阵问题很实用. [拓展]如图是一个三阶幻方，那么标有*的方格中所填的数是多少?110 8*分析：首先确定左下角的数为17，这样才能保证第一行和第一列的和相等，如此可以得出，这个三阶幻方中围绕中心的相对位置上的两个数和为17+10=27，接着确定底边和右边上的数，通过设左上角标有*的方格中所填的数未知数为X，列式为（18+x）÷3+27=18+x，最后求出标有*的方格中所填的数为22.5.【例5】在3×3的方格中，如果要求填入九个互不相同的质数，要求任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都相等，那么这样填好的图称为三阶质数幻方.求任一列、任一行以及两条对角线上的三个数之和都等于267的三阶质数幻方.分析：由中间方格中的数为267÷3＝89.由于在两条对角线、中间一行及中间一列这四组数中，每组的三个数中都有89，所以每组的其余两数之和必为267-89＝178.两个质数之和为178的共有六组：5+173＝11＋167＝29＋149＝41＋137＝47+131＝71+107.经试验，可得右图所示的三阶质数幻方.【例6】在九宫图中，第一行第三列的位置上填5，第二行第一列位置上填6，如下图.请你在其他方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和均为27.分析：为了叙述方便，我们将其余方格用字母表示，如上右图所示.根据题意可知：A+B+5＝27 （1）5+C+E＝27 （2）5+D+G＝27 （3）6+C+D=27 （4）A+6+E＝27 （5）A+C+G＝27 （6）B+C+F＝27 （7）E+F+G＝27 （8）由（2）+（4）+（6）-（3）-（5）得知：3C＝27 C=9.将C＝9代入（4），D＝12代入（2），则E=13.将D=12代入（3），则G=10.将E=13代入（5），则A＝8.将A=8代入（1），则B=14.将B=14、C=9代入（7），则F=4.由分析可知，中心方格必须填数字9，其他方格中也只有一种填法.见右上图.[拓展]如图所示，在3×3方格表内已填好了两个数19和95，在其余的空格中填上适当的数，可以使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等．(1)求x；(2)如果中间的空格内填入100，试在上一小题的基础上，完成填图．x1995100951918124171291761051009519分析：（1）设中间的数为Y，则各行各列的和为3Y，求出各个方格中每个数的代数式，左上角为Y-X+95,右上角为2Y-95,右下角为：Y+X-95,最下面一行中间的数为：2Y-X，根据每行每列的和相等，最左面的一列等于最右面的一列，可列出方程：X+3Y-190+19=3Y-X+190-19,解得X=171.（由此引出三阶幻方性质：角上的数等于不相邻边上数的平均数）（2）根据（1）所得的每个方格中的代数式可得右上图.【例7】将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字，分别填入3×3阵列中的九个方格，使第二行组成的三位数是第一行组成的三位数的2倍，第三行组成的三位数是第一行组成的三位数的3倍.分析：这一例题较复杂些，但如果我们充分利用题目的要求和1至9这九个数的特性（五奇四偶），那么也能缩小每格中所应填的数的范围，直至完全确定每格中应填的数.为了方便起见，把九个格中的数字用A至I这九个英文字母代替.这样，例如C=2，则F=4，I=6.因而其余六格应包含全部奇数（1、3、5、7、9）和偶数8，由于DEF=2×ABC，GHI=3×ABC，所以GHI=ABC+DEF,因此又可把3×3方格中的数看作一个加式：前两行之和等于第三行.这对于我们用奇偶性去分析加式成立的可能性是有用的.由于个位上的加法没有进位，因此十位上的三个数字不能都为奇数（否则将出现奇数+奇数=奇数的矛盾等式），即8一定是其中的一个十位数字，显然B≠8（否则E=6，与I=6矛盾）.又H≠8（否则，B≤8/3，只有B=1.而当B=1时，H至多为5）.因此E=8，这样，B＝9，H=7.最后，由于A＜D＜G必有A=1，D=3，G=5.由于192×2=384，192×3=576，所以所填的数满足题目要求.又如，C=4，则F=8，I=2.个位上的加式向十位进1，因此十位上的三个数字都是奇数，因此6是一个百位数字.显然A≠6.如果D=6，则必有A=3，G=9.而B、E、H是1、5、7这三个数，要满足B+E+1=H，只能B=1，E=5，H=7或B=5，E=1，H=7.由于314×2≠658，354×2≠618，所以此时不满足题目要求.如果G=6，显然A＜3，此时只有A=1，但当A=1时，G＜（1+1）×3=6.因而当C=4时，不可能有满足题目要求的填法.其他的情形可以类似地加以讨论，分别给出肯定的或否定的结论.由分析，下左图是一种符合要求的填法.由于作为一个加法算式（上两行的和等于第三行），上图只是在十位上的加式向百位进了1，其他两个数位上都没有进位，因此把它的个位移到百位的位置上加式仍然成立，所以上右图也是一种符合要求的填法.还有两种符合要求的填法，希望同学们利用分析中的方法把它们找出来.[拓展]将自然数1至9分别填在如下图所示的3×3方格表内，使得每行、每列及两条对角线上的数满足：两端的两个数之和减去中间的数，结果都等于5．分析：中间的数只能为5，这样才能保证有4组数对分别填写于方格四周，相对位置两数和相等并且比中心所填的数大5.987643215【例8】已知如图是一个四阶幻方，那么标有*的方格中所填的数是多少?分析：对角线上的和为34，由此可以确定第四行第三列的数为2，右下角的数为13，于是便可以确定标有*的方格中所填的数为6.（二）数表【例9】 如图，横、竖各有12个方格，每个方格内都有一个数．已知横行上任意3个相邻数之和为20，竖列上任意3个相邻数之和为2l ，并且其中4个方格内的数分别是3，5，8和x ．那么x 所代表的数是多少?分析：先分析竖直方向的数字出现规律，都是以3为周期循环出现相同数字，求得交叉点上数字为10，同理可求得x=5.[前铺]如图，有一个11位数，它的每3个相邻数字之和都是20．问标有*的那个数位上的数字应是几?分析：由“它的每3个相邻数字之和都是20”，可知这个数的各个数位上的数字以3为周期循环出现，11=2+3×3，所以第二个数等于第十一个数7，第三个数为：20-9-7=4，所以这个数为97497497497，标有*的那个数位上的数字应是7.7*9[拓展]如下图，在方格中填入一些数以后使得无论横行、竖行相邻三个数的和都为20，那么“*”所代表的数是多少？分析：设左上角方格中的数为x ，那么左上角的数为14-x ，左下角方格中的83x 53811165*49712*268数为12-x，由此还能求到右下角的数为6+x，“*”所代表的数为20-（14-x）-（6+x）=0.【例10】请在4×8方格表的每个方格内填入数1，2或3，使得任何排列如图所示形状的4个方格中所填数的和都是7．11121132113211321133232132113211分析：首先考虑一个横排，要使横排任意四个数包含3、2、1、1，那么每个横排上的数都应该以4为一个周期，将这样的一个横排向左错位一格作为它的下一排，向左错位两格作为它的下边第二排，……，那么在竖直方向，数表也将符合题目条件的性质.[拓展]请在4×8方格表的每个方格内填入数1，2或3，使得任何排列如图所示形状的4个方格中所填数的和都是7．11121132113211321133232132113211分析：这个图形如图打上斜线，那么这四个格子都在不同的斜线上，将4×8的方格网也打上斜线，填数的时候，只要保证同一条斜线上的数相同，并且从最上边的斜线向下，线上对应的数以4为周期依次出现两个1，一个2，一个3.【例11】如图表中所示的顺序，将正整数1、2、3、4、5……按顺序依次填入，求2007在第几行第几列？第一列第二列第三列第四列……第一行 1 2 5 10 17第二行 4 3 6 11第三行9 8 7 12第四行16 15 14 13……分析：按照填写顺序，所有的完全平方数都出现在数表的第一列，所有小于等于2n 的正整数数都能够组成一个边长为n 的正方形，442＜2007＜452，所以2007处在边长为45的正方形的边缘，边长为四十五的正方形边缘第一个数是442+1=1937，位于第一行、第四十五列，最后一个数是452=2025，位于第四十五行，第一列，所以第四十五行，第四十五列的数是（2025+1937）÷2=1981，2007＞1981，所以2007在第四十五行上，2025-2007=18，所以2007在第十九列上.[前铺]如图表中数的排列顺序，2007在第几行第几列？2007的下边是哪个数？分析：各个自然数的列号以8为循环，行号每4个数加一行，2007=8×250+7，所以2007在第3列，第502行，它下边的数比2007大4，所以2007下边是2011.【例12】 将1～8填入右图中的○内，要求按照自然数顺序相邻的两个数不能填入有直线段连接的相邻的两个○内.分析：因为中间两个○分别只与一个○不相邻，只能填1和8，其余数的填法见右上图.[巩固]教师可以向同学们补充此题，本质和上题是一样的，教师可以用些脑筋借助此题增添自身魅力： 将1～8填入右图的八个空格，使得横、竖、对角任何两个相邻空格中的数不是连续数.答案：第一列第二列 第三列 第四列 第五行 第一行 1 2 3 4 第二行 8 7 6 5 第三行 9 10 11 12 第四行 16 15 14 13 ……[拓展]在有大小六个正方形的方框下左图中的圆圈内，填入1～9这九个自然数，使每一个正方形角上四个数字之和相等.a1+a2+b1+b2=S,a2+b2+a3+b3=S,b1+b2+c1+b2=S,a2+b3+b2+b1=S,b2+b2+b3+c3=S,a1+a3+c3+c1=S.将上面的六个等式相加可得到：2（a1+a3+c3+c1）+3（a2+b3+b2+b1）+4b2=6S.则4b2＝S4（a1+a3+c3+c1）+4（a2+b3+b2+b1）+4b2=9S.于是有：4（a1+a2+a3+b1+b2+b3+c1+b2+c3）=4×45=9S. 9S=4×45 S=20.这就说明每个正方形角上四个数字之和为20. 所以：b2=5. 从而得到：a1+a2+b1=a2+a3+b3=15，b1+c1+b2=b2+c3+b3=15.由上面两式可得：a1+b1=a3+b3,b1+c1=b3+c3.如果a2为奇数，则a1+b1和a3+b3均为偶数.①若a1为奇数，a3为偶数，则b1为奇数，b3为偶数.因为a2+b3+b2+b1=20，所以b2为偶数，则c1为偶数，c3为奇数.但是a1+a2+5+b1=20，而奇数1、3、5、7、9中含有5的任意四个奇数的和不等于20，有矛盾.②若a1为偶数，a3为偶数，则b1也为偶数，b3也为偶数.因为a2+b3+b2+b1=20，所以b2为奇数，则c1为偶数，c3为偶数，但1～9中只有4个偶数，有矛盾.③若a1为奇数，a3为奇数，则b1、b3也为奇数，这样1～9中有六个奇数，有矛盾.④若a1为偶数，a3为奇数，情况与①相同.综合上述，a2必为偶数.由对称性易知：b2、b2、b1也为偶数.因此a1、a3、c3、c1全为奇数..这样，就比较容易找到此解专题展望幻方、数表类题目虽然变化不多，但这一类题目与数学很多分支包括：组合数学、数论等都有结合，今后同学们接触到更多的数学知识后会对幻方有更深入的了解.1.（例1）将九个连续自然数填入3行3列的九个空格中，使每一横行及每一竖列的三个数之和都等于60.分析：在三阶幻方的基础上每个数增加15即可.2.（例3）用1，3，5，7，9，11，13，15，17编制成一个三阶幻方.分析：给出的九个数形成一个等差数列，1～9也是一个等差数列.不难发现：中间方格里的数字应填等差数列的第五个数，即应填9；填在四个角上方格中的数是位于偶数项的数，即3，7，11，15，而且对角两数的和相等，即3＋15=7＋11；余下各数就不难填写了（见下图）.17151311539713.（例6）在图中的每个空格内填入一个数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都等于19．95．那么，标有*的格内所填的数是多少?分析：设中间的数为X，可以此确定上边、右上角、右下角、左下角、左边、右边所填数的代数式，由于3X=19.95，X=6.65，最后得到，标有*的格内所填的数是11.12.*8.804.334.（例10）在如左图6×6的方格网中填入1、2、3这三个数，使得用右图任意一种图形覆盖方格网，盖住的数和为12.练习七分析：12=1+1+2+2+3+3，将1、2、3如图排列后能保证符合条件2113332222111113333332222211113332215. （例12）将1～10这十个自然数分别填入下左图中的10个圆圈内，使五边形每条边上的三数之和都相等，并使值尽可能大.分析： 1+2+…+9+10=55，5个角上的数都被加了两遍，设5个角上数的和为k ，所以和为：（55+5k ）÷5=11+k ，要想和最大k 取最大值，为6+7+8+9+10，则五个角上的数可定，如右上图.许多名人喜欢用数学比喻，往往出语幽默、诙谐，好比深山闻钟，使人记忆久远.古希腊哲学家芝诺号称"悖论之父"，他有四个数学悖论一直传到今天.他曾讲过一句名言："大圆圈比小圆圈掌握的知识要多一点，但因为大圆圈的圆周比小圆圈的长，所以它与外界空白的接触面也就比小圆圈大，因此更感到知识的不足，需要努力去学习".人民教育家陶行知先生曾经说，他有八位好朋友做帮手，使他少犯错误，甚至可以不犯错误.他编了一首歌，读起来非常动听：我有八位好朋友，肯把万事指嘉摇?你若想问真姓名，名字不同都姓何. 何事、何故、何人、何如、何时、何来、何去，好像弟弟与哥哥.还有一个西洋派，姓名颠倒叫几何.若向八贤常请教，虽是笨人少错误. 美国作家杰克·伦敦成名后，曾收到过一位女士的求爱信；"你有一个出众的名声，我有一个高贵的地位.这两者加起来，再乘上万能的黄金，足以使我们建立起一个天堂都不能比拟的美满家庭."杰克·伦敦连忙回信，他答得很妙："根据你列出的那道爱情公式，我看还要开平方！不过这个平方根却是负数".古希腊哲学家芝诺对他的学生说：“如果用 小圆代表你们学到的知识，用大圆代表我学到的 知识，那么大圆的面积大一点；但两圆之外的空 白，都是我们的无知面，圆越大其圆周接触的无 知面就越多.”毛泽东曾经批评个人主义严重的人说：“有 的人总是数学知识以‘我'为‘圆心'、‘个人主义'为‘半径'，在这个圆圈里转来转去，总是不能跳出这个圆圈.”。
四年级计算幻方与数表教师版
一、引言（100字）在四年级数学教学中，计算幻方和数表是重要的内容之一，它们对于学生的数学思维能力和计算能力的培养有着积极的影响。
本文将从教师的角度出发，详细介绍如何教授计算幻方和数表，并提供相应的教学案例。
二、计算幻方的教学（400字）计算幻方是指将自然数按照一定规律填充到一个格子中，使得每行、每列以及对角线上的数字之和都相等。
教学计算幻方可以培养学生的观察力、逻辑思考能力和计算能力。
1.引入概念：通过举例子，让学生感受到满足条件的幻方的特点，引发学生对计算幻方的兴趣。
2.规律总结：让学生思考填入格子的规律，从而总结出计算幻方的方法。
强调每行、每列和对角线上的数字之和都是多少，然后通过一步步推导，逐渐解决问题。
3.练习与巩固：通过大量的练习，让学生熟练掌握计算幻方的解题方法。
可设计不同难度的题目，逐步提高学生的解题能力。
4.拓展应用：引导学生用计算幻方的方法去解决实际问题，让学生意识到计算幻方的重要性和实际应用价值。
三、数表的教学（400字）数表在四年级的数学教学中是一个必须掌握的基本概念，可以培养学生的数值运算能力、观察力和逻辑思维能力。
1.引入概念：通过举例子，让学生感受到数表的特点和用处，引发学生对数表的兴趣。
2.规律总结：让学生思考数表的排列规律，从而总结出数表的整体关系。
通过观察和思考，引导学生找出数表的规律和特点。
3.练习与巩固：设计不同难度的题目，让学生通过填充数表的空缺，练习数值运算和逻辑思考能力。
可以采用小组竞赛的形式，增加学生的参与度和学习兴趣。
4.拓展应用：引导学生将数表的思维运用到实际问题中，解决实际生活中的数值运算问题。
通过实践，让学生意识到数表在数学中的重要性和应用价值。
四、教学案例（300字）1.计算幻方教学案例：教师可以从一个简单的3×3幻方开始教学。
首先，教师通过填写示例幻方来让学生感受每行、每列和对角线上数字之和相等的特点，然后与学生一起总结规律。
第11讲简单的幻方及其他数阵图
第十一讲简单的幻方及其他数阵图有关幻方问题的研究在我国已流传了两千多年，它是具有独特形式的填数字问题.宋朝的杨辉将幻方命名为“纵横图.”并探索出一些解答幻方问题的方法.随着历史的进展，许多人对幻方做了进一步的研究，创造了许多绚丽多彩的幻方.据传说在夏禹时代，洛水中出现过一只神龟，背上有图有文，后人称它为“洛书”.洛书所表示的幻方是在3×3的方格子里（即三行三列），按一定的要求填上1～9这九个数，使每行、每列、及二条对角线上各自三数之和均相等，这样的3×3的数阵阵列称为三阶幻方.一般地说，在n×n（n行n列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上n2个连续的自然数（一般从1开始，也可不从1开始）每个数占一格，并使排在任一行、任一列和两条对角线上的n个自然数的和都相等，这样的数表叫做n阶幻方.这个和叫做幻和，n叫做阶.杨辉在《续古摘奇算法》中，总结洛书幻方构造方法时写到：“九子排列，上、下对易，左右相更，四维挺出.”现用下图对这四句话进行解释.九子排列上、下对易左右相更四维挺出怎样构造幻方呢？一般方法是先求幻和，再求中间位置的数，最后根据奇、偶情况试填其他方格内的数.下面我们就来介绍一些简单的幻方.例1 将1～9这九个数，填入下左图中的方格中，使每行、每列、两条对角线上三个数字的和都相等.分析为了便于叙述，先用字母表示图中要填写的数字.如上右图所示.解答这个题目，可以分三步解决：①先求出每行、每列三个数的和是多少？②再求中间位置的数是多少？此题是求E=？③最后试填其他方格里的数.∵A+B+C+D+E+F+G+H+I=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45.∴A+B+C=D+E+F=G+H+I=15.∴B+E+H=A+E+I=C+E+G=15.∴A+B+C+D+E+F+G+H+I+3E=（A+E+I）（B+E+H）+（C+E+G）+（D+E+F）=15X4.45+3E=603E=15E=5.这样，正中央格中的数一定是5.由于在同一条直线的三个数之和是15，因此若某格中的数是奇数，那么与这个数在同一条直线上的另两个数的奇偶性相同.因此，四个角上的数A、C、G、I必为偶数.（否则，若A为奇数，则I为奇数.此时若B为奇数，则其余所有格亦为奇数；若B为偶数，则其余所有格亦为偶数.无论哪种情形，都与1至9中有5个奇数，4个偶数这一事实矛盾.）因此，B、D、F、H为奇数.我们不妨认为A=2（否则，可把3×3方格绕中心块旋转即能做到这一点）.此时I=8.此时有两种选择：C=4或G=4.因而，G=6或C=6.其他格的数随之而定.因此，如果把经过中心块旋转而能完全重合的两种填数法视作一种的话，一共只有两种不同的填数法：A=2，C=4或A=Z，G=4（2，4被确定位置后，其他数的位置随之而定）.解：按照上面的分析，我们可以得到两个解（还有另外6个可以由这两个解经过绕中心块旋转而得到，请大家自己完成）.例2 在右图中的A、B、C、D处填上适当的数，使右图成为一个三阶幻方.分析与解答①从1行和3列得：A+12+D=D+20+11A+12=20+11A=19.②观察对角线上的三个数的总和，实际上它即为每行、每列的三个数的和.对角线上的三个数的和：A+15+11=19+15+11=45.③B=45-（16+19）=10.④D=45-（20+11）=14.⑤C=45-（16+11）=18.∴ A=19、B=10、C=18、D=14.例3 将右图中的数重新排列，使得横行、竖行、对角线上的三个数的和都相等.分析已知题目中只给了3个数，22、30、38，而每个数都有3个.很显然，横行、竖行、对角线上的三个数的和是：22+30+38=90.以A、B、C记这三个数.如果使得每行、每列（先不要求对角线）都各有一个A、B、C（容易知道，要满足题目要求，必须做到这一点），那么各行、各列的和都为A+B+C=90.而这只有如下图所示的两种类型的排列方式.其中第一图中由于A+A+A=90，因此必须A=30；第二图中C+C+C=90，所以C=30.其余各行、各列以及另一对角线上的三数之和都为A+B+C=90.在第一图中B，C可在22、38中任取；第二图中A、B可在22、38中任取.因此共有4种不同的重新排列法.解：由分析可知，右图所示为4种不同的重新排列方法中的一种.例4将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字，分别填入3×3阵列中的九个方格，使第二行组成的三位数是第一行组成的三位数的2倍，第三行组成的三位数是第一行组成的三位数的3倍.分析这一例题比前三个例题要复杂些，但如果我们充分利用题目的要求和1至9这九个数的特性（五奇四偶），那么也能缩小每格中所应填的数的范围，直至完全确定每格中应填的数.为了方便起见，把九个格中的数字用A至I这九个英文字母代替.这样，例如C=2，则F=4，I=6.因而其余六格应个加式：前两行之和等于第三行.这对于我们用奇偶性去分析加式成立的可能性是有用的.由于个位上的加法没有进位，因此十位上的三个数字不能都为奇数（否则将出现奇数+奇数=奇数的矛盾等式），即8一定是其中的一个十位数字，显然B≠8（否则E=6，与I=6矛盾）.又H≠8（否则，B≤8/3，只有B=1.而当B=1时，H至多为5）.因此E=8，这样，B＝9，H=7.最后，由于A＜D＜G必有A=1，D=3，G=5.由于192×2=384，192×3=576，所以所填的数满足题目要求.又如，C=4，则F=8，1=2.个位上的加式向十位进1，因此十位上的三个数字都是奇数，因此6是一个百位数字.显然A≠6.如果D=6，则必有A=3，G=9.而B、E、H是1、5、7这三个数，要满足B+E+1=H，只能B=1，E=5，H=7或B=5，E=1，H=7.由于314×2≠658，354×2≠618，所以此时不满足题目要求.如果G=6，显然A＜3，此时只有A=1，但当A=1时，G＜（1+1）×3=6.因而当C=4时，不可能有满足题目要求的填法.其他的情形可以类似地加以讨论，分别给出肯定的或否定的结论.解：由分析，下左图是一种符合要求的填法.由于作为一个加法算式（上两行的和等于第三行），上图只是在十位上的加式向百位进了1，其他两个数位上都没有进位，因此把它的个位移到百位的位置上加式仍然成立，所以上右图也是一种符合要求的填法.还有两种符合要求的填法，希望同学们利用分析中的方法把它们找出来.例5在九宫图中，第一行第三列的位置上填5，第二行第一列位置上填6，如下左图.请你在其他方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和均为27.分析为了叙述方便，我们将其余方格用字母表示，如上右图所示.根据题意可知：A+B+5＝27 （1）5+C+E＝27 （2）5+D+G＝27 （3）6+C+D=27 （4）A+6+E＝27 （5）A+C+G＝27 （6）B+C+F＝27 （7）E+F+G＝27 （8）由（2）+（4）+（6）-（3）-（5）得知：3C＝27 C=9.将C＝9代入（4），D＝12代入（2），则E=13.将D=12代入（3），则G=10.将E=13代入（5），则A＝8.将A=8代入（1），则B=14.将B=14、C=9代入（7），则F=4.解：由分析可知，中心方格必须填数字9，其他方格中也只有一种填法.见右图.例6 请编出一个三阶幻方，使其幻和为24.分析①根据题意，要求其三阶幻方的幻和为24，所以中心数为24÷3=8.②既然8是中心数，那么与8在一条直线的各个组的其余两数的和为16，想一想哪两个数相加为16呢？1+15=16 2+14=26 3+13=164+12=16 5+11=16 6+10=167+9=16③按上述条件进行估算后填出，然后再进行调整即可得正确的答案.九个数字分别填在右图的圆内，使每一横行、每一竖行、两对角线中三个数的和都相等.分析解答这类问题，要想办法化难为易，从中找到解答的方法.①由于分数求和较繁，如果找到上述九个分数分母的最小公倍，将分数扩大后转成整数，问题就易于解决.[2，3，4，6，12]=12，将九个分数分别扩大12倍，得到6、4、3、2、8、9、1、5、7.而3×3的幻方是熟知的.如右图所示：②将上图的每个数除以12就是所求.解：例8如下图的3×3的阵列中填入了l～9的自然数，构成大家熟知的3阶幻方.现在另有一个3×3的阵列，请选择9个不同自然数填人9个方格中，使得其中最大者为20，最小者大于5，且要求横加、竖加、对角线方式相加的3个数之和都相等.分析①观察原表中的各数是从1～9不同的九个自然数，其中最大的数是9，最小的数是1，且横加、竖加、对角线方式相加结果相等.②根据题意，要求新制的幻方最大数为20，而9+11=20，因此，如果原表中的各数都增加11，就能符合新表中的条件了.解：例9将1～9这九个数字分别填入下图中两分图中的空格内（其中1和5已填好，使得前两行构成的两个三位数之和等于第三行构成的三位数，并且当每格看成单独一个数时相邻（上、下或左、右）的两格内的数的奇、偶性不同.分析由题设条件（即把3×3阵列看成三位数的加式以及奇偶性的分布）可知，上图（1）中个位上的加式必向十位上进1位（因为偶数+奇数≠偶数），而十位未向百位进位.因此，第三行第三列的奇数小于5，不等于1，必为3，进而第一列第一行和第三行的数分别为7和9.接着可把其余四格中的偶数相继确定.解：从对上图（1）的分析可得解如下图（1）.对上图（2）进行类似的分析，可得解如下图（2）.习题十一1.在下图两分图的空格中填入不大于15且互不相同的自然数（其中已填好一个数），使每一横行、竖列和对角线上的三数之和都等于30.2.将九个连续自然数填入3行3列的九个空格中，使每一横行及每一竖列的三个数之和都等于60.3.将从1开始的九个连续奇数填入3行3列的九个空格中，使每一横行、每一竖列及两条对角线上的三个数之和都相等.习题十一的解答在这里1.提示：首先找出中心数为10，然后设某一个空格数为x，根据横行、竖列、对角线的和都等于30，填上其余各数（含x）再由各数互不相同，且不大于15确定各数.2.提示：在三阶幻方的基础上每个数增加15即可.3.提示：与三阶幻方类似.。
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幻方与数表
第六级上认识数阵图
⑴放射型数阵图；⑵掌握三种类型数阵图的填法。
第七级下幻方与数表
⑴认识幻方及其中心数，幻和等一些性质；⑵掌握准确构造或填补幻方的方法与技巧；⑶
掌握数表填补的方法和技巧。
第八级上数列与数表综合㈠
⑴系统巩固与数列数表有关的思路方法；⑵会求解综合性的数表问题；⑶熟练掌握周期法在数表问题中的运用；⑷初步掌握递推方法在数列与数表中的运用。
左边这个戴眼镜的男生叫铮铮，右边这个胖胖的男生叫昊昊。
他们两个是很好的朋友，但是两个人的性格可是大不相同。
铮铮学习好，喜欢看书，也因此早早就戴上了眼镜。
铮铮的绝招就是可以模仿柯南制造眼镜闪光纪录是连续眼镜闪光200次，闪晕同班17名同学！昊昊很喜欢吃东西，别看他胖胖的，却很喜欢运动。
昊昊也有一个很大的缺点，就是粗心大意。
昊昊也曾经创下出家门以后连续9次回家去取落下的东西的纪录！
他先后把铅笔盒、笔记本、作业、书包、饭盒…忘在家里。
看了这些介绍，同学们是不是很想知道在铮铮和昊昊身上都发生过什么事情呢？下一讲里，我们将继续介绍他们的一个好朋友。
关于他们的故事，以后还多着呢！
上面这个女孩名字叫做包包，至于为什么叫做包包不是因为她可爱，而是因为她的头上“长
了”两个包，虽然是一个非常聪明乖巧的女孩，偶尔也会做一些意义不明的事情，比如她曾经偷拿了老师的印章往自己身上狂盖…作为一名很有主见的女生，包包人生中的一大乐趣就是和铮铮斗嘴，和铮铮昊昊不同，包包是一个非常非常“正常”的人。
将20以内除数1以外的所有奇数编成一个3阶幻方。
请将2009，2010，2011，2012，2013，2014，2015，2016，2017这9个自然数填入图中的空格内，使每行、每列、两条对角线上的3个数之和相等。
(只要构造出一种)
(2007年春武汉明心奥数挑战赛五年级)在如图所示的魔方空格中填入5个数字，使魔方的每
一行、每一列、两 条对角线上的数字之和都相等。
请问这5个数字之和是_____。
(2007年12月第九届“中环杯”小学生思维能力训练活动四年级初赛)如图，要在下面的空格中填入适当的数，使每行、每列及对角线的3个数之和都相等，问号处应填入的数。
要求写出关键的解题推理过程。
例4
例3
例2
例1
例5
在下面3×3的表格中，填入7个不同自然数，使得对于表格中每行、每列、两条对角线上的3个数之和等于21。
例6
(2008年第十二届香港保良局小学数学世界邀请赛队际赛)如图，11个方格内分别各填入一个数，使得任何连续三个方格内所填的数之和为21。
已知第一个方格内所填的数为7，第九个方格内所填的数为6(方格由左向右数起)。
请问第2个方格内所填的数是什么？
测试题
1．将5，10，15，20，25，30，35，40，45这九个数分别填入下图，使每一行、每一列、两条对角线上三个数的和相等。
2．(2008年第十七届日本小学算术奥林匹克大赛初小组预赛)在55
⨯的方格表中放置16枚地雷，每个格子最多1枚地雷；使得在没有地雷的格子中标上数(这个数表示它周围格子中地雷的数量)时，恰好是0~8这九个数，例如图1就是满足要求；在图2中，已知其中一个格子填的数是3，请你将地雷和其它数都填出来。
3．(2008年3月第九届“中环杯”小学生思维能力训练活动六年级决赛)如图所示，9个小正方形内各填入一个有理数，使每行每列以及两条对角线上的三个有理数的和相等。
现在29和76两个数已给出，那么x=( )。
4．请编出一个三阶幻方，使其幻和为24。
答案
1．【解析】
答案如图所示。
2．【解析】
设i j R C 表示第i 行、第j 列方格中的数或地雷(,1i j =，2，3，4，5)25个格子中放入9
个数，16个地雷。
先考虑数0所在的位置。
数0周围都是数。
假设120R C =；1113212223R C R C R C R C R C =====数；所以，110R C =；矛盾；所以，假设120R C =不成立；所以，120R C ≠；同理，140R C ≠，210R C ≠，250R C ≠，410R C ≠，450R C ≠，520R C ≠，540
R C ≠。
假设220R C =；1112132123313233R C R C R C R C R C R C R C R C ========数； 所以，1112210R C R C R C ===；矛盾；所以，假设220R C =不成立；所以，220R C ≠；同理，240R C ≠，420R C ≠，440R C ≠。
假设230R C =；1213142224323334R C R C R C R C R C R C R C R C ========数；
所以，130R C =；矛盾；所以，假设230R C =不成立；所以，230R C ≠；同理，320R C ≠，340R C ≠，430R C ≠。
假设330R C =；2223243234424344R C R C R C R C R C R C R C R C ========数；所以，23R C ≤3，32R C ≤3，34R C ≤3，43R C ≤3；不存在4个小于等于3的正整数；矛盾；所以，22R C ≤5，23R C ≤3，24R C ≤5，32R C ≤3，34R C ≤3，42R C ≤5，43R C ≤3，44R C ≤5
；不存在8个小于等于5的正整数；矛盾；
所以，假设330R C =不成立；所以，330R C ≠。
假设130R C =；1214222324R C R C R C R C R C =====数；
所以，12R C ≤2，14R C ≤2，22R C ≤5，23R C ≤3，24R C ≤5；假设121R C =，则142R C =，
233R C =，245R C =，224R C =；当21R C =地雷时，111R C =，矛盾；当11R C =地雷时，
213R C =，矛盾；
所以，假设121R C =不成立；所以，121R C ≠；同理，521R C ≠；所以，130R C ≠；同理，310R C ≠，350R C ≠，530R C ≠。
所以，110R C =或150R C =或510R C =或550R C =。
令110R C =；12R C ≤2，21R C ≤2， 223R C =或4。
再考虑数8所在的位置。
数8周围都地
雷，且数8不能在角或边上。
假设448R C =；假设121R C =；则212R C =，224R C =；当427R C =时，414R C =或512R C =或524R C =；矛盾；所以，427R C ≠；
当247R C =时，426R C =；413R C =，523R C =或512R C =；矛盾；所以，247R C ≠； 所以，121R C ≠；同理，211R C ≠；所以，338R C ≠。
假设438R C =；则只能247R C =；数6没有填写的地方；所以，438R C ≠；同理，348R C ≠。
所以，428R C =或248R C =。
令428R C =。
假设23R C =地雷；13R C =数，133R C =；所以，15R C =地雷，55R C =地雷；所以，347R C =，446R C =或346R C =，447R C =；当347R C =，446R C =时，数5无法填写；当346R C =，447R C =时，数5无法填写；所以，假设假设23R C =地雷不成立；23R C ≠地雷。
所以，13R C =地雷；23R C ≤6。
此时各边的中间一个方格只剩下35R C 没有填写；所以353R C =。
所以，235R C =或6。
当236R C =时，数5无法填写。
所以，235R C =，246R C =。
综上所述，110R C =、121R C =、212R C =、353R C =、224R C =、235R C =、246R C =、447R C =、428R C =。
通过镜面反射(上下对称)可以得到510R C =、521R C =、
412
R C =、353R C =、424R C =、435R C =、446R C =、247R C =、228R C =。
答案如图
所示。
3．【解析】 中心数297610552.52
2
x +=
==
4．【解析】
根据题意，要求其三阶幻方的幻和为24，所以中心数为2438÷=。
既然8是中心数，那么与8在一条直线的各个组的其余两数的和为16，分别有
11516,21416,31316
41216,51116,610167916
+=+=+=+=+=+=+=，
按上述条件进行估算后填出，然后再进行调整即可正确的答案。
11
4
9
68107125。