广东中考数学24题圆专题复习

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中考数学复习专题24：圆的有关计算(含中考真题解析)

专题24 圆的有关计算☞解读考点知识点名师点晴弧长和扇形面积弧长公式会求n°的圆心角所对的弧长扇形面积公式会求圆心角为n°的扇形面积圆锥侧面积计算公式能根据公式中的已知量求圆锥中的未知量☞2年中考【题组】1．（河池）如图，用一张半径为24cm的扇形纸板制作一顶圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果圆锥形帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是（）A．240πcm2 B．480πcm2 C．1200πcm2 D．2400πcm2【答案】A．【解析】试题分析：这张扇形纸板的面积=12×2π×10×24=240π（cm2）．故选A．考点：圆锥的计算．2．（凉山州）将圆心角为90°，面积为4πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的底面半径为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】A．考点：圆锥的计算．3．（德州）如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4：5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为（）A．288° B．144° C．216° D．120°【答案】A．【解析】试题分析：∵底面圆的半径与母线长的比是4：5，∴设底面圆的半径为4x，则母线长是5x，设圆心角为n°，则524180n xxππ⨯⨯=，解得：n=288，故选A ．考点：圆锥的计算．4．（宁波）如图，用一个半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径r为（）A．5cm B．10cm C．20cm D．5πcm【答案】B．考点：圆锥的计算．5．（苏州）如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD．若∠A=30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为（）A ．433π-B ．4233π-C ．3π-D ．233π-【答案】A ．【解析】试题分析：过O 点作OE ⊥CD 于E ，∵AB 为⊙O 的切线，∴∠ABO=90°，∵∠A=30°，∴∠AOB=60°，∴∠COD=120°，∠OCD=∠ODC=30°，∵⊙O 的半径为2，∴OE=1，CE=DE=3，∴CD=23，∴图中阴影部分的面积为：2120211233602⋅π⋅-⨯⨯=433π-．故选A ．考点：1．扇形面积的计算；2．切线的性质．6．（成都）如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，半径为4，则这个正六边形的边心距OM 和BC 弧线的长分别为（）A ．2，3πB ．23，πC ．3，23πD ．23，43π【答案】D ．考点：1．正多边形和圆；2．弧长的计算．7．（甘孜州）如图，已知扇形AOB的半径为2，圆心角为90°，连接AB，则图中阴影部分的面积是（）A．π﹣2 B．π﹣4 C．4π﹣2 D．4π﹣4【答案】A．【解析】试题分析：S阴影部分=S扇形OAB﹣S△OAB=29021223602π⨯-⨯⨯=π﹣2．故选A．考点：扇形面积的计算．8．（攀枝花）如图，已知⊙O的一条直径AB与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=3，CE=1，则图中阴影部分的面积为（）A 239π439πC．29πD．49π【答案】D．考点：1．扇形面积的计算；2．勾股定理的逆定理；3．圆周角定理；4．解直角三角形． 9．（自贡）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝32，则阴影部分的面积为（）A ．2πB ．πC ．3πD ．32π【答案】D ．【解析】试题分析：连接OD ．∵CD ⊥AB ，∴CE=DE=12CD=3（垂径定理），故S △OCE=S △ODE ，即可得阴影部分的面积等于扇形OBD 的面积，又∵∠CDB=30°，∴∠COB=60°（圆周角定理），∴OC=2，故S 扇形OBD=2602360π⨯=32π，即阴影部分的面积为32π．故选D ．考点：1．扇形面积的计算；2．垂径定理；3．圆周角定理；4．解直角三角形． 10．（达州）如图，直径AB 为12的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 旋转到点B′，则图中阴影部分的面积是（）A ．12πB ．24πC ．6πD ．36π 【答案】B ．考点：1．扇形面积的计算；2．旋转的性质．11．（德阳）如图，已知⊙O 的周长为4π，AB 的长为π，则图中阴影部分的面积为（）A ．2π-B ．3π-C ．πD ．2 【答案】A ．考点：1．扇形面积的计算；2．弧长的计算．12．（梧州）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB的中点，以E为圆心，ED为半径作半圆，交A、B所在的直线于M、N两点，分别以直径MD、ND为直径作半圆，则阴影部分面积为（）A．95 B．185 C．365 D．725【答案】B．【解析】试题分析：根据图形可知阴影部分的面积=两个小的半圆的面积+△DMN的面积﹣大半圆的面积．∵MN的半圆的直径，∴∠MDN=90°．在Rt△MDN中，MN2=MD2+DN2，∴两个小半圆的面积=大半圆的面积．∴阴影部分的面积=△DMN的面积．在Rt△AOD中，OD=22AD AO+=2263+=35，∴阴影部分的面积=△DMN的面积=12MN•AD=16562⨯⨯=185．故选B．考点：1．扇形面积的计算；2．勾股定理；3．综合题．13．（咸宁）如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，以AB的中点D为圆心，作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在EF上，设∠BDF=α（0°＜α＜90°），当α由小到大变化时，图中阴影部分的面积（）A．由小到大 B．由大到小 C．不变 D．先由小到大，后由大到小【答案】C．考点：1．扇形面积的计算；2．定值问题；3．综合题．14．（常德）若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则这称这两个扇形相似．如图，如果扇形AOB 与扇形A1O1B1是相似扇形，且半径OA ：O1A1=k （k 为不等于0的常数）．那么下面四个结论：①∠AOB=∠A1O1B1；②△AOB ∽△A1O1B1；③11ABk A B ；④扇形AOB 与扇形A1O1B1的面积之比为2k ．成立的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D ．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．弧长的计算；3．扇形面积的计算；4．新定义；5．压轴题．15．（邵阳）如图，在矩形ABCD 中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线l 上绕其右下角的顶点B 向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转次后，顶点A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是（）A ．πB ．3019.5πC ．3018πD ．3024π 【答案】D ．【解析】试题分析：转动一次A 的路线长是：90331802ππ⨯=，转动第二次的路线长是：90551802ππ⨯=，转动第三次的路线长是：9042180ππ⨯=，转动第四次的路线长是： 0，转动五次A 的路线长是：90331802ππ⨯=，以此类推，每四次循环，故顶点A 转动四次经过的路线长为：32π+52π+2π=6π，÷4=503余3，顶点A 转动四次经过的路线长为：6π×504=3024π．故选D ．考点：1．旋转的性质；2．弧长的计算；3．规律型． 16．（北海）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是．【答案】2．考点：圆锥的计算．17．（贵港）如图，已知圆锥的底面⊙O的直径BC=6，高OA=4，则该圆锥的侧面展开图的面积为．【答案】15π．【解析】试题分析：∵OB=12BC=3，OA=4，由勾股定理，AB=5，侧面展开图的面积为：12×6π×5=15π．故答案为：15π．考点：圆锥的计算．18．（庆阳）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=22，若把Rt△ABC绕边AB 所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为（结果保留π）．【答案】2π．【解析】试题分析：过点C作CD⊥AB于点D，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∴2，∴CD=2，以CD为半径的圆的周长是：4π．故直线旋转一周则所得的几何体得表面积是：2×12×4π×2282π．故答案为：82π．考点：1．圆锥的计算；2．点、线、面、体．19．（贺州）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°得到矩形A′B′C′D′，则点B经过的路径与BA，AC′，C′B′所围成封闭图形的面积是（结果保留π）．【答案】2512 4π+．考点：1．扇形面积的计算；2．旋转的性质．20．（天水）如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是．【答案】4π．考点：1．弧长的计算；2．等边三角形的性质；3．综合题．21．（河南省）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交AB于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作CD交OB于点D．若OA=2，则阴影部分的面积为．【答案】3 122π+．【解析】试题分析：连接OE、AE ，∵点C为OA的中点，∴∠CEO=30°，∠EOC=60°，∴△AEO为等边三角形，∴S扇形AOE=2602360π⨯=23π，S扇形ABO=2902360π⨯=π，S扇形CDO=2901360π⨯=14π，∴S阴影=S扇形ABO﹣S扇形CDO﹣（S扇形AOE﹣S△COE）=121(13)432πππ---⨯⨯=3122π+．故答案为：3122π+．考点：扇形面积的计算．22．（烟台）如图，将弧长为6π，圆心角为120°的圆形纸片AOB围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA与OB重合（粘连部分忽略不计）则圆锥形纸帽的高是．【答案】62．考点：圆锥的计算．23．（乐山）如图，已知A （23，2）、B （23，1），将△AOB 绕着点O 逆时针旋转，使点A 旋转到点A′（﹣2，23）的位置，则图中阴影部分的面积为．【答案】34π．【解析】试题分析：∵A （232）、B （23，1），∴OA=4，13，∵由A （232）使点A 旋转到点A′（﹣2，23），∴∠A′OA=∠B′OB=90°，根据旋转的性质可得，''OB C OBC S S ∆∆=，∴阴影部分的面积等于S 扇形A'OA ﹣S 扇形C'OC=22114(13)44ππ⨯-⨯=34π，故答案为：34π．考点：1．扇形面积的计算；2．坐标与图形变化-旋转．24．（镇江）图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于．【答案】（1）作图见试题解析；（2）15 8．试题解析：（1）如图所示，八边形ABCDEFGH即为所求；（2）∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴∠AOD=3608×3=135°，∵OA=5，∴AD的长=1355180π⨯=154π，设这个圆锥底面圆的半径为R，∴2πR=154π，∴R=158，即这个圆锥底面圆的半径为158．故答案为：158．考点：1．正多边形和圆；2．圆锥的计算；3．作图—复杂作图．25．（宁德）图（1）是一个蒙古包的照片，这个蒙古包可以近似看成是圆锥和圆柱组成的几何体，如图（2）所示．（1）请画出这个几何体的俯视图；（2）图（3）是这个几何体的正面示意图，已知蒙古包的顶部离地面的高度EO1=6米，圆柱部分的高OO1=4米，底面圆的直径BC=8米，求∠EAO的度数（结果精确到0.1°）．【答案】（1）答案见试题解析；（2）26.6°．（2）连接EO1，如图所示，∵EO1=6米，OO1=4米，∴EO=EO1﹣OO1=6﹣4=2米，∵AD=BC=8米，∴OA=OD=4米，在Rt△AOE中，tan∠EAO=2142EOOA==，则∠EAO≈26.6°．考点：1．圆锥的计算；2．圆柱的计算；3．作图-三视图．26．（玉林防城港）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点且∠BOD=60°，过点D作⊙O的切线CD交AB的延长线于点C，E为AD的中点，连接DE，EB．（1）求证：四边形BCDE是平行四边形；（2）已知图中阴影部分面积为6π，求⊙O的半径r．【答案】（1）证明见试题解析；（2）6．考点：1．切线的性质；2．平行四边形的判定；3．扇形面积的计算；4．综合题．27．（扬州）如图，已知⊙O的直径AB=12cm，AC是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点P，连接BC．（1）求证：∠PCA=∠B；（2）已知∠P=40°，点Q在优弧ABC上，从点A开始逆时针运动到点C停止（点Q与点C不重合），当△ABQ与△ABC的面积相等时，求动点Q所经过的弧长．【答案】（1）证明见试题解析；（2）53π或133π或233π．【解析】试题分析：（1）连接OC，由PC是⊙O的切线，得到∠1+∠PCA=90°，由AB是⊙O的直径，得到∠2+∠B=90°，从而得到结论；（2）△ABQ与△ABC的面积相等时，有三种情况，即：①当∠AOQ=∠AOC=50°时；②当∠BOQ=∠AOC=50°时；③当∠BOQ=50°时，即∠AOQ=230°时；分别求得点Q所经过的弧长即可．试题解析：（1）连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴∠PCO=90°，∴∠1+∠PCA=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠2+∠B=90°，∵OC=OA，∴∠1=∠2，∴∠PCA=∠B；考点：1．切线的性质；2．弧长的计算；3．分类讨论；4．综合题；5．轨迹．【题组】1．（·扬州）如图，已知正方形边长为1，若圆与正方形的四条边都相切，则阴影部分的面积与下列各数最接近的是（）A.1.0 B．2.0 C.3.0 D.4.0【答案】B．【解析】试题分析：∵正方形的边长为1，圆与正方形的四条边都相切，∴22S S S10.510.250.215ππ=-=-⋅=-≈阴影正方形圆．∵0.215最接近0.2，∴阴影部分的面积与下列各数最接近的是0.2故选B．考点：1．圆和正方形的面积；2．无理数的大小估计；3．转换思想的应用．2．（·金华）一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为1，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是（）A．5:4 B．5:2 C52 D52【答案】A．故选A．考点：1．等腰直角三角形的判定和性质；2．勾股定理；3．扇形面积和圆面积的计算．3．（·辽宁省本溪市）底面半径为4，高为3的圆锥的侧面积是（）A．12π B．15π C．20π D．36π【答案】B．【解析】试题分析：∵圆锥的底面半径为3，高为4，∴母线长为5，∴圆锥的侧面积为：πrl=π×3×5=15π，故选B．考点：圆锥的计算．4．（·山东省莱芜市）一个圆锥的侧面展开图是半径为R的半圆，则该圆锥的高是（）A．R B．12R C3R D．32R【答案】D．【解析】试题分析：圆锥的底面周长是：πR；设圆锥的底面半径是r，则2πr=πR．解得：r=12R2213()22R R-=．故选D．考点：圆锥的计算．5．（·贵州安顺市）已知圆锥的母线长为6cm，底面圆的半径为3cm，则此圆锥侧面展开图的圆心角是（）A ． 30°B ． 60°C ．90°D ．180°【答案】D ．考点：圆锥的计算．6．（湖南衡阳市）圆心角为120，弧长为12π的扇形半径为（） A ．6 B ．9 C ．18 D ．36 【答案】C ．【解析】试卷分析：12012180rππ=，解得：r=18．故选C ．考点：圆的计算．7．（南京）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展开，得到一个扇形，若圆锥底面圆半径r=2cm ，扇形圆心角120θ=︒，则该圆锥母线长l 为 cm ．【答案】6．【解析】试题分析：∵圆锥底面圆半径r=2cm ， ∴根据圆的周长公式，得圆的周长为2r 4ππ=，∵侧面展开后所得扇形弧长等于圆的周长，∴扇形弧长4π=．又∵侧面展开后所得扇形的圆心角为120°，∴根据扇形的弧长公式，侧面展开后所得扇形的弧长为()120l4l 6180cm ππ⋅⋅=⇒=．考点：圆锥和扇形的计算． 8．（·呼和浩特）一个底面直径是80cm ，母线长为90cm 的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为．【答案】1600．考点：圆锥的计算．9．（·潍坊）如图，两个半径均为3的⊙O1与⊙O2相交于A 、B 两点，且每个圆都经过另一个圆的圆心，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）【答案】233π-．【解析】试题分析：如图，连接O1O2，过点O1作O1H ⊥AO2于点H ，由题意可得：AO1=O1O2=AO2=3，∴△AO1O2是等边三角形．∴11233HO O O sin60322=︒=⋅=．∴()12122AO O AO O 6031333S 3S 223,2460ππ∆⨯=⨯⨯===扇形．∴12212AO O AO AO O 33S S S 24π∆=-=-弓形扇形．∴图中阴影部分的面积为：33423324ππ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭ ．考点：1．扇形面积的计算；2．等边三角形的判定和性质；3．相交两圆的性质；4．锐角三角函数定义；5．特殊角的三角函数值；6．转换思想的应用． 10．（·重庆A ）如图，△OAB 中，OA=OB=4，∠A=30°，AB 与⊙O 相切于点C ，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）【答案】4433π-．考点：1．切线的性质；2．等腰三角形的性质；3．含30度角的直角三角形的性质；4．勾股定理；5．扇形面积的计算；6．转换思想的应用．☞考点归纳归纳 1：弧长公式基础知识归纳：n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式为180n r l π=注意问题归纳：①在弧长的计算公式中，n 是表示1°的圆心角的倍数，n 和180都不要带单位．②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．【例1】在半径为2的圆中，弦AB 的长为2，则AB 的长等于（）A ．3πB ．2πC ．23πD ．32π【答案】C ．考点：弧长的计算．归纳 2：扇形面积基础知识归纳：扇形面积公式：lR R n S 213602==π扇注意问题归纳：其中n 是扇形的圆心角度数，R 是扇形的半径，l 是扇形的弧长．【例2】如图，将长为8cm 的铁丝AB 首尾相接围成半径为2cm 的扇形，则S 扇形= cm²【答案】4．【解析】试题分析：设围成扇形的角度为n ，∵将长为8cm 的铁丝AB 首尾相接围成半径为2cm 的扇形，∴围成扇形的弧长为4cm ．∴根据弧长公式，得n 23604n 180ππ⋅⋅=⇒=，∴根据扇形面积公式，得()223602S 4cm 360π⋅⋅==．考点：扇形的计算．归纳 3：圆锥的侧面积基础知识归纳：圆锥的侧面积：122S l r rlππ=•=，其中l 是圆锥的母线长，r 是圆锥的地面半径．注意问题归纳：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．【例3】一个圆锥的高为4cm ，底面圆的半径为3cm ，则这个圆锥的侧面积为（） A ． 12πcm2 B ．15πcm2 C ．20πcm2 D ．30πcm2考点：圆锥的计算．归纳 4：阴影部分面积基本方法归纳：求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．注意问题归纳：求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．【例4】如图，扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半径为4，点C在AB上，CD⊥OA，垂足为点D，当△OCD的面积最大时，图中阴影部分的面积为．π-．【答案】24考点：扇形面积的计算．☞1年模拟1．（湖北省宜昌市兴山县校级模拟）劳技课上，小颖将一顶自制的圆锥形纸帽戴在头上，已知纸帽底面圆半径为10cm，母线长50cm，则这顶纸帽的侧面积为（）cm2．A．250π B．500π C．750π D．1000π【解析】试题分析：底面圆的半径为10cm ，则底面周长=20πcm ，侧面面积=π×10×50=500πcm2．故选B ．考点：圆锥的计算．2．（湖北省广水市校级模拟）如图，圆锥体的高h=2cm ，底面半径r=2cm ，则圆锥体的全面积为（）cm2．A ．4π B ．8π C ．12π D ．（4+4）π【答案】C ．【解析】试题分析：底面圆的半径为2，则底面周长=4π，因为底面半径为2cm 、高为23cm ，所以圆锥的母线长为4cm ，即可求得侧面面积=12×4π×4=8π；底面积为=4π，所以全面积为：8π+4π=12πcm2．故选C ．考点：圆锥的有关计算．3．（山东省高密市模拟考试）如果圆锥的母线长为5cm ，底面半径为2cm ，那么这个圆锥的侧面积是（）A ．210cmB ．210cm π C ．220cm D ．220cm π 【答案】B ．考点：1．圆锥的侧面展开图；2．扇形的面积计算．4．（山东省新泰市模拟考试）如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=，30CAB ∠=，2BC =，O H ，分别为边AB AC ，的中点，将ABC △绕点B 顺时针旋转120到11A BC △的位置，则整个旋转过程中线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（）A ．77π338-B ．47π338+C ．πD ．4π33+【答案】C ．【解析】试题分析：连接BH ，BH1，∵O 、H 分别为边AB ，AC 的中点，将△ABC 绕点B 顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，∴△OBH ≌△O1BH1，利用勾股定理可求得BH=437+=，所以利用扇形面积公式可得()()22360132********BH BC πππ=⨯-=-．故选C ．考点：扇形面积的计算．5．（江苏省兴化顾庄等三校校级模拟）若粮仓顶部是圆锥形，且这个圆锥的高为2m ，母线长为2.5m ，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，则这块油毡的面积是 m2．【答案】154π．考点：圆锥的计算．6．（河南省三门峡市模拟考试）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝8，BC ＝6，分别以A 、C 为圆心，以2AC的长为半径作圆，将Rt △ABC 截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为．【答案】24-254πcm2．【解析】试题分析：如图：∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，∴AC=2286+=10cm，△ABC的面积是：12AB•BC=12×8×6=24cm2．∴S阴影部分=12×6×8-2905360π⨯=24-254πcm2,故阴影部分的面积是：24-254πcm2．考点：扇形面积的计算．7．（湖北省武汉市校级模拟）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B、C的坐标分别是A（-2，3）、B（-1，2）、C（-3，1），△ABC 绕点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1．（1）在正方形网格中作出△A1B1C1；（2）求点A经过的路径弧AA1的长度；（结果保留π）（3）在y轴上找一点D，使DB+DB1的值最小，并直接写出D点坐标．【答案】（1）图形详见解析；（2132；（3）（0，53）．试题解析：解：（1）如图如下：考点：作图—旋转变换；待定系数法求解析式；弧长公式．8．（广东省中山市校级模拟）如图，AB是的直径，点D在上，∠DAB＝45°，BC∥AD，CD∥AB．（1）、判断直线CD 与的位置关系，并说明理由；（2）、若的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．【答案】（1）、相切；（2）、324．【解析】试题分析：（1）、连接OD，根据OA=OD，∠ODA=45°得出∠AOD=90°，根据CD∥AB 得出∠ODC=90°，从而说明切线；（2）、首先求出梯形OBCD的面积，然后利用梯形的面积减去扇形OBD的面积求出阴影部分的面积．考点：切线的判定、扇形的面积计算．9．（山东省博兴县校级模拟）如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）求弦BD的长；（3）求图中阴影部分的面积．【答案】（1）见解析；（2）3；（3）6π．【解析】试题分析：（1）连接OC交BD于点E，根据∠CDB=∠OBD=30°得出∠COB=60°，∠OEB=90°，根据AC∥BD得到∠OCA=90°；（2）根据OB=6，OE⊥BD，∠OEB=30°，求出OE和BE的长度，然后计算出BD的长度；（3）根据△OBE和△CDE全等，将阴影部分的面积转化成扇形OBC的面积，然后根据扇形的面积计算公式进行求解．试题解析：（1）证明：连接OC，交BD于点E．∵∠CDB=∠OBD=30°∴∠COB=60°，∠OEB=90°∵AC∥BD ∴∠OCA=∠OEB=90°∴OC⊥AC ∴AC是⊙O的切线．（2）∵∠OEB=90°，∠OBD=30°∴OC⊥BD，321==OB OE∴BE=DE=33273622==-∴362==DEBD（3）∵OE=CE，∠OEB=∠CED=90°，BE=DE，∴△OEB≌△CED∴ππ63606602=⋅==OBCSS扇形阴影考点：切线的判定、垂径定理、扇形的面积计算．10．（山东省高密市模拟考试）如图，BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，弦PD⊥BE，垂足为C，连接OD，∠AOD=∠APC．（1）求证：AP是⊙O的切线．（2）若⊙O的半径是4，AP=43，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）见解析（2）16433π-．考点：1．切线的证明；2．勾股定理；3．特殊角的三角函数值；4．扇形的面积计算．。

2021年全国中考数学真题分项汇编-专题24圆的有关性质(共54题)(解析版)

2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第01期）专题24圆的有关性质（共54题）一、单选题1．（2021·甘肃武威市·中考真题）如图，点,,,,A B C D E 在O 上，,42AB CD AOB =∠=︒，则CED ∠=（）A ．48︒B ．24︒C ．22︒D ．21︒【答案】D【分析】先证明,AB CD =再利用等弧的性质及圆周角定理可得答案．【详解】解：点,,,,A B C D E 在O 上，,42AB CD AOB =∠=︒， ,AB CD ∴=114221,22CED AOB ∴∠=∠=⨯︒=︒ 故选：.D【点睛】本题考查的两条弧，两个圆心角，两条弦之间的关系，圆周角定理，等弧的概念与性质，掌握同弧或等弧的概念与性质是解题的关键．2．（2021·广西玉林市·中考真题）学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题” ．下列判断正确的是（）A ．两人说的都对B ．小铭说的对，小燕说的反例不存在C ．两人说的都不对D．小铭说的不对，小熹说的反例存在【答案】D【分析】根据垂径定理可直接进行排除选项．【详解】解：由垂径定理的推论“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”可知：小铭忽略了垂径定理中的“弦不能是直径”这一条件，因为一个圆中的任意两条直径都互相平分，但不垂直，所以小铭说法错误，小熹所说的反例即为两条直径的情况下；故选D．【点睛】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．3．（2021·青海中考真题）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交AB 厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，16海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（）．A．1.0厘米/分B．0.8厘米分C．12厘米/分D．1.4厘米/分【答案】A【分析】首先过⊙O的圆心O作CD⊙AB于C，交⊙O于D，连接OA，由垂径定理，即可求得OC的长，继而求得CD的长，又由从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为10分钟，即可求得“图上”太阳升起的速度．【详解】解：过⊙O的圆心O作CD⊙AB于C，交⊙O于D，连接OA，⊙AC=12AB=12×16=8（厘米），在Rt⊙AOC中，6OC===（厘米），⊙CD=OC+OD=16（厘米），⊙从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，⊙16÷16=1（厘米/分）．⊙“图上”太阳升起的速度为1.0厘米/分．故选：A．【点睛】此题考查了垂径定理的应用．解题的关键是结合图形构造直角三角形，利用勾股定理求解．4．（2021·山东聊城市·中考真题）如图，A，B，C是半径为1的⊙O上的三个点，若AB⊙CAB＝30°，则⊙ABC的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°【答案】C【分析】连接OB，OC，根据勾股定理逆定理可得⊙AOB＝90°，⊙ABO＝⊙BAO＝45°，根据圆周角定理可得⊙COB＝2⊙CAB＝60°，⊙OBC＝⊙OCB＝60°，由此可求得答案．【详解】解：如图，连接OB，OC，⊙OA ＝OB ＝1，AB⊙OA 2＋OB 2＝AB 2，⊙⊙AOB ＝90°，又⊙OA ＝OB ，⊙⊙ABO ＝⊙BAO ＝45°，⊙⊙CAB ＝30°，⊙⊙COB ＝2⊙CAB ＝60°，又⊙OC ＝OB ，⊙⊙OBC ＝⊙OCB ＝60°，⊙⊙ABC ＝⊙ABO ＋⊙OBC ＝105°，故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键． 5．（2021·湖北鄂州市·中考真题）已知锐角40AOB ∠=︒，如图，按下列步骤作图：⊙在OA 边取一点D ，以O 为圆心，OD 长为半径画MN ，交OB 于点C ，连接CD ．⊙以D 为圆心，DO 长为半径画GH ，交OB 于点E ，连接DE ．则CDE ∠的度数为（）A ．20︒B ．30C ．40︒D ．50︒【答案】B【分析】根据画图过程，得到OD =OC ，由等边对等角与三角形内角和定理得到⊙ODC =⊙OCD =70︒，同理得到⊙DOE =⊙DEO =40⊙，由⊙OCD 为⊙DCE 的外角，得到结果．【详解】解：⊙以O 为圆心，OD 长为半径画MN ，交OB 于点C ，⊙OD =OC ，⊙⊙ODC =⊙OCD ，⊙⊙AOB =40⊙，⊙⊙ODC =⊙OCD =118040702⨯︒-︒=︒， ⊙以D 为圆心，DO 长为半径画GH ，交OB 于点E ，⊙DO =DE ，⊙⊙DOE =⊙DEO =40⊙，⊙⊙OCD 为⊙DCE 的外角，⊙⊙OCD =⊙DEC +⊙CDE ，⊙70⊙=40⊙+⊙CDE ，⊙⊙CDE =30⊙，故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、以及三角形外角的性质，关键在于等边对等角与三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和两个知识点的熟练运用．6．（2021·海南中考真题）如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，BE 是O 的直径，连接AE ．若2BCD BAD ∠=∠，则DAE ∠的度数是（）A ．30B ．35︒C ．45︒D ．60︒【答案】A【分析】先根据圆内接四边形的性质可得60BAD ∠=︒，再根据圆周角定理可得90BAE ∠=︒，然后根据角的和差即可得．【详解】解：四边形ABCD 是O 的内接四边形，180BCD BAD ∴∠+∠=︒，2BCD BAD ∠=∠，1180603BAD =⨯︒∴∠=︒， BE 是O 的直径，90BAE ∴∠=︒，906030DAE BAE BAD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故选：A ．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题关键．7．（2021·四川眉山市·中考真题）如图，在以AB 为直径的O 中，点C 为圆上的一点，3BC AC =，弦CD AB ⊥于点E ，弦AF 交CE 于点H ，交BC 于点G ．若点H 是AG 的中点，则CBF ∠的度数为（）A ．18°B ．21°C ．22.5°D ．30°【答案】C【分析】根据直径所对的圆周角是90︒，可知90ACB AFB ∠=∠=︒，根据3BC AC =，可知ABC ∠、BAC ∠的度数，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，AHC 为等腰三角形，再根据CAE BFG BCA ∽∽可求得CBF ∠的度数．【详解】解：⊙AB 为O 的直径，⊙90ACB AFB ∠=∠=︒，⊙3BC AC =，⊙=22.5ABC ∠︒，=67.5BAC ∠︒，⊙点H 是AG 的中点，⊙CE AH =，⊙CAH ACH ∠=∠，⊙CD AB ⊥，⊙AEC GCA ∽，又⊙,CAF CBF CGA FGB ∠=∠∠=∠，⊙AEC GCA GFB ∽∽，⊙90ACE ECB ABC ECB ∠+∠=∠+∠=︒，⊙ABE ABC ∠=∠，⊙AEC GCA GFB ACB ∽∽∽，⊙22.5ABC ACE GAC GBF ∠=∠=∠=∠=︒，⊙=22.5CBF ∠︒，故选：C ．【点睛】本题主要考查圆周角定理，垂径定理，相似三角形，直角三角形斜边上中线等知识点，找出图形中几个相似三角形是解题关键．8．（2021·四川南充市·中考真题）如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，2CD OE =，则BCD ∠的度数为（）A ．15︒B ．22.5︒C ．30D ．45︒【答案】B【分析】连接OD ，根据垂径定理得CD =2DE ，从而得ODE 是等腰直角三角形，根据圆周角定理即可求解．解：连接OD ，⊙AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，⊙CD =2DE ，⊙2CD OE =，⊙DE =OE ，⊙ODE 是等腰直角三角形，即⊙BOD =45°，⊙BCD ∠=12⊙BOD =22.5°，故选B ．【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握垂径定理和圆周角定理，是解题的关键．9．（2021·四川广安市·中考真题）如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A 地走到B 地有观赏路（劣弧AB ）和便民路（线段AB ）.已知A 、B 是圆上的点，O 为圆心，120AOB ∠=︒，小强从A 走到B ，走便民路比走观赏路少走（）米.A ．6π-B ．6π-C ．12π-D ．12π-【答案】D【分析】作OC ⊙AB 于C ，如图，根据垂径定理得到AC =BC ，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出⊙A ，从而得到OC 和AC ，可得AB ，然后利用弧长公式计算出AB 的长，最后求它们的差即可．解：作OC ⊙AB 于C ，如图，则AC =BC ，⊙OA =OB ，⊙⊙A =⊙B =12（180°-⊙AOB ）=30°，在Rt ⊙AOC 中，OC =12OA =9，AC ，⊙AB =2AC =又⊙12018180AB π⨯⨯==12π，⊙走便民路比走观赏路少走12π-米，故选D ．【点睛】本题考查了垂径定理：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．10．（2021·重庆中考真题）如图，AB 是⊙O 的直径，AC ，BC 是⊙O 的弦，若20A ∠=︒，则B 的度数为（）A ．70°B ．90°C ．40°D ．60°【答案】A直接根据直径所对的圆周角为直角进行求解即可．【详解】⊙AB 是⊙O 的直径，⊙⊙ACB =90°，⊙在Rt ⊙ABC 中，⊙B =90°-⊙A =70°，故选：A ．【点睛】本题考查直径所对的圆周角为直角，理解基本定理是解题关键．11．（2021·浙江丽水市·中考真题）如图，AB 是O 的直径，弦CD OA ⊥于点E ，连结,OC OD ．若O 的半径为,m AOD α∠=∠，则下列结论一定成立的是（）A ．tan OE m α=⋅B ．2sin CD m α=⋅C ．cos AE m α=⋅D ．2sin COD S m α=⋅【答案】B【分析】根据垂径定理、锐角三角函数的定义进行判断即可解答．【详解】解：⊙AB 是O 的直径，弦CD OA ⊥于点E ， ⊙12DE CD = 在Rt EDO ∆中，OD m =，AOD α∠=∠ ⊙tan =DE OEα ⊙=tan 2tan DE CD OE αα=，故选项A 错误，不符合题意；又sin DE OD α=⊙sin DE OD α=⊙22sin CD DE m α==，故选项B 正确，符合题意；又cos OE ODα= ⊙cos cos OE OD m αα==⊙AO DO m ==⊙cos AE AO OE m m α=-=-，故选项C 错误，不符合题意；⊙2sin CD m α=，cos OE m α= ⊙2112sin cos sin cos 22COD S CD OE m m m αααα∆=⨯=⨯⨯=，故选项D 错误，不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查了垂径定理，锐角三角函数的定义以及三角形面积公式的应用，解本题的关键是熟记垂径定理和锐角三角函数的定义．12．（2021·山东泰安市·中考真题）如图，在ABC 中，6AB =，以点A 为圆心，3为半径的圆与边BC 相切于点D ，与AC ，AB 分别交于点E 和点G ，点F 是优弧GE 上一点，18CDE ∠=︒，则GFE ∠的度数是（）A ．50°B ．48°C ．45°D ．36°【答案】B【分析】连接AD ，由切线性质可得⊙ADB =⊙ADC =90°，根据AB=2AD 及锐角的三角函数可求得⊙BAD =60°，易求得⊙ADE =72°，由AD=AE 可求得⊙DAE =36°，则⊙GAC =96°，根据圆周角定理即可求得⊙GFE 的度数．【详解】解：连接AD ，则AD =AG =3，⊙BC 与圆A 相切于点D ，⊙⊙ADB =⊙ADC =90°，在Rt⊙ADB中，AB=6，则cos⊙BAD=ADAB=12，⊙⊙BAD=60°，⊙⊙CDE=18°，⊙⊙ADE=90°﹣18°=72°，⊙AD=AE，⊙⊙ADE=⊙AED=72°，⊙⊙DAE=180°﹣2×72°=36°，⊙⊙GAC=36°+60°=96°，⊙⊙GFE=12⊙GAC=48°，故选：B．【点睛】本题考查切线性质、锐角的三角函数、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、圆周角定理，熟练掌握切线性质和圆周角定理，利用特殊角的三角函数值求得⊙BAD=60°是解答的关键．13．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，正方形ABCD内接于O，点P在AB上，则P∠的度数为（）A．30B．45︒C．60︒D．90︒【答案】B【分析】连接OB ，OC ，由正方形ABCD 的性质得90BOC ∠=°，再根据圆周角与圆心角的关系即可得出结论．【详解】解：连接OB ，OC ，如图，⊙正方形ABCD 内接于O ，⊙90BOC ∠=° ⊙11904522BPC BOC ∠=∠=⨯︒=︒ 故选：B ．【点睛】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．14．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）点P 是O 内一点，过点P 的最长弦的长为10cm ，最短弦的长为6cm ，则OP 的长为（）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm 【答案】B【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是10cm ；最短弦即是过点P 且垂直于过点P 的直径的弦；根据垂径定理即可求得CP 的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP 的长．【详解】解：如图所示，CD ⊙AB 于点P ．根据题意，得AB =10cm ，CD =6cm ．⊙OC =5，CP =3⊙CD ⊙AB ，⊙CP =12CD =3cm ．根据勾股定理，得OP ．故选B ．【点睛】此题综合运用了垂径定理和勾股定理．正确理解圆中，过一点的最长的弦和最短的弦．15．（2021·四川自贡市·中考真题）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于点F ，OE AC ⊥于点E ，若3OE =，5OB =，则CD 的长度是（）A ．9.6B ．C ．D ．19【答案】A【分析】先利用垂径定理得出AE =EC ，CF =FD ，再利用勾股定理列方程即可【详解】解：连接OC⊙AB ⊙CD , OE ⊙AC⊙ AE =EC ，CF =FD⊙OE =3，OB =5⊙OB =OC =OA =5⊙在Rt ⊙OAE 中4AE ===⊙AE =EC =4设OF =x ，则有2222AC AF OC OF -=-22228(5)5x x -+=-x =1.4在Rt ⊙OFC 中， 4.8FC ==⊙29.6CD FC ==故选：A【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理、方程思想是解题关键16．（2021·山东临沂市·中考真题）如图，PA 、PB 分别与O 相切于A 、B ，70P ∠=︒，C 为O 上一点，则ACB ∠的度数为（）A ．110︒B ．120︒C ．125︒D ．130︒【答案】C【分析】由切线的性质得出⊙OAP =⊙OBP =90°，利用四边形内角和可求⊙AOB =110°，再利用圆周角定理可求⊙ADB =55°，再根据圆内接四边形对角互补可求⊙ACB ．【详解】解：如图所示，连接OA ，OB ，在优弧AB 上取点D ，连接AD ，BD ，⊙AP 、BP 是切线，⊙⊙OAP =⊙OBP =90°，⊙⊙AOB =360°-90°-90°-70°=110°，⊙⊙ADB =55°，又⊙圆内接四边形的对角互补，⊙⊙ACB =180°-⊙ADB =180°-55°=125°．故选：C ．【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质．解题的关键是连接OA 、OB ，求出⊙AOB ．17．（2021·湖北鄂州市·中考真题）如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC =3BC =．点P 为ABC ∆内一点，且满足22PA PC +2AC =．当PB 的长度最小时，ACP ∆的面积是（）A ．3B ．CD 【答案】D【分析】由题意知90APC ∠=︒，又AC 长度一定，则点P 的运动轨迹是以AC 中点O 为圆心，12AC 长为半径的圆弧，所以当B 、P 、O 三点共线时，BP 最短；在Rt BCO ∆中，利用勾股定理可求BO 的长，并得到点P是BO 的中点，由线段长度即可得到PCO ∆是等边三角形，利用特殊Rt APC ∆三边关系即可求解．【详解】解：222PA PC AC +=∴90APC ∠=︒取AC 中点O ，并以O 为圆心，12AC 长为半径画圆由题意知：当B 、P 、O 三点共线时，BP 最短AO PO CO ∴== 11322CO AC BC ==⨯==BO ∴=BP BO PO ∴=-=∴点P 是BO 的中点∴在Rt BCO ∆中，12CP BO PO === ∴PCO ∆是等边三角形∴60ACP ∠=︒ ∴在Rt APC ∆中，tan 603AP CP =⨯︒=12APC S AP CP ∆∴=⨯==【点睛】本题主要考察动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度．解题的关键是找到动点P 的运动轨迹，即隐形圆．18．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB =AC =5，点D 在AC 上，且2AD =，点E 是AB 上的动点，连结DE ，点F ，G 分别是BC ，DE 的中点，连接AG ，FG ，当AG =FG 时，线段DE 长为（）A B ．2 C D ．4 【答案】A【分析】连接DF ，EF ，过点F 作FN ⊙AC ，FM ⊙AB ，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得点A ，D ，F ，E 四点共圆，⊙DFE =90°，然后根据勾股定理及正方形的判定和性质求得AE 的长度，从而求解．【详解】解：连接DF ，EF ，过点F 作FN ⊙AC ，FM ⊙AB⊙在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，点G 是DE 的中点，⊙AG =DG =EG又⊙AG =FG⊙点A ，D ，F ，E 四点共圆，且DE 是圆的直径⊙⊙DFE =90°⊙在Rt ⊙ABC 中，AB =AC =5，点F 是BC 的中点，⊙CF =BF =12BC =，FN =FM =52 又⊙FN ⊙AC ，FM ⊙AB ，90BAC ∠=︒⊙四边形NAMF 是正方形⊙AN =AM =FN =52又⊙90NFD DFM ∠+∠=︒，90DFM MFE ∠+∠=︒⊙NFD MFE ∠=∠⊙⊙NFD ⊙⊙MFE⊙ME =DN =AN -AD =12 ⊙AE =AM +ME =3⊙在Rt ⊙DAE 中，DE故选：A ．【点睛】本题考查直径所对的圆周角是90°，四点共圆及正方形的判定和性质和用勾股定理解直角三角形，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．19．（2021·四川自贡市·中考真题）如图，()8,0A，()2,0C -，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交y 轴正半轴于点B ，则点B 的坐标为（）A ．()0,5B ．()5,0C ．()6,0D ．()0,6【答案】D【分析】先根据题意得出OA =8，OC =2，再根据勾股定理计算即可【详解】解：由题意可知：AC =AB⊙()8,0A ，()2,0C -⊙OA =8，OC =2⊙AC =AB =10在Rt ⊙OAB 中，6OB ==⊙B (0，6)故选：D【点睛】本题考查勾股定理、正确写出点的坐标，圆的半径相等、熟练进行勾股定理的计算是关键20．（2021·广西来宾市·中考真题）如图，O 的半径OB 为4，OC AB ⊥于点D ，30BAC ∠=︒，则OD 的长是（）A B C ．2 D ．3【答案】C【分析】根据圆周角定理求出⊙COB 的度数，再求出⊙OBD 的度数，根据“30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”求出OD 的长度．【详解】⊙ ⊙BAC =30°，⊙⊙COB =60°，⊙⊙ODB =90°，⊙⊙OBD =30°，⊙OB =4，⊙OD =12OB =142⨯=2．故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，掌握相关定理和性质是解题的关键．21．（2021·湖北荆州市·中考真题）如图，矩形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点D 在OA 的延长线上．若()2,0A ，()4,0D ，以О为圆心、OD 长为半径的弧经过点B ，交y 轴正半轴于点E ，连接DE ，BE 、则BED ∠的度数是（）A ．15︒B ．22.5︒C ．30D ．45︒【答案】C【分析】连接OB ，由题意易得⊙BOD =60°，然后根据圆周角定理可进行求解．【详解】解：连接OB ，如图所示：⊙()2,0A ，()4,0D ，⊙2,4OA OB OE OD ====， ⊙12OA OB =， ⊙四边形OABC 是矩形，⊙90OAB ∠=︒，⊙30OBA ∠=︒，⊙9060BOD OBA ∠=︒-∠=︒， ⊙1302BED BOD ∠=∠=︒；故选C ．【点睛】本题主要考查圆周角定理、矩形的性质及含30°的直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理、矩形的性质及含30°的直角三角形的性质是解题的关键．22．（2021·湖北宜昌市·中考真题）如图，C ，D 是O 上直径AB 两侧的两点．设25ABC ∠=︒，则BDC ∠=（）A ．85︒B ．75︒C ．70︒D ．65︒【答案】D【分析】先利用直径所对的圆周角是直角得到⊙ACB =90°，从而求出⊙BAC ，再利用同弧所对的圆周角相等即可求出⊙BDC ．【详解】解：⊙C ，D 是⊙O 上直径AB 两侧的两点，⊙⊙ACB =90°，⊙⊙ABC =25°，⊙⊙BAC =90°-25°=65°，⊙⊙BDC =⊙BAC =65°，故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，即直径所对的圆周角是90°和同弧或等弧所对的圆周角相等，解决本题的关键是牢记相关概念与推论，本题蕴含了属性结合的思想方法．23．（2021·河北中考真题）如图，等腰AOB 中，顶角40AOB ∠=︒，用尺规按⊙到⊙的步骤操作： ⊙以O 为圆心，OA 为半径画圆；⊙在O 上任取一点P （不与点A ，B 重合），连接AP ；⊙作AB 的垂直平分线与O 交于M ，N ；⊙作AP 的垂直平分线与O 交于E ，F ．结论⊙：顺次连接M ，E ，N ，F 四点必能得到矩形；结论⊙：O 上只有唯一的点P ，使得OFM OAB S S =扇形扇形．对于结论⊙和⊙，下列判断正确的是（）A ．⊙和⊙都对B ．⊙和⊙都不对C．⊙不对⊙对D．⊙对⊙不对【答案】D【分析】⊙、根据“弦的垂直平分线经过圆心”，可证四边形MENF的形状；⊙、在确定点P的过程中，看⊙MOF=40°是否唯一即可．【详解】解：⊙、如图所示．⊙MN是AB的垂直平分线，EF是AP的垂直平分线，⊙MN和EF都经过圆心O，线段MN和EF是⊙O的直径．⊙OM=ON，OE=OF．⊙四边形MENF是平行四边形．⊙线段MN是⊙O的直径，⊙⊙MEN=90°．⊙平行四边形MENF是矩形．⊙结论⊙正确；⊙、如图2，当点P在直线MN左侧且AP=AB时，⊙AP=AB，⊙AB AP=．⊙MN⊙AB，EF⊙AP，⊙1122AE AP AN AB ==，．⊙AE AN=．⊙1===202AOE AON AOB∠∠∠．⊙40EON =∠．⊙=40MOF EON =∠∠．⊙扇形OFM 与扇形OAB 的半径、圆心角度数都分别相等，⊙OFM OAB S S =扇形扇形．如图3，当点P 在直线MN 右侧且BP =AB 时，同理可证：FOM AOB S S =扇形扇形．⊙结论⊙错误．故选：D【点睛】本题考查了圆的有关性质、矩形的判定、扇形面积等知识点，熟知圆的有关性质、矩形的判定方法及扇形面积公式是解题的关键．24．（2021·湖北黄冈市·中考真题）如图，O 是Rt ABC △的外接圆，OE AB ⊥交O 于点E ，垂足为点D ，AE ，CB 的延长线交于点F ．若3OD =，8AB =，则FC 的长是（）A ．10B ．8C ．6D ．4【答案】A【分析】先根据垂径定理可得4=AD ，再利用勾股定理可得5OE OA ==，然后根据三角形中位线定理即可得．【详解】解：,8OE AB AB ⊥=，142AD AB ∴==， 3OD =，5OA ∴=，5OE ∴=，OE AB ⊥，90A ADO BC =︒∠∴∠=，//OE FC ∴，又OA OC =，OE ∴是ACF 的中位线，210FC OE ∴==，故选：A ．【点睛】本题考查了垂径定理、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握垂径定理是解题关键．25．（2021·湖南邵阳市·中考真题）如图，点A ，B ，C 是O 上的三点．若90AOC ∠=︒，30BAC ∠=︒，则AOB ∠的大小为（）A ．25︒B ．30C ．35︒D ．40︒【答案】B【分析】首先根据圆周角定理求得BOC ∠的度数，根据AOC ∠的度数求AOB AOC BOC ∠=∠-∠即可．【详解】解：⊙30BAC ∠=︒⊙⊙BOC=223060BAC ∠=⨯︒=︒，⊙90AOC ∠=︒，906030AOB AOC BOC ，故选：B ．【点睛】考查了圆周角定理及两锐角互余性质，求得BOC ∠的度数是解题的关键．26．（2021·湖南长沙市·中考真题）如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，54BAC ∠=︒，则BOC ∠的度数为（）A ．27︒B ．108︒C ．116︒D ．128︒【答案】B【分析】直接利用圆周角定理即可得．【详解】解：54BAC ∠=︒，∴由圆周角定理得：2108BOC BAC ∠=∠=︒，故选：B ．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．27．（2021·湖北武汉市·中考真题）如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的弦，先将BC 沿BC 翻折交AB 于点D ．再将BD 沿AB 翻折交BC 于点E ．若BE DE =，设ABC α∠=，则α所在的范围是（）A ．21.922.3α︒<<︒B ．22.322.7α︒<<︒C ．22.723.1α︒<<︒D ．23.123.5α︒<<︒【答案】B【分析】将⊙O 沿BC 翻折得到⊙O ′，将⊙O ′沿BD 翻折得到⊙O ″，则⊙O 、⊙O ′、⊙O ″为等圆．依据在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等可证明AC DC DE EB ===，从而可得到弧AC 的度数，由弧AC 的度数可求得⊙B 的度数．【详解】解：将⊙O 沿BC 翻折得到⊙O ′，将⊙O ′沿BD 翻折得到⊙O ″，则⊙O 、⊙O ′、⊙O ″为等圆．⊙⊙O 与⊙O ′为等圆，劣弧AC 与劣弧CD 所对的角均为⊙ABC ，⊙AC CD =．同理：DE CD =．又⊙F 是劣弧BD 的中点，⊙DE BE =．⊙AC DC DE EB ===．⊙弧AC 的度数=180°÷4=45°．⊙⊙B =12×45°=22.5°． ⊙α所在的范围是22.322.7α︒<<︒；故选：B ．【点睛】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、弧、弦、圆周角之间的关系、圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定，找出图形中的等弧是解题的关键．二、填空题28．（2021·黑龙江中考真题）如图，在O 中，AB 是直径，弦AC 的长为5cm ，点D 在圆上，且30ADC ∠=︒，则O 的半径为_____．【答案】5cm【分析】连接BC ，由题意易得30ABC ADC ∠=∠=︒，进而问题可求解．【详解】解：连接BC ，如图所示：⊙30ADC ∠=︒，⊙30ABC ADC ∠=∠=︒，⊙AB 是直径，⊙90ACB ∠=︒，⊙5cm AC =，⊙210cm AB AC ==，⊙O 的半径为5cm ；故答案为5cm ．【点睛】本题主要考查圆周角定理及含30°直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理及含30°直角三角形的性质是解题的关键．29．（2021·安徽中考真题）如图，圆O 的半径为1，ABC 内接于圆O ．若60A ∠=︒，75B ∠=︒，则AB =______．【分析】先根据圆的半径相等及圆周角定理得出⊙ABO =45°，再根据垂径定理构造直角三角形，利用锐角三角函数解直角三角形即可【详解】解：连接OB 、OC 、作OD ⊙AB⊙60A ∠=︒⊙⊙BOC =2⊙A =120°⊙OB =OC⊙⊙OBC =30°又75B ∠=︒⊙⊙ABO =45°在Rt ⊙OBD 中，OB =1⊙BD ==2⊙OD ⊙AB⊙BD =AD =2⊙AB【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理，正确使用圆的性质及定理是解题关键30．（2021·湖南张家界市·中考真题）如图，ABC 内接于O ，50A ∠=︒，点D 是BC 的中点，连接OD ，OB ，OC ，则BOD ∠=_________．【答案】50︒【分析】圆上弧长对应的圆周角等于圆心角的一半，再利用等腰三角形三线合一的性质，即可得出答案．【详解】解:根据圆上弦长对应的圆周角等于圆心角的一半，12A BOC ∠=∠， 100BOC ∴∠=︒，OB OC =， BOC ∴为等腰三角形，又点D 是BC 的中点，根据等腰三角形三线合一，OD ∴为BOC ∠的角平分线，50BO D ∴∠=︒，故答案是：50︒．【点睛】本题考查了弦长所对应的圆周角等于圆心角的一半和等腰三角形三线合一的性质，解题的关键是：根据性质求出BOC ∠，再利用角平分线或三角形全等都能求出解．31．（2021·广东中考真题）在ABC 中，90,2,3ABC AB BC ∠=︒==．点D 为平面上一个动点，45ADB ∠=︒，则线段CD 长度的最小值为_____．-【分析】由已知45ADB ∠=︒，2AB =，根据定角定弦，可作出辅助圆，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知，点D 在以O 为圆心OB 为半径的圆上，线段CD 长度的最小值为CO OD -．【详解】如图：以12AB 为半径作圆，过圆心O 作,ON AB OM BC ⊥⊥，以O 为圆心OB 为半径作圆，则点D 在圆O 上，45ADB ∠=︒90AOB ∠=︒∴2AB =1AN BN ==AO ∴==112ON OM AB ===,3BC =OC ∴==CO OD ∴-=线段CD 长度的最小值为-．-【点睛】本题考查了圆周角与圆心角的关系，圆外一点到圆上的线段最短距离，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．32．（2021·江苏宿迁市·中考真题）如图，在Rt⊙ABC 中，⊙ABC =90°，⊙A =32°，点B 、C 在O 上，边AB 、AC 分别交O 于D 、E 两点﹐点B 是CD 的中点，则⊙ABE =__________．【答案】13︒【分析】如图，连接,DC 先证明,BDC BCD ∠=∠再证明,ABE ACD ∠=∠利用三角形的外角可得：,BDC A ACD A ABE ∠=∠+∠=∠+∠再利用直角三角形中两锐角互余可得：()2902,BDC A ABE ∠=︒-∠+∠再解方程可得答案．【详解】解：如图，连接,DCB 是CD 的中点，,,BD BC BDC BCD ∴=∠=∠,DE DE =,ABE ACD ∴∠=∠,BDC A ACD A ABE ∴∠=∠+∠=∠+∠90,32,ABC A ∠=︒∠=︒()2902,BDC A ABE ∴∠=︒-∠+∠45453213.ABE A ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒故答案为：13.︒【点睛】本题考查的是圆周角定理，三角形的外角的性质，直角三角形的两锐角互余，掌握圆周角定理的含义是解题的关键．33．（2021·江苏南京市·中考真题）如图，AB 是O 的弦，C 是AB 的中点，OC 交AB 于点D ．若8cm,2cm AB CD ==，则O 的半径为________cm ．【答案】5【分析】连接OA ，由垂径定理得AD =4cm ，设圆的半径为R ，根据勾股定理得到方程2224(2)R R =+-，求解即可【详解】解：连接OA ，⊙C 是AB 的中点，⊙OC AB ⊥ ⊙14cm 2AD AB == 设O 的半径为R ，⊙2cm CD =⊙(2)cm OD OC CD R =-=-在Rt OAD ∆中，222OA AD OD =+，即2224(2)R R =+-，解得，5R =即O 的半径为5cm故答案为：5【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理判断出OC 是AB 的垂直平分线是解答此题的关键． 34．（2021·湖北随州市·中考真题）如图，O 是ABC 的外接圆，连接AO 并延长交O 于点D ，若50C ∠=︒，则BAD ∠的度数为______．【答案】40︒【分析】连接BD ，则C D ∠=∠，再根据AD 为直径，求得BAD ∠的度数【详解】如图，连接BD ，则50D C ∠=∠=︒AD 为直径90ABD ∴∠=︒90905040BAD D ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒故答案为40︒【点睛】此题主要考查了圆周角定理，圆周角定理是中考中考查重点，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键． 35．（2021·江苏连云港市·中考真题）如图，OA 、OB 是O 的半径，点C 在O 上，30AOB ∠=︒，40OBC ∠=︒，则OAC ∠=______︒．【答案】25【分析】连接OC ，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到⊙BOC =100°，求出⊙AOC ，根据等腰三角形的性质计算．【详解】解：连接OC ，⊙OC =OB ，⊙⊙OCB =⊙OBC =40°，⊙⊙BOC =180°-40°×2=100°，⊙⊙AOC =100°+30°=130°，⊙OC =OA ，⊙⊙OAC =⊙OCA =25°，故答案为：25．【点睛】本题考查的是圆的基本性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．36．（2021·四川成都市·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线33y x =+与O 相交于A ，B 两点，且点A 在x 轴上，则弦AB 的长为_________．【答案】【分析】过O 作OE ⊙AB 于C ，根据垂径定理可得AC =BC =12AB ，可求OA =2，OD =3，在Rt ⊙AOD 中，由勾股定理AD =，可证⊙OAC ⊙⊙DAO ，由相似三角形性质可求AC 即可．【详解】解：过O 作OE ⊙AB 于C ，⊙AB 为弦，⊙AC =BC =12AB ，⊙直线33y x =+与O 相交于A ，B 两点，⊙当y =0时，033x +=，解得x =-2， ⊙OA =2， ⊙当x =0时，y = ⊙OD在Rt ⊙AOD中，由勾股定理AD ===， ⊙⊙ACO =⊙AOD =90°，⊙CAO =⊙OAD ，⊙⊙OAC ⊙⊙DAO ，AC AO AO AD =即2AO AC AD === ⊙AB =2AC故答案为【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，垂径定理，直线与两轴交点，勾股定理，三角形相似判定与性质，掌握以上知识、正确添加辅助线是解题关键．37．（2021·江苏扬州市·中考真题）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A 的位置不唯一，它在以BC 为弦的圆弧上（点B 、C 除外），……．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．⊙该弧所在圆的半径长为___________；⊙ABC 面积的最大值为_________；（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为A '，请你利用图1证明30BA C '∠>︒；（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD 的边长2AB =，3BC =，点P 在直线CD 的左侧，且4tan 3DPC ∠=． ⊙线段PB 长的最小值为_______；⊙若23PCD PAD S S =，则线段PD 长为________．【答案】（1）⊙2；2；（2）见解析；（3）；⊙4 【分析】（1）⊙设O 为圆心，连接BO ，CO ，根据圆周角定理得到⊙BOC =60°，证明⊙OBC 是等边三角形，可得半径；⊙过点O 作BC 的垂线，垂足为E ，延长EO ，交圆于D ，以BC 为底，则当A 与D 重合时，⊙ABC 的面积最大，求出OE ，根据三角形面积公式计算即可；（2）延长BA ′，交圆于点D ，连接CD ，利用三角形外角的性质和圆周角定理证明即可；（3）⊙根据4tan 3DPC ∠=，连接PD ，设点Q 为PD 中点，以点Q 为圆心，12PD 为半径画圆，可得点P 在优弧CPD 上，连接BQ ，与圆Q 交于P ′，可得BP ′即为BP 的最小值，再计算出BQ 和圆Q 的半径，相减即可得到BP ′；⊙根据AD ，CD 和23PCD PAD S S =推出点P 在⊙ADC 的平分线上，从而找到点P 的位置，过点C 作CF ⊙PD ，垂足为F ，解直角三角形即可求出DP ．【详解】解：（1）⊙设O 为圆心，连接BO ，CO ，⊙⊙BAC =30°，⊙⊙BOC =60°，又OB =OC ，⊙⊙OBC 是等边三角形，⊙OB =OC =BC =2，即半径为2；⊙⊙⊙ABC 以BC 为底边，BC =2，⊙当点A 到BC 的距离最大时，⊙ABC 的面积最大，如图，过点O 作BC 的垂线，垂足为E ，延长EO ，交圆于D ，⊙BE =CE =1，DO =BO =2，⊙OE⊙DE 2，⊙⊙ABC 的最大面积为)1222⨯⨯2；（2）如图，延长BA ′，交圆于点D ，连接CD ，⊙点D 在圆上，⊙⊙BDC =⊙BAC ，⊙⊙BA′C=⊙BDC+⊙A′CD，⊙⊙BA′C＞⊙BDC，⊙⊙BA′C＞⊙BAC，即⊙BA′C＞30°；（3）⊙如图，当点P在BC上，且PC=32时，⊙⊙PCD=90°，AB=CD=2，AD=BC=3，⊙tan⊙DPC=CDPC=43，为定值，连接PD，设点Q为PD中点，以点Q为圆心，12PD为半径画圆，⊙当点P在优弧CPD上时，tan⊙DPC=43，连接BQ，与圆Q交于P′，此时BP′即为BP的最小值，过点Q作QE⊙BE，垂足为E，⊙点Q是PD中点，⊙点E为PC中点，即QE=12CD=1，PE=CE=12PC=34，⊙BE=BC-CE=3-34=94，⊙BQ，⊙PD 52，⊙圆Q的半径为155 224⨯=，⊙BP′=BQ-P′Q，即BP；⊙⊙AD=3，CD=2，23PCD PADS S=，则23 CDAD=，⊙⊙P AD中AD边上的高=⊙PCD中CD边上的高，即点P到AD的距离和点P到CD的距离相等，则点P到AD和CD的距离相等，即点P在⊙ADC的平分线上，如图，过点C作CF⊙PD，垂足为F，⊙PD平分⊙ADC，⊙⊙ADP=⊙CDP=45°，⊙⊙CDF为等腰直角三角形，又CD=2，⊙CF=DF⊙tan⊙DPC=CFPF=43，⊙PF⊙PD=DF+PF=4．【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，三角形的面积，等边三角形的判定和性质，最值问题，解直角三角形，三角形外角的性质，勾股定理，知识点较多，难度较大，解题时要根据已知条件找到点P 的轨迹． 38．（2021·辽宁本溪市·中考真题）如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A ，B ，C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C 和点D ，则tan =ADC ∠________．【答案】32 【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得ABC ADC ∠=∠，再利用正切的定义求解即可．【详解】解：⊙ABC ADC ∠=∠， ⊙3tan =tan =2ADC ABC ∠∠，故答案为：32．【点睛】本题考查同弧所对的圆周角相等、求角的正切值，掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键．39．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）如图，AB 是⊙O 的弦，AB =C 是⊙O 上的一个动点，且60ACB ∠=︒，若点M ，N 分别是AB ，BC 的中点，则图中阴影部分面积的最大值是__________．。

2021年东莞市中考数学总复习第24章：圆(附答案解析)

A． B． C． D．．
18．（2016•东莞市二模）圆心角为240°的扇形的半径为3cm，则这个扇形的面积是（）
A．πcm2B．3πcm2C．9πcm2D．6πcm2
19．（2016•东莞市校级模拟）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝30°，CD＝6，则圆的半径长为（）
A．2 B．2C．4 D．
21．（2020•东莞市）如图，从一块半径为1m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为m．
22．（2018•东莞市）如图，矩形ABCD中，BC＝4，CD＝2，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为．（结果保留π）
2021年东莞市中考数学复习第24章：圆
2011-2020东莞市中考十年真题五年模拟
一．选择题（共19小题）
1．（2017•东莞市）如图，四边形ABCD（）
A．130°B．100°C．65°D．50°
2．（2015•东莞市）如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形DAB的面积为（）
A． πB．15πC．18πD．36π
7．（2020•东莞市校级二模）如图，四边形ABCD内接于圆O，AD∥BC，∠DAB＝48°，则∠AOC的度数是（）
A．48°B．96°C．114°D．132°
8．（2020•东莞市模拟）75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是（）
A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm
26．（2020•东莞市校级二模）如图，E是半径为2cm的圆O的直径CD延长线上的一点，AB∥CD且AB＝OD，则阴影部分的面积是．

中考数学《圆》专项复习综合练习题-附带答案

中考数学《圆》专项复习综合练习题-附带答案一、单选题1．如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠BOC的大小是（）A．22°B．32°C．136°D．68°2．已知两圆半径分别为4和7，圆心距为3 ，那么这两个圆的位置关系是（）A．内含B．内切C．相交D．外切3．如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB＝AB 点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是A．90°B．60°C．45°D．30°4．如图，半径为5的⊙A中，DE＝2 √5，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长为（）A．√21B．√41C．4 √5D．3 √55．如图，点D E F分别在△ABC的三边上，AB=AC∠A=∠EDF=90°与∠EFD=30°AB=1下列结论正确的是（）A．BD可求BE不可求B．BD不可求BE可求C．BD BE均可求D．BD BE均不可求6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90° AC=3，以点C为圆心， CA为半径的圆与AB交于点D，若点D恰好为线段AB的中点，则AB的长度为（）B．3 C．9 D．6A．327．如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，AE=DE， BC=CE，过点O作OF⊥AC于点F，延长FO 交BE于点G ，若DE=6，EG=4，则AB的长为（）A．4√5B．8√3C．13 D．148．如图，把正六边形各边按同一方向延长，使延长的线段与原正六边形的边长相等，顺次连接这六条线段外端点可以得到一个新的正六边形…，重复上述过程，经过2018次后所得到的正六边形边长是原正六边形边长的（）A．（√2）2016倍B．（√3）2017倍C．（√3）2018倍D．（√2）2019倍二、填空题9．如图，PA、PB切⊙O于点A、B ，已知⊙O半径为2 且∠APB=60°，则AB= ．10．如图，矩形ABCD中，BC＝4 CD＝2 以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为.（结果保留π）11．如图，两边平行的刻度尺在圆上移动当刻度尺的一边与直径为6.5cm的圆相切时另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”（单位：cm）则刻度尺的宽为 cm．12．如图，两圆相交于A、B两点小圆经过大圆的圆心O 点C D分别在两圆上若∠ADB＝100°则∠ACB的度数为。

专题24圆的有关位置关系(共52题)-备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练(全国通用)【原卷版

备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）专题24圆的有关位置关系（共52题）一．选择题（共15小题）1．（2022•长沙）如图，P A，PB是⊙O的切线，A、B为切点，若∠AOB＝128°，则∠P的度数为（）A．32°B．52°C．64°D．72°2．（2022•哈尔滨）如图，AD，BC是⊙O的直径，点P在BC的延长线上，P A与⊙O相切于点A，连接BD，若∠P＝40°，则∠ADB的度数为（）A．65°B．60°C．50°D．25°3．（2022•无锡）如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（）A．AE⊥DE B．AE∥OD C．DE＝OD D．∠BOD＝50°4．（2022•眉山）如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿P A，PB分别相切于点A，B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若∠OAB＝28°，则∠APB的度数为（）A．28°B．50°C．56°D．62°5．（2022•重庆）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，连接AO交⊙O于点C，延长AO交⊙O于点D，连接BD．若∠A＝∠D，且AC＝3，则AB的长度是（）A．3B．4C．3D．46．（2022•武汉）如图，在四边形材料ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝9cm，AB＝20cm，BC＝24cm．现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是（）A．cm B．8cm C．6cm D．10cm7．（2022•重庆）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点P，若AC ＝PC＝3，则PB的长为（）A．B．C．D．38．（2022•自贡）P为⊙O外一点，PT与⊙O相切于点T，OP＝10，∠OPT＝30°，则PT长为（）A．5B．5C．8D．99．（2022•梧州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，∠BAC＝36°，在上取点D（不与点A，B 重合），连接BD，AD，则∠BAD+∠ABD的度数是（）A．60°B．62°C．72°D．73°10．（2022•十堰）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，点D是弧AC上一动点（不与A，C重合），下列结论：①∠ADB＝∠BDC；②DA＝DC；③当DB最长时，DB＝2DC；④DA+DC＝DB，其中一定正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．（2022•邵阳）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，若AB＝3，则⊙O的半径是（）A．B．C．D．12．（2022•德阳）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，则∠BEC＝120°；③若点G为BC的中点，则∠BGD＝90°；④BD＝DE．其中一定正确的个数是（）A．1B．2C．3D．413．（2022•娄底）如图，等边△ABC内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是（）A．B．C．D．14．（2022•吉林）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（）A．2B．3C．4D．515．（2022•杭州）如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC＝θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（）A．cosθ（1+cosθ）B．cosθ（1+sinθ）C．sinθ（1+sinθ）D．sinθ（1+cosθ）二．填空题（共17小题）16．（2022•泰州）如图，P A与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在上，且与点A、B不重合．若∠P＝26°，则∠C的度数为°．17．（2022•海南）如图，射线AB与⊙O相切于点B，经过圆心O的射线AC与⊙O相交于点D、C，连接BC，若∠A＝40°，则∠ACB＝°．18．（2022•怀化）如图，AB与⊙O相切于点C，AO＝3，⊙O的半径为2，则AC的长为．19．（2022•株洲）中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”．“方田一段，一角圆池占之．”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切）”，如图所示．问题：此图中，正方形一条对角线AB与⊙O相交于点M、N（点N在点M的右上方），若AB的长度为10丈，⊙O的半径为2丈，则BN的长度为丈．20．（2022•泰安）如图，在△ABC中，∠B＝90°，⊙O过点A、C，与AB交于点D，与BC相切于点C，若∠A＝32°，则∠ADO＝．21．（2022•宁波）如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A．D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为．22．（2022•连云港）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，连接BC，与⊙O交于点D，连接OD．若∠AOD＝82°，则∠C＝°．23．（2022•金华）如图，木工用角尺的短边紧靠⊙O于点A，长边与⊙O相切于点B，角尺的直角顶点为C．已知AC＝6cm，CB＝8cm，则⊙O的半径为cm．24．（2022•黑龙江）如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为3cm．C为⊙O上一点，∠ACB＝60°，则AB的长为cm．25．（2022•泰州）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，O为内心，过点O的直线分别与AC、AB边相交于点D、E．若DE＝CD+BE，则线段CD的长为．26．（2022•玉林）如图，在5×7网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外把你认为外心也是O的三角形都写出来．27．（2022•宜宾）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为．28．（2022•泸州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2，半径为1的⊙O在Rt△ABC内平移（⊙O可以与该三角形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为．29．（2022•湖北）如图，点P是⊙O上一点，AB是一条弦，点C是上一点，与点D关于AB对称，AD交⊙O于点E，CE与AB交于点F，且BD∥CE．给出下面四个结论：①CD平分∠BCE；②BE＝BD；③AE2＝AF•AB；④BD为⊙O的切线．其中所有正确结论的序号是．30．（2022•恩施州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，⊙O为Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．31．（2022•黔东南州）如图，在△ABC中，∠A＝80°，半径为3cm的⊙O是△ABC的内切圆，连接OB、OC，则图中阴影部分的面积是cm2．（结果用含π的式子表示）32．（2022•凉山州）如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在格点上，则cos∠ACB的值是．三．解答题（共20小题）33．（2022•临沂）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，直线AO交⊙O于C，D两点，连接BC，BD．过圆心O作BC的平行线，分别交AB的延长线、⊙O及BD于点E，F，G．（1）求证：∠D＝∠E；（2）若F是OE的中点，⊙O的半径为3，求阴影部分的面积．34．（2022•恩施州）如图，P为⊙O外一点，P A、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交⊙O于点D、E，交AB于点C．（1）求证：∠ADE＝∠P AE．（2）若∠ADE＝30°，求证：AE＝PE．（3）若PE＝4，CD＝6，求CE的长．35．（2022•十堰）如图，△ABC中，AB＝AC，D为AC上一点，以CD为直径的⊙O与AB相切于点E，交BC于点F，FG⊥AB，垂足为G．（1）求证：FG是⊙O的切线；（2）若BG＝1，BF＝3，求CF的长．36．（2022•衡阳）如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD于点E，连接BE．（1）直线BE与⊙O相切吗？并说明理由；（2）若CA＝2，CD＝4，求DE的长．37．（2022•天津）已知AB为⊙O的直径，AB＝6，C为⊙O上一点，连接CA，CB．（Ⅰ）如图①，若C为的中点，求∠CAB的大小和AC的长；（Ⅱ）如图②，若AC＝2，OD为⊙O的半径，且OD⊥CB，垂足为E，过点D作⊙O的切线，与AC的延长线相交于点F，求FD的长．38．（2022•绍兴）如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B＝90°，连结OD，AD．（1）若∠ACB＝20°，求的长（结果保留π）．（2）求证：AD平分∠BDO．39．（2022•安徽）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD．（1）如图1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的长；（2）如图2，若DC与⊙O相切，E为OA上一点，且∠ACD＝∠ACE．求证：CE⊥AB．40．（2022•德阳）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足是点H，过点C作直线分别与AB，AD的延长线交于点E，F，且∠ECD＝2∠BAD．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）如果AB＝10，CD＝6，①求AE的长；②求△AEF的面积．41．（2022•随州）如图，已知D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，BE与⊙O相切，交CD的延长线于点E，且BE＝DE．（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝4，sin C＝，①求⊙O的半径；②求BD的长．42．（2022•邵阳）如图，已知DC是⊙O的直径，点B为CD延长线上一点，AB是⊙O的切线，点A为切点，且AB＝AC．（1）求∠ACB的度数；（2）若⊙O的半径为3，求圆弧的长．43．（2022•新疆）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AC＝CD，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E．（1）求证：∠ABC＝∠CAD；（2）求证：BE⊥CE；（3）若AC＝4，BC＝3，求DB的长．44．（2022•扬州）如图，AB为⊙O的弦，OC⊥OA交AB于点P，交过点B的直线于点C，且CB＝CP．（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若sin A＝，OA＝8，求CB的长．45．（2022•赤峰）如图，已知AB为⊙O的直径，点C为⊙O外一点，AC＝BC，连接OC，DF是AC的垂直平分线，交OC于点F，垂足为点E，连接AD、CD，且∠DCA＝∠OCA．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若CD＝6，OF＝4，求cos∠DAC的值．46．（2022•齐齐哈尔）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，AC与⊙O交于点D，BC与⊙O 交于点E，过点C作CF∥AB，且CF＝CD，连接BF．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝45°，AD＝4，求图中阴影部分的面积．47．（2022•玉林）如图，AB是⊙O的直径，C，D都是⊙O上的点，AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AB＝10，AC＝6，求tan∠DAB的值．48．（2022•南充）如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是⊙O外一点，∠BCD＝∠BAC，连接OD交BC于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若CE＝OA，sin∠BAC＝，求tan∠CEO的值．49．（2022•黔东南州）（1）请在图1中作出△ABC的外接圆⊙O（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）如图2，⊙O是△ABC的外接圆，AE是⊙O的直径，点B是的中点，过点B的切线与AC的延长线交于点D．①求证：BD⊥AD；②若AC＝6，tan∠ABC＝，求⊙O的半径．50．（2022•鄂州）如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB＝∠OAC，过点O 作BC的平行线交PC的延长线于点D．（1）试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若PC＝4，tan A＝，求△OCD的面积．51．（2022•宿迁）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D．（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝4，求图中阴影部分的面积．52．（2022•娄底）如图，已知BD是Rt△ABC的角平分线，点O是斜边AB上的动点，以点O为圆心，OB 长为半径的⊙O经过点D，与OA相交于点E．（1）判定AC与⊙O的位置关系，为什么？（2）若BC＝3，CD＝，①求sin∠DBC、sin∠ABC的值；②试用sin∠DBC和cos∠DBC表示sin∠ABC，猜测sin2α与sinα、cosα的关系，并用α＝30°给予验证．。

中考数学总复习《圆综合解答题》专题训练-附答案

中考数学总复习《圆综合解答题》专题训练-附答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图△ABC内接于⊙O AB、CD是⊙O的直径E是DA长线上一点且∠CED=∠CAB．(1)求证：CE是⊙O的切线；求线段CE的长．(2)若DE=3√5tanB=122．如图在△ABC中AB=AC以AB为直径作⊙O交BC于点D．过点D作DE⊥AC 垂足为E延长CA交⊙O于点F．(1)求证：DE是⊙O的切线；⊙O的半径为5 求线段CF的长．(2)若tanB=123．如图△ABC内接于⊙O直径DE⊙AB于点F交BC于点M DE的延长线与AC的延长线交于点N连接AM．（1）求证：AM＝BM；（2）若AM⊙BM DE＝8 ⊙N＝15° 求BC的长．4．如图△ABC内接于⊙O AB是⊙O的直径D是⊙O上的一点CO平分∠BCD CE⊥AD垂足为E AB与CD相交于点F．(1)求证：CE是⊙O的切线；时求CE的长．(2)当⊙O的半径为5sinB=355．如图1 锐角△ABC内接于⊙O⊙BAC=60°若⊙O的半径为2√3．(1)求BC的长度；(2)如图2 过点A作AH⊙BC于点H若AB+AC=12 求AH的长度．6．如图AB是⊙O的直径M是OA的中点弦CD⊥AB于点M过点D作DE⊥CA交CA的延长线于点E．(1)连接AD则∠AOD=_______；(2)求证：DE 与⊙O 相切；(3)点F 在BC ⏜上 ∠CDF =45° DF 交AB 于点N ．若DE =6 求FN 的长．7．如图 AB 是⊙O 的直径点C 为⊙O 上一点 OF ⊥BC 垂足为F 交⊙O 于点E AE 与BC 交于点H 点D 为OE 的延长线上一点且∠ODB =∠AEC ．(1)求证：BD 是⊙O 的切线(2)求证：CE 2=EH ⋅EA(3)若⊙O 的半径为52 sinA =35 求BH 和DF 的长． 8．如图在⊙ABC 中 ⊙C=90° 点O 在AC 上以OA 为半径的⊙O 交AB 于点D BD 的垂直平分线交BC 于点E 交BD 于点F 连接DE ．（1）求证：直线DE 是⊙O 的切线（2）若AB=5 BC=4 OA=1 求线段DE 的长．9．如图 AB 是⊙O 的直径弦CD 与AB 交于点E 过点B 的切线BP 与CD 的延长线交于点P 连接OC CB ．(1)求证：AE ·EB =CE ·ED(2)若⊙O 的半径为 3 OE =2BE CE DE =95 求tan∠OBC 的值及DP 的长．10．如图菱形ABCD中AB=4以AB为直径作⊙O交AC于点E过点E作EF⊥AD于点F．(1)求证：EF是⊙O的切线(2)连接OF若∠BAD=60°求OF的长．(3)在（2）的条件下若点G是⊙O上的一个动点则线段CG的取值范围是什么？11．如图点C在以AB为直径的半圆O上（点C不与A B两点重合）点D是弧AC的中点DE⊥AB于点E连接AC交DE于点F连接OF过点D作半圆O的切线DP 交BA的延长线于点P．(1)求证：AC∥DP(2)求证：AC=2DE的值．(3)连接CE CP若AE⊙EO=1⊙2求CECP12．如图1 AB为⊙O直径CB与⊙O相切于点B D为⊙O上一点连接AD OC若AD//OC．（1）求证：CD为⊙O的切线（2）如图2 过点A作AE⊥AB交CD延长线于点E连接BD交OC于点F若AB=3AE=12求BF的长．13．已知：如图在⊙O中∠PAD=∠AEP AF=CF AB是⊙O的直径CD⊥AB于点G．(1)求证：AP是⊙O的切线．(2)若AG=4tan∠DAG=2求△ADE的面积．(3)在（2）的条件下求DQ的长．14．如图已知AB是⊙O的直径点E是⊙O上异于A B的点点F是弧EB的中点连接AE AF BF过点F作FC⊙AE交AE的延长线于点C交AB的延长线于点D⊙ADC的平分线DG交AF于点G交FB于点H．(1)求证：CD是⊙O的切线(2)求sin⊙FHG的值(3)若GH＝4√2HB＝2 求⊙O的直径．15．如图⊙O的两条弦AB、CD互相垂直垂足为E且AB=CD．(1)求证：AC=BD．(2)若OF⊥CD于F OG⊥AB于G问四边形OFEG是何特殊四边形？并说明理由．(3)若CE=1，DE=3求⊙O的半径．16．【问题提出】如图1 △ABC为⊙O内接三角形已知BC=a圆的半径为R 探究a R sin∠A之间的关系．【解决问题】如图2 若∠A为锐角连接BO并延长交⊙O于点D连接DC则∠A=∠D在△DBC中BD为⊙O的直径BC=a所以BD=2R,∠BCD=90°．所以在Rt△DBC中建立a R sin∠D的关系为________________．所以在⊙O内接三角形△ABC中a R sin∠A之间的关系为________________．类比锐角求法当∠A为直角和钝角时都有此结论．【结论应用】已知三角形△ABC中∠B=60°,AC=4则△ABC外接圆的面积为________．17．已知AB为⊙O的直径PA PC是⊙O的的切线切点分别为A C过点C作CD//AB交⊙O于D．（1）如图当P D O共线时若半径为r求证CD=r（2）如图当P D O不共线时若DE=2CE=8求tan∠POA．18．如图1 已知矩形ABCD中AB=2√3AD=3 点E为射线BC上一点连接DE以DE为直径作⊙O（1）如图2 当BE=1时求证：AB是⊙O的切线（2）如图3 当点E为BC的中点时连接AE交⊙O于点F连接CF求证：CF=CD （3）当点E在射线BC上运动时整个运动过程中CF长度是否存在最小值？若存在请直接写出CF长度的最小值若不存在请说明理由．19．已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形直径AC与对角线BD相交于点E作CH⊥BD于H CH与过A点的直线相交于点F∠FAD=∠ABD.（1）求证：AF为⊙O的切线（2）若BD平分∠ABC求证：DA=DC（3）在（2）的条件下N为AF的中点连接EN若∠AED+∠AEN=135°⊙O 的半径为2√2求EN的长.20．如图1 直线l1⊥l2于点M以l1上的点O为圆心画圆交l1于点A B交l2于点C D OM＝4 CD＝6 点E为弧AD上的动点CE交AB于点F AG⊙CE 于点G连接DG AC AD．（1）求⊙O的半径长（2）若⊙CAD＝40° 求劣弧弧AD的长（3）如图2 连接DE是否存在常数k使CE−DE=k·EG成立？若存在请求出k的值若不存在请说明理由（4）若DG⊙AB则DG的长为（5）当点G在AD的右侧时请直接写出⊙ADG面积的最大值．参考答案1．（1）证明：⊙AB是⊙O的直径⊙∠ACB=90°⊙∠CAB+∠B=90°⊙∠CED=∠CAB∠B=∠D⊙∠CED+∠D=90°⊙∠DCE=∠ACB=90°⊙CD⊥CE⊙CD是⊙O的直径即OC是⊙O半径⊙CE是⊙O的切线（2）由（1）知CD⊥CE在Rt△ABC和Rt△DEC中⊙∠B=∠D tanB=12⊙tan∠B=tan∠D=CECD =12⊙CD=2CE在Rt△CDE中CD2+CE2=DE2DE=3√5⊙(2CE)2+CE2=(3√5)2解得CE=3（负值舍去）即线段CE的长为3．2．解：（1）⊙OB=OD⊙∠ABC=∠ODB⊙AB=AC⊙∠ABC=∠ACB⊙∠ODB=∠ACB⊙OD∥AC⊙DE⊥AC OD是半径⊙DE⊥OD⊙DE是⊙O的切线．（2）连接BF AD⊙⊙O的半径为5 AB为直径⊙AB=10∠ADB=90°∠BFC=90°⊙tanB=1设AD=x则BD=2x2在Rt△ABD中由勾股定理得：AD2+BD2=AB2即x2+(2x)2=102解得：x=2√5或x=−2√5（舍去）⊙BD=2x=4√5⊙AB=AC∠ADB=90°⊙BD=CD⊙BC=2BD=8√5由（1）知OD∥AC⊙∠ODB=∠C⊙OB=OD⊙∠B=∠ODB=∠C⊙tanC=tanB=1即CF=2BF2在Rt△BCF中BF2+CF2=BC2即BF2+(2BF)2=(8√5)2解得BF=8或BF=−8（舍去）⊙CF=2BF=16．3．（1）证明：⊙直径DE⊙AB于点F⊙AF＝BF⊙AM＝BM（2）连接AO BO如图由（1）可得AM＝BM⊙AM⊙BM⊙⊙MAF＝⊙MBF＝45°⊙⊙CMN＝⊙BMF＝45°⊙AO＝BO DE⊙AB∠AOB⊙⊙AOF＝⊙BOF＝12⊙⊙N＝15°⊙⊙ACM＝⊙CMN+⊙N＝60° 即⊙ACB＝60°∠AOB．⊙⊙ACB＝12⊙⊙AOF＝⊙ACB＝60°．⊙DE＝8⊙AO＝4．得AF＝2√3在Rt⊙AOF中由sin∠AOF=AFAO在Rt⊙AMF中AM＝√2AF＝2√6．得BM= AM＝2√6得CM＝2√2在Rt⊙ACM中由tan∠ACM=AMCM⊙BC＝CM+BM＝2√2+2√6．4．（1）证明：⊙弧AC=弧AC⊙∠ADC=∠B．⊙OB=OC⊙∠B=∠OCB．⊙CO平分∠BCD⊙∠OCB=∠OCD⊙∠ADC=∠OCD．⊙CE⊥AD⊙∠ADC+∠ECD=90°⊙∠OCD+∠ECD=90°即CE⊥OC．⊙OC为⊙O的半径⊙CE是⊙O的切线．（2）连接OD得OD=OC⊙∠ODC=∠OCD．⊙∠OCD=∠OCB=∠B⊙∠ODC=∠B⊙CO=CO⊙△OCD≌△OCB⊙CD=CB．⊙AB是⊙O的直径⊙∠ACB=90°⊙AC=AB⋅sinB=10×35=6⊙CB=√AB2−AC2=√102−62=8⊙CD=8⊙CE=CD⋅sin∠ADC=CD⋅sinB=8×35=245．5．解：（1）连接OB OC过点O作OD⊙BC于点D⊙BD =CD =12BC⊙⊙A =60°⊙⊙BOC =2⊙A =120°⊙OB =OC⊙⊙OBC =⊙OCB =180°−∠BOC2=30°⊙OB =2√3⊙BD =OB •cos30°=2√3×√32=3⊙BC =2BD =6．（2）设点G 为此三角形ABC 内切圆的圆心（角平分线的交点）过G 分别向ABAC BC 作垂线GM GN GQ⊙GM =GN =GQ CQ =CN BQ =BM AM =AN⊙AM +AN =AB +AC -BC =6⊙AM =AN =3．在Rt △AGM 中⊙⊙GAM =30°⊙GM =√3⊙S △ABC =12BC •AH =S △ABG +S △BCG +S △ACG=12AB •GM +12BC •GQ +12AC •GN=12GM（AB+AC+CB）=9√3∵BC=6, S△ABC=12BC•AH⊙AH=3√3．6．（1）解：如图1 连接OD AD⊙AB是⊙O的直径CD⊥AB⊙AB垂直平分CD⊙M是OA的中点⊙OM=12OA=12OD⊙cos∠DOM=OMOD =12⊙∠DOM=60°即∠AOD=60°故答案为：60°（2）解：⊙CD⊥AB AB是⊙O的直径⊙CM=MD⊙M是OA的中点⊙AM=MO又⊙∠AMC=∠DMO⊙△AMC≌△OMD⊙∠ACM=∠ODM⊙CA∥OD⊙DE⊥CA⊙∠E=90°⊙∠ODE=180°−∠E=90°⊙DE⊥OD⊙DE与⊙O相切（3）如图2 连接CF CN⊙OA⊥CD于M⊙M是CD中点⊙NC=ND⊙∠CDF=45°⊙∠NCD=∠NDC=45°⊙∠CND=90°⊙∠CNF=90°由（1）可知∠AOD=60°∠AOD=30°⊙∠ACD=12在Rt△CDE中∠E=90°∠ECD=30°DE=6=12⊙CD=DEsin30°在Rt△CND中∠CND=90°∠CDN=45°CD=12⊙CN=CD•sin45°=6√2⊙∠AOD=60°，OA=OD⊙△OAD是等边三角形⊙∠OAD=60°∠CAD=2∠OAD=120°⊙∠CFD=180°−∠CAD=60°在Rt△CNF中∠CNF=90°∠CFN=60°CN=6√2 =2√6．⊙FN=CNtan60°7．（1）证明：如图1所示⊙∠ODB=∠AEC∠AEC=∠ABC⊙∠ODB=∠ABC⊙OF⊥BC⊙∠BFD=90°⊙∠ODB+∠DBF=90°⊙∠ABC+∠DBF=90°即∠OBD=90°⊙BD⊥OB⊙AB是⊙O的直径⊙BD是⊙O的切线（2）证明：连接AC如图2所示⊙OF⊥BC⊙弧BE=弧CE⊙∠CAE=∠ECB⊙∠CEA=∠HEC⊙△AEC ∽△CEH⊙CE EH =EACE⊙CE 2=EH ⋅EA（3）解：连接BE 如图3所示⊙AB 是⊙O 的直径⊙∠AEB =90°⊙⊙O 的半径为52 sin∠BAE =35 ⊙AB =5 BE =AB ⋅sin∠BAE =5×35=3 ⊙EA =√AB 2−BE 2=4⊙弧BE =弧CE⊙BE =CE =3⊙CE 2=EH ⋅EA⊙EH =94⊙在Rt △BEH 中 BH =√BE 2+EH 2=√32+(94)2=154 ⊙∠A =∠C⊙sinC =sinA⊙OF ⊥BC 垂足为F⊙在Rt △CFE 中 FE =CE ⋅sinC =3×35=95 ⊙CF =√CE 2−EF 2=√32−(95)2=125 ⊙BF =CF =125⊙OF =√BO 2−BF 2=√(52)2−(125)2=710 ⊙∠ODB =∠ABC⊙tan∠ODB =tan∠ABC⊙BFDF =OFBF⊙BF 2=OF ⋅DF⊙(125)2=710DF ⊙DF =28835．8．解：（1）连接OD 如图⊙EF 垂直平分BD⊙ED=EB⊙⊙EDB=⊙B⊙OA=OD⊙⊙A=⊙ODA⊙⊙A+⊙B=90°⊙⊙ODA+⊙EDB=90°⊙⊙ODE=90°⊙OD⊙DE⊙直线DE 是⊙O 的切线（2）作OH⊙AD 于H 如图则AH=DH 在Rt △OAB 中 sinA=BC AB =45在Rt △OAH 中 sinA=OH OA =45⊙OH=45⊙AH=√12−(45)2=35⊙AD=2AH=65 ⊙BD=5﹣65=195⊙BF=12BD=1910在Rt⊙ABC 中 cosB=45 在Rt⊙BEF 中 cosB=BF BE =45⊙BE=54×1910=198 ⊙线段DE 的长为198．9．(（1）证明：连接AD∵∠A =∠BCD ∠AED =∠CEB ∴ΔAED ∽ΔCEB∴ AECE =EDEB∴AE ·EB =CE ·ED（2）解：∵⊙O 的半径为 3 ∴OA =OB =OC =3∵OE =2BE∴OE =2 BE =1 AE =5 ∵ CEDE =95 ∴设CE =9x DE =5x∵AE ·EB =CE ·ED∴5×1=9x ·5x解得：x 1=13 x 2=−13（不合题意舍去） ∴CE =9x =3 DE =5x =53 过点C 作CF ⊥AB 于F∵OC =CE =3∴OF =EF =12OE =1∴BF =2在RtΔOCF中∵∠CFO=90°∴CF2+OF2=OC2∴CF=2√2在RtΔCFB中∵∠CFB=90°∴tan∠OBC=CFBF =2√22=√2∵CF⊥AB于F∴∠CFB=90°∵BP是⊙O的切线AB是⊙O的直径∴∠EBP=90°∴∠CFB=∠EBP在ΔCFE和ΔPBE中{∠CFB=∠PBE EF=BE ∠FEC=∠BEP∴ΔCFE≅ΔPBE(ASA)∴EP=CE=3∴DP=EP−ED=3−53=43．10．:解：（1）证明：如图连接OE．⊙四边形ABCD是菱形∴∠CAD=∠CAB∵OA=OE∴∠CAB=∠OEA∴∠CAD=∠OEA∴OE∥AD∵EF⊥AD∴OE⊥EF又⊙OE是⊙O的半径⊙EF是⊙O的切线．（2）解：如图连接BE．⊙AB是⊙O的直径∴∠AEB=90°∵∠BAD=60°∴∠CAD=∠CAB=30°在Rt△ABE中AE=AB·cos30°=2√3在Rt△AEF中EF=AE·sin30°=√3AB=2在Rt△OEF中OE=12⊙OF=√OE2+EF2=√4+3=√7．（3）解：如图过点C作CM垂直AB交AB延长线于点M由（2）知∠BAD=60°∴∠ACB=∠CAB=30°，∠CBM=60°∴AB=BC=4，BM=2，CM=2√3∴AM=6，OM=6−2=4．⊙OC=√OM2+CM2=√42+(2√3)2=2√7⊙CG近=2√7−2CE远=2√7+2⊙线段CG的取值范围是：2√7−2≤CG≤2√7+211．（1）证明：连接OD∵D为弧AC的中点∴OD⊥AC又∵DP为⊙O的切线∴OD⊥DP∴AC∥DP（2）证明：∵DE⊥AB∴∠DEO=90°由（1）可知OD⊥AC设垂足为点M∴∠OMA=90°∴∠DEO=∠OMA AC=2AM又∵∠DOE=∠AOM OD=OA∴△ODE≌△OAM(AAS)∴DE=AM∴AC=2AM=2DE（3）解：连接OD OC CE CP∵∠ODP=∠OED=90°∠DOE=∠DOP ∴△DOE∽△POD∴ODOP =OEOD∴OD2=OE⋅OP ∵OC=OD∴OC2=OE⋅OP∴OCOE =OPOC又∵∠COE=∠POC ∴△COE∽△POC∴CECP =OEOC∵AE:EO=1:2∴OEOA =23∴OEOC =23∴CECP =23．12．解：（1）连接OD⊙CB与⊙O相切于点B⊙OB⊥BC⊙AD//OC⊙∠A=∠COB,∠ADO=∠DOC⊙OA=OD⊙∠A=∠ADO=∠COB=∠DOC⊙△DOC≌△BOC(SAS)⊙∠ODC=∠OBC=90°⊙OD⊥DC又OD为⊙O半径⊙CD为⊙O的切线（2）解：设CB=x⊙AE⊥EB⊙AE为⊙O的切线⊙CD CB为⊙O的切线⊙ED=AE=4,CD=CB=x,∠DOC=∠BCO⊙BD⊥OC过点E作EM⊥BC于M则EM=12,CM=x−4⊙(4+x)2=122+(x−4)2解得x=9⊙CB=9⊙OC=√62+92=3√13⊙AB是直径且AD⊙OC⊙⊙OFB=⊙ADB=⊙OBC=90°又⊙⊙COB=⊙BOF⊙⊙OBF⊙⊙OCB⊙OB BF =OCBC⊙BF=OB⋅BCOC =6×93√13=1813√1313．（1）证明：如图所示连接AC ⊙AB是⊙O的直径CD⊥AB⊙弧AD=弧AC⊙∠AEP=∠ADC⊙∠PAD=∠AEP⊙∠PAD=∠ADC⊙AP∥CD⊙AP⊥AB⊙AB是⊙O的直径⊙AP是⊙O的切线（2）解：如图所示连接BD⊙AF=CF⊙∠FAC=∠FCA⊙弧CE=弧AD⊙弧AD=弧AC⊙弧AD=弧AC=弧CE⊙∠ADG=∠QDG⊙AB⊥CD⊙∠AGD=∠QGD=90°又⊙OG=OG⊙△AGD≌△OGD(ASA)⊙QG=AG=4∠DQG=∠DAG=2在Rt△ADG中tan∠DAG=DGAG⊙DG=2AG=8⊙QD=√DG2+QG2=4√5连接OD过点E作EH⊥AB于H设圆O的半径为r则OG=r−4在Rt△ODG中由勾股定理得OD2=OG2+DG2⊙r2=(r−4)2+82解得r=10⊙AB=20⊙BQ=12⊙∠AEQ=∠DBQ，∠EAQ=∠BDQ⊙△AQE∽△DQB⊙QE BQ =AQDQ即QE12=84√5⊙QE=12√55⊙∠EQH=∠DQG=∠DAG⊙在Rt△EQH中tan∠EQH=EHQH=2⊙EH=2QH⊙EH2+QH2=QE2⊙4QH2+QH2=1445⊙QH=125⊙EH=245⊙S△ADE=S△ADQ+S△AEQ=12AQ⋅DG+12AQ⋅EH=12×8×8+12×8×245=70.4．（3）解：由（2）得DQ=4√5．14．（1）证明：连接OF．⊙OA＝OF⊙⊙OAF＝⊙OF A⊙EF̂=FB̂,⊙⊙CAF＝⊙F AB⊙⊙CAF＝⊙AFO⊙OF∥AC⊙AC⊙CD⊙OF⊙CD⊙OF是半径⊙CD是⊙O的切线．（2）⊙AB是直径⊙⊙AFB＝90°⊙OF⊙CD⊙⊙OFD＝⊙AFB＝90°⊙⊙AFO＝⊙DFB⊙⊙OAF＝⊙OF A⊙⊙DFB＝⊙OAF⊙GD平分⊙ADF⊙⊙ADG＝⊙FDG⊙⊙FGH＝⊙OAF+⊙ADG⊙FHG＝⊙DFB+⊙FDG⊙⊙FGH＝⊙FHG＝45°⊙sin⊙FHG=sin45°=√22（3）解：过点H作HM⊙DF于点M HN⊙AD于点N．⊙HD平分⊙ADF⊙HM＝HNS△DHF⊙S△DHB= FH⊙HB=DF ⊙DB⊙⊙FGH是等腰直角三角形GH＝4√2⊙FH＝FG＝4⊙DF DB =42=2设DB＝k DF＝2k⊙⊙FDB＝⊙ADF⊙DFB＝⊙DAF ⊙⊙DFB⊙⊙DAF⊙DF2＝DB•DA⊙AD＝4k⊙GD平分⊙ADF⊙FG AG =DFAD=12⊙AG＝8⊙⊙AFB＝90° AF＝12 FB＝6∴AB=√AF2+BF2=√122+622=6√5⊙⊙O的直径为6√515．（1）证明：⊙AB=CD⊙弧AB=弧CD⊙弧AB−弧BC=弧CD−弧BC即弧AC=弧BD⊙AC=BD（2）解：四边形OFEG是正方形.理由如下：⊙AB⊥CD OF⊥CD OG⊥AB⊙∠AED=∠OGE=∠OFE=90°⊙四边形OFEG是矩形．如图连接OA OD．⊙OF⊥CD OG⊥AB⊙CF=DF AG=BG．⊙CD=AB⊙AG=DF．⊙OG=√OA2−AG2OF=√OD2−DF2OA=OD⊙OG=OF⊙四边形OFEG是正方形（3）解：⊙CE=1 DE=3⊙CD=4⊙CF=DF=2⊙EF=CF-CE=2-1=1．⊙四边形OFEG是正方形⊙OF=EF=1．在Rt△OED中OD=√OF2+DF2=√5⊙⊙O的半径为√5．16．:解：【解决问题】如图连接BO并延长交⊙O于点D连接DC则∠A=∠D 在△DBC中⊙BD为⊙O的直径BC=a⊙BD=2R,∠BCD=90°⊙sinD=BCBD =a2R⊙sinA=a2R故答案为：sinD=a2R sinA=a2R【结论应用】解：设△ABC外接圆的半径为R ⊙∠B=60°,AC=4⊙sinB=AC2R⊙√3 2=42R解得：R=43√3⊙△ABC外接圆的面积为π×(43√3)2=163π．故答案为：163π17．（1）证明：连接OC⊙PA PC是⊙O的切线切点分别为A C ⊙PA=PC∠PAO=∠PCO=90°在RtΔPAO和RtΔPCO中{PA=PCPO=PO⊙RtΔPAO≌RtΔPCO(HL)⊙∠POA=∠POC⊙CD//AB⊙∠CDO=∠DOA⊙∠CDO=∠COD⊙CD=OC=r（2）解：设OP交CD于E连接OC过O作OH⊥CD于点H由（1）可知RtΔPAO≌RtΔPCO⊙∠POA=∠POC⊙CD//AB⊙∠CEO=∠EOA⊙∠CEO=∠COE⊙CE=CO=8⊙CD=CE+ED=10⊙OH⊥CD⊙CH=DH=5⊙EH=DH−DE=3在RtΔCHO中⊙OH=√OC2−CH2=√82−52=√39在RtΔOHE中⊙tan∠POA=tan∠HEO=OHEH =√393⊙tan∠POA=√393．18．解：（1）如图过点O作OM⊥AB且OM的反向延长线交CD于点N．由题意可知四边形BCNM为矩形⊙MN=AD=3⊙O为圆心即O为DE中点⊙N为DC中点即线段ON为△DEC中位线又⊙CE=BC−BE=3−1=2⊙ON=12CE=1⊙OM=MN -ON=3-1=2．在Rt △DEC 中 DE =√CD 2+CE 2=√(2√3)2+22=4． ⊙OD=DE=OM=2．即AB 为⊙O 的切线．（2）设⊙O 与AD 交于点G 连接CG EG DF FG ⊙DE 为直径⊙∠EGD =∠EFD =90°．⊙∠GEC =90°⊙CG 为直径．⊙∠CFG =∠CDG =90°⊙E 为BC 中点⊙G 为AD 中点在Rt △AFD 中 FG 为中线⊙AG=DG=FG在Rt △CFG 和Rt △CDG 中 {FG =DG CG =CG⊙△CFG ≅△CDG(HL)．⊙CF=CD ．（3）如图取AD 中点H 连接CH FH FD ．由（2）可知FH =12AD =32 在Rt △CDH 中 CH =√CD 2+HD 2=√(2√3)2+(32)2=√572 ⊙CF ≥CH −FH =√572−32． ⊙当F 点在CH 上时CF 长有最小值最小值为√572−32．19．解：（1）⊙AC 为⊙O 的直径⊙⊙ADC =90°⊙⊙DAC +⊙DCA =90°．⊙弧AD =弧AD⊙⊙ABD =⊙DCA ．⊙⊙F AD =⊙ABD⊙⊙F AD =⊙DCA⊙⊙F AD +⊙DAC =90°⊙CA ⊙AF⊙AF 为⊙O 的切线．（2）连接OD ．⊙弧AD =弧AD⊙⊙ABD=1⊙AOD．2⊙弧DC=弧DC⊙DOC．⊙⊙DBC=12⊙BD平分⊙ABC⊙⊙ABD=⊙DBC⊙⊙DOA=⊙DOC⊙DA=DC．（3）连接OD交CF于M作EP⊙AD于P．⊙AC为⊙O的直径⊙⊙ADC=90°．⊙DA=DC⊙DO⊙AC⊙⊙F AC=⊙DOC=90° AD=DC=√(2√2)2+(2√2)2=4 ⊙⊙DAC=⊙DCA=45° AF⊙OM．⊙AO=OCAF．⊙OM=12⊙⊙ODE+⊙DEO=90° ⊙OCM+⊙DEO=90°⊙⊙ODE=⊙OCM．⊙⊙DOE=⊙COM OD=OC⊙⊙ODE⊙⊙OCM⊙OE=OM．设OM=m⊙OE =m AE =2√2−m AP =PE =2−√22m⊙DP =2+√22m ． ⊙⊙AED +⊙AEN =135° ⊙AED +⊙ADE =135°⊙⊙AEN =⊙ADE ．⊙⊙EAN =⊙DPE⊙⊙EAN ⊙⊙DPE⊙AE DP =AN PE ⊙2√2−m 2+√22m =m2−√22m⊙m =2√23⊙AN =2√23 AE =4√23由勾股定理得：NE =2√103．20．解：（1）连接OD⊙AB 是⊙O 的直径 l 1⊥l 2 CD ＝6⊙CM =DM =12CD =3在Rt △DOM 中 OM ＝4⊙OD=√OM2+CM2=5即⊙O的半径长为5（2）⊙AB是⊙O的直径l1⊥l2⊙弧BC=弧BD⊙∠BAD=∠BAC=12∠CAD=20°⊙∠BOD=2∠BAD=40°⊙∠AOD=180°−∠BOD=140°⊙劣弧弧AD的长为140×π×5180=35π9（3）存在常数k=2理由如下：如图在CG上截取CH=DE连接AH AE⊙AB垂直平分CD⊙AC=AD又⊙⊙ACH=⊙ADE⊙⊙ACH⊙⊙ADE（SAS）⊙AH=AE⊙ AG⊙HE⊙HG=EG⊙CE-DE=2EG⊙k=2（4）⊙DG⊙AB⊙⊙CFM⊙⊙CGD⊙FM DG =CFCG=CMCD=12⊙CF=FG DG=2FM⊙⊙CMF=⊙AGF⊙CFM=⊙AFG ⊙⊙CFM⊙⊙AFG⊙CF AF =FMFG⊙FM×AF=CF×FG=CF2设FM=x则AF=9-x⊙x(9−x)=32+x2解得：x=32或3⊙DG=3或6（5）如图取AC的中点P当PG⊙AD时⊙ADG的面积最大在Rt△AMC中⊙CMA=90° CM=3 AM=OA+OM=5+4=9⊙AD=AC=√CM2+AM2=√32+92=3√10在Rt△AGC中⊙CGA=90° 点P为AC的中点⊙PG=12AC=3√102过点C作CN⊙AD于点N在Rt⊙CDN和Rt⊙ADM中⊙⊙CND=⊙AMD=90° ⊙CDN=⊙ADM ⊙Rt⊙CDN~Rt⊙ADM⊙CN AM =CDAD⊙CN=AM⋅CDAD =9×63√10=9√105设PG交AD于点K ⊙PK⊙AD CN⊙AD ⊙PK⊙CN⊙⊙APK⊙⊙CAN⊙PK CN =APAC=12⊙PK=12CN=9√1010⊙GK=PG−PK=3√102−9√1010=3√105⊙⊙ADG面积的最大值为12AD⋅GK=12×3√10×3√105=9．。

(人教版)广州九年级数学上册第二十四章《圆》经典题(答案解析)

一、选择题1．如图，四个水平放置正方形的边长都为4，顶点A 、B 、C 是圆上的点，则此圆的面积为（）A ．72πB ．85πC ．100πD ．104π 2．如图，在⊙O 中，直径AB ＝10，弦DE ⊥AB 于点C ，若OC ：OB ＝3：5，连接DO ，则DE 的长为（）A ．3B ．4C ．6D ．83．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠ACB ＝54°，则∠ABO 的度数是（）A ．54°B ．30°C ．36°D ．60° 4．如图，ABC 为O 的一个内接三角形，过点B 作O 的切线PB 与OA 的延长线交于点P ．已知34ACB ∠=︒，则P ∠等于（）A ．17°B ．27°C ．32°D ．22°5．如图，在半径为8的O 中，点A 是劣弧BC 的中点，点D 是优弧BC 上一点，30D ︒∠=，下列结论不正确的是（）A ．OA BC ⊥B ．83BC = C ．四边形ABOC 是菱形D ．扇形OAC 的面积为643π 6．在⊙O 中，AB 为直径，点C 为圆上一点，将劣弧AC 沿弦AC 翻折交AB 于点D ，连结CD ．如图，若点D 与圆心O 不重合，∠BAC ＝25°，则∠BDC 的度数（）A ．45°B ．55°C ．65°D ．70°7．中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花，图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到12AC BD cm ==，C ，D 两点之间的距离为3cm ，圆心角为60︒，则图中摆盘的面积是（）A ．212cm πB ．224cm πC ．236cm πD ．248cm π 8．已知O 的半径为5，若4PO =，则点P 与O 的位置关系是（） A ．点P 在O 内 B ．点P 在O 上 C ．点P 在O 外D ．无法判断 9．如图，在⊙O 中，AB 是直径，弦AC=5，∠BAC=∠D ．则AB 的长为（）A ．5B ．10C ．52D ．102 10．如图，PA 、PB 、CD 是O 的切线，切点分别是A 、B 、E ，CD 分别交PA 、PB 于C 、D 两点，若60APB ∠=︒，则COD ∠的度数（）A ．50°B ．60°C ．70°D ．75° 11．如图△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝28°，以C 为圆心，CA 为半径的圆交AB 于点D ，则AD 的度数为（）A ．28°B ．56 °C ．62°D ．112° 12．如图，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD 丄AB ，∠CAB =20°，则∠BOD 等于（）A ．20°B ．40°C ．50°D ．60° 13．已知圆锥的底面半径为3cm ，母线长为6cm ，则圆锥的侧面积是（） A ．18cm 2 B ．218cm π C ．27cm 2 D ．227cm π 14．如图，⊙O 是四边形 ABCD 的内切圆，连接 OA 、OB 、OC 、OD ．若∠AOB ＝110°，则∠COD 的度数是（）A．60°B．70°C．80°D．45°15．如图，AB是⊙O的直径，AB=AC且∠BAC=45°，⊙O交BC于点D，交AC于点E，DF 与⊙O相切，OD与BE相交于点H．下列结论错误的是（）A．BD=CD B．四边形DHEF为矩形C．2AE DED．BC=2CE二、填空题16．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，若OA=2，∠P=60°，则AB的长为________17．如图，扇形AOB的圆心角是直角，半径为23，C为OB边上一点，将△AOC沿AC 边折叠，圆心O恰好落在弧AB上的点D，则阴影部分面积为___________18．已知ABC的周长为30，面积为20，其内角平分线交于点O，则点O到边BC的距离为________．19．已知O 的面积为π，则其内接正六边形的边长为______．20．如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC 为直径作半圆，交弦AB 于点D ，连接CD ，则图中阴影部分的面积是______．（结果用含π的式子表示）21．如图所示，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE 边长是6，则它的外接圆圆心P 的坐标是______．22．如图所示，已知矩形ABCD 的边3AB cm =，4AD cm =．以点A 为圆心作圆，使B ，C ，D 三点中至少有一点在圆外，且至少有一点在圆内，此圆半径R 的取值范围是______．23．如图，△ABC 中，∠A=60°，若O 为△ABC 的内心，则∠BOC 的度数为______度．24．已知⊙O 的半径为3，圆心O 到直线l 的距离为m ，若m 满足方程290x ，则⊙O 与直线l 的位置关系是________ 25．湖州南浔镇河流密如蛛网，民间有“千步一桥”之说．如图，某圆弧形桥拱的跨度AB =12米，拱高CD =4米，则该拱桥的半径为____米．26．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC=30°，半径为1cm的的圆心P在射线OA上，且与点O的距离为6cm，以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么与直线CD相切时，圆心P的运动时间为 _____．三、解答题27．如图，AB为量角器（半圆O）的直径，等腰直角△BCD的斜边BD交量角器边缘于点G，直角边CD切量角器于读数为60°的点E处（即弧AE的度数为60°），第三边交量角器边缘于点F处．（1）求量角器在点G处的读数α（0°＜α＜90°）；（2）若AB＝12cm，求阴影部分面积．28．正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，E是⊙O上的一点．（1）如图1，若点E在AB上，F是DE上的一点，DF＝BE．①求证：ADF≌ABE；②求证：DE﹣BE＝2AE．（2）如图2，若点E在AD上，直接写出线段DE、BE、AE之间的等量关系．29．如图，以Rt ABC的AC边为直径作O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC 的延长线于点D，点P为BC的中点，连接EP，AD．（1）求证：PE 是O 的切线；（2）若O 的半径为3，30B ∠=︒，求P 点到直线AD 的距离． 30．如图，ABC 内接于O ，60BAC ∠=︒，点D 是BC 的中点．BC ，AB 边上的高AE ，CF 相交于点H ．试证明：（1）FAH CAO ∠=∠；（2）四边形AHDO 是菱形．。

广东省2024年九年级中考数学一轮复习：圆模拟练习(含解析)

2024年广东省九年级数学一轮复习：圆模拟练习一、单选题1．（2023·广东广州·中考真题）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，若的半径为r，，则的值和的大小分别为（）A．2r，B．0，C．2r，D．0，2．（2023·广东·中考真题）如图，是的直径，，则（）A．B．C．D．3．（2023·广东清远·二模）如图，在边长为4正方形中，点E在以B为圆心的弧上，射线交于F，连接，若，则（）．A．2B．C．D．4．（2023·广东河·一模）如图，为⊙O的直径，是⊙O的弦，点是上的一点，且．若，，则的长为（）A．B．C．D．5．（2023·广东湛江·一模）如图，、是的直径，弦，弧为，则的度数为（）A．B．C．D．6．（2023·广东佛山·一模）如图，点A、B、C在上，，则（）A．18°B．36°C．72°D．144°7．（2023·广东深圳·模拟预测）下列说法中正确的一项是（）A．经过三点有且只有一个圆B．在圆中，长度相等的弦所对的圆心角相等C．有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形D．有两条边相等的直角三角形全等8．（2023·广东清远·模拟预测）如图，是半的直径，点在半上，．是上的一个动点，连接，过点作于，连接．在点移动的过程中，的最小值为（）A．B．C．D．29．（2023·广东云浮·一模）如图，切于C，点D从C出发，以每秒的速度沿方向运动，运动1秒时，运动2秒时长是（）A．B．C．D．10．（2023·广东深圳·二模）如图，在中，，，，D是上一动点，于E，交于点F，则的最大值是（）A．B．C．D．11．（2023·广东阳江·二模）如果一个正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是（）A．4B．6C．8D．1012．（2023·广东广州·二模）如图，正六边形内接于，点是上的一点，则的度数为（）A．B．C．D．13．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交边于点D，则的长为（）A．B．C．D．14．（2023·广东珠海·一模）如图，切于两点，若，的半径为，则阴影部分的面积为（）A．B．C．D．二、填空题15．（2023·广东深圳·中考真题）如图，在中，为直径，C为圆上一点，的角平分线与交于点D，若，则°．16．（2023·广东东莞·一模）如图，四边形为的内接四边形，，则的度数为．17．（2023·广东广州·一模）如图，是的弦，交于点P，过点B的直线交的延长线于点C，若，，，则的长为．18．（2023·广东梅州·一模）如图，是上的三个点，，则度数是．19．（2023·广东东莞·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知，以点C为圆心的圆与y轴相切，点A、B在x轴上，且．点P为上的动点，，则长度的最小值为．20．（2023·广东广州·一模）如图，在中，为直径，点M为延长线上的一点，与相切于点C，圆周上有另一点D与点C分居直径两侧，且使得，连接．现有下列结论：①与相切；②四边形是菱形；③；④．其中正确的结论是（填序号）．21．（2023·广东揭阳·一模）一个正多边形的中心角为36°，则这个正多边形的内角和为度．22．（2023·广东东莞·三模）如图，和是两个完全重合的直角三角板，，斜边长为三角板绕直角顶点顺时针旋转，当点落在边上时，则点所转过的路径长为．23．（2023·广东潮州·一模）如图，正方形的边长为2，分别以为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点，那么图中阴影部分的面积为．三、解答题24．（2023·广东广州·中考真题）如图，在平面直角坐标系v中，点，，所在圆的圆心为O．将向右平移5个单位，得到（点A平移后的对应点为C）．(1)点D的坐标是___________，所在圆的圆心坐标是___________；(2)在图中画出，并连接，；(3)求由，，，首尾依次相接所围成的封闭图形的周长．（结果保留）25．（2023·广东·中考真题）综合探究如图1，在矩形中，对角线相交于点，点关于的对称点为，连接交于点，连接．(1)求证：；(2)以点为圆心，为半径作圆．①如图2，与相切，求证：；②如图3，与相切，，求的面积．26．（2023·广东东莞·一模）如图，在中，，延长到点D，以为直径作，交的延长线于点E，延长到点F，使．(1)求证：是的切线；(2)若的半径为5，，，求的长．27．（2023·广东汕头·一模）如图，内接于．是直径，过点作直线，且是的切线．(1)求证：．(2)设是弧的中点，连接交于点，过点作于点，交于点．①求证：．②若，，试求的长．28．（2023·广东肇庆·二模）如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过点，的分别交，于点，连接交于点．(1)求证：是的切线；(2)若，半径为4，在圆O上取点P，使，求点P到直线的距离．29．（2023·广东茂名·一模）张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），已知轮片的一条弦的垂直平分线交弧于点，交弦于点，测得，．(1)请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)求（1）中所作圆的半径．30．（2023·广东河·三模）【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：如图，点为坐标原点，的半径为，点．动点在上，连接，作等边（，，为顺时针顺序），求的最大值；【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图中，连接，以为边在的左侧作等边，连接．（）请你找出图中与相等的线段，并说明理由；（）线段的最大值为．【灵活运用】（）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点为线段外一动点，且，，，求线段长的最大值及此时点的坐标．【迁移拓展】（）如图③，，点是以为直径的半圆上不同于的一个动点，以为边作等边，请直接写出的最值．参考答案：1．D【分析】如图，连接．利用切线长定理，圆周角定理，切线的性质解决问题即可．【详解】解：如图，连接．∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，∴，∴，，∴，∴．故选：D．【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，切线的性质等知识，解题的关键是掌握切线的性质，属于中考常考题型．2．B【分析】根据圆周角定理可进行求解．【详解】解：∵是的直径，∴，∵，∴，∵，∴；故选B．【点睛】本题主要考查圆周角的相关性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键．3．B【分析】如图，连接，过点B作于点H，根据圆的性质和等腰三角形的性质可定，再结合正方形的性质可得；再证可得，即；然后再根据勾股定理列方程即可解答．【详解】解：如图，连接，过点B作于点H，∵点E在以B为圆心的弧上，∴，∵，∴，∵四边形是正方形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，∴，∴或（舍去）．故选：B．【点睛】本题主要考查了圆的基本性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．4．B【分析】连接，交于，根据垂径定理推论，再由垂径定理，再由勾股定理计算，的长，从而求得的长，此题考查了圆周角定理，垂径定理和勾股定理的性质，正确作出辅助线是解题的关键．【详解】解：连接，交于，∵，∴点是的中点，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∵为的直径，∴，∴，故选：．5．C【分析】连接，利用等边对等角，弦，圆心角，弧的关系，平行线的性质计算即可.【详解】连接，解：∵弧为，∴，∵，∴，∵，∴，故选：C．【点睛】本题考查了等边对等角，弦，圆心角，弧的关系，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，圆的性质是解题的关键.6．C【分析】本题考查圆周角定理，根据对边对等角，三角形的内角和定理，求出的度数，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可得出结果．【详解】解：∵点A、B、C在上，∴，∴，∴，∴；故选C．7．C【分析】根据确定圆的条件对A进行判断；根据弦与圆心角关系对B进行判断；根据平行四边形的判定方法对C进行判断；根据全等三角形的判定对D进行判断．【详解】解：A、经过不在同一直线上的三点有且只有一个圆，故此选项错误；B、在同圆或等圆中，长度相等的弦所对的圆心角相等，故此选项错误；C、有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，故此选项正确；D、有两条边相等的直角三角形不一定全等，故此选项错误．故选：C．【点睛】此题主要考查了确定圆的条件、弦与圆心角的关系、平行四边形的判定及全等三角形的判定方法等知识，正确有关图形的判定与性质是解题关键．8．D【分析】以为直径画圆，圆心为，连接、，在点移动的过程中，点在以为直径的圆上运动，当、、共线时，的值最小，最小值为，利用勾股定理求出即可解决问题．【详解】解：如图，以为直径画圆，圆心为，连接、，，∵，∴，∴在点移动的过程中，点在以为直径的圆上运动，∵是直径，∴，在中，∵，∴，在中，，∵，∴当、、共线时，的值最小，最小值为，故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定点的运动轨迹是在以为直径的圆上运动，属于中考填空题中的压轴题．9．C【分析】本题考查切线的性质、勾股定理，掌握切线性质是关键．先证得，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：∵切于C，∴，∵点D从C出发，以每秒的速度沿方向运动，∴运动1秒时，又∵运动1秒时，∴在中，由勾股定理得：，∵运动2秒时长为，∴此时．故选：C．10．B【分析】取的中点O，连接，，延长交于T．证明，推出点E在以O为圆心，为半径的圆上运动，推出当与相切时，的值最大，根据切线的性质、平行线的性质及含30度角的直角三角形的性质即可得出答案．【详解】解：如图，取的中点O，连接，，延长交于T．∵，，，∴，∴，，∵，∴，∴E在上，∵，∴，∴点E在以O为圆心，为半径的圆上运动，∵，∴当与相切时，的值最大，∵直线，直线都是的切线，∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴的最大值为．故选：B．【点睛】本题考查直角三角形角的性质、直线与圆的位置关系、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是发现点E在以O为圆心，为半径的圆上运动，并推出与相切时，的值最大．11．C【分析】根据正多边形的边数周角中心角，计算即可得解．【详解】解：这个多边形的边数是，故选：C．【点睛】本题考查的是正多边形的中心角的有关计算；熟记正多边形的中心角与边数的关系是解题的关键．12．B【分析】利用圆内接正多边形中心角及同弧所多对的圆周角是圆心角一半定理即可．【详解】如图，连接，，∵六边形是圆内接正六边形，∴，∴，故选：．【点睛】本题考查圆内接正多边形和圆周角定理，解此题的关键是熟练掌握圆内接正多边形中心角计算和圆周角定理角度计算．13．B【分析】根据直角三角形的性质得到，根据已知条件得到是等边三角形，由等边三角形的性质即可得到结论．【详解】解：连接，，，，，，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，是等边三角形，，，故选：B．【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质及弧长公式，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．14．B【分析】如图所示，连接，可证，，，根据含角的直角三角形的性质可计算出的值，由此可算出四边形的面积，再根据四边形的性质，算出的角度，可算出扇形的面积，由此即可求解．【详解】解：如图所示，连接，∵切于，，∴，，∴是的角平分线，则，∵，是公共边，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，在四边形中，，∴，∴，∴，故选：．【点睛】本题主要考查扇形，不规则图像面积的计算方法，掌握圆的基础知识，扇形的面积计算方法，不规则图形面积的计算方法是解题的关键．15．35【分析】由题意易得，，则有，然后问题可求解．【详解】解：∵是的直径，∴，∵，，∴，∴，∵平分，∴；故答案为35．【点睛】本题主要考查圆周角的性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键．16．/70度【分析】本题考查圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形对角互补是解题关键．直接利用圆内接四边形对角互补与邻补角的性质推导可得出答案．【详解】解：∵四边形为的内接四边形，，即，，故答案为：．17．4【分析】由垂直定义得，根据等腰三角形的性质由得，根据对顶角相等得，所以，而，所以，设，则，在中，根据勾股定理得到，然后解方程即可．【详解】解：连接，如图所示：∵，∴，∴，∵，∴，而，∴，∵，∴，∴，∴为直角三角形，设，则，在中，，，∵，∴，解得：，即的长为4．故答案为：4．【点睛】本题考查了圆的基本知识，等腰三角形的性质以及勾股定理，垂线定义理解，正确应用勾股定理求出的长是解题关键．18．【分析】由圆周角定理即可得到答案．【详解】解：，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，是解题的关键．19．4【分析】本题考查了切线的性质，坐标和图形的性质，圆周角定理，找到的最小值是解题的关键．连接，交上一点P，以O为圆心，以为半径作，交x轴于A、B，此时的长度最小，根据勾股定理和题意求得，则的最小长度为4．【详解】解：连接，交⊙C上一点P，以O为圆心，以为半径作，交x轴于A、B，此时的长度最小，∵，∴，∵以点C为圆心的圆与y轴相切．∴的半径为3，∴，∴，∵是直径，∴，∴长度的最小值为4，故答案为：4．20．①②③④【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、切线的判定及性质、菱形的判定及性质、含角的直角三角形的特征，利用得，可得，再根据切线的判定及性质可判断①，利用三角形的判定及性质得，再根据菱形的判定即可判断②，利用含角的直角三角形的特征可判断③，利用菱形的性质可判断④，熟练掌握相关的判定及性质是解题的关键．【详解】解：连接，，，，，，，与相切于点C，，，是的直径，与相切；故①正确；，，，，，，，∴四边形是菱形，故②正确；，，，，，，，，故③正确；∵四边形是菱形，，，故④正确；故答案为：①②③④．21．1440【分析】依据正多边形的中心角和为求得边数，再依据多边形内角和公式代入求解即可．【详解】解：因为正多边形的中心角为36°，且中心角和为，所以这个多边形边数：，则这个多边形的内角和为：．故答案为：．【点睛】本题考查了正多边形内角和公式、中心角性质，通过中心角求得边数是解题的关键．22．【分析】本题主要考查了旋转的性质，求弧长，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，根据三角形内角和和含度的直角三角形三边的关系得到，，再根据旋转的性质得，于是可判断为等边三角形，所以，然后根据弧长公式计算弧的长度即可．【详解】解：，，，，，三角板绕直角顶点顺时针旋转，点落在边上，∴，∴为等边三角形，∴弧的长度，即点所转过的路径长．故答案为：．23．【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、扇形面积、弓形面积的计算，连接，过点作，易得为等边三角形，从而利用割补法求得阴影部分的面积即可，准确识图，添加适当的辅助线构造规则图形是解此题的关键．【详解】解：如图，连接，过点作，由题意可得，为等边三角形，，，，，，∴弓形的面积为，∴空白部分的面积为，∴阴影部分的面积为，故答案为：．24．(1)，(2)见解析(3)【分析】（1）根据平移的性质，即可解答；（2）以点为圆心，2为半径画弧，即可得出；（3）根据弧长公式求出，根据平移的性质得出，根据勾股定理求出，最后相加即可．【详解】（1）解：∵，所在圆的圆心为，∴，所在圆的圆心坐标是，故答案为：，；（2）解：如图所示：即为所求；（3）解：连接，∵，，∴的半径为2，∴，∵将向右平移5个单位，得到，∴，∴，∴由，，，首尾依次相接所围成的封闭图形的周长．【点睛】本题主要考查了平移的性质，求弧长，勾股定理，解题的关键是掌握平移前后对应点连线相等，弧长公式，以及勾股定理的内容．25．(1)见解析(2)①见解析；②【分析】（1）由点关于的对称点为可知点E是的中点，，从而得到是的中位线，继而得到，从而证明；（2）①过点O作于点F，延长交于点G，先证明得到，由与相切，得到，继而得到，从而证明是的角平分线，即，，求得，利用直角三角形两锐角互余得到，从而得到，即，最后利用含度角的直角三角形的性质得出；②先证明四边形是正方形，得到，再利用是的中位线得到，从而得到，，再利用平行线的性质得到，从而证明是等腰直角三角形，，设，求得，在中，即，解得，从而得到的面积为．【详解】（1）∵点关于的对称点为，∴点E是的中点，，又∵四边形是矩形，∴O是的中点，∴是的中位线，∴∴，∴（2）①过点O作于点F，延长交于点G，则，∵四边形是矩形，∴，，∴，．∵，，，∴，∴．∵与相切，为半径，，∴，∴又∵即，，∴是的角平分线，即，设，则，又∵∴∴又∵，即是直角三角形，∴，即解得：，∴，即，在中，，，∴，∴；②过点O作于点H，∵与相切，∴，∵∴四边形是矩形，又∵，∴四边形是正方形，∴，又∵是的中位线，∴∴∴又∵，∴又∵，∴又∵，∴是等腰直角三角形，，设，则∴在中，，即∴∴的面积为：【点睛】本题考查矩形的性质，圆的切线的性质，含度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，中位线的性质定理，角平分线的判定定理等知识，掌握相关知识并正确作出辅助线是解题的关键．26．(1)见详解(2)【分析】（1）连接，根据，，可得，，再根据，，可得，即有半径，问题得证；（2）连接，过O点作于点，利用垂径定理可得，，即，再证明，即有，设，即，在和中，有，，即，解方程即可求解．【详解】（1）证明：连接，如图，∵，，∴，，∵，∴，∵，，，∴，∴半径，∴是的切线；（2）解：连接，过O点作于点，如图，∵，，，的半径为5，∴，，即：，∵，，，∴，∴，设，即，∵，，∴在中，有；在中，有∴，解得：，∴．【点睛】本题考查了切线的判定与性质，等边对等角，全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，掌握切线的判定与性质是解答本题的关键．27．(1)见解析(2)①见解析；②1【分析】（1）由直径所对的圆周角等于得出，由切线的性质定理得出，即可得出结论；（2）①由等弧所对的圆周角相等得出，由直角所对的圆周角为90°得出，由垂直的定义得出，等量代换得出，即可得出结论；②连接、，作，交的延长线于点，由角平分线的性质得出，由全等三角形的判定得出和，得出，，代入计算即可求出的值．【详解】（1）证明：是直径，，；是的切线；∴，，∴；（2）解：①是弧的中点，，是直径，，∵，，，，．②连接、，作，交的延长线于点．，，，，在与中，，，，是弧的中点，，在与中，，．．，即，．【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，熟练掌握各性质定理是解答此题的关键．28．(1)见解析(2)或【分析】（1）连接，可得，从而可证，即可求证；（2）①过点作交的延长线于点，并连接、，，过作交于，可求，从而可求，，进而可求，即可求解；②连接，，，过点作交于点，连接，同理可求，，可证，可得与重合，可求，即可求解．【详解】（1）解：如图，连接，，，是的平分线，，，，，点在上，是的切线；（2）解：①如图，过点作交的延长线于点，并连接、，，过作交于，，，，，，是的平分线，，，，，，，在中，，，，在中，，，，，，，点到直线的距离是；②如图，连接，，，过点作交于点，连接，同理可求，，，，，与重合，，在中，，，，，，点到直线的距离是；综上所述：或．【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的特征，根据题意作出辅助线，掌握相关的性质是解题的关键．29．(1)见解析(2)【分析】（1）由垂径定理知，垂直于弦的直径是弦的中垂线，故作，的中垂线交于点，则点是弧所在圆的圆心；（2）在中，由勾股定理得出方程，解方程可求得半径的长．【详解】（1）解：作弦的垂直平分线与弦的垂直平分线交于点，以为圆心长为半径作圆就是此残片所在的圆，如图1所示．（2）连接，如图2所示：设，∵，，∴，则根据勾股定理列方程：，解得：．答：圆的半径为．【点睛】本题考查了作图，垂径定理，中垂线的性质，勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题（2）的关键．30．（）结论：，理由见解析；（）；（），；（）的最大值为，的最小值为．【分析】()结论：．只要证明即可；()利用三角形的三边关系即可解决问题；()连接，将绕着点顺时针旋转得到，连接，得到是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到，，根据当在线段的延长线时，线段取得最大值，即可得到最大值为；过作轴于，根据等腰直角三角形的性质，即可得到结论；()如图中，以为边作等边三角形，由，推出，推出欲求的最大值，只要求出的最大值即可，由定值，，推出点在以为直径的上运动，由图象可知，当点在上方，时，的值最大．【详解】解：（）如图中，结论：，理由：∵、都是等边三角形，∴，，，∴，∴，∴；（）在中，，∴当共线，∴的最大值为，∴的最大值为．故答案为：；（）如图，连接，∵将绕着点顺时针旋转得到，连接，则是等腰直角三角形，∴，，∵的坐标为，点的坐标为，∴，，∴，∴线段长的最大值线段长的最大值，∴当在线段的延长线时，线段取得最大值（如图中），最大值，∵，∴最大值为；如图，过作轴于，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴；（）如图中，以为边作等边三角形，∵，∴，∵，，∴，∴，∴欲求的最大值，只要求出的最大值即可，∵定值，，∴点在以为直径的半圆上运动，由图象可知，当点在上方，时，的值最大，最大值，∴AC的最大值为；当点在线段的右侧时，以为边作等边，∵，∴，且，，∴，∴，∴欲求的最小值，只要求出的最小值即可，∵定值，，∴点在以为直径的上运动，由图象可知，当点在的上方，时，的值最小，的最小值，∴的最小值为；综上所述，的最大值为，AC的最小值为．【点睛】本题考查了圆的有关知识、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．。

广东中考数学24题(圆的综合题)复习

【等腰三角形的性质】24. 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D ，直线DC 与AB 的延长线相交于P ．弦CE 平分∠ACB ，交直径AB 于点F ，连结BE ．（1）求证：AC 平分∠DAB ；（2）探究线段PC ，PF 之间的大小关系，并加以证明；（3）若tan ∠PCB =43，BE =25，求PF 的长．题24图F BDPO CE24．如图，⊙O 是ABC ∆的外接圆，AE 平分BAC ∠交⊙O 于点E ，交BC 于点D ，过点E 作直线l ∥BC ．（1）判断直线l 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若ABC ∠的平分线BF 交AD 于点F ，求证：BE EF =；（3）在（2）的条件下，若4,3DE DF ==，求AF 的长．24.（本小题满分 9 分）如图，AB 为⊙O 直径，BC 为⊙O 切线，连接 A 、C 两点，交⊙O 于点 D ，BE =CE ，连接 DE ，OE .（1）判断 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）求证：BC 2=CD ·2OE ；（3）若 cos ∠BAD =35，BE =6，求 OE 的长.24.如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，D 是⊙O 上的一点，且AD ∥CO . (1)求证：△ADB ∽△OBC ；(2)连接CD ，试说明CD 是⊙O 的切线；(3)若AB =2，BC = ，求AD 的长.(结果保留根号)24．已知AB 是⊙O 的切线，BC 为⊙O 的直径，AC 与⊙O 交于点D ，点E 为AB 的中点，PF ⊥BC 交BC 于点G ，交AC 于点F . （1）求证：ED 是⊙O 的切线；（2）求证：△CFP ∽△CPD ；（3）如果CF=1，CP=2，sin A=54，求点O 到DC 的距离．24.如图，BD 为⊙O 的直径，点A 是弧BC 的中点，AD 交BC 于E 点，AE =2，ED =4. （1）求证: ABE ∆～△ADB ；（2) 求tan ADB ∠的值；（3）延长BC 至F ，连接FD ，使BDF ∆的面积等于83，求证：DF 与⊙O 相切。

九年级数学第24章圆单元复习(3)及答案

第二十四章圆单元复习巩固(3)班级姓名座号月日主要内容:与圆有关的计算复习和巩固一、课堂练习:1.(1)(课本130页)以半径为1的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则( )A.不能构成三角形B.这个三角形是等腰三角形C.这个三角形是直角三角形D.这个三角形是钝角三角形 (2)如图,这是中央电视台“曲苑杂谈”中的一副图案,它是一扇形图形,其中AOB 为120,OC 长为8cm , CA 长为12cm ,则阴影部分的面积为（） A.264πcm B.2112πcmC.2144πcmD.2152πcm(3)(课本130页)一个圆锥的侧面积是底面积的2倍,则圆锥侧面展开图的扇形圆心角是( ) A.120 B.180 C.240 D.3002.(课本131页)如图,大半圆中有n 个小半圆,大半圆弧长为1L ,n 个小半圆的弧长和为2L ,找出1L 和2L 的关系并证明你的结论.(友情提示:利用弧长公式)二、课后作业:1.(课本131页)如图,求中心为原点O ,顶点A 、D 在x 轴上,半径为2cm 的正六边形ABCDEF 的各顶点的坐标.A C O B2.(课本131页)如图,A、B、C两两不相交,且半径都是0.5cm,求图中的三个扇形(即阴影部分)的面积之和.(友情提示:三个圆心角之间有何关系)3.(课本132页)锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的,它的上下两部分是圆锥,中间是一个圆柱(如图,单位:mm).电镀时,如果每平方米用锌0.11kg,要电镀100个这样的锚标浮筒,需要用多少锌(精确到0.01kg)？(友情提示:图形可以看做一个圆柱和两个圆锥组成)4.(课本133页)如图,A和B外切于点P,它们的半径分别为0.6m和0.2m,直线CDm).与它们都相切,切点分别为C、D,求图中阴影部分的面积(精确到0.012(友情提示:通过构造一个直角梯形,求出圆心角的度数)参考答案一、课堂练习:1.(1)(课本130页)以半径为1的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则( C )A.不能构成三角形B.这个三角形是等腰三角形C.这个三角形是直角三角形D.这个三角形是钝角三角形 (2)如图,这是中央电视台“曲苑杂谈”中的一副图案,它是一扇形图形,其中AOB ∠为120,OC 长为8cm , CA 长为12cm ,则阴影部分的面积为（ B ） A.264πcm B.2112πcmC.2144πcmD.2152πcm(3)(课本130页)一个圆锥的侧面积是底面积的2倍,则圆锥侧面展开图的扇形圆心角是( B ) A.120 B.180 C.240 D.3002.(课本131页)如图,大半圆中有n 个小半圆,大半圆弧长为1L ,n 个小半圆的弧长和为2L ,找出1L 和2L 的关系并证明你的结论.(友情提示:利用弧长公式)解:1L =2L设n 个小半圆半径依次为12,,,n r r r ⋅⋅⋅.则大圆半径为12()n r r r ++⋅⋅⋅+ ∴112π()n L r r r =++⋅⋅⋅+21212ππππ()n n L r r r r r r =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+ ∴1L =2L二、课后作业:1.(课本131页)如图,求中心为原点O ,顶点A 、D 在x 轴上,半径为2cm 的正六边形ABCDEF 的各顶点的坐标.解:连接OB ,设BC 与y 轴相交于点H , 则OB =2,∠BOH =30°∴BH =1,223OH OB BH =-= ∴B (1,3--)∴C (,13-),E (,13),F (,13-) ∴A (,20-),B (,13--),C (,13-),D (,20),E (,13),F (,13-)2.(课本131页)如图,A 、B 、C 两两不相交,且半径都是0.5cm ,求图中的三个扇形(即阴影部分)的面积之和.(友情提示:三个圆心角之间有何关系)A C O B3.(课本132页)锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的,它的上下两部分是圆锥,中间是一个圆柱(如图,单位:mm ).电镀时,如果每平方米用锌0.11kg ,要电镀100个这样的锚标浮筒,需要用多少锌(精确到0.01kg )？ (友情提示:图形可以看做一个圆柱和两个圆锥组成)解:由图形可知圆锥的底面圆的半径为0.4米,圆锥的高为0.3米,圆柱的高为0.8米. 则圆锥的母线长为0.5米.∴圆锥的侧面积=⨯⨯=1π0.40.50.2πS （2米）圆柱的侧面积=⨯⨯=22π0.40.80.64πS （2米） ∴浮筒的表面积=122S S +=1.04π≈3.267（2米） 100 3.2670.1135.94()kg ⨯⨯≈答:要电镀100个这样的锚标浮筒,需要用35.94kg 的锌.4.(课本133页)如图,A 和B 外切于点P ,它们的半径分别为0.6m 和0.2m ,直线CD 与它们都相切,切点分别为C 、D ,求图中阴影部分的面积(精确到0.012m ). (友情提示:通过构造一个直角梯形,求出圆心角的度数) 解:连接AB 、AC 、BD ,作BE ⊥AC 于E .则四边形CDBE 为矩形,四边形ACDB 为梯形, ∴AE =AC -BD =0.4,AB =AP +BP =0.8∴在Rt △AEB 中,可得∠1=30°,BE ∴∠A =60°,∠ABD =120°∴梯形ACDB 的面积1()2BD AC CD =+⋅2)m =∴ACP S 扇形⨯⨯==260π0.63600.062π()m DBP S 扇形⨯⨯==2120π0.236020.04π()3m∴=--ACP DBP ACDB S S S S 阴影扇形扇形梯形-≈0.040.06ππ30.05(2m )解:∵∠A +∠B +∠C =180°∴⋅⋅==2180π0.51π3608S 阴答:图中的三个扇形面积之和为21π8cm.。

2021年广东省中考数学总复习：圆的综合题

第6题图
题型十二圆的综合题
证明：如解图，过点O作OF⊥AB于点F. ∵∠AOE＝∠BAE，∠AOE＝∠BOC， ∴∠BAE＝∠BOC. ∵AE⊥BE，∠C＝90°， ∴∠ABO＝∠CBO. ∴OB平分∠ABC. ∵OF⊥AB，OC⊥BC， ∴OF＝OC. ∴OF是⊙O的半径． ∵OF⊥AB，∴AB是⊙O的切线．
题型十二圆的综合题
针对演练
类型一与全等结合
1. (2019遵义)如图，AB是⊙O的直径，弦AC与BD交于点E，且AC＝BD，连接AD，
BC.
(1)求证：△ADB≌△BCA；
(2)若OD⊥AC，AB＝4，求弦AC的长；
(3)在(2)的条件下，延长AB至点P，使BP＝2，
连接PC.求证：PC是⊙O的切线．
( 2 2＋x)2－x2＝42，解得x＝ 2 ，∴⊙O的半径为 2 .
题型十二圆的综合题
2. 如图，以AB为直径作⊙O，过点A作⊙O的切线AC，连接BC，交⊙O于点D，点E
3
是BC边的中点，连接AE.若AB＝6，cosB＝ 5 ，求DE的长．
第2题图
题型十二圆的综合题
解：如解图，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
5
第2题解图
题型十二圆的综合题
类型二证线段相等[2019.24(1),2017、2014.24(2)]
满分技法在圆中证明线段相等常有以下几种方法： 1. 若所证两线段不平行． (1)利用等腰或等边三角形等角对等边来证明； (2)利用等腰三角形三线合一或直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来证明； (3)利用全等三角形证明； (4)利用同圆半径，直径相等来证明； (5)利用等弧所对的弦相等进行证明． 2. 若所证两线段平行，则可以考虑特殊四边形对边相等来证明．

2020-2021学年广东省九年级上册数学(人教版)期末考试复习：第24章《圆》解答题精选

第24章《圆》解答题精选1．（2019秋•白云区期末）如图，在△ABC中，边BC与⊙A相切于点D，∠BAD＝∠CAD．求证：AB＝AC．2．（2019秋•怀集县期末）如图，AB是⊙O的直径，已知BC为⊙O的切线，B为⊙O切点，OC与AD弦互相平行．求证：DC是⊙O的切线．3．（2019秋•金平区期末）如图，⊙O的直径AB＝10，点C为⊙O上一点，连接AC、BC．（1）作∠ACB的角平分线，交⊙O于点D；（2）在（1）的条件下，连接AD．求AD的长．4．（2019秋•龙湖区期末）如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED＝∠C．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）求证：DE平分∠BEP；（3）若⊙O的半径为10，CF＝2EF，求BE的长．5．（2019秋•新会区期末）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是AB延长线上一点，∠BCP ＝∠A．（1）求证：直线PC是⊙O的切线；（2）若CA＝CP，⊙O的半径为2，求CP的长．6．（2019秋•阳江期末）如图，AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB，垂足为C，∠A＝30°，连结BE，M为BE 的中点，连结MF，过点F作直线FD∥AE，交AB的延长线于点D．（1）求证：FD是⊙O的切线；（2）若MF=√7，求⊙O的半径．7．（2019秋•端州区期末）如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC、OD交于点E．（1）求证：OD∥BC；（2）若AC＝2BC，求证：DA与⊙O相切．8．（2019秋•番禺区期末）如图，已知⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠C＝90°，AB ＝13，BC＝12．（1）求BF的长；（2）求⊙O的半径r．9．（2019秋•香洲区期末）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠BAC＝60°，延长BA至点P使AP＝AC，作CD平分∠ACB交AB于点E，交⊙O于点D．连结PC，BD．（1）求证：PC为⊙O的切线；（2）求证：BD=√2P A；（3）若PC＝6√3，求AE的长．10．（2019秋•南沙区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在边AB上，点D在边BC上，且AE 是⊙O的直径，∠CAB的平分线于⊙O相交于点D．（1）证明：直线BC是⊙O的切线；（2）连接ED，若ED＝4，∠B＝30°，求边AB的长．11．（2019秋•斗门区期末）如图，已知点D在⊙O的直径AB延长线上，点C为⊙O上，过D作ED⊥AD，与AC的延长线相交于E，CD为⊙O的切线，AB＝2，AE＝3．（1）求证：CD＝DE；（2）求BD的长；（3）若∠ACB的平分线与⊙O交于点F，P为△ABC的内心，求PF的长．12．（2019秋•中山市期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，求线段AE的长．13．（2019秋•黄埔区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝10cm，CD＝16cm，求AE 的长．14．（2019秋•潮南区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB 的延长线相交于点D，E，F，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．（1）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）当AB＝BE＝1时，求⊙O的面积；（3）在（2）的条件下，求HG的长．15．（2019秋•东莞市期末）如图，AE是⊙O的直径，半径OC⊥弦AB，点D为垂足，连接BE、EC．（1）若∠BEC ＝26°，求∠AOC 的度数；（2）若∠CEA ＝∠A ，EC ＝6，求⊙O 的半径．16．（2019秋•雷州市期末）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且AD 平分∠CAB ，过点D 作AC的垂线，与AC 的延长线相交于E ，与AB 的延长线相交于点F ，G 为AB 的下半圆弧的中点，DG 交AB 于H ，连接DB 、GB ．（1）证明EF 是⊙O 的切线；（2）求证：∠DGB ＝∠BDF ；（3）已知圆的半径R ＝5，BH ＝3，求GH 的长．17．（2019秋•惠城区期末）如图，以△ABC 的BC 边上一点O 为圆心的圆，经过A 、B 两点，且与BC 边交于点E ，D 为BE 的下半圆弧的中点，连接AD 交BC 于F ，若AC ＝FC ．（1）求证：AC 是⊙O 的切线：（2）若BF ＝8，DF =√40，求⊙O 的半径；（3）若∠ADB ＝60°，BD ＝1，求阴影部分的面积．（结果保留根号）18．（2018秋•增城区期末）如图，⊙O 的直径为AB ，点C 在圆周上（异于点A ，B ），AD ⊥CD ，∠CAD ＝∠CAB ．求证：直线CD 是⊙O 的切线．19．（2018秋•黄埔区期末）如图，已知△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，点F 在⊙O 上，且满足BB̂=BB ̂，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于D 点，交AF 的延长线于E 点．（1）求证：AE ⊥DE ；（2）若∠CBA ＝60°，AE ＝3，求AF 的长．20．（2018秋•天河区期末）如图，⊙O 中，OA ⊥BC ，∠AOB ＝50°，求∠ADC 的度数．21．（2018秋•番禺区期末）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交边AB 与点D ，以A 为圆心，AD 长为半径画弧，交边AC 于点E ，连接CD ．（1）若∠A ＝28°，求∠ACD 的度数；（2）设BC ＝a ，AC ＝b ．⊙线段AD 的长是方程x 2+2ax ﹣b 2＝0的一个根吗？为什么？⊙若AD ＝EC ，求B B 的值． 22．（2018秋•海珠区期末）如图，已知：AB 为⊙O 直径，PQ 与⊙O 交于点C ，AD ⊥PQ 于点D ，且AC 为∠DAB 的平分线，BE ⊥PQ 于点E ．（1）求证：PQ 与⊙O 相切；（2）求证：点C 是DE 的中点．23．（2018秋•白云区期末）已知如图1，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，以AC 为直径的⊙O 交AB 于D ，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点E ．（1）求证：∠B ＝∠ACD ，DE =12BC ；（2）已知如图2，BG 是△BDE 的中线，延长ED 至点F ，使ED ＝FD ，求证：BF ＝2BG ．24．（2018秋•饶平县期末）如图，在△OAB中OA＝OB，⊙O交AB于点C、D，求证：AC＝BD．25．（2018秋•惠城区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，过点B作直线BF，交AC的延长线于点F．（1）求证：BE＝CE；（2）若AB＝6，求弧DE的长；（3）当∠F的度数是多少时，BF与⊙O相切，证明你的结论．26．（2018秋•白云区期末）⊙O的直径为10cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，求AB和CD之间的距离．27．（2018秋•惠城区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠CDB＝30°，CD=2√3，求阴影部分的面积．28．（2018秋•徐闻县期末）如图，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，AD与△ABC的外接圆⊙O交于点D．（1）求证：DB＝DC；̂的长度．（2）若∠CAB＝30°，BC＝4，求劣弧BB29．（2018秋•江海区期末）如图，小明同学用一把直尺和一块三角板测量一个光盘的直径，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB＝3cm，求此光盘的直径．30．（2018秋•江海区期末）已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DC＝BD；（2）求证：DE为⊙O的切线．第24章《圆》解答题精选参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．【解答】解：∵BC与⊙A相切于点D，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（ASA），∴AB＝AC．2．【解答】证明：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴OA＝OB＝OD，∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°，∵OC∥AD，∴∠A＝∠COB，∠ODA＝∠COD，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA，∴∠COD＝∠COB，在△COD和△COB中，{BB=BBBBBB=BBBB BB=BB，∴△COD≌△COB（SAS），∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴OD⊥CD，∴DC是⊙O的切线．3．【解答】解：（1）如图，射线CD为所求．（2）连接OD，∵⊙O的直径AB＝10，∴∠ACB＝90°，AO＝DO＝5．∵CD平分∠ACB，∴∠BBB=12BBBB=45°．∴∠AOD＝2∠ACD＝90°．在Rt△AOD中，BB=√BB2+BB2=√52+52=5√2．4．【解答】证明：（1）如图，连接OE．∵CD是圆O的直径，∴∠CED＝90°．∵OC＝OE，∴∠1＝∠2．又∵∠PED＝∠C，即∠PED＝∠1，∴∠PED＝∠2，∴∠PED+∠OED＝∠2+∠OED＝90°，即∠OEP＝90°，∴OE⊥EP，又∵点E在圆上，∴PE是⊙O的切线；（2）∵AB、CD为⊙O的直径，∴∠AEB＝∠CED＝90°，∴∠3＝∠4（同角的余角相等）．又∵∠PED＝∠1，∴∠PED＝∠4，即ED平分∠BEP；（3）设EF＝x，则CF＝2x，∵⊙O的半径为10，∴OF＝2x﹣10，在Rt△OEF中，OE2＝OF2+EF2，即102＝x2+（2x﹣10）2，解得x＝8，∴EF＝8，∴BE＝2EF＝16．5．【解答】（1）证明：∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∵∠PCB＝∠A，∴∠ACO＝∠PCB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACO+∠OCB＝90°，∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP，∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线；（2）解∵CP＝CA，∴∠P＝∠A，∴∠COB＝2∠A＝2∠P，∵∠OCP＝90°，∴∠P＝30°，∵OC＝OA＝2，∴OP＝2OC＝4，∴PC =√42−22=2√3．6．【解答】（1）证明：连接OE ，OF ，如图1， ∵EF ⊥AB ，AB 是⊙O 的直径，∴∠DOF ＝∠DOE ，∵∠DOE ＝2∠A ，∠A ＝30°，∴∠DOF ＝60°，∵∠D ＝30°，∴∠OFD ＝90°．∴OF ⊥FD ．∴FD 为⊙O 的切线；（2）解：连接OM ．如图2所示：∵AB 为⊙O 的直径，∴O 为AB 中点，∠AEB ＝90°．∵M 为BE 的中点，∴OM ∥AE ，OM =12AE ，∵∠A ＝30°，∴∠MOB ＝∠A ＝30°．∵∠DOF ＝2∠A ＝60°，∴∠MOF ＝90°，∴OM 2+OF 2＝MF 2．设⊙O 的半径为r ．∵∠AEB ＝90°，∠A ＝30°，∴BE =12AB ＝r ，AE =√3BE =√3r ，∴OM =12AE =√32r ， ∵FM =√7，∴（√32r ）2+r 2＝（√7）2．解得r ＝2（舍去负根），∴⊙O 的半径为2．7．【解答】解：（1）连接OC ，在△OAD 和△OCD 中，{BB =BB BB =BB BB =BB ，∴△OAD ≌△OCD （SSS ），∴∠ADO ＝∠CDO ，又AD ＝CD ，∴DE ⊥AC ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC ，∴OD ∥BC ；（2）证明：∵AB ＝2BC ，∴设BC ＝a 、则AC ＝2a ， ∴AD ＝AB =√BB 2+BB 2=√B 2+(2B )2=√5a ，∵OE ∥BC ，且AO ＝BO ，∴OE =12BC =12a ，AE ＝CE =12AC ＝a ，在△AED 中，DE =√BB 2−BB 2=√5B 2−B 2=2a ，在△AOD 中，AO 2+AD 2＝（√52B ）2+（√5a ）2=254a 2，OD 2＝（OE +DE ）2＝（12a +2a ）2=254a 2， ∴AO 2+AD 2＝OD 2，∴∠OAD ＝90°，则DA 与⊙O 相切．8．【解答】解：（1）在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝12， ∴AC =√BB 2−BB 2=√132−122=5，∵⊙O 为Rt △ABC 的内切圆，切点分别为D ，E ，F ，∴BD ＝BF ，AD ＝AE ，CF ＝CE ，设BF ＝BD ＝x ，则AD ＝AE ＝13﹣x ，CF ＝CE ＝12﹣x ，∵AE +EC ＝5，∴13﹣x +12﹣x ＝5，∴x ＝10，∴BF ＝10．（2）连接OE ，OF ，∵OE ⊥AC ，OF ⊥BC ，∴∠OEC ＝∠C ＝∠OFC ＝90°，∴四边形OECF 是矩形，∴OE ＝CF ＝BC ﹣BF ＝12﹣10＝2．即r ＝2．9．【解答】解：（1）连接OC，∵∠BAC＝60°，且OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝60°．∵AP＝AC，且∠P+∠PCA＝∠BAC＝60°，∴∠P＝∠PCA＝30°．∴∠PCO＝∠PCA+∠ACO＝90°．∴PC为切线；（2）连结AD．∵CD平分∠ACB，且∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠BCD＝45°．∴AD＝BD．∵在Rt△ADB中，AD2+BD2＝AB2．∴AD＝BD=√22 AB，又∵OA＝OC，∠CAO＝60°，∴△ACO为等边三角形，∴AC＝CO＝AO．∴P A＝AC＝AO=12 AB．∴BD=√2P A；（3）∵∠PCE＝∠PCA+∠ACD＝75°，∠P＝30°，∴∠PEC＝75°，∴PC＝PE＝6√3．又在Rt△PCO中，OP＝OA+P A＝2OC，PO2＝PC2+CO2，∴CO＝6，PO＝12．∴OE＝OP﹣PE＝12﹣6√3，∴AE＝OA﹣OE＝OC﹣OE＝6﹣（12﹣6√3）＝6√3−6．10．【解答】解：（1）证明：连接OD∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD，∵在⊙O 中，OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ADO ，∴∠CAD ＝∠ADO ，∴AC ∥OD ，∵Rt △ABC 中，∠C ＝90°∴OD ⊥BC ，∴直线BC 为圆O 的切线（2）如上图：连接DE ，∵Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，∴∠CAB ＝60°，∵由（1）可得：AC ∥OD ，∴∠DOB ＝60°，∴△DOE 为等边三角形，OD ＝OE ＝DE ＝4，∴OA ＝OD ＝4，∵由（1）可得∠ODB ＝90°，且∠B ＝30°， ∴在Rt △ODB 中，OB ＝2OD ＝8，∴AB ＝OA +OB ＝12．11．【解答】解：（1）证明：如图，连接OC ，∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ，∴∠ACO +∠ECD ＝90°，∵ED ⊥AD ，∴∠A +∠E ＝90°，∵OA ＝OC ，∴∠A ＝∠ACO ，∴∠E ＝∠DCE ，∴CD ＝DE ．（2）方法一：∵AB ＝2，∴OA ＝OB ＝OC ＝1，∵OC ⊥CD ，∴由勾股定理可得，CD 2＝（1+BD ）2﹣12，∵ED ⊥AD ，∴由勾股定理可得，DE 2＝32﹣（2+BD ）2，∵CD ＝DE ，∴（1+BD ）2﹣12＝32﹣（2+BD ）2，∴BB =−3+√192或−3−√192（舍去）．方法二：由弦切角定理得∠DCB ＝∠DAC ，∵∠CDB ＝∠ADC ，∴△CDB ∽△ADC ，∴BB BB =BB BB ，即CD 2＝AD •BD ＝（2+BD ）•BD ，∵ED ⊥AD ，∴由勾股定理可得，DE 2＝32﹣（2+BD ）2，∵CD ＝DE ，∴（2+BD ）•BD ＝32﹣（2+BD ）2，解得BB =−3+√192或−3−√192（舍去）．（3）如图，连接BF ，PB ，AF ，∵CF 平分∠ACB ，∴BB̂=BB ̂， ∴AF ＝BF ，∵AB 为直径，AB ＝2，∴BB =BB =√2，∵P 为△ABC 的内心，∴∠1＝∠2，∠CBP ＝∠ABP ，∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴∠2+∠CBP ＝∠3+∠ABP ，∴∠FPB ＝∠FBP ，∴BB =BB =√2．方法二：如图，连接AF ，BF ，AP ，∵CF 平分∠ACB ，∴BB̂=BB ̂， ∴∠ACF ＝∠ABF ＝∠BAF ，∴AF ＝BF ，∵AB 为直径，AB ＝2，∴BB =BB =√2，∵P 为△ABC 的内心，∴AP 平分∠CAB ，∴∠CAP ＝∠BAP ，∵∠P AF ＝∠BAP +∠BAF ，∠APF ＝∠CAP +∠ACF ， ∴∠P AF ＝∠APF ，∴BB =BB =√2．12．【解答】解：连接OC ，如图，∵AB 是⊙O 的直径，AB ＝10，∴OC ＝OA ＝5，∵CD ⊥AB ，∴CE ＝DE =12CD =12×8＝4，在Rt △OCE 中，OC ＝5，CE ＝4，∴OE =√BB 2−BB 2=3，∴AE ＝OA ﹣OE ＝5﹣3＝2．13．【解答】解：∵弦CD ⊥AB 于点E ，CD ＝16cm ，∴CE =12CD ＝8cm ．在Rt △OCE 中，OC ＝10cm ，CE ＝8cm ，∴OE =√BB 2−BB 2=√102−82=6（cm ），∴AE ＝AO +OE ＝10+6＝16（cm ）．14．【解答】解：（1）BD 与⊙O 相切，理由：如图1，连接OB ，∵OB ＝OF ，∴∠OBF ＝∠OFB ，∵∠ABC ＝90°，AD ＝CD ，∴BD ＝CD ，∠EBF ＝90°，∴∠C ＝∠DBC ，EF 为直径，∴点O 在EF 上，∵∠C ＝∠BFE ，∴∠DBC ＝∠OBF ，∵∠CBO +∠OBF ＝90°，∴∠DBC +∠CBO ＝90°，∴∠DBO ＝90°，∴BD 与⊙O 相切；（2）如图2，连接CF ，HE ，∵∠CDE ＝90°，∠ABC ＝90°，∴∠DEC ＝∠A ，∵∠CED ＝∠FEB ，∴∠FEB ＝∠A ．∵AB ＝BE ，∠ABC ＝∠CBF ＝90°，∴△ABC ≌△EBF （ASA ），∵BC ＝BF ，∴CF =√2BF ，∵DF 垂直平分AC ，∴AF ＝CF ＝AB +BF ＝1+BF =√2BF ，∴BF =√2+1，∴EF =√BB 2+BB 2=√4+2√2，∵∠CBF ＝90°，∴EF 是⊙O 的直径，∴⊙O 的面积＝（12EF ）2•π=4+2√24π=2+√22π；（3）∵AB ＝BE ，∠ABE ＝90°，∴∠AEB ＝45°，∵EA ＝EC ，∴∠C ＝22.5°，∴∠H ＝∠BEG ＝∠CED ＝90°﹣22.5°＝67.5°， ∵BH 平分∠CBF ，∴∠EBG ＝∠HBF ＝45°，∴∠BGE ＝∠BFH ＝67.5°，∴BG ＝BE ＝1，BH ＝BF ＝1+√2，∴HG ＝BH ﹣BG =√2．15．【解答】解：（1）∵OC ⊥AB ， ∴BB̂=BB ̂， ∴∠CEB ＝∠AEC ＝26°，由圆周角定理得，∠AOC ＝2∠AEC ＝52°；（2）连接AC∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE ＝∠ACE ＝90°，∴∠AEB +∠A ＝90°，∵∠CEA ＝∠A ，∠CEB ＝∠AEC ，∴∠A ＝∠AEC ＝30°，∴AE =BB BBB30°=4√3， ∴⊙O 的半径为2√3．16．【解答】解：（1）证明：连接OD ，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA又∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠CAD∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AE，又∵EF⊥AE，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切线（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°∴∠DAB+∠OBD＝90°由（1）得，EF是⊙O的切线，∴∠ODF＝90°∴∠BDF+∠ODB＝90°∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD∴∠DAB＝∠BDF又∠DAB＝∠DGB∴∠DGB＝∠BDF（3）连接OG，∵G是半圆弧中点，∴∠BOG＝90°在Rt△OGH中，OG＝5，OH＝OB﹣BH＝5﹣3＝2．∴GH=√BB2+BB2=√2917．【解答】（1）证明：连接OA、OD，如图，∵D为BE的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE，∴∠ODF+∠OFD＝90°，∵CA＝CF，∴∠CAF＝∠CF A，而∠CF A＝∠OFD，∴∠ODF+∠CAF＝90°，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD+∠CAF＝90°，即∠OAC＝90°，∴OA⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：设⊙O的半径为r，则OF＝8﹣r，在Rt△ODF中，（8﹣r）2+r2＝（√40）2，解得r1＝6，r2＝2（舍去），即⊙O的半径为6；（3）解：∵∠BOD＝90°，OB＝OD，∴△BOD 为等腰直角三角形，∴OB =√22BD =√22， ∴OA =√22， ∵∠AOB ＝2∠ADB ＝120°，∴∠AOE ＝60°，在Rt △OAC 中，AC =√3OA =√62， ∴阴影部分的面积=12•√22•√62−60⋅B ⋅(√22)2360=3√3−B 12．18．【解答】证明：连接OC ，∵OA ＝OC ， ∴∠OAC ＝∠OCA ，∵∠CAD ＝∠CAB ，∴∠CAD ＝∠ACO ，∴OC ∥AD ，∵AD ⊥DC ，∴∠ADC ＝90°，∴∠OCD ＝90°，∴∠OCA +∠ACD ＝∠OCD ＝90°，∴CD 是⊙O 的切线．19．【解答】（1）证明：连接OC ，∵OC ＝OA ，∴∠BAC ＝∠OCA ，∵BB ̂=BB ̂，∴∠BAC ＝∠EAC ，∴∠EAC ＝∠OCA ，∴OC ∥AE ，∵DE 切⊙O 于点C ，∴OC ⊥DE ，∴AE ⊥DE ；（2）解：∵AB 是⊙O 的直径，∴△ABC 是直角三角形，∵∠CBA ＝60°，∴∠BAC ＝∠EAC ＝30°，∵△AEC 为直角三角形，AE ＝3，∴AC ＝2√3，连接OF ，∵OF ＝OA ，∠OAF ＝∠BAC +∠EAC ＝60°， ∴△OAF 为等边三角形，∴AF ＝OA =12AB ，在Rt △ACB 中，AC ＝2√3，∠CBA ＝60°，∴AB =BB BBB60°=√3√32=4， ∴AF ＝2．20．【解答】解：∵⊙O 中，OA ⊥BC ， ∴BB̂=BB ̂， ∴∠ADC =12∠AOB =12×50°＝25°． 21．【解答】解：（1）∵∠ACB ＝90°，∠A ＝28°， ∴∠B ＝62°，∵BD ＝BC ，∴∠BCD ＝∠BDC ＝59°，∴∠ACD ＝90°﹣∠BCD ＝31°；（2）⊙由勾股定理得，AB =√BB 2+BB 2=√B 2+B 2， ∴BB =√B 2+B 2−B ，解方程x 2+2ax ﹣b 2＝0得，x =−2B ±√4B 2+4B 22=±√B 2+B 2−B ， ∴线段AD 的长是方程x 2+2ax ﹣b 2＝0的一个根； ⊙∵AD ＝AE ，∴AE ＝EC =B 2，由勾股定理得，a 2+b 2=(12B +B )2，整理得，BB =34． 22．【解答】证明：（1）连接OC ，∵AC 平分∠DAB∴∠DAC ＝∠CAO ，∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA∴∠DAC ＝∠ACO∴AD ∥OC ，且AD ⊥PQ∴OC ⊥PQ ，且OC 为半径∴PQ 与⊙O 相切（2）∵OC ⊥PQ ，AD ⊥PQ ，BE ⊥PQ ∴OC ∥AD ∥BE∴BB BB =BB BB =1∴DC ＝CE∴点C 是DE 的中点．23．【解答】证明：（1）∵∠ACB ＝90， ∴∠ACD +∠BCD ＝90°，∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°，∴∠B +∠BDC ＝90°，∴∠B ＝∠ACD ，连接OD ，如图1，∵DE 为⊙O 的切线，∴∠ODE ＝∠ODC +∠CDE ＝90°， ∵∠CDE +∠BDE ＝90°，∵OC ＝OD ，∴∠ACD ＝∠ODC ，∴∠ODC ＝∠BDE ＝∠B ，∴DE ＝BE ，同理可得DE ＝CE ，∴CE ＝BE ，Rt △CDB 中，DE =12BC ；（2）如图2，由（1）知：BE ＝DE ， ∵ED ＝FD ， ∴BE =12EF ，∵BG 是△BDE 的中线，∴EG ＝DG =12DE ，∴BB BB=BB BB =12 ∵∠BEG ＝∠BEF ∴△BEG ∽△FEB ∴BB BB =BB BB =12∴BF ＝2BG ．24．【解答】证明：过点O作OE⊥AB于点E，∵在⊙O中，OE⊥CD，∴CE＝DE，∵OA＝OB，OE⊥AB，∴AE＝BE，∴AE﹣CE＝BE﹣DE，∴AC＝BD．25．【解答】（1）证明：连接AE，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BC，∵AB＝AC，∴BE＝CE；（2）解：∵AB＝AC，AE⊥BC，∴AE平分∠BAC，∴∠CAE=12∠BAC=12×54°＝27°，∴∠DOE＝2∠CAE＝2×27°＝54°，∴弧DE的长=54⋅B⋅3180=910π；（3）解：当∠F的度数是36°时，BF与⊙O相切．理由如下：∵∠BAC＝54°，∴当∠F＝36°时，∠ABF＝90°，∴AB⊥BF，∴BF为⊙O的切线．26．【解答】解：分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，过O作OE⊥CD，交CD于点E，交AB于点F，连接OC，OA，∵AB ∥CD ，∴OE ⊥AB ，∴E 、F 分别为CD 、AB 的中点，∴CE ＝DE =12CD ＝3cm ，AF ＝BF =12AB ＝4cm ，在Rt △AOF 中，OA ＝5cm ，AF ＝4cm ，根据勾股定理得：OF ＝3cm ，在Rt △COE 中，OC ＝5cm ，CE ＝3cm ，根据勾股定理得：OE ═4cm ，则EF ＝OE ﹣OF ＝4cm ﹣3cm ＝1cm ；当两条弦位于圆心O 两侧时，如图2所示，同理可得EF ＝4cm +3cm ＝7cm ，综上，弦AB 与CD 的距离为7cm 或1cm ．27．【解答】解：连接OD ．∵CD ⊥AB ，∴CE ＝DE =12CD =√3（垂径定理），故S △OCE ＝S △ODE ，∴S 阴＝S 扇形OBD ，又∵∠CDB ＝30°，∴∠COB ＝60°（圆周角定理），∴OC ＝2，故S 扇形OBD =60B ⋅22360=2B 3，即阴影部分的面积为2B 3． 28．【解答】（1）证明：∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD ＝∠CAD ，∵A ，D ，C ，B 四点共圆，∴∠EAD ＝∠DCB ，由圆周角定理得，∠CAD ＝∠CBD ，∴∠DCB ＝∠DBC ，∴DB ＝DC ；（2）解：由圆周角定理得，∠COB ＝2∠CAB ＝60°，∠CDB ＝∠CAB ＝30°， ∴△COB 为等边三角形，∴OC ＝BC ＝4，∵DC ＝DB ，∠CDB ＝30°，∴∠DCB ＝75°，∴∠DCO ＝15°，∴∠COD ＝150°，则劣弧BB ̂的长=150B ×4180=103π．29．【解答】解：如图，设光盘的圆心为O，三角板的另外两点为C，D，连接OB，OA，∵∠CAD＝60°，∴∠CAB＝120°，∵AB和AC与⊙O相切，∴∠OAB＝∠OAC，∴∠OAB=12∠CAB＝60°∵AB＝3cm，∴OA＝6cm，∴由勾股定理得OB＝3√3cm，∴光盘的直径为6√3cm．30．【解答】证明：（1）连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，又∵AB＝AC，∴DC＝BD；（2）连接半径OD，∵OA＝OB，CD＝BD，∴OD∥AC，∴∠ODE＝∠CED，又∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°，∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE．∴DE是⊙O的切线．。

人教版广东九年级数学同步课件第二十四章 24-1 24-1-1圆

必备知识·基础练
【易错诊断】 (打“√”或“×”) 1．在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．( √ ) 2．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴．( × ) 3．连接圆上任意两点的线段叫做弦，圆中有最大的弦，也有最小的弦．( × ) 4. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，弧分优弧、劣弧和半圆．( √ ) 5．半径相等的两个圆叫做等圆，长度相等的两条弧叫等弧．( × ) 6．圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．( √ )
C．圆
D．圆的内部和圆
6．下列说法中，不正确的是( B )
A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
B．圆的每一条直径都是它的对称轴
C．圆有无数条对称轴
D．圆的对称中心是它的圆心
7．过圆内一点(非圆心)有_无__数___条弦，有___1___条直径．
知识点2 圆中的半径相等
8．如图所示圆规，点A是铁尖的端点，点B是铅笔芯尖的端点，已知点A与点B
D．经过已知点A
3．(2021·中山期末)下列说法正确的是( C )
A．弦是直径
B．弧是半圆
C．直径是圆中最长的弦
D．半圆是圆中最长的弧
4．如图，图中的弦共有( B ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
5．(2021·东莞期末)到圆心的距离不大于半径的点的集合是( D )
A．圆的外部
B．圆的内部
AD∥OC，则∠AOD＝_4_0__°.
5．如图，⊙O 的周长为 4π，B 是弦 CD 上任意一点(与 C，D 不重合)，过点 B 作
OC 的平行线交 OD 于点 Eபைடு நூலகம்则 EO＋EB＝__2__．(用数字表示)

2023年广州中考数学第24题

2023年广州中考数学第24题题目：【24】（本题满分：12分）在平面直角坐标系中，抛物线经过A（4，3），B（1，0），C（5，0）三点.（1）求此抛物线的函数表达式；（2）D是线段AC上的一个动点，在抛物线上是否存在一点E，使得以D、A、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】（1）根据待定系数法即可求得抛物线的函数表达式；（2）分三种情况讨论：$①$当$AD = AE$时；$②$当$AD = A$′$E$时；$③$当$A$′$E = A$″$D$时，根据三角形的三边关系确定点E的坐标．本题考查待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的性质．在求点的坐标时，注意分情况讨论，不要漏解．【解答】（1）解：设抛物线的函数表达式为$y = a$（$x - 1$）（$x - 5$），将A （$4$，$3$）代入得：$3 = 4a - 5a$，解得：$a = \frac{3}{4}$，$\therefore y = \frac{3}{4}$（$x - 1$）（$x - 5$）即：$y = \frac{3}{4}x^{2} -\frac{17}{4}x + \frac{5}{2}$；（2）存在．①当AD = AE时，作D关于直线AC的对称点D′，连接D′E交AC于E．∵D（3，$\frac{7}{2}$），AC的解析式为：$y = \frac{1}{4}x + \frac{7}{4}$，∴D关于直线AC的对称点D′的坐标为：（$- 1.5$，$\frac{7}{2}$），∵D′E是AC的垂直平分线，∴可设直线D′E的解析式为：$y = - \frac{b}{a}x + c_{1}$．联立方程$\left\{ \begin{matrix} y = \frac{1}{4}x + \frac{7}{4}\text{ } \\y = - \frac{b}{a}x + c_{1} \\\end{matrix} \right$.可得：$\left\{ \begin{matrix} x = 0 \\y = \frac{7}{4} \\\end{matrix} \right$.或$\left\{ \begin{matrix} x = 3 \\y = - \frac{6}{7} \\\end{matrix} \right$.，即：点E的坐标为：（$3$，$- \frac{6}{7}$），则有$\left\{ \begin{matrix} \begin{matrix} 9 - 2c_{1} = 0 \\- c_{1} = 6 \\\end{matrix} \\\end{matrix} \right$.，解得：$\left\{ \begin{matrix} c_{1} = 6 \\ c_{2} = 3 \\\end{matrix} \right$.．∴直线D′E的解析式为：$y = - \frac{6}{7}$（$x - 3$）$\pm 6$．∵点E在抛物线上，则有$- \frac{6}{7}$（$x - 3$）$\pm 6 = \frac{3}{4}x^{2} - \frac{17}{4}x + \frac{5}{2}$．解得：$x_{1} = 3 + 2\sqrt{7}$（舍去），或$x_{2} = 3 - 2\sqrt{7}$．此时点E的坐标为：（$3 - 2\sqrt{7}$，$- \frac{6}{7}$）；②当AD′与AC垂直时，可设直线AD′的解析式为：$y = kx + b_{2}$．由题意得：$\left\{ \begin{matrix} y = kx + b_{2}\text{ } \\y = \frac{1}{4}x + \frac{7}{4}\text{ } \\\。

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圆专题复习
1．（2017广东卷9分）如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点E为线段OB上一点
（不与O，B重合），作CE⊥OB，交⊙O于点C，垂足为点E，作直径CD，过点C 的切线交DB的延长线于点P，AF⊥PC于点F，连接CB．
（1）求证：CB是∠ECP的平分线；
（2）求证：CF=CE；
（3）当=时，求劣弧的长度（结果保留π）
2、（2016广东卷）如图11，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC 是⊙O 的直径，∠ABC=30°，过点B 作⊙O 的切线BD ，与CA 的延长线交于点D ，与半径AO 的延长线交于点E ，过点A 作⊙O 的切线AF ，与直径BC 的延长线交于点 F.
（1）求证：△ACF ∽△DAE ；
（2）若3=4AOC S △，求DE 的长；
（3）连接EF ，求证：EF 是⊙O 的切线.
C O F
D E B
A
3. （2015广东卷）⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过BC的中点P作⊙
O的直径PG交弦BC于点D，连接AG，CP，P B.
(1) 如题24﹣1图；若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数；
(2) 如题24﹣2图，在DG上取一点k，使DK=DP，连接CK，求证：四边形AGKC 是平行四边形；
(3) 如题24﹣3图；取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH⊥A B.
4、（2014广东卷）⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线DE交BC的延长线于F 点，连接PF。

（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的长；（结果保留π）
（2）求证：OD=OE；
（3）PF是⊙O的切线。

5 （2013广东卷）⊙O是Rt△ABC的外接圆,∠ABC=90°,弦BD=BA,AB=12,BC=5,
BE⊥DC交DC的延长线于点 E.
(1)求证：∠BCA=∠BAD;
(2)求DE的长;
(3)求证:BE是⊙O的切线.
6. 如图，AB为⊙O的直径，点C为圆外一点，连接AC、BC，分别与⊙O相交于
点D、点E，且AD DE，过点D作DF⊥BC于点F，连接BD、DE、AE.
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)试判断△DEC的形状，并说明理由；
(3)若⊙O的半径为5，AC＝12，求sin∠EAB的值．
强化训练：
1. AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，D是⊙O上的一点，且AD∥C O.
(1)求证：△ADB∽△OBC；
(2)若∠OCB＝30°，AB＝2，求劣弧AD的长；
(3)连接CD，试证明CD是⊙O的切线
2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF.
(1)求∠CDE的度数；
(2)求证：DF是⊙O的切线；
(3)若AC＝25DE，求tan∠ABD的值．
3．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，G 是⊙O 上两点，且AC=CG ，过点C 的直线CD ⊥BG 于点D ，交BA 的延长线于点E ，连接BC ，交OD 于点F ．
（1）求证：CD 是⊙O 的切线．
（2）若32
FD
OF ，求∠E 的度数．（3）连接AD ，在（2）的条件下，若CD=3，求AD 的长．
4.如图，AB切⊙O于点B，AD交⊙O于点C和点D，点E为DC的中点，连接OE 交CD于点F，连接BE交CD于点G.
(1)求证：AB＝AG；
(2)若DG＝DE，求证：GB2＝GC·GA；
(3)在(2)的条件下，若tan D＝3
4
，EG＝10，求⊙O的半径．
5.如图，△ABC为⊙O的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC＝∠B，AD 为⊙O的直径，过C作CG⊥AD交AD于E，交AB于F，交⊙O于G.
(1)判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)求证：AG2＝AF·AB；
(3)若⊙O的直径为10，AC＝25，AB＝45，求△AFG的面积．
6.如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O 的弦，CG⊥AB，垂足为点D.
(1)求证：△ACD∽△ABC；
(2)求证：∠PCA＝∠ABC；
(3)过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CG于点F，连接BE，若sin P＝3
5
，CF
＝5，求BE的长．。