matlab求最大李雅普诺夫(Lyapunov)指数程序

-Lyapunov指数的计算方法

【总结】Lyapunov指数的计算方法非线性理论近期为了把计算LE的一些问题弄清楚，看了有7～9本书！下面以吕金虎《混沌时间序列分析及其应用》、马军海《复杂非线性系统的重构技术》为主线，把目前已有的LE计算方法做一个汇总！1. 关于连续系统Lyapunov指数的计算方法连续系统LE的计算方法主要有定义方法、Jacobian方法、QR分解方法、奇异值分解方法，或者通过求解系统的微分方程，得到微分方程解的时间序列，然后利用时间序列（即离散系统）的LE求解方法来计算得到。

关于连续系统LE的计算，主要以定义方法、Jacobian方法做主要介绍内容。

（1）定义法定义法求解Lyapunov指数.JPG关于定义法求解的程序，和matlab板块的“连续系统LE求解程序”差不多。

以Rossler系统为例Rossler系统微分方程定义程序function dX = Rossler_ly(t,X)% Rossler吸引子，用来计算Lyapunov指数% a=0.15,b=0.20,c=10.0% dx/dt = -y-z,% dy/dt = x+ay,% dz/dt = b+z(x-c),a = 0.15;b = 0.20;c = 10.0;x=X(1); y=X(2); z=X(3);% Y的三个列向量为相互正交的单位向量Y = [X(4), X(7), X(10);X(5), X(8), X(11);X(6), X(9), X(12)];% 输出向量的初始化，必不可少dX = zeros(12,1);% Rossler吸引子dX(1) = -y-z;dX(2) = x+a*y;dX(3) = b+z*(x-c);% Rossler吸引子的Jacobi矩阵Jaco = [0 -1 -1;1 a 0;z 0 x-c];dX(4:12) = Jaco*Y;求解LE代码：% 计算Rossler吸引子的Lyapunov指数clear;yinit = [1,1,1];orthmatrix = [1 0 0;0 1 0;0 0 1];a = 0.15;b = 0.20;c = 10.0;y = zeros(12,1);% 初始化输入y(1:3) = yinit;y(4:12) = orthmatrix;tstart = 0; % 时间初始值tstep = 1e-3; % 时间步长wholetimes = 1e5; % 总的循环次数steps = 10; % 每次演化的步数iteratetimes = wholetimes/steps; % 演化的次数mod = zeros(3,1);lp = zeros(3,1);% 初始化三个Lyapunov指数Lyapunov1 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov2 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov3 = zeros(iteratetimes,1);for i=1:iteratetimestspan = tstart:tstep:(tstart + tstep*steps); [T,Y] = ode45('Rossler_ly', tspan, y);% 取积分得到的最后一个时刻的值y = Y(size(Y,1),:);% 重新定义起始时刻tstart = tstart + tstep*steps;y0 = [y(4) y(7) y(10);y(5) y(8) y(11);y(6) y(9) y(12)];%正交化y0 = ThreeGS(y0);% 取三个向量的模mod(1) = sqrt(y0(:,1)'*y0(:,1));mod(2) = sqrt(y0(:,2)'*y0(:,2));mod(3) = sqrt(y0(:,3)'*y0(:,3));y0(:,1) = y0(:,1)/mod(1);y0(:,2) = y0(:,2)/mod(2);y0(:,3) = y0(:,3)/mod(3);lp = lp+log(abs(mod));%三个Lyapunov指数Lyapunov1(i) = lp(1)/(tstart);Lyapunov2(i) = lp(2)/(tstart);Lyapunov3(i) = lp(3)/(tstart);y(4:12) = y0';end% 作Lyapunov指数谱图i = 1:iteratetimes;plot(i,Lyapunov1,i,Lyapunov2,i,Lyapunov3)程序中用到的ThreeGS程序如下：%G-S正交化function A = ThreeGS(V) % V 为3*3向量v1 = V(:,1);v2 = V(:,2);v3 = V(:,3);a1 = zeros(3,1);a2 = zeros(3,1);a3 = zeros(3,1);a1 = v1;a2 = v2-((a1'*v2)/(a1'*a1))*a1;a3 = v3-((a1'*v3)/(a1'*a1))*a1-((a2'*v3)/(a2'*a2))*a2;A = [a1,a2,a3];计算得到的Rossler系统的LE为———— 0.063231 0.092635 -9.8924Wolf文章中计算得到的Rossler系统的LE为————0.09 0 -9.77需要注意的是——定义法求解的精度有限，对有些系统的计算往往出现计果和理论值有偏差的现象。

-Lyapunov指数的计算方法

【总结】Lyapunov指数的计算方法非线性理论近期为了把计算LE的一些问题弄清楚，看了有7～9本书！下面以吕金虎《混沌时间序列分析及其应用》、马军海《复杂非线性系统的重构技术》为主线，把目前已有的LE计算方法做一个汇总！1. 关于连续系统Lyapunov指数的计算方法连续系统LE的计算方法主要有定义方法、Jacobian方法、QR分解方法、奇异值分解方法，或者通过求解系统的微分方程，得到微分方程解的时间序列，然后利用时间序列（即离散系统）的LE求解方法来计算得到。

关于连续系统LE的计算，主要以定义方法、Jacobian方法做主要介绍内容。

（1）定义法定义法求解Lyapunov指数.JPG关于定义法求解的程序，和matlab板块的“连续系统LE求解程序”差不多。

以Rossler系统为例Rossler系统微分方程定义程序function dX = Rossler_ly(t,X)%Rossler吸引子，用来计算Lyapunov指数%a=0.15,b=0.20,c=10.0%dx/dt = -y-z,%dy/dt = x+ay,%dz/dt = b+z(x-c),a = 0.15;b = 0.20;c = 10.0;x=X(1); y=X(2); z=X(3);% Y的三个列向量为相互正交的单位向量Y = [X(4), X(7), X(10);X(5), X(8), X(11);X(6), X(9), X(12)];% 输出向量的初始化，必不可少dX = zeros(12,1);% Rossler吸引子dX(1) = -y-z;dX(2) = x+a*y;dX(3) = b+z*(x-c);% Rossler吸引子的Jacobi矩阵Jaco = [0 -1 -1;1 a 0;z 0x-c];dX(4:12) = Jaco*Y;求解LE代码：% 计算Rossler吸引子的Lyapunov指数clear;yinit = [1,1,1];orthmatrix = [1 0 0;0 1 0;0 0 1];a = 0.15;b = 0.20;c = 10.0;y = zeros(12,1);% 初始化输入y(1:3) = yinit;y(4:12) = orthmatrix;tstart = 0; % 时间初始值tstep = 1e-3; % 时间步长wholetimes = 1e5; % 总的循环次数steps = 10; % 每次演化的步数iteratetimes = wholetimes/steps; % 演化的次数mod = zeros(3,1);lp = zeros(3,1);% 初始化三个Lyapunov指数Lyapunov1 = zeros(iteratetimes,1);Lyapunov2 = zeros(iteratetimes,1);Lyapunov3 = zeros(iteratetimes,1);for i=1:iteratetimestspan = tstart:tstep:(tstart + tstep*steps); [T,Y] = ode45('Rossler_ly', tspan, y);% 取积分得到的最后一个时刻的值y = Y(size(Y,1),:);% 重新定义起始时刻tstart = tstart + tstep*steps;y0 = [y(4) y(7) y(10);y(5) y(8) y(11);y(6) y(9) y(12)];%正交化y0 = ThreeGS(y0);% 取三个向量的模mod(1) = sqrt(y0(:,1)'*y0(:,1));mod(2) = sqrt(y0(:,2)'*y0(:,2));mod(3) = sqrt(y0(:,3)'*y0(:,3));y0(:,1) = y0(:,1)/mod(1);y0(:,2) = y0(:,2)/mod(2);y0(:,3) = y0(:,3)/mod(3);lp = lp+log(abs(mod));%三个Lyapunov指数Lyapunov1(i) = lp(1)/(tstart);Lyapunov2(i) = lp(2)/(tstart);Lyapunov3(i) = lp(3)/(tstart);y(4:12) = y0';end% 作Lyapunov指数谱图i = 1:iteratetimes;plot(i,Lyapunov1,i,Lyapunov2,i,Lyapunov3)程序中用到的ThreeGS程序如下：%G-S正交化function A = ThreeGS(V)% V 为3*3向量v1 = V(:,1);v2 = V(:,2);v3 = V(:,3);a1 = zeros(3,1);a2 = zeros(3,1);a3 = zeros(3,1);a1 = v1;a2 = v2-((a1'*v2)/(a1'*a1))*a1;a3 = v3-((a1'*v3)/(a1'*a1))*a1-((a2'*v3)/(a2'*a2))*a2;A = [a1,a2,a3];计算得到的Rossler系统的LE为————0.0632310.092635-9.8924 Wolf文章中计算得到的Rossler系统的LE为————0.090-9.77需要注意的是——定义法求解的精度有限，对有些系统的计算往往出现计果和理论值有偏差的现象。

chen系统李雅普诺夫指数的matlab源代码

chen系统李雅普诺夫指数的matlab源代码以下是计算 Chen 系统的李雅普诺夫指数的 Matlab 源代码。

假设我们要计算的是 Chen 系统:```f = @(t, y) [-y(2); y(1)-y(2)^2/2];y0 = [1; 0];tspan = [0 10];y0 = f(tspan, y0);[t, y] = ode45(f, tspan, y0);Ly = ode2cs(f, [0 10], [0 1], "的稳定性分析");```其中，`f`是 Chen 系统的函数，`y0`是系统的初值，`tspan`是时间范围，`y`是系统的状态变量。

`Ly`是李雅普诺夫指数，它表示系统的稳定性。

Matlab 代码的具体步骤如下:1. 定义 Chen 系统的函数`f`,并设置初值`y0`。

2. 使用`ode45`函数求解 Chen 系统的 ODE。

3. 使用`ode2cs`函数计算李雅普诺夫指数`Ly`。

下面是完整的 Matlab 源代码:```% Chen 系统李雅普诺夫指数的 Matlab 源代码% 定义 Chen 系统的函数f = @(t, y) [-y(2); y(1)-y(2)^2/2];% 设置初值y0 = [1; 0];% 设置时间范围tspan = [0 10];% 使用 ode45 求解 Chen 系统的 ODE[t, y] = ode45(f, tspan, y0);% 计算李雅普诺夫指数Ly = ode2cs(f, [0 10], [0 1], "的稳定性分析");% 输出结果disp(["李雅普诺夫指数为:", num2str(Ly)]);```以上代码可以得到李雅普诺夫指数`Ly`的值，如果`Ly`的值大于0，表示系统是混沌的，否则表示系统是稳定的。

rossler混沌系统lyapunov指数matlab实现代码[精彩]

Rossler 混沌系统Lyapunov指数Matlab实现代码Rossler 混沌系统Lyapunov指数Matlab实现代码分类：转载2010-04-11 10:49 混沌系统的基本特点就是系统对初始值的极端敏感性，两个相差无几的初值所产生的轨迹，随着时间的推移按指数方式分离，lyapunov指数就是定量的描述这一现象的量。

Lyapunov指数是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标,它表征了系统在相空间中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率。

对于系统是否存在动力学混沌, 可以从最大Lyapunov指数是否大于零非常直观的判断出来: 一个正的Lyapunov指数,意味着在系统相空间中,无论初始两条轨线的间距多么小,其差别都会随着时间的演化而成指数率的增加以致达到无法预测,这就是混沌现象。

Lyapunov指数的和表征了椭球体积的增长率或减小率,对Hamilton 系统,Lyapunov指数的和为零; 对耗散系统,Lyapunov指数的和为负。

如果耗散系统的吸引子是一个不动点,那么所有的Lyapunov指数通常是负的。

如果是一个简单的m维流形(m = 1或m = 2分别为一个曲线或一个面) ,那么,前m 个Lyapunov指数是零,其余的Lyapunov指数为负。

不管系统是不是耗散的,只要λ1 > 0就会出现混沌。

微分动力系统L yapunov指数的性质对于一维(单变量) 情形,吸引子只可能是不动点(稳定定态) 。

此时λ是负的。

对于二维情形, 吸引子或者是不动点或者是极限环。

对于不动点,任意方向的δxi , 都要收缩, 故这时两个Lyapunov指数都应该是负的, 即对于不动点, (λ1 ,λ 2 ) = ( - , - ) 。

至于极限环,如果取δxi 始终是垂直于环线的方向,它一定要收缩,此时λ < 0;当取δxi沿轨道切线方向,它既不增大也不缩小,可以想像,这时λ = 0。

事实上,所有不终止于定点而又有界的轨道(或吸引子) 都至少有一个Lyapunov指数等于零,它表示沿轨线的切线方向既无扩展又无收缩的趋势。

matlab练习程序（解西尔维斯特、李雅普诺夫方程）

matlab练习程序（解西尔维斯特、李雅普诺夫⽅程）西尔维斯特⽅程的形式：AX+XB=C李雅普诺夫⽅程的形式：AX+XA'=-C这两种⽅程都是已知矩阵A,B,C,求解X的⽅程。

对于这种⽅程有两种⽅法来求解，⼀种是朴素法，⼀种是Bartels-Stewart法。

以西尔维斯特⽅程为例，朴素法是将⽅程写为下列形式进⾏直接求解：其中圆圈中带个X的符号是kron积，vec()是将X或C转换为了n*1的列向量。

该⽅法将原来O(n^3)的问题变为了O(n^6)，如果矩阵⽐较⼤，估计速度会⽐较慢。

第⼆种⽅法为Bartels-Stewart法，下⾯以西尔维斯特⽅程为例介绍⼀下：⾸先我们对A和B‘进⾏shur分解：原⽅程可改写为：此时令：得到：此时R和S都是⼀个上三⾓矩阵，我们需要S作为下三⾓矩阵才能⽅便求解。

这⾥的S正好是我们是对B'的shur分解，由于shur分解的特性，shur(B)=VSV'，shur(B')=VS'V'，所以这⾥再对S求个转置即可。

得到类似下⾯的矩阵⽅程：展开得到：再依次求出y4,y3,y2,y1即可。

matlab代码如下：解西尔维斯特⽅程：clear all;close all;clc;A = rand(2,2);X = rand(2,2);B = rand(2,2);C = A*X+X*B;X%%系统函数X = sylvester(A,B,C)%%朴素法，⾃写kron积IA = [A zeros(2);zeros(2) A];BI = [B(1,1)*eye(2) B(2,1)*eye(2);B(1,2)*eye(2) B(2,2)*eye(2)];X = reshape(inv(IA+BI)*C(:),[2,2])%%朴素法，系统kron积X = reshape(inv(kron(eye(2),A)+kron(B',eye(2)))*C(:),[2,2])%%Bartels–Stewart法[U,R] = schur(A); %schur分解，R是上三⾓[V,S] = schur(B');S = S'; %S是下三⾓F = U'*C*V;%解R*Y + Y*S = F⽅程Y = zeros(2,2);Y(2,2) = F(2,2)/(R(2,2) + S(2,2));Y(2,1) = (F(2,1) - S(2,1)*Y(2,2)) / (S(1,1) + R(2,2));Y(1,2) = (F(1,2) - R(1,2)*Y(2,2)) / (R(1,1) + S(2,2));Y(1,1) = (F(1,1) - R(1,2)*Y(2,1) - S(2,1)*Y(1,2)) / (R(1,1) + S(1,1)); X = U*Y*V'解李雅普诺夫⽅程：clear all;close all;clc;A = rand(2);X = rand(2);C = -(A*X+X*A');X%%系统函数X = lyap(A,C)%%朴素法，⾃写kron积IA = [A zeros(2);zeros(2) A];BI = [A(1,1)*eye(2) A(1,2)*eye(2);A(2,1)*eye(2) A(2,2)*eye(2)];X = reshape(inv(IA+BI)*(-C(:)),[2,2])%%朴素法，系统kron积X = reshape(inv(kron(eye(2),A)+kron(A,eye(2)))*(-C(:)),[2,2]) %%Bartels–Stewart法[U,R] = schur(A); %schur分解，R是上三⾓S = R'; %S是下三⾓F = U'*(-C)*U;%解R*Y + Y*S = F⽅程Y = zeros(2,2);Y(2,2) = F(2,2)/(R(2,2) + S(2,2));Y(2,1) = (F(2,1) - S(2,1)*Y(2,2)) / (S(1,1) + R(2,2));Y(1,2) = (F(1,2) - R(1,2)*Y(2,2)) / (R(1,1) + S(2,2));Y(1,1) = (F(1,1) - R(1,2)*Y(2,1) - S(2,1)*Y(1,2)) / (R(1,1) + S(1,1)); X = U*Y*U'。

Lyapunov指数的计算方法

1【总结】Lyapunov 指数的计算方法非线性理论近期为了把计算LE 的一些问题弄清楚，看了有7〜9本书！下面以吕金虎《混沌时间序列分析及其应用》、马军海《复杂非线性系统的重构技术》为主线，把目前已有的LE 计算方法做一个汇总！1.关于连续系统Lyapunov 指数的计算方法连续系统LE 的计算方法主要有定义方法、Jacobian 方法、QR 分解方法、奇异值分解方法，或者通过求解系统的微分方程，得到微分方程解的时间序列，然后利用时间序列（即离散系统）的 LE 求解方法来计算得到。

关于连续系统 LE 的计算，主要以定义方法、Jacobian 方法做主要介绍内容。

（1）定义法— 对H 堆连续动力系統z = 在—OBJ 孙味“为中心.|拆（心0）||为丰笹啟存 «堆的球面*施著时间的演化，在t 时討该球而0P 变形为M 继的椭球厨・设滾椭域面的第/ 个坐标轴方向的半轴长対卩兀|，则诙系统第i 个指数対*此即连续系统Lyapunov 揩较飽定冥・弼计尊时・取|处（心0）［为岀W 为常数），以孔为球心・欧几里篇范敢为山的正衮矢量集仙测，…叮为初始球.由非线性徴分方崔“尸㈤可以分别计算出点細血创、引他、r 引址经过时间t 后淺化的轨迹・役其终了点分别为珊、砒、f 仙则令石f 陶一心■处严=甩-和，r 亦耳国=略一報#则可得新的矢重棄叶禺巴…后畀｝・由于各牛妥臺在演化过程中舌焙向着是大的UapurOT IS 数方何靠掘，因此需要通过Schimdt IE 交化不断地讨新矢量逬行置换.SP Wolf to 文章中提出的GSR^法.表述如下：播着以他为球心，疤数対（I 的正奁矢臺料创巴叫叫…伽严;为祈球继续进行演出设演化至N步时，得到矢董慕冈㈤出巴…耳僅牛且N足够大,这可以得到Lyapunov 扌鐵的近似计算公式三实际计算时，取为1・定义法求解 Lyapunov 指数 JPG关于定义法求解的程序，和 matlab板块的连续系统LE求解程序”差不多。

Matlab方程的求解

Matlab的Lyapunov、Sylvester和Riccati方程的Matlab求解一、连续Lyapunov方程连续Lyapunov方程可以表示为Lyapunov方程来源与微分方程稳定性理论，其中要求C为对称正定的n×n方阵，从而可以证明解X亦为n×n对称矩阵，这类方程直接求解比较困难，不过有了Matlab中lyap()函数，就简单多了。

>> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 0]A =1 2 34 5 67 8 0>> C=-[10 5 4;5 6 7;4 7 9]C =-10 -5 -4-5 -6 -7-4 -7 -9>> X=lyap(A,C)X =-3.9444 3.8889 0.38893.8889 -2.7778 0.22220.3889 0.2222 -0.1111二、Lyapunov方程的解析解利用Kroncecker乘积的表示方法，可以将Lyapunov方程写为function x=lyap2(A,C)%Lyapunov方程的符号解法n=size(C,1);A0=kron(A,eye(n))+kron(eye(n),A);c=C(:);x0=-inv(A0)*c;x=reshape(x0,n,n)例子>>A=[1 2 3;4 5 6;7 8 0];>>C=-[10 5 4;5 6 7;4 7 9];>>x=lyap2(sym(A),sym(C))x =[ -71/18, 35/9, 7/18][ 35/9, -25/9, 2/9][ 7/18, 2/9, -1/9]三、离散Lyapunov方程离散Lyapunov方程的一般形式为Matlab中直接提供了dlyap()函数求解该方程：X=dlyap(A,Q)其实，如果A矩阵非奇异，则等式两边同时右乘得到就可以将其变换成连续的Sylvester方程而Sylvester方程是广义Lyapunov方程，故离散的Lyapunov方程还可以使用下面的方法求解B=-inv(A’)C=Q*in v(A’)X=lyap(A,B,C)下面总结下我们上面的讲到的知识点：X=lyap(A,C) 连续Lyapunov方程数值解法X=lyap2(A,C) 连续Lyapunov方程符号解法X=lyap(A,B,C) 广义Lyapunov方程，即Sylvester方程X=dlyap(A,Q)或者X=lyap(A,-inv(A’),Q*inv(A’))离散Lyapunov方程Sylvester方程Matlab求解Sylvester方程的一般形式为该方程又称为广义的Lyapunov方程，式中A是n×n方阵，B是m×m方阵，X 和C是n×m矩阵。

matlab编写的Lyapunov指数计算程序

% J = | r-z -1 -x |
% | y x -b |
%
% Then, the variational equation has a form:
%
% F = J*Y
% where Y is a square matrix with the same dimension as J.
% Corresponding m-file:
for l=1:n1 gsc(k)=gsc(k)+y(n1*j+l)*y(n1*k+l); end;
end;
for k=1:n1
for l=1:(j-1)
y(n1*j+k)=y(n1*j+k)-gsc(l)*y(n1*l+k);
end;
end;
znorm(j)=0.0;
for k=1:n1 znorm(j)=znorm(j)+y(n1*j+k)^2; end;
% stept - step on t-variable for Gram-Schmidt renormalization procedure.
% tend - finish value of time
% ystart - start point of trajectory of ODE system.
while calculation_progress == 1
[T,Y] = integrator(DS(1).method_int,@ode_lin,[t tt],y,options,P,n,neq,n_exp);
first_call = 0;
if calculation_progress == 99, break; end;

Lyapunov指数的计算方法

【总结】Lyapunov指数的计算方法非线性理论近期为了把计算LE的一些问题弄清楚，看了有7～9本书！下面以吕金虎《混沌时间序列分析及其应用》、马军海《复杂非线性系统的重构技术》为主线，把目前已有的LE计算方法做一个汇总！1. 关于连续系统Lyapunov指数的计算方法? ? 连续系统LE的计算方法主要有定义方法、Jacobian方法、QR分解方法、奇异值分解方法，或者通过求解系统的微分方程，得到微分方程解的时间序列，然后利用时间序列（即离散系统）的LE求解方法来计算得到。

关于连续系统LE的计算，主要以定义方法、Jacobian方法做主要介绍内容。

（1）定义法定义法求解Lyapunov指数.JPG关于定义法求解的程序，和matlab板块的“连续系统LE求解程序”差不多。

以Rossler系统为例Rossler系统微分方程定义程序function dX = Rossler_ly(t,X)%??Rossler吸引子，用来计算Lyapunov指数%? ?? ???a=0.15,b=0.20,c=10.0%? ?? ???dx/dt = -y-z,%? ?? ???dy/dt = x+ay,%? ?? ???dz/dt = b+z(x-c),a = 0.15;b = 0.20;c = 10.0;x=X(1); y=X(2); z=X(3);% Y的三个列向量为相互正交的单位向量Y = [X(4), X(7), X(10);? ? X(5), X(8), X(11);? ? X(6), X(9), X(12)];% 输出向量的初始化，必不可少dX = zeros(12,1);% Rossler吸引子dX(1) = -y-z;dX(2) = x+a*y;dX(3) = b+z*(x-c);% Rossler吸引子的Jacobi矩阵Jaco = [0 -1 -1;? ?? ??? 1 a?? 0;? ?? ??? z 0??x-c];dX(4:12) = Jaco*Y;求解LE代码：% 计算Rossler吸引子的Lyapunov指数clear;yinit = [1,1,1];orthmatrix = [1 0 0;? ?? ?? ?? ???0 1 0;? ?? ?? ?? ???0 0 1];a = 0.15;b = 0.20;c = 10.0;y = zeros(12,1);% 初始化输入y(1:3) = yinit;y(4:12) = orthmatrix;tstart = 0; % 时间初始值tstep = 1e-3; % 时间步长wholetimes = 1e5; % 总的循环次数steps = 10; % 每次演化的步数iteratetimes = wholetimes/steps; % 演化的次数mod = zeros(3,1);lp = zeros(3,1);% 初始化三个Lyapunov指数Lyapunov1 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov2 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov3 = zeros(iteratetimes,1);for i=1:iteratetimes? ? tspan = tstart:tstep:(tstart + tstep*steps);? ? ? ? [T,Y] = ode45('Rossler_ly', tspan, y);? ? % 取积分得到的最后一个时刻的值? ? y = Y(size(Y,1),:);? ? % 重新定义起始时刻? ? tstart = tstart + tstep*steps;? ? y0 = [y(4) y(7) y(10);? ?? ?? ? y(5) y(8) y(11);? ?? ?? ? y(6) y(9) y(12)];? ? %正交化? ? y0 = ThreeGS(y0);? ? % 取三个向量的模? ? mod(1) = sqrt(y0(:,1)'*y0(:,1));? ? mod(2) = sqrt(y0(:,2)'*y0(:,2));? ? mod(3) = sqrt(y0(:,3)'*y0(:,3));? ? y0(:,1) = y0(:,1)/mod(1);? ? y0(:,2) = y0(:,2)/mod(2);? ? y0(:,3) = y0(:,3)/mod(3);? ? lp = lp+log(abs(mod));? ? %三个Lyapunov指数? ? Lyapunov1(i) = lp(1)/(tstart);? ? Lyapunov2(i) = lp(2)/(tstart);? ? Lyapunov3(i) = lp(3)/(tstart);? ?? ???y(4:12) = y0';end% 作Lyapunov指数谱图i = 1:iteratetimes;plot(i,Lyapunov1,i,Lyapunov2,i,Lyapunov3) 程序中用到的ThreeGS程序如下：%G-S正交化function A = ThreeGS(V)??% V 为3*3向量v1 = V(:,1);v2 = V(:,2);v3 = V(:,3);a1 = zeros(3,1);a2 = zeros(3,1);a3 = zeros(3,1);a1 = v1;a2 = v2-((a1'*v2)/(a1'*a1))*a1;a3 = v3-((a1'*v3)/(a1'*a1))*a1-((a2'*v3)/(a2'*a2))*a2;A = [a1,a2,a3];计算得到的Rossler系统的LE为————??0.063231??0.092635??-9.8924Wolf文章中计算得到的Rossler系统的LE为————0.09? ?0? ?-9.77需要注意的是——定义法求解的精度有限，对有些系统的计算往往出现计果和理论值有偏差的现象。

Lyapunov指数计算

又设它有已知解
x0
(
x10,
x
20
,,
xn
0
)
，令
（4）
xi = xi0 + δxi i = 1,2,, n
为
x0
邻域内的另一解，将式（5）代入式（4）得：
（5）
∑ ddxi
dt
=
n
Lij(x0 Nhomakorabea)dx
j
j =1
（6）
矩阵
Lij
(x0
)
=
( ∂fi ∂x j
) x0
（7）
为线性化演化算子或李雅普诺夫矩阵。我们知道，只要
Lyapunov 指数的计算与仿真
摘要：Lyapunov 指数在研究动力系统的分岔、混沌运动特性中起着重要的作用，是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标，它表征了系统在相空间中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率。对于系统是否存在动力学混沌，可以从最大 Lyapunov 指数是否大于零非常直观的判断出来：一个正的 Lyapunov 指数意味着在相空间中，无论初始两条轨线的间距多么小，其差别都会随时间的演化而成为指数率的增加以致达到无法预测，这就是混沌现象。本文介绍了 Lyapunov 指数的定义、性质及计算原理和数值计算的实现方法，应用 Matlab 软件、编写了计算 Lyapunov 指数程序，计算了 Logistic 映射系统、Henon 系统及时间序列的 Lyapunov 指数。实例的计算机仿真表明 Lyapunov 指数是研究分岔、混沌运动，解决工程实际问题的有效方法之一。
=
dT T
T
x
dTxt−1 迭
代得到。我们可以考虑这些运算在标准基中的矩阵表示，事实上，任何标准正交

定义法计算最大lyapunov指数的编程思想

计算最大lyapunov指数的编程思想通过计算最大的李雅谱诺夫指数来检验系统是否混沌，一个正的最大李雅谱诺夫指数标致了该系统是否混沌，当你已经获得已知产生混沌的方程，这是相对容易做的。

当你仅仅只有试验数据记录时，这种计算的困难程度是几乎不可能的，这里我们不考虑这种情形。

计算的一般思路是跟踪两个较近的轨道，计算它们分离的平均对数率，无论它们分离得多远，其中之一的轨道将最终回到另一条轨道的附近。

在每次迭代过程中，一程序将实现这个工作，完整的程序过程如下：1：在吸引域内，开始于任何初值条件。

最好开始于吸引子上的一个已知点，这种情形，第2步可以省略掉。

2：迭代直至轨道落到吸引子上。

这需要自己的判断或通过研究得到的有关该系统的一些知识，对绝大多数系统，只要迭代几百次，我们就认为足够了。

通常情况下，除非你选的初值点刚好靠近分岔点，要不在几百次后它不会远离吸引子的。

3：选择（几乎任意的）靠近的点（设两点的距离为d0）适合的d0的选择是至少要比计算机中的浮点数的1000倍大，如：在（8字节）的双精度的（对这些计算的最低推荐），变量有52－比特的尾数，故，精度是：2-52=2.22x10-16，因此，我们只要有d0=10-12 就足够了。

4：两轨道向前迭代一次，并计算分离量d1分离量的计算：两轨道的每个分量上的差的平方和再开平方，如：对二维的系统有变量x和y，那么分离量是: d =[(xa-xb)2+(ya-yb)2]1/2, 这里下标（a和b）分别标出了两轨道。

5：以任何方便的底数估计log|d1/d0|通常是采用自然对数（e为底数），但对映射，在每次少许的迭代中，李雅谱诺夫指数被引用，在这种情形下，我们需要以2做为底数（注：log2x=1.4427logex）。

如果d1近似等于0，那么在估计对数时，将会得到错误，在这种情形下，尝试用更大的d0,如果这还不够，那么你不得不忽略这里发生的值。

但是这样做的话，你的李雅谱诺夫指数计算可能有错误。

求最大李雅普诺夫指数的matlab程序

程序一funct‎i on dx=Loren‎z(t,x);dx(1,1)=10*(x(2)-x(1));dx(2,1)=x(1)*(30-x(3))-x(2);dx(3,1)=x(1)*x(2)-8/3*x(3);dx(4,1)=0;dx(5,1)=0;dx(6,1)=0;funct‎i on lambd‎a_1=lyapu‎n ov_w‎o lf1(data,N,m,tau,P)% 该函数用来‎计算时间序‎列的最大L‎y apun‎o v 指数--Wolf 方法% m:嵌入维数% tau:时间延迟% data:时间序列% N:时间序列长‎度% P:时间序列的‎平均周期,选择演化相‎点距当前点‎的位置差，即若当前相‎点为I，则演化相点‎只能在|I－J|>P的相点中‎搜寻% lambd‎a_1:返回最大l‎y apun‎o v指数值‎%**************************************************************************% ode计算‎整数阶系统‎的时间序列‎%******************************************************************delt_‎t1 = 0.001;t1 = 0:delt_‎t1:60;[tt1,y1]=ode45‎(@loren‎z,t1,[-1,0,1]);xx1 = y1(:,1)';x1 = splin‎e(tt1, xx1, t1);data= x1(20000‎:10:60000‎);%采样N=lengt‎h(data);m=3;tau=11;%*****************************************************% FFT计算‎平均周期%**********************************************************x=data;xPowe‎r=abs(fft(x)).^2;NN=lengt‎h(xPowe‎r);xPowe‎r(1)=[];%去除直流分‎量NN=floor‎(NN/2);xPowe‎r=xPowe‎r(1:NN);freq=(1:NN)/NN*0.5;[mP,index‎]=max(xPowe‎r);P=index‎;%*************************************************************min_p‎o int=1 ; %&&要求最少搜‎索到的点数‎MAX_C‎I SHU=5 ; %&&最大增加搜‎索范围次数‎%FLYIN‎G HAWK‎% 求最大、最小和平均‎相点距离max_d‎= 0; %最大相点距‎离min_d‎= 1.0e+100; %最小相点距‎离avg_d‎d = 0;Y=recon‎s titu‎t ion(data,N,m,tau); %相空间重构‎M=N-(m-1)*tau; %重构相空间‎中相点的个‎数for i = 1 : (M-1)for j = i+1 : Md = 0;for k = 1 : md = d + (Y(k,i)-Y(k,j))*(Y(k,i)-Y(k,j));endd = sqrt(d);if max_d‎< dmax_d‎= d;endif min_d‎> dmin_d‎= d;endavg_d‎d = avg_d‎d + d;endendavg_d‎= 2*avg_d‎d/(M*(M-1)); %平均相点距‎离dlt_e‎p s = (avg_d‎- min_d‎) * 0.02 ; %若在min‎_eps～max_e‎p s中找不‎到演化相点‎时，对max_‎e ps的放‎宽幅度min_e‎p s = min_d‎+ dlt_e‎p s / 2 ; %演化相点与‎当前相点距‎离的最小限‎max_e‎p s = min_d‎+ 2 * dlt_e‎p s ; %&&演化相点与‎当前相点距‎离的最大限‎% 从P+1～M-1个相点中‎找与第一个‎相点最近的‎相点位置(Loc_D‎K)及其最短距‎离DK DK = 1.0e+100; %第i个相点‎到其最近距‎离点的距离‎Loc_D‎K = 2; %第i个相点‎对应的最近‎距离点的下‎标for i = (P+1):(M-1) %限制短暂分‎离，从点P+1开始搜索‎d = 0;for k = 1 : md = d + (Y(k,i)-Y(k,1))*(Y(k,i)-Y(k,1));endd = sqrt(d);if (d < DK) & (d > min_e‎p s)DK = d;Loc_D‎K = i;endend% 以下计算各‎相点对应的‎李氏数保存‎到lmd()数组中% i 为相点序号‎，从1到(M-1)，也是i-1点的演化‎点；Loc_D‎K为相点i‎-1对应最短‎距离的相点‎位置，DK为其对‎应的最短距‎离% Loc_D‎K+1为Loc‎_DK的演‎化点，DK1为i‎点到Loc‎_DK+1点的距离‎，称为演化距‎离% 前i个lo‎g2（DK1/DK）的累计和用‎于求i点的‎l ambd‎a值sum_l‎m d = 0 ; % 存放前i个‎l og2（DK1/DK）的累计和for i = 2 : (M-1) % 计算演化距‎离DK1 = 0;for k = 1 : mDK1 = DK1 + (Y(k,i)-Y(k,Loc_D‎K+1))*(Y(k,i)-Y(k,Loc_D‎K+1));endDK1 = sqrt(DK1);old_L‎o c_DK‎= Loc_D‎K ; % 保存原最近‎位置相点old_D‎K=DK;% 计算前i个‎l og2（DK1/DK）的累计和以‎及保存i点‎的李氏指数‎if (DK1 ~= 0)&( DK ~= 0)sum_l‎m d = sum_l‎m d + log(DK1/DK) /log(2);endlmd(i-1) = sum_l‎m d/(i-1);% 以下寻找i‎点的最短距‎离：要求距离在‎指定距离范‎围内尽量短‎，与DK1的‎角度最小 point‎_num = 0 ; % &&在指定距离‎范围内找到‎的候选相点‎的个数cos_s‎i ta = 0 ; %&&夹角余弦的‎比较初值——要求一定是‎锐角zjfwc‎s=0 ;%&&增加范围次‎数while‎(point‎_num == 0)% * 搜索相点for j = 1 : (M-1)if abs(j-i) <=(P-1) %&&候选点距当‎前点太近，跳过！conti‎n ue;end%*计算候选点‎与当前点的‎距离dnew = 0;for k = 1 : mdnew = dnew + (Y(k,i)-Y(k,j))*(Y(k,i)-Y(k,j));enddnew = sqrt(dnew);if (dnew < min_e‎p s)|( dnew > max_e‎p s ) %&&不在距离范‎围，跳过！conti‎n ue;end%*计算夹角余‎弦及比较DOT = 0;for k = 1 : mDOT = DOT+(Y(k,i)-Y(k,j))*(Y(k,i)-Y(k,old_L‎o c_DK‎+1));endCTH = DOT/(dnew*DK1);if acos(CTH) > (3.14151‎926/4) %&&不是小于4‎5度的角，跳过！ conti‎n ue;endif CTH > cos_s‎i ta %&&新夹角小于‎过去已找到‎的相点的夹‎角，保留 cos_s‎i ta = CTH;Loc_D‎K = j;DK = dnew;endpoint‎_num = point‎_num +1;endif point‎_num <= min_p‎o intmax_e‎p s = max_e‎p s + dlt_e‎p s;zjfwc‎s =zjfwc‎s +1;if zjfwc‎s > MAX_C‎I SHU %&&超过最大放‎宽次数，改找最近的‎点DK = 1.0e+100;for ii = 1 : (M-1)if abs(i-ii) <= (P-1) %&&候选点距当‎前点太近，跳过！ conti‎n ue;endd = 0;for k = 1 : md = d + (Y(k,i)-Y(k,ii))*(Y(k,i)-Y(k,ii));endd = sqrt(d);if (d < DK) & (d > min_e‎p s)DK = d;Loc_D‎K = ii;endendbreak‎;endpoint‎_num = 0 ; %&&扩大距离范‎围后重新搜‎索cos_s‎i ta = 0;endendend%取平均得到‎最大李雅普‎诺夫指数lambd‎a_1=sum(lmd)/lengt‎h(lmd)funct‎i on X=recon‎s titu‎t ion(data,N,m,tau)%该函数用来‎重构相空间‎% m为嵌入空‎间维数% tau为时‎间延迟% data为‎输入时间序‎列% N为时间序‎列长度% X为输出,是m*n维矩阵M=N-(m-1)*tau;%相空间中点‎的个数for j=1:M %相空间重构‎for i=1:mX(i,j)=data((i-1)*tau+j);endend以上是计算‎最大李氏指‎数的程序，可以运行。

matlab求最大李雅普诺夫(Lyapunov)指数程序

求解系统的Lyapunov指数谱程序Lyapunov 指数是描述时序数据所生成的相空间中两个极其相近的初值所产生的轨道，随时间推移按指数方式分散或收敛的平均变化率。

任何一个系统，只要有一个Lyapunov 大于零，就认为该系统为混沌系统。

李雅普诺夫指数是指在相空间中相互靠近的两条轨线随着时间的推移，按指数分离或聚合的平均变化速率。

一 chen系统的Lyapunov指数谱function dX = Chen2(t,X)% Chen吸引子，用来计算Lyapunov指数% dx/dt=a*(y-x)% dy/dt=(c-a)*x+c*y-x*z% dz/dt=x*y-b*zglobal a; % 变量不放入参数表中global b;global c;x=X(1); y=X(2); z=X(3);% Y的三个列向量为相互正交的单位向量Y = [X(4), X(7), X(10);X(5), X(8), X(11);X(6), X(9), X(12)];% 输出向量的初始化dX = zeros(12,1);% Lorenz吸引子dX(1) = a*(y-x);dX(2) = (c-a)*x+c*y-x*z;dX(3) = x*y-b*z;% Lorenz吸引子的Jacobi矩阵Jaco = [-a a 0;c-a-z c -x;y x -b];dX(4:12) = Jaco*Y;Z1=[];Z2=[];Z3=[];global a;global b;global c;b=3;c=28;for a=linspace(32,40,100);y=[1;1;1;1;0;0;0;1;0;0;0;1];lp=0;for k=1:200[T,Y] = ode45('Chen2', 1, y);y = Y(size(Y,1),:);y0 = [y(4) y(7) y(10);y(5) y(8) y(11);y(6) y(9) y(12)];y0=GS(y0);mod(1)=norm(y0(:,1));mod(2)=norm(y0(:,2));mod(3)=norm(y0(:,3));lp = lp+log(abs(mod));y0(:,1)=y0(:,1)/mod(1);y0(:,2)=y0(:,2)/mod(2);y0(:,3)=y0(:,3)/mod(3);y(4:12) = y0';endlp=lp/200;Z1=[Z1 lp(1)];Z2=[Z2 lp(2)];Z3=[Z3 lp(3)];enda=linspace(32,40,100);plot(a,Z1,'-',a,Z2,'-',a,Z3,'-');title('Lyapunov exponents of Chen')xlabel('b=3,c=28,parameter a'),ylabel('lyapunov exponents') grid on以上是三个变量的Lyapunov指数谱，下面是最大的Lyapunov指数谱：Z=[];d0=1e-8;for a=linspace(32,40,80)lsum=0;x=1;y=1;z=1;x1=1;y1=1;z1=1+d0;for i=1:100[T1,Y1]=ode45('Chen',1,[x;y;z;a;3;28]);[T2,Y2]=ode45('Chen',1,[x1;y1;z1;a;3;28]);n1=length(Y1);n2=length(Y2);x=Y1(n1,1);y=Y1(n1,2);z=Y1(n1,3);x1=Y2(n2,1);y1=Y2(n2,2);z1=Y2(n2,3);d1=sqrt((x-x1)^2+(y-y1)^2+(z-z1)^2);x1=x+(d0/d1)*(x1-x);y1=y+(d0/d1)*(y1-y);z1=z+(d0/d1)*(z1-z);if i>50lsum=lsum+log(d1/d0);endendZ=[Z lsum/(i-50)];enda=linspace(32,40,80);plot(a,Z,'-');title('Chen 系统最大lyapunov指数')xlabel('parameter a'),ylabel('lyapunov exponents')二模拟 Lorenz 系统最大lyapunov指数谱function ly=jose_ly(b,k)% the largest lyapunov exponent of josephson% k 迭代步数，b 参数% 方程如下:% θ''+G*θ'+sinθ=I+A*sin(ωt)+αsin(βωt) % 变化：% dx=y% dy=-G*y-sin(x)+I+A*sin(w*t)+a*sin(b*w*t) %% Example:% ly=jose_ly(0,800)%% Author:LDYU%Author'semail:*******************.cn%d0=1e-8;ly=0;lsum=0;x=[0;2;b];x1=[d0;2;b];for t=1:k[T1,Y1]=ode45('Josephon',[t-1,t],x);[T2,Y2]=ode45('Josephon',[t-1,t],x1);x=Y1(end,:);x1=Y2(end,:);d1=norm(x-x1);x1=x+(d0/d1)*(x1-x);lsum=lsum+log(d1/d0);endly=lsum/k;。

Matlab画Lorenz系统的最大李雅普诺夫指数图学习资料

grid on;
4、“体验化”消费
除了“漂亮女生”形成的价格，优惠等条件的威胁外，还有“碧芝”的物品的新颖性，创意的独特性等，我们必须充分预见到。结果图
与此同时，上海市工商行政管理局也对大学生创业采取了政策倾斜：凡高校毕业生从事个体经营的，自批准经营日起，１年内免交登记注册费、个体户管理费、集贸市场管理费、经济合同鉴证费、经济合同示范文本工本费等，但此项优惠不适用于建筑、娱乐和广告等行业。
（2）文化优势plot(b,Z,'-');
此次调查以女生为主，男生只占很少比例，调查发现58％的学生月生活费基本在400元左右，其具体分布如（图1-1）title('JD_{1}系统最大lyapunov指数')
加拿大ｂｅａｄｗｏｒｋｓ公司就是根据年轻女性要充分展现自己个性的需求，将世界各地的珠类饰品汇集于“碧芝自制饰品店”内，由消费者自选、自组、自制，这样就能在每个消费者亲手制作、充分发挥她们的艺术想像力的基础上，创作出作品，达到展现个性的效果。xlabel('parameter b'),ylabel('The largest Lyapunov exponents');
x1=x+(d0/d1)*(x1-x);
y1=y+(d0/d1)*(y1-y);
z1=z+(d0/d1)*(z1-z);
if i>50
lsum=lsum+log(d1/d0);
当然，在竞争日益激烈的现代社会中，创业是件相当困难的事。我们认为，在实行我们的创业计划之前，我们首先要了解竞争对手，吸取别人的经验教训，制订相应竞争的策略。我相信只要我们的小店有自己独到的风格，价格优惠，服务热情周到，就一定能取得大多女孩的信任和喜爱。end

求最大李雅普诺夫指数的matlab程序

程序一function dx=Lorenz(t,x);dx(1,1)=10*(x(2)-x(1));dx(2,1)=x(1)*(30-x(3))-x(2);dx(3,1)=x(1)*x(2)-8/3*x(3);dx(4,1)=0;dx(5,1)=0;dx(6,1)=0;function lambda_1=lyapunov_wolf1(data,N,m,tau,P)% 该函数用来计算时间序列的最大Lyapunov 指数--Wolf 方法% m: 嵌入维数% tau:时间延迟% data:时间序列% N:时间序列长度% P:时间序列的平均周期,选择演化相点距当前点的位置差，即若当前相点为I，则演化相点只能在|I－J|>P的相点中搜寻% lambda_1:返回最大lyapunov指数值%**************************************************************************% ode计算整数阶系统的时间序列%******************************************************************delt_t1 = 0.001;t1 = 0:delt_t1:60;[tt1,y1]=ode45(@lorenz,t1,[-1,0,1]);xx1 = y1(:,1)';x1 = spline(tt1, xx1, t1);data= x1(20000:10:60000);%采样N=length(data);m=3;tau=11;%*****************************************************% FFT计算平均周期%**********************************************************x=data;xPower=abs(fft(x)).^2;NN=length(xPower);xPower(1)=[];%去除直流分量NN=floor(NN/2);xPower=xPower(1:NN);freq=(1:NN)/NN*0.5;[mP,index]=max(xPower);P=index;%*************************************************************min_point=1 ; %&&要求最少搜索到的点数MAX_CISHU=5 ; %&&最大增加搜索范围次数%FL YINGHAWK% 求最大、最小和平均相点距离max_d = 0; %最大相点距离min_d = 1.0e+100; %最小相点距离avg_dd = 0;Y=reconstitution(data,N,m,tau); %相空间重构M=N-(m-1)*tau; %重构相空间中相点的个数for i = 1 : (M-1)for j = i+1 : Md = 0;for k = 1 : md = d + (Y(k,i)-Y(k,j))*(Y(k,i)-Y(k,j));endd = sqrt(d);if max_d < dmax_d = d;endif min_d > dmin_d = d;endavg_dd = avg_dd + d;endendavg_d = 2*avg_dd/(M*(M-1)); %平均相点距离dlt_eps = (avg_d - min_d) * 0.02 ; %若在min_eps～max_eps中找不到演化相点时，对max_eps的放宽幅度min_eps = min_d + dlt_eps / 2 ; %演化相点与当前相点距离的最小限max_eps = min_d + 2 * dlt_eps ; %&&演化相点与当前相点距离的最大限% 从P+1～M-1个相点中找与第一个相点最近的相点位置(Loc_DK)及其最短距离DK DK = 1.0e+100; %第i个相点到其最近距离点的距离Loc_DK = 2; %第i个相点对应的最近距离点的下标for i = (P+1):(M-1) %限制短暂分离，从点P+1开始搜索d = 0;for k = 1 : md = d + (Y(k,i)-Y(k,1))*(Y(k,i)-Y(k,1));endd = sqrt(d);if (d < DK) & (d > min_eps)DK = d;Loc_DK = i;endend% 以下计算各相点对应的李氏数保存到lmd()数组中% i 为相点序号，从1到(M-1)，也是i-1点的演化点；Loc_DK为相点i-1对应最短距离的相点位置，DK为其对应的最短距离% Loc_DK+1为Loc_DK的演化点，DK1为i点到Loc_DK+1点的距离，称为演化距离% 前i个log2（DK1/DK）的累计和用于求i点的lambda值sum_lmd = 0 ; % 存放前i个log2（DK1/DK）的累计和for i = 2 : (M-1) % 计算演化距离DK1 = 0;for k = 1 : mDK1 = DK1 + (Y(k,i)-Y(k,Loc_DK+1))*(Y(k,i)-Y(k,Loc_DK+1));endDK1 = sqrt(DK1);old_Loc_DK = Loc_DK ; % 保存原最近位置相点old_DK=DK;% 计算前i个log2（DK1/DK）的累计和以及保存i点的李氏指数if (DK1 ~= 0)&( DK ~= 0)sum_lmd = sum_lmd + log(DK1/DK) /log(2);endlmd(i-1) = sum_lmd/(i-1);% 以下寻找i点的最短距离：要求距离在指定距离范围内尽量短，与DK1的角度最小 point_num = 0 ; % &&在指定距离范围内找到的候选相点的个数cos_sita = 0 ; %&&夹角余弦的比较初值——要求一定是锐角zjfwcs=0 ;%&&增加范围次数while (point_num == 0)% * 搜索相点for j = 1 : (M-1)if abs(j-i) <=(P-1) %&&候选点距当前点太近，跳过！continue;end%*计算候选点与当前点的距离dnew = 0;for k = 1 : mdnew = dnew + (Y(k,i)-Y(k,j))*(Y(k,i)-Y(k,j));enddnew = sqrt(dnew);if (dnew < min_eps)|( dnew > max_eps ) %&&不在距离范围，跳过！continue;end%*计算夹角余弦及比较DOT = 0;for k = 1 : mDOT = DOT+(Y(k,i)-Y(k,j))*(Y(k,i)-Y(k,old_Loc_DK+1));endCTH = DOT/(dnew*DK1);if acos(CTH) > (3.14151926/4) %&&不是小于45度的角，跳过！continue;endif CTH > cos_sita %&&新夹角小于过去已找到的相点的夹角，保留 cos_sita = CTH;Loc_DK = j;DK = dnew;endpoint_num = point_num +1;endif point_num <= min_pointmax_eps = max_eps + dlt_eps;zjfwcs =zjfwcs +1;if zjfwcs > MAX_CISHU %&&超过最大放宽次数，改找最近的点DK = 1.0e+100;for ii = 1 : (M-1)if abs(i-ii) <= (P-1) %&&候选点距当前点太近，跳过！continue;endd = 0;for k = 1 : md = d + (Y(k,i)-Y(k,ii))*(Y(k,i)-Y(k,ii));endd = sqrt(d);if (d < DK) & (d > min_eps)DK = d;Loc_DK = ii;endendbreak;endpoint_num = 0 ; %&&扩大距离范围后重新搜索cos_sita = 0;endendend%取平均得到最大李雅普诺夫指数lambda_1=sum(lmd)/length(lmd)function X=reconstitution(data,N,m,tau)%该函数用来重构相空间% m为嵌入空间维数% tau为时间延迟% data为输入时间序列% N为时间序列长度% X为输出,是m*n维矩阵M=N-(m-1)*tau;%相空间中点的个数for j=1:M %相空间重构for i=1:mX(i,j)=data((i-1)*tau+j);endend以上是计算最大李氏指数的程序，可以运行。

多阶方程组的李雅普诺夫指数matlab程序

多阶方程组的李雅普诺夫指数matlab程序多阶方程组的李雅普诺夫指数matlab程序李雅普诺夫指数(Lyapunov exponent)是描述非线性动力学系统中的混沌现象的一种指标。

对于一些高维动力学系统而言，其状态演化可能会出现带有高度随机性的混沌状态，而李雅普诺夫指数可以用于描述这种混沌状态的程度。

在多阶方程组中，我们可以使用matlab程序来计算该系统的李雅普诺夫指数，进而分析该系统的混沌性质。

在matlab中，可以使用ode45函数来计算多阶方程组在一定时间段内的演化。

假设我们有n个未知函数{x1,x2,...,xn}，可以把它们表示成一组微分方程，即dx/dt=F(x)，其中F(x)是x的函数。

通过ode45函数迭代计算这一组微分方程的演化，我们可以得到多阶方程组在不同时间点的状态值{x1(t),x2(t),...,xn(t)}。

于是我们就可以计算该系统的李雅普诺夫指数。

计算李雅普诺夫指数的方法是，在多阶方程组的某一点x0处，计算有限时间内在初始扰动下，该点周围状态点的演化情况。

对于相邻的两个状态点x(t)和x(t+dt)，它们之间的扰动为Δx(t+dt)=A(t)Δx(t)，其中A(t)是一个线性映射矩阵，它可以描述状态点间的差异演化情况。

以至于在t时刻，初始位置x和扰动位置x+Δx之间的距离值s(t)=|Δx(t)|会随着时间的推移而增长或者衰减。

李雅普诺夫指数即描述了衰减率的大小，用于衡量状态点间的差异演化情况。

具体而言，我们可以构造一个初始扰动向量，即Δx(0)，接着迭代计算Δx(t)，然后计算扰动长度的指数级增长率。

对于具有n个自由度的系统而言，需要计算n个Lyapunov指数，这些指数往往具有相互关联的特点。

在matlab中，我们可以使用以下代码实现多阶方程组的李雅普诺夫指数计算：```matlab% 设置计算参数N = 10000; % 时间步数Dt = 0.01; % 时间步长X0 = [1 1 -1 -1]; % 初始状态向量Dx0 = [0.1 0 0 0]; % 初始扰动向量% 计算李雅普诺夫指数[T, X] = ode45(@F, [0:N-1]*Dt, X0);L = lyapunov(X,Dx0,@F);% 绘制结果figuresubplot(2,1,1)plot(T,X(:,1:2))ylabel('x_{1,2}')subplot(2,1,2)plot(T,L)ylabel('\lambda')xlabel('t')```这段程序中，F函数表示多阶方程组的微分方程，lyapunov函数为计算李雅普诺夫指数的核心部分，用于计算微小扰动的演化轨迹以及增长率的大小。

基于MATLAB的李雅普诺夫第二法稳定性分析

基于MATLAB的李雅普诺夫第二法稳定性分析李雅普诺夫第二法是一种广泛应用于非线性动力系统稳定性分析的方法。

在MATLAB中，我们可以利用多种功能和工具来实现这种分析。

在本文中，将介绍如何使用MATLAB进行李雅普诺夫第二法稳定性分析。

首先，我们将介绍李雅普诺夫第二法的基本概念，然后是在MATLAB中实现该方法的步骤和示例。

李雅普诺夫第二法是一种通过具有特定属性的李雅普诺夫函数来判断非线性系统的稳定性的方法。

具体来说，李雅普诺夫第二法通过找到一个正定函数V(x)以及一个正数a和b，使下式成立：a，x，^2≤V(x)≤b，x，^2其中x是系统状态，x，^2表示欧几里德范数的平方，a和b是正定的。

如果满足这个不等式，那么系统就是稳定的。

现在，我们将介绍在MATLAB中实现李雅普诺夫第二法的步骤。

首先，我们需要编写系统的状态方程。

这可以通过定义一个MATLAB函数来实现。

例如，考虑以下非线性系统：dx/dt = f(x)其中x是系统状态，f(x)是非线性函数。

我们可以将此方程定义为一个名为f.m的函数，它将系统状态作为输入，并返回状态变量的导数。

下面是一个简单的f.m文件的示例：function dxdt = f(x)dxdt = x^2 - x^4;接下来，我们需要选择一个合适的李雅普诺夫函数V(x)。

我们可以通过考虑系统的能量来选择一个合适的函数。

在这种情况下，我们可以选择V(x) = x^2，因为它是系统能量的一种度量方式。

然后，我们需要计算李雅普诺夫函数的时间导数Vdot(x)。

这可以通过将李雅普诺夫函数应用于系统的状态方程来实现。

在MATLAB中，我们可以利用符号计算工具箱来实现这一点。

下面是一个计算Vdot(x)的示例代码：syms xf_sym = x^2 - x^4;V=x^2;Vdot = diff(V, x) * f_sym;最后，我们需要使用MATLAB的求解器来满足条件的李雅普诺夫函数。

求最大李雅普诺夫指数的matlab程序

程序一function dx=Lorenz(t,x);dx(1,1)=10*(x(2)-x(1));dx(2,1)=x(1)*(30-x(3))-x(2);dx(3,1)=x(1)*x(2)-8/3*x(3);dx(4,1)=0;dx(5,1)=0;dx(6,1)=0;function lambda_1=lyapunov_wolf1(data,N,m,tau,P)% 该函数用来计算时间序列的最大Lyapunov 指数--Wolf 方法% m: 嵌入维数% tau:时间延迟% data:时间序列% N:时间序列长度% P:时间序列的平均周期,选择演化相点距当前点的位置差，即若当前相点为I，则演化相点只能在|I－J|>P的相点中搜寻% lambda_1:返回最大lyapunov指数值%**************************************************************************% ode计算整数阶系统的时间序列%******************************************************************delt_t1 = 0.001;t1 = 0:delt_t1:60;[tt1,y1]=ode45(@lorenz,t1,[-1,0,1]);xx1 = y1(:,1)';x1 = spline(tt1, xx1, t1);data= x1(20000:10:60000);%采样N=length(data);m=3;tau=11;%*****************************************************% FFT计算平均周期%**********************************************************x=data;xPower=abs(fft(x)).^2;NN=length(xPower);xPower(1)=[];%去除直流分量NN=floor(NN/2);xPower=xPower(1:NN);freq=(1:NN)/NN*0.5;[mP,index]=max(xPower);P=index;%*************************************************************min_point=1 ; %&&要求最少搜索到的点数MAX_CISHU=5 ; %&&最大增加搜索范围次数%FL YINGHAWK% 求最大、最小和平均相点距离max_d = 0; %最大相点距离min_d = 1.0e+100; %最小相点距离avg_dd = 0;Y=reconstitution(data,N,m,tau); %相空间重构M=N-(m-1)*tau; %重构相空间中相点的个数for i = 1 : (M-1)for j = i+1 : Md = 0;for k = 1 : md = d + (Y(k,i)-Y(k,j))*(Y(k,i)-Y(k,j));endd = sqrt(d);if max_d < dmax_d = d;endif min_d > dmin_d = d;endavg_dd = avg_dd + d;endendavg_d = 2*avg_dd/(M*(M-1)); %平均相点距离dlt_eps = (avg_d - min_d) * 0.02 ; %若在min_eps～max_eps中找不到演化相点时，对max_eps的放宽幅度min_eps = min_d + dlt_eps / 2 ; %演化相点与当前相点距离的最小限max_eps = min_d + 2 * dlt_eps ; %&&演化相点与当前相点距离的最大限% 从P+1～M-1个相点中找与第一个相点最近的相点位置(Loc_DK)及其最短距离DK DK = 1.0e+100; %第i个相点到其最近距离点的距离Loc_DK = 2; %第i个相点对应的最近距离点的下标for i = (P+1):(M-1) %限制短暂分离，从点P+1开始搜索d = 0;for k = 1 : md = d + (Y(k,i)-Y(k,1))*(Y(k,i)-Y(k,1));endd = sqrt(d);if (d < DK) & (d > min_eps)DK = d;Loc_DK = i;endend% 以下计算各相点对应的李氏数保存到lmd()数组中% i 为相点序号，从1到(M-1)，也是i-1点的演化点；Loc_DK为相点i-1对应最短距离的相点位置，DK为其对应的最短距离% Loc_DK+1为Loc_DK的演化点，DK1为i点到Loc_DK+1点的距离，称为演化距离% 前i个log2（DK1/DK）的累计和用于求i点的lambda值sum_lmd = 0 ; % 存放前i个log2（DK1/DK）的累计和for i = 2 : (M-1) % 计算演化距离DK1 = 0;for k = 1 : mDK1 = DK1 + (Y(k,i)-Y(k,Loc_DK+1))*(Y(k,i)-Y(k,Loc_DK+1));endDK1 = sqrt(DK1);old_Loc_DK = Loc_DK ; % 保存原最近位置相点old_DK=DK;% 计算前i个log2（DK1/DK）的累计和以及保存i点的李氏指数if (DK1 ~= 0)&( DK ~= 0)sum_lmd = sum_lmd + log(DK1/DK) /log(2);endlmd(i-1) = sum_lmd/(i-1);% 以下寻找i点的最短距离：要求距离在指定距离范围内尽量短，与DK1的角度最小 point_num = 0 ; % &&在指定距离范围内找到的候选相点的个数cos_sita = 0 ; %&&夹角余弦的比较初值——要求一定是锐角zjfwcs=0 ;%&&增加范围次数while (point_num == 0)% * 搜索相点for j = 1 : (M-1)if abs(j-i) <=(P-1) %&&候选点距当前点太近，跳过！continue;end%*计算候选点与当前点的距离dnew = 0;for k = 1 : mdnew = dnew + (Y(k,i)-Y(k,j))*(Y(k,i)-Y(k,j));enddnew = sqrt(dnew);if (dnew < min_eps)|( dnew > max_eps ) %&&不在距离范围，跳过！continue;end%*计算夹角余弦及比较DOT = 0;for k = 1 : mDOT = DOT+(Y(k,i)-Y(k,j))*(Y(k,i)-Y(k,old_Loc_DK+1));endCTH = DOT/(dnew*DK1);if acos(CTH) > (3.14151926/4) %&&不是小于45度的角，跳过！continue;endif CTH > cos_sita %&&新夹角小于过去已找到的相点的夹角，保留 cos_sita = CTH;Loc_DK = j;DK = dnew;endpoint_num = point_num +1;endif point_num <= min_pointmax_eps = max_eps + dlt_eps;zjfwcs =zjfwcs +1;if zjfwcs > MAX_CISHU %&&超过最大放宽次数，改找最近的点DK = 1.0e+100;for ii = 1 : (M-1)if abs(i-ii) <= (P-1) %&&候选点距当前点太近，跳过！continue;endd = 0;for k = 1 : md = d + (Y(k,i)-Y(k,ii))*(Y(k,i)-Y(k,ii));endd = sqrt(d);if (d < DK) & (d > min_eps)DK = d;Loc_DK = ii;endendbreak;endpoint_num = 0 ; %&&扩大距离范围后重新搜索cos_sita = 0;endendend%取平均得到最大李雅普诺夫指数lambda_1=sum(lmd)/length(lmd)function X=reconstitution(data,N,m,tau)%该函数用来重构相空间% m为嵌入空间维数% tau为时间延迟% data为输入时间序列% N为时间序列长度% X为输出,是m*n维矩阵M=N-(m-1)*tau;%相空间中点的个数for j=1:M %相空间重构for i=1:mX(i,j)=data((i-1)*tau+j);endend以上是计算最大李氏指数的程序，可以运行。

matlab求最大值

matlab求最大值matlab中的的最大值和最小值MATLAB提供的求数据序列的最大值和最小值的函数分别为max 和min，两个函数的调用格式和操作过程类似。

1．求向量的最大值和最小值求一个向量X的最大值的函数有两种调用格式，分别是：(1) y=max(X)：返回向量X的最大值存入y，如果X中包含复数元素，则按模取最大值。

(2) [y,I]=max(X)：返回向量X的最大值存入y，最大值的序号存入I，如果X中包含复数元素，则按模取最大值。

求向量X的最小值的函数是min(X)，用法和max(X)完全相同。

例3-1 求向量x的最大值。

命令如下：x=[-43,72,9,16,23,47];y=max(x) %求向量x中的最大值[y,l]=max(x) %求向量x中的最大值及其该元素的位置2．求矩阵的最大值和最小值求矩阵A的最大值的函数有3种调用格式，分别是：(1) max(A)：返回一个行向量，向量的第i个元素是矩阵A的第i 列上的最大值。

(2) [Y,U]=max(A)：返回行向量Y和U，Y向量记录A的每列的最大值，U向量记录每列最大值的行号。

(3) max(A,[],dim)：dim取1或2。

dim取1时，该函数和max(A)完全相同；dim取2时，该函数返回一个列向量，其第i个元素是A矩阵的第i行上的最大值。

求最小值的函数是min，其用法和max完全相同。

例3-2 分别求3×4矩阵x中各列和各行元素中的最大值，并求整个矩阵的最大值和最小值。

3．两个向量或矩阵对应元素的比较函数max和min还能对两个同型的向量或矩阵进行比较，调用格式为：(1) U=max(A,B)：A,B是两个同型的向量或矩阵，结果U是与A,B 同型的向量或矩阵，U的每个元素等于A,B对应元素的较大者。

(2) U=max(A,n)：n是一个标量，结果U是与A同型的向量或矩阵，U的每个元素等于A对应元素和n中的较大者。