关于连续系统Lyapunov指数的计算方法

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matlab编写的Lyapunov指数计算程序

for l=1:n1 gsc(k)=gsc(k)+y(n1*j+l)*y(n1*k+l); end;
end;
for k=1:n1
for l=1:(j-1)
y(n1*j+k)=y(n1*j+k)-gsc(l)*y(n1*l+k);
end;
end;
znorm(j)=0.0;
for k=1:n1 znorm(j)=znorm(j)+y(n1*j+k)^2; end;
while calculation_progress == 1
[T,Y] = integrator(DS(1).method_int,@ode_lin,[t tt],y,options,P,n,neq,n_exp);
first_call = 0;
if calculation_progress == 99, break; end;
xlabel('t');
ylabel('Lyapunov exponents');
Fig_Lyap_Axes = findobj(Fig_Lyap,'Type','axes');
for i=1:n_exp
PlotLyap{i}=plot(tstart,0);
end;
uu=findobj(Fig_Lyap,'Type','line');
% variational equation (n items of linearized systems, see Example).
% fcn_integrator - handle of ODE integrator function, for example: @ode45

lyapunov方程的求解

lyapunov方程的求解
听说Lyapunov方程了吗？就是那个让一堆数学大师头疼的东西。

不过别担心，咱们就用大白话聊聊。

说简单点，Lyapunov方程就像是给系统稳定性拍了个“X光”，能看出系统内部的问题。

你想想看，要是你的自行车轮子不稳，骑
起来就得摇摇晃晃，对吧？这就是因为稳定性没搞好。

而Lyapunov
方程就是帮我们找到那个能让系统稳如泰山的“魔法公式”。

话说回来，求解Lyapunov方程可不是件轻松的事儿。

你得有点
数学功底，还得有点耐心和毅力。

有时候，解这个方程就像是解一
个复杂的拼图游戏，得把各个碎片拼在一起，才能看到完整的图画。

不过，好消息是，现在有了电脑和数学软件，求解Lyapunov方
程变得容易多了。

就像是你有了一个超级助手，帮你处理那些繁琐
的计算和推理。

这样一来，你就能更快地找到答案，也不用那么头
疼了。

所以啊，虽然Lyapunov方程听起来有点吓人，但只要咱们用对
方法，就能轻松搞定它。

就像是你面对一个看似复杂的问题，只要找到了解决方法，就能迎刃而解。

这就是数学的魅力所在！。

lyapunov函数

lyapunov函数Lyapunov函数是一种用于研究系统稳定性的重要工具，它可以用来检验系统耐受外界干扰的能力，以及系统发生振荡现象的可能性。

它是由俄罗斯数学家安德烈利亚普诺夫（Andrey Lyapunov）最早提出的，是一种重要的动态系统的稳定性理论。

Lyapunov函数也称为质能函数（或者拉普拉斯函数），它是一个定义在特定空间中的实值函数，它能够浓缩动态系统状态并同时反映系统的稳定性。

简而言之，Lyapunov函数有助于发现动态系统中某个状态点是否是稳定的。

Lyapunov函数的定义为：对于一个系统，它可以根据任意一个参数来评估系统状态点的稳定性。

当系统从状态点A移动到状态点B 时，系统的Lyapunov函数能够帮助我们了解更多的系统的行为：第一，该函数能够衡量不同状态点之间的影响，即该函数能够测量系统从A点变为B点的过程中，A点对B点的影响有多大。

第二，它能够表明系统能否在未来某个时刻稳定地维持本身的状态点。

由于Lyapunov函数可以衡量系统状态点的稳定性，因此可以用来实施控制策略，来防止系统振荡。

Lyapunov函数可以作为一个智能控制系统中的一个重要分量，它能够有效地检测和对应外部的环境因素，进而把外部的环境因素转换为控制指令，以便调节系统的状态。

Lyapunov函数在动态系统建模和分析方面，具有无可比拟的效用。

除了上述提到的用于检验系统稳定性以外，它还可以用来检查系统控制功能、建立系统模型和探索各种可能性，以此探究系统的行为特征，它对数学原理研究和应用研究都是非常重要的。

Lyapunov函数的研究仍在不断发展，越来越多的研究者将Lyapunov函数与其他技术融合在一起，以便更好地理解系统的行为，提高控制策略的可靠性，更好地探索异常情况的发生可能性，以及更多的分析细节。

总之，Lyapunov函数是一种重要的动态系统理论，它能够帮助我们检验系统的稳定性，为智能控制系统提供重要参考，在模型建立和控制策略制定等方面具有重要意义，而且它也在不断发展，以适应不断变化的环境和情况。

经典的lyapunov函数方法

经典的lyapunov函数方法什么是经典的Lyapunov函数方法，并探讨其在动力系统和控制理论中的应用？一、引言中括号（[ ]）是数学中常用的符号之一，用来表示某种运算或者代表一类操作。

在这篇文章中，我们将探讨经典的Lyapunov函数方法，并研究其在动力系统和控制理论中的应用。

Lyapunov函数方法是一种基于Lyapunov稳定性理论的分析方法，通过构造合适的Lyapunov函数来判断系统的稳定性。

在这篇文章中，我们将按照以下步骤对经典的Lyapunov函数方法进行详细介绍和分析。

二、什么是Lyapunov函数？在进一步讨论Lyapunov函数方法之前，我们首先需要了解什么是Lyapunov 函数。

Lyapunov函数是数学中的一种特殊函数，被广泛应用于动力系统和控制理论中。

Lyapunov函数具有以下特点：1)它是一个实值函数，通常对于特定的系统状态，其值是实数；2)它能够量化系统的稳定性，即通过函数值的大小可以判断系统是否稳定；3)它具有非负性，即在所有系统状态下，函数值始终大于等于零。

三、Lyapunov稳定性理论Lyapunov函数方法基于Lyapunov稳定性理论，该理论由俄国数学家M.A. Lyapunov在19世纪末提出。

Lyapunov稳定性理论主要研究动力系统的稳定性。

在给定一个动力系统的演化方程之后，通过构造一个合适的Lyapunov函数来判断系统是否具有稳定性。

四、如何构造Lyapunov函数？Lyapunov函数的构造是Lyapunov函数方法的关键步骤。

在实际应用中，通常通过以下步骤构造Lyapunov函数：1)选择一个合适的函数形式，通常是系统状态的某种线性组合；2)确定函数的系数，通常通过经验或者结合实际问题的特点进行选择；3)验证函数的非负性和系统稳定性。

通过这些步骤，我们可以构造出一个合适的Lyapunov函数。

五、Lyapunov稳定性和系统稳定性的判定在Lyapunov函数方法中，通过对Lyapunov函数进行分析，可以判断系统是否稳定。

Lyapunov指数的计算方法

【总结】Lyapunov指数的计算方法非线性理论近期为了把计算LE的一些问题弄清楚，看了有7〜9本书！下面以吕金虎《混沌时间序列分析及其应用》、马军海《复杂非线性系统的重构技术》为主线，把目前已有的LE计算方法做一个汇总！1.关于连续系统Lyapunov指数的计算方法连续系统LE的计算方法主要有定义方法、Jacobian方法、QR分解方法、奇异值分解方法，或者通过求解系统的微分方程，得到微分方程解的时间序列，然后利用时间序列（即离散系统）的LE求解方法来计算得到。

关于连续系统LE的计算，主要以定义方法、Jacobian方法做主要介绍内容。

（1）定义法—对H堆连续动力系統z = 在—OBJ孙味“为中心.|拆（心0）||为丰笹啟存«堆的球面*施著时间的演化，在t时討该球而0P变形为M继的椭球厨・设滾椭域面的第/ 个坐标轴方向的半轴长対卩兀|，则诙系统第i个指数対*此即连续系统Lyapunov揩较飽定冥・弼计尊时・取|处（心0）［为岀W为常数），以孔为球心・欧几里篇范敢为山的正衮矢量集仙测，…叮为初始球.由非线性徴分方崔“尸㈤可以分别计算出点細血创、引他、r引址经过时间t后淺化的轨迹・役其终了点分别为珊、砒、f 仙则令石f 陶一心■处严=甩-和，r 亦耳国=略一報#则可得新的矢重棄叶禺巴…后畀｝・由于各牛妥臺在演化过程中舌焙向着是大的UapurOT IS数方何靠掘，因此需要通过Schimdt IE交化不断地讨新矢量逬行置换.SP Wolf to文章中提出的GSR^法.表述如下：播着以他为球心，疤数対（I的正奁矢臺料创巴叫叫…伽严;为祈球继续进行演出设演化至N步时，得到矢董慕冈㈤出巴…耳僅牛且N足够大,这可以得到Lyapunov 扌鐵的近似计算公式三实际计算时，取为1・定义法求解Lyapunov 指数JPG关于定义法求解的程序，和matlab板块的连续系统LE求解程序”差不多。

以Rossie啄统为例Rossler系统微分方程定义程序function dX = Rossler_ly(t,X)% Rossler吸引子，用来计算Lyapunov指数% a=0.15,b=0.20,c=10.0% dx/dt = -y-z,% dy/dt = x+ay,% dz/dt = b+z(x-c),a = 0.15;b = 0.20;c = 10.0;x=X(1); y=X(2); z=X(3);%Y的三个列向量为相互正交的单位向量丫 = [X(4), X(7), X(10);X(5), X(8), X(11);X(6), X(9), X(12)];%输出向量的初始化，必不可少dX = zeros(12,1);% Rossler吸引子dX(1) = -y-z;dX(2) = x+a*y;dX(3) = b+z*(x-c);% Rossler吸引子的Jacobi矩阵Jaco = [0 -1 -1;1 a 0; z 0 x-c];dX(4:12) = Jaco*Y;求解LE 代码：% 计算Rossler 吸引子的Lyapunov 指数clear;yinit = [1,1,1]; orthmatrix = [1 0 0;0 1 0;0 0 1];a = 0.15;b = 0.20;c = 10.0;y = zeros(12,1);% 初始化输入y(1:3) = yinit; y(4:12) = orthmatrix;tstart = 0; % 时间初始值tstep = 1e-3; %时间步长wholetimes = 1e5; % 总的循环次数steps = 10; %每次演化的步数iteratetimes = wholetimes/steps; %演化的次数mod = zeros(3,1);lp = zeros(3,1);% 初始化三个Lyapunov 指数Lyapunov1 = zeros(iteratetimes,1);Lyapunov2 = zeros(iteratetimes,1);Lyapunov3 = zeros(iteratetimes,1);for i=1:iteratetimestspan = tstart:tstep:(tstart + tstep*steps); [T,Y] = ode45('Rossler_ly', tspan, y);% 取积分得到的最后一个时刻的值y = Y(size(Y,1),:);% 重新定义起始时刻tstart = tstart + tstep*steps;y0 = [y(4) y(7) y(10);y(5) y(8) y(11);y(6) y(9) y(12)];%正交化y0 = ThreeGS(y0);% 取三个向量的模mod(1) = sqrt(y0(:,1)'*y0(:,1));mod(2) = sqrt(y0(:,2)'*y0(:,2));mod(3) = sqrt(y0(:,3)'*y0(:,3)); y0(:,1) = y0(:,1)/mod(1);y0(:,2) = y0(:,2)/mod(2);y0(:,3) = y0(:,3)/mod (3);Ip = lp+log(abs(mod));%三个Lyapunov指数Lyapu nov1(i) = lp(1)/(tstart);Lyapu nov2(i) = lp(2)/(tstart);Lyapu nov3(i) = lp(3)/(tstart); y(4:12) = y0';end%作Lyapunov指数谱图i = 1:iteratetimes;plot(i,Lyap uno v1,i,Lyap uno v2,i,Lyap unov3)程序中用到的ThreeGS程序如下：%G-S正交化function A = ThreeGS(V) % V 为3*3 向量v1 = V(:,1);v2 = V(:,2);v3 = V(:,3);al = zeros(3,1);a2 = zeros(3,l);a3 = zeros(3,1);al = v1;a2 = v2-((a1'*v2)/(a1'*a1))*a1;a3 = v3-((a1'*v3)/(a1'*a1))*a1-((a2'*v3)/(a2'*a2))*a2; A = [a1,a2,a3];计算得到的Rossler系统的LE 为------- 0.063231 0.092635 -9.8924Wolf文章中计算得到的Rossler系统的LE为-------- 0.09 0 -9.77需要注意的是一一定义法求解的精度有限，对有些系统的计算往往出现计果和理论值有偏差的现象。

lyapunov方程求数值解

lyapunov方程求数值解
Lyapunov方程是控制理论中的一个重要方程，用于求解线性系
统的稳定性。

Lyapunov方程的一般形式为AX + XA^T = -Q，其中A
是系统的状态矩阵，X是要求解的对称正定矩阵，Q是一个对称正定
矩阵。

Lyapunov方程的解决对于确定系统的稳定性和性能至关重要。

要求解Lyapunov方程的数值解，通常可以采用以下方法之一：
1. Schur分解法，这是一种常用的数值方法，它将状态矩阵A
分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积。

然后，可以将Lyapunov方程转化为一个更容易求解的形式，进而求解X的数值解。

2. 离散时间Lyapunov方程的数值解，对于离散时间系统，可
以利用迭代法或者数值线性代数方法来求解Lyapunov方程的数值解。

3. MATLAB等数学软件，许多数学软件包括MATLAB都提供了专
门用于求解Lyapunov方程的函数或工具箱，可以直接利用这些工具
来求解数值解。

无论采用哪种方法，都需要注意数值解的稳定性和精度，尤其
是在系统维度较大时。

此外，还需要对所得到的数值解进行验证，确保其满足Lyapunov方程的定义和性质。

总之，求解Lyapunov方程的数值解需要结合数值方法和专业工具，以确保得到准确可靠的结果。

分岔图做法[1]

>>混沌研究总结篇------一、分岔图（1.Chen系统）先打个提纲，这几天把自己混沌相关知识研究学习内容总结一下。

首先简绍几个基本概念：一、自治系统一个n阶自治的连续动态系统可以表示为可以理解为对于自治的连续系统，上相量场f是不依赖于时间t的。

二、非自治系统一个n阶非自治的连续动态系统可以表示为可以理解为对于非自治的连续系统，向量场f不仅依赖于状态变量x，而且依赖于时间t，如Duffing振子。

三、庞加莱映射庞加莱映射是一个传统的用来离散化连续系统的方法。

庞加莱映射可以用(n-1)阶的离散映射来取代n阶的连续系统。

庞加莱映射的用处正在于减小系统的阶数，并且在连续系统和离散系统之间建立了一座桥梁。

对于n阶自治系统，其对应的解对就着轨迹。

当选择作为一个(n-1)维的超平面，这样轨迹将穿越超平面。

难点主要是超平面的选取，使其对应的解穿越超平面，就可以得到一个领域内的庞加莱映射。

对于n阶非自治系统，若其外加强迫力的最小周期是T,j最终的庞加莱映射可以定义为相应的轨道P(xk)是对某个轨迹每隔T时刻采样一次获得，这种操作和每隔T时刻的频闪观测仪的行为很相似。

所以要想得到一个系统的庞加莱映射，这段话一定要好好理解，当真真知道这中间说的含义，庞加莱映射这么画其实也已经知道国。

四、分岔图分岔图的横坐标是一个变化的参数，纵坐标是你要求的某一个量的随着各参数的变化情况，而poincare则是我们选取横坐标上的某参数的某一个具体值时截面图，只不过poincare截面的选取其实可以是任意的。

下面主要研究的混沌系统有：Logistic、Henon、Lorenz、Duffing、Rossler、Chen、混沌电机模型等系统1.Chen系统先说Chen系统，因为和课题有一定的关系，而且自己以后起家也得从Chen 系统入手。

系统方程如下：dx/dt=a*(y-x)dy/dt=(c-a)*x+c*y-x*zdz/dt=x*y-b*z就是对此方程中不同参数a、b、c下对系统画分岔图，研究混沌系统(1)给定a、c，画b关于系统的分岔图结果如下图所示CODE：function fenchatuchenclc;clearXA=35;XC=28;Z=[];for XB=linspace(2,5.5,100);options = odeset('RelTol',1e-6,'AbsTol',[1e-4 1e-4 1e-5]);[T,X]=ode45('chen',[0,50],[-5 0 5],options,XA,XB,XC);n=length(X);for k=round(n/2):nif abs(X(k,1))<1Z=[Z,XB+abs(X(k,2))*i];endendendfigureplot(Z,'.','markersize',1)title('chen映射分岔图')xlabel('b'),ylabel('|x| where x=0')这组代码不完全是自己的,现在见解其中一些方法在进行自己系统的绘制，这个程序的具体原理我会在后面给出来的。

常微分方程中的Lyapunov指数

常微分方程中的Lyapunov指数Lyapunov指数是一种用于研究动力系统稳定性的重要工具。

在常微分方程中，Lyapunov指数可以帮助我们判断一个系统的稳定性，从而可以更好地理解物理现象。

本文将从以下几个方面介绍Lyapunov指数。

一、什么是Lyapunov指数？Lyapunov指数是法国数学家Lyapunov在19世纪末首次引入的一个概念，用于描述动力系统在某一相空间内的稳定性。

Lyapunov指数是一个实数，通常用λ表示，其大小代表了系统的稳定程度。

当λ>0时，系统是不稳定的；当λ<0时，系统是稳定的；当λ=0时，系统处于稳态。

二、如何计算Lyapunov指数？计算Lyapunov指数的方法有很多种，其中最为常用的是Kaplan-Yorke公式。

这种方法需要进行线性化处理，将非线性动力系统转化为线性动力系统。

通常用牛顿迭代法求解微分方程，并对每个时间步长进行雅可比矩阵的计算，从而最终得到系统的Lyapunov指数。

三、Lyapunov指数在物理学中的应用Lyapunov指数在物理学中有着广泛的应用，尤其是在研究混沌现象中。

混沌是指系统发生不可预期的非周期性运动，常常出现在分子动力学、天体力学和流体力学中。

利用Lyapunov指数可以判断混沌现象的发生，从而更好地理解这些物理现象。

四、Lyapunov指数在控制系统中的应用除了在物理学中的应用外，Lyapunov指数还被广泛应用于控制系统中。

在控制系统中，通过计算Lyapunov指数可以判断系统是否稳定，并且可以设计出更好的控制策略。

此外，Lyapunov指数还可以用于描述系统的鲁棒性，即系统对干扰的抵抗能力。

五、Lyapunov指数的局限性尽管Lyapunov指数在控制系统和物理学中有着广泛的应用，但是它也存在一些局限性。

首先，计算Lyapunov指数常常非常复杂，需要耗费大量时间和计算资源。

其次，Lyapunov指数只能用于描述系统局部的稳定性，而不能用于描述全局的稳定性。

如何计算时间序列的一维李雅普诺夫指数谱

时间序列的一维李雅普诺夫指数谱是一种用于衡量时间序列非线性动力学特征的重要指标。

通过计算时间序列的一维李雅普诺夫指数谱，我们可以了解时间序列的混沌程度、非线性动力学特征以及系统的演化规律。

下面将从计算一维李雅普诺夫指数谱的基本原理、计算步骤以及应用案例等方面进行介绍。

一、计算一维李雅普诺夫指数谱的基本原理1. 时间序列的非线性动力学特征在进行一维李雅普诺夫指数谱的计算之前，我们首先需要了解时间序列的非线性动力学特征。

时间序列通常是由一系列按时间顺序排列的数据点组成，而这些数据点之间可能存在着复杂的非线性关系。

传统的线性分析方法已经不能完全满足对时间序列的分析需求，非线性动力学理论的引入为我们提供了一种新的分析时间序列的思路。

2. 李雅普诺夫指数的概念李雅普诺夫指数是刻画动力学系统混沌行为的重要指标，它能够反映系统中微小扰动的增长率，从而揭示系统的混沌特性。

对于一维的时间序列数据，我们可以通过计算一维李雅普诺夫指数来揭示时间序列的混沌特征。

3. 一维李雅普诺夫指数谱一维李雅普诺夫指数谱可以帮助我们更直观地了解时间序列的非线性动力学特征。

它能够给出时间序列中各个频率对应的李雅普诺夫指数，从而揭示时间序列在不同频率下的混沌特性，为我们深入分析和理解时间序列提供了重要的参考。

二、计算一维李雅普诺夫指数谱的步骤1. 数据预处理我们需要对时间序列数据进行预处理，包括数据清洗、去噪等操作。

在数据预处理的过程中，我们需要确保数据的准确性和完整性，以保证后续计算的准确性和可靠性。

2. 计算傅里叶变换接下来，我们需要对预处理后的时间序列数据进行傅立叶变换，将时间序列数据转换到频域中。

通过傅立叶变换，我们可以将时间序列从时域转换到频域，从而得到时间序列在不同频率下的分量。

3. 计算相空间重构在得到时间序列在不同频率下的分量之后，我们需要进行相空间重构，将时间序列的不同分量映射到相应的高维空间中。

相空间重构是计算一维李雅普诺夫指数谱的关键步骤，它能够帮助我们更好地理解时间序列的非线性动力学特征。

lyapunov指数计算

lyapunov指数计算
Lyapunov指数（Lyapunov exponent）是一种用于描述动态系统混沌性质的指标。

在数学上，Lyapunov指数是描述线性化系统的稳定性的指标，它可以判断非线性系统是否具有混沌性质。

计算Lyapunov指数的基本过程如下：
1.首先，选择一个合适的初始状态，并计算该状态在系统中的轨迹。

2.然后，选取一个邻域，计算在该邻域内的状态与初始状态的差异随时间的变化情况。

3.对于每个时间步长，计算邻域中的点向初始状态点移动的距离与时间的比值。

4. 重复上述步骤，直到获得足够的数据，然后计算Lyapunov指数。

5. Lyapunov指数表示在该系统中相邻轨迹的指数级别分离速度。

具体计算Lyapunov指数的过程比较复杂，一般需要借助计算机进行模拟和计算。

-Lyapunov指数的计算方法

【总结】Lyapunov指数的计算方法非线性理论近期为了把计算LE的一些问题弄清楚，看了有7～9本书！下面以吕金虎《混沌时间序列分析及其应用》、马军海《复杂非线性系统的重构技术》为主线，把目前已有的LE计算方法做一个汇总！1. 关于连续系统Lyapunov指数的计算方法连续系统LE的计算方法主要有定义方法、Jacobian方法、QR分解方法、奇异值分解方法，或者通过求解系统的微分方程，得到微分方程解的时间序列，然后利用时间序列（即离散系统）的LE求解方法来计算得到。

关于连续系统LE的计算，主要以定义方法、Jacobian方法做主要介绍内容。

（1）定义法定义法求解Lyapunov指数.JPG关于定义法求解的程序，和matlab板块的“连续系统LE求解程序”差不多。

以Rossler系统为例Rossler系统微分方程定义程序function dX = Rossler_ly(t,X)% Rossler吸引子，用来计算Lyapunov指数% a=0.15,b=0.20,c=10.0% dx/dt = -y-z,% dy/dt = x+ay,% dz/dt = b+z(x-c),a = 0.15;b = 0.20;c = 10.0;x=X(1); y=X(2); z=X(3);% Y的三个列向量为相互正交的单位向量Y = [X(4), X(7), X(10);X(5), X(8), X(11);X(6), X(9), X(12)];% 输出向量的初始化，必不可少dX = zeros(12,1);% Rossler吸引子dX(1) = -y-z;dX(2) = x+a*y;dX(3) = b+z*(x-c);% Rossler吸引子的Jacobi矩阵Jaco = [0 -1 -1;1 a 0;z 0 x-c];dX(4:12) = Jaco*Y;求解LE代码：% 计算Rossler吸引子的Lyapunov指数clear;yinit = [1,1,1];orthmatrix = [1 0 0;0 1 0;0 0 1];a = 0.15;b = 0.20;c = 10.0;y = zeros(12,1);% 初始化输入y(1:3) = yinit;y(4:12) = orthmatrix;tstart = 0; % 时间初始值tstep = 1e-3; % 时间步长wholetimes = 1e5; % 总的循环次数steps = 10; % 每次演化的步数iteratetimes = wholetimes/steps; % 演化的次数mod = zeros(3,1);lp = zeros(3,1);% 初始化三个Lyapunov指数Lyapunov1 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov2 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov3 = zeros(iteratetimes,1);for i=1:iteratetimestspan = tstart:tstep:(tstart + tstep*steps); [T,Y] = ode45('Rossler_ly', tspan, y);% 取积分得到的最后一个时刻的值y = Y(size(Y,1),:);% 重新定义起始时刻tstart = tstart + tstep*steps;y0 = [y(4) y(7) y(10);y(5) y(8) y(11);y(6) y(9) y(12)];%正交化y0 = ThreeGS(y0);% 取三个向量的模mod(1) = sqrt(y0(:,1)'*y0(:,1));mod(2) = sqrt(y0(:,2)'*y0(:,2));mod(3) = sqrt(y0(:,3)'*y0(:,3));y0(:,1) = y0(:,1)/mod(1);y0(:,2) = y0(:,2)/mod(2);y0(:,3) = y0(:,3)/mod(3);lp = lp+log(abs(mod));%三个Lyapunov指数Lyapunov1(i) = lp(1)/(tstart);Lyapunov2(i) = lp(2)/(tstart);Lyapunov3(i) = lp(3)/(tstart);y(4:12) = y0';end% 作Lyapunov指数谱图i = 1:iteratetimes;plot(i,Lyapunov1,i,Lyapunov2,i,Lyapunov3)程序中用到的ThreeGS程序如下：%G-S正交化function A = ThreeGS(V) % V 为3*3向量v1 = V(:,1);v2 = V(:,2);v3 = V(:,3);a1 = zeros(3,1);a2 = zeros(3,1);a3 = zeros(3,1);a1 = v1;a2 = v2-((a1'*v2)/(a1'*a1))*a1;a3 = v3-((a1'*v3)/(a1'*a1))*a1-((a2'*v3)/(a2'*a2))*a2;A = [a1,a2,a3];计算得到的Rossler系统的LE为———— 0.063231 0.092635 -9.8924Wolf文章中计算得到的Rossler系统的LE为————0.09 0 -9.77需要注意的是——定义法求解的精度有限，对有些系统的计算往往出现计果和理论值有偏差的现象。

Lyapunov指数的计算方法

【总结】Lyapunov指数的计算方法非线性理论近期为了把计算LE的一些问题弄清楚,瞧了有7～9本书！下面以吕金虎《混沌时间序列分析及其应用》、马军海《复杂非线性系统的重构技术》为主线,把目前已有的LE计算方法做一个汇总！1、关于连续系统Lyapunov指数的计算方法连续系统LE的计算方法主要有定义方法、Jacobian方法、QR分解方法、奇异值分解方法,或者通过求解系统的微分方程,得到微分方程解的时间序列,然后利用时间序列(即离散系统)的LE求解方法来计算得到。

关于连续系统LE的计算,主要以定义方法、Jacobian方法做主要介绍内容。

(1)定义法定义法求解Lyapunov指数、JPG关于定义法求解的程序,与matlab板块的“连续系统LE求解程序”差不多。

以Rossler系统为例Rossler系统微分方程定义程序function dX = Rossler_ly(t,X)% Rossler吸引子,用来计算Lyapunov指数% a=0、15,b=0、20,c=10、0% dx/dt = -y-z,% dy/dt = x+ay,% dz/dt = b+z(x-c),a = 0、15;b = 0、20;c = 10、0;x=X(1); y=X(2); z=X(3);% Y的三个列向量为相互正交的单位向量Y = [X(4), X(7), X(10);X(5), X(8), X(11);X(6), X(9), X(12)];% 输出向量的初始化,必不可少dX = zeros(12,1);% Rossler吸引子dX(1) = -y-z;dX(2) = x+a*y;dX(3) = b+z*(x-c);% Rossler吸引子的Jacobi矩阵Jaco = [0 -1 -1;1 a 0;z 0 x-c];dX(4:12) = Jaco*Y;求解LE代码:% 计算Rossler吸引子的Lyapunov指数clear;yinit = [1,1,1];orthmatrix = [1 0 0;0 1 0;0 0 1];a = 0、15;b = 0、20;c = 10、0;y = zeros(12,1);% 初始化输入y(1:3) = yinit;y(4:12) = orthmatrix;tstart = 0; % 时间初始值tstep = 1e-3; % 时间步长wholetimes = 1e5; % 总的循环次数steps = 10; % 每次演化的步数iteratetimes = wholetimes/steps; % 演化的次数mod = zeros(3,1);lp = zeros(3,1);% 初始化三个Lyapunov指数Lyapunov1 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov2 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov3 = zeros(iteratetimes,1);for i=1:iteratetimestspan = tstart:tstep:(tstart + tstep*steps); [T,Y] = ode45('Rossler_ly', tspan, y);% 取积分得到的最后一个时刻的值y = Y(size(Y,1),:);% 重新定义起始时刻tstart = tstart + tstep*steps;y0 = [y(4) y(7) y(10);y(5) y(8) y(11);y(6) y(9) y(12)];%正交化y0 = ThreeGS(y0);% 取三个向量的模mod(1) = sqrt(y0(:,1)'*y0(:,1));mod(2) = sqrt(y0(:,2)'*y0(:,2));mod(3) = sqrt(y0(:,3)'*y0(:,3));y0(:,1) = y0(:,1)/mod(1);y0(:,2) = y0(:,2)/mod(2);y0(:,3) = y0(:,3)/mod(3);lp = lp+log(abs(mod));%三个Lyapunov指数Lyapunov1(i) = lp(1)/(tstart);Lyapunov2(i) = lp(2)/(tstart);Lyapunov3(i) = lp(3)/(tstart);y(4:12) = y0';end% 作Lyapunov指数谱图i = 1:iteratetimes;plot(i,Lyapunov1,i,Lyapunov2,i,Lyapunov3)程序中用到的ThreeGS程序如下:%G-S正交化function A = ThreeGS(V) % V 为3*3向量v1 = V(:,1);v2 = V(:,2);v3 = V(:,3);a1 = zeros(3,1);a2 = zeros(3,1);a3 = zeros(3,1);a1 = v1;a2 = v2-((a1'*v2)/(a1'*a1))*a1;a3 = v3-((a1'*v3)/(a1'*a1))*a1-((a2'*v3)/(a2'*a2))*a2;A = [a1,a2,a3];计算得到的Rossler系统的LE为———— 0、063231 0、092635 -9、8924Wolf文章中计算得到的Rossler系统的LE为————0、09 0 -9、77需要注意的就是——定义法求解的精度有限,对有些系统的计算往往出现计果与理论值有偏差的现象。

lyapunov函数

lyapunov函数Lyapunov数是一种在时变系统中，用来评价系统稳定性的一种函数。

它的用途是用来检查时变系统是否可达到某种稳定的状态。

Lyapunov数是由俄罗斯科学家安德烈利亚普诺夫于1892年发现的，他受到了梯度流形理论的启发，并应用它来衡量动力系统可能达到的稳定状态。

Lyapunov数具有多种定义，其中最常见的定义是一个在动力系统中一般性表达式，它可以定义为：在一个系统中，任一时刻任一状态t处的Lyapunov数是定义在动力系统的状态空间上的一个实值函数，即V(t)，它满足下面的两个充分条件：(1)当系统处于稳定状态时，函数V(t)的值应该最大或最小;(2)函数V(t)的变化应该是系统的变化的函数，即当系统的状态发生改变时，函数V(t)的值也发生相应的改变。

Lyapunov数在几乎所有时变系统中都是非常重要的，它对来评估系统的局部和全局稳定性非常有用，因为它可以指导设计出一个稳定的系统。

一般来说，当Lyapunov数的值保持在一定的范围内，或者说满足一定的性质时，系统就可以被认为是稳定的。

Lyapunov数的另一种常见的定义是一种积分函数，它表示系统所承受的势能当前时刻的积累或消耗。

这个函数表示了某一时刻系统的能量状况，即系统的热力学能量和机械能量总和，以及这些能量如何变化。

Lyapunov分函数可以帮助更好地理解系统的演化过程，以及系统处于什么样的状态。

Lyapunov数的另一个重要的用处是它的应用在控制理论中，这方面的研究是由安德烈利亚普诺夫本人进行的，他研究了如何应用Lyapunov数来控制一个系统，以达到有效的控制状态，并达到最优的稳定性。

它也可以用来帮助计算出控制系统的稳定状态，从而让系统达到尽可能好的稳定性。

自从安德烈利亚普诺夫首次发明Lyapunov数以来，它已经在时变系统中发挥了重要的作用，它被用来诊断系统是否处于稳定状态，也可以用来指导控制系统，使系统保持稳定。

它也可以作为一种热力学函数，用来计算出系统可能达到的稳定状态。

Lyapunov指数计算

又设它有已知解
x0
(
x10,
x
20
,,
xn
0
)
，令
（4）
xi = xi0 + δxi i = 1,2,, n
为
x0
邻域内的另一解，将式（5）代入式（4）得：
（5）
∑ ddxi
dt
=
n
Lij(x0 Nhomakorabea)dx
j
j =1
（6）
矩阵
Lij
(x0
)
=
( ∂fi ∂x j
) x0
（7）
为线性化演化算子或李雅普诺夫矩阵。我们知道，只要
Lyapunov 指数的计算与仿真
摘要：Lyapunov 指数在研究动力系统的分岔、混沌运动特性中起着重要的作用，是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标，它表征了系统在相空间中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率。对于系统是否存在动力学混沌，可以从最大 Lyapunov 指数是否大于零非常直观的判断出来：一个正的 Lyapunov 指数意味着在相空间中，无论初始两条轨线的间距多么小，其差别都会随时间的演化而成为指数率的增加以致达到无法预测，这就是混沌现象。本文介绍了 Lyapunov 指数的定义、性质及计算原理和数值计算的实现方法，应用 Matlab 软件、编写了计算 Lyapunov 指数程序，计算了 Logistic 映射系统、Henon 系统及时间序列的 Lyapunov 指数。实例的计算机仿真表明 Lyapunov 指数是研究分岔、混沌运动，解决工程实际问题的有效方法之一。
=
dT T
T
x
dTxt−1 迭
代得到。我们可以考虑这些运算在标准基中的矩阵表示，事实上，任何标准正交

logistic lyapunov指数

logistic lyapunov指数
"Logistic Lyapunov指数" 是指在混沌理论和动力系统中，用于描述非线性系统稳定性和混沌性质的一种方法。

在具体的上下文中，这可能涉及到描述 Logistic 映射的 Lyapunov 指数。

Logistic 映射是一种典型的非线性动力系统，通常用于模拟种群的增长。

其表达式为：
其中，xn 是当前时刻的种群比例，r 是一个表示生殖率的参数。

Lyapunov 指数用于衡量动力系统中微小扰动的增长率，以此来判断系统的稳定性。

对于Logistic 映射，通过计算Lyapunov 指数，可以得知系统是否表现出混沌行为。

计算 Lyapunov 指数的具体方法是，通过考虑初始状态和微小扰动δ，然后迭代计算：
这里，δn 是每一步微小扰动的大小。

Lyapunov 指数就是计算微小扰动随时间的指数增长率。

在具体的数学计算中，可以通过对多个初始条件和微小扰动进行模拟，计算 Lyapunov 指数的平均值来获得更可靠的结果。

需要注意的是Lyapunov 指数通常用于描述混沌系统，而Logistic 映射在某些参数范围内表现出混沌行为。

这种方法对于研究非线性动力系统的行为和稳定性非常有用。

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Lyapunov 指数

3Lyapunov指数3最大Lyapunov指数 (1)3.1引言 (2)3.2Lyapunov指数谱的理论计算方法 (4)3.3Wolf法求Lyapunov指数 (5)3.4小数据量和Kantz法计算最大Lyapunov指数 (6)3.5尺度相关的Lyapunov指数 (8)3.6海杂波的最大Lyapunov指数 (10)3.7本章小结 (10)3.8后记 (10)3.1 引言最大Lyapunov指数是判断和描述非线性时间序列是否为混沌系统的重要参数，因此是一个重要的混沌不变量。

对于混沌系统来说，耗散是一种整体性的稳定因素，动力系统一方面作为耗散系统最终要收缩到相空间的有限区域即吸引子上。

另一方面系统在相体积收缩的同时，运动轨道又是不稳定的，要沿某些方向进行指数分离。

奇怪吸引子的不稳定的运动轨道在局部看来总是指数分离的。

为了有效刻画吸引子，我们有必要研究动力系统在整个吸引子或无穷长的轨道上平均后的特征量，如Lyapunov指数、关联维和Kolmogorov熵等。

混沌运动的基本特点是运动对初始条件极为敏感，两个极为靠近的初始值所产生的轨道，随时间推移按指数方式分离，Lyapunov指数就是描述这一现象的量。

在一维动力系统1()n n x F x +=中，初始两点迭代后互相分离还是靠拢，关键取决于导数dF dx 的值。

若1dF dx >，则迭代使得两点分开；若1dF dx<，则迭代使得两点靠拢。

但是在不断的迭代过程中，dF dx 的值也随之而变化，呈现出时而分离时而靠拢。

为了表示从整体上看相邻两个状态反而情况，必须对时间(或迭代次数)取平均。

不妨设平均每次迭代所引起的指数分离中的指数为λ，于是原来相距为ε的两点经过次迭代后距离为n ()00()(n x n n e F x F λεε=+−0)x (3.1) 取极限0,n ε→→∞，则(3.1)变为()()00000()()11lim lim ln lim ln n n n n n x x dF x F x F x x n n εελε→∞→→∞=+−==dx (3.2) 上式变形后，可简化为： ()()01001lim ln n n i x x dF x x n dx λ−→∞===∑ (3.3) (3.3)中的λ与初始值的选取没有关系，称为原动力系统的Lyapunov 指数，它表示系统在多次迭代中平均每次迭代所引起的指数分离中的指数。

lyapunov方程

lyapunov方程
拉普拉斯-马尔可夫方程首先把系统动态行为描述为一个非线性方程，然后把它转换成一个线性的状态方程。

如果把非线性方程分解为多个线性方程，那么拉普拉斯-马尔可夫方程就可以被写成一个线性状态方程：X(t+1)=AX(t)+B其中，X(t)是一个n维向量，表示系统状态在t时刻的变化，A是n×n维矩阵，表示系统的动态行为，B是n维向量，表示系统的外部输入。

拉普拉斯-马尔可夫方程也可以用来解决一个更复杂的问题，称为“Lyapunov方程”。

Lyapunov方程是一种非线性系统理论中的一种工具，它通过求解一个特殊的矩阵方程来描述系统的稳定性，也就是描述系统动态行为是否稳定。

Lyapunov 方程是一个不等式，它要求系统的状态变量满足一定的关系，这些关系可以通过拉普拉斯-马尔可夫方程求解。

计算lyapunov指数,利用wolf方法[技巧]

!系统表现为常微分方程组：（洛伦兹系统）!使用Wolf方法，注意IVF与fortran下面使用库函数的不同PROGRAM LE_DIFEQEN!INCLUDE 'link_fnl_shared.h'!USE numerical_libraries!使用fortran65用下面的一句话，用IVF使用上面的两句话USE IMSLIMPLICIT NONEINTEGER,PARAMETER::N=3 ! 原始微分方程个数INTEGER,PARAMETER::NN=12 !系统变量个数N+N*NEXTERNAL FCN !计算微分方程的子程序INTEGER I,J,K,L,NSTEP,IDO!NSTEP为计算次数REAL::TOL,STPSZE,T,TEND!T为系统的初始时间值，执行一次IVPRK后设为TEND（所要计算的系统时间值）!STPSZE为从T到TEND的时间步长!TOL为期望的误差范围REAL::Y(NN),ZNORM(N),GSC(N),LE(N),PARAM(50)!ZNORM中放向量的模!LE中放李雅普洛夫指数!非线性系统的初值Y(1)=10.0Y(2)=1.0Y(3)=0.0!线性系统的初值DO I=N+1,NNY(I)=0.0END DODO I=1,NY((N+1)*I)=1.0LE(I)=0.0END DO!参数设置参数设置参数设置参数设置IDO=1PARAM=0PARAM(4)=5000000param(10)=1.0T=0.0TOL=1E-2NSTEP=1000000STPSZE=0.01DO I=1,NSTEPTEND=STPSZE*REAL(I)CALL IVPRK(IDO,NN,FCN,T,TEND,TOL,PARAM,Y)!以下部分将N个向量正交单位化!V1=(Y(4),Y(7),Y(10))!V2=(Y(5),Y(8),Y(11))!V3=(Y(6),Y(9),Y(12))!.......! Normalize the first vectorZNORM(1)=0.0DO J=1,NZNORM(1)=ZNORM(1)+Y(N*J+1)**2END DOZNORM(1)=SQRT(ZNORM(1))DO J=1,NY(N*J+1)=Y(N*J+1)/ZNORM(1)END DO!Generate the new orthonormal set of vectorsDO J=2,N! Generate J-1 GSR coefficientsDO K=1,(J-1)GSC(K)=0.0DO L=1,NGSC(K)=GSC(K)+Y(N*L+J)*Y(N*L+K)END DOEND DO! Construct a new vectorDO K=1,NDO L=1,(J-1)Y(N*K+J)=Y(N*K+J)-GSC(L)*Y(N*K+L) END DOEND DO! Calculate the vector's normZNORM(J)=0.0DO K=1,NZNORM(J)=ZNORM(J)+Y(N*K+J)**2 END DOZNORM(J)=SQRT(ZNORM(J))! Normalize the new vectorDO K=1,NY(N*K+J)=Y(N*K+J)/ZNORM(J)END DOEND DODO K=1,NLE(K)=LE(K)+ALOG(ZNORM(K))/ALOG(2.0) !计算指数END DOEND DOCALL IVPRK(3,NN,FCN,T,TEND,TOL,PARAM,Y)DO K=1,NWRITE(*,'(f12.2)') LE(K)/TEND DOSTOPEND PROGRAM LE_DIFEQENSUBROUTINE FCN(N,T,Y,YPRIME)IMPLICIT NONEINTEGER N,IREAL T,Y(12),YPRIME(12)YPRIME(1)=16.0*(Y(2)-Y(1))YPRIME(2)=-Y(1)*Y(3)+45.92*Y(1)-Y(2)YPRIME(3)=Y(1)*Y(2)-4.0*Y(3)DO I=0,2YPRIME(4+I)=16.0*(Y(7+I)-Y(4+I))YPRIME(7+I)=(45.92-Y(3))*Y(4+I)-Y(7+I)-Y(1)*Y(10+I)YPRIME(10+I)=Y(2)*Y(4+I)+Y(1)*Y(7+I)-4.0*Y(10+I)END DORETURNEND SUBROUTINE。